logico matematicvo

8/19/2019 Logico Matematicvo

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1 ¿De qué se trata un problema lógico-matemático?

Muchas veces en tu trayecto por la Educación Superior, te encontrarás con problemas de distintanaturaleza y en distintos contextos: profesionales, cotidianos, sociales o científicos. Seuramente,en tus a!os de ense!anza media, te enfrentaste a problemas de naturaleza lóico"matemática #ue,con no poco esfuerzo, perseverancia y práctica loraste resolver.

Ejercitar este tipo de problemas contextualizados, es una forma muy eficaz de repasar contenidos y de estructurar secuencias lóicas y coherentes de traba$o, pero el ran ob$etivo #ue persiue la resolución de problemas es aportar a #ue t%, como estudiante, adquieras la habilidadpara superisar tu pensamiento ! decidir lógicamente qué hacer" cómo ! en qué momento

utilizar tu conocimiento. Esta habilidad, a su vez, te permite cosas como:

• &eflexionar sobre una determinada tarea #ue debes realizar.• 'escubrir por ti mismo me$ores mecanismos para resolver un problema.• &eular y(o replantear la forma en #ue vas a enfrentarte a esa tarea, y buscar nuevos

caminos para realizarla.•

'ecidir #u) herramientas utilizar, #ue teoría aplicar, #u) fórmula, etc.&ealizar operaciones matemáticas, escribir un dictado, e incluso leer un texto, son cosas #ue latecnoloía ya ha lorado hacer a trav)s de los computadores *háblale a tu smartphone y pídele a+oole buscar una calle o llamar a uno de tus contactos, por e$emplo. En cambio, la capacidadde re#lexionar ! regular nuestro propio conocimiento es una #acultad potencial de los seres

humanos$

En este capítulo, te entreamos una uía #ue pretende establecer una estrateia #ue te permitaenfrentar un problema lóico"matemático *incluso aplicable a otro tipo de problemas de formamás efectiva.

Estrategia de resolución de problemas por #asesEl ob$etivo principal de establecer fases *o pasos, es #ue poco a poco vayas ad#uiriendo lahabilidad de autosupervisarte y controlar tu conocimiento *saber #u) hacer con )l, cuándo usarlo,cómo usarlo, etc..

Este m)todo comprende - fases. En los siuientes capítulos de este libro, encontrarás el detalle ye$emplos de cada una de ellas. as - fases son:


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1$1 ¿%ómo resoler un problema de razonamiento lógico

matemático?

/ continuación se desarrollará un e$emplo,donde se muestra el procedimiento de resolución encada fase.

Enunciado del &roblema:'urante el verano, en la cancha de futbolito *lonitud 01 mts. y ancho -2 mts., se realizaránobras de teatro abiertas a la comunidad. as personas #ue #uieran concurrir, deberán ir a buscar su entrada a la municipalidad y tener presente #ue deben estar de pie, si se llena elrecinto. Si para la función de hoy no #uedó ninuna entrada y la cancha estaba llena. 34uálde las siuientes cantidades representa me$or la estimación, del n%mero total de asistentes ala obra, considerando #ue el escenario de la obra ocupa 512 mts6 de la cancha7.

1$' (ase 1) *rientación hacia el problema

Exploración del &roblema)(ase 1+ ,nálisis)

8 Seleccione información *datos relevantes del problema:

" onitud de la 4ancha:01 mt." /ncho de la cancha: -2 mts." 9rea del escenario: 512 mts6.

6'ibu$e un diarama y(o conteste las siuientes preuntas:

a+ ¿ué pide el problema?

Estimar el n%mero total de asistentes en la obra.

b+ .in hacer cálculos complejos" ¿es posible entregar una respuesta aproximada?

;, ya #ue debemos estar en conocimiento, #ue dice la normativa, sobre el espaciore#uerido por persona en recintos de espectáculos.

1.3 Fase 2: Trabajo en el problema.En esta segunda fase, se debe explorar una posible solución al problema.


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Fase 2) Exploración:

-¿Puedes enunciar el problema de otro modo, de qué forma? Escoge un lenguaje y una notación ms adecuada.

En una canc!a de futbolito "longitud #$ mts. y anc!o %& mts.', sereali(arn obras de teatro, donde la gente que asista estar de pie, si sellena la función. ¿)ul es el n*mero que representa total de asistentes ala obra? )onsidera el escenario que ocupa +$& mts de la canc!a?

- ¿)ul es tu plan para resoler el problema?

El plan es el siguiente- Para saber cuntas personas asisten al eento, se debe saber cul es lacapacidad total de la canc!a, para ello se calcular el rea de la misma "/rearectngulo'.- )omo !ay una parte de la canc!a que corresponde al escenario, se debe calcular el espacio que quedar disponible para los asistentes. Para ello se restar el reatotal de la canc!a con el rea del escenario.- 0ebemos saber el n*mero total de asistentes a la obra, por lo que se calcularcunto espacio ocupa cada persona al estar de pie en un espectculo, este dato sebuscar en la 1eb.- )omo debemos saber en cuntas partes se subdiide el sitio donde estarnubicados los asistentes, se diidir el espacio del p*blico con el que ocupa cadapersona.

1.4 Fase 3: Solución del problema.En esta fase, se debe ejecutar una solución posible al problema.

Fase 3) Desarrollo el ejercicio:

- )alcularemos la capacidad total de la canc!a.


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#$ 2 %& 3 #&& mts

4estaremos el rea total de la canc!a con el rea del escenario.

#&& - +$& 3 $& mts- 5uscamos en la 1eb, el espacio ocupa cada persona al estar de pie.

-0iidiremos la superficie que ocupar el p*blico con el que ocupa cada persona.

$& 6 &,$ 3 7&&& personas

1.5 Fase 4: Evaluación de la solución y delcamino empleado.

En esta cuarta fase, se debe comprobar que la solución sea lógica para el contexto del problema. 4)erificación de la

Sol


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El resultado que obtuimos es 7.&&& personas, las que asisten a la obra de teatro. ¿8iene sentido en el contexto del

problema?Verifiquemos.

)on los datos del problema logramos obtener la superficie donde se ubicar elp*blico, por lo que corroboraremos nuestro resultado, multiplicando la cantidad depersonas obtenidas, por la superficie que ocupa cada espectador de pie. 9eamos,

si se cumple esta situación.

9erifiquemos nuestros clculos de la fase +.

-:umando el alor obtenido "$& m', al rea que ocupa el escenario, se deber;aconseguir el espacio total de la canc!a de futbolito.

Todo está correcto

2 Ejemplos. Problemas resuelos medianem!odo de Sc"#n$eld

< continuación te presentamos una serie de problemas en distintos contextos profesionales, cotidianos, sociales, etc.

resueltos por fase, donde se utili(a el método de :c!=nfeld, estos estarn seccionados por contenido.

En los procedimientos encontrars >ins de ideos tutoriales, que te ayudarn a comprender mejor el problema, su

resolución y contenidos asociados.

2.1 Ejemplos %&1.' PorcenajeEnunciado del Problema

En la *ltima edición del a@o &A%, el diario :B C:


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-


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-Iultiplicamos el alor de la iienda del a@o &AA por &,&$A. 0e aqu; obtendremos lo que sube el precio inicial.

AA$ 2 &.&$A 3 $J,K$-Este resultado lo sumaremos con AA$, para obtener el alor de enta final que tendr esa iienda el a@o &A.

AA$ L $J,K$ 3 AA&,K$ BD "Precio de enta delinmobiliario en el a@o &A'

Para eitar n*meros grandes, trabajaremos solo con un decimal, por lo que aproximaremos este alor a la décima,

quedando A&A&,J. :i no recuerdas cómo se aproxima un decimal.

-

precio con respecto al a@o &A.

AA&,J 2 &.&73 A&J,7K− :umaremos este resultado con AA&,J, para obtener el alor de enta final que tendr esa iienda el a@o &A+.


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AA&,J LA&J,7K3A+A7,J BD "Precio de enta del inmobiliarioen el a@o &A+'

-Dinalmente, multiplicamos este precio por &,A$, que es el al(a del a@o &A% y obtenemos lo que sube este precio con

respecto al a@o &A+.

A+A7,J 2&,A$ 3A#%,7K$

-:umamos este resultado con A+A7,J, para obtener el alor de enta final que tendr esa iienda el a@o &A%.

A+A7,J LA#%,7K$ 3A%J%,J BD "Precio de enta del inmobiliarioen el a@o &A%'POR LO TANTO, EL MONTO A CANCELAR POR UNA VIVIENDA, QUE EL AÑO 2011 COSTABA 1.152 UF, LUEGO DE

CUATRO AÑOS SERÁ, 1.484,8 UF.

#E!"$A PRE!"TA:¿Es correcta la afirmación que entrega el diario?

Para contestar esta pregunta el plan es el siguiente

− )ómo en el paso anterior obtendremos el alor final de la iienda en el a@o &A%, compararemos este alor con el

inicial y erificaremos si efectiamente este alor corresponde al +&F de A.A$ BD, para ello se utili(ar una regla de tres

simples,donde el A&&F corresponder a AA$ y la diferencia entre el alor obtenido entre el a@o &A% y AA$ BD, ser la

incógnita.

- 4eali(amos la resta entre el alor de enta del a@o &A% con el alor del a@o &AA.

A%J%,J -AA$ 3++,J- Macemos una regla de tres simples para calcular el porcentaje al quecorresponde el al(a.


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- Iultiplicamos los términos que estn disponibles cru(ados "A&& 2 ++,J' y elresultado lo diidimos por el término que sobra "AA$', operamos

:i aproximamos este alor, para trabajar sólo con un decimal, nos quedar;a que elal(a en cuatro a@os !a sido del J,7F.

POR LO TANTO, EL DIARIO ESTARÍA APROIMANDO EL VALOR PORCENTUAL DE LO QUE PODRÍA SUBIR UNA VIVIENDA EN 4 AÑOS, PERO LA CIFRA EACTA SERÍA 28,!".

El resultado que obtuimos para la pregunta HNA, es A.%J%,J BD, que corresponde al alor que tendr;a una iienda el a@o

&A%,si su precio en el a@o &AA era de A.A$ BD y la cifra exacta que suben las iiendas en % a@os es de J,7F.

¿8iene sentido en el contexto del problema?Verifiquemos.-Obtuimos un alor mayor de BD que la cantidad inicial, lo cual es lógico, porqueen el ejercicio se !abla del aumento de precio que !a tenido las iiendas a lolargo de los a@os.


- Para esto multiplicaremos el porcentaje que aumentó la iienda en % a@os, quenos arrojó en el procedimiento de la segunda pregunta, con el alor inicial de laiienda el a@o &AA, A.A$ BD. >uego sumar este alor al precio inicial de laiienda, para tener el monto final. Este alor tendr;a que ser aproximado al costofinal de la iienda el a@o &A%, que se calculó en el procedimiento de la primerapregunta.


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AA$ 2 &,J7 3 +%+,+

AA$ L+%+,+ 3A%7$,+ BD

Todo está correcto.

2.2 Ejemplo %(2: %)meros y FraccionesEnunciado del Problema

El auto de 4afael tiene un estanque de bencina cuya capacidad total es de %&litros.El estanque ya contiene bencina, pero quiere completar lo que le falta parallenarlo, para esto paga #.$&&.:i el litro de bencina ale #$&, ¿qué parte del estanque estaba conbencina?.Exploración del Problema:

Fase 1) Análisis:A' :eleccione información "datos releantes del problema'

- )apacidad del estanque del auto es de %& lts.

-aga #$&& pesos para completar un estanque lleno de bencina.

- El litro de bencina cuesta #$&.

A' 0ibuje un diagrama y6o conteste las siguientes preguntas

a' ¿Gué pide el problema?

a' :in !acer clculos complejos,¿es posible entregar una respuesta aproximada?


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:i cada litro de bencina cuesta #$&, los %& litros que tiene de capacidad elestanque costar;a #.&&&.


- ¿Puedes enunciar el problema de otro modo, de qué forma? Escoge un lenguaje y una notación ms adecuada?

El auto de 4afael tiene un estanque con capacidad de %& litros. :abe que si leagrega, a lo que ya tiene, cierta cantidad de bencina , lo llenar;a con #$&&. ¿)oncuantos litros lo llenar;a? ¿c*antos litros !ab;an en el estanque antes de llenarlo?

¿ a qué parte de la capacidad total corresponde? " )onsidera el precio de bencina a#$& el litro'.- ¿)ul es tu plan para resoler el problema?

)alcular el total de dinero que se gastar;a en llenar el estanque.Encontrar la diferencia con lo que se pagó para llenar el estanque, y el total delcosto en llenarlo. )on esto buscar una relación para poder resoler el problema.

Fase 3) Desarrollo el ejercicio:

:abemos que el estanque de bencina tiene unacapacidad de %& litros.Q que cada litro cuesta #$&.Es decir, si tuiera que llenar el estanque gastar;a en total #$& R %&Esto da un total de #.&&&.


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8otal 3 #.&&& #.&&& - #.$&& 3A7.$&&El estanque estaba con A7.$&& pesos de bencina.

Entonces al diidir el estanque de %& litros en % partes, nos queda lo siguiente

¿Gué parte del estanque estaba con bencina?

4 + partes de %, es decir S del estanque estaba con bencina.

e la Solución:

El resultado que obtuimos es S del estanque estaba con bencina

¿8iene sentido en el contexto del problema?Verifiquemos

S del estanque L T del estanque 3 %6% del estanque3 A estanqueEs decir cubrimos la capacidad total del estanque.


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Por lo tanto,nuestra respuesta s; est en el contexto del problema.


En %& litrosgasta #.&&& entonces en & litros gasta A+.&&&.En A& litros entonces gastar #.$&&.

Uastó #.$&& pesos en completar de bencina el estanque.

Entonces, antes de completarlo ten;a S de capacidad del estanque.

Todo está correcto.

2.3 Ejemplo %&3 *e+la de res y conversión de,nidades

Enunciado del Problema

0os )iudades estn a una distancia de #& cm en un mapa a escala de A A&.&&&.¿< qué distancia real en ilómetros se encuentran?

Exploración del Problema:

Fase 1) Análisis:

A' :eleccione información "datos releantes del problema'

->as ciudades se encuentran a #& cm seg*n el mapa.

->a escala del mapa es A cm a A&.&&& cm.

4eisa el siguiente lin para er la definición de escala en la 1eb

A'0ibuje un diagrama y6o conteste las siguientes preguntas

a' ¿Gué pide el problema?


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a':in !acer clculos complejos, ¿es posible entregar una respuesta aproximada?

• A cm en el mapa equialen a A&.&&& cm reales,• + cm en el mapa ser;an +&.&&& cm reales,• # cm en el mapa ser;an #&.&&& cm reales,• #& cm en el mapa ser;an #&&.&&& cm reales,• #&&.&&& cm ser;an #.&&& metros reales,• #.&&& metros ser;an # m reales,


-¿Puedes enunciar el problema de otro modo, de qué forma?. Escoge un lenguaje y una notación ms adecuada.

En un mapa a escala de A A&.&&&, dos ciudades estn a #& cm de distancia, ¿acuntos ilómetros reales se encuentran?- ¿)ul es tu plan para resoler el problema?

Ordenar los datos y aplicar regla de tres.>uego cambiar las unidades de medida para completar la respuesta. Fase 3) Desarrollo el ejercicio:

logico matematicvo

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