kesitte moment kuvvet çifti Çekme ve basınç...

Kesitte moment ≡ kuvvet çifti �Çekme ve basınç kuvveti

Kiri şe etkiyen Md momenti F ile gösterilen kuvvet çiftine eşdeğerdir.

Kiri şin üst lifleri F basınç kuvvetinin, alt lifleri de F çekme kuvvetinin etkisindedir.

Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan F kuvvetini taşıyabilir.

Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. Çatlak kirişe dik yönde oluşur. Çatlak giderek genişler ve kesit yüksekliğince yol alır.

Basınç bölgesindeki beton ezilir ve kiriş kırılır.

Video

Donatının Gereği ERSOY/ÖZCEBE, S. 226 ve 230 (benzeri)

Moment

Deformasyondan önce

Deformasyondan sonra (göçme anı):•Çekme bölgeleri çatlar•Basınç bölgeleri ezilir

Önlem:

•Çekme kuvvetlerini karşılamak ve çatlakları sınırlamak için çekme bölgelerine boyuna donatıkonur.

•Kesme çatlaklarını sınırlamak için sargı donatısı (etriye)konur. Etriye mesnetlere yakın bölgelerde ve konsollarda sıklaştırılır.

•Basınç bölgelerine teorik olarak donatı gerekmez. Ancak, etriyeyi sarabilmek için, montaj donatısıkonur.

•Mesnetlere, açıklıklardan gelen donatılar yeterli olmazsa, ek donatıkonur.

Kesme

Video

• Betonun çekme dayanımı çok düşüktür, çekme bölgelerinde çatlaklar oluşur.• Basınç bölgelerinde ezilme olur (taşıma gücüne erişildiğinde=kırılma anı).

• Çekme kuvvetlerini karşılamak ve çatlakları sınırlamak için, çekme bölgelerine boyuna donatıkonur.• Pilye de çekme donatısıdır. Orta kısmı açıklıkta (altta), kolları da mesnetlerde (üstte) çekme kuvveti alır. Eğik kolları ise kesme

çatlaklarını sınırlar. Đşçiliğinin zor olması ve güvenli olmaması nedeniyle kat kirişlerinde pilye kullanılmasından kaçınılır.• Açıklıklarda, basınç tarafına montaj donatısıkonur.• Açıklıktan gelen donatılar mesnetteki momenti karşılamazsa, mesnetlere ek donatıkonur.• Kesme kuvvetlerini karşılamak ve oluşturduğu çatlakları sınırlamak için enine donatı (sargı (etriye, fret))kullanılır.• Betonarme eleman (kiriş, kolon, döşeme), iyi donatılsa dahi, çatlar. Ancak bunlar kılcal (zararsız) çatlaklardır.

Bir kiri şin kesit ve donatılarının projede çizimi (Benzeri: ERSOY/ÖZCEBE, S. 290)

Çatlak genişliği sınırları (TS 500 /2000)

0.1 mmYapı içi ve dışı agresif çevre koşulları

0.2 mmYapı dışı nemli çevre koşulları

0.3 mmYapı içi nemli ve yapı dışı normal çevre koşulları

0.4 mmYapı içi normal çevre koşulları

En büyük çatlakgenişliği

Ortam

Çatlak genişliğini elden geldiğince sınırlı tutmak için:•Nervürlü donatı kullanılmalı.

•Kalın donatıdan kaçınılmalı.

•Kaliteli beton kullanılmalı, sıkıştırılmalı ve kür yapılmalı.

•Donatı aralıkları 15-20 cm yi geçmemeli.

•Çekme bölgelerine en az yönetmeliklerde verilen minimum donatıdan konulmalı.

•Sargı donatısı yönetmeliklere uygun ve özenli düzenlenmeli.

•Donatıda kenetlenme (aderans) sağlanmalı

•Zararlı çevre koşullarından betonarme elemanlar korunmalı.

TS500-2000, S. 64

Çizelgedeki değerler normal yapılar içindir. Yapının kullanım amacına yönelik daha küçük değerler gerekebilir. Örneğin bir su deposunda, sızdırmazlık ön plana çıktığından, en büyük çatlak genişliği 0.1 mm nin altında tutulmalıdır.

Beton, donatılı da olsa, çatlayacaktır. Çatlamayı tümüyle önlemek imkânsızdır. Önemli olan çatlak sayısıve genişliğinin sınırlı kalmasıdır.

Kesitte moment ≡ kuvvet çifti �Çekme ve basınç kuvveti �Deformasyon �Kesitte dönme

As : Kesitteki toplam çekme donatısı

Fs : Çelikteki toplam çekme kuvveti

Fc : Betondaki basınç kuvveti

z : Moment kolu

εs : Çelik birim uzaması

εc : Betonun en üst lifindeki birim kısalma

Yatay denge:Fs= Fc (kuvvet çifti)

Moment :

Fsz= Fc z = Md

Kiri şe etkiyen Md momenti Fc ve Fs den oluşan kuvvet çiftine eşdeğerdir, Fc=Fsdir ve z moment koludur. Kirişin üst lifleri Fc basınç kuvvetinin, alt lifleri Fs çekme kuvvetinin etkisindedir. Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan Fc kuvvetini taşıyabilir. Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. Fs çekme kuvvetinin tamamınıtoplam alanı As olan donatı karşılamak zorundadır. Betonun üst lifleri εc birim kısalmasına, çelik çubuklar da εs

birim uzamasına uğrar, kesit döner.

aa

aa

aa

z

a

a

Betonda birim kısalma

Çelikte birim uzama

εεεεc1 < εεεεc0 , εεεεc < εεεεctσσσσc1 < fcMax gerilmeye ulaşılmamış, beton çatlamamış ve ezilmemiş.

εεεεc2 = εεεεc0σσσσ c2 = fcMax gerilmeye ulaşılmış, beton çatlamış fakat ezilmemiş.

Kesitte deformasyon-gerilme dağılımı aşamaları ERSOY/ÖZCEBE, S. 94

εεεεc0 < εεεεc3 < εεεεcu

σσσσc3 < fcDeformasyon artarken dış lifte gerilme azalıyor.Max gerilme alt komşu liflere kayıyor (betonarmede uyum). Çatlak genişliği artıyor, ancak beton ezilmemiş.

εεεεc4 = εεεεcuσσσσc4 = fcu<< fcMax gerilme daha da aşağıdaki liflere kayıyor. Dışlif ezilme (kırılma) deformasyonuna ulaşıyor. Kesit taşıma gücüne erişmiştir, daha fazla moment taşıyamaz. Gerilme dağılımı kırılma anındaki nihai dağılımı göstermektedir.

Beton gerilme - birim kısalma eğrisi

Kiri ş kesitindeki moment

Md1 < Md2 < Md3 < Md4 olacak şekilde aşamalı olarak, beton ezilinceye kadar, artırılırsa kesitteki deformasyon ve iç kuvvetler 1, 2, 3 ve 4 noluşekillerde gösterildiği gibi olur.

1

3 4

Max gerilme ≡ dayanım

2

Teorik gerilme dağılımının basitleştirilmiş eşdeğer modelleri

Teorik gerilme dağılımı, kırılma anındaki dağılımdır. Betonun yaşına, yükleme hızına, sargı donatısına, kesit tipine ve diğer bir çok nedene bağlıolarak az yada çok değişir. Her bir durum için farklı bir gerilme dağılımı vermek imkansızdır. Bu nedenle, doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış, eşdeğer gerilme dağılımı kullanılır. Hesaplar açısından dağılımın şeklinden çok, gerilmenin bileşke kuvvetinin değeri ve etkidiği yer önemlidir. Çünkü, momentin değeri bu kuvvetin değerine ve yerine bağlıdır. Hesapları basitleştirmek açısından, yaklaşık olarak aynı momenti veren (eşdeğer kuvveti ve bu kuvvetin etkime noktası yaklaşık aynı olan), daha basit bir gerilme dağılımı kullanılabilir.

Yukarıdaki şekillerde teorik gerilme dağılımı ve yaygın olarak kullanılan basitleştirilmi ş eşdeğer modelleri (sanal gerilme dağılımı) hem perspektif hem de düzlem olarak verilmiştir. CEB modelinin bir kısmı parabolik bir kısmı da dikdörtgendir, eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı olarak adlandırılır ve Avrupa Birliği ülkelerinde kullanılmaktadır. Amerikan yönetmeliklerinde yer alan ACI modeli daha basit ve dikdörtgendir. Bu iki farklı eşdeğer modelin sonuçları arasındaki fark önemsenmeyecek kadar azdır (%4 civarında). TS 500/2000 doğruluğu kanıtlanmış herhangi bir eşdeğer gerilme dağılımı ile hesap yapılmasına izin vermektedir. Bu nedenle her iki model ile de hesap yapılabilir. Bu iki modelin sonuçları arasındaki fark önemsenmeyecek kadar az olduğundan daha basit olan eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı modeli çoğunlukla tercih edilmektedir.

Teorik gerilme dağılımı Eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı (CEB modeli)

Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı(ACI ve TS 500/2000 modeli)

Deformasyon ve teorik gerilme bloğuEşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu (TS 500 /2000)

ERSOY/ÖZCEBE, S. 107(benzeri)TS500-200, S. 21, madde 7.1

•Teorik gerilme dağılımını kullanarak Fc kuvvetini ve etkidiği noktayı belirlemek zorluk yaratır.•Hesapları basitleştirmek için teorik gerilme dağılımı yerine eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı kullanılabilir (TS 500 /2000).•Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımında gerilmenin şiddeti sabit ve k3fcd dir. Gerilme bloğunun derinliği k1c dir.•Beton basınç kuvveti Fc gerilme bloğunun hacmine eşittir.•Fc kuvveti gerilmenin yayıldığı Acc basınç alanının ağırlık merkezi olan G1 noktasına etkir.•Fc ve etkidiği nokta G1 yaklaşık olarak aynı kalacak şekilde k1 ve k3 sabitleri deneysel araştırmalar ile belirlenmiştir.•k1 ve k3 sabitleri beton kalitesine bağlıdır ve değerleri birden küçüktür. Bu değerler TS 500 / 2000 de verilmiştir.•Önemli olan gerilme bloğunun şekli değil; Fc kuvvetinin ve etkidiği G1 noktasının yaklaşık olarak aynı kalmasıdır. Eşdeğer dikdörtgen gerilme

dağılımı yerine, geçerliliği kanıtlanmış, başka bir dağılım da (örnek: Parabol-dikdörtgen dağılım) kullanılabilir.

iTE

Kiri ş

TE

Sanal gerilme dağılımı

Çelik çekme kuvveti

Taşıma Gücü Varsayımları (TS 500 /2000)

1. Birim şekil değiştirme dağılımı doğrusaldır (şekil değiştirmeden önce düzlem olan kesit şekil değiştirmeden sonra da düzlem kalır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi).

2. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (≈0).3. Beton ve donatı tam kaynaşır, tam kenetlenme (aderans) vardır.

4. Donatı çeliğinin gerilme-birim deformasyon (σs-εs ) eğrisi elasto-plastiktir.

•Çelik akmamış ise HOOKE kanunu geçerlidir:

σs=Es εs (εs< εsd, çelik akmamış ise)

•Akmış çeliğin gerilmesi sabittir:

σs=fyd (εs ≥ εsd , çelik akmış ise)

Anlamı: σσσσs=Es εεεεs ≤≤≤≤ fyd

0.001826365.222x1051.15420S420b

1.15

1.15

1.15

γγγγms

0.002174434.782x105500S500a

0.001826365.222x105420S420a

0.000957191.302x105220S220a

εεεεsd= fyd/ Es

fyd = fyk/ γγγγms

N/mm2

Es

N/mm2

fyk

N/mm2

Çelik sınıfı

Çelik tasarım dayanımları ve akma anındaki deformasyonlar:

TS 500/2000, S. 21, madde 7.1ERSOY/ÖZCEBE, S. 101-107

Birim uzama

s

s

Gerilm

e N

/mm

2

KOPMA

fyd

Tasarım dayanımı

sd

su

Akma anında birim deformasyon

Kopma anında birim deformasyon

Çelik modeli

Eğrinin ihmal edilen kısmı

5. Taşıma gücüne erişildiğinde beton basınç bölgesinin en çok zorlanan lifindeki birim kısalma εc = εcu= 0.003 tür.

birim kısalma

cu=0.003

c

c

fcd

Beton c - c eğrisi

6. Taşıma gücüne erişildiğinde basınçbölgesindeki teorik beton gerilme dağılımıbeton σc - εc eğrisi gibidir.

c

d

Beton

da birim

kı

salm

a

7. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu bölgedeki beton çatlayacağından hiçbir çekme kuvvet alamaz. Buradaki betonun görevi çelik ile kenetlenmeyi (aderans) sağlamak ve kesme-burulma etkilerini karşılamaktır. Çekme kuvvetinin tamamını donatı alır. Çekme bölgesinin geometrisi farklı olan ve aşağıda görülen her üç kesit de özdeştir. Önemli olan basınç bölgesinin geometrisi, donatının yeri ve miktarıdır. Basınç bölgesinin geometrisi, faydalı yükseklik d ve donatı alanı As aynı olan kesitler, çekme bölgesinin geometrisi nasıl olursa olsun, moment kuvveti açısından özdeştir. Bunun anlamışudur: Özdeş kesitlerde deformasyon diyagramı, çelik çekme kuvveti, beton basınç kuvveti ve moment aynıdır. Bu özellikten ilerideki konularda yararlanılacaktır.

d

c

d d

σs= Es εs ≤ fyd

K3 = 0.85 (tüm beton sınıflarında)

0.70≤ k1 ≤ 0.85

k1=0.85 (C16-C25 betonlarında)

k1=1- 0.006 fck (C30-C50 betonlarında)

fck nın birimi N/mm2 dir, fck yerine fcd kullanılmaz!

TE : Tarafsız ekseniTE : Đndirgenmiş Tarafsız Eksenc : Tarafsız eksenin derinliğiεc : Beton birim kısalmasıεcu : Betonun ezilme anındaki birim

kısalması (=0.003)εs : Çelik birim uzamasıa=k1c : Eşdeğer basınç bloğu derinliğifcd : Beton tasarım dayanımık3fcd: Beton eşdeğer gerilmesinin şiddetiFs : Çelik çekme kuvvetiFc : Beton basınç kuvvetiAs : Toplam donatı alanıAcc : Basınç alanıG : Kesit ağırlık merkeziG1 : Fc kuvvetinin etkidiği basınç

alanı ağırlık merkezix : G1 noktasının yerid : Faydalı yükseklik

k1Beton

0.70C50

0.73C45

0.76C40

0.79C35

0.82C30

0.85C16-C25

k1 Katsayısı de ğişimi

8. Teorik gerilme dağılımı yerine TS500-2000 de tanımlanan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu modeli kullanılabilir.

c

d

a=k 1c xx

c

d

Kırılma Türleri

Betonun en çok zorlanan lifi εεεεc= εεεεcu=0.003 birim kısalmasına ulaştığında beton ezilir, eleman moment taşıma kapasitesine erişir ve kırılma konumuna gelir. Bu konumda donatının akıp akmadığına bağlı olarak üç değişik kırılma türü tanımlanabilir:

1. Sünek kırılma (çekme kırılması)2. Gevrek kırılma (basınç kırılması)3. Dengeli kırılma (gevrek)

ERSOY/ÖZCEBE, S. 93

Betonda birim kısalma

Çelikte birim uzama

1. Sünek Kırılma

Sünek kırılma (Çekme kırılması):Betondaki birim kısalma εεεεc= εεεεcu=0.003 değerine ulaşmadan önceçelik akmışsa, yani εεεεs> εεεεsd olmuşsa, çekme kırılması olur. Çünküönceçelik akmakta, uzamaya devam etmekte ve betondaki birim kısalma da giderek artarak εεεεc= εεεεcu=0.003 sınır birim kısalmasına erişerek ezilme olmaktadır. Kırılma sünektir.


Betonda ezilme (sonra !sonra !sonra !sonra !)

Çelikte akma (öööönce !nce !nce !nce !)

HOOKE geçersiz!

