Límite de una funciónEl límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones.1 Enparticular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funcionesreales.

Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntossuficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valoresde f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.

Índice

1 Historia2 Definición formal

2.1 Funciones de variable real2.2 Límite secuencial2.3 Funciones de dos variables reales2.4 Funciones en espacios métricos

3 Unicidad del límite4 Límites laterales5 Límites infinitos

5.1 Variable que tiende a infinito5.2 Función que tiende a infinito5.3 Ambos casos

6 Cálculo de límites6.1 Propiedades generales6.2 Indeterminaciones6.3 Regla de l'Hôpital6.4 Límites trigonométricos

7 Véase también8 Referencias9 Enlaces externos

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de unafunción se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.2 Sin embargo, sutrabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parecehaber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.3 La primera presentación rigurosa dela técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18604 y desde entonces se ha convertido en elmétodo estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Courseof Pure Mathematics en 1908.3

Definición formal

Funciones de variable r eal

Si la función tiene límite en podemos decir de manerainformal que la función tiende hacia el límite cerca de si sepuede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendoque esté suficientemente cerca de siendo distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamentepoco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límiteque precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando xtiende a c es L si y sólo si para todo ,existe un tal que para todo númeroreal x en el dominio de la función, si

entonces .

Esto, escrito en notación formal:

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de unafunción real en un punto de acumulación ( o punto límite) deldominio de la función y se debe al matemático francés LuisCauchy.5

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen lossímbolos matemáticos, sino la precisión con la que queda definidoel concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa,pues nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tancerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientementecerca, entonces la elección del no era adecuada.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que El cálculo de este límite surge por simple

sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Visualización de los parámetros utilizados enla definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemoselegir un δ para cada uno de estos, de modoque f(x) y L se acerquen a medida que x seacerca a c.

(*)

Demostración

Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier dado podemos hallar un para el cual se cumple

Tomando es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor paracualquier dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis .

Veamos que , luego por hipótesis yqueda demostrado ( *).

Nótese que bien podríamos haber elegido o , por ejemplo. En tanto ,

siempre podremos demostrar ( *).

Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:

donde no hay ningún número a en el dominio para el cual existe el Para demostrar la anterior

afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales comoirracionales.

Límite secuencial

Consiste en definir al límite de una función en términos de los valores que toma para sucesiones contenidas ensu dominio.

Una función real f tiene un límite L en un punto x = c de sudominio si para toda sucesión xn que converge a este punto c,la sucesión f(xn) converge a L.

En términos formales, si xn es una sucesión tal que

entonces f tiene límite L en x = c si y sólo si

lo cual se simboliza así:

Esta definición en términos de sucesiones es equivalente a la definición épsilon-delta de Cauchy.

Demostración

Dado que se quiere demostrar una equivalencia, es necesario demostrar dos implicaciones. Por unlado:

Por hipótesis

entonces si xn converge a c, existe un número natural N0 tal que

bastará elegir N0 en función de δ. La condición anterior implica que los puntos x = xn cumplen laprimera parte de la implicación

con lo cual si x = xn automáticamente se cumple por hipótesis que

Acabamos de demostrar que

que es precisamente la definición de límite secuencial.

Para la implicación recíproca, se procede por reducción al absurdo .

Suponiendo que no existe el límite

se tiene, negando su definición, que existe un ε tal que para todo δ existe al menos una sucesión xδpara la cual se cumple

En particular conviene tomar

Por lo tanto para estos δ existe al menos una sucesión tn = xδ que cumple

Esto muestra que, si bien tn converge a c, la función f no converge a L para estas sucesiones. Estocontradice la hipótesis, y la contradicción provino de suponer que por lo tanto el

límite de f(x) cuando x tiende a c debe ser L.

