logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função...
DESCRIPTION
Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso LunavoTRANSCRIPT
Formandos da Escola Profissional de Estaquinhaem uma visita à Escola Agrária de
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
Formandos da Escola Profissional de Estaquinha _Bùzi uma visita à Escola Agrária de Gorongosa
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
Filipe Mathusso Lunavo Página 2 Logaritmo e Função Logarítmica
Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica.
Autor: Filipe Mathusso Lunavo
Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim
Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014
INTRODUÇÃO
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por
John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561
A sua origem é grega e significa a razão dos números
e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o
uso dos logaritmos.
Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação
em soma, de divisão em subtração, entre outras
Contudo, pode-se dizer que o nome
para expoente, conforme veremos a seguir.
APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU
Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano.
� Na Física é utilizado para medir a intensidade do som
� Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
� Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar
dígitos de informação (bits).
� Na geologia, os logaritmos permitem medir a
de algum abalo sísmico através da Escala Richter
� Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemo
John Napier ( 1550-1617),
barão de Marchiston
(Escócia)
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por
e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).
A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão
Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o
se transformar as operações de multiplicação
em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis.
se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação
, conforme veremos a seguir.
DOS LOGARITMOS NO QUOTIDIANO
úmeras aplicações no cotidiano.
Na Física é utilizado para medir a intensidade do som;
Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar
Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”)
de algum abalo sísmico através da Escala Richter.
Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos.
Para não ter problemas na
resolução ou na percepção dos
Logaritmos, vamos lembrar alguns
casos de potências, como os
seguintes:
25 =
ma ×
ma :
2 =−a
2
1
2
1−
=
ou
2
1
−
30 =a 0 o seu resultado é 1.
a =1
125=
Vamos decompor o 125.
125
Henry Briggs (1561-1630) - Inglês
5
25
1
RECORDE
Para não ter problemas na
resolução ou na percepção dos
Logaritmos, vamos lembrar alguns
casos de potências, como os
seguintes:
3222222 =××××=
nmn aa +=×
nmn aa −=
21
=a
( ) 642
424
2
2
1
2
1
2
1
2
12
−−+−
−−−
=
×
=×
6424242
22222 ==×=× +−
1 porque qualquer nº elevado
a 0 o seu resultado é 1.
a ou aa =
35= porque:
Vamos decompor o 125.
Logo: 35125=
5
5
5
CONCEITO DE LOGARITMO
Dados os números reais b (� > 0�� ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que
é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N
na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x.
Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo;
b- é a base do logaritmo e;
x- é o logaritmo.
Exemplos:
� 532log2 = porque 5232 = . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como
sabemos que 322222225 =××××=
� 12log2 = porque 122 =
� 01log5 = porque 150 =
Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação
simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo
que foi exposto, que 10x = N.
a) log10=1 porque 101 = 10.
b) log100= 2 porque 102 = 100
Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático
escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo
pelo símbolo ln. Assim, MMe lnlog = . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos
naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
a) 1ln =e b) 4log4ln ee =
Filipe Mathusso Lunavo Página 5 Logaritmo e Função Logarítmica
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer.
1ª Condição: 01log =b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx =
N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1.
Exemplos: * 01log3 = * 01log2
1 = * 01log1000000 =
2ª Concição: 1log =bb . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela
fórmula bx = N, teremos bb =1
Exemplos: * 13
1log
3
1 = * 17log7
= * 132log32 =
3ª Condição: Se mbmb =log , então pela fórmula teremos mm bb =
Exemplos: * 35log 35 = * 43log81log 4
33 == * 34
1log4log64log
3
4
13
4
1
4
1 −=
==−
4ª Condição: Se aab b =log ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: aab b =log
então abab =log
Exemplos: * 34log3log4 344 == * 255log25log5 25
55 ==
5ª Condição: Se caca bb =⇔= loglog . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo
equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
Exemplos: * 55loglog2
1
2
1 =⇔= aa * 27log27log 33 =⇔= cc
PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO
O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como:
1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, > 0.
Exemplo: ( ) x=− 25log5 , pela definição de logaritmo, teremos: ( ) x525 =− , logo é impossível calcular o
logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo.
Filipe Mathusso Lunavo Página 6 Logaritmo e Função Logarítmica
2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja 1≠b .
