maden-statik-9.ders [uyumluluk modu]kisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-statik-9.pdfİki boyutlu...
TRANSCRIPT
İÇ KUVVETLER
Amaçlar:
• Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması
• Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi
Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler
Bir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekliolan, eleman içine etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. Başka bir deyişle,sözkonusu elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan kuvvetlere karşıdayanımını koruyup koruyamayacağının ortaya konması gerekir. Kesit yöntemibu amaç için kullanılabilir.
Şekildeki P1 ve P2 kuvvetlerinemaruz konsol kirişi ele alalım. Eğer Bnoktasında oluşan iç kuvvetlerinoktasında oluşan iç kuvvetleribulmak istiyorsak kiriş eksenine dikhayali bir a-a kesiti geçirmek gerekir,bu kesit ile kiriş iki parçaya ayrılır.
Kirişi B noktasından kestiğimizde, iç kuvvetler her bir parçanın serbest cisim diyagramında dış kuvvet olarak gösterilir. Bu kuvvetler kesitin her iki tarafında büyüklükçe eşit ve zıt yönlü olmalıdır (Newton’un üçüncü kanunu). Bu kuvvetler, parçaların birbirine göre relatif hareketini engellemektedir.
NB= kesite dik olarak etkiyen NORMAL KUVVET (eksenel kuvvet)
VB= kesite teğet olarak etkiyen KESME KUVVETİ
MB= kesite etkiyen EĞİLME MOMENTİ
B kesitindeki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. Sağ parçanın serbest cisim diyagramını kullanalım:
∑
∑
∑
=⇒
=⇒
=⇒
0
0
0
BB
B
B
MM
FyV
FxN
İki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluşmaktadır. Üç boyutta ise kesitte, genel bileşke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. Bu kuvvetlerin x, y, z bileşenleri şekilde gösterilmektedir.
2 boyutlu
3 boyutlu
Bir çok uygulamada, bu bileşke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda farklı olacaktır. Bu nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır.
İŞARET KABULLERİ
Pozitif normal kuvvet
Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment
Mühendislerin genellikle kullandığı N,V, M kuvvetlerinin pozitif yönleri aşağıda gösterilmiştir :
- Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir.
- Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir.
- Moment, elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir.
Bu yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır.
ANALİZDE İZLENECEK YOL
Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yöntemininuygulanması aşağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir.
Mesnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir.
Serbest Cisim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dış kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiştirilmeden gösterilir. İç kuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir.
Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleriuygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, Moment dengedenklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümü negatif bir sayıverirse, seçilmiş olan yön yanlıştır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramıüzerinde gösterilene terstir.
Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları
Ekonomik ve yapısal açıdan efektif bir tasarım yapılabilmesi için şekilde görülen kirişler açıklık boyunca farklı kesitlerde üretilmiştir. Çünkü kirişin ortasına kıyasla mesnetlerinde oluşan moment değeri daha büyük olacaktır.
Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yükleri taşımak için tasarlanan elemanlardır.Genelde, kirişler sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır.Mesnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar. Örn: basit mesnetli kiriş ( birucunda pimli diğerine kayar mesnet), ankastre kiriş (bir ucundan ankastremesnetle sabitlenmiş, diğer ucu serbest) vb.
Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvvetinin (V) ve eğilme momentinin (M) değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir.
Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında dikkate alınmaz. Çünkü, genelde kuvvetler kiriş eksenlerine dik doğrultuda etkir ve bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluşturur. Ve tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımları eksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir.
Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılabilir.
Kirişin ekseni boyunca x konumunun fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimleri kesit yöntemi kullanılarak ele edilebilir. Bununla birlikte, kirişi belirli bir noktadan kesmek yerine bir uçtan keyfi bir uzaklıktan (x1, x2, x3 gibi) kesmek gerekir. x’in fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimlerini gösteren grafiklere, kesme
kuvveti diyagramı ve eğilme momenti
diyagramı denir.
Genelde, yayılı yüklerin değiştiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları veya bunların eğimleri süreksizdir. Bu nedenle, bu fonksiyonlar kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir. Örn: şekildeki (Oa), (ab), (bL) parçaları için V ve M fonksiyonları için ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
V(x1)
M(x1)
V(x2)
0 ≤ x1 ≤ a
V(x2)
M(x2)
V(x3)
M(x3)
a ≤ x2 ≤ b
b ≤ x3 ≤ L
a-) Yukarı yönlenmiş kuvvetler yukarı doğru ve aşağıya doğru yönlenmiş kuvvetler aşağı doğru çizilir.
b-)Kuvvetlerin bulunmadığı aralıklarda kesme kuvveti x eksenine paralel bir doğru, düzgün yayılı yük için lineer bir doğru ve üçgen yayılı yük için ikinci dereceden bir eğridir.
c-)Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, c-)Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir.
d-) Eğilme momenti diyagramının derecesi kesme kuvvetinin derecesinden bir fazladır.
İÇ TESİRLERİN KAYNAĞI DIŞ KUVVETLERDİR !
DIŞ KUVVETLERİÇ TESİRLER HESAPLANIR
N, M, T DİYAGRAMLARI
ÇEŞİTLİ HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
TASARIM BOYUTLANDIRMA
N
T
M
N
T
M
Sol uç Sağ uç
İŞARET KABULLERİ
TT Sol uç Sağ uç
ÖRNEK 9-1
Şekildeki basit mesnetli kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.
Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım:
2m
A C
2m
5t
B
Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım:
5t
Ax
Ay Cy
A C
5t
B
Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesimyapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükünsolunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.
AX
2m2m
B
5
0
=+
=
yy
x
CA
A
tCtA yy 5.25.2 ==
Ay Cy
Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağuca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:
A
x12.5t
N
T
M
11 5.205.20
5.205.20
00
xMxMM
tTTF
NF
y
x
==−=
==−=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 001 ==
tmMx B 521 ==
0<x1<2m arasında geçerli bağıntılar:
0-2 metre arasında sabit
İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilensol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:
2.5t
C
x2
N
T
M
22 5.205.20
5.205.20
00
xMMxM
tTTF
NF
y
x
==−=
−==+=
==
∑
∑
∑+
+
+
002 == CMx
tmMx B 522 ==
0<x2<2.5m arasında geçerli bağıntılar:
0-2 metre arasında sabit
N (ton) +-
Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir.
Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme
2m
A C
2m
5t
B
2.5t 2.5t
-
T (ton) +-
M (tm) -+
+
-
2.5 2.5
2.5
+ +
5
olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir.
Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir.
2.5
İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları sağdan kesilerek deyapılabilir.
A B
2t
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
3
5t
4
ÖRNEK 9 - 2
3m3m 2m
3m
A B
3m
2tçözüm
3
5t
4
2m
Ay
AX
By
3=x tA
C D
0*85*43*2
6
3
=+−−
=+
=
y
yy
x
B
BA
tA
tAtB yy 75.225.3 ==
İlk kesim:
A
x12.75t
N
T
M
3030 tNNF −==+=∑+
0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar:
3t
(A-C)
11 75.2075.20
75.2075.20
3030
xMxMM
tTTF
tNNF
y
x
==−=
==−=
−==+=
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 001 ==
tmMx C 25.831 ==
İkinci kesim:
3030 tNNFx −==+=∑+
A
3m
2t
x2
N
T
M
2.75t
3t
0<x2<2m arasında geçerli bağıntılar:
C
(C-D)
222 75.025.80)3(*75.2*20
75.00275.20
3030
xMxxMM
tTTF
tNNF
y
x
+==+−+=
==−−=
−==+=
∑
∑
∑+
+
tmMx C 25.802 == tmMx D 75.922 ==
Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesim yapılabilir.
3.25t
B
x3
N
T
M
0<x3<3m arasında geçerli bağıntılar:
(B-D)
33 25.3025.30
25.3025.30
00
xMMxM
tTTF
NF
y
x
==−=
−==+=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx B 003 ==
tmMx D 75.933 ==
3m
A B
3m
2t
3
5t
4
2m
3t
4t
2.75t
3t
3.25t
N (ton) +-
3--
3
C D
-
T (ton) +-
M (tm) -+
+ +
3
2.750.75
3.25
+ +
8.25
--3
3.25
0.75
-
9.75
+
ÖRNEK 9 - 3
6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki B noktası ve hemen sağındaki C noktasında oluşan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz.
Mesnet kuvvetleri, tüm kirişin serbest cisim diyagramı kullanılarak bulunur.
ÇÖZÜM
AB parçası AC parçası
Kiriş B noktasından ve C noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir.
AB parçası
AC parçası
Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesimyapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükünsolunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.
AC
9kNm
6kN
AX
B
ÇÖZÜM 2
6m3m
Ay
AX
By
0*993*6
6
0
=++−
=+
=
y
yy
x
B
BA
A
kNAkNB yy 51 ==
Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağuca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:
A
x15t
N
T
M
0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar:
11 5050
5050
00
xMxMM
kNTTF
NF
y
x
==−=
==−=
==
∑
∑
∑+
+
+
kNmMx A 001 ==
kNmMx C 1531 ==
0-3 metre arasında sabit
İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilensol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:
00 ==∑ NF+
0<x2<6m arasında geçerli bağıntılar:
0-3 metre arasında sabit
9kNm
1kN
B
x2
N
T
M
90.190
1010
00
22 +==−+=
−==+=
==
∑
∑
∑
xMMxM
kNTTF
NF
y
x+
+
+
kNmMx B 902 ==
kNmMx C 1562 ==
0-3 metre arasında sabit
6m
AC
3m
9kNm
6kN
5kN
AX=0
1kN
B
N (kN) +-
Diyagramların çizim-inde eldeedilen bağıntılardan yararlanılır.Basit yükleme du-rumlarındamesnet tepkileri ve yüklemedurumuna bakılarakdiyagramlar doğrudan çizilebilir.
Kesme kuvveti düşey yük vetepkiler kullanılarak diyagramaişlenir. Kiriş üzerinde yükolmayan bölgelerde kesmekuvveti sabittir. Yük etkiyen -
T (kN) +-
M (kNm) -+
+-
5 5
1 1
+ +
15
9
noktalarda ani kesme kuvvetideğişimi gözlenir.
Moment diyagramı kesmekuvveti diyagramı altında kalanalan (işaretine de bakılarak)kullanılarak çizilir. Tekil mo-ment olan noktalarda momentdiyagramında ani değişim olur.
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A C
3 t/m
4 t
ÖRNEK 9 - 4
A C
2m
5m
3m
B
A C
3 t/m
2m
5m
3m
4 t
B
Ay Cy
Ax
0=∑Fx Ax=00=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax=0
Ay+Cy-4t-(3t/m*5)=0 Ay + Cy = 19t
-4t*3m-(3t/m*5)*2.5m+5*Cy=0 Cy = 9.9t ( )
Ay = 9.1t ( )
A C
3 t/m
2m
5m
3m
4 t
B
9.1 t 9.9 t
(A-B) (B-C)
Kiriş B noktasındaki tekilkuvvet nedeniyle ikibölgeden oluşmaktadır.
A
x19.1 t
3 t/m
N
T
M
0<x1<3m arası:
C
3 t/m
9.9 t
N
T
M
x2
0<x2<2m arası:
(B-C)
A
x19.1 t
3 t/m
N
T
M
0<x1<3m arası:
(A-B)
00 NF ==∑+
tTx A 1.901 ==
2
111
11
11
5.11.902
31.90
31.90*31.90
00
xxMMx
xxM
xTTxF
NF
y
x
−==++−=
−==−−=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 001 ==
tmMx B 8.1331
==
tTx B 1.031 ==
2.derece
C
3 t/m
9.9 t
N
T
M
x20<x2<2m arası:
(B-C)
tTx A 9.902 −==
2
222
22
22
5.19.902
39.90
9.930*39.90
00
xxMMx
xxM
xTTxF
NF
B
y
x
−==−−=
−==+−=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx C 002 ==
tmMx B 8.1322
==
tTx A 9.902 −==
tTx B 9.322 −==
2.derece
A C
3 t/m
2m3m
4 t
B
9.1 t 9.9 t
N (ton) +-
Yayılı yüklerin bulunduğu kirişdiyagramlarında yayılı yük alanı(şerit yük*etkidiği mesafe)kesme kuvvetindeki mesafeboyunca doğrusal değişimigösterir.
Moment diyagramı da kesmekuvveti diyagramı altında kalanalan (işaretine de bakılarak) -
T (ton) +-
M (tm) -+
+
9.1
3.9
+
13.8
+
0.1
9.9
-
alan (işaretine de bakılarak)kullanılarak çizilir.
Kesme kuvvetinin sıfırdangeçtiği noktada eğilme momentimaksimum değerini alır.
2o
2o
A C
8 t/m
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
3t
ÖRNEK 9 - 5
1.5m3m
B
A C
8 t/m
1.5m3m
B
3t
0=∑Fx A -3=0 A =3t
CyAy
Ax
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax-3=0 Ax=3t
Ay+Cy- (8t/m*3)=0 Ay + Cy = 24t
-(8t/m*3)*1.5m+4.5*Cy=0 Cy = 8t ( )
Ay = 16t ( )
A
x116 t
8 t/m
N
T
M
0<x1<3m arası:
(A-B)
3030 tNNF −==+=∑+
tTx A 1601 ==
3 t
2
111
11
11
41602
8160
8160*8160
3030
xxMMx
xxM
xTTxF
tNNF
y
x
−==++−=
−==−−=
−==+=
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 001 ==
tmMx B 1231 ==
tTx B 831 −==
2.derece
Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir.
8t
C
x2
N
T
M
(B-C)
3t
0<x2<1.5m arasında geçerli bağıntılar:
22 8080
8080
3030
xMMxM
tTTF
tNNF
y
x
==−=
−==+=
−==−−=
∑
∑
∑+
+
+
tmMx C 002 ==
tmMx B 125.12 ==
A C
8 t/m
1.5m3m
B
3t
8t16t
3t
N (ton) +-
3
16
--3
Üçgen benzerliğinden kesme
T (ton) +-
M (tm) -+
+
16
2m
++
16
8-
12
-
Üçgen benzerliğinden kesmekuvveti diyagramında sıfır kesmekuvveti noktası bulunur. Bu soruda2m Moment denkleminde yerinekonulursa:
8
+
2o
2
11 416 xxM −=
tmMx 1621 ==
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A B
2 t/m
6tm3tm
ÖRNEK 9 - 6
A B
3m
63
A B
2 t/m
3m
6tm3tm
0=∑Fx A =0
ByAy
Ax
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax=0
Ay+By- (2t/m*3)=0 Ay + Cy =6t
-(2t/m*3)*1.5m+3*By+3-6=0 By = 4t ( )
Ay = 2t ( )
A
x2 t
2 t/m
N
T
M
0<x<3m arası:
(A-B)
00 NF ==∑+
tTx A 201 ==
3tm
22302
2230
220*220
00
xxMxMx
xM
xTTxF
NF
y
x
−+−==−++=
−==−−=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 301 −==
tmMx B 631 −==
tTx B 431 −==
2.derece
A B
2 t/m
3m
6tm3tm
N (ton) +-
2 t 4 t
Üçgen benzerliğinden kesme-
T (ton) +-
M (tm) -+
+2
4
-
2o
2o
1m
-
36
-2
Üçgen benzerliğinden kesmekuvveti diyagramında sıfır kesmekuvveti noktası bulunur. Bu soruda1m Moment denkleminde yerinekonulursa:
223 xxM −+−=
tmMx 211 −==
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A B
2 t/m
2tm
C
5t
4
3
ÖRNEK 9 - 7
2m 1m
A B
2 t/m
2m
2tm
C
5t
4
3
1m
0=∑Fx A -3=0 A =3t
Ay
Ax
MA
4t
3t
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax-3=0 Ax=3t
Ay- (2t/m*2)-4=0 Ay =8t
-(2t/m*2)*1m-4*3m-2+MA=0 MA= 18tm ( )
A
2 t/m
x1
8t
3t
18tm N
T
M
0<x1<2m arası:
(A-B)
3030 tNNF −==+=∑+
tTx A 801 ==
2
1111
1
11
818082
2180
280*280
3030
xxMMxx
xM
xTTxF
tNNF
y
x
−+−==+−+=
−==−−=
−==+=
∑
∑
∑+
+
+
tmMx A 1801 −==
tmMx B 621 −==
tTx B 421 ==
2.derece
B
2tm
C
4t
3t
x2
N
T
M
0<x2<1m arası:
(A-B)
22 420240
4040
3030
xMMxM
tTTF
tNNF
y
x
−−==−−−=
==−=
−==−−=
∑
∑
∑+
+
+
tmMx C 202 −== tmMx B 612 −==
A B
2 t/m
2m
2tm
C
1m
8t
3t
18tm
4t
3t
N (ton) +-
3--
3
T (ton) +-
M (tm) -+
+
84
2o
-
18
2
4
+
6
-
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A
2 t 5 t
BC
D 3tm
ÖRNEK 9 - 8
2m 3m 2m
C
A
2m 3m 2m
2 t 5 t
BC
D 3tm
0=∑Fx D =0
DyBy
Dx
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ BM
+
+
+
Dx=0
By+Dy-2-5=0 By + Dy =7t
2*2m-5*3m-3+Dy*5m=0 Dy = 2.8t ( )
By = 4.2t ( )
A
x1
2 t
N
T
M
0<x1<2m arası:
(A-B)
+
11 2020
2020
00
xMMxM
tTTF
NF
y
x
−==+=
−==+=
==
∑
∑
∑+
+
+
001 == AMx
tmMx B 421 −==
N
T
M
0<x2<3m arası:
(B-C)
00 ==∑ NF+
A
2m
2 t
B
4.2 tx2
42.20*2.4)2(*20
2.202.420
00
222 −==−++=
==+−=
==
∑
∑
∑
xMxMxM
tTTF
NF
y
x+
+
+
tmMx B 402 −==
tmMx C 6.232
==
0<x3<2m arası:
(C-D)
D 3tm
2.8 tx3
N
T
M
00 NF ==∑+
33 8.2308.230
8.208.20
00
xMMxM
tTTF
NF
y
x
+−==−+−=
−==+=
==
∑
∑
∑+
+
+
tmMx D 303 −== tmMx C 6.223 ==
A
2m 3m 2m
2 t 5 t
BC
D 3tm
4.2 t 2.8 t
N (ton) +-
T (ton) +-
M (tm) -+
-
+
2
-
+
4
-
2.6+
2.2 2.2
2.8 2.8
-
2
-3
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
B
2 t/m
5t CA10tm
10t
ÖRNEK 9 - 9
5m 5m
2m2m 6m
B
2 t/m
5m
5t C
5m
A
2m2m 6m
10tm
10t
0=∑Fx A -10+5=0 A =5t
ByAy
Ax
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax-10+5=0 Ax=5t
Ay+By-10=0 Ay + By =10t
-(2*5)*2.5m-10tm+By*10m=0 By = 3.5t ( )
Ay = 6.5t ( )
2m2m
B
2 t/m
5m
5t C
5m
A
3m
10tm
10t
6.5t
5t
3.5t
3m
N (ton) +-
+
5-+
5
5 5
T (ton) +-
M (tm) -+
+6.5
-3.5
3.25
10.56
3.5
- -
7.5
17.5
+ +
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
B
2 t/m
10tCA50tm
20t
ÖRNEK 9 - 10
5m 5m
2m2m 6m
B
2 t/m
5m
10tC
5m
A
2m2m 6m
50tm
20t
ByAy
Ax
0=∑Fx A -20+10=0 A =10t0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax-20+10=0 Ax=10t
Ay+By-10=0 Ay + By =10t
-(2*5)*2.5m-50tm+By*10m=0 By = 7.5t ( )
Ay = 2.5t ( )
2m2m
B
2 t/m
5m
10tC
5m
A
3m
50tm
20t
2.5t
10t
7.5t
3m
N (ton) +-
+
10-
+
10
10 10
T (ton) +-
M (tm) -+
+
10
-
2.5
1.25
37.5
10
7.5
-
1.56
+ +
7.5
-12.5
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
AB
200 kg/m
C D
25 kgm
ÖRNEK 9 - 11
0.2m 0.3m 0.5m
AB
200 kg/m
0.2m
C
0.3m
D
0.5m
25 kgm
0=∑Fx Ax=0
Ay
Ax
MA
0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax=0
Ay- (200kg/m*0.5)=0 Ay =100kg
25+MA-100*0.75=0 MA= 50kgm ( )
100kg
50 kgm
N (kg) +-
AB
200 kg/m
0.2m
C
0.3m
D
0.5m
25 kgm
T (kg) +-
M (kgm) -+
+
100 100
2o-
50
+
-
+
30
55
25
-
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A
20t
CD
B20tm
10 t/m
ÖRNEK 9 - 12
A
1m 4m 1m
D
A
1m 4m 1m
20t
CD
B20tm
10 t/m
0=∑Fx B =00=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ BM
+
+
+
Bx=0
By+Cy-20-40=0 By + Cy =60t
-(4*10)*2m-20tm+Cy*4m+20t*1m=0 Cy = 20t ( )
By = 40t ( )
A
1m 4m 1m
20t
CD
B20tm
10 t/m
20t40t
N (t) +-
20
T (t) +-
M (tm) -+
20
-2m
20-
+
20
20
- - - -2020
0
Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.
A
4t
CD
B
3 t/m
30o
ÖRNEK 9 - 13
2m 3m 1m
D
A
2m 3m 1m
4t
CD
B
3 t/m
30o
2t
3.46t
CyAy
Ax
0=∑Fx A -3.46=0 A =3.46t0=∑Fx
0=∑ Fy
0=∑ AM
+
+
+
Ax-3.46=0 Ax=3.46t
Ay+Cy-6-2=0 Ay + Cy =8t
-(3*2)*1m+Cy*5m-2t*6m=0 Cy = 3.6t ( )
Ay = 4.4t ( )
A
2m 3m 1m
4t
CD
B
3 t/m
30o
2t
3.46t
3.64.43.46
N (t) +- -
4.4
- -xx −
=
2
6.14.4
T (t) +-
M (tm) -+
3.23
1.47m1.6
-+
4.4
20
- -
2
1.6-
+2 2
+2.80+
mx 47.1=
Şekildeki kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.
ÖRNEK 9 - 14