03 - sfere-coniche, quadriche - sup-rot 2013
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Superfici sferiche
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Superficie sfericaDefinizione: la superficie sferica Σ di centro C e raggio R è l’insieme
dei punti dello spazio la cui distanza da C è uguale a R
Σ={P∈R3: ||P-C||=R}Se C=(a,b,c)
P(x,y,z) ∈ Σ ⇔(x- a)2+ (y- b)2+ (z- c)2 =R2
equazione cartesiana di ΣO anche, ponendo d= a2+b2 +c2 - R2
x2+y2+z2 – 2ax- 2by- 2cz+ d=0equazione cartesiana della sup. sferica Σ
di centro C(a,b,c) C(a,b,c) e raggioe raggio
R= √√√√(a2+b2+c2-d)
C=(1,1,2), R=2Non ha punti reali
Esempi
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3
Intersezione di un piano con una
superficie sferica – Piano tangente
Data la sup. sferica S di centro C e raggio R, e il piano π, sia d=dist(C, π).
1) Se d>R, il piano è esterno a S, e S∩π=∅2) Se d=R, il piano è tangente a S in un suo punto P0, e S∩π={P0}
3) Se d<R, il piano è secante S in una circonferenza γ e S∩π= γ
Data la sup. sferica S di centro C e raggio R, e P0(x0,y0,z0)∈S, il piano tangente a S in P0 può essere individuato come il piano passante per P0 ortogonale al vettore n=C-P0
Esempio
Il centro di Σ è CΣ =(2,-1/2,1) e il suo raggio è RΣ=√45/ 2. Il piano β tangente a Σ in P0 è il piano
per P0 ortogonale al vettore CΣΣΣΣ-P0 =(1,-5/2, 2), dunque β: 2x-5y+4z+12=0.
Sol:
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4
Circonferenza intersezione di un
piano con una superficie sferica
Data la sup. sferica S di centro C e raggio R,
e il piano α, sia d=dist(C, α)<R.
Il raggio della circonferenza γ=S∩ α è
rγ= √(R2-d2).
Il centro Cγ si trova come intersezione del
piano α con la retta n passante per C
ortogonale ad α
La retta t tangente alla circonferenza
C=Σ∩ π in un suo punto P0 è l’intersezione del
piano π con il piano π’ tangente a Σ in P0
n
C
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5
Esempi
Trovare equazioni della retta tangente alla circonferenza in A=(-1,1,0)
1)
QUIZ)
Il centro di Σ è CΣ =(1/2,0,-1/2) e il suo raggio è RΣ=√14/ 2. La distanza di CΣ da π è d=√3<√14/2:
dunque γ è una cfr. a punti reali. Poiché rγ2=RΣ
2-d2 , il raggio di γ vale 1/√2. Il centro Cγ di γ si trova
intersecando π con la retta n passante per CΣ e ortogonale a π, di equazioni parametriche
(x,y,z)=(t+1/2,-t,-t-1/2); intersecando n con π si trova il punto Cγ =(-1/2,1,-1/2).
Il punto A appartiene a γ. La retta tangente a γ in A giace sul piano di γ e anche sul piano βtangente a Σ in A; β è il piano per A ortogonale al vettore CΣΣΣΣ-A =(3/2,-1,-1/2), dunque β:3x-y-z+5=0.
γ = Σ∩π
γ: Σπ
Sol:
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Fasci di sfereSiano Σ: f(x,y,z)=0 e Σ’: g(x,y,z)=0 due sfere di centri C e C’ e raggi R ed
R’. Se la distanza tra C e C’ è minore di R+R’, ledue sfere si intersecano lungo una circonferenza (a punti reali)C=Σ∩Σ’, che giace sul piano π: p(x,y,z)=0.Si dice fascio di sfere ΦC su C l’insieme di tutte lesfere (eventualmente con raggio non reale) passanti per C.
Una qualunque combinazione lineare delle eq.
di due sfere di ΦC è ancora l’eq. di una sfera di ΦC
Dunque, al variare di λ,µ∈R l’equazioneΦC : λf+µg=0
fornisce tutte le sfere del fascio.
Come caso particolare, se λ=-µ la sfera diventa il piano π, che sidice piano radicale del fascio.L’equazione del fascio si può ottenere combinando linearmente una
qualunque sfera del fascio con il piano radicale.