Exemplo: x=4log1 vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela:
Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa
explicação de porque não é possível achar o logaritmo.
Se x=1 pela fórmula teremos: 4111 ≠=
Se x= 2 411112 ≠=×=∴
Se x=3 4111113 ≠=××=∴
Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1.
3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja � > 0�� ≠ 1.
Exemplo: ( ) ( )xx 32727log 3 −=⇒=− , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma
potência de base negativa (-3) é igual a 27.
Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se
pode calcular ( veja a conclusão a seguir).
Ex 2: ( ) ( )xx 41616log 4 −=⇒=− Ex 3: ( ) ( )xx 6216216log 6 −=⇒=−
Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos: Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto
Exemplos:
Ex 1: ( )
( ) 64242
3
1log
3
1log3log3log81log9log819log
4
3
1
2
3
14
3
12
3
1
3
1
3
1
3
1
−=−−=−+−=
+
=+=+=×−−
ou
( ) 6
3
1log3log729log819log
6
3
16
3
1
3
1
3
1 −=
===×−
Ex 2: ( ) 6423log3log81log9log819log 4
32
3333 =+=+=+=× ou
x 1 2 3
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
Simbolicamente: ( ) nmnm bbb logloglog +=×
Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica
32
3
22 =
( ) 729log819log 33 =×
2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente
Ex 1: log64log16
64log 444 −=
14log16
64log 44 ==
Prova:
Ex 2: log64log4
64log 22 −=
log16log4
64log 22 ==
EX 3: 81log3
81log 33 −=
log81log3
81log 333 −=
Prova: 3
993
3
8131 ×=⇔=
O logaritmo de uma fração numerador da fração e do denominador
Simbolicamente:n
mblog
63log 63 ==
m Quociente
1234log4log16 24
344 =−=−= ou
Prova: 4416
6441 =⇔
=
4262log2log4log 22
622 =−=−= ou
42log 42 = Prova: 16
4
6424 ⇔
=
( ) 3log3log3log3log3log 32
334
33 −=−=
( )2
43log33log3log3
)1(
32
4
334
3 −=−=−= lo
333
333 =⇔×=⇔
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador.
nmn
mbb loglog −=
Página 7
1616 =
1123 =−= ou
12
2
2
242
)2(==−=
ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do
Filipe Mathusso Lunavo Página 8 Logaritmo e Função Logarítmica
3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência
Exemplos:
Ex 1: 53log53log243log 35
33 ===
Ex 2: ( )2
3
4
1log
2
3
4
1log4log4log64log
4
1
2
3
4
12
3
4
13
4
1
4
1 −=
−=
===−
Prova ( ) 64444
1 32
32
3
===
−
Ex 3: 8422log216log 42
22 =×== Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 25628 = ,
como nós sabemos que 256162 = .
4ª Propriedade: Mudança de Base
Exemplos:
Ex 1: 32:62log2log4log64log64log 22
62224 ==÷=÷= Prova: 64646443 =⇔=
Ex 2: 3266log6log36log1296log1296log 26
666636 =÷=÷=÷=
O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente
irá multiplicar o resultado desse logaritmo.
