logica binaria

LOGICA BINARIALOGICA BINARIA

Por: Salatiel Moreno Toro

Un sistema binario se caracteriza por tener dos valores posibles que, en términos de voltaje, se corresponden a dos valores de tensión, los que se representan numéricamente por un “1” y por un “0”.

Generalmente, la “lógica positiva” hace corresponder un valor de tensión alto al “1” y un valor de tensión bajo al “0” (y viceversa para la “lógica negativa”):

Introducción a los sistemas digitales

Sistemas binarios

Positiva Lógica alto) voltaje(1

bajo) voltaje(0

H

L

V

V

Números binarios

La correspondencia entre los primeros 16 números decimales y binarios se muestra en la siguiente tabla:

Número decimal Número binario0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

10 101011 101112 110013 110114 111015 1111

Mientras más dígitos tiene un sistema, más compacta es su notación. Así, los dígitos bina-rios tienden a ser más largos (en un factor log210=2,3222)

que su correspondiente nota-ción decimal.

Las principales razones por las cuales utilizar sistemas de representación binaria son:

Porqué usar la representación binaria

• Los sistemas de procesamiento de información se construyen en base a conmutadores;

• Los procesos de toma de decisión, en un sistema digital, son binarios; y

• Las señales binarias son más confiables que las que tienen más niveles de cuantificación.

Conmutadores


Supóngase un sistema de iluminación basado en dos interruptores o con-mutadores (como el que existe en la parte inferior y superior de una escalera):

S 1 S 2 1

0

1

0

Ampolleta 220V

S 1 S 2 1

0

1

0

A

esConclusionoAcciones

A

A

premisasosCondicione

S

S

S

S

encendida) (ampolleta 1

apagada) (ampolleta 0

0)posición en 2r (conmutado 0




2

2

1

1

Toma de decisiones


Gran parte de los procesos de decisión tienen carácter binario

.Respuestas etcINCORRECTO

CORRECTO

FALSO

VERDADERO

NO

SI

Un sistema puede ca-racterizarse lingüísti-camente como:

Si (S1=1 y S2=0) o (S1=0 y S2=1), entonces B=1; caso contrario, B=0.

Confiabilidad Las señales binarias son mucho más confiables para ser transmitidas entre dos puntos distantes. Al usar sólo dos niveles de voltaje para representar un dígito, el sistema es más inmune a la presencia de ruidos.

Descripciones formalesDefinición de modelos lógicosUna descripción abstracta de un sistema digital, expresado con enunciados lógicos formales, se denomina “DISEÑO LÓGICO”.

Los símbolos más comunes son:

entonces

O

Y

Usando estos símbolos, el circuito de encendido de la ampolleta puede representarse como:

00011

10110

2121

2121

BSSSSó

BSSSS

Usando este tipo de representación, podría definirse la operatoria de un sumador binario como:

o, en forma simbólica (para el caso de la “suma”), por:

0|111

1|001

1|010

0|000

|

SumaAcarreoyx

X Y Acarreo Suma

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 1

Entradas Salidas

00011

10110

Sumayxyxó

Sumayxyx

Definición de modelos lógicos

En caso de sistemas multivariables (varias entradas y salidas), “x” será un vector de entradas y habrá una función asociada a cada salida. Estas funciones también suelen denominarse “funciones booleanas”, ya que responden al “álgebra de Boole”.


Un comportamiento de un sistema combinacional puede expresarse formalmente como z=f(x), donde “z” representa la salida del sistema y “x” la entrada (para un sistema de una entrada y una salida).

Para el caso del circuito de la ampolleta:

),( 21 SSfB

1)1,1(

1)0,1(

1)1,0(

0)0,0(

f

f

f

f

S1 S2 B0 0 00 1 11 0 11 1 0

TABLA DE VERDAD

Puede apreciarse que el comportamiento de un circuito combina-cional puede repre-sentarse también a través de una tabla conocida como “tabla de verdad”.


Componentes lógicosSistemas con conmutadoresLos conmutadores son elementos que pueden tener dos estados posibles (son adecuados para entender dispositivos lógicos).

Los tipos de conmutadores eléctricos más comunes son:

C orrien te “x”

C orrien te “z”

C orrien te “z”Voltaje “x”

+

-

Electro imán Transis tor M O S

Conmutador electromecá nico Conmutador electró nico

Circuitos de conmutación

Circuito AND

En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta AND y la tabla de verdad correspondiente.

FUENTE CARGA

S 1 S 2

Circuito AND

ANAND

Compuerta AND S 1 S 2 z

z


Circuito OR

En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta OR y la tabla de verdad correspondiente.

FUENTE CARGA

S 1 S 2

Circuito OR

Compuerta OR S 1 S 2

z

z


Circuito NOT

En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta NOT y la tabla de verdad correspondiente.

FUE NTE CARGA

S

Circui to NOT

Co mp uerta NOT

S z

z

1

Expresiones lógicas

Para expresar las funciones lógicas asociadas a cada uno de los circuitos anteriores, se usan operadores lógicos.

zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 Y x2=1zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 Y x2=1

ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 O x2=1ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 O x2=1

2121 ),( xxxxzAND

2121 ),( xxxxzOR

ZNOT (x)=1 sí y sólo sí x=0

xxzNOT )(

Es importante tener en cuenta

que los símbolos “.” y “+” son operadores

lógicos y NO algebraicos.

Convenios de voltajePara la lógica TTL (“Transistor – Transistor Logic”) se ha determinado un convenio de voltajes, para especificar cuándo una entrada o salida se considera que tiene el valor lógico correspondiente.

0 ,0

5,0

[V]

2 ,42 ,0

0 ,80,4

Inverva lo VH

garantizado para salidas = 1

Inverva lo VH

aceptado pa raentradas = 1

In vervalo V L acepta dopa ra entradas = 0

Invervalo V L garanti za dopara salidas = 0

LÓGICA TTL

Álgebra de BooleAxiomas

Número Enunciado del Teorema Nombre1a Si a y b están en K , entonces a+b está en K1b Si a y b están en K , entonces a.b está en K

2a Hay un elemento 0 en K , tal que a+0=a Axioma del cero2b Hay un elemento 1 en K , tal que a.1=a Axioma de la unidad3a Para todos a y b en K , a+b=b+a3b Para todos a y b en K , a.b=b.a

4a Para todos a , b y c en K , a+b.c=(a+b).(a+c)4b Para todos a , b y c en K , a.(b+c)=a.b+a.c

Para cada a en K, hay un inverso o complemento a' en K, tal que

5a a+a´=15b a.a´=06 Hay por lo menos dos elementos distintos en K ---7a El elemento 0 es único7b El elemento 1 es único

8a Para cada a en K , a+a=a8b Para cada a en K , a.a=a

9a Para cada a en K , a+1=1 Propiedad de unicidad9b Para cada a en K , a.0=0 Propiedad de cero

10a Para todos a y b en K , a+a.b=a10b Para todos a y b en K , a.(a+b)=a

11 Para cada a en K , el inverso a' es único Unicidad de la inversión12a Para todos a , b y c en K , a+(b+c)=(a+b)+c12b Para todos a , b y c en K , a.(b.c)=(a.b).c

13a Para todos a y b en K , (a+b)'=a'.b'13b Para todos a y b en K , (a.b)'=a'+b

14 Para cada a en K , ( a' )' = a Involución

Absorción

Asociatividad

Leyes de De Morgan

Unicidad de 0 y 1

Idempotencia

Conmutatividad

Distributividad

Axiomas de inversión

ÁLGEBRA DE BOOLE

Cierre

Se definen a continuación:

Dos expresiones booleanas, E1 y E2 , se dicen que son

equivalentes (es decir, E1 = E2 ) cuando, ante las mismas

entradas, provocan las mismas salidas. Esto se puede comprobar a partir de la tabla de verdad, o bien, partiendo de una de ellas y aplicar álgebra de Boole, hasta llegar a la otra.

Equivalencia de expresiones booleanas

Ejemplo: Demostrar que E1 = E2 , donde:

hgfehgfdhgfchbaE ...........1

hgfedcbaE .)...).((2

¿es práctico usar la tabla de verdad para comprobarlo en este caso?

Una función lógica presenta una correspondencia “uno a uno” con un circuito lógico o con una tabla de verdad.

Correspondencia de la lógica combinacional

dcacbaz ).().(

abc

d

ba cba ).(

ca

d dca ).(

z

c

CIRCUITO LÓGICO

abc

d

ba cba ).(

ca

d dca ).(

z

c

CIRCUITO LÓGICO

abc

d

ba cba ).(

ca

d dca ).(

z

c

CIRCUITO LÓGICO

Sea la siguiente función lógica:

el circuito lógico y su tabla de verdad serán:

Representación de un sistema combinacional

IntroducciónLos circuitos de Lógica Combinacional se caracterizan porque sus salidas se definen por una combinación lógica de sus entradas.

Minitérminos

Una función combina-cional distintiva son los minitérminos de “n” variables, y se los denota como mi. Son funciones booleanas cuya tabla de verdad tiene un “1” en la i-ésima fila, y un “0” en las restantes. 43214 xxxxm

432113 xxxxm

A B C D .... m3 m4 ....0 0 0 0 0 .... 0 0 ....1 0 0 0 1 .... 0 0 ....2 0 0 1 0 .... 0 0 ....3 0 0 1 1 .... 1 0 ....4 0 1 0 0 .... 0 1 ....5 0 1 0 1 .... 0 0 ....6 0 1 1 0 .... 0 0 ....7 0 1 1 1 .... 0 0 ....8 1 0 0 0 .... 0 0 ....9 1 0 0 1 .... 0 0 ....

