losonczi laszl´ o´riemann.math.klte.hu/~losi/jegyzet/eco/kieg_felad_folia.pdfproblema megoldhat´...

Kiegészitő feladatok

Losonczi László

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév

Losonczi László (DE) Kiegészitő feladatok 2011/12 tanév, II. félév 1 / 24

Szállı́tási feladat

(Szállı́tási probléma) Árut kell elszállı́tani három telephelyről(Kecskemét, Pécs, Szombathely) öt területi raktárba, melyekBudapesten, Kaposváron, Pápán, Sopronban és Veszprémbenvannak. Az áruk bármely telephelyről bármelyik raktárba elszállı́thatók,de természetesen a távolabbi raktárba való szállı́tás többe kerül. Afeladat annak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállı́tani azegyes telephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállı́tási költségminimális legyen, a szükségleteket kielégı́tsük, és ne akarjunksehonnan se az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket(mázsában) a szállı́tási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázatadja.

Bud. Kap. Pápa Sopr. Veszp. KészletKecsk. 4 6 8 10 5 310Pécs 6 4 5 6 3 260Szomb. 9 5 4 3 5 280Igény 220 200 80 180 160



Ha a szállı́tott mennyiségek Kecskemétről az egyes raktárakba, afelsorolt sorrendben x11, . . . , x15 Pécsről x21, . . . , x25 Szombathelyrőlx31, . . . , x35, akkor

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 310 Kecskemét készletex21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 260 Pécs készletex31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 280 Szombathely készlete

x11 + x21 + x31 = 220 Budapest igényex12 + x22 + x32 = 200 Kaposvár igényex13 + x23 + x33 = 80 Pápa igényex14 + x24 + x34 = 180 Sopron igényex15 + x25 + x35 = 160 Veszprém igénye

z = (4x11 + 6x12 + 8x13 + 10x14 + 5x15)+(6x21 + 4x22 + 5x23 + 6x24 + 3x25)+(9x31 + 5x32 + 4x33 + 3x34 + 5x35) → min


ahol a minimalizálandó háromszor öttagú összeg a három telephelyrőlvaló szállı́tás összköltsége.A készletek összege 850q, az összigény 840q.A WinQSB szoftver Network Modeling moduljában a szállı́tásiprobléma (Transportation Problem) adatai azonnal beı́rhatók, és aprobléma megoldható anélkül, hogy átfogalmaznánk lin. prog.problémára (TRSPORT1.NET).



Oldja meg az alábbi szállı́tási problémát! Árut kell elszállı́tani háromtelephelyről (T1,T2,T3) négy területi raktárba (R1,R2,R3,R4). Az árukbármely telephelyről bármelyik raktárba elszállı́thatók, determészetesen a távolabbi raktárba való szállı́tás többe kerül. A feladatannak meghatározása, hogy mennyi árut kell elszállı́tani az egyestelephelyekről az egyes raktárakba úgy, hogy a szállı́tási költségminimális legyen, a szükségleteket kielégı́tsük, és ne akarjunksehonnan se az ott lévő készletnél elvinni. A készleteket és igényeket(mázsában) a szállı́tási költségeket (ezer Ft/q-ban) az alábbi táblázatadja(TRSPORT2.NET).

R1 R2 R3 R4 KészletT1 4 6 8 10 400T2 7 5 3 3 500T3 11 5 6 4 300Igény 300 420 180 200


Munkafolyamatok beosztása, assignment problem

Egy üzemben 4 munkás dolgozik W1 (Tibor), W2 (Péter), W3 (János),W4 (Rudolf) és 4 különböző munkafolyamatot kell elvégezni (jobs):J1, J2, J3, J4. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes munkásokmennyi idő alatt képesek elvégezni a munkafolyamatokat.

From/to J1 J2 J3 J4W1 (Tibor) 3 6 7 10W2 (Péter) 5 6 3 8W3 (János) 2 8 4 16W4 (Rudolf) 8 6 5 9



Melyik munkás melyik munkát kapja a J1, J2, J3, J4 közül, ha mindegyikmunkát el kell végezni, minden munkás csak egyfélemunkafolyamaton dolgozik, és az összidő minimális legyen.Legyen xij = 1 ha Wi végzi a Jj munkát, különben legyen xij = 0.A célfüggvény (idő=költség)

z =3x11 + 6x12 + 7x13 + 10x14 + 5x21 + 5x22 + 3x23 + 8x24+2x31 + 8x32 + 4x33 + 16x34 + 8x41 + 6x42 + 5x43 + 9x44 = min.

