liya Prigogine: El desequilibrio y el orden

¿RUIDO O SINFONIA?UN ANTES Y UN DESPUÉS

"A distinguir me paro las voces delos ecos...". Tal vez sorprenda al lector escuchar palabras de Machado,cuando nuestro protagonista es IlyaPrigogine; empero, no se trata de unlapso. A pesar de conocer los escritosde Prigogine, particularmente losrelacionados con la Termodinámica

de procesos fuera del equilibrio,ámbito en que se desenvuelve miactividad investigadora, al tener antemí las notas autobiográficas queredactó cuando le fue concedido el

Premio Nobel de Química de 1977,

barrunté muchas facetas inherentes a

la humanidad del personaje, enmascaradas por la asepsia expositiva delas publicaciones científicas. En lasapenas ocho páginas en que resumenuna vida de trabajo, Prigogine semanifiesta como hombre que, pensando siempre en el futuro, parte deunas ideas profundamente arraigadasa finales del XIX: cualquier comportamiento, por complejo que sea. essusceptible de formulación matemática, lo que de hecho supondría superar el dilema de las dos culturas.

Resalta así la sintonía con De Don-

der, para quien la descripción matemática del mundo físico representa laimagen más pura que el hombrepuede tener en su mente, una imagenque asimila a la música, sublimaciónde la propia naturaleza a la que asociacon cientos de ruidos. En su actividad

científica Prigogine tuvo una ideamuy clara: demostrar que algo que secreía ruido era en sí una sinfonía.

Posiblemente no sorprenda anadie la afirmación de que la Naturaleza es eminentemente dinámica

y todos y cada uno de nosotrostenemos ocasión de comprobar elcarácter no estático de nuestra propia vida, evolución sin posiblevuelta atrás. Para los estudiosos de

la Termodinámica la peripecia vitalde cualquier ser humano se expresaría en términos de sistema (lapropia persona) y proceso, englobando en este concepto su deveniry su historia. Si se pretendiera

explicar someramente en qué consiste la Termodinámica, cabría

hablar de un método de trabajo enel cual se selecciona una porciónde mundo físico, cuya descripciónse hace en términos de ciertas propiedades {variables de estado)medidas cuando el sistema que seestá considerando se encuentra en

equilibrio; por supuesto, la máselemental exigencia de rigor obligaa definir el propio concepto deequilibrio, evitando posibles tautologías. Al huir del rigor intelectual¡que dulce fuga en la sociedad quenos ha tocado en suerte!, siemprecabe el recurso a la intuición, ¿seimaginan Vds. mejor imagen deuna situación de equilibrio quealguien posando para un fotógrafo,cumpliendo con disciplina prusiana el imperativo de no mover ni unmúsculo?; efectivamente, una fotoes un buen símil de estado de equilibrio, que permite incluso la "descripción" de cualquier persona disponiendo del suficiente número defotografías. Cada una de ellasconstituye una "congelación" de larealidad, de la que incluso es posible extraer valores cuantitativos

(por ejemplo, la estatura de alguienque se retrate en diversos momentos de su vida junto a una mismareferencia o la posición de loscaballos en una carrera a partir dediferentes instantáneas). La Termodinámica clásica actúa de un

modo parecido, se considera unsistema y su estado se definemediante propiedades medidas ensucesivas "congelaciones" de laevolución {proceso)-, dicho en otraspalabras, se prescinde de la variable tiempo así como de cualquierconsideración acerca de las peripecias que han acontecido entre una yotra fotografía.

Siguiendo con el símil anterior,hay personas que parecen anhelarque todos los instantes de su vida

queden plasmados en fotografías; sise pensara en la situación límite de

alguien que pasara su vida enteradelante de una cámara fotográfica,no cabe duda de que (aparte de

En ei otoño de ¡985 ¡(ya Prigogine fueÍn\>e.stido como "Doctor Honores Causa"

por la UNED. La presente fotografüi, facilitada por la Fundación Ramón Areces, setomó con motivo de la conferencia allípronunciada.

