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ECUACIONES CUADRATICAS Y RAICES
DE ECUACIONES CUADRATICAS
PEDRO GODOY G.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0
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Factorización Completación de cuadrados fórmula
Factorización
4- x -3x
04x 03
0)4)(3(
01272
x
xx
xx
9- x -3x
09x 03
0)9)(3(
027122
x
xx
xx
¿Cuándo debo utilizar factorización?
Claramente no es obligatorio, solo que cuando lo usas se te hace más sencilla,Si quieres una pista, intenta factorizar cuando
A = 1 B = 0C = 0
La primera y segunda opción no garantiza que puedes usar la factorización, solo cuando c = 0 siempre se puede factorizar
Si a = 1
5 x 4x
05- x 04
0)5)(4(
02092
x
xx
xx 01792 xx
?
Si b = 0
????0145
????073
0)7)(7(07x
reales losen posible es 09
0)3)(3(09
2
2
2
2
2
x
x
xx
nox
xxx
Si c = 0
0)32(3096
0)85(085
0)3(03
2
2
2
xxxx
xxxx
xxxx
Despeje directo
Solo cuando b = 0
ix
x
x
x
3
9
9
092
2
3
9
9
092
2
x
x
x
x
3
8
3
8
083
2
2
x
x
x
Cuando b = 0 siempre este método es posible.
Completación de cuadrado
3x 5
1-4 x14
14
14
14
1)4(
1615168
)2/8(15)2/8(8
158
0158
2
2
222
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxEl formato siempre es el mismo , lo que cambia es cuando la raíz cuadrada no es exacta o es imaginaria
Además cuando a 1, en ese caso se divide por a.
2
11
2
7
2
11
2
7
4
11
2
7
4
11)
2
7(
4
4915
4
497
)2/7(15)2/7(7
157
0157
2
2
222
2
2
ix
ix
x
x
xx
xx
xx
xx
92
135 4
2
1352
13
2
52
13
2
54
169
2
5
4
169)
2
5(
4
2536
4
255
)2/5(36)2/5(5
365
0365
2
2
222
2
2
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
Fórmula
a
acbbxcbxax
2
40
22
01253 2 xx
a = 3 b = 5 c = -12
La idea ahora es reemplazar en la fórmula anterior, el resultado puede ser racional, irracional o complejo imaginario.
Discriminante
a
acbbxcbxax
2
40
22
Esta cantidad sub-radical se conoce como DISCRIMINANTE
cuadráticaecuación una de raíces o
soluciones de tiposdistintos los depende el
dey ntediscrimina el es 42 acb
acbsi 4 2
Si es un cuadrado perfecto las raíces son racionales
Si no es un cuadrado perfectolas raíces son irracionales
2
262
46
2
32366
0862
x
x
x
xx
2
626
2
246
2
12366
0362
x
x
x
xx
Ambos discriminante son positivos, por lo que sus raíces serán reales y distintas, sin importar si el valor es racional o irracional.
0 si
32
6
2
06
2
36366
0962
x
xx
Cuando el discriminante es cero, la solución es real y única, pero esto ocurre solo cuando la ecuación representa un cuadrado de binomio.
0 Si
2
262
46
2
40366
01062
ix
x
x
xx
Cuando el discriminante esnegativo las raíces son imaginarias y conjugadas
Teorema
a
cxx
a
bxxb
xxxxacbxaxa
entonces
cbx
xSi
2121
212
2
21
y )
))(()
:
0ax cuadraticaecuación
una de raíces lasson y x
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