m o d u l matematika teknik i -...

i

Program Studi D-IV Teknik Mesin Produksi & Perawatan

MODUL MATEMATIKA TEKNIK I

MODUL

MATEMATIKA TEKNIK I

Oleh: Meidy P.Y. Kawulur, SSi., M.Si

PROGRAM STUDI D-IV PRODUKSI DAN PERAWATAN

JURUSAN TEKNIK MESIN

POLITEKNIK NEGERI MANADO

M O D U L

MATEMATIKA TEKNIK I

Oleh: Meidy P.Y. Kawulur, SSi., M.Si

PROGRAM STUDI D-IV PRODUKSI DAN PERAWATAN

JURUSAN TEKNIK MESIN

POLITEKNIK NEGERI MANADO

ii



KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan dan

tuntunannya maka penulis dapat menyelesaikan modul ini. Matematika merupakan dasar teori yang

sangat diperlukan dalam menunjang perkuliahan di bidang teknik. Modul “Matematika Teknik I”

di perlukan sebagai alat bantu mahasiswa dalam memahami Aljabar, Deret, Matriks, Vektor,

Bilangan Kompleks, Geometri dan Trigonometri. Dengan selesainya modul ini, maka pada

kesempatan ini saya sampaikan terima kasih kepada Bapak Direktur Politeknik Negeri Manado,

Bapak Ir. Evert M. Slat, M.T beserta Wakil Direktur khususnya Wakil Direktur Bidang Akademik

Ibu Dra.Mareyke Alelo, MBA, Pimpinan Jurusan Teknik Mesin, yang memberi kesempatan bagi

saya untuk menyusun modul ini.

Manado, Januari 2019

Meidy P.Y. Kawulur, SSi.,MSi

iii



PETA KEDUDUKAN MODUL

MATEMATIKA TEKNIK I

OPERASI DASAR

ALJABAR DERET MATRIKS &

DETERMINAN VEKTOR

BILANGAN

KOMPLEKS

GEOMETRI

PADA BIDANG

GEOMETRI

PADA RUANG TRIGONOMETRI

iv



DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i PETA KEDUDUKAN MODUL ii DAFTAR ISI iii GLOSARIUM iv BAB I. Operasi Dasar Aljabar 1 1.1. Hukum Operasi Dasar 1 1.2. Penjumlahan Dalam Pernyataan Aljabar 2 1.3. Pengurangan Dalam Pernyataan Aljabar 2 1.4. Perkalian Dalam Pernyataan Aljabar 3 1.4. Pembagian Dalam Pernyataan Aljabar 4 BAB II. Deret 6 2.1. Pengertian Barisan Dan Deret 6 2.2. Deret Arimetika 6 2.3. Deret Geometri 7 2.4. Deret Geometri Tak Berhingga 8 BAB III. Matriks Dan Determinan 11 3.1. Matriks 11 3.2. Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks 13 3.3. Perkalian Matriks 14 3.4. Determinan Matriks Bujur Sangkar Ordo 2x2 19 3.5. Determinan Matriks Bujursangkar Ordo 3x3 21 BAB IV. Vektor 36 4.1. Besaran Vektor dan Skalar 36 4.2. Penambahan Vektor 38 4.3. Perkalian Skalar antara Dua Vektor 40 4.4. Perkalian Vektor antara Dua Vektor 41 4.5. Sudut antara Dua Vektor 42 BAB V. Bilangan Kompleks 45 5.1. Persamaan Kuadrat 45 5.2. Pangkat dari j 46 5.3. Penjumlahan dan pengurangan bilangan Kompleks 48 5.4. Perkalian Bilangan Kompleks 50 5.5. Pembagian bilangan Kompleks 52 5.6. Kesamaan Bilangan Kompleks 53 5.7. Pernyataan bilangan kompleks secara Grafis 56 5.8. Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Grafis 59

v



5.9. Bentuk Kutub Bilangan Kompleks 61 BAB VI. Geometri pada Bidang 64 6.1. Kurva Bidang: Penyajian Secara Parametri 64 6.2. Vektor Pada Bidang: Pendekatan Secara Geometri 65 6.3. Vektor Pada Bidang: Pendekatan Secara Aljabar 70 BAB VII. Geometri Pada Ruang 75 7.1. Koordinat Dalam Ruang Dimensi Tiga 75 7.2. Grafik dalam Ruang Dimensi Tiga 77 7.3. Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga 78 BAB VIII. Trigonometri 83 8.1. Perkembangan Trigonometri 83 8.2. Sudut 83

vi



GLOSARIUM

Hypotenusa : Panjang Sisi Miring pada segitiga siku-siku

Binomial : Pernyataan Aljabar yang terdiri dari dua suku

Imajiner : Bilangan khayal yang terdapat pada bilangan kompleks

Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti)

Monomial : Pernyataan Aljabar yang terdiri dari satu suku

Numerik : Sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang mempresentasikan sebuah bilangan

Polinomial : Pernyataan Aljabar Yang terdiri dari banyak suku

Riil : Bilangan yang meliputi bilangan rasional dan irasional

Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a,b bilangan bulat dan b tidak

sama dengan 0.

1



1.1. Hukum Operasi Dasar

Dalam Operasi aljabar terdapat empat operasi yaitu: penjumlahan , pengurangan, perkalian dan

pembagian.

Dalam operasi ini berlaku hukum :

a. Penjumlahan. Apabila dua bilangan a dan b dijumlahkan, maka hasilnya

ditunjukkan dengan a + b. Contoh 5 + 3 = 8 .

1. Hukum Komutatif, dimana urutan dari penjumlahan dua

bilangan tidak mempengaruhi hasinya. Jadi a + b = b + a

.Contoh. 5 + 3 = 3 + 5 = 8

2. Hukum Asosiatif, dimana bentuk dari penjumlahan boleh

dikelompokkan secara sembarangan tanpa mempengaruhi

hasilnya. Jadi a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c.

Contoh. 3 + 4 + 1 = 3 + ( 4 + 1 ) = (3 + 4 ) + 1 = 8

b. Pengurangan, Apabila bilangan a dikurangi dengan bilangan b, maka

pengurangannya ditunjukkan dengan a - b . Contoh 3 - 2 = 1.

c. Perkalian, Hasilkali dua bilangan a dan b adalah bilangan c sehingga a x b = c.

Operasi perrkalian ditunjukkan dengan tanda silang atau titik atau kurung. Dalam

operasi ini berlaku hukum :

- Hukum Komutatif, dimana urutan daripada faktor-faktor perkalian tidak

mempengaruhi hasilnya. Jadi a. b = b . a . Contoh 2 . 5 = 5 . 2 = 10

- Hukum Asosiatif, dimana faktor – faktor dari sebuah perkalian dapat

dikelompokkan secara sembarangan tanpa mempengaruhi hasilnya. Jadi a.b.c =

a a(b.c) = (ab)c . Contoh. 3.4.6 = 3(4.6) = (3.4)6 = 72

- Hukum Distributif, dimana perkalian dari sebuah bilangan dengan penjumlahan

dua bilangan (b + c) adalah sama denga penjumlahan dari dua perkalian a.b dan

a.c. Jadi a(b + c) = ab + ac. Contoh 4 (3 + 2) = 4.3 + 4.2 = 20

BAB I

OPERASI DASAR ALJABAR

2



1.2. Penjumlahan dalam Pernyataan Aljabar

Bentuk ini diperoleh dengan menggabungkan suku-suku yang serupa dan kemudian diatur

dalam baris-baris dengan suku-suku yang serupa dalam kolom yang sama, kolom-kolom ini

kemudian dijumlahkan.

Sebuah suku adalah terdiri dari hasilkali, hasil bagi bilangan-bilangan biasa dan huruf huruf

yang merupakan pasangan bilangan-bilangan tersebut.

1.3. Pengurangan dalam Pernyataan Aljabar

Bentuk ini diperoleh dengan mengubah tanda dari setiap suku dalam pernyataan

pengurangan dan hasilnya dijumlahkan dengan pernyataan yang lainnya (yang dikurangi) .

d. Pembagian, Apabila sebuah bilangan a dibagi dengan sebuah sebuah bilangan

b, maka hasil bagi yang diperoleh ditulis a : b atau a/b , dimana a disebut yang

dibgi dan b disebit pembagi. Pernyataan a/b juga disebut sebuah pecahan yang

mempunyai pembilang a dan penyebut b. Dalam operasi ini berlaku hukum

distributif. b + c = b/a + c/a

a

Contoh, 4 + 6 = 4 + 6 = 5

2 2 2

Contoh: Jumlahkan pernyataan aljabar 7x + 3y3 + 4xy, 3x – 2y3 +7xy dan 2xy – 5x– 6y3

Dapat ditulis : 7x + 3y3 + 4xy

3x – 2y3 + 7xy

-5x – 6y3 + 2xy +

Penjumlahan : 5x – 5y3 + 5xy

sehingga hasilnya adalah 5x – 5y3 +5xy

Contoh: Kurangkan pernyataan aljabar 2x2 – 3xy + 5y2 dari 10x2 - 2xy - 3y2

Dapat ditulis: 10x2 – 2xy – 3y2

2x2 – 3xy + 5y2 –

Pengurangan : 8x2 + xy – 8y2

Kita juga boleh menulis (10x2 - 2xy - 3y2) – (2x2 – 3xy + 5y2)

= 10x2 - 2xy - 3y2 – 2x2 + 3xy – 5y2 = 8x2 + xy – 8y2

3



1.4. Perkalian dalam peryataan Aljabar

Bentuk ini diperoleh dengan tiga cara :

a. Untuk mengalikan dua monomial atau lebih, gunakan hukum-hukum pangkat, hukum tanda,

hukum komutatif dan hukum asosiatif.

Sebuah monomial adalah sebuah pernyataan aljabar yang terdiri dari satu suku

b. Mengalikan sebuah polinomial dengan sebuah monomial, kalikan tiap-tiap suku dari

polinomial dengan monomial kemudian gabungkan hasil-hasilnya.

c. Mengalikan sebuah polinomial dengan sebuah polinomial, kalikan tiap-tiap suku dari

polinomial yang satu dengan tiap-tiap suku dari polynomial lainnya lau gabungkan hasil-

hasilnya. Dalam perkalian sangat bermanfaat apabila mengatur terlebih dahulu polinomial-

polinomial dalam pangkat-pangkat menaik atau menurun menurut huruf-huruf yang ada.

Contoh: Kalikan pernyatan aljabar -3x2y3z, 2x4y dan -4xy4z2

Ditulis ( -3x2y3z) ( 2x4y) (-4xy4z2)

Pengaturan menurut hukum komutatif dan asosiatif diperoleh :

(-3) ( 2) (-4) (x2) ( x4) (x) (y3) ( y) (y4) (z) ( z2)

Gabungkan dengan menggunakan aturan tanda dan hukum-hukum pangkat,

diperoleh : 24x7y8z3

Contoh: Kalikan pernyataan aljabar 3xy – 4x3 +2xy2 dengan 5x2y4

Ditulis (5x2y4) (3xy – 4x3 +2xy2)

= (5x2y4) (3xy) + (5x2y4) (-4x3) + (5x2y4)( 2xy2)

= 15x3y5 – 20x5y4 +10x3y

Contoh

Kalikan pernyataan aljabar -3x + 9 + x2 dengan 3 – x,

Pengaturan menurut pangkat x yang menurun

x2 – 3x + 9 (1)

-x + 3 x (2)

Kalikan (1) dengan-x, -x3 + 3x2 – 9x

Kalikan (1) dengan 3, 3x2 – 9x + 27 +

Penjumlahan : -x3 + 6x2 - 18x + 27

4



1.5. Pembagian dalam Pernyataan Aljabar

a. Membagi sebuah monomial dengan sebuah monomial, carilah hasil bagi koefisien

numeriknya dan cari juga hasil bagi faktor-faktor huruf yang sama, lalu kalikan hasil-hasil bagi

tersebut.

a. Membagi sebuah polinomial dengan sebuah polinomial, dengan langkah-langkah sebagai

berikut :

Contoh: Bagikan x2 + 2x4 – 3x3 + x – 2 dengan x2 – 3x + 2

Tulislah polinomial dalam pangkat x yang menurun dan pengaturan pekerjaan sebagai berikut

2x2 + 3x + 6

x2 – 3x + 2 2x4 – 3x3 + x2 + x - 2

2x4 – 6x3 + 4x2

3x3 – 3x2 + x - 2

3x3 – 9x2 + 6x

6x2 – 5x – 2

6x2 – 18x + 12

13x – 14

Jadi 2x4 – 3x3 + x2 + x - 2 = 2x2 + 3x +6 + 13x - 14

x2 – 3x + 2 x2 – 3x + 2

Contoh: Bagilalah pernyataan aljabar 24x4y2z3 dengan -3x3y4z

Dapat ditulis 24x4y2z3 = 24 x4 y2 z3 = -8 xy-2z2 = -8xz2

-3x3y4z -3 x3 y4 z y2

1. Aturlah suku kedua polinomial dalam pangkta-pangkat yang menaik sampai menurun

dari huruf-huruf yang sama dikedua polinomial.

2. Bagilah suku pertama pada yang dibagi dengan suku pertama pada yang pembagi. Ini

memberikan suku pertama hasil bagi.

3. Kalikan suku pertama hasil bagi dengan pembagi dan kurangkan dari yang dibagi, jadi

diperoleh yang dibagi baru.

4. Gunakan yang dibagi yang diperoleh di (3) untuk mengulangi langkah (2) dan (3)

sampai diperoleh sebuah sisa yang derajatnya lebih rendah dari pembagi atau sama

dengan nol.

5. Hasilnya ditulis yang dibagi = hasil bagi + sisa

Pembagi pembagi

5



Soal Latihan :

1. Hitunglah tiap-tiap pernyataan aljabar berikut , juka diberikan x =2, y= -1, z = 3, a = 0 , b =

4, c=1/3

a. 2x2 – 3yz b. 2z4 – 3z3 + 4z2 – 2z + 3 c. 4a2 – 3ab + 6c

d. 5xy + 3z e. 4x2y(z-1)

2a3 – c2 a + b - 3c

2. Carilah derajat dari tiap-tiap polinomial berikut:

a. 2x3y + 4xyz4 b. x2 + 3x3 – 4 c = y3 – 3y2 + 4y – 2 d. xz3 +3x2z2 – 4x3z + x4

3. Jumlahkan pernyataan aljabar dari pernyataan

x2 +y2 – z2 +2xy -2yz, y2 + z2 - x2 + 2yz - 2zx, z2 +x2 – y2 + 2zx – 2xy, 1 – x2 – y2 – z

4. Kurangkan pernyatan aljabar : 4x2y – 3ab + 2a2 –xy, 4xy + ab2 – 3a2 + 2ab

5. Carilah hasil kali dari pernyataan aljabar (x2 – 3xy + y2) ( 4xy2)

6. Carilah hasil pembagian dari pernyataan aljabar 16y4 – 1

2y – 1

6



2.1. Pengertian Barisan dan Deret

2.2. Deret Arimetika ( Deret Hitung)

Deret arimetika atau deret hitung adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya setelah

suku pertama diperoleh dengan cara menambahkan bialngan sebelumnya dengan bilangan konstan

yang disebut beda.

Dengan dengan demikian maka secara umum bentuk dari deret aritmetika dapat ditulis

sebagai berikut: a +(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+......

