Lo studio delle coniche nel tempo• IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si potevano

ottenere dalla sezione di una superficie conica con un piano, scoprì le sezioni coniche mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del cubo(*); Menecmo, maestro di Alessandro Magno, commentò con la celebre frase “non esiste una via regale per lo studio della geometria” la richiesta del re di trovare una scorciatoia per affrontare lo studio della matematica.

• III secolo a.C.: Apollonio detto “Il Grande Geometra”, scrisse il trattato “Coniche” che rimpiazzava i precedenti manuali (dovuti ad Aristeo ed Euclide) sullo stesso argomento. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che da un unico cono era possibile ottenere tutte le varietà di sezioni coniche semplicemente variando il piano di inclinazione.

• Descartes (1591-1661), secondo Boyer ,“fornisce una base geometrica alle operazioni algebriche” . Sostanzialmente però ha permesso l’identificazione di una conica con una equazione algebrica di secondo grado in due incognite.

___________

(*) Il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo è uno dei problemi classici dell’antichità: si tratta di trovare (con riga e compasso) il lato di un cubo che abbia il volume doppio rispetto a quello del cubo dato.

Mappa

Mappa

Mappa

Linee che possono ottenersi come intersezione di un piano con una superficie conica rotonda a due falde.

Coniche

Mappa

Cur ios i tà

L uogo geom.

Cos t r uz ione

E quaz ione

Pr ob lemi

Par ab ola

L uogo geom.

E quaz ione

E sempi

Cir conf er enz a

Cur ios i tà

L uogo geom.

Cos t r uz ione

E ccent r ic i tà

E sempi

E llis se

I per b ole equi later a

L uogo geom.

E quaz ione

A s intot i

E ccent r ic i tà

I per b ole

N ote s tor ich e

Conich e

Fine

Mappa

Clicca sui quadratini

• La parabola si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo

uguale a quello della retta generatrice del cono.

Mappa

Parabolaβ= a

Iperboleβ< a

Mappa

ParabolaLa parabola si può definire come il luogo dei punti

equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice.

I punti P1,P2, P3,….. P’1,P’2, P’3 hanno ugual distanza dal punto F e

dalla retta d.

La retta passante per F e perpendicolare alla direttrice è asse di

simmetria per la parabola. Il punto V

dell’asse di simmetria, equidistante da F e da d, viene chiamato vertice

della parabola.

=semiangolo di apertura della superficie conica

=angolo tra il piano e l’asse della superficie

conica Mappa

Costruzione di una parabola(con riga e compasso)

Costruiamo la parabola di fuoco F e direttrice d.

Indichiamo con H il piede della perpendicolare di F su d.

Il punto medio del segmento FH è il vertice della parabola.

Tracciamo una retta m parallela a d e indichiamo con r la sua distanza

da d.La circonferenza di centro F e raggio r interseca la retta m in due punti che appartengono alla nostra

parabola.d direttrice H

V

m

r

Tracciamo altre rette parallele ad m (con distanza da d maggiore di VH) e ripetendo la costruzione precedente, otteniamo tutti i punti della parabola.

Mappa

F

Congiungendo i punti trovati disegnamo la parabola.

EquazionePer determinare l’equazione della parabola di fuoco F e direttrice

d, fissiamo un riferimento avente l’ asse x coincidente con la parallela alla retta d condotta per il punto medio della distanza di F

da d e l’ asse y coincidente con la perpendicolare condotta da F alla direttrice.

Indicando con P(x,y) il generico punto della parabola dovrà essere:

PH = FP

d

kF

F(0,k) d: y=-k

P

H

k

22 )( kyxky Elevando al quadrato e

semplificando si ottiene:2

4

1x

ky

Se si pone l’equazione diventa

2axy

Quando sulla parabola si opera una traslazione l’equazione si trasforma in:

ka

4

1

cbxaxy 2 N.B.: il valore di a resta invariato. Mappa

Parabola con asse parallelo all’asse y:

cbxaxy 2

Equazione dell’assea

bx

2

Con acb 42

Coordinate del vertice

aa

bV

4;

2

Coordinate del fuoco

aa

bF

4

1;

2

Equazione della direttrice a

y4

1

Mappa

Problemi

Mappa

1) Retta esterna alla parabola

2) Retta secante una parabola

3) Retta tangente una parabola

qmxy

cbxaxy 2

Dal sistema equazione della

parabola

equazione della rettaRicaviamo l’equazione di 2° grado : ax2+(b-

m)x+c-q=o

il cui discriminante indichiamo con .