desaprovechar su existencia) noshabría proporcionado un ejemplode proceso que transcurre totalmente a través de estados de equilibrio.Asimismo, resulta intuitivo que dosfotografías tomadas en un pequeñolapso de tiempo (salvo que quien seretrate sufra convulsiones) sonprácticamente idénticas, de talmodo que, contando sólo con lainformación de las fotos, se habríapodido suponer que el procesotranscurre en uno u otro sentido; portal razón, se denominan procesosreversibles aquellos que tienenlugar a través de estados de equilibrio. Sin embargo, ante dos fotografías tomadas a la misma persona,una en la niñez y otra en la madurez, salta a la vista que entre ellas hatranscurrido toda una vida, no esposible la vuelta atrás y se está, portanto, ante un proceso irreversible.En sus notas autobiográficas,

redactadas con motivo de la conce

sión del Premio Nobel, relata Prigogine como alguien le reprochó en1946 dedicar más atención a los

fenómenos irreversibles, esencialmente transitorios, que al equilibrioresultado de la evolución. A pesarde que la observación de los fenó-

VIDA CIENTIFICA

menos naturales no parece ajustarsedemasiado a la idea de equilibrio(cualquier ser vivo sólo alcanza elequilibrio con la muerte), hastamediados del siglo XX la metodología de la Termodinámica clásica(Termodinámica de equilibrio)cumplió su papel como herramientaválida para describir el mundo físico, aun cuando la práctica totalidadde los fenómenos naturales son procesos netamente irreversibles; tanto

para los ingenieros como para losquímico-físicos se trataba de efectos parásitos que conllevan la pérdida o degradación de trabajo útil ysólo suponen un estorbo; en definitiva, un mero ruido. Por el contra

rio, para Prigogine la irreversibili-dad no es asimilable a un ruido, ni

siquiera a un eco, ya que atribuye alos procesos irreversibles un papelactivo y constructivo, cuyo estudiono se puede reducir al de aproximación suplementaria, por lo quedinámica y termodinámica constituyen descripciones complementarias de la naturaleza.

¿SE DIFERENCIA EL PASADODEL FUTURO? ENTROPÍA YDIRECCIONALIDAD

Para la Mecánica clásica el tiem

po es un simple parámetro que indica la sucesión ele acontecimientos

absolutamente ordenada y, además,reversible. Sus ecuaciones sirven

tanto para predecir el futuro, comopara explorar y redescubrir el pasado (bastaría conocer la velocidad yposición en un instante dado). Deeste modo, la Mecánica de Newton,

erigida en arquetipo de racionalidad, no sólo expulsa la libertad decualquier descripción del cosmos,sino que ni siquiera permite distinguir entre pasado y futuro.

El criterio de direccionalidad de

los procesos en la naturaleza es unaaportación de la Termodinámica através de su segundo principio, elcual establece la existencia de una

variable de estado, denominada

entropíüy cuyo valor no permanecenecesariamente constante en un sis-

rema aislado (aquel sobre el que notiene ninguna influencia el medio

que le rodea), ya que cualquier proceso irreversible en el seno del sis

tema lleva aparejado un aumento desu entropía, pero jamás una disminución. Por consiguiente, el segundo principio de la Termodinámicadefine una flecha del tiempo, manifestación de una irreversibilidad queno crean las condiciones macroscó

picas de no-equilibrio, ya que, másbien, son las condiciones macroscó

picas de equilibrio las que Impidenque la flecha del tiempo (siemprepresente a nivel microscópico) semanifieste a escala macroscópica.En tanto que resultado de una constricción macroscópica, el no-equilibrio es más manifestación que causay, aparte de manifestarse como evolución hacia el equilibrio, la flechadel tiempo conduce a la creación decomportamientos colectivos coherentes fuera del equilibrio.