Simbolicamente: xmx bm
b loglog =
Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo
com a fórmula : bxx mmb logloglog ÷=
Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica
Nb
aNa
b
=
=log
5ª Propriedade: ba ba =log
Exemplos:
Ex 1: 344log44 34
64log4 =×==
6ª Propriedade: a
N bab
loglog =
Exemplos:
Ex 1: log
3
49log49log 73
7 ==
Ex 2: ( ) log8127log3
13
3
1 =÷
6
9
3
4
2
3
3
4
2
3
)2()3(
+−=+−=
−−−
1. Calcule o valor de:
a) log9
81log81log 39 ÷=
b) log3
c) 225,0log2 ⇔= α
d) 5 1255
125
5log =⇔ x
12=
a
Nb
3
2
3
7log 27 =
2
3
1log
3
81log
2
27log
81log27 3
1
3
1
3
1
3
3
1
=−=−
6
1
6
8 −=+
Exercícios Resolvidos
Calcule o valor de:
29log81 29 == ou
2243log3log9log 23
433 =−=÷=÷
32log2
1 322 −== −
222
12
4
12
100
252 2
2=⇔=⇔=⇔= −αααα
25
15
25
15
125
55
125
5
=⇔=⇔=⇔ xxx
Página 9
3
3
1log
3
14
3
1
3 −−
−
2−=⇔ α
2
122
1
55×−
=⇔
x
Filipe Mathusso Lunavo Página 10 Logaritmo e Função Logarítmica
12
255 2
2
−=⇔−=⇔=⇔−
xxx
e) 13
3log
33
9log
3
9log 3
33
3===
f) 4,05
2
5
4log
5
16log16log
2445
4 ====
g) 6,05
3
5
6log6log
365 3
6 ===
h) 7
4
7
4
7
2
1log
7
2log
7
16log
16log
4
2
14
2
1
2
1
7
2
1 −=−=
===
−
i) 8
3
4
1
2
3
42
3
4
2log
4
8log8log
3
2444
2
=×====
2. Calcule o valor dos logaritmos
a) 15log5log6log18log 3333 +−− 5log6log15log18log 3333 −−+⇒
23log9log33log56
1518log56log)1518(log 2
333333 ===×=××=×−×=
b) 27log64log 32 − para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
cada logaritmo, isto é:
62264log 62 =⇒=⇒= aa a
33627log64
33327log
32
33
=−=−∴=⇒=⇒=
lo
bb b
c) 32log16log 42 −
42216log 42 =⇒=⇒= aa a
2
5222432log 525
4 =⇒=⇒=⇒= bb bb
2
3
2
58
2
5432log16log
)1()2(
42 =−=−=−∴
Filipe Mathusso Lunavo Página 11 Logaritmo e Função Logarítmica
d) 36log227log8log 63
2
1 −+
32
1log2log8log
3
2
13
2
1
2
1 −=
⇔=⇔=−
αα
( )443336log227log8log
46log36log2
33log27log
63
2
1
2266
333
−=−+−=−+−=⇔=⇔=−
=⇔=⇔=− δδδ
βββ
e) ( ) 23log9log12108log12618log12log6log18log 23333333 ===÷=÷×=−+
f) ( )125loglog 5
3
1 Vamos resolver em partes.
355125log 35 =⇔=⇔= αα α
( ) 13
1
3
13
3
13log125loglog
1
3
15
3
1 −=⇔
=
⇔=
⇔==∴−
ββββ
g) ( )5log2
102331log2log +++ Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo
12log2 =
( )
( ) 46450131log2log
4559333
01log
5log2102
5log25log2
10
3
33
=++=++∴
=×=×=
=
+
+
h) ( )
2
184
2
36
4
2
1log2log
40
2log2log
3log0
8log64log
81log1log
2
3
2
16
2
3
2
16
2
43
2
12
33
−=
−×=
×
+=×
+=
×+
−
9
4
18
8
18
24 −=−=
−×=2
2
Filipe Mathusso Lunavo Página 12 Logaritmo e Função Logarítmica
3. Calcule o valor de y.
Lembre-se que caca bb =⇔= loglog
a) 8
512loglog
8
1632loglog8log16log32loglog 44444444 =⇒
×=⇒−+= yyy
6464loglog 44 =∴=⇒ yy
b) 3log210log27log27loglog 22222 −++=y
( )
30
30loglog9270loglog9log270loglog
3log270loglog3log1027loglog
2222222
2222
2222
=⇒
=⇒÷=⇒−=⇒
−=⇒−×=
y
yyy
yy
c) 55loglog 22 =⇔= yy
d) 88loglog 1515 =⇔= yy
e) 10log10lglog1000log 3
3
13
3
13
3
1
3
1 =⇔=⇔= yyy
f) 77loglog 10001000 =⇔= yy
g) 44lglg =⇔= yy Lembre-se dos logaritmos de base 10.
