makalah probabilistik
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
1/13
1 | P R O B A B I L I S T I K
BAB I
PENDAHULUAN1.1.Latar Belakang Probabilitas
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus
kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan
suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jikamenemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langitterlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu
kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan
turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran
tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di
masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakanprobabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika
kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti
terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu
kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Dalam
kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan pasti apa yang akan terjadi pada waktu
yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Sebuah contoh sederhanaadalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit untuk memastikan bahwa muka gambar atau
muka angka yang berada di atas. Jika terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk
memprediksikan apakah tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkaitdengan suatu ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau gagal dan lain
sebagainya. Semua peristiwa tersebut berada dalam ketidakpastian atau Uncertainty. Dengan
demikian, probabilitas atau peluang merupakan derajat kepastian untuk terjadinya suatuperistiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa
tersebut terjadi secara acak atau random.
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
2/13
2 | P R O B A B I L I S T I K
BAB II
PEMBAHASAN
2.1.Pengertian ProbabilitasSecara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara
lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :
Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadianacak.Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui:
1. Eksperimen,
2. Hasil (outcome)3. Kejadian atau peristiwa (event)
Contoh :
Dari eksperimenpelemparan sebuah koin.Hasil (outcome)dari pelemparan sebuah kointersebut adalah MUKA atau BELAKANG. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut
dikenal sebagai kejadian (event). Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal
(seperti 0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan(seperti 10070,10025,105 atau ).
Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0,semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai
probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.
2.2.Macam-macam Probabilitas
Probabilitas ada dua macam, yaitu:a. Probabilitas a priori, yaitu probabilitas yang disusun berdasarkanakal, bukan atas
pengalaman. Seperti untuk mengetahui peluang keluarnya mata dadu maka berpeluang 1/6,
karena jumlah mata dadau ada 6.b. Probabilitas relative frekuensi, yaitu probabilitas yang disusun berdasarkan statistic atau
fakta empiris. Disini didasarkan oleh fakta-fakta yang sering terjadi. Seperti setiap wanita
berusia 26 tahun memiliki probabilitas 971 yangdapat mencapai umur 27 tahun, artinya dari1000 wanita umur 26 tahun akan meninggal sebanyak 29 orang.
2.3.Pendekatan Perhitungan ProbabilitasAda dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang
bersifatobjektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua, yaitu :
1. Pendekatan KlasikProbabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan
seluruh peristiwa yang mungkin menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan :
nxAP
Keterangan : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A.
x = peristiwa yang dimaksud.
n = banyaknya peristiwa.
Contoh :
Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnyaangka berjumlah 5.
Penyelesaian :Hasil yang dimaksud (x) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3). (3,2)Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3). .., (6,5), (6,6).
36
4P(A) = 0,11
2. Konsep Frekuensi RelatifMenurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai proporsi waktu
terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil atau frekuensi relatif dari
suatu peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
3/13
3 | P R O B A B I L I S T I K
Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu
merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut. Menurut pendekatan frekuensi relatif,
probabilitas dirumuskan :
n
fimitl)P(x i
n
i
Keterangan : P(Xi) = probabilitas peristiwa i.
fi = frekuensi peristiwa i.n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan.
Contoh :
Dari hasil ujian statistik, 65 mahasiswa STMIK MDP, didapat nilai-nilai sebagai berikut.
x 5,0 6,5 7,4 8,3 8,8 9,5
f 11 14 13 15 7 5
x = nilai statistik.
Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3 !
Penyelesaian :Frekuensi mahasiswa dengan nilai 8,3 (f) = 15
Jumlah mahasiswa (n) = 65.
65
158,3)P(x = 0,23
3. Probabilitas SubjektifMenurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan
individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.
Contoh :
Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah
lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapatdipercaya. Probabilitas tertinggi(kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara
subjektif oleh sang direktur.Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai
probabilitas, yaitu sebagai berikut Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan
untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).
Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki
batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 ( 0 P 1).
Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidakakan terjadi.
Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pastiterjadi.
Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebutdapat atau tidak dapat terjadi.
2.4.Beberapa Aturan Dasar Probabilitas Aturan Penjumlahan :
Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah
bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.
1. Kejadian Saling MeniadakanDua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu
tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling meniadakan,
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A atau B) = P(A) + P(B) atau P(A B) = P(A) + P(B)
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
4/13
4 | P R O B A B I L I S T I K
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalahA = peristiwa mata dadu 4 muncul.
B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.
Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !- Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!
Penyelesaian :P(A) = 1/6P(B) = 2/6
P(A atau B) = P(A) + P(B)
= 1/6 + 2/6= 0,5
2. Kejadian Tidak Saling MeniadakanDua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila kedua
peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika dua peristiwa Adan B tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A atau B) = P(A) + P(B)P(A dan B) -> P(A B) = P(A) + P(B)P(A B)
Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)P(A B)P(AC)P(B C) + P(A BC)
Contoh :
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :A = peristiwa mata (4, 4) muncul.
B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.
Tentukan probabilitas P(A atau B) !
Penyelesaian :P(A) = 1/36
P(B) = 14/36P(A B) = 0
P(A atau B) = P(A) + P(B)P(A B)
= 1/36 + 14/360
= 0,42
Aturan PerkalianDalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis
kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian bebas.
1. Kejadian Tak BebasDua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu
dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Probabilitas peristiwa tidak saling bebas
dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.
a. Probabilitas BersyaratProbabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu
peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut salingmempengaruhi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa
tersebut adalah
APABP
B/AP
P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A terjadi.