(1)



feltéve, hogy:

x11 + x12 + x13 + x14 = 1 W1 a 4 munka közül egyet végez elx21 + x22 + x23 + x24 = 1 W2 a 4 munka közül egyet végez elx31 + x32 + x33 + x34 = 1 W3 a 4 munka közül egyet végez elx41 + x42 + x43 + x44 = 1 W4 a 4 munka közül egyet végez elx11 + x21 + x31 + x41 = 1 J1-et a 4 dolgozó közül egy végzi elx12 + x22 + x32 + x42 = 1 J2-et a 4 dolgozó közül egy végzi elx13 + x23 + x33 + x43 = 1 J3-et a 4 dolgozó közül egy végzi elx14 + x24 + x34 + x44 = 1 J4-et a 4 dolgozó közül egy végzi el

A WinQSB menüben válasszuk a Network Modeling opciót, és az(ASSIGN.NET) csomagot.


SHORTEST PATH PROBLEM, a legrövidebb útproblémája

A CMP nevű gyár kamionjai az üzem és a kihelyezett gyártóegységekközött szállı́tanak árut, melyek helye Nashville, Atlanta, Dallas, Miamiand New York ld. az ábrát.


SHORTEST PATH PROBLEM, a legrövidebb útproblémája

A tulajdonos tudni akarja a legrövidebb utat az gyártól Miamiba.Válasszuk a Network Modeling opciót a WinQSB menüben, majd aShortest Path Problem csomagot. Cél: Minimalizáció. A csomópontokszámozása Dallas (1), Nashville (2), CMP (3), NYC (4), Atlanta (5),Miami (6). (SHORTEST.NET)


MAXIMAL FLOW PROBLEM

Egy várost kell kiüriteni a legrövidebb idő alatt. Az úthálózatot akövetkező ábra mutatja.


MAXIMAL FLOW PROBLEM

Az utak kapacitása (átbocsájtó képessége) áthaladó jármű/ percegységekben van megadva. WinQSB-ben válassza Network Modelingmodult, majd a Maximal Flow Problem-et. A cél (default) Maximization.(EVACUATE.NET) Graphic solution.


A NETWORK FLOW (TRANSSHIPMENT) PROBLEM

Két raktárunk van (two supply points) S1,S2, három átrakodási pont(three transshipment points) T1,T2,T3 és két célállomás (two demandpoints) D1,D2. A raktárak kapacitását, a célállomások igényeit és amegfelelő szállı́tási költségeket az ábra mutatja. Cél a minimálisköltség, úgy, hogy a teljes szükségletet kielégı́tsük. Ez lehetséges,mert a készlet és az igény megegyezik (1200 egység).



Legyenek x11, x12 az S1-ből T1, T2-be szállı́tott mennyiségek, ésx22, x23 az S2-ből T2, T3-be szállı́tott mennyiségek. Továbbá by y11 aT1-ből D1-be szállı́tott mennyiség, y21, y22 a T2-ből D1, D2-be szállı́tottmennyiségek, y32 pedig a T3-ból , D2-be szállı́tott mennyiség. Aköltség

z = 4x11 + 5x12 + 3x22 + 6x23 + 3y11 + 4y21 + 2y22 + 3y32

minimalizálandó, feltéve, hogy

x11 + x12 ≤ 500 készlet korlátozás S1-nélx22 + x23 ≤ 700 készlet korlátozás S2-nély11 + y21 = 800 az igényt D1-nél ki kell elégı́teniy22 + y32 = 400 az igényt D2-nél ki kell elégı́teni

x11 = y11 ami T1-be bemegy az ki is megyx12 + x22 = y21 + y22 ami T2-be bemegy az ki is megy

x23 = y32 ami T3-ba bemegy az ki is megy



és az összes változó xij , yki nemnegatı́v kell, hogy legyen. Most akészlet egyenlő az igénnyel. Ha a készlet nem fedezi az igényt, akkora D1, D2 igényére vonatkozó egyenletekben egyenlőség helyett kisebbvagy egyenlő jel ı́randó.

WinQSB-ben válassza a Network Modeling-et, majd a ProblemType-nál a Network Flow, TRSSHIPM.NET-et. Cél Minimalizálás.Matrix Form az adatbevitelre. Név: Transshipment Problem. Hétcsomópontunk van, adatbevitel, megoldás.


