mak669 lineer robust kontrol

1 1 1

MAK669 LINEER ROBUST

KONTROL

[email protected]

07.11.2014

2

x Ax Bu

u Kx

( )x A BK x A

B

x

K

ux

s

I

+

+

x Ax BKx

C

y

0sI A

0sI A BK

Açık çevrim kökleri

Kapalı çevrim kökleri

Durum değişkeni geri besleme(state feedback) kontrol

state feedback

Durum değişkeni geri beslemeli kontrolde tüm durum değişkenlerinin elde edilebilir olduğu varsayılmaktadır. Bu kontrolün pratikte uygulanabilmesi için tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi gerekmektedir.

3 3 3

Linear Quadratic Regulator(LQR)

0

0

Lineer sistemin aşağıdaki şekilde modellendiğini düşünelim

(0)

bu sistemle ilişkili performans indeksi

( )

b 0, urada şeklinde tanımlıdır.

Bur

0

ada

T

T

T

T

x Ax Bu x x

J x Qx u R t

Q

u

Q R R

d

performans indeksini minimize eden

seklinde sistemi kararlı hale getiren bir lineer durum

değişkeni geri beslemeli kontrolör olu

amaç

şturmaktır

.

J

u Kx

Model esaslı kontrol tasarım yönteminin en basit yapısı LQR’dır.

4

1

0

( , ) min ( , )t

tuf x t h x u dt

0

1

( , ) ( (0))

( , ) 0

f x t f x

f x t

min ( , ) ( , )

T

u

f fh x u g x u

t x

Hamilton-Jacobi denklemi

(I)

Aşağıdaki gibi hem zamana hem de durum değişkenine bağlı

bir fonksiyonel denklem tanımlansın:

Fonksiyonelin tanımlanan zaman aralığındaki değerleri:


5

( , )

( , ) T T

g x u Ax Bu

h x u x Qx u Ru

1

0

1

0

( , )

( )

t

t

tT T

t

J h x u dt

x Qx u Ru dt

min ( )

T

T T

u

f fx Qx u Ru Ax Bu

t x

olarak alınırsa ve (I) de yerine

yazılırsa

(II)


6

( , ) olarak seçilirseT

T

f x t x Px

f Px x

t t

2

2

T

T

fPx

x

fx P

x

min 2 ( )T T T T

u

Px x x Qx u Ru x P Ax Bu

t

TP P

(II) de yerine yazılırsa

(III)


7

1

u minimize etmek için:

2 ( )

2 2 0 0

T T T T

T T T

T

opt

Px x x Qx u Ru x P Ax Bu

u t u

u R x PB Ru B Px

u R B Px

optu Kx 1 TK R B P

(IV)


, T TP P R R

8

1

1

11

2 ( )

( ) ( ) 2 ( ( ))

( 2 ) (soldan sagdan çarpanı olarak yazılır)

Burada 2 ( ) ola

T T T T

T T T T T

T T T T

T T T

T T

x Px x Qx u Ru x P Ax Bu

x Px x Qx R B Px R x P Ax B

x Px x Q PA PB

R B P

R B P x x

x R B Px

x

x PAx x A P PA x

1

1

rak alınırsa:

( )

elde edilir.

T T T T

T T

x Px x Q A P PA PBR B P x

P PA A P Q PBR B P

01 PBPBRQPAPA TT Riccati denklemi

(IV) denkleminde buldugumuz u denklemi (III) denkleminde yerine yazılırsa

0P


9

LQR Problemi

1 1

2 2

0 1 0

1 2 1

x xu

x x

Örnek:

Sistemi için optimum u kontrolü hesaplayınız.