h) 2
1
2
1238log
3333 =⇔
=⇔=⇔−=−
−− yyyy
i) 99332
13log 2
222
12
2
1
=⇔=⇔=⇔=⇔=×
yyyyy
j) ( ) ( ) 3322623216log 333332 =⇔×=⇒=⇔= yyyy
k) 1515lglg53lglg5lg3lglg =⇔=⇔×=⇔+= yyyy
l) 2
7
2
34
2
322
2
32lg
2
3lg
)1()2(
=⇔+=⇔+=⇔=−⇔=
− yyyyy
m) ( ) ( ) 9252952lg95lg2lglg95lg −=−⇔=+⇔=+⇔+=+ yyyyyyyy
33
993 −=⇔−=⇔−=⇔ yyy
n) 4
5
33 1
5
3 8log2log yy =−
( ) ( ) yyyy
yyyy
4
3
3
1
3
1222282 4
3
3
1
3
1
4
133
1143 1 =−⇔=⇔=⇔=⇔
−−−
5
4
5
12
12
4
12
4
12
5
12
4
12
9
12
4
3
1
4
3
3
1
)4()3()4(
=−⇔×=−⇔=−⇔=−⇔=−⇔ yyyyyyy /-1
Filipe Mathusso Lunavo Página 13 Logaritmo e Função Logarítmica
5
4−=⇔ y
o) 22222222
322log 2
3
2
332
322
3
2
3
=⇔=⇔=⇔×=⇔=⇔= yyyyyy
p) ( ) yyyyyy =⇔=⇔=⇔=
⇔=⇔= 3222225log 52
55
2
15
2
4. Calcule:
q) 31000101000
110001,0lg 3 −=⇔=⇔=⇔= − aa aa
r) 4101010000lg 4 =⇔=⇔= aa a
s) 210010100
1lg 2 −=⇔=⇔= − aa a
5. Sendo 3log3 −=a , 4log3 =b e 2log3 =c , determine:
a) ( )ab3log Resolução : 143loglog 33 =+−=+ ba
b) 23log
c
ab Resolução: 341243logloglog 22
333 −=−=−+−=−+ cba
c) ba3log
Resolução: 12
2
2
46
2
43
2
log3loglog 3
33 −=−=+−=+−=+−=+b
ba
6. Sabendo que 5log =ab e 3log −=cb determine o valor de :
a) ( )acblog Resolução: ( ) ( ) 23535logloglog =−=−+=+= caac bbb
b)
a
cblog Resolução: 853logloglog −=−−=−=
ac
a
cbbb
c) 3log acb Resolução: ( )
3
2
3
35
3
loglog
3
loglog 3 =−+=
+==
caacac bbb
b
d) ( )4log acb Resolução: ( ) ( ) 162)35(35logloglog 4444444 ==−=−+=+= caac bbb
7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos
a) ( )ba22log
Resolução: ( ) bababa 2222
22
2 loglog2logloglog +=+=
Filipe Mathusso Lunavo Página 14 Logaritmo e Função Logarítmica
b)
65 4
5log π
Resolução: πππ 5556
556
5 log64log5loglog4
5log
4
5log +−=+=
c) 2
log
log2logloglog2log2log8
888888
g
l
g
l
g
l ++=++=
πππ
g
l
g
l
g
l
22log
2
12log22log 888 +=×+=÷+×= πππ
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (,
e definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando
o conjunto dos números reais positivos por , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1.
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay \ y = logax Portanto, a função logarítmica é então:
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ),
para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação
à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
Exemplos: xxf 4log)( = ; xxg2
1log)( = ; ( )2log)( 6 −= xxf ; ( )13log)(3
1 += xxf
Gráfico da função logarítmica
Vamos fazer o estudo da função xxf 3log)( = construindo a tabela e respectivo gráfico.
xay = 0⟩a
1≠a
+IR
Filipe Mathusso Lunavo Página 15 Logaritmo e Função Logarítmica
−1 1 2 3
−3
−2
−1
1
x
y
Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: xyyx 3log3 =⇔=
Tabela da função xy 3= Tabela da função x3log
Gráfico da função logarítmica
Observando o gráfico, concluímos que:
� Domínio: += IRDf
� Contradomínio: IRfD =´
� Zero da função: 1=x
� A função é crescente
� A curva da função não intercepta o eixo das
ordenadas.
� A função é positiva, isto é:
] [+∞∈> ;1;0)( xxf
� A função é negativa, isto é,
] [1;0;0)( ∈< xxf
Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1.
Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 10 << a ).