2. Gevrek Kırılma

Gevrek kırılma (Basınç kırılması):εεεεs< εεεεsd iken, yani çelik akmadan önce, beton εεεεc= εεεεcu=0.003 birim kısalmasına ulaşırsa basınç kırılması olur. Çünkü beton ezilir fakat çelik akmaz. Kırılma gevrektir.

3. Dengeli Kırılma ≡ Gevrek Kırılma

Dengeli kırılma(gevrek kırılma):Çekme kırılması ile basınç kırılması arasında bir kırılma türüdür. Çelikteki uzama εεεεs= εεεεsdolduğu an (çelik aktığı an), betondaki birim kısalma da εεεεc= εεεεcu=0.003 olmaktadır. Çelik daha fazla uzama imkanıbulamamaktadır. Betonun ezilmesi ve çeliğin akmasıaynı andaolmaktadır. Kırılma gevrektir.

Çelik akmamış!

HOOKE geçerli

Beton ezilmiş

Çelik akmış

Beton ezilmiş

Ayn

ıan

da

c

d

c

d

Sünek kırılma ani olmaz. Çökme oluşmadan önce bir süre aşırı çatlaklar, deplasmanlar oluşur, sıva ve beton parçacıkları dökülür. Yapı çökeceğini haber verir. Önlem almak ve yapıyı boşaltmak için zaman tanır.

Gevrek kırılma hemen hiçbir belirti vermeden, genelde patlama sesi ile birlikte, ani olur. Yapı yıkılmadan önce hemen hiçbir belirti vermediğinden önlem alma veya boşaltma şansı kalmaz. Gevrek kırılma tehlikelidir!

Hiçbir yapı elemanı kırılacak şekilde boyutlandırılmaz. Ancak, öngörülemeyen herhangi bir nedenle kırılacaksa, kırılmanın haberli, yani sünekolması arzu edilir.

Sünek davranışı sağlamak için:• Yönetmelik şartları mutlaka yerine getirilmeli.• Bilhassa kolon boyutlarında cömert davranılmalı, eksenel yük düzeyi düşük tutulmalı.•Sık sargı (etriye,fret) kullanılmalı. •Boyuna donatılar nervürlü olmalı. •L, Z, T gibi kesitlerden olabildiğince kaçınılmalı.

Kirişler

Kiriş

Kolon

?

Döşeme

Kiri şler genelde duvarların altına yapılan, duvar, döşeme ve kendi yüklerini taşıyan çoğunlukla yatay betonarme elemanlardır. Üzerindeki yükleri oturduğu düşey elemanlara (kolonlara) aktarır. Kirişlerin bir diğer önemli işlevi de deprem veya rüzgâr gibi yatay yükleri, döşeme ile bir bütün davranarak, kolonlara aktarmaktır.

Uygulamada yatay elemanlara KĐRĐŞ, düşey elemanlara da KOLON denilmektedir. Ne yatay ne de düşey olan, EĞĐKelemanlara ne denilecektir? Yapı statiği derslerinden bilindiği gibi, çubuk eleman ister yatay ister düşey ister eğik olsun, kolon kiriş ayırımı yapılmaz. Elemanın konumu nasıl olursa olsun, en genel halde, çubuk elemanda altı adet iç kuvvet oluşur: Bir eksenel kuvvet, iki eğilme momenti, iki kesme kuvveti ve bir burulma momenti. Yatay elemanlarda sadece bir eğilme momenti ve bir kesme kuvveti etkin olurken diğer iç kuvvetler çoğu kez önemsenmeyecek düzeyde kalırlar. Düşey elemanlarda altı adet iç kuvvetin genelde hepsi de etkin olur. Bu nedenle yatay elemanlar ile düşey elemanların davranışları da çok farklıdır. Đç kuvvet açısından eğik elemanlar, eğimin büyüklüğüne-küçüklüğüne bağlı olarak, bu iki durum arasındadırlar.

TS500-2000 ve Deprem Yönetmeliği-1997 bir elemanın kiriş olarak boyutlandırılabilmesi için Nd eksenel tasarım kuvvetinin

Nd ≤ 0.1 fckAc

koşulunu sağlaması gerektiğini yazmaktadırlar. Bu koşulu sağlamayan, yani eksenel kuvvet düzeyi yüksek olan elemanlar, ister yatay, ister düşey veya eğik olsunlar, kolon olarak boyutlandırılmak zorundadırlar. Bu bağıntıda fckbetonun karakteristik dayanımı ve Ac elemanın kesit alanıdır.

Konsol kiriş

h h

Boyuna donatının kesitteki yerine göre iki farklıkesit tipi vardır:

Tek donatılı kesit: Hesapla bulunan donatı kesitin çekme tarafına konur. Basınç bölgesine hesap dışı(konstrüktif) montaj donatısı konur.

Çift donatılı kesit: Kesitin hem çekme hem de basınç bölgesine hesapla bulunan donatı konur. Basınç bölgesine konan donatı çekme değil, basınçetkisindedir. Basınç donatısı kesitin dayanımını ve sünekliğini artırır.

Kesit tipleri

bw :genişlikh : yükseklikAs : çekme donatısının toplam alanıA’ s :montaj veya basınç donatısının toplam alanı

Kiri ş kesitleri çoğunlukla dikdörtgen ve tablalı; nadiren trapez, kutu ve üçgen olur.

Kiri şler öncelikle moment ve kesme kuvveti etkisindedir. Normal kuvvet etkisi genelde düşüktür. Burulma momenti nadiren dikkate alınacak düzeye varır. Moment (kuvvet çifti) kiri şin bir tarafına çekme, diğer tarafına da basınç kuvveti uygular. Çekme kuvveti kirişte dik çatlaklar oluşturur. Bu kuvveti karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak için kirişin çekme bölgelerine boyuna donatı konur. Kesme kuvveti mesnet bölgelerinde eğik çekme kuvvetleri oluşturur ve eğik çatlaklara ( ≈450) neden olur. Kesme kuvvetini karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak amacıyla, kiriş açıklıklarda seyrek mesnet bölgelerinde daha sık etriye ile sarılır.

dikdörtgen tablalı trapez kutu üçgen

Dikdörtgen Kesit

çekme donatısı

Montaj donatısı basınç donatısı

etriyeetriye

Tablalı KesitTS 500/2000, S. 19-20


21111 21 ,2

1 ,6 ababtb ≤≤≤

Tabla kulağı b1 döşeme kalınlığının 6 katını ve komşu kiriş yüzüne olan net uzaklığın yarısınıaşamaz. Kirişin, balkon veya saçak döşemeli kenar kiriş, iç kiriş ve kenar kiriş olma durumuna ait sınırlamalar şekil üzerinde gösterilmiştir. Lhkirişin hesap açıklığıdır. Simetrik tablalı kesitSimetrik olmayan,

balkon veya saçak döşemeli tablalı kesitαααα sayıları: Basit kiriş

kenar açıklık orta açıklık

konsol

Döşeme ve kiriş betonu bir bütün dökülmüş ise ve döşeme

betonu kirişin basınç bölgesinde ise, döşemenin b genişliğindeki

bir parçası hesaplarda kirişin basınca çalışan tablasıolarak

dikkate alınır. b ye etkili tabla genişliği veya çalışan tabla

genişliği denir. Tabla, beton basınç alanının büyümesine neden

olur. Tablası dikkate alınan kirişler T, L ve I kesitli olabilirler.

Döşeme plağının büyük olması durumunda tablanın tamamı

basınca çalışmaz. Tabladaki basınç gerilmeleri kiriş gövdesinden

uzaklaştıkça hızla azalır. Yapılan araştırmalar sonucunda b

çalışan tabla genişliği sınırlandırılmış ve yönetmeliklerde

verilmiştir.

