1

MA TRẬN LUỸ LINH

Khái niệm ma trận trong ðại số tuyến tính ñược giảng dạy trong chương trình Toán ñại cương của hầu hết các trường ðại học. ðây cũng là nội dung quy ñịnh của Hội Toán học Việt nam trong các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Nhằm giúp Sinh viên chuẩn bị tham gia vào các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên vòng trường và vòng quốc gia, chúng tôi giới thiệu một dạng ma trận và những tính chất của nó ñể các bạn sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập. I.ðịnh nghĩa và tính chất 1.ðịnh nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, A ñược gọi là ma trận luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq = 0. Nhận xét: Nếu Aq = 0 thì ta cũng có Am = 0 với mọi số tự nhiên m thoả m ≥q. Số nguyên dương k ñược gọi là cấp luỹ linh của ma trận A nếu Ak = 0, và Ak-1 ≠ 0. Ma trận A ñược gọi là ma trận luỹ linh ñơn nếu A – E là ma trận luỹ linh ( E là ma trận ñơn vị cùng cấp với ma trận A ). 2. Một số tính chất

1. Nếu A là ma trận luỹ linh thì A là ma trận suy biến. Chứng minh: Thật vậy A là ma trận luỹ linh, nên tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq = 0. Ta có: DetAq = det0 = 0 suy ra det .det ...det

q

A A A��������� = 0 ⇒ (detA)q = 0

⇒detA = 0 (ñpcm). 2. Nếu A là ma trận luỹ linh thì các ma trận E – A và E + A khả nghịch.

Chứng minh: Giả sử Ak = 0 ( k≥1) ta có E = E – Ak = (E – A)(E + A + A2 +…+Ak-1). Như vậy E – A khả nghịch và (E – A)-1 = (E + A + A2 +…+Ak-1). Tương tự ta cũng có E + A khả nghịch vì: E = E + A 2k+1= (E + A)(E – A + A2 – …+A2k). Khi ñó (E + A)-1 = (E – A + A2 – … + A2k). 3. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi ñó nếu A và B là các ma trận luỹ linh thì A + B cũng là ma trận luỹ linh. Chứng minh: Do A và B là các ma trận luỹ linh nên tồn tại các số nguyên dương p,q sao cho Ap = 0, Bq = 0, giả sử p≥q, ñặt m = 2p. Theo giả thiết AB = BA nên ta có khai triển nhị thức Newton:

(A + B)2m = 0

mi i m i

m

i

C A B −

=∑ , trong 2 số i và m-i có ít nhất 1 số không nhỏ hơn p nên

Ai Bm-i = 0. Vậy ( A + B)2m = 0. (ñpcm).

2

4. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi ñó nếu A và B là các ma trận luỹ linh ñơn thì ma trận tích AB cũng là ma trận luỹ linh ñơn.

Chứng minh: Vì (A – E), (B – E) là các ma trận luỹ linh, nên tồn tại các số nguyên dương p và q sao cho (A – E)p = 0, (B – E)q = 0. Ta có (AB – E) = (A – E)B + (B – E), giả sử p ≥ q khi ñó do AB = BA nên ta cũng có tính chất giao hoán (A – E)B(B – E) = (B – E)(A – E)B. Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu ñược:

(AB – E)2p = [(A – E)B + (B – E)]2p = 2

20

pi

P

i

C=∑ (A – E)iBi(B – E)2p-i . Trong 2 số i và 2p-i

phải có một số không nhỏ hơn p nên (A – E)iBi(B – E)2p-i = 0. Vậy tồn tại số nguyên dương 2p sao cho (AB – E)2p = 0, tức (AB – E) là ma trận luỹ linh. Vậy ta có ñpcm. Chú ý: Tương tự như khái niệm ma trận luỹ linh người ta cũng xét khái niệm tự ñồng cấu luỹ linh như sau. Tự ñồng cấu f của K – không gian véc tơ V trên trường K gọi luỹ linh nếu có số nguyên dương q ñể qf = 0, ( . ...q

q

f f f f=�����

).

Thêm vào ñó nếu 1 0qf − ≠ thì q gọi là bậc luỹ linh của f. Tự ñồng cấu f của K – không gian véc tơ V trên trường K gọi luỹ linh ñơn nếu f – IdV là luỹ linh ( IdV là tự ñẳng cấu ñồng nhất trên V). Chứng minh tương tự như ma trận luỹ linh, ta cũng có một số tính chất của ñồng cấu luỹ linh như sau.

1. Nếu f và g là hai tự ñồng cấu luỹ linh giao hoán ñược của K – không gian véc tơ V trên trường K thì f + g cũng luỹ linh. 2. Nếu f và g là hai tự ñồng cấu luỹ linh ñơn giao hoán ñược của K – không gian véc tơ V trên trường K thì f . g cũng luỹ linh ñơn. 3. Nếu f là tự ñồng cấu luỹ linh của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R các số thực thì mọi giá trị riêng của f ñều bằng 0. 4. Nếu f là tự ñồng cấu luỹ linh ñơn của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R các số thực thì mọi giá trị riêng của f ñều bằng 1. II. Một số bài tập ñề nghị:

Bài 1: Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh thì mọi giá trị riêng của A ñều bằng 0. Bài 2: Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh ñơn thì mọi giá trị riêng của A ñều bằng 1. Bài 3: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi ñó nếu A và B là các ma trận luỹ linh thì các ma trận E + (A + B), E – (A + B ) là các ma trận khả nghịch. (ðề thi Olympic Toán Sinh viên toàn Quốc lần thứ XI). Bài 4: Cho A là ma trận vuông thoả A2003 = 0. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

3

Rank(A) = Rank(A + A2 + A3 + … +An). ( ðề thi Olympic Toán Sinh viên toàn Quốc lần thứ XI). Bài 5: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn các ñiều kiện: i. AB = BA ii. Tồn tại các số nguyên dương p, q sao cho (A – E)p = (B – E)q = 0. Chứng minh rằng ma trận tích AB có các giá trị riêng ñều bằng 1.

Bài 6: Cho A là ma trận vuông cấp n và Ak = 0 với k nguyên dương cho trước.

Kí hiệu:

1

2

n

x

xX

x

=

⋮. Chứng minh hai phương trình

AX = 0 và (A + A2 + ... + An)X = 0 tương ñương. ( ðề thi Olympic Toán Sinh viên vòng trường năm 2003. ðH An Giang). Bài 7: Cho A là ma trận vuông. Chứng minh rằng nếu α là véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng k thì α cũng là véc tơ riêng của An ứng với giá trị riêng kn, (n∈ N). (ðề thi chọn ñội tuyển Olympic Toán Sinh viên 2004 trường ðH An Giang). Bài 8:

1.Chứng minh ma trận

1 0 1

1 1 3

0 1 2

− − −

là ma trận luỹ linh.