•Se <0 allora si verifica il caso 1)

•Se >0 allora si verifica il caso 2)

•Se =0 allora si verifica il caso 3)

Curiosità Per le leggi di riflessione della luce, i raggi uscenti da una sorgente

luminosa posta nel fuoco di una parabola vengono da questa riflessi sotto forma di un fascio di raggi paralleli e, viceversa, un fascio di raggi paralleli (per esempio quelli provenienti da una sorgente infinitamente lontana) che

colpiscono una parabola danno luogo a un fascio di raggi riflessi che convergono nel fuoco di questa.

Nella realtà, invece di una parabola, si utilizza un paraboloide rotondo che corrisponde alla

superficie ottenuta facendo ruotare di un giro una parabola attorno al proprio asse.

Antenna per le comunicazioni spaziali

Mappa

LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA

• La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare

all’asse di rotazione del cono .

Mappa

Circonferenzaβ= 90°

Ellisseβ> a

Mappa

Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro. La distanza si dice raggio.

Vogliamo ora determinare l’equazione della circonferenza nel piano cartesiano di centro C(,) e raggio r dati.

Circonferenza

Mappa

Imponiamo che la distanza di un punto P(x,y) da C(,) sia uguale al raggio r.

r

Ricordando la formula che dà la distanza fra due punti, avremo

222 )()( yxrSviluppando i calcoli

22222 22 yyxxr

022 22222 ryxyx

Otteniamo quindi l’equazione della circonferenza di centro (,) e raggio r

x

y

C()

P(x,y)

O

Mappa

EsempioTrovare l’equazione della circonferenza di

centro C(2,1) e raggio 2.

(x-2)2+(y-1)2=22

Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione cercata

012422 yxyxViceversa, data una equazione del tipo

022 cbyaxyxè possibile affermare che essa rappresenta l’equazione di

una circonferenza?Detto r il raggio, e C() le coordinate del centro, dovrà

essere

a 2 cr 222 b 2Mappa

Pertanto sarà

2

a

2

b c

bar

22

22

Dall’ultima relazione, deduciamo che avremo una circonferenza solamente se il radicando è positivo. In tal caso

sarà:

cba

r

22

22

22

baC ,

Mappa

Per determinare l’intersezione di una retta con una circonferenza, mettiamo a sistema l’equazione della retta con quella della circonferenza. Se il sistema ha due soluzioni, la retta sarà secante, se ne ha una sarà tangente, altrimenti sarà esterna.

Esempio Trovare l’intersezione della retta di equazione

y=x+3 con la circonferenza x2+y2+4x-4y+7=0

Impostiamo il sistemay=x+3

x2+y2+4x-4y+7=0

che fornisce i punti

A(-2,1);B(-1,2)

In questo caso la retta risulta secante.

y

-2

C 2

xO

A

B

MappaProff. Cornacchia - De Fino

Per determinare l’intersezione di due circonferenze, mettiamo a sistema le loro equazioni.

EsempioTrovare l’intersezione delle circonferenze C1: x2+y2+4x-4y+7=0 e C2: x2+y2-5=0

Impostiamo il sistema

x2+y2+4x-4y+7=0

x2+y2-5=0Per risolvere questo sistema, sottraiamo le due equazioni. Ci riduciamo così al sistema equivalente

x2+y2+4x-4y+7=0

4x-4y+12=0

Che equivale a trovare l’intersezione di una circonferenza con una retta. Tale retta è detta asse radicale delle due circonferenze. Nel nostro caso le circonferenze sono secanti

y

xO

C1

C2

Mappa

Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza.

EsempioTrovare l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3).

Imponiamo che la circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 passi per i punti dati(-3)2+32+a(-3)+3b+c=0 passaggio

per A12+(-1)2+a-b+c=0 passaggio per B12+32+a+3b+c=0 passaggio per C

Risolvendo:a=2b=-2c=-6

Dunque la circonferenza cercata ha equazione x2+y2+2x-2y-6=0.Ha centro in D(-1,1) e raggio

22 x

y

O

A

B

C

D

-1-2-3-4 1 2

1

2

3

-1

-5

MappaProff. Cornacchia - De Fino

• L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di

quello della retta generatrice del cono.

Mappa

Circonferenzaβ= 90°

Ellisseβ> a

EllisseLuogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

F1 F2

Vogliamo ora determinare l’equazione dell’ellisse nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la somma costante delle distanze dai fuochi valga 2a.

Osserviamo che se i due fuochi coincidono, otteniamo una circonferenza

Mappa

In un triangolo, la somma di due lati è maggiore del terzo. Se P è un punto dell’ellisse, deve essere PF1+PF2>F1F2, dunque 2a>2c, e dunque a>c.

