PHM NH NGHIM

LOGIC CHUYN NGNHGio trnh dnh cho sinh vin ngnh trit hc

TP. H CH MINH 2006

Chng I I.

LOGIC MNH

Mnh . Cc php ton trn mnh

1. Mnh Trong Ting Vit (v cc ngn ng khc) c nhng cu - thng l cu tng thut - m t s vt v hin tng. C nhng cu m t ng, cng c nhng cu m t sai s vt v hin tng. Nhng cu nh th, c cu ng v cu sai, c gi l mnh 1. V d, cc cu sau: (a) Nam l sinh vin; (b) Kh hu tri t ang nng dn ln; (c) Bn c th tht vng khi b tht bi nhng bn s khng l g c nu khng n lc ht mnh (Beverly Silis); (d) Nu ngi v p m khng phi l thin thn th ngi chng v cng bt hnh (J.J. Rousseau); l cc mnh . Khng phi cu no cng hoc ng hoc sai. Cc cu hi, cu mnh lnh, cu cm thn khng m t ci g nn khng ng m cng khng sai. C c nhng cu tng thut khng th xc nh l ng hay sai. Chng hn, cu Ti ni di khng th l ng, nhng cng khng sai. Nhng cu khng ng, khng sai nh th khng phi l mnh . Cc mnh khng th tch ra thnh cc mnh n gin hn gi l mnh n. Cc mnh c th tch thnh cc mnh n gin hn gi l mnh phc. Ni cch khc, mnh phc c to thnh t cc mnh n. Cc mnh (a) v (b) trn y l mnh n, cn (c), (d) l cc mnh phc. 2. Cc php ton logic trn mnh Nh trn kia ni, c th xy dng cc mnh phc tp t nhng mnh n gin hn. Vic ny thc hin c nh cc php ton (ton t) logic. Ph nh l mt trong nhng php ton n gin nht trn mnh . l php ton mt ngi. Mc du trong ngn ng t nhin mt mnh no c th b ph nh bng nhiu cch khc nhau, y ta ch ph nh mt mnh bng mt cch duy nht, bng cch t du trc mnh . Nu A l mt mnh , th A l ph nh ca mnh A. Php ton ph nh c nh ngha bng bng chn l sau: Ph nh A1

A

Mnh v cu, xt nghim ngt, khc nhau. Nhng trong chng trnh ny, cho n gin, chng ti ng nht mnh vi cu tng thut.

1

T F

F T

Cc ch ci T v F y ch cc gi tr chn l ng (True) v sai (False) tng ng. Trong bng trn, nu A ng th ph nh ca n, A, sai, v ngc li, nu A sai th A l ng. Hi l php ton ph bin th hai trn mnh . Ngi ta cn gi n l php lin kt. Lin kt ca hai mnh A v B c k hiu bng A & B. Bng chn l nh ngha php hi nh sau (xem bng). Mnh A & B ng khi v ch khi A ng v B ng. Cc mnh A v B c gi l cc thnh phn lin kt ca mnh A & B. Hi A T T F F B T F T F A&B T F F F Tuyn khng nghim ngt A T T F F B T F T F AB T T T F Tuyn nghim ngt A T T F F B T F T F AB F T T F

La chn l php tnh ph bin th ba trn mnh . Ngi ta cn gi n l php tuyn. Trong ting Vit php ton ny thng c biu th bng t hoc, hoc l, hay, hay l. La chn c th c hiu theo hai ngha khc nhau. Trong ngha th nht A hoc B (k hiu l A B) c hiu l ng khi c t nht mt trong hai thnh phn A hoc B ng , hoc l c A v B cng ng. Trong ngha th hai A hoc B (k hiu l A B) ng khi A ng, B sai, hoc l khi A sai, B ng. Ngha th nht l php tuyn khng nghim ngt, php tuyn nghim ngt ng vi ngha th hai. Php tuyn nghim ngt c k hiu l . Bng chn l ca php tuyn khng nghim ngt v nghim ngt c dn trn. Ko theo l mt php ton hai ngi c nh ngha bng bng chn l quan trng na trn cc mnh . Vi cc mnh A v B php ton ny cho php to nn mnh A B. Ngha ca mnh ny l Nu A th B, hay l A ko theo B. Ngha ny khng c xc nh r rng trong nhng ng dng thng thng. Ta ch bit rng A ko theo B ng c ngha l nu A ng th B phi ng. Trong ting Vit php ton ny thng c din t bng cc cm t Nu th , Nu s ,Khi no th , Bao gi th , th v mt s cm t khc. V d, cc cu Nu khng bo v mi trng ngay t by gi th loi ngi s khng c tng lai ; Chun chun bay thp th ma; C nc th c c; Bao gi chch ngn a, so di nc th ta ly mnh biu t cc mnh dng ko theo. Trong ngn ng thng thng, v c trong cc suy lun ton hc hoc cc khoa hc khc, ngha ca cm t nu th v cc cm t khc din t php ko theo c

2

hiu ph thuc vo vn cnh. Cu Nu A th B trong ting Vit thng biu th mt mi lin h gia A v B v ni dung. Chng hn, A l iu kin, B l h qu (v vy mnh loi ny cn c gi l mnh iu kin), hay A l nguyn nhn, B l kt qu. Nhng trong logic mnh chng ta khng quan tm n mi lin h v mt ni dung , m ch quan tm n mi lin h v gi tr chn l ca chng m thi. C th l ta s coi l Nu A th B ch sai khi A ng m B sai. Trong tt c cc trng hp khc Nu A th B ng. Ko theo A T T F F B T F T F AB T F T T A T T F F Tng ng B T F T F A B T F F T

Bng chn l ca php ko theo c dn trn. Nu k hiu cm t A tng ng B l A B th ta c bng chn l cho php tng ng nh dn trn. A B ng khi v ch khi A v B c cng mt gi tr chn l nh nhau. u tin thc hin cc php ton c xc nh theo th t gim dn nh sau : , &, , , . Cng mt php ton th chng c kt hp v bn phi2, ngha l: pqr p (q r) p&q&r p & (q & r) pqr p (q r) p (p) pqr p (q r) 3. nh ngha cc php ton logic bng phng php gii tch Nu k hiu val(A) l gi tr logic ca cng thc A, k hiu val(A) = T l val(A) = 1 th bng nh ngha cc php ton logic cho thy : val(A B) = max (val(A), val(B))= val (A) + val (B) (vi ch : 1 + 1 = 1); val(A & B) = min (val(A), val(B)) = val (A) . val (B); val(A) = 1 val(A); val(A B) = val (A B) = max(1 - val(A), val(B)); 4. Cng thc

2

Khng th kt hp v bn tri nh trong ton hc v nu nh th biu thc A tr nn v ngha.

3

Ta s dng thut ng cng thc ch mt loi biu thc c xy dng t cc mnh n v cc php ton trn mnh . Chnh xc hn: (i) Tt c cc mnh n p, q, r, p1, p2, l cc cng thc. (ii) Nu A l cng thc th (A), A l cng thc. (iii) Nu A, B l cng thc th A & B, A B, A B, A B l cc cng thc. (iv) Ngoi ra khng cn cng thc no khc. V d cng thc : p p (q & r) (r & q) (((r s) & q) s)

Nhng biu thc sau y khng phi l cng thc : p & q, p q, p & (q r) .

Mi cng thc l mt hm ca cc bin (l cc mnh n thnh phn ca cng thc ) xc nh trn tp cc gi tr chn l {T, F}. Hm cng nhn gi tr t tp {T, F}. Mi s phn b cc gi tr chn l ca cc mnh n cu thnh cng thc A tng ng vi mt gi tr chn l ca cng thc A . V d, cng thc (p q) & ( r) c gi tr tng ng vi cc phn b gi tr chn l ca cc mnh n thnh phn ca n nh sau : p T T T T F F F F q T T F F T T F F r T F T F T F T F pq T T T T T T F F

rF T F T F T F T

(p q) & ( r ) F T F T F T F F

Bng lit k gi tr chn l ca cng thc cng vi cc phn b gi tr ca cc mnh n thnh phn ca n nh trong v d trn y gi l bng chn l (hay bng chn tr) chng ta s kho st phn sau - ca cng thc. 5. Cc cng logic trong k thut in t

4

Trong k thut in t ngi ta s dng cc phn t c bit ca mch in, gi l cc cng logic. Cc cng logic thng thng l cng AND, tng ng vi php ton hi; cng OR, tng ng vi php tuyn khng nghim ngt; cng XOR, tng ng vi php tuyn nghim ngt; cng o NOT, tng ng vi php ph nh; cng NAND, tng ng vi ph nh ca php hi; cng NOR, tng ng vi ph nh ca php tuyn; NXOR, tng ng vi ph nh ca php tuyn nghim ngt. Cng AND Output = X & Y (u ra c tn hiu khi v ch khi c hai u vo X v Y u c tn hiu)

Cng OR Output = X Y (u ra c tn hiu khi v ch khi c t nht mt u vo X hoc Y c tn hiu)

Cng XOR Output = X Y (u ra c tn hiu khi v ch khi c ng mt u vo X hoc Y c tn hiu)

Cng NOT (cng o) Output = X (u ra ch c tn hiu khi u vo khng c tn hiu, v ngc li )

5

Cng NAND Output = (X & Y) (u ra ch khng c tn hiu khi khng u vo no c tn hiu, cc trng hp khc u ra u c tn hiu) Cng NOR Output = (X Y) (u ra ch c tn hiu khi khng u vo no c tn hiu)

Cng NXOR Output = (X Y) (u ra ch c tn hiu khi khng u vo no c tn hiu hoc tt c cc u vo u c tn hiu)

Mt mch in t thit k t nhng cng logic ny s tng ng vi mt cng thc logic, v ngc li, mi cng thc logic tng ng vi mt mch in t thit k t cc cng ny.

Mch in t trn y tng ng vi cng thc : Output = (((x y) (y z)) (z & y)) 6. H cc php ton y 6

V cc mnh ch c th nhn mt trong hai gi tr chn l l T v F nn s lng cc php ton hai ngi (khc nhau) trn mnh c tt c l 24 = 16. Chng c biu din trong bng sau:B A T T F F B T F T F 1 T F F F 2 T T F F 3 T T T F 4 T F T T 5 T F F T 6 F T T T 7 F F T T 8 F F F T 9 F F T F 10 T F T F 11 F T F T 12 T T F T 13 F T T F 14 F T F F 15 T T T T 16 F F F F

Trong bng trn cc php ton 1, 3, 4, 5 chnh l cc php ton &, , v tng ng. Nhn xt: php ko theo () c th c nh ngha thng qua cc php ph nh v tuyn. C th l: (A B) (A B) (1) Php ton 14 c th nh ngha thng qua php ko theo v ph nh: K hiu n bng |, ta c (A |B) ( (A B)) (2) v, t (1), (2) ta thy | c th c xc nh thng qua php ph nh v tuyn: (A | B) ( (A B)) C mt cu hi rt t nhin l vi mt nhm php ton no th nh ngha tt c cc php ton cn li trong 16 php ton nu trn? nh l sau y tr li cho cu hi . nh l 1.1. Bt c mt php ton no trong s 16 php ton nu trong bng trn u c th c cho thng qua cc php ton , & v. Chng minh. Ta chng minh nh l ny bng cch xc nh tng php ton trong s 16 php ton trn qua cc php ton , &, . Php ton 1 chnh l php &, php ton 3 l php . Php ko theo (4) v php ton (14) c biu din nh trn kia ni. Php ton (13) chnh l php tuyn nghim ngt . Nh bit, AB (A B) & ( A B) Php ton (5) chnh l php ng nht. N c biu l : (A = B) (A B) & (B A) Php ton th 8, ta k hiu n bng du L, c nh ngha nh sau: (A L B) (A & B); php ton 7, ta tm k hiu n bng du , c th nh ngha nh sau: (A B) ((A1 & A2) (A1 & A2)). Chng ti dnh phn cn li cho bn c, coi nh bi tp. Nu cho trc mt bng chn l th n cn cho php ta xc nh cng thc c bng chn l .

7

V d: C bng chn l A1 T T T T F F F F A2 T T F F T T F F A3 T F T F T F T F D F T F T T F F F

Cng thc D y l D = (A1 & A2 & A3) (A1 & A2 & A3) (A1 & A2 & A3). Cng thc D thu c bng cch : Trong bng chn tr ca D ch s dng cc dng m D c gi tr ng (T). Ti cc dng , nu bin c gi tr T th ly nguyn bin, nu c gi tr F th y ph nh ca bin. Mi dng ng ca bng chn tr c biu th bng mt cng thc, l hi ca cc bin hoc ph nh bin chn theo cch va trnh by. Cc cng thc tng ng vi dng ng c lin kt vi nhau bng du ton tuyn, kt qu l D. Nhm php ton nh ngha tt c cc php ton khc c gi l h cc php ton y . Nh ta thy, nh l 1 khng nh rng (, &, ) l mt h cc php ton y . Cc cp php ton (, ); ( , ) cng l cc h php ton y .

II.

Quy lut v mu thun logic

1. Khi nim quy lut v mu thun logic Trong logic hai gi tr m ta ang nghin cu th mt mnh hoc l ng, hoc l sai. Nu mnh ph hp vi thc tin th n ng, nu n khng ph hp vi thc tin th n sai. Ni chung, xc nh xem mt mnh c ng hay khng ta phi i chiu vi thc tin. Th nhng c mt s trng hp khng cn i chiu trc tip vi hin thc khch quan ta cng c th bit c mnh l ng hay sai. V d, mt thi im nht nh th mnh tri ma hoc khng ma l mnh ng. Ta bit iu m khng cn phi xt xem tri ma hay khng ma thi im . Nguyn nhn y l mnh nu ng trong c hai trng hp tri ma v tri khng ma thi im . M ngoi hai trng hp ra th khng cn trng hp no. Nh vy mnh ny ng trong mi trng hp. Nhng mnh ng trong mi trng hp nh vy ta gi l mnh hng ng, hay quy lut logic (tautology). Tri li, thi im bt k, mnh tri ma v khng ma sai. N sai trong trng hp trn thc t tri ang ma, v sai c trong trng hp trn thc t tri khng ma. M ngoi hai trng hp ra th khng cn trng hp no khc. Ngha l mnh ny sai

8

trong mi trng hp. Nhng mnh sai trong mi trng hp nh vy gi l mnh hng sai, hay mu thun logic. Cc khi nim quy lut v mu thun logic va nu c ngha rt quan trng. Trong logic mnh , mt suy lun ng v ch ng khi cng thc biu th n l quy lut logic, v n khng th no ng c khi cng thc biu th n l mt mu thun logic. Quy lut logic cng chnh l cc nh l trong cc h tin v h suy lun t nhin ca logic mnh m ta s nghin cu nhng phn sau. 2. Cc phng php xc nh quy lut v mu thun logic a) Lp bng chn l Theo nh ngha mc trn, mnh l quy lut logic nu n ng trong mi trng hp. rng mi trng hp tng ng vi mt phn b gi tr chn l ca cc mnh n. Tht vy, chng hn, vi trng hp tri ma th cc mnh n tri ma, ng t c gi tr ng; trong khi cc mnh tri nng, c gi tr sai. Ni cch khc, trng hp tri ma ng vi phn b gi tr ng, ng, sai, cho cc mnh n tri ma, ng t, tri nng tng ng. Nh vy mnh l quy lut logic khi v ch khi ti tt c cc dng trong bng chn l ca cng thc ca n u c gi tr T (ng). Tng t nh th, mnh l mu thun logic khi v ch khi tt c cc dng trong bng chn l ca cng thc ca n u c gi tr F (sai). Chnh v vy lp bng chn l ta c th xc nh xem mnh c phi l quy lut ogic hay khng. Khng nhng th, bng bng chn l ta cn c th xc nh xem mnh c l mu thun logic hay khng. Cho trc mt cng thc. Cn c vo cc php ton bit, ta c th lp bng chn l ca cng thc nh sau. Bc 1. Trc ht ta xc nh xem trong cng thc cho c bao nhiu mnh n khc nhau. rng nu mt mnh n no xut hin nhiu ln ta cng ch tnh mt ln. Nu trong cng thc c n mnh n khc nhau th bng chn l ca cng thc y c 2n dng. Mi dng ca bng cha mt s phn b gi tr chn l ca cc mnh n trong cng thc cng vi gi tr chn l ca cc cng thc xut hin khi xy dng cng thc kho st, v tt nhin, c gi tr chn l ca cng thc kho st na. Ta k ngay bn di cng thc mt bng gm 2n dng v mi mnh n, mi du ton u tng ng vi mt ct. Bc 2. Vi mnh n th nht (th t c th chn ty ) ta chia bng thnh hai phn trn di u nhau. Ti ct ca mnh cc dng thuc phn u ta ghi gi tr T (ng), cc dng thuc phn sau ghi gi tr F (sai). Vi mnh n th hai, hai phn ca bng li c chia oi. By gi ta c bn phn. Ti ct ca mnh ny, cc dng phn l ta ghi gi tr T, cc dng phn chn ghi gi tr F. Vi cc mnh n cn li lm tng t : cc phn c ca bng c chia thnh hai phn trn di, cc dng phn l ghi gi tr T, cc dng phn chn ghi gi tr F. y l bc gn gi tr cho cc mnh n. rng trn cng

9

mt dng ca bng th mt mnh n d c th xut hin nhiu ln nhng bao gi cng c cng mt gi tr. Bc 3. bc ny ta tnh gi tr ca cc cn li trong bng, y chnh l gi tr ca cc cng thc c to thnh t cc mnh n c mt trong cng thc ta ang kho st. Gia tr chn l ca cc cng thc to thnh t cc mnh n xt trong khun kh cng thc kho st c xc nh ti mi dng cn c vo gi tr cc mnh n trong dng v cc php ton logic ca n. Lu rng cc cng thc nm trong ngoc n trong cng phi c xc nh trc, ri sau cn c trn gi tr chn l ca chng xc nh gi tr chn l ca cc cng thc c cha chng. Ct gi tr c thc hin cui cng l ct gi tr ca cng thc kho st. Cn c vo ct ny c th bit cng thc c l quy lut logic hay khng, nn n c gi l ct i din. Du ton tng ng vi ct i din gi l du ton chnh ca cng thc. Dng c gi tr T ct i din gi l dng ng, dng c gi tr F ct i din gi l dng sai. Mt cng thc l hng ng (hay cn gi l quy lut logic) neu trong bng chn l ca n, ct i din n c gi tr T tt c cc hng. Ni cch khc, cng thc l hng ng nu tt c cc dng trong bng chn l ca n u l dng ng. Ni cch khc, cng thc l quy lut logic nu bng chn l ca n khng c dng sai. Cng thc l hng sai (hay mu thun logic), nu ct i din trong bng chn l ca n c gi tr F ti mi dng, ngha l khi tt c cc dng trong bng chn l u l dng sai. Hay cng vy, cng thc l mu thun logic khi trong bng chn l ca n khng c dng ng. V d, bng chn l ca cng thc (p q) & ( r) nh sau: (p T T T T T T T T F T F T F F F F q) T T F F T T F F & ( F F T T F F T T F F T T F F F T r) T F T F T F T F

Dng ng

Dng sai

Ct i din Cng thc c th va khng phi l quy lut logic, va khng l mu thun logic. Cng thc va xt trn y l mt cng thc nh vy.

10

V d sau y minh ha tng bc lp bng chn l ca mt cng thc. Trong v d ny chng ti nh s cc php ton c trong cng thc theo th t gim dn u tin bn c d theo di trnh t thc hin chng, cc s c ghi trn u cc du ton tng ng. Cong thc kho st: ((p q) & (p r)) (p r) (q & r). u tin thc hin cc php ton l (s cng nh u tin cng cao) :

1

2

1

4

1

2

1

3

1

2

1

((p q) & (p r)) ( p r) ( q Cc php ton c cng u tin c th thc hin theo th t tu .

& r)

Trong cng thc ny c ba mnh n khc nhau l p, q v r. Vy bng chn l ca n c 2 = 8 dng. K bng v gn gi tr cho cc mnh n (coi p l mnh n th nht, q th hai v r th ba), ta c:3

((p q) & (p r)) ( p r) ( q & r) T T T T F F F F T T F F T T F F T T T T F F F F T F T F T F T F T T T T F F F F T F T F T F T F T T F F T T F F T F T F T F T F

Thc hin cc php ton c u tin 1, ta c bng sau :

((p q) & (p r)) ( p r) ( q & r) T T T T T T T T T F F T T T T T F T T T T T F F T F T F T F T F T T F F T T F F T F T T F T F F T F T T F T F

11

F F F F

T T T T F F F F

F T T F F F F T T F F F

T F T F T F T F

F T T F F T T F

F T F T T F T F

F T F T

T F T F

Thc hin cc php ton c u tin 2, ta c :

((p q) & (p r)) ( p r) ( q & r) T T T T F F F F T T T T T T T T T T T F T F T T T T T F T T T F T T T F T T T T F F F F F F F F T T F F F F F F F T F F T F T T T F F T F F T F T T T F T F T F T T F T T F T F T F T T F T T F F T F F T F T F F T F T F T F F T F T F F T F T F T F T F T F T T F T F T F T F

Trong bng trn gi tr ti mi ct nh bng m nhn c cn c vo gi tr ti hai ct nh bng m hn hai bn n. Thc hin phep ton tip theo, ta c :

((p q) & (p r)) ( p r) ( q & r) T T T T F F F F T T T T T T T T T T T F T F T T T T T F T T T F T T T F T T T T F F F F F F F F T T F F F F F F F T F F T F F T F F T T T F T F T F F T F F T F T F F F T T T F T T F T T F T F T T F T F T F T T F T F T F T F T F T T T F F T F T T F T T F T F T F T F T F T T F T F T F T F

12

Kt qa mi nhn c trong ct nh bng m ca bng ny cn c vo cc ct nh bng m hn. By gi thc hin php ton cn li, tc php ton chnh, ta c :

((p q) & (p r)) ( p r) ( q & r) T T T T F F F F T T T T T T F F T F F T F F T F T T T T T F T F T T T F T F T F T F T T T T F F T F F T F T F F T F T T T F T F T T T F T T F T T T T F T T T T F T F T T F T F T T F F F F T T F T T F T F T F F F F F T T T T F T F T T T F F F F F F F F T T F T T F T T F T F T F T F T F T T F T F T F T F

ct i din ct nh bng m, nhn c cn c vo cc ct nh bng m - cho thy bang c hai dng sai v 7 dng ng. Nh vy cng thc kho st khng phi l quy lut logic, cng khng phi l mu thun logic. Chng ta va thy vic lp bng chn l rt n gin. Vi cng thc no ca logic mnh u c th lp bng chn l xc nh n c phi l quy lut hay mu thun logic hay khng. Bng chn l cn c s dng gii quyt nhiu vn khc. S dng trong bng chn l ca mt cng thc ph thuc vo s lng mnh n khc nhau to nn n v tng theo gp i khi s mnh n tng ln mt. Vi cng thc cha 3 mnh n th s dng l 23 = 8, cha 8 mnh n th s dng l 28 = 256 ! Bi vy, ngi ta phi tm cch gim khi lng tnh ton c th gii quyt c nhiu bi ton logic hn. y ta nghin cu mt trong nhng phng php nh vy. l phng php lp bng ng ngha. b) Lp bng ng ngha (bng chn l rt gn) y l phng php xc nh xem cng thc cho trc no c phi l quy lut logic hay khng bng cch tm xem trong bng chn l ca n c th c dng sai hay khng, mc d khng lp bng chn l ca cng thc. Nu khng c dng sai no trong bng chn l ca n th cng thc cho l quy lut logic. Cn nu c th cng thc cho khng phi l quy lut logic. Nu nh trong phng php lp bng chn l ca cng thc ta i t ch bit gi tr chn l ca cc cng thc thnh phn n vic xc lp gi tr ca ton b cng thc, th y,

13

ngc li, ta i t ch bit gi tr ca ton b cng thc n vic xc nh gi tr ca cc cng thc thnh phn ca n. nghin cu phng php ny ta xem xt vi v d. V d 1. Xt cng thc ((p q) & p) q Bc 1 Nh ni trn, ta bt u bng cch gi nh rng cng thc ny khng phi l quy lut logic. Vy th, theo nh ngha, n phi c gi tr F t nht mt dng trong bng chn l ca n. Ta vit gi tr F vo ct tng ng vi cng thc cho ban u. cc bc tip theo ta s c gng xc nh xem mt dng nh vy c tn ti khng? Bc 2 Tip theo, theo nh ngha php , cng thc ((p q) & p) q ch c th c gi tr F khi cc cng thc (p q) & p v q c cc gi tr tng ng l T v F. V vy ta ghi cc gi tr vo nhng v tr tng ng. Bc 3 (p q) & p ch c th c gi tr T khi c (p q) v p u c gi tr T. Ta ghi cc gi tr vo ch ca chng. bc 3 ny ta cn ghi thm gi tr F ca mnh n q bit bc 2 (ni chung bc th bt k ta ghi c gi tr ca tt c nhng mnh n bit t cc bc trc n). Bc 4 Cng thc (p q), vi gi tr T ca p, ch c th c gi tr T khi q c gi tr T. Ta ghi cc gi tr va tm ra vo bng. Ta cng ghi thm, nh ni pha trn, tt c cc gi tr chn l bit cc bc trc ca cc mnh n. Bc 1 2 3 4 ((p q) & T T T T T T p) F q F F F

n y ta xc nh c gi tr ca tt c cc ln xut hin ca cc mnh n trong cng thc. Bng lp xong. Dng cui cng ca bng cho bit iu kin m mt dng trong bng chn l ca cng thc phi tha mn gi tr cua cng thc trong dng l sai. dng cui cng ca bng trn y ta thy mnh n q va ng li va sai. Nh vy diu kin m ta xc nh c l mt diu kin mu thun nn khng dng no trong bng chn l ca cng thc c th tho mn c. Ni cch khc, cng thc l quy lut logic. Bng gi l ng nu dng cui cng ca n c nghch l, chng hn nh c nhng cng thc va c gi tr ng va c gi tr sai. V d 2. Xt cng thc ((p q ) & q ) p Bc 1 Ta gi nh rng cng thc ny khng phi l quy lut logic. Vy th, theo nh ngha, phi c gi tr F t nht mt dng trong bng chn l ca n. Ta vit gi tr F

14

vo ct tng ng vi cng thc cho ban u. cc bc tip theo ta s c gng xc nh xem mt dng nh vy c tn ti khng? Bc 2 Tip theo, theo nh ngha php , cng thc ((p q ) & q) p ch c th c gi tr F khi cc cng thc (p q ) & q v p c cc gi tr tng ng l T v F. V vy ta ghi cc gi tr vo nhng v tr tng ng. Bc 3 (p q ) & q ch c th c gi tr T khi c (p q ) v q u c gi tr T. Ta ghi cc gi tr vo ch ca chng. bc 3 ny ta cn ghi thm gi tr F ca mnh n p bit bc 2. Bc 4 Cng thc q ch c th c gi tr T khi q c gi tr F. Ta ghi cc gi tr va tm ra vo bng. Ta cng ghi thm, nh ni pha trn, tt c cc gi tr chn l bit cc bc trc ca cc mnh n. Bc 5 Cng thc (p q ) c th c gi tr T trong hai trng hp: Khi p c gi tr T v khi q c gi tr T. biu th iu ny, ta phn i bng, mi bng con tng ng vi mt trong hai trng hp nu trn: Bc 1 2 3 4 5.1 T ((p q) & T T T X

q) pF F T F F F Bng con th nht F F Bng con th hai F F

5.2 X T X trong bng ny c ngha l gi tr bt k. C hai bng con ca bng ban u u ng, ta ni rng bng ban u l bng ng. Nh thy cc bc 5.1 v 5.2, c hai trng hp p c gi tr T v q c gi tr T u dn n kt qua v l. Nh vy c ngha l khng tn ti bt c t hp cc gi tr chn l no ca cc mnh n tho mn iu kin gi tr ca cng thc cho ban u l F. Vy, ta c th kt lun gi nh ban u ca ta rng cng thc ((p q ) & q ) p khng phi l quy lut logic l mt gi nh sai lm. V nh vy, ((p q) & q ) p phi l quy lut logic. Bng theo kiu bng m ta va xy dng c nh trn cho mt cng thc no gi l bng ng ngha ca cng thc . Qua hai v d trn ta thy rng bng ng ngha ca cng thc c th phn thnh cc bng con (nh trong v d 2), hoc khng phn thnh cc bng con ( nh trong v d 1). Bng ng ngha ca cng thc cn c th phn chia thnh cc bng con, ri cc bng con , n lt no, cng li phn thnh cc bng con nh hn na, ... Khi no th bng phi phn chia ra 15

thnh cc bng con? Nhng suy lun nhm tm ra cc gi tr ca cc cng thc trong 2 v d trn y cho ta thy rng iu xy ra khi ta t gi tr xc nh ca mt cng thc c gng xc nh gi tr ca cc cng thc thnh phn ca n. V c phi phn chia bng hay khng l tu thuc vo dng ca cng thc c cc cng thc con thnh phn m ta ang mun xc nh gi tr. Ch : v d 2 trn y, nu ta s dng gi tr bit t bc th 2 ca bin p, hoc nu ta s dng gi tr bit t bc s 4 ca q cng vi gi tr bit ca cng thc p q tin hnh xc nh gi tr ca cc bin cn li th ta khng cn phi phn chia bng ra thnh cc bng con. Bng ng ngha ca cng thc v d 2 khi c dng nh sau: Bc 1 2 3 4 5 6 ((p q) & T T T T T T F F F

q) pF F F F F F

F F

dng s 6 ta thy bin q va c gi tr T va c gi tr F. iu ny chng t rng khng c dng sai no trong bng chn l ca cng thc kho st. Ni cch khc, cng thc m ta kho st l mt quy lut logic. Bn c nhn thy rng trong v d trn y bc s 5 ta c th s dng gi tr bit ca bin p, m cng c th s dng gi tr bit ca bin q. Tng qut hn, khi bit gi tr ca cng thc dng A B (vi l mt trong cc php ton mnh , &, , ) v gi tr cc cng thc thnh phn A v B ca n th vn t ra l nn chn gi tr no trong cc gi tr bit v c th s dng ng thi c hai gi tr hay khng? Da vo bng nh ngha ca cc php ton mnh ta c cu tr li nh sau cho cu hi ny: * Nu vic s dng c hai gi tr ca A v B khng mu thun vi gi tr bit ca A B th ta dng c hai gi tr . * Nu vic s dng c hai gi tr ca A v B mu thun vi gi tr bit ca cng thc A B th ta dng mt trong hai gi tr . V phi s dng gi tr ca thnh phn no m nh cng vi gi tr bit ca A B c th xc nh c gi tr ca thnh phn kia. Nu mi ch bit gi tr ca mt trong hai thng phn th ta s dng n kt hp vi gi tr ca ton b cng thc xc nh (nu c) gi tr ca thnh phn cn li. * Ta cng c th coi nh gi tr bit ca A v B nh cha bit v khng s dng gi tr no trong s chng (nh trong v d 2 trn y). Lin kt nhng iu trnh by trn y vi nh ngha cc php ton logic, ta rt ra cc quy tc chung sau y v cch xy dng bng ng ngha ca cng thc :

16

1.

A A = F T

8.

A B B= T F F

2.

A A = T F

9.

A B A=T F F

3.

A&B T A = T, B = T

10.

AB B=T TT

4.

AB F A = F, B = F

11.

AB A=F TF

5.

AB F A = T, B = F

12.

A&B F

a) A = F, B = X b) B = F, A = X a) A = T, B = X b) B = T, A = X a) A = F, B = X b) B = T, A = X

6.

A&B F F B=F

13.

A B T

7.

A&B F F A =F

14.

A B T

Cc quy tc t s 1 n s 5 to thnh nhm quy tc I, nhm II gm cc quy tc t s 6 n s 11, nhm III gm cc quy tc cn li. Khi lp bng ng ngha ca cng thc, mc d khng bt buc, nhng s thun tin hn nu trc ht p dng cc quy tc nhm I, nu cc quy tc khng p dng c mi p dng cc quy tc nhm II, v ch khi khng th p dng cc quy tc thuc hai nhm u mi p dng cc quy tc nhom III.

17

By gi, cht ch, ta a ra mt s nh ngha. nh ngha 1. Mt bng con tn cng (l bng khng c bng con, bng m ca bng con ny c th cng l bng con ca mt bng khc) trong bng ng ngha ca cng thc bt k c gi l ng nu nh n cha dng trong c mt (hoc nhiu) nghch l (chng hn nh tn ti mnh n va c gi tr T va c gi tr F, hoc cng thc dng A & B c gi tr F, trong khi c A va B c gi tr T, ) . Bng m c gi l ng, nu nh tt c cc bng con ca n u ng. Bng ng ngha ca cng thc bao gi cng hoc l mt bng con tn cng hoc l mt bng m, nn nh ngha 1 trn y cng cho ta khi nim v bng ng ngha ng ca cng thc. D dng chng minh c rng mt cng thc l quy lut logic bao gi cng c cc bng ng ngha ng v ch cc quy lut logic mi c bng nh th. V vy, nu s dng thut ng va a ra ny th ta c: nh l 1. Cng thc A l quy lut logic khi v ch khi A c t nht mt bng ng ngha ng. So snh vic xy dng bng ng ngha vi vic xy dng bng chn ly ca mt cng thc xc nh xem cng thc c phi l quy lut logic hay khng th ta thy xy dng bng ng ngha phi tnh ton hn rt nhiu. Ta xt thm mt v d ng dng phng php lp bng ng ngha. V d 3 Theo truyn thuyt, ngi t th vin Alecxandre l Omahr suy lun nh sau: Nu sch ca cc ngi ng vi kinh Koran th sch ca cc ngi tha. Nu sch ca cc ngi khng ng vi kinh Koran th sch ca cc ngi c hi. Sch tha hoc c hi th cn phi t b. Vy sch ca cc ngi cn phi t b . Hy xt xem suy lun ca Omahr c ng khng. Gii: Suy lun ca Omar c th vit di dng cng thc thnh: (((p q) & ( p r)) & ((q r) s)) s Nu cng thc va dn trn y (ta gi l cng thc Omar) l quy lut logic th suy lun ca Omar ng. Ngc li th suy lun ca Omar l sai. Ta lp bng ng ngha ca cng thc Omar.

18

(((p

q) & (

p

r)) & ((q

r)

s)) F

s

T T T T T T F F F F F F T T T T T F F F F F F F F F F F F T T F F F F F F

F F F F F F F F

Cc du mi tn trong bng cho ta bit cc gi tr m mi tn ch nhn c t u. dng cui cng ca bng ta thy mnh n p va c gi tr F,va c gi tr T (cc gi tr c in m trong bng). Vy bng ng, ngha l suy lun ca Omar ng.

III.

Bin i tng ng

Ta cng c th pht hin ra quy lut logic bng cch bin i tng ng cng thc v thnh mt cng thc khc m ta bit r c l quy lut logic hay khng. Ngoi vic ng dng xc nh quy lut logic, bin i tng ng cng thc cn gip pht hin cc cng thc tng ng vi nhau. Nh bit, cc cng thc tng ng vi nhau l cc cng thc c gi tr logic nh nhau vi bt c phn b gi tr no ca cc mnh n thnh phn ca chng. Trong phn ny ta nghin cu phng php bin i ca i s boole. 1. Cc k hiu v hng ng thc Trong i s boole, cc php ton logic c k hiu nh sau: A&B AB k hiu l k hiu l A . B , (hoc AB) A+B Gi l php nhn logic; Gi l php cng logic; Gi l php b logic;

A A k hiu l Quy lut logic k hiu l 1; Mu thun logic k hiu l 0;t y A B c vit thnh

A +B.

D thy rng:

19

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A+A = A; A . A = A; A+B = B+A A + (B + C) = (A+ B) + C A.B = B.A A . (B . C) = (A . B) . C A . (B + C) = A.B + A.C A + (B . C) = (A + B) . (A + C ) =1; = A

Lut ng nht, lut nut Lut ng nht, lut nut Tnh cht giao hon ca php cng Tnh cht kt hp ca php cng Tnh cht giao hon ca php nhn Tnh cht kt hp ca php nhn Tnh phn phi ca php cng i vi php nhn Tnh phn phi ca php nhn i vi php cng nh ngha 1 nh ngha 0 Lut hon nguyn Lut De Moorgan Lut De Moorgan Lut gin lc Lut gin lc

9. A + A 10. A . A = 0 ; 11. A

12. A + B = A . B 13. A.B = A + B 14. A.(A + B) = A 15. A + (A.B) = A

Trong bt k mt ng thc logic no, nu thay mt biu thc (tc l mt cng thc) no bng mt biu thc khc tng ng vi n th ng thc vn xc lp, tc l vn ng. 2. Cc v d (1) A + 0 = A

Chng minh A + 0 = A + (A. A ) = A(2) A.0 = A

Chng minh A.0 = A.( A. A ) = (A.A). A = A. A = 0(3) A + 1 = 1

Chng minh A + 1 = A + (A + A ) = (A + A) + A ) = A + A = 1(4) A.1 = A

Chng minh A.1 = A.( A+ A ) = A

20

(5) A . B + A . B = B

Chng minh: A . B + A . B = B ( A + A) = B . 1 = B(6) A + A . B = A + B

Chng minh:A + A . B = (A + A ) . (A + B) = 1 . (A + B) = A + B (7) ((A & B) (A & B)) A

= A.B + A.B + A= A( B + B) + A = A.1 + A = A + A = 1, l quy lut logic. (8) ((A B) & ( A B)) A = (( A + B) . ( A + B )) A = (( A + B).( A + B ) A

= (( A + B).( A + B) + A = A+ B + A+ B + A = A . B + A .B + A = A ( B + B) + A = A. 1 + A = A + A = 1

IV.

H tin ca logic mnh

Phng php lp bng chn l cho php gii quyt hng lot vn c bn ca logic mnh , v d nh xt xem cng thc c phi l quy lut logic hay khng, hai cng thc cho trc c tng ng hay khng, cng thc cho trc c phi l mu thun logic hay khng v.v. Th nhng c mt s vn phc tp hn ca logic mnh rt kh hoc khng th gii quyt c bng phng php lp bng chn l. Bi vy, chng ta xt phng php cc l thuyt hnh thc.1. L thuyt hnh thc ha (l thuyt tin ha)

cho n gin, chng ti chn h tin c ngn ng khng cha cc k hiu v & m E. Mendelson nu trong cun Introduction To Mathematical Logic (h thng ny c Hilbert nghin cu u tin). Khi nim l thuyt hnh thc ha di y v khi nim h tin trong logic v t chng sau cng c trnh by da theo sch ny ca E. Mendelson.21

Mt l thuyt hnh thc ha (l thuyt tin ha) S c coi l xc nh nu nh cc iu kin sau y c tha mn: 1) C mt tp m c cc k t, gi l cc k t ca l thuyt S. Dy hu hn cc k t ca l thuyt S gi l biu thc ca l thuyt S. 2) Xc nh mt tp con ca tp cc biu thc l thuyt S. Tp gi l tp cc cng thc ca l thuyt S. 3) Xc nh mt tp cc cng thc no , gi l cc tin . 4) Xc nh mt tp R1, R2, , Rn cc quan h gia cc cng thc ca l thuyt S , gi l cc quy tc suy din. Vi mi quy tc Ri tn ti mt s nguyn dng j sao cho vi mi tp gm j cng thc v mt cng thc A bao gi cng c mt thut ton xc nh c xem j cng thc vi cng thc A c quan h Ri hay khng. Nu gia chng c quan h Ri th ngi ta gi A l h qu trc tip ca j cng thc cho theo quy tc Ri. V mt ni dung th tin ca mt l thuyt l mt khng nh c s ca l thuyt . Tin khng cn chng minh v khng th chng minh c trong khun kh l thuyt . V d, khng nh Qua mt im nm ngoi mt ng thng c th k c mt v ch mt ng thng song song vi ng thng cho l tin s 5 ni ting trong hnh hc Euclid. Tin ny c cng nhn trong hnh hc Euclid v khng th chng minh hay bc b trong khun kh hnh hc . Chui suy lun trong l thuyt S l mt dy hu hn cc cng thc Q1, Q2, , Qn , trong vi mi 1 i n, Qi hoc l mt tin , hoc l mt gi nh (hay gi thit) hoc l h qu trc tip ca mt s cng thc no ng trc n trong dy Q1, Q2, , Qn theo mt quy tc suy din ca l thuyt S. Cng thc Q c gi l mt h qu ca tp cc cng thc trong l thuyt S, nu tn ti mt chui suy lun vi cng thc cui cng l Q cn cc gi nh hay gi thit u l phn t ca . Ni cch khc, Cng thc Q c gi l mt h qu ca tp cc cng thc trong l thuyt S, nu tn ti mt dy hu hn cc cng thc Q1, Q2, , Qn ca l thuyt S, trong Qn chnh l Q v mi cng thc Qi trong dy hoc l tin ca S , hoc l cng thc t tp , hoc l h qu trc tip ca mt s cng thc ng trc n trong dy trn theo mt quy tc suy din no ca l thuyt S. Dy cc cng thc nh vy c gi l php suy din Q t . Php chng minh trong l thuyt S l mt dy hu hn cc cng thc Q1, Q2, , Qn, trong vi mi 1 i n, Qi hoc l mt tin , hoc l h qu trc tip ca mt s cng thc no ng trc n trong dy Q1, Q2, , Qn theo mt quy tc suy din ca l thuyt S. Cng thc Q c gi l nh l ca l thuyt S, nu tn ti mt php chng minh Q1, Q2, , Qn , trong Qn chnh l Q.

22

D thy rng nu Q l mt h qu ca tp cc cng thc , nhng = th ta c mt php chng minh. Trong trng hp ta c php chng minh ca Q. Nu c mt php suy din Q t tp cng cng thc = {B1, B2, , Bk} th Bi vi 1 i k c gi l cc tin , hoc gi thit. Ngi ta k hiu Q l h qu ca l . Q = {B1, B2, , Bk} th, Nu thay v vit {B1, B2, , Bk} Q, ta vit B1, B2, , Bk Q. Ngi ta cn c th m rng khi nim php suy din t tp cng thc cho trc bng cch khng i hi tp cng thc phi hu hn. Trong trng hp ca chng ta iu c ngha l tp c th v hn, = {B1, B2, , Bk, }. Nu tn ti mt php chng minh ca Q th, hin nhin, theo nh ngha nh l ca l thuyt S, Q l nh l ca S . Nu Q l nh l th ta vit Q, nh vy, ta c hai k hiu tng ng cho nh l Q l Q v Q. T nh ngha nu trn y d nhn thy cc tnh cht: (1) Nu v Q th Q; (2) Q khi v ch khi tn ti mt tp 1 hu hn sao cho 1 v 1 Q. y Q c hiu theo ngha rng, c th c v s phn t. B vi mi B t tp 1 th Q. (3) Nu 1 Q v Tnh cht (1) ni ln rng mt tp nhiu gi thit hn th c nhiu h qu hn. Tnh cht (2) xut pht t tnh cht (1) v nhn xt sau y: Trong bt c php rt ra h qa t mt tp cng thc cho trc s th s cng thc bao gi cng hu hn. ngha ca tnh cht (3) cng d hiu: Nu mi cng thc ca tp 1 u l h qu ca tp cng thc th mi h qu ca tp 1 cng l h qu ca tp cng thc .2. L thuyt S (H tin S)

By gi chng ta kho st l thuyt hnh thc S ca logic mnh . L thuyt S c xc nh qua 4 phn sau y: (1) , , (,) v cc ch ci la tinh in hoa c hoc khng c ch s: A, B, C, A1, A2, , B1, B2, , C1, C2, l cc k t ca S. A, B, C, A1, A2, , B1, B2, , C1, C2, y l cc mnh n; , l cc php ton logic. (2) a) Tt c cc mnh n u l cng thc ca S . b) Nu A, B l cng thc ca S th (A), (B), A, A B l cc cng thc ca S . c) Ngoi ra S khng c cng thc no khc. (3) Cho A, B, C l cc cng thc bt k ca h S . Khi cc cng thc sau y l tin ca h S : (A1) (A2) (A3) (A (B A)); ((A (B C)) ((A B) (A C)); ( B A) (( B A) B))

(4) Quy tc suy din duy nht ca S l Modus Ponens:

23

MP

A B, A B

Nhn xt: V A, B, C trong cc tin trn c th l cc cng thc bt k nn S cha mt s lng v hn cc tin .