Para estudiar un sistema que noestá en equilibrio, se le puede imaginar dividido en regiones suficientemente pequeñas para las cuales sesupone válida la hipótesis de equilibrio local, que postula que en cadauna de las regiones se satisfacen lasmisma ecuaciones termodinámicas

válidas en el equilibrio. De estemodo, es posible establecer ecuaciones de balance por las que se rigen laevolución temporal de las propiedades del sistema y así es como aparece en el formalismo el término queda razón de la generación de entropía por unidad de tiempo. Tal vez, elaspecto que más cabe resaltar de estetérmino es que se trata de la suma deproductos de una fuerza (por ejemplo, diferencias de concentración otemperatura entre diferentes puntosdel sistema) por un flujo (tales comotransporte de materia o de calor);asimismo, en su versión lineal la

Tennodinámica de no equilibrio seasienta en la consideración de la

dependencia lineal entre flujos yfuerzas para situaciones no demasiado alejadas del equilibrio.De entre los teoremas relaciona

dos con la producción de entropía elmás importante es sin lugar a dudasel teorema de producción mínima deentropía , según el cual bajo ciertascondiciones, la producida en todo el

sistema es mínima en los estados

estacionarios. Por consiguiente, elvalor máximo de la entropía comocriterio de equilibrio se generalizapor el de mínima producción porunidad de tiempo a la hora de caracterizar situaciones estacionarias.

Uno de los mayores desasosiegos,cuando se escribe sobre cualquiertema es decidir qué "se deja en eltintero" y, en tal sentido, no es fácilexponer a un público no especializado las aportaciones de Prigogineen el marco de la Mecánica Estadís

tica. Sus ideas de partida son conciliar el tiempo reversible de la micro-física con la irreversibilidad inhe

rente a lo macroscópico (problemaque ya se planteó Boltzmann en1876) y que, en definitiva, interrogaacerca de cuál es la naturaleza de los

sistemas dinámicos a los que seaplica la Termodinámica. Para Prigogine, al no ser la irreversibilidadel resultado de aproximacionessuplementarias, solo es posible unaformulación basada en teoría de

transformaciones (sin hipótesis "adhoc" recurriendo a la probabilidad)que exprese en términos explícitoslos que oculta la formulación dinámica. Se posiciona así ante la propiadefinición de los límites de la des

cripción hamiltoniana y formulauna dinámica de correlaciones,

como relación entre interacción ycorrelaciones, bien conocida por losespecialistas a partir, sobre todo, delos trabajos de Balescu y Résibois.

EL DESEQUILIBRIO QUEENGENDRA ORDEN. LAS

ESTRUCTURAS DISIPATIVAS

Los fenómenos de difusión tien

den a homogeneizar un sistema, detal modo que el potencial electroquímico de cada componente posea elmismo valor en cada una de las

diversas partes entre las que haytransporte de dicho componente.Turing propuso en 1952 la hipótesisde que, suficientemente lejos delequilibrio, una reacción químicaautocaialítica podría tener un efectoinhomogenizador que compensaralos efectos homogenizadores de ladifusión y provocara una marcada

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La Termodinámica clásica convierte al

tiempo en el gran excluido; por el contrario,el estudio de ¡os procesos fuera del etjuiUh-rio lo erige en protagonista. Para Prigogineese protagonismo se extiende a toda laCiencia, tal fue el tema de la conferenciaque pronunció en Madrid el 31 de octubrede J9S5.

diferencia de la concentración de

diversas zonas del sistema. Ello proporciona una base molecular al fenó

meno de la morfogénesis, o aparición y desarrollo de estructuras enprocesos biológicos. La observaciónexperimental de reacciones oscilatorias en 1958, por parte de Belusov,estimuló el interés por tales fenómenos autoorganizativos. A principiosde los años sesenta, Prigogine propuso el concepto de estructuras disipa-tivas, que establece un marco generalal estudio de la aparición de orden ensistemas suficientemente alejadosdel equilibrio, cuyo mantenimiento,a diferencia de las estructuras clási

cas de equilibrio (caso de un cristal),exige disipación continua de energía.En el caso de una mezcla reaccio

nante, aunque se alcance el estadode equilibrio, tal situación no esnecesariamente estable y determinadas perturbaciones sufridas por elsistema pueden hacer que se desplace del equilibrio para dar origen aestructuras disipativas, tales comooscilaciones autosostetúdas de la

concentración, aparición de estadosestacionarios no uniformes, etc. El

estudio de este tipo de situacionesexige conocer con detalle el mecanismo de reacción, lo cual se plasmaen proponer diferentes mecanismospara una reacción dada, estudiar la

