1

MỤC LỤC

Mở đầu 2

Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4

1.1. Tập lồi…………………………………………………………….. 4

1.1.1 Tổ hợp lồi…………….………………………..…..... ….. 4

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện……………………………..… 6

1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….….. 11

1.2. Hàm lồi…………………………………………………….……. . 15

Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21

2.1. Định lý tách 1…………………………………………………..… 21

2.2. Định lý tách 2………………………………………………… ….. 26

Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27

3.1. Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32

3.2. Hệ bất đẳng thức lồi…………………………………………...….. 36

3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi………………..……………………..41

3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi……………………………..…43

3.5. Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

2

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập

lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong

nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bất

đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng.

Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về

bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay

không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên

thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp

nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của

một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là

có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ

xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý

chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một

đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau.

Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và

những ứng dụng quan trọng.

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là

những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.

Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày

nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas).

Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các

điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm

non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa

bài toán tối ưu véc tơ.

3

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê

Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong

suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân

thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ

tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa

Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.

Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời,

được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con. Kết quả của luận văn chính là món

quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con.

4

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải

tích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi,

hàm lồi…

1.1. Tập lồi

Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêu

phẳng, … đều là tập lồi. Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải

tích lồi. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a-

phin, tập lồi đa diện, nón lồi.

1.1.1 Tổ hợp lồi.

Định nghĩa 1.1

Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong nR là tập hợp tất cả

các điểm (véc tơ) nx R có dạng

| (1 ) ,nx x a b RR .

Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong nR là tập hợp tất cả các

điểm (véc tơ) nx R có dạng

| (1 ) ,0 1nx R x a b .

Định nghĩa 1.2

Một tập nC R được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua

hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi

, , 0;1 (1 )x y C x y C .

Ta nói véc tơ nx R gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ 1 2, ,..., m nx x x R nếu

5

1 1, 0 1, 2,..., , 1

m mi

i i ii i

x x i m

.

Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1)

Một tập con của nR là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các

điểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi:

11

1 1, ,..., 0 : 1, ,...,

k kk j

k j jj j

k N x x C x C

.

Chứng minh

Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với 2k .

Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm.

Với 2k , điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và

tổ hợp lồi.

Giả sử mệnh đề đúng với 1k điểm, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm.

Thật vậy, nếu x là tổ hợp lồi của k điểm 1,..., kx x C . Tức là

1 1, 0, 1,..., , =1.

k kj

j j jj j

x x j k

Giả sử 0k , đặt: 1

1

k

jj

. Khi đó, 0 1 và

1 1

1 1

k kjj k j k

j k kj j

x x x x x

.

Do 1

11

kj

j

và 0j

với mọi 1, 2,..., 1j k nên theo giả thiết quy nạp, điểm

1

1:

kj j

jy x C

.

Ta có kkx y x .

6

Do 0, 0k và 1

1k

k jj

nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và kx đều thuộc C .

Vậy x C .

Từ định nghĩa của tập lồi ta suy ra lớp các tập lồi là đóng với phép giao, phép

cộng đại số và phép nhân tích Decastes.

Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2)

Nếu , A B là các tập lồi trong nR , C là lồi trong mR , thì các tập sau là lồi:

: | ,A B x x A x B ,

: | , , , ,A B x x a b a A b B R ,

: | , : , m nA C x R x a c a A c C .

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện.

Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêu

phẳng. Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa

như sau:

Định nghĩa 1.3

Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai

điểm bất kỳ của nó, tức là

, , (1 )x y C R x y C .

Nhận xét 1.1

a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập và nR ) đều là tập lồi.

b) Mọi siêu phẳng trong nR đều là tập a-phin.

Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một

không gian con.

7

Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3)

Tập M là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M L a với L là một

không gian con và a M . Không gian con này được xác định duy nhất.

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a M .

Khi đó L M a chứa 0 và là tập a-phin. Do đó, L là một không gian con.

Vậy M L a

Điều kiện đủ: Nếu M L a với a M , L là một không gian con thì

, ,x y M R , ta có:

1 1x y a x a y a .

Do ,x a y a L và L là một không gian con nên

1 x a y a L .

1 x y M .

Vậy M là tập a-phin.

Không gian con L là duy nhất. Thật vậy, nếu M L a và ' 'M L a , trong

đó , 'L L là những không gian con và , 'a a M thì

' ' ' ( ')L M a L a a L a a .

Do 'a M a L , nên 'a a L .

' ( ')L L a a L .

Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song

với tập a-phin M .

Định nghĩa 1.4.

Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin M được định nghĩa bởi thứ

8

nguyên của không gian con song song với M và được ký hiệu là dim M .

Điểm na R là tập a-phin có số chiều bằng 0 bởi vì không gian con song

song với M a là 0L .

Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4)

Bất kỳ một tập a-phin nM R có số chiều r đều có dạng

|nM x R Ax b , (1.1)

Trong đó: A là ma trận cấp , mm n b R , và rankA n r .

Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rankA n r đều là tập a-phin có số chiều

là r .

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M L a với

a M . Vậy L M a là không gian con có số chiều là r .

Theo đại số tuyến tính không gian con r - chiều này có dạng | 0L x Ax

Trong đó, A là ma trận cấp m n và rankA n r .

Từ M L a suy ra

| 0 | |M x A x a x Ax Aa x Ax b .

Điều kiện đủ: Nếu M được cho bởi (1.1) với a M , ta có Aa b , do đó

| 0M x A x a a L ,

với | 0L x Ax

Do rankA n r nên L là không gian con có số chiều r .

Vậy dim M r

Định nghĩa 1.5

Siêu phẳng trong không gian nR là tập hợp các điểm có dạng

9

| ,nx R a x ,

trong đó: \ 0 ,na R R .

Véc tơ a ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng.

Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng

| , , | ,x a x x a x ,

trong đó: \ 0 , Rna R .

Nửa không gian mở là tập hợp có dạng

| , , | ,x a x x a x ,

trong đó: \ 0 , Rna R .

Như vậy, một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi

nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng. Nếu hai nửa không gian này đóng thì

phần chung của chúng chính là siêu phẳng.

Định nghĩa 1.6.

Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các

nửa không gian đóng.

Định nghĩa 1.7

Cho 0x C , ta nói siêu phẳng ,a x là siêu phẳng tựa tại 0x nếu

0, , , , a x a x x C .

Ta nói 0| , 0H x a x x là nửa không gian tựa của C tại 0x .

Định nghĩa 1.8

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập nS R cho trước được gọi là bao lồi

của S , ký hiệu coS , đó là tập lồi nhỏ nhất chứa S .

10

Tập nC R , giao của tất cả các tập a-phin chứa C là tập a-phin nhỏ nhất chứa C ,

gọi là bao a-phin của C . Ký hiệu affC .

Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2)

Cho C là một tập bất kỳ. Khi đó:

(i) Bao lồi của C là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C .

(ii) Bao a-phin của tập C là tập hợp bao gồm tất cả các điểm có dạng

11 ... k

kx x x (1.2)

sao cho 1, ... 1ikx C và k Ν .

Chứng minh.

(i) Gọi M là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C .

Vì coCC và coC lồi nên coCM . Vì thế để chỉ ra coCM , ta chỉ cần chứng tỏ

M là tập lồi .

