m2arh - domaci rad

Fakultet graevinarstva, arhitehture i geodezijeSveucilite u SplituPreddiplomski studij arhitekture

Matematika 2

- zadaci za samostalni rad -

Zadaci1. Neodreeni integral

Zadatak 1.1. Odredi neodreene integrale:

a)R(x2 + 2x 3)dx; b) R x 3pxdx;

c)R dxxpx; d)

R(2 + x2)3dx;

e)R (x+ 1)2p

xdx; f)

R px2 + 2x+ 1x

dx;

g)R x2 + 2x2 + 1

dx; h)R p1 + x2 +p1 x2p

1 x4 dx;

i)R e2x 1ex + 1

dx; j)R(2x 3 sinx+ cosx)dx;

k)R p

1 sin 2xdx; l) R tg2 x dx:Zadatak 1.2. Odredi neodreene integrale:

a)R(5 2x)9dx; b) R dxp

2 5x;

c)R 5p1 2x+ x2

1 x dx; d)R xp

2x+ 5dx;

e)R x2 1

4px+ 5

dx; f)R dxp

x 1px 2 ;

g)R dx(1 + x)

px; h)

R(3x2 2x+ 1)(x3 x2 + x 9)7dx;

i)Rx(x2 13)23dx; j) R x3 3p1 + x2dx;

k)R (x+ 3)dxx2 + 6x 5 ; l)

R(x2 3) 5px3 9x dx:

1


a)Re

52xdx; b)

R(ex + e2x)dx;

c)Rcos(1 3x)dx; d) R dx

cos2(3x+ 2);

e)R x dx5 + x4

; f)R e 1xx2dx;

g)R ex + 1ex + x

dx; h)R ln3 x

xdx;

i)R dxx ln5 x

; j)R dxx lnx ln(lnx)

;

k)R 1x2sin

1

xdx; l)

Rsin3 x cos3 x dx;

m)R cosx+ 1sinx+ x

dx; n)R sinxp

2 + cosxdx;

o)R ptg xcos2 x

dx; p)R dxsin2 x 4

pctg x

;

q)R dx(1 + x2) arctg x

; r)R dxp

1 x2 arcsin5 x:


a)Rx lnx dx; b)

Rx ln2 x dx;

c)Rx ln(x2 1)dx; d) R ln xx3 dx;

e)Rx2exdx; f)

Repxdx;

g)Rx cosx dx; h)

R x dxcos2 x

;

i)Rarcsinx dx; j)

Rarctg

pxdx:


a)R 13x 1dx; b)

R 15 xdx;

c)R 1x2 + 4x+ 8

dx; d)R 14x2 + 12x+ 25

dx;

e)R 2x 3x2 x+ 4dx; f)

R x+ 19x2 6x+ 10dx:

2


a)R dxx2 + 5x

; b)R x2x2 3x+ 2dx;

c)R 2x 3(x 2)2 dx; d)

R x6x2 1dx;

e)R x3x2 + x+ 1

dx; f)R x3 + 1x2 3x+ 2dx;

g)R x3 + x2x2 3x+ 2dx; h)

R x4x2 + 3

dx;

i)R dxx3 + 1

; j)R dxx4 + 3x2

;

k)R dxx(x 1)(x+ 2) ; l)

R x+ 1x(x 1)3 dx;

m)R 2 + 3x(3 x)3 dx; n)

R x3(x2 1)2 dx;

o)R xx3 1dx; p)

R dxx(x3 + 4)

;

q)R dx(x2 4x+ 4)(x2 4x+ 5) :

2. Odreeni integral

Zadatak 2.1. Odredi integrale:

a)R 80(1 +

p2x+ 3

px)dx; b)

R 04

3x4 + 3x2 + 1

x2 + 1dx;

c)R

4

4dx

cos2 x; d)

R 21x(lnx+ 1)dx;

e)R x(sinx 1)dx; f)

R 41

1 +px

x2dx;

g)R e1

sin(lnx)

xdx; h)

R 12

12dx

1 x2 ;i)R

2

0sinx(1 + cos2 x)dx; j)

R 2

0cosx sin2 x dx;

k)R 40xpx2 + 9dx; l)

R 10

x3

x6 + 2x3 + 1dx:

3


a)R +11

14px3dx; b)

R +11

x2

(x3 + 1)2dx;

c)R +13

1

x(lnx)2dx; d)

R +11

x

(x2 + 1)3dx;

e)R 11

x

x4 + 1dx; f)

R +11

x2 + 1

x3dx;

g)R 21

1px 1dx; h)

R 10x lnx dx;

i)R 10

13pxdx; j)

R 01

e1x

x3dx;

k)R 10

13p3x 1dx; l)

R 2

0tg xdx:

Zadatak 2.3. Odredi povrinu ravninskog lika odreenog krivuljama y = 2x x2; y = x:Zadatak 2.4. Odredi povrinu ravninskog lika omeenog krivuljama x2 = 4y i y2 = 4x:Zadatak 2.5. Odredi povrinu ravninskog lika omeenog krivuljama y = 2x i x+ 2y 5 = 0:Zadatak 2.6. Odredi povrinu ravninskog lika omeenog krivuljom x = 6 y y2 i osi y:Zadatak 2.7. Odredi povrinu ravninskog lika u prvom kvadrantu, omeenog koordinatnim osima,te krivuljama y = lnx i y = 1:Zadatak 2.8. Odredi povrinu ravninskog lika u prvom kvadrantu odreenog koordinatnim osima,te y x2 + 1 i y 3 x:Zadatak 2.9. Odredi povrinu ravninskog lika u prvom kvadrantu omeenog objema koordinatnimosima, te krivuljama y = x+ 1 i y = 3x 3:Zadatak 2.10. Odredi duljinu luka krivulje y = x

px za x 2 [0; 5]:

Zadatak 2.11. Odredi duljinu luka krivulje y = ln(cosx) za x 2 [0; 6 ]:Zadatak 2.12. Odredi duljinu luka krivulje x = 14y

2 12 ln y za y 2 [1; e]:Zadatak 2.13. Odredi volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom oko osi x krivulje y = tg x;za x 2 [0; 4 ]:Zadatak 2.14. Odredi volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom oko osi x dijela krivuljey = x x2 izmeu njenih nultocaka.Zadatak 2.15. Odredi volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi y ravninskog lika omeenogkrivuljama y = lnx; y = 0; x = 2:Zadatak 2.16. Odredi volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom ravninskog lika odreenogsa y x2; y 2 x; y 0; a) oko osi x; b) oko osi y:Zadatak 2.17. Odredi volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom ravninskog lika omeenogkrivuljama y = x3; y = 1; x = 0; a) oko osi x; b) oko osi y:

3. Obicne diferencijalne jednadzbe

Zadatak 3.1. Odredi opce rjeenje diferencijalne jednadzbe:

a) (x+ 1)y0 = y 1; b) x+ yy0 = 0;c) xyy0 = 1 x2; d) y0 tg x = y:

4

Zadatak 3.2. Odredi partikularno rjeenje diferencijalne jednadzbe:

a) (1 + y2)dx = xydy uz uvjet y(2) = 1; b) xy0 ln2 x = 0 uz uvjet y(1) = 2:Zadatak 3.3. Odredi opce rjeenje diferencijalne jednadzbe:

a) xy0 = 2y x; b) (x2 + y2)dx = 2xydy,c) xdy ydx =

px2 + y2dx.

Zadatak 3.4. Odredi partikularno rjeenje diferencijalne jednadzbe x(y0 + 3) y = 0 uz uvjety(1) = 2:

Rjeenja1. Neodreeni integral

Zadatak 1.1. Rjeenja su:

a) 13x3 + x2 3x+ C b) 37x

73 + C

c) 2px+ C d) 17x

7 + 65x5 + 4x3 + 8x+ C

e) 25x52 + 2x

12 + 43x

32 + C f) x+ lnx+ C

g) x+ arctanx+ C h) arcsinx arccosx+ Ci) ex x+ C j) x2 + 3 cosx+ sinx+ Ck) sinx cosx+ C l) tg x x+ C


a) (52x)1020 + C b) 25p2 5x+ C

c) 52 5q(x 1)2 + C d) 16

p(2x+ 5)3 52

p2x+ 5 + C

e) 4114p(2x+ 5)11 407 4

p(2x+ 5)7 + 32 4

p(2x+ 5)3 + C f) 23

p(x 1)3 + 23

p(x 2)3 + C

g) 2 arctgpx+ C h) (x

3x2+x9)88 + C

i) (x213)2448 + C j)

314

3p(1 + x2)7 38 3

p(1 + x2)4 + C

k) 12 lnx2 + 6x 5+ C l) 518 5p(x3 9x)6 + C


a) 25e52x + C; b) ex 12e2x + C;

c) 13 sin (3x 1) + C d) 13 tg(3x+ 2) + Ce) 1

2p5arctg x

2p5+ C f) e 1x + C

g) ln (x+ ex) + C h) 14 ln4 x+ C

i) 14 ln4 x

+ C j) ln (ln (lnx)) + Ck) cos 1x + C l)

14 sin

4 x 16 sin6 x+ Cm) ln jsinx+ xj+ C n) 2pcosx+ 2 + Co)ptg2 x+ C p) 43 4

pctg3 x+ C

q) ln jarctg xj+ C r) 14 arcsin4 x

+ C

5


a) 12x2 lnx 14x2 + C b) 14x2

2 ln2 x 2 lnx+ 1+ C

c) 12 (x2 1) ln(x2 1) 12 (x2 1) + C d) 14x2 (2 lnx+ 1) + C

e) ex x2 + 2x+ 2+ C f) 2pxepx 2epx + Cg) cosx+ x sinx+ C h) x tg x+ ln jcosxj+ Ci)p1 x2 + x arcsinx+ C j) arctgpx+ x arctgpxpx+ C


a) 13 ln(3x 1) + C;b) ln(5 x) + C;c) 12 arctg

x+22 + C;

d) 18 arctg2x+34

+ C;

e) lnx2 x+ 4 4p

15arctg 2x1p

15+ C;

f) 427 arctgx 13

+ 118 ln

x2 23x+ 109

+ C:


a) 15 lnx 15 ln (x+ 5) + Cb) x ln (x 1) + 4 ln (x 2) + Cc) 2 ln jx 2j 1x2 + Cd) x+ 12 ln (x 1) 12 ln (x+ 1) + 13x3 + 15x5 + Ce) 2p

3arctg 2x+1p

3 x+ 12x2 + C

f) 3x 2 ln (x 1) + 9 ln (x 2) + 12x2 + Cg) 12x

2 + 4x 2 ln (x 1) + 12 ln (x 2) + Ch) 9p

3arctg xp

3 3x+ 13x3 + C

i) 13 ln (x+ 1) 16 lnx2 x+ 1+ 1p

3arctg 2x1p

3+ C

j) 13p3arctg xp

3 13x + C

k) 13 ln (x 1) 12 lnx+ 16 ln (x+ 2) + Cl) ln jx 1j+ 1x1 1(x1)2 ln jxj+ Cm) 3x

72

(x3)2 + Cn) 12 ln jx 1j+ 12 ln jx+ 1j 14(x1) + 14(x+1) + Co) 13 ln (x 1) 16 ln

x2 + x+ 1

+ 1p

3arctg 2x+1p

3+ C

p) 14 lnx 112 lnx3 + 4

+ C

q) 1x2 arctg (x 2) + C

2. Odreeni integral


a) 1243 ; b)12 arctan 4 + 1643;

c) 2; d) 2 ln 2 + 34 ;e) 2; f) 74 ;g) 1 cos 1; h) ln 3;i) 43 ; j)

13 ;

k) 983 ; l)19 ln 2 +

127

p3 16 :

6

Zadatak 2.2. Odredi integrale:a) +1; b) 16 ;c) 1ln 3 ; d)

116 ;

e) 18; f) +1;g) 2; h) 14 ;i) 32 ; j) 2e ;k)

3p412 ; l) +1:

Zadatak 2.3. Rjeenje je 92 .Zadatak 2.4. Rjeenje je 163 .Zadatak 2.5. Rjeenje je 154 4 ln 2.Zadatak 2.6. Rjeenje je 1256 .Zadatak 2.7. Rjeenje je e 1.Zadatak 2.8. Rjeenje je 103 .Zadatak 2.9. Rjeenje je 52 .Zadatak 2.10. Rjeenje je 33527 .Zadatak 2.11. Rjeenje je 12 ln 3.Zadatak 2.12. Rjeenje je 14e

2 + 14 .Zadatak 2.13. Rjeenje je 14 (4 ).Zadatak 2.14. Rjeenje je 130.Zadatak 2.15. Rjeenje je 4 ln 2 32.Zadatak 2.16. Rjeenja su: a) 815, b)

116 .

Zadatak 2.17. Rjeenja su: a) 67; b)35.

3. Obicne diferencijalne jednadzbe


a) y = C(x+ 1) + 1; b) x2 + y2 = C;c) x2 + y2 = 2 ln jCxj ; d) y = C sinx:


a)p1 + y2 =

p22 x; b) y =

13 ln

3 x+ 2:


a) y = x(Cx+ 1); b) C(x2 y2) = x,c) y +

px2 + y2 = Cx2.

Zadatak 3.4. Rjeenje je y = x(2 3 ln jxj)).

7

ZadaciNeodreeni integralOdreeni integralObicne diferencijalne jednadbe

RjeenjaNeodreeni integralOdreeni integralObicne diferencijalne jednadbe

m2arh - domaci rad

Documents