mechanika kwantowa
DESCRIPTION
Mechanika Kwantowa. III. Proste zagadnienia kwantowe. WYKŁAD 11. Orbitalny moment pędu. Plan wykładu. operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych kartezjańskich, operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Mechanika Kwantowa
WYKŁAD 11
Orbitalny moment pędu
III. Proste zagadnienia kwantowe
Plan wykładu• operator orbitalnego momentu pędu we
współrzędnych kartezjańskich,• operator orbitalnego momentu pędu we
współrzędnych sferycznych,• operator kwadratu orbitalnego momentu
pędu we współrzędnych sferycznych,• wartości własne i funkcje własne powyższych
operatorów,• harmoniki sferyczne.
Operator orbitalnego momentu pędu
W tym wykładzie będziemy korzystać z wyników otrzymanych dla ogólnego momentu pędu J
(Wykład 10)
Operator orbitalnego momentu pędu
Operator orbitalnego momentu pędu (omp) podstawowe informacje
rprL i
qnmnqm pxL
qmnqnm xixL ,
qmnqnm pipL ,
qmnqnm LiLL ,
Operator orbitalnego momentu pędu
Wprowadzamy operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako:
oraz (niehermitowskie) operatory:- „podnoszący”:
- „obniżający”:
23
22
21
2 LLL L
21 iLLL
21 iLLL
Operator orbitalnego momentu pędu
Podstawowe własności wprowadzonych operatorów
0,2 kLL
LLL ,3
32, LLL
0,2 LL
23
2
21
LLLLL L
332 LLLL L
Operator orbitalnego momentu pędu
Ponieważ operatory L2 i L3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych:
gdzie: . Dodatkowo mamy:
lmlllm 122 L
lmmlmL 3
Zml ,
mmllmllm
Operator orbitalnego momentu pędu
Elementy macierzowe
mmllllmllm 122 L
mmllmmlLlm 3
1,11 mmllmmllmlLlm
Operator orbitalnego momentu pędu
Elementy macierzowe
1,
1,1
11
112
mm
mmll
mmll
mmllmlLlm
1,
1,2
11
112
mm
mmll
mmll
mmlli
mlLlm
Operator omp we współrzędnych kartezjańskich
Składowe operatora omp (L) w reprezentacji położeniowej (współrzędne kartezjańskie):
xy
yxiLL
zx
xziLL
yz
zyiLL
z
y
x
3
2
1
Operator omp we współrzędnych sferycznych
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
xy
zyx
z
zyxr
tg
cos222
222
element objętości
Operator omp we współrzędnych sferycznych
Operatory Li we współrzędnych sferycznych:
iL
iL
iL
z
y
x
sinctgcos
cosctgsin
Operator omp we współrzędnych sferycznych
Operatory L+ we współrzędnych sferycznych:
Operator L2 we współrzędnych sferycznych:
ctg
ctg
ieL
ieL
i
i
2
2
222
sin1
sinsin1
L
Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:
2
22222
2
22
2222
cosctgcossinctgcosctg
ctgcossin2sin
cossinsin
xL
2
22222
2
22
2222
sinctgcossinctgsinctg
ctgcossin2sin
cossincos
yL
2
222
zL
Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:
2
22
2
222 ctg1ctg
L
22
sin1
ctg1
2
2
22
222
sin
1ctg
L
Zagadnienie własne omp
Wprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych:
gdzie jest kątem bryłowym.
Warunek ortonormalności:
Warunek zupełności:
sin1
Idd ˆsin0
2
0
Zagadnienie własne omp
Ze względu na zależności:
możemy napisać:
lmlllm 122 L
lmmlmL 3
lmll
lm
1
sin1
sinsin1
2
2
2
22
lmmlmi
Zagadnienie własne omp
Na podstawie powyższych równań widzimy, że można dokonać faktoryzacji funkcji własnych, tzn.
skąd otrzymamy:
lmFglm
imeg
lmlm FllF
m1
sinsin
sin1
2
2
...,2,1,0l
llllm ,1...,,1,0,1...,,1,
2gg
Zagadnienie własne omp
Żądanie, aby liczba kwantowa m była liczbą całkowitą wynika z żądania niezmienniczości
układu fizycznego przy obrotach o kąt 2.
Z faktu, że m jest liczbą całkowitą wynika, że liczba kwantowa l też musi być liczbą całkowitą, ponieważ zmienia się od –l do l co jeden.
Harmoniki sferyczne
Harmoniki sferyczne to funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji
położeniowej
Własności:
lm
imlm FelmY ,
mmllmllm ddYY
0
2
0
* sin,,
sin1
,,0
*
l
l
lmlmlm YY
Harmoniki sferyczne
Konstrukcja harmonik sferycznych
1)
2)
3)
0 llL
0,ctg
lli Yie
0ctg
llll Fld
dF
Harmoniki sferyczne
Wyniki
lill
l
ll el
lY
sin
4!12
!21
,
lml
ml
m
im
lmlmd
deAY 2sin
cossin,
lml
mlmim
lmlmd
deBY 2sin
cossin,
!
!
4
12
!2
1
ml
mll
lA l
l
lm
!!
4
12
!2
1ml
mll
lB l
ml
lm
Harmoniki sferyczne
Kilka przykładów
41
00,0,0 Y
sin83
11,1,1ieY
cos43
10,0,1 Y
Harmoniki sferyczne
Kilka przykładów
1cos3165
20, 20,2
Y
cossin815
12,1,2ieY
sin3215
22, 22,2
ieY
Harmoniki sferyczne
Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych
Kolor czerwony – część dodatnia funkcji harmonik, kolor zielony – część ujemnaźródło - Wikipedia