(A3) c th c thay th bi (A3) vi (A3): ( B A) (A B). Cc php ton v c nh ngha bi h cc tin khung (A1), (A2), (A3). Cn cc php ton logic khc c th nh ngha nh sau: A B A B; A & B (A B); A B (A B) & (B A) V d sau y cho thy php chng minh c thc hin trong l thuyt S nu trn nh th no: Chng minh rng A A. Chng minh: tin , 1. (A ((A A) A)) tin 2. (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) t 1, 2 v MP, 3. (A (A A)) (A A)) tin 4. A (A A) 3, 4 v MP 5. A A V d trn y cho thy thc hin php chng minh trong h tin l cng vic rt kh khn. nh l suy din sau y l mt tnh cht rt quan trng ca l thuyt S (cc nh l v h S, gi l cc siu nh l, hay nh l meta, nhng cho n gin, trong trng hp khng s b nhm ln vi cc nh l ca chnh h S, ta s gi l nh l). nh l ny gip cho ta thc hin cc php chng minh trong S d dng hn. Chng ti khng dn ra y php chng minh siu nh l ny.nh l 1.2. (nh l suy din, c Erbran pht biu v chng minh nm 1930) Nu l tp cc cng thc, A v B l cc cng thc v , A | B th | A B. H qu 1.3. (1) A B, B C A C. (2) A (B C), B A C.

24

Chng minh (1): 1. A B 2. B C 3. A 4. B 5. C Nh vy A B, B C, A A C. A B, B C Chng minh (2:) 1. A (B C) 2. B 3. A 4. B C 5. C Nh vy A (B C), B, A A (B C), B A C.

gi thit gi thit, gi thit, 1, 3, MP 2, 4, MP C. T y, theo siu nh l 1, ta c :

gi thit, gi thit, gi thit, 1, 3, MP 2, 4, MP C. T y, theo siu nh l 1, ta c :

3. Cc h tin khc ca logic mnh

Thay cc tin A1, A2, A3 hoc mt s trong s bng nhng tin khc ca logic mnh , tng ng vi h S . y chng ti ch xem xt h tin , trong cc tin , ngoi cc php ton v nh h S , cn c th cha cc php ton & v . Mt h tin nh vy rt tin li khi s dng, v cc php ton & v tr thnh cc php ton ban u, ch khng phi ch l cc php ton c nh ngha thng qua v . Sau y l h tin , ta k hiu n l CL (vit tt ch Classical Logic) H logic c in. Cc php ton c s l , , & v . Vi mi cng thc A, B, C, nhng cng thc sau y l tin : (C1) A (B A); (C2) (A (B C)) ((A B) (A C)); (C3) (A & B) A (C4) (A & B) B; (C5) A (B (A & B) ); (C6) A (A B); (C7) B (A B); (C8) (A C) ((B C) ((A B) C )); (C9) (A B) ((A B) A); (C10) A A

25

Quy tc

MP

A B, A B

So snh hai h S v CL ta thy rng tt c cc tin v quy tc ca S u l cc tin v quy tc ca h CL. Nh vy, S l h con ca CL. Nhng mt khc, s dng cc nh ngha & v nh v ta cng d dng chng minh c rng tt c cc tin ca CL l tin hoc nh l ca h S. Nh vy S v CL l tng ng. V d chng minh trong h CL nh l (p & (q r)) ((p & q) (p & r)) V S l h con ca CL nn siu nh l 1 v h qu 1 ca n cng ng i vi CL. Chng ta dng cc khng nh chng minh nh l nu. 1. p & (q r) gi thit 2. (p & (q r)) p tin C3 3. (p & (q r)) (q r) tin C4 4. p 1, 2, MP 5. q r 1, 3, MP 6. p (q (p & q)) tin C5 7. p (r (p & r)) tin C5 8. (q (p & q)) 4, 6, MP 9. (r (p & r)) 4, 7, MP 10. (p & q) ((p & q) (p & r)) tin C6 11. (p & r) ((p & q) (p & r)) tin C7 12. (q (p & q)) (((p & q) ((p & q) (p & r))) (q ((p & q) (p & r)))) h qu 1 ca nh l suy din 13. (r (p & r)) (((p & r) ((p & q) (p & r))) (r ((p & q) (p & r)))) h qu 1 ca nh l suy din 14. ((p & q) ((p & q) (p & r))) (q ((p & q) (p & r))) 8, 12, MP 15. q ((p & q) (p & r)) 10, 14, MP 16. ((p & r) ((p & q) (p & r))) (r ((p & q) (p & r))) 9, 13, MP 17. r ((p & q) (p & r)) 11, 15, MP 18. (q ((p & q) (p & r))) ((r ((p & q) (p & r))) ((q r) ((p & q) (p & r)))) tin C8 19. (r ((p & q) (p & r))) ((q r) ((p & q) (p & r))) 15, 18, MP 20. (q r) ((p & q) (p & r)) 17, 19, MP 26

21. (p & q) (p & r) 5, 20, MP Nh vy : (p & (q r)) (p & q) (p & r). T y, theo nh l suy din, ta c iu phi chng minh (p & (q r)) ((p & q) (p & r)).

V.

H suy lun t nhin ca logic mnh

1. Cc quy tc

H suy lun t nhin khng c cc tin , m ch bao gm cc quy tc suy lun. Cc quy tc thng c chia ra lm hai loi: Loi a mt php ton vo cng thc (gi tt l Quy tc nhp), v loi kh b php ton t cng thc (gi tt l loi kh). Cc quy tc nh sau: Vi A, B l cc cng thc bt k : Quy tc nhp & (k hiu &i)A, B A& B

Quy tc kh & (k hiu &e)

A& B ; A A ; A B A B , A ; B B , B A A A

A& B B B A B A B , B A (*)

Quy tc nhp (k hiu i) Quy tc kh (k hiu e)

Quy tc nhp (k hiu i) Quy tc kh (k hiu e)

Quy tc nhp (k hiu i)

B A B A B, A Quy tc kh (k hiu e) B 2. Chui suy din v php chng minh

(*)

Cng nh vi h tin , vi h suy lun t nhin cng c cc chui suy din v php chng minh. Chui suy din trong h suy lun t nhin l mt dy cc cng thc k tip nhau, trong mi cng thc hoc l mt gi thit, hoc l mt gi nh, hoc c rt ra t cc cng thc ng trc n trong dy theo mt trong cc quy tc ca h suy lun t nhin. V d chui suy din:

27

1+. A B 2+. B C 3+. C 4. B 5*. A 6. B

2, 3, e 1, 5, e

(Trong cc chui suy din v php chng minh t y v sau du * pha trn bn phi ca s th t cng thc ni rng cng thc l mt gi nh, du + v tr nh vy cho bit cng thc l mt gi thit). Vi quy tc (*), cho n gin khi xy dng php chng minh hay rt h qu t mt tp cng thc cho trc c th i hi B l gi thit sau cng trong dy cng thc ca suy lun v B cha b loi b khi suy lun . Khi nim cng thc b loi b khi suy lun (khi chui suy din) c nh ngha nh sau: Nu gi thit B l cng thc th i trong dy. bc n ta p dng cng thc B vi mt hoc hai B , B B cng thc khc theo quy tc hoc A A B th tt c cc cng thc k t th i n n 1 u gi l b loi khi dy cng thc ca chui suy din. khi nhm ln, ngi ta dng du ngoc vung tch ring cc cng thc b loi. V d, trong suy lun sau y: 1+. A 2+ . A B 3. B 1, 2, e 4. (A B) B 2, 3, i 5. A ((A B) B) 1, 4, i (Ta dng du + gc trn bn phi ca s th t cng thc k hiu rng cng thc l mt gi thit). bc 4, p dng quy tc i i vi cc cng thc 2 v 3, ta c cng thc s 4. ng thi vi vic p dng quy tc nh vy, cc cng thc 2 v 3 b loi b (ta cho chng vo trong du ngoc vung). Tip theo, bc 5, p dng quy tc i i vi cc cng thc 1 v 4, ta c cng thc s 5. Khi cc cng thc 1 v 4 b loi khi chui suy din (cc cng thc 2 v 3 b loi t trc). cc cng thc b loi b bc th i th khng th c s dng cc bc sau na. Mt php chng minh cng thc A trong h suy lun t nhin ny l mt dy cc cng thc ca h, trong mi cng thc hoc l mt gi thit (gi nh), hoc nhn c t mt s cng thc ng trc n trong dy theo mt trong cc quy tc ca h. Ngoi ra, cng thc cui cng trong dy l A , v bt c mt gi thit no trong dy cng u c loi b khi chui suy din mt bc no . 28

Cng thc A c gi l h qu ca tp cc cng thc (tp gi thit) khi v ch khi tn ti mt dy cc cng thc ca h m mi cng thc trong s hoc l phn t ca , hoc l nhn c t cc cng thc ng trc trong dy khi p dng mt trong s cc quy tc ca h. Ngoi ra, cng thc A l cng thc cui cng ca dy , dy l hu hn. Nu tn ti mt php chng minh ca cng thc A trong h ny th A c gi l nh l ca h. Mt vi v d v php chng minh trong h suy lun t nhin.Chng minh cc tin ca h S :

a) A (B A) 1+. A 2+. B 3. A 4. A B 5. A (B A)

1 2, 3, i 1, 4, i

b) (A (B C)) ((A B) (A C)) 1+. A (B C) 2+. A B 3+. A 4. B C 5. B 6. C 7. A C 8. (A B) (A C) 9. (A (B C)) ((A B) (A C)) c) (B A) ((B A) B) 1+. B A 2+. B A 3+. B 4. A 5. A 6. B 7. B 8. (B A) B 9. (B A) ((B A) B)

1, 3, e 2, 3, e 4, 5, e 3, 6, i 2, 7, i 1, 8, i

1, 3, e 2, 3, e 3, 4, 5, i 6, e 2, 7, i 1, 8, i

29

Chng minh nh l Church: ((p q) p) p

1+. (p q) p 2+. p 3+. p 4+. q 5. q 6. q 7. p q 8. p 9. p 10. p 11. ((p q) p) p

2, 3, 4, i 5, e 3, 6, i 1, 76, e 2, 8, i 9, e 1, 10, i

Nh trn y ta thy cc tin ca l thuyt S u l cc nh l ca h suy lun t nhin. Cn quy tc MP ca S trng vi cc quy tc e ca h suy lun t nhin. T y suy ra rng tt c cc nh l ca l thuyt S u l nh l ca h suy lun t nhin. Tht vy, gi s A l mt nh l ca l thuyt S . Khi tn ti mt php chng minh A trong S , ngha l tn ti mt dy hu hn cc cng thc ca S , trong A l cng thc cui cng v mi cng thc ca dy hoc l tin , hoc l nhn c t cc cng thc ng trc n trong dy theo quy tc MP. Nu ta thay cc tin trong dy bng cc php chng minh chng trong h suy lun t nhin th ta c mt php chng minh cng thc A trong h suy lun t nhin. Ngc li, cng d dng chng minh c rng tt c cc nh l ca h suy lun t nhin (h suy lun t nhin khng c tin ) u l cc nh l ca l thuyt S. K hiu A chng minh c trong h L, v NS l h suy lun t nhin, ta c:nh l 1.4NS L

A l cng thc

A

S

A.

3. Tnh khng mu thun v y ca cc h S v NS

Tnh khng mu thun v tnh y l nhng tnh cht c bit quan trng ca mt s h logic. Tnh khng mu thun c hiu theo hai ngha: Khng mu thun ni ti (cn gi l khng mu thun c php (Syntax)) v khng mu thun ng ngha (Semantics). H L gi l khng mu thun ni ti, nu trong L khng th chng minh c mt cng thc A no , ng thi chng minh c ph nh A ca n. Ngha l L khng mu thun c php khi khng tn ti A sao cho A v A.

30

nh l 1.5: Nu A l nh l ca S (hoc NS) th A nhn ton gi tr T trong bng chn l ca n (A l quy lut logic).

Tnh khng mu thun Semantics (soundness) ca h S v NS c ngha rng mi nh l ca h S (v NS) u l cc quy lut logic, ngha l cc cng thc nhn ton gi tr T trong bng chn l ca n. Chng minh. Ta ch cn ch r iu ny vi h S, h NS tng ng vi S nn c kt lun tng t. Trc ht ta thy tt c cc tin ca S u l quy lut logic. Quy tc MP bo ton gi tr ng, tht vy, nu X Y ng, Y ng th theo nh ngha ca php ko theo , Y cng c gi tr ng. Gi s A l nh l ca S, khi c mt php chng minh vi A l cng thc cu cng. Cng thc u tin khng phi l tin trong php chng minh ny phi rt ra c t cc cng thc trc n l tin theo MP, v v vy, n l quy lut logic. Cng thc tip sau nu khng l tin th cng nhn c t cc quy lut logic theo MP, vy l quy lut logic. C nh vy, ta s n cng thc cui cng A, v A phi l quy lut logic v nhn c t cc quy lut logic theo MP.nh l 1.6 H S v NS khng mu thun c php , ngha l khng tn ti cng thc A sao

cho A v A l nh l ca S, hoc A v A l nh l ca NS. Chng minh Gi s tn ti cng thc A sao cho c A v A u l nh l ca S (NS). Khi , theo siu nh l 3, c A v A u l quy lut logic. Nhng iu ny v l, vy khng tn ti cng thc A sao cho c A v A u chng minh c trong S (NS). Chng ta tha nhn tnh y S v NS trong siu nh l sau y:nh l 1.7 Nu A l quy lut logic th A l nh l ca h S (v NS).

Cc nh l 1.6 v 1.7 ni ln quan h gia cc nh l ca h S (NS) v cc quy lut logic (tc l cc cng thc ch nhn gi tr T trong bng chn l ca mnh). Nh vy, cc nh l xc nh ngha ca cc h logic S v NS.

BI TP CHNG 11. Hy chng minh cc h php ton sau y l y : a. {, } b. {, , & } 2. Hy dng cc phng php bng chn tr v bng ng ngha xc nh xem cc cng thc sau y c l quy lut hay mu thun logic khng ? a. ((p q) & p) q b. ((p q) & q) p c. (p & q) ( p & q) 31

d. e. f. g.