Considere a função xxf3
1log)( = . Passando para forma de função exponencial teremos: x
y
=3
1.
x xy 3= y
-3 27
1
3
133
33 =
=== −xy 27
1
-2
9
1
3
133
22 =
=== −xy 9
1
-1
3
1
3
133
11 =
=== −xy 3
1
0 133 0 === xy 1
1 333 1 === xy 3
2 933 2 === xy 9
3 2733 3 === xy 27
x x3log y
27
1 3333log
333
1
327
1
3 −====−
x
-3
9
1 2333log
223
1
39
1
3 −====−
x -2
3
1 1333log
113
1
33
1
3 −====−
x -1
1 01loglog 33 ==x 0
3 13loglog 33 ==x 1
9 23log9loglog 2333 ===x 2
27 33log9loglog 3333 ===x 3
Filipe Mathusso Lunavo Página 16 Logaritmo e Função Logarítmica
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
x
y
Tabelas
Gráfico
A partir do gráfico, podemos constatar que:
� Domínio: += IRDf
� Contradomínio: IRfD =´
� Zero de função: 1=x
� A função é decrescente.
� A curva da função de f não intercepta o eixo das
ordenadas.
� A função é positiva, isto é, ] [1;0;0)( ∈> xxf
� A função é negativa, isto é,
] [+∞∈< ;1;0)( xxf
x x
y
=3
1
y
-3 273
3
1
3
1 33
==
=
=−x
y 27
-2 93
3
1
3
1 22
==
=
=−x
y 9
-1 33
3
1
3
1 11
==
=
=−x
y 3
0 1
3
1
3
10
=
=
=x
y 1
1
3
1
3
1
3
11
=
=
=x
y 3
1
2
9
1
3
1
3
12
=
=
=x
y 9
1
3
27
1
3
1
3
13
=
=
=x
y 27
1
x xy3
1log= y
27
33
3
1
3
13
3
1−
=
↔=
yy
-3
9 22
3
1
3
13
3
1−
=
↔=
yy
-2
3 11
3
1
3
13
3
1−
=
↔=
yy
-1
1 01log3
1 =↔= yy 0
3
1 1
3
1log
3
1 =↔= yy 1
9
1
yy
=↔
=3
1
3
1
3
1
9
12
2
27
1
yy
=↔
=3
1
3
1
3
1
27
13
3
Filipe Mathusso Lunavo Página 17 Logaritmo e Função Logarítmica
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
x
y
As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial,
e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos.
Vamos denominar a função xy 3= como xxf 3)( = a logarítmica mantemos x3log
Graficamente teremos Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e
do terceiro quadrante y=x.
Portanto a função xxf 3)( = , é inversa da função x3log .
Ainda, se 10 << a teremos os seguintes gráficos:
Vamos denominar a função x
y
=3
1 como
x
xf
=3
1)( a logarítmica mantemos x
3
1log
−1 1 2
−1
1
2
3
4
x
yy = (1/3)^xy = log(1/3,x)y = x
xxf 3)( =
x3log
xy =
Filipe Mathusso Lunavo Página 18 Logaritmo e Função Logarítmica
Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira:
� O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o
domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é,
( )+=== IRgDIRDf ´)( e ( ) ( )+=== IRfDIRDg ´ . Isto acontece pelo facto destas
funções serem inversas entre si.
� As funções )(xf e )(xg são crescentes para 0>a .
� As funções )(xf e )(xg são decrescentes para 10 << a .
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ( )bxy a ±= log
Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer
a demonstração de apenas dois casos.
Dadas as funções: xxf 2log)( = , ( )1log)( 2 += xxg e ( )1log)( 2 −= xxh
Como podemos ver, os gráficos das funções ( )1log)( 2 += xxg e ( )1log)( 2 −= xxh , surgem através da
translação de b unidades para cima xxf 2log)( = , se b for positivo e b unidades para baixo da função
xxf 2log)( = se b for negativo.
Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos:
� As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios;
� Os seus domínios são iguais.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
yy = log(2,x+1) y = log(2,x-1) y = log(2,x)
•
•
•
Filipe Mathusso Lunavo Página 19 Logaritmo e Função Logarítmica
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
yy = log(1/2,x)y = log(1/2,x+1)y = log(1/2,x-1)
� Os seus contradomínios também são iguais.
Diferenças:
� Zero de função: Para a parábola da função ( )1log)( 2 += xxf , x=0
Para a parábola da função ( )1log)( 2 −= xxg , x=2.
Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com
logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1.
