los números naturaleslos números naturales 53 2.una cantidad es par cuando sus elementos se pueden...

52 Los números naturales

EJEMPLO 1.5. Demuestre que la suma de tres números pares consecutivos es siempre múltiplode 3.

Para entender el enunciado, puede ser útil ver qué ocurre en algún ejemplo. Elegimos 3 númerospares consecutivos, como 6, 8 y 10. La suma es 6+8+10 = 24 que, como vemos, es múltiplo de 3.Sin embargo, a base de ver qué ocurre en ejemplos variados nunca podremos revisar todos loscasos posibles, ya que son infinitos. Necesitamos alguna forma de razonar sobre el caso general.Y es aquí donde el álgebra nos ayuda. Si n es un número natural cualquiera, 2n siempre es unnúmero par. Recíprocamente, cualquier número par se puede expresar como 2n, para ciertonúmero natural n (que será la mitad del número par considerado inicialmente). Por tanto, unrazonamiento que hagamos sobre 2n será válido para cualquier número par.

Tomemos ahora tres números pares consecutivos. Si el primero es 2n, el siguiente será 2n +2 yel siguiente 2n +4. La suma de estos tres números es

2n + (2n +2)+ (2n +4) = 6n +6 = 3(2n +2),

y esto nos asegura que esta suma es siempre múltiplo de 3. ♦

Esta propiedad no es exclusiva de los números pares. La propiedad sigue siendo cierta si secambia la palabra “par” por impar, o por múltiplo de 4, o de 5. Sería bueno que el lector locomprobara, al menos para alguno de estos casos.

1.9. Divisibilidad (enN∗ =N∪ {0})

En el estudio de la divisibilidad es conveniente incluir también el 0. Podemos cambiar nuestraopción inicial, y considerar que el 0 es también un número natural, o podemos optar por hacerel estudio de la divisibilidad en el conjunto N∗, que es el conjunto de los números naturales,junto con el cero. En todo caso, y salvo que se diga lo contrario, en esta sección el término nú-mero se referirá a un elemento del conjuntoN∗, es decir, puede ser un número natural, o puedeser también el 0.

1.9.1. Los números pares

Antes de empezar con el estudio de la divisibilidad, vamos a dedicarle unos párrafos al estudiode los números pares. Cuando los números pares se estudian en Primaria se trata del primercontacto que tienen los alumnos con un tema de divisibilidad, y demasiadas veces se limitaal enunciado de una propiedad sobre cómo se escriben los números pares, definiéndolos comoaquéllos que “terminan en cero o en cifra par”. Esto no es la definición de los números pares, sinouna propiedad que tienen (cuando se expresan de la manera usual). Existen dos definiciones delos números pares:

1. Una cantidad es par cuando se puede dividir en dos partes iguales (sin partir ningún ele-mento).

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2. Una cantidad es par cuando sus elementos se pueden emparejar.

La gran ventaja de introducir de esta forma los números pares es que los alumnos podrían em-pezar a “hacer matemáticas”, en el sentido de razonar sobre los números, desde etapas muytempranas. Una primera cuestión sería, claro está, entender por qué estas dos definiciones sonequivalentes. En la figura 1.36 mostramos la idea de un posible argumento. Por supuesto, tam-bién se debe trabajar para tener clara la propiedad sobre la última cifra de los números pares,pues se trata de la mejor opción para identificar los números pares, pero esto es una propiedad,no la definición.

Figura 1.36: Las dos definiciones de los números pares.

Una vez que tenemos bien definidos los números pares, podríamos preguntarnos qué ocurrecuando sumamos dos números. ¿Podemos saber si la suma es par, sin necesidad de calcular-la? Creemos que las dos definiciones de número par recién consideradas ponen al alcance dealumnos de 7-8 años la respuesta a esta pregunta.

Para el producto, el argumento es un poco más complicado. Lo que tenemos que ver es que elproducto de dos números es impar cuando los dos términos son impares y es par en el resto delos casos, es decir, cuando uno o dos de los números lo son. Obsérvese que, aplicando la propie-dad asociativa, esto nos lleva a concluir que, cuando multiplicamos un conjunto de números,el resultado será impar si y solo si todos los términos son impares. Proponemos al lector quedetalle el argumento sobre la paridad del producto de dos números, de la forma adecuada paraser expuesto a alumnos de 8-9 años. Una indicación: es posible que en este caso una de las dosdefiniciones sea más adecuada que la otra.

Evidentemente, ya no para alumnos de Primaria, pero sí para el lector, proponemos el siguienteejercicio.

Ejercicio 1.11. Estudie si es par o impar el número 92×4373+59 +417.

1.9.2. Divisores y múltiplos

El número 4 es un divisor de 20 porque el resultado de la división 20÷4 es un número natural,es decir, se trata de una división exacta. Para escribirlo, a veces usaremos esta expresión, 4 | 20,que se lee “4 es divisor de 20”. Obsérvese que 20÷ 4 = 5, es decir, 5× 4 = 20, y por tanto la di-visión 20÷5 también es exacta (el cociente es 4), es decir, 5 también es divisor de 20. Con este


razonamiento podemos “emparejar” los divisores de un número, y esto será útil en algunas si-tuaciones posteriores. Antes de seguir adelante, esta es la definición formal de divisor usandolenguaje algebraico.

Definición 1.2. Dados dos números naturales a y c 6= 0, se dice que c es un divisor de a si existeq ∈N∗ tal que a = q × c. En ese caso, escribimos c | a.

El 0 puede causar algún problema en este punto. Para evitarlo, lo mejor es que el lector le dedi-que unos minutos de reflexión a contestar estas preguntas, examinando con cuidado la defini-ción anterior: ¿es 2 divisor de 0?, ¿es 17 divisor de 0?

El concepto de múltiplo es paralelo al de divisor. Si c es un divisor de a, decimos también quea es un múltiplo de c. En el ejemplo anterior, como 4 es un divisor de 20, tenemos que 20 es unmúltiplo de 4. El conjunto de los múltiplos de 4 lo denotaremos como 4̇, y se obtiene multipli-cado el número 4 por cualquier número natural (o 0), es decir, 4̇ = {0,4,8,12,16,20,24, . . .}.

La lista de divisores de un número dado se puede encontrar de varias formas. La más sencilla, yla mejor para introducir el tema al final de primaria, es por simple inspección.

EJEMPLO 1.6. Encuentre todos los divisores del número 54.

Para no olvidar ningún divisor es conveniente hacer la búsqueda de los divisores de manerasistemática, y usar la propiedad mencionada anteriormente: si encontramos un divisor k, ten-dremos que 54÷k = j , y por tanto k × j = 54, es decir, j también es divisor. El número 54 tiene 8divisores. No vamos a dar las soluciones de ejercicios como este. El lector puede comprobarla enpáginas como http://www.wolframalpha.com, donde es suficiente teclear “divisors 54” paraobtener la lista completa (y bastante más información). ♦

1.9.3. Números primos

Dado cualquier número natural n, los números 1 y n son siempre divisores de n. (¿Los habíaolvidado en el ejercicio anterior?) Al resto de divisores, se les llama divisores propios.

Definición 1.3. Decimos que un número natural p > 1 es un número primo si no tiene divisorespropios (es decir, si sus únicos divisores son 1 y p).

Hay una buena razón para no considerar p = 1 como número primo (la veremos pronto). Unadefinición alternativa de número primo, en la que no es necesario eliminar explícitamente el 1en el enunciado, como hemos hecho hace un momento, es esta:

Definición 1.4. (Alternativa) Un número es primo si tiene exactamente dos divisores (el 1 y elpropio número).

Supongamos que nos preguntan si un número determinado es o no primo. ¿Cómo podemossaberlo? El siguiente ejercicio está resuelto en el capítulo final. Trate de resolverlo antes de verla solución.

http://www.wolframalpha.com


Ejercicio 1.12.

1. ¿Es 119 un número primo?

2. ¿Es 883 un número primo?

Los pensadores de la Grecia clásica ya se ocuparon del estudio de los números primos. Uno delos primeros problemas que se plantearon fue el hacer una lista de números primos. Supon-gamos que queremos encontrar todos los números primos menores que 100. Evidentemente,podemos ir uno por uno, y aplicar el procedimiento del ejercicio anterior. Pero, ¿no habrá otramanera mejor de hacerlo? ¿No existirá un algoritmo más adecuado14 para esta tarea? La res-puesta es el algoritmo que se conoce como criba de Eratóstenes. Vamos a describir el algoritmocomo una lista de instrucciones:

1. Escribimos en una tabla los números del 2 al 99.

2. Tachamos los múltiplos de 2 (excepto el 2).




Cuando hemos terminado, los números que no están tachados son primos, ya que no tienendivisores. Obsérvese que aquí estamos usando el mismo argumento que el presentado en lasolución del ejercicio 1.12: si un número menor que 100 no tiene divisores menores que 10 (=p

100), entonces es primo. Si el lector quiere ver la criba de Eratóstenes en acción, puede hacerlo,por ejemplo, en este enlace: http://www.visnos.com/demos/sieve-of-eratosthenes.

Otra pregunta que ya se plantearon los pensadores de la Grecia clásica es ¿cuántos números pri-mos hay? ¿Existe una cantidad finita, y se puede hacer una lista con todos los números primos,o hay una cantidad infinita de números primos? Obsérvese que la respuesta no es evidente. Sipensamos un momento en la criba de Eratóstenes, en la primera etapa se eliminan los númerospares, que son infinitos. En la siguiente se eliminan los múltiplos de tres, también una cantidadinfinita. Tras las sucesivas etapas (hechas en la lista infinita de todos los números naturales),¿quedará una cantidad infinita de números sin eliminar, o quedará por el contrario solo unacantidad finita?

Teorema 1.1 (Euclides, ∼ 300 aC). Existen infinitos números primos.

En estas páginas no vamos a presentar demasiadas demostraciones, pero sí nos vamos a deteneren esta. Una demostración es un argumento que nos convence de que una afirmación es cierta.

14El término “adecuado” se podría definir de manera precisa, pero es suficiente que lo interpretemos como que re-suelve la tarea con menos operaciones.

http://www.visnos.com/demos/sieve-of-eratosthenes


En este caso, el resultado es fundamental y el argumento está al alcance de cualquier personacon una formación básica.

La demostración utiliza una técnica conocida como reducción al absurdo: vamos a suponer queel resultado es falso. Y vamos a razonar a partir de ahí. Si conseguimos llegar a una contradic-ción, a algo claramente absurdo, habremos demostrado que es imposible que el resultado seafalso, es decir, ¡que el resultado es cierto!

Demostración. Supongamos entonces que hay una cantidad finita de números primos, y hace-mos la siguiente lista con todos ellos:

L = {p1, p2, . . . , pn}

Dicho de otra forma: estamos suponiendo que hay n números primos, y los ponemos en la lista.

Ahora consideramos el número q = p1×p2×·· ·×pn +1, es decir, q lo obtenemos multiplicandotodos los números primos que existen y sumando una unidad. El número q no está en la lista(es mayor, ¡mucho mayor!, que todos los números de L). Sin embargo, no tiene divisores, ya queninguno de los números pi es un divisor de q (¿está claro por qué?). Por tanto, no es cierto queen la lista L estuvieran todos los números primos, como habíamos afirmado. Esta contradicciónme asegura que es imposible hacer una lista (finita) con todos los números primos, es decir, quehay infinitos números primos.

1.9.4. Descomposición en factores primos

Los números primos se describen muchas veces como los ladrillos de los que están hechos losnúmeros. Esta idea es la que está detrás del siguiente resultado, que se conoce como TeoremaFundamental de la Aritmética. En las siguientes páginas vamos a comprobar que conocer cómose escribe un número como producto de números primos nos da mucha información sobre esenúmero.

Teorema 1.2. Todo número natural se puede escribir de manera única como producto de nú-meros primos.

No vamos a ver la demostración de este teorema, porque excede del nivel de dificultad al que nosqueremos limitar. La primera parte (que cualquier número se puede descomponer en productode números primos), sí es sencilla: si n es un número que no es primo (si fuera primo, ya hemosterminado), tiene algún divisor propio, digamos a. Pero entonces tenemos n = a×b. Si a y b sonprimos, ya hemos terminado. En caso contrario, tienen divisores, y podemos repetir el proceso.

La parte que no es tan sencilla es demostrar que la descomposición en factores primos, tambiénconocida como factorización, es única (naturalmente, salvo el orden, siempre podemos escribir6 = 2× 3 y 6 = 3× 2). Para preservar esta unicidad es para lo que excluimos el número 1 de lalista de los números primos, ya que si 1 fuera un número primo podríamos escribir 6 = 2× 3,6 = 1×2×3, 6 = 17 ×2×3, etc.