Rumus dalam deret Hitung:

1. Suku ke n atau suku terakhir : l = a +( n - 1) d

2. Jumlah n suku pertama : Sn = n/2 (a + l) atau Sn = n/2 (2a + n – 1.d)

Dimana a = suku pertama dari deret

d = beda

l = suku ke n, atau suku terakhir

n = banyaknya suku

S = jumlah n suku pertama

Barisan adalah suatu set kuantitas u1, u2, u3,.....yang dinyatakan dalam suatu urutan

tertentu dalam setiap sukunya terbentuk menurut pola tertentu, dengan kata lain ur = f(r)

Misalnya : 1, 3, 5, 7,.....adalah suatu barisan (suku berikutnya adalah 9)

2, 4, 6, 8,....adalah suatu barisan (suku berikutnya 10

Derret dibentuk oleh jumlah suku –suku suatu barisan.

Contoh: 1, 3, 5, 7,........adalah suatu barisan

1+3+5+7+......adalah suatu deret.

Kita akan menyatakn suku-suku dari suatu deret sebagai berikut :

u1 menyatakan suku pertama

u2 menyatakan suku kedua

u3 menyatakan suku ketiga, dan seterusnya. Sehingga ur akan menyatakan suku ke-r dan

ur+1 menyatakan suku ke (r + 1), dst.

Jadi jumlah dari n suku pertama akan dinyatakan oleh Sn .

BAB II

DERET

7



Contoh 1. Bila diketahui suatu deret aritmetika 10 + 6 + 2 – 2 – 6 ..dst.

Maka untuk mendapatkan jumlah 20 suku pertama dari deret tersebut :

a = 10, dan d = 2 - 6 = -4

Sn = 20/2 (20 + 19 -4 )

= 10 (20 – 76) = 10(-56) = -560

Contoh 2. Jika diketahui suku ke-7 dari deret aritmetika adalah 22 dan suku ke-12 adalah 37 ,

tentukan deretnya.

Kita tahu bahwa suku ke-7 = 22 a + 6d = 22 5d = 15 d = 3

Suku ke-12= 37 a + 11d = 37 a = 4

Sehingga dapat deretnya: 4 + 7 + 10 + 13 + 16+...dst

2.3. Deret Geometri (Deret Ukur)

Deret Geometri adalah barisan bilangan-bilangan yang setiap bilangannya setelah bilangan

pertama diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan konstanta yang disebut rasio.

Jadi 5 + 10 + 20 + 40 + 80 . . . adalah deret geometri yang setiap bilangannya diperoleh

dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2.

Dengan demikian suatu Deret Geometri memiliki bentuk :

a + ar + ar2 + ar3 + . . . dst.

Dimana a = suku pertama, r = rasio

Contoh 1. Pandang deret geometri 5 + 10 + 20 + . . .

di mana a = 5 dan r = 10 = 20 = 2.

5 10

Suku ke tujuh adalah l = arn-1 = 5(27-1) = 5(26) = 320

Jumlah tujuh suku pertama adalah Sn = a(rn – 1) = 5(27 – 1) =635

r – 1 2 - 1

Rumus Deret Geometri: 1) Suku ke n atau suku terakhir: l = ar n-1

2) Jumlah n suku pertama: Sn = a(rn-1) = rl – a , r ≠ 1

r – 1 r - 1

di mana a = suku pertama; r = rasio ; n = banyaknya suku ;

l = suku ke n atau suku terakhir ; Sn = jumlah n suku pertama.

8



Contoh 2. Jika suku ke-5 suatu DG adalah 162 dan suku ke-8 adalah 4374, tentukan deretnya.

Kita mengetahui Suku ke-5 = 162 ar4 = 162

Suku ke-8 = 4374 ar7 = 4374

a r 7 = 4374 r 3 = 27 r = 3

a r 4 162 a = 2

karena ar4 =162; ar7 =4374 dan r = 3

a. 34 = 162 a = 162 a = 2

81

Sehingga dapat Deret Geometrinya adalah : 2 + 6 + 18 + 54 +. . . dst.

Tentu saja, karena kita sudah mengetahui nilai a dan r, maka kita dapat menghitung nilai dari setiap

suku atau jumlah dari beberapa suku tertentu.

Sebagai contoh, dari deret diatas tadi, tentukanlah:

(a) suku ke-10

(b) jumlah dari 10 suku pertama.

Penyelesaian :

Dik. a = 2, dan r = 3

(a) suku ke-10 = ar9 = 2 x 39 = 2(19683) = 39366

(b) S10 = a(1 – r10) = 2(1 – 310)

1 – r 1 – 3

= 2(1 – 59049) = 59048

-2

1.4. Deret Geometri Tak-Berhingga

Disini kita akan membahas deret yang jumlah sukunya tak berhingga. Jika kita ingin mencari

jumlah dari suatu deret yang banyak sukunya tak-berhingga, kita harus berhati hati dengan langkah-

langkah yang diambil.

Sebagai contoh, tinjaulah deret takhingga 1 + ½ + ¼ + 1/8 +. . .

Deret ini kita ketahui sebagai deret geometri dimana a = 1 dan r = ½ . Dengan demikian jumlan

n suku pertamanya adalah :

1 (1- (1/2)n)

Sn = = 2 ( 1 - ½n )

1 - ½

9



Jika n sangat besar, maka 2n akan menjadi sangat besar dan dengan demikian ½n akan menjadi

sangat kecil. Sebenarnya, jika n→ ∞, ½n→0. Jumlah dari semua suku dari deret tak berhingga ini

dengan demikian diperoleh dari S = nilai limit dari Sn jika n →∞,

dengan kata lain S = Lim Sn = 2(1 – 0) = 2 . Hasil ini menunjukkan bahwa kita

n

bisa membuat jumlah dari deret ini sedikit mungkin dengan nilai 2 seperti yang kitainginkan

dengan menggunakan lebih banyak suku dari derer ini.

Perhatikan deret takhingga 1 + 3 + 5 +7 + . . .

Deret ini adalah suatu DA dimana a = 1 dan d = 2. Maka

Sn = n/2(2a + n – 1.d) = n/2(2 + n – 1.2)

= n/2 (2 + 2n – 2)

Sn = n2

Tentu saja, dalam kasus ini, jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar. Kenyataannya jika n ,

Sn, yang bukan merupakan nilai numerik yang berhingga sehingga tidak banyak berguna bagi

kita. Ini selalu terjadi untuk suatu DA, jika kita mencoba mencari ”jumlah sampai tak berhingga”,

kita akan selalu mendapatkan hasil + atau -, bergantung kepada deret yang ada.

Jumlah banyak suku sampai tak hingga dari sebarang deret geometri yang rasionya r secara

numerik kurang dari 1 diberikan oleh

a

Sn = , dimana | a | < 1.

1 – r

Contoh: Pandang deret geometri tah berhingga 1 – ½ + ¼ - 1/8 +.....dimana a = 1 dan r = ½.

Jumlah dengan banyak suku sampai tak berhingga adalah :

a 1 1 2

S∞ = = = =

1 – r 1 – ( -1/2) 3/2 3

Jadi ada dua kesimpulan penting yang dapat kita tarik :

a) Kita tidak bisa menghitung jumlah dari suku-suku suatu Deret aritmetika yang banyak tak

berhingga karena hasilnya selalu tak-berhingga.

b) Kita kadang-kadang bisa menghitung jumlah dari suku-suku suatu Deret Geometri yang

banyaknya tak-berhingga karena untuk deret yang seperti ini ,

10



Contoh. Carilah “jumlah sampai tak-berhingga” dari deret

20 + 4 + 0,8 + 0,16 + 0,032 + . . . . . . . . . . . .

Penyelesaian.

Dik. a = 20 dan r = 0,8 / 4 = 0,2 = 1/5 maka

a 20 5

S∞ = = = x 20 = 25

1 – r 1 – ( 1/5) 4

Latihan Soal

1. Hitung jumlah semua bilangan antara 100 dan 800 yang habis dibagi 3.

2. Carilah suku ke- 40 dan jumlah 40 suku pertama dari DA : 10+ 8 + 6 +. . .

3. Berapa banyaknya bilangan bulat yang berurutan mulai dari 10 yang harus diambil

agar jumlahnya 2035?

4. Carilah suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari DG : 4 + 8 + 16 +.....

5. Diketahui suku ke-2 dari sebuah DG adalah 3 dan suku ke- 5 adalah 81/8. Carilah

suku kedelapannya.

6. Carilah jumlah dari deret geometri tak berhingga

a. 2 + 1 + ½ + ¼ +...

b. 1/3 – 2/9 + 4/27 – 8/81 +....

c. 1 + 1 + 1 + ......

1,04 (1,04)2

7. Carilah banyaknya suku terkecil yang harus di ambil dari deret 1/3 + 1/6 + 1/12 +

. . . agar jumlahnya berbeda dengan jumlah tak terhingga kurang dari 1/1000.

a (1- rn)

Sn = dan asalkan r 1, maka jika n, rn0.

1 - r

a (1- 0) a a

S = = ; dengan kata lain, S =

1 - r 1 – r 1 – r

11



3.1. Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil ( atau elemen ) atau kompleks yang disusun

menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran ( array ) persegi panjang. Matriks

mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n.

Suatu matriks ditunjukkan dengan menuliskan jajarannya di antara kurung sisi misalnya

adalah matriks 2 x 3, yaitu matriks ‘2 kali 3’, dengan 5, 7, 2, 6, 3, 8 adalah elemen –

elemennya. Perhatikan bahwa dalam menyatakan matriks, yang pertama yang disebutkan adalah

banyaknya baris dan yang kedua adalah banyaknya kolom.

adalah matriks berorder 4 x 3, yaitu matriks dengan 4 baris dan 3 kolom

Jadi matriks berorde………………………….

dan matriks berode………………….

3 x 2; 2 x 4

Matriks hanyalah sekedar jajaran sekumpulan bilangan : tidak ada hubungan aritmetis antare

elemen-elemennya. Matriks berbeda dengan determinan, karena tidak ada harga numerik suatu

matriks yang diperoleh dari perkalian antar elemennya. Juga, pada umumnya baris dan kolom tidak

dapat dipertukarkan seperti dalam determinan.

Matriks baris ( line matriks ) : suatu matriks kolom hanya terdiri dari I kolom saja. Contoh,

adalah matriks kolom berode 3 x 1.

BAB III

MATRIKS DAN DETERMINAN

12



Untuk menghemat tempat, matriks kolom seringkali dituliskan dalam satu garis, tetapi diberi

kurung kurawal. Contoh, { 6 3 8 } menyatakan matriks yang sama dengan matriks kolom berode

3 x 1.

Jadi berdasarkan pemahaman di atas:

a) adalah matriks ………………. berode …………………….

b) adalah matriks ……………… berode ………………..

c) adalah matriks ………………… berode ……………….

(a) Kolom, 2 x 1; (b) baris, 1 x 4; (c) kolom, 3 x 1

Untuk menyatakan koordinat x dan y sebuah titik relatif terhadap sumbu x dan y, kita menggunakan

matriks baris sederhana, walaupun dalam hal ini biasanya kita menggunakan kurung biasa. Sebagai

contoh, jika p adalah titik (3, 5) maka angka 3 menyatakan koordinat x dan angka 5 menyatakan

koordinat y. Tetapi dalam matriks pada umumnya tanda koma yang memisahkan elemen –

elemennya tidak dicantumkan.

Matriks berelemen tunggal: sebuah bilangan dapat dipandang sebagai matriks berukuran 1

x 1, yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja.

Notasi dua indeks: Masing – masing elemen suatu matriks memiliki ‘alamat’ atau tempat

yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem dua-indeks, indeks pertama menyatakan baris

dan indeks kedua menyatakan kolom. Dengan demikian:

a1.1 a1.2 a1.3 a14

a2.1 a2.2 a2.3 a2.4

a3.1 a3.2 a3.3 a3.4

a2.3 menunjukkan elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom ketiga. Jadi, dalam matriks

6 -5 1 -3

2 -4 8 3

4 -7 -6 5

-2 9 7 -1

Letak (a) elemen 3 dapat dinyatakan dengan ……………………………

Letak (b) elemen -1 dapat dinyatakan dengan …………………………..

Letak (c) elemen 9 dapat dinyatakan dengan …………………………...

(a) a2.4 ; (b) a4.4 ; (c) a4.2

13



Notasi Matriks: Jika tidak menimbulkan keragu-raguan, keseluruhan matriks dapat dinyatakan

dengan sebuah elemen umum yang dituliskan dalam kurung siku, atau dengan

sebuah huruf yang dicetak tebal. Penulisan ini singkat dan rapih, dan juga banyak menghemat

banyak huruf dan tempat. Sebagai contoh,

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 dapat dinyatakan dengan [ aij ] atau [ a ] atau dengan A saja

a31 a32 a33 a34

Serupa dengan itu dapat dinyatakan dengan [ ] atau [ x ] atau dengan x saja.

Untuk menyatakan matriks ( m x n ) akan kita gunakan huruf besar tebal, misalnya A. Untuk matriks

baris atau matriks kolom kita gunakan huruf kecil tebal, misalnya x. ( Dalam tulisan tangan, cetak

tebal dapat digantikan dengan garis bergelemobang di bawah huruf yang bersangkutan, misalnya A

atau x ).

Jadi jika B menyatakan matriks 2 x 3, tuliskanlah elemen – elemen b dalam matriks tersebut

dengan menggunakan notasi dua-indeks. Hasilnya

B =

3.2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka orde keduanya haruslah sama.

Selanjutnya jumlah atau selisihnya diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen –

elemennya yang bersesuaian.

Contoh + =

=

Dan - =

14



=

Contoh. (a) + = …………..

(b) _ = ……………………………

Penyelesaian.

(a). 6 +1 5 + 4 4 + 2 1 + 3 = 7 9 6 4

2 + 6 3 +-1 -7 + 0 8 + 5 8 2 -7 13

(b). 8 – 1 3 – 2 6 – 3 7 1 3

5 – 4 2 – 5 7 – 6 = 1 -3 1

1 – 7 0 – 8 4 – 9 -6 -8 -5

3.3. Perkalian Matriks:

(a) Perkalian dengan skalar: Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan ( yaitu skalar ) berarti

mengalikan masing-masing elemennya dengan bilangan tersebut.

Contoh 4 x =

yaitu, secara umum, k [ ] = [ ].

Kebalikannya juga berlaku, yaitu kita dapat mengeluarkan faktor yang sama dari setiap elemen –

bukan hanya dari satu baris atau kolom seperti dalam determinan.

Karena itu , dapat dituliskan sebagai ……………………………..

5 x

15



(b) Perkalian dua buah matriks: Dua buah matriks dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya

jika banyaknya kolom dalam matriks yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks

yang kedua.

Contoh A = [ ] = dan b = [ ] =

Maka A b =

=

Yaitu masing – masing elemen matriks A dalam baris yang atas dikalikan dengan elemen yang

bersesuaian dalam kolom pertama matriks b dan kemudian semua hasil-kalinya dijumlahkan.

Serupa dengan itu, baris kedua dari hasil-kali kedua matriks diperoleh dengan mengalikan masing-

masing elemen dalam baris kedua matriks A dengan elemen yang bersangkutan dalam kolom

pertama matriks b.

