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MA111 - Cálculo IAula 19 - Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
Marcos Eduardo Valle
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Introdução
Na aula de hoje, estuaremos o teorema fundamental do cálculo.
O teorema fundamental do cálculo (TFC) estabelece uma relaçãoentre os conceitos de derivada e integral.
Em termos práticos, ele fornece um método muito poderoso paracalcular integrais sem recorrer a definição como limite de umsomatório.
O TFC também leva naturalmente a noção de integral indefinida.Iniciaremos apresentando como podemos definir uma funçãoutilizando uma integral.
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Função Definida por uma Integral
Dada uma função contínua f : [a,b]→ R, podemos definir
g(x) =∫ x
af (t)dt , a ≤ x ≤ b.
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Exemplo 1
Use a definição de integral para encontrar uma expressão para afunção
g(x) =∫ x
0tdt .
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Exemplo 1
Use a definição de integral para encontrar uma expressão para afunção
g(x) =∫ x
0tdt .
Resposta:
g(x) =x2
2.
Observação:
Note que g′(x) = f (x), ou seja, g(x) = x2
2 é uma primitiva def (x) = x .
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Teorema 2 (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1)
Se f : [a,b]→ R é uma função contínua, então a função
g(x) =∫ x
af (t)dt , a ≤ x ≤ b,
é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e satisfaz
g′(x) = f (x),
ou, equivalentemente,
ddx
[∫ x
af (t)dt
]= f (x).
Veja os detalhes da demonstração desse teorema no livro texto!
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Ideia da Demonstração:
A diferença g(x + h)− g(x) fornece a área sob a curva y = f (x)entre x e x + h, para h > 0.
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Ideia da Demonstração:
Para h pequeno, a área pode ser aproximada pela área doretângulo com altura f (x) e largura h, ou seja,
g(x + h)− g(x) ≈ hf (x).
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Ideia da Demonstração:
Dividindo ambos os termos por h e tomando o limite, obtemos:
g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f (x).
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Exemplo 3
Encontre a derivada da função
g(x) =∫ x
0
√1 + t2dt .
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Exemplo 3
Encontre a derivada da função
g(x) =∫ x
0
√1 + t2dt .
Resposta:g′(x) =
√1 + x2.
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Exemplo 4
Determineddx
[∫ x4
1sec t dt
].
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Exemplo 4
Determineddx
[∫ x4
1sec t dt
].
Resposta:ddx
[∫ x4
1sec t dt
]= 4x3 sec(x4).
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Teorema 5 (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2)
Se f for contínua em [a,b], então∫ b
af (x)dx = F (b)− F (a) = F (x)|ba ,
em que F é uma primitiva qualquer de f .
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Exemplo 6
Calcule
I =∫ 3
1exdx .
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Exemplo 6
Calcule
I =∫ 3
1exdx .
Resposta:I = e3 − e.
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Exemplo 7
Determine a área sob a parábola y = x2 de 0 a 1.
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Exemplo 7
Determine a área sob a parábola y = x2 de 0 a 1.
Resposta:
A =13.
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Exemplo 8
Calcule
I =∫ 6
3
1x
dx .
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Exemplo 8
Calcule
I =∫ 6
3
1x
dx .
Resposta:I = ln 2.
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Exemplo 9
Encontre a área sob a curva cosseno de 0 até b, com0 ≤ b ≤ π/2.
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Exemplo 9
Encontre a área sob a curva cosseno de 0 até b, com0 ≤ b ≤ π/2.
Resposta:A = sen b.
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Exemplo 10
Está certo ∫ 3
−1
1x2 dx = −1
x
∣∣∣∣3−1
= −43?
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Exemplo 10
Está certo ∫ 3
−1
1x2 dx = −1
x
∣∣∣∣3−1
= −43?
Resposta: Não! A integral não existe! O integrando não é umafunção contínua.
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Integral Indefinida
O teorema fundamental do cálculo estabelece uma relação entrea integral e a primitiva de uma função f .
Com base nessa observação, introduzimos a seguinte definição:
Definição 11 (Integral Indefinida)
A notação
F (x) =∫
f (x)dx é equivalente à F ′(x) = f (x).
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Exemplo 12
•∫
x2dx =x3
3+ c.
•∫
sec2 xdx = tg x + c.
Observação:
• A integral definida∫ b
af (x)dx é um número!
• A integral indefinida∫
f (x)dx é uma classe de funções que
diferem por uma constante!
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Tabela de Integrais - Parte 1
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Tabela de Integrais - Parte 2
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Exemplo 13
Encontre a integral indefinida geral∫(10x4 − 2 sec2 x)dx .
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Exemplo 13
Encontre a integral indefinida geral∫(10x4 − 2 sec2 x)dx .
Resposta: ∫(10x4 − 2 sec2 x)dx = 2x5 − 2 tg x + c.
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Exemplo 14
Calcule ∫cos θsen2 θ
dθ.
Lembre-se que cosec θ =1
sen θe cotg θ =
cos θsen θ
.
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Exemplo 14
Calcule ∫cos θsen2 θ
dθ.
Lembre-se que cosec θ =1
sen θe cotg θ =
cos θsen θ
.
Resposta: ∫cos θsen2 θ
dθ = −cossecθ + c.
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Exemplo 15
Determine ∫ 2
0
(2x3 − 6x +
3x2 + 1
)dx
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Exemplo 15
Determine ∫ 2
0
(2x3 − 6x +
3x2 + 1
)dx
Resposta:∫ 2
0
(2x3 − 6x +
3x2 + 1
)dx = −4 + 3 tg−1 2.
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Exemplo 16
Calcule ∫ 9
1
2t2 + t2√
t − 1t2 dt
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Exemplo 16
Calcule ∫ 9
1
2t2 + t2√
t − 1t2 dt
Resposta:∫ 9
1
2t2 + t2√
t − 1t2 dt = 18 + 18 +
19− 2− 2
3− 1 = 32
49.
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Considerações FinaisNa aula de hoje apresentamos o Teorema Fundamental doCálculo (TFC).
Resumidamente, o TFC diz que a integral e a derivada sãooperações inversas.
Desse modo, podemos definir a integral indefinida∫
f (x)dx comosendo uma primitiva de f .
Sobretudo, podemos calcular a integral definida∫ b
a f (x)dxcalculando a diferença de uma primitiva F de f nos extremos deintegração.
Muito grato pela atenção!