Tuyên chon cac

Bât Đăng Thưc

hay va kho Tac gia :Trinh Đinh Triên lơp 10A6

THPT Đông Thuy Anh Thai Binh

Bài toán 1:cho các số không âm a,b,c sao cho 2 2 2 4a b c abc

đặt 2 2 2; ;M min a b b c c a

. chưng minh rằng :

2

34

Ma b c

Lời giai:

Trươc hết ta chưng minh 3a b c thật vậy gia sử 3a b c

*Nếu 22 2 2 2 2 22 2ab bc ca a b c a b c a b c thì

2 2 2 94

2a b c :vô lí

*nếu 2 2 22 ab bc ca a b c thì áp dung BĐT schur bậc 3 ta có :

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 ( )[2( ) ] 2( )

49 3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b ca b c abc a b c

..Điêu nay vô lí; vi thế 3a b c

Quay lại bài toán gia sử BĐT đã cho la sai tưc là 2

34

Ma b c bây giờ :

*Trươc hết ta chưng minh 2 2 2

6a b Mb c c a thật vậy không mât tổng quát gia sử

a b c thi 0; 0a b b c va 2 2min ( ) ;( )M a b b c từ đo dễ thây:

2 2 2 2 2

2 2 2  a b b c c a a b b c a b b c tiếp theo

Ta chưng minh 2 2 2( )2 4ab bc ca a b c a b c M thật vậy BĐT tương đương:

22 2 2 4( ) 4( )(3 )

2( )3 3

a b c a b c a b cab bc ca a b c M

:đúng vi

VT2 2 2( ) ( ) ( )

23

a b c b a cM

va 2VP M M M đê chưng minh điêu gia sử là sai ta sẽ cm

BĐT đầu bai đúng thật vật xét cac trường hợp sau:

(+) nếu 2 2 22 ab bc ca a b c dễ thây 2 2 2 2)8 2( )(a b c a b c ngoài ra vì

2 2 2 22( ) ( ) ( )2

2 6 6

a b c a b c a b cM

ta có :

2( ) 412 4( ) 10 4( ) 10 8 2 0

6 3

a b ca b c M a b c

(+) nếu 2(ab+bc+ca)≥a2+b2+c2 áp dung bđt schur bậc 4 ta có 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 ( )[2( ) ]3( ) 3( )

2( )

ab bc ca a b c ab bc ca a b ca b c abc a b c

a b c

2 2 2 2 2 23 ( ) 2  a b c ab bc ca a b c ta chỉ cần co:

2 2 2( )2 4ab bc ca a b c a b c M

nhưng BĐT nay đã được chưng minh ở trên. vậy điêu gia sử là sai tưc la BĐT đã cho đúng

Bài toán 2:cho các số không âm a,b,c sao cho 2 2 2 2 2 2 2 2 23 6a b b c a c a b c

chưng minh rằng :   3a b c

Lời giai:

Gia sử ngược lại   3a b c ta sẽ chưng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 63 a b b c a c a b c thật vậy

đặt q ab bc ca và r abc thi BĐT 2 26 3 6q r r vi 1r nên ta chỉ cần co:

2 3 6q r

*vơi 2 2 81

4 9 3 616

q q r q va ta ngay điêu cần cm

*khi 4 9q ap dung BĐT schur bậc 3 ta co 3 4 9r q nên ta chỉ việc chưng minh:

2 4 9 6 1 3 0q q q q :hiên nhiên đúng vậy điêu gia sử là sai ta phai có 3a b c

Bài toán 3: cho các số dương x,y,z chưng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 26

x yz y xz z xy

y yz z x xz z x xy y

Lời giai:

chúng ta sẽ sử dung bai toan 2 đê chưng minh bai nay nhưng vơi 1 chút ‘cai tiến’ :

đặt 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3..; ..;c

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x yz y xz z xya b

y yz z x xz z x xy y

ta cần chưng minh 3a b c ta ap dung bai 2 vơi 1 số cai tiến ta sẽ chưng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 23a b b c c a a b c 6 thật vậy BĐT nay tương đương vơi (sau khi quy đồng ):

2

, , , ,

22 2 2 2 2 2 2 2)( )6 ( ) 1( 627 ( )

x y z x y z

x yz y zx x xy y x yz y xzx z xy xy y Ta có:

*

2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 5 5

, , , , , , , ,

2 2 2 3 3 3

6 ( )( 6)( ) 6 6 (

6

)

6 6

x y z x y z x y z x y z

x yz y zx x xy y x y x y x y x y z

xyz x y z xy yz zx xyz x y z x y z xyz x y z

* 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

, ,

27( )( )( ) 5 )4 54 27 (x y z

x yz y zx z xy x y z x y xyz x y z và

2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 23 3

, , , ,,, ,z, y

16 ( ) ( ) ) ( ) 116 16 ( 32 486x y z x y zx y xz

xy y x y x y xyz x y z xyz x y zx xy x y y z

Từ cac đăng thưc đã khai triên trên ta quy BĐT lại là

3 3 5 5 2 2 2 2 2 2 2

, , ,

3 3 3

, , ,, , y z

6 ( 24 101 20 ) 237 ) ( ) (( ) 0x y z x y zx y z x

y x y z x y z x y x y xyz x y xyz zxy xx y

2 2 2 3 3 3 3 3 3

, ,

2( 3 3 2) 0 3 3 3x y z

x y x xy y xyz x y z x y xyz xyz x y z xyxy z

3 2 2 2

,

3

,

9 3 0x y z

x x y zy

đúng theo BĐT schur va am-gm.

(*)Như vậy ta đã chưng minh được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 S a b b c a c a b c bây giờ gia sử a+b+c<3.

từ đo đặt .;.ka m kb n và kc p trong đo 3

  1ka b c

lúc này 3m n p

Va 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 m n n p p m m n p a b b c a c a b c ma theo bài 2: khi 3m n p thi

2 2 2 2 2 2 2 2 23   6m n n p p m m n p mâu thuân do đo 3a b c (ĐPCM)

Nhận xét:bai nay minh vô tinh tim được trong 1 cuốn vê BĐT ,cach dung la holder sau đo ap dung p,q,r co

điêu la lời giai đo không đúng bai nay ko phai kho nhât nhưng co thê xem la bai co y tưởng ‘‘đôc’’ nhât

trong ca file nay,nếu như không dung thuật phan chưng kia cac bạn hãy thử chưng minh cach khac xem !!

Bài toán 4:cho các số thực , , [ 1;1]a b c thoa mãn 1 1 1

0a b ca b c

Tìm giá tri lơn nhât và nho nhât của P a b c

Lời giai:

Phân tich:Thực sự khi đưng trươc các bài hình thưc ‘gon nhẹ’ nhưng it ‘khe hở’lúc bắt tay vào làm nhiêu lúc

ta gặp bế tắc va đo la lúc cần nhin no dươi goc đô khac đê tim được ‘khe hở’.

quay lại bài toán không mât tính tổng quát gia sử 0ab

Đặt 1 1 1

;  a x b y và c za b c

thế thì 2 2 20 ; ; 4x y z và x y z hơn nữa x ,y,z theo thư tự cùng

dâu vơi a,b,c ngoài ra giai cac phương trinh bậc 2 qua phép đặt trên ta có

2 22 24 44 4.;b ..;c

2 2 2

( )

2

yy x yx x za

x yz

từ đo:

(*)Nếu 1 , 0a b thi 2 2 22 2( ) 4 4 ( ) 4 0P a b c x y x y

(*)Nếu 0 , 1a b thi 2 2 22 2( ) ( ) 4 4) 4 0P a b c x y x y

từ đo ta chỉ cần tìm min trong TH1 và max trong TH2 dễ thây min va max đối nhau ngoài ra ở TH2 dàng

chưng minh vơi , 2x y thì 2 2 2( ) 4 4 4 2 3x y x y thật vậy

gia sử x y ta co 2 2 2( ) 4 4 4x y x x y thật vậy binh phương 2 vế :

BĐT 2 2( 2) ( 4 )(y 4) 0x y x x :đúng

Ma 2

2 2 24 4 2 3 4( 2) 4 3( 4) 0x x x x x

Vậy min 3;max 3P P dâu ‘‘=’’ cac bạn tự giai nha

Nhận xét:khi biết dâu bằng ta co 1 lời giai khac kha ngắn gon co điêu minh đnag lam cach tự nhiên nhât co

thê nên xin không trinh bay thêm

Bai 5:cho cac số thực dương a,b,c chưng minh rằng :

3 7( )(b c)(c a)(a b c)

724

abc a ba b c ab bc ca abc

Lời giai:

Vơi moi a,b dương thi 4

8 ( )ab a b a b lam tương tự rồi nhân lại ta có

3 4

, ,

8 ( )( )( ) ( )a b c

abc a b b c c a a b từ đây lưu y la

14 7

3 6 3( )( )( ) ( ) ( )( )( )

7 . . .8 3 8

abc a b b c c a a b c a b b c c aVP abc

2 2 2

33 3( )( )( )

464 3 8

a b b c c a a b c a b b c c aabc

3 3

, ,

2( )

3 3a b c

a b b c a b cabc a b c ab bc ca abc

.BĐT được chưng minh dâu= xẩy ra Khi và chỉ khi a=b=c

Bai 6: cho cac số thực 1 2 2002; ;...; xx x va 1 2 2000; ;...;y y y thoa mãn điêu kiện:

1 2 2002 1 2 2000

1 2 2002 1 2 2000

... x ...

