Instituto Politécnico Santiago MariñoM.P.P. Para La Educación

Escuela 42 Ing. civilMateria: Estadística

Integrante:María Gabriela Castillo CI: 26.089.338

Caracas, Abril del 2016.

los coeficientes de correlación de Pearson y de Spearman

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON Es un índice estadístico que mide la

relación lineal entre dos variables cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

El cálculo del coeficiente de correlación lineal se realiza dividiendo la covarianza por el producto de las desviaciones estándar de ambas variables:r = SxySx.S

ySiendo:•Sx la covarianza de (X,Y)•Sx y Sy las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.•El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1, + 1]:•Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica una independencia total entre las dos variables, es decir, que la variación de una de ellas puede influir en el valor que pueda tomar la otra. Pudiendo haber relaciones no lineales entre dos variables. Estas pueden calcularse con la razón de correlación.

•Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en idéntica proporción.•Si 0›r≥1, existe una correlación positiva.•Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en idéntica proporción.•Si -1≤ r›0, existe una correlación negativa.Las 3 gráficas en coordenadas cartesianas posteriores,

se muestra la variable independiente (X) se ubica en las abscisas y la dependiente (Y) en el eje de las ordenadas. Los coeficientes de correlación significan esa asociación entre los cambios que se observan en la variable dependiente con respecto a la variable independiente.

La gráfica (a) representa una correlación positiva, es decir, conforme los valores de X aumentan, también aumentan los valores de Y. A su vez, la gráfica (b) muestra una correlación negativa, de modo que al incrementarse los valores de la variable independiente, los valores de la dependiente disminuyen. La gráfica (c) no indica correlación.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson se define matemáticamente con la ecuación siguiente:

Donde:r = coeficiente de correlación de Pearson.Sxy = sumatoria de los productos de ambas variables.Sx = sumatoria de los valores de la variable independiente.Sy = sumatoria de los valores de la variable dependiente.Sx2 = sumatoria de los valores al cuadrado de la variable independiente.Sy2 = sumatoria de los valores al cuadrado de la variable dependiente.N = tamaño de la muestra en función de parejas.

•Este procedimiento estadístico es aplicable cuando las observaciones se miden según una escala de intervalo, por otra parte, el fenómeno debe ser lineal.•Al igual que las otras pruebas paramétricas, la varianza de las variables X y Y deben guardar homogeneidad.Pasos

•Ordenar los valores de la variable dependiente (Y) con respecto a los valores de la variable independiente (X).•Elevar al cuadrado cada valor X y de Y.•Obtener los productos de X y Y , para lo cual se deben multiplicar independientemente ambos valores.•Efectuar las sumatorias Sx, Sy, Sx2, Sy2, y Sxy.•Calcular el tamaño de la muestra en función de parejas de X y Y .

Aplicar la ecuación•Calcular los grados de libertad (gl): gl = N parejas -1.•Comparar el valor de r calculado en la tabla de valores críticos de t de Kendall en función de la probabilidad.•Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

Ejemplo:

•Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades en días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos esta prueba.

•Objetivo: Conocer que grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niños de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.Hipótesis.

Ha Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación significativa.Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlación significativa.

gl = 21 - 2 = 19a = 0.05

rc = 0.91rt = 0.444

Características•La Correlación es una técnica estadística usada para determinar la relación entre dos o más variables. •La relación entre la duración de una carrera de distancia y el test del escalón, o la relación entre las características de la personalidad y la participación en deportes de alto riesgo. •La correlación puede ser de al menos dos variables de una variable dependiente y dos o más variables independientes, denominada correlación múltiple. 

•Es una prueba estadística para analizar la relación entre dos variables medidas en un nivel por intervalos o de razón.•Prueba Hi del tipo de “A mayor X, mayor Y”; “A mayor X, menor Y”; etc.•La prueba en si no considera a una como independiente y la otra como dependiente, porque no evalúa la causalidad, solo la relación mutua(correlación).

Desventajas

•Requiere datos de cantidad de cada año, lo cual puede ser difícil de obtener. Debido a que se emplean diferentes cantidades cada año, es imposible atribuir cambios en el índice únicamente a cambios en el precio. Tienden a ponderar en más los artículos cuyos precios han bajado. Requieren que los precios se calculen cada año.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DEEste coeficiente se emplea cuando una o ambas escalas de medidas de las variables son ordinales, es decir, cuando una o ambas escalas de medida son posiciones. Ejemplo: Orden de llegada en una carrera y peso de los atletas.

Se calcula aplicando la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo N° 1: La siguiente tabla muestra el rango u orden obtenido en la primera evaluación (X) y el rango o puesto obtenido en la segunda evaluación (Y) de 8 estudiantes universitarios en la asignatura de Estadística. Calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman.

f

Estudiante X Y

Dyana 1 3

Elizabeth 2 4

Mario 3 1

Orlando 4 5

Mathías 5 6

Josué 6 2

Anita 7 8

Lucía 8 7

Solución:Para calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman de se llena la siguiente tabla:

Se aplica la fórmula:

Características •Es una medida de la correlación (la asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias continuas. Para calcular ρ, los datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden.•D es la diferencia entre los correspondientes estadísticos de orden de x - y. N es el número de parejas.

•Es igual que la del coeficiente de correlación de Pearson. Oscila entre -1 y +1, indicándonos asociaciones negativas o positivas respectivamente, 0 cero, significa no correlación pero no independencia. La tau de Kendall es un coeficiente de correlación por rangos, inversiones entre dos ordenaciones de una distribución normal bivariante.

Ventajas •No se asume una relación lineal entre las variables.

•Se asume una distribución normal bivariada.

• Es válido para muestras en las que no se pueden

•hacer medidas pero sí asignar rangos.

•Es más robusto

Desventajas • Pérdida de información.

• La eficiencia es del 91% (para distribuciones normales, en el test de Fisher basta con un tamaño muestral un 91% menor para rechazar la hipótesis nula con el mismo nivel de significación)