logika (logic)
DESCRIPTION
LOGIKA (LOGIC). TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS. Analógia Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy intelligenciát igénylő problémát? Melyek a legnehezebb lépések? Mi a tudásreprezentáció? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
LOGIKA (LOGIC)
LOGIKA 2
TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS
Analógia Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy
intelligenciát igénylő problémát? Melyek a legnehezebb lépések?
Mi a tudásreprezentáció? pótlék (inkább következtetünk, mint tevékenykedünk) (erős) szemüveg médium mely
lehetővé teszi a hatékony számítást az emberi kifejezést
(töredékes) elmélet arról, hogy mit nevezünk intelligens gondolkodásnak
LOGIKA 3
TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS
Mit várunk el egy reprezentációs nyelvtől? kifejező, tömör egyértelmű hatékony következtetést enged meg
Felhasználási cél is fontos! (pl. osztás arab/római számmal)
programozási nyelvek, természetes nyelvek, logika
LOGIKA 4
A LOGIKA, MINT REPREZENTÁCIÓS NYELV
LOGIKA ELEMEI szintaxis
nyelv szimbólumai (kifejezések, amelyekkel bánni tudunk) hogyan lehet mondatokat formálni
szemantika a mondatok a világ mely tényeire vonatkoznak a mondatok jelentése
következtetés adott szintaxis és szemantika mellett új mondatok
származtatása (mechanikus eljárások alkalmazásával)
ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ
LOGIKA)
LOGIKA 6
ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS
jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F
szintaxis szabályai atomi formula (atom)
minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula
formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A B), (A B), (A B), (A B)
kifejezések is formulák
a formulaképzés szabálya rekurzív
LOGIKA 7
ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA
állítások:A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy.A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik.A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni.A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon.
A1, A2, A3 állításokból következik-e A4?
atomok (atomi formulák):p: süt a napq: Péter strandra megyr: Péter úsziks: Péter otthon marad
eredeti állítások szerkezetét tükrözi
formulák:
F1: p q
F2: q r
F3: (s r)F4: p s
LOGIKA 8
ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA
logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint)
formula interpretációja minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése
minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése
műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák)
p q p p q p q p q p q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T
LOGIKA 9
IMPLIKÁCIÓ
p q
Ha a-disznók-repülnek akkor 2=1. T
F F
hamis előtagból bármi következik?
Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.”
p q p q
LOGIKA 10
FORMULÁK INTERPRETÁCIÓJA
Formula:
G: (p q) (r s)
Lehetséges interpretációk (összesen 24):
I1: (p, q, r, s) = (T, T, F, F)
I2: (p, q, r, s) = (F, T, T, F)
G formula igazságértéke I1 és I2 interpretációban:
G(I1) = F
G(I2) = T
I2 interpretáció kielégíti G formulát, I2 modellje G-nek
LOGIKA 11
ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK
Igazság Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. Egy formula igazsága függ
a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától)
Érvényes formula (tautológia) A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a
szemantikától. minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T x
Kielégíthetetlen formula Kielégíthetetlen egy formula, ha a világ soha nem olyan, mint
amilyennek leírja. minden interpretációban hamis, nincs modellje x F
LOGIKA 12
ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK
Kielégíthető formula van olyan interpretációja, amelyben igaz az értéke, van modellje
Kapcsolat a 3 formulaosztály között: x érvényes x kielégíthetetlen x érvényes x kielégíthető
Logikai kifejezések modellje (x y) M x M és y M (x y) M x M vagy y M x M x M
LOGIKA 13
FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA
Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük.
Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények:
1. A B = (A B) (B A)
2. A B = A B3. A B = B A kommutatív
A B = B A4. (A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C) asszociatív
5. A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C) disztributív
LOGIKA 14
FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA
Logikai törvények
6. A F = A
A T = A
7. A T = T
A F = F
8. A A = T
A A = F
9. (A) = A kettős tagadás
10. (A B) = A B
(A B) = A B deMorgan
11. A (A B) = A
A (A B) = A abszorpció, elnyelés
A A = A
A A = A idempotencia
LOGIKA 15
LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY
A W
W formula A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz.