... x ...

e x x y y y

x x y y y

Chưng minh rằng : 1 2 2002 1 2 2000...x ...x x y y y

Lời giai:

Đặt 1,2002ii

xa i

e va 1,2000

j

j

xb j

e bai toan trở thanh

Cho : 1 2 2002 1 2 20001 ...a a a b b b va 1 2 2002 1 2 2000... ...a a a b b b ta cần co:

2

1 2 2002 1 2 2000... ...e a a a b b b hay 2 1 2 2000

1 2 3 4 2002

...1 1. .

...

b b be

a a a a a ap dung BĐT am-gm ta co:

20022002 20001 2 2000

11 2 3 4 2002 1 2 2

...1 1 1 1 1. . .

... 2002

i

i i

b b b b

a a a a a a a a

bây giờ chú y

2000 2000 2000 2000

2 2

1 1 1 11 2 1 2

1 2 1 2 2 2 2

21 1 21 1

2 2 2 4i i i i

i i i i

b a b aa a a a

a a a a a a a

Mặt khac

2000 2000

2 2000 20001 1 2

1 12 2 2

2000i i

i i i i i

i ii i

b ab a b

a a a

nên

2000

11 2 2

1 12004i

i i

b

a a a

Từ đo

2002 4004

21 2 2000

1 2 3 4 2002

...1 1 2 1. . 1 1

... 2002 2002

bb be

a a a a a

BĐT được chưng minh

Bai toan 7: cho cac số thực , , 1;1x y z va 0x y z tim gia tri nho nhât của

2 2 21 1 1P x y y z z x

Lời giai:

Ta chưng minh 3P thật vậy binh phương 2 vế 2 2 2

, , , ,

2 (1 )(1 ) 6x y z x y z

BĐT x x y y z

(-)Ap dung bđt Cauchy_schwart ta co:

2 2

, , , , , ,

2 (1 ).(1 ) 2 (1 )(1 ) 2 | |x y z x y z x y z

x y y z x y yz ta quy vê chưng minh

2

, , , , , ,

2 (1 )(1 ) 2 | | 6x y z x y z x y z

x x y yz giờ BĐT đối xưng cho x,y,z nên không mât tổng quat

gia sử :  x y z ta co 1 1

2 2 2 2 2 2

x y y z z xy y y

xét

((2 )

(1 )(1 ) (1 ) 1 1 12 4

x x xx y x

đanh gia:

2 2

2

( ) ( )2 (1 )(1 ) 2 2

41 1

x y x yx y z z

x y

va

2 2

2

( ) ( )2 (1 )(1 ) 2 2

31 1

x z x zx z y y

x z

22

2

(y )2 (1 )(1 ) 2 2 ( )

1 1

zy z x x y z

x z

công tương ưng vế vế 3 BĐT trên rồi thay lại

vao bđt cần cm ta quy vê chưng minh

2 22

, ,

3( ) 2( )(| | | |)

4 30

x y z

x y x zx y

thay z x y va lưu y (|𝑥| − |𝑧|)2 + (|𝑧| − |𝑦|)2 ≤x2+y2

BĐT cuối ta chỉ cần cm 2 2( ) 7

2 | | 012 12

x xy yxy

nhưng BĐT nay hiên nhiên đúng .

Min P=3 khi x=y=z=0

Nhận xét :ở đây bươc quy vê 2 2

2

, ,

3( ) 2( )(| | | |)

4 30

x y z

x y x zx y

ta cần chú y đăng thưc:

2 2 2 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,

2 | | 3 (| x | | y |) 3 ( ) (| x | | y |)x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x xy x x x y z

2 2

, , , ,

( ) (| x | | y |)x y z x y z

x y từ đo kết hợp đanh gia đã co ma ta quy được vê BĐT trên

Bai 8: cho cac số thực không âm , ,a b c chưng minh rằng:

22 2 2 2 2 2 2 24( ) 5( )a bc b b ca c c ab a a b c ab bc ca

Lời giai:

Không mât tinh tổng quat gia sử min(a,b,c)a suy ra ( )( ) 0a b a c ta chưng minh:

2 2 2 2 2 2 2 2a bc b b ca c a ca b b bc c thật vậy binh phương 2 vế ta co:

2 2 2 2 2 2 2 22 ( )( ) 2 ( )( )BĐT a bc b b ca c a ca b b bc c

2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( ) c(c a)(b a)(c a) 0a bc b b ca c a ca b b bc c :đúng

ta cần chưng minh:22 2 2 2 2 2 2 24( ) 5( )b bc c b a ca c ab a a b c ab bc ca

sử dung đăng thưc 2 2 2 2( ) 2( ) ( )x y x y x y ta co :

2 222 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

( ) ( )2(2 )

b c b c ab a ca c ab a a ab ca b c

b a ca c ab a

2 2 2 2 2 22(2 ) ( ) 4 2 ( ) ( )a ab ca b c b c a a b c b c ta con phai chưng minh:

2 2 2 2 2 2 24 2 ( ) ( ) 4( ) 5( )b bc c a a b c b c a b c ab bc ca

2 2 2 2 2 22 [4 2 ( ) ( ) ]( ) 2( ) 3 ( )a a b c b c b bc c b bc c a b c

2 2 2 2 2 2 2 2 216 ( ) 4 ( ) 4a(b c)( ) 9a ( )a b bc c bc b bc c b bc c b c

2 2 2 24( )( )( ) 3a ( ) 0a b a c b bc c b c :đúng ta co ĐPCM

Đăng thưc xẩy ra khi va chỉ khi a b c

Bai toan 9:Cho cac số thực dương a,b,c chưng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 )15(2 3( )

a b c a b ca b c

b c a a b c

Lời giai:

BĐT 2 2 2

3 3 3 15(2( ) 3( )

)a b ca c c b b a abc a b c

a b c

bây giờ chuẩn hoa 3a b c (*)

nếu 1ab bc ca hay ab bc ca ≤2( )

9

a b c .gia sử b nằm giữa a va c hay ( )( ) 0b a b c

xét BĐT đê bai : trừ hai vế đi 5(a+b+c) rồi biến đổi ta co

BĐT

2 2 22 2 2 5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

a b b c c aa b b c c a

b c a a b c

theo BĐT C-S:

VT2 2 2( ) ( ) 2( ) ( )

2( )

a c c a a c a b c

b c a a b c

218( )a c

a b c

VP va BĐT hiên nhiên đúng

(*)khi 1ab bc ca quay lại BĐT ban đầu đặt ;q ab bc ca r abc ta co

2 2 215( )3( )

a b cabc a b c

a b c

= [6 10(3 )]r q va:

3 3 3 2 2 22( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )a c c b b a ab bc ca a b c abc a b c a b c a b b c c a

(9 2 ) 3 3( )( )( )q q r a b b c c a suy ra ta chỉ cần chưng minh bai toan khi a b c lưu y la

2 2 2( ) ( ) ( )a b b c c a 3 24(3 ) 27( 2 )q q r viết lại BĐT đã cho la:

3 2(9 2 ) 3 [6 10(3 )] 3 4(3 ) 27( 2 )q q r r q q q r tiếp theo đặt:

3 0; 2 1t q s q r r s t thay vao bđt đã cho va thu gon ta cần chưng minh:

2 3 28 2 (9 10 ) 3 4 27t t s t t s (*) khi 3

2 4

27

ts ta co

32 28 2 (9 10 ) 8 2 2 (9 10 )

27

tt t s t t t t

102 1 2 1 0

3 3 3

t t tt

do đo

(*)2 2 2 2 2 3( ) [(9 10 ) 243] 2 (8 2 )(9 10 ) (8 2 ) 36G s s t s t t t t t t 0

Ta co 2 2 2 2 2 3 2(8 2 ) (9 10 ) [(8 2 ) 36 ][243 (9 10 ) ]s t t t t t t t

2 2 3 20 243(8 2 ) 36 [(9 10 ) 243]s t t t t 2 210(4 1) [9 3(1 ) ]

9

tt t

3 2100 28

4 127 3

t tt

0

2100 1 (27 2 )(2 ) 2 0

27 2 54

t t tt t

.