Seguro que muchos lectores conocen el algoritmo usual (en España) para descomponer un nú-mero en factores primos. En la figura 1.37.a) se puede ver un ejemplo, para la factorización del


número 792. Pero existen otras alternativas, y pueden tener sus ventajas en algunas situaciones.En la figura de la derecha podemos ver una organización en árbol del algoritmo. Nos damoscuenta de que 792 = 8×99, y continuamos el árbol, hasta escribir los números como productode números primos. Es muy instructivo disponer de varias alternativas para hacer un cálculo,porque ayuda a mejorar la comprensión. Además, diferentes algoritmos pueden ser más conve-nientes en distintas situaciones.

792 2396 2198 299 333 311 111

792

8 99

23 32 × 11

(a) (b)

Figura 1.37: Algoritmos de factorización.

Ya hemos comentado que la factorización de un número nos da mucha información sobre él.Vamos a revisitar el problema de encontrar los divisores de un número, para ver que son senci-llos de obtener una vez conocida la factorización.

Supongamos que queremos obtener todos los divisores del número 60. Podemos expresar 60como producto de factores primos, es decir, escribir 60 = 22×3×5. Ahora bien, si a es un divisorde 60, se tiene que 60 = a×b (donde b es otro divisor de 60). Comparemos estas dos expresiones:

60 = 22 ×3×5

60 = a ×b

Como la factorización es única (obsérvese que este hecho es fundamental para este – y otrosmuchos – razonamientos), al factorizar a (y también b) nos deben salir algunos de los facto-res que aparecen en la factorización de 60. Es decir, como los factores de 60 son dos doses, untres y un cinco, los divisores de 60 se obtienen combinando, de todas las formas posibles, estosfactores.

La mejor forma de organizar estas combinaciones es en un árbol como el de la figura 1.38. Comoun número elevado a cero es uno, podemos pensar en el exponente de 20, 21, 22 como “no toma-mos ningún dos”, “tomamos un dos” y “tomamos dos doses”, respectivamente. Multiplicandolos factores correspondientes se obtienen todos los divisores, que se muestran en el rectánguloinferior.

Esta estrategia nos muestra cómo escribir todos los divisores de un número una vez conocidasu descomposición en factores primos. Veamos alguna otra aplicación.

Supongamos que nos preguntan cuántos divisores tiene un número del que conocemos su fac-torización. En el árbol vemos la idea que nos permite contestar a esta pregunta sin necesidad de


20

30

50 51

31

50 51

21

30

50 51

31

50 51

22

30

50 51

31

50 51

1 5 3 15 2 10 6 30 4 20 12 60

Figura 1.38: El árbol con los divisores de 60.

escribir todos los divisores: tenemos tres opciones para el factor 2 (no tomar ningún 2, tomar un2 y tomar dos), tenemos dos opciones para el factor 3 y, finalmente, dos opciones para el factor5. En total, por tanto, tenemos 3×2×2 = 12 divisores.

En el siguiente ejemplo vamos a ver alguna otra información se puede sacar del árbol de diviso-res que hemos presentado.

EJEMPLO 1.7. Sabiendo que 5720 = 23 ×5×11×13:

1. ¿Cuántos divisores tiene el número 5720?

2. Escriba los divisores impares de 5720.

3. ¿Cuántos divisores de 5720 son múltiplos de 22?

Este árbol es mucho mayor, y no hace falta construirlo completo para contestar a las preguntas.

1. Como 5720 = 23×5×11×13, en el árbol tendríamos cuatro opciones para el 2, dos opcionespara el 5, dos para el 11 y dos para el 13. Por tanto, 5720 tiene 4×2×2×2 = 32 divisores.

2. Para determinar los divisores impares, es suficiente darse cuenta de que correspondena no tomar ningún factor 2 en el árbol anterior. Por tanto, corresponden a combinar losotros factores primos (5, 11 y 13) de todas las formas posibles. Hay un total de 8, que son{1,5,11,13,55,65,143,715}.

3. Si queremos ahora los divisores de 5720 que son múltiplos de 22, como 22 = 2×11, sabe-mos que en el árbol de divisores hay que elegir el 11, y también al menos un 2. Por tanto,estos divisores se pueden obtener combinando de todas las formas posibles el resto defactores (22, 5 y 13), y multiplicando esas combinaciones por 22. Hay un total de 12 so-luciones. Las combinaciones de 22, 5 y 13 son {1,2,4,5,10,13,20,26,52,65,130,260} (a losque habría que multiplicar por 22). Obsérvese que estos números son exactamente losdivisores de 22 ×5×13 = 5720÷22.

♦


Para contestar el apartado 1 hemos seguido un razonamiento que se puede generalizar de lasiguiente forma. Si el número natural n se factoriza como n = pa1

1 ×pa22 ×·· ·×pak

k entonces

n tiene (a1 +1)× (a2 +1)×·· ·× (ak +1) divisores.15

Ya sabemos determinar la cantidad de divisores que tiene un número si conocemos su descom-posición en factores primos. En el siguiente ejercicio vamos a darle la vuelta a los razonamien-tos anteriores, y buscar factorizaciones para que la cantidad de divisores sea una determinada,y quizá que cumpla algunas propiedades adicionales. Ya que sabemos ir desde A (la factoriza-ción) hasta B (el número de divisores), debemos ser capaces de recorrer el camino en sentidoinverso, y encontrar las factorizaciones posibles dada la cantidad de divisores. Esta idea de “ra-zonar en sentido inverso” es muy útil para profundizar en la comprensión, y para entender lasrelaciones entre los distintos conceptos.

EJEMPLO 1.8. Encuentra 4 números de 3 cifras que tengan 20 divisores.

Hay varias factorizaciones de los números que tienen 20 divisores. Siguiendo el razonamientopara contar el número de divisores, deducimos que para que un número que tenga 20 divisoresse debe factorizar de una de estas formas:

a) p19 b) p9 ×q c) p4 ×q × r d) p4 ×q3

donde p, q y r son números primos distintos.

En los casos a) y b) no obtenemos ningún número de 3 cifras (29 = 512), pero en los casos c) y d)hay varias posibilidades. Por ejemplo, poniendo p = 2 y q = 3 en d) se obtiene 24 ×33 = 432. ♦

1.9.5. Divisibilidad, un poco más de teoría

Todos sabemos desde los primeros cursos de Primaria que cuando sumamos dos números paresse obtiene un número par, y que cuando un número par se multiplica por cualquier número elresultado es par. Los números pares son los múltiplos de dos, y esta propiedad es cierta para losmúltiplos de cualquier número, no solo para los números pares. Esto es lo que dice el siguienteenunciado.

Propiedad 1.1.

1. Si a es múltiplo de c, todos los múltiplos de a son múltiplos de c.

2. Si a y b son múltiplos de c, entonces a +b y a −b son múltiplos de c.

Vamos a comprobar por qué esto es cierto con un ejemplo. La demostración general es simple-mente escribir en lenguaje algebraico lo que vamos a ver ahora en un caso particular.

Para el apartado 1, consideremos a = 27 y c = 9. La propiedad afirma que, como 27 es múltiplode 9, todos los múltiplos de 27 son múltiplos de 9. En efecto, como 27 = 3×9, si consideramoscualquier múltiplo de 27, como 82347×27, tendremos que 82347×27 = 82347×3×9 que es, portanto, múltiplo de 9.

15Si el razonamiento anterior se ha entendido, no es necesario memorizar esta fórmula.


El apartado 2 afirma que si consideramos dos múltiplos de 9, como por ejemplo 72 y 45, tantola suma como la diferencia serán múltiplos de 9. Vamos a comprobarlo, no haciendo la cuentadirecta sino con el argumento que se puede extender al caso general con el lenguaje algebraicocorrespondiente:

a) 72+45 = 8×9+5×9 = (8+5)×9 b) 72−45 = 8×9−5×9 = (8−5)×9

La propiedad 1.1 se puede enunciar también en términos de divisores. Vamos a hacerlo, comoejercicio de lenguaje algebraico.

1. Si c | a y k es cualquier número natural, entonces c | (k ×a).

2. Si c | a y c | b entonces c | (a ±b).16

Dos consecuencias sencillas de esta propiedad:

1. Como 34 es múltiplo de 17, y 51 también es múltiplo de 17, podemos estar seguros, sinhacer un solo cálculo, que 8247×34−634×51 es también múltiplo de 17.

2. ¿Cuáles son los divisores comunes de 200 y 206? Dentro de poco veremos una técnicageneral para encontrar los divisores comunes de dos números. Para este caso, podemosobservar que si c es divisor de 200 y también de 206, entonces c es divisor de 206−200, esdecir, c tiene que ser un divisor de 6. Por tanto, los únicos posibles divisores comunes de200 y 206 son el 1, el 2, el 3 y el 6. Una vez visto esto, es sencillo comprobar que el 3 y el6 no son divisores de 200. Por tanto, los únicos divisores comunes de 200 y 206 son el 1 yel 2.

1.9.6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Definición 1.5. El máximo común divisor de dos números a y b, que se denota como mcd(a,b),es el mayor número natural que es divisor tanto de a como de b.

Pronto veremos procedimientos para calcular el máximo común divisor de dos números, perola definición puede ser suficiente en muchas situaciones. De hecho, en primaria no deberíanverse algoritmos adicionales, ya que la mejor forma de que los alumnos entiendan qué es elmáximo común divisor de dos números es que lo calculen siguiendo la definición: buscamoslos divisores de a, también los de b, y nos quedamos con el mayor de ellos.

! El 0 puede causar en este momento algunas dificultades, seguramente por haber calculadoel máximo común divisor a partir de la factorización, pero sin haber pensado demasiado en ladefinición. Un ejemplo: ¿cuál es el máximo común divisor de 29348 y 0, es decir, mcd(29348,0)?

Cualquier número natural es divisor de 0 (recuerde, la división 0÷ 29348 puede ser poco útil,pero está bien planteada: el cociente es 0, y el resto es 0). Por tanto, mcd(29348,0) = 29348.

16El signo ± significa que se puede sumar y también restar.


Por supuesto, el número 29348 no tiene nada de especial. Si n es cualquier número natural,mcd(n,0) = n (recuerde que 0 no es un número natural, mcd(0,0) no está definido, precisamenteporque cualquier número natural es divisor de 0). Fin de !

El máximo común divisor de dos números se puede obtener fácilmente si se conocen las fac-torizaciones de esos números, eso de “los factores comunes al menor exponente”. Vamos a verpor qué funciona esa “receta”, ya que tenemos todos los ingredientes necesarios.

Supongamos que queremos calcular el máximo común divisor de 17 640 y 12 474, sabiendo que

17 640 = 23 ×32 ×5×72

12 474 = 2×34 ×7×11.

Los divisores de 17640 se obtienen combinando de todas las formas posibles los tres doses, dostreses, un cinco y dos sietes de su factorización, y lo mismo ocurre para 12474. Si ahora quere-mos obtener el divisor común más grande, ¿qué habrá que hacer? Pues tomar todos los factoresque tienen en común, es decir, un dos, dos treses y un siete. Por tanto,

mcd(17 640,12 474) = 2×32 ×7 = 126.

Propiedad 1.2. El máximo común divisor de dos números naturales a y b es el producto de susfactores comunes (tomados al menor exponente).17

Supongamos que nos interesa conocer todos los divisores comunes de dos números, no solo elmayor de ellos. ¿Cómo deberíamos proceder? Una vez más, en las factorizaciones tenemos todala información necesaria. En el ejemplo anterior, si un número es divisor tanto de 17 640 comode 12 474, ese divisor común se puede obtener de las factorizaciones de ambos términos, esdecir, se puede obtener combinando los factores comunes. En el ejemplo, los divisores comunesde 17 640 y 12 474 son los números que podemos obtener combinando un dos, dos treses y unsiete, es decir, son los divisores de 2×32 ×7 = 126, el máximo común divisor de 17 640 y 12 474.Esta propiedad es cierta en general.

Propiedad 1.3. Los divisores comunes de dos números naturales son los divisores de su máxi-mo común divisor.

Ejercicio 1.13. Tenemos una habitación rectangular, de 6,30 m de largo y 4,50 m de ancho.Queremos poner un suelo de baldosas cuadradas, todas iguales, sin tener que partir ningunabaldosa.

1. ¿de qué tamaños podrían serán las baldosas? (No consideramos baldosas de tamaño me-nor que 10 cm.)

2. ¿cuántas baldosas necesitaremos en cada caso?

17Conservamos lo del “menor exponente” porque así se suele enunciar en secundaria, aunque no sea necesario. En elejemplo, lo común entre 32 y 34 es 32, sin necesidad de añadidos.