Thật vậy, lấy ,x y M . Theo định nghĩa của M , các điểm này có dạng 1

ki

ii

x x

,

1

hj

ij

y y

, với , , 0, 0 ,i ji jx y C i j và

1 1

1, 1k h

i ji j

.Khi đó, nếu

0,1 thì

1 1

: 1 1k h

i ji j

i j

z x y x y

.

Do 1 1

1 1k h

i ji j

nên z là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc C . Vậy z M . Suy ra M lồi, và do đó

coM C .

(ii) Cho M là tập hợp các điểm có dạng (1.2).

Giả sử ,x y M , theo định nghĩa của M ta có:

11

1

ki

ii

x x

, 1

hj

ij

y y

.

Trong đó , , 1,.., , 1,...,i jx y C i k j h và 1 1

1, 1k h

i ji j

. Với bất kỳ, ta có

1 1

: 1 1k h

i ji j

i j

z x y x y

.

Do 1 1

1 1k h

i ji j

nên z M và do đó M là tập a-phin. Suy ra aff M E .

Định nghĩa 1.9.

Các điểm 1,..., kx x được gọi là độc lập a-phin nếu 1aff ,..., kx x có số chiều

là k , tức là, nếu các véc tơ 1 1,...,k k kx x x x là độc lập tuyến tính.

Hệ quả 1.1

Bao lồi a-phin M của tập k điểm độc lập a-phin 1,..., kx x trong nR là tập

a-phin ( 1)k - chiều.

Mọi điểm x M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

1

ki

ii

x x

, 1

1k

ii

1.1.3. Nón lồi

Định nghĩa 1.10

Một tập C Được gọi là nón nếu

, 0x C x C .

Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc

nón. Dĩ nhiên, một nón không nhất thiết là một tập lồi.

Ví dụ 1.1

12

| 0C x R x

là một nón nhưng không lồi.

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi đó, ta

nói 0 là đỉnh của nón. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.

Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.

Mệnh đề 1.5. (xem [2], mệnh đề 1.6)

Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i) , 0C C ,

(i) C C C .

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi. Do C là một nón nên ta có (i).

Do C là một tập lồi nên với mọi ,x y C thì 12

x y C .

Vậy theo (i) ta có x y C .

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii).

Từ (i) suy ra C là một nón. Giả sử ,x y C và 0,1 .

Từ (ii) suy ra , 1x C y C . Theo (ii) ta có 1x y C

Vậy C là một nón lồi.

Định nghĩa 1.11

Bao nón lồi của tập C là giao của tất cả các nón lồi chứa C , ký hiệu là

Cone C .

Định nghĩa 1.12

13

Cho C là một tập lồi trong nR . Một véc tơ 0y được gọi là hướng lùi xa

của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn

trong C . Tức là: y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

, , 0x y C x C .

Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là nón lùi xa của C ,

ký hiệu là re C .

Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn thì re C chỉ gồm duy nhất một gốc.

Nhận xét 1.2. Nếu C là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với

mọi x C , chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x C .

Mệnh đề 1.6. (xem [2], mệnh đề 1.7)

Giả sử C là một tập lồi đóng. Khi đó y là một hướng lùi xa của C khi và

chỉ khi

, 0x y C .

với một điểm x nào đó thuộc C .

Chứng minh

Giả sử , 0x y C với x C .Thế thì với mọi u C , mọi 0 , do C

lồi nên ta có

: 1x x y u C

.

Cho , do C đóng, ta thấy u y C ,với mọi u C và 0 .

Nhận xét 1.3. Trong trường hợp C không đóng thì bổ đề trên không đúng.

Ví dụ 1.2. Trong 2R lấy

1 2 1 2: , | 0, 0 0C x x x x x .

14

Hiển nhiên, véc tơ 0,1y có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm

0 x C theo hướng này đều nằm trọn trong C nhưng nếu xuất phát từ 0x thì

điều này không đúng.

Định nghĩa 1.13

Cho nC R là tập lồi và x C .

Ký hiệu

: | , 0,CN x y x y C ,

Tập CN x gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x .

: | , 0,CN x y x y C ,

Tập CN x gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x .

* : | , 0 C x x C ,

Tập *C gọi là nón đối cực.

Ta có thể kiểm tra được rằng CN x và *C là hai nón lồi đóng chứa gốc.

Cho C là tập lồi, khác rỗng và x C . Ta nói nd R là một hướng chấp nhận

được của C nếu 0 0t sao cho x td C với mọi 00 t t . Tập tất cả các hướng

chấp nhận được là một nón lồi chứa gốc và gọi là nón chấp nhận được. Ký hiệu là

CF x . Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón

khác là nón tiếp xúc với C tại x . Ký hiệu nón này là CT x , thì C CF x T x . Từ

đây suy ra

| , 0 : n k kC k kT x d R d d t x t d C k .

Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8)

Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau.

Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

15

Ví dụ 1.3

Giả sử tập lồi C được cho bởi : | , , 1,...,n jjC x R a x b j m

với x C , đặt

: | ,jjJ x j a x b .

gọi là tập chỉ số tích cực tại x .

Khi đó

| , 0,n jCT x x R a x j J x .

cone , : 0j jC j j

j J xN x a j J x y a

.

1.2 Hàm lồi

Trong chương trình Toán phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi

một cách cơ bản. Mục này, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và

một số tính chất của nó.

Định nghĩa 1.14.

Cho tập nC R và :f C R . Ta sẽ ký hiệu

dom : |f x C f x ,

epi : , | f x C R f x .

Các tập dom f , epi f lần lượt được gọi là miền hữu dụng và trên đồ thị của hàm f .

Bằng cách cho f x nếu x C , ta có thể coi f được xác định trên toàn

không gian và

ndom : R |f x f x ,

16

epi : , | nf x R R f x .

Quy ước nếu 0 thì 0f x với mọi x .

Định nghĩa 1.15

Cho nC R lồi và :f C R . Ta nói f là hàm lồi trên C nếu epif là

một tập lồi trong 1nR . Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu f là hàm lồi trên

C .

Sau đây chủ yếu ta xét hàm : nf R R . Dễ thấy định nghĩa trên

tương đương với:

1 1 , , 0;1f x y f x f y x y C

Định nghĩa 1.16

Hàm : nf R R được gọi là lồi chặt trên C nếu

1 1 , , 0;1f x y f x f y x y C

Hàm : nf R R được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số 0 nếu

211 1 - 1 - , , 0;12

f x y f x f y x y x y C

Nhận xét 1.4

Dễ dàng kiểm tra rằng hàm f lồi mạnh trên C với hệ số 0 khi và chỉ khi

hàm

2. : . . 2

h f

lồi trên C .

Sau đây ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình

phổ thông. Đây là bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thức về hàm

17

lồi. Các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, Holder… là những

trường hợp riêng của bất đẳng thức này.

Bất đẳng thức Jensen

Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì

* 1 2, , ,..., mm N x x x C và 0j thỏa mãn 1

1m

jj

, ta có:

1 1

m mj j

j jj j

f x f x

.