Bai toan 10:cho cac số thực dương a,b,c sao cho ( 1)( 1)( 1) 1 4a b c abc

chưng minh rằng: 1 abc a b c

Lời giai:

Đặt 1 1 1

; ;a b cx y z

bai toan trở thanh: cho cac số thực dương x,y,z sao cho:

3x y z xy yz zx chưng minh 1xyz xy yz zx . Không mât tổng quat gia sử z x y thế thi

, 1x y ta co 1 (1 )(1 ) 1xyz xy yz zx z x y z xy

Khi 1z xy thi BĐT hiên nhiên trai lại kết hợp gia thiết : ( 1)( ) 2z x y 2

1x y

z

(+)Nếu 𝑧 ≥ 1 ta co 1 ( 1) 1 ( )xyz xy yz zx xy z z x y dễ thây nếu ( ) 1z x y thi BĐT đúng trai

lại từ gia thiết ta co: 2 1 1 (1 ) (1 )(1 )x y z xy z yz x y z x y xy z x y

(+) khi 1z ta co ( 1) 2 13

x y z xy yz zxxy z xy

va :

21 ( ) 1 (1 ) 0

1

zxyz z x y xy xy z

z

. BĐT Được chưng minh

Bai 11:cho cac số thực dương a,b,c thoa mãn ( 1)( 1)( 1) 1 4a b c abc

chưng minh rằng: 5 1

2abc a b c

Lời giai:

Đặt như bai trên bai toan trở thanh: cho x,y,z dương va 3x y z xy yz zx

Chưng minh:5 1

12

xyz xy yz zx

. Nếu 1xy yz zx BĐT hiên nhiên Khi 1xy yz zx suy ra

2x y z .đặt ; ;p x y z q xy yz zx va r xyz ta co p+q=3 va cần cưng minh :5 1

12

r q

ta

co 2 5 1

3 3 3 9 32

p p q p p

ap dung BĐT shur bậc 4:

2 2 2(4 )( ) (2 )(6 )( 3)

6 6

q p p q p p p pr

p p

ap dung ta chỉ việc chưng minh:

2(2 )(6 )( 3)( 5 1) 1 2

12

p p p pq p

p

hay 2( ) ( 5 1)(6 )( 3) 12 0F p p p p p ta co

2 27( ) ( 5 1)(3 14 3) 12 21 3 12 0

4F p p p suy ra

3( 5 1)( ) 0

2F p F

BĐT được chưng minh dâu= xẩy ra khi a b c

Bai 12: cho cac số dương a,b,c chưng minh rằng:

392 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

ab bc ca a b c abc

c a b c c a a b b c a b b c c a a b a b c

Lời giai:

;a b

x yb c a c

va c

za b

lưu y rằng: 2 2 2

( )( )( )

abcx y z

a b b c c a

va

3( )2

( )( )( ) ( )( )( )

a b c a b c abc

a b b c c a b c a c a b a b b c c a

2 2 2 2 2 22x y z x y z nên:

2 2 2

333 2 2 2 2 2 2

. .

( ) 2 . .

abc x y z

a b c x y z x y z

từ đây viết lại BĐT cần chưng minh la:

2 2 22 2 2

32 2 2 2 2 2

. .4( ) 2( ) 9

2 . .

x y zxy yz zx x y z

x y z x y z

ta co đanh gia:

(*)3

2 3( )( ) 2

ab a b a cxy yz zx

c a c b c a b c c a c a

(*) 2( )( )

a ab

b c c a c b

3 3 3 23 ( )a b c abc a b c :đúng theo BĐT schur bậc 3

Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 22( )x y z x y y z z x mặt khac ap dung BĐT schur bậc 4 ta co:

2 2 2

2 2 2

6 ( )2( )

xyz x y zxy yz zx x y z

x y z xy yz zx

từ đo ta chỉ việc chưng minh:

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

27 ( )

64( 2 ) ( )

xyz x y z

x y z x y z x y z xy yz zx

dễ thây

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 1

2 2 2 4

x y y z z x x y zx y z

nên

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 5( ) 3 9( )

24 2 4

x y z x y zx y z x y z

ta con phai chưng minh:

3

2 2 2 2 2 2 3

3 ( )

16( ) ( )

xyz x y z

x y z x y z xy yz zx

ap dung BĐT am_gm ta co:

2 2 2 2 2 2 2( ) 4( )( )x y z xy yz zx xy yz zx x y z va 23 ( ) ( )xyz x y z xy yz zx

suy ra VT2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

12( )( ) 4( )[2( ) 3]

x y z xy yz zx x y z

x y z x y z xy yz zx x y z x y z

ta chỉ cần

chưng minh :2 2 2 26( ) 9 4( )x y z x y z :đúng vi 3xy yz zx

Bai 13:cho cac số thực không âm a,b,c chưng minh:

2 2 2

3 3 32 2 2 2 2 2 3

12

2

a bc b ca c ab

b c a c a b

Lời giai:

Không mât tinh tổng quat gia sử a b c ta co: 2 2 2 2 2 2

3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2

a bc b ca a c b c

b c a c b c a c

xét:

(*)Nếu: 2 2 23 2a b c ta chưng minh 2 2 2

4 2 3 2 3

2 2 2 2( ) ( )

c ab b cc c b a b b a a b b

a b a c

0 :đúng vi

3 2 3 3 33 3 4 0a a b b b b ta được VT2 2 2 2

3 32 2 2 2

2a c b c

b c a c

. Đặt

2 2

332 2

3a c

tb c

xét:

2( )F t t

t co

2

2

2( ) 0

tF t

t

=> 3 3

33

2 1( ) ( 3) 3 2

3 2F t f

(*)Nếu: 2 2 23 2a b c ta chưng minh 2 2 2 22

2 2 2 2 2

( )( )

2

a c b cc ab

a b a b c

2 2 2 22

2 2 2 2 2

( )( )

2

a c b cc ab

a b a b c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( ) ( ( ) . )c ab a b c a b c c a b a b

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ( ) 4 ( )( ) ( ) ( ) 0c c ab c a b c ab c a b a b :đúng vi

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )( ) 4 ( )( ) 4 ( )( )c a b a b c a b a b c a b b c c a b c ab ta được

VT2 2 2 2

3 32 2 2 2 2 2 2 2

3

2 2 2 2

1a c b c

b c a c a c b c

b c c a

đặt2 2

6

2 21

a ct

b c

thế thi

VT2

2 3 3

3

1 1( )

1f t t

tt

t

ta co:

4 6 4 6 2 6 4 2

43 3 7 7

34 3

3

2( 1) 1 2( 1) 1 ( 1)(2 1)( ) 0

1.

t t t t t t t tf t

t t t tt t

t

nên 3

1( ) (1) 2

2f t f (ĐPCM)

Bai 14:cho cac số thực không âm a,b,c chưng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2( ) 1

2

a bc b ca c ab a b c

b c a c b a ab bc ca

Lời giai:

Không mât tinh tổng quat gia sử: a b c dễ thây:2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a bc b ac a c b c

b c a c b c a c

Mặt khac:2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2( ) 2( 2 )

( )( )

a b c a b c

ab b ca a c b c

(vi hiên nhiên 2 2 2 2( )( )ab bc ca a c b c )

(*)TH1:nếu 2 2 23 2a b c tương tự bai 13 ta co 2 2 2

2 2 2 2

c ab b c

a b a c

từ cac đanh gia ta quy bđt vê chưng minh

2 1 1( ) 2 0

2f t t t

t t

trong đo

2 2

2 23

a ct

b c

dễ co f(t) đồng biến ngoai ra :

5 8 1( 3)

3 3 2f >0 ta co Đpcm

(*)nếu 2 2 23 2a b c thi 2 2 2 22

2 2 2 2 2

( )( )

2

a c b cc ab

a b a b c

(theo bai 13) do đo ta chỉ việc chưng minh:

2 2 2 2

2 2 2 2

a c b c

b c a c

2 2 2 2

2 2 2

( )( )

2

a c b c

a b c

2 2 2 2

2 2 2 2

12 0

2

a c b c

b c a c

Công việc đơn gian rồi.