Para más de dos números naturales todo lo que hemos dicho hasta aquí se generaliza de maneradirecta (también los argumentos). Por tanto:

Si a1, a2, . . . , ak son números naturales, su máximo común divisor, mcd(a1, a2, . . . , ak ) es el ma-yor de sus divisores comunes, y se puede obtener a partir de las descomposiciones en factoresprimos tomando los factores comunes (al menor exponente). Los divisores comunes de los nú-meros a1, a2, . . . , ak son los divisores de su máximo común divisor.

EJEMPLO 1.9. Sabiendo que

17 640 = 23 ×32 ×5×72

12 474 = 2×34 ×7×11

3 591 = 33 ×7×19

4 998 = 2×3×72 ×17

calcule mcd(17 640,12 474,3 591,4 998) y escriba todos los divisores comunes de estos números.

Revisando las factorizaciones, vemos que los únicos factores comunes son el 3 y el 7. Por tanto,mcd(17 640,12 474,3 591,4 998) = 3×7 = 21. Como los divisores comunes son los divisores delmáximo común divisor, en este caso los divisores comunes son 1, 3, 7 y 21. ♦Una última propiedad del máximo común divisor que puede ser útil para simplificar algunoscálculos:

Propiedad 1.4. Si k es un divisor común de a y de b, entonces

mcd(a,b) = k ×mcd(a/k,b/k).

En el caso del ejercicio 1.13, esta propiedad nos dice que mcd(630,450) = 10×mcd(63,45).

¿Por qué es cierta esta propiedad? La idea es muy sencilla: el máximo común divisor de a y b esel producto de los factores comunes de a y de b. Si k es un subconjunto de factores comunes,los podemos “quitar”, y seguir buscando los factores comunes de a/k y b/k.

Definición 1.6. El mínimo común múltiplo de dos números a y b, que escribimos comomcm(a,b), es el menor número natural que es múltiplo tanto de a como de b.

La propia definición nos proporciona una forma de calcular el mínimo común múltiplo de dosnúmeros. Si nos piden, por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 6 y 10, podemos considerarlos múltiplos de 6, hasta que encontremos un múltiplo de 10. Ese será el menor de los múltiploscomunes. Una buena forma de ayudar a los alumnos de primaria a visualizar este procedimien-to es la recta numérica, tal y como se muestra en la figura 1.39.

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son dos conceptos que originan cono-cidas dificultades de aprendizaje, y creemos que merece la pena dedicar unos párrafos a refle-xionar sobre ellas.

1. El lenguaje puede inducir a equívocos, ya que máximo suena a “grande”. Sin embargo, alser el mayor de los divisores, resulta ser un número menor que los números de partida.


0 10 20 30

6 12 18 24

Figura 1.39: El mínimo común múltiplo de 6 y 10 en la recta numérica.

Por el contrario, mínimo suena a “pequeño”, pero al ser el menor de los múltiplos resultaser un número mayor que los datos del problema. Esta situación no es fácil de resolver, noparece que exista alternativa para la terminología. Por ello, sería especialmente importantepresentar estos conceptos trabajando de manera cuidada la comprensión. Y esto nos llevaa la segunda observación.

2. La mejor forma de trabajar en Educación Primaria el máximo común divisor y el mínimocomún múltiplo es calcularlos usando su definición, porque es la forma que nos ayudaa entender qué significa cada uno. Por supuesto, este procedimiento solo se debe utilizarpara números pequeños. El cálculo mediante la descomposición en factores primos no esadecuado para ser usado en Primaria, aunque por desgracia sí está presente en muchas denuestras aulas. ¿Por qué se trabaja así? Creemos que la única explicación es cultural: nues-tra tendencia a presentar los procedimientos generales demasiado pronto, cuando sería útilempezar calculando las cosas de forma más “artesanal”. Es importante tener presente quela descomposición en factores primos no aparece en el currículo de Primaria de la LOMCE,véase [?].

Pasamos ahora a ocuparnos del cálculo del mínimo común múltiplo de dos números a partir desus factorizaciones. Supongamos que queremos calcular el mínimo común múltiplo de 3 591 y14 994 sabiendo que

3 591 = 33 ×7×19

14 994 = 2×32 ×72 ×17

Los múltiplos de 3 591 deben contener todos sus factores, 33, 7 y 19. De la misma forma, losmúltiplos de 14 994 deben contener todos sus factores, 2, 32, 72 y 17. Por tanto, si queremos unmúltiplo de ambos, debemos tomar el 2, el 33 (que contiene al 32), el 72 (que contiene al 7), el17 y el 19, es decir, los factores comunes (al mayor exponente) y los factores no comunes, comodice la conocida “receta”.

Propiedad 1.5. El mínimo común múltiplo de dos números naturales a y b es el producto desus factores comunes (tomados al mayor exponente) y sus factores no comunes.

La última propiedad de esta sección es una sencilla relación entre dos números, su máximocomún divisor y su mínimo común múltiplo.

Propiedad 1.6. Si a y b son dos números naturales cualesquiera, a×b = mcd(a,b)×mcm(a,b).

Para ver por qué esta igualdad es cierta es suficiente pensar en las factorizaciones de a y b, ycómo los términos de la descomposición en factores primos del producto a ×b (que se obtie-nen uniendo los términos de la factorización de a y los términos de la factorización de b) se


reparten entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. En el siguiente ejemplo,con los números 3 591 y 14 994, los factores que corresponden al máximo común divisor estánrecuadrados, y el resto corresponden al mínimo común múltiplo:

3 591×14 994 = (33 × 7 ×19)× (2× 32 ×72 ×17).

El máximo común divisor de dos (o más) números nos permitía encontrar todos los divisorescomunes de esos números. Una propiedad análoga es cierta para el mínimo común múltiplo.Supongamos que queremos determinar los múltiplos comunes de los números 6 y 10. Como yavimos, y representamos en la figura 1.39, el primer múltiplo común (positivo, recordemos queel 0 es múltiplo de los dos) es 30, su mínimo común múltiplo. ¿Cuál será el siguiente múltiplo?Claramente, el 60, luego el 90, etc. En general, tenemos:

Propiedad 1.7. Los múltiplos comunes de dos números son los múltiplos de su mínimo comúnmúltiplo.

Por último, igual que hicimos con el máximo común divisor, generalizamos el mínimo comúnmúltiplo a más de dos números. También en este caso los razonamientos son los mismos, porlo que no nos detenemos en ellos.

Si a1, a2, . . . , ak son números naturales, su mínimo común múltiplo, que escribimos comomcm(a1, a2, . . . , ak ), es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos, y se puede obte-ner a partir de las descomposiciones en factores primos tomando los factores comunes (al ma-yor exponente) y los factores no comunes. Los múltiplos comunes de los números a1, a2, . . . , ak

son los múltiplos de su mínimo común múltiplo.

EJEMPLO 1.10. Busque un ejemplo que muestre que para tres números ya no es cierto que

a ×b × c = mcd(a,b,c)×mcm(a,b,c).

Indicación: considere dos números a y b, y después busque un número c de forma quemcd(a,b,c) = mcd(a,b) y que mcm(a,b,c) = mcm(a,b). ♦Estamos muy acostumbrados al ejercicio puramente mecánico de encontrar el máximo comúndivisor y el mínimo común múltiplo de dos números a partir de sus descomposiciones en fac-tores primos. Como ya hemos comentado en alguna ocasión, plantearse cómo darle la vuelta alproceso requiere una comprensión más profunda de la situación.

Ejercicio 1.14. Encuentre todas las parejas de números tales que su máximo común divisor es12 y su mínimo común múltiplo es 504.

Terminamos con este problema, cuyo primer apartado es una sencilla aplicación, pero pararesolver el último ya necesitaremos combinar varios ingredientes.


Ejercicio 1.15. Dos faros emiten una señal especial cada 16 y 12 minutos, respectivamente.Sabiendo que emiten la señal a la vez a las 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 dela tarde:

1. ¿a qué hora coinciden por primera vez después de la medianoche?

2. ¿cuántas veces han emitido la señal a la vez durante ese día antes de que lleguemos?

3. ¿a qué hora los veremos coincidir por primera vez?

1.9.7. Aritmética con restos (Reglas de divisibilidad)

Ya hemos visto que si tenemos un conjunto de números, para saber si la suma es par o imparno es necesario calcularla, sino que es suficiente con conocer la paridad de los sumandos. Estapropiedad se puede formular en términos de resto al dividir entre dos, y el objetivo de esta sec-ción es generalizarla a otras divisiones y ver cómo esto nos permite deducir las conocidas reglasde divisibilidad. Empecemos con un primer ejemplo:

EJEMPLO 1.11. Sabemos que al dividir el número a entre 3 el resto es 2, y que al dividir el númerob entre 3 el resto también es 2. ¿Cuál es el resto de dividir el número a +b entre 3?

Al terminar de agrupar (o repartir) a +b elementos, vemos que nos han sobrado 4 (2 al agrupara y otros 2 al agrupar b). Por tanto, podemos hacer otro grupo de 3 y nos sobrará 1. ♦

En esta sección vamos a hablar muchas veces de “el resto de dividir un número entre otro”. Paraabreviar un poco la escritura, introducimos esta notación: r (a,n) es el resto de dividir a entre n.Por ejemplo, r (15,4) = 3, o r (28,3) = 1. Usando esta notación, la respuesta del ejercicio anteriorse puede escribir de esta forma:

Si r (a,3) = 2 y r (b,3) = 2, entonces r (a +b,3) = 1.

Antes de pasar a los criterios de divisibilidad, un ejercicio cuyo objetivo es que el lector com-pruebe si ha entendido la idea:

Ejercicio 1.16.

1. Si r (a,5) = 3 y r (b,5) = 2, ¿cuánto vale r (a +b,5)?

2. Si r (a,7) = 5 y r (b,7) = 4, ¿cuánto vale r (a +b,7)?

Es importante ir desarrollando la capacidad de autoevaluación, y tratar de buscar estrategiaspara comprobar si las respuestas son correctas. En este caso, por ejemplo, como los resultadosson generales, se puede comprobar si dan respuestas correctas para algunos valores de a y bconcretos. Por supuesto, en caso afirmativo no podemos estar seguros de que la respuesta seaválida en general, pero sí es una indicación en la buena dirección.

Veamos ya algunos criterios de divisibilidad. Los vamos a presentar en tres grupos, de acuerdocon la idea que hace que funcionen.


Los más sencillos son los que nos permiten ver si un número es divisible entre otro mirandosolo la cifra de las unidades. Esto ocurre cuando el divisor es 2, 5 o 10: si la cifra de las unida-des es par, el número es múltiplo de 2, si la cifra de las unidades es 0 o 5 el número es múltiplode 5, si la cifra de las unidades es 0, el número es múltiplo de 10. Obsérvese que también po-demos calcular el resto conociendo solo la cifra de las unidades, no solo comprobar si son ono divisibles.

Sería interesante reflexionar sobre la propiedad de estos divisores (2, 5 y 10) que hace queesta regla funcione. ¿Hay otros divisores para los que se pueda calcular el resto conociendosolo la cifra de las unidades del dividendo?

A continuación, consideramos los divisores 4 y 8.

Como 100 es múltiplo de 4, cualquier múltiplo de 100 es múltiplo de 4. Por ejemplo, si nospiden calcular el resto de dividir 28 653 entre 4, podemos escribir 28 653 = 28 600+53 y, portanto,

r (28 653,4) = r (28 600+53,4) = 0+ r (53,4) = r (53,4) = 1.

Por tanto, hemos deducido una regla que diría: “para calcular el resto de un número al dividirentre 4, es suficiente calcular el resto de dividir entre 4 el número formado por la cifra de lasunidades y la cifra de las decenas”.

¿Puede el lector encontrar otros divisores para los que sea cierta esta misma propiedad?

Con el 8 no podemos hacer lo mismo, porque 100 no es múltiplo de 8. Pero sí lo es 1000, yaque 125×8 = 1000. Por tanto, los múltiplos de 1000 son múltiplos de 8, y siguiendo la mismaidea podemos reducir el cálculo del resto de un número al dividir entre 8 al cálculo del restotomando las tres últimas cifras. En el ejemplo anterior,

r (28 653,8) = r (28 000+653,8) = 0+ r (653,8) = r (653,8) = 5.

Nuevamente, una de las mejores formas de asegurarse de que hemos entendido esta propie-dad en profundidad sería pensar en los divisores a los que se podría generalizar.

Por último, consideramos los divisores 3 y 9.

La primera observación es que el resto de una potencia de 10 al dividir entre 3 es siempre 1.Por ejemplo, esto se puede deducir del hecho de que un número cuyas cifras son todas 9es múltiplo de 3. En lenguaje algebraico, podemos escribir que r (10k ,3) = 1 para cualquiernúmero natural k.

Veamos un ejemplo de cómo podemos proceder para calcular el resto de un número al divi-dir entre 3. Si queremos calcular r (28 651,3), consideramos la descomposición usual

28 651 = 2×104 +8×103 +6×102 +5×10+1.

Vamos ahora a hacer grupos de 3 con cada uno de estos sumandos:

• Con 2× 104 hacemos cierto número de grupos (no importa cuántos) y nos sobran 2(uno por cada grupo de 104).


• Con 8× 103 hacemos cierto número de grupos y nos sobran 8. Por tanto, podríamoshacer otros dos grupos, pero resulta más conveniente proceder en dos fases, y dejarpendientes estas 8 unidades.

• Con 6×102 hacemos más grupos de 3 y nos sobran 6. De nuevo, dejamos pendientesestas 6 unidades.

• Con 5×10 hacemos otros grupos, y nos sobran 5, que dejamos pendientes.

• Finalmente, la unidad la dejamos pendiente, para la siguiente fase.

En resumen, en la primera fase hemos hecho un cierto número de grupos de 3, y hemosdejado pendientes un total de 2+8+6+5+1 = 22 unidades (la suma de las cifras del númerooriginal). Por tanto, lo que hemos visto es que

r (28 651,3) = r (22,3) = 1.

La regla para calcular el resto al dividir entre 3 dice: “el resto de un número n al dividir entre3 es el mismo que el resto del número que se obtiene al sumar las cifras de n”. (Seguramente,el lector habrá visto la versión para múltiplos de 3, es decir, cuando el resto es 0).

Al dividir por 9, la regla es exactamente la misma, ya que también se tiene que r (10k ,9) = 1para cualquier número natural k. Es decir, “el resto de un número n al dividir entre 9 es elmismo que el resto del número que se obtiene al sumar las cifras de n”. En el ejemplo delnúmero anterior,

r (28 651,9) = r (22,9) = 4.

Existen más reglas de divisibilidad, como las del 7, o el 11. No es casualidad que sean númerosprimos. Motivados por el problema de buscar divisores primos, era especialmente importantepoder determinar si un número era o no divisible por números primos. Hoy en día, el proble-ma de factorizar un número es uno de esos procedimientos mecánicos que puede resultar másconveniente dejar en manos de la tecnología, y así poder centrarnos en pensar qué se puedehacer con las factorizaciones, y otros problemas similares. El interés de los resultados anterio-res no es tanto poder calcular los restos, sino seguir haciendo ejercicios sobre la división y ladescomposición de un número en grupos de 10 y de potencias de 10.

La mejor forma de comprobar si se ha entendido un argumento es ver si somos capaces degeneralizarlo a otra situación. Por ejemplo, el siguiente ejercicio sirve para comprobar si hemosentendido “de verdad” las ideas que nos permiten calcular los restos al dividir entre 4 y entre 9.

Ejercicio 1.17. Calcule el resto de 293847 al dividir entre 25 y al dividir entre 40, sin necesidadde hacer la división.

Cerramos esta sección con el problema de la divisibilidad entre 6. A muchos lectores les resul-tará familiar la frase “un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3”. ¿Por qué? Yaconocemos el resultado que explica este hecho, aunque lo hemos visto formulado en términosde múltiplos: los múltiplos comunes de dos números son los múltiplos de su mínimo comúnmúltiplo. Por tanto, los números que son divisibles entre 2 y entre 3 (los múltiplos comunes de 2y 3) son los múltiplos de 6 (que es el mínimo común múltiplo de 2 y 3). Visto así, queda claro que


esta situación se puede generalizar, para ver por ejemplo cuándo un número es divisible entre12 (lo será cuando es divisible entre 3 y entre 4, ya que mcm(3,4) = 12). En estos casos, tambiénes posible calcular el resto de un número al dividir entre 6, conocidos los restos al dividir entre 2y entre 3, y viceversa. (En general, lo mismo se puede decir para los números a, b y mcm(a,b)).

Ejercicio 1.18.

1. Explique cómo puede calcular el resto de un número al dividir entre 2 y entre 3, si conoceel resto al dividir entre 6.

2. Explique cómo puede calcular el resto de un número al dividir entre 6, si conoce el restoal dividir entre 2 y al dividir entre 3.

3. Calcule el resto que se obtiene al dividir el número 8285748329 entre 6.

Un último ejercicio propuesto sobre este tema.

Ejercicio 1.19. Encuentre los valores de los dígitos X e Y si sabemos que al dividir el númeron = 29578X 18285Y entre 5 el resto es 4, y al dividirlo entre 6 el resto es 5.

1.10. Los números enteros

Comencemos aclarando que la presencia de los números negativos en el currículo español dela Educación Primaria es muy limitada. Solo se menciona una introducción, ligada al entornocotidiano, es decir, hablar del piso −2 en el aparcamiento o de una temperatura de −3 ºC. Avan-zar en el estudio de los números enteros, en particular, en su aritmética, es un contenido querequiere un nivel de abstracción importante, y que se debería hacer en Secundaria. El breve es-tudio de los números enteros que vamos a desarrollar en esta sección tiene un doble objetivo:por un lado, ese “horizon knowledge” del docente del que ya hemos hablado; por otro, tener lasherramientas necesarias por si en el centro donde al lector le tocará desarrollar su trabajo en elfuturo se trata este tema en 6.o de Primaria, como ocurre en algunas ocasiones.

Los números enteros (de hecho, los números negativos) se empezaron a usar en la contabili-dad, para describir la situación de una persona que tenía 3 unidades pero debía 5 unidades.Para apreciar adecuadamente la dificultad que entraña su estudio, y el salto conceptual quehay que dar desde los números naturales, es conveniente tener presente que fueron tratadosdurante mucho tiempo como entes “especiales”, e incluso durante el Siglo XVIII la comunidadmatemática debatía si deberían ser tratados como números, con el mismo estatus que el resto.

El conjunto de los números enteros se representa con la letraZ (por el término alemán zahl, quesignifica número; aquí se refleja el hecho de que en los tiempos en que se adoptó esta notaciónAlemania era la potencia dominante en matemáticas). Los números enteros son

Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4, . . .}.

Los términos a la izquierda del 0 son los enteros negativos, los situados a la derecha del 0 losenteros positivos (que se identifican con los naturales), y el 0 no tiene signo.


En la figura 1.40 vemos la representación de los números enteros en la recta numérica, que es laherramienta fundamental para empezar su estudio.

+50 +1 +2 +3 +4−1−2−3−4−5

Figura 1.40: Los números enteros en la recta numérica.

Obsérvese que los signos + y − que preceden a los números enteros son iguales que los signos dela suma y la resta. Así, en expresiones como (−3)+(+4) o (+5)−(−2) usamos el mismo símbolopara representar dos conceptos distintos: el signo de una operación y el signo del número en-tero. Esto tiene la ventaja de simplificar las expresiones cuando se aprenden las reglas de cómose combinan estos símbolos (las conocidas “reglas de los signos”), pero puede generar dificul-tades a algunos alumnos. Una posibilidad sería representar de distinta forma los signos de losnúmeros enteros, escribiendo −2 o +5. Con esta notación, las expresiones anteriores quedaríanasí: (−3)+ (+4) o (+5)− (−2).

1.10.1. La suma y la resta de enteros

Para aprender a sumar números enteros, el enfoque usual consiste en dar la regla de cómo sesuman, en función de si tienen o no el mismo signo. Como todas las reglas que no se entienden,este enfoque genera un aprendizaje que no nos parece satisfactorio. Una alternativa sería gene-ralizar a partir de la representación de la suma de números naturales en la recta numérica quese muestra en la figura 1.41 para la suma 4+3 = 7.

50 1 2 3 4 6 7 8

4 3

Figura 1.41: La suma 4+3 = 7 en la recta numérica.

Para ello, lo primero que necesitamos es interpretar los números enteros como saltos en la rectanumérica, como se muestra en la figura 1.42.

Combinando estas dos ideas, ya podemos sumar números enteros, como se muestra en la fi-gura 1.43 para las sumas (−3)+ (+5) = +2 y (+5)+ (−3) = +2. Además de permitirnos calcularlas sumas sin necesidad de instrucciones adicionales, esta representación también nos ayuda a


+50 +1 +2 +3 +4−1−2−3−4−5

+5−3

Figura 1.42: Los números enteros como saltos en la recta numérica.

entender cómo quitar paréntesis, y por qué podemos escribir

a) (−3)+ (+5) =−3+5 b) (+5)+ (−3) = 5−3.

Otro hecho importante que estamos visualizando es que sumar el entero −3 es equivalente arestar 3. El signo “−” inicial en la expresión −3+5 puede causar dificultades a algunos alumnos,al quitar los paréntesis, ya que corresponde al signo del entero −3, que al principio estábamosescribiendo como (−3).

0 +1 +2 +3−1−2−3 +50 +1 +2 +3 +4−1−2

a) b)

Figura 1.43: Suma de enteros en la recta. a) (−3)+ (+5) =+2. b) (+5)+ (−3) =+2.

Para la resta de números enteros, partimos también de la representación en la recta numérica dela resta de números naturales. Para la resta 7−5, representada en la figura 1.44, lo que hacemos es“darle la vuelta” a la representación del 5, ya que está restando. Con esta misma idea, llegamosa que para calcular 4− (−3) debemos “darle la vuelta” a la representación del −3 y, por tanto,4− (−3) = 4+3 = 7. Una ventaja de esta forma de ver la resta es que hace sencillo entender unhecho importante en la aritmética de los enteros: que restar un número es lo mismo que sumarese número “cambiado de signo”, es decir, sumar el opuesto.

50 1 2 3 4 6 7 8

7

5

Figura 1.44: La resta 7−5 = 2 en la recta numérica.


EJEMPLO 1.12. Represente en la recta numérica, quite los paréntesis y calcule el resultado deestas sumas y restas de números enteros:

a) (−2)+ (−5) b) (+3)− (−2) c) (−1)− (+3)

1.10.2. El producto de números enteros

Una vez que hemos identificado los enteros positivos con los naturales, y como la multiplicaciónes conmutativa (y, desde luego, queremos que siga siendo conmutativa cuando la ampliamos alconjunto de números enteros), los productos (+3)× (−2) y (−2)× (+3) se pueden interpretarcomo “tres veces (−2)”. Por tanto, (+3)× (−2) = (−2)× (+3) = −6; es decir, el producto de unnúmero positivo por otro negativo es negativo.

La justificación del “menos por menos más” es más complicada. Podemos recurrir a dos argu-mentos.

El primero, de tipo inductivo, basándonos en la secuencia

(+3)× (−2) =−6 → (+2)× (−2) =−4 → (+1)× (−2) =−2 → 0× (−2) = 0 → (−1)× (−2) = ?

Como sugiere este patrón, la definición “razonable” para el producto de dos números negativosdebe ser (−1)× (−2) =+2.

La otra alternativa es “descubrir” cuál es el valor de (−1)× (−2) viendo qué ocurre cuando losumamos con el entero −2 (asumiendo, claro, que queremos que la propiedad distributiva sigasiendo cierta cuando sumamos y multiplicamos números enteros):

(−1)× (−2)+ (−2) = (−1)× (−2)+ (−1)× (+2) = (−1)× (−2+2) = (−1)×0 = 0.

Como (−1)× (−2)+ (−2) = 0, deducimos que (−1)× (−2) =+2.

Es posible que el lector no encuentre satisfactoria ninguna de estas dos alternativas, pero en estetema no hay atajos. Como decíamos al comenzar la sección, los números enteros son el produc-to de una abstracción no trivial, y hace relativamente poco tiempo (a lo largo del Siglo XVIII) lasmejores mentes matemáticas de la época debatieron si debían ser considerados números “deverdad” y cómo hacer aritmética con ellos.

1.11. Las potencias

El estudio de las potencias en Educación Primaria se debería limitar a los casos más sencillos, loscuadrados y los cubos, que permiten además una interpretación en términos geométricos. Dehecho, estos son los contenidos del actual currículo. Sin embargo, y por las razones ya mencio-nadas, a veces se presentan en las aulas casos más generales, así como una terminología (base,exponente) de la que se podría prescindir hasta la Educación Secundaria. De hecho, en algunospaíses (Singapur es un ejemplo) el estudio de las potencias se ha eliminado de la Educación Pri-maria, aunque sí se consideran expresiones como 7× 7× 7 para el cálculo del volumen de uncubo (hexaedro).


En la figura 1.45 vemos ejemplos de la interpretación geométrica de 52 = 5×5 y de 23 = 2×2×2.Creemos que es mejor verbalizar estas expresiones como “cinco al cuadrado” y “dos al cubo”que como “cinco elevado a dos” o “dos elevado a tres”, porque la primera alternativa ayuda adistinguir el papel, muy diferente, de los dos términos que aparecen en la potencia – la basey el exponente – y porque deja clara la conexión geométrica de las expresiones; en particular,la terminología que usamos para los exponentes 2 y 3. También nos parece importante com-binar la escritura en forma de producto y en forma de potencia, o usar ambas, para facilitar elaprendizaje.

5× 5 = 52 2× 2× 2 = 23

a) b)

Figura 1.45: Cuadrados y cubos.

Una conexión con las potencias que es muy importante trabajar desde el primer momento es larelación con las unidades de área y volumen. En la figura1.46 mostramos algunas ideas en esadirección.

1 ` = 1 dm3 = 1000 cm3

1 dm = 10 cm

1dm

=10

cm

1 dm= 10 cm

1 cm

1cm

1 cm

1 cm × 1 cm × 1 cm = 1 cm3

1 cm

1cm 1 cm2

1 cm × 1 cm = 1 cm2

Figura 1.46: Las potencias y las unidades de área y volumen.

Como ya hemos comentado anteriormente, es muy útil estudiar cada operación relacionadacon su inversa. Por este motivo, este sería el momento adecuado para estudiar la raíz cuadrada, y


la raíz cúbica. La forma más adecuada de definir la raíz cuadrada al final de Primaria es medianteejemplos.

p16 se lee “raíz cuadrada de 16”.

p16 = 4 porque 42 = 16.

p49 = 7 porque 72 = 49.

Con la raíz cúbica la idea es la misma, por supuesto.

3p8 se lee “raíz cúbica de 8”.

3p8 = 2 porque 23 = 8.

3p125 = 5 porque 53 = 125.

De nuevo, la geometría es una excelente herramienta para darle sentido a las raíces. Unos ejem-plos de ejercicios sencillos:

1. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado18 de la figura 1.47.a)?

2. ¿Cuánto mide la arista del cubo de la figura 1.47.b)?

81 cm2

Vol = 64 cm3

a) b)

Figura 1.47: Ejemplos de problemas de aplicación de las raíces cuadrada y cúbica.

Terminamos este capítulo con una breve revisión de las propiedades de las potencias. No for-man parte del currículo de Educación Primaria, pero creemos que sí deberían ser conocidas(y comprendidas) por los docentes. De acuerdo con nuestra experiencia, no siempre es así, enparticular en los casos en que los exponentes son números negativos o fracciones.

18Está girado de manera intencionada. En nuestros libros de texto escasean los ejemplos de cuadrados como este,lo que puede hacer que a algunos alumnos les cueste identificar como cuadrado una figura que no tenga los ladoshorizontales y verticales.


a) Para deducir cómo se multiplican potencias de la misma base, es suficiente contar cuántasveces aparece la base en una expresión como 23 ×24:

23 ×24 = (2×2×2︸︷︷︸)× (2×2×2×2︸︷︷︸) = 27.

Un error muy común es aplicar una propiedad similar a una suma como 23 +24. Esta situa-ción es un ejemplo perfecto de cómo entender el porqué evita los errores:

23 +24 = (2×2×2)+ (2×2×2×2) = ?

b) Igual de sencillo es darse cuenta de por qué hay restar los exponentes para dividir potenciasde la misma base:

45

42 = 4×4×4×4×4

4×4= 4×4×4×�4×�4

�4×�4= 43.

c) Por último, elevar una potencia a otra potencia vuelve a ser una sencilla cuestión de recuen-to:

(53)2 = 53 ×53 = (5×5×5)× (5×5×5) = 56.

La situación se vuelve menos intuitiva cuando los exponentes son números no naturales. ¿Porqué decimos que cualquier número (distinto de 0) elevado a 0 es 1? Tal y como hemos definidolas potencias cuando el exponente es un número natural (multiplicar la base por sí misma tantasveces como nos diga el exponente), la expresión 20 no parece tener sentido. El procedimientoque vamos a seguir para definir las potencias con exponente entero (y fraccionario) es una ideacon la que ya nos hemos encontrado, al definir el producto de números enteros: la definicióndebe ser la adecuada para que las propiedades que cumplen las potencias de exponente natural,las propiedades a), b) y c) mencionadas hace un momento, sigan siendo válidas para los nuevosexponentes.

i) ¿Qué sentido tiene la expresión 20? (El 2 se puede cambiar por cualquier número que no sea

el 0). Según la propiedad b),2

2= 2(1−1) = 20, pero evidentemente

2

2= 1. Por tanto, 20 = 1.

ii) 2−1 es el inverso de 2, es decir, 1/2. Esto es una consecuencia de querer que la propiedad a)siga siendo cierta.

2−1 ×2 = 2(−1+1) = 20 = 1. Por tanto, 2−1 = 1

2.

Una vez comprobado esto, el resto de exponentes negativos quedan claros a partir de lapropiedad c). Por ejemplo,

2−3 = 2((−1)×3) = (2−1)3 =(

1

2

)3

= 1

23 .


iii) Por último, ¿por qué elevar a 1/2 es lo mismo que hacer la raíz cuadrada? Solo hace falta verqué ocurre si, por ejemplo, tomamos el número 31/2 y lo elevamos al cuadrado (e imponien-do que la propiedad c) siga siendo cierta cuando el exponente es una fracción):

(31/2)2 = 3( 12 ×2) = 31 = 3.

Y esa es justo la definición dep

3: el número que, al elevarlo al cuadrado, me da 3.

El resto de exponentes fraccionarios se definen de manera análoga.


Ejercicios propuestos

1. ¿En qué base b el número 2102(3 se escribe 41(b?

2. Complete los recuadros en la siguiente suma en base 16.

F C 6 (16

+ 2 B 4 (16

1 C 0 4 1 (16

3. Complete los recuadros en la siguiente resta de dos números en base 8.

5 2 6 (8

− 2 3 4 (8

3 0 4 1 (8

4. Decida, de manera razonada, si el número 5831427(9 es par o impar.

5. Le dicen que 237×58 = 13746. ¿Cómo se puede usar esa igualdad para calcular 247×58?

6. Si sabemos que 726× 529 = 384054, ¿cómo podría usar este dato para calcular de formasencilla el producto 7261×529?

7. Ayudándose con una calculadora normal (en la que se pueden teclear números de hasta 8cifras), calcule 345000000000273×45647.

8. Utilice la división 5669÷86 = 65R 79 para calcular cociente y resto de 5769÷86.

9. En una división sabemos que el cociente es 26 y el resto 18. ¿Cuánto vale, como mínimo, eldividendo?

10. Ricardo planea ahorrar cierta cantidad por mes, para poder comprarse un nuevo ordenadoral cabo de 12 semanas. Si consiguiera algún pequeño trabajo extra que le permitiera aho-rrar 25 euros mas por semana, conseguiría el dinero necesario en solo 8 semanas. ¿Cuántocuesta el ordenador que quiere comprarse?


11. Un pintor empieza a pintar una valla por un extremo y pinta 3 metros cada hora. Otro pintorempieza a pintar la misma valla por el otro extremo y pinta 5 metros de valla cada hora. Sila valla tiene 146 m de longitud, ¿cuántas horas tardarán en pintar la valla?

12. Un grupo de excursionistas que empezó una travesía por el desierto llevaba agua para 20días. Como hizo mucho calor, el grupo bebió cada día 15 litros más de la previsión inicial,y el agua se les acabó al cabo de 16 días. ¿Cuál era el consumo de agua por día que habíanprevisto?

13. En el número decimal periódico 3,2751789, ¿qué número ocupa la posición 865 de la partedecimal?

14. Sabiendo que 9972 = 277× 36, encuentre el menor número de 5 cifras que da resto 20 aldividirlo entre 36.

15. Si hoy es lunes y son las 9 de la mañana, ¿qué día de la semana será dentro de 10000 horas?

16. Sabemos que al dividir un número entre 36 el resto es 32. ¿Cuánto hay que sumarle a esenúmero para que el resto al dividir entre 12 sea 6?

17. Encuentre los números mayores que 100 y menores que 200 que son divisibles por 2, por 3y por 7 a la vez.

18. ¿Cuál es el mayor número de 6 cifras que es impar y que da resto 3 al dividir por 5?

19. Encuentre todos los números primos de dos cifras que dan resto 7 al dividir por 15.

20. Sabiendo que 5390 = 2× 5× 72 × 11 y que 3388 = 22 × 7× 112, ¿cuántos de sus divisorescomunes son impares?

21. Mi amigo tiene cierta cantidad de dinero. Me dice que si la repartiera entre 12, entre 20 oentre 28 amigos, siempre le sobraría lo mismo: 5 euros. Me dice además que tiene más de4500 pero menos de 5000 euros. ¿Cuánto dinero tiene mi amigo?

22. Del número 86a54b sabemos que: (1) es par, (2) el resto al dividir entre 5 es 2, (3) el resto aldividir entre 3 es 1, (4) el resto al dividir entre 7 es 2. ¿Cuánto valen a y b?

23. ¿Qué números menores de 200 tienen exactamente 10 divisores?

24. Encuentre un número que tenga 40 divisiores y tal que 10 de esos divisores sean impares.

25. Encuentre el menor número de 4 cifras que es múltiplo común de 40, 35 y 28.

26. Encuentre todos los números de la forma 8340170X 97Y que tienen resto 4 al dividir por 6 yresto 3 al dividir por 5.

27. Queremos poner un suelo de baldosas cuadradas en un salón rectangular de 9 m de largoy 4,2 m de ancho. Si queremos que no sea necesario cortar ninguna baldosa, y por razonesestéticas necesitamos que el lado de las baldosas sea mayor que 20 cm y menor que 40 cm,¿qué tamaño deberían tener las baldosas?


28. Encuentre un número n tal que mcd(34,n) = 2 y mcm(34,n) = 238.

29. Encuentre el menor número de 4 cifras que da resto 15 tanto al dividirlo por 16 como aldividirlo por 26.

30. ¿Cuál es el mayor número múltiplo de 6 que puedes formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6?(Cada cifra se puede usar una sola vez).

31. Dispone de las cifras 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y le dicen que puede usar cada cifra como mucho unavez. Construya el número mayor posible que cumpla estas tres condiciones a la vez:

a) es impar; b) da resto 4 cuando se divide por 5 ; c) da resto 1 cuando se divide por 3

32. En cada uno de estos dos casos, encuentre un número n de 6 cifras que cumpla lo que sepide, o explique por qué no puede existir un número con esas condiciones.

a) r (n,5) = 2 y r (n,8) = 3. b) r (n,9) = 5 y r (n,3) = 1.

33. Escriba todas las formas distintas en que se pueden factorizar los números que tienen 12divisores. ¿Cuál es el número más pequeño que tiene 12 divisores?

34. Queremos hacer una construcción como la de la figura, pero con un total de 50 cuadrados.¿Cuántas cerillas necesitaremos? Explique su razonamiento.

35. Una cenefa con el patrón de la figura tiene un total de 290 hexágonos grises. ¿Cuántos he-xágonos blancos tiene? Razone su respuesta.

36. ¿Cuántos cuadrados (de los pequeños) tendrá el elemento 10 de la serie que se muestra enla figura? ¿Y el elemento que ocupa el lugar n?

1 2 3


37. ¿Cuántos cuadrados (de tamaño 1) tiene la figura n de esta serie?

1 2 3 4

38. En la figura se muestran dos patrones. Para cada uno de ellos, conteste esta pregunta: sisabemos que hay n cuadrados grises, ¿cuántos cuadrados blancos tendremos?

(a) (b)

Capítulo 2

El modelo de barras

Vamos a hacer una pequeña parada en el desarrollo de los contenidos, y vamos a hacer unapequeña excursión en la didáctica, pues vamos a dedicar un breve capítulo a la introducciónde una herramienta metodológica que resulta de gran utilidad en la resolución de problemasaritméticos: el modelo de barras. Se trata seguramente de la herramienta más potente de la me-todología Singapur de enseñanza de las matemáticas. Es también una idea que se puede intro-ducir en cualquier nivel. En Singapur la introducen en 2.o curso, para los problemas de sumas yrestas, y a partir de ahí resulta muy útil para varios problemas aritméticos. Como veremos en elcapítulo siguiente, será de especial ayuda en el tratamiento de las fracciones y la resolución deproblemas con fracciones.

