ma1201 m9-2-21-03-14
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
21 Maret 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi12.7 Bidang singgung dan aproksimasi12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi12.7 Bidang singgung dan aproksimasi12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 3
12.2 TURUNAN PARSIALMA1201 MATEMATIKA 2A
12.2 TURUNAN PARSIAL•Menentukan turunan parsial dari fungsi dua
b h di titik bpeubah di titik sembarang
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Mengukur Laju Perubahan dalam Arahd b bSejajar dengan Sumbu‐x atau Sumbu‐y
Diketahui fungsi dua peubahDiketahui fungsi dua peubahz = f(x,y), dan bayangkangrafiknya seperti pada gambar P
z
grafiknya seperti pada gambardi samping. Bila kita berada disuatu titik pada permukaan tsb ysuatu titik pada permukaan tsb(bayangkan di titik puncaknya) dan bergerak sejajar dengan
xdan bergerak sejajar dengansumbu‐x, berapakah lajuperubahan ketinggiannya?perubahan ketinggiannya?
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Turunan Parsial terhadap xTurunan Parsial terhadap x
Jika y konstan katakan y = yJika y konstan, katakan y = y0, maka z = f(x,y0) merupakanfungsi dari x saja Turunannya
P
z
fungsi dari x saja. Turunannyadi x = x0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadap yturunan parsial dari f terhadapx di (x0,y0) dan dilambangkandengan f (x y )
xdengan fx(x0,y0).
.),(),(lim),( 000000
yxfyhxfyxfx
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
),(000 h
yfhx
Turunan Parsial terhadap yTurunan Parsial terhadap y
Jika x konstan katakan x = xJika x konstan, katakan x = x0, maka z = f(x0,y) merupakanfungsi dari y saja Turunannya P
z
fungsi dari y saja. Turunannyadi y = y0 disebut sebagaiturunan parsial dari f terhadap yturunan parsial dari f terhadapy di (x0,y0) dan dilambangkandengan f (x y )
xdengan fy(x0,y0).
.),(),(lim),( 000000
yxfkyxfyxf y
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
),(000 k
yfky
ContohContoh
Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2. Maka,
fx(x,y) = ‐2x; fy(x,y) = ‐2y.
Di titik (3,4),
f (3 4) = ‐6; f (3 4) = ‐8fx(3,4) = ‐6; fy(3,4) = ‐8.
Jadi, nilai f turun lebih cepat dalam arahsejajar sumbu‐y daripada dalam arahsejajar sumbu‐x.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua
Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahTurunan parsial kedua suatu fungsi dua peubahdapat diperoleh dari turunan parsial pertamanya.
Karena ada dua turunan parsial pertama f danKarena ada dua turunan parsial pertama, fx danfy, dan masing‐masing mempunyai dua turunanparsial maka kita akan mendapatkan empatparsial, maka kita akan mendapatkan empatturunan parsial kedua, yaitu
f (f ) f (f ) f (f ) f (f )fxx = (fx)x, fxy = (fx)y, fyx = (fy)x, fyy = (fy)y
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
ContohContoh
Diketahui z = f(x,y) = 1 – x2 – y2.
Turunan parsial pertamanya adalah
f (x y) = ‐2x; f (x y) = ‐2yfx(x,y) = ‐2x; fy(x,y) = ‐2y.
Turunan parsial keduanya adalah
fxx(x,y) = ‐2; fxy(x,y) = 0.
fyx(x,y) = 0; fyy(x,y) = ‐2.yx yy
Catatan. fxy dan fyx disebut sebagai turunanparsial campuran. Secara umum, fxy ≠ fyx.3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
SoalSoal
Diketahui fungsi dua peubahDiketahui fungsi dua peubah
.1 22 yxz
(a) Tentukan turunan parsial pertamanya.
y
(b) Tentukan turunan parsial keduanya danperiksa apakah kedua turunan parsialp p pcampurannya sama.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Fungsi HarmonikFungsi Harmonik
Fungsi z = f(x y) disebut fungsi harmonik bilaFungsi z = f(x,y) disebut fungsi harmonik bilamemenuhi persamaan Laplace: fxx + fyy = 0.
Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik:
1. f(x,y) = x3y – xy3.
2. F(x,y) = ln(x2 + y2).( ,y) ( y )
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
12.3 LIMIT DAN KEKONTINUANMA1201 MATEMATIKA 2A
12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN•Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai limit di titik tertentu danmempunyai limit di titik tertentu danmenentukan limitnya (bila ada)•Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubah•Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubahdi titik tertentu
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Limit Fungsi Dua PeubahLimit Fungsi Dua Peubah
Diberikan suatu fungsi dua peubah, sebutlah z = f(x,y).
Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apaL
Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apayang terjadi dengan f(x,y)?
Def. apabila
untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0(x0,y0)Lyxf
yxyx
),(lim
),(),( 00
p psedemikian sehingga
)()()(0 Lyxfyxyx3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
.),(),(),(0 00 Lyxfyxyx
Beberapa CatatanBeberapa Catatan
• Limit f di (x0,y0) sama dengan L t f d ( 0,y0) sa a de gaapabila untuk setiap (x,y) yang berada dalam radius δ dari (x0,y0), k l k ( ) d l ykecuali mungkin (x0,y0) sendiri, nilaif(x,y) berada dalam radius ε dari L. D l h l i i il i f( ) h
y
• Dalam hal ini, nilai f(x,y) harusmenuju L, bagaimanapun caranya(x,y) mendekati (x0,y0).(x,y) mendekati (x0,y0).
• Jika melalui lintasan berbeda fmenuju nilai yang berbeda, maka f
x
j y g , ftidak mempunyai limit di (x0,y0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Teorema SubstitusiTeorema Substitusi
Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y,Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, yakni
n mji
ij yxcyxf ,),(
maka i j0 0
).,(),(lim)()(
bafyxfbayx
Jika f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) dengan p dan q polinomdalam x dan y maka
),(),( bayx
dalam x dan y, maka,
),(),(),(lim
),(),( baqbapyxf
bayx
asalkan q(a,b) ≠ 0. 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
),(q
ContohContoh
1 2543)(lim 2222 yx1. .2543)(lim)4,3(),(
yxyx
2. tidak ada, karena22)00()(
1limyx
xyyx
pembilangnya menuju 1 sementarab j 0
)0,0(),( yxyx
penyebutnya menuju 0.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
ContohContoh
3 tidak ada karena alasanlim xy3. tidak ada, karena alasan
sebagai berikut:
22)0,0(),(lim
yxyx
g
Sepanjang garis y = mx, kita amati bahwa2 mmxxy
2222022)0,0(),( 1limlim
mm
xmxmx
yxxy
xyxmxy
yang bergantung pada nilaim. Jadi tidak adanilai tertentu yang dituju ketika (x,y) men‐dekati (0,0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
SoalSoal
Selidiki apakah limit berikut ada/tidak adaSelidiki apakah limit berikut ada/tidak ada.
lim2xy
1. .lim 42)0,0(),( yxy
yx
44 yx 2. .lim 22)0,0(),( yx
yxyx
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
KekontinuanKekontinuan
Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di (a,b) apabilag f( ,y) ( , ) p
).,(),(lim),(),(
bafyxfbayx
Sebagai contoh, polinom kontinu di setiap titik.
),(),( y
Teorema: Jika g(x,y) kontinu di (a,b) dan f(t) kontinu di g(a,b), maka f ◦ g kontinu di (a,b).
Sebagai contoh, kontinu disetiap titik (x y)
22:),( yxyxf setiap titik (x,y).3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Kesamaan Turunan Parsial CampuranKesamaan Turunan Parsial Campuran
Jika f dan f kontinu pada suatu cakram diJika fxy dan fyx kontinu pada suatu cakram disekitar (a,b), maka fxy(a,b) = fyx(a,b).
Contoh fungsi yang turunan parsial campuran‐id k dib ik di b k P ll (S lnya tidak sama diberikan di buku Purcell (Soal
12.3 no. 42). Lihat slide berikut…
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
SoalSoal
DiketahuiDiketahui
),0,0(),(,:),( 22
22
yxyxxyyxf
).0,0(),(,0:
),0,0(),(,:),( 22
yx
yxyx
xyyxf
Hitung f (0 0) dan f (0 0) Apakah hasilnya
).0,0(),(,0: yx
Hitung fxy(0,0) dan fyx(0,0). Apakah hasilnyasama?
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22