MI-ben: A1 , . . . , An W
bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An)
ha W ezek logikai következménye, W is igaz
esetek végignézése nélkül hogy lehet eldönteni??
a (a b) b a b a b a (a b)
T T T T
T F F F
F T T F
F F T F
LOGIKA 16
LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY
Logikai következmény fogalmának értelmezése az érvényesség fogalmával:
A1 , . . . , An W iff (A1 . . . An) W érvényes.
Logikai következmény fogalmának értelmezése a kielégíthetetlenség fogalmával:
A1 , . . . , An W iff A1 . . . An W kielégíthetetlen.
Elnevezések:
(A1 . . . An) W tétel
A1 . . . An tétel axiómái, feltételei
W következmény, konklúzió
LOGIKA 17
TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL
F1: p q
F2: q
F3: p
?: F1 F2 F3
lehetőségek:
a. beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz,
igaz F3 is
b. bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 érvényes
c. beláthatjuk, hogy F1F2F3 kielégíthetetlen
p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3T T T F F F T F
T F F T F F T F
F T T F F T T F
F F T T T T T F
a b c
LOGIKA 18
TÉTELBIZONYÍTÁS QUINE ALGORITMUSSAL
a formula egy változójának interpretálása (T, F) két új formula eljárás folytatása mindaddig, míg a bináris fa levelein csak igazságértékek
találhatók ha minden levél T, érvényes a formula
(((p q) r) (p q)) (p r)
(((p q) r) (p q)) (p r)
((q r) q) r T
r r T
T T
p=T p=F
q=T q=F
r=T r=F
LOGIKA 19
TÉTELBIZONYÍTÁS FORMÁLIS LEVEZETÉSSEL
Formula formális levezetése egy axiómahalmazból axiómahalmaz (egyszerű, érvényes formulák) levezetési (következtetési) szabályok (érvényes formulákból érvényes
formulát hoznak létre) p q
Kleen: A (B A)
(A (B C)) ((A B) (A C))
(A B) ((A B) A)
levezetési szabály: modus ponens
Modus ponens:
A, A B B A B
A
BHa az A és az A→B formula érvényes, akkor a B formula is érvényes.
LOGIKA 20
LEVEZETÉSI SZABÁLYOK
Érvényes kártyák: mássalhangzó magánhangzó és páros szám
Modus ponens:
A B, A B (K, E)
Modus tollens:
A B, B A (7)
mássalhangzó érvényes
magánhangzó páros érvényes
magánhangzó érvényes páros
E K 4 7
LOGIKA 21
a b a, a b b levezetési szabályok?
Helyes következtetés:
Def. Ha p q, akkor p q
az előállított formula logikai következmény legyen
a b b nem helyes (igazságtáblából)
a b a, modus ponens helyes (igazságtáblából)
Teljes következtetés:
Def. Ha p q, akkor p q
mindent előállítson, ami logikailag következik
modus ponensnem teljesa ba s
b s
s ??
LEVEZETÉSI SZABÁLYOKa b a b
T T T
T F F
F T F
F F F
a b a b
T T T
T F T
F T T
F F F
a b a b
T T T
T F F
F T T
F F T
LOGIKA 22
Rezolúció:
a b a bc a c ac b c b
a1 ... am b1 ... bk
c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai
a1 ... ai ... am c1 ... cn b1 ... bk d1 ... dj ... dl
a1 ... am b1 ... bk
c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai
a1 … ai … am c1 ... cn b1... bk d1 ... dj ... dl
LEVEZETÉSI SZABÁLYOK
LOGIKA 23
Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk.