La idea es muy sencilla: queremos representar la información que nos da el problema con “ba-rras”, que son simplemente rectángulos. En 1.o de Primaria, para un problema que nos diga“Paula tiene 5 euros y Mario tiene 4 euros; ¿cuántos euros tienen en total?”, lo más indicado esrepresentar los datos con materiales, o de manera gráfica, como se muestra en la figura 2.1.a).Cuando en 2.o las cantidades empiezan a crecer, representarlas de manera explícita empieza aser poco conveniente. Más importante: desarrollar la habilidad para representar las cantidadescon rectángulos de medida “flexible” será útil más adelante, cuando tengamos que representarcantidades desconocidas. En la figura 2.1.b) mostramos el modelo de barras para un problemasimilar al anterior: “Paula tiene 72 euros y Mario tiene 49 euros; ¿cuántos euros tienen en total?”Como vemos, en el modelo no se muestran simplemente las cantidades sino, sobre todo, la re-lación que hay entre ellas. Evidentemente, para dar la respuesta al problema lo que nos falta porhacer es calcular la suma 72+49. El modelo de barras no calcula el resultado, sino que es unaayuda para ver qué operaciones hay que hacer para resolver el problema.

Antes de continuar, algunos comentarios:

– El paso de la representación de las cantidades explícitas a las barras (los rectángulos) es unsalto de abstracción importante para un alumno de 2.o de Primaria, y se le debe dedicarel tiempo necesario.

81

82 El modelo de barras

Paula Mario

72 49

Paula Mario

a) b)

Figura 2.1: a) Representación explícita. b) Modelo de barras.

– Sobre todo en las primeras etapas, no es necesario que las longitudes de los rectángulosreflejen las proporciones de las cantidades que aparecen en el problema. Por supuesto, siun alumno representa en el ejemplo anterior la barra que corresponde al 49 con un tama-ño mayor que la del 72, sería adecuado intervenir para hacerle ver que hay un problema.En general, observar las representaciones es una buena fuente de información sobre eldesarrollo del sentido numérico de los alumnos.

– Es posible que los alumnos con mayor nivel de aprendizaje no vean necesario el modelopara algunos problemas. No es buena idea imponerlo, como obligación. Pero sí es nece-sario asegurarse de que estos alumnos han comprendido el modelo, pues seguramenteles será necesario cuando los problemas se compliquen más adelante. Por tanto, sí seríaconveniente que hagan el modelo, de vez en cuando.

– Se trata de una herramienta de pensamiento visual, que también es útil cuando el alumnohace un mal modelo, porque eso nos ayuda a averiguar dónde está la dificultad que tieneel alumno, qué está entendiendo mal. Esto es muchas veces lo más difícil cuando tratamosde ayudar a un alumno que está atascado en la resolución de un problema.

– Por supuesto, no estamos diciendo que el modelo de barras sea la herramienta universalpara todos los problemas aritméticos. Sí creemos que es muy útil para muchos problemas,y lo será en todos los de este capítulo ... porque es un capítulo dedicado al modelo debarras.

Una clase de problemas en los que el modelo resulta especialmente útil es en los problemas decomparación. Veamos un ejemplo de problema de dos etapas. Por supuesto, cuando el proble-ma tiene varias etapas puede ser necesario dibujar un modelo para cada una de ellas.

EJEMPLO 2.1. Lucía tiene 43 cromos, que son 9 más de los que tiene Juan.

a) ¿Cuántos cromos tiene Juan?

b) ¿Cuántos cromos tienen entre los dos?

En la figura 2.2.a) vemos el modelo para la primera pregunta. Un error muy común en este pro-blema es sumar para obtener los cromos que tiene Juan, una operación sugerida por la palabra“más” que aparece en el enunciado. Dibujar la información ayuda a los alumnos a interpretar

El modelo de barras 83

Lucía

Juan

43

? 9

Lucía Juan

43 34

b)a)

Figura 2.2: Dos modelos para un problema con dos preguntas.

correctamente la situación. Una vez obtenida la cantidad de cromos que tiene Juan, en la parteb) de la figura vemos el modelo que corresponde a la situación de partes-total de la pregunta b).

♦El siguiente problema es un ejemplo en el que las barras pueden ayudar a razonar usando unacantidad desconocida.

EJEMPLO 2.2. Luis contó su dinero y se dio cuenta de que su amiga Laura tenía 16 € más que él.¿Cuánto dinero tiene que darle Laura a Luis si queremos que los dos tengan la misma cantidad?

Dejamos para el lector la tarea de dibujar el modelo para este problema. Lo interesante aquí esdarse cuenta de que esta herramienta permite a un alumno de ¿2.o – 3.o? de Primaria pensar so-bre un problema en que una cantidad es desconocida. Por supuesto, la relación de los tamañosdel rectángulo que representa el dinero que tiene cada amigo y los 16 € de la diferencia puedeser cualquiera, no la conocemos, y no hace falta conocerla para resolver el problema. Este es unprimer ejemplo de otra de las características que hace el modelo de barras tan útil, y es cómofacilita el inicio del pensamiento algebraico.

En el siguiente problema vamos a ver el modelo de barras como apoyo para el razonamiento“hacia atrás”. Muchos alumnos experimentan dificultades cuando no se conoce la cantidad quecambia durante el problema, para dar un resultado final conocido. Consideremos, por ejemplo,este enunciado.

EJEMPLO 2.3. Sandra abrió su hucha y se gastó la mitad del dinero en un libro. Luego compróuna caja de rotuladores que le costaron 4 euros. Si le sobraron 3 euros, ¿cuánto dinero había enla hucha al principio?

librorotuladores

43 ?

Vemos cómo el modelo me permite representar la cantidad total del dinero que había en la hu-cha, sin necesidad de saber cuánto era. A partir de ahí, representamos con el rectángulo rayado,


que es la mitad, el dinero que se gastó en el libro. Con el resto de los datos del problema, es fácilver que esa mitad son 7 euros, y por tanto el total son 14 euros. ♦

El siguiente problema lo dejamos propuesto, con la solución en el capítulo final de ejerciciosresueltos.1

Ejercicio 2.1. Ester pesa 9 kg más que su amiga Elisa. Si entre las dos pesan 63 kg, ¿cuánto pesacada una?

En el siguiente ejemplo presentamos una primera aplicación del modelo a un problema conestructura multiplicativa.

EJEMPLO 2.4. Nos dicen que Juan pesa 5 veces más que su perro, y que entre los dos pesan 42kg. ¿Cuánto pesa cada uno?

Antes de presentar la solución, una pequeña observación sobre el lenguaje. La expresión “Juanpesa 5 veces más que su perro” podría interpretarse de dos formas distintas: quizá Juan pe-sa la cantidad del perro “y 5 veces más”, o bien pesa 5x, si llamamos x al peso del perro. Nosquedaremos con la segunda interpretación que es (creemos) la más extendida, al menos en ma-temáticas.

Con esta interpretación del enunciado, el modelo de barras que representa la información delproblema es este:

Juan

perro

}42 kg

El modelo ayuda a ver que la clave es darse cuenta de que el total corresponde a 6 unidades (losrectángulos pequeños), todas iguales. Por tanto, el valor de cada una de ellas es 7 kg, de dondededucimos que el peso del perro es 7 kg y el peso de Juan 35 kg.

En este ejercicio vemos muy claro cómo el modelo de barras va a ayudar al desarrollo del pensa-miento algebraico. Más adelante, ese valor (desconocido) del peso del perro lo representaremoscomo x, y la figura se resumirá en la ecuación x +5x = 42. ♦

Un último ejemplo de problemas con estructura multiplicativa, que está resuelto en el capítulofinal.

Ejercicio 2.2. Pablo tiene la mitad de dinero que Laura, y Miguel tiene 7 € menos que Laura. Sientre los tres tienen un total de 233 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Para terminar este breve capítulo dedicado a introducir el modelo de barras (volveremos sobreél en el capítulo siguiente, dedicado a las fracciones) veamos algunos ejemplos de aplicación aproblemas de división.

1Como referencia, es similar a un ejercicio que se puede encontrar en un libro de 2.o EP de Singapur.

El modelo de barras 85

En la figura 2.3 vemos cómo se pueden representar con un modelo de barras los dos significadosde la división. En la parte a) hemos representado la situación de hacer 8 grupos iguales con 144unidades, mientras en la parte b) hemos representado la situación de hacer grupos de 8 con 144unidades.

?144 144

?

8 8 8

a) b)

Figura 2.3: Ejemplos de modelos de barras para los dos significados de la división.

Igual que ocurría en los problemas de estructura multiplicativa, el modelo de barras permiteabordar ejercicios que muchas veces se retrasan hasta disponer de herramientas algebraicas enEducación Secundaria. Veamos un par de ejemplos (resueltos en el capítulo final).

Ejercicio 2.3. Hemos comprado una mesa y seis sillas, y hemos pagado un total de 770 €. Si elprecio de cada silla era la quinta parte del precio de la mesa, ¿cuál era el precio de cada silla?

Este último ejercicio tuvo cierto eco en twitter, como ejemplo de problemas que resuelven losestudiantes asiáticos en Primaria.2 En la figura tenemos todos los datos necesarios, pero repre-sentarlo con barras puede ayudar a detectar la información relevante.

Ejercicio 2.4. ¿Cuál es la altura de la mesa del dibujo?

170 cm 130 cm

2https://twitter.com/ProfeLactico/status/1069176939397738497?s=20

https://twitter.com/ProfeLactico/status/1069176939397738497?s=20


Ejercicios propuestos

1. Jaime tiene 8 € y su amigo Luis tiene el doble de dinero que Jaime. Quieren comprar un balónque cuesta 21 €. ¿Tienen suficiente dinero para comprar el balón entre los dos? ¿Cuántodinero les sobra o les falta?

2. Clara tiene 57 € y su amigo Juan tiene 41 €. ¿Cuántos euros tiene que darle Clara a Juan paraque los dos tengan la misma cantidad?

3. Tengo 165 € y quiero repartirlos entre Alicia y Benito, de forma que Alicia reciba el doble dedinero que Benito. ¿Cuánto dinero tengo que darle a cada uno?

4. He comprado tres gomas de borrar y cinco lápices. Cada lápiz cuesta el doble que una gomade borrar. Si en total he pagado 9,10 €, ¿cuánto cuesta una goma de borrar?

5. Paula tiene el doble de dinero que Juan. Si cada uno de ellos gastara 130 euros, Paula tendríael triple de dinero que Juan. ¿Cuánto dinero tienen al principio entre los dos?

6. Marta tiene el triple de dinero que su amigo Miguel. Le damos 120 euros a cada uno, y ahoraMiguel tiene 3/8 del total del dinero. ¿Cuánto dinero tenía al principio Marta?

Capítulo 3

Las fracciones

Las fracciones son, seguramente, el contenido de las matemáticas de Educación Primaria queorigina más dificultades de aprendizaje. No es sorprendente que sea así, ya que la fracción re-quiere un salto de abstracción desde el número natural. Quizá más importante: un mismo ob-jeto matemático, como la fracción 3/5, tiene al menos estos tres significados:

1. Parte de un todo.

Este es el significado más sencillo, y el que se suele usarpara introducir las fracciones. El todo, el total, puede sercontinuo (un objeto, como un rectángulo, o una chocola-tina) o discreto (una colección de objetos, como una bolsade caramelos). El caso continuo es más sencillo, y es el quese usa al principio.

En la figura tenemos coloreados 3/5 del rectángulo ya quehemos dividido el total en 5 partes iguales, y hemos colo-reado 3 de ellas.

2. Solución a un problema de reparto (división).

Si tenemos 3 chocolatinas, y las queremos repartir (porigual) entre 5 niños, ¿cuánto tenemos que darle a cada ni-ño? Aunque la solución nos viene a la mente de forma na-tural, debemos hacer el esfuerzo de ver este problema conlos ojos de un alumno que se está iniciando en el estudio delas fracciones, y que aún no identifica de manera natural lafracción 3/5 con la solución a este problema de reparto.

¿Cómo se podría hacer el reparto? Una solución natural sería dividir cada chocolatina en 5partes iguales, y dar una parte de cada chocolatina a cada niño. Por tanto, el primer niño

87

88 Las fracciones

recibiría las partes coloreadas de la imagen, que son 3/5 de chocolatina. Un error común esdecir que está recibiendo 3/15; este error está motivado por la principal fuente de confusiónal tratar con las fracciones, no tener clara la referencia del total, en cada caso. El niño recibe3/15 (es decir, 1/5) del total de las tres chocolatinas, que resulta ser 3/5 de chocolatina.

3. Una cantidad (un punto en la recta numérica, un número).

0 1 2

1

5

2

5

3

5

El 5, el denominador, nos indica que tenemos que dividir el intervalo unidad en 5 partesiguales. El 3, el numerador, dice que tomamos 3 de esas partes. La representación de las frac-ciones en la recta numérica supone un paso de abstracción con respecto a la representacióncomo partes de un todo, y se suele tratar con posterioridad (lo que nos parece adecuado).Esta representación de las fracciones será fundamental para conectarlas con el resto de losnúmeros (naturales, decimales). También es la mejor forma de introducir las fracciones im-propias. Combinar de manera adecuada la representación como parte de un todo y comopunto en la recta numérica es una de las claves para hacer un tratamiento adecuado de lasfracciones.

Un error común en nuestros libros de texto tradicionales es no variar lo suficiente la representa-ción de las fracciones. La mayoría de los ejemplos se limitan a círculos (tartas, pizzas) divididosen partes iguales, y quizá algunos rectángulos. En la figura 3.1 se pueden ver ejemplos variados,ante los que se podría plantear la pregunta: ¿está sombreado 1/4 del total? ¿Por qué?

Figura 3.1: ¿Está sombreado un cuarto del total?

La representación de las fracciones tiene un papel fundamental en la resolución de problemas.A su vez, la resolución de problemas es esencial para profundizar en la comprensión de las frac-ciones. Pensemos por ejemplo en este problema de Primaria:

EJEMPLO 3.1. He comido 1/3 de los bombones de una caja y me quedan 12 bombones. ¿Cuántosbombones tenía la caja?

Las fracciones 89

El modelo de barras va a ser especialmente útil para ayudarnos a resolver problemas de fraccio-nes. En este ejemplo particular, muchos alumnos que se inician en el estudio de las fraccionesencuentran dificultades, al no tener una cantidad concreta sobre la que empezar a calcular. Unavez que hemos representado el enunciado como en la figura, resulta más sencillo darse cuentade que 2/3 de la caja son 12 bombones, por tanto cada tercio son 6 bombones, y la caja tiene untotal de 18 bombones.

12 bombones♦

En este momento ya estamos listos para contestar la tercera de las cuestiones que planteamosen la introducción. Era esta:

EJEMPLO 3.2. Luis y Marta tienen la misma cantidad de dinero. Organizan una fiesta juntos, yLuis gasta la mitad de su dinero en organizarla. Como Marta ha invitado a más amigos, ella gasta3/4 de su dinero en la organización. ¿Qué fracción del total del dinero que tenían entre los doshan gastado en organizar la fiesta?

Un error común en este ejercicio es contestar que como Luis ha gastado 1/2, y Marta ha gastado3/4, entre los dos han gastado 1/2+ 3/4 = 5/4. La causa de este error es no darse cuenta deque Luis ha gastado 1/2 de su dinero, y Marta 3/4 del suyo, mientras que nos preguntan por lafracción del total que han gastado. Si representamos los datos como hemos hecho en la figura,la situación es mucho más clara, y es más sencillo darse cuenta de que la mitad del dinero deLuis corresponde a 1/4 del total, el dinero que ha gastado Marta corresponde a 3/8 del total, ypor tanto entre los dos han gastado 5/8 del total.

Luis

Marta

♦

3.1. Fracciones. Primeros conceptos

Desde el punto de vista formal, para lo que nos ocupa será suficiente definir una fracción co-mo una expresión de la forma a/b, donde a y b son números naturales. a es el numerador y bes el denominador. Aunque el denominador se representa como un número, no es realmenteun número, sino que juega el papel de unidad. Cuando hablamos de “tres quintos”, el término“quintos” se refiere a la unidad que estamos considerando, y que en este caso corresponde adividir el total en 5 partes iguales. Por su parte, el numerador sí juega el papel de número quedesigna cantidad. En el caso de “tres quintos” tomamos 3 de esas unidades.

90 Las fracciones

Es posible que este detalle no se trabaje lo suficiente en el tratamiento de las fracciones. Cuandoun alumno comete el error básico de sumar denominadores al hacer 1

4 + 13 = 2

7 , lo que está ha-ciendo es ver los denominadores como números, y hacer con ellos lo que venía haciendo ante-riormente cuando aparecía el símbolo +. La expresión “1 cuarto+1 tercio” para la suma anteriordeja mucho más clara la situación, y la imposibilidad de sumar cuartos y tercios. No estamosproponiendo cambiar la notación de las fracciones, simplemente tener este detalle presente,pues podría ser útil para ayudar a los alumnos con dificultades de aprendizaje.

3.1.1. Fracciones equivalentes

Comprender de manera adecuada el concepto de fracciones equivalentes es fundamental parapoder avanzar en el estudio de las fracciones, tanto para entender que las fracciones represen-tan una cantidad (dos fracciones equivalentes son dos formas distintas de expresar la mismacantidad) como para operar con ellas (para compararlas, sumarlas o restarlas lo necesitaremos).Por tanto, es fundamental trabajar la comprensión del concepto y no limitarse a exponer el pro-cedimiento numérico que se puede usar para hacer la comprobación, el “dos fracciones sonequivalentes cuando al multiplicar sus términos en cruz obtenemos el mismo resultado”.

La mejor forma de entender qué significa que dos fracciones sean equivalentes es representan-do las fracciones. En la figura 3.2 vemos tres representaciones posibles de las fracciones 2/3, 4/6y 6/9: con círculos, con rectángulos (barras), y en la recta numérica. Los círculos son la herra-mienta más usada en nuestras aulas, pero como hemos comentado anteriormente es impor-tante ver también la representación de las fracciones en la recta numérica. La representacióncon rectángulos es una buena herramienta para hacer más fácil pasar de una representación ala otra.

0 12/3

2/3

4/6 6/9

4/6

6/9

0 1

0 12/3

4/6

6/9

Figura 3.2: Fracciones equivalentes.

El muro de fracciones, que se muestra en la figura 3.3 es un recurso muy útil para trabajar variosconceptos relacionados con las fracciones, entre ellos el de fracciones equivalentes. Es un recur-so muy sencillo de elaborar en el aula (y también existen versiones comerciales). Recortando lastiras correspondientes a las diferentes fracciones se pueden plantear actividades en las que elalumno ve las fracciones y sus propiedades.

Estos son ejemplos de algunas de las preguntas que podríamos plantear usando el muro defracciones antes de tratar el procedimiento (la “cuenta”) que resuelve esa pregunta en el casogeneral:

Las fracciones 91

1. Compara las siguientes fracciones:

a)2

5y

3

5b)

3

5y

3

4c)

5

6y

6

7

2. Calcula la suma1

2+ 1

3.

3. Completa los recuadros en las siguientes igualdades:

a)2

5=

10b)

6

8= 3

c)1

2=

8

1

2

1

21

3

1

3

1

3

1

1

4

1

4

1

4

1

41

5

1

5

1

5

1

5

1

51

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

71

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

81

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

Figura 3.3: Muro de fracciones.

Una vez que el alumno ha trabajado de forma adecuada ejemplos como los anteriores está encondiciones de entender la propiedad general: “si el numerador y el denominador se multi-plican (o se dividen) por el mismo número, la fracción que se obtiene es equivalente”. En lafigura 3.4 se muestra un ejemplo, que se puede interpretar de esta forma:

si en la fracción 1015 agrupamos de cinco en cinco (de abajo hacia arriba en la figura), lo

que se obtiene es10

15= 10÷5

15÷5= 2

3.

A este proceso se le llama simplificar la fracción. En general, es recomendable trabajarcon fracciones en la forma lo más simplificada posible, ya que esto las hace más fáciles

92 Las fracciones

de interpretar. El procedimiento para simplificar fracciones es claro: buscamos un divisorcomún del numerador y el denominador, y dividimos ambos términos por él. Cuando elnumerador y el denominador de la fracción no tienen divisores comunes, la fracción sellama irreducible, no hay otra fracción “más sencilla” que sea equivalente a ella.

si en la fracción 23 dividimos cada parte en cinco (de arriba hacia abajo en la figura), lo que

se obtiene es2

3= 2×5

3×5= 10

15.

Este proceso, el inverso de la simplificación, puede parecer inútil en este momento, ya quenos produce fracciones con términos más grandes, y más difíciles de interpretar, pero se-rá muy importante cuando lleguemos a la suma de fracciones. Aunque no es en absolutonecesario darle nombre a todo, en nuestros libros de texto a este segundo proceso se lesuele conocer como “amplificación"(nosotros no usaremos esta terminología, no será ne-cesaria).

2

3

10

15

÷5

÷5

×5

×5

Figura 3.4: Fracciones equivalentes: representación de la simplificación/amplificación.

3.1.2. Comparación de fracciones

Aunque ya ha surgido de manera natural algún ejercicio de comparación de fracciones, merecela pena detenerse en el tema y hacer alguna observación adicional. Hay varias formas de com-parar fracciones, y es muy útil explorarlas todas, sin reducirlo todo al procedimiento general(que será el “reducir a común denominador”). En orden creciente de dificultad (conceptual) y,por tanto, en orden en que se deberían presentar, estas son las opciones:

1. Fracciones con el mismo denominador. Es el caso más sencillo, y haber entendido la ideabásica de fracción es suficiente para darse cuenta de que, como el denominador (la unidad)es la misma, el numerador mayor dice también qué fracción es mayor.

2. Fracciones con el mismo numerador. En el ejemplo anterior, cuando nos pedían comparar35 y 3

4 , ya nos podemos haber dado cuenta de la idea general: como 1/5 es menor que 1/4(estamos dividiendo el total en más partes que son, por tanto, menores), si tomamos tresveces 1/5 será menor que tomar tres veces 1/4. Se trata, evidentemente, de entender esterazonamiento para poder aplicarlo cuando sea necesario, no de aprenderse la receta “si losnumeradores son iguales, la fracción mayor es la que ...”. Por supuesto, la representación

Las fracciones 93

gráfica, que vemos en la figura 3.5, es de gran ayuda para entender el razonamiento en lasprimeras fases del aprendizaje.

3

5

3

4

Figura 3.5: Comparación de fracciones con el mismo numerador.

3. Comparación con otra fracción.

En algunas situaciones la comparación con otra fracción conocida puede ser suficiente paraver qué fracción es mayor sin hacer ninguna cuenta. Supongamos que tenemos que com-parar las fracciones 5

11 y 917 . Debería ser fácil darse cuenta de que 5

11 < 12 (y sería útil que

el lector pensara un argumento para convencer de ello a un alumno que no lo ve), y que9

17 > 12 . Por tanto, 5

11 < 917 .

En otras situaciones podremos comparar fracciones con otro tipo de razonamientos. En unejercicio anterior se proponía comparar las fracciones 5/6 y 6/7. Como vemos en la figu-ra 3.6, la representación gráfica deja claro que 5/6 < 6/7. Creemos útil explorar un poco máseste ejemplo, pues avanzar en la representación simbólica nos permitirá generalizar el argu-mento a casos en los que el tamaño de los números no permita la representación explícitade las fracciones. A estas dos fracciones les falta 1 “parte” para la unidad, es decir,

5

6= 1− 1

6

6

7= 1− 1

7.

Ahora bien, como 1/7 es menor que 1/6, se deduce que 5/6 es menor que 6/7.

5

6

6

7

Figura 3.6: Comparación de las fracciones 5/6 y 6/7.

Si este último paso del razonamiento no está del todo claro, creemos que la mejor formade entenderlo es tratar de aplicarlo al siguiente ejercicio, cuya solución detallada está en elcapítulo final.

94 Las fracciones

Ejercicio 3.1. Compara las fracciones11

12y

15

16(razonando, y evitando cuentas innecesa-

rias).

4. Reducción a común denominador.

Ya que comparar fracciones es fácil cuando tienen el mismo denominador, se pueden bus-car fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador. Es el procedi-miento más general, válido para todos los casos. Es también el procedimiento más mecáni-co, pero merece la pena hacer algún comentario sobre él.

Supongamos que queremos comparar las fracciones 4/21 y 5/24. En este caso no hay nin-gún procedimiento sencillo que nos permita comparar las fracciones sin escribirlas con unmismo denominador. Ahora bien, ese denominador común no tiene por qué ser necesaria-mente el menor posible. En este caso, el cálculo de ese mínimo común denominador seríala cuenta más larga del ejercicio. Podemos usar como denominador 21×24 (ni siquiera esnecesario hacer esta cuenta) y escribir que

4

21= 24×4

24×21

5

24= 21×5

21×24.

Como 24×4 = 96 y 21×5 = 105, concluímos que 4/21 es menor que 5/24.

Es posible que el lector esté echando de menos alguna de las “recetas” más populares para com-parar dos fracciones.

Una de ellas, dice que si queremos comparar las fracciones a/b y c/d , es suficiente comparar siad es mayor que bc. En caso afirmativo, la primera fracción es mayor (y en caso contrario, esmenor). Si el lector conocía esta receta, le proponemos como tarea que compruebe que se tratade una versión “oscurecida” (en el sentido de que no es inmediata de entender) de la técnicaque hemos presentado en el ejemplo anterior, ya que los términos ad y bc no son más que losnumeradores de las fracciones cuando se usa como denominador común el producto bd .