cinética de acuerdo con cada uno de

ellos y, finalmente, comparar losresultados obtenidos con datos

experimentales. Para diversos procesos biológicos ha podido observarse que en determinadas condiciones el sistema es perfectamentehomogéneo, pero que al modificarla concentración de alguno de loscomponentes más allá de ciertovalor crítico la inhomogeneidad nose compensa mediante difusión,sino que el sistema, inicialmenteuniforme, se ordena de forma

espontánea dando lugar a una distribución espacial de la composicióntal y como acontece en la diferenciación celular, por virtud de la cuala partir de una célula se produce laaparición de células diferenciadasque constituyen la estructura compleja de los organismos vivos.Asimismo, existen procesos quí

micos en medio homogéneo que.sin embargo, son oscilantes en eltiempo; siendo el primero descritoen la bibliografía la descomposición catalítica del peróxido dehidrógeno por la acción oxidantede la mezcla de iodo y ácido iódi-co. Posiblemente, la reacción osci

lante más conocida sea la de Belu-

sov-Zhabotinsky. cuyo descubri-

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El tiempo es una de las piedras angidaresen que descansan los esquemas conceptuales y virales de Prigogine. Este sello decorreos emitido en Bélgica lo refleja: unreloj y la expresión dubitativa, la fugacidady elfin de las certezas.

miento estimuló el estudio de la

termodinámica no lineal, y en laque una de las etapas del mecanismo consiste en la oxidación de un

ácido orgánico (cítrico, malónico,bromo-malónico, etc.) por aniónbromato en presencia de los ionescerio-3 y cerio-4, que actúan comocatalizadores. Se observa en dicha

reacción que, para ciertos valoresde la composición inicial, se producen oscilaciones autosostenidas

de la concentración de iones cerio

y bromuro con una frecuencia delorden de 0,01 Hz.

PRIGOGINE Y EL TIEMPO

La concepción del tiempo no esindependiente de la cultura en quese está inserto. En aquellas muyvinculadas a la Naturaleza el ciclo

anual tiene gran importancia y eltiempo se concibe como una rueda;por el contrario, la cultura judeo-cristiana introduce una Hnealidad

del tiempo dirigida a la trascendencia (que la sociedad occidental hamutado a una visión laica denomi

nada pro^re.so) de la que emergeuna concepción del tiempo comoflecha (flujo irreversible).

El tiempo, ignorado por la Termodinámica clásica, es una de las

piedras angulares en los esquemasconceptuales y vitales de Prigogine, ya que para él tiempo y complejidad son conceptos que presentan relaciones intrínsecamente

mutuas. Influido por la idea deBergson, expuesta en L'évolutioncréatrice, de que "cuanto más profundamente se estudie la naturaleza

del tiempo, mejor se comprendeque el existir significa descubrimiento, creación de formas, conti

nua elaboración de lo absolutamen

te nuevo", aborda el análisis de sis-

lemas con alto grado de organización (cual son los seres vivos)donde los procesos irreversiblesjuegan un papel crucial. Por otraparte, al definirse Prigogine comoalguien que da toda la importanciaal futuro, parece adherirse a ese"tiempo que se divide en innumerables futuros" que imaginara Bor-ges. Para Prigogine evolución y

VIDA CIENTÍFICA

eternidad se identifican desde el

punto de vista de la dinámica, de

tal modo que un mundo regido porlas leyes de ésta se reduce a unaafirmación inmutable de su propiaidentidad, modelada por el rígidodeterminismo inherente a trayectorias mecánicas, intrínsecamente

reversibles, que no permiten distinguir entre pasado y futuro. Por elcontrario, la concepción termodinámica es la de un universo que sedegrada hacia un estado de equilibrio definido por la uniformidadasociada con la desaparición decualquier gradiente. ¿Cabría objetar que el segundo principio de laTermodinámica es un determinis

mo alternativo, tan inexorable

como el de la dinámica, que enlugar de las ecuaciones de movimiento, se remite a procesos que