(p q) ( p q) (p p) q ((p q) p) p (p q) ( q p)

3. Hy dng cc phng php bng chn tr v bng ng ngha xc nh xem cc cng thc sau y c l quy lut hay mu thun logic khng ? a. (p (q & r)) ((p q) & (p r)) b. (p (q r)) ((p q) (p r)) c. ((p & q) r) (( p q) & r) d. ((p & q) r) (( p & q) r) e. ((p & q) r) ( r ( p q)) 4. Hy dng cc phng php bng chn tr v bng ng ngha xc nh xem cc cng thc sau y c l quy lut hay mu thun logic khng ? a. (( p & q) r) (( p r) & ( q r)) b. (( p & q) r) ((r p) & (r q)) c. (( p & q) r) (( r p) & ( r q)) d. (( p q) r) (( r p) ( r q)) e. (( p q) r) (( p r) ( q r)) 5. Hy dng cc phng php bng chn tr v bng ng ngha xc nh xem cc cng thc sau y c l quy lut hay mu thun logic khng ? a. ((p q) & (q r)) ( r p) b. ((p q) & (p r) & (q s)) ( r s) c. ((p q) & (p r) & (q s)) (r s) d. ((p & q) & (p r) & (q s)) (r & s) 6. Hy dng cc phng php bng chn tr v bng ng ngha xc nh xem cc cng thc sau y c l quy lut hay mu thun logic khng ? a. (p q r) ( r & q & p) b. (p & q & r) ( r q p) c. ((p & q) r) ( r ( p q)) d. (p (q r)) ( p ( q & r)) e. (p (q & r)) (( p q) & ( p r)) 7. Hy rt gn cc cng thc sau y : a. p (p q) b. ((p q) & (p q)) r c. (p q) ((q r) (p r)) d. (p q) & (p r) e. (p q) (p r) f. (p q r) (s u p) 8. Hy rt gn cc cng thc sau y : a. p.q + q.r + p.r + p.q.r b. (p.q + p.r) + p.q.r c. p.(q +r) + q.(p + r) + r.(p + q) 32

d. (p +q.r) + (q + p.r) + (r + p.q) e. ab + bc + ca + abc f. abc + a bc + a b c + ab c + abc 9. Hy chng t rng cc mch in t sau y tng ng vi nhau:

A B C D

A B C D

10. Chng minh cc nh l sau y trong h tin logic mnh : a. p p b. p p c. p p d. (p (q r)) (q (p r)) e. p ((p r) r) f. p (p q) 11. Chng minh cc nh l sau y trong h tin logic mnh : a. (p p) p b. (p q) (q p) c. (p q) ((q r) (p r)) d. ((p p) p) p e. (p q) ((p q) q) f. p ( q (p q)) 12. Chng minh cc dng thc suy lun sau y trong h suy lun t nhin logic mnh : a. ((p q) & p ) q b. ((p q) & q) p c. ((p q) & p) q d. ((p q) & (p r) & (q r)) r e. ((p q) & (p r) & (q s)) (r s) f. (p & q) (p q) g. (p q) (p & q) 13. Chng minh cc dng thc suy lun sau y trong h suy lun t nhin logic mnh : a. (((p & q) r) & r) ( p q) b. (((p q) r) & r) ( p & q) 33

c. d. e. f.

((p ( q r)) & ( q & r)) p ((p ( q & r)) & ( q r)) p (((p q) r) & r) (p & q) p (q (p & q))

14. Chng minh cc dng thc suy lun sau y trong h suy lun t nhin logic mnh : a. p p b. p p c. p p d. p (q p) e. (p (q r)) ((p q) (p r)) f. (p (q r)) (q (p r)) g. p ((p r) r) h. (p p) p i. (p q) (q p) j. (p q) ((q r) (p r)) k. (p q) ((p q) p) 15. Chng minh cc nh l sau y trong h suy lun t nhin logic mnh a. p p b. (p q) (q p) c. ((p q) & ( p r) & ((q r) s)) s d. ((p & q) r) ( r ( p q)) e. (p (q & r)) ((p r) & (q p)) f. (p & (q r)) ((p & r) (q & p) 16. Hy dng h suy lun t nhin ca logic mnh chng t rng nhng suy lun sau y l ng : a. Con ngi bao gi cng mt trong hai trng thi : ang sng hoc cht. Nu con ngi ang sng th cha c ci cht nn khng cn s ci cht. Ngc li, nu con ngi cht th chng cn bit g na, nn tt nhin cng chng cn s ci cht. Nh vy, chng cn s cht. b. Minh s c nhn vo lm vic ti doanh nghip Nht nu anh bit ting Nht v anh bit nghip v xut nhp khu. Nu s c nhn vo lm vic ti doanh nghip Nht hoc tm c hc bng th anh c th i du hc nc ngai. Bit rng Minh khong th i du hc nc ngai. Vy Minh khng bit nghip v xut nhp khu. c. Khi cc ngi sao, cc thin h chy ra xa chng ta, tc l khi v tr gin n, nh sng ca chng s cng ngy cng chuyn v phn tren dy quang ph (hiu ng dch chuyn v phn ). V tr ch gin n v c mt v n ln ban u gi l Big Bang. Nm 1929 nh thin vn hc ngi M Hubble quan st thy hiu ng dch chuyn v phn . Nh vy, nu hiu ng dch chuyn v phn ch c th do s gin n ca v tr gy ra th Big Bang l c tht.

34

aChng II

HP GII TRONG LOGIC MNH

Hp gii l mt phng php logic hin i rt ra kt lun t mt tp hp cc tin cho trc1. Phng php ny c nh logic ngi M J.A. Robinson xut vo u nhng nm 60 ca th k XX. Hin nay phng php ny c s dng nhiu trong tin hc, c bit l trong lnh vc tr tu nhn to. N cng l nn tng logic ca ngn ng lp trnh PROLOG. Chng ta lm quen vi hp gii trong phn logic nhp mn, y ta xt k hn dng n gin ca phng php ny, c th l dng ng vi logic mnh , dng y ca phng php ny, dng ng vi logic v t, s c xem xt trong chng 4.

I. Cng thc dng tuyn1. nh ngha nh ngha 2.1. n t cn gi l Literal - l mt mnh n, hoc l ph nh ca mt mnh n. V d, cho p l mt mnh n, khi p v p l cc literal. nh ngha 2.2. Cng thc dng tuyn l cng thc dng X1 X2 Xn, trong Xi vi i = 1, 2, , n, l literal. V d, vi p, q, r l cc mnh n th cc biu thc sau y l cc cng thc dng tuyn : p q & r, p q r, p q r; cc biu thc sau y khng phi l cng thc dng tuyn : (p & q) r, p (q r), Dng tuyn cn c biu th di dng tp hp. Dng tuyn X1 X2 Xn khi c thay th bng tp hp { X1, X2 , , Xn}. Khi n =0, cng thc dng tuyn X1 X2 Xn c k hiu l , dng tp hp ca n l tp rng , { }. , hay { } l mu thun logic. nh l 2.1. Mi tp cng thc ca logic mnh u c tp cng thc dng tuyn tng ng. Chng ta chng minh nh l va nu trong mc tip theo, bng cch nu ra mt quy trnh bin i cng thc A bt k thnh hi ca mt s cng thc dng tuyn, mi bc ca quy trnh u bin i cng thc thnh mt cng thc hoc mt tp hp cng thc tng ng vi cng thc ban u (ta ni cng thc A tng ng vi tp hp cng thc khi v ch khi A tng ng vi cng thc B, vi B l hi ca tt c cc cng thc trong ).1

Chnh xc hn th y l phng php cho php kim tra xem c th rt ra kt lun nht nh no t tp tin cho trc hay khng, v l phng php chng minh nh l t ng.

35

2. Quy trnh INDO Quy trnh INDO l mt quy trnh gm cc bc I, N, D, O (c xc nh di y), gip bin i cng thc bt k thnh mt hoc mt s cng thc dng tuyn. I loi b php ko theo (Implication Out) : AB A B N a du ph nh vo ng trc cc mnh n (Negation In) : A A (A & B) A B (A B) A & B D a du tuyn vo su hn du hi (Disjunctions in): A (B & C) (A B) & (A C) O Loi b du v & (Operators Out): A B {A, B} A & B {A} {B} Nu mun biu t cng thc dng tuyn di dng X1 X2 Xn th bc O khng cn lai b du hi &, cn d biu t di dng tp hp th cn loi b du &. V d 1. (p q) ((q & r ) p) I: ( p q) ( (q& r) p) N: (( p q) (( q r) p) (( p q) (( q r) p) D: p q q r p O: { p, q, q, r, p} V d 2. (p q) & ( p r) & ((p r) s) I: ( p q) & ( p r) & ( (q r) s)) N: ( p q) & (p r) & ( (q r) s)) ( p q) & (p r) & (( q & r) s) D: ( p q) & (p r) & (( q s) & ( r s)) O: { p, q} {p , r} { q, s} . { r, s}.

II. Quy tc hp giiVi cc cng thc A, B bt k : 36

A B,A C B C T cc tin A B v A C ta c th rt ra kt lun B C. Kt lun ny c gi l resolvent. Trong trng hp khng c thnh phn B v C th c resolvent rng, k hiu bng hnh vung nh . Nh vy resolvent rng xut hin khi c hai tin mu thun vi nhau. phn logic nhp mn, ngai quy tc hp gii nu trn y , chng ta cn gp cc quy tc :

A ,

A

A B, A BB

D thy rng thc ra cc quy tc ny ch l cc trng hp ring ca quy tc nu trn kia m thi, nn y chng ti khng nu chng. Sau y l mt s v d p dng cc quy tc hp gii. V d 1. p q r, q s p r s Vi dng tp hp, ta c quy tc hp gii cht ch hn, nh sau : {1, 2, , i , , i + 1, , n} {1, 2, , j , , j + 1, , n} {1, 2, n, 1, 2, n} V d 1: t 1. {p, q, r} 2. {p, q, s} rt ra 3. {p, r, s} V d 2: t 1. {q} 2. { q} rt ra 3. { }Lu : t {p, q} v { p, q} khng rt ra c { }.

V d 2.

p q r p r

q r

Ngi ta s dng cc quy tc hp gii kim tra xem mt tp hp cc cng thc c mu thun hay khng. Ngoi ra cn xc nh xem t mt tp cc cng thc cho trc c th rt ra c mt cng thc nht nh no hay khng.

37

III. Phng php hp giiThc cht ca phng php hp gii l chng minh bng phn chng. chng minh rng t mt tp tin {A1, A2, , An} cho trc c th rt ra kt lun B, ta thm B vo tp tin ny, c tp mi {A1, A2, , An, B}. Khi nu trong tp mi nhn c c mu thun th php chng minh hon tt. Nu tp mi khng c mu thun th khng th rt ra c B t {A1, A2, , An}. Phng php hp gii p dng quy tc hp gii xc nh xem tp cng thc c mu thun hay khng. xc nh xem tp cng thc cho trc {A1, A2, , An, B} c mu thun khng, ta p dng quy tc hp gii cho cc cp cng thc ca tp ny. Cc resolvent nhn c s c thm vo tp cng thc, nu chng cha c trong tp cng thc . Qu trnh ny c tip tc cho n khi xy ra mt trong cc trng hp sau: Trng hp 1: Trong tp cng thc xut hin resolvent rng . Kt lun: Tp cng thc xt c mu thun. Ngha l c th rt ra B t tp cng thc {A1, A2, , An}. Trng hp 2: Khng th p dng quy tc hp gii cho bt k cp cng thc no na. Kt lun: Tp cng thc xt khng c mu thun. Ngha l khng th rt ra B t tp cng thc {A1, A2, , An}. Trng hp 3: Vic p dng quy tc hp gii khng lm thay i tp cng thc na. Kt lun: Tp cng thc xt khng c mu thun. Ngha l khng th rt ra B t tp cng thc {A1, A2, , An}. V d 1. Xt xem t tp tin {p q, p r, s, q v r} c th rt ra kt lun r khng? Gii: Thm r vo tp tin . Sau p dng quy tc hp gii, ta c:

38

{p q, p r, s, q r, r} {p q, p r, s, q v r, r, q r, p r, p, q} {p q, p r, s, q v r, r, q r, p r, q, p, q, p, r, }{p q, p r, s, q v r, r, q r, p r, q, p, q, p, , }.

V d 2. Xt xem t tp tin {p r s, q r, p} c th rt ra kt lun r khng? Gii: Thm r vo tp tin , ri p dng cc quy tc hp gii, ta c: {p r s, q r, p, r}. {p r s, q r, p, r, p s, q, r s} {p r s, q v r, p, r, q, r s, s, p s , q s}.

n y ta thy c th p dng tip cc quy tc hp gii cho mt s cp cng thc, tuy nhin cc resolvent nhn c khng mi, c sn trong tp cng thc trn y. Nh vy, tp cng thc ny khng c mu thun, ngha l khng th rt ra r t tp tin {p r s, q r, p}. V d 3. Xt xem t tp tin { p s, q r} c th rt ra kt lun s khng? Gii: Thm s vo tp tin cho, ta c tp { p s, q r, s}. Khng th p dng cc quy tc hp gii vo cc cp cng thc trong tp ny. Vy tp cng thc ny khng mu thun, khng th rt ra s t tp {p s, q r, }.

IV. Cy hp gii. Hp gii tuyn tnhCc li gii bi ton bng phng php hp gii c th biu din di dng hnh v dng cy, trong ch nu ra cc cng thc cn thit i n kt lun, nhng cng thc khc khng cn nu ln. Chng hn, li gii trn y v mt li gii khc ca v d 1 c biu din dng cy thnh:

39

pq

pr qrqr r

r

q r r p r rq pq

pq

q r

Dng biu din cy ca cc li gii nh th c gi l cy hp gii. Mi li gii ca bi ton tng ng vi mt cy hp gii. Robinson chng minh c nh l: T tp tin {A1, A2, , An} c th rt ra kt lun B khi v ch khi tn ti t nht mt cy hp gii cho tp {A1, A2, , An, B}. Phng php hp gii nh trnh by trn y c nhc im l cc bc c th xut hin nhng resolvent khng cn thit i vi vic i n kt lun. Khi p dng quy tc hp gii vo tt c cc cp cng thc c th p dng c, s lng cc resolvent tng ln rt nhanh chng, xy ra bng n t hp. trnh iu ny, R.A. Kowalski a ra phng php hp gii tuyn tnh. y, khc vi hp gii thng thng, trc ht ta xc nh mt cng thc t tp {A1, A2, , An, B} c th cng vi B p dng quy tc hp gii. c resolvent B1 , thm n vo tp cng thc c, li xc nh mt cng thc t tp {A1, A2, , An, B, B1} c th cng B1 p dng quy tc ny. C tip tc nh th cho n khi c resolvent rng, hoc khng th tip tc v khng tm ra cng thc cn tm, hoc vic tip tc ch lp li cc kt qu c. Cy hp gii tng ng c gi l cy hp gii tuyn tnh. Kowalski chng minh c nh l : T tp tin khng mu thun {A1, A2, , An} c th rt ra kt lun B khi v ch khi tn ti t nht mt cy hp gii tuyn tnh cho tp {A1, A2, , An, B}. V d 1 trn kia c cc cy hp gii tuyn tnh sau :

r p

prpq q r

r qp

q rp q

q r r

prr

r

tm li gii ca bi ton, ngha l xy dng cy hp gii tuyn tnh, ngi ta s dng k thut quay lui (backtracking).

40

Dy lin tc cc resolvent trong hp gii tuyn tnh gi l mt nhnh. Nhnh ny gi l nhnh ct, hay nhnh tht bi, nu n kt thc bng mt cng thc no khc . Nhnh ny gi l nhnh tun hon, nu n mt lc no bt u lp li cc resolvent c t trc. Nhnh tun hon cng l nhnh tht bi. Nhnh kt thc bng gi l nhnh thnh cng. Gi s vic p dng quy tc hp gii vo cp cng thc Bi-1 vi mt cng thc khc cho ta kt qu Bi. Khi t tp cc cng thc ang kho st bc ny xc nh mt tp con cc cng thc c th cng vi Bi to thnh cp p dng quy tc hp gii. Ta chn trong tp con ny mt cng thc, p dng quy tc hp gii cho cp cng thc va chn v Bi, c resolvent Bi+1. Vi Bi+1 li xc nh tp con cng thc c th to cp p dng quy tc hp gii. Qu trnh c vy tip din. Nu tt c cc nhnh con bt u t Bi+1 u tht bi th quay tr li vi Bi. By gi ta chn cng thc khc to cp vi Bi p dng quy tc hp gii. Nu tt c cc nhnh con bt u t Bi cng u tht bi, th tip tc quay lui n Bi-1. Bng cch ny s tm c nhnh thnh cng, tc l xy dng c cy hp gii tuyn tnh, nu n tn ti. V d 4. Xy dng cy hp gii tuyn tnh rt ra r t tp cng thc { s r, p q, q r, p, u r, w s } Gii. S tm kim li gii nh sau, trong s ny cc du mi tn vng ch cc quay lui.

ru (n. ct)

ur sr

sw (n. ct) u (n. ct)

ws us

qrpq p

q

p

S trn y cho thy lc u ta i t r n u. y l nhnh ct, v th quay tr li r. T y i n s, t s i n w, ri li quay v s v l nhnh ct. T s i theo hng khc n u, y cng l nhnh ct, nn quay v s. V cc kh nng khc i t s ht, nn quay tip v r. T y i n q. T q i n p, i tip n , y l nhnh thnh cng. Cy hp gii tuyn tnh cn xy dng c biu din bng cc ng k lin trong hnh.