Dadas as funções: xxf2
1log)( = , ( )1log)(2
1 += xxg e ( )1log)(2
1 −= xxh
A diferença que agora encontramos, é de que
todas as três funções são decrescentes,
diferentemente no exemplo anterior.
Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que
seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima
Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica
Dadas as funções xxf 2log)( = , g
Para a função �( ): 2log2 =>+x
Para a função �( ): 2log2 =>−x
� As funções �( )��( ) são obtidas através da função
negativas respectivamente.
Agora vamos construir o gráfico da seguinte função
2log)( 2 += xxg e 2log)( 2 −= xxh
� Todas as funções são crescentes;
� As funções são definidas para valores de x > 0,
isto é, o domínio de DgDf ,
� As funções não intercepta o eixo das ordenadas,
porque não estão definidas para x = 0.
� As funções interceptam o eixo das abcissas
quando y = 0 (zeros de função) sendo:
�( ), � 0,25 e ��
Podemos determinar os zeros da função da seguinte
maneira:
2
122log
22
2 ==>
==>==>−==> − xxxx
422log 22 ==>==>==> xxx
são obtidas através da função �� pela translação de 2 unidades positivas e
Agora vamos construir o gráfico da seguinte função 2log)(2
1 += xxf e log)(2
1=xg
� Todas as funções são decrescentes
� As funções são definidas para valores
de 10 << b , isto é, o domínio (
� As funções não interceptam o eixo das
ordenadas (yy), porque não estão definidas para
x=0.
� As funções interceptam o eixo das
abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:
4),0( =xf e g
Página 20
s as funções são crescentes;
As funções são definidas para valores de x > 0, += IRDhDg, .
As funções não intercepta o eixo das ordenadas,
porque não estão definidas para x = 0.
As funções interceptam o eixo das abcissas
quando y = 0 (zeros de função) sendo: �� , � 1,
� , � 4
Podemos determinar os zeros da função da seguinte
25,04
1 ==>= x
pela translação de 2 unidades positivas e
22
1 −x
funções são decrescentes
As funções são definidas para valores
, isto é, o domínio ( += IRD f )
As funções não interceptam o eixo das
ordenadas (yy), porque não estão definidas para
As funções interceptam o eixo das
abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo:
4
1),0( =xg ).
Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO
Dadas as funções: (log)( 2 += xxf
As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo maior que zero (0), acontecerá o que vai observar
Dada as funções: (log)(2
1= xxf
( ) 21log)(2
1 −+= xxm
•
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO ( ) cbxy a +±= log
) 11 ++ ; ( ) 21log)( 2 ++= xxg ; (log)( 2= xxh
( )1log)( 2 += xxm
� Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes.
� Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), g(x), y=3; h(x), y= -1 e
� Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas
função f(x), 2
1−=x ; g(x),
1=x e m(x), 2=x
As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo é maior que 1 unidade mas se for memor que 1 e á o que vai observar nos gráficos a baixos.
) 11 ++x ; ( ) 21log)(2
1 ++= xxg ; (log)(2
1= xxh
Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em:
� Todos os gráficos são decrescentes;
� Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas
função f(x), 1=x ; g(x),
2
1−=x e m(x), x
Página 21
) 11 −+ e 2−
Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes.
Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), y= 1;
1 e m(x), y= -2.
Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas-xx): para a
; g(x), 4
3−=x ; h(x),
mas se for memor que 1 e
) 11 −+x e
Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em:
Todos os gráficos são decrescentes;
Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas-xx): para a
; g(x), 3=x ; h(x),
4
3−=x
Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica
Filipe Mathusso Lunavo
Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala
Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de
Contabilidade Simplificada
no 1º, 2º e
Estaquinha
Para quaisquer reclamação ou sugest
Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala. Formado pela ADPP Escola de
Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de Matemática, Física, Informática
Contabilidade Simplificada na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha
no 1º, 2º e 3º ano. Também leccionou Matemática na Escola Secund
Estaquinha (6ª e 7ª Classes) durante 3 anos.
reclamação ou sugestão na melhoria deste texto, envie um correio electrónico para:
Página 22
. Formado pela ADPP Escola de
Matemática, Física, Informática e
na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha – Búzi,
. Também leccionou Matemática na Escola Secundária São José de
melhoria deste texto, envie um correio electrónico para: