M2-S 02 MECHANIKA II. Szilárdságtan

2017

M2-S 02 Segédlet

2. GYAKORLAT

IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK. EGYENES TARTÓK

Tartalom 1. ELMÉLET ........................................................................................................................................... 1

2. EGYENES TARTÓK IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI ......................................................................... 2

2.1. Kéttámaszú tartó, koncentrált erő. .................................................................................................. 2

2.1.1. Gy Középen elhelyezett koncentrált erő ................................................................................. 2

2.1.2. Gy Aszimetrikusan elhelyezett terhelő erő ............................................................................. 3

2.2. Kéttámaszú tartó koncentrált nyomaték ......................................................................................... 3

2.2.1. Gy Középen terhelő nyomaték ................................................................................................ 3

2.2.2. Gy Aszimetrikusan elhelyezett nyomatékterhelés .................................................................. 4

2.3. Kéttámaszú tartó, egyenletesen megoszló terhelés ......................................................................... 5

2.3.1. Gy Szimmetrikusan elhelyezett terhelés ................................................................................. 5

2.3.2. Gy Aszimmetrikusan elhelyezett megoszló terhelés ............................................................... 6

2.4. Gy Kéttámaszú tartó koncentrált erővel, megoszló erővel, nyomatékkal terhelve ........................ 6

2.5. Gy Kéttámaszú tartó megoszló erővel és koncentrált nyomatékkal terhelve ................................. 7

3. TOVÁBBI MEGOLDOTT FELADATOK ...................................................................................... 8

4. VIZSGAFELADATOK .................................................................................................................... 12

5. IRODALOMJEGYZÉK ................................................................................................................... 12

1. ELMÉLET

Rúd igénybevétele. Definíció [1]: Egy rúd tetszőleges keresztmetszetében a rúd igénybevételén az itt

keletkező belső erőrendszerének a keresztmetszet súlypontjába redukált vektorkettősét értjük.

Tétel: Egy rúd tetszőleges keresztmetszetének igénybevételét a keresztmetszettől balra, koordinátarendszer

kezdőpontja felé eső rúdszakaszra ható erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjába redukált értéke adja.

Definíció: Az igénybevételek változását a rúd tengelyvonala mentén leíró függvényt igénybevételi

függvénynek nevezzük. Az igénybevételi függvényeket ábrázolva pedig az igénybevételi ábrákat kapjuk.

Igénybevétel: Az elhagyott rész hatását redukáljuk a keresztmetszet súlypontjába. A redukálás eredménye

a redukált vektorkettős. xMF

Síkbeli tartók esetén ennek a két vektornak az alábbi elemeit vizsgáljuk.

Erőknél az általános eset:

z

y

V

V

N

F , síkbeli tartónál

0

V

N

F ,

ahol

N normálerő, keresztmetszetre merőleges [húzás (+), nyomás (-)],

2

V nyíróerő, keresztmetszettel párhuzamos (síkbeli esetben y irányú).

Nyomatékoknál az általános eset

hz

hy

cs

M

M

M

M , síkbeli tartónál

M

0

0

M

Síkbeli tartók esetében az igénybevételi ábrák az alábbi diagramokat jelentik: )(xNN , )(xVV ,

)(xMM .

Néhány tulajdonság:

o Ahol koncentrált erő van, ott a nyíróerő ábrán ugrás található.

o A nyomatéki ábra a nyíróerő ábra integrálja (ha nincs koncentrált nyomaték): x

dssVxM0

)()( .

o A nyíróerő ábra a nyomatéki ábrának a deriváltja (ha nincs koncentrált nyomaték): )()(

xVdx

xdM .

Előjel konvenciók:

Nyírás Hajlítás Húzás-nyomás Csavarás

2. EGYENES TARTÓK IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI

2.1. Kéttámaszú tartó, koncentrált erő.

2.1.1. Gy Középen elhelyezett koncentrált erő

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell:

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xB

0 BM 048008 yA )(40048008

1 NAy

0 yF 0800 yy BA )(400800400800 NAB yy

3. Igénybevételi ábrák

V M N T

3

2.1.2. Gy Aszimetrikusan elhelyezett terhelő erő

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xB .

0 BM 068008 yA )(60068008

1 NAy .

0 yF 0800 yy BA )(200800600800 NAB yy .

3. Igénybevételi ábrák

2.2. Kéttámaszú tartó koncentrált nyomaték

2.2.1. Gy Középen terhelő nyomaték

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell

4

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xA

0 AM 08800 yB )(1008008

1 NBy

0 yF 0 yy BA )(100 NBA yy

3. Igénybevételi ábrák

2.2.2. Gy Aszimetrikusan elhelyezett nyomatékterhelés

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xA

0 BM 08008 yA )(1008008

1 NAy

0 yF 0 yy BA )(100 NAB yy

3. Igénybevételi ábrák

5

2.3. Kéttámaszú tartó, egyenletesen megoszló terhelés

2.3.1. Gy Szimmetrikusan elhelyezett terhelés

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xA .

0 BM 084800 yB )(40048008

1 NBy .

0 yF 0800 yy BA )(400400800800 NBA yy .

3. Igénybevételi ábrák

6

2.3.2. Gy Aszimmetrikusan elhelyezett megoszló terhelés

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell 1. Számítási modell

2. Reakcióerők számítása. Statikai egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0xA .

0 AM 082800 yB )(20028008

1 NBy .

0 yF 0800 yy BA )(600200800800 NBA yy .

Megoszló terhelés:

0200600 x mx 3

NmdxxVM 9002

600)(max

2.4. Gy Kéttámaszú tartó koncentrált erővel, megoszló erővel, nyomatékkal terhelve

A tartó hossza mentén elkülönült külső terhelések. Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell

Számítási modell:

A megoszló terhelés helyettesítése koncentrált erő: Minden olyan szakaszt külön koncentrált erővel

helyettesítünk, melyet más erők (külső erő, vagy reakcióerő, vagy nyomatékterhelés) határolnak.

Az yA reakcióerő hatásvonalának elhelyezkedése miatt a p intenzitású megoszló erőrendszer két szakaszra

bontjuk. Egyik szakasz a tartó baloldali konzolos része, másik szakasz a két támasz közötti rész.

7

2. Reakcióerők számítása, Egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0400xB )(400 NBx

0 BM 08002800680089400 yA

)(115092008

1)800280068009400(

8

1 NNAy .

0 yF 0800800400 yy BA )(850800800400 NAB yy .

2.5. Gy Kéttámaszú tartó megoszló erővel és koncentrált nyomatékkal terhelve

A tartó hossza mentén nem elkülönült, átfedéses terhelések. Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

Szerkezeti modell.

8

1. Számítási modell:

2. Reakcióerők számítása, Egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0300xB )(300 NBx

0 BM 0220002006200010 yA

)(1400)4000200012000(10

1 NAy .

0 yF 020002000 yy BA )(260020002000 NAB yy .

3. TOVÁBBI MEGOLDOTT FELADATOK

3.1 Példa __________________________________________________________________________[2]

0 AM

010065,16001400 B

06100900400 B

06400 B

)(6,663

200

6

400 NB

9

0 yF

03

200600400 A

)(3,9333

2800

3

2001000

yA

3.2 Példa ______________________________________________________________________ [Dóra]

Határozza meg az ábrán látható kéttámaszú tartó reakcióit és igénybevételi ábráit!

Megoldás: Egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0AxF

0 BM 052 FFFAy )(242

1

FFFAy

0 yF 0 FFF BAy )(2 FFFFFF AyB

3.3 Példa Megoldott hallgatói házi feladat ____________________________________________[2004]

Kéttámaszú tartó koncentrált erővel, megoszló erővel és nyomatékkal terhelve.

Rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat!

1. Számítási modell

A koncentrált terhelő erő koordinátái:

NFFx 2,17331002/3200)150cos(

NFFy 1002/1200)150sin(

A koncentrált terhelő erőt két komponensével helyettesítve, a kényszereket a feltételezett reakcióerőkkel

helyettesítve megszerkesztjük a számítási modellt. A reakcióerők számításához az egyenletesen megoszló

terhelést egyetlen koncentrált erővel helyettesítjük. Jelöljük ezt 0P -lal. A 0P hatásvonala a megoszló

V

M

10

terhelés súlypontja, melynek az A ponttól való távolsága m22/0 . A példában 0P helyettesítő erő

nagysága )(4004/1000 NmmNpP .

Tehát a számítási modell a reakcióerők számításához az alábbi.

2. Reakcióerők számítása, Egyensúlyi egyenletek.

0 xF 0 xxx BAF

0 yF 00 yyy BPAF

0 AM 0624005100 yBM

y

x

B

Btg 269,015

Behelyettesítve az ismert mennyiségeket:

0 xF 02,173 xx BA (1)

0 yF 0400100 yy BA (2)

0 AM 0610024005100 yB (3)

y

x

B

Btg 269,015 (4)

(3) egyenletből )(3,332006

1)100800500(

6

1 NBy

yB -t (2)-be helyettesítve )(6,4663,33500400100 NBA yy

yB -t (4)-be helyettesítve )(9316,83,3326792679,0 NBB yx

xB -t (1)-be helyettesítve )(13,1829316,82,1732,173 NBA xx

Igénybevételi ábrák szerkesztése:

A megoszló terhelés helyettesítése koncentrált erővel: minden olyan szakaszt külön koncentrált erővel

helyettesítünk, melyet más erők (terhelés, vagy reakcióerők) vagy nyomatékok határolnak. Az M

koncentrált nyomatékterhelés miatt a p intenzitású megoszló erőrendszert két szakaszra bontjuk. A

megoszló terhelést helyettesítő koncentrált erők:

NmmNmpP 3003/10031 ; NmmNmpP 1001/10012 .

Újrarajzolva a számítási modellt, a reakcióerők számértékeit beírva az alábbi ábrát kapjuk. Ezen az ábrán

minden erő számértéke pozitív és az erővektorok irányítottsága fejezi ki az előjelet.

11

Normálerők igénybevételi ábrája.

Jele „N”, fölfele pozitív a diagram függőleges tengelye. A tartó hossztengelyével

párhuzamos irányú erők okozta igénybevételeket mutatja. Ezek ebben a példában

az xF , az xA és a xB . Valamely igénybevétel pozitív, ha a vizsgált keresztmetszetre

húzó hatása van.

(Ez a keresztmetszettől balra lévő erő esetén egy balra mutató erővektor. A keresztmetszettől jobbra

elhelyezkedő vektor esetén egy jobbra mutató vektor.)

A normálerők igénybevételi diagramjának )(xN értéke valamely x helyen egyenlő az x helytől balra lévő

x irányú erők összegének mínusz egyszeresével.

12

Nyíróerők igénybevételi ábrája.

Jele: „V”, a diagram függőleges tengelye fölfele pozitív.

4. VIZSGAFELADATOK

4.1 Példa _________________________________________________________________ [2016.01.18.]

Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit!

A jellemző pontokhoz írja oda a kiszámított

értékeket!

4.2 Példa _________________________________________________________________ [2016.01.25.]

Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit!

A jellemző pontokhoz írja oda a kiszámított

értékeket!

Adatok:

ma 3 ; mb 2 ; mc 3 ;

md 3 ; me 4 ;

NF 6001 NF 2002 NF 3003 ;

NmM 1200 ; mNp /200

5. IRODALOMJEGYZÉK

[1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Statika. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999.

[2] Galambosi Frigyes: Mechanika I. gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2014. BME KJK. Járműelemek

és Járműszerkezetanalízis Tanszék.

[3] Galambosi Frigyes: Mechanika I. Statika. Bsc hallgatók számára. 2011. PDF.

-.-