El límite secuencial proporciona una manera sencilla de probar la inexistencia de ciertos límites, como porejemplo el ya mencionado

para ellos basta tomar dos sucesiones diferentes que converjan al punto a:

1. una que contenga sólo números racionales y2. otra que sólo contenga irracionales

de esta manera, se obliga a la función a tomar dos valores diferentes sobre sucesiones que tienden a un mismopunto del dominio. Luego, el límite no existe.

Funciones de dos variables r eales

Dada una función

que a cada par (x,y) de números reales contenido en el conjunto D leasigna un número real z, es posible extender la definición de límite aeste tipo de funciones. Sea (a,b) un punto de acumulación del conjuntoD, puede definirse al límite L de f en este punto como sigue.

El límite de una función f(x,y) cuando x tiende a a e y tiende a bes L si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todopar de números reales (x,y) en D se cumple la implicación

A medida que se afina el intervalo queencierra a L puede tomarse un disco deradio δ más pequeño, dentro del cual esposible acercarse al punto (a,b), sinnecesariamente pasar por él.

Tomaremos como ejemplo la siguiente función

El punto (0,0) es un punto de acumulación del dominio de f, puesto que cualquier entorno con centro en estepunto encierra otros, distintos del primero, pertenecientes también al dominio de la función.

Para esta función se cumple

lo cual puede ser demostrado por definición.

Demostración

Tómese δ = 2ε en la definición. De esta manera, para todo ε existe un δ, pues el último está definidoa partir del primero.

Planteamos la definición, para todo ( x,y) perteneciente al dominio de la función f, esto es(x,y) ≠ (0,0), debe cumplirse la implicación

Buscaremos acotar la función utilizando la hipótesis. Para ello utilizaremos la propiedad de que todonúmero elevado al cuadrado es mayor o igual que cero, en particular

de donde se deduce

con lo cual

Ahora aplicamos la hipótesis para obtener

QED.

Si en vez de una función escalar se toma el campo vectorial

la definición de límite es análoga.

El límite del campo vectorial f(x,y) cuando x tiende a a e ytiende a b es el vector L si y sólo si para todo ε > 0 existe unδ > 0 tal que para todo par de números reales (x,y) en D secumple la siguiente implicación

Un importante teorema que relaciona las dos definiciones anteriores es el siguiente.

Dado un campo vectorial f y dos funciones escalares P y Q, relacionadas de lasiguiente manera

y sea L = (A,B) un vector en R2, bajo estas condiciones se cumple que

Demostración

El enunciado consiste de una doble implicación . Para demostrarlo, se requiere abordar individualmente lasimplicaciones que lo componen.

se asume que el límite del campo vectorial f es igual a L. Por definición, para cada número real positivo εarbitrario, existe un disco plano de radio δ, de manera tal que se cumple la implicación

para todo punto ( x, y) en el dominio de f. Pero

luego

esto prueba que, si el límite de f es L, entonces el límite de P es A. La prueba para Q es análoga.

suponemos ahora que el límite de P es A, y el límite de Q es B. En tal caso, dados ε1, ε2 reales positivos yarbitrarios, existen sendos discos planos de radios δ1, δ2 respectivamente, de manera tal que se cumplen lasimplicaciones

Sean

entonces de la hipótesis se desprende que

lo cual, a su vez, implica

Como ε1 y ε2 son arbitrarios, entonces ε también lo es, y además para cada uno de ellos existen δ1, δ2, lo cualgarantiza la existencia del mínimo δ. Luego, para todo ε, existe un δ, de manera tal que

lo cual coincide con la definición del límite de f en (a, b)∎

Este resultado puede generalizarse a funciones vectoriales de la forma

es decir, de n variables y m componentes.6

Funciones en espacios métricos

La definición de límite puede generalizarse a cualquier función definida entre dos espacios métricos. Supóngasedados dos conjuntos M y N, con sus respectivas métricas dM y dN. Sea la función f definida entre los dosespacios métricos formados por cada par conjunto-métrica,

y sean c un punto límite de M, y L∈N.