K

C r=0 x y u

- +

x Ax Bu

10

11 12

21 22

0 1 0 2 0, , 1

1 2 1 0 1

p pA B Q R P

p p

01 PBPBRQPAPA TT

11 12 12 11 12

21 22 22 21 22

20 1

21 2

p p p p pPA

p p p p p

11 12 21 22

21 22 11 21 12 22

0 1

2 21 2

Tp p p p

A Pp p p p p p

LQR Problemi

11

11 12 11 121

21 22 21 22

12

21 22

22

12 21 12 22

2

22 21 22

01 0 1

1

Tp p p p

PBR B Pp p p p

pp p

p

p p p p

p p p

12 11 12 21 22 12 21 12 22

2

22 21 22 11 21 12 22 22 21 22

2 2 00

2 2 2 0 1

p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p

21 12p p

2

12 21 12

11 12 22 12 22

22 11 12 12 22

2

12 22 12 22 22

2 0

2 0

2 0

2 2 1 0

p p p

p p p p p

p p p p p

p p p p p

LQR Problemi

12

2

12 12

12 21

2 2 0

0.732

= 2.732

p p

p p

2

12 22 22

2

22 22

22

2 4 1 0

4 2.464 0

0.542

4.542

p p p

p p

p

22 11 12 12 22

11

2 0

2.403

p p p p p

p

2.403 0.732

0.732 0.542P

12.403 0.732

1 0 10.732 0.542

0.732 0.542

TK R B P

LQR Problemi

A=[0 1 -1 -2]; B=[0 1]; Q=[2 0 0 1]; R=1; [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) EAcl=eig(A-B*K)

13

Riccati denkleminin çözümü

1

1

1

1

0

Hamilton matrisi

0

0

0

Tn

n T

T

T

n

n

nT T

T T

IPA Q PBR B A

P

PA Q PBR B P A P

IA BR BP I

PQ A

A BR BH

Q A

IP I H

P

Özvektör metodu:

Hamilton matrisinin özvektör ve özdeğerlerinden P matrisi hesaplanmaktadır.

14

1 1 1 1 0

2 2

( )m x k x x u

m x u

1m

Gövde

2m

( )au t

Teker 1k

1x

0x

2x

1m

Gövde

2m

( )u t

( )u t

Aktuatör

Teker 1k

1x

0x

2x

2c

( )au t

( )pu t

( )pu t

2k

a pu u u

Aktif

Pasif

1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 2

2 2 2 1 2 2 1 2

( ) [ ( ) ( )]

( ) ( )

p

p

a

u

a

u

m x k x x k x x c x x u

m x k x x c x x u

Optimum Kontrol Problemi I

Çeyrek taşıt modeli için LQR kontrol tasarımı.

15

11 1 0

1 1

2

2

1 1 0

2 2 0

3 1 1

4 2 2

1 1

2 2

1

1331

44

2

1( )

1

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

00 0 1 0

ˆ ˆ 00 0 0 1

ˆ ˆ 1

0 0 0 ˆˆ

ˆ 1ˆ 0 0 0 0

kx x x u

m m

x um

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x xuk

mxxm

xxm

1 1 0

2 2 0

3 1

4 2

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x x x

x x xd

x xdt

x x

1 1

2 2

13 1 0

1 1

4

2

ˆ

ˆ

1ˆ ˆ( )

1ˆ

x x

x x

kx x x u

m m

x um

Buradaki örnekte yol profilinin adım

fonksiyonu olduğu düşünülüyor. Bu durumda

x0 sabit olarak alınabilir.


16

0

0 1

1 2

2 2 2

1 0 1 2 1 20

1ˆ ˆ[ ]

2

( ) : tekerleğin dinamik sapması

( ) : aks izafi hareketi

Performans indeksinde bu iki fark durum değişkeni için

alırsa:

1[ ( ) ( ) ]

2

T TJ x Qx u Ru dt

x x

x x

J q x x q x x ru dt

Araç gövdesinin düşey ivmelenmesi ile orantılı olan aynı zamanda sürüş

konforsuzluğunun da bir ölçüsüdür. Bu nedenle J amaç fonksiyonunun minimize edilme

aktua

si sür

tör kuvveti ( )

üş

konforsuz

luğu

u t

veya aktuatör girişinin

minimize edilmesi ve tekerlek dinamik sapması ile izafi aks hareketinin ağırlıklı

toplamının minimize edilmesi arasında seçim(trade-off) yapma sonucunu verir. Ağırlık parametreleri

ile sistem durum değişkenleri arasındaki ilişki:

21 0 2 01

22 2 2

1 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2

( )ˆ

2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) 2

x x x xx

q x x q x x q x q x x

q x q x x x x q q x q x q x x


17

0

11 2 2

22 2

3

4

Performans indeksinde

1ˆ ˆ[ ]

2

Q matirisi

ˆ0 0

ˆ0 0ˆ,

ˆ0 0 0 0

ˆ0 0 0 0

oluşturulabilir.

