Pedro Teixeira

Lógica e Teoria de Conjuntos

Matemática 10º ANO

Pedro Teixeira

1.1. Introdução à lógica Bivalente

Pedro Teixeira

Designações / termos

Proposição

Designação correta é toda a expressão com significado que representa um objeto.

Composição de termos / designações, apresentando um nexo entre eles

Maneira de perceber na lógica matemática

São palavras (nomes + advérbios)

Ligação entre termos através de um verbo (ex: “é”) são frases

Exemplos 3; ; “pato”; “galinha”; “ovo”;

; =5; 2+9=7; a galinha pôs o ovo.

Distinção entre termos/ designações e proposições

“x é igual a 3”

Pedro Teixeira

Uma proposição é toda a expressão suscitável de um valor lógico

proposição

Lógica Bivalente

2 valências = 2 valores

VERDADE

FALSIDADE

V ou 1

F ou 0O universo dos valores lógicos é o conjunto:{V; F} ou {1;

0}

Pedro Teixeira

Qualquer proposição obedece aos seguintes princípios:

Princípio da não contradição:Uma proposição não pode ser verdadeira nem

falsa em simultâneo.Princípio do terceiro excluído:

Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa; isto é: verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro

Princípios gerais das proposições

Pedro Teixeira

Proposições equivalentes são proposições que apresentam o mesmo valor lógico Às vezes, quando estamos a indicar o valor

lógico das proposições podemos usar o símbolo da equivalência (⟺): , ⟺ ;

Sendo V e F proposições Verdadeira e Falsa, respetivamente

Proposições equivalentes

Pedro Teixeira

Operações com proposições

Pedro Teixeira

Para demonstrar propriedades das operações com proposições , podem usar-se diferentes técnicas tais como: tabelas de verdade, argumentos que envolvam apenas as definições das operações, ou ainda, recorrendo a propriedades já verificadas.

Tabelas de verdade

Pedro Teixeira

“não é verdade …” Representa-se pelo símbolo . Forma simplificada: inverte o valor lógico da

proposição a que está a ser implicada.

Negação ()

Pedro Teixeira

Sejam e dois números pertencentes a , tais que:

Negação aplicada a operações numéricas

⟺

Pedro Teixeira

Lei da dupla negação

Pedro Teixeira

“a negação da negação de uma proposição apresenta o mesmo valor lógico que a dita proposição”.

Lei da Dupla negação

⟺

Pedro Teixeira

A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p Ʌ q .

A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem ambas verdadeiras.

Conjunção

Pedro Teixeira

A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p Ʌ q .

A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem ambas verdadeiras.

Conjunção

Já se utilizava a conjunção quando resolvíamos

sistemas de equações.Exemplo:

Ʌ

Pedro Teixeira

A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p V q .

A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas falsas.

Disjunção

Pedro Teixeira

A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p V q .

A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas falsas.

Disjunção

Já se utilizava a disjunção, quando resolvíamos uma

equação pela lei do anulamento do produto.

Exemplo:V

Pedro Teixeira

Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa

Desse modo, a conjunção de uma proposição e a sua negação será sempre falsa.

Principio da não contradição

O resultado é sempre F

Pedro Teixeira

Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Desse modo, a disjunção de uma proposição com a sua negação é sempre verdadeira.

Principio do terceiro excluído

O resultado é sempre V

Pedro Teixeira

Tautologia / contradição

Tautologia Uma proposição que tem

sempre o valor lógico de verdade, independentemente do valor lógico das proposições que a compõe, chama-se tautologia.

principio do terceiro excluído

Contradição Uma proposição que tem

sempre o valor lógico de falsidade, independentemente do valor lógico das proposições que a compõe, chama-se contradição.

Principio da não contradição

São proposições “especiais”

Pedro Teixeira

Dadas as proposições p e q, chama-se implicação a proposição representada por p⟹q

Implicação

Antecedente da implicação

Consequente da implicação

Conhecer apenas o valor lógico do consequente não é suficiente para concluir o valor lógico da implicação

Pedro Teixeira

implicação

A implicação p q entre duas proposições p e q é uma nova proposição que é falsa se, e só se, o antecedente p é verdadeiro e o consequente q é falso.

Pedro Teixeira

Recorda: Duas proposições são equivalentes se tiverem

o mesmo valor lógico Desse modo, pode-se dizer que a equivalência é

verdadeira quando as proposições sujeitas a esta tiverem o mesmo valor lógico.

