LÓGICA MATEMÁTICA 4º Plan Electivo Matemático

Contenidos

Proposiciones Conectivos lógicos y tablas de verdad Tautologías, contradicciones y

consecuencias lógicas Cuantificadores universal y

existencial. Métodos básicos de demostración en

matemáticas  

Proposiciones

Proposición es una afirmación de la cual podemos decir que es falsa, o bien que es verdadera, pero no ambas cosas.

EJEMPLOS: Son proposiciones a) “Santiago es la capital de Chile”. b) “El perro camina en 2 patas”. c) “4 + 5 = −8”.

Proposiciones

No son proposiciones

¡Buenos días! 30:5 Los meses del año.

Proposiciones

De aquí en adelante, denotaremos a una proposición mediante una letra (como p, q, r, etc.), posiblemente con algún subíndice

Para cada proposición hay dos posibles valores de verdad que le podemos asignar: V (verdadero) ó F (falso) y si tenemos una proposición p a la cual se le ha

asignado el valor de verdad V (o bien, el valor F), diremos también que p es verdadera (o que es falsa).

Ejemplos Indicar cual o cuales de las siguientes

expresiones son proposiciones y determinar su valor verdad.

¿Qué hora es? El árbol pertenece al reino animal El queso es un subproducto de la leche En Chile en invierno la temperatura

ambiente pasa de 35ª Celcius. Voy a salir , regreso mas tarde. Cierra la puerta.

Función Proposicional

Es una proposición en que el sujeto esta dado en forma de símbolo y que puede ser reemplazado por alguno de los elementos de un conjunto fijado con anterioridad

P(x) : x es un número natural, o x IN,

Toda vez que x sea reemplazado, la función proposicional se transforma en función y tiene valor verdad.

P(x): es IN Si x= 2 , es V Si x = 0,5 es F

Función Proposicional

Las funciones proposicionales pueden tener 2 o mas variables

Ej P(x,y): x IN , y Z ^ x >y

Conectivos lógicos y tablas de verdad

Podemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son:

 “y” Λ conjunción “o” V disyunción “si .., entonces” => implicación “si y sólo si” doble

implicación “no” ~ negación

Ejemplos

Determinar cuales de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles son funciones proposicionales.

Los números mayores que 2 son negativos.

El número entero x es mayor que 10 Los múltiplos de 2 son infinitos. Los enteros x e y son factores de 12.

La negación

La negación de una proposición es aquella que modifica la proposición dándole el sentido contrario.

P: 5 es mayor que 2 La negación denotada por ~p ~p: es falso que 5 es mayor que 2 ~p: 5 no es mayor que 2

Axioma de la Negación

p y ~p , tienen valores de verdad contrarios.

En nuestro ejemplo P es V ~p es falso

Proposiciones compuestas Son aquellas que están formadas por

varias proposiciones simples unidas por conectivos

Ejemplo Si a· b= 0 entonces a=0 ó b=0 P: a· b= 0 q: a = 0 r: b= 0 p=>(q V r) es decir (a· b= 0 ) => (a=0 ó b=0)

TABLAS DE VERDAD

Tautología y Contradicción

Se llama tautología a una proposición compuesta cuyo valor verdad es siempre V

Se llama contradicción a una proposición compuesta cuyo valor verdad es siempre F

Ejemplo

Sean p: x· y > 0 , q: x > 0 , r: y> 0 x,y IR , x y ≠ 0 Explicar que significa ~q ,~r, ~p Escribir en símbolos la siguiente

proposición :” el producto de dos números reales es mayor que cero si y solo si ambos son positivos o ambos negativos”

Escribir en palabras ~p↔(~q^ r) V ( q ^ ~r).