Posto b2=a2-c2, si dimostra che l’equazione dell’ellisse cercata è

12

22

2 by

a

x

Ponendo x = 0, otteniamo y = b; ponendo y=0, invece x = a, dunque l’ellisse incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0) e l’asse y nei punti B1(0,-b) e B2(0,b). Tali punti sono detti vertici dell’ellisse.

y

xA1 A2

B2

B1

F1 F2

Il segmento A1A2 è lungo 2a ed è detto asse maggiore; il segmento B1B2 misura 2b e viene detto asse minore. Si noti che l’ellisse è simmetrico rispetto agli assi. L’intersezione degli assi è detto centro dell’ellisse.Mappa

Esempio Disegnare l’ellisse di equazione 149

22

yx

2b3a 549 c

y

xA1(-3,0) A2(3,0)

B2(0,2)

B1(0,-2)

).50,(F );5(0,-F (0,2);B (0,-2);B (3,0);A (-3,0);A 212121

F1 F2

Mappa

Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore è detto eccentricità.

ac

e Poiché 0<c<a, sarà sempre 0e1. L’eccentricità misura lo schiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore; più è prossima a 1, più l’ellisse è schiacciata. Se e = 0 la distanza focale diventa nulla; i fuochi coincidono e l’ellisse coincide con una circonferenza.

x

y

e=0,8

e=0,6

e=0,1

Mappa

L’ellisse ha la proprietà che un raggio luminoso che parte da uno dei due fuochi, viene riflessa nell’altro fuoco. Questo vale anche per le onde sonore. Se una persona parla in un fuoco di una stanza a volta ellissoidale, un ascoltatore posto nell’altro fuoco riuscirà ad udire anche i suoni più deboli. Questa proprietà è stata utilizzata nella costruzione di alcuni palazzi rinascimentali, come quello di Schifanoia a Ferrara.

Immagine tratta dalla mostra Oltre il compasso.

Mappa

Le leggi di Keplero governano il moto dei pianeti intorno al sole. Esse affermano che ogni pianeta, nella sua rotazione intorno al sole, descrive un’orbita a forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei fuochi.

Immagine tratta da Enciclopedia Encarta

Mappa

L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del

cono di un angolo minore di quello della retta

generatrice del cono.

Mappa

Parabolaβ= a

Iperboleβ< a

IperboleLuogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Vogliamo ora determinare l’equazione dell’iperbole nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la differenza costante delle distanze dai fuochi valga 2a.

F1 F2

Mappa

In un triangolo ogni lato è minore della differenza degli altri due; pertanto se P è un punto dell’iperbole, deve essere PF1-PF2<F1F2, perciò 2a<2c, ed infine a<c.

Posto b2=c2 - a2, si dimostra che l’equazione dell’iperbole cercata è

12

22

2 by

a

x

Ponendo y=0, si ha x = a, dunque l’iperbole incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0). Tali punti sono detti vertici dell’iperbole. Ponendo invece x=0 si ottiene una equazione impossibile. L’iperbole non interseca dunque l’asse delle y.Il segmento A1A2 è lungo 2a

ed è detto asse traverso. Detti B1(0,-b), B2(0,b), il segmento B1B2 misura 2b e viene detto asse non traverso. Si noti che l’iperbole è simmetrico rispetto agli assi. L’intersezione degli assi è detto centro dell’iperbole.Mappa

y

F1 F2 x

B2

B1

A1 A2

F1 F2

y

x

Disegniamo le rette di equazione xab

Y e xab

Y

Queste rette sono dette asintoti. Osserviamo che l’iperbole è costituito da due rami contenuti nelle porzioni di piano delimitate dagli asintoti. La curva si avvicina sempre di più agli asintoti, senza mai intersecarli.

Mappa

Esempio Disegnare l’iperbole di equazione 149

22

yx

2b3a 1349 c

).130,(F );13(0,-F (0,2);B (0,-2);B (3,0);A (-3,0);A 212121

Asintoti:3

2

3

2 yy ;

y

xA1(-3,0) A2(3,0)

B1(-2,0)

B2(2,0)

),( 0131 F ),( 0132F

MappaProff. Cornacchia - De Fino

Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse traverso è detto eccentricità.

ac

e

Poiché c>a>0, sarà sempre e>1. L’eccentricità misura l’apertura dei rami dell’iperbole; a valori maggiori, corrisponde maggiore apertura dei rami dell’iperbole.

x

ye=2

e=1,5

e=1,05

Mappa

Un’iperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, ossia se a = b.L’equazione dell’iperbole equilatera si può riscrivere come x2-y2=a2. Gli asintoti hanno per equazione y = x. Essi coincidono con le bisettrici dei quadranti e sono tra loro perpendicolari. L’eccentricità dell’iperbole equilatera vale . Scegliendo un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti, l’equazione dell’iperbole equilatera diventa xy = h, con |h|=a2/2.

y

x

xy = h, h>0

x

xy = h, h<0y

Mappa

2