Contoh 1

= = =

Serupa dengan itu, = ………………………….

=

Dengan jalan yang sama, jika A = dan b = maka A =

Cara yang sama berlaku juga untuk baris dan kolom yang lain.

16



Contoh 2

Jika A = [ ] = dan B = [ ] =

Maka A B =

=

=

=

Perhatikan bahwa perkalian matriks ( 2 x 3 ) dengan matriks ( 2 x 4 ) menghasilkan matriks berode

( 3 x 4 ).

yaitu orde ( 3 x 2 ) x orde ( 2 x 4 ) orde ( 3 x 4 ).

( sama )

Secara umum, perkalian matriks ( I x m ) dengan matriks (m x n) akan menghasilkan matriks berode

(I x n).

Jika A = dan B =

Maka A B adalah,

Karena A B =

= =

17



Jelaslah bahwa suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika matriks tersebut merupakan matriks

bujur sangkar, yaitu matriks dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

Jika A =

=

= =

Ingatlah bahwa perkalian matriks hanya didefinisikan jika :

Banyaknya kolom dalam matriks pertama =

banyaknya baris dalam matriks kedua

Benar. Jadi tidak ada artinya.

Jika A adalah matriks (m x n)

Maka perkalian A B dan B A keduanya

mungkin dilakukan.

dan B adalah matriks (n x m)

Contoh 3.

Jika A = dan B =

Maka A B =

= =

18



dan B A =

= =

Perhatikan bahwa, dalam perkalian matriks, A B B A, yaitu perkalian matriks non-komutatif.

Urutan faktor dalam perkalian sngatlah penting !

Dalam perkalian A B, B dikalikan-kiri ( pre-multiplied) dengan A

dan A dikalikan-kanan (post-multiplied) dengan B

jadi jika A = dan B =

maka A B = ……………………… dan B A = ………………………..

A B = ; B A =

Transpose matriks: Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan, maksudnya : baris pertama

menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga, dan

seterusnya. Maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose dari matriks semula. Jika matriks

semula adalah A, maka transposenya dinyatakan dengan atau . Kita akan menggunakan notasi

yang terakhir .

Maka, jika A = , maka =

Karena itu, jika diberikan

19



A = dan B =

Maka A B = …………………. Dan = ………………………………

A B = ; =

Soal Latihan:

1. Jika A = dan B =

tentukan (a) A + B (b) A – B

2. Jika A = dan B =

Tentukan (a) 5A; (b) A B; (c) B A

3. Jika A = dan B = maka A B = ……………………….

4. Jika diberikan A = tentukanlah (a) dan (b) A .

3.4. Determinan Matriks Bujur sangkar Ordo 2 x 2

Sifat- sifat determinan

Menjabarkan determinan yang elemen-elemennya sangat banyak akan sangat menjemukan,

tetapi bila kita mengetahui sifat-sifat determinan , kita dapat menyederhanakan perhitunganya .

berikut ini diberikan beberapa sifat pokok determinan . Carilah sifat-sifat ini dalam buku catatan

anda untuk dipakai sebagai rujukan nanti.

20



Harga suatu determinan tetap tidak berubah jika baris diganti menjadi kolom dan kolom menjadi

baris.

=

Jika dua baris (atau kolom ) ditukarkan tempatnya tanda determinan berubah .

=

Jika ada dua baris ( atau kolom ) yang identik , maka harga determinan tersebut sama dengan nol .

= 0

Jika elemen-elemen salah satu baris ( atau kolom ) semua dikalikan dengan factor yang

sama,maka determinanya pun dikalikan dengan factor tersebut .

=

Jika elemen-elemen salah satu baris ( atau kolom ) ditambah (atau dikurangi ) dengan kelipatan-

kelipatan elemen baris ( atau kolom) lain yang bersesuaian ,maka harga determinannya tidak

berubah .

=

Sekarang, sebagai ulangan, lengkapilah yang berikut ini :

(i) = …………………………

(ii) = …………………………

(iii) = ………………………….

(iv) = ………………………….

Inilah hasilnya :

(i). 20 – 42 = - 22 (ii). -20 – 6 = -26

(iii). ac – bd (iv). ps – rq

3.5. Determinan Matriks Bujur Sangkar Ordo 3 x 3

Determinan matriks bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai elemen – elemen yang

sama dengan matriks tersebut. Sebagai contoh,

21



determinan dari adalah

Dan harga determinan ini adalah

5( 42-12) – 2(0-24) – 1(0-48)

5(30) – 2(-24) + 1(-48) = 150 + 48 – 48 = 150

Perhatikan bahwa matriks transposenya adalah yang harganya sama dengan,

5(42 – 12) – 0(14 – 4) + 8(6 – 6) = 5(30) = 150.

Hal ini menunjukkan bahwa determinan suatu matriks bujur sangkar memiliki harga yang sama

dengan determinan matriks transposenya.

Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut matriks singular.

Harga determinan matriks adalah …………………………………….

Dan harga determinan matriks diagonal adalah ………………………….

= 3(-30) – 2(15) + 5(25) = 5.

= 2(20) + 0 + 0 = 40.

Kofaktor. Jika A = [ ] adalah matriks bujur sangkar, kita dapat membentuk determinan yang

elemen – elemennya adalah

22



.

.

.

Masing-masing elemen memberikan kofaktor, yang tidak lain daripada minor elemen dalam

determinan bersama-sama dengan ‘tanda tempat’-nya, yang rinciannya telah dijelaskan dalam

program sebelum ini.

Sebagai contoh, determinan matriks A = adalah

Det A = = yang harganya sama dengan 45. Minor elemen 2 adalah

= 1.0 - 6.4 = 0 - 24 = -24

Tanda tempatnya +. Jadi faktor elemen 2 adalah + (-24) yaitu -24 .

Serupa dengan itu, minor elemen 3 adalah = 0 – 6 = -6.

Tanda tempatnya - . jadi kofaktor elemen 3 adalah – (-6) = 6.

Untuk masing-masing elemen, minornya diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom, yang

memuat elemen yang bersangkutan dan kemudian dibentuk determinan dari elemen – elemen yang

tersisa. Tanda tempat yang sesuai diberikan oleh

23



Tanda plus dan minus bergantian, dimulai dengan tempat di sudut kiri atas yang memuat tanda +.

Jadi, dalam contoh di atas, minor elemen 6 adalah yaitu 8 – 3 = 5. Tanda tempatnya -.

Sehingga kofaktor elemen 6 adalah -5.

Dengan demikian, untuk matriks , kofaktor elemen 3 adalah……………….dan

elemen 4 adalah ……………………………………

Kofaktor 3 adalah 4-(-10) = 4

Kofakror 4 adalah – (56 – 3) = -53

Adjoin matriks bujur sangkar:

Jika kita mulai dengan A = , determinannya adalah

det A = A = dari sini kita dapat membentuk matriks baru C.

yang elemen – elemen kofaktor

C = dengan adalah kofaktor

adalah kofaktor dst.

= + = + (0-24) = -24

= - = - (0-6) = 6

= + = + (16-1) = 15

= - = - (0 -20) = 20

24



= + = + (0 – 5) = -5

= - = - (8 – 3) = -5

= + = +(18 – 5) = 13

= - = -(12 – 20) = 8

= - = +(2 – 12) = -10.

Matriks kofaktornya adalah C =

Dan transpose dari C, yaitu = Matriks ini disebut matriks adjolin dari

matriks A semula dan dituliskan adj. A. Jadi untuk memperoleh adjolin suatu matriks bujur sangkar

A kita harus :

(a) Membentuk matriks kofaktor C

(b) Menuliskan transpose C , yaitu .

Dengan demikian adjoin dari matriks

adalah Adj A = =

3.6. Invers Matriks Bujur Sangkar

Adjoin suatu matriks bujur sangkar sangatlah penting, karena matriks ini memungkinkan

kita untuk membentuk invers matriks yang bersangkutan. Jika masing-masing elemen dari matriks

25



adjolin A dibagi dengan harga determinan A, yaitu A , (asal saja A 0), maka diperoleh matriks

baru yang disebut invers dari matriks A dan dituliskan sebagai A-1.

Untuk matriks yang kita gunakan dalam bingkai yang lalu, yaitu, A =

,

det A = A = = 2 (0-24) – 3(0-6) + 5(16-1) = 45

matriks kofaktornya adalah adalah C =

dan matriks adjolin dari A, yaitu =

maka invers dari A diberikan oleh

A-1 =

=

Jadi, untuk membentuk invers dari matriks bujur-sangkar Ab:

(a) Hitung determinan A, yaitu A .

(b) Bentuk matriks C yang elemen – elemennya adalah kofaktor elemen A

(c) Tuliskan transpose matriks C, yaitu dengan A .

(d) Bagilah masing – masing elemen dengan A

(e) Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers A-1 dari matriks A semula.

Marilah kita lihat pelaksanaannya secara terinci melalui sebuah contoh.

26



Untuk memperoleh invers dari A = ,

(a) pertama-tama kita hitung determinan A, yaitu,

A = 28

A = =1(2-0) -2(8-0) + (0-6) = 28

(b) sekarang kita bentuk matriks kofaktornya. C = ……………………………………..

C =

Karena

= +(-0) = 2; = -(8-30) = 22; = +(0-6) = 6

= -(4-0) = -4 = +(2-18) = -16; = -(0-12) = 12

= +(10-3) = 7; = -(5-12) = 7 = +(1-8) = -7

Adj A = = ………………………….

Adj A = C =

(d) Akhirnya, elemen – elemen adj A kita bagi dengan harga A , yaitu 28, untuk memperoleh A-

1, invers matriks A.

A-1 = ……………………….

A -1 =

=

27



Untuk matriks lain pun dapat dicari dengan jalan yang sama. Kerjakanlah soal yang berikut ini

sendiri.

Tentukanlah inver matriks A =

A-1 = ……………………………

A-1 =

Inilah penyelesaian lengkapnya.

Det A = A = = 2(8) – 7(-6) + 4(-5) = 38

Kofaktor

= +(8 - 0) = 8; = -(24-30) = 6; = +(0-5) = -5

= -(56 -0) = -56; = +(16-20) = -4; = -(0-12) = 12

= +(42-4) = 38; = -(12-12) = 0 = +(2-21) = -19

C = =

Jadi A -1 =

Sekarang marilah kita lihat beberapa penggunaan invers. Perkalian matriks bujur sangkar dengan

inversnya.

Dari contoh sebelum ini telah kita lihat bahwa jika A =

Maka A -1 =

28



Sehingga A -1 A =

=

=

= = 1 A -1 A = 1

Dan juga A A-1 = x

=

= ………………………………….. selesaikanlah.

A -1 A = = = 1

A A-1 = A-1 A = 1

Hasil ini memperlihatkan bahwa perkalian suatu matriks bujur sangkar dengan inversnya,

dalam urutan bagaimanapun, akan menghasilkan matriks satuan dalam orde yang sama dengan

matriks semula.

Pemecahan sistem persamaan linear

Tinjaulah suatu sistem persamaan linear

. . . . .

. . . . .

. . . . .

29



Dari bekal kita tentang perkalian matriks, sistem persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk

matriks.

. . . . = .

. . . . . .

. . . . . .

Yaitu A x = b

Dengan A =

; x = ; dan b =

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Jika kedua ruas persamaan matriks tersebut kita kalikan dengan invers matriks A, kita peroleh

A -1 A x = A -1 . b

Tetapi A -1 A = 1 1 x = A -1 b yaitu x = A -1 . b

Kita lihat bahwa jika kita bentuk invers dari matriks koefisien dan matriks b kita kalikan-kiri

(pre-multiply) dengan matriks – invers, maka akan kita peroleh matriks pecahan x.

Contoh pecahkan sistem persamaan

Pertama - tama jika kita tuliskan sistem persamaan ini dalam bentuk matriks, maka kita dapatkan

. =

30



Yaitu A x = b x = A -1 b

Langkah selanjutnya adalah mencari invers matriks A dengan A adalah matriks koefisien x. kita

telah mengetahui bagaimana menentukan invers suatu matriks, jadi dalam hal ini A -1 = …………...

A -1 = -

Karena: A = = -14 – 50 + 29 = 29 – 64 A = -35

Kofaktor

= + (-20 + 6) = - 14; = - ( 15 +10 ) = - 25; = + ( 9 + 20 ) = 29

= - ( 10 – 3 ) = -7; = + ( 5 – 5 ) = 0; = - ( 3 – 10 ) = 7

= + ( -4 + 4 ) = 0; = - ( -2 – 3 ) = 5; = + ( - 4 – 6 ) = - 10

C = adj A = =

Telah diperoleh A = - 35 A -1 = = -

x = A -1 b = - .

X = - =

31



Sehingga akhirnya x = = = -1; = 5 = 3

Matode eliminasi Gauss untuk memecahkan sistem persamaan linear

. . . . . = yaitu A . x = b

. . . . . .

. . . . . .

Semua hal yang diperlukan untuk memecahkan sistem persamaan di atas dikandung oleh

matriks koofisien A dan matriks kolom b. jika elemen – elemen matriks b kita tuliskan dalam

matriks A, maka kita peroleh matriks yang diperluas ( augmented matrix ) B untuk sistem

persamaan tersebut.

Yaitu B =

. . . . .

. . . . .

. . . . .

(a) sekarang kita eliminasikan elemen-elemen dalam kolom pertama, kecuali elemen , dengan

jalan mengurangi baris kedua dengan / kali baris pertama dan mengurangin baris ketiga

dengan / kali baris pertama, demikian seterusnya.

(b) langkah ini menghasilkan matriks baru yang berbentuk

32



. . . . .

. . . . .

. . . . .

Proses tersebut kita ulangi lagi untuk mengeliminasi elemen kolom kedua mulai dari baris ketiga

ke bawah.

Contoh pecahkanlah x1 + 2x2 – 3x3 = 3

2x1 – x2 – x3 = 11

3x1 + 2x2 + x3 = -5

Persamaan ini dapat dituliskan sebagai . =

Matriks yang diperluas menjadi

Kurangi baris kedua dengan kali baris pertama dan baris ketiga dengan kali baris pertama

Langkah ini memberikan

Sekarang kurangi baris ketiga dengan , yaitu , kali baris kedua.

Matriksnya menjadi

Dengan langkah ini matriks koofisien x telah direduksi menjadi matriks segitiga.

Akhirnya, kita letakkan kolom-kolom kembali ke posisinya semula.

. =

33



Dengan ‘subtitusi mundur’, mulai dengan baris yang paling bawah, kita peroleh

= -18 = -3 = -3

+ = 5 = 5 + 15 = 20 = -4

+ - = 3 – 8 + 9 = 3 = 2

= 2; = -4; = -3

Perhatikan bahwa dalam mengolah matriks yang diperluas, jika dikehendaki kita boleh

(a) Mempertukarkan dua baris,

(b) Mengalikan baris dengan faktor yang tidak nol

(c) Menambahkan (atau mengurangkan) kelipatan salah satu baris dengan (atau dari ) baris lain.

Operasi ini diperkenankan karena kit menangani koofisien-koofisien dari kedua ruas persamaan.