Equivalência

Pedro Teixeira

Operações numéricas Operações Lógicas

Importância das operações

Impor tânc i a

Impor tânc i a

Multiplicação e divisão

Soma e subtração

Negação

Conjunção e disjunção

Implicação e equivalência

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Propriedades comutativas:

Propriedades associativas:

Propriedades das conjunções e disjunções

Pedro Teixeira

Propriedades distributivas: A conjunção é distributiva em relação à

disjunção:

A disjunção é distributiva em relação à conjunção:

Propriedades das conjunções e disjunções

Pedro Teixeira

Elementos neutros e Elementos absorventes V é o elemento absorvente da disjunção o elemento neutro na conjunção.

F é o elemento neutro da disjunção o elemento absorvente da conjunção.

Propriedades das conjunções e das disjunções

Pedro Teixeira

Em linguagem recorrente: Negar que as duas proposições são

simultaneamente verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa.

Negar que pelo menos uma das proposições é verdadeira equivale a afirmar que as duas são simultaneamente falsas

Em linguagem matemática

Leis de Morgan

Pedro Teixeira

Relação entre a implicação e a disjunção

Propriedades da implicação

Pedro Teixeira

Negação de uma implicação

Repara que: Desse modo, )

Logo, )

Propriedades da implicação

Pedro Teixeira

Implicação contrarrecíproca:

Propriedades da implicação

Pedro Teixeira

Propriedade transitiva da implicação

“se p implica q e q implica r, então p implica r”

Propriedades da implicação

Pedro Teixeira

Dupla implicação

Propriedades da implicação

Pedro Teixeira

1.2. Condições e conjuntos

Pedro Teixeira

Uma expressão proposicional ou condição é uma expressão envolvendo a variável , tal que, substituindo por um objeto , se obtém a proposição .

Expressão proposicional ou condição

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Quantificadores

Quantificador universal Dada uma condição , é

uma proposição verdadeira se e só se se obtiver sempre uma proposição verdadeira aquando a substituição de por um número arbitrário.

Num dado conjunto , a proposição é uma proposição verdadeira se e só se se obtiver sempre uma proposição verdadeira aquando a substituição de por um elemento de .

Pedro Teixeira

Quantificadores

Quantificador existencial ∃

Dada uma condição , é uma proposição verdadeira se e só se, para pelo menos um objeto , seja verdadeira.

Num dado conjunto , a proposição é uma proposição verdadeira quando e apenas quando, para pelo menos um objeto , que pertença a , seja verdadeira.

Pedro Teixeira

Classificação de condições

Pedro Teixeira

Uma condição p(x) é possível se a proposição for verdadeira.

Uma condição p(x) é possível num conjunto U se for verdadeira

Uma condição que não é possível é uma condição impossível:

Condição possível e condição impossível

Pedro Teixeira

Uma condição p(x) é universal se a proposição for verdadeira.

Uma condição p(x) é universal num conjunto U se a proposição for verdadeira.

Condições universais

Pedro Teixeira

Sejam uma condição possível; uma condição universal; uma condição impossível; uma condição qualquer.

Propriedades da disjunção e conjunção de condições

Propriedades das disjunções Propriedades das conjunções

Pedro Teixeira

Segundas leis de Morgan

Pedro Teixeira

A negação de uma condição universal é uma condição impossível. Se , então

A negação de uma condição impossível é uma condição universal. Se , então

Negação de uma condição

Pedro Teixeira

Negação de uma implicação

Pedro Teixeira

Negação de proposições quantificadas num conjunto U

Pedro Teixeira

A definição de um conjunto em extensão baseia-se na discriminação de todos os elementos que o compõem.

A definição de um conjunto em compreensão é determinar esse conjunto por meio de uma condição

sendo p(x) uma condição definida em U

Conjuntos: extensão / compreensão

.

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Dois conjuntos, ,

Igualdade de conjuntos

Pedro Teixeira

Duas condições são equivalentes no mesmo conjunto se e somente se definirem o mesmo conjunto em U

se e somente se

Condições equivalentes

Pedro Teixeira

A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de todos os elementos que pertençam, em simultâneo, em A e B.

Intercessão de dois conjuntos

Pedro Teixeira

A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de todos os elementos que pertençam a pelo menos a um dos conjuntos, A ou B

(Re)união de dois conjuntos

Pedro Teixeira

Dois conjuntos A e B, diz-se A está contido em B ou que A é um subconjunto de B quando todos os elementos de A pertencerem a B

Relação de inclusão de dois conjuntos

Pedro Teixeira

Dados dois conjuntos, A e B, chama-se diferença entre A e B (A\B) ao conjunto dos elementos de A que não pertencem a B:

Diferença de conjuntos

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Seja : um conjunto

Complementaridade de conjuntos – Leis de Morgan

Pedro Teixeira

Dupla Implicação

Pedro Teixeira

Principio da dupla inclusão

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Contrarreciproco

Correspondência entre proposições e conjuntos

Proposições Conjuntosequivalência

igualdade

negação complementaridade

disjunção reunião

conjunção intersecção

implicação inclusão