Magneto esttica en el Vaco

EE-521 Propagacin y Radiacin Electromagntica I

MSc. Ing. Miguel Delgado Len

1

Introduccin: Campo elctrico E

' 2 30 0

1 ' 1 '. (1)

4 4q qe

q q R q q RF NR R

En electrosttica se vio la fuerza elctrica entre dos cargas puntuales en reposo

(Ley de Coulomb)

q es la carga fuente, q es la carga de campo y el vector unitario. Separando la carga de campo q se define un nuevo campo vectorial:

'

30

1 '( ) . / . (2)

4

q qe

Fq RE r V m

q R

E es el campo vectorial llamado campo elctricoque es producido por la carga fuente q.

La presente figura muestra la direccin del campo E calculado y graficado con Matlab

R

2

Campo magntico de corrientes estacionarias

Si las cargas se movieran con velocidades constantes v y v, respectivamente, existira adems una fuerza magntica ejercida por q sobre q

0 0' 2 3' ' ' ' .4 4q qm q qF V q V R V q V R NR R es conocida como la permeabilidad del vaco0

En el Sistema Internacional 7

0 4 10 ./ .Henry m Separando la carga de campo q y su velocidad v se define otro campo vectorial:

03

' '( ) ( ) (3)

4mq V RF qV B r B r Tesla

R

El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo induccin magntica o densidad de flujo magntico o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q reemplazamos por un diferencial de carga dq tenemos:

03

' '( ) (4)

4

d q V Rd B r TeslaR

3

Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y SavartSi se encuentran presentes un campo elctrico y un campo magntico, la fuerza total sobre una carga mvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.e mF F

. (5)F q E V B N La fig. muestra un dq que se desplaza dr en un tiempo dt. Tenemos: ' '

' ' ' ' ' ' (6)d r d qdq V dq d r I d rd t d t

Reemplazando (6) en (4) llegamos a:

03

' '( ) (7)

4

I d r Rd B r TeslaR

Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El campo debido a todo el circuito C es la integral dada por:

03

'

' '( ) (8)

4 C

I d r RB r TeslaR

Es la Ley de Biot y Savart donde I es constante

4

Ley de fuerzas de AmpereLa frmula (3) es la fuerza magntica sobre una carga q. Si en lugar de q reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en:

( ) (9)md F dqV B r

La frmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a: dqV I d r ( ) (10)md F I d r B r

Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de uncircuito. La fuerza magntica sobre todo el circuito C esuna integral:

( ) (11)mC

F I d r B r Reemplazando (8) en (11) llegamos a:

03

'

' ( ' )(11)

4m C C

I I d r d r RFR

Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito C de corriente I ejece sobre el circuito C de corriente I

5

Aplicacin de la Ley de Biot y Savart

Ejemplo 1: El campo magntico del segmento recto portador de corriente

Solucin. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es:

2

1

0 03/ 2 3/ 22 2 2 2

'

' '' ' '( )

4 4' '

L

C L

d z z z zI I d zB rz z

2

1

0 0 2 13/ 2 2 2 2 22 2

2 1

' ''( )

4 4'

L

L

I I L Ld zB rL Lz

A partir de este resultado se puede determinar elcampo B debido a una corriente recta infinita haciendo

1 2,L L 0 ' ( )

2

IB

Para una corriente recta infinita

La presente figura muestra la direccin del campo B calculado y graficado con Matlab

6

Aplicacin de la Ley de Biot y SavartEjemplo 1: El campo magntico debido a una espira circular de radio a que conduce una corriente I en puntos de su eje.

03

' '( )

4

I d r Rd B r TeslaR

Solucin: Aplicando la frmula (7) que es el campo de un elemento de corriente, tenemos:

Segn la figura es fcil darse cuenta que la resultante del campo tiene la direccin del eje Z y el mdulo es

La componente en la direccin Z ser:

El campo B debido a toda la espira ser:

o

0 03 2

' ' ' '

4 4

I R dr I d rd BR R

0 0 02 3 3

' ' ' '' 'cos

4 4 4za I d r a I a dI d r ad B dB

R R R R

2 22

0 03 30

' ''

4 2zI a I aB dR R

2

03/ 22 2

'

2

I aB za z

7

Efecto HallCuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magntico, se genera una diferencia de potencial en una direccin perpendicular tanto de la corriente como del campo magntico.

Si los portadores de carga son electrones que semueven con una velocidad de arrastre V experimentanuna fuerza magntica hacia abajo acumulndose en lasuperficie inferior electrones y dejando en la superficiesuperior exceso de cargas positivas. Esta acumulacinde cargas en los bordes establece un campo elctrico enel conductor y se incrementa hasta que la fuerzaelctrica equilibra la fuerza magntica. Cuando sealcanza el equilibrio no habr desplazamiento de cargas.

Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo elctrico:

eE eV B E VB

La tensin de Hall es:

hV Ed VBd La relacin entre la densidad de corriente volumtrica y la velocidad es:

J neV

Aqu n es el nmero de electrones por unidad de volumen. De las expresiones de J llegamos a:

I IJS ld

Tambin

IVneld

Que reemplazando en Vh: h

hV nelBIV o B

nel I

conductores metlicos 28 38.4 10n m

8

Ley de Biot y Savart para distribuciones de corrientes continuas

Puede demostrarse fcilmente que la relacin de la corriente filamental, superficial y volumtrica es:

' ' ( ') ' ( ') ' (12)I d r K r d S J r dV

Reemplazando en (8) tenemos:

03

'

( ')( ) ' (13)

4 S

K r RB r dS TeslaR

K es el vector densidad de corriente superficial A/m

Reemplazando en (8) tenemos

(B para corriente superficial)

03

'

( ')( ) ' (14)

4 V

J r RB r dV TeslaR

(B para corriente volumtrica)

J es el vector densidad de corriente volumtrica A/m2

Se define el flujo magntico como la integral de superficie del campo B

( ) (15)S

B r n d S Weber

9

Ejemplos1) Una corriente I circula a lo largode una placa infinita de ancho w.Determine el campo induccinmagntica B en z=d

3) Un solenoide idealconsiste en un nmero devueltas (bobina) distribuidouniformemente como semuestra en la figura. Paraun solenoide de longitud L,N vueltas que conduce unacorriente I determine elcampo B dentro delsolenoide en un punto deleje z

4) Demostrar que para un solenoide ideal infinitamente largo de n vueltas por unidad de longitud y que conduce una corriente I el campo dentro (en cualquier punto) del solenoide es constante e igual a

Y fuera del solenoide el campo B=0

0 'B z nI

2) Una corriente circula en todo elplano XY con una densidad decorriente superficial dada por

donde Ko es constante,determine el campo B en todo elespacio

0K x K

10

Caracterizacin del campo magntico, Ley circuital de Ampere

Teorema de Helmholtz: Un campovectorial est determinado si sudivergencia y su rotacional estnespecificados en todos los puntos

El campo induccin magntica essolenoidal, es decir, la divergenciadel campo B es nula:

( ) 0 (16)B r El campo B es rotacional, es decir:

0( ) ( ) (17)B r J r

Considerando una superficie abierta Scon recorrido C que puede intersectar lafuente de corriente J. Efectuando laintegral de superficie sobre la ltimaecuacin, tenemos:

0 ( ) ( )S S

B r nd S J r nd S Aplicando el teorema de Stokes al primer lado:

0 0( ) ( ) (18)a travsdeSC S

B r d r J r nd S I Es la forma integral de la Ley deAmpere o tambin conocida como Leycircuital de Ampere para el campo B.Se definir posteriormente un campointensidad magntica H (A./m.) que es:

0

( )( )

B rH r

0( ) ( ) (18. )B r H r a

11

Problemas de la ley circuital de Ampere

2) Dos regiones cilndricas delongitudes infinitas y radio a seintersecan como se muestra en lafigura. Conducen densidades decorrientes y exceptoen la interseccin. Determine elcampo B en mdulo y direccin encualquier punto de la interseccin.