TRAVELING SALESMAN PROBLEM=utazó ügynökproblémája

A CMP gyár üzletkötői a gyártóüzem, vállati iroda és a vevőik közöttutaznak. A megrendelések a vállalati irodába futnak be, ezután azüzletkötő (esetleg először elmegy a gyártó üzembe, felveszi amegrendelt árúkat, majd sorba bejárja a megrendelőket, mindegyiketcsak egyszer, leszállı́tja a megrendelést, végül visszatér az irodába.Ez a klasszikus utazó ügynök probléma. A következő ábra mutatja abejárandó helyeket és távolságaikat.



A WinQSB-ben válassza a Network Modeling-et, klikkeljen aTRVSALES.NET -re. A célfüggvény kritérium a teljes megtett útminimalizálása. Az adatokat mátrix formában értelemszerűen gépeljükbe(a feladat neve, number of nodes (a meglátogatandó helyek száma)6, OK, majd az edit menüben meadjuk a helyek nevét, és a megfelelőtávolságokat). Ezután a Solve and Analyze -ra klikkelünk, a legördülőmenűben kiválastjuk a megoldási módszert (nálunk Branch and BoundMethod) majd a solve-ra klikkelünk. A szoftver megadja a megoldást:az üzletkötő a CMP irodából New Yorkba, onnan Atlantába, majdMiamiba onnan Dallasba majd Nashvillebe utazik ahonna visszatér aCMP irodába. Összesen 5330 milet kell utaznia. A megoldásgrafikusan is megjelenı́thető.


A MINIMAL SPANNING TREE PROBLEM (minimálisfeszı́tőfa)

CMP egy tűzvédelmi rendszert akar kiépı́tani (tűz esetén viz permetezalkalmas helyeken elhelyezett szórófejekből= sprinkler system). Ahivatal elrendezését az alábbi ábra mutatja.



Minimalizálni akarjuk a beépitendő csövezeték hosszát. AWinQSB-ben válasszuk a Network Modeling menűt, majd aproblématı́pusnál a Minimal Spanning Tree-t. A cél minimalizáció(default). 9 csomópont van: Entrance, Lobby, Office, Control Room,Computer Room, Shop 1, Shop 2, Restroom, and Storage. Írja be amegfelelő távolságokat a megfelelő cellákba, majd Solve and Analyze.A következö ábra mutatja a megoldást. A minimális csőhossz 507 feet.A graphical solution opció mutatja a csomopontok összekötéseit és atávolságokat.(SPRINKLER.NET) (symmetric arcs)


TERMELÉSI FELADAT

BU egy kis bútorüzem mely székeket és asztalokat gyárt, speciálisanyagokból, melyek mennyisége korlátozott. Minden héten 100 táblacseresznyefát tudnak szállı́tani az üzembe. Egy székhez 4 tábla fa,egy asztalhoz 8 táblányi fa szükséges. Székekre korlátlan a kereslet,de asztalokból legfeljebb 10 darabot tudnak értékesı́teni. Az üzembenhetente 120 munkaórát tudnak a termelésre fordı́tani. Egy széket 6 óraalatt, egy asztalt 4 óra alatt készı́tenek el. Székenként 2000 Ft ahaszon, asztalonként 3000 Ft a haszon.Melyik termékből hány darabot gyártsunk, ha maximális haszon acélunk?


TERMELÉSI FELADAT

Megoldás: tegyük fel hogy a gyártott székek ill. asztalok száma x1 ill.x2, akkor a faanyag korlát, eladási korlát, munkaerő korlát:

4x1 + 8x2 ≤ 100,x2 ≤ 10,

6x1 + 4x2 ≤ 120.

Nyilvánvalóan x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. A heti haszon

2000x1 + 3000x2 forint.

Megoldás grafikusan vagy Win QSB-vel(FAUZ1.LPP):x1 = 17.5, x2 = 3.75, zmax = 46250.Mivel a célváltozók csak egészek lehetnek, ı́gy az ILP ezekre egész(integer) opciót kell beállı́tani (FAUZ2.LPP), ekkor megváltozik azoptimum: x1 = 17, x2 = 4, zmax = 46000.


losonczi laszl´ o´riemann.math.klte.hu/~losi/jegyzet/eco/kieg_felad_folia.pdfproblema megoldhat´...

Documents