Mệnh đề 1.8 (xem [2], mệnh đề 8.1)

Một hàm :f C R là lồi trên C khi và chỉ khi

, , , , 0;1 1 1 x y C f x f y f x y

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử f lồi, chọn , , ,x y như đã nêu trong mệnh đề.

Chọn ' ,f x và ' ,f y . Vậy , ' , , ' epi x y f . Do epi f lồi nên

1 , 1 ' ' epi x y f .

1 1 ' ' 1f x y .

Điều kiện đủ: Chọn , , , epi x y f và 0,1 .Với mọi 0 , ta có

,f x f y .

Do đó nên

1 ' ' 1 1f .

1 , , epi x y f .

Vậy hàm f lồi.

18

Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào

khái niệm hệ số lồi.

Định nghĩa 1.17

Hàm : nf R R (không nhất thiết lồi), nC R là một tập lồi khác

rỗng và là một số thực. Ta nói là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi

0,1 , mọi ,x y thuộc C , ta có

211 1 12

f x y f x f y x y .

Hiển nhiên, nếu 0 thì f lồi trên C . Nếu f có hệ số lồi trên C là 0 ,

thì f lồi mạnh trên C vớih hệ số lồi .

Định nghĩa 1.18

Một hàm f được gọi là chính thường nếu dom f và f x với mọi

x .

Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong 1nR .

Nhận xét 1.5

a) Từ định nghĩa của epi f , ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác

định nếu biết epi f .

b) Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C thì có thể thác triển f lên toàn

không gian bằng cách đặt

,:

.e

f x x Cf x

x C

Hiển nhiên ef x f x với mọi x C và ef x lồi trên nR . Hơn nữa ef x là

chính thường khi và chỉ khi f chính thường. Tương tự, ef x đóng khi và chỉ khi

f đóng.

nếu nếu

19

c) Nếu f là một hàm lồi trên nR thì dom f là một tập lồi, vì dom f chính là

hình chiếu trên nR của epi f , tức là:

dom | : , epi f x R x f .

Ví dụ 1.4 Một số hàm lồi

1. Hàm a-phin: ,f x a x , trong đó ,na R R . Dễ dàng kiểm tra

được rằng f là hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian.

Khi 0 thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.

2. Hàm chỉ:

Cho C là một tập lồi. Đặt

0 ,

: .C

x Cx

x C

Ta nói C là hàm chỉ của C . Do C lồi nên C là một hàm lồi.

3. Hàm mặt cầu.

Cho : | x 1nS x R là một mặt cầu và :h S R là một hàm bất kỳ.

Định nghĩa hàm f như sau:

0 1,

: 1,+ 1.

xf x h x x

x

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu. Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên nR .

4. Hàm tựa.

Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C

( ) : sup ,Cx C

s y y x

.

5. Hàm khoảng cách.

nếu nếu nếu

nếu nếu

20

Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi

: min .C y Cd x x y

6. Hàm chuẩn.

Giả sử 1,..., nx x x .

1: : max ii

f x x x

Hoặc

1

2 2 21: : ... nf x x x x .

21

Chương 2

ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không

trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm.

Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi

không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ

phương trình đại số, hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là

tập nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được

giải quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các

định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng

để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh

vực khác nhau. Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết tối ưu hiện

đại là định lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm

là định lý Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm.

2.1. Định lý tách 1

Định nghĩa 2.1

Cho , nC C R (không nhất thiết lồi) và y là véc tơ bất kỳ, đặt

: inf .C x Cd y x y

Ta nói Cd y là khoảng cách từ y đến C . Nếu tồn tại C sao cho

Cd y y , thì ta nói là hình chiếu (vuông góc) của y trên C . Ký hiệu

Cp y .

Mệnh đề 2.1 (xem [2], mệnh đề 5.1)

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong nR . Khi đó:

(i) Với mọi , ny R C hai tính chất sau là tương đương:

22

a) Cp y ,

b) ( )Cy N .

(ii) Với mọi ny R , hình chiếu ( )Cp y của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.

(iii) Nếu y C , thì , 0C Cp y y x p y là siêu pẳng tựa của C tại ( )Cp y

và tách hẳn y khỏi C , tức là

, 0,C Cp y y x p y x C ,

và

, 0C Cp y y y p y .

Chứng minh

(i) Giả sử có a). Lấy x C và 0,1 . Đặt

: 1x x .

Do ,x C và C lồi, nên x C . Hơn nữa do là hình chiếu của y , nên

y y x . Hay

22y x y .

Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho 0 , ta có

2 2 , 0x x y .

Điều này đúng với mọi x C và 0,1 . Do đó khi cho tiến đến 0 ta được

, 0 y x x C .

Vậy Cy N .

Bây giờ giả sử có b). Với mọi x C , có

23

2

0

= .

T T

T

y x y x y y

y y x y

Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy – Scharz ta có:

2 Ty y y x y y x .

Suy ra y y x x C , và do đó ( )p y .

ii) Do ( ) infC x Cd y x y , nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn

tại một dãy kx C sao cho

lim ( )kCk

x y d y .

Vậy dãy kx bị chặn, do đó nó có một dãy con kjx hội tụ đến một điểm nào

đó. Do C đóng nên C . Vậy

lim limkj kCj k

y x y x y d y .

Chứng tỏ là hình chiếu của y trên C .

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm và 1 đều là hình chiếu của y trên C , thì

1 1, C Cy N y N .

Tức là

1, 0y

và

1 1, 0y

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra 1 0 , và do đó 1 .

iii) Do Cy N , nên

24

, 0 y x x C .

Vậy , ,y x y là một siêu phẳng tựa của C tại . Siêu phẳng này

tách y khỏi C vì y , nên

2, 0y y y .

Mệnh đề 2.2 (xem [2], mệnh đề 5.4)

Cho C là một tập lồi khác rỗng và 0x riC . Khi đó tồn tại siêu phẳng tựa

của C tại hình chiếu của 0x trên C .

Chứng minh

Gọi hình chiếu của 0x trên C là 0( )p x

Trước hết xét trường hợp int C . Vậy 0 intx C . Phân biệt trường hợp:

a) 0x C . Do C lồi, đóng, nên theo (iii) của mệnh đề 2.1, siêu phẳng

0 0 0 0 0( ) , ( ) , ( )p x x x p x x p x

là siêu phẳng tựa của C tại 0( )p x tách hẳn C và 0x .

b) 0x C . Khi đó do 0 intx C , nên 0 \nx R C . Vậy tồn tại dãy 0kx x

với kx C với mọi k . Do C lồi, đóng, nên lại áp dụng (iii) của Mệnh đề 2.1, tồn tại

siêu phẳng tựa của C tại ( )kp x . Tức là tồn tại 0k , thỏa mãn:

, , ( ) k k kx p x x C .

Bằng cách chuẩn hóa k , ta có thể coi 1k , và do đó có thể giả sử 0k .

Do ánh xạ chiếu liên tục, nên từ bất đẳng thức trên, qua giới hạn và chú ý là 0 0( )p x x (Vì 0x C ), ta có:

0 0 0 0 0, , ( ) = , x p x x x C .

Vậy 0 0 0, = , x x x C là siêu phẳng tựa của C tại 0x .

25

Định nghĩa 2.2

Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng Ta x tách C và D nếu

, , T Ta x a y x C y D .

