lugar geométrico de las raíces
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Lugar Geométrico de las Raíces
Integrantes de equipo:Carlos Alfredo Ventura TepizilaFernando García OrtizHeriberto Bueno Carrillo Juan Carlos Jiménez Valera Abraham Méndez Nochebuena
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitudLa ecuación característica
0)()(1 sHsG 1)()( sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( sHsG ,...2,1,0,360180)()( kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.
Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
)5)(4()()(
sssKsHsG
polos finitos .5,4,0 sss
ceros finitos hayno
2.- Puntos terminales (k = )
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.
ZPN
303 NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
Njo
j)12(180 j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3 jN
603
1801
o 180
3)3(180
2
o 300
3)5(180
2
o
5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N GH(s) de ceros de raícesGH(s) de polos de raíces
1
33
)0()540(1
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar.
7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
)12(180)( jsGH ozp
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
180540 1800180 4
05
04
punto de prueba
8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .js K
s j
0209)()(1 23 KssssHsG
0)(20)(9)( 23 Kjjj
0209 23 Kjj
1j
se separan las parte real e imaginaria
09 2 K 0203 jj
0203 jj
20180K
9.- Puntos de separación Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0dsdK
ticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209 23
020183 2 ssdsdK
020183 2 ss4724.1s5275.4s
10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
1)()( sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.
Paso 1
Paso 2hayno
Paso 3
Paso 4
3N
601 1802 602
Paso 5
31 Paso 6
Inicio
3
3
Paso 71800 041805
Paso 8
20180K
20j
20j
Paso 9
4724.1s
Este es el lugar de las raíces del sistema.
Configuraciones típicas del lugar de las raíces
))(()()(
bsassKsHsG
)54)(52()()( 22
ssssKsHsG
)134()1()()( 2
ss
sKsHsG
)134)(1()()( 2
sssKsHsG
Sea el sistema de lazo cerrado
)7( ssK
+-
Polos de lazo abierto:7,0 ss
)(sC)(sREn lazo cerrado
KssK
sRsC
)7()()(
La ecuación característica es
072 Kss
)(sB
En lazo abierto
)7()()(
ssK
sEsB Las raíces de la ecuación característica
son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Ks 25.125.312
y dependen del valor de K
Para diferentes valores de K:
K cerradolazodepolos
5707.35.3 js 5707.35.3 js 25
8541.6s 1459.0s1
5.3s 5.3s25.12
5s10 2s
5.14 5.15.3 js 5.15.3 js
25.112 105.3 js 105.3 js
1.0 98568.6s 014314.0s
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
Retomando el ejemplo anterior con 25.112K
j10j
10j
1A2A
)7(25.112)(
sssG clp .. 105.32 js 105.31 js
1)(21
AA
KsG
1)7(
25.112
105.3
jsss7
Condición de magnitud
alp ..
alp ..
... clp
... clp Cumple con la condición de magnitud
360180)(sG
21)( sG
Condición de ángulo
j10j
10j
12
7
alp ..
alp ..
... clp
... clp
105.390 1
1 tg
5.3101
2 tg
180)(sG
Cumple con la condición de ángulolugar de las raíces
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud y de ángulo.