Otra alternativa popular para comparar dos fracciones es recurrir a su expresión como númerodecimal. Nos parece que forma parte de un patrón de comportamiento con presencia relevanteen nuestras aulas, y que se podría describir como el uso de los decimales para evitar las frac-ciones. Creemos que es un error. Es cierto que las fracciones son, seguramente, el contenido delas matemáticas de Primaria que origina más dificultades de aprendizaje; pero la respuesta nopuede ser evitar las fracciones, lo que seguramente causará más dificultades en su compren-sión, sino trabajarlas con calma y profundidad. Al fin y al cabo, se puede argumentar que lacomparación de fracciones no tiene interés, como procedimiento en sí mismo (y podríamos es-tar de acuerdo con ello, al igual que en el caso de otros muchos procedimientos, que se puedenreducir en estos tiempos a la pulsación de unas cuantas teclas). Sin embargo, también creemosque la comparación de fracciones es una situación muy adecuada para proponer actividadesque ayuden a la comprensión de las fracciones, y ese ha sido el objetivo fundamental de estasúltimas páginas.

Las fracciones 95

3.1.3. Fracciones impropias

Se dice que una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Al prin-cipio es con las que se trabaja, pues es con ellas con las que tiene sentido la idea de que unafracción es la parte de un todo. Cuando el numerador es mayor (o igual) que el denominador,esta idea de “parte de un todo” deja de tener sentido. Es importante darse cuenta de que el pasoa la situación en que el numerador es mayor (o igual) que el denominador, las fracciones impro-pias, supone un salto conceptual que hay que trabajar de manera adecuada. Después de haberseplanteado repetidamente situaciones del tipo “he comido 3/4 de la tarta", hay que darse cuentade que decir “he comido 5/4 de ¿la tarta?" puede plantear dificultades a algunos alumnos.

Creemos que la mejor herramienta para entender las fracciones impropias es la recta numérica.Por tanto, antes de empezar el estudio de las fracciones impropias deberíamos haber trabajadoconvenientemente la representación de las fracciones propias en la recta numérica. Si hemosentendido que para representar la fracción 3/4 lo que hacemos es darnos cuenta de que 1/4corresponde a dividir el intervalo (0,1) en cuatro partes iguales, y luego tomar tres de esas par-tes, para representar la fracción 9/4 tenemos que hacer exactamente lo mismo, tomando ahoranueve de esas partes (figura 3.7). De esta manera también es fácil entender que

9

4= 4

4+ 4

4+ 1

4= 2+ 1

4. (3.1)

Ahora ya podemos hablar de que hemos comprado 9/4 de pizza (aunque sea una compra pocohabitual, ciertamente), o que hoy hemos bebido 9/4 litros de agua.

0 1 2 3

3

4

9

4

Figura 3.7: Fracciones propias e impropias en la recta numérica.

Un pequeño comentario sobre los números mixtos. La expresión 2+ 14 se puede escribir también

2 14 (sin ningún signo entre el entero y la fracción). A estos números se les llama número mixtos.

Están en nuestro currículo, pero su estudio nos parece claramente prescindible. Por supuestoque es importante entender la fracción 9

4 como 2+ 14 , pero ahorrarse el signo “+” y escribir-

lo como 2 14 tiene más inconvenientes que ventajas. En el mundo anglosajón el estudio de los

números mixtos sigue estando presente, ya que se usan en la vida cotidiana por el sistema demedidas imperial, pero en nuestro entorno ha desaparecido. Esta será la última mención a losnúmeros mixtos (en el sentido de escribirlos sin el signo “+” entre la parte entera y la fracciona-ria) en este texto.

Igual que en situaciones parecidas, no debemos apresurarnos a presentar en el aula de Prima-ria el procedimiento general para escribir cualquier fracción impropia como una parte entera y

96 Las fracciones

una parte fraccionaria (que será una fracción propia). De hecho, no está claro que sea necesa-rio hacerlo, ya que no es fácil encontrar una justificación para el uso de una fracción como, porejemplo, 53

4 . Está claro que en este caso la representación en la recta numérica será un proce-dimiento tedioso, pero la expresión (3.1) nos da la pista de cómo proceder: tenemos que hacergrupos de 4, pues cada grupo de 4 será una unidad. Por tanto, la división 53 = 13×4+1 nos diceque en 53 hay 13 grupos de 4 y sobra 1, es decir,

53

4= 13+ 1

4.

3.2. Suma (y resta) de fracciones

La suma de fracciones con el mismo denominador es una operación que debería resultar sen-cilla si se ha trabajado bien el significado de fracción. Naturalmente, la suma de fracciones sedebe introducir con el apoyo visual o de materiales adecuado. En la figura 3.8.a vemos la repre-sentación gráfica de “si sombreamos 1/8 del total y rayamos 3/8 del total, ¿qué fracción del totalhemos coloreado?”.

1

8+ 3

8= 4

8= 1

2

5

8− 3

8= 2

8= 1

4

a) b)

Figura 3.8: Suma y resta de fracciones con el mismo denominador.

La resta de dos fracciones con el mismo denominador se debe tratar en paralelo, igual que sehizo en su momento con la suma y la resta de números naturales. En la figura 3.8.b hemos re-presentado una situación como esta: “Luis ve en la mesa 5/8 de tarta y se come 3/8 de tarta,¿cuánta tarda queda?”.

Una observación importante en este momento es insistir en que, cuando se suman (o se restan)fracciones, hay que prestar atención a que ambas se refieran al mismo total, para evitar errorescomo el que comentamos en el ejemplo 3.2. Esto es especialmente importante en la resoluciónde problemas, y en la introducción de la suma, cuando las fracciones se han tratado funda-mentalmente como parte de un todo, y la representación de las fracciones en la recta numéricapuede ser un tema que no está todavía suficientemente trabajado.

Las fracciones 97

3.2.1. Distinto denominador

Estamos ante una de las situaciones en las que nos parece especialmente importante hacer alalumno consciente del problema antes de darle la solución. Lo ideal es que el ejemplo sea su-ficientemente sencillo para que los alumnos puedan darse cuenta del problema que tenemoscuando los denominadores son distintos, con el apoyo visual o de materiales adecuado. Es im-portante trabajar esta situación con distintas representaciones de las fracciones. En la figura 3.9aparece la representación de la suma 1

2 + 14 con el círculo y también con el rectángulo (la “ba-

rra”). Como ya hemos trabajado las fracciones equivalentes, la alternativa de expresar 1/2 como2/4 debería ser natural.

1

2+ 1

4=

Figura 3.9: Un primer ejemplo de suma con distinto denominador.

La idea fundamental de la suma de fracciones es que debemos buscar fracciones equivalentesque tengan el mismo denominador. Una forma de que esto quede más claro es que el alumnose centre, al principio, en esa parte del problema. Para conseguir esto, le podemos dar resueltala tarea de buscar ese denominador común, como en estos ejemplos, en los que debe encontrarlos numeradores:

a)2

3+ 1

6=

6+ 1

6= b)

3

10+ 2

5= 3

10+

10=

En este momento resulta muy útil representar gráficamente el proceso de reducción a comúndenominador, como hemos hecho en la figura 3.10 para el ejercicio a).

2

3+ 1

6

4

6+ 1

6

Figura 3.10: Representación gráfica de la reducción a común denominador.

98 Las fracciones

Otra idea que persigue este mismo objetivo (hacer sencillo el cálculo del denominador común)es lo que en el mundo anglosajón se conoce como related fractions, y que traduciremos co-mo fracciones relacionadas: se trata de fracciones en las que un denominador es un múltiplo(sencillo) del otro. Los casos de fracciones con distinto denominador que hemos consideradohasta ahora son todos de este tipo. Recordemos una vez más la idea detrás de este tipo de estra-tegias: para evitar problemas de sobrecarga cognitiva, facilitamos el cálculo del denominadorcomún, para que el alumno pueda centrarse en el resto del proceso. Una vez que esta partedel procedimiento esté consolidada, podremos considerar situaciones en las que el cálculo deldenominador común requiere más atención.

En el caso general, el denominador común no será ninguno de los denominadores que aparecenen la suma original, sino un múltiplo común de ambos. Una forma sencilla de encontrar esemúltiplo común puede ser considerar el producto de los denominadores, como en este ejemplo:

1

4+ 1

6= 6

24+ 4

24= 10

24= 5

12.

Es verdad que, si los números crecen, o si tenemos que sumar más de dos fracciones, este pro-cedimiento puede dar lugar a denominadores grandes, y puede ser recomendable introducir laidea del menor de los denominadores posibles, es decir, el mínimo común múltiplo. Pero cree-mos que el uso del mínimo común múltiplo para la suma de fracciones no debería incluirse enla etapa de Primaria, pues esto puede dificultar la comprensión, al menos en el caso de algu-nos alumnos. Para que los números no se hagan demasiado grandes existe otra alternativa, y esproponer ejemplos con denominadores adecuados. En la figura 3.11 podemos ver las sumas defracciones más complicadas que se tratan en la Educación Primaria en Singapur.1

Figura 3.11: Sumas de fracciones en 5º de Primaria en Singapur.

Es muy posible que el lector esté pensando que estas sumas de fracciones son “muy sencillas”, yseguramente lo son, comparadas que las que se ven en muchas de nuestras aulas, al final de laetapa de Primaria. Nos parece un buen ejemplo de cómo en España dedicamos tiempo y esfuer-zo a los procedimientos rutinarios más técnicos. En Singapur, en cambio, limitan esos procedi-mientos y ponen mucho más énfasis en la resolución de problemas. Como ejemplo, terminamosesta sección con el siguiente problema, tomado de la prueba final de Primaria de Singapur. Elproblema debe resolverse con métodos de Primaria, es decir, sin álgebra.

1La etapa de Educación Primaria en Singapur consta de seis cursos, y los alumnos empiezan a los 6 años.

Las fracciones 99

Ejercicio 3.2. Luis y Nuria hicieron tarjetas durante dos días. El sábado Nuria hizo 19 tarjetasmás que Luis. El domingo, Nuria hizo 20 tarjetas, y Luis hizo 15. Al acabar los dos días, compro-bamos que Nuria hizo 3/5 del total de las tarjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Luis?

En los siguientes enlaces se puede ver la prueba externa que hemos mencionado completa.Puede ser una buena forma de hacerse una idea más precisa de la diferencia de enfoque.

http://bit.ly/2nvVLSE

http://bit.ly/2p42NhX

Antes de empezar el estudio de la multiplicación de fracciones, veamos algunos ejercicios más.Son también problemas que no se tratan en España en Primaria, pero que con una auténticacomprensión de las fracciones, y con el apoyo gráfico adecuado, pueden convertirse en pro-blemas al alcance de al menos una parte de los alumnos de los últimos cursos de Primaria. Y,por supuesto, son problemas que podrían ser tratados en Secundaria, sin necesidad de la ma-quinaria algebraica, que es muy potente, pero que muchas veces se convierte en un obstáculoque impide profundizar en la comprensión de los conceptos aritméticos. Las soluciones, en elcapítulo final.

Ejercicio 3.3. He abierto el grifo y he comprobado que al cabo de 1 hora se han llenado 5/8 deldepósito. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito completo?

Ejercicio 3.4. Una barra de 156 cm de largo se partió en dos piezas. Si sabemos que 2/7 del trozomás grande miden lo mismo que 2/5 del trozo más pequeño, ¿cuál es la longitud de cada uno delos trozos?

Ejercicio 3.5. Juan compró 80 naranjas y 52 manzanas, y usó la misma cantidad de naranjasque de manzanas para hacer zumo. Si después de hacer el zumo 3/8 del total de las frutas eranmanzanas, ¿cuántas naranjas usó para hacer zumo?

Ejercicio 3.6. Luis pagó 845 € por una mesa y 4 sillas. El precio de cada silla era 2/5 del preciode la mesa. ¿Cuánto pagó Luis por la mesa?

3.3. Multiplicación de fracciones

Desde el punto de vista procedimental, la multiplicación de fracciones es la operación más sen-cilla, no hay más que multiplicar los numeradores y los denominadores. De hecho, no es rarover en nuestras aulas que, para calcular 5× 2

3 se escribe 51 × 2

3 . El problema de este enfoque esque muchos alumnos no entienden qué significa multiplicar dos fracciones y, por tanto, es muyposible que no sepan interpretar la operación de manera adecuada cuando llegue la resoluciónde problemas.

Veamos un enfoque más gradual, donde consideramos primero los casos en que uno de los fac-tores del producto es un número natural, y con el que se intenta dejar claro que la multiplicaciónde fracciones es la extensión de la ya conocida multiplicación de números naturales.

http://bit.ly/2nvVLSE

http://bit.ly/2p42NhX

los números naturaleslos números naturales 53 2.una cantidad es par cuando sus elementos se pueden...

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