Se dice que «el límite de f en c es L» y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todax∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

De la desigualdad 0 < dM(x, c) < δ se obtiene lo siguiente:

1. x pertenece a una vecindad de c.2. x no es igual a c, pues 0 < 0 < dM implica que x es distinto de c.

Unicidad del límite

La definición de límite permite demostrar el siguiente

Teorema

Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.7

Supóngase que y también que siendo L y L' distintos; se debe decomprobar que no puede ser que verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno Ede L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algúnentorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

El teorema de unicidad provee de una valiosa herramienta para refutar la existencia de límites.

Límites laterales

Tomemos ahora una función de una variable

y un punto x del dominio D de esta función, aproximándose a c, perotomando sólo valores más grandes que él. Formalmente estaríamostomando los x que verifican , para ciertos . Si lafunción tiende a un valor , se dice que «existe el límite por derecha»y se denota así

Tomando valores más pequeños, es decir los x tales que , el límite puede ser escrito como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si los límites laterales no soniguales, entonces el límite no existe. El hecho de que el límite no sea el mismo en todo entorno del punto cimplica que no es único, por esta razón es que no existe.

Los límites laterales permiten definir la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.

Límites infinitos

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno deellos en las secciones siguientes.

Variable que tiende a infinito

Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta manera . Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud. Analíticamente

diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor absoluto, cualquiera sea el R tomado.

.

Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».

1. Si es , diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos así, .

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-.

Por lo tanto, el límite cuando x → x0 noexiste.

2. Si significa que x tiende a menos infinito.

Resulta de especial interés el comportamiento de ciertas funciones en elinfinito. Cuando estos límites existen, y son números reales, podemosconstruir la ecuación de las asíntotas horizontales u oblicuas de lafunción. Definiremos entonces el límite de una función, cuando lavariable independiente tiende a infinito, para cualquier signo.

El límite de una función f(x) cuando x tiende ainfinito es L si y sólo si para todo , tal que, para todo x en el dominio de f, se cumplela implicación .

Si sólo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiene. Por ejemplo, si queremos calcularel límite de , consideraremos la definición anterior con la salvedad de que .

Tomemos como ejemplo , definida . A medida que damos valores muy grandes a x en

valor absoluto, f decrece y se acerca a cero. Esto se puede demostrar con la definición dada.

Dado ε, puede establecerse R de modoque f(x) se «acerque» a L, a medida que xse aleja del origen ilimitadamente.

(**)

Demostración

Dado que R es arbitrario por definición, conviene tomarlo en función de de esta manera

De este modo, hay dos casos a considerar:

1. en cuyo caso, cualquier R sirve, pues f está acotada por 1. En particular se escogióarbitrariamente un R = 1.

2. se elige R en función de ε.

El primer caso queda automáticamente demostrado por la definición de función acotada, pues bastadeducir el caso particular .

Para el segundo caso, debemos demostrar la implicación ( **).

siempre que , pues de lo contrario se toma R = 1. Partimos de

.

Como f es una función estrictamente positiva vale que , por lo tanto quedademostrada ( **).

Como , la ecuación determina la asíntota horizontal de la función.

Función que tiende a infinito

Dada cierta función f, diremos que tiende a infinito cuando crezcaindefinidamente, a medida que nos acercamos a cierto punto c en eldominio. Esto equivale a afirmar que f no está acotada, para valores deldominio «suficientemente cercanos» a c. Esto se denota así

, o también, se escribe .

Si tomamos a la función f como una variable, por ejemplo, y, podemosutilizar la definición de variable que tiende a infinito, y combinarla conla definición de límite, de la siguiente manera.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c,es infinito si y sólo si para todo existe un

tal que, para todo punto x en el dominio def, se cumple .

Tomando R arbitrariamente grande,podemos establecer un δ de modo quecuando x se acerque a c, f(x) supere a Ren valor absoluto.

En símbolos,

.

Como ejemplo, tomemos la función racional , cuya gráfica en el plano es una hipérbola equilátera

centrada en el origen de coordenadas. Tomando x muy cercano a cero, la función f(x) toma valores muygrandes, por eso se dice que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a cero. Esto puede demostrarse con ladefinición.

Demostración

Tomemos , en este caso la demostración es inmediata ya que

.

Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado c del dominio, la recta que determina la ecuación, es decir, todo punto de la forma , se denomina asíntota vertical de la función. Para el

ejemplo dado, es la asíntota vertical.

El hecho de que no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite,

, con lo cual, . En definitiva, es decir, está expresión es indefinida.

Tomemos otro ejemplo, la función logaritmo natural.

Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para en los reales.

Demostración

Tomar , por lo tanto y queda demostrado el límite, ya quesiendo significa que dado cualquier R podemos tomar a la función máspequeña que este número.

Esta función tiene una asíntota vertical , igual que la anterior.

Ambos casos

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica de x tiende a infinito,cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

El límite de una función f(x) es infinito, cuando x tiende ainfinto, si y sólo si para todo existe un para el

cual se cumple , siempre que .

Tomemos como ejemplo a la función afín , que es uncaso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta,intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de x «muygrandes» o «muy pequeños» los valores de f(x), es decir, la «altura», sehace muy grande o pequeña con respecto a x.

Demostración

Demostremos que Escribamos la definición

Para esta demostración tomaremos

QED.

Cálculo de límites

Los conceptos definidos permiten introducir herramientas para el cálculo de límites. A partir de las definicionespueden demostrarse propiedades algebraicas, listadas en detalle a continuación.

Propiedades generales

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

A medida que tomamos M cada vez másgrande, podemos establecer R de modoque f supere a M en valor absolutocuando lo hace x, con respecto a R.

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal .

IndeterminacionesVéase también: Forma indeterminada

Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados mediantetransformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que se muestran en la tablasiguiente. Considerar como el límite que tiende a infinito y al límite de una función que tiende a 0 o 1,respectivamente.

Operación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia

Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cerosobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

Nótese que hubiera sido imposible «eliminar» las indeterminaciones en los ejemplos anteriores si no se hubierasupuesto , desigualdad que se deduce de la definición.

Regla de l'Hôpital

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límitesque son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, porlo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entoncesaplicar la regla de l'Hôpital.

Por ejemplo:

Límites trigonométricos

1.

2.

3.

4.

5.

6. 8

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, requieren el uso de lainecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente.

Demostración

Se toma y se divide por , obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se logra demostrar utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en ellímite anterior. Es decir:

Véase también

Límite matemáticoLímite superior y límite inferiorLímite de una red topológica, una generalización del concepto de límite.Teorema del emparedado.

Referencias1. Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral (3ª edición). Mir. p. 28. «El concepto de límite de la variable

desempeñará un papel fundamental, ya que con él están relacionados los conceptos fundamentales del análisismatemático: derivada, integral, etc.»

2. MacTutor History of Bolzano (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html)3. Jeff Miller's history of math website. (http://web.archive.org/19981205110714/members.aol.com/jeff570/calculus.html)4. MacTutor History of Weierstrass. (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html)5. V.F. Butúzov. Analisis matemático en preguntas y problemas. Editorial Mir, Moscú (1989)6. Franco, Manuel; Martínez, Fransisco; Molina, Roque (1995). Lecciones de cálculo infinitesimal II. EDITUM. pp. 9-10.

ISBN 9788476846063.7. Kolmogorov, Andrei (1978). «Espacios métricos y topológicos». Elementos de la teoría de funciones y del análisis

funcional (3 edición). Moscú: Mir.8. Berman y otros. Problemas de análisis matemático. Editorial Mir, Moscú.

Enlaces externosLímites y continuidad de funciones.Weisstein, Eric W. «Limit». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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