Conferencia No 21

Título: Generalización de Método de Westergaard

Sumario: Capítulo 6 Análisis de la superestructura.

• Aplicaciones del método de Westergaard a otra condiciones de borde

• Ejemplos de aplicación.

Objetivos:

• Conocer como se aplica el método de Westergaard al caso de losas de tablero.

• Aplicar el método de Westergaard al caso de losas de tablero.

Bibliografía:

Texto de puentes Tomo II Primera Parte

pp.96 - 122

Losa de Ancho infinito y los otros dos bordes empotrados con una carga P

aplicada en el centro. Momentos Flectores Positivos.

Las expresiones aproximadas para determinar los momentos Mx(e) y My(e) son las

siguientes:

Mx(e) = Mx - 0,0699P = Mx [0,83783 – 0,5592(C/L)]

My(e) = Mx - 0,1063P

Donde:

Mx = PL/4E según la expresión del caso No.1

Si la losa no es de ancho infinito se tendrá en cuenta la estrechez modificando el

ancho eficaz.

Otra forma de calcular el Mx(e) es utilizando un coeficiente con el que se obtiene

suficiente precisión o sea se considera que:

Mx(e) = 0,8 Mx

Existe un método aproximado pero muy sencillo para hallar el momento teniendo

en cuenta la continuidad de la losa. Este criterio es de Westergaard y plantea que:

Donde:

Mx = Momento flector en losas isostática debido a las cargas permanentes y

accidentales.

CL = Coeficiente de reducción de los momentos isostáticos.

Mx(e) = Momento flector en losas continua.

Es importante señalar que el momento flector Mx(e) calculado por esta forma

corresponde solo a la flexión local, es decir no incluye la flexión general

En este caso CL puede tomar un valor para momento positivo diferente al de

momento negativo. Veamos:

Si:

ho: Es la altura total de la losa.

h: Altura de la viga.

Entonces se plantea:

Si:

Si:

Losa de tablero, sobre la cual actúa un sistema de carga P

Flexión Local

Las losas de tablero tal como se dijo anteriormente pueden estar apoyadas en dos

bordes, cuando no hay diafragmas o en cuatro bordes si existen diafragmas

transversales, no obstante en este último caso la distancias entre los diafragmas (lo)

es por lo general mayor que dos veces la distancia entre los ejes de la vigas (bo), es

posible aplicar el método de Westergaarad, con suficiente aproximación; en

cualquiera de las condiciones de apoyo, (con o sin diafragmas), pero considerando

la losa apoyada en dos bordes y de ancho infinito.

Si existen diafragmas transversales no es necesario no es necesario hacerle

modificación al ancho eficaz por cercanía de la carga al borde.

Desde el punto de vista práctico el espaciamiento entre las vigas, bo, varía entre

0,90 m. a 2,50 m. y para el cálculo de la flexión local es suficientemente

aproximado considerar una fila en el centro de la luz correspondiente a la losa

entre vigas analizadas

Sección transversal sin diafragma

Sección transversal con diafragma

Ejemplo 1

Calcular el momento flector en la losa de tablero por el método de Westergaard para

la carga NK80.del puente cuya sección transversal y longitudinal se muestra en la

figura. El tablero no lleva diafragma.

Solución

Observe que esta losa trabaja en una sola dirección porque aunque estuviera

apoyada en el extremo de la luz, tendríamos:

L/bo=20/2=10>2.

1.Análisis longitudinal:

Se escoge para trabajar la luz libre y esta se considera como simplemente

apoyada.

Llibre=2,0-0,40=1,60m

Mfila= PL/4= 10.1,60/4 = 4ton-m = 40Kn-m

Ancho eficaz :

E=0,6L +2C=0,6(1,60)+2(0,45)=1,86m

Análisis transversal:

Para el análisis transversal se analizan los dos casos ya conocidos:

% de incremento debido a cargas en fajas paralelas:

Caso I

Carga Y(m) Y/L 10(Y/L)2 1+10(Y/L)2 %inc.

1 1,8 1,125 12,66 13,66 7,32

2 0,6 0,375 1,41 2,41 41,49

3 0,6 0,375 1,41 2,41 41,49

4 1,8 1,125 12,66 13,66 7,32

Mx=Mfila % inc

E

n

i=1

Mx=40 0,073+0,415+0,415+0,073

1,86 = 20,99 kN− m

Caso II

Carg

a

Y(m) Y/L 10(Y/L)2 1+10(Y/L)2 %inc.