Konjunktív normálforma:
speciális részformulák (klózok) konjunkciója
klóz: literálok diszjunkciója ill. egy literál
literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja
(p q) (q r) (s r) p s
Implikációs normálforma:
speciális részformulák (klózok) konjunkciója
klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója
(p q) (q r) (s r F) (T p) (T s)
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
LOGIKA 24
minden formula átalakítható normálformára
Transzformációs szabályok:
a) A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése)
b) A B = A B ( kiküszöbölése)
c) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)
d) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)
e) A = A ( hatáskörének redukálása)
f) A (B C) = (A B) (A C) (klózok konjunkciójának létrehozása)
(((p q) (q r) (s r)) (p s))
(((p q) (q r) (s r)) (p s)) b.)
((p q) (q r) (s r) (p s)) d.)
(p q) (q r) (s r) (p s) c.) e.)
(p q) (q r) (s r) p s c.) d.) e.)
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
LOGIKA 25
klóz alak, klóz halmaz:
C1: p qC2: q rC3: s r
C4: p
C5: s
Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kielégíthetetlen
indirekt bizonyítás:
tfh létezik modellje (minden klóz igaz)
C4 igaz, ha p = T
C5 igaz, ha s = T
C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből)
C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből)
C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből)
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
ellentmondás!
LOGIKA 26
A bizonyítási eljárás szemléltetése:
C1: p qC2: q rC3: s r
C4: p
C5: s
rezolúciós gráf, cáfolati gráf
új klóz előállítása: rezolúcióval
p q s r q r q
p s r q
q r q NIL
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
q
r qNIL
LOGIKA 27
A1, A2, …, An B ??
A1 A2 … An B kielégíthetetlen
igazolása rezolúciós eljárással
A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, az axiómákhoz való hozzáadása Az A1 A2 … An B formula klóz formára hozása (kiindulási
klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig:
a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
LOGIKA 28
rezolválható klózok: komplemens literálpárt tartalmaznak
komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt
rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek
diszjunkcióval összekapcsolva
üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis
rezolúció tulajdonságai: algoritmusa nemdeterminisztikus
C1: p q p rC2: q r p s
C3: s r s
C4: p NIL
C5: s helyes (logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
PREDIKÁTUMKALKULUS (ELSŐRENDŰ LOGIKA)
LOGIKA 30
PREDIKÁTUMKALKULUS
Alapok: az elsőrendű logika felosztja a világot objektumokra, az objektumok tulajdonságaira, az objektumok közti relációkra.
igaz vagy hamis állítások reprezentálása
a kijelentések egy alaphalmaz elemeire vonatkoznak
konstansok, változók, függvények, predikátumok
minden, létezik
LOGIKA 31
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS
jelkészlet elválasztó jelek: , ( ) logikai műveleti jelek: kvantorok: objektumváltozók, változók: x, y, z, . . . objektumkonstansok, konstansok: a, b, c, . . . függvényszimbólumok: f, g, h, . . . ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F predikátumszimbólumok: P, Q, R, . . .
LOGIKA 32
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS
szintaxis szabályai term
minden objektumkonstans term minden objektumváltozó term ha f n-argumentumú függvényszimbólum és t1, ... ,tn termek,
akkor f(t1, ... ,tn) is term
atomi formula minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula ha P n-argumentumú predikátumszimbólum és t1, ... ,tn termek,
akkor P(t1, ... ,tn) atomi formula
LOGIKA 33
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS
szintaxis szabályai formula (jól formált formula, wff)
minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor a A, (A B), (A B), (A B), (A B)
kifejezések is formulák ha A egy formula és x egy változó, akkor a x A, x A kifejezések is
formulák
wff?
szereti(Kati, kutyája(Kati) macskája(Kati))
szereti(Kati, f drága(f))
szereti(Kati, x)
x szereti(Kati, x)
x szereti(Kati, x)
x [P(x, y) y Q(x, y)]
LOGIKA 34
PREDIKÁTUMKALKULUS - PÉLDA
állítások:A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik.A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg.A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló.
A1 és A2 állításokból következik-e A3?
predikátumok:P(x): x egy páciensD(y): y egy doktorK(z): z egy kuruzslóM(x,y): x megbízik y-ban
formulák:F1: x {P(x) y [D(y) M(x,y)]}F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]}vagyF2: x y {[P(x) K(y)] M(x, y)}F3: x [D(x) K(x)]
LOGIKA 35
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA
interpretáció értelmezés alaphalmazának megválasztása (U ) hozzárendelések:
minden konstans szimbólumnak egy elem megfeleltetése U-ból minden n-argumentumú függvényszimbólumhoz egy Un U
leképezés rendelése minden n-argumentumú predikátumszimbólumnak egy Un {T, F}
leképezés megfeleltetése
Példa: x [P(f(x,x),a) P(x,a)]U: természetes számok
a: 1
f(x,x): x2
P(x,y): x=y
x [(x2=1) (x=1)]
LOGIKA 36
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA
kiértékelés ha A, B formulák igazságértéke ismert, akkor
A, (A B), (A B), (A B), (A B)
formulák igazságértékének meghatározása (igazságtábla) x A igazságértéke T, ha A formula minden xU esetén T,
egyébként F x A igazságértéke T, ha A formula legalább egy xU esetén T,
egyébként F
LOGIKA 37
PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA
Kielégíthető formula: van modellje.x [(x2 = 1) (x = 1)]
U: természetes számok modelljeU: egész számok nem modellje
Érvényes formula (tautológia): minden modellben benne van. x p(x) y p(y)
Kielégíthetetlen formula (ellentmondás): nincs modellje.x p(x) y p(y)
formulák kiértékelése az összes lehetséges interpretációban???
LOGIKA 38
FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA
Logikai törvények:. .12. Qx A(x) B = Qx (A(x) B) Q: vagy
Qx A(x) B = Qx (A(x) B)13. (x A(x)) = x A(x)
(x A(x)) = x A(x)14. x A(x) x B(x) = x (A(x) B(x))
x A(x) x B(x) = x (A(x) B(x))15. Qx A(x) Qx B(x) = Qx Qy (A(x) B(y))
Qx A(x) Qx B(x) = Qx Qy (A(x) B(y))
(14) x A(x) x B(x) x (A(x) B(x)) !!x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x) B(y)) -
(15) x A(x) x B(x) x (A(x) B(x)) !!x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x) B(y)) -
(15)
LOGIKA 39
LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY
F1: x (P(x) Q(x))F2: P(a)F3: Q(a)
F1 és F2 formulákból következik-e F3?
Logikai következmény definíciója alapján: F1 igaz minden x-re, speciálisan a-ra is F2 igaz F3 is igaz (implikáció)
Cáfoló módszer (kielégíthetetlenség): F1 F2 F3 kielégíthetetlen
LOGIKA 40
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
a1 . . . am b1 . . . bk
c1 . . . cn d1 . . . dl ahol dj = ai
a1 . . ai . . am c1 . . cn b1 . . bk d1 . . dj . . dl
Problémák: normálformára hozás kvantorok kezelése egyesítés
LOGIKA 41
NORMÁLFORMÁRA HOZÁS
a) A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése)
A B = A B ( kiküszöbölése)
b) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)
(A B) = A B
A = A
x A(x) = x A(x)
x A(x) = x A(x)
c) változók standardizálása
- változók átnevezése, hogy az egyes kvantorok által lekötött változók különbözzenek (nem csak formulán belül!)