2. Cho ma trận:

A =

1 0 1 1 0 0

1 1 3 0 1 0

0 1 2 0 0 1

0 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1 3

0 0 0 0 1 2

− − − − − −

. Tính A100

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận là nội dung ñược quy ñịnh trong kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên giữa các trường ðại học và Cao ñẳng. Bài viết này nhằm giúp Sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập, giải quyết ñược một số dạng bài tập về giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận thường gặp trong các kỳ thi Olympic Toán những năm gần ñây. Cho f là phép biến ñổi tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V trên trường K (trong phần này chúng ta xét trường K là trường R hoặc C). Số k ∈ K ñược gọi là giá trị riêng của f

4

nếu tồn tại một véc tơ 0α ≠ sao cho ( )f kα α= . Khi ñó véc tơ α gọi là véc tơ riêng của f ứng với giá trị riêng k. Giả sử A là ma trận của f ñối với cơ sở chính tắc ñã cho trong V, thì giá trị riêng k của f là nghiệm của phương trình det(A – kE) = 0. Det(A – kE) là một ña thức bậc n ñối với biến k và ñược gọi là ña thức ñặc trưng của ma trận A. Tìm véc tơ riêng của f ứng với giá trị riêng k tức là tìm nghiệm 1 2( , ,..., ) (0,0,...,0)nx x xα = ≠ của phương trình A kα α= . Người ta cũng gọi k và α ñịnh nghĩa như trên lần lượt là giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng của ma trận A. Sau ñây chúng ta ñưa ra một số tính chất liên quan ñến giá trị riêng và véc tơ riêng của một ma trận. ðịnh lí 1: Giá trị riêng của một phép biến ñổi tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V trên trường K không phụ thuộc vào cơ sở. Chứng minh: Giả sử A là ma trận của phép biến ñổi tuyến tính f ñối với cơ sở 1 2, ,..., nα α α (1)

và với cơ sở mới 1 2, ,..., nβ β β (2), f có ma trận là B. Khi ñó 1B S AS−= trong ñó S là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2). Ta có

1 1 1 1( ) . .B kE S AS kS ES S A kE S S A kE S A kE− − − −− = − = − = − = − (ñpcm). Từ ñịnh lí 1 ta

có hệ quả sau: Hệ quả : Nếu hai ma trận A và B ñồng dạng thì A và B có cùng ña thức ñặc trưng. Nhận xét: Mệnh ñề ñảo của hệ quả là sai (nếu n≥ 2). Ví dụ: Xét hai ma trận

0 0 0 1,

0 0 0 0A B

= =

, hai ma trận A và B không ñồng dạng nhưng ña thức ñặc trưng của

chúng trùng nhau: 2A kE B kE k− = − = .

ðịnh lí 2: Cho A là ma trận vuông cấp n, 11 1 0( ) ...n n

A n nk a k a k a k aχ −−= + + + + là ña thức ñặc

trưng của ma trận A. Khi ñó: i. ( 1)n

na = −

ii. 11( 1) ( )n

na Tr A−−− = (tổng các phần tử nằm trên ñường chéo chính của ma trận A, và ñược gọi

là vết của ma trận A) iii. 0 deta A= .

Chứng minh: Kí hiệu: ( )ij

A a= , ,

, (1 , ),

ij

ij

ij

a k i ji j n

a i jα

− == ≤ ≤

≠

Theo ñịnh nghĩa ñịnh thức của một ma trận ta có: Det(A – kE) = 1 (1) ( )( ) ...

n

f nf n

f s

s f α α∈∑ (1). Các hạng tử của (1) ứng với phép thế

f { }1,2,...,nId≠ là một ña thức ẩn k với bậc 2n≤ − . Xét hạng tử của (1) ứng với phép thế ñồng

nhất: 11 22 11 22... ( )( )...( )nn nna k a k a kα α α = − − − = 1 1

11 22( 1) . ( ... )( 1) . ...n n n n

nnk a a a k− −= − + + + + − + Từ ñây ta có i) và ii). Cuối cùng trong ña thức ñặc trưng của A cho k = 0 ta ñược detA = a 0 . Từ ñịnh lí 2 khi cho A là ma trận vuông cấp n thì

5

ña thức ñặc trưng của A ñược viết dưới dạng: 1

1 1 0( ) ( 1) ...n n n

A nk k a k a k aχ −−= − + + + + .

ðịnh lí 3: (ðịnh lí Cayley – Hamilton) Cho A là ma trận vuông cấp n, 1

1 1 0( ) ( 1) ...n n n

A nk k a k a k aχ −−= − + + + + là ña thức ñặc trưng

của A. Khi ñó ( ) 0A Aχ = .( Phần chứng minh ñịnh lí Cayley – Hamilton bạn ñọc có thể xem trong Giáo trình Toán tập 6. ðại số 2, của tác giả Jean – Maric Monier). ðịnh lí 4: Giả sử A là ma trận vuông với phần tử là số thực và là ma trận ñối xứng. Khi ñó mọi giá trị riêng của A ñều là số thực. (Bạn ñọc có thể xem phần chứng minh trong Giáo trình Toán Cao cấp của tác giả Nguyễn ðình Trí). Sau ñây chúng ta giải một số bài tập liên quan ñến giá trị riêng và véc tơ riêng.

Bài 1: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

− − − − − −

.

Giải: 2( ) det( ) ( 3)A k A kE k kχ = − = − − , do ñó ma trận A có hai giá trị riêng là

k = 0, k = 3. Ứng với giá trị riêng k = 0, giải hệ phương trình:1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0

2 0

2 0

x x x

x x x

x x x

− − =− + − =

− − + =

ta ñược

nghiệm tổng quát là ( )3 3 3 3, , ,x x x x ∈ R. Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng k = 0 là

( , , ), 0a a a aα = ≠ . Tương tự ñối với giá trị riêng k = 3 ta ñược các véc tơ riêng là 2 2( , , ), 0a b a b a bβ = − − + ≠ .

Bài 2: Cho ma trận:

0 1 0

4 4 0

2 1 2

A

= − −

. Tính f(A), biết rằng:

f(x) = 8 7 6 5 4 3 26 12 8 6 12 10 1x x x x x x x x− + − + − + − + + Giải: ða thức ñặc trưng của ma trận A là:

3 2( ) 6 12 8A k k k kχ = − + − + . Chia ña thức f(x) cho ña thức 3 26 12 8x x x− + − + ñược thương là 5x x+ và dư là ( ) 2 1r x x= + . Do ñó:

f(A) = r(A) = 2A + E =

0 1 0 1 0 0 1 2 0

2 4 4 0 0 1 0 8 9 0

2 1 2 0 0 1 4 2 5

− + = − − −

.

6

Bài 3: Cho ma trận A =

a b c d

b a d c

c d a b

d c b a

− − − − − −

, a, b, c, d ∈ R. Chứng minh:

a. 2 2 2 2. ( ).tA A a b c d E= + + +

b. ( )22 2 2 2( ) ( )A k a k b c dχ = − + + + , với mọi k ∈ R.

Giải: a. Kiểm tra trực tiếp. b. Áp dụng kết quả câu a) ñối với các ma trận (A – kE), (A – kE)t ta ñược:

(A – kE).(A – kE)t = ( )2 2 2 2( )a k b c d E− + + + , suy ra

( ) 2 2 2 2det ( ).( ) det((( ) ) )tA kE A kE a k b c d E− − = − + + + . Ta ñã biết ñịnh thức của một ma trận

không thay ñổi qua một phép chuyển vị, do ñó: 2 2 2 2 2 4(det( )) (( ) )A kE a k b c d− = − + + + , từ ñó suy ra 2 2 2 2 2 4(( ) )A a k b c dχ = − + + + , hay 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(( ) ) (( ) ) 0A Aa k b c d a k b c dχ χ − − + + + + − + + + = . Vì A là ma trận cấp 4 nên

theo ñịnh lí 2, hệ số cao nhất của ña thức ñặc trưng của A bằng 1, do ñó ta ñược 22 2 2 2( )A a k b c dχ = − + + + (ñpcm).

Bài 4: Giả sử a là số thực khác 0. Chứng minh rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm với mọi b, c, d ∈ R

(1 ) (1 )

( 1) ( 1)

(1 ) ( 1)

( 1) (1 )

ax b y cz d t a

b x ay d z ct b

cx d y az b t c

d x cy b z at d

+ − + + − = − + + − + =− + − + + − =

− − + − + =

Giải: Gọi A là ma trận các hệ số của hệ phương trình, At là ma trận chuyển vị của ma trận A, theo kết quả bài tập 3 ta cũng có 2 2 2 2. ( (1 ) (1 ) ).tA A a b c d E= + − + + − , do ñó:

detA = 22 2 2 2(1 ) (1 ) 0,a b c d + − + + − ≠ với mọi a, b, c, d, (a 0≠ ). Vậy hệ luôn có nghiệm

với mọi b, c, d ∈ R. Bài 5: Chứng minh rằng nếu k là giá trị riêng của ma trận A, thì kn là giá trị riêng của An, n là số nguyên dương. Giải: Gọi α là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng k, khi ñó ta có:

1 1 2 2 2 1( ) ( ) [ ( )] ( ) ... ( )n n n n n n nA A A A k A A k A k A k kα α α α α α α− − − − −= = = = = = = (ñpcm). MỘT SỐ BÀI TẬP ðỀ NGHỊ

Bài 1: Cho hai ma trận:

7

1 3 0 1 3 3

3 2 1 ; 0 2 5

0 1 1 3 1 1

A T

− − − − − = − = − − −

a. Tính 1B T AT−= . b. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A.