1 1,20 0,75 5,62 6,62 15,10

2 0,00 0,00 0,00 1,00 100

3 1,20 0,75 5,62 6,62 15,10

4 2,40 1,50 22,50 23,50 4,23

Mx=Mfila % inc

E

n

i=1

Mx=40 0,15+1,0+0,15+0,042

1,86 = 28,80 kN− m

Mx*=28,80.1,1=31,68Kn-m.

Como se aprecia, predomina este caso.

No olvidemos que si se quiere hacer el diseño de la losa, debe hacerse el mismo

trabajo con la carga N30 y comparar los dos momentos flectores mayores obtenidos

para cada una de estas cargas. El mayor de estos será el escogido para el diseño y

se sumara este al momento de carga permanente.

No obstante, vamos a continuar realizando el trabajo con el momento mayor aquí

obtenido.

Carga permanente:

Para el análisis de esta carga, se escoge transversalmente una faja de 1m de ancho

de losa. Vamos a realizar el análisis como si todo fuera Hormigón. En realidad este

peso es insignificante.

𝑀𝑝 =𝑞𝐿2

8= 3,75. 1,62

8

Mp = Mp=1,20Kn-m

Mp*=1,20.1,20 =1,44Kn-m

Mxt*= 31,68+1,44=33,12Kn-m.

Ahora pasamos a tener en cuenta que la losa es continua y no simplemente apoyada

como se supuso en el cálculo. Para esto, tenemos:

Donde:

CL: Coeficiente que tiene en cuenta la continuidad de la losa.

1) Criterio : Considera que los momentos en losas continuas pueden considerarse

un 20% menor que en el caso isostático. Por tanto: CL= ±0,8

Luego: M+x©=M-

x©=0,80Mx=0,80(33,12)=26,50 Kn-m.

2) Criterio: A través del siguiente expresión

CL = [0,83783 – 0,5592(C/L)]

Por lo tanto:

Mx(e) = Mx [0,83783 – 0,5592(C/L)] = 33,12 [0,83783 – 0,5592.(0,45/1,6)]

Mx(e) = 22,54 Kn-m.

3) Criterio de Westergaard:

Como ho/h = 0,15/0,90 = 0,16 < 1/4 = 0,25, esto implica:

M+(e) = 0,5Mx=0,5(33,12)=16,56Kn-m.

M-x(e) =0,7Mx=0,7(33,12)=23,18Kn-m.

Ejemplo 2

La losa de 0,15 m de espesor, que se muestra en la figura, se apoya sobre vigas

espaciadas a 2,10 m. continua en todos los sentidos. La losa tiene una luz libre de

1,94 m y una longitud mayor que 2 veces su ancho. La longitud del tablero es de

12 m y no se le colocaron diafragmas.

Determine el valor del momento flector positivo en la losa del tablero debido a la

carga N30

Solución.

Cálculo del momento de fila (Mfila)

Para N30

Análisis longitudinal

Mfila = PL/4 = 60.1,94/4 = 29,1 kN-m.

Cálculo del ancho eficaz.

E = 0,6L+ 2C = 0,6.1,94 + 2.0,4

E = 1,964 m

Efecto de las cargas en la misma faja

ei = E No hay cargas en la misma faja

Comprobación si la losa es de ancho infinito

B/L = 12/1,94 = 6,18 > 1,6 losa de ancho infinito y no se hace reducción por

estrechez de losa.

Por lo tanto

ec = ei = E = 1,964 m

Análisis transversal

Efecto de las cargas en fajas paralelas

Como la losa tiene 12 m. de ancho al colocar una carga en el centro de la losa la

otra carga estará a 1,6 m. y la del eje delantero saldrá fuera del puente.

Por lo tanto solo influye una sola carga.

Cercanía de la carga al borde

Se puede aplicar porque no hay diafragmas

e = ec /2 + d ≤ ec

d = 6 – 1,6 = 4,4 m.

e = 1,964 /2 + 4,4 = 5,382 m. > ec = 1,964 m

Por lo tanto.

e = ec = 1,964 m

Cálculo del momento Mx

Mx= κ Mfila = Mfila % inc

E

n

i=1

Mx= 29,1 1+0.128

1,964 = 16,71 kN−m

Mx(e) = Mx [0,83783 – 0,5592(C/L)] = 16,71 [0,83783 – 0,5592.(0,4/1,94)]

Mx(e) = 12,03 kN–m/m