Ta nói siêu phẳng Ta x tách chật C và D nếu

, , T Ta x a y x C y D .

Ta nói siêu phẳng Ta x tách mạnh C và D nếu

y Dsup inf , , T T

x Ca x a y x C y D

.

Bổ đề 2.1

Cho nC R là một tập lồi khác rỗng. Giả sử 0x C . Khi đó tồn tại

, 0nt R t thỏa mãn

0, ,t x t x .

Chứng minh

Do 0x riC , nên sự tồn tại siêu phẳng tách trong bổ đề được suy ra từ mệnh đề 2.2.

Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1)

Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong nR sao cho C D . Khi đó

có một siêu phẳng tách C và D .

Chứng minh

Do C và D là lồi, nên C D cũng lồi. Hơn nữa, 0 C D , vì C D .

Theo bổ đề 2.1 áp dụng với 0 0x , tồn tại véc tơ , 0nt R t sao cho , 0t z với

mọi z C D . Vì z x y , với , x C y D , nên ta có

, , , t x t y x C y D .

Lấy : sup , ,y D

t y

26

khi đó siêu phẳng ,t x tách C và D .

2.2 Định lý tách 2

Bổ đề 2.2 (xem [2], bổ đề 6.2)

Cho nC R là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho 0 C . Khi đó tồn tại một

véc-tơ , 0nt R t và 0 sao cho

, 0, t x x C .

Chứng minh

Do C đóng và 0 C , nên tồn tại quả cầu B tâm ở gốc, bán kính 0r sao

cho C B . Áp dụng định lý tách 1 cho hai tập C và B , ta có \ 0nt R và

R , sao cho

, , , t x t y x C y B .

Bằng chuẩn hóa ta có thể xem 1t và do đó khoảng cách từ gốc đến siêu phẳng ít

nhất là bằng r . Vậy thì

, 0t x r .

Nhận xét 2.1

Theo bổ đề này thì C và điểm gốc tọa độ có thể tách mạnh, ví dụ bởi siêu

phẳng ,2

t x .

Định lý 2.2 (Định lý tách 2) (xem [2], định lý 6.2)

Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C D . Giả sử có ít

nhất một tập là com-pắc. Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu

phẳng.

Chứng minh

Giả sử C là tập Compact. Ta chỉ ra tập C D đóng.

27

Thật vậy, giả sử kz C D và kz z . Ta có k k kz x y với , k kx C y D . Vì

C compact, nên có một dãy con jkx x khi j . Vậy

j j jk k ky x z x z D . Vậy z x y C D . Chứng tỏ C D là tập đóng.

Do 0 C D nên theo bổ đề 2.2, tồn tại 0t sao cho , 0t x y với mọi

,x C y D . Vậy

inf , sup ,2 2x C y D

t x t y

.

Chứng tỏ C và D có thể tách mạnh.

Nhận xét 2.2

Điều kiện một trong hai tập là com-pắc trong định lý là không thể bỏ được

Ví dụ 2.1

Cho hai tập hợp:

2

2

: , | 0, 0 ,

1: , | , 0, 0

C x t R x t

D x t R t t xx

.

Rõ ràng hai tập này lồi, đóng, không có điểm chung, nhưng chúng không thể tách

mạnh được.

Hình 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C O

28

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nếu hai tập nằm trong cùng một siêu phẳng, thì

chúng vẫn tách được, ví dụ chính bằng siêu phẳng đó. Để tránh trường hợp này

người ta đưa ra khái niệm tách đúng sau:

Định nghĩa 2.3

Hai tập C và D được gọi là tách đúng bởi siêu phẳng Ta x nếu

, , T Ta x a y x C y D

và cả hai tập này không cùng nằm trọn trong siêu phẳng tách.

Mệnh đề 2.3 (xem [2], mệnh đề 6.1)

Cho hai tập lồi khác rỗng A và B . Điều kiện cần và đủ để hai tập này tách

đúng là ri riA B .

Chứng minh

Điều kiện cần

Giả sử có siêu phẳng Tt x tách A và B , tức là

' ' , , T Tt x t y x A y B .

Giả sử siêu phẳng này không chứa B , khi đó , riTt y y B . Suy ra

ri riA B .

Điều kiện đủ

Giả sử ri riA B . Khi đó, 0 ri ri riA B A B . Xét hai trường hợp:

i) Trường hợp int A B .

Khi đó 0 int A B . Vậy tồn tại 0t và , int , intT Tt x t y x A y B . Đặt

inf | int , sup | intT Tt y y B t x x A , thì . Lấy . Khi đó siêu

phẳng Tt x sẽ tách A và B , nhưng không thể đồng thời chứa cả A và B .

ii) Trường hợp int A B .

29

Đặt C A B và F là không gian con song song với bao a-phin của C .

Khi đó, áp dụng lập luận ở phần trên cho không gian F , sẽ tồn tại một siêu phẳng

'H (trong F ) tách đúng A và B . Gọi 't là phiếm hàm tuyến tính từ F R xác

định siêu phẳng 'H . Gọi F là không gian vuông góc với F . Với mỗi nx R đặt

t x là hàm hợp giữa 't và p , trong đó p là ánh xạ chiếu xuống không gian con

F . Do p là tuyến tính, nên dễ thấy t và 't cũng là tuyến tính và là siêu phẳng tách

đúng hai tập A và B .

Nhận xét 2.3

Nếu A và B là hai tập lồi mà ri riA B , thì hai tập này vẫn có thể tách

được.

Ví dụ 2.2

A và B là hai đường chéo của một hình chữ nhật trong mặt phẳng 2-chiều.

Rõ ràng A và B là hai tập lồi mà ri riA B , chúng vẫn tách được bằng chính

mặt phẳng nhưng chúng không tách đúng được.

Một hệ quả rất quan trọng của định lý tách là bổ đề chọn mang tên nhà toán

học Hungary Farkas, được chứng minh từ năm 1892 dưới dạng một định lý hình

học. Bổ đề này rất trực quan, dễ áp dụng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu, điều

khiển, lý thuyết toán tử…

Hệ quả 2.1 (Bổ đề Farkas) (xem [2], hệ quả 6.1)

Cho A là một ma trận thực cấp m n và na R . Khi đó trong hai hệ dưới

đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:

0, 0TAx a x với một nx R , (2.1)

, 0TA y a y với một my R . (2.2)

Một cách phát biểu tương đương dưới ngôn ngữ hình học là:

30

Nửa không gian | 0Tx a x chứa nón | 0x Ax khi và chỉ khi véc tơ a

nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A tức là

0 0T TA x a x khi và chỉ khi , 0TA y a y

Tính chất hình học của bổ đề này rất rõ. Nó nói rằng nón lồi, đóng

| 0x Ax nằm trong nửa không gian | 0Tx a x khi và chỉ khi véc tơ pháp tuyến

a ở trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A .

Hình 2

Chứng minh

Giả sử (2.2) có một nghiệm y nào đó. Nếu như 0Ax , thì từ TA y a , nhân

tích vô hướng với x , và do 0, 0Ax y , ta có 0T Ta x y Ax . Vậy (2.1) không thể

có nghiệm.