Contoh pecahkanlah sistem persamaan berikut

X1 – 4x2 – 2x3 = 21

2x1 + x2 + 2x3 = 3

3x1 + 2x2 – x3 = -2

Pertama – tama kita tuliskan persamaan di atas dalam bentuk matriks, yaitu

. =

Matriks yang diperluasnya adalah …………………………………………….

Sekarang kita dapat mengeliminasi koofisien dari baris kedua dan ketiga dengan

……………….. dan

Mengurangi baris kedua dengan 2 kali baris pertama

Dan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama

Sehingga matriknya menjadi

34



Selanjutnya kita kurangi baris ketiga dengan ……………………………………….kali baris

kedua

Jika kita lakukan langkah ini, matriksnya menjadi

Kembalikan ke dalam bentuk persamaan matriks,

. =

Dengan mulai dari bawah, kita memperoleh penyelesaiannya.

x1 = ………………….; x2 = ……………………; x3 = …………………

x1 = 3; x2 = -5; x3 = 1

Seperti telah kita lihat, pengetahuan dasar mengenai matriks menyediakan jalan yang bersih

dan singkat untuk memecahkan sistem persamaan linear. Dalam prakteknya, koofisien-koofisien

numeriknya tidak selalu merupakan bilangan sederhana, demikian juga banyaknya persamaan tidak

terbatas hanya sampai tiga. Untuk soal yang lebih rumit, bantuan alat-alat hitung akan sangat

menolong, tetapi prinsip dasar penyelesaiannya tetap sama.

Soal Latihan

1. Sekarang kerjakanlah .

Hitunglah dengan menguraikanya mengikuti baris terbawah

Jawab :

Kita dapatkan dengan mengingat

= 5 -7 + 2

=5 ( 9 – 4 ) -7 ( 6 – 24 ) + 2 (2 – 18 )

= 5 (5) -7 (-18) +2 (-16)

= 25 + 126 – 32 = 119

2.

35



Hitunglah dengan menguraikanya atas baris yang tengah.

Jawab:

Karena = -7 + 3 - 1

= -7 ( 18 – 48 ) + 3 ( 9 – 32 ) -1 ( 6 – 8 )

= -7 ( - 30) +3 (-23) -1 (-2)

= 210 – 69 + 2 = 143

3. Carilah harga y , bila diberikan

Pertama-tama , kuncinya dahulu ,yaitu ……………………………

Untuk mencari y ,kita gunakan

Jadi kita harus mencari dan .

Persamaan yang diberikan adalah

Untuk memperoleh ,kita hilangkan suku y – nya .

΅ = = + 5 + 11

= 2 ( 8 – 18 ) + 5 ( 8 + 24 ) + 11 ( -3 – 4 )

= - 20 + 160 – 77 = 6

4. Carilah harga x , y dan z.

Jawab :

Langkah-langkah pokoknya:

= 54

36



= 27

= 81

= - 27

= - x = = = 2

X = 2

= - y = = = -1

X = -1

= - z = = = -3

X = -3

5. Tentukan harga k agar persamaan berikut sejalan (konsisten )

agar sejalan = 0

= 3 -1 + 2 = 0

= 3 ( 6k – k ) -1 ( 12k + 2k ) +2 ( -4 – 4 ) = 0

= 15k – 14k – 16 = 0 k – 16 = 0 k = 16

37



4.1. Besaran Vektor dan Skalar

Pendahuluan : besaran vektor dan besaran skalar

Kuantitas fisis dapat dibagi menjadi dua komponen utama, kuantitas skalar dan kuantitas

vektor.

(a). Kuantitas skalar ialah kuantitas yang didefinisikan secara lengkap oleh bilangan tunggal dengan

satuan yang sesuai, contoh: panjang, luas, volume, massa, waktu, dll. Begitu satuannya

dinyatakan, kuantitas itu ditentukan seluruhnya oleh ukuran atau magnitudonya.

(b). Kuantitas vektor didefinisikan secara lengkap apabila kita mengetahui bukan saja

magnitudonya (dengan satuan) tetapi juga arah kemana vektor itu beroperasi, sebagia contoh:

gaya, percepatan, kecepatan. Kuantitas vektor perlu melibatkan arah dan juga magnitudonya.

Contoh : (a) kealajuan 10 km/jam merupakan kuantitas skalar

(b) kecepatan ’10 km/jam kearah utara’ merupakan kuantitas vektor

Suatu gaya F yang bekerja pada titik P merupakan kuantitas vektor, karena mendefinisikan

gaya ini seluruhnya kita harus memberikan :

(a) magnitudonya, dan juga

(b) arahnya

F

Sebagai contoh, perhatikan pernyataan ini:

a. Temperatur 100oC merupakan kuantitas skalar

b. Percepatan 9,8 m/det2 secara vertikal kebawah merupakan kuantitas vektor, karena ada

magnitudo dan arahnya

c. Bobot 7 kg massa merupakan kuantitas vektor, karena ada magnitudo dan arahnya

d. Jumlah Rp. 500 merupakan kuantitas skalar

e. Angin yang bertiup ke timur laut sebesar 20 knot merupakan kuantitas vektor, karena

ada magnitudo dan arahnya

BAB IV

VEKTOR

38



Representasi Vektor

Suatu kuantitas vektor dapat direpresentasikan secara grafis dengan garis, yang ditarik sdemokian

rupa sehinga :

(a) panjang garisnya menandakan magnitudo kuantitas tersebut, sesuai dengan skala vektor yang

dinyatakan.

(b) arah garis tersebut menandakan arah bekerjsnys kuantitas vektor tersebut. Arah ditunjukkan

oleh anak panah.

Contoh.

Diketahui gaya 35 N yang bekerja ke kanan, akan ditandai oleh garis

dan jika skala vektor yang dipilih adalah 1 cm 10 N. Berapakah panjang dari garis tersebut ?

Penyelesaiannya:

Karena 1 cm 10 N maka panjang dari garis tersebut adalah 35 10 = 3,5 cm.

Kuantitas vektor AB disebut sebagai AB atau a B

Magnitudo kuantitas vektor ditulis dengan

AB , atau a atau cukup dengan AB atau a. a

A

Perhatikan bahwa BA merepresentasikan suatu kuantitas vektor yang magnitudonya sama tetapi

dengan arah berlawanan.

B B

a

A AB = a A BA = AB = - a

Dua Vektor yang Sama

Dua vektor a dan b dikatakan sama, jika keduanya memiliki magnitudo yang sama dan arah yang

sama.

Jika a = b, maka : a b

(a) a = b (magnitudonya sama)

(b) arah a = arah b, dengan kata lain, kedua vektor sejajar dan berarah sama.

Jika dua vektor a dan b sdemikian rupa sehingga b = -a, apa yang dapat kita katakan tentang

magnitudo dan arahnya ?

39



Jadi, magnitudonya sama, dan vektor vektor ini sejajar tetapi arahna berlawanan. Artinya, jika b =

-a maka

a b

Jenis-jenis Vektor

(a) Vektor posisi AB terjadi apabila titik A tetap

(b) Vektor garis ialah sedemikian rupa sehinga vektor itu dapat digeser di sepanang garis kerjanya,

misalna, gaya mekanis yang bekeja pada sebuah benda

(c) Vektor bebas tidak dibatasi oleh apapun. Vektor ini didefnisikan secara lengkap oleh magnitudo

dan arahnya dan dapat digambar sebagai salah satu dari kumpulan garis sejajar yang panjangnya

sama.

4.2 Penambahan Vektor

Jumlah dari dua vektor, AB dan BC, didefinisikan sebagai vektor tunggal atau vektor

ekuivalen atau vektor resultan AC.

C artiya AB + BC = AC

atau a + b = c

c b

A a B

Maka untuk mencari jumlah dari dua vektor a dan b, kita gambar vektor-vektor ini sebagai

suatu rantai, memulai vektor yang kedua dari ujung vektor pertama; jumlah c diberikan oleh vektor

tunggal yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua.

Contoh . Jika p gaya 40 N, yang bekerja ke arah timur

q gaya 30 N, yang bekerja ke arah utara

maka magnitudo dari jumlah vektor r dari kedua gaya ini akan sama dengan.................

Penyelesaian.

Karena r2 = p2 + q2

= 402 + 302

r q = 1600 + 900 = 2500

r = 2500 = 50 N

p

Jumlah dari beberapa vektor a + b + c + d +. . .

Perhatikan gambar dari vektor-vektor dibawah ini:

40



E

d (a) gambar vektor vektor tersebut sebagai suatu rantai

D (b) kemudian,

c a + b = AC

A C AC + c = AD

a B b a + b + c = AD

AD + d = AE

a + b + c + d = AE

dengan kata lain, jumlah semua vektor, a, b, c, d, diberikan oleh vektor tunggal yang

menghubungkan pangkal vektor pertama ke ujung vektor terakhir, dalam hal ini AE .

Komponen-komponen Vektor dinyatakan dalam Vektor Satuan

Y

Vektor OP di definisikan oleh besarannya

(r) dan arahnya ( ). Vektor ini dapat pula

P pula dinyatakan dakam kedua komponen

nya dalam arah OX dan OY.

r b

0 a X

Dengan kata lain, OP ekuivalen dengan vector a dalam arah OX + a vektor b dalam arah OY

Artinya, OP = a ( di sepanjang OX) + b (di sepanjang ) OY

Jika kita definisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX

Maka a = ai

Serupa halnya, jika kita definisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY,

Maka a = bj

Dengan demikian Vektor OP dapat di tuliskan sebagai:

r = ai + bj

dimana i dan j meupakan vektor satuan masing-masing dalam arah OX dan OY. Misalkan

z1= 2 i + 4 j dan z2 = 5i + 2j

41



Y

z1

4 z2

2

0 2 X

5

Untuk mendapatkan z1 + z2, gambarlah kedua vektor tersebut secara berantai

z1 + z2 = OB = ( 2+5 ) i + ( 4 + 2 ) j = 7i + 6j

Y

Z2

Z1 B

5 2

4

X

O 2

Dengan kata lain keseluruhan komponen vektor di sepanjang OX, dan keseluruhan komponen

vektor di sepanjang OY.

Tentu saja hal ini dapat kita lakukan tanpa bantuan diagram :

Jika z1 = 3i + 2j dan z2 = 4i + 3j

z1 + z2 = 3i + 2j + 4i + 3j

= 7i + 5j

Latihan Soal.

Jika z1 = 5i – 2j ; z2 = 3i + 3j; z2 = 4i – 1j

Maka (i) z1 + z2 +z3 = ………………

(ii) z1 - z2 -z3 = ………………….

Penyelesaian :

42



(i) z1 + z2 +z3 = 5i – 2j+ 3i + 3j + 4i-1j

= (5 + 3+ 4)i + (3 – 2 - 1)j

=12i

(ii) z1 - z2 -z3 = (5i – 2j) - (3i - 3j) - (4i - 1j)

= (5– 3 – 4)i + ( -2 – 3 + 1)j

= -2i - 4j

4.3 Perkalian Skalar antara Dua Vektor

Jika a dan b adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara a dan a di definisikan

sebagai skalar (bilangan) ab cos dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dab b serta

merupakan sudut di antara kedua vektor ini.

a Hasil kali skalar ini di notasikan dengan a.b (sering

disebut ‘hasilkali titik’)

b

a.b = ab cos

= a proyeksi b pada a

= b proyeksi a pada b

Sebagai contoh

B OA. OB=……..

7

A

70o 5

O 25o

Penyelesaian:

Karena kita lihat bahwa :

B

7

A

45o 5

O

4.4. Perkalian Vektor antara Dua vektor

OA.OB = OA. OB.

= 5.7

= 35. =

43



Hasil kali vektor a dan b ditulis a x b (sering di sebut ‘hasilkali silang’) dan didefinisikan

sebagai vektor yang memiliki magnitudo ab sin dengan merupakan sudut di antara kedua vektor

yang diketahui tersebut. Vektor hasikali mempunyai arah yang tegak-lurus baik terhadap a maupun

b dengan arah yang sedemikian rupa sehingga a, b, dan a x b membentuk set tangan kanan- dalam

urutan tersebut.

a x b = ab sin

(a x b) Perhatikan bahwa b x a akan membalik arah

Rotasi dan vektor hasilkalinya sekarang mempu

nyai arah ke bawah, dengan kata lain

b x a = -(a x b)

b Jika = 0o, maka a x b = 0o

a = 90o, maka a x b = ab

(b x a)

Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektr atuan i, j, k :

a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k

Maka :

a x b = a1b1i x i x a1b2i x j + a1b3i x k + a2b2j x j + a2b3j x k + a3b1k x i + a3b2k

x j + a3b3k x k.

4.5. Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a merupakan satu vektor dengan kosinus arah l, m, n dan misalkan b

merupakan vektor lain dengan kosinus arah l, m, n . Maka kita harus mencari sudut antara

kedua vektor ini.

44



Z

P

(n – n)

P' (l – l)

0 (m-m) Y

X

Maka

(PP')2 = (l – l) + (m – m')2 + (n – n')2

= l2 – 2.l.l’ + l’2 + m2 – 2m.m’ + m'2 + n2 – 2n.n' + n'2

= (l2 + m2 + n2) + (l' + m'2 + n'2) – 2(ll' + mm' + nn')

Tetapi (l2 + m2 + n2) = 1 dan (l' + m'2 + n'2) =1

(PP')2 = 2 – 2(ll' + mm' + nn') (a)

Juga, dengan aturan kosinus :

(PP')2 = OP2 + OP'2 – 2.OP.OP’. cos

= 1 + 1 – 2.1.1. cos

= 2 – 2 cos (b)

Jadi dari (a) dan (b), kita peroleh :

(PP')2 = 2 - 2(ll' + mm' + nn') dan

(PP')2 = 2 – 2 cos

cos = ll' + mm' + nn'

Contoh . 1.Jika l, m, n = 0,54, 0,83, -0,14

dan l', m', n' = 0,25, 0,60, 0,76

Berapakah sudut antara kedua vektor tersebut.

Penyelesaian.

Cos = ll' + mm + nn

= (0,54)(0.25) + (0,83)(0,60) + (-0,14)(0,76)

= 0,1350 + 0,4980 - 0,1064

= 0,6330 - 0,1064

45



= 0,5266

= 58º13

Contoh 2. Carilah sudut antara vektor-vektor

p = 2i + 3j + 4k dan q = 4i – 3j + 2k

Penyelesaian.

Pertama kita cari kosinus arah p.

p = p = 22 + 32 + 42 = 4 + 9 + 16 = 29

l = a = 2

p 29

m = b = 3

p 29

n = c = 4

p 29

l', m', n' = 2/ 29, 3/29, 4/29

kosinus arah l', m', n' untuk Q dengan cara yang sama pula :

q = q = 42 + 32 + 22 = 16 + 9 + 4 =29

l', m', n' = 4/29, -3/29, 2/29

Telah kita katahui bahwa untuk P :

l, m, n = 2/ 29, 3/29, 4/29

Jadi, dengan menggunakan cos = ll' + mm' + nn', maka sudut -nya :

cos = 2 . 4 + 3 . (-3) + 4 . 2

29 29 29 29 29 29

= 8 - 9 + 8

29 29 29

= 7 = 0,2414 = 76º2’

29

Latihan Soal

1. Jika OA = 4i + 3j, OB = 6i – 2j, OC = 2i – j, carilah AB, BC, CA dan tentukanlah panjang

sisi-sisi segitiga ABC tersebut.

