lİneer cebİr - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/...tanım...
TRANSCRIPT
LİNEER CEBİR
ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS PROGRAMI
DOÇ. DR. MÜCTEBA UYSAL
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ
ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS PROGRAMI
LİNEER CEBİR
DOÇ. DR. MÜCTEBA UYSAL
Yazar Notu
Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için
hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.
1
ÖNSÖZ
Lineer cebir son yıllarda matematikçilerin, mühendislerin, matematik öğretmenlerinin,
iktisatçıların… vb matematiksel altyapıları için lüzumlu bir parçası haline geldi. Dolayısıyla bu
kitabın amacı insanların belirgin alanlarını ne olursa olsun lineer cebir dersi için bir giriş sunmaktır.
Bu amaçla bu kitapta irdelenecek konular: Matrisler, Lineer denklem sistemleri, vektör uzayları,
lineer dönüşümler, iç çarpım uzayları, determinantlar, özdeğer ve öz vektörlerdir.
2
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ ...................................................................................................................................... 1
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................................... 2
KISALTMALAR……………………………………………………………………………....5
YAZAR NOTU………………………………………………………………………………...6
1. MATRİSLER………………………………………………………………………………..7
1.1Matrisin Tanımı ve Gösterilişi………………………………………………………….....13
1.2. Matrislerin Eşitliği ...................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.4
1.3. Özel Tipte Matrisler ................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.5
I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris .......................................................................................... 15
I.3.2. Kare Matris………………………………………………………………………..16
I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi………………………………………………………………16
I.3.4. Sıfır Matris………………………………………………………………………...17
I.3.5. Köşegen Matris……………………………………………………………………17
I.3.6. Skaler Matris……………………………………………………………………....18
I.3.7. Birim Matris………..……………………………………………………………..18
I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris……………………………………...19
I.3.9. Matris Fonksiyonları……………………………………………………………....19
I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi………………………………………………….19
I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali………………………………………………...20
2. MATRİSLERLE ARİTMETİK İŞLEMLER .................. Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
2.1.Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması………………………….........................32
2.2.Bir Matrisle vektörün çarpımı…………………………………………………………….34
2.3. Matrislerin Çarpımı………………………………………………………………………34
2.4. Matrisin Transpozesi……………………………………………………………………..40
2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı…………………………………………………………….41
2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler .......................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
3.BASAMAK MATRSİLER……………………………………………………………...….54
3.2. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri ......................................................................... 55
3.3. Blok Matrisler ................................................................................................................... 59
4.ELEMANTER MATRİSLER………………………………………………………………66
3
4.1. Elemanter (İlkel) Matrisler……………………………………………………………….72
4.2. Lineer Denklemlere Giriş .................................................................................................. 78
5. LİNEER DENKLEMLER ................................................................................................... 86
5.1. Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ................................................................................ 92
5.2. Gauss Eliminasyon Yöntemi ............................................................................................. 93
5.3. Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi ................................................................................... 94
6. HOMOJEN LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ VE VEKTÖR UZAYLARI ................ 105
6.1.Homojen Lineer Denklem Sistemleri...............................................................................111
6.2. Vektör Uzayları…………………………………………………………………………114
6.3. Alt Uzaylar ...................................................................................................................... 117
7.LİNEER BAĞIMSZILIK, BAZ VE BOYUT……………………………………………124
7.1. Lineer Bağımsızlık .......................................................................................................... 130
7.2. Baz ve Boyut ................................................................................................................... 135
8.KOORDİNATLAR VE BAZ DEĞİŞİMİ…………………………………………………145
8.1. Koordinatlar ve Baz Değişimi ......................................................................................... 151
8.2. Bir Matrisin Rankı ........................................................................................................... 156
8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi……………………………………………………...159
9. İÇ ÇARPIM UZAYLARI .................................................................................................. 167
9.1. İç Çarpım ......................................................................................................................... 173
9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ........................................................................................... 177
9.2. Vektörlerin Ortogonallığı ................................................................................................ 179
10.ORTONORMAL TABAN VE DETERMİNATA GİRİŞ……………………………….187
10.1. Ortonormal Taban ........................................................................................................ 193
10.2.. Determinantlar.............................................................................................................. 197
10.2.1. Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası ................................................ 197
10.2.2. Minörler ve Kofaktörler……………………………………………………….Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
11. DETERMİNANTLAR VE UYGULAMALARI……………………………………….207
11.1.. Determinantın Özellikleri. ............................................................................................ 213
11.2.. Elemanter Matrislerin Determinantları ........................................................................ 214
11.3. Bir Matrisin Tersi .......................................................................................................... 217
11.4. Cramer Kuralı ................................................................................................................ 220
4
12. ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKTÖRLER ........................................................................... 228
12.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı ............................................................................. 234
12.2. Köşegenleştirme ............................................................................................................ 238
13. ÖZDEĞER VE ÖZ VEKTÖRLERİN UYGULAMALARI……………………………249
13.1. Cayley-Hamilton Teoremi ............................................................................................. 255
13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı .............................. 259
14. LİNEER DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................... 269
14.1. Lineer Dönüşümün Tanımı ........................................................................................... 275
14.2. Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü ................................................................ 279
14.3. Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi ........................................................................... 281
KAYNAKÇA……………………………………………………………………………….292
5
KISALTMALAR
L: Lineer
ÇekL: L nin Çekirdeği
Adj: Ek matris
Det: Determinant
YAZAR NOTU Bu kitapta konular öncelikle tanımları ve gerekli teoremleri ile anlatılmıştır. Sonrasında her konu
ile ilişkili çözümlü örnekler verilmiştir. Bu çözümlü örnekleri öğrencilerin kendilerinin de
uğraşarak bulmaları önerilir. Ayrıca son olarak bölüm soruları kısmında öğrencilere cevaplı test
soruları bırakılmıştır. Bu soruların da çözülerek cevaplarının karşılaştırılması ve başarının düşük
olması halinde ilgili bölüme tekrar çalışması önerilir. Bazı küçük matematiksel ve imla yazım
hatalarının doğal karşılanmasını temenni ederim.
6
1. MATRİSLER
7
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
1.1. Matrisin Tanımı ve Gösterilişi ..................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
1.2. Matrislerin Eşitliği ........................................................ Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
1.3. Özel Tipte Matrisler ..................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris ..................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.
I.3.2. Kare Matris………………………………………………………………………...9
I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi………………………………………………………………9
I.3.4. Sıfır Matris………………………………………………………………………..10
I.3.5. Köşegen Matris……………………………………………………………………10
I.3.6. Skaler Matris……………………………………………………………………...11
I.3.7. Birim Matris………..…………………………………………………………….11
I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris…………………………………….11
I.3.9. Matris Fonksiyonları……………………………………………………………...11
I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi………………………………………………..12
I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali………………………………………………12
8
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
Matris nedir?
Matrisleri teknolojide nerelerde kullanırız?
Bir uçağın 3 boyutlu modellemesi ile matrislerin nasıl bir ilşkisi olabilir?
9
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Matrisin Tanımı ve Gösterilişi
Matrisin tanımı ve
gösterilişi kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Özel Tipte Matrisler Özel Tipte Matrisleri saptayabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Matris Fonksiyonları Matrisler ile Fonksiyonlar
arasındaki ilişkiyi kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
10
Anahtar Kavramlar
Matris
Birim Matrris
Köşegen matris
Üçgensel matris
11
Giriş
Bu bölümde Lineer Cebir dersi için taban teşkil eden Matrislerin tanımı verecek ve bazı özel tipte matrisleri tanıyarak matrislerle aritmetik işlemlere giriş yaparız.
12
I.1.Matrisin Tanımı ve Gösterilişi
Matrisler; Temel bilimler, Mühendislik ve Sosyal bilimlerin uygulamasında sıkça
kullanıldıklarından birçok bilim dalı içim önemli bir yer teşkil etmektedirler. Matris hesabı
19.yüzyılın ortalarından beri bilinmektedir. Günümüzde ise teknolojinin gelişmesiyle birlikte
matrislerin kullanım alanları da genişlemektedir.
Tanım I.1: K bir skalerler cismi olmak üzere sonlu sayıdaki elemanları: ija ler olsun.
Burada 1,2,...,i m ve 1,2,...,j n dir. Bu elemanların dikdörtgen bir tabloda sıralanmış
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
(I.1)
biçimine m n tipinde bir matris veya mertebesi m n olan bir matris denir. Buradaki
m satır sayısını, n ise sütun sayısını temsil etmektedir. Matrisler genellikle A,B,C,... gibi
büyük harflerle ve m n tipinde bir matris kısaca ij ijm n
a a
A veya ij m na
A hatta
bazı kaynaklarda ijaA ile gösterilmektedir. Buradaki ija elemanı matrisin .i satır ile .j
sütununun kesiştiği yerdedir. Bir matrisin ij m n
a
A gösteriminde indislerin sırası
önemlidir. ija elemanının sağ altına yazılan ilk indis i bu elemanın ait olduğu satırı, ikinci
indis j ise ait olduğu sütunu gösterir.
Tanım I.2:: Karşılıklı satır sayıları ve sütun sayıları eşit olan iki matrise aynı boyutlu veya
aynı tipte matrisler denir.
Örnek I.1
cismi üzerinden tanımlanan
13
3 2
1 2
3 0
2 / 3 4
x
A ve 3 2
2 5
0 0
2 5 4
x
B matrisleri aynı tiptendir.
Örnek 1.2.
1 3, 1 4i j için elemanları 1ija
i j
olan 3 4 boyutlu
ija A matrisi,
1 1 1 1
2 3 4 5
1 1 1 1
3 4 5 6
1 1 1 1
4 5 6 7
A
biçiminde gösterilir.
I.2. Matrislerin Eşitliği
Tanım I.3. :ija A ve
ijb B matrisleri verilsin. Eğer her 1,2,...,i m ve 1,2,...,j n
için ij ija b ise veA B matrislerine eşit matrisler denir ve bu matrisler A B şeklinde
gösterilir. Matematiksel olarak,
1,2,...,i m ve 1,2,...,j n için ij ija b A B
gösterilir.
Örnek I.3
2x y z w
x y z w
A ve 3 5
1 4
B
matrislerinin eşit olabilmesi için bilinmeyen harfleri bulun
14
3
2 3 5 1
1 4 2 5
4
x y
x y z w x y
x y z w z w
z w
olduğundan iki bilinmeyenli denklemleri çözme yöntemlerinden kolaylıkla
2, 1, 3 ve 1x y z w bulunur.
I.3. Özel Tipte Matrisler
Bazı matrisler tipine göre ya da elemanlarının taşıdıkları kısmi özelliklere göre özel
adlar alabilmektedirler. Bu bölümde, literatürde sıkça kullanılan matrisler tanımlanıp örnekler
sunulacaktır.
I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris
Tanım I.4 : Yalnız bir tane satır veya bir tane sütundan oluşan matrise sırasıyla satır matris(satır vektörü) veya sütun matris(sütun vektörü) denir.
Örnek I.4.
1 3 5 4 matrisi, 1 4 tipinde bir satır matris veya satır vektörü, 6
2
matrisi ise 2 1
tipinde bir sütun matris veya sütun vektörüdür.
Dolayısıyla vektör matrisin özel bir durumunu ifade eder. Örneğin üç tane vektör,
1 2 3
1 0 2
2 , 4 , 2
3 5 1
v v v
verilmiş olsun. Bunların oluşturduğu bir A matrisi,
1 2 3
1 0 2
, , 2 4 2
3 5 1
A v v v
15
formunda olur.
I.3.2. Kare Matris
Tanım I.4 : Satır sayısı sütun sayısına eşit olan bir matrise kare matris adı verilir. n satırlı,
n sütunlu bir kare matris genellikle n .mertebeden bir kare matris olarak anılır.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
n .mertebeden bir kare matrisin 1,2,...,i n için iia öğelerine matrisin köşegen
elemanları adı verilir.
Örnek I.5
1 3 5 2
3 5 0 1
6 4 2 5
4 2 4 3
A
kare matrisinin köşegen elemanları 1, -5, 2 ve -3 tür.
I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi
Tanım I.5 : A kare matrisinin köşegen elemanlarının toplamına, bu matrisinin izi denir ve
İz A veya tr A ile gösterilir. Matematiksel olarak,
1
trn
kk
k
a
A
olarak gösterilir.
16
Örnek 1.6
1 3 5 2
3 5 0 1
6 4 2 5
4 2 4 3
A matrisinin izi,
tr 1 5 2 3 5 A .
Teorem 1.1: matrisleri verilsin.ij ija ve b A B
tr tr tr , A B A B
tr . tr .A B B A
I.3.4. Sıfır Matris
Tanım I.6 : Bir ija A matrisinin bütün elemanları sıfır ise yani , için 0iji j a ise
A matrisine bir sıfır matris denir ve genellikle O ile gösterilir.
Örnek I.7
0 00 , 0 0 ,
0 0
matrisleri farklı mertebeden sıfır matrisleridir.
I.3.5. Köşegen Matris
Tanım I.7 : ija A , n n lik bir kare matris olsun. için 0iji j a ise A matrisine
köşegen matris denir ve genelde 11 22, ,..., nndiag a a aA biçiminde gösterilir.
11
22
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... nn
a
a
a
A
matrisi .n mertebeden bir köşegen matristir.
17
I.3.6. Skaler Matris
Tanım I.8. : Köşegen üzerindeki bütün elemanları aynı skalere eşit olan köşegen matrise
skaler matris denir.
Örnek I.8
0 0 0
0 0 0
0 0 4 0
0 0 0
x
y
z
A
matrisinin skaler matris olması için köşegen üzerindeki elemanlar: 4x y z olmalıdır.
I.3.7. Birim Matris
Tanım I.9 : Bir kare matrisin köşegeni üzerindeki tüm öğeleri 1 ve geriye kalan bütün
öğeleri 0 ise, bu matrise birim matris denir. n n lik bir birim matris nΙ ile gösterilir ve
bilim dünyasında sıklıkla,
(II.2)
Biçiminde ifade edilir.Burada ij , literatürde Kronecker delta fonksiyonu olarak adlandırılır.
Örnek I.9.
2 3
1 0 01 0
, 0 1 00 1
0 0 1
Ι Ι
1,,
0,n ij ijn n
i j
i j
Ι
18
I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris
Tanım I.10 : A bir kare matris olmak üzere için 0iji j a ise A matrisine, üst
üçgensel matris, için 0iji j a ise A matrisine, üst üçgensel matris denir.
Tanımdan anlaşılacağı gibi, alt üçgensel matrisin köşegeninin üstünde kalan öğeler ve üst
üçgensel matrisin köşegeninin altında kalan öğeler sıfırdır.
Örnek I.10
1 0 0
3 2 0
2 5 7
A alt üçgensel bir matris,
3 2 0 8
0 1 7 9
0 0 4 0
0 0 0 2
B üst üçgensel bir matristir.
I.3.9. Matris Fonksiyonları
Elemanları bir x değişkeninin fonksiyonu olan matrise matris fonksiyonu adı verilir. Örneğin
3×3 lük bir matris fonksiyonu şu şekilde gösterilir:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a x a x a x
x a x a x a x
a x a x a x
A
xA fonksiyonunun tüm elemanları her x değeri için sürekli ise matris fonksiyonu da
tüm x değerleri için süreklidir.
I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi
Bir xA matrisinin türevi xA ile gösterilir ve şu şekilde elde edilir:
( )( )
ij
ij
da xd xx a x
dx dx
AA
Yani matristeki her fonksiyonun türevi alınmalıdır.
19
Örnek 1.11
2
55
2 06
5 sincosxx
xxx x
e xe x
A A
Fonksiyonlar için daha önceden öğrendiğimiz türev kurallarının çoğu matris fonksiyonları
için de geçerlidir.
I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali
Bir xA matris fonksiyonunun integrali ijx dx a x dx A olarak gösterilir ve türevde
olduğu gibi her bir elemanın integrali alınarak bulunur:
Örnek 1.12
2 3/3
0 05
0 5
0 0
6 6
1 sincos 5
t t
t
tt t
x
x dx dx t t
x dx et
e dx xdx
A
20
Uygulamalar
Matris türlerini kavramak için değişik kaynaklardan alıştırmalar yapılmalı.
Güncel hayatta karşılaştığınız ve matrislerle ifade edeceğiniz uygulamalar neler olabilir?
21
2. MATRİSLERLE ARİTMETİK İŞLEMLER
22
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
2.1. Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması
2.2.Bir Matrisle vektörün çarpımı.
2.3.Matrislerin Çarpımı
2.4. Matrisin Transpozesi
2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı
2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler
23
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
Matrisleri verilsin.Buna göre:
a) Hangi matrisleri kendi arasında toplayabiliriz?
b) Hangi matrisleri birbiriyle çarpabiliriz?
c) Her matrisin 4 katını alabilir miyiz?
24
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması
Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılmasını kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek
Bir Matrisle vektörün çarpımı Bir Matrisle vektörün çarpımını kavrayabilmek
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek.
Matrislerin Çarpımı
Matrislerin çarpımını
kavramak
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek
Matrisin Transpozesi Bir Matrisin Transpozesi
alabilmek
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek
İki Vektörün Skaler Çarpımı İki Vektörün Skaler Çarpımını yapabilmek
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek
Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler Lineer Denklem Sistemi ve
Matrisler arasındaki ilişkiyi farjkedebilmek
Okuyarak, fikir
yürüterek, ve bol
bol örnek çözerek
25
Anahtar Kavramlar
Toplam matris
Çarpım matris
Transpoze
Katsayılar matrisi
26
Giriş
Bu bölümde matrislerde aritmetik işlemleri ve lineer denklem sistemlerinin matris
formunda ifade edilmesi teorik ve uygulamalı olarak incelenir.
27
2.1.Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması
Tanım 2.1. : ij m n
a
A ve ij m n
b
B iki matris olmak üzere bunların toplamı,
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
... ... ... ...
...
n n
n n
ij ij m n
n n n n nn nn
a b a b a a
a b a b a ba b
a b a b a b
A B
Şeklinde karşılıklı ija ve ijb elemanlarının birbirisiyle toplanmasıdır. Burada da görüldüğü gibi
iki matrisin toplanabilmesi için hem satır hem de sütun sayılarının karşılıklı olarak birbirine
eşit olması gerekir.
Tanım 2.2. : ij m n
a
A bir matris ve k K bir skaler olmak üzere , bir k skaleri ile
A matrisinin çarpımı
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
ij m n
n n nn
ka ka ka
ka ka kak ka
ka ka ka
A
matrisin her elemanını k ile çarpmakla elde edilen matris kA matrisidir.
Bu iki tanımdan da gözlenildiği gibi A B ile kA matrisleri m n mertebesindedirler.
Buna ek olarak A matrisinin negatifini,
1 A A
ve A matrisi ile B matrisinin farkını,
A B A B
biçiminde tanımlarız. Toplamada olduğu gibi fark işlemi de farklı mertebelerde tanımsızdır.
28
Örnek 2.1.
1 2 3 4 6 8ve
0 4 5 1 3 7
A B
olsun. Buna göre,
1 4 2 6 3 8 5 4 11
0 1 4 3 5 7 1 1 2
A B
4.1 4. 2 4.3 4 8 124
4.0 4.4 4.5 0 16 20
A
3 6 9 8 12 16 5 18 73 2
0 12 15 2 6 14 2 18 29
A B
elde edilir. Buradaki 3 2A B ileriki konularda da göreceğimiz üzere veA B nin lineer
kombinasyonu denir.
Matrislerde toplama ve bir matrisin skalerle çarpımının özellikleri aşağıdaki teoremlerle
verilmiştir.
Teorem 2.1. : Herhangi bir K cismi üzerinde tanımlanan bütün m n tipindeki matrislerin
kümesi m
nK olsun. Herhangi bir , ve m
nKA B C matrisleri ve 1 2vek k K skalerleri için,
1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( ) .
1 . .K
i v k k k
ii vi k k k k
iii vii k k k k
iv viii ve
A B = B A A B = A B
A B C A B C A A A
A 0 A A A
A A 0 A A 0 A 0
İspat 2.1.: Yukarda verilen matrislerde toplama ve bir skalerle çarpma işleminin tanımları
kullanılarak bu özelliklerin ispatı çok kolay yapılacaktır. Burada sadece v in ispatını
verelim. ij m n
a
A ve ij m n
b
B olsun.
29
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
ij ij ij ij ij ij
ij ij ij ij
k k a b k a b k a k b
k a k b k a k b
k k
A B =
A B
elde edilir.
2.2.Matrisle Vektörün Çarpımı İki matrisin genel matris çarpımını tanımlamadan önce matris vektör çarpımını
tanımlayalım. [ ],ijA a m n mertebesinde bir matris, ,jx x n mertebesinde bir sütun vektörü
ve ,iy y m mertebesinde bir sütun vektörü olsun.Matris vektör çarpımı sembolik olarak,
y Ax
biçiminde yazılır ve
1
, 1,22,...,n
i ij j
j
y a x i m
ile gösterilir. Örneğin,
11 3 0 5
24 2 1 5
3
2.3.Matrislerin Çarpımı
Tanım 2.3 : ij m n
a
A ve jk n p
b
B olsun. Yani A ’nın sütun sayısı B ’nin satır sayısına
eşit olmak üzere bu iki matrisin çarpımı .AB ile gösterilip bu çarpımın sonucu ik m pc
C
matrisiyle
1 1 2 2
1
. ...n
ij jk ik ij jk i k i k in nkm pm n n pj
a b c a b a b a b a b
formunda tanımlanır.
30
Örnek 2.2
1 2 5 6 1.5 2.7 1.6 2.8 19 22
3 4 7 8 3.5 4.7 3.6 4.8 43 50i
5 6 1 2 1.5 6.3 5.2 6.4 23 34 1 2 5 6
7 8 3 4 7.1 8.3 7.2 4.8 31 46 3 4 7 8ii
1 3 43 4
2 6 8iii
13 4 3.1 4.2 11
2iv
Not: Herhangi bir K cismi üzerinde sıfır matristen farklı olarak tanımlanan iki matrisin
çarpımı sıfır olabilir:
Örnek 2.3
K , 2 2 2 2
1 0 0 0
1 0 1 1X Xve
A O B O
Matrislerinin çarpımı,
2 2
1 0 0 0 0 0. .
1 0 1 1 0 0X
A B O
Örnek 2.4
2 1 3
1 1 2
1 2 1
A matrisi ve 3 22 9f x x x x fonksiyonu verilsin. Buna göre f A yı
bulunuz.
Özel olarak A kare matrisi için , 0
nA Ι alarak;
31
2 .A A A , 3 2.A A A ,…, 1.n nA A A
Kuvvetleri tanımlanabilir. Kare matrisin bu özelliğinden yararlanarak n. Dereceden bir
1 0... ,n
n if x a x a x a a K
yazmak suretiyle,
1 0...n
n nf a a a A A A
Matris polinomu tanımlanabilir. Buna göre,
olmak üzere 3 22 9 0f A A A A bulunur.
Tanım 2.4 : Bir A kare matrisinin karesi kendisine eşitse yani
2 A A
ise A ya İdempotent matris denir.
Örnek 2.5
21 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
A A A
olduğundan idempotent matristir.
Matris çarpımı ile ilgili aşağıdaki teorem verilir.
Teorem 2.2 :
, ve ij jk ik p qm n n pa b c
A B C matrisleri ve k K skaleri verilsin.
1. AB C A BC
2 3
8 7 11 34 23 49 18 9 27
3 6 3 , 15 3 24 , 9 9 9 18
5 1 8 19 20 25 9 18 9
A A A
32
2. k k k AB A B A B
3. A B C AB AC
4. B C A BA CA
5.
İspat 2.2: 1.şıkkı ispatlayarak kolay olduğu için diğerlerini öğrenciye bırakalım.
Dikkatli incelersek hem AB C , hem de A BC çarpım matrisleri m q mertebelidir.
Matrislerin çarpımı tanımından,
1 1 1
1 1
p p n
kl ij jk klikilk k j
p n
ij jk kl
k j
a b c
a b c
A B C A B C
yazılır. Benzer şekilde
1 1
1 1
il
pn
ij jk kl
j k
pn
ij jk kl
j k
a b c
a b c
A BC
Elde edilir. Her iki çarpım sonucunda bulunan iki toplama işlemi aynıdır. Sonuç olarak
1 , 1 içinilil
i m l q AB C A BC
olduğundan
AB C A BC
yazılır.
Tanım 2.5 : veA B , n n tipinde birer kare matris olsunlar.
n AB BA Ι
33
olacak şekilde bir B matrisi varsa A matrisine tersinir matris veya singüler olmayan matris
denir. B ’ye A nın tersi denir ve 1 B A ile gösterilir.
Örnek 2.6
2 2
2 5 3 5 1 0
1 3 1 3 0 1
Tanım 2.6 : Tersi olmayan matrise singüler matris denir.
Örnek 2.7
1 0
0 0
A ve 1 2
0 1
C matrislerin singüler olup olmadığını test edelim.
Varsayalım A nın tersi 11 12
21 22
b b
b b
B olsun. O zaman 2 AB BA Ι olacağından
11 12 11 12
21 22
1 0 1 0
0 0 0 0 0 1
b b b b
b b
AB
0 1 olduğundan A nın tersi yok dolayısıyla singülerdir. C nin tersi B olsun. Bu durumda
11 12 11 21 12 22
21 22 21 22
2 21 2 1 0
0 1 0 1
b b b b b b
b b b b
CB
iki matrisin eşitliğinden,
11 21 21 12 22 222 1, 0, 2 0, 1b b b b b b
Denklem sistemi çözülürse,
11 2
0 1
C B
34
Bulunur ki C nin tersi var olduğundan singüler değildir.
Sonuç: a b
c d
A , 2 2 tipinde bir kare matris olsun.Eğer 0ad bc ise A ’ nın tersi
vardır ve 1 1 d b
c aad bc
A formundadır.Örneğin, önceki problemdeki C matrisinin
tersi,
11 2 1 21
0 1 0 11.1 2.0
C
Teorem 2.3 : Bir kare matrisinin tersi varsa tektir.