V. Gin lc tin Cc v d hp gii trn kia cho thy c nhng tin han tan khng cn n trong qu trnh i n resolvent rng. Li c c nhng tin m bt c nhnh hp gii no dng n chng u khng th i n resolvent rng. Nhng tin nh vy han tan khng cn n41

trong qu trnh rt ra kt lun cn thit, tri li, chng l cho qu trnh tr nn kh khn hn. V vy nn lai b chng trc khi tin hnh hp gii. Trong mc ny chng ta xem xt mt s trng hp lc b tin nh vy. cho n gin chng ta gi nh rng tp hp cc tin gm cc phn t l cng thc dng tuyn.1. Gin lc tin l quy lut logic

Cng thc dng tuyn l quy lut logic nu n cha cp n t tri ngc nhau, chng hn nh p v p. V d : p q p; p q q r; p r q r q;s s; u l cc quy lut logic. Cho mt tp hp tin S, gin lc ht tt c cc tin l quy lut logic ta c tp S. D thy rng tp S mu thun khi v ch khi tp S mu thun. chng minh iu ny chng ta ch cn ch ra rng nu vi cc tin c trong S chng ta c th rt ra dng tuyn rng th khi b bt i m tin l quy lut logic ta vn rt ra c dng tuyn rng. Tht vy, nu rt ra lc u khng cn n tin p p A (trong A l mt cng thc dng tuyn) th vic lai b n hin nhin khng nh hng g n vic rt ra . Ta xt trng hp lc u rt ra dng n tin cha p p A. By gi, i n ta phi trit tiu c p v p. iu ny ch c th thc hin c nu trong S c tin no cha p v tin cha p. Khi p dng quy tc hp gii lai b cc n t p v p trong quy lut logic ang cp vi cc tin ny, ta c cng thc A B C. Nhng nu p dng quy tc hp gii vi cp tin p B v p C th ta c cng thc B C. R rng l nu t tin A B C c th i n th t B C cng c th i n c (bng cch b bt cc bc p dng quy tc hp gii loi b A). Nh vy c tin p p A cng khng cn thit rt ra dng tuyn rng . Nh vy, ta chng minh c nh l sau :nh l 2.2. Cho mt tp hp tin S, tp S* l kt qu gin lc ht tt c cc tin l quy lut logic trong S, khi S mu thun khi v ch khi S* mu thun. H qu 2.3. c th gin lc cc tin l quy lut logic. 2. Gin lc tin mt chiu

Cho tp tin S. Nu mt n t, chng hn p (hay p), xut hin trong S, m trong S khng c n t p (hay p), th n t p c gi l n t mt chiu trong S. Tin mt chiu trong S l tin cha n t mt chiu trong S (t y v sau, nhng ch khng s nhm ln chng ti s gi ngn gn l n t mt chiu v tin mt chiu). V d : Cho S = {p q; q r s; s p; r s q } R l n t mt chiu, v th q r s, r s q l cc tin mt chiu.

42

Nu n t p l mt chiu th n khng th b trit tiu trong hp gii, v v vy cc nhnh hp gii cha tin mt chiu cng khng th dn n , tc u s l nhnh tht bi. Nh vy tin mt chiu han tan khng gip i n dng tuyn rng . iu ny c ngha l ta chng minh nh l sau y:nh l 2.4. Cho mt tp hp tin S, tp S* l kt qu gin lc ht tt c cc tin mt chiu trong S, khi S mu thun khi v ch khi S* mu thun. H qu 2.5. c th gin lc cc tin mt chiu. 3. Gin lc tin yu

Nu trong tp S c tin A th tin dng A B trong S c gi l tin yu trong S. V d : S = {p q r; p s ; s q; q r} p q r l tin yu trong S. Vi tin yu ta d dng chng minh c nh l sau y:nh l 2.6. Gi S* l kt qu vic lai b tan b cc tin yu ca S. Khi S mu thun khi v ch khi S* mu thun. (Bn c hy t chng minh iu ny). H qu 2.7. C th gin lc cc tin yu.

V d: Xt xem c th rt ra kt lun s t tp hp tin sau y khng { p q r, p s, q s, r q, q s p, r s r} Gii: Thm s vo tp tin cho, ta c tp hp S S = { p q r, p s, q s, r p, q s p, r s r, s} Trong S ta thy: rsr l quy lut logic, c th lc b.

q s p l tin yu, c th lc b.Sau khi lc b hai tin nu, xut hin cc tin yu:

pqrp s,

v

q s,

Sau khi lc b hai tin yu nu, xut hin cc tin yu mi: v

r p

Lc b cc tin , tin cui cng cn li, s, cng tr thnh tin yu. Loi b n, tp hp tin by gi rng, tp hp khng mu thun. Nh vy, khng th rt ra kt lun s t tp hp tin cho.

43

BI TP CHNG 21. Hy a cc cng thc sau y v dng tuyn : a. p (q & r) b. (p q) r c. ((p q) & (r s)) (s & r) d. (p q r) (( p & q) r) e. (r (p &q)) ((p q) & (r p)) 2. Hy xc nh v gin lc cc tin yu, tin mt chiu, cc quy lut logic trong cc tp hp tin sau y: a. {p r, s r q, p s q, q s} b. {p q r, s r, p s, q s u, u} c. {p q r, r, s r, p s, q s u, p} d. {q s p, q p, p r s, s q s} e. {p, q, p q r, r s q, q p s, p u, q u , u r, u s } 3. Hy xc nh v gin lc cc tin yu, tin mt chiu, cc quy lut logic trong cc tp hp tin sau y: a. {p (q r), (r & s) q, p q r, p ( q p)} b. {(p q r) u , s r, p u, q u, s u, u} c. {p r, q r, s w, r s, q p s , w } d. {p r, q r, s w, r s, q p , r w } e. {p (p q), q r, q s, (s r u) q, u r p, r (q u)} 4. a. Cho tp hp cc tin : {p q r, p s, w s, r s, s q } T tp tin cho c th rt ra kt lun s khng ? b. Cho cc tin {p q r, s r, p s, q s u, u}. Hy xc nh xem t tp tin cho c th rt ra kt lun u s hay khng. c. Cho cc tin {(p & q) r, r, s r, p s, q s u, p}. Hy xc nh xem t tp tin cho c th rt ra kt lun u q hay khng. d. Cho cc tin {(p q r) u , s r, p u, q u, s u, u}. Hy xc nh xem t tp tin cho c th rt ra kt lun u hay khng. e. Cho cc tin {(p & q) r, r & (s r), p & s, ( q s) u, q}. Hy xc nh xem t tp tin cho c th rt ra kt lun u q hay khng. f. Cho cc tin {(p & q & r) (u r), s r p u, (q u) &(s u), u}. Hy xc nh xem t tp tin cho c th rt ra kt lun u r hay khng.

44

Chng 3 LOGIC V TKhi xy dng cc chui suy din hoc php chng minh, logic mnh khng xt cu trc bn trong (chng hn nh cu trc ch t - v t) ca cc mnh n. Cho mnh n Mi loi chim u bit bay, khi logic mnh k hiu mnh ny bng ch ci no , chng hn p, sau coi p nh khng c cu trc, ngha l khng h tm hiu cu trc bn trong ca p, v, tt nhin, khng h s dng thng tin cha trong cu trc . Th nhng c nhng suy lun i hi nht thit phi s dng n cu trc bn trong ca cc mnh . V d, cho suy lun: Tht ca tt c cc loi vt bn chn u n c, b l loi vt bn chn, vy tht b n c. Vi logic mnh , ta c suy lun p, q r. Tuy nhin cng thc biu th suy lun ny, (p & q) r li khng phi l cng phn on hng ng. T y logic mnh cho rng suy lun cho sai. Th nhng y li l mt suy lun hon ton ng ! Tnh ng n ca suy lun va nu khng ch da trn ph thuc hm gia cc gi tr chn l ca cc mnh thnh phn trong suy lun, m cn da trn cu trc bn trong ca cc mnh . Logic v t l h logic nghin cu nhng suy lun nh vy. N l s m rng logic mnh .

I. Ngn ng logic v tLogic v t s dng ngn ng hnh thc cng tn. Vic hiu v dch cu ca ngn ng t nhin sang ngn ng logic v t da trn s phn tch ngn ng t nhin. V vy, trc ht chng ta tin hnh phn tch ngn ng t nhin. 1. Phn tch ngn ng t nhin Ngn ng t nhin l ngn ng ca cc dn tc, v d nh ting Vit, ting Anh, ting Php, Cc ngn ng ny hnh thnh dn dn trong lch s mt cch t nhin, thng qua hot ng nhn thc v ci to thc tin ca cc dn tc. Cc ngn ng t nhin hnh thnh v pht trin mt cch t pht ngha l ngn ng t nhin khng phi l kt qa hot ng t gic nhm to ra chng ca mt ngi hay mt nhm ngi no . Cc quy tc hnh thnh ngn ng t nhin, chng hn quy tc ng php, c php , v th nhiu khi khng c xc nh dng tng minh. a) Cc tnh cht c bn ca ngn ng t nhin i) a ngha. Mt t hoc mt cm t (t y v sau ta s gi ngn gn l mt biu thc ngn ng) trong ngn ng t nhin c th c nhiu ngha khc nhau, ty thuc vo ng cnh trong n c s dng. V d 1: T ngy mai c th c hiu l tng lai, m cng c th c hiu l ngy hm sau.

V d 2: Trong cu Diu bng hi diu bng sao em n vi ly chng (Li bi ht Ngu hng L Diu Bng ca Trn Tin) Diu bng c th hiu l Em, m cng c th hiu l mt thn t, kiu than Tri i!. Tnh a ngha l mt tnh cht rt ng qu ca ngn ng trong giao tip hng ngy, trong vn hc v ngh thut. Tuy nhin tnh cht ny li gy ra kh nhiu kh khn cho vic s dng ngn ng t nhin trong khoa hc, k thut, lut php, nhng lnh vc c i hi u tin l trnh by vn mt cch r rng, chnh xc, trnh hiu nhm. ii) Giu kh nng biu t. Tt c cc ngn ng t nhin u rt giu kh nng biu t. Ngi ta c th dng ngn ng t nhin trong rt nhiu lnh vc. C th dng chng tr chuyn, trao i thng ngy; c th dng chng lm th, vit vn, bn lun v thi s, v chnh tr, v lut php; c th dng chng nghin cu v trnh by cc t tng v cng trnh khoa hc, Ngoi ra, vi ngn ng t nhin, cng mt s vt hoc hin tng c th c m t, c biu t bng cc cch khc nhau, bng cc biu thc ngn ng khc nhau. V d: Cc cm t Ln xe hoa, i ly chng, biu th cng mt s vic. Cc cm t nh Cho i, Ra i, cng biu th cng mt s vic. iii) ng v ng ngha. Trong ngn ng t nhin va c b phn t v cu ni v cc i tng bn ngoi ngn ng, ni v th gii bn ngoi ngn ng, v d, ni v thi tit, v kinh t, v cc vt dng, v c c nhng b phn t v cu ni v cc i tng ca bn thn ngn ng, v d, ni v ng php, v c php, v danh t, ng t, cu, S c mt ca c hai thnh phn nh vy trong ngn ng c gi l tnh ng v ng ngha ca n. Tnh cht ny chnh l cc nguyn nhn gy nn cc nghch l v ng ngha nh nghch l k ni di sau y. C ngi ni rng anh ta ang ni di. Ta cn xc nh xem lc ni nh vy l anh ta ang ni di hay ang ni tht. Nu nh khi ni nh vy anh ta ang ni tht th ha ra anh ta ni tht rng mnh ang ni di, v ngha l anh ta ang ni di ! Ngc li, nu khi anh ta ang ni di th c ngha l anh ta ang ni di rng mnh ang ni di. Nhng nh th li c ngha l trn thc t anh ta ang ni tht ! Nh vy khng th ni rng anh ta ang ni di v cng khng th khng nh rng anh ta ang ni tht. Ta c nghch l y v mt cu ni khng nh v tnh ng sai ca chnh n. R rng l iu ny ch c th xy ra i vi cc ngn ng ng v ng ngha. iv) C nhiu cp ngn ng. Trong cng mt on vn hoc mt cu ca ngn ng t nhin t ng c th thuc v nhiu cp khc nhau. Chng hn, trong cu ni ca Socrate Ti ch bit rng mnh khng bit g hai ln xut hin ca t bit thuc v hai cp ngn ng khc nhau. T bit th hai l bit v ton b th gii khch quan, ngoi tr v kh nng hiu bit ca chnh mnh, n thuc cp th nht. T bit th nht li thuc cp th hai, bit v kh nng hiu bit ca mnh, ngha l bit v ci bit thuc cp th nht. Nu khng phn bit cc cp ngn ng khc nhau nh vy th ta s cho rng y l cu ni cha ng nghch l.

v) Mt phn thng tin khng c biu t tng minh. Thng tin cha ng trong cc cu, cc on vn trong ngn ng t nhin c th ch c mt phn c biu t di dng tng minh, cn phn khc c ngm hiu. V d: cu Tr v nh, anh ta lc tung cn phng ca mnh tm tm nh cha ng nhng thng tin khng c biu th tng minh nh : anh ta mi i u ; c tm nh. V d khc: Con ch ny ch c hai chn c mt thng tin c ngm hiu l : bnh thng ch c nhiu hn hai chn. Phn thng tin c biu t tng minh ta gi l hin ngn, phn thng tin khng c biu t tng minh gi l hm ngn. Hm ngn c th l tin gi nh hay hm 2. suy lun ng n ta cn phi xc nh c ton b ni dung thng tin m cu hoc on vn cha, c hin ngn v hm ngn. Nh ni, ngn ng t nhin rt thun tin cho qu trnh trao i trong cuc sng hng ngy. N cng rt thun li cho cc hot ng vn hc ngh thut. Tuy nhin, nu dng ngn ng t nhin nghin cu v trnh by cc vn khoa hc k thut th ta gp phi nhiu kh khn v tnh a ngha ca n. Thm vo , v ngn ng t nhin ng v ng ngha nn n c th cha cc nghch l. iu ny khin ta khng th dng n xy dng cc l thuyt khoa hc cht ch bi l khoa hc khng c php cha ng cc nghch l. Nhng l do nu trn buc cc nh khoa hc phi sng to ra ngn ng hnh thc gii quyt cc vn ca mnh. Ngn ng hnh thc l ngn ng c ngi ta to ra mt cch t gic lm cng c gii quyt nhng vn nht nh no (ch yu l ca khoa hc v k thut). Cc quy tc xy dng ngn ng hnh thc, t nh quy tc c php, c xc nh ngay t u dng tng minh. b) Mt s loi k hiu v phm tr ng ngha ca ngn ng t nhin *) Tn gi. Hng i tng Tn gi l t hay cm t dng ch, thay th, i din cho mt i tng hoc tp hp i tng no trong giao tip ngn ng. V d, t sinh vin trong giao tip ngn ng dng thay th, i din cho tp hp hc sinh i hc v cao ng sinh vin l tn ca tp hp . H Ch Minh l tn ca ngi sng lp ra Nc Vit Nam Dn Ch Cng Ha, v tn ny c dng thay, dng i din cho Ngi trong giao tip ngn ng. Tn c th chia thnh tn chung v tn ring. Tn ring l tn ch mt i tng n l no , tn chung l tn ch mt tp hp i tng. V d, tn Trng i hc khoa hc x hi v nhn vn thnh ph H Ch Minh l mt tn ring, cn tn Hc sinh i hc li l mt tn chung. Cng c th chia tn gi thnh tn n v tn phc (hay cn gi l tn m t). Tn n l tn khng c to thnh t nhng tn khc. V d, Vit Nam, Sng Lam, hc sinh, l nhng tn n. Tn phc, hay tn m t, l tn c to thnh t nhiu tn khc. V d, con sng ln nht Vit Nam l mt tn phc, n c to thnh t cc tn con sng, Vit Nam.

Tn gi l mt k hiu, v cng nh mi k hiu khc, tn gi c hai c trng quan trng l ngha thc (denotation), hay cn gi l s biu hin1, v ng ngha, hay cn gi n gin l ngha. Ngha thc ca tn l i tng hay tp hp i tng m tn ch. S biu hin ca mt t ng l thuc loi tt c nhng s vt c tht hay ang tn ti m t y thch nghi mt cch ng n Mt t ng khng ch ra mt ci g c tht l mang s biu hin s khng 2. V d, tn Thnh ph H Ch Minh c ngha thc, hay s biu hin, l thnh ph ln nht Vit Nam. Tn c th c hoc khng c ngha thc. Cc tn S t nhin ln nht, Hnh vung trn3, Vua hin nay ca nc Php, khng ch bt c mt i tng no trn thc t nn khng c ngha thc. Cn cc tn nh Mt tri, Thi bnh dng ch nhng i tng tn ti trn thc t nn c ngha thc. Nhiu tn khc nhau c th c cng mt ngha thc. V d, cc tn Sao Hm v Sao Mai cng ch mt hnh tinh nn c cng mt ngha thc; cc tn Logic hc v Mn khoa hc nghin cu cc hnh thc v quy lut ca t duy ch cng mt b mn khoa hc nn c cng mt ngha thc. Trong ngn ng t nhin, v tnh a ngha nn mt tn c th c nhiu ngha thc khc nhau. V d, tn Vt cht c ngha thc l thc ti khch quan c a li cho con ngi trong cm gic (nu hiu theo ngha trit hc), li cng c ngha thc l cc vt th c th (nu hiu theo ngha vt l). Ng ngha ca tn l ton b nhng thng tin c trong tn, nh m c th xc nh c ngha thc ca n. Theo Frege th ngha ca tn l ci cha ng cc phng thc hin ra ca i tng. Tn c th khng c ngha thc, nhng bao gi cng c ng ngha. Chng ta thy cc cu cha tn khng c ci biu hin vn c ngha l bi v cc tn vn c ngha. Hai tn c cng ci biu hin c th cha nhng thng tin khc nhau v v vy c ngha khc nhau. V d, i vi mt ngi khng am tng a l th cc cu SEA Games 19 c t chc ti Jakarta v SEA Games 22 c t chc ti Th nc Philippin cha nhng thng tin hon ton khc nhau v cc tn Manila v Th nc Philippin cha cc thng tin khc nhau. Cc ngn ng hnh thc thng c xy dng sao cho ng ngha ca tn xc nh duy nht ngha thc ca tn, tuy nhin iu ngc li khng bt buc phi c. Trong cc ngn ng hnh thc, vic s dng tn phi tun theo ba quy tc sau y:

1

Xem, v d, Hong Trinh T k hiu hc n thi php hc, Nng, 1997, trang 39-41. 2 C. Lewis, dn theo Hong Trinh, Sd, tr. 40. 3 Mt s tc gi cho rng nu cm t khng ch i tng no trn thc t th n khng phi l tn. Xem, v d B. Russell Qun t m t (description) trong sch Ci mi trong ngn ng hc nc ngoi, cun 13, Moskva, 1982, ting Nga.

Quy tc hng i tng. Khi s dng mt tn l ta mun ni n i tng m tn ch, ngha l mun ni n ngha thc ca n, ch khng phi l mun ni n bn thn ci tn. V d, ni H Ni l thnh ph nm trn b sng Hng l ta mun ni v Th ca nc ta, ch khng mun ni n bn thn ci tn H Ni. Quy tc c ngha thc duy nht. Mi tn ch c ch mt i tng hoc mt tp hp i tng duy nht, ngha l ch c quyn c mt ngha thc duy nht. Tnh a ngha ca ngn ng t nhin lm cho n khng tun theo quy tc ny. Quy tc thay th. Hai tn c cng ngha thc phi thay th c cho nhau trong mi trng hp. Trong ngn ng t nhin cc tn c cng ngha thc c th thay th c cho nhau trong mt s trng hp v khng th thay th cho nhau trong mt s trng hp khc. V d, tn Sao Hm thay th c cho tn Sao Mai trong cu Sao Mai l mt ngi sao rt sng (khi thay ta c cu Sao Hm l mt ngi sao rt sng), nhng khng th thay th c cho n trong cu ng cha ta khng bit rng Sao Hm chnh l Sao Mai (khi thay ta c cu ng cha ta khng bit rng Sao Hm chnh l Sao Hm!). Hng i tng l biu thc ngn ng ch mt i tng no khng i trong sut qa trnh t duy c kho st. Trong ngn ng t nhin hng i tng thng thng l tn ring. V d, Hoa hng l mt hng i tng trong cu Hoa hng p; Th l hng i tng trong cu Th l mt loi gm nhm. *). Bin i tng. Hm i tng. Bin i tng l mt biu thc ngn ng chy trn tp hp cc i tng, ngha l c th nhn nhng gi tr l cc i tng khc nhau. Bin i tng c th coi l s khi qut ha ca khi nim bin s trong ton hc. Trong ngn ng t nhin cc bin i tng khng c biu th mt cch tng minh, m thng khng c tch ring khi biu thc ngn ng biu th tp hp cc i tng m chng c th nhn gi tr. Hm i tng l mt biu thc ngn ng (thng l mt tn chung) m khi dng kt hp vi mt hoc mt s hng i tng th xc nh mt hng i tng khc. Hm i tng cn c dng cp vi cc bin i tng. Hm i tng dng cp vi n bin hoc hng i tng th gi l hm n ngi. Ta c th coi khi nim hm i tng l s khi qut ha ca khi nim hm s trong ton hc. V d: Biu thc i hc Quc gia l mt hm i tng. Khi kt hp n vi hng i tng Thnh ph H Ch Minh, ta c hng i tng mi l i hc Quc gia thnh ph H Ch Minh, cn nu kt hp n vi hng i tng H Ni ta li c hng i tng mi l i hc Quc gia H Ni. *). V t (predicate). l nhng biu thc ngn ng biu th mt tnh cht no mt i tng hoc biu th mt mi quan h no gia mt s i tng.

V d: Trong cu Logic hc l mt khoa hc quy phm th cm t khoa hc quy phm th hin mt tnh cht ca logic hc, nh vy n l mt v t. Trong cu 5 ln hn 3 cm t ln hn biu th mt quan h gia cc i tng 5 v 3, vy n cng l mt v t. V t ch tnh cht gi l v t mt ngi, v t ch mi quan h gia n i tng gi l v t n ngi. *). Lng t (quantifier) v cc lin t logic. Lng t l nhng t ch c trng v lng ca cu nh : tt c, mi, tn ti, mt s, c nhng, a s, thiu s, v nhng t hoc cu trc ngn ng tng ng. Lng t l cc tc t tr lng tc ng ln cc i m n chi phi4. y cc i l cc bin hoc hng i tng. Cc lin t logic l cc t nh : v, hay l, hoc l , nu th , ko theo, khi v ch khi, tng ng, khng l, khng phi l, v nhng t hoc cu trc ngn ng tng ng vi chng. Lu . Khi nim lng t m ta dng y khng phi l khi nim s t m ta dng thng ngy. V d, khng c lng t trong cu: Di Ngn H c khong 400 t ngi sao. *). Mnh n (proposition). Mnh l biu thc ngn ng c gi tr ng hoc sai. Mnh n l biu thc ngn ng khng nh hay ph nh mt tnh cht nht nh mt i tng, hoc khng nh hay ph nh mt mi quan h nht nh gia mt s i tng no . Mnh n l mnh m bt c thnh phn no ca n cng khng phi l mnh . V d, cu Mi s chn u chia ht cho 2 l mt mnh n. Cu Nu s a chn th s a chia ht cho 2 khng phi l mnh n, v thnh phn s a chn ca n l mt mnh n. Cn lu rng trong ngn ng t nhin mt biu thc ngn ng xc nh c th l hng i tng, l bin i tng, l hm i tng hoc l v t, ty thuc vo ng cnh. Ta xt mt s v d phn tch v mt logic cc biu thc ngn ng t nhin: V d 1. Sinh vin hc mn logic. Trong cu ny sinh vin l tn chung, tn n, v l hng i tng. Hc mn logic l v t. V d 2. V nh th T Xng l mt ngi ph n rt m ang. Trong cu ny nh th T Xng, v nh th T Xng l cc hng i tng; l mt ngi ph n rt m ang l v t mt ngi ch tnh cht; v l hm i tng. V d 3. Mi sinh vin u hc mn logic. y sinh vin v mn logic khng phi l cc hng i tng. Trong v d 1 sinh vin l hng i tng, v n ch mt tp hp i tng m ta coi nh mt i4

Nguyn c Dn, Lgch v ting Vit, NXB Gio dc, 1996, tr.71.

tng, v i tng xc nh, khng thay i trong qa trnh t duy ta ang xt. Sinh vin trong v d 3 c vai tr khc hn. y n khng ch mt i tng c th, m c th ch bt c i tng no t tp hp sinh vin v i sau lng t mi. V vy, sinh vin y l mt bin i tng. Hn na, bin i tng ny ch xc nh trn tp sinh vin, ngha l cc i tng m bin ny c th nhn gi tr u c tnh cht sinh vin. Bi vy, sinh vin trong v d ny cn l mt v t ch tnh cht. V d 4. 3 + 4 = 7. y 3, 4, 7 l cc hng i tng; = l v t hai ngi, + (chnh xc hn l + ) l hm i tng hai ngi, v v vy 3 + 4 cng l hng i tng. f. Lin t logic. C th kt ni hai hoc nhiu mnh n li vi nhau nh nhng t gi l lin t logic, kt qu vic kt ni gi l mnh phc hp. thng thng l nhng t v cm t v , hoc l , hay l , nu th , tng ng , khi v ch khi , khng phi l , v nhng cm t hay t tng ng khc. 2. H k t p, q, r, s, p1, p2, a, b, c, d, a1, a2, x, y, z, u, v, w, x1, x2, f, g, h, f1,f2, , , &, , , (, ), Cc k t ch mnh n; Cc k t ch hng i tng; Bin i tng; Cc k t ch hm i tng; Cc lin t (php ton) logic; Cc lng t; Cc du k thut.

3. Hn t (term) Hn t trong ngn ng logic v t c vai tr tng t nh danh t hoc cm t ng vai tr danh t trong ngn ng t nhin, n c nh ngha quy nh sau: Cc k t ch hng v bin i tng l cc hn t ; Nu t1, t2, , tk l cc hn t, fk l hm i tng k ngi (hm k bin, k i), th fk(t1, t2, , tk) l hn t; Ngoi ra khng cn hn t no khc.

4. Cng thc (WFF Well Formed Formula) Cng thc trong ngn ng logic v t c vai tr tng t nh cu (hay mnh ) trong ngn ng t nhin, cng thc cng c nh ngha quy: Cc k t ch mnh n l cng thc; Nu Pk l v t k ngi, t1, t2, , tk l cc hn t, th Pk(t1, t2, , tk) l cng thc (gi l cng thc nguyn t atom);

Nu A v B l cc cng thc th (A), (B), A, B, A B, A & B, A B, A B l cc cng thc; Nu A l cng thc cha bin i tng x (khi ta vit A(x)) th x A, x A (hay vit x A(x), x A(x)) l cc cng thc; Ngoi ra khng cn cng thc no khc. 5. Cc v d a) V d hn t (term): Cho f l hm mt ngi, x l bin i tng. Khi f(x) l hn t. Nu a l hng i tng th f(a) cng l hn t. Gi s f l hm mt ngi, g l hm hai ngi, t1 v t2 l hai hn t. Khi : t1, t2 l hn t; g(t1, t2) l hn t; f(t1), f(t2) l hn t; f(g(t1, t2)) l hn t; g(f(t1), g(f(t2), x)) l hn t. a, b l cc hng i tng, bi vy l hn t; x l bin i tng, vy x l hn t; f(a, b) l hn t; f(g(x), c) l hn t; Cc biu thc sau y khng phi l hn t : f(a, f(b)); a + x; P(f(x)); f(P(a)); xP(x); b) V d cng thc p & (q r); x Q(x) P(a) p & x R(x); x y (P(x) Q(y)) x (p & R(x)); x P2(x, a) & x Q(x). Cc biu thc sau y khng phi l cng thc : P & Q; P(P(a)); P(P(x, a)); f(P(a)); R Q(a, b, x);

Q(a, b, c) f(a, b, c); Ngn ng logic v t m ta va xc nh, nh thy, rt n gin, nhng kh nng biu t ca n, tuy khng th snh c vi ngn ng t nhin, vn rt ln. Nu nh khng tn ti mt tiu chun c php hnh thc no xc nh mt biu thc trong ngn ng t nhin c phi l mt cu hay khng, th trong ngn ng logic v t ta thy r c th xc nh mt cch d dng mt biu thc ngn ng no c phi l cng thc hay khng. Cng tng t nh vy vi danh t hoc cm t ng vai tr danh t trong ngn ng t nhin v hn t trong ngn ng logic v t. Chnh v vy, vic s dng ngn ng logic v t thay cho ngn ng t nhin trong nhiu trng hp (c bit l trong cc h thng hnh thc, h thng my mc) thun tin hn rt nhiu. 6. Biu th t tng bng ngn ng logic v t Cc phn on v suy lun thng thng by gi c th c vit di dng cc cng thc trong ngn ng logic v t. Vic ny c ngha rt ln, v n gip xc nh r rng, chnh xc ngha ca cc phn on v suy lun, trnh c s hiu lm, mp m hoc nhiu ngha ca cu. Hn th na, khi biu th t tng, suy lun, v.v. , ta c th s dng logic v t kim tra c tnh ng n ca cc suy lun. Mun vy, trc ht phi dch cc suy lun t ngn ng thng thng sang ngn ng logic v t. Cu trc cc cu trong ngn ng t nhin v cng phong ph, v vy khng c cc quy tc chung bao qut c tt c cc trng hp cn dch. Sau y chng ti nu mt s quy tc hng dn dch mt s dng cu. Lu rng cc hng dn ny cha bao qut ht mi trng hp cn dch, v ngay c cc dng cu c cp cng khng loi tr cc trng hp ngoi l. Phng php dch cu (mnh ) t ngn ng t nhin sang ngn ng logic v t Vi mnh n cn thc hin cc bc sau : Phn tch cu xc nh v t v cc hn t tng ng vi n. Nu mt hn t c cu thnh t mt hm i tng v mt s hn t khc th n c biu din bng cch vit hm i tng trc, sau lit k vo trong cp ngoc n m ng cc hn t tng ng, nu s ny nhiu th dng du phy ngn cch chng. Vit v t, lit k cc hn t tng ng vo trong cp ngoc n ngay sau v t. Nu c nhiu hn t th dng du phy phn cch chng. Ta s gi cch biu th cu nh th ny l cch vit v t, hay dng v t ca cu. Thay th v t v cc hn t trong cch vit v t bng cc k hiu tng ng quy nh trong phn h k t ca ngn ng logic v t.

V d : Cho mnh M Mai l bc s. Trc ht, cn phn tch cu xc nh cc thnh phn ng ngha ca n. R rng cu ny l cu n. y M l hm i tng, Mai l hng i tng, nn M(Mai) l hn t ; l bc s l v t (tnh cht l bc s v tnh cht bc s nh nhau, nn v sau ta s lc b l, ta cng lc b nh vy vi cc v t khc). V t bc s tng ng vi hn t

M(Mai). Vy mnh ban u c vit dng v t thnh bc s (M(Mai)). Thay v t bc s, hm i tng M v hng i tng Mai bng cc k hiu c php nh quy nh trong h k t ca ngn ng logic v t. Kt qu ta c cng thc tng ng mnh cho : P(f(a)). Vi mnh c to thnh t hai hoc nhiu mnh n, ta thc hin cc bc : Xc nh cc mnh n thnh phn; Dch ring tng mnh n thnh phn. Lu , cc v t, hng, hm i tng xut hin trong nhiu mnh n thnh phn phi c thay th bng cc k t ging nhau ca ngn ng logic v t; Dng cc du lin t logic thay cho cc cm t tng ng ni cc mnh n thnh phn vi nhau.

V d, cho mnh Hng l sinh vin v Hng vi Mai l ch em. y c hai mnh n thnh phn Hng l sinh vin, Hng vi Mai l ch em. Dch ring chng, ta c cc cng thc P(a), Q(a, b). Ni chng vi nhau bng du & - du tng ng vi lin t v, ta c cng thc biu din mnh cho ban u : P(a) & Q(a,b). Vi mnh ph qut n gin : Chuyn cu v mt trong hai dng Mi S l P hoc Mi S khng l P. Mi S l P dch thnh

x(S(x) P(x)).

Mi S khng l P dch thnh

x(S(x) P(x))

V d, mnh Mi sinh vin u hc logic tng ng vi mnh Mi sinh vin u l ngi hc logic. Mnh ny c dng Mi S l P, trong S = Sinh vin, P = ngi hc logic. Vy n c dch sang ngn ng logic v t thnh cng thc x(S(x) P(x)). Vi mnh b phn n gin : Chuyn cu v thnh mt trong hai dng Mt s S l P hoc Mt s S khng l P. Mt s S l P Mt s S khng l P dch thnh dch thnh

x(S(x) & P(x)). x(S(x) & P(x))

V d. Cu Mt s loi chim di c v Phng Nam tng ng vi cu Mt s loi chim l loi di c v Phng Nam3. N c dng Mt s S l P, vi S = loi chim, P = loi di c v Phng Nam. Vy cng thc tng ng l x(S(x) & P(x)). Sau y ta xt thm mt s v d. Mnh n V d 1 Th l mt loi gm nhm.

Th hng i tng, ta k hiu l a; l mt loi gm nhm v t mt ngi, ta k hiu l P. Kt qa: P(a). V d 2 Hng cao hn Mai.

Hng v Mai cc hng i tng, ta k hiu tng ng l a v b; cao hn v t hai ngi, ta k hiu l P. Kt qa: P(a,b). V d 3 Hng cao bng ch ca Mai.

Hng v Mai cc hng i tng, ta k hiu tng ng l a v b; ch hm i tng, ta k hiu l f ; cao bng v t hai ngi, ta k hiu l P. Kt qa: P(a, f(b)). Nu trong cu ny ta ly cc hng i tng Hng v ch ca Mai, k hiu chng l a v c, th kt qa l: P(a,c). Mnh c mt lng t. V d 4 Mi sinh vin u hc mn logic.

Mi lng t, k hiu ; sinh vin bin i tng, k hiu x; sinh vin v t mt ngi, k hiu P; hc mn logic v t, k hiu Q. Kt qa: x (P(x) Q(x)). V d 5 Mt s sinh vin hc ngnh tin hc.

Mt s - lng t, ta k hiu ; sinh vin bin i tng, ta k hiu x; sinh vin v t mt ngi, k hiu P; hc ngnh tin hc v t, k hiu Q. Kt qa: x (P(x) & Q(x)). V d 6 Mi sinh vin hc gii ton u hc gii logic.

Mi lng t, k hiu ; sinh vin hc gii ton bin i tng, k hiu x; sinh vin v t mt ngi, k hiu P; hc gii ton v t, k hiu Q; hc gii logic v t, k hiu R. Kt qa: x ((P(x) & Q(x)) R(x)). Mnh c nhiu lng t. V d 7 Mi ngi u c ngi yu mn.

Mi lng t, k hiu ; ngi bin i tng, k hiu x; ngi v t mt ngi, k hiu P; c lng t , ngi bin i tng, k hiu y ;yu mn v t hai ngi, k hiu Q. Kt qa: x (P(x) y (P(y) & Q(x,y))) Nu ch cp n nhng con ngi, v v vy khng s nhm ln th cc thnh phn P(x), P(y) trong cng thc ny khng cn thit. Khi c th vit n gin : x y Q(x,y). V d 8 C ngi m mi ngi u yu mn.

Phn tch tng t cu trn, kt qa: y (P(y) &x (P (x) Q(x,y))) Nu khng s nhm ln v ang ch cp n con ngi th ta c th vit cu ny n gin: y x Q(x,y). V d 9 Nu Nam l sinh vin tin hc th Nam hc mn logic.

Nam l sinh vin tin hc: P(a); Nam hc mn logic: Q(a); Lin t nu th : Kt qu: P(a) Q(a). V d 10 Mt s sinh vin c hc bng, mt s sinh vin khng c.

Mt s sinh vin c hc bng: x (P(x) & Q(x)); Mt s sinh vin khng c hc bng y (P(y) & Q(y)); Du phy: & Kt qu: x (P(x) & Q(x)) & y (P(y) & Q(y)); Nu ch s dng cch vit ca ngn ng logic v t m khng thay th cc hng v hm i tng, cc v t bng k hiu, vn gi nguyn chng dng ngn ng t nhin th ta c ngn ng logic v t ng dng. Trong tin hc ngn ng logic v t c s dng rt rng ri. N c s dng biu th tri thc trong cc h chuyn gia hoc tr tu nhn to, dng tng t vi n c dng lm ngn ng hi trong cc h qun tr c s d liu, ngi ta cng dng mt phn c bit ca ngn ng ny lm ngn ng lp trnh thun tin cho lnh vc tr tu nhn to (ngn ng Prolog), V d: Chuyn sang ngn ng ca logic v t ng dng cc mnh sau. (i). Mi loi chim u bit bay. Trong cu ny Mi l lng t. loi chim va l bin i tng (k hiu x), va l v t tng ng vi x. bit bay l v t tng ng vi x. Vy cng thc tng ng trong ngn ng logic v t ng dng s l : x(loichim(x) bit bay(x)) (ii) Cng thc v d 10 trn y c th vit thnh : x (sinh vin(x) & chcbng(x)) & y (sinhvin(y) & chcbng(y)); Vit di dng ny cng thc tr nn d hiu hn. Cng thc ny c th c l: vi mi x, nu x l chim th x bit bay. 7. Bin t do v bin buc Trong biu thc x A(x), A(x) gi l vng tc ng ca ca lng t x. Nu bin x xut hin trong mt vng tc ng ca lng t x (trong mt cng thc lng t x c th xut hin nhiu ln, v v th c th c nhiu vng tc ng khc nhau ca x

trong mt cng thc) th ln xut hin ca x c gi l xut hin khng t do (cn gi l buc). Ngc li th gi l xut hin t do. Mt bin c th xut hin t do trong cng thc, c th xut hin khng t do trong cng thc, v c th va xut hin t do, va xut hin khng t do trong cng mt cng thc. Vi lng t x (tn ti) cng hon ton tng t. Chnh xc hn, nu nhng iu va ni trn y v s xut hin t do v buc ca bin trong cng thc m ta thay lng t x (vi mi x) bng lng t x (tn ti), th nhng iu vn ng. V d v s xut hin t do v xut hin buc ca bin. Trong cng thc x ((x) (y)) & (a) xut hin ca bin x l buc, cn bin y xut hin t do. Trong cng thc x ((x, y) y (Q(y, x))) c hai ln xut hin ca x u l xut hin buc, bin y va xut hin t do (ln u), va xut hin buc (ln sau), v ln xut hin u ca bin y nm ngoi min tc ng ca cc lng t y v y, cn ln xut hin th hai, v nm trong vng tc ng ca lng t y nn l xut hin buc. Bin x t do trong cng thc nu n c xut hin t do trong cng thc. Nu x khng c xut hin t do trong cng thc, ngha l mi xut hin ca n trong cng thc u l xut hin buc th x l bin buc trong cng thc . V d, bin x t do v bin y l bin buc trong cng thc sau y : y(P(x, y) xQ(y,x)) Gi s x1, x2, , xk l cc bin, A l cng thc. Khng quan tm n vic trong cng thc A cc bin t do hay l bin buc v ngoi ra c cn cc bin t do khc hay khng, ta k hiu cng thc A bng A(x1, x2, , xk) sau c th k hiu kt qu php th cc hn t t1, t2, , tk tng ng vo cc ch xut hin t do (nu c) ca cc bin x1, x2, , xk l A(t1, t2, , tk). Hn t t gi l t do i vi bin x trong cng thc A, nu nh khng mt ln xut hin t do no ca bin x trong A nm vo vng tc ng ca lng t y , y vi y l bin c trong t. V d. Hn t x1 t do i vi x2 trong cng thc A(x2), v trong cng thc ny xut hin t do duy nht ca x2 khng nm trong min tc ng ca bt k lng t no ca bin x1- bin duy nht trong hn t x1. Hn t f(x1, x3) t do i vi x1 trong cng thc x3 x1 (A1(x2, x3) & A3(x1, x2), v trong cng thc ny khng c xut hin t do no ca bin x1. Hn t f(x1, x3) khng t do i vi x1 trong cng thc x3 (A1(x1, x3) A2(x2, x3)) , v xut hin t do ca x1 trong cng thc ny nm trong min tc ng ca lng t x3, m x3 l mt bin trong hn t f(x1, x3). T nh ngha ta d dng rt ra :

(a) Mi bin u t do i vi chnh n trong mi cng thc. (b) Nu hn t khng cha bin th hn t t do i vi mi bin trong mi cng thc; (c) Hn t t t do i vi mi bin trong cng thc A, nu nh cc bin ca t khng c xut hin buc trong A, (d) xi t do i vi xj trong cng thc A, nu trong A khng c xut hin t do no ca xj. II. Din gii (Interpretation). M hnh (Model) 1. Din gii Din gii v m hnh l nhng khi nim rt quan trng trong logic v t. bn c d nm c nhng khi nim ny, trc ht chng ti trnh by mt cch phi hnh thc ni dung ca khi nim din gii. Cc cng thc ch c ngha khi c mt s gii thch, gii ngha no cc thut ng ca n, din gii cc k t, cc t c trong cng thc . Chng hn, xt cng thc P(a) (Q(a) & Q (b)). V y l cng thc ca ngn ng logic v t, nn chng ta bit rng a, b l nhng k t hng i tng, ngha l chng ch nhng i tng no ; P v Q l cc k t v t mt ngi, ngha l chng ch n nhng tnh cht no ca i tng a v i tng b. Tuy nhin, chng ta vn khng bit cng thc ny ni g. ngha ca cng thc cho ch sng t sau khi bit P v Q ch nhng tnh cht no, a, b ch nhng i tng no. V ch sau khi xc nh c ngha ca cng thc ta mi c th xc nh n ng hay sai. Ni cch khc, mt cng thc c th c gii ngha c ngha l n c th nhn c gi tr chn l. Nh vy, din gii mt cng thc l cho bit cc k t trong cng thc nh cc k t v t, k t hm i tng, k t bin i tng ch nhng tnh cht (hay quan h) no, nhng hm i tng v i tng no. Thao tc cho bit ny chng ta s gi l gn. Cho bit a ch i tng Mt tri c ngha l gn Mt tri cho a. Ngoi ra, nu trong cng thc c cha cc bin i tng th cng phi cho bit cc bin i tng nhn gi tr t min no, hay ch i tng no. Mc d khi din gii cng thc ta c th gn cc i tng ty cho cc k t hng i tng, gn cc quan h hoc tnh cht ty cho cc k t v t , nhng din gii cng thc khng phi hon ton ty tin, m phi tha mn mt s i hi nht nh. Nu trong cng thc c nhiu k t hng i tng khc nhau th c th din gii rng cc hng i tng ch cng mt i tng, nhng nu mt k t hng i tng xut hin nhiu ln trong cng thc th khng th din gii khc nhau cc ln xut hin . Trong cng thc kho st trn y hai k t a v b c th c gn hai i tng khc nhau hoc c gn cng mt i tng; nhng k t hng i tng a xut hin hai ln, ta khng th din gii rng hai ln xut hin ca a ch hai i tng khc nhau. Cng hon ton tng t vi cc loi k t khc trong cng thc nh k t v t, bin i tng, hm i tng. Din gii tho mn c i hi nh vy gi l din gii c tnh h thng. Nu din gii nhiu cng thc cng lc th tnh h thng phi c m rng cho tp hp cc

cng thc . C th, cc xut hin ca cng mt k t trong cc cng thc khc nhau phi cng c gn cng mt i tng hay cng mt quan h, nh nhau. Din gii phi mang tnh h thng. Nh ta thy, cng thc ca logic v t khng ch c to thnh t cc cng thc con, m cn c to thnh t cc hn t. V vy, din gii cng thc, ta cn gii ngha cc hn t ca n. C th hiu hn t mt cch trc quan nht nh l mt i tng. Nh vy, din gii phi xc nh