2. Carilah kosinus arah dari vektor yang menghubungkan dua titik (4, 2, 2) dan ( (7, 6, 14).

3. Jika a = 2i + 2j – k dan b = 3i – 6j + 2k, carilah (a) a . b dan (b) a x b

4. Jika a = 5i + 4j + 2k, b = 4i – 5j + 3k dan c = 2i – j – 2k, dengan i, j, k adalah vektor-vektor

satuan, tentukanlah ;

46



(a) nilai a . b dan sudut antara vektor-vektor a dan b

(b) magnitudo dan kosinus arah dari vektor hasilkali (a x b) dan juga sudut yang dibuat vektor

hasilkali ini dengan vektor c.

47



5.1. Persamaan Kuadrat

Pemecahan persamaan kuadrat tentu saja dapat diperoleh dengan rumus,

Sebagai contoh, jika , maka kita peroleh

atau

Di sini tidak ada masalah, tetapi jika kita coba memecahkan persamaan

dengan cara yang sama, kita dapatkan

dan sekarang langkah selanjutnya adalah menentukan akar dari (-64).

Apakah ini sama dengan (a) 8, (b) -8, (c) bukan kedua-duanya.

Jelas bukan kedua-duanya, karena +8 dan -8 adalah akar dari 64, bukan (-64). Sesungguhnya,

tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada bilangan riil yang

kuadratnya negatif.

Namun kita tahu bahwa, -64 = -1 x 64, sehingga dapat kita tuliskan

Jadi

Tentu saja kita masih di hadapkan dengan , yang, karena seperti alasan di atas, tidak

dapat dipandang sebagai bilangan riil. Akan tetapi jika kita tuliskan huruf j untuk menyatakan

maka

BAB V

BILANGAN KOMPLEKS

48



Dengan demikian, walaupun kita tidak dapat menghitung , kita dapat

menggantikannya dengan j dan ini membuat pekerjaan kita jauh lebih rapih.

Serupa dengan itu,

Jadi dapat dituliskan sebagai…….

Sekarang kita mempunyai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik seperti yang diberikan

dalam bingkai 1

atau

Kita akan membahas kembali hasil semacam ini nanti.

5.2. Pangkat dari j

Dengan mengingat bahwa j menyatakan , marilah kita tinjau beberapa pangkat dari

j.

2 = = 1

Khususnya perhatikanlah hasil terakhir : setiap kali muncul factor ia dapat di gantikan

dengan factor 1, sehingga pangkat dari j berkurang menjadi salah satu di antara keempat hasil di

atas.

Contoh:

j5

49



dan

jadi, dengan cara yang sama, j5 …...

karena

Yang lain pun dikerjakan dengan cara yang sama.

Sehingga (a)

(b)

(c)

dan (d) Jika

Jawab. (a) -1

(b) 1

(c) –j dan

(d) dapat dicari sebagai berikut :

yaitu atau

Jadi ingatlah, untuk menyederhanakan pangkat dari j, kita kurangi pangkatnya dengan pangkat

tertinggi dari yang mungkin, maka hasilnya akan kembali ke salah satu hasil : j, -1, -j, 1.

Bilangan Kompleks

Hasil yang kita peroleh terdiri atas dua suku yang terpisah, yaitu 3 dan j5. Suku-suku

ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut, karena suku yang kedua bukan bilangan riil (karena

memuat faktor j).

Dalam pernyataan seperti

j

50



3 disebut bagian riil dari x

5 disebut bagian imajiner dari x

dan gabungan keduanya membentuk apa yang disebut bilangan kompleks.

Jadi, Bilangan kompleks = (Bilangan riil) + j(Bilangan imajiner)

Dalam bilangan kompleks 2 + j7, bagian riil = ………………

dan bagian imajiner = ………………….

Bilangan kompleks sering juga digunakan dalam ilmu teknik. Untuk dapat menggunakannya kita

harus mengetahui dahulu bagaimana melakukan opersi-operasi hitungan (aritmatik) biasa.

5.3. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks.

Hal ini sangat mudah dilakukan, satu atau dua contoh cukup untuk memperhatikan ini.

Contoh 1. (4j + j5) + (3 – j2). Walaupun bagian riil dan bagian imajiner tidak dapat digabungkan,

kita boleh membuka tanda-kurungnya dan menjumlahkan suku-suku yang sejenis.

(4 +5j) + (3 - j2) = 4 + j5 + 3 – j2 = (4 + 3) + j(5 – 2)

= 7 + j3

Contoh 2.

(4 + j7) – (2 - j5) = 4 + j7 – 2 + j5 = (4 – 2) + j(7 +5)

= 2 + j12

Jadi, secara umum, (a +jb) + (c +jd) = (a + c) + j(b + d)

Sekarang kerjakan ini:

(5 + j7) + (3 – j4) – (6 – j3) = …………..

Karena (5 + j7) + (3- j4) – (6 – j3)

= 5 + j7 + - j4 _ 6 + j3

= (5 + 3 – 6) + j(7 – 4 + 3)

= 2 + j6

Bagian riil =2; bagian imajiner = 7 (BUKAN j7!)

2 + j6

51



Hati-hati dengan

tandanya!

4 1

Sekarang hitunglah soal berikut dengan cara yang sama:

(i) (6 + j5) – (4 - j3) + (2 - j7) = ……….

dan (ii) (3 + j5) – (5 - j4) – (-2 – j3)= ………

Caranya begini:

(i) (6 + j5) – (4 – j3) + (2 – j7)

= 6 + j5 – 4 + j3 + 2 – j7

= (6 – 4 + 2) + j(5 + 3 – 7)

= 4 + j

(ii) (3 + j5) – (5 – 4j) – (-2 – j3)

= 3 + j5 – 5 + j4 + 2 +j3

= (3 – 5 + 2) + j(5 + 4 + 3)

= 0 + j12 = j12

Hal ini sangat mudah, asalkan anda mengingat bahwa bagian riil dan bagian imajiner harus digarap

secara terpisah – seperti halnya x dan y dalam hitungan aljabar.

Soal Latihan

1. Sederhanakanlah (a) j12 (b) j10 (c) j23

2. Sederhanakalah :

(a) (5 – j9) – (2 – j6) + (3 – j4) (b) (6 – j3) (2 + j5)(6 – j2) (c) (4 – j3)2

(d) (5 – j4)(5 + j4)

5. 4. Perkalian Bilangan Kompleks

Ambilah sebagi contoh: (3 + j4) (2 + j5)

Perkalian ini dikerjakan dengan cara yang sama seperti kita menghitung perkalian (3x +

4y) (2x +5y).

Lakukanlah perkalian antara (i) kedua suku yang kiri

(ii) kedua suku yang dalam

(iii) kedua suku yang luar

(iv) kedua suku yang kanan

(i) 4 + j (ii) j12

52



2

3

= 6 + j8 + j15 + j220

= 6 +j23 – 20 (karena j2 = -1)

= -14 + j23

Dengan cara yang serupa, (4 – j5) (3 + j2)…………………

Karena: (4 – j5) (3 + j2) = 12 – j15 + j8 – j210

= 12 – j7 + 10 (j2 = -1)

= 22 – j7

Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap:

(3 + j4) (2 – j5) (1 – j2)

= (6 + j8 – j15 – j220) (1 – j2)

= (6 – j7 + 20) (1 – j2)

= (26 – j7) (1 – j2)

=…………………..

Karena: (26 – j7) (1 – j2)

= 26 – j7 – j52 + j214

= 26 – j59 – 14 = 12 – j59

Perhatikanlah bahwa bila kita bekerja dengan bilangan kompleks, hasil perhitungan kita pada

umumnya berupa bilangan kompleks juga.

Sekarang hitunglah soal berikut.

(5 + j8) (5 – j8) =………………

Begini caranya:

(5 + j8) (5 – j8) = 25 + j40 – j40 – j264

= 25 + 64

= 89

22 – j7

12 – j59

89

1

2

3

4

53



Meskipun ada pernyataan di atas, ternyata di sini kita tidak menjumpai suku j. Sehingga hasilnya

merupakan bilangan riil.

Hal ini agak khusus. Perhatikanlah kedua bilangan kompleks yang baru saja kita kalikan.

Adakah anda melihat sesuatu yang khusus diantara keduanya? Jika ada, apakah itu?

Pasangan bilangan kompleks semacam ini disebut bilangan kompleks konjugat dan hasil-kali dua

bilangan kompleks konjugat selalu merupakan bilangan riil.

Perhatikanlah langkah berikut :

(a + b) (a – b) = a2- b2 (Selisih dua bilangan kuadrat)

Serupa dengan itu,

(5 + j8) (5 – j8) = 52 – (j8)2 = 52 – j2 82

= 52 + 82 (j2 = -1)

= 25 + 64 = 89

Tanpa menghitung dahulu, apakah hasil kali (7 – j6) dengan (4 + j3) merupakan

(a) bilangan riil

(b) bilangan imajiner

(c) bilangan kompleks

Jawab.

Karena (7 – j6) (4 + j3) adalah perkalian antara dua bilangan kompleks yang bukan merupakan

pasangan bilangan kompleks konjugat atau kelipatan konjugat.

Ingatlah: Bilangan kompleks konjugat keduanya identik, kecuali tanda yang di tengah di dalam

kurung

(4+j5) dan (4 – j5) adalah pasangan kompleks konjugat

(a+jb) dan (a – jb) adalah pasangan kompleks konjugat

Tetapi (6+j2) dan (2 + j6) bukan pasangan kompleks konjugat

(5-j3) dan (-5 + j3) bukan pasangan kompleks konjugat

Keduanya identik kecuali tanda yang di tengah di

dalam kurung, yaitu (5 + j8) dan (j – j8)

Bilangan kompleks

54



Jadi, bilangan kompleks manakah yang harus kita kalikan degan (3 – j2) agar diperoleh hasil yang

riil?

Karena konjugat dari (3 – j2) harus identik dengannya, kecuali tanda di tengahnya, yaitu (3 + j2),

dan kita tahu bahwa perkalian antara dua bilangan kompleks konjugat selalu riil.

Berikut ini adalah beberapa contoh lagi.

Contoh 1 (3 – j2) (3 + j2) = 32 – (j2)2 = 9 – j24

= 9 + 4 = 13

Contoh 2 (2 + j7) (2 – j7) = 22 – (j7)2 = 4 – j249

= 4 + 49 = 53

Bilangan kompleks dalam bentuk (a + jb) dan (a – jb) disebut pasangan bilangan

kompleks…………….

5.5. Pembagian Bilangan Kompleks

Membagi bilangan kompleks dengan bilangan riil tidaklah sukar.

Tetapi bagaimanakah cara kita menyelesaikan

Seandainya, dengan suatu cara, kita dapat mengubah penyebutnya menjadi bilangan riil, kita dapat

menyelesaikannya seperti pada contoh di atas. Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana kita

dapat mengubah (4 + j3) menjadi penyebut yang riil – ini tidak lain daripada pekerjaan kita yang

baru lalu.

Kita tahu bahwa kita dapat mengubah (4 + j3) menjadi bilangan riil dengan mengalikannya

dengan k …………….

Yaitu bilangan kompleks yang sama tetapi dengan tanda yang berlawanan di

tengahnya, dalam hal di atas adalah (4 – j3).

Tetapi jika penyebut dikalikan dengan (4 – j3), pembilangnyapun harus dikalikan dengan

faktor yang sama.

Konjugat

Konjugatnya

Aa,

55



= 0,64 – j1,48

Jadi untuk membagi sebuah bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya, kita

kalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat dari penyebutnya. Cara ini akan mengubah

penyebutnya menjadi bilangan riil dan langkah selanjutnya dapat diselesaikan dengan mudah.

Jadi, untuk menyederhanakan , kita harus mengalikan atas dan bawah dengan……………..

kita peroleh:

=

= -1,2 – j2,6

5.6. Kesamaan Bilangan Kompleks

Sekarang marilah kita lihat apa yang dapat diketahui jika dua bilangan kompleks dikatakan sama

Misalkan kedua bilangan itu adalah

a + jb dan c + jd

maka kita peroleh

a + jb = c + jd

penyusunan kembali letak suku-sukunya memberikan

a – c = j(d – b)

Dalam pernyataan yang terakhir ini, besaran di ruas kiri keseluruhannya riil, sedangakan besaran di

ruas kanan keseluruhannya imajiner, yaitu besaran riil sama dengan besaran imajiner! Nampaknya

bertentangan dan pada umumnya hal ini tidak benar. Tetapi ada satu hal khusus yang

memungkinkan hal ini benar, yaitu jika…………..

Konjugat dari penyebutnya, yaiut (1 – j2)

Masing-masing ruas sama dengan nol

56



a + c = j(d – b)

dapat benar hanya jika

a – c = 0, yaitu a = c

dan jika d – b = 0, yaitu b = d

Dengan demikian kita peroleh hasil yang sangat penting:

Jika dua buah bilangan kompleks sama, maka

(i) Kedua bagian riilnya sama

(ii) Kedua bagian imajinernya sama

Sebagai contoh, jika x + jy = 5 + j4, maka kita ketahui x = 5 dan y = 4 dan jika a + jb = 6 – j3,

maka a =….. dan b=……

Jangan lupa menyertakan juga tandanya!

Sekarang bagaimanakah soal yang berikut ini?

Jika (a + b) + j(a – b) = 7 + j2, tentukanlah harga a dan b.

Dengan mengikuti aturan kesamaan dua bilangan kompleks, apa yang dapat kita katakan

tentang (a + b) dan (a – b)?

Karena kedua bagian riilnya sama dan kedua bagian imajinernya sama.

Keduanya memberikan dua persamaan simultan. Harga a dan b dapat diperoleh dari kedua

persamaan tersebut. Berapakah harga a dan b?

Karena a + b = 7 2a = 9

2b = 5

a – b = 2

Kita lihat bahwa persamaan yang menyangkut bilangan kompleks memberikan sepasang

persamaan simultan dengan membuat

(i) Kedua bagian riilnya sama

(ii) Kedua bagian imajinernya sama

b = -3 a = 6 dan

a + b =

7 dan a – b = 2

a = 4,5; b = 2,5

57



Soal Latihan

1. Tuliskanlah hasil-kali perkalian berikut

a. (4 – j3) (4 + j3) b. (4 + j7) (4 – j7) c. (a + jb) (a –jb) d. (x – jy) (x + jy)

2. Kalikanlah (3 – j5) dengan faktor yang sesuai agar memberikan hasil yang rill.

3. Sederhanakanlah

4. Kerjakan soal berikut ini dengan cara yang sama

(i) (ii)

(iii)

5.7. Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis

Walaupun kita tidak dapat menghitung bilangan kompleks seperti bilangan riil, kita dapat

menyatakannya secara diagramatis, seperti akan kita lihat sekarang.

Dalam sistem penggambaran bilangan biasa yang kita

kenal, bilangan 3 dapat dinyatakan sebuah garis dari titik asal ke

titik 3 pada skala. Serupa dengan itu, garis yang menyatakan (-3)

di gambarkan dari titik asal ke titik (- 3). Kedua garis ini sama

panjang, tetapi di gambarkan berlawanan arah. Karena itu, untuk

membedakannya, kita gambarkan kepala anak-panah di ujung masing-masing garis.