Bai 15:Cho cac số thực dương a,b,c chưng minh rằng :

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 28 8 8

a b c a b c

b c c a a a a b c

Lời giai:

Ap dung BĐT holder ta co 2 32 3 2 2. (2 ) ( 8 ) (2 )VT a b b c a ab vậy ta cần phai chưng minh:

2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2(2 ) ( ) ( ) (2 ) ( 8 )a ab a b c a b c a b b c đây la bđt rât kho minh đã cố gắng

nhưng cach chưng minh không được tốt cac bạn thông cam:

Ta co D= 3 2 2(2 ) ( 8 )a b b c 3 2 2 3 2 2(8 12 6 )( 8 )a a b b a b b c

= 5 4 3 2 3 26 16 76 . 144 ( )a a c a b a c abc a b c =

5 3 3 3 2 2 23 ( ) 45 ( ) 144 ( ) 3( 11 )( )( )( )a ab a b a b c abc a b c a ab a b b c c a

Do đo ta chỉ cần chưng minh bai toan khi a b c chuẩn hoa 3a b c đặt

3; ;p a b c q ab bc ca r abc lưu y 2 3 3 2

2 2 2 4( 3 ) (2 9 27)( ) ( ) ( )

27

p q p pqa b b c c a

=

3 24(3 ) 27( 2 )q q r từ đo không mây kho khăn ta biêu diễn được theo p,q,r thi

D= 2 3 2135 (810 108 ) 9(9 )(3 ) 27( 1) 4(3 ) 27( 2 )q r q q q q q q r BĐt trở thanh

3 2 3 227(6 ) (9 2 ) (27 9 3 )[135 (810 108 ) 9(9 )(3 ) 27( 1) 4(3 ) 27( 2 ) ]q q q r q r q q q q q q r

(**)nếu 2q thi 3 2 2 3 2 2 34(3 ) 27( 2 ) 9 4 54( 2) 27 9 4q q r q q q r r q q ta chỉ cần chưng minh

: 3 227(6 ) (9 2 ) (27 9 3 )[135 9(9 )(3 ) (810 108 ) 27 ( 1) 9 4 ]q q q r q q q r q q q q lưu y vơi

𝑞 ≤ 2 thi F(r)= 2(27 9 3 )[135 9(9 )(3 ) (810 108 ) 27 ( 1) 9 4 ]q r q q q r q q q q la ham nghich biến

theo r nên F(r)≤ 𝐹(0)= 29(3 )[135 9(9 )(3 ) 27 ( 1) 9 4 ]q q q q q q q Mặt khac 3 3

9 4 32

q q

ta chỉ việc chưng minh:

3 2(6 ) (9 2 ) (3 )[45 3(9 )(3 ) 27( 1)]q q q q q q q

2(3 )[42 9 108]q q q

Đặt u=2 − 𝑞 ≥ 0 BĐt trở thanh 3 2( 4) (5 2 ) ( 1))(42 177 294)u u u u u chưng minh không kho xin

danh bạn đoc

( **)khi 2q viết lại BĐT cần chưng minh:

3 2 3 227(6 ) (9 2 ) (27 9 3 )[135 (810 108 ) 9(9 )(3 ) 27( 1) 4(3 ) 27( 2 ) ]q q q r q r q q q q q q r

Đặt 3 1; 2t q s q r 3q t va r=1-s-t ta co :

Vế Phai=327( 3) (3 2 )t t va Vế TRai=3(1 2 ).s t K trong đo :

K= 2 3 2135(3 ) (1 )(486 108 ) 9 (12 ) 24(4 ) 4 27t s t t t t t t s

= 2 3 2234 324 729 27(4 ) 4 27t t t t s từ đo ta cần chưng minh

3 2 3 2(3 ) (3 2 ) [26 36 81 3(4 ) 4 27 (12 54)](1 2 )t t t t t t s s t s t hay

2 2 4 3 2 3 2( ) (54 12 ) (156 2 27) 2 31 127 9 3(4 )(1 2 ) 4 27 0G s s t s t t t t t t t s t t s dễ thây

G(s) 2 4 3 2 3 2(156 2 27) 2 31 127 9 3(4 )(1 2 ) 4 27s t t t t t t t s t t s

(*)nếu 0s ta cần co:

2

2 2 3 2 2 4 3 298(98 9 ) 72 (4 ) (1 2 ) 3 8 (4 28 33 56 16)

3t t t t t t t t t t t

(1)

Dễ thây bđt đúng vi t≤1 ngoai ra lưu y 2 2 2243(4 ) (1 2 ) |1562 27 2 |t t t (2) va hơn nữa

2 2 3 2( ) (156 27 2 ) 98 9 3(4 )(1 2 ) 4 27G s s t t t t t t t s ≥0

2 2 2 2 2 2 2 2( ) (156 27 2 ) 243 (4 ) (1 2 ) 2(98 9 )(156 27 2 )q s s t t s t t t t t t 2 2 2 2(98 9 ) 36(4 ) (1 2 ) 0t t t t theo đanh gia (1) va (2) ta co:

2 22 2 2 2 2 (98 9 )

( ) 2 (156 27 2 ) 2 (98 9 )(156 27 2 ) 02

t tq s s t t s t t t t

(*)nếu 0s ta xét:

1

5t thi

2(156 27 2 ) 0s t t mặt khac 3 2 33(4 )(1 2 ) 4 27 3(4 )(1 3 ) 4t s t t s t t t

Va theo( 1) 2 2 3 2 2 2 2(98 9 ) 72 (4 ) (1 2 ) 36(4 ) (1 3 )t t t t t t t (3) suy ra bđt đúng

Nếu 1

5t ta chưng minh được

2 2 3 2 2(98 9 ) 72 (4 ) (1 3 )t t t t t ta chỉ cần chưng minh:

2 2 3 298 9 (156 27 2 ) 3(4 )(1 3 ) 4 27t t s t t t t t s sử dung (3) va lam tương tự như trên ta dễ dang co

ĐPCM. Bây giờ xin bổ sung thiếu sot ta cần phai chưng minh 2 298 9 (156 27 2 ) 0t t s t t nhưng Khi

32 4

27

ts việc chưng minh

2 22 4 (156 27 2 )

(98 9)27

t t tt

vơi 1t la dễ dang

Bai toan 16:Cho 3n số thực : 1 2 ... nx x x sao cho:

1 2 ... 0nx x x

2 2 2

1 2 ... ( 1)nx x x n n tim min của 1 2P x x ( trich VN TST -2011) (p/s:bai nay con hoi max nhưng

max tim đơn gian xin danh bạn đoc ,chúng ta quan tâm đến min hơn)

Lời giai

(*)Vơi n=3, nếu: 3 1x thi 1 2 1x x xét vơi 31 0x :

Từ: 2

1 3 2 3 1 2 3( )( ) 0 2 2x x x x x x x suy ra :

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 26 2( ) 2 2( ) 4 1x x x x x x x x x x x

Mặt khac cho 1 2 3( ; ; ) (2; 1; 1)x x x thi P=1 vậy khi n=3 min P=1

(*) vơi 4n gia sử 1 2 1 2... 0 ...k k k nx x x x x x trong đo 1 1k n ta lại xét:

(+)vơi 3k thi : 2 2 2 2 2

1 2 1( 1) ... ...k k nn n x x x x x 2 2 2 2

1 2 1 2... ( ... )k k k nx x x x x x

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3... ( ... ) ( 2) ( ( 2) )k kx x x x x x x x k x x x k x

2 2 2

1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 32( . ) ( ) (2 5) ( ) ( 1)( 2)x x x x x x x k x x x k k x

2 2

1 2 1 2

2 5 ( 1)( 2) ( 1)( ) 2 ( )