Bài 2: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử A có n giá trị riêng là 1 2, ,..., nk k k . Chứng minh detA = 1 2. ... nk k k . Bài 3: Giả sử α là một véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng k, chứng minh rằng α cũng là véc tơ riêng của ma trận 2 3 5A A E− + . Giá trị riêng tương ứng là bao nhiêu?

Bài 4: Cho A =

0 8 6

1 8 7

1 14 11

− − − −

. Tính An, với n là số tự nhiên.

Bài 5: Cho 1999 2( ) 1f x x x= + − , và ma trận C =

4 3 0 0

2 3 0 0

4 9 1 0

1 2 5 2

−

. Tính detf(C).

BÀI TẬP VỀ MA TRẬN

I. Một số kết quả

1) Tính chất của phép toán trên các ma trận

)

)( ) ( )

)

) ( ) ( )

)( )

) ( )

)( )

t t t

i A B B A

ii A B C A B C

iii O A A O A

iv A A A A O

v A B A B

vi A B A B

vii A A A

α α αα β α β

+ = +

+ + = + +

+ = + =

+ − = − + =

+ = +

+ = +

+ = +

)( )t t tviii AB B A=

)( )t tix A Aα α=

)x Nếu A là ma trận ñối xứng (phản ñối xứng) thì ( )t tA A A A= = −

* Nếu AB = BA thì có thể khai triển Newton (A + B)n. 2) Ma trận khả nghịch

8

1 1

1 1

1 1

1 1 1

)( )

)( ) ( )

1)( ) , 0

)( )

t t

i A A

ii A A

iii A A

iv AB B A

α αα

− −

− −

− −

− − −

=

=

= ≠

=

3) ðịnh thức của ma trận i) det(AB) = detAdetB. ii) det(A –1) = (detA) –1. iii) det( )Aα = nα det A

iv) det A = det tA 4) Ma trận lũy linh Cho A là ma trận vuông cấp n. A gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho An = 0 (ma trận không). Khi ñó Am = 0 với mọi m≥n (nếu An –1 0≠ thì n gọi là bậc lũy linh của A).

Nếu A lũy linh thì detA = 0. Vì Ak = 0 ( . .... 0k

A A A =����� ) nên detAk = 0, suy ra

detAdetA.....detA = 0⇔ detA = 0. Nếu A lũy linh thì E – A và E + A khả nghịch vì E = E – Ak = (E – A)(E + A +.....+ Ak –

1) det( ) 0E A⇒ − ≠ .

* Nếu A lũy linh, B lũy linh và AB = BA thì A + B lũy linh. Nếu A – E, B – E lũy linh thì AB – E lũy linh. 5) Vết của ma trận

Cho 11 1

1

( )n

n

n nn

a a

A M

a a

= ∈

…

⋮ ⋱ ⋮ ℝ

⋯

ta gọi của ma trận A ký hiệu Tr(A) là một số ñược xác ñịnh

bởi

1

( )n

ii

i

Tr A a=

=∑

II. Bài tập 1. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh, B lũy linh và AB = BA thì A + B lũy linh. 2. Cho AB =BA, và A – E, B – E lũy linh. Chứng minh AB – E lũy linh. 3. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh thì mọi giá trị riêng của A ñều bằng 0. 4. Chứng minh rằng: nếu A – E lũy linh thì mọi giá trị riêng của A ñều bằng 1.

9

5. A và B gọi là ñồng dạng nếu A = T –1BT. Chứng minh rằng: Hai ma trận ñồng dạng có cùng ña thức ñặc trưng. 6. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và A khả nghịch. Chứng minh AB và BA có cùng giá trị riêng. 7. Chứng minh hai ma trận ñồng dạng có cùng hạng. 8. Từ kết quả bài 7, hãy chứng minh mệnh ñề sau: nếu A là một ma trận khả nghịch thì hạng của ma trận B bằng hạng của ma trận AB (A, B là hai ma trận vuông cùng cấp). 9. Cho A, B vuông cấp n, AB = BA và Ap = Bq = E với p, q nguyên dương nào ñó. Hãy chứng minh A + B + E khả nghịch. 10. Cho A, B vuông, E – AB khả nghịch. Chứng minh E – BA khả nghịch. 11. Cho A là ma trận vuông, k là giá trị riêng của A. Chứng minh kn là giá trị riêng của An. 12. Ma trận A có k1, k2,...., kn là các giá trị riêng. Chứng minh detA = k1k2...kn. 13. Chứng minh rằng AB và BA có cùng giá trị riêng. 14. Cho A có k1, k2,...., kn là các giá trị riêng. Chứng minh A chéo hóa ñược, nghĩa là tồn tại

ma trận C khả nghịch sao cho A = C –1BC, trong ñó 1 ... 0

... ... ...

0 ... n

k

B

k

=

.

15. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn các ñiều kiện sau: a) AB = BA. b) Tồn tại các số nguyên dương p, q sao cho

(A – E)p = (B – E)q = 0. (ma trận không) Chứng minh rằng ma trận tích AB có các giá trị riêng ñều bằng 1. 16. Cho A vuông cấp n thỏa mãn A2 – 2A + E = 0. Chứng minh:

A3 = 3A – 2E, A4 = 4A – 3E. 17. Cho X là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng k. Chứng minh X cũng là giá trị riêng của 5E – 3A + A2, tìm giá trị riêng. 18. Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các giá trị riêng có giá trị tuyệt ñối nhỏ hơn 1. Chứng minh E – A khả nghịch. 19. Ma trận A ñược gọi là ñồng dạng với ma trận B nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho B = P–1AP. Chứng minh rằng: nếu A là ma trận khả nghịch và ñồng dạng với ma trận B thì B cũng khả nghịch và (A–1) n ñồng dạng (B–1) n, với n là một số nguyên dương cho trước.

20. Cho 2 2

2 2

os sin ( ) ostsint

( ) ostsint asin t + bcos

ac t b t b a cA

b a c t

+ −=

− . Tình A2004

.

10

21. Cho

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

A

− − = − −

− −

. Tính A100.

22. Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho A–1 = 2A. Tính det(A2004 – A).

23. Tìm 0

1lim lim ( )n

x nA E

x→ →∞

−

, với 1

*

1

x

nA n

x

n

= ∈ −

ℕ .

24. Cho , , ,0

a bA a b c

c

= ∈

ℝ . Tìm a, b, c ñể 1 0

0 1nA

=

, (n là một số tự nhiên nào ñó).

25. Giả sử a, b, c là nghiệm phương trình: x3 + px + q = 0. Tính detA, với

a b c

A c a b

b c a

=

.

26. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: nếu A2 = E thì rank(A+E) + rank(A – E) = n.

BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n trị riêng là 1 2, ,...., nλ λ λ . Tìm các giá trị riêng của ma trận A3. Bài 2. Hỏi có tồn tại hai ma trận A và B sao cho AB – BA = E (E là ma trận ñơn vị)? Bài 3. Xác ñịnh a ñể ma trận sau có hạng bé nhất

2 2 1 4 3

1 1 3 2

3 0 1 1

6 1 4 4 5

a

a

− − − − −

−

Bài 4. Cho A là ma trận vuông cấp n, E là ma trận ñơn vị cùng cấp và Ak = 0 (ma trận không), , 1k k∈ >ℕ . Chứng minh rằng (E – A) –1 = E + A + A2 +....+ Ak –1. Bài 5. Cho phương trình ma trận

11

1 2 1

2 7 2 1 2

3 9 4 1

X

λλλ

− + =

.

a) Giải phương trình trên khi 0.λ = b) Tìm λ ñể phương trình trên có vô số nghiệm.

Bài 6. Chứng tỏ rằng tổng các nghiệm của phương trình x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = 0

bằng – 1. Bài 7. Giả sử a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh rằng tồn tại ma trận 0X ≠ (ma trận không) thoả mãn

0

0 .

0

a b c

b c a X

c a b

=

Bài 8. Cho 1 3

, .3

n

n

iz n

i

+= ∈

+ ℕ Tìm n nhỏ nhất sao cho Re(zn) = 0.

Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất của các ñịnh thức cấp 3 mà các phần tử chỉ có thể là 1 hay – 1.

Bài 10. Cho ma trận

0 0 1

1 0 0 .

0 1 0

J

=

a) Tính Jn ( ).n∈ℕ

b) Hãy biểu diễn ma trận , , ,

a b c

M b a c a b c

c b a

= ∈

ℝ theo các ma trận E, J và

J2 (E là ma trận ñơn vị), từ ñó suy ra ma trận M2 theo E, J và J2.

Bài 11. Cho phương trình ma trận 1

2 , , .

1 1

a b b

b a a X a b

a b b

− − − = ∈ −

ℝ

a) Giải phương trình trên khi a= 0, b=1. b) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi ,a b∈ℝ thoả

mãn a2 + b2 > 0. Bài 12. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham sốλ

12

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 3 2

4 6 3 5 4

4 14 7 4

2 3 3 7

x x x x

x x x x

x x x x

x x x xλ

+ + + = + + + =

+ + + = − + + =

Bài 13. Cho

3 0 2

0 1 2

2 2 2

A

=

a) Tìm vectơ riêng và trị riêng của A.

b) Tìm một ma trận khả ñảo V sao cho 1

2 0 0

0 1 0 .

0 0 5

V AV−

= −

Bài 14. Tìm λ ñể tồn tại ma trận X sao cho 2 1 3 6

1 0 5 6,

3 2 1

0 1 3 2

Xλ

− − − = − −

sau ñó tìm X.

Bài 15. Chứng minh rằng nếu 1

2sin , ,zz

α α+ = ∈ℝ thì 44

12 4k

kz cos k

zα+ = với

0k ≥ nguyên. Bài 16. Cho A là ma trận vuông thực. Chứng minh rằng nếu A không có giá trị riêng thực thì detA > 0. Bài 17. Chứng minh rằng tổng bình phương các nghiệm của phương trình 7 1 0x − = bằng 0. Bài 18. Cho A là một ma trận vuông thực cấp n có det 0A ≠ và At là ma trận chuyển vị của A. Chứng minh rằng, với x1, x2,...., xn là các số thực

[ ]

1

21 2, ,...., 0

...t

n

n

x

xx x x A A

x

=

khi và chỉ khi x1 = x2 =.......= xn = 0. Bài 19. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận

2 0 0

2 3 1

3 2 2

A

= − − −

và tìm ma trận U sao cho U –1AU là một ma trận ñường chéo.

13

Bài 20. a) Cho 1

2

3

0 0 0 0 0

0 0 , 0 0 1 , , 1,3

0 0 0 0 0iK J i

λλ λ

λ

= = ∈ =

ℝ . Tính K2, J2, KJ, JK.

b) Tính An, n > 0 nguyên, với

2 0 0

0 3 1 .

0 0 3

A

=

Bài 21. Cho ña thức f(x) = 3x3 – 2x + 5. Tính f(A) trong ñó 1 2 3

2 4 1 .

3 5 2

A

− = − −

Bài 22. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A2 bằng các bình phương của các giá trị riêng tương ứng của ma trận A. Bài 23. Cho A là một ma trận vuông thực. Chứng minh rằng nếu detA < 0 thì A luôn có trị riêng thực. Bài 24. A là ma trận vuông sao cho A3

= 0 (ma trận không). Hãy tính (E + A)n với n nguyên > 0, E là ma trận ñơn vị. Bài 25. Cho A là ma trận vuông sao cho A2

= A. Hãy tính (E + A)n , với n nguyên > 0, E là ma trận ñơn vị. Bài 26. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trận nghịch ñảo A –1 bằng nghịch ñảo các giá trị riêng của ma trận A.

Bài 27. Cho 2k 2k

os sin , , .n nka c i k nπ π

= + ∈ℤ Tính 0 1 1... , .m m m

nS a a a m−= + + + ∈ℕ

Bài 28. Cho

0 0

0 ,

0 0

a

A b a

a

=

với , .a b∈ℝ Tìm ma trận , .nA n∈ℕ

Bài 29. Cho

1 0

0 1 .

0 0

a

A a

a

=

Tìm A100.

Bài 30. Cho

0 0

0 0 .

0

a

A a

b a

=

với , .a b∈ℝ Tìm , .nA n∈ℕ

Bài 31. Cho

1 0

0 1 .

0 0

a

A a

a

=

Tìm A1000.

14

Bài 32. Chứng minh rằng nếu ma trận vuông A thoả mãn A4 + E = 0, thì các giá trị riêng của A không thể là số thực. Bài 33. Tìm hạng của ma trận sau phụ thuộc vào m

1 1 1 1 1

2 1 2 1.

1 1 1 1

2 3 1 2 1

mA

m

− − − = − −

−

Bài 34. Tính ñịnh thức sau, trong ñó u, v là nghiệm phương trình x2 + p = 0;

: .

u v u v

v u v up

a b c d

p p p p

∈ℝ

Bài 35. Tìm một ma trận chéo ñồng dạng với ma trận sau: 2 2 1

1 3 1

1 2 2

.

Bài 36. Tính

2000

2 2.

2 2i

−

Bài 37. Cho ma trận vuông cấp 10 0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

... ... ... ... 1

1 0 0 ... 0

A

=

trong ñó a10,1 = a12 = a23 = ....= a9,10 = 1, còn những phần tử khác bằng không. Tính A10.

Bài 38. Cho ma trận vuông cấp 10

0 0 ... 0 1

1 0 ... 0 0

0 1 ... 0 0

... ... ... 0 1

0 0 ... 1 0

A

=

trong ñó a1,10 = a21 = a32 = ....= a10,9 = 1, còn những phần tử khác bằng không. Tính A10. Bài 39. Tìm một ma trận vuông cấp ba ( ), 0, , 1,2,3

ij ijB b b i j= ≠ = sao cho detB = 1998.

15

Bài 40. Tìm một ma trận vuông cấp ba ( ), 0, , 1,2,3ij ij

B b b i j= ≠ = sao cho detB = 2000.

Bài 41. Tìm một ma trận vuông cấp hai ( ), 0, , 1,2ij ij

B b b i j= ≠ = sao cho B có 2 trị riêng

1 22, 5λ λ= = . Bài 42. Tìm một ma trận vuông cấp hai ( ), 0, , 1,2

ij ijA a a i j= ≠ = sao cho A có 2 trị riêng

1 23, 4.λ λ= − = Bài 43. Tìm ma trận nghịch ñảo của ma trận sau:

.

a a a a b

a a a b a

a a b a a

a b a a a

b a a a a

MỘT SỐ ðỀ THI OLYMPIC

ðỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: ðại số

Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho các ma trận:

1 3 0 1 3 3

3 2 1 ; 0 2 5

0 1 1 3 1 1

A T

− − − − − = − = − − −

a) Tính B = T – 1

AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.

Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có (AB – BA)

2004C = C(AB – BA)

2004. Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B ñều là nghiệm của ña thức f(x)= x

2– x

và AB + BA = 0. Tính det(A – B).

Câu 4. Cho ma trận thực ( )ij n nA a

×= thoả mãn ñiều kiện:

0,

1,ij

i ja

i j

==

± ≠

Chứng minh rằng: a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A ñể sao cho detA = 0. b) Nếu n= 4, ta luôn có detA≠ 0.

16

Câu 5. a) Xác ñịnh ña thức f(x) dạng

f(x) = x5 – 3x4+2x

3 +ax2 +bx +c

biết rằng nó chia hết cho ña thức (x – 1)(x +1)(x – 2). b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các ña thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3 thỏa mãn ñiều kiện (P(x) + Q(x))

2=(R(x))

2. Hỏi ña thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm).

ðÁP ÁN

OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: ðại số

Câu 1. Cho các ma trận:

1 3 0 1 3 3

3 2 1 ; 0 2 5

0 1 1 3 1 1

A T

− − − − − = − = − − −

a) Tính B = T – 1

AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Giải. a) Ta có

1 1

7 0 21 11

15 10 5 , 370

6 10 2 4

T B T AT− −

− − − = − − = = − −

.

b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}. Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có

(AB – BA)2004

C = C(AB – BA)2004.

Giải. Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ, AB và BA có cùng một vết. Từ ñó suy ra ma trận D=AB –BA có vết bằng 0. Vậy nên

a bD

c a

= −

và D2 = (a2 +cb)E.

Do ñó D

2004= (a

2 + cb)

1002E

và nó giao hoán với mọi ma trận C. Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B ñều là nghiệm của ña thức f(x)= x

2– x và

AB+ BA = 0. Tính det(A – B) ? Giải. Ta có A2

=A, B2=B nên

17

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( )

( )

A B A AB BA B A B A B

A B A AB BA B A B A B

+ = + + + = + = +

− = − − + = + = +

ðặt det( ) , det( )A B A Bα β− = + = . Ta có 22

2 2

det( ) det( )

det( ) det( )

A B A Bhay

A B A B

β β

α β

= + = +

− = + =

Suy ra ( , ) (0, 0), ( , ) (1, 1), ( , ) ( 1, 1).α β α β α β= = = − Vậy ta có ba trường hợp: (i) 0α = , chẳng hạn khi A = 0, B = 0. (ii) 1,α = chẳng hạn khi A = E, B = 0. (iii) 1,α = − chẳng hạn khi

1 0 0 0, .

0 0 0 1A B

= =

Câu 4. Cho ma trận thực ( )ij n nA a

×= thoả mãn ñiều kiện:

0,

1,ij

i ja

i j

==

± ≠

Chứng minh rằng: a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A ñể sao cho detA = 0. b) Nếu n= 4, ta luôn có detA≠ 0. Giải.

a) Ví dụ, với

3

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

= −

ta có detA3 = 0. b) Xét ma trận

0 1 1 1

1 0 1 1.

1 1 0 1

1 1 1 0

B

=

Ta tính ñược detB= –3. Theo ñịnh nghĩa của ñịnh thức thì

1 4

1 2 3 4

1 4

( ,..., )1 2 3 4

( ,..., )

det ( 1)N j j

j j j j

j j

B b b b b= −∑

và

18

1 4

1 2 3 4

1 4

( ,..., )1 2 3 4

( ,..., )

det ( 1) (*)N j j

j j j j

j j

A a a a a= −∑

Rõ ràng là nếu tích 1 2 3 41 2 3 4 0j j j j

b b b b ≠ thì tích 1 2 3 41 2 3 4 0j j j j

a a a a ≠ và ngược lại. Do

det 3B = − là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (*) cũng là một số lẻ và vì vậy det 0.A ≠ Câu 5. a) Xác ñịnh ña thức f(x) dạng

f(x) = x5 – 3x4+2x

3 +ax2 +bx +c

biết rằng nó chia hết cho ña thức (x – 1)(x +1)(x – 2). b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các ña thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3 thỏa mãn ñiều kiện (P(x) + Q(x))

2=(R(x))

2. Hỏi ña thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm). Giải.

a) Từ giả thiết (1) ( 1) (2) 0,f f f= − = = ta thu ñược hệ phương trình

0

6 0.

4 2 0

a b c

a b c

a b c

+ + =

− + − = + + =

Giải hệ này, ta thu ñược 1, 3, 2.a b c= = − = Vậy ña thức cần tìm là f(x) = x5 – 3x

4 +2x3 + x2 – 3x +2.

b) Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các ña thức P, Q, R ñều dương. Trước hết, ta chứng minh ña thức Q(x) luôn luôn có 2 nghiệm thực. Ta có Q2

= (R – P)(R + P). Vì degP=degQ = 3 nên deg(R + P)= 3. Do degQ2 = 4 nên

deg(R – P) =1. Do ñó ña thức Q2 có nghiệm thực và vì vậy ña thức Q có nghiệm thực. Vì degQ=2 nên Q có ñúng 2 nghiệm thực. Tiếp theo, ta chứng minh ña thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực. Ta có P2

=(R – Q)(R + Q). Vì deg(R – Q)=deg(R + Q)= 3 nên các ña thức (R – Q) và (R +

Q) có nghiệm thực. Nếu hai nghiệm thực ñó khác nhau, thì P có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm còn lại của P hiển nhiên cũng là nghiệm thực. Nếu (R – Q) và (R + Q) có chung nghiệm thực x = a thì x = a là nghiệm của R và của Q. Do vậy

1 1 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).R x x a R x Q x x a Q x P x x a P x= − = − = −

Thế vào hệ thức P2=(R – Q)(R + Q), ta thu ñược 2 2 2

1 1 1 ,P R Q= − với 1 1,P R là các tam thức bậc hai, Q1 là nhị thức bậc nhất. Ta có

21 1 1 1 1( )( ).Q R P R P= − +

Vì 21Q là ña thức bậc hai và R1+ Q1 là tam thức bậc hai nên R1 – P1 là ña thức hằng. Vậy, nếu

21( ) ( 0)P x ax bx c a= + + > và 1( )Q x dx e= + thì 2

1( )R x ax bx c k= + + + và

[ ] 21 1( ) ( ) ( ) . (1)k R x P x dx e+ = +

19

Suy ra k>0. Thay giá trị e

xd

= − vào (1), ta thu ñược

1 1 0e e

R Pd d

− + − =

nên 1 0.2

e kP

d

− = − <

Do ñó tam thức bậc hai P1(x) có hai nghiệm thực và P(x) có 3 nghiệm

thực. Trở lại bài toán. Do P có 3 nghiệm thực, Q có 2 nghiệm thực và R là ña thức bậc 3 (có ít nhất 1 nghiệm thực) nên số nghiệm thực của T(x) không nhỏ thua 6. Ví dụ, ta chọn

3 2

2

3 2

( ) 3 2 ,

( ) 2( 2 1),

( ) 3 4 2

P x x x x

Q x x x

R x x x x

= + +

= + +

= + + +

thì P2+Q

2=R

2 và ña thức (PQR) có ñúng 6 nghiệm thực.

ðỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho dãy số {xn} xác ñịnh như sau:

10 0, ( 1) , 1.

2004nn

n

xx x n−= = + − ∀ ≥

Tính 2lim .nn

x→+∞

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ).∞ Chứng minh rằng hàm số

0

0

( )

( )

( )

x

x

tf t dt

F x

f t dt

=∫

∫

ñồng biến trên [0,+ ).∞ Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân

[ ]

[ ]

1

0

1

0

) ( ) (1 ) .

) lim ( ) .

a I bx a x dx

b I

λ

λλ

λ

λ→

= + −∫

Câu 4. Xác ñịnh các hàm số f(x) thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:

2004( ) ( ) , .

( ) ( ) ( ) ( ), , .

xi f x e x

ii f x y f x f y x y

≥ ∀ ∈

+ ≥ ∀ ∈

ℝ

ℝ

20

Câu 5. Cho ña thức P(x) thoả mãn ñiều kiện ( ) ( ) 0P a P b= = với a < b. ðặt ( ) .a x b

M max P x≤ ≤

′′=

Chứng minh rằng

3

) ( )( )( ) 2 ( ) ,

1) ( ) ( ) .

12

b b

a a

b

a

a P x x a x b dx P x dx

b P x dx M b a

′′ − − =

≤ −

∫ ∫

∫

ðÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004

Môn thi: Giải tích

Câu 1. Cho dãy số {xn} xác ñịnh như sau:

10 0, ( 1) , 1.

2004nn

n

xx x n−= = + − ∀ ≥

Tính 2lim .nn

x→+∞

Giải. Ta chứng minh công thức

1

( 1) (2004) 1.

(2004) .2005

n n

n nx −

− −=

Thật vậy, ñặt ( )

,(2004)n n

h nx = ta thu ñược

1

1 1 1( ) ( 1) ( 1)

(2004) 2004 (2004)n

n nh n h n −= − + − .

Suy ra ( ) ( 1) ( 1) (2004)n nh n h n− − = −

và

[ ]1 1

( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .n n

i i

i i

h n h h i h i= =

− = − − = −∑ ∑

Do 0 (0) 0x h= = nên

11

1 ( 1) (2004) 1( 1) (2004) .

(2004) (2004) .2005

n nni i

n n ni

x −=

− −= − =∑

Suy ra 2

2 2004lim .

2005nn

x→+∞

=

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ).∞ Chứng minh rằng hàm số

21

0

0

( )

( )

( )

x

x

tf t dt

F x

f t dt

=∫

∫

ñồng biến trên [0,+ ).∞ Giải. Ta có

0 02

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

( )

x x

x

xf x f t dt f x tf t dt

F x

f t dt

−′ =

∫ ∫

∫

Vì

2

( )0

( )x

x

f x

f t dt

> ∫

và 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x

x f t dt tf t dt x t f t dt− = − >∫ ∫ ∫ với ( ) 0,f t x t> ≥ nên ( ) 0F x′ ≥ khi x > 0. Do

vậy F(x) là một hàm ñồng biến trong [ )0, .+ ∞

Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân

[ ]

[ ]

1

0

1

0

) ( ) (1 ) .

) lim ( ) .

a I bx a x dx

b I

λ

λλ

λ

λ→

= + −∫

Giải. a) ðặt (1 ) ,bx a x t+ − = ta có

[ ]1

0

1 11

(1 )

1 1 1.

1 1

b

a

b

a

tbx a x dx dt

b a

b at

b a b a

λλ

λ λλ

λ λ

+ ++

+ − = =−

−= =

− + + −

∫ ∫

b) Từ a) suy ra

[ ]1

1 11

1

1( ) .

( 1)

b aI

b a

λ λ λλ

λ

λλ

+ + −= − +

22

Suy ra

[ ]1

11

0lim ( ) .

b b a

a

bI e

aλ

λλ

−−

→

=

Câu 4. Xác ñịnh các hàm số f(x) thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:

2004( ) ( ) , .

( ) ( ) ( ) ( ), , .

xi f x e x

ii f x y f x f y x y

≥ ∀ ∈

+ ≥ ∀ ∈

ℝ

ℝ

Giải. ðặt 2004( ) ( ).xf x e g x= Theo giả thiết (i) thì ( ) 1g x ≥ với mọi .x∈ℝ Thế vào ñiều kiện (ii), ta thu ñược

200( ) 2004 2004( ) ( ) ( ),x y x ye g x y e g x e g y+ + ≥ hay

( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y+ ≥ ∀ ∈ℝ Với x= y= 0 ta thu ñược

[ ]2(0) (0)

(0) 1.(0) 1

g gg

g

≥⇒ =

≥

Suy ra 1 (0) ( ( )) ( ) ( ) 1, .g g x x g x g x x= = + − ≥ − ≥ ∀ ∈ℝ

Do ñó ( ) 1g x ≡ và 2004( ) .xf x e= Câu 5. Cho ña thức P(x) thoả mãn ñiều kiện ( ) ( ) 0P a P b= = , với a < b. ðặt ( ) .

a x bM max P x

≤ ≤′′=

Chứng minh rằng

3

) ( )( )( ) 2 ( ) ,

1) ( ) ( ) .

12

b b

a a

b

a

a P x x a x b dx P x dx

b P x dx M b a

′′ − − =

≤ −

∫ ∫

∫

Giải. a) Ta chứng minh

( )( )( ) 2 ( ) (1)b b

a a

P x x a b x dx P x dx′′ − − = −∫ ∫

Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu ñược

23

[ ]

[ ] [ ]

( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .

b b

a a

b b b

a a a

P x x a b x dx P x x a b x dx

P x b x x a dx P x b x x a dx P x dx

′′′ ′− − = − − − =

′′= − − − − = − − − = −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

b) Từ (1) ta thu ñược

1( ) ( )( )( ) .

2

b b

a a

P x dx P x x a b x dx′′= − − −∫ ∫

Suy ra

1( ) ( ) ( )( ) .

2

b b

a a

P x dx P x x a b x dx′′= − −∫ ∫

Vì a x b≤ ≤ nên ( )( ) ( )( )x a b x x a b x− − = − − và

3( ) ( )( ) ( ) .2 12

b b

a a

M MP x dx x a b x dx b a≤ − − = −∫ ∫

ðỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: ðại số

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. Xét ma trận có dạng 21 1 2 1 3 1 4

21 2 2 2 3 2 4

21 3 2 3 3 3 4

21 4 2 4 3 4 4

1

1,

1

1

x x x x x x x

x x x x x x xA

x x x x x x x

x x x x x x x

+

+ = + +

Chứng minh rằng ñịnh thức của A là một ña thức ñối xứng theo các biến 1 2 3 4, , , .x x x x Tính

ñịnh thức của A khi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là 4 nghiệm của ña thức 4 3 24 ( ) 5 1.P x x x x= − − +

Câu 2. Cho ma trận 2 2

.1 3

A

=

Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B2 =A.

Câu 3. 1) Tồn tại hay không ña thức P(x) thoả mãn ( ) ( )P x P x′′> và ( ) ( ),P x P x′ ′′> với mọi x? 2) Biết rằng ña thức Q(x) có tính chất ( ) ( ), .Q x Q x x′> ∀ ∈ℝ Chứng minh rằng

( ) 0, .Q x x> ∀ ∈ℝ

24

Câu 4. Cho ma trận 2 1 0

0 1 0 ,

0 0 2

M

=

ðặt { }, 1,2,3.

( ) ( , 2).n

ij i jM b n n n

== ∈ ≥ℕ Tính

3 3

1 1

( ).n ij

i j

S b n= =

=∑∑

Câu 5. Giải hệ phương trình

1 2 1

12 1 2

1 1

.....2004

.....2005 1

.................................. ...................

...

2005 1

n n

n n

nn n

ax x x x

a xx x x

a x xx

−

−

−

+ + + + =

+ + + + =−

+ + + = −

ðÁP ÁN

OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: ðại số

Câu 1. Xét ma trận có dạng

21 1 2 1 3 1 4

21 2 2 2 3 2 4

21 3 2 3 3 3 4

21 4 2 4 3 4 4

1

1,

1

1

x x x x x x x

x x x x x x xA

x x x x x x x

x x x x x x x

+

+ = + +

Chứng minh rằng ñịnh thức của A là một ña thức ñối xứng theo các biến 1 2 3 4, , , .x x x x Tính

ñịnh thức của A khi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là 4 nghiệm của ña thức 4 3 24 ( ) 5 1.P x x x x= − − +

Giải. Ta có

25

1 1 1 11

2 2 2 22

1 2 3 4

3 3 3 33

4 4 4 44

21

222 2 2 2

1 2 3 4

23

24

1

1

det .det1

1

11 1 1 1

11 1 1 1

.det1

1 1 1 1

11 1 1 1

x x x xx

x x x xx

A x x x x

x x x xx

x x x xx

x

xx x x x

x

x

+

+ =

+

+

+

+ =

+

+

21

22

2 2 2 21 2 3 4

2 23 3

2 24 4

2211

2222

324

1 1 1 1 10 0 0

10 0 0

1 1 1 1

det det1 10 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0

110 0 00 0 0

110 0 00 0 0

det det

11 1 1 10 0

10 0 0

x

x

x x x x

x x

x x

xx

xx

x

x

= + +

+ +

21

22

232

24

10 0 0

10 0 0

det1

0 0 00

10 0 01 1 1 1

x

x

x

x

+

26

` ( )( )

2 2 2 21 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4

22 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 1 1 1 1

1

2 1.

x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

= + + + +

= + + + + = + + + −

− + + + + + +

Vì 1 2 3 4, , ,x x x x là nghiệm của ña thức 4 3 24 ( ) 5 1P x x x x= − − + nên:

1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 41; 5.x x x x x x x x x x x x x x x x+ + + = + + + + + = − Vậy detA= 1– 2.(–5) +1=12. Câu 2. Cho ma trận

2 2.

1 3A

=

Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B2 =A.

Giải. Chéo hoá ma trận A:

1 1 0,

0 4D P AP−

= =

trong ñó

12 1 1 3 1 3, .

1 1 1 3 2 3P P− −

= = −

Ma trận C có các giá trị riêng dương sao cho C2=D là ma trận

1 0.

0 2C

=

⇒ Cần tìm B=QCQ –1 sao cho B2

=QC2Q

–1=A=PDP

–1? 1 1 1 1( ) ( ) .QDQ PDP D Q P Q P D− − − −⇒ = ⇒ =

⇒ Cần giải phương trình: DX=XD, Xα β

γ δ

=

1 0 1 0. .

0 2 0 2

α β α βγ δ γ δ

⇒ =

2

2 2 2

α β α β

γ δ γ δ

⇒ =

0, 0, ,γ β α δ⇒ = = − khác 0 tuỳ ý! Vậy ta có:

27

1 1 11

1 1 1

11 1 1

1

0 0 2

0 0

3 3 4 3 2 30.

3 2 3 1 3 5 30

Q P Q P

Q P B QCQ

α α α δδ δ α δ

α ααδ δδ

− − −−

− − −

−− − −

−

⇒ = ⇒ = = −

− = = ⇒ = =

Ghi chú: Nếu thí sinh chọn luôn ma trận 1 4 3 2 3

1 3 5 3B PCP−

= =

thì vẫn cho ñiểm tối ña.

Câu 3. 1) Tồn tại hay không ña thức P(x) thoả mãn ( ) ( )P x P x′′> và ( ) ( ),P x P x′ ′′> với mọi x? 2) Biết rằng ña thức Q(x) có tính chất ( ) ( ), .Q x Q x x′> ∀ ∈ℝ Chứng minh rằng

( ) 0, .Q x x> ∀ ∈ℝ Giải. 1) Dễ dàng thấy không tồn tại các ña thức bậc 0, 1, 2: 0 1 2( ), ( ), ( )P x P x P x thoả mãn ñiều kiện ñầu bài. Xét trường hợp 3.n ≥ Giả sử tồn tại ña thức bậc : ( )nn P x thỏa mãn ñiều kiện:

( ) ( ), (1)

( ) ( ) (2)

n n

n n

P x P x

P x P x x

′′>

′ ′′> ∀

Từ (1) ( ) ( ) 0n nP x P x x n′′⇒ − > ∀ ⇒ − chẵn.

Từ (2) ( ) ( ) 0 ( 1)n nP x P x x n′ ′′⇒ − > ∀ ⇒ − − chẵn. Vô lý!! 2) Từ giả thiết suy ra n - chẵn (n - bậc của ña thức Q(x)). Giả sử ngược lại,

0 0: ( ) 0x Q x∃ ≤ ⇒ phương trình Q(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm ( n - chẵn!). ( ) 0xe Q x−⇒ = có ít

nhất 2 nghiệm ( kể cả nghiệm bội) ( )( ) 0xe Q x− ′⇒ = có nghiệm. Tức là

( ) ( ) 0x xe Q x e Q x− − ′− + = có nghiệm ( ) ( ) 0Q x Q x′⇒ − = có nghiệm⇒Vô lý!! Câu 4. Cho ma trận

2 1 0

0 1 0 ,

0 0 2

M

=

ðặt { }, 1,2,3.

( ) ( , 2).n

ij i jM b n n n

== ∈ ≥ℕ Tính

3 3

1 1

( ).n ij

i j

S b n= =

=∑∑

Giải. Ta có M= E +D với

28

1 0 0 1 1 0

0 1 0 , 0 0 0 .

0 0 1 0 0 1

E D

= =

Dễ dàng thấy rằng , , ( 2).n nE E D D n n= = ∀ ∈ ≥ℕ Khi ñó

0 1 1

( ) .n n n

n n k n k k k n k k k

n n n

k k k

M E D C E D C E D E C D E− −

= = =

= + = = + = +∑ ∑ ∑

Mặt khác

1 1

1

1

0

0 0 0

0 0

n nk k

n n

k knk

n

k nk

n

k

C C

C D

C

= =

=

=

=

∑ ∑

∑

∑

và 1

2 1.n

k n

n

k

C=

= −∑ Do ñó:

2 2 1 0

0 1 0 .

0 0 2

n n

n

n

M

−

=

Từ ñây suy ra 3.2 .n

nS = Câu 5. Giải hệ phương trình

1 2 1

12 1 2

1 1

.....2004

.....2005 1

.................................. ...................

...

2005 1

n n

n n

nn n

ax x x x

a xx x x

a x xx

−

−

−

+ + + + =

+ + + + =−

+ + + = −

Giải. Cộng thêm biểu thức 1 2 1... ix x x −+ + + vào cả hai vế phương trình thứ ( 2)i i ≥ của hệ ñã cho. Với 2,3,..., ,i n= ta có

1

1 2 11 2 1 1 2

...... .... ...

2005 1 i

ii i n i

a x x xx x x x x x x x

−

−−

+ + + ++ + + + + + = + + + +

−

29

1 2 1

1 2 1

1( ... ) 1

2004 2005 1 2005 1

2005 2005... .

2005 2004

ii i

i

i i

a ax x x

ax x x

−

−

⇒ = + + + + + − −

−⇒ + + + =

Vậy với 2,3,..., 1:i n= −

1 2 1 2 1

1

1

( ... ) ( ... )

2005 2005 2005 2005.

2005 2004 2005 2004 2005

i n i

i i

i i i

x x x x x x x

a a a

−

+

+

= + + + − + + + =

− −= − =

Lấy phương trình thứ nhất trừ ñi phương trình thứ hai ta ñược 1 .2005

ax = Vậy

1( 1,2,..., 1); .

2005 2004.2005i ni n

a ax i n x

−= = − =

ðỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005

Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút

Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3,.....)n = ñược xác ñịnh bởi công thức truy hồi sau:

21 12, 5.n nx x x+ = − = Tìm giới hạn

21

1 2

lim( ) ....

n

nn

x

x x x

+

→∞

Câu 2. Cho hàm số f(x) xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn ñiều kiện

( ) 0.b

a

f x dx =∫

Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a b∈ sao cho

( ) 2005 ( ) .c

a

f c f x dx= ∫

Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên ℝ sao cho ( )f x a′ ≥ với mọi

.x∈ℝ Biết rằng

2

0

0 ( )sin .f x xdx a

π

< <∫

30

Chứng minh rằng khi ñó trên ñoạn 0,2

π

, phương trình ( ) 0f x = có duy nhất nghiệm.

Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên ñoạn [0, 1] và thoả mãn ñiều kiện

[ ]1 21

( ) , 0,1 .2

x

xf t dt x

−≥ ∀ ∈∫

Hãy chứng minh

[ ]1 1

2

0 0

( ) ( ) .f x dx xf x dx≥∫ ∫

Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có ñạo hàm cấp 2 liên tục trên ℝvà thoả mãn ñiều kiện

(0) (1) .f f a= = Chứng minh rằng

[ ]{ }

x 0,1max ( ) 8( )f x a b∈

′′ ≥ − ,

với [ ]

{ }0,1

min ( ) .x

b f x∈

=

Cho một mở rộng kết quả trên ñối với ñoạn [ ], .α β ∈ℝ

ðÁP ÁN

OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Giải tích

Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3,.....)n = ñược xác ñịnh bởi công thức truy hồi sau:

21 12, 5.n nx x x+ = − = Tìm giới hạn

1

1 2

lim ....

n

nn

x

x x x

+

→∞

Giải. Theo giả thiết ta có

2 2 2 4 2 2 2 2 2 21 1 1

2 2 2 2 21 1 1 1 2

4 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4)

.... ... ( 4) 21( .... ) .

n n n n n n n n n

n n n

x x x x x x x x x

x x x x x x x

+ − −

−

− = − − = − = − = − =

= = − =

Suy ra 2

12

1 2 1 2

421 .

... ( ... )n

n n

x

x x x x x x

+ = −

Dễ dàng chứng minh ñược (vi dụ: bằng qui nạp!) 2, 1.kx k> ∀ ≥

Do vậy

31

2

1

1 2

lim 21....

n

nn

x

x x x

+

→∞

=

Câu 2. Cho hàm số f(x) xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn ñiều kiện

( ) 0.b

a

f x dx =∫

Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a b∈ sao cho

( ) 2005 ( ) .c

a

f c f x dx= ∫

Giải. Xét hàm số

2005( ) ( ) .t

t

a

F t e f x dx−= ∫

Khi ñó ( ) ( ) 0F a F b= = và

2005 2005( ) 2005 ( ) ( ).t

t t

a

F t e f x dx e f t− −′ = − +∫

Theo ðịnh lý Rolle, tồn tại ( , )c a b∈ sao cho ( ) 0,F c′ = nghĩa là

2005 20052005 ( ) ( ) 0.c

c c

a

e f x dx e f c− −− + =∫

Hay từ ñây suy ra ñiều phải chứng minh:

( ) 2005 ( ) .c

a

f c f x dx= ∫

Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên ℝ sao cho ( )f x a′ ≥ với mọi

.x∈ℝ Biết rằng

2

0

0 ( )sin .f x xdx a

π

< <∫

Chứng minh rằng khi ñó trên ñoạn 0,2

π

, phương trình ( ) 0f x = có duy nhất nghiệm.

Giải. Ta có

32

2 2 2

20

0 0 0

2 2

0 0

( )sin ( ) cos cos ( ) ( )cos

(0) ( )cos (0) cos (0) .

f x xdx f x d x xf x f x xdx

f f x xdx f a xdx f a

π π π

π

π π

′= − =− +

′= + ≥ + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Suy ra

2

0

(0) ( )sin 0.f f x xdx a

π

≤ − <∫

Giả sử ( 2) 0.f π < Từ giả thiết ( ) 0f x a′ ≥ > suy ra ( )f x ñồng biến trên ñoạn [ ]0, 2 .π Khi ñó

[ ]( ) 0 0, 2 .f x x π< ∀ ∈ Do vậy [ ]( )sin 0 0, 2 ,f x x x π< ∀ ∈ hay

2

0

( )sin 0.f x xdx

π

<∫

Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, ( 2) 0.f π > Kết hợp với ñiều kiện ( )f x trên ñoạn [ ]0, 2π suy ra

ñiều phải chứng minh. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên ñoạn [0, 1] và thoả mãn ñiều kiện

[ ]1 21

( ) , 0,1 .2

x

xf t dt x

−≥ ∀ ∈∫

Hãy chứng minh

[ ]1 1

2

0 0

( ) ( ) .f x dx xf x dx≥∫ ∫

Giải. Ta có

[ ] [ ]

[ ]

1 1 1 12 2 2

0 0 0 0

1 12

0 0

0 ( ) ( ) 2 ( )

1( ) 2 ( ) .

3

f x x dx f x dx xf x dx x dx

f x dx xf x dx

≤ − = − + =

= − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Suy ra

[ ]1 1

2

0 0

1( ) 2 ( ) . (1)

3f x dx xf x dx≥ −∫ ∫

ðặt

33

1 1

0

( ) .x

A f t dt dx

= ∫ ∫

Ta có 1 1 1 2

0 0

1 1( ) .

2 3x

xA f t dt dx dx

−= ≥ =

∫ ∫ ∫

Mặt khác 11 1 1 1 1

0 0 00

( ) ( ) ( ) ( ) .x x

A f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx

= = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Do ñó 1

0

1( ) .

3xf x dx ≥∫ (2)

Thay (2) vào (1) suy ra ñiều phải chứng minh. Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có ñạo hàm cấp 2 liên tục trên ℝvà thoả mãn ñiều kiện (0) (1) .f f a= = Chứng minh rằng

[ ]{ }

x 0,1max ( ) 8( )f x a b∈

′′ ≥ − ,

với [ ]

{ }0,1

min ( ) .x

b f x∈

=

Cho một mở rộng kết quả trên ñối với ñoạn [ ], .α β ∈ℝ

Giải. Sử dụng giả thiết và áp dụng ñịnh lý Rolle, tồn tại (0,1)c∈ sao cho ( ) 0f c′ = . Xét khai triển Taylor của hàm ( )f x tại ñiểm c:

2( ( ))( ) ( ) ( )( ) ( )

2

f xf x f c f c x c x c

θ′′′= + − + − .

Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào ñẳng thức trên ta thu ñược 2

2

( (0).

2( (1)

(1 ) .2

fa b c

fa b c

θ

θ

′′= +

′′= + −

Hay

2

2

2( )( (0)) 0.

2( )( (1)) 0.

(1 )

a bf

c

a bf

c

θ

θ

−′′ = ≥

−′′ = ≥−

Nhân vế với vế hai bất ñẳng thức sau cùng ta thu ñược

34

22

2 2

4( )( (0)) ( (1)) 64( ) .

(1 )

a bf f a b

c cθ θ

−′′ ′′ = ≥ −−

(sử dụng bất ñẳng thức 2 2 1(1 )

16c c− ≥ với [0,1])c∈ .

Từ ñó suy ra ñiều phải chứng minh. Mở rộng ñối với ñoạn [ ],α β :

[ ] 2x ,

8( )max {f (x)}

( )

a b

α β α β∈

−′′ ≥− .

Ghi chú: Nếu thí sinh ñưa ra ñược phản ví dụ khi a = b thì có thể xét thưởng ñiểm. ------------------------------------------------------------------------------------------------------

35

ðề kiểm tra ðội tuyển (Ngày 17/4/2006)

Bài 1: Tìm giới hạn

11 1

21

lim 0 13

10 0

5

n

n→∞

Bài 2: Cho ma trận A cấp n có dạng 1 0 ... 0 0

0 1 ... 0 0

...

0 0 0 ... 1

0 0 0 ... 0

a

a

a

a

Tìm tổng các phần tử của dòng ñầu của ma trận , .mA m n≤ Bài 3: Chứng minh rằng nếu ña thức

3 2( )f x x ax bx c= + + + có 3 nghiệm thực phân biệt thì ña thức

3 2 21( ) ( )

4 8

ab cg x x ax a b x

−= + + + + cũng có 3 nghiệm thực phân biệt.

Bài 4: Cho , ( )nA B M∈ ℝ , ñặt C AB BA= − , giả sử rằng C giao hoán ñược với , .A B Chứng

minh 1 , .k k kAB B A kB C k−− = ∈ℕ Giả sử C B= . Tính det .B Bài 5: Cho , ( )nA B M∈ ℝ , chứng minh rằng nếu ,A B luỹ linh thì uA vB+ luỹ linh với mọi

, .u v∈ℝ Bài 6: Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm khác không:

2 2 2 21 2 3 2005

2 2 2 21 2 3 2005

2 2 2 21 2 3 2005

2 2 21 2 2005

1 2 3 ... 2005 0

2 3 4 ... 2006 0

3 4 5 ... 2007 0

..................................

2005 2006 ... (2.2005 1) 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + = + + + − =