Definisi proposisi :

PROPOSISI adalah kalimat deklaratif yang

bernilai benar atau salah, tetapi tidak

dapat sekaligus keduanya.

Kebenaran atau kesalahan dari suatu

kalimat disebut sebagai NILAI KEBENARAN

Contoh :

Sapi adalah hewan mamalia

13 adalah bilangan genap

Ambilkan buku di atas meja itu !

PROPOSISI ATOMIK adalah proposisi yang berisi satu

variabel proposisional atau satu kostanta proposisional

Contoh :

P : Budi mahasiswa berprestasi

PROPOSISI MAJEMUK adalah proposisi yang berisi lebih

dari satu variabel proposisional atau dengan kata lain

proposisi baru yang diperoleh dengan

mengkombinasikan satu atau lebih proposisi.

Contoh :

A B Λ C

Pengkombinasian Proposisi

OPERATOR LOGIKA adalah operator yang digunakan untuk

mengkombinasikan proposisi

Operator Logika Dasar :

Operator Biner yaitu operator yang mengoperasikan dua

buah proposisi

1. Dan ( and )

2. Atau ( or )

Operator Uner yaitu operator yang hanya membutuhkan

satu buah proposisi

Tidak ( not )

Notasi Operator Logika

Operator Logika Notasi

Dan ( and ) Λ

Atau ( or ) V

Tidak ( not ) ~

Jika … maka … ( if … then … )

Jika dan hanya jika ( if and only if )

Contoh :

Diketahui proposisi – proposisi sebagai berikut :

A : Hari ini cuaca cerah

B : Anak – anak bermain di taman

A Λ B : Hari ini cuaca cerah dan anak – anak bermain di

taman

A V B : Hari ini cuaca cerah atau anak – anak bermain di

taman

~ A : Hari ini cuaca tidak cerah

( Tidak benar hari ini cuaca cerah )

A V ~B : Hari ini cuaca cerah atau anak – anak tidak bermain di

taman

~A Λ ~B : Hari ini cuaca tidak cerah dan anak – anak tidak

bermain di taman

~(~A) : Tidak benar hari ini cuaca tidak cerah

Tabel Kebenaran

KONJUNGSI ( Λ ) adalah kata lain dari operator “dan ( and )“

Tabel Kebenaran Konjungsi

A B A Λ B

T T T

T F F

F T F

F F F

TABEL KEBENARAN digunakan untuk menampilkan

hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik

DISJUNGSI ( V ) adalah kata lain dari operator “atau ( or)“.

Ada dua jenis punggunaai operator “atau (or)”, yaitu “inclusive

or” dan “excusive or”

Tabel Kebenaran Disjungsi Inclusive Or

A B A V B

T T T

T F T

F T T

F F F

Disjungsi inclusive or bernilai benar jika salah satu dari

proposisi atomiknya benar atau keduanya benar.

Contoh :

“ Anda dapat memesan bebek goreng atau kakap goreng”

Tabel Kebenaran Disjungsi Exclusive Or ( xor )

A B A B

T T F

T F T

F T T

F F F

Disjungsi exclusive or bernilai benar jika hanya salah satu

dari proposisi atomiknya benar, selain itu salah.

Contoh :

“ Pemenang lomba puisi akan mendapat hadiah berupa

berlibur ke Bali atau uang ”

NEGASI ( ~ ) adalah kata lain dari operator “tidak (not)”

Tabel Kebenaran Negasi

A ~ A

T F

F T

Contoh :

A : Sammy tinggi

Maka

~A : Sammy tidak tinggi

BUKAN

Sammy pendek

IMPLIKASI ( ) adalah kata lain dari operator “jika … maka …

(if … then … )”

Tabel Kebenaran Implikasi

Implikasi ( A B ) bernilai salah hanya jika A

bernilai benar dan B bernilai salah, selain itu

implikasi bernilai benar

A B A B

T T T

T F F

F T T

F F T

EKUIVALENSI ( ) adalah kata lain dari operator “jika dan

hanya jika (if and only if )”

Tabel Kebenaran Ekuivalensi

Ekuivalensi ( A B ) bernilai benar jika

pasangan A dan B keduanya bernilai sama, baik

T maupun F. Jika pasangannya berbeda, maka

nilai ekuivalensi salah

A B A B

T T T

T F F

F T F

F F T

Hierarki Operator Logika

Hierarki ke Operator Logika Notasi

1 Negasi ~

2 Konjungsi Λ

3 Disjungsi V

4 Implikasi

5 Ekuivalensi

Jika terdapat lebih dari satu operator pada hierarki yang sama,

maka dikerjakan mulai dari yang kiri.

Contoh :

A Λ B V C, harus dibaca (( A Λ B ) V C), bukan ( A Λ (B V C ))

A B Λ C, harus dibaca ( A (B Λ C)), bukan (( A B) Λ C)

Contoh :

Jika Mira lulus UAN, orang tuanya akan senang,

dan dia dapat melanjutkan sekolah ke jenjang

kuliah, tetapi jika dia tidak lulus, semua

usahanya akan sia – sia.

A = Mira lulus UAN

B = orang tua Mira senang

C = Mira kuliah

D = usaha Mira sia – sia

( A ( B Λ C )) Λ ((~A) D )

Jika pada tabel kebenaran untuk semua

pasangan nilai variabel – variabel proposisional

bernilai benar atau T, maka disebut valid atau

TAUTOLOGI

Jika pada tabel kebenaran untuk semua

pasangan nilai variabel – variabel proposisional

bernilai salah atau F, maka disebut KONTRADIKSI

Mengubah Pernyataan menjadi Ekspresi Logika

1. Jika Peterpan mengadakan konser, maka penonton akan

hadir jika harga tiket tidak terlalu tinggi

2. Jika Peterpan mengadakan konser, maka harga tiket tidak

terlalu tinggi

Penyelesaian :

Mengubah ke variabel proposisional

P : Peterpan mengadakan konser

Q : Penonton akan hadir

R : Harga tiket terlalu tinggi

Mengubah pernyataan menjadi ekspresi logika :

1. P (~R Q)

2. P ~R

3. Jika Tya pergi, maka Yanto sedih dan Yanto tidak gembira

A : Tya pergi

B : Yanto sedih

C : Yanto gembira

A (B Λ ~C)

4. Jika Roni pergi ke sawah, maka Hesti pergi kuliah. Jika

Amir menjaga rumah, maka Hesti pergi kuliah. Dengan

demikian, jika Roni pergi ke sawah atau Amir menjaga

rumah, maka Hesti pergi kuliah

X : Roni pergi ke sawah

Y : Hesti pergi kuliah

Z : Amir menjaga rumah

((X Y) Λ (Z Y)) ((X V Z) Y)

5. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan

air laut naik

Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik

A : Es mencair di kutub

B : Permukaan air laut naik

A B

6. Jika Budi belajar rajin dan sehat, maka Budi lulus

ujian, atau jika Budi tidak belajar rajin dan tidak sehat,

maka Budi tidak lulus ujian

P : Budi belajar rajin

Q : Budi sehat

R : Budi lulus ujian

((P Λ Q) R) V ((~P Λ ~Q) ~R)

Hukum – Hukum Logika Proposisi

1. Hukum Identitas

a. P V F P

b. P Λ T P

2. Hukum Dominasi

a. P Λ F F

b. P V T T

3. Hukum Negasi

a. P V ~P T

b. P Λ ~P F

4. Hukum Idempoten

a. P V P P

b. P Λ P P

5. Hukum Involusi (Negasi Ganda)

~(~P) P

6. Hukum Penyerapan (Absorpsi)

a. P V (P Λ Q) P

b. P Λ (P V Q) P

7. Hukum Komutatif

a. P V Q Q V P

b. P Λ Q Q Λ P

8. Hukum Asosiatif

a. P V (Q V R) (P V Q) V R

b. P Λ (Q Λ R) (P Λ Q) Λ R

9. Hukum Distributif

a. P V (Q Λ R) (P V Q) Λ (P V R)

b. P Λ (Q V R) (P Λ Q) V (P Λ R)

10. Hukum De Morgan

a. ~(P Λ Q) ~P V ~Q

b. ~(P V Q) ~P Λ ~Q

Varian Proposisi Bersyarat

Terdapat varian bentuk dari implikasi P Q , yaitu :

1. KONVERS : Q P

2. INVERS : ~P ~Q

3. KONTRAPOSISI : ~Q ~P

Contoh :

Jika Heri mempunyai vila, maka dia orang kaya

P : Heri mempunyai villa

Q : Heri orang kaya

1. Konvers : Jika Heri orang kaya, maka dia

mempunyai vila

2. Invers : Jika Heri tidak mempunyai vila, maka dia

bukan orang kaya

3. Kontraposisi : Jika Heri bukan orang kaya, maka

dia tidak mempunyai vila

Jika Tarjo terbukti mencuri, maka dia dikenai sanksi

P : Tarjo terbukti mencuri

Q : Tarjo dikenai sanksi

Konvers : Jika Tarjo dikenai sanksi, maka dia terbukti

mencuri

Invers : Jika Tarjo tidak terbukti mencuri, maka dia

tidak dikenai sanksi

Kontraposisi : Jika Tarjo tidak dikenai sanksi, maka dia

tidak terbukti mencuri

INFERENSI adalah proses penarikan kesimpulan dari

beberapa proposisi.

Kaidah Inferensi :

1. MODUS PONEN

Didasarkan pada validitas (P Λ (P Q)) Q

P dan (P Q) adalah hipotesis, sedangkan Q adalah

kesimpulan.

Kaidah modus ponen dituliskan sebagai berikut :

P Q

P

Q

Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis P dan

implikasi P Q benar, maka kesimpulan Q benar

Contoh :

Misalkan implikasi “Jika Lina makan teratur, maka

lambung Lina sehat” dan hipotesis “Lina makan teratur”

adalah benar. Maka menurut modus ponen,

kesimpulannya sebagai berikut :

Jika Lina makan teratur, maka lambung Lina sehat

Lina makan teratur

Lambung Lina sehat

2. MODUS TOLLEN

Didasarkan pada validitas (~Q Λ (P Q)) ~P

Dituliskan dengan cara :

P Q

~Q

~P

Contoh :

Misalkan implikasi “Jika z bilangan genap, maka

bernilai genap” dan hipotesis “ bernilai tidak

genap” keduanya adalah benar. Menurut modus

tollen kesimpulannya sebagai berikut :

Jika z bilangan genap, maka bernilai genap

Bernilai tidak genap

z bukan bilangan genap

2z2z

2z

2z

3. SILOGISME HIPOTESIS

Didasarkan pada validitas ((P Q) Λ (Q R)) (P R)

Dituliskan dengan cara :

P Q

Q R

P R

Contoh :

Misalkan implikasi “Jika kami saling memahami, maka kami

merasa nyaman” dan implikasi “Jika kami merasa nyaman,

maka kami segera menikah” keduanya adalah benar. Menurut

silogisme hipotesis, kesimpulannya sebagai berikut :

Jika kami saling memahami, maka kami merasa nyaman

Jika kami merasa nyaman, maka kami segera menikah

Jika kami saling memahami, maka kami segera menikah

4. SILOGISME DISJUNGTIF

Didasarkan pada validitas ((P V Q) Λ ~P) Q

Dituliskan dengan cara :

P V Q

~P

Q

Contoh :

Rahmi mendaftar S3 atau Rahmi menikah tahun depan

Rahmi tidak mendaftar S3

Rahmi menikah tahun depan

5. SIMPLIFIKASI

Didasarkan pada validitas (P Λ Q) P

Dituliskan dengan cara :

P Λ Q P Λ Q

atau

P Q

Urutan proposisi di dalam konjungsi P Λ Q tidak

mempunyai pengaruh apa – apa.

Contoh :

Anggoro adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa STT Telkom

Anggoro adalah mahasiswa ITB

Simplifikasi berikut juga benar :

Anggoro adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa STT Telkom

Anggoro adalah mahasiswa STT Telkom