2 4 4

k k k n nx x x x

suy ra 1 2 2x x

(+) vơi k=2: 2 2 2 2 2

1 2 1 2 3 4( 1) ... ( ) ( ... )n nn n x x x x x x x x = 2

1 22( )x x

Suy ra 1 2

( 1)6 2

2

n nx x

(+)vơi k=1 nếu 5n thi n(n-1) 2 2 2

1 2 3 4 1( ... ) 2nx x x x x x suy ra 1

( 1)

2

n nx

>3

Ma 2 3 11 2

... ( 2) 92

1 1 4

nx x x n xP x x

n n

.xét Khi n=4. Gia sử 1 2 3 43 3x x x x

nhưng 2 2 2 2

2 3 4 112 3x x x x :mâu thuân (dễ dang co) Do đo 1 3x ta co:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 2 1 1 212 ( ) 2 . ( ) 2 2 ( )x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 26( )x x

hay 1 2 2x x .ma 1 2 1... 1; 1n nx x x x n thi P=2.vậy khi 4n thi min P=2

Bai toan 17:Cho cac số thực dương , , , , ,a b c x y z va số nguyên dương K 1 chưng minh rằng:

a,2 2 2x y z

ab bc ac a b cx y y z x z

b, 11 12 2 2k k k

kk kx y z

a b b c c a a b cx y y z z x

Lời giai:

a, VP-VT=

2 2

2 22

4 2

x z x za b c b c

x y z x x y z x y xb c

x y z x

2ybc

y z

2 2

2( )( )

y x y xy yb c bc bc bc

x y z x y z x y z x y z

từ đo đê chưng minh VT-VP 0 ta chỉ cần

co 2

2 0 2 ( ) ( )( ) ( )( ) 0( )( )

xy yx y z x y x z x y z x

x y z x y z

tuy no không đúng

nhưng bằng cach tương tự trên ta lại quy được BĐT vê chưng minh :

( )( ) 0x y y z va ( )( ) 0z x y z nhưng:

2 2 2( )( ).( )( ).( )( ) ( ) ( ) ( ) 0z x y z x y y z x y z x x y y z z x

suy ra it nhât 1 trong 3 BĐT trên la đúng. Ta co ĐPCM

b, vơi k=1 đã chưng minh ở trên, xét vơi 2k ap dung BĐT am-gm ta co

12

2 2 2( 1) ( 2) k

kx x x

k a ab ab k a bx y x y x y

(1)

12

2 2 2( 1) ( 2) k

ky y

k b bc bc k b cy z y z y z

(2)

12

2 2 2( 1) ( 2) k

kz z z

k c ca ca k c az x z x z x

(3)

Công vế vế (1),(2),(3) kết hợp 2 2 2x y z

ab bc ac a b cx y y z x z

(câu a) ta co ĐPCM

Bai toan 18:Cho cac số thực không âm a,b,c sao cho 1ab bc ca chưng minh rằng:

1 1 1 12

2a b b c c a

Lời giai:

Không mât tinh tổng quat gia sử a b c xét cac trường hợp:

(*)TH1: 1a lúc nay ta sẽ chưng minh 2 BĐT sau từ đo suy ra kết qua bai toan:

(+)1 1 1 5

2a b b c c a

thật vậy : BĐT

2, , , ,

1 1 25( ) 2

( ) (a b)(a c) 4a b c a b c

ab bc caa b

Lưu y: 2, ,

1 4( ) 4 4

(a b)(a c) ( )( )(c a)a b c

abcab bc ca

a b b c

mặt khac:

2 2

2 2 2 2 2 2, ,

1 1 2 ( ) 1 2 ( )

( ) ( ) ( )(b c) ( ) ( ) ( ) ( )(b c) 4(ab bc ca)( )a b c

a b a b

a b a b a c a c b c a b a c a b

2 2

2 2 2 2

( ) 2 ( )( ) 2

( ) ( ) ( ) ( )(c b) ( )( )( ) ( ) ( )(c b)

ab bc ca ab c ab c c c a c b ab c

a b a b a b a b c a a b b c c a a b c a

từ

đo:2 2

2 2 2, ,

1 2 2( ) ( ) 9( )

( ) ( ) ( )( ) ( )(b c) 4( ) 4a b c

ab c ab bc ca a bab bc ca

a b a b a c b c a c a b

từ đo suy ra BĐT

nay đúng

(+), ,

12 1

( )( )a b c a c b c

2, ,

12 1

1a b c a

2 2 2

2 2 2

1 1 11 1 1 2 2

1 1 1

a b c

a b c

thay

1 abc

a b

thi BĐT trở thanh:

2 2 2

2 2 2 2

1 1 2(1 )1 1 2 2 2

1 1 (1 )(1 )

a b ab

a b a b

lưu y

11 2(1 )

3ab ab ab

Do đo:2 2 2

2 2 2 2

2(1 ) 12 2

(1 )(1 ) (1 )(1 )

ab a b

a b a b

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

a b a b

a b a b

(binh pương BĐT2 2

2 2

(1 )(1 )0

(1 )(1 )

a b

a b

:đúng) lưu y

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2(1 )1 1

1 1 (1 )(1 )

a b a b

a b a b

Đặt t=2 2

2 2

(1 )

(1 )(1 )

a b

a b

0 1t

Ta chỉ cần chưng minh 22 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 0t t t t t :đúng do 0 1t

(*)TH2: 1a b c trươc hết ta co :

2

2 2

1 1 1 1 2 2( )

1 1

a bab bc ca a b c

a c b c a c b ca c b c c c

2

22

1a b c a b

c

vi

2

2

2 2 2

24 4 1 4

1 1 1

c cc c

c c c

(+)nếu 2a b xét 1

( ) 2f a b a ba b

vơi 2a b ta co

3

1 1'( ) 0

2 2 2 ( )f a b

a b a b

=>

1( ) (2) 2

2f a b f

(+)nếu 2a b từ 21 (b ) bc 2c c 2 1a c c viết lại bđt la

1 1 1 12

2a b a c b c

(#) ta chỉ cần chưng minh khi

1 12 0

a c b c

(#) 2

1 1 24

2 11 12( )( 2) 2

a b a c b c c

a b a b

a c b c

sử dung cac đanh gia sau:

1 12 2 2 ( 2)a b a b a b

a c b c

ta chỉ việc chưng minh:

2

2 1 1 24 0

2 1

a b

a c b c c

co:

2

2 ( ) ( 1)(1 ) ( )4

a ba b c a b a b c a b

21 1 ( 2 )( )( ) 2

( )( )

c a b cab bc ca a b c

a c b c a c b c

=

2 22

2

( ) ( 2 )2 1

( )( )( )

a b c a b cc

a c b ca c b c

2 22

2

( ) 2 ( )2 1

(c 1)4 2

a b c a bc

từ đo :

22

22 2

2 1 1 2 ( ) 2 2 ( )4 2 1 4

12 21 1

a b c a b c a bc

a c b c cc c

=

2 2

22

2( 1 1) c( )( 2 1 )( 2 1 )0

2( 1)1

c a b c c

cc

:đúng. Vậy BĐT đúng trong moi trường hợp ta co

ĐPCM dâu bằng xẩy ra khi va chỉ khi ( , , ) (1;1;0)a b c va hoan vi

Nhận xét:Bai trên ta đã dung co 1 chưng minh kha ngắn cho iran 96

Bai toan 19:cho cac số thực , ,x y z thoa mãn:

2 2 2( ) ( ) ( ) 8x y y z z x va 3 3 3 1x y z tim min P=

4 4 4x y z

Lời giai:

(*)nếu 1xy yz zx ta co:2 2 2 2 2 2 2 2 24 1 3x y z xy yz zx x y z x y z

=>2 2 2 2

4 4 4 ( )3

3

x y zx y z

(*)nếu 2 2 21 3.xy yz zx x y z lại co

2 2 2 2 28 3( ) ( ) 9 ( ) 1 1x y z x y z x y z x y z .ta lại xét cac trường hợp:

[-(+)-]nếu 1 0x y z .trong 3 số x,y,z tồn tại 2 số cung dâu gia sử 0xy .ta co:

3 3 3 3 3 31 ( ) 3 ( ) , 0x y z x y x y xy x y x y .thay x,y bởi –a,-b( , 0a b ) ta co