anulan cualquier diferencia de presión, temperatura o composiciónquímica y conducen irreversible

mente a todo sistema aislado a un

estado de equilibrio asociado con elvalor máximo de la entropía?No deja de ser un sarcasmo

recordar solamente los estados ini

cial y final de un proceso tan netamente irreversible como una vida;

más aun, tratándose de aquel aquien con toda justicia cabe atribuir la paternidad de la Termodinámica de no equilibrio. Para IlyaPrigogine el tiempo comenzó enMoscú el 25 de enero de 1917 yterminó en Bruselas el 28 de mayode 2003, ¡qué difícil cuantificar elsentido de una vida!; sin embargo,me atrevo a formular un elogiopara alguien que consagró su vida ala Ciencia:

'si entre el mundo y los sentidoslia sembrado ¡a riquezade preguntas, matices,teorías, argumentos,

si con ello ha desplegadolibertad y belleza

y me ha hecho habitar

plenitudes y vértigos,si me ha sido un lenguaje

para decir el injinito,si me ha dicho sobriamente

leyes tan jructíferas,si en parte tan profundade mí se ha convertido,

¿cómo puedo llamar frialdada la física?" '

Manuel Criado Sancho

Dpto. de Ciencias y Técnicas

Fisicoquímicas

Matemáticas y Finanzas

INTRODUCCION

¿Pueden los métodos matemáticos ayudar a la comprensión de las actividades financieras permitiendodesarrollar métodos de inversión y gestión eficientes?No hay duda de que así es, al menos en alguna medida.No es preciso recordar que la Aritmética se desarrollaimpulsada por las actividades comerciales que se realizaban en las antiguas civilizaciones y que en los últimossiglos se han desarrollado unas Matemáticas Financieras que permiten realizar cálculos para la valoración deinstrumentos financieros simples, tales como rentas opréstamos.En todo caso, al contrario de lo que ocurría con la

Ciencia y la Ingeniería, las Finanzas no necesitaban unalto grado de complejidad matemática. Esta situaciónparece haber cambiado radicalmente debido a que la llamada Economía Financiera ha sufrido espectaculares yprofundas transformaciones en las últimas décadasdesarrollando conceptos y métodos que tienen unaamplia base matemática. Un análisis de la evolución delas Finanzas en las tres últimas décadas deja ver procedimientos financieros basados en Matemáticas más ela

boradas. Así, de las simples progresiones aritméticas,las Finanzas actuales han pasado al Cálculo Estocástico,a los métodos de la Programación Dinámica y a lasEcuaciones en Derivadas Parciales. Sin duda, es uno de

los ejemplos más brillantes de la eficacia de la interdis-ciplinaridad. Las Matemáticas suministran un lenguajeadecuado para representar teorías financieras y herramientas eficaces para probar su validez. Pero es precisonotar que como tal instrumento, las Matemáticas Financieras no entran en consideraciones económicas estruc

turales sobre las causas que motivan el precio de un activo financiero. Su metodología es más abstracta que la dela Economía Financiera.

Hay dos aspectos fundamentales de las finanzasactuales que marcan la necesidad de matemáticas demayor complejidad: En primer lugar, una parte del interés de la Economía Financiera está en los instrumentos

financieros que tienen precios regulados por mercados yque consecuentemente están sometidos a incertidumbre.La cuantificación del riesgo obliga a introducir modelosde probabilidad. En segundo lugar, si bien los fenómenos financieros tienen en general una estructura discreta, los modelos matemáticos que hoy se utilizan enFinanzas, tienen frecuentemente estructura continua.

Por ejemplo, en una bolsa de valores no se realizan transacciones de modo continuo. No obstante, los sistemas

informáticos de contratación realizan un flujo de operaciones con intervalos de tiempo muy reducidos. Lasfinanzas modernas han introducido modelos basados en

tiempo continuo que han permitido usar la tecnología delas ecuaciones diferenciales estocásticas (véase [3]). Deeste modo se han podido construir y analizar modeloscontinuos del comportamiento de los precios de un activo financiero y de sus activos derivados asociados.

D. Jou. Las escrituras del universo. El Ciervo. Barcelona (2003).