Giả sử hệ (2.2) không có nghiệm. Lấy tập

| 0 : TC x y A y x

Hiển nhiên C là tập lồi đóng và 0 C .

0Ax

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . .

31

Do (2.2) không có nghiệm nên a C . Theo định lý tách 2, tồn tại 0p và một số

R sao cho T Tp a p x với mọi x C . Do 0 C nên 0 .Thay Tx A y , với

0y , ta viết được T T Tp A y y Ap .

Bên cạnh đó, nếu x C thì x C với mọi 0 . Vì từ Tx A y , có Tx A y . Vậy các tọa độ của y có thể lớn tùy ý, nên từ bất đẳng thức

T T Tp A y y Ap , suy ra 0Ap .

Vậy, ta đã chỉ ra sự tồn tại của một véc tơ p sao cho 0Ap và 0Ta p . Chứng tỏ

rằng (2.1) có nghiệm.

32

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH

3.1. Điều kiện tối ưu.

Định nghĩa 3.1.

Cho nC R khác rỗng và : nf R R .

Một điểm *x C được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên C nếu

tồn tại một lân cận U của *x sao cho

* f x f x x U C .

Điểm *x C được gọi là điểm cực đại địa phương nếu nếu tồn tại một lân

cận U của *x sao cho

* f x f x x U C .

Nếu

* f x f x x C

thì *x được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C , và nếu

* f x f x x C

thì *x được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C.

Bài toán OP: Tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi có dạng sau

min f x với các điều kiện

0, 1,...,ig x i m ,

0, 1,...,jh x j k

x X

33

Trong đó nX R là một tập lồi đóng khác rỗng và , 1,...,if g i m là các hàm lồi

hữu hạn trên X , còn 1,...,jh j k là các hàm a-phin hữu hạn trên tập a-phin của

X . Ta sẽ luôn giả sử rằng X có điểm trong và các hàm aphin 1,...,jh j k độc

lập tuyến tính trên X , theo nghĩa, nếu 1

0k

j jj

h x

với mọi x X , thì 0j với

mọi j .

Bài toán (OP) này được gọi là một quy hoạch lồi. Hàm f được gọi là hàm mục

tiêu. Các điều kiện , 0 1,...,ix X g x i m , 0, 1,...,jh x j k được gọi là

ràng buộc. Tập

: | 0 1,..., , 0, 1,...,i jD x X g x i m h x j k .

được gọi là miền chấp nhận được. Một điểm x D được gọi là điểm chấp nhận

được của bài toán (OP). Do X là tập lồi, các hàm 1,...,ig i m lồi trên X và

1,...,jh k aphin, nên D là một tập lồi. Điểm cực tiểu của f trên D cũng được gọi

là nghiệm tối ưu của bài toán (OP). Ta xây dựng hàm sau, được gọi là hàm

Lagrange, cho bài toán (OP):

01 1

, , :m k

i i j ji j

L x f x g x h x

.

Dựa vào hàm Lagrange, ta có kết quả sau:

Định lý 3.1 (Karush – Kuhn - Tucker) (xem [2], Định lý 9.1)

Nếu *x là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi (OP) thì tồn tại

* 0 0,1,...,i i m và * 1,...,j j k không đồng thời bằng 0 sao cho

* * * * *, , min , ,x X

L x L x

(điều kiện đạo hàm triệt tiêu)

* * 0 1,..,i ig x i m (điều kiện độ lệch bù)

Hơn nữa nếu int X và điều kiện Slater sau thỏa mãn

34

00: 0 1,...,ix D g x i m

thì *0 0 và hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu và độ lệch bù ở trên cũng là điều kiện

đủ để điểm chấp nhận được *x là nghiệm tối ưu của bài toán (OP).

Chứng minh

Giả sử *x là nghiệm của (OP).

Đặt

*0 1 1 0: , ,..., , ,..., | : , , 1,..., , , 1,...,m k i i j JC x X f x f x g x i m h x j k

Do X lồi, , if g lồi và jh a-phin hữu hạn trên X nên C là một tập lồi

khác trống trong 1m kR . Hơn nữa 0 C . Thật vậy, vì nếu trái lại 0 C , thì tồn tại

một điểm chấp nhận được x thỏa mãn *f x f x . Điều này mâu thuẫn với việc

*x là nghiệm tối ưu của (OP).

Khi đó theo định lý tách 1, tồn tại * *0,1,..., , 1,...,i ji m j k không đồng

thời bằng 0 sao cho

* *0 1 1

0 1

0 , ,..., , ,...,m k

i i i i m ki j

C

. (3.1)

Chú ý rằng với mọi 0 ,..., 0m , thì 0 1,..., , ,...,m k C , vì theo định nghĩa của

C ta chỉ lấy *x x . Từ chú ý này, ta suy ra ngay tất cả * * *0 1, ,..., 0m . Hơn nữa,

với mọi 0 và x X , ta lấy

*0 , 1,..., , 1,...,i i j jf x f x g x i m h x j k ,

thì 0 ,..., , 0,...,0m C . Thay vào (3.1) và cho 0 , sẽ được

* * * * * * * * *0 0

1 1 1 1

m k m k

i i i i i i i ii i i i

f x g x h x f x g x h x x X

.

Hay

* * * * *, , , , L x L x x X .

35

Đây chính là điều kiện đạo hàm triệt tiêu.

Để chứng minh độ lệch bù, ta chú ý rằng do *x chấp nhận được, nên

* 0 ig x i . Nếu như tồn tại một i nào đó mà *ig x , thì với mọi 0 , ta có

,..., , ,..., , 0,...,0 C ( ở vị trí thứ 1i )

Thay vào (*) và cho 0 , ta thấy * 0i . Nhưng 0 , nên * 0i . Suy ra * 0i .

Điều kiện độ lệch bù do đó cũng được thỏa mãn.

Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử điều kiện Staler thỏa mãn. Ta có *0 0 . Thật vậy, vì nếu *

0 0 , thì do điều kiện đạo hàm triệt tiêu và điều kiện độ

lệch bù, ta có

* * * * * *

1 1 1 1

0 m k m k

i i j j i i j ji j i j

g x h x g x h x x X

.

Thế nhưng do *0 0 , nên phải có hoặc * 0i với một i nào đó, hoặc nếu * 0i với

mọi i , thì sẽ có * 0j với một j nào đó.

Trong trường hợp đầu, thay 0x vào bất đẳng thức trên sẽ được

* * * * * 0 * 0

1 1 1 1

0 <0m k m k

i i j j i i j ji j i j

g x h x g x h x

.

Mâu thuẫn.

Trong trường hợp sau, ta có:

* * *

1 1

0 k k

j j j jj j

h x h x x X

Do int X và jh aphin với mọi j , nên từ đây suy ra 0

0 k

jj

h x x X

. Từ đây

và do các hàm jh độc lập tuyến tính trên X , ta có * 0 j j . Điều này mâu thuẫn

với việc tất cả các nhân tử *i và *

j không đồng thời bằng 0. Vậy *0 0 .

Do *0 0 , nên bằng cách chia cho *

0 0 , ta có thể coi hàm Lagrange là

36

1 1

, ,m k

i i j ji j

L x f x g x h x

.

Từ điều kiện đạo hàm triệt tiêu và độ lệch bù, nên với mọi x chấp nhận được, ta có:

* * * *0

1 1 1 1

m k m k

i i j j i i j ji j i j

f x f x g x h x g x h x f x

.

Chứng tỏ *x là lời giải tối ưu của (OP).

Nhận xét 3.1

Khi X là tập mở (nói riêng là toàn không gian) và mọi hàm đều khả vi, thì

điều kiện đạo hàm triệt tiêu sẽ là

* * * * * *0 0

1 1

0m k

j j i ij i

f x g x h x

.

Như vậy, bài toán trên cho ta thấy một cách định lượng khi xét một bài toán

tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi. Người ta cũng đã chứng minh một

cách định tính được rằng mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên một

tập lồi cũng chính là điểm cực tiểu tuyệt đối (xem [2] chương 9,mệnh đề 9.1).

Tính chất trên không thể áp dụng cho cực đại của hàm lồi: Cực đại địa

phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối.

Ví dụ 3.1

Xét hàm số 2( )f x x trên đoạn 1, 2 .

Hàm số 2( )f x x đạt cực đại địa phương trên đoạn 1, 2 là 1x , nhưng

điểm cực đại tuyệt đối lại là 2x .

3.2. Hệ bất đẳng thức lồi

Trong phần này chúng ta sử dụng định lý tách để tìm điều kiện cần và đủ để

hệ bất đẳng thức lồi có nghiệm.

Định nghĩa 3.2

37

Cho nD R là một tập lồi và 1,..., mf f là các hàm lồi trên nR . Hệ bất đẳng thức

, 0,ix D f x i I

Được gọi là hệ bất đẳng thức lồi, trong đó I là tập chỉ số và ký hiệu có thể hiểu

là hoặc .

Hệ bất đẳng thức lồi xuất hiện trong nhiều ứng dụng. Do tính chất của hàm

lồi, tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức lồi luôn là một tập lồi. Dựa vào các định lý

tách, ta có thể đưa ra những điều kiện cần và đủ về sự tồn tại nghiệm của một hệ bất

đẳng thức lồi.

Mệnh đề 3.1 (xem [2], mệnh đề 9.5)

Giả sử 0 1, ,..., mf f f là các hàm lồi hữu hạn trên tập lồi D . Khi đó, hệ

, 0, 0,1,...,ix D f x i m (3.2)

không có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại các số 0 0,1,...,i i m không đồng thời

bằng 0 sao cho

0

0 m

i ii

f x x D

.

Ngoài ra, nếu có điều kiện chính quy Slater: tồn tại 0 0, 0ix D f x với mọi

1,...,i m thì 0 0 .

Chứng minh

Điều kiện đủ là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần.

Giả sử hệ (3.2) không có nghiệm. Đặt

10 1: , ,..., | , , 0,...,m

m i iC y y y y R x D f x y i m .

Do D và if lồi 0,...,i m nên C lồi. Theo giả thiết hệ (9.4) không có nghiệm nên

0 C . Áp dụng định lý tách, tồn tại 0 1, ,..., 0m sao cho

38

0

0 m

i ii

y y C

.

Chú ý rằng theo định nghĩa của C , với mọi x D và 0 , ta có

0 ,..., mf x f x C .

Vậy

0

0 m

i ii

f x x D

.

Điều này đúng với mọi 0 , nên suy ra

0

0 m

i ii

f x x D

. (3.3)

Ta sẽ chứng tỏ 0 i i . Thật vậy, nếu trái lại có 0j với một j nào đó, thì do

với mọi x D , mọi i iy f x , ta có 0 ,..., my y C , nên

0

0 m

i ii

y

.

Cho jy còn mọi iy khác cố định, ta thấy vế trái của bất đẳng thức trên tiến

đến . Mâu thuẫn vì vế phải bằng 0. Vậy 0i với mọi i .

Cuối cùng giả sử điều kiện Slater thỏa mãn. Nếu như 0 0 thì theo (3.3), có

0

0 m

i ii

f x x D

.

Lấy 0x x D , theo điều kiện chính quy Slater thì

0

1

0m

i ii

f x

.

Ta có mâu thuẫn và do đó mệnh đề được chứng minh.

Trong nhiều ứng dụng, trong một hệ bất đẳng thức lồi thường có sự tham gia

của các đẳng thức tuyến tính. Khi đó ta có mệnh đề sau:

39

Mệnh đề 3.2 (xem [2], mệnh đề 9.6)

Cho 1,..., mf f là các hàm lồi hữu hạn trên một tập lồi D và A là một ma

trận thực cấp k n . Giả sử rib A D . Khi đó, hệ

, , 0, 1,...,ix D Ax b f x i m

không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại kt R và 0, 1,...,i i m sao cho 1

1m

ii

và

1

, - 0 m

i ii

t Ax b f x x D

.

Chứng minh

Điều kiện đủ: Hiển nhiên

Điều kiện cần:

Lấy tập

: |E x D Ax b .

Do D lồi nên E lồi và theo giả thiết, hệ

, 0, 1,...,ix E f x i m

không có nghiệm. Vậy áp dụng mệnh đề 3.1, sẽ tồn tại , 1,...,i i m thỏa mãn

1

0m

ii

và 1

0 m

i ii

f x x E

.

Bằng cách chia cho 1

0m

ii

, ta có thể coi 1

1m

ii

Với mỗi x D , lấy 1

:m

i ii

f x f x

. Khi đó f lồi và hữu hạn trên D . Lấy

0 0: , | , ,kC y y R R x D Ax b y f x y .

40

Do D và f lồi nên C lồi. Từ đó cùng với giả thiết ta suy ra 0 C . Theo mệnh đề

2.1, ta có thể tách đúng C và 0. Tức là tồn tại 0, kt t R R và 0,y y C sao cho

0 0 0, 0 ,t y t y y y C ,

và

0 0, 0t y t y (3.4)

Dựa vào định nghĩa của C , lập luận tương tự như mệnh đề 3.2.1 ta có 0 0t .

Nhưng 0t không thể bằng 0, vì nếu 0 0t thì

, 0 t y y A D b . (3.5)

Thế nhưng theo giả thiết rib A D , tức là 0 ri A D b . Từ đây và (3.5) suy ra

, 0 t y y A D .

Do 0 0t , nên

0 0 0, 0 ,t y t y y y C .

Mâu thuẫn với (3.4), vì y A D . Vậy 0 0t

Từ định nghĩa của C ta có - , C 0,Ax b f x x D . Vậy

0, - 0 t Ax b t f x x D .

Điều này đúng với mọi 0 , nên

0, - 0 t Ax b t f x x D .

Thay 1

m

i ii

f x f x

và chia hai vế cho 0 0t , ta có điều cần chứng minh.

Nhận xét 3.2

Mệnh đề vẫn còn đúng khi thay hệ Ax b bởi hệ Ax b .

41

3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi

Một tập lồi, với những giả thiết cho trước có thể xấp xỉ với độ chính xác tùy

ý bởi các tập lồi đa diện, được xác định bằng các nửa không gian tựa của tập lồi.