İspat 2.3 : Varsayalım A , n n tipinde bir kare matris olsun ve A ’ nın 1 2veB B olmak
üzere iki tersi olsun. Buna göre birim matrisin tanımı ve çarpımın birleşme özelliği
kullanılırsa,
1 1 1 2 1 2 2 2
n
n n Ι
B B Ι B AB B A B Ι B B
Bulunur. O halde A ’ nın tersi tektir ve 1
1 2
A B B yazılır.
Teorem 2.4 : A ve B tersinirlerse AB de tersinirdir ve 1 1 1 AB B A yazılır.
İspat 2.4 :
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
.
.
AB B A A BB A AA
B A AB B A A B B B
olduğundan 1 1 1 AB B A yazılır. Daha da genelleştirirsek eğer 1 2, ,..., nA A A tersinir
matrislerse çarpımları da tersinirdir ve
1 1 1 1
1 2 2 1... ...n n
A A A A A A
35
2.4. Matrisin Transpozesi
Tanım 2.7: Bir ij m n
a
A matrisinin satırları ve sütunlarının kendi aralarında yer
değiştirmesiyle elde edilen matrise A matrisinin transpozesi denir ve veyaT A A ile
gösterilir. Buna göre
T
ij jim n n ma a
A A
olarak yazılır.
Örnek 2.8. 1 2 3
0 4 5
A matrisinin transpozesi,
1 0
2 4
3 5
T
A dir.
Matrisler üzerindeki transpoze işleminin özellikleri aşağıdaki teoremle verilir.
Teorem 2.5 : A ve B matrisleri ve k K skaleri için
(i) T T T A B A B
(ii) TT A A
(iii) T Tk kA A
(iv) T T TAB B A
İspat 2.5 :
İlk 3 şıkkın ispatı oldukça kolay olup öğrenciye bırakılmıştır. Biz, .iv şıkkı ispatlayalım.
, ve ij jk ik p qm n n pa b c
A B C
matrisler olmak üzere matrislerin çarpımı
tanımından, 1 1 2 2
1
...n
ik ij jk i k i k in nkm pj
c a b a b a b a b
AB
36
1
nTT
ik ki kj ji
j
c c a b
AB
elde edileceğinden
1 1 1
n n nT T T T T
kj ji jk ij ij jk
j j j
T T
a b a b b a
AB
B A
ispat tamamlanır.
Tanım 2.8 : Bir matrisin transpozesi kendisine eşitse T A A simetrik, T A A
negatiflisine eşitse ters simetriktir.
Örnek 2.9
0 3 3
3 1 1
3 1 2
matrisi simetrik, 0 4
4 0
matrisi ise ters simetriktir.
Teorem 2.6 : A ve B simetrik matrisler olsun.
1. A+B matrisi simetrik bir matristir.
2. AB matrisinin simetrik olması için gerek ve yeter koşul AB=BA olmasıdır.
İspat 2.6 : 1. A ve B simetrik matrisler ise
veTT T T T
A A B B A B A B
A B
olduğundan A+B matrisi simetrik bir matristir.2. şık, öğrenciye bırakılmıştır.
2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı
Çarpım sonucunun skaler olduğu iki vektörün skaler çarpımı, .u v olarak gösterilir ve buna
bazen iç çarpım da denir. Skaler çarpım şu şekilde elde edilir:
1 2 1 2 1 1 2 2. ... ... ...T
n n n nu v u u u v v v u v u v u v
37
2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler
Tanım 2.9: n bilinmeyenli m tane lineer denklem sistemi, Aşağıdaki matris denklemine
denktir.
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... . .
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
X BA
Yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü
ve B sabitler vektörünü temsil eder. Lineer denklem sisteminin matris denklemi formunda bir
diğer yazılışı:
11 12 1 11
21 22 2 21
1 2
1 2 1
.... . . .
n
n
n
n n nn n
a a a b
a a a bx x x
a a a b
Örnek 2.10
3 2 5 9
3 4 3
x y z
x y z
Sistemi,
3 2 5 9
1 3 4 3
x
y
z
Matris denklemine ve
3 2 5 9
1 3 4 3x y z
Denklemine denktir.
38
Uygulamalar
Güncel hayattaki bazı problemleri matrislerin aritmetik işlemlerini kullanarak çözebilir miyiz? İlgili uygulamaları kaynak kitaplardan ve internetten araştırınız.
39
Uygulama Soruları
Bir çiftçinin 1.depoda 10 tane küçük,20 tane orta ve 30 tane büyük ebatlı; 2. Depoda 20 tane küçük,30 tane orta ve 40 tane büyük ve 3. Depoda 80 tane küçük,160 tane orta ve 100 tane
büyük ebatlı yumurtaları vardır. Bu çiftçinin her bir tipten yumurta sayısını bulmasını sağlayan matrissel işlemi yapınız.
40
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde matrislerle aritmetik işlemler ve bir matrisin transpozesi ve ilgili özellikleri ve lineer denklem sistemleri ile matrisler arasındaki ilişki teorik ve uygulamalı olarak gösterildi.
41
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
1
1, 1 2 1 1
2
0
A B
olmak üzer A.B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A. 1 B. 0 C.
1 2 1 1
1 2 1 1
2 4 2 2
0 0 0 0
D.
1 2 1 1
1 2 1 1
2 4 2 2
1 2 1 1
E.
1 1 2 0
2 2 4 0
1 1 2 0
1 1 2 0
2. Aşağıdaki matrislerden hangisi transpozesine eşittir?
A.
1 0 0
2 1 1
0 2 1
B.
5 0 1
0 5 2
1 2 5
C.
1 2 3
2 1 3
3 3 1
D
5 4 6
4 0 1
6 1 2
E. Hiçbiri
3. A, 5x7 tipinde bir matris olmak üzere, AB - 2 5I işleminin yapılabilmesi için,
B hangi tipte bir matris olmalıdır?
A. 5x5 B. 7x7 C. 7x5
D. 5x7 E. Hiçbiri
42
4. .2 2
3 1A
ve 2 8f x x x ise aşağıdakilerden hangisi f A yı verir?
A . 4 8
12 16
B. 0 0
0 0
C. 1 0
0 1
D. 1 0
1 1
E. 0 0
1 0
5.
1
Y= 3
4
matrisi için TY Y aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A . 24 B. 25 C. 26 D. Çarpma işlemi yapılamaz E. 1
Cevaplar
1. C 2. D 3. C 4. B 5. C
43
3.BASAMAK MATRSİLER
44
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
3.1. Basamak Matris (Bir Matrisin Eşelon Formu)
3.2.. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri
3.3 .Blok Matrisler
45
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1. Aşağıdaki matrislerde pivot elemanları işaretleyin
2. Bu matrislerden hangisi/hangileri basamak matrsitir?
3. Bu matrislerden hangisi/hangileri satırca indirgenmiş basamak matrsitir?
46
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Basamak Matris (Bir
Matrisin Eşelon Formu)
I.6. Basamak Matrisi (Bir
Matrisin Eşelon Formu)
kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek,
ve bol bol örnek çözerek
Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri
Bir Matrisle ilgili Elemanter
(İlkel) Satır ve Sütun İşlemlerini yapabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek.
Blok Matrisler Blok Matrisleri kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek
47
Anahtar Kavramlar
Pivot eleman
Basamak matris
Satır ve sütun işlemleri
Kanonik form
Eşelon form
Blok matris
48
Giriş
Bu bölümde elemanter satır veya sütun işlemleri ile oluşturacağımız bir matrisin eşelon
formu veya kanonik formu dediğimiz basamak matris konusuna yoğunlaşırız. Ayrıca matris
hesaplamalarında çok önemli yer teşkil eden blok matrislerinden bahsederiz.
49
3. 1. Basamak Matris (Bir Matrisin Eşelon Formu)
Bir matrisin basamak biçimi 2. Bölümde de göreceğimiz üzere lineer denklem
sistemlerinin çözümünde önemli bir yer tutar.
Tanım 3.1 , m nA tipinde bir matris olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir matrise A nın
satır basamak matrisi veya A nın satır eşelon formu denir.
1. 1 k m olacak şekilde öyle bir k tamsayısı vardır ki ilk k tane satır sıfırdan farklı
ve geri kalan son 1, 2,..., .k k m satırların hepsi sıfırdır.
2. Her bir , 1i i k için .i satırın ilk sıfırdan farklı bileşeni 1 2 ... kc c c olmak
üzere .ic sütun üzerindedir.
3. .ic sütunun 1, 2,...,i i m satırlarındaki bütün bileşenleri sıfırdır.
Kısaca özetlersek bir A matrisinin her bir satırında, sıfırdan farklı bir öğe, içinde bulunduğu
satırdan önce gelen satırdaki sıfırdan farklı olan ilk elemanın daha sağında yer alıyorsa A
matrisine satır basamak matris denir.
Satır basamak matrislerde her satırın sıfırdan farklı ilk elemanına pivot veya ayrık eleman
denir.
Örnek 3.1
1 5 0 2 1 0 0 01 2 3
0 2 0 3 0 1 0 00 0 1 , ,
0 0 0 0 0 0 1 00 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
A
B C
Bu örnekte matrisler basamak matrislerdir. Pivot elemanlar 1, 2 ve 1 dir.
Örnek 3.2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 , 0 1 1 , 0 4 0
0 0 1 0 1 0 2 0 1
D E F
50
D, E, F matrisleri basmak matris değildirler.
Tanım 3.2 , m nA tipinde bir matris olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir matrise A nın
satırca indirgenmiş basamak matrisi(satır kanonik form) veya nın satırca indirgenmiş eşelon formu denir.
(i) Her bir pivot eleman 1 eşittir
(ii)Her bir pivot eleman bulunduğu sütunda sıfır olmayan tek elemandır.
Örnek 3.3
1 2 0 0 1
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
A
A matrisi hem basamak hem de satırca indirgenmiş basamak matristir fakat
1 2 3
0 0 1
0 0 0
B
B matrisi basamak matris olmasına rağmen satırca indirgenmiş basamak matris değildir.
Çünkü 2. kuralı sağlamamaktadır. Yani 1 olan pivot elemanı normalde bulunduğu sütunda
sıfırdan farklı tek eleman olması gerekirken sıfırdan farklı başka bir eleman olan 3
bulunmaktadır.
3.2. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri
Her matrisin satırca veya sütunca indirgenmiş basamak formu birtakım elementer satır veya
sütun işlemleri ile bulunabilir.
Tanım 3.3 Bir ij m n
a
A matrisi verilsin. Aşağıda tanımlanan işlemlere bu matris
üzerinde yapılan elementer işlemler denir.
51
i. A matrisinin herhangi iki satır veya sütununu kendi aralarında yer değiştirmek. Buna
1.tipten elementer işlem denir . .i satır ile .j satır yer değiştirmesini : 1 : i jE R R ile
gösterebiliriz.
ii. A matrisinin herhangi bir satır veya sütununu sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. Buna
2.tipten elementer işlem denir. .i satırın sıfırdan farklı bir k skaleri ile çarpılması:
2 : i iE R kR ile gösterilir.
iii. A matrisinin herhangi bir satır veya sütununu sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp, diğer bir
satır veya sütununa eklemek. Bu işleme de 3.tipten elementer işlem denir. .i satırı, .j satırın
k skaleri ile çarpılarak .i satıra eklenmesi suretiyle yer değiştirmesini : 3 : i i jE R R kR
ile gösterilir. Örneklere geçmeden önce bir ilgili bir tanım verelim:
Tanım 3.4 veij ijm n m na b
A B matrisleri verilsin. Eğer A matrisine sonlu sayıda
elementer satır veya sütun işlemleri uygulanarak B matrisi elde ediliyorsa, A matrisi
B matrisine satırca veya sütunca denktir denir ve A B ile gösterilir. Herhangi bir A
matrisine ilkel satır işlemleri uygulanarak, A matrisine denk olan basamak matris elde
edilebilir. Bu şekilde elde edilen matrise A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüş
matrisi denir.
Örnek 3.4
1 2 4 3
2 1 3 2
1 1 2 3
A
matrisine 1 3 2 23R R ve R R işlemleri uygulanırsa
1 1 2 3
6 3 9 6
1 2 4 3
B
satırca dengi elde edilir.
52
Örnek 3.5
1 2 3 1
2 1 2 2
3 1 2 3
A matrisini basamak formuna ve satır indirgenmiş basamak formuna
indirgeyiniz.
2 1 2
3 1 3 3 2 3
2
3 7 3
1 2 3 1 1 2 3 1
2 1 2 2 0 3 4 4
3 1 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 1 2 3 1
0 3 4 4 0 3 4 4
0 7 7 6 0 0 7 10
R R R
R R R R R R
A
Basamak formuna indirgenir. Satır indirgenmiş basamak formuna getirmedeki amaç; pivot
elemanların 1 ve bu elemanların bulunduğu sütundaki diğer elemanları ise 0 yapmaktır. Buna
göre en son kaldığımız basamak matristen hareketle,
3 32 2
2 3 21 1 2
1/71/3
4/32
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
0 3 4 4 0 1 4 / 3 4 / 3 0 1 4 / 3 4 / 3
0 0 7 10 0 0 7 10 0 0 1 10 / 7
1 0 1/ 3 5 / 3 1 0 1/ 3 5 / 3
0 1 4 / 3 4 / 3 0 1 0 4 / 7
0 0 1 10 / 7 0 0 1 10 / 7
R RR R
R R RR R R
1 3 11/3 1 0 0 15 / 7
0 1 0 4 / 7
0 0 1 10 / 7
R R R
olarak elde edilir.
Örnek 3.6
0 2 3 4 1
0 0 2 3 4
2 2 5 2 4
2 0 6 9 7
B matrisinin satırca kanonik formunu bulunuz.
53
4 4 3 1 1 4
3 4 32 1 2
0 2 3 4 1 0 2 3 4 1 0 0 2 3 4
0 0 2 3 4 0 0 2 3 4 0 0 2 3 4
2 2 5 2 4 2 2 5 2 4 2 2 5 2 4
2 0 6 9 7 0 2 1 7 3 0 2 1 7 3
0 0 2 3 4 0 0 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 5 2 4 2 0 6 9 7
0 2 1 7 3 0 2
R R R R R R
R R RR R R
B
3 1 3
1 1 3 3 4 44 1 4
2 4 1 3
3
1/2 , 1/2 , 1/21/2
,
0 0 2 3 4
0 0 0 0 0
2 0 0 18 19
1 7 3 0 2 1 7 3
0 0 2 3 4 0 0 1 3 / 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 18 19 1 0 0 9 19 / 2
0 2 0 17 / 2 5 0 1 0 17 / 4 5 / 2
1 0 0 9 19 /
R R R
R R R R R RR R R
R R R R
2 2
2 1 0 0 9 19 / 2
0 1 0 17 / 4 5 / 2 0 1 0 17 / 4 5 / 2
0 0 1 3 / 2 2 0 0 1 3 / 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R R
Böylece bulunan matris A nın satırca indirgenmiş basamak matrisi ve satırca denk matrisidir.
Tanım 3.5 Bir A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüşü olan formunun, sıfırdan farklı
satırları sayısına A matrisinin rankı denir ve r A ile gösterilir. Diğer bir manada ileriki
konularda da göreceğimiz gibi A matrisinin lineer bağımsız vektörlerinin sayısına o matrisin
rankı denir.
Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir.
Örnek 3.7
1 0 0 9 19 / 2
0 1 0 17 / 4 5 / 2
0 0 1 3 / 2 2
0 0 0 0 0
A
matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 3 olduğundan 3r A tür.
54
3.3. Blok Matrisler
Tanım 3.6 Bir A matrisin yatay ve düşey çizgiler kullanılarak alt matris denilen daha küçük
mertebeli matrislere bölünmesine A matrisinin bloklara ayrılması denir.
Örnek 3.8
11 12 13
21 22 23
4 2 1 0 54 2 1 0 5
1 3 6 4 71 3 6 4 7
2 1 3 1 2 2 1 3 1 1
A A AA
A A A
yazabiliriz. Burada,
11 12 13
21 22 23
4 2 1 0 5, ,
1 3 6 4 7
2 1 , 3 1 , 1
A A A
A A A
A ve B blok iki matris olsun. Matris çarpım kurallarına bağlı kalrak A ve B marrislerin
çarpımından söz edilebilir.
Örnek 3.9
.
11 12
21 22
11 12
21 22
1 0 1 0
0 2 3 1
2 0 4 0
0 1 0 3
2 0 0 1 1 1
0 1 1 1 2 2
1 3 0 0 1 0
3 1 2 1 0 1
A
B BB
B B
A A
A A
Blok matrisleri için
11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 11 12
21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22 21 22
B B B B B B C CAB C
B B B B B B C C
A A A A A A
A A A A A A
55
Olur. Burada 11 11 12 21 11B B C A A için işlem yapılırsa,
11
1 0 2 0 0 1 0 1 3 0
0 2 0 1 1 3 1 3 1 2
2 0 0 1 3 0
0 2 2 0 10 2
3 3 0
0 12 0
C
Aynı şekilde C matrisinin diğer elemanları da bulunursa çarpım matris,
3 3 0 1 2 1
0 12 0 3 7 5
0 12 0 2 2 2
9 2 7 2 2 1
AB
elde edilir.
56
Uygulamalar
Bir matrisi niçin basamak matris haline getiririz?
Basamak matrislerin fen bilimlerdeki uygulamaları nelerdir?
İlgili kaynaklardan ve internetten araştırınız.
57
Uygulama Soruları
Aşağıdaki matrisleri basamak ve satırca indirgenmiş basamak formuna getiriniz.
58
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde bir matrisin elemanter satır veya sütun basamak işlemleri ile kanonik
formuna indirilmesine yoğunlaşıldı. Buradan hareketle blok matrislerinden bahsedildi.
59
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
1 2 1 2 1
2 4 1 2 3
3 6 2 6 5
A
matrisinin basamak formu aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1 2 1 2 1
0 0 3 6 1
0 0 0 6 1
B.
1 2 1 2 1
0 0 3 6 1
0 0 1 6 1
C.
1 2 1 2 1
0 0 3 6 1
0 0 0 6 1
C.
1 2 1 2 1
0 0 2 6 1
0 0 0 6 1
D.
1 2 1 2 1
0 0 3 6 1
0 0 0 5 1
E) Hiçbiri
2.
1 2 1 2 1
2 4 1 2 3
3 6 2 6 5
A
matrisinin satır kanonik formu aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1 2 0 0 1
0 0 1 6 1
0 0 0 1/ 6 1
B.
1 2 0 0 4 / 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1/ 6
C.
1 2 0 0 4 / 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1/ 6
C.
1 2 0 0 2 / 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1/ 6
D.
1 2 0 0 4 / 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1/ 6
E) Hiçbiri
3.
i. Her kare matrisin bir üst üçgensel matristir
ii. Her üst üçgensel matris bir kare matristir.
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) i ve ii B)Yalnız ii C) Yalnız i D) Hiçbiri
60
4.
1 1 2 2 1
2 2 1 1 1
3 3 3 3 2
1 1 1 1 0
A
matrisinin satırca indirgenmiş basamak formu aşağıdakilerden
hangisidir?
A.
1 1 2 2 1
0 0 3 3 1
3 3 3 3 2
1 1 1 1 0
B.
1 1 2 2 1
0 0 3 3 1
0 0 0 3 2
0 0 0 0 0
C.
1 1 2 2 1
0 0 3 3 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
D.
1 1 0 0 1/ 3
0 0 1 1 1/ 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
E)
1 1 2 2 1
0 2 1 1 1
0 0 3 3 2
0 0 0 1 0
5. Dördüncü sorudaki matrisin rankı aşağıdakilerden hangisidir?
A.1 B.2 C.3 D.4 E.5
Cevaplar
1-A, 2-B, 3-B 4-D 5-B
61
4.ELEMANTER MATRİSLER
62
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
4.1. Elemanter (İlkel) Matrisler
4.2. Lineer Denklemlere Giriş
63
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
Aşağıdaki işlemleri matematiksel olarak yazabilir misiniz?
64
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Elemanter Matrisler
Elemanter Matrisleri
kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek
Lineer Denklemlere Giriş Lineer denklemelerin
matrislerle ifade edilmesini
yapabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek.
65
Anahtar Kavramlar
Elemanter matris
Denk matrisler
Bir matrisin tersi
Genişletilmiş matris
66
Giriş
Bu bölümde, bir matrisin eşelon formunun uygulaması olan elemanter matris kavramı
incelenir. Bu elemanter matrisler yardımıyla bir matrisin tersinin nasıl elde edilebileceği
araştırılır. Son olarak lineer denklem sistemlerinin matris formda yazılarak katsayılar ve
genişletilmiş katsayılar matrisine odaklanılır.
67
4.1 Elemanter (İlkel) Matrisler
Bu bölümde elemanter matrisler satır veya sütun işlemlerinin bir uygulaması olarak
tanıtılacak, herhangi bir matrisin elemanter matrislerin çarpımı olarak nasıl yazılabileceğini ve
satır veya sütun işlemleriyle karesel bir matrisin varsa tersinin bulunmasını inceleyeceğiz.
Tanım 4.1 n
birim matrisinden elemanter satır işlemlerinin herhangi bir tipi uygulandığında
elde edilen matrise elemanter veya ilkel matris denir ve genellikle E ile gösterilir.
Örnek 4.1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
birim matrisi için
1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
E
1.tip elemanter matris 2 3R R
2
5 0 0
0 0 1
0 1 0
E
2.tip elemanter matris 1 15R R
3
1 0 4
0 1 0
0 0 1
E
3.tip elemanter matris 1 1 34R R R
Teorem 4. 1 A , m n mertebesinde bir matris ve B de A ya uygulanan elemanter satır
veya sütun işlemler sonucu elde edilen bir matris olsun. ( )m n veya birim matrislerine aynı
68
elemanter satır veya sütun işlemlerinin uygulanması sonucu elde edilen matrise E denilirse,
.B EA dır.
Örnek 4.2
2 1 0 3
1 2 5 3
2 3 1 4
A
matrisinde 1 1 32R R R elemanter satır işlemi tanımlansın. Buna
göre
6 5 2 11
1 2 5 3
2 3 1 4
A
B
elde edilir. Aynı elemanter satır işlemini birim matrise uygularsak,
3
1 0 2
0 1 0
0 0 1
E
bulunur. Buradan
1 0 2 2 1 0 3 6 5 2 11
0 1 0 1 2 5 3 1 2 5 3
0 0 1 2 3 1 4 2 3 1 4
EA B
Bulunur. Buna göre B EA bağıntısı sağlanır.
Teorem 4.2 A ve B m n mertebesinde bir matris iki matris olsun. A matrisinin B
matrisine satırca denk olması için gerek ve yeter koşul 1 2 1...k kE E E EB A eşitliğini
sağlayacak sonlu 1 1, ,...,k kE E E elemanter matrislerinin olmasıdır. Diğer bir deyişle B
matrisi, A matrisine sonlu elamenter satır işlemleri uygulanarak elde edilebiliyorsa satırca
denktir.
69
Örnek 4.3
1 3 3 1 3
1 2
1 3 3 1 3
1 2
0 1 3 2 2 1 4 3 2 1 4 3
2 1 4 3 0 1 3 2 0 1 3 2
2 3 2 1 2 3 2 1 0 2 6 4
1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 1
R R R R R
B B
R R R R R
E E
A
I
buradan 1 1 2 2 1 2 1, .B E B E B E E A A
Teorem 4.3. Her E elemanter matris tersinirdir ve tersi de aynı tipten bir elemanter matristir.
İspat 4.3 E bir elemanter matris ve elemanter işlem ise olsun. Yani E olsun.
Elemanter işlemin tersi de 1 , bir elemanter matrisin tersi ise 1E olarak alınsın. Yani
1 1E .
1 1 1
E
E E E
ve 1
1 1 1
E
E EE
Bu ise E elemanter matrisinin tersinir olduğunu ve tersinin ise 1 1E olduğunu
gösterir.
Örnek 4.4
2 2 1
1 0 0
0 1 0 ve : 2
0 0 1
I R R R
elemanter satır işlemi verilsin. Buna göre,
1 0 0
2 1 0
0 0 1
olur. Yukarda verilen operasyonun tersi:
1
2 2 1: 2R R R
olarak elde edilir. Bu operasyon birim matrise uygulanırsa,
70
1
1 0 0
2 1 0
0 0 1
Bulunur. Buradan,
1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
2 1 0 2 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
I
elde edilir. Benzer şekilde 1 bulunur.
A matrisinin tersinir olduğunu 1 2, ,..., n elemanter işlem dizisi ile birim matrisine satır
indirgenebildiğini kabul edelim. Elemanter satır işlemi olan bu dizinin ya uygulandığında
A matrisinin tersini 1A i verdiğini gösterelim,
iE , i işlemine karşılık gelen elemanter matris olsun. Kabullerimizden ve Teorem I.10.2 den
1 2 1...n nE E E E A Ι
olur. Buradan
1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1... ... ...n n n n n nE E E E E E E E E E E E
ΙA Ι AA ΙA A Ι
Elde edilir. Yani 1, , A A elde edebiliriz.
Örnek 4.5
1 0 2
2 1 3
4 1 8
A matrisinin tersini satır işlemleri ile bulalım.
,A blok matrisini oluşturup satırca indirgenmiş formuna getirelim:
71
2 1 2
3 1 3 2 2
3 2 3 2 3 2
241 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0
, 2 1 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0
4 1 8 0 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1
1 0 2 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 2 1 0 0 1 0
0 0 1 6 1 1 0 0 1
R R RR R R R R
R R R R R R
A
3 3
1
1 2 2
4 0 1
6 1 1
1 0 0 11 2 2
0 1 0 4 0 1 ,
0 0 1 6 1 1
R R
A
Böylece A matrisinin tersi
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A
Elde edilir. Eğer son blok matris , B formunda olmadığı durumda verilen matris ya satır
eşdeğer değildir ve tersinir olamaz.