ΦC : λf+µp=0oppure, in forma non omogenea (in cui non si ritrova il piano radicale)
ΦC\{π} : f+kp=0
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7
Esempi
Trovare (se esistono) le sfere di raggio 1 che passano per γ
γ di equazioni:
Sono date le sfere S: x2+y2+z2-2x-2y-4z+2=0 e S’: x2+y2+z2-4x+y-2z+5=0.
Trovare il piano radicale p del fascio di sfere da esse individuato; rappresentare S, S’ e p.
1)
2)
3)
4)
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8
Coniche – Quadriche
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ConicaApollonio(262-190 a.C.) chiamò coniche le sezioni ottenute intersecando un
cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano.
Attribuì loro i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole.
Successivamente le leggi di Keplero (1571-1630) sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro proprietàgeometriche. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla direzione del corpo.
Inoltre, le coniche possono anche venire descritte come luoghi geometrici.
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Equazione di una conica
Una equazione f2(x,y)=0, dove f2 è un polinomio di secondo
grado a coefficienti reali, definisce una conica. L'equazione
generale si scrive:
a11x2+2a12xy+a22y
2+2a13x+2a23y+a33=0
Alla conica si associano le matrici simmetriche B=(ahk) (h,k=1,2,3) e A=(ahk)
(h,k=1,2).
Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane,
l'equazione di una conica si può riscrivere in una delle
seguenti forme:
(I) αx2+βy2=γ
(II) αx2=2δy
(III) βy2=2γx
Una conica la cui equazione sia così scritta si dice in forma
canonica; inoltre se i coefficienti sono tutti non nulli si dice
non degenere
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Ellisse - CirconferenzaL'ellisse è una curva piana di equazione (in forma canonica (I)
con αβ>0):ellisse a punti reali a punti immaginari
Se a=b=R l'equazione dell'ellisse Se a=b=R l'equazione dell'ellisse diventa diventa
xx22+y+y22 =R=R22
ossia una ossia una circonferenzacirconferenza di centro di centro l'origine e raggio R. l'origine e raggio R.
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00), l), l’’eqeq. diventa. diventa::
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Iperbole L‘iperbole ha equazione (in forma canonica (I) con αβ<0):
Le retteLe rette xx22/a/a22 --yy22/b/b22=0=0
ciocioèèy=y=±±±±±±±±((b/a)xb/a)x
sono gli sono gli asintotiasintoti..
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00), l), l’’eqeq. diventa:. diventa:
oo
x
y
y
x
Se Se a=ba=b ll’’iperbole iperbole èè equilateraequilatera, e gli, e gli
asintoti sono le bisettrici degli assiasintoti sono le bisettrici degli assi
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13
Parabola
Parabola ad asse orizzontale(in forma canonica (III)):
βy2=2γx
Se il vertice è V(x0,y0), l’eq. diventa:
Parabola ad asse verticale(in forma canonica (II)):
αx2=2δy
Se il vertice è V(x0,y0), l’eq. diventa:
cioè y=ax2+bx+c
x
y
x
y
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Esempi
(c)
1)
2)
3)
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Quadriche
Una equazione del tipo f2(x,y,z)=0, dove f2 è un polinomio di
secondo grado a coefficienti reali, definisce una quadrica.
L’equazione generale si scrive:
a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y
2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0
A una quadrica si associano le matrici simmetriche B=(ahk) (h,k=1,2,3.4) e
A=(ahk) (h,k=1,2,3).
Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane,
l'equazione di una quadrica si può riscrivere in una delle
seguenti forme:
(I) αx2+βy2+γz2=δ
(II) αx2+βy2=2δz
Una quadrica la cui equazione sia così scritta si dice in forma
canonica; inoltre se i coefficienti sono tutti non nulli si dice
non degenere
http://www.youtube.com/watch?v=5W9Bqd1ejBw
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Ellissoide
EllissoideEllissoide
a punti realia punti reali
Ellissoide a punti Ellissoide a punti
immaginariimmaginari
Ellissoide a punti reali o Ellissoide a punti reali o immaginari di centro immaginari di centro C(xC(x00,y,y00,z,z00))
Se a=b=c=R lSe a=b=c=R l’’ellissoideellissoideÈÈ una una sferasfera di raggio Rdi raggio R
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Iperboloide a una falda
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):
EE’’ una una superficie rigatasuperficie rigata: : per ogni punto Pper ogni punto P00 della superficie S passano della superficie S passano due rette distinte interamente contenute su S; il piano tangentedue rette distinte interamente contenute su S; il piano tangente a S in Pa S in P00interseca S esattamente nelle due retteinterseca S esattamente nelle due rette
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18
http://www.youtube.com/watch?v=YqzTgdooL5o
Iperboloide rigato
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=jymZ060T0iI&feature=endscreen
(Wolfram)
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19
Iperboloide a due falde
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):
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20
Paraboloide ellittico
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):
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Paraboloide a sella
Se il centro Se il centro èè C(xC(x00,y,y00,z,z00):):
EE’’ una una superficie rigatasuperficie rigata
http://www.youtube.com/watch?v=cubLQf_IWg4
http://www.youtube.com/watch?v=TIrypBK4Fag
http://www.youtube.com/watch?v=TIrypBK4Fag
(Wolfram)
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22
Esempi
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23
Coni quadrici (quadriche degeneri)
Sono Sono superfici rigatesuperfici rigate
Cono iperbolico Cono parabolico
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Cilindri quadrici (quadriche degeneri)
Cilindro ellittico Cilindro iperbolico Cilindro parabolico
Sono Sono superfici rigatesuperfici rigate
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Coni, cilindri
Cono di vertice V e direttrice L : luogo delle rette congiungenti V con i punti di L
Cilindro con generatrici parallele a v e con direttrice L : luogo delle rette parallele a v passanti per i punti di L
Coni di vertice O: hanno equazione
fo(x,y,z)=0 dove foè un polinomio omogeneo in x,y,z (di qualunque grado)
Coni di vertice V=(a,b,c): hanno equazione
fo(x,y,z)=0 dove foè un polinomio omogeneo (di qualunque grado) in x-a,y-b,z-c
Cilindri con generatrici parallele agli assi coordinati:f(x,y)=0 ⇒ cil. parallelo asse z con direttrice L : f(x,y)=z=0f(x,z)=0 ⇒ cil. parallelo asse y con direttrice L : f(x,z)=y=0f(y,z)=0 ⇒ cil. parallelo asse x con direttrice L : f(y,z)=x=0
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26
Superfici di rotazione
Iperboloide a una falda di Iperboloide a una falda di rotazione intorno allrotazione intorno all’’asse delle zasse delle z
ToroToro (di rotazione di una circonferenza (di rotazione di una circonferenza intorno allintorno all’’asse delle z)asse delle z)
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27
Superfici di rotazione intorno
agli assi coordinatiSia C:f(x,z)=y=0 una curva che giace nel piano (O,x,z).L’equazione della superficie S che si ottiene ruotando C intorno all’asse z si trova
sostituendo x con √(x2+y2)Sz:f(√(x2+y2),z)=0
Ruotando C intorno all’asse x l’eq. di S si trova
sostituendo z con √(y2+z2)Sx:f(x,√(y2+z2))=0
Se C:f(y,z)=x=0 giace nel piano (O,y,z):
Sz:f(√(x2+y2),z)=0Sy:f(y,√(x2+z2))=0
Se C:f(x,y)=z=0 giace nel piano (O,x,y):
Sy:f(√(x2+z2),y)=0Sx:f(x,√(y2+z2))=0
→ Sup. di rot. intorno all’asse z→ Sup. di rot. intorno all’asse y
→ Sup. di rot. intorno all’asse y→ Sup. di rot. intorno all’asse x
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EsempiRiconoscere e disegnare le seguenti superfici:
a) x2-2y2+4yz+ z2 =0 l) x2+4y2+ z2 -2x=0
b) x2+y2+4yz+2x+1=0 m) x2+y2 -4x=12
c) x2+y2=1 n) 2(y-1)+ √(x2 + z2)=0d) x2-z2=1 o) |x|=y2 + z2
e) y2+z2-2y=0 p) z= 1- (x2+y2)/9
f) z= x2+y2 q) z =√(-x2-y2) g) z2= x2+y2 r) y=1-x2
h) z=1-(x2+y2) s) y=sin x
i) z=√3(x2 + y2) t) y2+z2 =3/2 x
j) z=√(x2+y2) u) |y|=x
k) z =√(18-x2-y2) v) |z|=1-y2
3) Rappresentare le regioni D dello spazio definite dalle seguenti disequazioni:
2)
1)