Một cách tương ứng, dưới đây ta sẽ chỉ ra rằng một hàm lồi, với các giả thiết thông

thường đều có thể xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bằng các hàm a-phin non của nó.

Kết quả này là cơ sở cho việc xấp xỉ các bài toán có cấu trúc lồi bởi các bài toán

tuyến tính. Trong mục này chúng ta sẽ dùng định lý tách để chứng minh Bổ đề làm

cơ sở cho định lý về sự xấp xỉ một hàm lồi bởi các hàm non a-phin. Trước hết ta xét

định nghĩa về hàm non a-phin:

Định nghĩa 3.3

Hàm l là hàm non a-phin của một hàm f trên nR nếu l là hàm a-phin trên nR và l x f x với mọi nx R .

Ví dụ 3.2

Hàm đồng nhất bằng là hàm non a-phin của mọi hàm.

Ví dụ 3.3

Nếu *f là hàm liên hợp của f , thì

* * *, x x f x f x x .

Từ đây thấy rằng mỗi *x xác định một hàm a-phin

* * *: , l x x x f x f x x .

là hàm non a-phin của f trên toàn không gian.

Bổ đề 3.1 (xem [2], bổ đề 10.1)

Cho f là một hàm lồi đóng, chính thường trên nR . Khi đó với mọi điểm

0 0,x t epif , đều tồn tại ,nR R sao cho

42

0 0 dom T Tx f x x t x f .

Chứng minh

Theo giả thiết f là hàm lồi đóng chính thường nên epif là một tập lồi, đóng

và khác rỗng. Do điểm 0 0, epi x t f , nên áp dụng định lý tách mạnh cho hai tập

lồi, đóng 0 0: ,C x t và : epi D f , sẽ tồn tại , 0, ,na a R R và một số

R sao cho

0 0 , epi T Ta x t a x t x t f . (3.6)

Trước hết ta thấy rằng 0 , vì nếu 0 thì sẽ có mâu thuẫn ở bất đẳng

thức đầu của (3.6) khi cho t tiến đến . Lúc đó vế trái tiến đến , trong khi đó

ở vế phải là một số hữu hạn cố định.

Hơn nữa nếu 0 dom x f thì 0 , vì nếu 0 thì từ bất đẳng thức (3.5),

lấy 0x x , ta có 0 0T Ta x a x . Vô lý. Vậy trong trường hợp này, chia hai vế (3.6)

cho 0 , ta có điều phải chứng minh.

Bây giờ chỉ cần xét trường hợp 0 dom x f và 0 . Từ (3.6) có

0 dom T Ta x a x x f .

Lấy 1x domf và 1 1t f x . Khi đó 1 1,x t epif . Lại áp dụng định lý tách mạnh

cho tập gồm duy nhất một điểm 1 1,x t và tập epif . Khi đó, chú ý rằng 1x domf ,

tương tự như trên, tồn tại , 0, ,nb b R R sao cho

1 1 , epi T Tb x t a x t x t f .

Từ đây và (3.6), thấy rằng với mọi 0 và mọi ,x t epif , ta có

( )T T Tb a x t b x t a x . (3.7)

Chú ý rằng, do 0Ta x nên

0 0 0( )T T Tb a x t b x t a x . (3.8)

43

với mọi đủ lớn. Vậy với đủ lớn, bằng cách lấy , 'b a thì từ

(3.7) và (3.8) suy ra

0 0' , epi T Tx t x t x t f .

Nói riêng lấy t f x , ta có

0 0' dom T Tx f x x t x f .

Như vậy trong trường hợp này ta cũng có (3.6).

Từ bổ đề trên chúng ta chứng minh được định lý

Định lý 3.2. (xấp xỉ tuyến tính hàm lồi) (xem [2], định lý 10.1)

Mọi hàm lồi đóng chính thường f trên nR đều là bao trên của các hàm non

a-phin của nó. Tức là:

sup |v vv

f x l x l A

trong đó A là tập hợp tất cả các hàm non a-phin của f .

Chứng minh [xem [2], định lý 10.1]

3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi.

Phép tính vi phân là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích cổ điển.

Trong giải tích lồi, lý thuyết này rất phong phú nhờ những tính chất của tập lồi và

hàm lồi. Trong phần này, chúng ta mở rộng khái niệm đạo hàm bằng khái niệm

dưới vi phân và một số tính chất cơ bản của nó. Đặc biệt áp dụng định lý tách và

siêu phẳng tựa để chứng minh sự tồn tại của dưới vi phân của hàm f trong trường

hợp f lồi.

Như ta đã biết, hàm lồi khả vi tại một điểm nào đó, thì phương trình tiếp

tuyến tại điểm đó nằm dưới đồ thị. Tuy nhiên, một hàm lồi có thể không khả vi, ví

dụ hàm lồi một biến f x x không khả vi tại 0x . Trong trường hợp này, người

44

ta mở rộng khái niệm đạo hàm bằng dưới đạo hàm, sao cho vẫn có được tính chất

cơ bản trên của đạo hàm của hàm lồi khả vi.

Định nghĩa 3.4

Cho : nf R R . Ta nói * nx R là dưới đạo hàm của f tại x nếu

*, x z x f x f z z .

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này có nghĩa là

phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị hàm số. Tuy nhiên khác với trường hợp

khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất.

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là f x . Đây là một

tập trong nR (có thể bằng rỗng).

Khi f x thì ta nói hàm f khả vi dưới vi phân tại x .

Theo định nghĩa, một điểm *x f x khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các

bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy, f x là giao của các nửa không gian đóng. Vậy

f x luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng). Ký hiệu

dom : |f x f x .

Ví dụ 3.4

Hàm , nf x x x R . Tại điểm 0x hàm này không khả vi, nhưng nó khả

dưới vi phân và

* *0 : | , f x x x x x .

Ví dụ 3.5

nC R là một tập lồi, khác rỗng.

0 + C

x Cf x x

x C

là hàm chỉ của C nếu nếu

45

Khi đó với 0x C , ta có:

0 * * 0| , ,C Cx x x x x x x .

Với x C thì C nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy

0 * * 0 0| , 0,C Cx x x x x x C N x .

Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một điểm 0x C

chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại 0x .

Mệnh đề 3.3 (xem [2], mệnh đề 11.3)

Cho : nf R R lồi, chính thường. Khi đó:

(i) Nếu x domf , thì f x .

(ii) Nếu intx domf thì f x và com-pắc. Ngược lại, nếu f x

và Com-pắc thì x ri domf .

Chứng minh

(i) Cho z domf , thì f z . Vậy nếu x domf , thì f x và do đó

không thể tồn tại *x thỏa mãn

*,x z x f x f z .

Vậy f x .

(ii) Trước hết giả sử int dom x f . Ta có điểm ,x f x nằm trên biên của

epi f . Do f lồi, chính thường, nên tồn tại siêu phẳng tựa của bao đóng của epi f đi

qua ,x f x , tức là tồn tại ,np R t R không đồng thời bằng 0 thỏa mãn

, , , epi p x tf x p y t y f (3.9)

Ta có 0t , vì nếu 0t thì

, , dom p x p y y f .