Örnek 4.6
6 3 4
4 1 6
1 2 5
A
matrisinin tersini satır işlemleri ile bulalım.
6 3 4 1 0 0 1 2 5 0 0 1 1 2 5 0 0 1
, 4 1 6 0 1 0 4 1 6 0 1 0 0 9 26 0 1 4
1 2 5 0 0 1 6 3 4 1 0 0 6 3 4 1 0 0
1 2 5 0 0 1 1 2 5 0 0 1
0 9 26 0 1 4 0 9 26 0 1 4
0 9 26 1 0 6 0 0 0 1 1 2
A
Bu matrise göre A matrisinin rankı 2r A dir. Diğer taraftan birim matrisin rankı
3 3r Ι olduğuna göre, A matrisinden hareketle yapılan elemanter satır işlemleri ile 3Ι
72
birim matrisi elde edilemez. Çünkü A matrisi ile 3Ι birim matrisinin rankları farklı olduğu
için denk matrisler değillerdir. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.
Tanım 4.2 Sıfır matrisinden farklı her mxnA matrisinin bir takım elemanter işlemler
yardımıyla elde edilen | 0
0 0
nI
, | 0nI , 0
nI
veya nI matrislerine,
mxnA ya eşdeğer
olan kanonik formu denir.
Örnek 4.7
1 0 2
2 1 3
4 1 8
A matrisinin kanonik formunu bulunuz.
2 1 2 2 1 2
3 2 3
3 2 3
4 2
2
2 2
9/2
2
1 2 0 1 2 0 1 0 0
4 6 9 0 2 9 0 2 9
0 2 9 0 2 9 0 2 9
1 0 0 1 0 0
/ 2 0 1 9 / 2 0 1 9 / 2
0 2 9 0 0 0
1 0 0| 0
0 1 00 0
0 0 0
R R R C C C
R R R
C C C
A
R R
I
73
4.2. Lineer Denklemlere Giriş
Lineer denklemler, lineer cebir dersinin en önemli konularından birisidir.Lineer
cebirde birçok problem bir lineer denklem sisteminin imcelenmesine ve dolayısıyla da bir
vektör kümesinin oluşturduğu alt uzayın gösterilmesine eşdeğer olduğundan bu bölümde
sunulan teknikler ileri bölümlerde daha karışık işlemlere de uygulanabilecektir.
Tanım 4.3 : 1 2, ,..., ,na a a b ve
1 2, ,..., nx x x bilinmeyenleri göstermek üzere;
1 1 2 2 ... n na x a x a x b (II.1)
şeklindeki bir denkleme n bilinmeyenli bir lineer denklem denir. Burada 1 2, ,..., ,na a a b
denklemin katsayıları, b ise denklemin sabitidir. Örneğin, 1 2vex x yerine vex y koordinat
eksenlerini aldığımızda 3 2 12x y ifadesi 0,6 ve 4,0 noktalarından geçen bir doğru
denklemini belirtir.
Tanım 4.4 Sonlu sayıda lineer denklemin meydana getirdiği m denklem ve
n bilinmeyenden oluşan
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(II.2)
Sisteme bir lineer denklem sistemi denir. Burada jx bilinmeyenlerinin katsayıları ija ve
lineer denklem sistemindeki sabitleri jb ler göstermektedir. 1 , 1j m i n Denklem
(II.2) sisteme m n sistemi de denir. Bu lineer denklem sisteminin çözümü , m denklemi
aynı anda sağlayan sıralı 1 2, ,..., nx x x sayılarının bulunması demektir. Eğer bir çözüm varsa
sisteme tutarlı, yoksa tutarsız denir.
74
Örnek 4.8
1 2 3
1 2 3
2 4
2 9
x x x
x x x
2 3 lük lineer denklem sisteminin çözümü için 5,1,3 ve 7, 2,0u v sıralı
çözümlerini test edelim. Bunun için her ikisini de ayrı ayrı denklem sisteminde yerine
yazalım:
5 2.1 3 4=4
5 2 2.3 9=9
Denklemlerin her birini sağladığından u bir çözümdür. v yi yerine yazarsak,
7 4 0 3 4
7 2 0 9 9
Birinci denklemi sağlamadığından v bir çözüm değildir. Denklem (II.2) deki sistemi matris-
vektör formunda yazmak istersek,
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... . .
...
n
n
m n mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
X BA
(II.3)
yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü
ve B sabitler vektörünü temsil eder. Diğer yandan,
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m n mn m
a a a b
a a a b
a a a b
Matrisine de (II.2) sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi denir. Bu matris bir lineer
denklem sisteminin çözümünde önemli rol oynar. Diğer yandan B sabitler vektörü sıfır
matrisi ise homojen lineer denklem sisteminin matris formunda gösterimi,
AX 0
75
olur.
Örnek 4.9
1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
2 5 4 7
3 5
2 5 1
x x x x
x x x
x x x
Lineer denklem sistemi verilsin. Bu denklem sisteminin matris formunda yazılışı:
1
2
3
4
1 2 5 4 7
3 0 1 1 5
2 5 0 1 1
x
x
x
x
BAX
Burada katsayılar matrisi,
1 2 5 4
3 0 1 1
2 5 0 1
A
ve genişletilmiş katsayılar matrisi,
1 2 5 4 7
3 0 1 1 5
2 5 0 1 1
olur.
76
Uygulamalar
Elemanter matrisleri nerede kullanırız?
Bir matrisin tersini almada elemanter matrisleri nasıl kullanırız?
Her matrisin tersini alabilir miyiz?
Sorularının cevaplarını ilgili kaynaklardan araştırınız.
77
Uygulama Soruları
1. Aşağıdaki M matrisinin tersi var mıdır? Niçin?
78
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde bir matrisin eşelon formunun uygulaması olarak elemanter matris konusunu irdelendi. Daha sonra elemanter matrisler yardımıyla bir matrisin tersinin nasıl elde edilebileceği araştırıldı. Son olarak lineer denklem sistemlerinin matrissel formda yazılarak katsayılar ve genişletilmiş katsayılar matrisine odaklanıldı.
79
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. Aşağıdaki matrislerden hangisi veya hangileri satır indirgenmiş basamak formundadır?
i.
1 0 0 0 3
0 0 1 0 4
0 0 0 1 2
ii.
0 1 0 0 5
0 0 1 0 4
0 0 0 1 3
iii.
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 2
iv.
0 1 0 0 2
0 0 0 0 1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
v.
1 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
A. Yalnız i B. i,iii,v C. i, v
D. ii,iv E. ii. iii, iv
2. Aşağıda matrislerle satır indirgenmiş basamak formlar dengi verilmiştir. Hangisi yanlış
verilmiştir?
A. 0 0 0 1 2 0
2 4 0 0 0 0
B 0 1 3 1 0 2
1 2 4 0 1 3
C.
1 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
D.
2 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1
3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A . T T TA B A B B 11
TTA A
C. T T TA B A B
D. , skalerT Tk A kA k E TTA A
4.
0 0 2
1 2 6
3 7 9
matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?
80
A .
12 7 2
9 3 1
2 0 0
B.
12 2 7
1/ 2 3 1
9 / 2 0 0
C.
1/ 2 3 1
12 7 2
9 / 2 0 0
D.
9 / 2 3 1
12 7 2
1/ 2 0 0
E.
12 7 2
9 / 2 3 1
1/ 2 0 0
5.
1 1 1 2
1 1 2 1
1 2 1 1
2 2 4 2
B
matrisinin rankı aşağıdakilerden hangisidir?
A . 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. Hiçbiri
Cevaplar
1. C 2. D 3. C 4. E 5. C
81
5. LİNEER DENKLEMLER
82
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
5.1. Lineer Denklem Sisteminin Çözümü
5.2. Gauss Eliminasyon Yöntemi 5.3. Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi
83
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
2 kg lık bir cisimle kütlesi bilinmeyen bir C cisminin terazilerdeki denge durmları aşağıda verilmiştir.Buna göre C cisminin kütlesi hakkında ne söylenebilir?
84
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Lineer Denklem Sisteminin
Çözümü
Lineer Denklem Sisteminin
Çözümünü kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek
Gauss Eliminasyon Yöntemi
Lineer Denklem Sisteminin
Gauss Eliminasyon Yöntemi ile çözümünü yapabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek.
Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi
Lineer Denklem Sisteminin
Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi ile çözümünü
yapabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek
85
Anahtar Kavramlar
Lineer denklemm sistemi
Gauss Eliminasyon Yöntemi
Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi
86
Giriş
Bu bölümde lineer denklemlerin çözüm kümesinin elemanter satır ve sütun işlemleri ile
nasıl elde edileceği araştırılır. Bu amaçla literatürde sıkça kullanılan Gauss eliminasyon
yöntemi ile Gauss-Jordan indirgeme yöntemi uygulamalarla incelenir.
87
5.1 Lineer Denklem Sisteminin Çözümü
Bu bölümde determinant kullanmadan bir lineer denklem sistemini Gauss eliminasyon ve
Gauss Jordan algoritmasıyla nasıl çözeceğimizi göstereceğiz. Ama öncelikle bazı tanımlar ve
teoremler verelim.
Tanım 5.1: Bir lineer denklem sistemi S ile gösterilmek üzere. Aynı çözüm kümesine sahip
1S ve 2S iki lineer denklem sistemine denktirler denir ve
1 2S S ile gösterilir.
Örnek 5.1
1 2 1 2
1 2 1 2
3 ( ) 2 9
7 3 13
i x x ii x x
x x x x
Sistemleri denktir. Çünkü her ikisinin çözüm kümesi 5,2Ç dir.
Diğer yandan işlemlerde kolaylık olması açısından bir sistemi meydana getiren denklemler
sırasıyla 1 2, ,..., ,mL L L olsun. Bu sistemde .r denklem
1 1 2 2: ... ( 1,2,.., )r r r rn n rL a x a x a x b r m
olarak ifade edilir.
Teorem 5.1 Basamak formunda verilen n bilinmeyenli r denklemli lineer denklem sisteminin
çözümünde iki durum vardır:
1. Bilinmeyen sayısı kadar denklem vardır. Yani r n . Bu durumda sistemin tek bir
çözümü vardır.
2. Bilinmeyen sayısından daha az denklem vardır. Yani r n dir. Bu durumda sistemde
n r serbest değişkenlere keyfi değerler verip sistemin çözümü elde edilir.
88
Örnek 5.2
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3
1 2
. 2 3 . 2 9
7 7
3 13
i x x x ii x x x
x x x x
x x
.i Denklem sisteminde bilinmeyen sayısı kadar denklem olduğunda çözüm tektir. Ama .ii
denklem sisteminde 3 bilinmeyen 2 denklem olduğunda 3-2=1 değişkene keyfi değerler
vererek çözümler elde edilir.
Tanım 5.2. : Denklemlerden oluşan bir lineer denklem sistemi üzerinde denk sistemler elde
etmek için yapılan aşağıdaki her bir işleme elemanter işlem denir.
1. İki denklemin yerini değiştirmek. .i Denklem ile .j Denklemin yer değişimini kısaca
i jL L olarak gösterebiliriz.
2. Denklemlerden herhangi birini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. .i Denklemi bir
0k skaleri ile çarpılmasıyla değiştirmek için
i iL kL
3. Denklemlerden herhangi birisinin bir katını diğer denkleme eklemek. .j denklemi
.i denklemin k katına ekleyerek değiştirmek için
j j iL L kL
5.2.Gauss Eliminasyon Yöntemi Lineer denklem sistemlerinin çözülmesinde kullanılan en temel yöntem Gauss
eliminasyon yöntemidir. Bu yöntemde sistem yukarda verilen elemanter işlemlerle aşağıda
tanımlanan üçgensel forma getirilir. Elde edilen bilinmeyenlerin değerleri sistemde yerine
konularak diğer bilinmeyenler bulunur.
Tanım 5.3 : Bir sistemin .k denkleminde ilk 1k değişkenin katsayıları sıfır ve .k değişken
olan kx nın katsayısı sıfırdan farklı ise sisteme üçgensel formdadır denir.
89
Örnek 5.3
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
2 3 5 2 9
5 3 1
7 3
2 8
x x x x
x x x
x x
x
Bu şekilde üçgensel bir sistemin yalnız tek çözümü vardır. En alttaki denklemden
4 4x bulunarak bir üst basamaktaki denklemde yerine yazılırsa3 1x bulunur. Bu değerler
ikinci denklemde yerine yazılırsa 2 2x bulunur. Son olarak
4 3 24, 1ve 2x x x
değerleri birinci denklemde yerine yazılırsa 1 9x bulunur. Böylece sistemin 9, 2,1,4
çözümü elde edilir.
Eğer verilen lineer denklem sistemi üçgensel formda değilse Tanım II.2.1 da verilen
operasyonlarla sistem üçgensel forma getirilir.
Örnek 5.4
2 2 3 3 1 3 3 2 32 , 31 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
3 2 2 5 13 10 43 13 10 43
5 3 16 13 8 37 2 6
L L L L L L L L Lx x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
Üçgensel hale gelir buradan sistemin çözüm kümesi 1, 3, 2 .
5.3.Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi Bu yöntem lineer denklem sistemlerine sonlu sayıda elemanter işlemin sırasıyla
uygulanması ve sonuçta verilen lineer denklem sistemiyle aynı genel çözüme sahip daha basit
yapılı bir lineer denklem sistemi bulunmasına dayanır. Bu işlemleri yapılırken bir lineer
denklem sistemin genişletilmiş katsayılar matrisinin satırca indirgenmiş üçgensel formu
kullanılır. Bu yöntemle bir lineer denklem sisteminin çözümünün bulunmasına Gauss –Jordan indirgeme yöntemi denir.
Gauss Eliminasyonu ile Gauss –Jordan indirgeme yöntemi arasındaki fark; Gauss
denklemi çözmek için genişletilmiş katsayılar matrisinin basamak formu kullanılırken, Gauss
90
–Jordan ise satır indirgenmiş basamak formuna ihtiyaç vardır. Örneklere geçmeden önce her
iki yöntem için geçerli olan şu notu belirtelim: Verilen bir lineer sistemin bir çözümünün
olabilmesi için yeterli ve gerekli koşul; genişletilmiş katsayılar matrisinin basamak formunun
herhangi bir satırının 0b olmak üzere 0,0,...,0,b formunda olmaması gerekir.
Örnek 5.5
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2 5 4
3 2 5
x x x
x x x
x x x
denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Genişletilmiş katsayılar matrisi,
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
2 5 1 4 0 1 3 10 0 1 3 10
3 2 1 5 0 8 4 4 0 0 28 84
M
Basamak matrisi formuna indirgenir.Gauss eliminasyonu yöntemiyle çözüm:
3 3
2 3 2
1 2 3 1
28 84 3,
3 10 1
2 3 2
x x
x x x
x x x x
bulunur. Sistemin Gauss-Jordan yöntemi ile çözümü için basamak matrisi satırca indirgenmiş
basamak matrisi yani kanonik duruma getirmeliyiz:
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 0 1 0 0 2
0 1 3 10 0 1 3 10 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 28 84 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
M
Buradan aynı çözüm 2, 1,3 elde edilir.
91
Örnek 5.6
3 4 5 6
3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6
6 2 4 8 8
3 4 4 4
2 3 4 7 2
6 9 11 19 3 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Genişletilmiş katsayılar matrisi,
0 0 6 2 4 8 8 0 0 6 2 4 8 8
0 0 3 1 2 4 4 0 0 3 1 2 4 4
2 3 1 4 7 1 2 2 3 1 4 7 1 2
6 9 0 11 19 3 1 0 0 3 1 2 0 5
0 0 6 2 4 8 8 2 3 1 4 7 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 0 5
2 3 1 4 7 1 2 0 0 6 2 4 8 8
0 0 3 1 2 0 5 0 0 0 0 0 0
A
0
2 3 1 4 7 1 2
0 0 3 1 2 0 5
0 0 0 0 0 8 2
0 0 0 0 0 0 0
basamak matrisi formuna indirgenir. Buradan satır işlemleriyle kanonik forma indirgersek
satırca denk olan,
1 3 / 2 0 11/ 6 19 / 6 0 1/ 24
0 0 1 1/ 3 2 / 3 0 5 / 3
0 0 0 0 0 1 1/ 4
0 0 0 0 0 0 0
M
elde edilir. Burada görüldüğü gibi 6 bilinmeyen ve 3 denklem var. Dolaysıyla çözümler 6-3=3
değişkene bağlı olarak çıkacaktır. Buna göre çözüm:
92
6
3 4 5 3 4 5
1 2 4 5 1 2 4 5
1,
4
1 2 5 5 1 2
3 3 3 3 3 3
3 11 19 1 1 3 11 19
2 6 6 24 24 2 6 6
x
x x x x x x
x x x x x x x x
elde edilir. Burada 2 4 5, ,x x x keyfi değerlerdir.
Örnek 5.7 Aşağıdaki lineer denklem sisteminin tutarlı olması için t Rasyonel sayısını
bularak t nin bu değeri için sistemi çözünüz.
2
0
3
x y
x y
x y t
Sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi,
1 1: 2 1 1: 2 1 1: 2
1 1: 0 0 2 : 2 0 1: 1
3 1: 0 4 : 6 0 0 : 2
A
t t t
1 1: 2
0 1: 1
0 0 : 2
M
t
satırca indirgenmiş basamak matrisine denktir. Burada 2t ise sistem
tutarsız yani çözümü yok, 2t ise sistem tutarlı ve
1 1: 2 1 0 : 1
0 1: 1 0 1: 1
0 0 : 0 0 0 0
M
ve böylece 1, 1x y çözümü bulunur.
Örnek 5.8 Aşağıdaki lineer denklem sisteminde
2 4
2 3 5
3 4 5
x y z
x y az
x y z b
vea b nin hangi rasyonel değerleri için
1. Sistemin çözümü olmaz
2. Sistemin yalnız bir çözümü olur
3. Sistemin sonsuz çözümü vardır.
93
Öncelikle sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi:
1 2 3 4
2 3 5
3 4 5
A a
b
olur. Bu matrisi satır kanonik forma getirelim:
2 1 2
3 1 3
3 2 3
23
2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 5 0 1 6 3
3 4 5 0 2 4 12
1 2 3 4
0 1 6 3
0 0 2 8 6
R R RR R R
R R R
A a a
b b
a M
a b
Buradan
1 2 3 4
0 1 6 3
0 0 2 8 6
M a
a b
matrisine göre
1.durum: 2 8 0 4a a olsun. Bu durumda M matrisi,
1 0 0
0 1 0
60 0 1
2 8
u
M v
b
a
Kanonik formuna indirgenir ve buradan sistemin tek çözümü vardır:
6, ,
2 8
bz y v x u
a
2.durum. 4a olsun. Bu durumda M matrisi,
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 6
M
b
formuna indirgenir. Burada eğer 6b ise sistem tutarsız olup çözümü olmaz. Çünkü
0=1,2,3.. gibi mantıksız sonuçlar çıkar. Fakat 6b ise
94
1 1 221 2 3 4 1 0 1 2
0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0
R R R
M
elde edilir. Buradan
2 3 3 2
2 3 4 2 3 2 3 4 2
y z y z
x y z x z z x z
z keyfi değerine bağlı sonsuz çözüm bulunur.
95
Uygulamalar
Güncel hayatta karşılaştığımız lineer denklem modeline aktaracağımız birkaç problem söyleyebilir misiniz?
96
Uygulama Soruları
Bir odada x tane çantanın ve y yane de kutunun olduğunu varsayalım:
Her bir çantada 2 elma ve 4 muz; her bir kutuda ise 6 elma ve 8 muz olsun. Odada toplam 20 elma ve 28 muz olduğuna göre çanta ve kutu sayısını bulunuz.
97
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu dersimizde lineer denklemlerin çözüm kümesinin elemanter satır ve sütun işlemleri ile nasıl elde edildiği araştırıldı. Bunun için literatürde sıkça kullanılan Gauss eliminasyon yöntemi ile Gauss-Jordan indirgeme yöntemleri uygulamalarla test edildi.
98
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
2 4 5 3
3 5 2 4
4 6 9 2
x y z t
x y z t
x y z t
lineer denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden
hangisidir?
A. 3,0,0,0 B. (1,2,-1,4) C. Çözüm yok
D. (-1,-1,2,1) E. (1,-1,0,-18)
2.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
kx x x
x kx x
x x kx
denklem sisteminde k nın hangi değeri için sistemin birden fazla
çözümü olur?
A.-1 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
3
2
2 3 4
3 5 2
4 14 2
x y z
x y z
x y a z a
Aşağıda verilen a rasyonel sayısının hangi değeri için denklem sisteminin çözümü olmaz?
A. -4 B. 4 C. 2
D. -3 E. -2
4
1
2
3
4
5
2 3 1 4 9 17
1 1 1 1 3 6.
1 1 1 2 5 8
2 2 2 3 8 14
x
x
x
x
x
denklem sisteminin çözümü ile ilgili aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A.Çözüm yoktur
99
B.Her Reel sayı için sağlanır.
C.Aşikar çözümü vardır
D.Tek bir çözümü vardır.
5.Sonsuz çözümü vardır
5.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
3 2 7
2 2 1
x x x
x x x
x x x
denklem sisteminin çözüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1
3
2
B.
1
3
2
C.
3
1
2
D.
2
3
1
E.
1
3
2
Cevaplar
1-C, 2-B, 3-A 4-E 5-A
100
6. HOMOJEN LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ VE VEKTÖR UZAYLARI
101
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
6.1.Homojen Lineer Denklem Sistemleri
6.2. Vektör Uzayları
6.3. Alt Uzaylar
102
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1-
Matrisi verilsin. 0Mx homojen denklem sisteminin çözümünü bulun. 2- Yukardaki verilen sorunun çözümünü aşağıdaki formde yazabilir miyiz?Bu gösterim neyi temsil eder?
103
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Homojen Lineer Denklem
Sistemleri
Homojen Lineer Denklem
Sistemlerini kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Vektör Uzayları Vektör Uzaylarını kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Alt Uzaylar Alt Uzayları kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
104
Anahtar Kavramlar
Homojen Lineer Denklem Sistemi
Vektör Uzayı Alt Uzay
105
Giriş
Bu bölümde homojen lineer denklem sistemleri ve özellikleri tanımlanarak çözüm
kümesinin bulunmasına odaklanılır. Ayrıca vektör uzaylarına giriş yapılarak alt uzay kavramı
incelenir.
106
6.1. Homojen Lineer Denklem Sistemleri
Tanım 6.1. : Denklem (II.2) de verilen lineer denklem sisteminde eğer sabitler olan
0, 1jb j m ise oluşan
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
.......................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(II.3)
Denklem sistemine homojen lineer denklem sistemi denir. Böyle bir denklem daima
tutarlıdır ve 1 20, 0,..., 0nx x x çözümüne sahiptir. Bu çözüme aşikâr (trivial) çözüm
denir. Bunun dışındaki herhangi bir çözüme ise aşikâr olmayan çözüm denir.
Örnek 6.1.
0
0
x y
x y
Homojen sisteminin sadece 0, 0x y aşikâr çözüme vardır. Fakat
0
0
x y z
x y z
Homojen sisteminin ise , 0x z y , z keyfi değerine bağlı olan aşikâr olmayan çözümü
mevcuttur. Şimdi homojen sistemin aşikâr çözümü ile ilgili bir teorem verelim.
Teorem 6.1. : n bilinmeyenli m lineer denklemli bir homojen sistem eğer m n ise daima
aşikâr olmayan bir çözüme sahiptir.
Teorem 6.2. : Varsayalım m n ve sistemin katsayılar matrisi satırca B matrisine denk
olsun. Bu matris satırca indirgenmiş basamak formunda olsun. Bu durumda B deki sıfır
107
olmayan satırların sayısı da r olsun. Yani n bilinmeyenli r denklemden meydana gelen bir
sistem elde edilir. Bu takdirde r m n ve böylece 0n r olur ve böylece bilinmeyenlerin
sayısı olan n r pozitif değerdir. Bu halde r tane bilinmeyen n r tane bilinmeyene bağlı
olarak çözülebilir . Böylece sistemin aşikâr olmayan bir çözümü vardır.
Sonuç olarak A , m n tipinde bir matris ve AX 0 homojen sistemi sadece aşikâr çözüme
sahipse m n olmalıdır.
Örnek 6.2.
1 2 3 4
1 4
1 2 3
0
0
2 0
x x x x
x x
x x x
Homojen lineer denklem sisteminin çözünün bulun.
Sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi,
1 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 2 1 0 0
A
olur. Bu matrisi satır kanonik forma getirelim
1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
A
M
bulunur. Burada
108
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
M
matrisinden görüldüğü üzere denklem sayısından fazla bilinmeyen vardır. Dolayısıyla
sistemin en az bir sıfır olmayan çözümü vardır. Yani,
3 4 3 4
2 4 2 4
1 4 1 4
0
0
0
x x x x
x x x x
x x x x
Elde eldir. 4x k için, , , ,k k k k çözümü bulunur.
Örnek 6.3.
2 0
2 5 2 0
3 4 0
x y z
x y z
x y z
sisteminin aşikâr olmayan çözümünün varlığını inceleyiniz.
Öncelikle sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi:
1 2 1 0
2 5 2 0
3 1 4 0
A
olur. Bu matrisi basamak matris formuna getirelim:
1 2 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0
2 5 2 0 0 1 8 0 0 1 8 0
3 1 4 0 0 7 5 0 0 0 61 0
A
Buradaki basamak matrisinde de görüldü gibi üç denklem ve üç bilinmeyen vardır.
Dolayısıyla homojen sistemin tek çözümü vardır. O da 0, 0, 0z y x aşikâr çözümüdür.
109
O(0,0)
Örnek 6.4.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
2 5 2 0
4 7 0
3 3 0
x x x
x x x
x x x
x x x
sisteminin sıfır olmayan çözümünün olup olmadığını inceleyiniz.
Sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisini yazarak basamak matris formuna indirgeyelim:
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
2 5 2 0 0 1 4 0 0 1 4 0
1 4 7 0 0 2 8 0 0 0 0 0
1 3 3 0 0 1 4 0 0 0 0 0
A
basamak formuna dikkat edilirse 3 bilinmeyen için 2 denklem vardır. Dolayısıyla sistemin
sıfır olmayan bir çözümü vardır. Çözüm,
2 3 2 3
1 2 3 1 3
4 0 4
2 0 9
x x x x
x x x x x
olacak şekilde 3x e bağlı olarak elde edilir. Özel olarak
3 1x için sistemin bir çözü
9,4, 1 elde edilir.
6.2.Vektör Uzayları
Hız, ivme, kuvvet gibi yön, doğrultu ve büyüklüğe sahip ifadeler vektörel büyüklüklerdir.
Düzlemde bütün noktaların kümesi 2 ile gösterilir ve 2 boyutlu uzay olarak tanımlanır. Şekil
III. de görüldüğü gibi 2 de bir vektör:
x
1 1( , )P x y
y
110
Şekil III. 1. 2 de bir vektör
orijinden 1 1,x y noktasına olan yönlü doğru parçasıdır. Bu 1
1
xu
y
, biçiminde 2x1 lik bir
sütun matrisi şeklinde gösterilir. 2 aynı yön ve uzunluğa sahip bütün eş yönlü doğru
parçalarının kümesi bir vektörü ifade eder. Vektörlerin bir k skaleri ile çarpılması,
1
1
kxku
ky
vektörün yön ve büyüklüğünü belirler ve toplanması ise
1 2 1 2
1 2 1 2
,x x x x
u v u vy y y y
matrislerde olduğu gibi yapılır.
Tanım 6.2 : V boş olmayan kümesi bir F cismi üzerinde toplama(+) ve çarpma(x) işlemleri
ile tanımlı olsun. Eğer bu küme aşağıdaki özellikleri sağlarsa V ye, F cismi üzerinde bir
vektör uzayı denir.
A. Her ,u v V için u v V .Toplama işlemine göre özellikler:
1. Her ,u v V için u v v u
2. , ,u v w V için u v w u v w
3. u V için 0u u olacak bir 0 V vardır. Burada 0 , sıfır vektörüdür.
4. u V için 0u u olacak bir u V vardır. Burada u , u nın ters işaretlisi
olarak adlandırılır.
A. Her veu V skaler için u V (V çarpma(.) işlemine göre kapalı)
5. ,u v V ve için u v u v
6. ,u V ve için u u u
7. ,u V ve için . u u
8. u V için 1.u u . Burada 1, F cisminin birim elemanıdır.
111
Örnek 6.5.
1
2
1
1
.
.
.
n
n
n
x
x
x
x
, nx1 reel sütun uzayı yukarda verilen bütün özelliği sağladığı için
vektör olarak alabiliriz. Dolayısıyla bütün mxn tipinde matrislerin kümesi m
nvektör uzayıdır.
Örnek 6.6. nP , derecesi n den küçük bütün polinomların kümesi
olsun. 1
1 1 0....n
nP x a x a x a . Örneğin; n=3 için 2
31 , 2 1x x P x P fakat
3
3.x x P Acaba
nP bir vektör uzayı mı? Bunun için np ve q P için,
1
1 1 0....n
np x a x a x a , 1
1 1 0....n
nq x b x b x b
1
1 1 1 1 0 0
1
1 1 0
.... ( )
( )
n
n n n
n
n n
p x q x a b x a b x a b P x
p x a x a x a x P x
Olduğundan nP bir vektör uzayıdır.
Örnek 6.7. nP , derecesi n ’ eşit bütün polinomların kümesi olsaydı,
3 3 3 3
3 3 31 , 2 1 1 2 1 3x x P x x P x x x x x P
vektör uzayı olmazdı.
Örnek 6.8. tamsayılar kümesi adi toplama ve çıkarma işlemlerine göre rasyonel sayılar
cismi üzerinde bir vektör uzayı oluşturamaz. Çünkü bir tamsayı ile rasyonel sayının çarpımı
her zaman tamsayı olamaz. Örneğin 2.1/ 3 2 / 3
Teorem 6.3 : V boş olmayan kümesi bir F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
1. Herhangi bir k skaleri ve 0 V için .0 0k
2. Herhangi bir u V vektörü ve 0 F için 0. 0u
112
3. k F ve u V için . 0 0 veya 0k u k u
4. Herhangi bir k skaleri ve herhangi bir u V vektörü için .k u k u ku
III.1 Alt Uzaylar
Bir V vektör uzayının boş olmayan bir altkümesi S olsun. Eğer bu küme aşağıdaki özellikleri
sağlarsa S, V’nin bir alt uzayıdır denir.
1.Sıfır vektör S in bir elemanı( 0 S )
2. veu S için u S
3. , içinu v S u v S
Sonuç: S, ancak ve ancak şu şartlar altında V’nin bir alt uzayıdır:
1. 0 S
2. ,u v S ve ,a b için au bv S
Tanım 6.3 : Her V vektör uzayının 0 ve V olmak üzere en az iki tane alt uzayı vardır ki
bunlar aşikâr uzay olarak adlandırılır. Bunların dışındaki alt uzaylara öz alt uzay denir.
Örnek 6.9.
1 2
1:1
xS x
alt uzay mı?
5 10, 2
1 2u u S
dolayısıyla alt uzay değil.
Örnek 6.10. 3V olsun. Üçüncü bileşeni sıfır olan vektörlerden oluşan
, ,0 : ,S a b a b alt uzay koşullarını sağlar. Çünkü 0 0,0,0 S ve ,a b
için au bv S .
Örnek 6.11. m olmak üzere 1 , :E x mx x kümesi düzlemin bir alt uzayıdır.
Fakat 2 ,2 1 :E x x x alt kümesi bir alt uzay değildir. Çünkü 2 , 0,0E noktasını
113
içermez. Dolayısıyla buradan düzlemin sıfır ve kendisinden farklı alt uzayları sadece orijinden
geçen doğrular olduğunu söyleyebiliriz.
114
Uygulamalar
Vektör uzaylarının fen bilimlerdeki uygulamalarını ders kaynaklarından ve bilgisayar üzerinden araştırınız.
115
Uygulama Soruları
Bir değişkenli fonksiyonlar kümesi:
İle gösterilsin. Bu kümede toplama işlemi:
Bir skalerle çarpma işlemi:
İle tanımlansın. Buna göre uzayının bir vektör uzayı olup olamayacağını kontrol edin.
116
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde homojen lineer denklem sistemleri tanımlanarak çözüm kümesinin nasıl
elde edileceği incelendi. Ayrıca vektör uzaylarına giriş yapılarak alt uzay kavramı örneklerle
irdelendi.
117
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. Aşağıdaki homojen sistemlerden hangisi veya hangilerinin aşikâr çözümü vardır?
i.
3 2 0
8 8 0
3 2 4 0
x y z
x y z
x y z
ii.
3 2 0
2 3 0
3 2 2 0
x y z
x y z
x y z
iii.
2 5 4 0
2 3 2 3 0
4 7 6 0
x y z w
x y z w
x y z w
A. Yalnız i B. i ve ii C. Yalnız ii
D. i ve iii E. i, ii ve iii
2. Aşağıdaki matrislerden hangisinin tersi yoktur?
A.
1 1 1
1 1 0
2 0 0
B.
2 2 4
1 0 1
0 1 0
C.
4 6 3
0 0 7
0 0 5
D.
2 0 0
0 5 0
0 0 7
E.
1 2 4 6
0 1 2 0
0 0 1 2
0 0 0 2
3.
1
1 2 3
x y
tx y t
t x y
Denklem sisteminin tutarlı olabilmesi için t nin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A . 5 B. 4 C. 3
D. 2 E. 1
4.
3 7 0
2 4 1/ 2
1
6 4 10 3
x y z
x y z
x y z
x y z
Denklem sisteminin çözümü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
118
B. Aşikâr çözümü var B. Çözüm yok C. Tek bir çözüm var
D. 3 1
3 , 2 ,2 2
x z y z z
keyfi E. 1 3
3 , 2 ,2 2
x z y z z
keyfi
5. nın hangi değerleri için aşağıda verilen homojen denklem sisteminin aşikâr olmayan
bir çözümü vardır?
3 0
3 0
x y
x y
A . 2 ve 4 B. 4 ve 5 C. 2 ve 5 D.1 ve 3 E . 3 ve 4
6.Aşağıdaki verilen kümelerden hangisi vektör uzayı değildir?
i. : | , 0a
P a bb
ii. , | ,x y x y
iii. Türevlenebilir bütün fonksiyonların kümesi : : | vardf
f fdx
A. Yalnız i B. i ve ii C. Yalnız ii
D. i ve iii E. i, ii ve iii
7.Aşağıdaki verilen kümelerden hangisi 3 , , | , ,a b c a b c ün alt uzayıdır?
i. , , | 2a b c a b ii. , , |a b c a b c
iii. , , | 0a b c ab
A. Yalnız ii B. i ve ii C. Yalnız i
D. i ve iii E. i, ii ve iii
Cevaplar
1. D 2. C 3. D 4. E 5. A 6.A 7.C
119
7.LİNEER BAĞIMSZILIK, BAZ VE BOYUT
120
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
7.1. Lineer Bağımsızlık
7.2. Baz ve Boyut
121
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1. 3 de aşağıda verilen vektörler lineer bağımsız mıdır?
2.Aşağıda verilen küme 3 ü gerer mi? Vektörleri lineer bağımsız mıdır?
122
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımsız olup olmamayı kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Baz Bir vektör uzayının Bazını saptayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Boyut Bir vektör uzayı ve alt uzayının boyutunu vermek
Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
123
Anahtar Kavramlar
Lineer bağımsızlık
Lineer bağımlılık
Baz
Boyut
124
Giriş
Bu bölümde vektörlerin lineer bağımsızlığı tanımlanır. Buradan hareketle bir vektör
uzayının başka bir vektör uzayı tarafından gerilmesi ve dolayısıyla baz ile boyut kavramı
incelenir.
125
7.1. Lineer Bağımsızlık
Tanım 7.1. : 1 2, ,..., nv v v , V vektör uzayının bir alt kümesi olsun. 1 2, ,..., n skalerler
olmak üzere , V’nin
1 1 2 2 ... n nv v v
Formundaki bir v vektörü 1 2, ,..., nv v v vektörlerinin Lineer toplamı veya lineer
kombinasyonu olarak adlandırılır.
Örnek 7.1. Herhangi bir 3, ,u a b c vektörü
1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e
vektörlerinin lineer kombinasyonudur. Çünkü
1 2 3
, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1u a b c a b c
ae ae ae
Örnek 7.2. Bir 33,7, 4u vektörü 1 2 31,2,3 , 2,3,7 , 3,5,6v v v
Vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olup olmadığını gösterin.
3,7, 4 1,2,3 2,3,7 3,5,6
2 3 , 3 6 ,3 7 6
u x y z
x y z x y z x y z
vektörleri eşitledikten sonra eşdeğer denklem sistemi,
2 3 3
3 6 7
3 7 6 4
x y z
x y z
x y z
Lineer denklem sistemi oluşur. Genişletilmiş katsayılar matrisini satır işlemleriyle basmak
formuna indirgeyerek bilinmeyenler bulunursa,
2, 4 ve 3x y z elde edilir. Böylece 1 2 32 4 3u v v v lineer toplamı biçiminde yazılır.
126
Tanım 7.2. : 1 2, ,..., nv v v vektörlerinin Lineer toplamlarının oluşturduğu kümeye 1 2, ,..., nv v v
vektörlerinin ürettiği veya gerdiği (span) alt uzay denir ve
1 2, ,..., nspan v v v ile gösterilir.
Örnek 7.3. 3
1 vektör uzayı 1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
S
ile üretilmiştir. Çünkü herhangi bir 3x1
sütun matris,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
b a b c
c
Şeklinde yazılır.
Örnek 7.4. 3
1 vektör uzayı 0 0 1
0 , 1 , 1
1 1 1
S
ile gerilir mi?
0 0 1
0 1 1 ,
1 1 1
a
b a b a ve c b
c
uygun değerler için gerildiği görülür.
Tanım 7.3. : 1 2, ,..., nv v v V vektör uzayının bir alt kümesi olsun.
1 1 2 2 ... 0n nv v v
1 2olacak şekilde yazılan bir denklemi için hepsi birden sıfır olmamak koşulu ile , , ,..., n
1 2skalerleri bulunabiliyorsa, , ,..., vekt rleri , aksi takdirde denklem
ancak
nv v v ö lineer bağlı
127
1 2 ... 0n
şartı ile sağlanıyorsa vektörler lineer bağımsızdır denir.
Örnek 7.5.
1 2 3
1 1 1
2 , 1 , 7
3 2 12
v v v
vektörleri
1 2 32 3 1 0v v v
olarak yazıldığı için lineer bağımlıdırlar.
3 7. deÖrnek 6
1 1 1
0 , 1 , 0
0 0 1
S
kümesinin lineer bağımlı olup olmadığının test edin.
Çözüm:
1 2 3
1 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
c c c
yazılır. Buradan
1 2 3
2 3 1 2 3
3
0
0 0
0
c c c
c c c c c
c
128
olduğundan vektörler lineer bağımsızdır.
Örnek 7.7
1 1 1
0 , 1 , 2
0 1
S
k
vektörlerinin lineer bağımsız olabilmeleri için k değerini bulalım.
Çözüm:
Bu defa basamak matrisi yöntemi ile yapalım
3
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 2 0 0 1 2 0 2 0
0 1 0 0 0 2 0
c k
k k
Buradan 2 için vektörler lineer bağımsızdır.k .
Örnek 7.8
P2 de
2 2 21 ,1 ,x x x x
vektörlerinin lineer bağımsız olup olmadığını araştırın.
2 2 2
1 2 3
1 2 3
3
1 2 3
1 1 0
0
0
0
c x c x c x x
c c c
c
c c c
buradan
129
1 2 3 0c c c
Olduğundan vektörler Lineer bağımsız olur.
Teorem 7.1 :
Sıfır vektöründen oluşan tek elemanlı küme lineer bağımlıdır.Daha genel olarak sıfır
vektörünü kapsayan her sonlu küme lineer bağımlıdır.
İspat 7.1 : Her c skaleri için
.0 0c
olduğundan vektör uzayı koşullarından c sıfırdan farklı olması durumda eşitlik doğru
olduğundan sıfır vektöründen oluşan tek elemanlı küme lineer bağımlıdır.
Bir vektörler kümesinin lineer bağımlı olup olmadığını farklı bir yolla araştıran bir teorem
verelim.
Teorem 7.2: n de
1
2( 1,2,..., )
..
i
i
i
ni
x
xx i n
x
olmak üzere n tane vektör olsun. Eğer
11 11 1
21 22 2
1 2
1 2
...
..., ,...,
... ... ... ...
...
n
n
n
n n nn
x x x
x x xx x x x
x x x
ise 1 2, ,..., nx x x vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart x ’in singüler yani
tersinin olmamasıdır( det( ) 0)x
Örnek 7.9. 2,2,3 , 1,3,1 , 1, 5,3T T T
S vektörleri 3 de lineer bağımlı mıdır?
130
2 1 1 2 1 1
2 3 5 2 3 5 0
3 1 3 3 1 3
Olacağından vektörler lineer bağımlıdır.
7.2. Baz ve Boyut
Tanım 7.4: V vektör uzayının bir 1 2, ,..., nS v v v alt kümesi hem lineer bağımsız hem de
V vektör uzayını gererse S e bir taban veya baz denir.
Örnek 7.10. 3 de 1 2 3, ,e e e vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu göstermiştik. İkinci
olarak
3
1 2 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a
u b b a b c ae ae ae
c c
Olduğundan 1 2 3, ,e e e bir baz dır. Ve bu standart(doğal) taban olarak adlandırılır.
Örnek 7.11. 3P polinom uzayında 3 2 3 3, , 1S x x x x alt kümesinin gerdiği alt uzayın
S de kapsanan bir tabanını bulalım.
2 2 3 2 3 3
3 1
, 0, ,
ax bx c P ax bx c x x x x
a b c a c
olduğundan bu vektörler 3P ü gerer. Diğer yandan
3 2 3 3 1 0 0x x x x
olduğundan S lineer bağımsızdır. Buna göre S , 3P polinom uzayının bir tabanıdır.
Genel olarak nP nin standart tabanları 2 11, , ,..., nx x x dir.
131
Örnek 7.12
de baz olduğunu gösterin2 2
11 12 21 22
1 0 0 1 0 0 0 0, , , .
0 0 0 0 1 0 0 1E E E E
lineer bağımsızdır
1 11 2 12 3 21 4 22
1 2
1 2 3 4 11 12 21 22
3 4
0 0
0 0
0 00 , , , .
0 0
c E c E c E c E
c cc c c c E E E E
c c
0
Bu durumda,
2 2
11 12 21 22,
a b a baE bE cE dE
c d c d
2 2 yi gereceğinden onun bir bazıdır.
Teorem 7.3 : 1 2, ,..., nS v v v V vektör uzayının bir tabanı ve 1 2, ,..., rW w w w V de
lineer bağımsız ise r n dir.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir vektör uzayının iki tabanında aynı sayıda vektör vardır.
Tanım 7.5: Bir vektör uzayın herhangi bir tabanındaki vektör sayısına bu uzayın boyutu
denir ve boy V veya dim V ile gösterilir.
Örnek 7.13. 1 2, ,..., ne e e standart birim vektörleri ise 1 2( , ,..., ) ( )iboy e e e i i n dir.
Örnek 7.14 3P polinom uzayının boyutu 4 tür. Çünkü bir tabanı olarak 2 31, , ,S x x x
Örnek 7.15 m n nin boyutu m n dir.
Teorem 7.4 : V, boyutu sıfırdan büyük bir vektör uzayı olsun. Buna göre,
1. Lineer bağımsız herhangi n tane vektör V yi gerer.
2. V yi geren herhangi n tane vektör lineer bağımsızdır.
132
Teorem 7.5 : matrisleri denk ise satır uzayları birbirine eşittir, .ij ijmn mn
A a B b
Bu teoremden hareketle bir ij mnA a matrisi verildiğinde buna satır işlemleri uygulanarak
elde edilen basamak biçimi denk matrisi ij mnB b ise A ve B matrislerinin satır uzayları
eşittir. Diğer yandan basamak matrisin sıfırdan farklı satırları satır uzayı için bir taban teşkil
eder. Bu sayede n de verilen vektörler tarafından gerilen(span)(oluşturulan) alt uzay için
taban bulunur.
Örnek 7.16. 1, 2,5, 3 , 2,3,1, 4 , 3,8, 3, 5 vektörlerinden oluşan bir W uzayı
4 ün bir alt uzayı olsun. Bu alt uzayın boyutunu ve bazını bulunuz.
Çözüm: Satırları verilmiş vektörler olan matrisi yazarak satır eşdeğer basamak forma indirgeriz. En
son durumda lineer bağımsız vektör sayısı W nin boyutu, aynı zamanda bu matrisin rankıdır.
Ayrıca lineer bağımsız vektörler de W alt uzayının bazını oluşturur. Buna göre,
1 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5 3
2 3 1 4 0 7 9 2 0 7 9 2
3 8 3 5 0 14 18 4 0 0 0 0
Olur. Burada sıfır olmayan 1, 2,5, 3 , 0,7, 9, 2 vektörleri basamak matrisin satır
uzayının aynı zamanda W, nin bir bazını oluşturur. Bazdaki vektör sayısı 2 olduğundan W nin
boyutu 2 dir.
Örnek 7.17: 4
1 uzayının W altuzayı, 1 2 3
1 1 2
1 1 2, ,
1 1 2
1 0 1
W span v v v
eşitliği ile
veriliyor. 1 2 3
1 1 2
1 1 2, ,
1 1 2
1 0 1
v v v
kümesinin içinden W alt uzayının bir
tabanını(bazını) ve boyutunu bulun.
133
Çözüm:
Sütunları verilmiş vektörler olan matrisi yazarak sütun eşdeğer basamak forma indirgeriz. Bir
matriste yapılan elementer satır veya sütun işlemlerinin matristeki lineer bağımsız sütunların
yerlerini değiştirmediğini biliyoruz. Bu gerçekten yararlanmak için sütun matrisini sütunca
indirgeyelim.
1 1 2 1 0 0 1 0 0
1 1 2 1 0 0 1 0 0
1 1 2 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1 1 1 0
A
Olur. Burada sıfır olmayan 1 2
1 0
1 0,
1 0
1 1
w w
vektörleri A matrisinin birinci ve ikinci sütun
vektörlerine karşılık gelen 1 2
1 1
1 1,
1 1
1 0
v v
kümenin lineer bağımsız olduğu görülür.
Sonuç olarak1 2
1 1
1 1,
1 1
1 0
v v
kümesi sütun uzayı için W, nin bir bazı olarak alınabilir.
Bazdaki vektör sayısı 2 olduğundan W nin boyutu 2 dir.
Örnek 7.18: 3 , , : 2 0de W a b c a c alt uzayının bir bazını ve boyutunu bulunuz.
2 0a c denkleminin genel çözümü:
2
,
a s
b t t s
c s
Böylece
, , 2 , , 2,0,1 0,1,0a b c s t s s t
134
Yazılır. Bu durumda W alt uzayı ve 1 2
2,0,1 0,1,0v v vektörleri tarafından gerilir.
Bu vektörler birbirine paralel olmadığı için veya biri diğerinin bir katı olmadığı için veya satır
işlemleri ile elemanları sıfır olan bir satır oluşmayacağı için lineer bağımsızdır. Dolayısıyla
2,0,1 , 0,1,0 , W nin bir bazıdır. Bu alt uzayın boyutu da 2 dir.
Teorem 7.6 : V, n boyutlu bir vektör uzayı olsun.
1. Eleman sayısı n den küçük olan bir vektör kümesi V yi geremez.
2. Eleman sayısı n den fazla olan her küme lineer bağımlıdır.
Örnek 7.19: V, nin 0 alt uzayının boyutu sıfırdır. Çünkü 0 vektörü lineer bağımlı
olduğundan bir tabanını bulamayız. Sıfır uzayından farklı bir vektör uzayının da boyutu 1
dir. Çünkü sıfırdan farklı her vektör lineer bağımsızdır. Tabanı hiç olmazsa bir vektör
bulundurur.
Teorem 7.7 : ,W V vektör uzayının bir alt uzayı ise dim dimW V dir.
Örnek 7.20 2 nin standart tabanları 1 2,e e alınırsa 2dim dim 2W olduğundan 2 nin
alt uzayları 0, 1 ve 2 boyutlu olabilir. Bunlar da sırası ile sıfır uzayı, orijinden geçen doğrular
ve düzlemin kendisidir.
Teorem 7.8 : S , n boyutlu bir vektör uzayının bağımsız bir alt kümesi olsun. V, nin S’ i
kapsayan bir tabanı vardır.
Örnek 7.21. 1
3 uzayı için 1 0 1 , 0 11S kümesini kapsayan bir taban bulun.
1 0 1 , 0 11S kümesinin lineer bağımsız olduğu çok kolay görülür. 1
3 uzayının
1 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1S standart tabanını alalım ve
1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 0 1 , 0 11S
diyelim.
135
0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 11 1 0 0
olduğundan 0 0 1 ve 0 1 0 vektörlerini kümeden atabiliriz. Bu durumda
1 0 0 , 1 0 1 , 0 11W
bir tabandır.
136
Uygulamalar
Bir vektör uzayı ile alt uzayının boyutu arasındaki temel bağıntıyı geometriksel olarak göstermeye çalışın.
137
Uygulama Soruları
U ve W, bir V vektör uzayının sonlu boyutlu alt uzayları iseler
, nin alt uzayı olur mu?, nin alt uzayı olur mu?
U W V
U W V
Niçin? 3 de örnekler verin.
138
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde vektörlerin lineer bağımsızlığı örneklerle incelendi. Buradan hareketle bir
vektör uzayının başka bir vektör uzayı tarafından gerilmesi ve dolayısıyla baz ile boyut
kavramı uygulamalarla işlendi.
139
Bölüm Soruları
1 . V1 = {(x, y, z) | x = 0} ve V2 = {(x, y, z) | x = y ve z = 0}
R cismi üstünde tanımlı 3 vektör uzayının alt uzayları olduğuna göre, V1 + V2 vektör
uzayının boyutu kaçtır?
A.1 B. 2 C. 3
D. 4 E.5
2. , ve ,u v w z ; 2 nin üzerindeki iki farklı tabanı olsun. Buna göre aşağıdakilerden
hangisi her zaman doğrudur?
A . 2, ,u w v z nin bir bazıdır. B. 20,0 , ,v nin bir bazıdır.
C. 2, ,u z v w nin bir bazıdır D. 22 , ,u v nin bir bazıdır
E. 2, ,u w v z
3. V bir vektör uzayı; ,U ve W V nin iki alt uzayı olsun. Aşağıdakilerden hangisi her zaman
doğrudur?
A . ,U W V nin bir alt uzayıdır. B. ,U W W nin bir alt uzayıdır.
C. 0 ,U V nin bir alt uzayıdır. D. 0 ,U V nin bir alt uzayıdır
E. ,W U U nin bir alt uzayıdır
4. Aşağıdaki denklemleri verilen eğrilerden hangisi 2 nin bir alt uzayıdır?
A . 3y x . B. 3x y C. 0y
D. 3x E. x=-1
5. 3 uzayında 1 2 33, 1,5 , 4,1, 1 , 2, 3,0u u u vektörlerinin lineer bağımlı
olması için nın değeri ne olmalıdır?
A . 1/2. B.7/2 C.11/2
D. 15/2 E. -3/3
Cevaplar
1. C 2. D 3. D 4.C 5. C
140
8.KOORDİNATLAR VE BAZ DEĞİŞİMİ
141
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
8.1. Koordinatlar ve Baz Değişimi
8.2. Bir Matrisin Rankı
8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi
142
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1.
1 3 1 2 3
1 4 3 1 4
2 3 4 7 3
3 8 1 7 8
A
Matrisinin rankını bulun
3. 3 de
5
3
4
v
vektörünün 1 1 0
1 , 1 , 1
0 0 1
T
sıralı tabanına göre koordinatı nedir?
143
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Koordinatlar ve Baz
Değişimi Koordinatlar ve Baz
Değişimi arasındaki ilişkiyi kavramak
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Bir Matrisin Rankı Bir Matrisin Rankını saptayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Lineer Sistemlerle Rank
İlişkisi Lineer Sistemlerle Rank
İlişkisni vermek
Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
144
Anahtar Kavramlar
Koordinat
Geçiş matrisi Rank Satır uzayı Sütun uzayı Sıfır Uzayı
145
Giriş
Bu bölümde bir uzaydan başka bir uzaya geçildiğinde koordinat ve baz değişim durumu
irdelenir. Ayrıca herhangi bir uzay tarafından gerilen bir uzayın tabanını bulunur. Bunun için
de bir matrisin rankı kavramı verilerek lineer denklem sistemlerinin rank ile olan bağlantısı
incelenir.
146
8.1.Koordinatlar ve Baz Değişimi
Şimdiye kadar öğrendiğimiz bölümlerde herhangi bir tabandaki vektörlerin sırasının
önemi yoktu. Bu bölümde ise sıralı tabanları göz önüne alacağız.
Tanım 8.1. : Sonlu boyutlu bir F-vektörü uzayı ve sıralı bir tabanı 1 2, ,..., nS v v v ise V nin
her v vektörü 1 2, ,..., nc c c F olmak üzere,
1 1 2 2 ... n nv c v c v c v
şeklinde tek türlü yazılabilir. Buna göre 1 2, ,..., nc c c skaler sayılarına v vektörünün
koordinatları denir ve verilen S sıralı tabanına göre koordinat vektörü,
1
2
1
.
.
.S
n
n
c
c
v
c
c
ile verilir. Genel gösterime uygunluk açısından yuvarlak parantez yerine köşeli parantez
seçildi.
Teorem 8.1. : ,v w V ve c F için
.
.
S S S
S S
i v w v w
ii cv c v
147
Örnek 8.1. 3 de
5
3
4
v
matrisinin sıralı bir S tabanına göre koordinatları 5,3,4 tür. Şimdi
1 1 0
1 , 1 , 1
0 0 1
T
sıralı tabanına göre koordinatlarını bulalım:
1 2 3
5 1 1 0
3 1 1 1
4 0 0 1
v c c c
Eşitliğinden
1 2 3
1 2
3
3
5
4
c c c
c c
c
Lineer denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümü, 1 2 33, 2, 4c c c bulunur.
Böylece
3
2
4T
v
örnekte de görüldüğü gibi bir vektörün sıralı bir tabana göre koordinatları, başka bir sıralı
taban alındığında değişmektedir.
V vektör uzayının sıralı iki tabanı 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nS v v v ve T w w w olsun. Bir
v V vektörünün bu tabanlara göre yazılışı
1 1 2 2 ... n nv c v c v c v ve 1 1 2 2 ... n nv d w d w d w olsun. S deki vektörlerin T tabanına
göre yazılışları,
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
... .....................................
...
n n
n n
n n n nn n
v a w a w a w
v a w a w a w
v a w a w a w
(*)
148
olsun. Bu durumda,
1
2
.
.
j
j
j T
nj
a
a
v
a
olur. .j sütunu j T
v olan bir F matrisini bulalım.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aP
a a a
Matrisine S tabanından T tabanına geçiş matrisi denir. (*) denklem sistemdeki ifadeleri
1 1 2 2 ... n nv c v c v c v ve 1 1 2 2 ... n nv d w d w d w de yerine yazarsak
1 1
2 2
1 1
. .
. .
. .T S
n n
n n
d c
d c
v P P v
d c
d c
elde edilir. Bu eşitlikten 1
T S S Tv P v v P v bulunur ki burada T tabanından
S tabanına geçiş matrisi 1P elde edilir.
Örnek 8.2. 1
2 uzayında 5 7 3 1
, ve ,2 3 2 1
S T
sıralı tabanları verilsin. S
tabanından T tabanına geçiş matrisini bulalım.
149
1 1 2 1 2 1 2
5 3 15 3 2 2
2 2 1v x x x x ve x x
Lineer denklemlerinin çözümü, 1 23, 4x x bulunur. Buna göre
1
3
4Tv
bulunur. Aynı şekilde
2 1 2 1 2 1 2
7 3 17 3 3 2
3 2 1v x x x x ve x x
Denklem sistemi çözülürse, 1 24, 5x x bulunur ve buradan
2
4
5Tv
yazılır.Bulunan bu değerler P geçiş matrisinde yerine yazılırsa,
3 4
4 5P
bulunur.
Herhangi bir vektörün S tabanına göre koordinatlarını biliyorsak T S
v P v eşitliği
yardımıyla T tabanına göre koordinatları bulunabilir. Örneğin 1
2Sv
alsaydık formülden
3 4 1 11 8.
4 5 2 14 57T Sv P v
bulurduk.
Örnek 8.3. 3P de 21,2 ,4 2x x sıralı bazından 21, ,x x sıralı bazına
1. Geçiş matrisini bulunuz.
150
2. 1P bularak 22 4 6p x x x vektörünün 21,2 ,4 2x x sıralı bazına göre
koordinat vektörünü bulunuz.
2
2
2 2
1 .1 . 1, 0, 0
2 .1 . . 0, 2, 0
4 2 .1 . . 2, 0, 4
a b x cx a b c
x k l x m x k l m
x n p x r x n p r
Bu durumda geçiş matrisi
1 0 2
0 2 0
0 0 4
P
bulunur. Bunun tersini elamanter satır işlemleri ile bulursak,
1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1/ 2
0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1/ 2 0 0 1 0 0 1/ 2 0
0 0 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1/ 4 0 0 1 0 0 1/ 4
P
yazılır. Buradan
1
1 0 1/ 2
0 1/ 2 0
0 0 1/ 4
P
elde edilir. 21,2 ,4 2S x x ’ nin 21, ,T x x sıralı bazına
1
1 0 1/ 2 6 7
0 1/ 2 0 4 2
0 0 1/ 4 2 1/ 2T S S T
p x P p x p x P p x
elde eldir. Buradan
2 212 4 6 7.1 2. 2 (4 2)
2x x x x
yazılır.
151
8.2.Bir Matrisin Rankı
Bu bölümde S kümesinin gerdiği V vektör uzayının bir tabanını bulmaya çalışacağız.
Bunun için S in maksimum olabilecek lineer bağımsız bir alt kümesini bulmaya çalışacağız.
Bunun için de rank diye adlandıracağımız bir sayı yardımıyla homojen denklem sisteminin
çözüm uzayının boyutu hakkında fikir edineceğiz ama önce önemli bir tanım verelim.
Tanım 8.2 :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
m n tipinde bir matris olsun. Bu matrisin her satırının 1
n de bir vektör olarak düşünürsek
bu vektörlerin gerdiği alt uzaya A nın satır uzayı denir. Benzer şekilde A nın her sütununun
1
m de gerdiği alt uzaya da sütun uzayı denir.
Örnek 8.4
1 0 0
0 1 0A
matrisinin satır ve sütun uzaylarını bulalım.
Çözüm:
Satır uzayı için
1 0 0 0 1 0 0
Buradan 0 : , elde edilir. Aynı şekilde sütun uzayı,
1 0 0
0 1 0
olduğundan sütun uzayı,
152
: ,
elde edilir.
Teorem 8.2 : Satırca(sütunca) denk olan iki matris aynı satır(sütun) uzayına sahiptir.
Örnek 8.5 1
4 de
1 2 3
4 5
1 0 1 2 , 1 1 1 0 , 2 0 1 0 ,
[0 1 1 2], 2 1 1 2
v v v
v v
olmak üzere 1 2 3 4 5, , , ,S v v v v v ile üretilen V alt uzayının bir tabanının bulursak, V alt
uzayı
1 0 1 2
1 1 1 0
2 0 1 0
0 1 1 2
1 1 1 2
A
matrisinin satır uzayı olur. Elemanter satır işlemleri uygulanarak denk matrisi,
1 0 0 2
0 1 0 2
0 0 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0
B
Elde edilir. Teoreme göre her iki matrisin satır ve sütun uzayı aynıdır. B nin satır uzayının bir
tabanı da
1 2 31 0 0 2 , 0 1 0 2 , 0 0 1 4w w w
Olmak üzere 1 2 3, ,T w w w alınabilir.
Tanım 8.2. : Bir matrisin satır(sütun) uzayının boyutuna bu matrisin satır(sütun) rangı denir.
Teorem 8.3 : Bir matrisin satır ve sütun rankları eşittir.
153
Tanım 8.3. : Bir matrisin satır veya sütun rangına o matrisin rangı denir ve rankA r A ile
gösterilir.
Örnek 8.6.
1 3 1 2 3
1 4 3 1 4
2 3 4 7 3
3 8 1 7 8
A
Matrisinin rank ını bulun.
Elemanter satır işlemleri ile
1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3
1 4 3 1 4 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1
2 3 4 7 3 0 3 6 3 3 0 0 0 0 0
3 8 1 7 8 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0
A
Buradan sıfır olmayan 2 tane satır olduğundan 2rankA
Örnek 8.7
6 3 4
4 1 6
1 2 5
A
matrisinin Rankını bulun.
6 3 4 1 2 5 1 2 5 1 2 5
4 1 6 4 1 6 0 9 26 0 9 26
1 2 5 6 3 4 0 9 26 0 0 0
A
matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 2 olduğundan 2r A tür.
Teorem 8.4 : Denk matrislerin rankları eşittir.
Teorem 8.5 : Rankları eşit matrisler denktir.
Her iki teoremden de şu sonucu çıkarabiliriz: ,A n n tipinde bir kare matris ise rankA n
olması için gerek ve yeterli koşul A ile nI matrisinin denk olmasıdır. Bu durumda A regüler
matristir.
154
8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi
A katsayılar matrisi olmak üzere m denklemli ve n bilinmeyenli lineer denklem
sisteminin matris formu AX B ile ve ayrıca,
11 12 1 1
12 22 2 2
1 2
1 2
. . . .....
. . . .
. . . .
n
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
x x x
a a a b
şeklinde yazılabilir. Buna göre denklem sisteminin bir çözümünün olması için gerek ve yer
koşul B nin Anın sütunlarının bir lineer toplamı olarak yazılmasıdır. Bu da B nin A nın sütun
uzayında olması anlamına gelir Yani,
AX B bir çözümü vardır A B genişletilmiş katsayılar matrisinin rankının A nın
rankına eşit rankA rank A B olmasıdır.
Örnek 8.8
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2
2 3
5
x x x
x x x
x x a x a
Lineer denklem sisteminin çözümünün olup olmayacağını a nın alacağı değerlere göre
derleyin.
Çözüm olabilmesi için katsayılar matrisinin rankına bakalım:
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2
1 2 1 3 1 1 2 1 0 1 2 1
1 1 5 0 0 4 0 0 4 2
A B
a a a a a a
olduğundan
1. 2 4 0a ve 2 0a ise 2rankA ve 3rank A B olacağından çözüm yok . Bu
durum ise 2a de gerçeklenir.
2. 2 4 0a ve 2 0a ise 2rankA rank A B ise sistemin tek parametreye
bağlı sonsuz çözümü vardır.
155
3. 2 4 0a ise yani 2, 2 3a rankA rank A B olduğundan sistemin tek bir
çözümü vardır.
Tanım 8.4. : N A , Bir A matrisinin sıfır uzayı ( 0AX sisteminin çözümü) olmak üzere
N A nın boyutuna A matrisinin sıfırlığı denir.
Teorem 8.6 : A , m n tipinde bir matris ise ( )rankA Boyut N A n dir.
Örnek 8.9
3 4
1 2 1 1
2 4 3 0
1 2 1 5
A
olmak üzere A nın rankı:
3 4
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 4 3 0 0 0 1 2 0 0 1 2
1 2 1 5 0 0 2 4 0 0 0 0
A
Buradan 2rankA bulunur. N A :Bir A matrisinin sıfır uzayı için
1 1
2 2
3 3
4 4
01 2 1 1 1 2 1 1
02 4 3 0 0 0 1 2
01 2 1 5 0 0 0 0
0
x x
x x
x x
x x
Buradan
3 4 4 3
1 2 3 4 2 1
2 0 2
2 2 0 3 2
x x x ve x
x x x x x ve x
Olduğuna göre
156
3 2
: ,2
N A
yazılır. Buradan
3 2 3 2
0 1
2 2 0
1 0
Buradan
2Boyut N A
bulunur ki
( ) 4rankA Boyut N A
gerçekler.
157
Uygulamalar
Örnek birkaç matris yazarak satır, sütun ve sıfır uzayını bulma ve bunların boyutları arasındaki ilişkiyi veren formulasyonu elde etmeye çalışın.
158
Uygulama Soruları
1. 4P polinom uzayında 2 4 2 4 2 4, 2 3 , 3x x x x x x germesinin bir bazını bulun.Bu verilen polinom kümesinin gösterdiği matrisin stır uzayının ve sütun uzayının ranklarını elde edin.
2. Aşağıda verilen matrisin rankını, satır uzayını, sütun uzayını ve sıfır uzayını bulunuz.
159
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde bir uzaydan başka bir uzaya geçildiğinde koordinat ve baz değişimi
örneklerle irdelendi. Ayrıca herhangi bir uzay tarafından gerilen bir uzayın tabanının nasıl
bulunacağı incelenerek bir matrisin rankı kavramı verildi.
Diğer yandan lineer denklem sistemlerinin rank ile olan bağlantısı araştırıldı.
160
Bölüm Soruları
A-Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. 2x + y + z = 5
x + y + z = 3
x − 2y + 2z = 0
doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A. {(1, 1, 1)} B. {(2, 1, 0)} C. {(2, 2, −1)}
D. E. {(-2, 2, −1)}
2.
1 2
2 1
3 3
matrisinin satır rangı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A . 0 B. 2 C. 2
D. 3 E. Hiçbiri
3. 1 4
2 8A
olmak üzere 0AX homojen sisteminin çözüm uzayının boyut
aşağıdakilerden hangisidir?
A. 1 B. 2 C. 3
4. Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, 2 uzayı için bir taban (baz) dır?
A. {(0, 3), (1, 1)} B. {(0, 1), (0, −1)} C) {(0, 0), (0, 1)}
D) {(−1, 2), (2, −4), (0, 0)}
161
5. Bir F cismi üzerindeki bir V vektör uzayının boyutu FBoy V olmak üzere, aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A . 2Boy . B. 2Boy C. 1Boy
D. 2 2Boy E. Hiçbiri
6. 4,U ’ün bir alt uzayı ve , , , : 0U a b c d b c d ile verilsin
Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, U uzayı için bir taban (baz) dır?
A. {(0, 3), (1, 1)} B. {(0, 1), (0, −1)} C) {(1, 0,1,0), (0,-1,1,0), (0,-1,0,1)}
D {(1, 0,0,0), (0,-1,1,0), (0,-1,0,1)}
7. 4,U ’ün bir alt uzayı ve 1, 2,5, 3 , 2,3,1, 4 , 3,8, 3, 5 vektörlerinden oluşsun.
Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, U uzayının boyutudur?
A . 2 . B. 3 C. 1
D. 4 E. Hiçbiri
Cevaplar
1. C 2. C 3. A 4-A 5-B 6-D 7- A
162
9. İÇ ÇARPIM UZAYLARI
163
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
9.1. İç Çarpım
9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
9.2. Vektörlerin Ortogonallığı
164
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1.
0 2 1
2 , 1 , 0
5 0 1
U
vektör kümesi 3ün ortogonal bir tabanı mıdır?
2.
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
V vektör kümesi 3ün ortonormal bir tabanı mıdır?
165
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
İç Çarpım İç Çarpım tanımı ve gösterilişi kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Cauchy-Schwarz
Eşitsizliğini anlayabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Vektörlerin Ortogonallığı Vektörlerin Ortogonallığini kavramak
Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
166
Anahtar Kavramlar
İç Çarpım
İç Çarpım uzayı Ortogonallik
Ortonormallik
Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
167
Giriş
Bu bölümde iç çarpım uzayları irdelenir. Bunun için iç çarpım uzayının tanımı ve
uygulamaları verilerek önemli bazı eşitsizliklere değinilir. Ayrıca vektörlerin ortogonallığı ve
ortonormalliği örneklerle incelenir.
168
9.İç Çarpım Uzayları
Vektör uzayları bölümünde düzlemdeki vektörlerden bahsederek vektör uzayını ve
özelliklerine değinmiştik. Matematikte bazı ifadeleri tek bir sayı ile skaler olarak ifade etmek
bize kolaylık sağlar. Vektör veya matrislerin tek bir sayı ile gösterimi ileriki bölümlerde
göreceğimiz determinant ve bu bölümde detaylı olarak inceleyeceğimiz norm kavramları ile
sağlanır. Yine iki vektör arasındaki açının tespitinde de bu kavramdan yararlanırız.
Dolayısıyla bu bölümde iç çarpım ve norm kavramlarını bunlarla ilgili temel bağıntıları
inceleyeceğiz.
9.1 İç Çarpım
1
2
3
x
xu
x
, 3 de bir vektör olmak üzere bu vektörün normu veya uzunluğu
2 2 21 2 3u x x x olarak tanımlanır. ve
1 1
2 2
3 3
a b
a a b b
b
, 3 de iki vektör olmak üzere
Şekil IV.1 den
Şekil IV.1 iki vektör ve arasındaki açı
bu vektörlerin arasındaki uzaklık Cosinüs teoreminden ,
169
2 2 22 cosb a b a b a
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 cosb a b a b a b b b a a a b a
Buradan tamkareler açılır ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa,
1 1 2 2 3 3cos.
a b a b a b
a b
İki vektör arasındaki açı elde edilir. Eşitliğin ikinci tarafındaki 1 1 2 2 3 3a b a b a b toplamına
a ve b vektörlerinin iç çarpımı veya skaler çarpımı denir ve sıklıkla ,a b veya
a b sembolleri ile gösterilir. Genel olarak eğer , nx y ve ,i ix y olmak üzere
(1 i n ) bu vektörlerin iç çarpımı:
1 1 2 21
, ...n
n n i ii
x y x y x y x y x y
olarak yazılır. Bu denklemden hareketle,
22 2 21 2, ... nx x x x x x
yazılır. Buradan hareketle iç çarpım uzayının tanımını ve özelliklerini yazabiliriz.
Tanım 9.1 :V bir vektör uzayı olsun. ,u v V için ,u v ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları
sağlayan , : V V , , ,u v u v fonksiyonuna V bir vektör uzayı üzerinde bir iç
çarpım, V bir vektör uzayına da bir iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı , ,V ile
gösterilir.
i. Her ,u v V için , ,u v v u
ii. Her , ,u v w V için , , ,u v w u w v w
iii. Her ,u v V ve c için , ,cu v c u v
iv. Her u V için , 0 , 0 0u u ve u u u
170
Bu özellikler iç çarpımın tanımı kullanılarak rahatlıkla gösterilebilir.
Örnek 9.1: , nx y için 1 1 2 2, ... n nx y x y x y x y
İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır ve standart iç çarpım olarak adlandırılır.
Örnek 9.2: 3,x y için ve
1 4
2 3
4 5
x y
vektörlerinin iç çarpımını bulalım:
, 1.4 2 3 4.5 30x y
Örnek 9.3: ,ij ij n nn n n nA a B b M olsun. n nM matris uzayı üzerinde iç çarpım,
1 1
, ( : )n n
T Tij ij
j i
A B a b tr A B tr B A tr trace iz
Biçiminde tanımlandığına göre bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığını göstermek
oldukça kolaydır.
Örnek 9.4: 22
1 3 0 1,
2 4 2 3M de A B
matrislerinin iç çarpımlarını hesaplayalım:
2
1 1 2 2 11 11 21 21 12 12 22 221 1 1
,
1.0 2. 2 3.1 4.3 11
n n
ij ij j j j jj i j
A B a b a b a b a b a b a b a b
Bu sonucu matrislerin trace=iz tanımını kullanarak da bulabiliriz.
, TA B tr A B
171
olduğundan,
1 3 0 1 1 2 0 1 4 7, .
2 4 2 3 3 4 2 3 6 15
4 74 15 11
6 15
TA B A B
tr
Aynı sonuç bulunur.
Örnek 9.5: , ,V x a b aralığında sürekli reel fonksiyonların vektör uzayı
olsun. ,f x g x V olsun.Bu durumda ,C a b üzerinde,
,b
a
f g f x g x dx
İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır. Şimdi bunu gösterelim:
i. Her ,f g V için , ,b b
a a
f g f x g x dx g x f x dx g f
ii. Her , ,f g h V için
, , ,b b b
a a a
f g h f x g x h x dx f x h x dx g x h x dx f h g h
iii. Her ,f g V ve c için , ,b b
a a
c f g c f x g x dx c f x g x dx c f g
iv. Her f V için 2,b
a
f f f x dx
Analiz bilgimizden de hatırlanacağı üzere sıfırdan büyük veya eşit sürekli bir fonksiyonun
integrali de sıfırdan büyük veya eşittir. Bu durumda,
2, 0b
a
f f f x dx
olur. Eğer 0 , 0f f f olduğu açıktır.Tersine
172
2, 0 0b
a
f f f x dx f
dır.Şu halde iç çarpımın bütün şartlarını taşır.
Örnek 9.6: , ,V x a b aralığında sürekli karmaşık fonksiyonların vektör uzayı
olsun. ,f x g x V olsun. Bu durumda ,C a b üzerinde,
,b
a
f g f x g x dx
İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır.(Niçin?)
NOT: İç çarpımlı uzay; reel uzay ise Öklid uzayı, karmaşık (kompleks) ise Üniter uzayı
olarak adlandırılır.
9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği
Teorem 9.2 :V , bir iç çarpım uzayı ve her ,u v V vektörleri için
, .u v u v
dir. Bu eşitsizlikte sol taraf iç çarpımın mutlak değerini, sağ taraf ise vektörlerin normları
çarpımını temsil eder.
Örnek 9.7: karmaşık sayılar kümesini alalım. n boyutlu nV uzayında,
1 2, ,..., nu a a a ve 1 2, ,..., nv b b b karmaşık sayılardan oluşan vektörleri alalım.
1 1 2 2, ... n nu v a b a b a b
İç çarpımını alalım. Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinden,
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2, ... ... ...n n n nu v a b a b a b a a a b b b
173
Eşitsizliği elde edilir.
Örnek 9.8: , ,V x a b aralığında sürekli reel fonksiyonların vektör uzayı
olsun. ,f x g x V olsun. Bu durumda ,C a b üzerinde,
,b
a
f g f x g x dx
ile tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımı için Cauchy-Schwarz Eşitsizliği,
2
2 2 222, . .b b b
a a a
f g f x g x dx f x dx g x dx f g
Bu eşitsizlik kullanılarak daha önce de belirttiğimiz iki vektör arasındaki açı: 0,
1 1 2 2 3 3 ,cos
. .
a b a b a b a b
a b a b
elde edilir.
Örnek 9.9:
3 de 1,0,0 , 1,1, 2a b vektörleri arasındaki açı:
01 1 2 2 3 3 1cos 60
2.
a b a b a b
a b
Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinin sonucunda matematikte sıkça kullandığımız ve adını üçgenin
bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olmasından alan üçgen
eşitsizliği elde edilir.
Teorem 9.3 (Üçgen Eşitsizliği): V , bir iç çarpım uzayı ve her ,u v V vektörleri için
u v u v
174
İspat:
2
22 2
, , , , , , ,
, 2 , , 2 .
u v u v u v u u v v u v u u u v v u v v
u u u v v v u u v v u v
Her iki tarafın karekökü alınırsa,
u v u v
Üçgen eşitsitsizliği elde edilir.
9.2. Vektörlerin Ortogonallığı
Tanım 9.2: V bir iç çarpım uzayı olsun. Bu durumda ,u v V için , 0u v ise u ile
v vektörlerinin birbirine diktir veya ortogonaldir denir. ,U V vektör uzayının bir alt kümesi
olmak üzere eğer U nun elemanları ikişer ikişer birbirine dik (ortogonal) ise U alt kümesine
ortogonal küme denir.
Tanım 9.3 : Her vektörü birim uzunluğa sahip olan yani normu 1 birim olan ortogonal
kümeye ortonormal küme denir.
Örnek 9.10: 1
1u
ve 1
1v
vektörleri ,
, 1.1 1.1 0u v
olduğundan ortogonaldirler.
Örnek 9.11: 3 Öklid uzayının temel bazları:
1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e
175
Olmak üzere 1 2 1 3 2 3, , , 0e e e e e e dır. Yani her i j için , 0i je e olduğundan
verilen küme ortogonal kümedir. Ayrıca bu kümenin her elemanın normu
1 2 3 1e e e olduğundan 1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e kümesi 3 Öklid
uzayının ortonormal kümesidir.
Örnek 9.12: 1,1 aralığında tanımlı, reel değerli sürekli fonksiyonların vektör uzayında
23 1
1, ,2
xf x g x x h x
kümesinin ortogonal bir küme olup olmadığını
göstererek her birinin normunu bulunuz.