10 1 0 1 0 .... 0 0 ....11 1 0 1 1 .... 0 0 ....12 1 1 0 0 .... 0 0 ....13 1 1 0 1 .... 0 0 ....14 1 1 1 0 .... 0 0 ....15 1 1 1 1 .... 0 0 ....

MINITÉRMINOSnº

Entradas

Forma canónica “Suma de minitérminos”

Dada una función z de “n” variables, cuya tabla de verdad tiene “1” en las filas a, b, ..., k, y “0” en las demás. A partir de la definición de minitérmino, y usando la función OR, es evidente que:

z = ma + mb + ... + mk

Ejemplo: Sean las funciones para z1=Z1(A,B,C,D), z2=Z2(A,B,C,D) y z3=Z3(A,B,C,D), caracterizadas por la siguiente tabla de verdad, determinar las funciones booleanas correspondientes:

Forma canónica “Suma de minitérminos”

Solución: Aplicando el concepto de minitérminos, las funciones busca-das serán:

A B C D z1 z2 z3

0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 10 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 01 0 1 0 1 1 11 0 1 1 1 1 01 1 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0

ENTRADA SALIDAS

TABLA DE VERDAD

dabcdcabdcbadcba

dbcadcbadcbadcbadcbaz

abcddabccdba

dcbabcdadbcadcbadcbaz

abcddabccdbadcbabcdadbcaz

3

2

1

Construcción algebraica

Cualquier expresión booleana puede convertirse a su forma canónica “suma de minitérminos” empleando las propieda-des del álgebra de Boole. A esta forma canónica también suele denominarse “Suma De Productos (SDP)”.

Ejemplo: Encontrar la forma canónica “suma de minitérminos” de: cbacbcaz

Solución: ddcbaddcbaaddcbbaz

dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbaz

o bien:

Maxitérminos

Una segunda función son los maxitérminos de “n” variables, denotada como Mi. Son funciones booleanas cuya tabla de verdad tiene un “0” en la i-ésima fila, y un “1” en las restantes.

43213 xxxxM

43214 xxxxM

A B C D .... M3 M4 ....0 0 0 0 0 .... 1 1 ....1 0 0 0 1 .... 1 1 ....2 0 0 1 0 .... 1 1 ....3 0 0 1 1 .... 0 1 ....4 0 1 0 0 .... 1 0 ....5 0 1 0 1 .... 1 1 ....6 0 1 1 0 .... 1 1 ....7 0 1 1 1 .... 1 1 ....8 1 0 0 0 .... 1 1 ....9 1 0 0 1 .... 1 1 ....

10 1 0 1 0 .... 1 1 ....11 1 0 1 1 .... 1 1 ....12 1 1 0 0 .... 1 1 ....13 1 1 0 1 .... 1 1 ....14 1 1 1 0 .... 1 1 ....15 1 1 1 1 .... 1 1 ....

MAXITÉRMINOSnº

Entradas

Forma canónica “Producto de maxitérminos”

Toda función z tiene un conjunto único de maxitérminos Mi, que corresponde al conjunto de ceros que aparecen en la columna de salida de su tabla de verdad. La forma canónica de producto de maxitérminos será la función AND o producto lógico de estos maxitérminos. A esta forma canónica también suele denominarse “Producto De Sumas (PDS)”.

Ejemplo: Sea la la siguiente función booleana de tres variables: cbaz la expresión canónica de producto de maxitérminos será:

cbacbacbaMMMz 654

Circuitos combinacionales

Las formas canónicas anteriores se representan con circuitos combinacionales de dos niveles de compuertas:

SUMA

PRODUCTOS

DE

PRODUCTO

SUMAS

DE

Notación decimal

Las funciones boo-leanas, dadas en cualesquiera de sus formas canónicas, pueden escribirse de manera simplificada usando el símbolo para indicar la suma de productos, y para el producto de sumas.

Formas de dos niveles

La profundidad de un circuito se mide por el máximo número de compuertas que una señal tiene que atravesar desde la entrada hasta la salida.

Las formas canónicas vistas tienen una profundidad de dos, considerando que se dispone de las entradas necesarias complementadas.

A pesar de que suelen ser los circuitos más rápidos que pueden lograrse con este tipo de implementación, esta disposición no implica ser la mejor desde el punto de vista del número de compuertas empleadas.

Formas de dos niveles

Los tres circuitos tienen la misma tabla de verdad.

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