ˆ

T TJ x Qx u Ru dt

xq q q

xq qQ x

x

x

u K x


18

x3_hat =dx1_hatddx1x1

x0

x1_hat

x2

x0

x2_hat

x4_hat=dx2_

(x1-x2)

u_a

-u_a

[ x1_hat: x1_hat; x3_hat;x4_hat]

MAK669qcarmodel2.mdl

2011

u_p

-u_p

u_p

x2_hat

x2u_p

Yol ProfiliKontrol u_a

1s

1s

1s

1s

1/m2

1/m1

c2

k2

K* uvec

1/m2

1/m1

k1/m1

Gain

Dinamik sapma


19

%qcar.m %%% Parameters %%% m2=375; m1=38; k1=240000; k2=21560; c2=1250; x0=0.005; %m A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -k1/m1 0 0 0; 0 0 0 0]; B=[0;0;-1/m1;1/m2]; r=0.001; q1=100; q2=50; Q=[ q1+q2 -q2 0 0 -q2 q2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; R=r; K=lqr(A,B,Q,R)


20

1 2 2

2 2

k k kK

k k

22

22

cc

ccC

MX CX KX Eu

1

2

1 0

0 1

uE u

u

2

1

0

0

m

mM

Optimum kontrol problemi II

1u

2x2k

2c

2m1m

1x

2u

1k

1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

m x k x k x x c x x u

m x k x x c x x u

21

1000

0100

0010

0001

Q1 0

0 1R


Cxy

BuAxx

CMKM

IA

11

22220

EMB

1

120

0010

0001C

1

2 1

1 2 3 3 1 20

3 2

4

1 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1

ft

x

x uJ x x x x u u dt

x u

x

Case I:

Case II:

1 0 0 0

0 1 0 0 1 0,

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0

TQ C C R

22


state feedback

performance index

yaykutle2umodel.mdlMAK 669-2011

IC=[ 0; 0; 1; 0 ]

x1-x2

C* u

x1 ve x2 Cikis

u

ts

us

x12

B* u

-K* u

A* u

MatrixGain

0.2197

J

1s

1s

u[1]^2*r1+u[2]^2*r2

Fcn1

u[1]^2*q1+u[2]^2*q2+u[3]^2*q3+u[4]^2*q4

Fcn

10

Display1Clock

23

clear m1=1; m2=0.01; k1=20; k2=100; c2=0.001; M=[m1 0; 0 m2]; K=[k1+k2 -k2; -k2 k2]; C=[c2 -c2; -c2 c2]; E=[ 1 0 0 1]; inM=inv(M); A=[zeros(2,2) eye(2) -inM*K -inM*C]; eig(A) B=[0 0; 0 0; inM*E]; C=[1 0 0 0; 0 1 0 0]; D=zeros(2,2); Q=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; %Case I Q=C'*C; %Case II q1=Q(1,1);q2=Q(2,2);q3=Q(3,3);q4=Q(4,4); R=1*eye(2); r1=R(1,1);r2=R(2,2); K=lqr(A,B,Q,R) Ac=A-B*K; eig(Ac) figure(1) pzmap(Ac,B,C,D) axis([-60 10 -100 100]); hold on pzmap(A,B,C,D) [ num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1); [num2, den2]=ss2tf(Ac,B,C,D,1); w=logspace(-1,3,1000); f=w/pi/2; mag=bode(num,den,w); mag=20*log10(mag); mag2=bode(num2,den2,w); mag2=20*log10(mag2); set(gca,'fontsize',14) figure(2) semilogx(f,mag(:,2),'r--',f,mag2(:,2),'b-') axis([10^(-1),10^2,-120,30]); xlabel('Frequency Hz') ylabel('Gain dB') title('Frequency response of the system')

24


10-1

100

101

102

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Frequency Hz

Gain

dB

Frequency response of the system

without control

with control

Case I

u1 ----> y

10-1

100

101

102

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Frequency Hz

Gain

dB

Frequency response of the system

without control

with control

Case II

u1 ----> y

25

>> help lqr LQR Linear-quadratic regulator design for state space systems. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu * For a discrete-time state-space model SYS, u[n] = -Kx[n] minimizes J = Sum {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} subject to x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]. The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K). [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) is an equivalent syntax for continuous-time models with dynamics dx/dt = Ax + Bu See also lqry, lqgreg, lqg, dlqr, care, dare.

Optimum kontrol problemi

Linear Fractional Transformation(LFT)

LFT blok yapısı kontrol sisteminin giriş/çıkış ilişkisini göstermekte kullanılmaktadır. Bu yapı aynı zamanda belirsizliklerin kontrol sistemini nasıl etkilediğini göstermek için kullanılmaktadır.


1 1 1 1 1

(d 0) denklemini düşünelim.

Bu denklem aynı zamanda aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

( )

(1 )

( ) (1 )

as b

cs d

ba c s

b dcd

s dd

bd a bd c s d cs d

(1 ) ( )

(1 )

c bs b a c s

as bd dc cs d

s dd

(I)

Matematiksel anlamda LFT yapısının çıkartılması:


( I ) denklem yapısı kontrol sistemlerinin blok diyagramları gösteriminde giriş /çıkış ilişkisine karşılık gelmektedir. Bunu görmek için şekildeki geribesleme yapısını aşağıdaki şekilde düşünelim:

11 12

21 22

p pz w wP

p py u u

u sy

1

11 1

1 111 12

1 121

2 22

2

21

2

ve y ortadan kaldırılırsa

elde edilir. (I) ifadesi ile karşılaştırılırsa:

=

(1

)

zp p s p

u

p p bd a bd czP

p p

w

d d

s

w c

p

1

22 21 11 12( , ) : ( )uF M M M I M M

Üst LFT Yapısı

2w

2u2y

M2z

2 2 11 12 2

2 2 21 22 2

y u M M uM

z w M M w



1w

1u 1yM1z

1 1 11 12 1

1 1 21 22 1

1 11 1 12 1

1 21 1 22 1

1 21 1 22 1 22 1 21 1

1

1 22 21 1

( )

( )

z w M M wM

y u M M u

z M w M u

y M w M u

y M w M y I M y M w

y I M M w

11 12

21 22

M MM

M M

1

1 11 1 12 1 1 11 1 12 22 21 1

1111 12 22 21

1

( )

( , ) : ( )l

z M w M y z M w M I M M w

zF M M M I M M

w

1 1u y

Alt LFT Yapısı

Sisteme ait yapısal belirsizlikler LFT yapısında ifade edilebilir.

0

o

MI

I G

Toplam belirsizliği için LFT:

1

22 21 11 12( , ) : ( )

( , ) :

u

u o

F M M M I M M

F M G

2w

2u2y

M2z

2 2 2

2 2 2

0

o

Iy u uM

I Gz w w

Çıkış çarpım belirsizliği icin LFT:

0 o

o

MG

I G

( , ) : ( )u o o oF M G G I G


1

LFT yaklaşımı transfer matrisi ve durum uzayı arasında ilişki kurmada kullanılabilir.

Bir sistemin durum uzayı denklemi

transfer matrisi

1( ) ( , )

1 alı

( )

nırsa

u

x Ax Bu

y Cx Du

A BG s F ID C sI A B

C D s

Is

( ) ( ) ( , )u

A BG G s F

C D


Parametrik Belirsizlikler:

Bir çok endüstriyel kontrol sisteminde sistemi oluşturan

elemanların karekteristikleri doğru tanımlanmayabilir, eskime

veya yıpranma etkileri veya çalışma şartlarının değişmesinden

dolayı dinamik sistemde belirsizlikler oluşmaktadır. Bu şekildeki

belirsizliklere parametrik veya

Parm

yap

etri

ısal

bel

k belirs

irsizlikler olar

izlikler düşük f

ak is

rekan

imlendiriyoruz

s perfo

.

rmansın

Bu tip parametrik belirsizliklere örnekler mekanik

sistemlerde katılık veya sönüm

katsayıları, elektriksel sistemlerde direnç,

kapasitans veya indüktans değerleri, uçaklarda

aerod

ını etkiler

inamik

.

sabitler vb. dir.

Parametrik Belirsizlik

Parametrik Belirsizlik Bir yay kütle sönüm sistemini düşünelim:

, , nin tam değerlerinin bilinmediğini fakat belirli bilinen aralıklarda

olduğunu düşünelim. Özel olara gerçek kütle in nominal kütlek

ninm

u

mx cx kx

f

m

m

c

f

k

gerçek katılık

değeri

gerçek sönüm

nin nom

değeri nin nominal sön

inal katılık değer

,

ve

kadar değiştiğini düşünelim

üm değeri nin %20 s

i nin %30

%

1

.