Çalışan tabla genişliğinin sınırlandırılması:

Her açıklıkta hesaplanan b değerlerinden en küçüğü o açıklığın tabla genişliğinin üst sınırıdır. Hesaplarda daha da küçük alınabilir. Dikkat edilirse, Kiriş boyunca her açıklıkta tabla genişliği farklı olmaktadır. Đstenirse, bunlardan en küçüğü kullanılarak, her açıklığın tabla genişliği eşit alınabilir. Hatta tabla tamamen ihmal edilerek dikdörtgen kesit (bw

.h) olarak hesap yapılabilir. Ancak bu, gerçekte var olan, basınçbölgesinin bir kısmının veya tamamının ihmal edilmesi anlamına gelir ve kirişe daha fazla donatı koymak zorunda kalınır. Büyük açıklıklıkirişlerde, dişli döşeme dişlerinde, köprü kirişlerinde ve prefabrik yapılarda tablanın ihmali, ekonomik açıdan, doğru olmaz.

hw

w

Lbbb

tbbb

α1.0

6

2

2

++≤++≤

hw

w

Lbb

tbb

α2.0

12

+≤+≤

b

bw

As

b1 b1

h

L h

t

Kiriş

Kiriş

Kiriş

hw

w

Lbb

tbb

α1.0

6

+≤+≤

Simetrik olmayan tablalı kesit

kenar açıklık

eşdeğeri

eşdeğeri

Tablalı Kesit – Eşdeğer kesit

•Tabla basınç bölgesinde ise hesaplarda dikkate alınır.•Çekme bölgesindeki tabla hesaplarda dikkate alınmaz. Çünkü; çekme bölgesindeki tabla betonu çatlar. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu durumda kesit, bw

. h boyutlu eşdeğer dikdörtgen kesit imiş gibi düşünülür.

Soldaki her iki kesit için tabla dikkate alınır. Çünkütabla basınç bölgesindedir. Her iki kesit de tablalıolarak hesaplanacaktır.

Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Fiziksel olarak var olmasına rağmen, hesaplarda tabla dikkate alınmayacaktır. Kesit sağdaki dikdörtgen kesit olarak hesaplanacaktır.

Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Hesaplarda tabla dikkate alınmayacaktır. Kesit sağdaki dikdörtgen kesit olarak hesaplanacaktır.

Kutu Kesit

Daha çok sanayi yapılarında ve köprü kirişlerinde karşılaşılan kutu kesitler eşdeğer tablalı kesit gibi hesaplanabilirler. Çünkü basınç bölgesi alanı ve ağırlık merkezi değişmemektedir. Ancak b ve b’ çalışan tabla genişliği yukarıda verilen şartları sağlamalıdır. Momentin etkime durumuna bağlı olarak, çekme tarafında kalan tabla dikkate alınmayacaktır. Bu nedenle, hesaplanacak kesit T veya ⊥ olmaktadır.

b≤2b1+12t1

b’≤2b1+12t2

b≤2b1+0.2αLh

b’≤2b1+0.2αLh

Eşdeğeri

Eşdeğeri

Tanımlar

FAYDALI YÜKSEKL ĐK: Çekme donatısının ağırlık merkezinin en dış basınç lifine uzaklığıdır, şekillerde d ile gösterilmiştir.

BETON ÖRTÜSÜ: Kiri ş yüzüne en yakın olan boyuna donatının merkezinin kiriş yüzüne mesafesidir. Beton örtüsüne uygulamada pas payı da denilmektedir. Şekilde c ile gösterilmiştir.

NET BETON ÖRTÜSÜ: En dıştaki donatının (çoğunlukla etriyenin) dış yüzünün beton yüzüne olan mesafesidir. Kenetlenmeyi sağlamak, paslanmayı önlemek ve yangına dayanımı artırmak gibi amaçları vardır. Şekilde cc ile gösterilmiştir.

DONATI NET ARALI ĞI: Donatı çubuklarının yüzleri arasındaki mesafedir. Şekilde c’c ile gösterilmiştir. Agreganın geçebilmesi, betonun sıkıştırılabilmesi ve kenetlenmenin sağlanabilmesi için yeterli net aralık bırakılmalıdır.

ÇEKME DONATISI: Çekme kuvvetini karşılamak amacıyla kirişin çekme tarafına konulan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde çekme donatısının toplam alanı As ile gösterilmiştir.

MONTAJ DONATISI: Kiri şin basınç tarafına konulan fakat basınç kuvveti almadığı varsayılan donatıdır. En az iki çubuk konur. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra veya tabla (varsa) içine de yerleştirilebilir. Şekilde montaj donatısının toplam alanı A’s ile gösterilmiştir.

BASINÇ DONATISI: Dikdörtgen kesitli kirişlerin basınç tarafına bazen konulan ve basınç kuvveti alan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde basınç donatısının toplam alanı A’s ile gösterilmiştir.

GÖVDE DONATISI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulan donatıdır. Şekilde gövde donatısınının toplam alanı Asgövdeolarak gösterilmiştir.

BOYUNA DONATI: Kiri ş eksenine paralel olan çekme, montaj (veya basınç) donatılarına verilen addır. Bu donatılar kiriş genişliğine sığmalı ve aralarında, kenetlenmeyi sağlamak için, yeterli mesafe olmalıdır. Kiriş genişliğine donatıların sığmaması durumunda 1. kiriş genişliğini artırmak 2.bazılarınıtabla içine yerleştirmek 3.çift sıra donatı düzenlemek gibi tedbirler alınır.

ENĐNE DONATI: Boyuna donatılara dik olarak yerleştirilen ve boyuna donatıları saran donatıya verilen addır. Sargı donatısı veya etriye de denir. Açıklıklarda seyrek, mesnet bölgelerinde ve konsollarda sık yerleştirilir.

As

h

d

bw

t

bc c

A’s

c’c

Çekme donatısı ağırlık merkezi

c’c

c

h

d

t

c c

c

Tanımlar-Donatı oranları

DONATI ORANI: Donatı kesit alanının brüt beton alanına oranıdır. Brüt beton alanı hesabında yükseklik olarak h değil d alınır. Donatı alanı beton alanından düşülmez. Kesitin sadece gövde alanı dikkate alınır, tabla kulaklarıgibi çıkıntılar dikkate alınmaz. Çekme donatısı, montaj (veya basınç) donatısı, gövde donatısı ve etriye için ayrı ayrı donatı oranı tanımlanır. Donatı oranınısimgesi için ρ karakteri kullanılır:

ÇEKME DONATISININ ORANI: Çekme bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

db

A

w

s=ρ

db

A'

w

's=ρ

MONTAJ veya BASINÇ DONATISININ ORANI: Montaj veya basınçkuvveti almak amacıyla basınç bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

GÖVDE DONATISININ ORANI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

db

A

w

gövdegövde =ρ

ETRĐYE DONATISININ ORANI: Bu oranı:

w

sww b s

A=ρ

ile tanımlanır. Burada s etriye adımı (aralığı), Asw etriyedüşey kollarının toplam kesit alanıdır. Kirişler genellikle iki düşey kolu olan etriye ile sarılırlar. Ancak, bazı durumlarda dört, altı veya daha fazla kollu da olabilir. Örneğin; Şekildeki dikdörtgen kesitin etriyesi iki kollu, kutu kesitin ise altı kolludur. Asw etriye alanı, bir kolun kesit alanı ile düşey kol sayısının çarpımıdır.

bw/2 bw/2

dh

b

A’s

As

Üç etriyeli kesit

Kirişler-dengeli donatı oranı tanımı

Dengeli kırılan kesitin donatı oranına dengeli donatı oranıadı verilir ve ρb ile gösterilir. Dengeli kırılmada donatının akması ve betonun ezilmesi aynı anda olur. Donatıdaki deformasyon εsd(σs=fyd) akma deformasyonuna ulaştığı an betonun deformasyonu da εcu=0.003 e ulaşır, beton ezilir ve ani göçme olur.

Dengeli kırılma donatı oranı, sünek kırılma ile gevrek kırılma arasındaki bir sınır değer olduğundan, önemlidir. Dengeli kırılma oranıρb sünek kırılma donatı oranının üst sınırı, gevrek kırılma oranının alt sınırıdır. b indisi dengeli (balanced) anlamındadır. Bu oran bilindiği taktirde kiriş bu oranın altında donatılarak gevrek kırılma önlenir.

db

A

w

sbb =ρ


Betonda ezilme

Çelikte akma

Ayn

ıan

da

Asb :dengeli kırılmaya neden olan toplam donatı alanı

ρb :dengeli kırılmaya neden olan donatı oranı

Kirişler-dengeli, denge üstü ve denge altı donatılı kesit tanımı

Dengeli donatılı kesit: Donatı oranı dengeli kırılmaya neden olacak kadar olan kesite denir: ρ = ρb.

Denge üstü donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından fazla olan kesite denir: ρ > ρb.

Denge altı donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından az olan kesite denir: ρ < ρb.

Kırılma türleri donatı oranlarına göre de sınıflandırılabilir:

1.Dengeli donatılı kesit (ρ = ρb) gevrek kırılır.

2.Denge üstü donatılı kesit (ρ > ρb) gevrek kırılır.

3.Denge altı donatılı kesit (ρ < ρb) sünek kırılır.

•Sünek kırılma arzu edilen kırılma şeklidir!•Gevrek kırılma tehlikelidir!•Dengeli kırılma (gevrek) tehlikelidir! •Dengeli donatı oranıρb sünek kırılma donatı oranının üst sınırıdır.•Kiri şler denge altı donatılmalı, yani daima ρ < ρb olmalıdır. Bu bakımdan, ρb dengeli donatı oranının bilinmesi önemlidir.


Tehlikeli !

Tehlikeli !

bwbw

c bk 1c b

d

a=k 1c b

TEk 1c b/2

h

d-c

b

k 1c b/2

d-k

1c b/2

bw

Tek donatılı ve dikdörtgen kesitli bir kirişin dengeli kırılmasına neden olan donatı alanı, donatı oranı ve bu kirişin moment taşıma gücünün hesabı

Kesit boyutları (bw , h, d) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir. Dengeli kırılmaya neden olacak toplam donatı alanı Asb ve donatı oranıρb nedir?Kesitin moment kapasitesi Mb (moment taşıma gücü) ne kadardır?

ERSOY/ÖZCEBE, S. 232-233

db

A

w

sbb =ρ

Dengeli donatı oranı (tanım):

Uygunluk (süreklilik) ko şulu (deformasyon diyagramından orantı ile):

b

b

sd cd

c

−=

ε003.0

dcsd

b ε+=

003.0

003.00.001826S420b

0.002174S500a

0.001826S420a

0.000957S220a

εεεεsd= fyd/ EsÇelik sınıfı

Çelik akma deformasyonları

Tarafsız eksenin yeri (derinliği) bulunur. Burada εsd=fyd/Es dir ve çelik sınıfına bağlı değerler tabloda verilmiştir.

dh

d-k

1c b/2

k 1c b/2

c bd-c

b

a=k 1c b

a=k 1c b

Eksenel denge koşulu (gerilme diyagramından):

Fc-Fs= 0 � 0.85fcd bw k1 cb-Asbfyd= 0 �

Her iki taraf bwd ye bölünür ve cb yerine konursa:

bwyd

cdsb ckb

f

fA 185.0=

d

ck

f

f

db

A b

yd

cd

w

sb185.0=

d

ck

f

f b

yd

cdb 185.0=ρ

Dengeli donatı oranı bulunur. Bu oran sadece malzemeye bağlıdır (fcd, k1 betona; fsd, εsdçeliğe ait sabit değerler). Değişik malzeme için ρb değeri hesaplanabilir.

sdyd

cdb k

ff

ερ

+=

003.0

003.085.0 1

Moment kapasitesi (moment taşıma gücü):

)2

( 1 bydsbb

ckdfAM −=

Dengeli donatı oranının bilinmesiçok önemlidir, çünkü:•Bir kiri ş dengeliveya denge üstüdonatılmışsa gevrek kırılır (TEHLĐKELĐ !).•Bir kiri ş denge altıdonatılmışsa sünek kırılır (ĐSTENEN KIRILMA TÜRÜ!).

Dikdörtgen kesitli kirişlerde dengeli donatı oranları

γγγγ mc=1.7γγγγ mc=1.5γγγγ mc=1.4BetonÇelik

0.0264

0.0248

0.0230

0.0209

0.0186

0.0161

0.0128

0.0116

0.0103

0.0338

0.0317

0.0293

0.0267

0.0237

0.0205

0.0164

0.0148

0.0131

0.0477

0.0378

0.0382

0.0305

0.02330.0283C50S500

0.02190.0266C45S500

0.02030.0246C40S500

0.01840.0224C35S500

0.01640.0199C30S500

0.01420.0172C25S500

0.01130.0138C20S500

0.01020.0124C18S500

0.00910.0110C16S500

0.02980.0362C50S420

0.02800.0339C45S420

0.02590.0314C40S420

0.02350.0286C35S420

0.02090.0254C30S420

0.01810.0220C25S420

0.01450.0176C20S420

0.01300.0158C18S420

0.01160.0141C16S420

0.04210.0511C25S220

0.03370.0409C20S220

0.03030.0368C18S220

0.02700.0327C16S220

S220/C16 , γmc=1.5 için örnek:

fcd = 16/1.5=10.67 N/mm2

fyd = 220/1.15=191.30 N/mm2

k1 = 0.85

Es = 2.105 N/mm2

εsd = 191.30/ 2.105 = 0.000957

0305.0

000957.0003.0

003.085.0

30.191

67.1085.0

=

+=

b

b

ρ

ρ

0.0186(1.5/1.7) = 0.0164

0.0186(1.5/1.4) = 0.0199

Not:

sdyd

cdb k

ff

ερ

+=

003.0

003.085.0 1

ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 (benzeri)

0.1

8.0

yd

ctd

yd

ctd

f

f

f

f

≥

≥

ρ

ρ

Dengeli donatı oranı teorik üst sınır değerdir. Güvenlik nedeniyle, uygulamada kirişin donatı oranı bu üst sınırdan bir miktar daha uzak (küçük) kalmalıdır. Donatı oranı sıfır olamaz. O halde donatı oranının alt sınırı da olmalıdır.

TS500-2000 ve Deprem yönetmeliği-1997 tek donatılı kirişlerin çekme donatısı oranını aşağıdaki gibi sınırlandırmıştır.

Donatı oranının üst sınırı:

Tek donatılı Kirişler- Donatı oranı üst ve alt sınırları

(mesnetlerde)

02.0

85.0

≤≤

ρρρ b

Donatı oranının alt sınırı:

(çekme bölgelerinde)

(açıklıklarda çekme tarafında)

TS500-2000, S. 23Deprem Yönetmeliği-1997, S. 42


2007 de yürürlüğe girecek olan yeni deprem yönetmeliğinde bu bağıntıdaki 1.0 değeri 0.8 olarak verilmektedir.

ÇÖZÜM:Mevcut donatı alanı ve oranı: As= 1018 mm2, ρ = 1018/(250 . 470) = 0.0087Malzeme katsayıları: γmc= 1.5, γms= 1.15Malzeme tasarım dayanımları: fcd= 20/1.5 = 13.33 N/mm2 , fctd= 1.6/1.5 = 1.07 N/mm2, fyd = 420/1.15 = 365.22 N/mm2

Diğer: k1 = 0.85 , Es= 2.105 N/mm2 , εsd= 365.22/ 2.105 = 0.001826 (akma anında çelik deformasyonu)

Dengeli kırılma halinde tarafsız eksenin derinliği: cb = 0.003.470/(0.003+0.001826) = 292 mmDengeli kırılmaya neden olan donatı oranı:ρb = 0.85.13.33. 0.85.292/(365.22.470) = 0.0164 (bu değer doğrudan tablodan da alınabilirdi).

Kiri ş denge altı mı? Kontrol:ρ = 0.0087< 0.85 ρb = 0.85 . 0.0164 = 0.0139

olduğundan kiriş denge altı donatılmıştır, kırılma sünek olur.

Donatı sınırları kontrolü:

ρ = 0.0087 < 0.85 ρb = 0.0139�ρ = 0.0087 < 0.02�ρ = 0.0087 > 0.8.1.07/365.22 = 0.0023�olduğundan donatı oranı yönetmeliklere uygundur.

ÖRNEK

dcsd

b ε+=

003.0

003.0

d

ck

f

f b

yd

cdb 185.0=ρ

8.0yd

ctd

f

f≥ρ

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış bir kirişin açıklık kesiti.Malzeme: C20/S420a.

Đstenen:Kesit dengeli mi, denge altı mı, denge üstü mü donatılmıştır? Kırılma nasıl olur? Belirleyiniz.Mevcut donatı yönetmeliklere uygun mu? Kontrol ediniz.

470

500 m

m

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılmış kirişin taşıma gücü

Kesit boyutları (bw, d, h), donatı alanı (As ) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir. Denge altı donatılıolduğu varsayılan kesitin moment taşıma gücü ( Mr ) ne kadardır?

bw bwbw

c

iTE

iTE

k 1c

d

a=k 1c

iTE

TE

TE

k 1c/2

h d-c

k 1c/2

d-k

1c/2


Eksenel kuvvet dengesi:

cd

yd

f

f

k

dc

185.0ρ=

Kiri şin moment taşıma gücü:

Fs=Fc kuvvet çiftinin momenti kirişin kırılma anındaki momentini, yani moment taşıma gücünü verir.

Mr = Fs (d-k1c/2) = Fc (d-k1c/2) olur. Mr yi çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir:

ydswcdsc fAckbfFF =→= 185.0

)2

( 1ckdfAM ydsr −=

Tarafsız eksenin yeri:

Denge altı donatılı kesitlerde önce çelik akar, εs > εsd, σs= fyd olur. Çelik uzamaya devam ederken betondaki birim kısalma da giderek artar, εc = εcu= 0.003 olur ve beton ezilir. Kırılma sünektir (çekme kırılması). Yönetmelikler sadece denge altı donatılı kesitlere izin verirler:

ρ = As / (bw d) ≤ 0.85 ρb.

olmak zorundadır.

dh

d-k

1c/2

k 1c/2

cd-c

a=k 1c

a=k 1c

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü- ÖRNEK

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g (sabit) ve q (hareketli) karakteristik yükleri , malzemesi: C20/S420a.

Đstenen:Kiri ş verilen yükleri güvenle taşıyabilir mi?

ÇÖZÜM:Kiri şin güvenli olması için,1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı:

ρ≤0.85 ρb , ρ≤0.02 (max donatı oranı)ρ≥0.8 fctd /fyd (min donatı oranı)

2) Kirişin taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı:

ERSOY/ÖZCEBE, S. 236(benzeri)

dr MM ≥

C20/S420a malzemesi için:

γmc=1.5, γms=1.15

fck=20 N/mm2, fctk=1.6 N/mm2 , fyk=420 N/mm2

k1=0.85, Es=2.05 N/mm2

fcd=20/1.5=13.33 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2

fyd=420/1.15=365.22 N/mm2

ρb=0.0164 (tablodan. ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 den de ρb=0.0160 alınabilir)

Tasarım momenti:

Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten)

Mq=10.52/8 = 31.3 kN.m (hareketli yükten)

Md = 1.4.62.5+1.6.31.3 = 137.6 kN.m (tasarım momenti)

Tarafsız eksenin yeri ve moment kapasitesi:

c = 0.0087.470.365.22/(0.85. 0.85.13.33) = 155 mm.

Mr = 1018.365.22(470-0.85.155/2) = 150251234 N.mm

Mr=150.3 kN.m (moment taşıma gücü)

Mr = 150.3 kN.m > Md = 137.6 kN.m

olduğundan kiriş verilen yükleri güvenle taşır. �

Donatı oranı kontrolü:

As=1018 mm2, ρ = 1018/(250.470) = 0.0087

ρ = 0.0087 < 0.85ρb = 0.85. 0.0164 = 0.0139 (denge altı donatılı) �

ρ = 0.0087 < 0.02 �

ρ = 0.0087 > 0.8. 1.07 /365.22 = 0.0023 �

Kar

akteristik

yü

k etki

leri

cd

yd

f

f

k

dc

185.0ρ=

)2

( 1ckdFAM ydsr −=

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g karakteristik sabit yükü,malzemesi: C20/S420a.

Đstenen:Kiri şin güvenle taşıyabileceği maksimumq karakteristik hareketli yükü ne kadardır?

ÇÖZÜM:

Kiri şin güvenli olması için,1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı:

ρ ≤ 0.85 ρb , ρ ≤ 0.02 (max donatı oranı)ρ ≥ 0.8 fctd / fyd (min donatı oranı)

2) Kirişin taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı:

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü- ÖRNEK

dr MM ≥

ERSOY/ÖZCEBE, S. 238(benzeri)

C20/S420a malzemesi için:γmc= 1.5, γms= 1.15

fck = 20 N/mm2, fctk = 1.6 N/mm2 , fyk = 420 N/mm2

k1 = 0.85, Es= 2.05 N/mm2

fcd= 20/1.5 = 13.33 N/mm2, fctd= 1.6/1.5 = 1.07 N/mm2

fyd = 420/1.15 = 365.22 N/mm2

ρb = 0.0164 (tablodan. ERSOY/ÖZCEBE, Sayfa 235 den de ρb = 0.0160 alınabilir)

30500 m

m


As= 1018 mm2, ρ = 1018/(250.470) = 0.0087

ρ = 0.0087 < 0.85ρb=0.85. 0.0164=0.0139 (denge altı donatılı)�

ρ = 0.0087 < 0.02 �

ρ = 0.0087 > 0.8. 1.07 /365.22=0.0023 �

Tarafsız eksenin yeri ve moment kapasitesi:

c = 0.0087.470.365.22/(0.85. 0.85.13.33) = 155 mm.

Mr = 1018.365.22(470-0.85.155/2) = 150251234 N.mm

Mr = 150.25 kN.m (moment taşıma gücü)

Tasarım momenti:

Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten)

Mq = q . 52/8 = 3.125q kN.m (hareketli yükten)

Md = 1.4.62.5+1.6 .3.125q = 87.5+5.0q (tasarım momenti)

Kiri şin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik yükü:

Md ≤ Mr olmalı.

87.5+5.0q≤ 150.25

q = 12.55 kN/m bulunur.

Çift donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü

db

A

db

A

w

s

w

s

''

=

=

ρ

ρ (çekme donatısı oranı)

(basınç donatısı oranı)


Tek donatılı kirişin moment kapasitesi yetersiz kaldığında, kapasiteyi artırmak için ya kiriş kesiti (bw. d) büyütülür

yada basınç bölgesine de donatı konur. Şekilde basınç donatısı A’s ile çekme donatısı da As ile gösterilmiştir. Montaj donatısı basınç donatısı olarak algılanmaz!

Đç kuvvetler 1.modelin ve 2.modelin toplamı olarak düşünülebilir. As = As1+ As2 dir. Dengeli donatı durumundaA ’

s akar, öyleyse σ’ s =fyd , F’s=Fs2 , A’s=As2, As1=As-A

’s olur. Dengeli kırılma As1 donatısının akması, uzaması ve

daha sonra da betonun ezilmesi ile olur. Çünkü, ikinci modelde beton kuvveti yoktur, sadece çelik çubuklarda kuvvetler vardır. As2 ve A’s sünek malzemelerdir; aksalar dahi, beton olmadığı için, ikinci modelde gevrek kırılma olmaz. O halde kırılmanın türünü tek donatılı olan birinci model belirleyecektir. Bu nedenle, As1 donatısının oranı, tek donatılı kesite ait ρb den küçük olmalıdır.

Çekme donatısı

Basınç donatısı

b'

w

's

w

s

w

'ss

bw

1s

db

A

db

A

db

AA

db

A ρρρρ ≤−⇒−=−

⇒≤

02.0

85.0'

≤≤−

ρρρρ b

TS500-2000, güvenlik ve süneklik nedeniyle, ρ - ρ’ ve ρ oranlarını aşağıdaki gibi sınırlamaktadır:

1. Modeldeki As1 donatısının oranı:

Eksenel denge : Fc+ F’ s- Fs= 0 Moment taşıma gücü: Mr = Fc (d-k1c/2)+F’s (d-d’)

Beton bileşke kuvveti : Fc = 0.85fcd bw k1c

Basınç donatısı kuvveti : F’ s= A’ sσ ’ s (σ ’ s = Esε’ s ≤ fyd)

Çekme donatısı kuvveti : Fs= Asfyd

Eksenel denge :

Moment taşıma gücü : (2) )()2

(85.0 '''11 ddA

ckdckbfM sswcdr −+−= σ

(1) Ve (2) bağıntılarında sadece c ve σ’s bilinmiyor!

(4) 003.0'

'''ydssydsss f

c

dcEfE ≤−⋅=⇒≤= σεσ

Uygunluk koşulu :

Çözüm, basınç donatısının akıp akmadığına bağlıdır! Akmışsa σ’ s=fyd alınacaktır , akmamışsa σ’ s = Esεs den hesaplanacaktır. Basınç donatısı, en çok zorlanan beton lifine yakın olduğundan, uygulamada genellikle akar. Moment kapasitesinin hesabı için aşağıdaki yol izlenir.

Basınç donatısı gerilmesi :

TS500-2000, S. 23

Deprem Yönetmeliği-1997, S. 42


(3) 003.0003.0

''

''

c

dc

c

dcs

s −=⇒−= εε

(1) 085.0 ''1 =−+ ydssswcd fAAckbf σ

Hesap sırası:

1. Kesit denge altı mı? bak; ρ - ρ’ ≤ 0.85 ρb olmalı! ρ nun alt ve üst sınırlarını kontrol et.

2. A’s basınç donatısının aktığını varsay, σ’

s= fyd al, (1) de yerine koy c yi hesapla:

3. σ’sdeğerini hesapla:

a) σ’ s ≥ fyd ise A’s basınç donatısıakmıştır , yani varsayım ve hesaplanan c doğrudur . Bu c ve σ’

s= fyd

değerini (2) ifadesinde yerine koy Mr yi bul, hesabı bitir.

b) σ’s< fyd ise, basınç donatısıakmamıştır , yani varsayım ve hesaplanan c doğru değildir . ( 4) ifadesinin (1)

de yerine konmasıyla bulunan

bağıntısındanc nin yeni değerini ve değerini hesapla, bu c ve σ’s son değerlerini

(2) de yerine yaz, Mr yi bul, hesabı bitir.

003.0'

'

c

dcE ss

−=σ

0003.0)003.0(85.0 '''21 =−−+ dAEcfAAEckbf ssydssswcd

1

'

85.0

)(

kbf

fAAc

wcd

ydss −=

c

dcEss

'' 003.0

−⋅=σ

Çift donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı kirişin taşıma gücü

Çift donatılı dikdörtgen kesit-ÖRNEK

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesitboyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’

s=520 mm2. Malzeme: C16/S420a

Đstenen:Kiri şin taşıma gücü ne kadardır?

ÇÖZÜM:


γmc=1.5, γms=1.15


k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2

fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2

fyd=420/1.15=365.22 N/mm2


1. Donatı oranı kontrolü:

As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117

A ’s=520 mm2, ρ’ =520/(300.450)=0.0039

ρ b =0.0135 (ERSOY/ÖZCEBE, S. 235, çizelge 5.1)

0.0117-0.0039= 0.0078 <0.85.0.0135=0.0115 �(kiriş denge altıdır).

ρ = 0.0117<0.02 � (max kontrolü)

ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 �(min kontrolü)

30

480 mm

30

2. A ’s basınç donatısıakmış varsayalım: σ’

s =fyd= 365.22 N/mm2

c=(1580-520)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)= 167.4 mm

3.

a) σ’s>fyd , yani A’

sdonatısıakmıştır. Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğrudur :

)30450(22.365520)2/4.16785.0450(4.16785.030067.1085.0 −⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=rM

mkN 4.226mmN 226437665 ⋅≈⋅=rM

Çift donatılı dikdörtgen kesit-ÖRNEK ERSOY/ÖZCEBE, S. 244

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesitboyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’

s=1200 mm2. Malzeme: C16/S420a

Đstenen:Kiri şin taşıma gücü ne kadardır?

ÇÖZÜM:

C16/S420a malzemesi için

γmc =1.5, γms=1.15


k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2

fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2

fyd=420/1.15=365.22 N/mm2

30

480 mm

30

1

'

85.0

)(

kbf

fAAc

wcd

ydss −=

003.0'

'

c

dcEss

−=σ

)()2

(85.0 '''11 ddA


225' N/mm 22.365N/mm 47.4924.167

304.167102003.0 =>=−⋅⋅= yds fσ

225' N/mm 22.365N/mm 86.342 70

3070102003.0 =<=−⋅⋅= yds fσ

1. Donatı oranı kontrolü:

As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117

A ’s=1200 mm2, ρ’ =1200/(300.450)=0.0089

ρ b =0.0135 (ERSOY/ÖZCEBE, S. 235, çizelge 5.1)

0.0117-0.0089= 0.0028 <0.85.0.0135=0.0115 �(kiriş denge altıdır).

ρ = 0.0117<0.02 � (max kontrolü)

ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 �(min kontrolü)

2. A ’s basınç donatısıakmış varsayalım: σ’ s =fyd=365.22 N/mm2

c=(1580-1200)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)=60 mm

3.

b) σ’ s <fyd, yani A’sdonatısıakmamıştır . Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğru değildir!

0.85.10.67.300.0.85 c2+(0.003.2.105.1200-1580.365.22) c-0.003.2.105.1200.30=0

2313 c2+142952 c-21600000=0

c2+62 c-9339=0� c= 70 mm

225' N/mm 22.365N/mm 30060

3060102003.0 =<=−⋅⋅= yds fσ

)30450(86.3421200)2/7085.0450(7085.030067.1085.0 −⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=rM

mkN 8.240mmN 240835954 ⋅≈⋅=rM

1

'

85.0

)(

kbf

fAAc

wcd

ydss −=

003.0'

'

c

dcEss

−=σ

0003.0)003.0(85.0 '''21 =−−+ dAEcfAAEckbf ssydssswcd

003.0'

'

c

dcEss

−=σ

)()2

(85.0 '''11 ddA


Tablalı kesitin taşıma gücü

c

d-c

h d

a/2

a=k 1c

t

a

d-a/2

a/2

a ≤≤≤≤ t durumu (basınçalanı ve basınç bloğu

dikdörtgen)

Tablalı kesitlerde, eşdeğer dikdörtgen basınç bloğunun tabla içinde kalması veya tabla altına sarkmasına bağlı olarak, iki farklıdurum vardır. Basınç bloğu derinliği a ≤ t durumunda basınç bloğu tabla içindedir ve Acc basınç alanı dikdörtgen şeklindedir. a>t durumunda basınç bloğu tabla altına sarkmaktadır ve Acc basınç alanı T şeklinde olur. Bu iki farklı durum aşağıda gösterilmiştir.

basınç alanı dikdörtgen basınç bloğu dikdörtgen

cd-c

h d

x

a=k 1c

t

a

d-x

x

basınç alanı T şeklinde basınç bloğu T şeklinde

a >t durumu (basınçalanı ve basınç bloğu T

şeklinde)

Tablalı kesitlerde donatı oranı ve dengeli donatı oranı:

Tablalı kesitlerde donatı oranı dikdörtgen kesitlerdeki gibidir. Dengeli donatı oranı ise farklıdır.

db

A

w

s=ρDonatı oranı:

Dengeli donatı oranı: ])1(003.0

003.0[

85.01 d

t

b

bk

f

f

wsdyd

cdb −+

+=

ερ

ile hesaplanır, burada εsd = fyd/Es dir.

Normal yapıların birdöküm kirişlerinde b tabla genişliği büyük, b>bw dir. Basınç gerilmeleri büyük bir alana yayılır. Bu nedenle denge altı koşulu ρ≤ 0.85ρb genelde kendiliğinden sağlanır, kontrole gerek yoktur. Öndöküm(prefabrik) kirişler için aynışeyi söylemek mümkün değildir. Dikdörtgen kesitlerde b/bw=1 dir. Bundan hareketle, genelleme yapılırsa, b/bw oranı 1 e yakın tablalı kirişlerde ρ≤ 0.85ρb denge altı koşulunun kontrol edilmesi gerekir.

ρb bağıntısı için bakınız : ERSOY/ÖZCEBE, S. 251-253

Basınç bloğu derinliği a nın irdelenmesi:

Basınç bloğu tabla içinde midir? Yoksa tablanın altına sarkıyor mu? Aşağıdaki gibi belirlenebilir. Eksenel denge nedeniyle Fc=Fs dir. Basınç alanını dikdörtgen varsayarak:

0.85fcd a b=AsFyd� a= AsFyd / (0.85fcd b)

a ≤≤≤≤ t ise basınç alanı tabla içinde kalmaktadır. Basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgendir.

a>t ise basınç alanı tabla altına sarkmaktadır. Basınç alanı ve basınç bloğu T şeklindedir.

Basınç alanı dikdörtgen olduğundan, tablalı kesitin moment taşıma gücü tek donatılı dikdörtgen kesitin taşıma gücü gibi hesaplanır. Hesapta izlenecek yol aşağıda özetlenmiştir.

Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının dikdörtgen olması durumu

085.0 1 =− ydscd fAbckf

bkf85.0

fAc

1cd

yds=

)2

( 1ckdfAM ydsr −=


Moment taşıma gücü :

Tarafsız eksenin derinliği:

Eksenel denge :

a ≤≤≤≤ t durumu (A cc basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgen):

Basınç alanı : cbkAcc 1=

sd

ydsd

wsdyd

cdb

w

s

E

f

d

t

b

bk

f

f

db

A

=

−++

=

=

ε

ερ

ρ

])1(003.0

003.0[

85.01

ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altıkontrolüne gerek yoktur.

ρb bağıntısı için bakınız ERSOY/ÖZCEBE, S. 251

Tablalı kesitlerde :

sd

ydsd

wsdyd

cdb

w

s

E

f

d

t

b

bk

f

f

db

A

=

−++

=

=

ε

ερ

ρ

])1(003.0

003.0[

85.01

Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının T şeklinde olması durumu

a>t durumu (A cc basınç alanı ve basınç bloğu T şeklinde) :

)(

)(21

22

abtbb

abtbbx

ww

ww

+−+−=

0)2

2(85.0 1 =−−

+ ydsw

wcd fAbb

tcbkf

wcd

wcdyds

bkf

bbtffAc

185.0

)(85.0 −−=

)( xdfAM ydsr −=


Bu durumdaki tek zorluk T şeklindeki basınç alanının ve bu alanın ağırlık merkezinin (Fc kuvvetinin etkime noktası) hesaplanmasıdır. Bu bağıntılar aşağıda özetlenmiştir.


Tarafsız eksenin derinliği :

Eksenel denge :

Basınç alanı :2

21w

wcc

bbtcbkA

−+=

Basınç alanının ağırlık merkezi:



Tablalı kesitlerde :

Basınç bloğu derinliği : a = k1c

sd

ydsd

wsdyd

cdb

w

s

E

f

d

t

b

bk

f

f

db

A

=

−++

=

=

ε

ερ

ρ

])1(003.0

003.0[

85.01

Kutu kesitin taşıma gücü

085.0 1 =− ydscd fAbckf

85.0 1bkf

fAc

cd

yds=

)2

( 1ckdfAM ydsr −=Moment taşıma gücü :


Eksenel denge :

Basınç alanı : cbkAcc 1=

Kutu kesitler gövde genişliği kutu kesitin düşey kollarının toplamı olan eşdeğer tablalı kesit olarak çözülebilir, bw=2b1. Alttaki tabla çekme bölgesinde kalacağından dikkate alınması gerekmez. Bu nedenle, basınçbloğu derinliğinin üst başlığın içinde kalması ve altına sarkması olmak üzere iki farklı durum vardır.

h

d-k

1c/2

k 1c/2

cd-c

a=k 1c

a=k 1c

dt

ta ≤≤≤≤ t durumu (A cc basınç alanı dikdörtgen):



Kutu kesitlerde :

Kutu kesitin taşıma gücü

0])2(2[85.0 111 =−−+ ydscd fAtbbcbkf

11

1

7.1

)2(85.0

bkf

tbbffAc

cd

cdyds −−=

2)2(

2)2(21

11

21

21

abtbb

abtbbx

+−+−=

)( xdfAM ydsr −=

a>t durumu (A cc basınç alanı T):


Tarafsız eksenin derinliği :

Eksenel denge :

Basınç alanı :


tbbcbkAcc )2(2 111 −+= Kutu kesitlerde :

sd

ydsd

wsdyd

cdb

w

s

E

f

d

t

b

bk

f

f

db

A

=

−++

=

=

ε

ερ

ρ

])1(003.0

003.0[

85.01

Basınç bloğu derinliği : a = k1c ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altıkontrolüne gerek yoktur.



ρ = 1884/(300.500) = 0.0126, εsd= 365.22 /(2.105)=0.001826

ρb=0.85.13.33/365.22[0.85.0.003/(0.003+0.001826)+(1000/300-1).120/500]

ρb=0.0338, ρ = 0.0126<0.85.0.0338=0.0287� (denge altı kontrolü)

<0.02 � (max kontrolü)

>0.8.1.07/365.22 = 0.0023 � (min kontrolü)


c = 1884 . 365.22/(0.85 . 13.33 . 0.85 . 1000) = 71.4 mmMoment taşıma gücü:

Mr=1884.365.22(500-0.85.71.4/2)=323.2 kN.m

Tablalı kesit - ÖRNEK

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı. Malzeme: C20/S420a.

Đstenen:Kiri şin moment taşıma gücü ne kadardır?

ERSOY/ÖZCEBE, S. 249 (benzeri)

ÇÖZÜM


γmc=1.5, γms=1.15

fcd=20/1.5=13.33 N/mm2

fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2

fyd=420/1.15=365.22 N/mm2

k1=0.85

Basınç alanı tabla içinde mi? Đrdeleyelim:

As=1884 mm2.

a=1884.365.22 /(0.85.13.33.1000)=60.7 mm.a < t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla içindedir. Basınç alanı ve bloğu dikdörtgendir. Bu nedenle hesabın devamıa≤≤≤≤t durumu için yapılmalıdır.

85.0 1bkf

fAc

cd

yds=

)2

( 1ckdfAM ydsr −=

Đç kuvvet durumu

85.0 bf

fAa

cd

yds=

])1(003.0

003.0[

85.01 d

t

b

bk

f

f

wsdyd

cdb −+

+=

ερ

Bu kontrol yapılmayabilirdi

Kutu kesit - ÖRNEK

Verilenler:Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı.Malzeme: C20/S420a.

Đstenen:Kiri şin moment taşıma gücü ne kadardır?


ÇÖZÜM


γmc=1.5, γms=1.15

fcd=20/1.5=13.33 N/mm2 , fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2

fyd=420/1.15=365.22 N/mm2, k1=0.85

6

150 150

Mr=?

300

Basınç alanı tabla içinde mi? Đrdeleyelim:

As=2714 mm2.

a=2714.365.22 /(0.85.13.33.600)=145.8 mm.a > t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla altına sarkmaktadır. Basınç alanı ve bloğu T şeklindedir. Bu nedenle hesabın devamıa>t durumu için yapılmalıdır.

85.0 bf

fAa

cd

yds=


ρ =2714/(2.150.500)= 0.0181

εsd= 365.22 /(2.105)=0.001826

ρ b=0.85.13.33/365.22[0.85.0.003/(0.003+0.001826)+(1000/(2.150)-1)120/500)]

ρ b =0.0338

ρ =0.0181<0.85.0.0338=0.029 � (denge altı kontrolü)

<0.02 � (max kontrolü)

>0.8 . 10.67/3652.17= 0.0023 � (min kontrolü)

Moment taşıma gücü:



mmx 2.757.1711502120)1502600(

7.1711502120)1502600(5.0

22

=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=

2)2(

2)2(21

11

21

21

abtbb

abtbbx

+−+−=

mkN 1.421)2.75500(22.3652714 ⋅=−⋅=rM

mmc 20215085.033.137.1

120)1502600(33.1385.022.3652714 =⋅⋅⋅

⋅−⋅−⋅=

)( xdfAM ydsr −=

Bu kontrol yapılmayabilirdi

Basınç bloğu derinliği: a = 0.85 .202= 171.7 mm

11

1

7.1

)2(85.0

bkf

tbbffAc

cd

cdyds −−=

])1(003.0

003.0[

85.01 d

t

b

bk

f

f

wsdyd

cdb −+

+=

ερ

Đç kuvvet durumu

kesitte moment kuvvet çifti Çekme ve basınç...

Documents