Garis yang menyatakan besar (lewat panjangnya) dan arah (lewat penunjukan kepala anak-

panah) disebut vektor. Kita akan sering sekali menggunakan istilah ini.

Jadi suatu vektor haruslah memiliki besaran (atau ukuran) dan…………………..

Jika (+3) kita kalikan dengan faktor (-1), maka kita peroleh (-3), yaitu faktor (-1) menyebabkan

vektor berbalik arah 180o.

-

2

1 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3 +3

arah

58



Mengalikan dengan (-1) setara dengan mengalikan dengan j2, yaitu mengalikan dengan faktor j dua

kali. Jadi mengalikan sekali dengan sebuah faktor j memiliki akibat separuhnya dan merotasikan

vektornya melalui sudut sebesar……..o.

Faktor j selalu memutar vektor sebesar 90o dalam arah positif

pengukuran sudut, yaitu dalam arah berlawanan jarum jam.

Jika sekarang kita kalikan lagi j3 dengan faktor j,

maka kita peroleh j23, yaitu (-3) dan diagramnya pun

sesuai dengan hasil ini.

Jika (-3) kita kalikan lagi dengan faktor j, gambarkanlah posisi vektor yang baru dalam diagram

seperti di atas.

Hasilnya:

-2 2 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3 +3 180o

-

2

3 -3 -2 -1 0 1 2 3

j3

+3 xj

90o

-2 4 -3 -2 -1 0 1 2 3

j3

3 xj

3

2

1 xj -3

59



Baiklah kita nyatakan kedua garis acuan ini dengan XX1 dan

YY1 seperti biasa.

Akan kita lihat bahwa:

(i) Skala sepanjang sumbu-X menyatakan bilangan riil.

Karena itu XX1 disebut sumbu riil.

(ii) Skala pada sumbu-Y menyatakan bilangan imajiner.

Karena itu YY1 disebut sumbu imajiner.

Soal Latihan

Dalam diagram seperti di atas, gambarkanlah vektor-vektor yang menyatakan

(i) 5, (ii) -4, (iii) -j2, (iv) -j

Hasilnya:

Periksalah apakah vektor-vektor anda telah memuat

kepala anak-panah untuk menyatakan arah!

Jika sekarang kita ingin menyatkan 3 + 2

sebagai jumlah dua vektor, kita harus menggambarkan kedua vektor itu secara berantai, pangkal

vektor yang kedua diletakkan di ujung vektor yang pertama.

Kedua vektor tersebut, 3 dan 2,

bersama-sama setara dengan sebuah vektor yang

digambarkan dari titik asal ke ujung vektor terakhir (tentunya di sini memberikan 3 + 2 = 5).

+3 -3

Y

Y1

X1 X

j3

-j3

xj 0

5 -4

Y

Y1

X1 X

j2

-j

0 1 2 3 4

5 3 + 2 = 5

(3) (2)

60



Jika kita ingin menyatakan bilangan kompleks (3 + j2), maka kita jumlahkan vektor yang

menyatakan j2.

Perhatikan bahwa sekarang 2 dikalikan dengan faktor

j yang memutarkan vektornya sebesar 90o.

Vektor setara yang menyatakan (3 + j2) adalah sebuah

vektor dari pangkal vektor pertama (yaitu titik asal) ke

ujung vektor kedua.

Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand.

Soal Latihan

Gambarkanlah diagram Agrand untuk menyatakan vekto-

vektor:

(i) z1 = 2 + j3 (ii) z2 = -3 + j2

(iii) z3 = 4 – j3 (iv) z4 = -4 – j5

Beri label pada masing-masing vektor dengan jelas.

Inilah jawabnya. Periksalah pekerjaan anda!

Perhatikan sekali lagi bahwa letak titik-ujung vektor diperoleh seperti dalam penggambaran

koordinat x dan y.

Bagian riilnya bersesuaian dengan harga x.

Bagian imajinernya bersesuaian dengan harga y.

0 1 2 3 4

5

(3) (2)

X

xj

j2

0 2 4

6

-6 -4 -2

4

2

-2

-

4

z1 = 2 + j3

z2 = -3 +

j2

z3 = 4 - j3

z4 = -4 -

j5 Y1

Y

X1 X

-j

j

61



5.8. Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Grafis

Sekarang marilah kita coba mencari jumlah antara z1 = 5 + j2 dan z2 = 2 + j3 dengan menggunakan

diagram argand. Jika kita menjumlahkan vektor, vektor-vektor itu harus digambarkan berantai. Jadi

di

ujung z1 kita gambarkan vector AP yang baik arah

maupun besarnya menyatakan z2, yaitu AP sama dan

sejajar dengan OB. Segi-empat OAPB merupakan jajar-

genjang. Jumlah z1 dan z2 dinyatakan oleh vektor yang

menghubungkan titik ujung vektor terakhir, yaitu OP.

Jadi bilangan kompleks z1 dan z2 terdapat di jajar-genjang

yang dibentuk oleh z1 dan z2.

Jika OP menyatakan bilangan kompleks a + jb, berapakah a dan b dalam hal ini?

Anda dapat memeriksa hasil ini dengan menjumlahkan (5 + j2) dan (2 + j3) secara aljabar.

Jadi, jumlah dua vektor dalam diagram Argand diberikan oleh…………… jajar genjang yang

dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Bagaimanakah kita melakukan pengurangan denagn cara yang sama? Dengan sedikit

kecerdikan kita dapat memecahkannya tanpa harus mempelajari cara baru. Siasatnya hanyalah

demikian:

z1 – z2 = z1 + (-z2)

Jadi, kita gambarkan vektor yang menyatakan z1 dan vektor negatif dari z2 dan kita jumlahkan

keduanya seperti biasa. Vektor negatif z2 adalah vektor yang mempunyai besar ( atau panjang) sama

dengan z2 tetapi mengarah ke arah yang berlawanan.

O 1 2 3 4 5

6 7

5

4

3

2

1

Y

X

j

A

B

P

z2

z1

z2

a = 5 + 2 =

7

b = 2 + 3

= 5

diagonal

62



Contoh: jika z1 = 5 + j2 dan

z2 = 2 + j3

Vector OA = z1 = 5 + j2

OP = -z2 = -(2 + j3)

Maka OQ = z1 + (-z2)

= z1 – z2

Contoh.

Tentukanlah (4 + j2) + (-2 + j3) – (- + j6) dengan diagram Argand

Maka OP = z1 + z2 OQ = z1 + z2 – z3 = 3 – j

3

z1 = z1 –

z2

Y1

Y

X X

j

0 5 Q

-2

-3 P (-z2)

A (z1

)

(z2

)

B

A (z1)

P (z1 +

z2)

C (-z3) Y1

Y

X1 X

j

-3 -2 -1

0 -1

-2

-3

-

4

-5

6

5

4

-3

2

3 4 5 6

7

(z2) B

Q (z1 + z2 –

z3)

OA = z1 = 4 + j2

OB = z2 = -2 +j3

OC = -z3 = 1 – j6

63



5. 9. Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

Kadang- kadang lebih memudahkan menyatakan bilangan kompleks a + jb dalam bentuk lain.

Dalam diagram Argand, misalkan OP adalah vektor a + jb.

Misalkan r = panjang vektor tersebut dan adalah sudut

yang di bentuknya dengan OX.

Maka r2 = a2 + b2 r =

Dan = =

Juga a = r dan b = r

Karena z = a + jb, maka z dapat dituliskan sebagai

z = r + jr atau z = r + j

bentuk ini dikenal sebagai bentuk kutub (polar) bilangan kompleks a + jb, dengan

r = dan

baiklah kita lihat saja suatu contoh numerik.

Contoh: Nyatakanlah z = 4 + j3 dalam bentuk kutub.

Pertama-tama, gambarkanlah dahulu suatu diagram sketsa (hal ini akan selalu sangat membantu)

Kita lihat bahwa

(i) r2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

r = 5

(ii) = = 0,75

= 36o52’

z = a + jb = r = + j

sehingga dalam hal ini z = 5 cos 36o53’ + j sin 36o52’

P

b

X a

0

Y

r j

3

X 4

0

Y

r j

64



Soal Latihan

Tentukanlah bentuk kutub dari bingan kompleks (2 + j3)

Inilah langkahnya,

z = 2 j3 = r (cos = j sin )

r2 = 4 + 9 =13 r = 3,606

tan = = 1,5 = 56o19’

z = 3,6006 (cos 56o19’ + j sin 56o19’)

Kita mempunyai nama khusus untuk r dan .

z = a + jb = r = + j

(i) r disebut modulus dari bilangan kompleks dan biasanya

disingkat menjadi ‘mod z’ atau dinyatakan dengan |z|.

jadi jika z = 2 + j5, maka |z| = =

(ii) disebut argumen dari bilangan kompleks tersebut dan disingkat menjadi ‘arg z’.

Jadi jika z = 2 + j5, maka arg z = ……………

z = 2 + j5. Maka arg z = θ = = 68o12’

Bentuk kutub bilangan kompleks selalu sama dan hanya berbeda dalm harga r dan saja.

Seringkali digunakan simbol singkat r untuk menyatakan bentuk kutub tersebut.

Soal Latihan

1. Nyatakanlah dalam bentuk a + jb, 4(cos 65o + j sin 65o)

Karena z = 4(cos 65o + j sin 65o) = 4(0,4226 + j0,9062) = 1,6904 + j3,6252

Jika argumennya lebih besar daripada 90o, kita harus hati-hati dalam menghitung cosinus dan

sinusnya agar selalu menyertakan tanda yang sesuai.

Contoh: jika z = 2(cos 210o + j sin 210o), vektornya terlerak dalam kuadran ketiga.

3

X 2

0

Y

r

j

Arg z = 68o12’

z = 1,6904 + j3,6252

65



Cos 210o = - cos 30o

Sin 210o = - sin 30o

Jadi z = 2(-cos 30o – j sin 302)

= 2(- 0,8660 – j0,5)

= - 1,732 - j

2. Nyatakanlah z = 5(cos 140o + j sin 140o) dalam bentuk a + jb

Bagaimana anda menanganinya?

Begini langkahnya –

Cos 140o = - cos 40o

Sin 140o = - sin 40o

z = 5(cos 140o + j sin 140o) = 5(- cos 40o + j sin 140o)

= 5(- 0,7660 + j0,6428)

= - 3,8300 + j3,2140

T

S A

30O 0

210O

2

c

X

4 5

40o

0

140o

X1

Y

66



6.1. Kurva Bidang: Penyajian secara Parametri

Suatu kurva bidang ditentuksn oleh se

pasang persamaan parameter x = f (t), y = g (t), t dalam I.

F dan g adalah kontinu pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang tertutup a,b Bayangkan

t, yang disebut parameter, sebagai ukuran waktu. Apabila t naik dari a hingga b titik (x, y) bergerak

sepanjang kurva pada bidang xy. Titik-titik P = (x(a), y(a)) dan Q = (x(b), y(b)) adalah titik ujung

awal dan akhir kurva tersebut.

Apabila kedua titik itu berimpit kurva itu di sebut tertutup. Apabila nilai berlainan dari t

memberi titik berlainan pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan t = b), dikatakan kurva

sederhana.

(Lihat gambar.)

Menghilangkan Parameter

Untuk mengenali kembali sebuah kurva yang ditentukan oleh persamaan parameter,

sebaiknya kita menghilangkan (mengeliminasikan) parameter. Hal ini kadang dapat dicapai engan

mencari t dan salah satu persamaan parameter dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam

persamaan lain.

BAB VI

GEOMETRI PADA BIDANG

67



Contoh1. Hilangkan parameter t dari persamaan kemudian tentukan bentuk kurva dan gambarlah

grafiknya.

y = t2 + 2t, y = t – 3, -2 t 3

Penyelesaian. Dari persamaan kedua kita peroleh t = y + 3 . Jika t ini disubsitusikan dalam

persamaan pertama maka diperoleh;

x = (y + 3)2 + 2(y + 3) = y2 + 8y + 15

atau

x + 1 = (y + 4)2

Persamaan ini kita kenal sebagai parabol dengan puncak di (-1, -4) dan terbuka ke kanan.

Untuk menggambarkan grafiknya, kita hanya memperlihatkan bagian parabol yang sesuai

dengan nilai parameter yang memenuhi -2 t 3 . Daftar nilai-nilai dan grafik dapat dilihat pada

gambar di bawah ini. Anak panah menunjukkan arah naiknya nilai t.

t x y

-2

-1

0

1

2

3

0

-1

0

3

8

15

-5

-4

-3

-2

-1

0

68



6.2. Vektor pada Bidang : Pendekatan secara Geometri

Pada bab IV kita telah membahas tentang dua besaran. Banyak besaran yang sering kita

jumpai dalam ilmu pengetahuan(misalnya panjang, massa, volume, dan muatan listrik) yang dapat

dinyatakan oleh suatu bilangan. Besaran ini dinamakan skalar. Sedangkan besaran lain misalnya

kecepatan, percepatan, gaya, dan pergeseran untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya

bilangan tetapi juga arah. Besaran ini dinamakan vektor.

Anak panah mempunyai pangkal dan ujung. Dua vektor dinamakan sama apabila keduanya

sama besarnya (sama panjangnya) dan arahnya juga sama.

Operasi Terhadap Vektor

Untuk memperoleh jumlah, atau resultan dua vektor u dan v, gerakkanlah v tanpa mengubah

besanya dan arahnya hingga pangkalnya berimpit dengan ujung u. Maka u + v adalah vektor yang

menghubungkan pagkal u dengan ujung v. Cara ini disebut hukum segitiga. (lihat gambar a).

gbr.(a) u v gbr. (b)

u

u + v u + v

v

v

v

Dua cara setara untuk menjumlahkan vektor

Cara lain melukis u + -v ialah menggerakkan v sehingga pangkalnya berimpit dengan

pangkal u. Maka u + v adalah vektor yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal

jajarangenjang yang sisanya adalah u + v. Cara ini di sebut hukum jajarangenjang (lihat gambar

b.)

Kita dapat membuktikan bahwa penjumlahan demikian bersifat komutasi dan asosiasi, yaitu

,

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

69



Apabila u vektor, maka 3u adalah vektor yang searah dengan u tetapi yang panjangnya tiga

kali panjang u; vektornya -2u dua kali panjangnya u tetapi arahnya berlawanan (lihat gambar c).

Pada umumnya, cu adalah kelipatan skalar vektor u, yang panjangnya adalah c kali panjang u,

searah dengan u apabila c positif dan berlawanan arah apabila c negatif. Khususnya, (-1)u (juga

ditulis sebagai –u) sama panjangnya dengan u, tetapi arahnya berlawanan. Vektor ini disebut vektor

negatif u sebab apabila –u dijumlahkan pada u, hasilnya adalah vektor nol (yaitu sebuah titik);

vektor ini, satu-satunya vektor tanpa arah tertentu, dinamakan vektor nol, yang dilambangkan

dengan 0. Vektor ini adalah unsur satuan penjumlahan yaitu u + 0 = 0 + u = u. Akhirnya

pengurangan ditentukan sebagai:

u – v = u + ( - v )

Contoh 1. Dalam gambar (d), nyatakan w dengan u dan v

Penyelesaian. Olek karena u + w = v, maka

w = v – u

gbr (c)

u 3u

-2u

gbr (d)

w

v

u

Contoh 2. Dalam Gambar(e), AB = 2/3AC. Nyatakan m dalam u dan v

gbr (e) C

B

A m v

u

70



Penyelesaian.

m = u + AB = u + 2 AC

3

= u + 2/3(v – u)

= 1/3u + 2/3v

Pada umumnya, jika AB = tAC dengan 0 t 1, maka

m = (1 – t)u + tv

Atau dapat ditulis, m = u + t(v – u)

Apabila t berubah dari - hingga + kita peroleh semua vektor berujung pada garis yang diperhatikan

pada gambar f. Sifat ini penting dalam mencari persamaan garis dalam bahasa vektor.

gbr. (f)

v- u

u v

u+t(v-u)

Penerapan. Sebuah gaya memiliki besaran dan arah. Apabila dua gaya u dan v bekerja pada sebuah

titik, gaya hasilnya dititik tersebut adalah jumlah vektor gaya-gaya tersebut.

Contoh 3. Diketahui sebuah beban 200 neewton digantungkan pada dua utas kawat (seperti pada

gambar g). Tentukanlah besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat.

Penyelesaian. Bobot w dan tegangan u dan v adalah gaya yang bersifat sebagai vektor (lihat gambar

h). Tiap vektor ini dapat dinyatakan sebagai jumlah komponen yang mendatar dan

yang tegak dalam kedudukan seimbang, maka (1) besarnya gaya yang kekirisama

dengan besarnya gaya yang ke kanan, dan (2) besarnya gaya yang mengarah ke atas

sama dengan besarnya gaya yang mengarah ke bawah.

gbr. (g) gbr. (h)

u v

33o 50o

33o 50o

200 kg w

Sehingga ,

71



u cos 33° = v cos 50° v = u cos 33° …..(1)

cos 50o

u sin 33° + v sin 50° = w = 200 ......(2)

Dari persamaan (1) kita hitung v dan mensubsitusikannya dalam (2)., kita peroleh

u sin 30° + u cos 33° sin 50° = 200

cos 50o

atau

200

u = 129,52 newton

Sin 33° + cos 33° tan 50°

Sehingga, v = u cos 33° 129,52 cos 33° 168,99 newton

cos 50o cos 50°

Kecepatan memiliki arah dan besaran, sehingga berperilaku sebagai vektor. Besarnya kecepatan

dinamakan laju.

Soal Latihan

1. Gambarlah vektor w.

(a) w = u +3/2v

u v

(b) w = u1 + u2 + u3

u2

u1 u3

2. Sebuah sungai lebarnya 0,62 mil. Laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap jam.Perahu ini dapat

melaju 20 mil tiap jam dalam airyang tidak mengalir. Dengan arah manakah perahu harus

ditujukan apabila ingin melaju sampai diseberang sungai pada sebuah titik yang garis

hubungnya tegak lurus arah aliran. Berapa waktu yang di perlukan untuk menyeberang ?

3. Gambar dibawah ini adalah jajaran genjang. Nyatakan w dalam u dan v

w

u

v

72



6.3. Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Aljabar

Dari uraian pada pasal yang terdahulu secara geometri dapat kita simpulkan bahwa sebuah

vektor adalah keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama (lihat gambar 1). Sekarang

kita akan membahas vektor secara aljabar.

gambar (1)

vektor u

gambar (2) gambar( 3)

y y

(u1,u2)

u

x x

Kita mulai dengan mengambil sebuah sistem koordinat cartesius pada bidang. Sebagai wakil

dan vektor u, kita pilih sebuah anakpanah yang berpangkal di titik asal (gambar 2). Anak panah ini

ditentikan secara tunggal oleh koordinat u1 dan u2 titik ujungnya, ini bererti bahwa vektor u

ditentukan oleh pasangan terurut u1,u2 (gambar 3). Jadi kita anggap u1,u2 adalah vektor u;

pasngan terurut u1,u2 ini merupakan vektor u secara aljabar. Kita menggunakan lambang u1,u2

dan bukan (u1,u2) oleh sebab yang terakhir ini sudah memiliki dua pengertian, yaitu untuk selang

terbuka dan untuk titik pada bidang.

73



Operasi Pada Vektor

Bilangan u1 dan u2 dinamakan komponen-komponen vektor u = u1,u2. Dua vektor u = u1,u2 dan

v = v1,v2 adalah sama jika dan hanya jika u1 = v1 dan u2 = v2. Untuk menjumlahkan u dan v, kita

jumlahkan komponen-komponen yang sesuai, yaitu,

u + v = u1 + v1, u2 + v2

Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan tiap komponennya dengan c. Jadi,

uc = cu = cu1 , cu2

Khususnya,

-u = -u1 , -u2

dan

0 = 0u = 0, 0

Panjang Dan Hasilkali Titik

Panjang (atau besaran), u sebuah vektor u = u1,u2 ditentukan oleh:

u = u12 + u2

2

Misalkan, jika u =4, -2 , maka u = 42 + (-2)2 = 25. jika u dikalikan dengan skalar c, maka

panjangnya kita kalikan dengan c , jadi

cu = c u

Jangan keliru mengartikan pemakaian ganda simbol . Simbol c , yang disebut nilai

mutlak c, adalah jarak antara titik asal dan c pada garis bilangan (lihat gambar 4). Sedangkan u ,

yang dinamakan panjang u, adalah jarak antara titikasal dan ujung pada bidan (lihat gambar 5).

y u

c u

x

O c O

gbr (4) gbr(5)

Contoh. Andaikan u =4, -3 . tentukan u dan -2u . Tentukan pula vektor v yang searah dengan

u tetapi dengan panjang 1.

74



Penyelesaian. u = 42 + (-3)2 = 5 dan -2u = -2 u = 2 . 5 = 10. Untuk mencari v, kita

bagi u dengan panjangnya u ; yakni,

u 4, -3 1

v = = = 4, -3 = 4/5, -3/5

u 5 5

Perkalian dua vektor u dan v dinamakan hasilkali titik, yang dilambangkan dengan u . v ,

dapat ditentukan perkalian ini dengan:

u . v = u1v1 + u2v2

Perhatikan bahwa hasilkali titik itu adalah skalar.

Jika u dan v adalahvektor nol, maka hasilkali titik adalah:

u . v = u v cos

disisni adalah sudut antara u dan v. Dengan sudut antara u dan v, kita maksudkan adalah sudut

terkecil yang positif antara u dan v, sehingga 0 .

Untuk menurunkan rumus tersebut, kita gunakan Hukum Kosinus pada segitiga dalam (lihat

gambar 6).

u – v u – v 2 = u 2 + v 2 - 2u v cos

v u

gbr (6)

Contoh. Tentukan sudut antara u =8, 6 dan v =5, 12

Penyelesaian.

u . v (8)(5) + (6)(12) 112

cos = = = 0,862

u v (10)(13) 130

= cos-1 (0,862) 0,532 (atau 30,5°)

Soal Latihan

1. Tentukan b sehingga u =8, 6 dan v =3, b tegak lurus

2. Tentukan besarnya sudut ABC, dengan A= (4, 3), B= (1, -1),dan C = (6, -4), tunjukkan dalam

grafik.

3. Andaikan a = -3i + 4j, b = 2i – 3j, dan c = -5j . hitunglah

(a) 2a – 4b

75



(b) a . b

(c) a . (b + c)

4. Hitunglah kosinus sudut antara a dan b

(a) a = 2, -3 , b =-1, 4

(b) a =-5, -2, b =6, 0

76



7.1 Koordinat Cartesius dalam Ruang Dimensi Tiga

Tiga garis koordinat yangsaling tegak lurus pada sumbu x, y dan z dengan titik-titik nolnya

berada pada suatu titik 0 yang sama, disebut titik asal. Sumbu y dan z terletak pada bidang kertas

dengan arah positif masing – masing ke kanan dan ke atas. Kemudian sumbu x tegak lurus kertas

dengan arah positif menuju kita, sehingga membentuk suatu sistem tangan-kanan. Kita

menamakannya tangan kanan karena jika jari-jari tangan kanan dikepalan sehingga melengkung

dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, inu jari akan mengarah ke sumbu z positif (Gambar

1).

Gambar (1)

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang-bidang yz, xz, dan xy, yang membagi

ruang menjadi delapan oktan (Gambar 2). Terhada tiap titik P dalam ruang yang berpadanan suatu

bilangan ganda-tiga berurut (x, y, z), yaitu koordinat Cartesiusnya, yang mengukur jarak-jarak

berarah dari tiga bidang itu (Gambar 3).

Memetakkan titik-titik di oktan pertama (oktan dimana semua koordinatnya posotif) secara

relatif mudah. Pada gambar 4 dan 5, kita ilustrasikan sesuatu yang lebih sukar dengan memetakkan

dua titik dari oktan-oktan lain, titik-titik P(2,-3,4) dan Q(-3,2,-5).

BAB VII

GEOMETRI PADA RUANG

77



GAMBAR 4 GAMBAR 5

Rumus Jarak

Pandanglah dua titik P1(x1, y1, z1) dan P2( x2, y2, z2) dalam ruang dimensi-tiga (x1 x2, y1

y2, z1 z2. Mereka menentukan suatu balok genjang (paralelepipedum), dengan P1 dan P2 sebagai

titik sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbu-sumbu koordinat (Gambar

6). Segitiga P1RQ dan P1QP2 adalah segitiga siku-siku, dan menurut Teorema Pythagoras,

P1P22 = P1Q 2 + QP2

2

GAMBAR (6)

dan

P1Q2 = P1R 2 + RQ2

2

Jadi,

P1P22 = P1R

2 + RQ2 2 + QP2

2

Ini akan memberikan rumus jarak pada ruang dimensi-tiga.

P1P2 = (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)

2 + (z2 – z1) 2

78



Contoh 1. Carilah jarak antara titik P(2, -3, 4) dan Q(-3, 2, -5).

Penyelesaian.

PQ = (-3 – 2 2 + (2 + 3)2 + (-5 – 4) 2 = 131 11,45.

Bola dan Persamaannya

Dari rumus jarak ke persamaan sebuah bola merupakan suatu langkah kecil. Dengan sebuah

bola, kita maksudkan himpunan titik berjarak konstan (radius) dari suatu titik tetap (pusat).

Kenyataannya, jika (x, y, z) pada bola dengan radius r berpusat pada (h, k, l), maka (lihat gambar 7)

(x – h)2 + (y – k)2 + (z – l)2 = r2

Ini kita sebut persamaan baku sebuah bola.

Dalam bentuk terurai, persamaan dalam kotak tersebut dapat dituliskan sebagai ,

x2 + y2 + z2 + Gx + Hy + Iz + J = 0

GAMBAR (7)

Contoh 2. Carilah pusat dan radius bola dalam persamaan

x2 + y2 + z2 - 10x - 8y - 12z + 68 = 0, dan gambar grafiknya.

Penyelesaian.

Kita gunakan proses pelengkapan kuadrat.

(x2 – 10x + ) + (y2 – 8y + ) + (z2 – 12z + ) = - 68

(x2 – 10x + 25 ) + (y2 – 8y + 16 ) + (z2 – 12z + 36 ) = - 68 + 25 + 16 +36

(x – 5 )2 + (y – 4 )2 + (z – 6 )2 = 9

GAMBAR (8)

79



Jadi, persamaan tersebut menyatakan sebuah bola dengan pusat pada (5,4,6) dan radius 3.(grafiknya

lihat pada gambar 8).

7.2 Grafik Dalam Ruang Dimensi-Tiga

Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan seringkali terjadi , maka

kita mulai dengan mencari titik-titik potong ini, yakni kita cariperpotongan x, y, z. Ketiga titik ini

menentukan bidang dan memungkinkan kita menggambar jejak, yang berupa garis-garis

perpotongan dengan bidang-bidang koordinat.

Contoh 1. Gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z = 12

GAMBAR (9)

Penyelesaian.

Untuk menemukan perpotongan x, tetapkan y dan z sama dengan nol dan selasaikan untuk x,

diperoleh x = 4. Titik yang berpadanan adalah (4,0,0). Secara serupa, perpotongan y dan

z adalah (0,3,0) dan (0,0,6). Lalu tarik ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini untuk

memperoleh jejak. Kemudian arsir (oktan pertama sebagian) bidang tersebut, dengan demikian

diperoleh hasil yang diperlihatkan pada gambar 9.

Contoh 2. Gambarlah grafik persamaan linier: 2x + 3y = 6 dalam ruang dimensi tiga

Penyelesaian

Perpotongan x dan y masing-masing adalah (3,0,0) dan (0, 2, 0) dan titik-titik ini menentukan jejak

di bidang xy. Bidang ini tidak pernah memotong sumbu z (x dan y keduanya tidak dapat sama

dengan nol), sehingga bidang ini adalah sejajar sumbu z. Grafikya dapat kita lihat dibawah ini.

80



7.3. Vektor dalam Ruang Dimensi-Tiga

Kita lihat sekarang untuk vektor u mempunyai tiga komponen; yakni

u = (u1, u2, u3) = u1i + u2j + u3k

Disini i,j,k adalah vektor-vektor satuan baku, disebut vektor-vektor basis, pada arah dari ketiga

sumbu koordinat positif (gambar1). Panjang u ditunjukkan oleh u, berasal dari rumus jarak dan

diberikan sebagai

u = u12 + u2

2 + u32

z

u

k

j y

i

x

Vektor-vektor dapat ditambahkan, dikalikan dengan skalar, dan dikurangkan sama seperti

pada bidang, dan hukum-hukum aljabar yang dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari

terdahulu. Hasilkali titik dari u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v1v3) definisikan sebagai

u . v = u1,v1 + u1 v1 + u3 v3

dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu, yakni

u . v = uv cos

dimana adalah sudut antara u dan v. Akibatnya, masih tetap benar bahwa dua vektor saling tegak

lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol.

contoh 1 : cari sudut ABC jika A = (1,-2, 3), B = (2, 4, -6), dan C = (5, -3, 2)

81



Penyelesaian : pertama kita tentukan vektor-vektor u dan v (berasal dari titik asal), setara terhadap

BA dan BC. Ini dilakukan dengan cara mengurangi koordinat- koordinat titik-titik awal dari titik-

titik ujungnya, yakni

u = 1 – 2, - 2 – 4, 3 + 6 = – 1, – 6, 9

v = 5 – 2, - 3 – 4, 2 + 6 = 3, - 7, 8

A(1,-2,3)

B(2,4,-6) C(5,-3,2)

Jadi,

cos = u . v = (-1)(3) + (-6)(-7) + (9)(8) 0,9251

uv 1 + 36 + 81 9 + 49 + 64

0,3894 (kira-kira 22,31º)

Contoh 2 : nyatakan u = 2, 4, 5 sebagai jumlah suatu vektor m yang sejajar

2, -1, -2 dan suatu vektor n yang tegak lurus v.

u v

n

m

Penyelesaian dari gambar diatas kita dapat mencari pertama cari m, yang merupakan proyeksi dari

u pada v.

v v

m = m = u cos

v v

= u . v v = u . v v

v v v 2

= (2)(2) + (4)(-1) + (5)(-2) 2,-1,2

4 + 1 + 4

= -20/9, 10/9, 20/9

82



Maka,

n = u – m = 38/9, 26/9, 25/9

7.4. Permukaan dalam Ruang Dimensi-Tiga

Grafik suatu persamaan dalam tiga peubah umumnya berupa permukaan. Grafik Ax + By

+ Cz = D berupa sebuah bidang, grafik (x – h)2 + (y – k)2 + (z – l)2 = r2 berupa sebuah bola.

Penggambaran permukaan dapat dilaksanakan dengan mencari perpotongan permukaan dengan

bidang yang terpilih. Perpotongan ini disebut jejak (gambar 7.1).

GAMBAR 7. 1

Contoh Sketsa Grafik dari

x2 + y2 + z2 = 1 16 25 9

Penyelesaian. Untuk Mencari jejak di bidang xy, kita tetapkan z = 0 pada persamaan yang

deberikan. Grafik dari persamaan yang dihasilkan;

x2 + y2 = 1

16 25

GAMBAR 7. 2

83



Adalah sebuah elips. Jejak-jejak di bidang xz dan bidang yz (masing-masing diperoleh dengan

menetapkan y =0 dan x = 0) juga berupa elips. Jejak ini dapat kita lihat pada gambar 7.2 dan gambar

itu disebut elipsoid.

Soal Latihan

1. Tuliskan persamaan bola yang pusat dan radiusnya diberikan

(a) (3,1,4); 5 (b) (-6,2,-3); 2

2. Pakailah proses pelengkap kuadrat untuk mencari pusat dan radius bola dari persamaan

(a) x2 + y2 + z2 – 12x + 14y - 8z + 1 = 0

(b) 4x2 + 4y2 + 4z2 - 4x + 8y + 16z - 13 = 0

3. Cari sudut ABC jika A = (2,-3,4), B + (-2, 6,1) dan C = (2,0,2)

84



8.1. Perkembangan Trigonometri

Trigonometri adalah slah satu unit dari Matematika yang membicarakan hubungan antara

besaran sudut dan besaran sisi dalam segitiga. Juga membicarakan hubungan (relasi) antara fungsi

trigonometri dari sudut-sudutnya.

Ilmu ini muncul kira-kira 2000 tahun sebelum masehi, ketika Bangsa Greeks

mengembangkan metode penelitian untuk mengukur sudut-sudut dan sisi-sisi segi tiga. Kira-kra

1500 tahun sebelum masehi, Ptolemeus telah membuat daftar tali busur lingkaran. Kira-kira 600

tahun sebelum masehi, Tales telah menemukan cara untuk menghitung tinggi piramid hanya dengan

menghitung panjang bayang-bayang. Kira-kira 180 tahun sebelum masehi, hypsicles dapat

menghitung tinggi piramid dengan fungsi busur lingkaran. Kira-kira 100 tahun sebelum masehi,

Menelaos telah menulis tentang trigonometri speris (Ilmu ukur segitiga bola).

Pada abad sekarang, ilmu ini sangat membantu dalam penyelidikan ruang angkasa.

8.2. Sudut

Rotasi

Apabila suatu garis lurus di rotasi terhadap satu titik, garis tersebut akan menyapu suatu

sudut yang dapat di ukur dalam derajat atau radiun. Menurut konvensi suatu garis lurus yang

berotasi satu sudut penuh dan kembali keposisi awalnya dikatakan telah dirotasi melalui 360 derajat

– 3600 – dimana setiap derajatnya dibagi menjadi 60 menit – 60’ – dan setiap menitnya dibagi lagi

menjadi 60 detik – 60’’. Sudut lurus adalah separuhnya, yakni 1800 dan sudut siku separuhnya lagi,

yakni 900. Sebarang sudut yang lebih kecil dari pada 900 disebut sudut lancip dan lebih besar dari

pada 900 disebut sudut tumpul.

Suatu sudut yang di ukur dalam derajat, menit dan detik dapat di konversi ke derajat decimal

sebagai berikut:

o o

45036’18’’ = 450 + 36 + 18

60 6060

BAB VIII

TRIGONOMETRI

85



= (45 + 0,6 + 0,005)o

= 45,6050

Pengkonversian ini mudah, jadi bentuk desimal untuk 530 25’7’’ hingga 3 tempat decimal

ialah 53,4850

Karena, o o

53029’7’’ = 530 29 + 7

60 60 60

= (53 + 0,483 +0,00194)o

= 53,4850 sampai 3 tempat decimal

Bagaimana dengan sebaliknya? Sebagai contoh, untuk mengkorvensi 18,4780 menjadi derajat,

menit dan detik kita kerjakan sebagai berikut:

18,4780 = 180 + (0,478 60)' kalikan bagian pecahan derajat tersebut dengan 60

= 180 + 28,68’

= 180 + 28’ + (0,68 60) kalikan bagian pecahan menit dengan 60

= 180 + 28’ + 40,8’’

= 18028’41’’ ke detik terdekat

Sehingga 236,9860 = 236059’10’’ (dalam derajat, menit dan detik)

Karena 236,9860 = 2360 + (0,986 60)’

= 2360 + 59,16’

= 2360 + 59’ + (0,16 60)’’

= 2360 + 59’ + 9,6’’

= 2360 59’10’’ hingga ke detik terdekat

Radian

Satuan lain untuk ukuran sudut ialah radian. Jika garis lurus yang panjangnya r berotasi pada

salah satu ujungnya sehingga ujung lain membentuk busur yang panjangnya r, garis tersebut

dikatakan telah berotasi melalui 1 radian – 1 rad.

r

r

1 radian

86



Karena busur yang dibentuk ketika garis tersebut berotasi satu putaran penuh merupakan

keliling suatu lingkaran yang berukuran 2 r, besar radian untuk satu putaran penuh ialah 2 radian.

Karenanya, dengan menghubungkan derajat dengan radian kita lihat bahwa :

3600 = 2 rad

= 6,2831 . . . rad

Sehingga 10 = 0,0175 rad (hinga tiga angka signifikan)

Karena,

3600 = 2 rad, jadi 10 = 2 = = 0,0175 rad hingga tiga angka signifikan

360 180

Seringkali, sewaktu derajat diubah ke radian, derajat tersebut diberikan sebagai kelipatan .

Sebagai contoh:

3600 = 2 rad, sehingga1800 = rad, 900 = /2 rad, 450 = /4 rad dan seterusnya.

Jadi, 300, dan 2700 diberikan dalam kelipatan sebagai /6 rad, 2/3 rad, 3/2 rad.

Karena 300 = 1800/6 = /6 rad

1200 = 2 600 = 2 (1800/3) = 2/3 rad

2700 = 3 900 = 3 (1800/2) = 3/3 rad

Juga, 1 rad = 57,2960 (hingga tiga tempat desimal)

Karena

2 rad = 3600, jadi 1 rad = 360 = 180 = 57,0960

2

Jadi, ekuivalen derajat untuk 2,34 rad, /3 rad, 5/6 rad dan 7/4 ialah

134,10 hingga 1 tempat desimal, 600, 1500 dan 3150

Karena

0

2,34 rad = 2,34 180 = 134,10 hingga 1 tempat desimal

0

/3 rad = 180 = 600

3

0

5/6 rad = 5 180 = 1500

6

0

7/4 rad = 7 180 = 3150

4

87



Segitiga

Semua segitiga memiliki bangun dan ukuran. Bangun segitiga ditentukan oleh ketiga

sudutnya dan ukuran oleh panjang ketiga sisinya. Dua segitiga dapat memiliki bangun yang sama -

memiliki sudut yang sama – tetapi dengan ukuran yang berbeda. Kita katakan bahwa kedua segitiga

itu sebangun. Kesebangunan gambar dari ukuran yang berbeda inilah yang memungkinkan seorang

seniman dapat melukis gambar pemandangan yang tampak menyerupai aslinya – panjang garis-

garis yang bersesuaian dalam gambar tersebut dan pemandangannya jelas berbeda tetapi sudut-

sudut yang bersesuaian dalam gambar dan pemandangannya tetap sama.

A’

B’ C’

Sifat penting pada gambar-gambar yang sebangun ialah panjang sisi-sisi yang bersesuaian

semuanya dalam rasio yang sama, sehingga. Misalnya, dalam segitiga sebangun ABC dan A’B’C’

dalam gambar ini:

AB = AC = BC

AB AC BC

Rasio Trigonometrik

Diketahui suatu segitiga siku-siku ABC seperti yang terlihat pada gambar dibawah ini :

A

B C

Dengan sudut pada titik sudut B dimana sisi AC berhadapan dengan , sisi BC bersebelhan

dengan dan sisi AB disebut hipotenusa, kita mendefinisikan rasio trigonometrik sebagai :

sinus sudut sebagai berhadapan = AC, rasio ini dinyatakan dengan sin

hipotenusa AB

cosinus sudut sebagai bersebelahan = BC , rasio ini dinyatakan dengan cos

hipotenusa AB

88



tangen sudut sebagai berhadapan = AC, rasio ini dinyatakan dengan tan

bersebelahan AB

Setiap sudut memiliki pasangan nilai masing-masing untuk rasio trigonometrik ini dan nilai-

nilai ini paling mudah dicari dengan menggunakan kalkulator. Misalnya, dengan kalkulator dalam

mode derajat, masukanlah 58 dan tekan tombol sin untuk memperagakan 0,84804..yang merupakan

nilai sin 58o (yaitu rasio sisi berhadapan terhadap hipotenusa semua sigitiga siku-siku dengan sudut

58o).

Sekarang kita dapat menggunakan rasio untuk mencari yang takdiketahui. Sebagao contoh

lihat gambar dibawah ini, tangga yang panjangnya 3 m bersandar pada dinding dengan sudut 56o

terhadap bidang mendatar (horizontal).

v

3m

56o

Tinggi tangga ini sekarang dapat dicari sebagai berikut. Dengan membagi tingginya v (berhadapan)

dengan panjang tangga (hipotenusa) akan dihasilkan sin sudut kemiringa 56o. Dengan kata lain :

tinggi = sin 56o. Dengan kata lain v = 0,82903…yang menghasilkan tinggi

panjang tangga

v sebagai,

3 x 0,82903...= 2,49 m (hingga 3 angka signifikan)

Jadi ika sebatang tangga yang panjangnya L bersandar pada dinding dengan sudut 60o terhadap

bidang mendatar dengan ujung atas tangga 4,5 m di atas tanah, panjang tangga tersebut ialah:

tinggi = 4,5 = sin 60o = ,8660...

L L

Sehingga L = 4,5 = 5,20 m (hingga 2 tempat desimal)

0,8660

Teorema Pythagoras

Semua segitiga siku-siku memiliki sifat-sifat yang sama yang

dinyatakan dalam teorema Pythagoras:

Kuadrat hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama dengan

penjumlahan dari kuadrat kedua sisi lainnya

89



A

c b

B a C

Jadi pada gambar diatas :

a2 + b2 = c2

Jadi jika segitiga siku-siku memiliki hipotenusa yang panjangnya 8 dan satu sisi lain

panjangnya 3, panjang sisi ketigahingga 3 tempat desimal, dapat dicari :

Jika a merepresentasikan panjang sisi ketiga tersebut, maka :

a2 + 32 = 82 jadi a2 = 64 - 9 = 55 yang menghasilkan a = 7,416 hingga 3 tempat

desimal. Sebagai pertanyaan apakah segitiga dengan sisi-sisi 7, 24 dan 25 merupakan segitiga siku-

siku?

Kita lihat, dengan mengkuadratkan panjang sisi-sisinya akan dihasilkan :

72 = 49, 242 = 576 dan 252 = 625

Sekarang, 49 + 576 = 625, sehingga 72 + 242 = 252

Penjumlahan kuadrat panjang dua sisi yang lebih pendek sama dengan kuadrat sisi yang terpanjang.

Karena panjang ini memenuhi teorema Pythagoras, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.

Segitiga-Segitiga Khusus

Dua segitiga siku-siku mendapat perhatian khusus karena rasio trigonometrik sudut.

Sudutnya diberikan dalam bentuk bilangan irasional (surd) atau dalam bentuk pecahan. Yang

pertama ialah segitiga siku-siku sama-kaki (suatu segitiga sama-kaki merupakan segitiga dengan

dua sisinya sama panjang) yang sudut-sudutnya ialah 90o, 45o, yang oleh sebab itu, panjang sisi-sisi

memiliki rasio 1: 1 :2 (berdasarkan teorema Pythagoras).

45o

2 1

45o

1

Disini kita lihat bahwa :

Sin 45o = cos 45o = 1 dan tan 45o = 1

2

90



Atau , dengan mengukur sudut-sudutnya dalam radian:

Sin /4 = cos /4 = 1 dan tan /4 = 1

2

Contoh 1. Sebuah soal yang menggunakan rasio ini :

45o

45o

3,4 m

Penyangga berbentuk segitiga sama-kaki yang terbuat dari kayu ditempatkan pada dinding tegak.

Jika panjang sisi di sepanjang permukaan datar ialah 3,4 m, panjang hipotenusanya hingga 2 tempat

desimal ialah sebagai berikut :

panjang datar = 3,4 = cos 45o = 1

hipotenusa hipotenusa 2

Sehingga hipotenusa = 2 x 3,4 = 4,81 m.

Contoh 2. Kerangka sepeda berbentuk segitiga sama-kaki dengan batang mendatar sebagai

hipotenusa. Jika batang ini panjangnya 53 cm, maka panjang masing-masing dari kedua sisi lainnya

hingga ke mm terdekat adalah :

panjang sisi = panjang sisi = cos 45o = 1 = 0,7071...

hipotenusa 53 2

sehingga:

panjang sisi = 53 x 0,7071 = 37,5 cm.

Setengah Sama-sisi

Segiiga siku-siku khusus kedua ialah segitiga setengah sama-sisi (half equilateral) (suatu

segitiga sama sisi ialah segitiga yang semua sisinya sama panjang) dengan panjang sisi (berdasarkan

Pythagoras) memiliki rasio 1 : 3 : 2.

2 30o 2

3

60o

1 1

Disini kita lihat bahwa :

91



sin 30o = cos 60o = ½, sin 60o = cos 30o = 3 dan tan 60o = 1 = 3

2 tan 30o

Dalam hal ini pun, jika kita mengukur sudut-sudutnya dalam radian:

sin/6 = cos /3 = ½, sin /3= cos /6 = 3 dan tan /3 = 1 = 3

2 tan /6

Contoh. Dengan menggunakan rasio baru ini.

60o

83 m

Sebatang pohon membentuk bayangan panjangnya 83. Jika sebuah garis ditarik dari ujung

bayangan ke puncak pohon, garis tersebut akan miring terhadap bidang mendatar dengan sudut 60o.

Berapa tinggi pohon itu ?

Penyelesaian.

Panjang pohon = tan 60o 3

Panjang bayangan

Sehingga,

tinggi pohon = 3 x panjang bayangannya = 3 x 83 = 8 x 3 = 24 m.

Soal Latihan

1. Sebuah tangga disandarkan pada dinding dengan panjang bayangan tangga 3cm, dengan sudut yang

terbentuk 550 . Berapakah tinggi tangga tersebut?

2. Diketahui sisi dari segitiga siku siku berturut turut 2cm dan 4cm. Berapakah panjang sisi yang lainnya?

3. Sebuah pohon tingginya 3m dan ditarik garis miring dari ujung pohon tersebut dan membentuk sudut

3/4. Berapa panjang bayangan dari pohon tersebut?

m o d u l matematika teknik i -...

Documents