46

Nhưng do int dom x f nên điều này kéo theo 0p . Vậy, 0t . Hơn nữa, 0t ,

vì nếu 0t thì trong bất đẳng thức (3.9), khi cho ta suy ra mâu thuẫn vì vế

trái cố định.

Chia hai vế của (x) cho 0t , đồng thời thay f y và đặt * pxt

, ta

được * *, , dom x x f x x y f y y f

Hay là

*, dom x y x f x f y y f .

Nếu y domf thì f y , do đó

*, x y x f x f y y .

Chứng tỏ *x f x .

Nhận xét 3.3

Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính là véc tơ

pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epi f tại ,x f x .

3.5. Phép vô hướng hóa bài toán véc tơ.

Trong cuộc sống, các vấn đề thường có nhiều mối ràng buộc. Khi mô hình

hóa những mối liên hệ đó bằng toán học thì ta được các bài toán nhiều biến. Nếu ta

coi nhiều biến đó là véc tơ thì ta được các bài toán véc tơ.

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ.

Bài toán

min : nF x x D R (VP )

Trong đó, 1,..., : n ppF f f R R

47

x : biến.

D : tập xác định (tập ràng buộc).

F : hàm mục tiêu (hàm tiêu chuẩn)

Với hai véc tơ 1,...,T

na a a và 1,...,T

nb b b trong nR , ta nói a b nếu i ia b i

và a b nếu i ia b a b i .

Định nghĩa 3.5

Véc tơ *x D được gọi là nghiệm Pareto lý tưởng của bài toán (VP ) nếu

* F x F x x D .

Trong trường hợp tổng quát thì nghiệm Pareto lý tưởng nói chung thường không tồn

tại.

Định nghĩa 3.6

Véc tơ *x D được gọi là nghiệm Pareto của bài toán VP nếu không tồn tại x D

sao cho *F x F x và *F x F x .

Nếu không tồn tại x D mà *F x F x thì *x được gọi là nghiệm Pareto

yếu của bài toán (VP).

Định nghĩa 3.7

Véc tơ *x D được gọi là nghiệm Pareto lý tưởng của bài toán

max : nF x x D R ( maxVP )

nếu không tồn tại x D sao cho *F x F x và *F x F x .

Nếu không tồn tại x D mà *F x F x thì *x được gọi là nghiệm Pareto

yếu của bài toán ( maxVP ).

Nhận xét 3.4

Một điểm là nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) của bài toán cực tiểu

48

min : nF x x D R

khi và chỉ khi nó là nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) của bài toán cực đại

max : nF x x D R .

Bài toán véc tơ tuyến tính:

Bài toán (VP ) hoặc ( maxVP ) trong đó

F x Cx với C là ma trận thực, nx R

D là tập lồi đa diện được xác định rõ, ví dụ như

0,D x Ax b với A là ma trận m n và mb R .

được gọi là bài toán tối uu véc tơ tuyến tính.

Bài toán tối ưu véc tơ lồi

Bài toán (VP ) hoặc ( maxVP ) trong đó D là tập lồi và tất cả các hàm mục

tiêu đều là hàm lồi trên D được gọi là bài toán tối ưu véc tơ lồi.

Ví dụ 3.6

Giả thiết rằng một công ty sản xuất hai loại hàng hóa. Đặt:

jx là số lượng của loại hàng hóa 1,2j j ,

1 1 2,f x x là chi phí sản suất của 1 2,x x ,

1 1 2,f x x là chi phí xử lý chất thải của các sản phẩm 1 2,x x .

Chẳng hạn:

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

, 2 3 ,

, 4 .

f x x x x

f x x x x

Tập ràng buộc là

1 1 2 20 ,0x a x a (giới hạn số lượng sản phẩm)

49

1 1 2 2b x b x b (ngân sách)

Bài toán đặt ra là xác định số lượng của từng hàng hóa cần sản xuất để giảm

tối đa chi phí tức là tìm nghiệm 1 2,x x của bài toán (VP )

Để giải các bài toán tối ưu véc tơ ta thường sử dụng cách vô hướng hóa bài

toán véc tơ.

Mệnh đề 3.4

(i) Cho 0 pR . Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán

min :T nF x x D R P

đều là nghiệm Pareto của bài toán VP .

(ii) Cho 0 0 pR . Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán

min :T nF x x D R P

đều là nghiệm Pareto yếu của bài toán VP .

Chứng minh

Hiển nhiên

Mệnh đề 3.5.2

Giả sử VP là bài toán lồi ( F và D là các tập lồi). Khi đó, với mọi nghiệm

Pareto u của VP luôn tồn tại 0 0 sao cho

arg min :T

xu F x x D

Chứng minh

Đặt

: : ,pK y R y F x F u x D

Đặt C coK

50

Ta sẽ chứng minh 0pC R

Do 0 K nên C .

Giả sử y C , khi đó, tồn tại 1,..., ry y K thỏa mãn

1 1

, 0 , 1r r

jj j j

j j

y t y t j t

.

Với mọi j , do jy K nên tồn tại jx D thỏa mãn j jy F x F u .

Đặt 1

rj

jj

x t x

. Do F là hàm lồi nên ta có

1

rj

jj

F x F u t F x F u

1 1

r rj j

j jj j

t F x F u t y

.

Từ đó, do u là nghiệm Pareto nên 0y kéo theo 0y .

Do đó 0pC R .

Theo định lý tách thì tồn tại 0 thỏa mãn

0 T py y R (3.10)

0 T y y K (3.11)

Bằng cách chia cho 1

p

jj

, chúng ta có thể giả thiết

1

1p

jj

Từ (3.10) ta thấy 0 , từ (2) và định nghĩa của K ta suy ra

0 T F x F u x D .

Điều đó có nghĩa rằng u là nghiệm nhỏ nhất của P .

Như vậy, ta đã vô hướng hóa xong bài toán VP .

51

Kết luận

Luận văn đã trình bày về hai định lý tách và một số ứng dụng của nó, cụ thể:

Nội dung hai định lý tách và hệ quả.

Ứng dụng định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, tìm điều kiện có

nghiệm của một hệ bất đẳng thức lồi, chứng minh sự tồn tại xấp xỉ tuyến tính của

hàm lồi bởi các hàm non a-phin, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi và

vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ.

Trong luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến các định lý tách các tập lồi và ứng

dụng trong không gian hữu hạn chiều nR , chưa xét trường hợp tổng quát khi xét

trên không gian vô hạn chiều. Một số vấn đề lý thú có thể tiếp tục từ đề tài này là:

1. Ứng dụng định lý tách trong không gian vô hạn chiều.

2. Xây dựng và giải các bài toán tối ưu về kinh tế dựa trên các định lý tách.

3. Mô hình hóa toán học hoạt động sản xuất của một doanh nghiệp và dự

đoán sự thành bại của doanh nghiệp…bằng việc mở rộng các định lý kiểu tách cho

các tập rời rạc....

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn chắc chắn không tránh

khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của

các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

52

Tài liệu tham khảo

1. Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật.

2. Lê Dũng Mưu và Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng

dụng, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ Hà Nội.

3. Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viên toán học Hà Nội.

4. Hoàng Tụy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer

academic Publishers.

5. R.Tyrrell Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton, New Jersey

Princeton University press.