x (P(x) x Q(x))
x (P(x) y Q(y))
LOGIKA 42
NORMÁLFORMÁRA HOZÁS
d) egzisztenciális kvantorok kiküszöbölése
x P(x) h háza(h, János)
P(a) háza(Sk_1, János)
Skolem konstans
x y P(x,y) sz h háza(h, sz)
x P(x, g(x)) sz háza(Sk_2(sz), sz)
x1, . . . ,xn y P(y)
x1, . . . ,xn P(g(x1, . . . ,xn))
Skolem függvény
y x P(x, y) h sz háza(h, sz)
x P(x, b) sz háza(Sk_3, sz)
Skolem konstans
LOGIKA 43
NORMÁLFORMÁRA HOZÁS
e) prenex formára hozás
csak -k maradtak (a változókat standardizáltuk)
kiemelése
x1 . . . xn A(x1, . . . ,xn)
f) univerzális kvantorok elhagyása
g) klózok kialakítása
csak és műveletek
A (B C) = (A B) (A C)
klózok konjunkciójának létrehozása
h) konjunkciók elhagyása (klózhalmaz)
LOGIKA 44
EGYESÍTÉS/UNIFIKÁCIÓ
x szereti(Fifi, x)y szereti(y, alma)szereti(Fifi, alma)
kötési/helyettesítési lista:véges halmaz, amelyben minden vi változó, minden ti term és vi-k
különbözőek = {v1t1, . . . , vntn} = {xalma, yFifi}
kötés/helyettesítés:p p formula helyettesítése -valS(x, g(x, y)){x1, z345} = S(1, g(1, y))
p és q egyesíthető -val:p = q
legáltalánosabb egyesítő: legrövidebb kötési lista, amely egyesít 2 formulát
LOGIKA 45
EGYESÍTÉSI ALGORITMUS
H = { P(x, u, f(g(x))), P(a, y, f(y)) }x, y, u: változók, a: konstans,
f, g: függvény szimbólum, P: predikátum szimbólum
különbségi halmaz: D
1. D = { x, a } = { xa }
H = { P(a, u, f(g(a))), P(a, y, f(y)) }
2. D = { u, y } = { xa, uy }
H = { P(a, y, f(g(a))), P(a, y, f(y)) }
2. D = { g(a), y } = { xa, uy, yg(a) }
H = { P(a, g(a), f(g(a))), P(a, g(a), f(g(a))) }
x = f(x) ???
f(f(f…. OCCUR CHECK – ELŐFORDULÁS-ELLENŐRZÉS
LOGIKA 46
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
a1 ... am b1 ... bk
c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai
[a1 ... ai ... am c1 ... cn b1... bk d1 ... dj ... dl]
bináris rezolúció: a rezolválandó literálnak csak 1-1 előfordulását választjuk ki mindkét szülő klózból
tulajdonságai: helyes nem teljes nemdeterminisztikus
LOGIKA 47
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
K1: P(x) P(a)K2: P(y) P(a)
K1 mindkét és K2 első literáljának egyesítése:H = P(x), P(a), P(y) = xa, yaK3: P(a)
K1 első és K2 mindkét literáljának egyesítése:H = P(x), P(a), P(y) = xa, yaK4: P(a)
K3 és K4 klózok rezolválása: NIL
bináris rezolúcióval:K1 – 1, K2 – 1, x|y K3: P(a) P(a) tautológia (törölhető)K1 – 2, K2 – 1, y|a K4: P(x) P(a)K1 – 2, K2 – 2 K5: P(x) P(y)K1 – 1, K2 – 2, x|a K6: P(a) P(y)…
NIL nem érhető el
LOGIKA 48
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
FAKTORIZÁCIÓ bináris rezolúció teljessé tehető faktorizációval C klóz egy faktora: C|, ( egy legáltalánosabb egyesítő
helyettesítés, amely C két vagy több literálját azonossá teszi)
klóz faktorizációja: klóz összes faktorának előállítása klózhalmaz faktorizációja: klózhalmaz összes klózának
faktorizációja faktorhalmaz: faktorizáció műveletével kibővített
klózhalmaz
LOGIKA 49
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
P(x, a) P(y, z) P(z, x)
klóz összes faktora:P(y, a) P(a, y) (1. és 2. literál egyesítése, = {x|y, z|a})
P(a, a) P(y, a) (1. és 3. literál egyesítése, = {z|x, x|a}))
P(x, a) P(x, x) (2. és 3. literál egyesítése, = {y|z, z|x}))
P(a, a) (1., 2. és 3. literál egyesítése, = {x|y, z|y, y|a}))
K1: P(x) P(a)
K2: P(y) P(a)
K1’: P(a)
K2’: P(a)
LOGIKA 50
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik.
A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg.
A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló.
F1: x {P(x) y [D(y) M(x,y)]}
F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]}
F3: x [D(x) K(x)]
F3 negáltja: x [D(x) K(x)]
klóz forma:
K1: P(a)
K2: D(y) M(a, y)
K3: P(x) K(y) M(x, y)
K4: D(b)
K5: K(b)
F1-ből, a: skolem konstans
F2-ből
F3-ból, b: skolem konstans
LOGIKA 51
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
P(a)
D(y) M(a,y)
P(x) K(y) M(x,y)
D(b)
K(b)
x|a
y|b
y|b
K(y) M(a,y)
M(a,b)
M(a,b)
NIL
LOGIKA 52
VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL
ítéletkalkulus: válaszadással nincs probléma (T, F)
predikátumkalkulus: x W(x) – T, F
x W(x) – T, F x ??
válasz kialakításának automatizálása ??
kérdés-felelet probléma
válasz meghatározása logikai következtetést igényel
LOGIKA 53
VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL
x h(János, x) h(Fifi, x) h(János, x) h(Fifi,x)h(János, park) h(János, park)x h(Fifi, x) h(Fifi, x)
h(Fifi,x) h(János, x)
h(János, x) h(Fifi,x) NIL
h(János, park)cáfolati gráf
h(Fifi,x) h(Fifi,x) h(János, x) h(Fifi,x)
h(János, x) h(Fifi,x) NIL
h(Fifi,park)h(János, park)
bizonyítási gráf
LOGIKA 54
VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL
A VÁLASZADÁSI ELJÁRÁS célállítás negálásából származó klózokat kiegészítjük
tautológiává
(diszjunkcióval saját negáltját hozzáfűzzük – ez a helyettesítésben igen, a rezolválásban nem vesz részt)
cáfolati gráffal azonos szerkezetű bizonyítási gráfot hozunk létre
a bizonyítási gráf gyökérelemében találjuk a választ
LOGIKA 55
REZOLÚCIÓ - PÉLDA
V-t meggyilkoltákgyanúsítottak: X, Y, Z
X: "ártatlan vagyok" ártatlan(X) ártatlan(X)"Y barátja V-nek" ártatlan(X) barát(Y, V) (1)"Z gyűlölte V-t" ártatlan(X) szereti(Z, V) (2)
Y: "nem voltam a városban" ártatlan(Y) városban(Y) (3)"nem ismerem V-t" ártatlan(Y) ismeri(Y, V) (4)
Z: "ártatlan vagyok„ ártatlan(Z) ártatlan(Z)"X és Y V-vel volt" ártatlan(Z) vele(X, V) (5)ártatlan(Z) vele(Y, V) (6)
LOGIKA 56
REZOLÚCIÓ - PÉLDA
"V-t a városban ölték meg" vele(gy, V) városban(gy) (7)"barát ismeri" barát(i, j) ismeri(i, j) (8)"szereti ismeri" szereti(i, j) ismeri(i, j) (9)
mindenki igazat monda gyilkos hazudhat
ártatlan(X) ártatlan(Y) (10)ártatlan(X) ártatlan(Z)(11)ártatlan(Y) ártatlan(Z)(12)
Kérdés: ártatlan(gy)ártatlan(gy) ártatlan(gy) (13)
LOGIKA 57
REZOLÚCIÓ - PÉLDA
á(X) b(Y,V) b(i, j) i(i,j) á(Z) ve(Y,V) ve(gy,V) vá(gy)
á(X) i(Y,V) á(Y) i(Y,V) á(Z) vá(Y) á(Y) vá(Y)
á(X) á(Y) á(X) á(Z) á(Z) á(Y)
á(Y) á(Z)
á(Y) á(gy)á(gy)
NIL á(Y)