2 2 2

3 3 3

(a ) 4

1 1

z ab z b a b

z a b

z a b

bây giờ ta xét:

Khi 3 3 8

9a b thi 3 17

9z ta co

44 44 4 3 3 3

4 3 3 43 3 3a 4 17

2 2 (a 1) 2 3,013286... 32 2 9 9

b a bz b

Khi 3 3 8

9a b lưu y

3 3 3 32

24 ( ) ( ) '(a b) z 0

( )

a b a bz z a b f a b f

a b a b

3 3234 ( ) ( ) ( )

2

a bf a b f z t

trong đo

3 3

3

2

a bt

mặt khac theo bđt holder:

44 4 3 3

4 4 3 3 3 4 43( ) (1 1) ( )

2 2

a b a ba b a b t

mặt khac ta co

3 33 3 3 3 3

17 17 171

4 2 4 4

a b zz a b t

t

đê chưng minh 4 4 4 3a b z ta chỉ việc chưng minh

4 4 416(2 ) 3( )t z z t đặt 317

4

zu

t ta cần chưng minh:

4 4( ) 16 32 3( 1) 0g u u u . Ta co

33

3 33

16 1 16 4'(u) 12 1 12 1 0

3 3 17g u u

u

4 4

33 3

17 17 17( ) 32 16. 3 1 0,8287... 0

4 4 4g u g

[-(+)-] xét 0 1x y z lúc nay lưu y rằng :

4 4 4 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4 ( )x y z x y z xy yz zx xyz x y z từ gia thiết dễ dang suy ra:

22 2 2

2

8 ( )

3

( ) 4

3

1 4(x y z)

x y zx y z

x y zxy yz zx

xyz

đặt (0 1)m x y z m ta co

2 2 2 2 2 2 24 4 4 (m 8) (m 4) 12 (1 4 ) (1 ) 12 (1 ) 5(1 )

2 3 39 9 9 9

m m m m m m mx y z

Vậy ta luôn co 4 4 4 3x y z dâu = khi ( , , ) (1,1, 1)x y z va hoan vi

Bai 20:Cho a,b,c la đô dai 3 cạnh của môt tam giac nhon chưng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

( )(b )( )

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

a b c c a c a b abc

Lời giai:

Chú y rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos cos 1 12 2 2

b c a a c b a b cA B C

bc ca ab

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2abc ( )( )( )

2 2

a b c a b a c b c a b c a b c b c a c a b

abc abc

Từ đo không mây kho khăn ta viết lại BĐT đã cho la :

2(cos cos cos 1)4 2(cos cos cos )

2cos .cos .cos

A B CA B C

A B C

. Bây giờ đặt :

x 2cosA;y 2cosB va z 2cosC thế thi :2 2 2 4x y z xyz ta cần chưng minh :

2( 2)4

x y zx y z

xyz

2( 2)

4

x y zxyz

x y z

( bởi ta dễ dang chưng minh 3x y z )

(*)Không mât tinh tổng quat gia sử max( , , )z x y z suy ra 1 2z xét số thực t sao cho:

2 2 2 2 2 24 2x y z xyz t z t z 2 2 2 2( ) 2z t xy x y t nhận xét

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( 2)( 2 ) 0 2

2

x yx y t z t xy z t z x y t t x y

lại co

2 2 2 2 2 2( ) 2 2( )z t xy x y t xy t t xy do đo :

2 2 2 2 2 2 22 ( ) 2( ) ( ) 4 2x y t z t xy t xy x y t t x y từ đây ta chặn được:

2 2

2 2

x y x yt

vơi chú y: 2 24 ( 2) 2z t z t z 1 .

(*)đặt 2( 2)

( , , )4

x y zf x y z xyz

x y z

thi

22(2 t 2)

(t, t, )4 2

zf z t z

t z

Đê cho gon ta cho ; 2u x y z v t z thi v u 2 t x y 0 va 3 v u ta co

2 22 2( 2) ( 2) ( )(4 4 12)

( , y, z) f(t, t, z) ( ) ( )4 4 (4 )(4 )

u v u v u v uvf x z t xy z t xy

u v u v

2 2 24( 2 ) 1 ( ) ( 2 )(4 1) ( ) 3( 2 ) z(t )

(4 )(4 )x y t z t xy x y t z t xy x y t xy

u v

Chú y la ta co: 2

2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2 ( 2)( ) ( )

2

x yz t xy x y t z t xy x y t xy

z

Ma 2 2

2 2 2 2( ) ( 2) ( ) (2 z)4

4 4

x y z x yx y z xyz z

2 2 2 2 2 2(2 ) 4(2 z) (x y) ( ) (2 ) (2 z) 4t ( ) ( )z x y z x y t x y

2 2

2 2

(2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )( ) ( )

z t x y t x y z t x y t x yx y z t xy

t t

Vi 2 2

2

2 33

2

x y t x yx y t

t t

=> 2

2

(2 )(2 )( ) 3(2 )

z t x y t x yz t xy t x y

t

(x, y,z) (t, t,z) 3( 2 ) 3(2 ) 0f f x y t t x y ta cần chưng minh (t, t, z) 0f

Thay 2t z ta co :2 (2 ) 6 4 2 (4 2 2 )(2 2 2)

( , , ) (2 )4 2 2 4 2 2

z z z z z zz zf t t z z z

z z z z

2 2( 2) ( 2 1)0

4 2 2

z z

z z

bai toan được chưng minh.dâu= xẩy ra khi a=b=c.

Nhận xét:Ngoai ra vơi bổ đê của x,y,z kia thi dâu= xẩy ra khi x=y=z hoặc (x,y,z)=(2,0,0) cung hoan vi

Dâu ‘‘=’’ xẩy ra khi va chỉ khi a b c

Bai 21:cho cac số thực dương a,b,c thoa mãn 2a b c abc chưng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

(2 ) (2 ) (2 )1

ab c bc a ca b

a abc b b abc c c abc a

Lời giai:

2 2

2 2 2 2 2 2, , , , , ,

(2 ) ( ) ( )1 4 4 2

(2 ) (2 )a b a b c a b c

ab c a b a bBĐT

a abc b a abc b a abc b abc

Ap dung c-s:2 2 2

2 2 2 2, , , , , ,

( )2

(2 ) (2 ) 2 2 2a b c a b c a b c

a b a b a

a abc b abc a abc b abc a bc

Ta cần co:, , , ,

1 12 2a b c a b c

a bc

a bc a bc

xét cac trường hợp

(*) nếu 3a b c ap dung bđt Cauchy-schwart:

2

, ,

, ,

( )

2 (2 )a b c

a b c

bc ab bc ca

a bc bc a bc

mặt khac: 2

, ,

( ) (2 ) 2 ( 3) 0a b c

ab bc ca bc a bc abc a b c

(*)nếu 3a b c không mât tổng quat gia sử min( , , )c a b c thế thi 1c

Chú y: 2 ( 1)(b 1) c ab 2ab bc ca abc c a từ đây suy ra a,b không thê đồng thời nho hơn 1

nếu nằm khac phia 1 ta co thê gia sử 1 0a b c (vi sao chưa xét a,b đồng thời lơn hơn 1 thi hãy xem

phần dươi )lúc nay viết lại BĐT la :

2 2

2 2 2 2 2 2

bc ca c b a

a bc b ca c ab a bc b ca c ab

ap dung BĐT Cauchy-schwart:

2

2 2

( )

2 2 4 ( )

b a a b

a bc b ca ab c a b

ta cần chưng minh :

2 2 2 2 2( ) (2 ) 8 2 ( ) ( ) (2 ) ( ) (c ab 2) 0a b c ab ab c a b a b c a b

2 2( ) (2 ) ( ) ( 1)(1 ) 0a b c c a b a b ( qua phân tich nay nếu a,b đồng thời lơn hơn 1 ta co ngay

ĐPCM vi thế chỉ xét TH 1 0a b c ở trên). vi2( )

4

a b ( 1)(1 )a b va 3a b c ta chỉ cần co:

2 24(2 ) (3 ) 0 (1 )( 5 8) 0c c c c c c :đúng ta co ĐPCM

Dâu xẩy ra khi a=b=c=1

Bai 22:Cho a,b,c không âm va a+b+c=3 chưng minh :3 2 3 2 3 2 7( ) 24a b b c c a ab bc ca

Lời giai:

BĐT3 2 3 2 3 22( ) 14( ) 48a b b c c a ab bc ca

Chú y: 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

,b, , ,

2( ) ( ) ( )a c a b c

a b b c c a a b a b a b c

2 2

,b,

( ) ( )( )( )( )a c

a b a b ab bc ca a c c b b a (suy ra chỉ cần cm khi (a-c)(c-b)(b-a) ko âm)

2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( )( )( )( )a b b c c a a b c abc ab bc ca ab bc ca a c c b b a

23(ab bc ca) (18 )abc ( )( )( )( )ab b ca ab bc ca a c c b b a

=23q (18 ) ( )( )( )q r q a c c b b a vơi q ab bc ca.; r abc ,ta đặt p=a+b+c=3 lưu y:

2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2( ) ( ) ( ) 4 2 (9 2 ) 27 9 4 54 ( 2) 27a c c b b a p q q pr q p r q q r q r

3 24(3 ) 27(q 2 )q r từ đây ta viết lại BĐT la:

2 3 23 (18 ) 14 4(3 ) 27(q 2 ) 48q q r q q q r (&&) xét cac trường hợp:

(*)24

11ab bc ca ap dung bổ đê quen thuôc 2 2 2 4a b b c c a abc vơi chú y

3 2 3 2 3 2 2 2 2( )( ) 4( )a b b c c a a b b c c a ab bc ca ab bc ca nên 11( ) 24VT ab bc ca

(*)nếu 24

11ab bc ca đặt

93

11t q va 2s q r thi 3q t va 1r s t khi đo

(&&) 2 3 23(3 ) (21 )(1 ) 14(3 t) (3 t) 4 27 48t t s t t s

2 3 210 2 (21 ) (3 t) 4 27 0t t s t t s 2 2 2 3 2[10 2 (21 )] (3 ) (4 27 ) 0t t s t t t s

Chú y:2 2 2 2 2(x ) ( ) 2 0ys z us s y u xys x z ta cần:

2 2 2 2' (x )( ) 0x y z y u

2 2( )x u z y u (haha) ở đây 210 2x t t ; 21y t .con z=3 24 (3 )t t va

227(3 )u t

2 2 2 3 2 2 227(3 t) (10 2 ) 4 (3 t) [27(3 ) (21 ) ]haha t t t t t

2 2 2( ) 27(5 t) 27 (3 ) t(21 ) 0f t t t t ta co

2 2'( ) 54(5 t) 27(3 ) 54 (3 ) (21 ) 2 (21 ) 0f t t t t t t t 9

11t

9( ) 0

11f t f

BĐT được chưng minh dâu = xẩy ra khi va chỉ khi a=b=c=1

Bai 23:Cho cac số thực dương a,b,c sao cho: 2a b c abc chưng minh rằng:

4

1 1 1 1 1 1 1

2

ab bc caa b c

abc a b c

Lời giai:

2 1 1 1BĐT ab bc ca a b c ab bc ca

2

, ,

4( 3) 8 1. 1 ( )a b c

ab bc ca ab ca a b c ab bc ca

Bây giờ ap dung BĐT schur ta co: 92

abca b c ab bc ca

a b c

Suy ra: 2 9

4abc

a b c ab bc caa b c

nên ta chỉ việc chưng minh:

2

, ,

94( 3) 8 1. 1 4

a b c

abc ab bc caab bc ca ab ca ab bc ca

a b c

, ,

98 1. 1 8 12

a b c

abc ab bc caab ca abc a b c

a b c

Từ gia thiết suy ra tồn tại cac số thực dương x,y,z sao cho: ;x y y z

a bz x

va c

z x

y

Khi đo:( )( ) ( )

1 1x y y z y x y z

abzx zx

tương tự vơi 1bc va 1ca ta được:

, , , , , , , , , , , ,

( )8 1. 1 8 8 4 8 4

a b c x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z z x y x yab ca

x y zxy xy xy

ma:

, , , , , , , ,

( ) ( )( ) ( )(x )8 8 8 8 8

x y z x y z x y z x y z

y z x y x z y z yz y z y zabc a b c

xx yz x yz yz

Ta chỉ việc chưng minh:

, ,

94 12

x y z

abc ab bc cax y

z a b c

ap dung Cauchy-schwart:

2

, ,

1 1 14 12 2[(y z) (z x) (x y)] 2

x y z

x y x y y z z x

z x y z z x y

2

a b c ta chỉ việc chưng minh:2 3

9a b c abc ab bc ca

Dễ thây , ,

6x y z

x ya b c

z

nên

4( )2

3

a b cabc a b c

cuối cung ta cần co:

3

3 3( )a b c a b c ab bc ca nhưng theo BĐT am-gm thi:

32 6

27( ) 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c

Suy ra ĐPCM . bât đăng thưc được chưng minh;dâu= xẩy ra khi va chỉ khi a=b=c=2

Bai 24: cho cac số thực không âm , , , ,a b c d e thoa mãn: 5a b c d e chưng minh:

256( ) 625 655abcd abce abde acde bcde abcde

Lời giai:

(*)Nếu co 1 biến=0 chăng hạn e=0 khi đo 5a b c d ta cần co 256 625abcd chưng minh đơn gian

bằng am-gm .xét khi cac biến đêu dương.

(*)Không mât tinh tổng quat gia sử: a b c d e .ta co 1e đặt

( , , , ,e) 655abcde 256( ) 625f a b c d abcd abce abde acde bcde ta thực hiện dồn biến:

Chú y 256( ) 256abcd 256e(abc bcd cda dab)abcd abce abde acde bcde

256 256 [ad(b c) bc(a d)]abcd e xét : ( , , , ,e) (a, , ,d,e)2 2

b c b cf a b c d f

2(b c) 256 ( ) ad(655 256)

4

e a d e ta chưng minh 256( ) ad(655 256) 0a d e thật vậy:

( ) 5 2 4 32

3 52 3 2 3

a b c d a b c d e adad a d ad

ead

ta cần co:

21024 3 (5 )(655 256) 655 (3531 1024 3)e 1280 0e e e e đúng vi:

2655 1280 1310 655 1935 (3531 1024 3)e e e e

Ta được ( , , , , ) ( , , , , )f a b c d e f a x x d e vơi 2

b cx

;tiếp tuc xét:

2(b c)( ) [1024 ( )(655 256)]( , , , , ) ; ; ; ;e

2 2 16

a d a d a d e b c ef a x x d e f x x

Chú y:2( ) 2(5 ) 2(5 2 ) 1024 ( ) 1536 ( )

b c 10243 3 3 5 2

a b c d e e e b c e b ce

b c e

Ta cần co:21536 (5 2e)(655 256) 1310 2251 1280 0e e e e :đúng .như vậy:

( , , , , ) y; ; ;y;ef a x x d e f x x vơi 2

a dy

bây giờ đặt

2

x yt

xét:

2 11 2 2( ) [2 ( ) ( 6 )(655 256)]

( , , x, y,e) t, t, t, t;16

x y x y x xy y ef y x f e

Vi 2 2 26 2( ) ( )( ) 5(x y)x xy y x y x y a b c d ma:

11 112 5(655 256) 2 5.399 53 0e .cuối cung ta chỉ cần co: t, t, t, t; 0f e

Thay 5

4 4

a b c d et

thi

44 3655 (5 )

(5 ) 16 (5 ) 625 0256

e eBĐT e e e

4 44 3 4 3655 (5 ) 131 (5 )

5(5 ) 15 (5 ) 625 0 (5 ) 3 (5 ) 125 0256 256

e e e ee e e e e e

22131(9 )( 10 41)

(1 ) 15 3( 14 51) 0256

e e ee e e e e

2131(1 )(9 ) 75(1 )(1 ) 3 (12 ) 0

256 8

e e ee e e e

:đúng vi 0 1e

BĐT được đăng thưc ngoai a=b=c=d=e=1 con 5 5 5 5

( , , , , ) ; ; ; ;04 4 4 4

a b c d e

va hoan vi.

Bai 25: cho cac số thực dương a,b,c thoa mãn 2 2 2 3a b c chưng minh rằng:

2 2 2 2 2 23 3 33

3 3 3

a b b c c a

a b b c c a

Lời giai:( by Dinh de Tai)

(*)Xét nếu 2a b c chú y la 2 2 2 3a b c a b c ap dung BĐT Cauchy-schwart ta co:

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2, , , ,

, ,

3 2( ) ( 3 )( 3 )3 3 3

3 3 3 ( 3 ) 2( )

a b c a b c

a b c

a b a b c a b b ca b b c c a

a b b c c a a b a b c

Lại co :2 2 2 2 2 2 2 2 2

, , , , , ,

( 3 )( 3 ) ( 3 )(3 ) 3 ( )a b c a b c a b c

a b b c a b c b b ac ta cần co:

2 2 2 2 2

, ,

2( ) 3 ( ) 6( ) 12 3 3 3( ) 12( )a b c

a b c a bc a b c a b c a b c

(2 )[12 2 3 3( )] 7 3 12 0a b c a b c đúng vơi moi 3 2a b c

(*) khi 2 3a b c đặt ;p a b c q ab bc ca va r abc ta co 22 3q p

2 2

, ,

( 3 )( 3 )( 3 ) 3( 3 )( 3 )( 3 )a b c

BĐT a b b c c a a b b c c a

2 2 3 3 2 2

, , , , , , , ,

12 6 18 28 ( ) 9 27 84a b c a b c a b c a b c

a b a b a c abc a b c a b a c abc hay la:

2

2 2 2

, , , , , , , , , , , , , ,

12 12 6 ( ) 8 18 ( ) 9 ( ) 84a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

ab a ab ab b a abc a ab a b ab b a abc

212 36 8 6 ( )( )( ) 18pq 30 9(a b)(b c)(c a)q q pr p a b b c c a r

212 36 18 (30 8 ) (6 9)( )( )( )q q pq r p p a b b c c a 0 chú y 6 9 0p nên ta chỉ cần

Chưng minh khi 2 2 2( )( )( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c c a thay 22 3q p va ta cần co:

2 2 2 23( 3) 18( 3) 9 (p 3) (30 8 ) (6 9) 0p p p r p p M vơi | ( )( )( ) |M a b b c c a

4 33 9 27 27 (30 8 ) (6p 9) Mp p p r p (#) đê binh phương 2 vế (#) ta cần co vế trai không âm

Chú y la 4 3 23 9 27 27 (30 8 ) 12 36 18 (30 8 )p p p r p q q pq r p

2

2 2 2

, , , , , , , , , , , , , ,

12 12 6 3 10 3 8( )a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

ab a ab a ab a abc a a b c

(-_-)Nếu cố đinh ;P a b c q ab bc ca va cho r abc biến thiên thi dễ thây biêu thưc trên la 1 ham

bậc nhât va nghich biến theo r do đo ta chỉ cần chưng minh khi co 2 biến bằng nhau gia sử b c ta cần co:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 212 (2 ) 12 ( 2 )(2 ) 6 (2 )( 2 ) 3( 2 ) 8 (a 2b) 10b 3( 2 ) 0b a b b a b a b b a b a b a b b a a a b

2 2 2 2 2 2 212 (2 ) 12( 2 )(2 ) 6(2 )( 2 ) 3( 2 ) 8 (a 2b) 10 3( 2 ) 0b a b a b a b a b a b a b ab ab a b

co: 2

2 2

2 2

20 ( )10 3( 2 ) 10 ( 2 )

3( 2 ) 2

ab a bab a b ab a b

a b a b

va

2 26 (2 ) 18 ( 2 ) 6 ( )b a b ab a b b a b

2 2 2 2 2 2 212( 2 )(2 ) 8(2a b)(a b) 4(2 )( 2 ) .;.6 (2 ) 2(2 )( 2 ) 2(2a b)(a b)a b a b a b a b b a b a b a b

cuối cung:2

2 2 2

2 2

12(2 )( 2 )(a b)6(2 )( 2 ) 3( 2 ) 6(2 )( 2 )

3( 2 ) 2

a b a ba b a b a b a b a b

a b a b

từ cac phân tich nay dễ thây ta sẽ quy được bai toan vê chưng minh:

2A( ) 0a b trong đo 2 2 2 2

20 12( 2 )(2a b)6 6(2 )

3( 2 ) 2 3( 2 ) 2

ab a bA b a b

a b a b a b a b

2

22 22 2

20 12( ) (2a b)6

3( 2 ) 2 3( 2 ) 2

ab a bA b

a b a b a b a b

chú y 2 23(a 2b) 3( 2 ) a 2ba b

Nên 2 2 2 2

2 22 2

10 12(2 )( ) 10 (2 )( ) ( 5 ) ( 2 ) 3 (a b)6 6 0

2 2 ( 2 ) 2( 2 )( 3 1) ( 2 )

ab a b a b ab a b a b a b a b aA b b

a b a b a b a ba b

Vậy ta đã chưng minh được 4 33 9 27 27 (30 8 ) 0p p p r p va được phép binh phương 2 vế của (#)

(+)lưu y:2 2 2

2 2 2 2 2 3 2 2 2 2( 3) (6 )( ) ( ) ( ) 4 2 (9 2 ) 27 (5 27) 27

4

p pa b b c c a p q q p q p r r r p r

ta cần chưng minh:2 2 2

24 3 2 2 2( 3) (6 )

3 9 27 27 (30 8 ) (6p 9) (5 27) 274

p pp p p r p r p r

Bây giờ chú y đê chưng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) (2 ) a 0a rb k xr yr z r k x b r ab k y k z Ta

cần co 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2(2ab k ) 4( )( ) 0 4 4 ( ) 4 0y a k z k x b a k x k z k x b k aby k y

2 2 2 2 24 4 ( ) 4 0a x z k x b aby k y ap dung kết qua nay vơi: 227.;.k 6 9; 5 27x p y p ;

4 33 9 27 27..;.. 30 8a p p p b p va 2 2 2( 3) (6 )

4

p pz

ta cần chưng minh: ( ) ( ) 0f p g p

Trong đo 4 3 2 2 2 2 2 2( ) 108(3 9 27 27) (p 3) (6 p ) (30 8 ) 27(6 9)f p p p p p p

Va 2 4 3 2 2 2 2( ) 4 (30 )(5 27)(3 9 27 27) (6 9) (5 27)g p p p p p p p p p p

Bây giờ sử dung phần mêm ‘maple’ đê khai triên 2 mơ ‘khủng khiếp’ kia công lại ta cần chưng minh:

8 7 6 5 4 3 2( ) 628 5928 15090 15192 105822 61128 166806 113400 87966 0h p p p p p p p p p 2 6 5 4 3 22( 3) (314 1080 1761 6750 3438 9558 4887) 0p p p p p p p

Nhiệm vu ‘maple’ đã hết ta cần chưng minh được vơi 2p thi đa thưc bậc 6 nay không âm:

6 5 4 3 2314 1080 1761 6750 3438 9558 4887 0p p p p p p (**) dựa vao kinh nghiệm thôi

Ta co (**)5 4 3 2( 2)(314p 452 2665 1420 6278 2998) 1109 0p p p p p

Lưu y 21109 1109(3 2) 4436( 2)(3 )p p p p từ đo ta chỉ cần co:

5 4 3 2314p 452 2665 1420 1842 16306 0p p p p

3 2 2 2314( 2) ( 3) (3316 3983 2856)( 2,5) 7968,25( 2,5) 1143,375 0p p p p p p

Nếu 2,6 1143,375 7968,25( 2,5) 0p p va BĐT hiên nhiên đúng. trai lại nếu 2,6p

Ta co 23316 3983 2856 14916. .p 2,6p p mặt khac thi:

2

2,514916( 2,5) 7968,25( 2,5) 1143,375 0 .. 0pp p do BĐT được chưng minh

Lời kết:Trên đây la 25 bât đăng thưc kho minh gặp trong thời gian hoc (từng giai đoạn) môt số bai (số it) đã

co lời giai thậm chi 2-3 lời giai ,minh co biết co điêu tât ca cac bai minh đêu trinh bay theo cach khac của

ban thân vi thế 1 số lời giai co thê dai dong phưc tạp.tuy nhiên những bai qua dai ma lam theo phương phap

p,q,r điên hinh bai 15 va bai cuối thi đây la 2 bai cực ki kho va minh con chưa gặp 1 lời giai nao cho no.vi

la lần đầu lam nên không tranh khoi sai sot mong cac bạn thông cam va cho y kiến vê cac lời giai đê file

tuyên chon sau được hay hơn .xin cam ơn

Facebook minh la: Dinh de Tai