0

i

k k

c c

1( )x cx kx u

m

( 0.3 , 0.3 )

[ 1 1] tanımlansın

(1 0.3 )

k

k

k k k k k

k

( 0.2 , 0.2 )

[ 1 1]

(1 0.2 )

c

c

c c c c c

c

Parametrik Belirsizlik

xx x1

(1 0.1 )mm

(1 0.2 )cc

(1 0.3 )kk

u

Bilinmediği düşünülen fakat [ 1,1] aralığında

bulunan , ve bozuntuları(perturbations)

tanımlayarak sistem yapısını bu bozuntuları

içerecek şekilde ele alabiliriz.

m c k

m

.1 m .1

0

m

m

m

(1 0.1 )mm

m

Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması

1

11 12 22 21

1

( , ) : ( )

0.1 (1 0 )

0.1

l

m m

m

F M M M I M M

m m

m m

0

0.1

m

m

m1

22 21 11 12

1

( , ) : ( )

0.1 (1 0 )

0.1

u

m m

m

F M M M I M M

m m

m m

Bozuntular hem üst LFT hem de alt LFT yapısında elde edilebilir.

1

m

1

11 12 22 21

1

( , ) : ( )

1 10.1 (1 0.1 )

0.11 1

(1 0.1 )

1 0.1 0.1

(1 0.1

1

1 0

)

( .1 )

l

m m

m

m

m

m m

m

F M M M I M M

m m

m

m

m

m

m

1Blok diagramında bulunmasından dolayı bu değerin LFT

ifadesini bulmamız yerinde olacaktır.

m


10.1

10.1

m

m

m

10.1

10.1

m

m

1

22 21 11 12

1

( , ) : ( )

1 10.1 (1 0

1

(1 0.1

)

)

.1

u

m

m

m

F M M M I M M

m m

m

c

.2 c 0.2

0

c

c

c

(1 0.2 )cc

c


1

11 12 22 21( , ) : ( )

0.2

l

c

F M M M I M M

c c

0

0.2

c

c

c

1

22 21 11 12

1

( , ) : ( )

0.2 (1 0 )

0.2

u

c c

c

F M M M I M M

c c

c c

k

0.3 k 0.3

0

k

k

k

(1 0.3 )kk

k


1( , ) : 0.3 (1 0 ) 0.3l k k k k kF M k k k k

0

0.3

k

k

k

1( , ) : 0.3 (1 0 )

0.3

u k k k k

k

F M k k

k k

0 0

0 0

0 0

m

c

k

G

1 2

2 2 1

1

x x

c kx x x u

m m m

Şekildeki dış giriş ve çıkış değişkenlerini esas alarak G oluşturunuz.


m

c

k

y

y

y

m

c

k

u

u

u

u 1z x

1x2x 1x1

(1 0.1 )mm

(1 0.2 )cc

(1 0.3 )kk

u

1 2

2 2 1

x x

c k ux x x

m m m

1 2

2 2 1

(1 0.2 ) (1 0.3 )

(1 0.1 ) (1 0.1 ) (1 0.1 )

c k

m m m

x x

c k ux x x

m m m

Parametrik belirsizlik içeren sistem:


1x

ku

mu

1x2x 1x

my

ky

cu

2x

cy

kz

cz

u w mz


m

10.1

10.1

m

m

0

0.2

c

c

c

0

0.3

k

k

k

1 2

2

2

1

2

1

1

1 10.1 0.1 ( )

1 10.1 0.1 ( )

0.2

0.3

m m m c k

m m m c k

c

k

c c

k k

m m m

c c c

k k k

x x

x z u w u u z zm m

y u w u u z zm m

y cx

y kx

z u cx

z u kx

z x

u y

u y

u y


1 2

2 2 1

2 1

2

1

2

1

1

1 1 0.2 0.30.1 ( ) 0.1

1 1 0.2 0.30.1 ( ) 0.1

0.2

0.3

m c k m c k

m m c k m c k

c

k

c c

k

m m m

c c c

k k

k

k

x x

c kx u u z z u u u x u x

m m m m m m

c ky u u z z u u u x u x

m m m m m m

y cx

y kx

z u cx

z u kx

z

u

u y

u y

x

y


1 1

2 2

0 1 0 0 0 0

0.2 0.3 10.1

0.2 0.3 10.1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

m m

c c

k k

m k m

c c c

k m k

x xk c

x xm m m m m

y uk c

y um m m m m

cy u

kz u

u y

u y

u y


Gu 1z x

1 2

1 11 12

2 21 22

0 1 0 0 0 0

, ,0.2 0.3 10.1

0.2 0.3 10.1

0 , 0 0 0 , 0

0 0 0 0 0

1 0 , 0 0 0 , 0

A B Bk c

m m mm m

k c

m m m m m

C c D D

k

C D D

1 2

1 11 12

2 21 22

A B B

G C D D

C D D

mu

cu

ku

my

cy

ky

1 1

2 2

0 1 0 0 0 0

0.2 0.3 10.1

0.2 0.3 10.1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

m m

c c

k k

x xk c

x xm m m m m

y uk c

y um m m m m

cy u

kz u

Genişletilmiş sistem yapısı(augmented system)