0J zJ

0J zJ

1) En una regin cilndrica de longitudinfinita y radio a cuyo eje coincidecon el eje z conduce una corriente alo largo del cilindro con densidad decorriente . Determine el campoB en todo el espacio

0J zJ

3) Determine el campo B en mdulo y direccin en todo el espacio debido a la distribucin de corriente cuya densidad volumtrica est dada por:

0

0

0

0

zJ para x aJ

zJ para a x

4) Determine en forma aproximada la componente radial del campo B en puntos muy cercanos del eje de una espira circular de radio a que conduce una corriente I

12

Potencial vector magnticoEl campo B es solenoidal, esdecir la divergencia de B es cero.Por las matemticas sabemosque la divergencia de unrotacional siempre es cero. Esdecir B es un rotacional:

( ) 0 ( ) 0B r A r Para deducir el campo A de uncircuito fila mental partimos delcampo B. Como se sabe

03

'

' '( )

4 C

I d r RB r TeslaR

Mediante anlisis vectorial sedemuestra que:

3

' 'dr R drR R

Reemplazando est equivalencia en la expresin de B:

0

'

' '( )

4 C

I d rB r TeslaR

El trmino entre corchetes es el campo A

0

'

' '( ) (19)

4 C

I d rA r Tes mR

y para una corriente volumtrica es:

0

'

( ')( ) '

4 S

K rA r d S Tes mR

0

'

( ')( ) '

4 V

J rA r dV Tesla mR

El potencial vector debido a una corriente superficial:

13

Propiedades del potencial vector magnticoEjemplo 2: Determinar el potencial vector magntico del segmento recto portador de corriente

Solucin. De la frmula (19) , el campo A es:2

1

2 22 20 0 0

2 2 2 2' 1 1

' ' '' ' ( )

4 4 4'

L

C L

L LI I Id r dzA r z z LnR z L L

A partir de est expresin puede calcularse el campo A debido a una corriente recta infinita haciendo que

2 1,L L

2 1

2 22 20 0 0

2 2,1 1

' ' ( ) lim

4 2L LL LI IA r z Ln z LnL L

es un punto de

referencia donde A=00

Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para unadistribucin de corriente infinita debe escogerse otro punto de referenciadonde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresin anterior esque si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresin correcta del campo B

0

0 00' ' ( ) ( ) 2 2ZI IAB r A r Ln Ln

14

Problemas de potencial vectorial magntico1) Una espira circular de radio alocalizado en al plano xy cuyo centrocoincide con el origen de coordenadasconduce una corriente I demostrar queel potencia vectorial magntico encualquier punto del espacio es:

/ 2

022 2 22

0

/ 22 2

20

' 2 11

21

I a dAk k sena z

k sen dk

2

2 2

4aka z

donde

2) Determinar el potencialvectorial magntico entodo el espacio producidopor un solenoide ideal delongitud muy grande,radio a (L>>a) y n vueltaspor unidad de longitudque conduce unacorriente I.

3) Una carga elctrica espacial condensidad de carga volumetricaconstante 0 se distribuye en unaregin cilindrica de radio a y longitudinfinita. Si la distribucin de cargagira alrededor de su eje con unavelocidad angular constante Determine el campo A y B en todo elespacio.

15

Ecuacin diferencial para el campo A

Otra propiedad del potencial vectorial magntico es que la divergencia de A es cero:

( ) 0 (20)A r

Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente:

0( ) ( )B r J r

20( ) ( ) (21)A r J r

y

Solucin. Sabemos que:

B A B A Aplicando la conocida propiedad:

2 2A A A A sea que:

2B A

Considerando la expresin del campo A debido a una distribucin de corriente volumtrica, tenemos que:

2 2 0

'

20

'

( ')'

4

1( ') '

4

V

V

J rA dVR

J r dVR

Utilizando las propiedades de las funciones Delta de Dirac :

2 1 4 ( ') ,r rR

( ')r r

'

0( ') ( ') '

( )VF r r r dV

F r

La ltima integral es cero cuando r est fuera de la regin de r y diferente de cero cuando r est en la regin de r. Finalmente el flujo magntico es:

S S C

B ndS A ndS A d r

(Ecuacin diferencial para A)

16

Potencial Escalar magntico VmEn la regin fuera de la fuente (J=0) se cumple:

0B Segn las matemticas: El rotacional de un gradiente siempre es cero. Es decir podemos considerar:

0( ) ( ) (22)mB r V r

El potencial escalar magntico cumple con la ecuacin diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22):

0 0( ) ( ) ( ) 0m mB r V r V r La divergencia de un gradiente es el laplaciano:

2 ( ) 0 (23)mV r

Se conoce una expresin explicita de Vm para circuitos fila mentales cerrados:

3'

' '( ) ' (24)

4m S

I R nV r dSR

y ( ) ( )mH r V r

17

Potencial Escalar magntico VmEjemplo 3: Determine el potencialescalar magntico Vm debido a unaespira circular de radio a y corriente I

Solucin: Aplicamos la frmula (24)

3

'

2

30 0

' '( ) '

4

cos'' ' '

4

mS

a

I R nV r dSR

RI d dR

2

30 0

2

3/ 22 20 0

'( ) ' ' '

4

' ' ''

4 '

a

m

a

I zV r d dR

I z d dz

Las dos integrales son simples, el resultado final es:

2 2

'( ) 1

2mI zV r

a z

El campo B se obtiene mediante (22)

0

0

( ) ( )

1

m

m m m

B r V r

V V V zz

20

3/ 22 2

'( )

2

I a zB ra z

18

Campo magntico de circuitos distantes(dipolo magntico)

El potencial vector magntico debido a un circuito muy pequeo o el punto donde se evalan los campos magnticos est muy distante puede evaluarse con relativa facilidad. As:

', 'r r R r

0 02 2 1/ 2

' '

' '' '( ) (25)

4 4 ' 2 'C C

I Id r d rA rR r r r r

Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos:

32 2 1/ 2

1 1 '

' 2 '

r rr rr r r r

Reemplazando en (25) queda

0 3' '

' 1 1( ) ' ' '

4 C C

IA r d r r r d rr r

Es fcil demostrar que la primera integral es cero, quedando:

0 3'

' 1( ) ' ' (26)

4 C

IA r r r d rr

Utilizando la siguiente identidad vectorial:

F G H F H G F G H ' ' ' ' ' ' (27)r r d r r d r r r r d r

As:

Diferenciando ' 'r r r ' ' ' ' ' ' (28)d r r r r d r r r r d r

19

Dipolo magnticoDe (27) y (28) despejando y reemplazando en (26) se obtiene:

' 'r r r

0 3'

' 1( ) ' ' ' '

4 2 C

IA r r d r r d r r rr

La segunda integral es cero, queda:

0 3'

' 1( ) ' ' (29)

4 2 C

IA r r d r rr

Se puede demostrar que el trminoentre corchetes es el rea condireccin encerrada por C

'

1' ' ' ' '

2 CS n S r d r

Se define el momento dipolar magntico como:m

'

1' ' ' ' '

2 Cm I S I r d r

De manera que (29) se expresa como:

03

( ) (30)4

m rA rr

Es el potencial vector magntico de un dipolo magntico. Se puede demostrar:

05 3

3( ) (31)

4

m r r mB rr r

Es el campo B de un dipolo magntico. El potencial escalar magntico es:

3( ) (32)

4mm rV r

r

20

Ejemplos de dipolos magnticos1) Una espira circular de radio alocalizado en al plano xy cuyo centrocoincide con el origen decoordenadas conduce una corrienteI . Encontrar los campo A , B y Vmpara puntos r>>a

2) Una carga elctrica Q se distribuye de forma uniforme en una regin circular de radio a. Si la distribucin gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante . Determine los campos A, B y Vm en puntos r>>a.

21

Momento de rotacin magntico o torque magntico

Otra cantidad interesante es el momento de rotacin o torque sobre un circuito cerrado. El momento de rotacin es el momento de la fuerza magntica, el momento de rotacin infinitesimal est dado por:

md r d F r I d r B I r d r B El momento de rotacin sobre uncircuito cerrado es:

(33)C

I r d r B Si el campo B no es uniforme, nopuede simplificarse la expresin. Uncampo vectorial es uniforme cuandoes constante en mdulo y direccin.Cuando B es uniforme procedemosas:

r d r B d r B r B r d r

Est expresin reemplazamos en (33):

C C

I d r B r I B r d r

C C

I d r B r I B r d r o

La segunda integral es cero, queda

(34)C

I B r d r Utilizando la identidad conocida

C S

g d r n g dS 22

Momento de rotacin magntico

La expresin (34) se transforma en:

(35)S

I n B r dS Se demuestra fcilmente quecuando B es uniforme

B r B La expresin (35) queda como:

S S

I n B dS I ndS B

El trmino entre corchetes es elmomento dipolar magntico. sea

m B

Est frmula es vlida solamente para cualquier circuito que sea fila mental.

Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1y m2 son paralelos y estnseparados una distancia r. Losdipolos estn fijos en sus posicionespero el dipolo 2 puede girar.a) Determine el torque sobre m2b) El ngulo para el torque

mximo

23