Möbiusova traka i Kleinova boca

Franka Miriam Brückler

19.02.2008.

Möbiusova traka (“papirni prsten sa zaokretom”)

• Möbiusova traka je ploha (to znači da je lokalno dvodimenzionalna, kao npr. površina Zemljine kugle)

• ima samo jednu stranu (kad “hodamo” po njezinoj sredini običi ćemo ju cijelu, ne trebamo prelaziti preko ruba) i jedan rub (možemo ga pratiti npr. prstom i cijelog ga obići bez podizanja prsta)

• nije orijentabilna: ako biće koje živi _u_ njoj obiđe cijelu traku (npr. neko asimetrično slovo koje klizi po njoj), vratit će se na početak u obliku svoje zrcalne slike

Kleinova boca

• i Kleinova boca je ploha (to znači da je lokalno dvodimenzionalna, kao npr. površina Zemljine kugle)

• i ona ima samo jednu stranu tj. nema razlike između unutra i vani (za razliku od uobičajene začepljene boce), no za razliku od Möbiusove trake nema ruba (“zatvorena” je)

• u stvarnosti nigdje ne siječe samu sebe, no kao što na papiru ne možemo nacrtati 2-D sliku stvarne (3-D) Möbiusove trake bez da nacrtamo samopresjek, tako ni 3-D model stvarne (4-D) Kleinove boce ne možemo napraviti bez samopresjeka

• nije orijentabilna

Što je topologija?Zamisli da umjesto da crtaš na papiru, crtaš na balonu ... Tada ovisno o tom koliko napušeš ili bez napuhivanja rastegneš balon (ali paziš da ga ne potrgaš) ista slika izgleda različito. Kažemo da su sve te slike topološki ekvivalentne (fancy izraz je: homeomorfne )

Topolog je osoba koja ne razlikuje donut (krafnu s rupom) od šalice

za kavu.

Topologija je dio matematike sličan geometriji. U njoj se bavimo objektima u prostoru, no ne zanima nas koliko su veliki, ravni, pod kojim kutevima im stoje dijelovi ni kakav im je točno oblik. Umjesto toga topologija se koncentrira na pitanja povezanosti (je li nešto povezano i ako da, kako). U topologiji gledamo ima li objekt rupe i koliko njih, koliko strana ima objekt, mogu li ga bez rezanja, bušenja i lijepljenja preoblikovati u neki drugi (rastezanjem, stezanjem, zavrtanjem,...)

Još neke plohe iz topološke menažerije• između ostalog, topologija se bavi

plohama i njihovom klasifikacijom (npr. obzirom na broj rupa)

• ono što mi zovemo plohe, u topologiji se zove 2-mnogostrukost (dvodimenzionalna ploha u trodimenzionalnom prostoru); to su npr. sfera, ploha valjka, ...

• dijele se na zatvorene i otvorene, orijentabilne i neorijentabilne, ...

• neka od tih topoloških svojstava upoznat ćemo na primjerima ...

Što je zajedničko valjku, Möbiusovoj traci, torusu, Kleinovoj boci i projektivnoj ravnini?Odgovor: svi oni su zapravo pravokutni komad papira (preciznije: lokalno su obične ravnine).A gdje je onda razlika? U tome kako identificiramo stranice tog pravokutnika.Valjak (“papirni prsten”)

svako ulaganje (n-1)-sfere u n-dimenzionalni prostor razdvaja taj prostor na dva dijela – unutrašnji i vanjski

2-sfera

• Kleinova boca nastaje tako da pravokutnom komadu papira prvo “normalno” slijepimo dva nasuprotna brida dobijemo cijev

• tu cijev savinemo i nasuprotne rubove zalijepimo uz zaokret u 3-d prostoru dolazi do samopresjeka

Torus

Kako saznati živimo li na sferi ili na torusu?• sfera je jednostavno povezana, torus nije• znači: svaku zatvorenu krivulju na sferi

možemo stisnuti u točku, a na torusu ne (one koje idu oko rupe)

Projektivna ravnina (crosscap)