1 2

1 11 12

2 21 22

0 1 0 0 0 0

, ,0.2 0.3 10.1

0.2 0.3 10.1

0 , 0 0 0 , 0

0 0 0 0 0

1 0 , 0 0 0 , 0

A B Bk c

m m mm m

k c

m m m m m

C c D D

k

C D D

%lft_mcksys.m m = 3; c = 1; k = 2; dm = 0.1; dc = 0.2; dk = 0.3; % A = [ 0 1 -k/m -c/m]; B1 = [ 0 0 0 -dm -dc/m -dk/m]; B2 = [ 0 1/m]; C1 = [-k/m -c/m 0 c k 0]; C2 = [ 1 0 ]; D11 = [-dm -dc/m -dk/m 0 0 0 0 0 0]; D12 = [1/m 0 0 ]; D21 = [0 0 0]; D22 = 0; G = pck(A,[B1,B2],[C1;C2],[D11 D12;D21 D22]);


m_nom = 3; c_nom = 1; k_nom = 2; d_m = 0.1; d_c = 0.2; d_k = 0.3; Mm = [-d_m 1/m_nom; -d_m 1/m_nom]; Mc = [0 c_nom; d_c c_nom]; Mk = [0 k_nom; d_k k_nom]; int1 = nd2sys([1],[1 0]); int2 = nd2sys([1],[1 0]); systemnames = ' Mm Mc Mk int1 int2' ; inputvar = ' [um;uc;uk;u]' ; input_to_Mm = ' [um; u-Mc(2)-Mk(2)]' ; input_to_Mc = ' [ uc; int1]' ; input_to_Mk = ' [ uk; int2]' ; input_to_int1 = ' [ Mm(2) ]' ; input_to_int2 = ' [ int1 ]' ; outputvar = ' [Mm(1); Mc(1); Mk(1);int2]' ; G=sysic;

Aynı işlem Matlab komutu sysic ile de yapılabilmektedir.

mM

cM

kM

Int1 Int2

Mm 2

Mc 2

Mk 2

Mm 1

Mc 1

Mk 1

m

c

k

m

c

k

z

z

z

y

y

y


0 1.0000 0 0 0 0 -0.6667 -0.3333 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 -0.6667 -0.3333 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 0 1.0000 0 0 0 0 2.000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0

-0.3333 -0.6667 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 1.0000 0 0 0 0 0 -0.3333 -0.6667 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 1.0000 0 0 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0


0 0

0 0

0 0

k

c

m

Gu z

Orijinal sistemin belirsiz yapısı üst LFT gösterimi

ile aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

( , )uz F G u

% % Frequency responses of the perturbed plants % lft_mcksys omega = logspace(-1,1,100); [delta1,delta2,delta3] = ndgrid([-1 0 1],[-1 0 1],[-1 0 1]); for j = 1:27 delta = diag([delta1(j),delta2(j),delta3(j)]); olp = starp(delta,G); olp_ic = sel(olp,1,1); olp_g = frsp(olp_ic,omega); figure(1) vplot('bode',olp_g,'c-') subplot(2,1,1) hold on subplot(2,1,2) hold on end subplot(2,1,1) olp_ic = sel(G,4,4); olp_g = frsp(olp_ic,omega); vplot('bode',olp_g,'r--') subplot(2,1,1) title('BODE PLOTS OF PERTURBED PLANTS') hold off subplot(2,1,2) hold off

10-1

100

101

10-4

10-2

100

102

Log M

agnitude

Frequency (radians/sec)

BODE PLOTS OF PERTURBED PLANTS

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

degre

es)

Frequency (radians/sec)

Ödev

Bir kütle-yay sisteminin denklemi

şeklinde verilmektedir. Gerçek katılık değeri

nominal katılık değeri 'dan %20 kadar

değişmektedir:

(1 0.2 )

Burada [ 1,1] aralığında değişen bozun

k

k

mx kx f

k

k k

nom

tuları göstermektedir.

LFT yaklaşımını kullanarak aşağıdaki yapıyı veren

M matrisini oluşturunuz. m=10 kg ve k =200 N/m için

frekans cevabını bulunuz.

f z

mak669 lineer robust kontrol

Documents