Metode Regula-FalsiAtau Metode Posisi Palsu

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode NumerikDosen Pengampu : Dr. Rochmad, M.SiRombel : 2

Oleh:

1. Cahyo Budi Santoso(4101410046)2. Richa Laila Mawaddah(4101410068)3. Dianih Mahesti(4101410029)4. Krisna Adesya(4101410099)5. Karunia Putri Permatasari(4101410089)6. Dian Pramudita W. (4101411186)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2013BAB IPENDAHULUAN

Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan lazim disebut akar persamaan (root of equation) atau nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya. misalnya 5x - 10 = 0. Pemecahannya adalah dengan menambahkan 3 pada kedua ruas sehingga menjadi 5x = 10, dengan demikian solusi akarnya adalah. Begitu juga persamaan kuadratik seperti x 2 - 4x - 5 = 0, akar-akarnya mudah ditentukan dengan cara pemfaktoran menjadi (x - 5) (x + 1) = 0, sehingga diperoleh x = 5 dan x = -1Bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Jika metode analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya dengan menggunakan metode numeric. Dalam metode numerik, persamaan akar f(x) = 0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar. Secara umum semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan.

Metode Tertutup atau Metode Pengurung (Bracketing Method)Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a, b]. Selang [a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar. Karena itu, metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar. Kadang-kadang metode tertutup dinamakan juga metode konvergen.

Metode TerbukaMetode terbuka tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandung akar. Yang diperlukan adalah tebakan awal akar, lalu dengan menggunakan prosedur lelaran kira menghitung hampiran akar yang baru. Pada tiap kali lelaran, hampiran akar yang lama dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar.

BAB IIPEMBAHASANA. METODE POSISI PALSUDalam metode bagidua nilai fungsi belum digunakan untuk menghitung hampiran akar. Perbandingan antara nilai f(a) dan f(b) yang nilainya lebih dekat ke nol akan menentukan posisi akar apakah lebih dekat ke ujung kiri a atau ke ujung kanan b.Metode posisi palsu memanfaatkan wawasan grafis ini dengan cara menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik-titik (a,f(a)) dan (b,f(b)) dengan sumbu X. Andaikan titik potong tersebut adalah c, maka akar akan terletak pada selang (a,c) atau (c,b). Selanjutnya penentuan selang mana yang mengandung akar menggunakan cara yang sama seperti pada metode bagi dua. Secara geometri metode ini diilustrasikan pada Gambar 2.1 dan Gambar 2.2 di bawah.

Gambar 2.1 Metode posisi palsu

acbf(a) = Af(b) = Bf(c) = CYX

Gambar 2.2 Metode posisi palsu

Perhatikan pada Gambar 2.1 segitiga BbC dan segitiga AaC.Dari hubungan segitiga sebangun maka diperoleh hubungan:

Titik potong dengan sumbu X adalah

Untuk menghentikan iterasi ketentuan bahwa lebar selang yang ditinjau sudah cukup kecil ternyata tidak dapat digunakan lagi. Iterasi akan dihentikan bilamana dua hampiran akar yang beruntun sudah hampir sama nilainya.

B. ALGORITMAAlgoritma program untuk metode posisi palsu adalah sebagai berikut:1. Tentukan a, b, toleransi atau epsilon ( ), dan jumlah iterasi maksimum2. Periksa apakah f(a). f(b) > 0; jika ya, keluar dari program karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. Jika tidak, maka lanjutkan program.3. Hitung nilai c dengan rumus berikut:

4. Jika ABS f(c) < toleransi, tuliskan c sebagai hasil perhitungan dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.5. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program.6. Jika f(a). f(c) < 0, maka b = c: jika tidak, a = c.7. Kembali ke langkah 3.

C. FLOWCHART

MulaiDefinisikan fungsiBaca a,b, tol, iter_maxIter = 0Fa = f(a)Fb = f(b)Fa*Fb>0Iter = Iter + 1Fc = f(c)ABS f(c) Iter_maxFa*Fc 0; jika ya, keluar dari program karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. a = 0, f(a) = e0 4.0 = 1> 0 b = 1, f(b) = e1 4.1 = -1,28172 < 0 Algoritma 3:Hitung nilai c dengan rumus berikut:

Algoritma 4:Jika |f(c)| < toleransi, tuliskan c sebagai hasil perhitungan dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.Jelas |f(c)| = 0,561734 > 10-5 .Algoritma 5:Jika jumlah itersai > iterasi maksimum, akhiri program.Iterasi : 1 < 30, lanjutkan perhitungan.Algoritma 6:Jika f(a). f(c) < 0, maka b = c; jika tidak, a = c.Jelas f(a). f(c) = 1 x e 0,438266 4 . 0,438266 = -0,2030474 0) thenbeginwriteln;writeln('Hampiran salah satu akar tidak terdapat pada selang tersebut');writeln('Silakan, Cari Selang yang lain ^_^');writeln;writeln('Tentukan selang (a,b) ');write('Tentukan Batas bawah (a) =');read(a);write('Tentukan Batas atas (b) =');read(b);write('Tentukan Toleransi =');read(tol);write('Jumlah iterasi maksimum =');read(max_iter);F_a:=f(a);F_b:=f(b);

repeatwriteln;writeln('Hampiran salah satu akar tidak terdapat pada selang tersebut');writeln('Silakan, Cari Selang yang lain ^_^');writeln;writeln('Tentukan selang (a,b) ');write('Tentukan Batas bawah (a) =');read(a);write('Tentukan Batas atas (b) =');read(b);write('Tentukan Toleransi =');read(tol);write('Jumlah iterasi maksimum =');read(max_iter);iter:=0;F_a:=f(a);F_b:=f(b);until F_a*F_b