1 1 2
11
1 1
, | 02
xf g f x g x dx xdx
1 1 2 4 2
11
1 1
3 1 3, | 0
2 8 4
x x xg h g x h x dx x dx
1 1 2 3
11
1 1
3 1, 1. | 0
2 2
x x xf h f x h x dx dx
olduğundan kümenin elemanları ikişer ikişer birbirine diktir. Bu nedenle
23 1
1, ,2
xf x g x x h x
kümesi ortogonal bir kümedir. Ortonormal küme için
her birinin normlarına bakalım,
1 1
2 2
1 1
, 1 2 2 1f f f f x dx dx f
1 1
2 2 2
1 1
2 2, 1
3 3g g g g x dx x dx g
21 1
2 2 2
1 1
1 2 23 1 1
4 5 5h h x dx x dx h
olduğundan ortonormal küme değildirler.
176
Teorem 9.4: Bir V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin bir ortogonal kümesi lineer
bağımsızdır.
Tanım 9.4 :V , n boyutlu bir vektör uzayı olsun.Bu uzayda sıfırdan farklı 1 2, ,..., nv v v
vektörleri ortogonal ise bu vektörlerin kümesi V için ortogonal bir tabandır.Eğer 1 2, ,..., nv v v
vektörleri ortonormal ise bu vektörlerin kümesi V için ortonormal bir tabandır.
Örnek 9.13
0 2 1
2 , 1 , 0
5 0 1
U
vektör kümesi 3ün ortogonal bir tabanı mıdır?
0 2
2 , 1 0. 2 2.1 5.0 2 0
5 0
Olduğundan 3ün ortogonal tabanı değildir.
177
Uygulamalar
Uzunluk ve ortogonallik kavramlarının nasıl ve niçin ortaya çıktığını araştırınız.
178
Uygulama Soruları
V, iç çarpımı 1
0
,f g f x g x dx biçiminde tanımlansın. 22, 2f x x g x x x
olsun.Buna göre ,f g ve f değerlerini bulunuz.
179
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde iç çarpım uzaylarına odaklanıldı. Bunun için iç çarpım uzayının tanımı ve uygulamaları verilerek önemli bazı eşitsizlikler tanıtıldı. Buradan hareketle vektörlerin ortogonallığı örneklerle incelendi.
180
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. 3 de 3,4,5u vektörünün normu aşağıdakilerden hangisidir?
A. 25 B.5 C. 3 2
D. 7 3 E. 5 2
2. 3 de 2,3,5 ve 1, 4,3u v vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A. 5
2 5
B.
35
12 65
C.
55
2 65
D. 55
12 65
E.
45
12 65
3. 4 de 1,2, ,3 ve 3, ,7, 5u k v k vektörleri ortogonal ise k nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. 1/2 B.2/3 C. 4/3
D.5/2 E. 7/4
4. 4ün
1 3
2 5,
3 7
4 8
U vektörlerine ortogonal olan bir tabanı aşağıdakilerden hangisidir?
181
A.
1 4
2 4,
1 0
0 1
B.
1 4
1 4,
2 1
0 0
C.
1 4
2 4,
1 0
0 1
D.
1 4
2 4,
1 0
0 1
E.
2 1
2 4,
1 0
0 1
5. 2P R de tanımlı 1 2,b
a
p p f x g x dx iç çarpımına göre 2
1 22, 1p x p x x
vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A. 15
7 B.
3 7
15 C.
2 15
7
D. 2 15
3 7 E.
5
65
Cevaplar:
1. E 2. D 3. C 4. A 5.D
182
10.ORTONORMAL TABAN VE DETERMİNATA GİRİŞ
183
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
10.1. Ortonormal Taban
10.2. Determinantlar
10.2.1. Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası
10.2.2. Minörler ve Kofaktörler
184
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
Bir matrisin ne zaman tersi olmayabilir?
Bir lineer bağımsız vektör kümesinin ortonormal tabanını yazabilir miyiz?
Lineer denklem sistemlerini determinant kullnarak çözebilir miyiz?
185
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Ortonormal Taban Ortonormal Tabanı kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve
uygulama yaparak
Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası
Determinantların tanımını öğrenmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve
uygulama yaparak.
Minörler ve Kofaktörle Minörler ve Kofaktörler
arasındaki ilişkiyi kavramak
Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
186
Anahtar Kavramlar
Ortonormal taban
Determinant
Minörler ve Kofaktörle
187
Giriş
Bu bölümde dersimizde Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör
uzayının ortogonal ve ortonormal tabanlarının nasıl elde edileceği araştırılır. Ayrıca
matematik, fen ve mühendislik alanındaki birçok problemin çözümünde kullanılan
determinant konusuna giriş yapılarak bazı özellikleri verilir.
188
10.1. Ortonormal Taban
Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör uzayının ortogonal ve ortonormal
tabanlarını bulabiliriz.
Teorem 10.1:(Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Yöntemi)
Her sonlu boyutlu iç çarpım uzayı bir ortonormal tabana sahiptir.
1 2, ,..., eU v v v kümesi V nin herhangi bir tabanı ise U kümesini Gram –Schmidt
ortogonallşetirme yöntemi ile aşağıdaki formatta ortogonalleştiririz:
i. 1 1u v al.
ii. 11 21 2 1
1 1 2 2 1 1
, , ... ,, , ,
nn n n n n n
n n
uu uu v v u v u v u
u u u u u u
Formüllerinden sırasıyla 2 3, ,..., nu u u vektörleri bulunur. Dolayısıyla V nin ortogonal bir
tabanı 1 2 3, , ,..., nu u u u bulunur.
iii. 1 2 3, , ,..., nu u u u vektörlerinin birim vektörleri 1 2 3, , ,..., nw w w w
ise 1 2 3, , ,..., nS w w w w V nin ortonormal bir tabanıdır.
Örnek 10.1: 3ün
1 1 1
1 , 0 , 2
1 2 3
U vektörlerine Gram –Schmidt ortogonalleştirme
yöntemi uygulayarak bir ortogonal ve bir bir ortonormal tabana çevirelim.
Önce
1 1
1
1
1
u v alalım.
2 12 2 1
1 1
1 1 1 1 0, 1.1 0.2 2.1
0 1 0 1. 1 1, 1.1 1.1 1.1
2 1 2 1 1
v uu v u
u u
189
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
1 1 0, , 1.1 2.1 3.1 1.0 2.1 3.1
2 1 1, , 1.1 1.1 1.1 0.0 1. 1 1.1
3 1 1
1 1 0 11
2 2. 1 1 1 / 22
3 1 1 1 / 2
v u v uu v u u
u u u u
Böylece,
1
1 0 1
1 , 1 , 1 / 2
1 1 1 / 2
E kümesi 3 için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir
ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur. Dolayısıyla,
2
1/ 3 0 2 / 6
1/ 3 , 1 / 2 , 1 / 6
1 / 3 1/ 2 1/ 6
E kümesi 3 için ortonormal bir tabandır.
Örnek 10.2: 3ün 1 0 0
1 , 1 , 0
1 1 1
U
vektörlerine Gram –Schmidt ortogonallşetirme
yöntemi uygulayarak bir ortonormal tabana çevirelim. Şimdi yöntemi biraz daha kısaltalım.
Önce 1v normalize edelim:
11
1
1 / 3
1 / 3
1 / 3
vu
v
Sonra,
2 2 2 1 1
1 / 30 2 / 32
, 1 1 / 3 1 / 33
1 1 / 31 / 3
w v v u u
Değerleri bulunur ve bulunan bu vektör normalize edilir:
190
22
2
2 / 6
1 / 6
1 / 6
wu
w
Bulunur. Son olarak,
3 3 3 1 1 3 2 2
1 / 3 2 / 60 01 1
, , 1 1 / 3 1 / 6 1 / 23 6
1 1 / 21 / 3 1 / 6
w v v u u v u u
Bulunur ve 3w normalize edilirse,
33
3
0
1 / 2
1 / 2
wu
w
Bulunur. Böylece 3ün aranan ortonormal bazı:
1 2 3
1 / 3 2 / 6 0
1 / 3 , 1 / 6 , 1 / 2
1 / 3 1 / 6 1 / 2
u u u
bulunur.
Örnek 10.3: V, 1,1 aralığında tanımlı reel değişkenli sürekli fonksiyonların oluşturduğu
dercesi 3 olan reel değerli polinomlarım bir alt uzayı olsun .Bu alt uzayın bir bazı
2 30 1 2 31, , ,P f x f x x f x x f x x ise bunun ortonormal kümesini bulalım.
Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi uygularsak,
0 0 1g f alalım
1
1 0 11 1 0 1
0 0
1
.1,
.1,
1.1
x dxf f
g f f x xf f
dx
191
1 12 2
222 02 1 1 1
2 2 1 0 1 11 1 0 0
1 1
. .1,, 3 1
1, , 3
. 1.1
x xdx x dxf gf g x
g f g g x xg g g g
x xdx dx
3 2 3 1 3 03 3 2 1 0
2 2 1 1 0 0
1 1 123 3 3
23 1 1 1
2 1 11 2
1 11
3
, , ,
, , ,
3 1. . .1
3 3 11
33 1 . 1.1
3
5 3
5
f g f g f gg f g g g
g g g g g g
xx dx x xdx x dx
xx x
x x xdx dxdx
x x
Böylece,
2 3
1
3 1 5 31, , ,
3 5
x x xP x kümesi V için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir
ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur:
1
0 0
1
, 1.1 2g g dx ;
1
1 1
1
, . 2 / 3g g x xdx ;
21 2
2 2
1
3 1, 8 / 45
3
xg g dx
21 3
3 3
1
5 3, 8 / 175
5
x xg g dx
Dolayısıyla,
2 32
1 3 3 7, , 3 1 , 5 3
2 2 82P x x x x
kümesi analizde önemli olan Legendre polinomların ilk dördü olup V için ortonormal bir tabandır.
192
10.2.Determinantlar
10.2.1 Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası
Bir F alanı üzerinden her A kare matrisine A nın determinantı denilen skaler bir sayı karşılık getirilir ve genellikle det veyaA A ile gösterilir. Determinantlar bilimin birçok alanında kullanıldıpı gibi özellikle Matematik alanı ile ilgili derslerde çok değişkenli fonksiyonların maksimum, minimum ve eyer noktalarının saptanmasında ve lineer denklem sistemlerinin çözülmesinde bize kolaylık sağlamaktadırlar. Determinantın daha kapsamlı tanımını vermeden önce bazı temel tanımlar verelim.
Tanım 10.1. Bir 11 12
21 22
a aA
a a
kare matrisi verilmiş olsun. A nın determinantı :
11 22 12 21det A A a a a a
bir skaler sayısı verecek şekilde tanımlanır. A nın determinantı için sıklıkla kullanılan diğer
bir notasyon 11 12
21 22
a a
a adır.
Örnek 10.4
2 1
3 4A
matrisinin determinantı,
2 1
det 2.4 3.1 53 4
A
olarak bulunur.
A , elemanları Reel sayılardan oluşan bir matris olsun. A nın determinantının
geometriksel bir yorumunu yapalım.Şöyle ki; 1 1 2 2, ve ,P x y Q x y düzlemde iki nokta
olsun. Bu noktalar Şekil 3.1 de gösterilen 0,0O orijinli bir üçgenin köşeleri olsun.
193
Şekil 3.1 OPQ Üçgenin alanı
Bu OPQ üçgeninin alanı 1 2
1 2
1
2
x x
y y değeridir. ˆs POQ ve OP ışını ile pozitif x ekseni
arasındaki açı 1 olsun. Kutupsal koordinatlardan
1 1 1 1 1 1cos ve sinx r y r yazılır. Burada
1OP r dir. OPQ üçgeninin alanı 1. .sin
2OP OQ değeridir. OQ ışını ile pozitif x ekseni
arasındaki açı 2 1 olsun. Buradan
2 2 2 2 2 2cos ve sinx r y r yazılır. Böylece,
2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 2
2 1 2 1
1 2
1 1Alan . .sin . .sin
2 2
1. . sin cos cos sin
2
1sin . cos cos . sin
2
1 1
2 2
y x x y
OPQ OP OQ OP OQ
OP OQ
OQ OP OQ OP
x xy x x y
y y
yazılır. Diğer yandan 3n olmak üzere n n tipinde ijA a kare matrisin determinantının
değerini bulabilmek için öncelikle birkaç temel kavramın bilinmesine ihtiyaç vardır.Şimdi
onları verelim.
10.2.2.Minör ve Kofaktör Açılımları
Tanım 10.2 ijA a kare matrisi verilsin. Bu matrisin i.satır ve j. sütunun atılması suretiyle
elde dilen bir 1 1n n kare alt matrisinin determinantı ijM ile gösterilir ve A nın ija
elemanının minörü olarak adlandırılır.
194
2 1 4
5 2 3
8 7 3
A
matrisi için 23M minörü; A nın 2.satır ve 3.sütun elemanının silinmesiyle
elde edilen matrisin determinantıdır.Yani;
23
2 17.2 8.1 6
8 7M
olarak bulunur.
Tanım 10.3 2n olmak üzere n n tipinde ijA a kare matrisin determinantı ; + ve –
işaretleriyle değişen 1 1j ja M formunda n terimin toplamıdır. Burada 11 12 1, ,..., na a a , A nın
birinci satırındaki elemanları ve 1 jM ise 1 ja elemanının minörünü temsil etmektedir. Semboliksel olarak:
1
11 11 12 12 1 1
1
1 1
1
det ... 1
1
n
n n
nj
j j
j
A a M a M a M
a M
Bu tanım 2 2 lik matrisler için de geçerlidir:
11 11 12 12 11 22 12 21det A a M a M a a a a
Örnek 10.5
2 3 4
5 6 7
8 9 1
A
matrisinin determinantını bulalım.
11 11 12 12 13 13det A a M a M a M
olduğundan,
6 7 5 7 5 6
det 2. 3 4 2.(6 63) 3.(5 56) 4.(45 48) 279 1 8 1 8 9
A
195
Tanım 10.4 Bir A matrisinin işaretli minörüne A nın ija elemanının kofaktörü denir ve
ijC ile gösterilir. Buradan
1i j
ij ijC A M
yazılır. Minörün önünde bulunan 1i j açılımı işaretlerin bir satranç tahtası modelini verir:
...
...
...
... ... ... ...
Minör bir matrisi
2 1 4
5 2 3
8 7 3
A
matrisi için 23M minörü; 23 6M olarak bulunmuştu. Buna göre 23C
kofaktörü,
2 3
23 231 ( 1).6 ( 6)C A M
olarak bulunur.
Teorem 10.2. n n tipinde ijA a kare matrisinin determinantı herhangi bir satır veya
sütununun elemanları ile bunlara karşılık gelen kofaktörlerinin çarpımının toplamına eşittir.Buna determinatın Laplace genişlemesi de denir.
.i satır kullanılarak elde edilen determinant;
1 1 2 2 2
1
det ...n
i i i i in i ij ij
j
A a C a C a C a C
veya .j sütun kullanılarak elde edilen determinant:
196
1 1 2 2
1
det ...n
j j j j nj nj ij ij
i
A a C a C a C a C
Örnek 10.6
1 2 3
2 1 3
1 0 1
A
matrisinin determinantını 1.satırdaki elemanlara karşılık gelen kofaktörleri
kullanarak bulalım.
Çözüm:
Önce kofaktörleri bulursak,
1 1 1 2 1 3
11 12 13
1 3 2 3 2 11 1, 1 1, 1 1,
0 1 1 1 1 0C C C
Elde edilir. Determinant ise,
11 11 12 12 13 13det( ) 1. 1 2.1 3.1 4A a C a C a C
bulunur. Teorem1, bir çok sıfır içeren bir matrisin determinantını hesaplamada kolaylık
sağlar. Mesela, Eğer bir satırın veya sütunun elemanlarının çoğu sıfır ise bu elemanlara
karşılık gelen kofaktörlerle çarpımları sıfır olacağından bu kofaktörleri hesaplamaya gerek
kalmaz.Sadece sıfır olmayan eleman veya elemanların kofaktörleri hesaplanarak determinant
bulunur.Aşağıdaki örneği takip edelim:
Örnek 10.7.
2 3 0 5
1 2 1 6
3 2 0 2
1 1 0 1
A
matrisinin determinantını bulurken üçüncü sütunda daha fazla sıfır
olduğundan bu sütuna göre determinantı bulmaya çalışmak kolaylık sağlar. Buna göre,
197
2 3
2 3 0 52 3 5
1 2 1 61. 1 3 2 2
3 2 0 21 1 1
1 1 0 1
3 5 2 5 2 3
2 2 3 2 3 2
16 19 5 2
A
elde edilir.
Uygulamalar
1-Determinantla permutasyon arasındaki ilişkiyi araştırın.
2-İki matrisin toplamının determinantının ayrı ayrı determinantların toplamına eşit olmadığını fakat çarpımın determinantının ayrı ayrı determinantları çarpımına eşit olduğunu gösterin
198
Uygulama Soruları
1.
Matrisinin hangi şartla determinantının sıfır olacağını gösterin
2. Üst üçgensel bir matrisin determinantının köşegen üzereindeki elemanlarının bir çarpımı olduğunu gösteren uygulamalar yapın
199
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör uzayının ortogonal
ve ortonormal tabanlarının nasıl elde edileceği araştırdı. Diğer yandan determimant kavramı
geometriksel ve cebirsel olarak tanıtılarak bazı özellikleri verildi.
.
200
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1. 2 2XM de tanımlı iç çarpıma göre
1 2
3 4
matrisinin uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?
A. 10 B.20 C. 30
D. 2 5 E. 17
2. 4ün
1 1 1
1 1 2, ,
1 2 4
1 4 3
U vektörlerine ortonormal olan bir tabanı aşağıdakilerden
hangisidir?
A.
1 / 5 21 / 61 / 2
1 / 2 3 / 5 21 / 6, ,
1 / 2 0 6 / 5 2
1 / 2 2 / 6 2 / 5 2
B .
1/ 2 1 1/ 5
1 / 2 1 3 / 5, ,
1 / 2 0 6 /
1 / 2 2 2 / 5
C.
2 1 1
1 1 2, ,
1 3 4
1 4 3
D.
1/ 2 1 1
1/ 2 1 2, ,
1 / 2 2 4
1/ 2 4 3
E.
1 1 1
0 1 2, ,
1 2 4
1 4 3
3. 2 için aşağıdakilerden hangisi bir ortonormal tabandır?
A.
1 1,
1 0 B.
1 0,
0 1 C.
1 0 1, ,
1 1 1
D.
1 2,
1 2 E.
0 1,
0 3
201
4.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?
A.1 B .2 C.0 D. 7 E. 9
5. 2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?
A. b a c a c b B . 2b a c a b c C. 2 2
b a c a b c
D. 2b a c a a c E. 2
a b a c c b
Cevaplar:
1. C 2.A 3.B 4.C 5.A
202
11. DETERMİNANTLAR VE UYGULAMALARI
203
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
11.1. Determinantın Özellikleri
11.2. Elemanter Matrislerin Determinantları
11.3. Bir Matrisin Tersi
11.4. Cramer Kuralı
204
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1. Karesel bir matrisin determinantı transpozesinin determinantına eşit midir?
2. Bir matrisin determinantını satır sütun işlemleri ile nasıl buluruz?
3. Determint kullanrak bir matrisin tersini alabilir miyiz?
4. Singüler matris ne demektir?
5. Bir matrisnin tersinir olup olmadığını nasıl anlarız?
205
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Determinantın Özellikleri Determinantın Özelliklerini
kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek ve uygulama yaparak
Elemanter Matrislerin
Determinantları Elemanter Matrislerin
Determinantları saptayabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek ve uygulama yaparak
Bir Matrisin Tersi Bir Matrisin Tersi ile
determinant arasındaki ilişkiyi kavramak
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek ve uygulama yaparak
Cramer Kuralı Lineer denklem sistemlerini
determint kullanarak
çözebilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek ve uygulama yaparak
206
Anahtar Kavramlar
Singüler matris
Ek matris
Cramer Kuralı
207
Giriş
Bu bölümde dersimizde matematik, fen ve mühendislik alanındaki birçok problemin
çözümünde kullanılan determinantların birtakım özellikleri gösterilir. Ayrıca elemanter
matrislerin determinantlarının bulunması incelenir. Buradan hareketle bir matrisin
determinantını kullanarak tersinin nasıl elde edileceği araştırılır. Buna ek olarak lineer
denklem sistemlerinin Determinant kullanılarak Cramer kuralı ile nasıl çözüleceği irdelenir.
208
11.1. Determinantın Özellikleri
Aşağıdaki teoremler bazı problemlerde determinantın hemen bulunabileceği bazı özel halleri
vermektedir.
Teorem 11.1 ijA a kare matrisi verilsin. Buna göre:
I. Eğer A matrisinin bir satırı veya sütunu sıfır ise determinant değeri de sıfırdır.
Örnek 11.1 :
12 3 4
2 8 0 0
0 0 0
A A
II. Eğer A matrisinin birbirinin aynısı iki satır veya sütunu varsa 0A
Örnek 11.2
2 3 1
1 4 2 0
2 3 1
III. TA A
Örnek 11.3
1 2 3
0 2 1 1.4 0.8 1. 4 0
1 2 1
A A
ve
1 0 1
2 2 2 1.4 0.8 1. 4 0
3 1 1
TA A
209
Teorem 11.2. Eğer ijA a matrisi alt(üst) üçgensel matris ise determinantı köşegen
üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.
Örnek 11.4
1 2 5
0 4 100 1.4. 3 12
0 0 3
A A
Bir matrise önceki bölümlere gördüğümüz elemanter satır veya sütun işlemleri uygulanarak
alt veya üst üçgensel hale getirilerek Teorem IV.3 ve aşağıdaki teoremler yardımıyla
determinant değeri kolaylıkla bulunur.
11.2. Elemanter Matrislerin Determinantları
Teorem 11.3. A ve B matrisleri nxn lik matrisler olsun. B matrisi A matrisinden,
I. A nın herhangi iki satırının yerleri değiştirilerek elde edilmişse,
B A
Bu birinci satır işlemi ve 1E elemanter matrisi 1.tiptendir.
11 12
11 22 12 21
21 22
21 22
1 1 1 12 21 11 22 1
11 12
0 1, 1
1 0
a aA A a a a a
a a
a aE E A E A a a a a A E
a a
Olur.
II. A nın satırı veya sütununu bir k skaleri ile çarpılarak elde edilmişse,
B kA k A
Bu ikinci satır işlemi ve 2E elemanter matrisi 2.tiptendir
11 12
2 2 2 11 22 12 21 2
21 22
0,
0 1
ka kakE E A E A k a a a a k A E k
a a
210
III. Herhangi bir satırının(sütun) bir c katı diğer bir satırına(sütun) ilave edilerek
bulunmuşsa B A
Bu üçüncü satır işlemi ve 3E elemanter matrisi 3.tiptendir
11 12
3 3
11 21 12 22
3 12 11 11 22 12 11 12 21 3
1 0
1
, 1
a aE E A
ka a ka ak
E A ka a a a ka a a a A E
Teorem 11.4. E bir elamenter matris ise . veEA E A AE A E yazılır.
Örnek 11.5
4 3 2
3 2 5
2 4 6
A
matrisinin determinantını elamenter satır işlemleriyle üçgen formuna
getirerek bulalım.
3 31 3
3 3 12 2 1
3 32 2
3 3 2
1
2
43
11
54
1
2
4 3 2 4 3 2 1 2 3
3 2 5 2 3 2 5 2 3 1 5
2 4 6 1 2 3 4 3 2
1 2 3 1 2 3
2 0 8 4 2 0 8 4
4 3 2 0 5 10
1 2 3 1 2 3
2.4 0 2 1 2.4.5 0 2 1
0 5 10 0 1 2
1 2 3
2.4.5 0 2 1
0 0 3 / 2
R RR R
R R RR R R
R RR R
R R R
bulunur. Üçgensel forma geldiğine göre determinant köşegen elemanların çarpımıdır:
2.4.5.1. 2 . 3/ 2 120A
211
Teorem 11.5 ,A n n tipindeki kare bir matrisin regüler olması için gerek ve yeter koşul
0A olmasıdır. Buradan ,A n n tipindeki kare bir matrisin singüler olması gerek ve
yeter koşul 0A olmasıdır.
Örnek 11.6 1 2
3 4A
matrisi regüler midir?
1 2
2 03 4
A için regülerdir.
Teorem 11.6. ,A n n tipindeki kare bir matrisin RankA n olması için gerek ve yeter koşul
0A olmasıdır.
Örnek 11.7 1 2
3 5A
k
matrisinin rank’ının 2 olması için k nın durumunu bulun.
1 21 0 1
3 5A k k
k
Teorem 11.7. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. 0AX homojen lineer denklem
sisteminin aşikâr olmayan bir çözümünün olması için gerek ve yeter koşul 0A olmasıdır.
Örnek 11.8 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
2 3 0
3 2 0
x x x
x x x
x x x
Homojen lineer denklem sisteminin aşikâr olmayan bir çözümünün olduğunu gösterin.
Teorem IV.6 dan, Katsayılar matrisinin determinantı
212
77 7
1 2 33 1 2 1 2 3
2 3 1 2 3 01 2 3 2 3 1
3 1 2
Olduğundan sistemin aşikâr olmayan çözümü vardır.
Teorem 11.8. ve ,A B n n tipindeki kare matrisler olsun. AB A B
Örnek 11.9
1 3 2 1,
2 4 3 5A B
olsun.
2, 13A B dir. Ayrıca 11 14
. . 26 2.1316 18
A B A B A B
11.3.Bir Matrisin Tersi
Tanım 11.1. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. Bu matrisin ija elemanını silip yerine
ijC kofaktörünü yazmak ve elde edilen matrisin transpozesini almak suretiyle elde edilen
jiC matrisine A nın ek (adjoint) matrisi denir ve adjA veya A ile gösterilir. Buna göre
ijA a nin ek matrisi:
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
C C C
C C CadjA
C C C
dir.
213
Örnek 11.10
2 3 4
0 4 2
1 1 5
A
matrisi için adjA yi bulun.
1 1 1 2 1 3
11 12 13
2 1 2 2 2 3
21 22 23
3 1 3 2 3 3
31 32 33
4 2 0 2 0 41 18, 1 2, 1 4
1 5 1 5 1 1
3 4 2 4 2 31 11, 1 14, 1 5
1 5 1 5 1 1
3 4 2 4 2 31 10, 1 4, 1 8
4 2 0 2 0 4
C C C
C C C
C C C
dir.Buna göre,
18 11 10
2 14 4
4 5 8
adjA
Elde edilir.
Teorem 11.9. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun.
nA adjA adjAA A I dir.
İspat 11.9.
1 1
.adjA .adjA An n
ij ij kj ik nik jk ikj j
A a A a C A A
Böylece ispat tamamlanır.
Örnek 11.11
2 3 4
0 4 2
1 1 5
A
matrisinin
18 11 10
2 14 4
4 5 8
adjA
olduğunu bir önceki
örnekte gördük. Buna göre,
214
2 3 4 18 11 10 46 0 0 1 0 0
0 4 2 . 2 14 4 0 46 0 46 0 1 0 46
1 1 5 4 5 8 0 0 46 0 0 1
A
Teorem 11.10. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. 0A ise 1 1A adjA
A
dır.
İspat 11.10: Teorem IV.7 den nA adjA adjAA A I dir. Burada 0A olduğu için,
1 1n nA adjA A adjA A I I
A A
Ve
1 1n nadjA A A I I
A A
bulunur.O halde 1 1A adjA
A
dir.
Örnek 11.12
1 2 3
4 5 6
8 8 9
A
matrisinin varsa tersini bulunuz.
1 2 35 6 4 6 4 5
4 5 6 2 3 3 08 9 8 9 8 8
8 8 9
A
Olduğundan A matrisi singüler değildir. Buna göre tersi vardır ve
215
11 21 31
1
12 22 32
13 23 33
5 6 5 6 2 3
8 9 8 9 5 6
4 6 1 3 1 31 1
8 9 8 9 4 63 3
4 5 1 2 1 2
8 8 8 8 4 5
3 6 31
12 15 63
8 8 3
C C C
A C C C
C C C
11.4 . Cramer Kuralı
Teorem 11.11 Sonlu sayıda lineer denklemin meydana getirdiği n denklem ve
n bilinmeyenden oluşan
11 11 12 2 1 1
21 11 22 2 2 2
1 11 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
bir lineer denklem sistemi verilsin denir. Bu lineer denklem deki sistemi matris-vektör
formunda yazmak istersek,
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... . .
...
n
n
m n mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
X BA
yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü
ve B sabitler vektörünü temsil eder. Ayrıca i , A matrisinde .i sütun yerine B yazılmasıyla
elde edilen bir matris oldun. Eğer 0A ise bu sistemin,
1 2
1 2, ,...,n
nx x x
216
Şeklinde tek bir çözümü vardır.
İspat 11.111: 0A olduğundan dolayı A bir regüler matristir. Buradan hareketle,
1 AX B X A B
yazılır.
1 1 1
11 21 1
2 2 2
12 22 2
1
1 23 33
1 11 2 21 1
2 12 2 22
...
.... . .1
. .... .. . .
. . .. . .
. . .
...
...
1
n
n
n n n
n
n n
x b bC C C
x b bC C C
A
x b bC C C
b C b C b C
b C b C
2
1 2 2
.
.
.
...
n n
n n n n nn
b C
b C b C b C
Olduğundan 1X A B eşitliğinden;
1 2
1 2, ,..., (1 )n
nx x x i n
Bulunur.
Örnek 11.13
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
2 4
2 3
x x x
x x x
x x x
217
Lineer denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.
1
2
3
2 3 1 1
1 2 1 , 4 ,
2 1 1 3
x
A x
x
B X
Olmak üzere 2 3 1
1 2 1 2
2 1 1
A
olduğundan,
1 2 3
2 1 1 1 3 1 3 2 1
1 4 1 4 2 1 1 2 4
2 3 1 3 1 1 2 1 34 6 82, 3, 4
2 2 2x x x
Elde edilir. Dolayısıyla lineer denklem sisteminin çözüm vektörü
2
3
4
X
olarak bulunur.
Bu yöntem sadece n denklem ve n bilinmeyenden oluşan ve katsayılar matrisi regüler olan
lineer denklem sistemleri için uygulanabilir. Matrisin boyutu arttırıldığında örneğin 4n
olduğunda çok kullanışlı değildir. Bu durumda Gauss eliminasyon veya Gauss-Jordan
yöntemini daha elverişlidir.
.
218
Uygulamalar
Bir parelel yüzlünün hacminin elde edilmesinde determinantın rollünü araştırınız.
219
Uygulama Soruları
1- M matrisi karesel bir matris olmasın fakat . TM M ve .TM M matrisleri karesel
matrislerdir.Buna göre det( . ) det( . )T TM M M M eşitliğinin doğru olıup olmadığını araştırınız.
2- Aşağıdaki matrisin tersinir olup olmadığını kontrol ederek tersinir ise terslerini bulunuz..
220
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde fen ve sosyal bilimlerinde birçok problemin çözümünde kullanılan determinantların birtakım özellikleri gösterildi. Ayrıca elemanter matrislerin
determinantlarının bulunması incelendi. Buradan hareketle bir matrisin determinantını kullanarak tersinin nasıl elde edileceği araştırıldı. Buna ek olarak lineer denklem sistemlerinin Determinant kullanılarak Cramer kuralı ile nasıl çözüldüğü görüldü.
221
Bölüm Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
1 1 0
1 1 1
0 2 1
A
ise adjA aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1 1 0
1 1 1
2 2 0
B.
1 1 1
1 1 1
2 2 0
C.
1 1 1
1 1 1
2 2 0
D.
1 1 1
1 1 1
2 2 0
E.
1 1 3
1 1 1
2 2 0
2.
1 2 2
3 1 0
1 1 1
A
ise 1 ?A aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1 0 2
3 1 6
2 1 5
B.
1 0 2
3 1 6
2 1 5
C.
1 1 1
1 1 1
2 2 0
D.
1 1 1
1 1 1
2 2 0
E.
1 0 2
3 1 6
2 1 5
3. Aşağıdaki matrislerden hangisi singülerdir?
A.
2 1 1
0 5 2
1 3 4
B.
3 2 4
2 5 1
0 6 1
C.
2 1 4
6 3 2
4 1 2
D.
7 6 5
1 2 1
3 2 1
E.
1 2 2
3 1 6
2 1 5
222
4.
2x -5 y +2 z = 7
x + 2y -4z = 3
3x − 4y -6z = 5
doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini Cramer yöntemi ile aşağıdakilerden hangisi
sağlar?
A. {(1, 1, 1)} B. {(2, 1, 0)} C. {(5, 1, 1)}
D. E. {(-2, 2, −1)}
5 .
1 2 2 3
3 1 5 0
4 0 2 1
1 7 2 3
matrisine göre 42 ?C
A. -135 B. -103 C. 16
D. -13 E. -31
Cevaplar:
1. D 2. A 3. D 4. C 5.E
223
12. ÖZDEĞERLER ve ÖZVEKTÖRLER
224
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
6.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı
6.2. Köşegenleştirme
225
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1-Determinatı başka matematiğin hangi uygulamalarında kullanırız?
2-Bir matrisle bir vektörün çarpımını aynı vektörün katına eşitleyen skaler sayılara ne denir?
3- 2 1
1 2A
matrisi için Ax x denklemini sağlayan x vektörünü ve sayılarını bulabilir
miyiz?
226
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı
Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımını kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Köşegenleştirme Bir matrisi
köşegenleştirilebiliyorsa köşegenleştirmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
227
Anahtar Kavramlar
Özdeğer
Özvektör
Karakteristik Denkelm
Köşegenleştirme
228
Giriş
Bu bölümde lineer cebir, diferansiyel denklemler gibi birçok derste uygulaması olan bir
matrisin özdeğerler ve öz vektörleri kavramları tanıtılır. Ayrıca öz değer ve öz vektörler
kullanılarak bir matrisin nasıl köşegenleştirilebileceği sorusuna yanıt aranır.
229
12.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı
Tanım 12.1: ,A n n tipindeki bir kare matris olsun.
Ax x (VI.1)
Eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir x vektörü varsa skalerine A ’nın özdeğeri veya
karakteristik değeri denir. x vektörüne de özdeğerine karşılık gelen özvektör denir.
Örnek 12.1: 1 2
3 2A
matrisinin bütün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.
Ax x de bir skaler ve 1
2
xx
x
sıfır olmayan bir vektör olsun.Dolayısıyla denklemde
yerine yazılırsa,
1 1 1 2 1
2 2 1 2 2
21 2
3 23 2
x x x x x
x x x x x
(VI.2)
Olur. Buradan,
1 2 1 1 2
1 2 2 1 2
2 1 2 0
3 2 3 2 0
x x x x x
x x x x x
Homojen denklem sistemi oluşur. Bu denklem sisteminin sıfırdan farklı yani aşikâr bir
çözümünün olabilmesi için gerek ve yeterli koşulun katsayılar determinantının sıfıra eşit
olmasıyla mümkün olacağını bir önceki bölümde gördük. Buradan hareketle
21 2
3 4 4 ( 1) 03 2
230
Denkleminin çözüm değerleri 1 24ve 1 değerleri için skaleri A ’nın bir özdeğeri
olur. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulmak için Denklem (VI.2) de yerine
yazılırsa,
i. 1 4 için
1 2 1
1 2 1 2
1 2 2
2 43 2 0, 3 2 0
3 2 4
x x xx x x x
x x x
olur. Buradan
1 22 için 3x x olacağından 1 4 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör
2
3x
alınır.
ii. 2 1 için
1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2
22 2 0, 3 3 0
3 2
x x xx x x x x x
x x x
olur. Buradan 1 21 için 1x x olacağından 1 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör
1
1x
alınır.Denklem VI.1 deki Ax x eşitliği,
0 0Ax x A x (VI.3)
formunda yazılır. A matrisine A nın karekteristik matrisi denir. Bu homojen denklem
sisteminin çözümünün olması dolayısıyla özdeğerlerinin olması için gerek ve yeterli
koşulun Denklem(VI.3) ün aşikâr olmayan bir çözüme sahip olmasıdır. Dolayısıyla bu
denklemin çözüm kümesi n in bir alt uzayı olan N A dır.( N A , bir A
matrisinin sıfır uzayıdır. Yani Denklem (VI.3) sisteminin çözümüdür.). Buradan hareketle ,
A nın bir özdeğeri ise çözüm uzayı 0N A ve Bu çözüm uzayındaki herhangi
sıfırdan farklı bir vektör, ya karşılık gelen bir özvektördür. Ayrıca N A alt uzayına
ya karşılık gelen öz uzay denir.
Denklem(VI.3) ün aşikâr olmayan bir çözüme sahip olması için gerek ve yeterli koşul A
matrisinin singüler olması yani 0A olmasıdır.Eğer det A açılırsa,
1
1 1det ... 0n n
n nA a a a (VI.4)
231
.n dereceden bir polinom elde edilir. Bu polinoma karakteristik polinom, det 0A
denklemine de A nın karakteristik denklemi denir. Karekteristik polinumun derecesi n
olduğundan n tane köke sahiptir. Bu kökler farklı, katlı veya kompleks(karmaşık) olabilir.
Buraya kadar anlattıklarımızı içeren aşağıdaki teoremi verelim:
Teorem 12.1 ,A n n tipindeki bir matris ve bir skaler olsun.Aşağıdaki ifadeler birbirine
denktir:
i. , A nın özdeğeridir.
ii. 0A x denklemi aşikâr olmayan bir çözüme sahiptir.
iii. 0N A
iv. A matrisinin singülerdir.
v. det 0A dır.
Örnek 12.2: 2 1
1 2A
matrisinin bütün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.
0A karakteristik denklemi,
22 1
4 3 1 ( 3) 01 2
Yazılır. Bu denkleminin çözüm değerleri 1 21ve 3 öz değerleridir. Bu özdeğerlere
karşılık gelen özvektörleri bulmak için Denklem (VI.3) de yerine yazılırsa,
i. 1 1
için
232
1
1 2 1 2
2
1 1 00
1 1 0
xx x x x
x
olur. Buradan
2x keyfi değeri için
1x olacağından 1 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör
1
1x
alınır.
1 1 özdeğerine karşılık gelen sıfır uzayı 1
1,
1N A N A
yazılır.
ii. 2 3 için
1
1 2 1 2 1 2
2
1 1 0, 0
1 1 0
xx x x x x x
x
olur. Buradan 2x keyfi değeri için
1x olacağından 2 3
özdeğerine karşılık gelen bir öz vektör
1
1x
alınır.
2 3 özdeğerine karşılık gelen sıfır uzayı 2
13 ,
1N A N A
yazılır.
Örnek 12.3:
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.
karakteristik denklemi,
23
1 1
1 1 3 2 1 ( 2) 0
1 1
Buradan özdeğerler 1 2 31ve 2 öz değerleridir.
i. Burada çift katlı 1 2 1 özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulmak
için 1 0A A homojen denklem sistemi
1
2 1 2 3 1 2 3
3
1 1 10
1 1 1 00
1 1 1
x
x x x x x x x
x
olur.
Burada iki parametreye bağlı sonsuz çözüm elde edilir. Buradan 2 30, 1x x keyfi değeri
için 1 1x , 2 31, 0x x keyfi değeri için 1 1x olacağından 1 2 1 özdeğerine
233
karşılık gelen özvektörler 1 1
0 , 1
1 0
x
alınır. Burada da görüldüğü gibi 1 iki katlı
ve öz uzayının boyutu da 2 dir.
ii. 3 2 için
ii. 1 2 0A A homojen denklem sistemi
1 1
1 2 3
2 2
2 3
3 3
2 1 1 0 2 1 12 0
1 2 1 0 0 3 33 3 0
1 1 2 0 0 0 0
x xx x x
x xx x
x x
olur.
Buradan 1 2 3x x x bir parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. Öz uzayın bir tabanı olarak
1
1
1
alınabilir. Dolayısıyla 1 1 1
0 , 1 , 1
1 0 1
x
, 3
1 ün bir tabanıdır.
12.2 Köşegenleştirme
Tanım 12.2. ,A n n tipindeki bir matris olmak üzere,
1
21
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... n
k
kX AX D
k
Eşitliğini sağlayan bir D köşegen matris ve bir X , singüler olmayan matrisi varsa, n n
tipindeki A matrisine köşegenleştirilebilir denir. X ’ e de A matrisini köşegenleştirir denir.
Teorem 12.2. ,A n n tipindeki bir matrisin köşegenleştirilebilmesi için gerekli ve yeterli
koşul A nın n tane lineer bağımsız özvektöre sahip olmasıdır.
234
Teorem 12.3. , 2 2A tipinde 1 2ve özdeğerlerine ve bunlara karşılık gelen
1 2veX X özvektörlerine sahip olsun. P , de sütunları sırasıyla 1 2veX X olan bir matris
olsun. Bu durumda P singüler değildir ve
11
2
0
0P AP
Eşitliği gerçekler.
İspat 12.3. 1 1 1 2 2 2veAX X AX X olsun. Biz
1 2 0xX yX homojen sistemin sadece
aşikâr olmayan bir çözüme sahip olacağını göstereceğiz. Bilindiği üzere 1 2P X X
singüler değildir. Böylece varsayalım 1 2 0xX yX olsun. Bu durumda
1 2 .0 0A xX yX A
ve buradan
1 2 1 1 2 20 0x AX y AX x X y X
Olur. 1 2 0xX yX denklemini
1 ile çarpar 1 1 2 2 0x X y X eşitliğini kullanırsak,
2 1 2 0yX
Elde edilir. Böylece 2 1 0 ve 2 0X için 0y olur. Bu değer 1 2 0xX yX
denkleminde kullanılırsa 1 0 0xX x olur. 1 1 1 2 2 2veAX X AX X denklemleri
kullanılırsa
1 1
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
2 2
0 0
0 0AP A X X AX AX X X X X P
ve böylece
1 1 11 1
2 2 2
0 0 0
0 0 0P AP P P
235
Elde edilir. Bu teoremden genelleştirirsek eğer A köşegenleştirilebilir ise köşegenleştiren P
matrisinin sütun vektörleri A nın özvektörleridir. D köşegen matrisin köşegenleri de A nın
özdeğerleridir.
Örnek 12.4
2 1
1 2A
matrisinin1 21ve 3 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörlerini sırasıyla
1 2
1 1ve
1 1X X
bulmuştuk. Buradan P matrisi,
1 1
1 1P
Olur.
11/ 2 1/ 2 2 1 1 1 1/ 2 1/ 2 1 1 1 0
1/ 2 1/ 2 1 2 1 1 1/ 2 1/ 2 3 3 0 3P AP
Elde edilir. Köşegen matrisin köşegen elemanları, A matrisinin özdeğerleri olduğu görülür.
Diğer yandan
1 1P AP D A PDP
Olacağından
1 11 1 11 1
2 2 2
0 0 0
0 0 0
n n n
n
nA P P P P P P
Yazılarak A matrisinin n.kuvvetini bulabiliriz.
236
Örnek 12.5
1 1
2 4A
matrisi verildiğine göre P matrisini ve 5A i bulunuz.
0A karakteristik denklemi,
21 1
5 6 2 ( 3) 02 4
Yazılır. Buradan 1 22ve 3 öz değerleridir ve bu durumda A köşegenleştirilebilir
1 2 için
1
1 2
2
1 1 0 10
2 2 0 1
xx x x
x
olur
2 3
1
1 2
2
2 1 0 12 0
2 1 0 2
xx x x
x
olur. 1 için özvektörler kümesi
11 1 2 1
1 1 1 1P P
Yazılır.
12 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 0
1 1 2 4 1 2 1 1 2 6 0 3P AP D
237
1 1
5
5 5 1
5
1 1 2 12 0
1 1 1 10 3
1 1 64 32
1 1 243 243
179 211
422 454
P AP D A PDP
A PD P
Bulunur.
Örnek 12.6.
3 1 2
2 0 2
2 1 1
A
matrisi verildiğine göre P matrisini ve 5A i bulunuz.
2
2
3 1 22 2 2 2 0
det 2 2 3 1 21 1 2 1 2 1
2 1 1
3 2 2
1
A I
karakteristik denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 1 2 30, 1ve 1 özdeğerlerini
verir. İlk olarak 1 0 a karşılık gelen öz vektör:
1 1
2 2 1 2 3
3 3
3 1 2 0 3 1 2 0
0. 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 1 1 0 0 1 1 0
x x
A I X AX x x x x x k
x x
Eğer 1
1
1 1
1
k X
özvektörü bulunur. Aynı şekilde 2 3 1 a karşılık gelen öz vektör:
1
2 2 1 3
3
2 1 2 0
1. 0 2 1 2 0
2 1 2 0
x
A I X x x x x
x
Olur. Eğer 1 3 2,x x x .Bu durumda,
238
1 0
1. 2 2 , ,
0 1
N A I
yazılırsa2 3 1 a karşılık gelen öz vektör:
2
1
2
0
X
ve 3
0
2
1
X
Alınır.Tüm bu öz vektörleri sütunları olarak kabul eden P matrisi,
1 1 0
1 2 2
1 0 1
P
Olarak yazılır.Buradan P matrisin tersi,
1
2 1 2
3 1 2
2 1 1
P
Olarak birçok yolla elde edebiliriz. Buna göre köşegenleştirmek için,
1
2 1 2 1 1 0 3 1 2 0 0 0
3 1 2 1 2 2 2 0 2 0 1 0
2 1 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1
P AP D
1 1
5 5 1 5
5
1 1 0 0 0 0 2 1 2
1 2 2 0 1 0 3 1 2
1 0 1 0 0 1 2 1 1
3 1 2
2 0 2
2 1 1
P AP D A PDP
A PD P
A
bulunur. Bu durumda k için kA A yazılır
239
Uygulamalar
1-Bir matrisin hangi koşullarda köşegenleştirilebileceğini araştırın.
2-Bir matris köşegen hale getirildiğinde köşegen elemanlarının neyi gösterdiğini örneklerle deneyerek test edin.
240
Uygulama Soruları
1-Matrisinin özdeğerlerini bulun
2- Matrisinin özvektörlerini bulun
3-Özvektörlerinin lineer bağımsız oluıp olmadıklarını gösterin
241
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde lineer cebir, diferansiyel denklemler gibi birçok derste uygulaması olan bir matrisin özdeğerler ve öz vektörleri tanıtıldı. Ayrıca bu öz değer ve öz vektörler kullanılarak
bir matrisin nasıl köşegenleştirildiği birtakım örneklerle gösterildi.
242
Bölüm Soruları
1.
1 3 3
3 5 3
6 6 4
A
matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?
A. {-2,4} B.{2,-4}, C.{-1,3} D.{3,-4} E.{0,5}
2. 1 1
2 1A
matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?
A. {(1,2-i),(1,1+i)} B{(1,1-i),(1,1+i)} C{(-1,1-i),(1,1+i)}
D{(1,1-2i),(1,1+i)} E.Hiçbiri
3.
3 1 1
2 4 2
1 1 3
A
matrisinin P matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A.
1 1 1
1 0 2
0 1 1
B
1 1 1
1 0 2
0 1 1
C
1 1 1
1 0 2
0 1 1
D.
1 1 1
1 0 2
0 1 1
E.
1 1 1
1 0 2
1 1 1
4. Aşağıdaki matrislerdden hangisinin özdeğeri rasyonel sayı değildir.
10 9)
4 2A
B) 1 2
4 3
C) 0 3
7 0
D)
0 0
0 0
E)
1 0
0 1
243
5.
1 1 1
0 0 1
0 0 1
matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?
0 1
) 1 , 1
0 0
A
B)
1 1
0 , 1
0 0
C)
1 1
0 , 1
0 0
D)
1 1
0 , 1
0 0
E)
1 1
1 , 1
0 0
Cevaplar:
1-A, 2-B, 3-B 4-C 5-D
244
13. ÖZDEĞER VE ÖZ VEKTÖRLERİN UYGULAMALARI
245
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
13.1. Cayley-Hamilton Teoremi
13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı
246
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1- Her matris kendi karakterisitik denkleminin bir kökü müdür?
2- Bir matrisin tersini özdeğer ve öz vektörlerini kullanarak bulabilir miyiz?
3- Bir lineer diferansiyel denklem sistemini öz değer ve öz vektörleri kullanarak çözebilir miyiz?
247
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Cayley-Hamilton Teoremi Bir matrisin kendi karak
teristik denklemini
sağladığını görnek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere
Uygulanışı
Lineer diferansiyel
denklemleri özdeğer ve öz vektörleri kullanarak çözebilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
248
Anahtar Kavramlar
Karakteristik polinom
Minimal polinom
Lineer diferansiyel denklem sistemi
249
Giriş
Bu bölümde derste bir matrisin özdeğer ve öz vektörlerinin uygulamaları incelenir. İlk
olarak bir matrisin kendi karakteristik denklemini sağladığını ifade eden Cayley-Hamilton
teoremi ve uygulamaları ele alınır. Daha sonra özdeğer ve öz vektörlerin diferansiyel
denklemlere uygulanması incelenir.
250
13.1. Cayley-Hamilton Teoremi
Teorem 13.1 (Cayley-Hamilton) Her matris kendi karakteristik denkleminin köküdür.
Örnek 13.1. 1 2
3 2A
matrisinin karakteristik denklemi,
21 2
det 3 43 2
A A I
Olarak bulunur. Bu denklemde yerine A matrisi yazılırsa,
2
1 2 1 2 1 0 0 03 4
3 2 3 2 0 1 0 0A
Olduğu görülür.
Tanım 13.1: A , K üzerinde tanımlı bir n n tipinde kare matris olsun. 0f A olacak
şekilde mertebesi en küçük ve baş katsayısı 1 olan polinoma A nın minimum veya minimal
polinomu denir.
Cayley-Hamilton teoreminden A nın minimal polinomu karakteristik polinomu böler.
Buna göre i ler farklı özdeğerler ve 0id olmak üzere A nın karakteristik polinomu
1 2
1 2 ... kd d d
kf x x x x
formunda ise A nın minimal polinomu ile karakteristik polinomunun kökleri aynıdır. Buna ek
olarak Cayley-Hamilton teoreminden A nın minimal polinomunun karakteristik polinomu
böldüğünden, 1 j jr d olmak üzere A nın minimal polinomu
1 2
1 2 ... kr r r
kp x x x x
formunda olur.
251
Örnek 13.2
3 1 2
2 2 1
2 2 0
A
matrisinin minimal ve karakteristik polinomlarını bulunuz.
A nın karakteristik polinomu,
23 2
3 1 12 1 2 1 2 2
det 2 2 1 3 12 2 2 2
2 2
5 8 4 1 2
xx
A xI x xx x
x
x x x x x
Yazılır. Bu polinomun kökleri 1 ve 2 olduğundan minimal polinomun da kökleri 1 ve 2
olmalıdır.Bunun yanı sıra minimal polinom bu karakteristik polinomu böleceğinden dolayı
1 2r olmak üzere,
1 2r
p x x x
Şeklindedir. Bu polinomu A matrisinin sağlayıp sağlamadığına bakalım. 1r için,
2 1 1 1 1 1 2 0 1
1. 2. 2 1 1 2 0 1 2 0 1
2 2 1 2 2 2 4 0 2
p A A I A I
0
Olduğundan 1r için,seçilen bu polinom A nın minimal polinomu olamaz. Bu durumda diğer alternatif 2r alınırsa, 2r :
21 2p x x x
Cayley-Hamilton teoremini kullanarak bir matrisin tersini bulabiliriz.
Teorem 13.2: A , K üzerinde tanımlı bir n n tipinde kare matris olsun.A nın karakteristik
polinomu 1
1 1...n n
n nf x x a x a x a olsun. A matrisi tersinir ise,
1 1 2
1 1 1
1...n n
n n nnA A a A a A a I
a
İspat: Cayley-Hamilton teoremine göre her matris kendi karakteristik polinomunun kökü olduğundan:
252
1 1 1 2
1 1 1 1 1
1 2
1 1 1
1 2
1 1 1
1 2 1
1 1 1
... 0 ...
1...
1...
1...
n n n n
n n n n n n n
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n n
n
A A a A a A a I a I A A a A a I
I A A a A a Ia
I A A a A a Ia
A a A a I Aa
ispat tamamlanır.
Örnek 13.3:
3 1 2
2 2 1
2 2 0
A
matrisinin tersini karakteristik polinomundan yararlanarak bulunuz.
A nın karakteristik polinomu,
3 2 2
1 2 31 2 0 2 0 1
det 0 1 2 1 2 32 2 0 2 0 2
0 0 2
2 2 1 2
xx x
A xI x xx x x
x
x x x x x
Olduğundan her matris kendi karakteristik polinomunu sağlayacağına göre,
3 2 3 2 212 2 0 2 2 2
2A A A I I A A A I A A A I
Ve
1 212
2A A A I
Elde edilir. Buradan matrisin değeri yazılırsa,
2
1
3 1 2 3 1 2 1 0 01
2 2 1 2 2 2 1 0 1 02
2 2 0 2 2 0 0 0 1
1 2 7 / 2
0 1 1
0 0 1/ 2
A
253
Elde edilir. Cayley-Hamilton teoremini bir matrisin yüksek dereceden kuvvetinin
alınmasında da kullanabiliriz.
Örnek 13.4
2 3
1 1A
matrisi verildiğine göre 6A i bulunuz.
matrisinin karakteristik polinomu,
22 3
det 51 1
A
xx A xI x x
x
Olduğundan Cayley-Hamilton teoremine göre,
2 25 0 5A A I A A I
Eşitliğinden
3 2 4 3 2 5 4 3
6 5 4 4 3
3 2 3 3 2
2 2 2
5 5 5
5 6 5
6 5 5 11 30
11 5 30 41 55
41 5 55
96 205
A A A A A A A A A
A A A A A I
A A A A A
A A A A A
A I A
A I
Buradan
62 3 205 0 192 288 205 0 397 288
961 1 0 205 96 96 0 205 96 109
A
Elde edilir.
254
13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı
Bir lineer diferansiyel denklem sistemi,
dxax by
dt
dycx dy
dt
verilsin. Burada a b
Ac d
reel veya kompleks değerli katsayılar matrisi, vex y ise t nin
birer fonksiyonu. Bu sistem matris-vektör formda aşağıdaki gibi yazılabilir:
X AX .
Burada
dx
x dtX ve X
y dy
dt
dir. Ayrıca 1 1vex y ise t nin birer fonksiyonu 1
1
xY
y
olmak X PY
yerine koyması yapılsın. Bu durumda
PY
X PY A X A PY
Olur. Buradan Y yi tek çekersek
1 1 11
2 2 1
1 11 1
1 1
2 11 12 1
0
0D
xX PY A PY Y P AP Y Y
y
dx dxx
xdt dtY
ydy dyy
dt dt
Değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemlere dönüşür Bunların ayrı ayrı çözümü,
255
1
2
1 11 1 1 1 1 1 1
1
1 12 1 2 1 2 2 1 2
1
ln
ln
t
t
dx dxx dt x t c x C e
dt x
dy dyy dt y t c y C e
dt y
Olur. Buradan
1
2
1 1
1 2
t
t
x C eY
y C e
ve
1
2
1
2
t
t
xC eX PY P
yC e
Eşitliğinden diferansiyel denklemin x ve y çözümleri bulunur. Dikkat edeceğimiz nokta
burada 1 2ve ler özdeğerlerimiz ve P de bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörelerin
sütun matrisidir. Böylece özdeğer ve özvektörler sayesinde lineer diferansiyel denklem
sistemleri çözebiliriz. Şimdi bunu uygulamalarla görelim:
Örnek 13.5
2 3
4 5
dxx y
dt
dyx y
dt
Diferansiyel denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Katsayılar matrisi ,
2 3
4 5A
0A karakteristik denklemi,
2
1 2
2 33 2 1 ( 2) 0 1, 2
4 5
256
Yazılır. Buradan 1 21ve 2 öz değerleridir.
1 1 için
1
1 2
2
3 3 0 10
4 4 0 1
xx x x
x
Olur.
2 2
1
1 2
2
4 3 0 34 3 0
4 3 0 4
xx x x
x
olur. 1, 1 için özvektörler kümesi
1 3
1 4P
bulunur. Diferansiyel denklemi çözmek için
1 1 2
2 1 2
31 3
41 4
x x x xxX PY
x y x xy
Olur. Ayrıca 1
1 1
tx C e
ve 2
2 2
tx C e
den
1 1
tx C e ve 2
2 2
tx C e
bulunur. X bilinmeyen vektörü için yukarda bu değerler yerine yazılırsa,
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
3 3
4 4
t t
t t
x x x C e C e
y x x C e C e
Denklem çözülmüş olur. Burada 0 0x ve y başlangıç değerleri bilindiği varsayımı altında
denklem,
257
1 2
1 2
0 3
0 4
x C C
y C C
1
1 1
2 2
0 01 3 1 3
0 01 4 1 4
x xC C
y yC C
bağıntısından C değerleri bulunarak özel çözümler elde edilir.
Örnek 13.6
4 6 , 0 1
3 5 , 0 0
dxx y x
dt
dyx y y
dt
Başlangıç değer problemini çözün.
Katsayılar matrisi ,
4 6
3 5A
0A karakteristik denklemi,
2
1 2
4 32 1 ( 2) 0 1, 2
4 5
Yazılır.
1 1 için
1
1 2
2
3 6 0 22 0
3 6 0 1
xx x x
x
olur
2 2
258
1
1 2
2
6 6 0 10
3 3 0 1
xx x x
x
olur. Özvektörler kümesi
2 1
1 1P
Olur. Diferansiyel denklemi çözmek için
1 1 2
2 1 2
22 1
1 1
x x x xxX PY
x y x xy
Olur. Ayrıca 1 1
tx C e ve 2
2 2
tx C e den bulunur. X bilinmeyen vektörü için yukarda bu
değerler yerine yazılırsa,
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2 t t
t t
x x x C e C e
y x x C e C e
Denklem çözülmüş olur. Burada 0 0x ve y başlangıç değerleri bilindiği varsayımı altında
denklem,
1 2
1 2
1 2
0
C C
C C
1
1 1
2 2
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
C C
C C
1 21, 1C C bularak denklemin çözümleri
2
2
2 t t
t t
x e e
y e e
elde edilir.
259
Uygulamalar
Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin özdeğer ve özvektörler kullanarak elde ettiğiniz çözümü diferansiyel denklemeler dersinde gördüğünüz diğer yöntemlerle de çözerek sonuçları karşılaştırınız.
260
Uygulama Soruları
1-Bir matrisin karakteristik polinomu 31 4x x ise olabilecek minimal polinomlarını
yazınız.
2-
3 0 0
1 3 0
0 0 4
matrisinin minimal polinomunu bulunuz.
3-Fibonacci sayı dizisi{0,1,1,2,3,5,8,11,….} şeklindedir.Aşağıdaki biçimde matrissel ifade edilir.
1
1
1 11 1 1,
1 2 01 0 0
1 1, ,
1 1 0
n
n n
F n F n F
F n F n F
F nv T v v T
F n
Bu dizinin genel terimi olan F n i öz değer ve öz vektörleri kullanarak elde edin.
(İpucu: T matrisini köşegenleştirin)
261
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu bölümde bir matrisin ve öz vektörlerinin uygulaması olarak bir matrisin kendi
karakteristik denklemini sağladığını ifade eden Cayley-Hamilton teoremi ve uygulamaları ele alındı. Daha sonra özdeğer ve öz vektörlerin kullanılarak diferansiyel denklemelerin çözümlerinin bulunması incelendi.
262
Bölüm Soruları
1.2 5
1 3A
matrisini kök kabul eden polinom aşağıdakilerden hangisidir?
B. 2 11t t
B. 2 11t t
C 2 2 11t t
D.
2 1t t E.
2 11t t
2.
1 4 3
0 3 1
0 2 1
A
matrisini kök kabul eden polinom aşağıdakilerden hangisidir?
A. 2 2 5 1t t t
B 2 2 5 1t t t
C 2 2 5 1t t t
D.
2 2 3 1t t t E.
2 2 5 2t t t
3.
2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 4
A
matrisinin minimal polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
2) 3 2A t t
B 23 2t t
C 23 2t t
D.
21 2t t E.
24 2t t
263
4.
3 2 , 0 13
5 4 , 0 22
dxx y x
dt
dyx y y
dt
Diferansiyel denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
) 2 4t t
t t
A x e e
y e e
2
2
) 7 6
7 15
t t
t t
B x e e
y e e
2
2
) 2
12
t t
t t
C x e e
y e e
2
2
) 5
4
t t
t t
D x e e
y e e
2
2
) 7
15
t t
t t
E x e e
y e e
5.
5 2 2
2 5 2
2 2 5
A
matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) {3,1,4} B) {1,1,3} C) {3,3,6} D) {3,3,9} E) {2,3,5}
Cevaplar:
1-B, 2-A, 3-C, 4-B, 5-D
264
14. LİNEER DÖNÜŞÜMLER
265
Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?
14.1. Lineer Dönüşümün Tanımı
14.2. Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü
14.3. Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi
266
Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular
1- Bir f: 2 fonksiyonu 2x
x yy
ile tanımlansın.Bu gösterimi matrislerle nasıl
ifade ederiz?
2- Bu dönüşüm lineer midir?
3- 2
?3
f
4- 4 ? ?a
f ise a bb
267
Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri
Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği
Lineer Dönüşümün Tanımı Lineer Dönüşümün Tanımı kavrayabilmek.
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak
Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü
Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsünü bulabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.
Lineer Dönüşümün Matris
Gösterimi Lineer Dönüşümün Matris Gösterimini yazabilmek
Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve
araştırarak
268
Anahtar Kavramlar
Lineer dönüşüm
Lineer dönüşümüm çekirdeği
Lineer operatör
269
Giriş
Kitabın son bölümünde lineer dönüşümler tanıtılır ve bir lineer dönüşümün çekirdeğinin
ve görüntüsünün ne anlama geldiği ve lineer dönüşümün matrissel gösterimi örneklerle
incelenir.
270
14.1.Lineer Dönüşümün Tanımı
Tanım 14.1: V ve W aynı F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun. V vektör uzayından W
vektör uzayına giden bir L fonksiyonu (tasviri) :L V W aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa
lineer dönüşüm veya lineer operatör adını alır.
i. , V için L L L
ii. V ve c F için L c cL
Bu teoremin iki koşulu, , ,V ve c d F için
L c d cL dL tek koşulla ifade edilir.
Örnek 14.1 1 2
2
xX
x
ve 3L x x olsun.
2, ,X Y ve c d F için 3L cX dY cX dY cL X dL Y
olduğundan bir lineer dönüşümdür.
Örnek 14.2 3 2:L dönüşümü 1 2 3 1 2, , ,L x x x L x x ile tanımlansın
. 2, ,X Y ve c d F için,
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2, , , , , , ,X x x x L X x x Y y y y L Y y y
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
, ,
,
, ,
L cX dY L cx dy cx dy cx dy
cx dy cx dy
c x x d y y
cL X dL Y
olduğundan lineerdir.
271
Örnek 14.3 1 2
2
xX
x
ve 1
2
xL x
x
olsun.
1 1
2 2
x xL
x x
olur. Acaba lineer dönüşüm mü?
2, ,X Y ve F için,
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
x y x yL X Y L
x y x y
x y
x y
L X L Y
Lineer dönüşümdür.
Örnek 14.4: 1 2
2
xX
x
ve 1
2 1
xL x
x
olsun.
1 1
2 2 1
x xL
x x
olur. Acaba lineer dönüşüm mü?
2X ve F için,
1 1
2 2
1 1
2 2
1
x xL X L
x x
x xL X L
x x
L X L X
Olduğundan Lineer dönüşüm değildir.
272
Örnek 14.5 3 3:L dönüşümü
1 2 3 1 2 3, , 1,2 ,L x x x x x x
ile tanımlansın .
2,X Y için, 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3, , , , , , 1,2 ,X x x x L X x x Y y y y L Y y y y
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
, ,
1,2 ,
L X Y L x y x y x y
x y x y x y
1 2 31,2 ,L X x x x , 1 2 31,2 ,L Y y y y
olduğundan
1 1 2 2 3 32,2( ),L X L Y x y x y x y
elde edilir. Bu durumda,
L X Y L X L Y
Olduğundan lineer değil.
Örnek 14.6 2 3:L tanımlı 2
1
1
2
1 2
xx
L xx
x x
fonksiyonu lineer dönüşüm mü?
2, ,X Y ve F için,
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1 2 2
2 2
1 1
1 2 1 2
x yx y
L X Y L x yx y
x y x y
x y
x y
x x y y
L X L Y
273
Lineer dönüşümdür.
Teorem 14.1: Eğer ,L V uzayında bir W vektör uzayına giden bir operatör ve 0Vile
0Wbulunduğu uzayların sıfır vektörleri ise,
i. 0 0V WL
ii. , V için L L L
İspat 14.1 :
i. 0V, V nin sıfır vektörü olduğundan 0 0 0V V V dir.L dönüşümü uygulanırsa,
0 0 0 0 0 0V V V V V wL L L L
ii.
( 1)
( 1)
L L L
L L
L L
L L
Tanım 14.2 : V, keyfi bir vektör uzayı olsun. v V için,
I v v
ile tanımlı lineer operatöre birim operatör denir.(Lineerlik şartları sağlar mı? Gösterin.
Örnek 14.7 : , , den , 'yeD C a b C a b tanımlanan türev operatörü,
D f f
lineer mi?
, , ,f g C a b ve için,
D f g f g af g D f D g
274
Olduğundan lineerdir.
14.2.Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü
Tanım 14.3: :L V W bir lineer dönüşüm olsun. ÇekL ile gösterilen V nin,
ker : 0WÇekL L v V L v
Kümesine L nin sıfır uzayı(sıfırlılığı) veya çekirdeği denir.
Tanım 14.4: :L V W bir lineer dönüşüm ve S, V’nin bir alt uzayı olsun. L S ile
gösterilen,
: ,L S w W w L v v S
kümesine S in görüntüsü denir. W nın ,L V L v v V alt kümesine de L nin değerler
kümesi veya görüntü kümesi denir. Bu aşağıdaki Şekil.VII.1 de resmedilmiştir.
Şekil.VII.1.S in görüntüsü
Teorem 14.2: ,V W iki vektör uzayı ve :L V W lineer dönüşüm olsun. Buna göre,
i ÇekL V nin bir alt uzayıdır
ii ,L S W nin bir alt uzayıdır.
İspat: Alt uzay kriterlerini tatbik edelim.
275
1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) 0 0 0
.0 0
v v ÇekL L v v L v L v ÇekL
ve v ÇekL L v L v ÇekL
Olduğundan ÇekL V nin bir alt uzayıdır.
Örnek 14.8: 2 2:L bir lineer dönüşüm olsun. 1
0
xL x
lineer dönüşümün
ÇekL sini ve görüntü kümesini bulunuz.
20
:0
ÇekL X L X
1
1 2
2
00,( )
0 0
0:
xL x x x k
ÇekL kk
bulunur. ÇekL nin yalnız bir bağımsız vektörü olduğundan boyutu 1 dir.
Örnek 14.9 1
2 2 2
2
0
: ,L P L at bt c at bt c dt bir lineer dönüşüm olsun.
ÇekL =?
2 0 0rL L at bt c olacak şekilde bir 2
2at bt c P elemanı bulmalıyız.
1 3 2
2 1
0
0
0 | 03 2 3 2
t t a bL at bt c dt a b ct c
Buradan 3 2
a bc bulunur. Buna göre 2
23 2
a bat bt P şeklindeki polinomlar
2P
polinomlar uzayının bir çekirdeğini oluştururlar. Yani,
2 2 1 1: , ,
3 2 3 2
a bÇekL at bt a t b t a b
276
Olur. Burada 2 1
3t
ve 1
2t
lineer bağımsız olduklarından bunlar
2 1 1, ,
3 2t t ÇekL
nin tabanını teşkil ederler ve boyutu 2BoyÇekL dir.
. Örnek 14.10: 3 2:L tanımlı 1
1 2
2
3 2
2
xx x
xLx x
x
lineer dönüşümü ve 1 2, ,S e e ile
gerilen bir alt uzay olsun. ? , ?ÇekL L S
1
1 2
2 1 3 2
3 2
2
0
0
xx x
xL x x x kx x
x
3 :
k
ÇekL k k
k
,
1
1
1
k
: ÇekL nin bir tabanıdır. 1BoyÇekL dir.
2 2
1 0
0 0 0 : ,
0 1
: ,
S
L S
yazılır.
14.3..Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi
V ve W , F bölgesi üzerinde ki vektör uzayı olsun. Varsayalım 1 2, ,..., mv v v V nin ve
1 2, ,..., nw w w W nin birer bazları olsun. :L V W lineer dönüşüm olsun. Bu durumda
1 2( ), ( ),..., ( )mL v L v L v ler W içinde vektörlerdir ve bu nedenle W uzayının baz elemanlarının
lineer kombinasyonu cinsinden yazılabilir. Yani,
1 11 1 12 2 1( ) ... n nL v a w a w a w
2 21 1 22 2 2( ) ... n nL v a w a w a w
…………………………………….
277
1 1 2 2( ) ...m m m mn nL v a w a w a w
Yazılabilir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisinin transpozesine ,
11 21 1
12 22 2
,
1 2
...
...
... ... ... ...
...
m
m
v w
n n mn
a a a
a a aL
a a a
1, 1,i ji m j nv ve w
bazlarına göre L lineer dönüşümünün matris gösterimi denir.
Örnek 14.11: 3 3:L ,
x x y z
L y x y z
z z
Lineer dönüşümünün doğal(standart) baza göre matris gösterimini bulunuz.
11 1 0 0 1
0 1 0 0 1 ,
0 0 0
L e L
20 0 1 0 1
1 0 1 0 1 ,
0 0 0
L e L
30 0 0 1 1
0 0 0 1 1 ,
1 1 1
L e L
Yazılır. Katsayılar matrisinin transpozesi yani bu sütunlardan oluşan matris :
1 1 1
1 1 1
0 0 1e
L
L nin doğal tabana göre matris gösterimidir.
278
Teorem 14.3: 1 2, ,... ne e e V nin bir bazı ve L , V uzayında bir lineer dönüşüm operatörü
olsun.Bu durumda herhangi bir v V vektörü için,
.
ee e
L v L v
Yazılır.
Örnek 14.12: 2 1:L P P lineer dönüşümü
L P x P x
ile tanımlansın. 2 , ,1V x x ve ,1W x sırasıyla 2 1P ve P in sıralı tabanları olsun. Buna
göre L ye karşılık gelen matrisi bulun.
2 22 2 0.1 ,
0L x x x
01 0. 1.1 ,
1L x x
01 0 0. 0.1 ,
0L x
bu sütunlardan oluşan matris :
2 0 0
0 1 0wL
lineer dönüşüm matrisi olur. Teoremden yola çıkarak 2p x P için
.w
wwL p x L p x
Yazılarak L p x i wL kullanarak bulabiliriz. Örneğin,
2 105 3 2 10 3
3p x x x L p x p x x
279
Diğer bir yolla wL kullanarak ,
52 0 0 10
. . 30 1 0 3
2w
wL p x L p x
Aynı sonuç bulunur.
Örnek 14.13 3,L uzayında 3 3:L
2
4
3
x y z
L y x y
z x
ile tanımlanan bir lineer operatör olsun.
a)
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
bazında L nin matrisini bulun
b) Herhangi bir 3v için .
i i viv v
L v L v eşitliğini doğrulayın.
a)
11 2.1 1 3 1 1 1 3
1 1 4.1 3 3 1 6 1 6 0 6
1 3.1 3 1 0 0 6
L v L
21 2.1 0 2 1 1 1 3
1 1 4.1 3 3 1 6 1 5 0 6 ,
0 3.1 3 1 0 0 5
L v L
31 2.0 0 0 1 1 1 3
0 1 4.0 1 3 1 2 1 1 0 2 ,
0 3.1 3 1 0 0 1
L v L
L nin belirtilen tabana göre matris gösterimi:
280
3 3 3
6 6 2
6 5 1iv
L
olur.
b) Diğer yandan 0
3
2
v
olsun.Bu durumda tabanların lineer toplamı cinsinden yazılımı:
0 1 1 1 2
3 2 1 1 1 3 0 1
2 1 0 0 3vi
v v
Olur .Aynı zamanda
0 2.3 2 8 1 1 1 0
3 0 4.3 12 0. 1 12 1 20 0 12
2 3.0 0 1 0 0 20iv
L v L
Bulunur. Böylece
3 3 3 2 0
. 6 6 2 . 1 12
6 5 1 3 20i iviv v
L v L v
eşitlik doğrulanır.
Örnek 14.14 3,L uzayında 3 2:L
, , 2 ,3L x y z x y y z
ile tanımlanan bir lineer operatör olsun.
a) L nin standart matrisini bulun.
b) Bu matrisi kullanarak 0,1, 1L in değerini elde edin.
a)
281
1
21,0,0
0L v L
2
10,1,0
3L v L
3
00,0,1 ,
1L v L
L nin belirtilen tabana göre matris gösterimi:
2 1 0
0 3 1ivL
b) Böylece 0,1, 1L için :
0 02 1 0 1
0,1, 1 . 1 . 10 3 1 4
1 1iv
L L
Bu cevabı satır formatında da yazabiliriz:
0,1, 1 2.0 1,3.1 ( 1) 1,4L
282
Uygulamalar
1-Matematik de sıkça kullanılan ve lineer dönüşüm veya operatör özelliği olan kavramları ve fonksiyonları araştırınız.
2-İzomorfizm ve homoforfizim kavramlarını araştırın
283
Uygulama Soruları
1-V, sayılar üzerinden n-kare matrislerin bir vektör uzayı ve B de V içindeki herhangi bir matris olsun. A V olmak üzere T A AB BA ile tanımlanan :T V V dönüşümünün bir lineer dönüşümü olup olmadığını kontrol edin.
2- Görüntüsü 1,2,3 (4,5,6)ve vektörleri ile oluşturulan 3 3:L lineer dönüşümünü bulunuz.
3- Çekirdeği 1,2,3,4 (0,1,1,1)ve vektörleri ile oluşturulan 4 3:L lineer dönüşümünü bulunuz.
284
Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti
Bu son bölümde lineer dönüşümler tanıtıldı. Diğer taraftan bir lineer dönüşümün
çekirdeğinin ve görüntüsünün ne anlama geldiği ve lineer dönüşümün matrissel gösterimi
incelendi.
285
Bölüm Soruları
1. Aşağıdaki lineer dönüşümlerden hangisi lineerdir?
A. 2 2: : , 2 ,F F x y x y x
B. 2 2 2 2: : , ,F F x y x y
C. 2: : ,1F F x x
D. 2: : , | |F F x y x y
E.Hiçbiri
2. Aşağıdaki lineer dönüşümlerden hangisi lineer değildir?
A. 3 2: : , , 1,F F x y z x y z
B. 3 2: : , , ,F F x y z z x y
C. 2: : 2 ,3F F x x x
D. Hiçbiri
E. 3 2: : , , 3 ,2 F F x y z z x y
3. 3 3: : , , 2 , , 2F F x y z x y y z x z lineer dönüşümün çekirdeğinin bazı
aşağıdakilerden hangisidir?
A. 1,0,1 , 0,1, 2 B. 1,0,1 , 0,1, 2
C. 1,0,1 , 0,1,2
D. 1,0,10 , 0,10,2
E. 2,0,1 , 0,1, 2
4.
3 1:L P P lineer dönüşümü
L P x P x
ile tanımlansın. 2 31, , ,V x x x ve 1,W x sırasıyla 3 1P ve P in sıralı tabanları olsun.
Buna göre L ye karşılık gelen matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
286
A) 1 0 1 1
0 1 3 1
B) 0 0 2 0
0 0 0 6
C) 1 0 2 0
0 1 0 6
D) 1 0 1 0
1 1 0 6
E) 1 0 2 1
0 1 1 6
5. 3 uzayında doğal tabanlara göre x x
L y y z
z x y z
lineer dönüşümün matrisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 0 1
1 1 1
1 1 1
B)
0 1 1
0 1 1
1 1 1
C)
0 0 1
1 1 1
1 1 1
D)
1 0 1
1 1 1
1 1 1
E)
0 0 1
0 1 1
1 1 1
Cevaplar:
1-A,2-A,3-B, 4-B,5-E
287
KAYNAKÇA
[1] Matthews, K.R: “Lineer Algebra”, University Of Queensland (2010)
[2] Seymour Lipschutz,S & Lipson,M.: “ Schaum's Outline of Linear Algebra, Schaum's
Outline Series, 4th Edition, (2008)
[3] Çallıalp, F. and Kuruoğlu, N.: “Lineer Cebir”,Ondokuz Mayıs Üniv., (1996)
[4] Çallıalp, F.: “Lineer Cebir Problemleri”,Birsen Yayınevi, 6.baskı/34, (2012)
[5] Altan, M.E.: “Lineer Cebir”,Mimar Sinan Üniv., (1995)
[6] Çetin, N. and Orhun, N.: “Lineer Cebir ”, Anadolu Üniv. (1998)
[7] Ergezen, F.: “Lineer Cebir Notları”, İTÜ, (2009).
[8] Pao,Y.C.: “Engineering Analysis”, CRC Press LLC, (2000).
[9] Leon, S.L.: “ Linear Algebra With Application”, Sixth edition.,(1999)
[10] Sabuncuoğlu,A.: “Lineer Cebir”,Nobel Yayın Dağıtım, (2010)
[11] Ağargün, A.G, Özdağ, H.: “Lineer Cebir ve Çözümlü Problemleri”,
Birsen Yayınevi, (2011)