Contoh Soal :
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :5 buah bola putih bertanda +, 1 buah bolaputih bertanda , 3 buah bola kuning bertanda + , 2 buah bola kuning bertanda , Seseorang
mengambil sebuah bola kuning dari kotak. Berapa probabilitas bola itu bertanda +?
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
5/13
5 | P R O B A B I L I S T I K
Penyelesaian :Misalkan : A = bola kuning
B+ = bola bertanda positif
B- = bola bertanda negatif.
P(A) = 5/11
P(B
+
A) = 3/11
APABP
/A)P(B
5
3
11
511
3
/ ABP
b. Probabilitas GabunganProbabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua
atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu salingmempengaruhi.Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)
Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut
adalah
P(ABC) = P(A) x P(B/A) x P(C/A B)
Contoh Soal:
Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2 kali secara acak.
Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada pengambilan pertama dan as(B) padapengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !
Penyelesaian :(A)= pengambilan pertama keluar kartu king.P(A) = 4/52
(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as
P(B/A) = 4/51P(A B) = P(A) x P(B/A)
= 4/52 x 4/51
= 0,006
c. Probabilitas Marjinal :Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu
peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwatersebut saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya
peristiwa A tersebut adalah
P(A) = P(B A)
= P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, ..
Contoh Soal:
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :5 buah bola putih bertanda +, 1 buah bola
putih bertanda ,3 buah bola kuning bertanda +, 2 buah bola kuning bertanda , Tentukanprobabilitas memperoleh sebuah bola putih !
Penyelesaian :Misalkan : A = bola putih
B+= bola bertanda positif
B-= bola bertanda negatif
P(B+A) = 5/11
P(B-A) = 1/11
P(A) = P(B+A) + P(B
-A)
= 5/11 + 1/11
= 6/11
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
6/13
6 | P R O B A B I L I S T I K
2. Kejadian Bebas :Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut
tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidakmempengaruhi B atau sebaliknya. Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka
P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)P(AB) = P(A) P(B) = P(B) P(A)
Contoh Soal :
Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1adalahlemparan pertama yang mendapat gambar burung(B), dan A2adalah lemparan kedua yang
mendapatkan gambar burung(B), berapakah P(A1 A2)!
Penyelesaian :Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan
P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5, maka P(A1 A2) = P(A1) P(A2) = P(B) P(B) =
0,5 x 0,5 = 0,25.
Rumus Bayes :
Jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas, yaitu A 1, A2,A3, ., Anyang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan bila ada peritiwa lain(misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, .,
An maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, ., An dengan diketahui
peristiwa X tersebut adalah
,...4,3,2,1
)/(......//
)/(/
2211
iAXPAPAXAPAXPAP
AXPAPXAP
nn
iii
Contoh Soal:
Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuahbola. Didalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak
III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa
probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?
Penyelesaian :Misalkan : A1peristiwa terambil kotak I
A2peristiwa terambil kotak IIA3peristiwa terambil kotak III
X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas
Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A3/X)).P(A1) = 1/3 P(X/A1) = 1
P(A2) = 1/3 P(X/A2) = 0
P(A3) = 1/3 P(X/A3) =
33221133
3/././.
/./
AXPAPAXPAPAXPAP
AXPAPXAP
=
31
2
1
3
10
3
11
3
1
2
1
3
1
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
7/13
7 | P R O B A B I L I S T I K
2.5.Permutasi Dan KombinasiPembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar
membilang dan faktorial.1. Prinsip Dasar Membilang
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1cara, kejadian kedua dalam n2cara,
demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam nk cara, maka keseluruhan kejadian dapatterjadi dalam :n1x n2x x nkcara
Contoh Soal :Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika
Jakarta Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya Ujungpandang dapat dilalui
dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melaluiSurabaya?
Penyelesaian :Misalkan : dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara.Dari Surabaya ke Ujungpandang (n2) = 2 cara.
Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah :
n1x n2= 3 x 2 = 6 cara.
2. FaktorialFaktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari
bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.
Faktorial dilambangkan: !.
Jika : n = 1,2, ., maka :
n! = n(n1)(n2) .x 2 x 1
= n(n1)!
Contoh Soal :
Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut
a. 5!b. 3! X 2!c. 6!/4! Penyelesaian :
a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120b. 3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12c. 30
1234
123456
!4
!6
xxx
xxxxx
A. Permutasi Pengertian Permutasi
Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatuurutan tertentu.
Contoh Soal :
Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC,CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan
dengan cara yang berbeda.
Rumus-rumus PermutasiPermutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian : mPm = m!
Contoh :
Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada
sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapatdisusun.
Penyelesaian :Buku-buku matematika dapat disusun dalam : 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
8/13
8 | P R O B A B I L I S T I K
a. Permutasi sebanyak x dari m objek tanpa pengembalian :
xm
xm
mmPx
!
!
Contoh Soal:
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorangketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa cara keempat calon tersebut
dipilih?
Penyelesaian:m = 4 dan x = 3
4P3 =
241
1234
!34
!4
xxx
b. Permutasi dari m objek dengan pengembalian :mPx = m
x
x m danbilangan bulat positif
Contoh Soal:
Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang
terpilih!
Penyelesaian :M = 3 dan x = 23P2 = 32= 9
yaitu : AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
c. Permutasi dari m objek yang sama :m!
mPm1, m2, m3, = -----------------------m1! . m2! . m3! .
Dengan m1+ m2+ m3+ .= m
Contoh Soal :
Tentukan permutasi dari kata TAMAT
Penyelesaian :M = 5, m1= 2, m2= 2, m3= 1
5! 5 x 4 x 3 x 2 x 15P2, 2, 1 = --------------- = -------------------- = 30
2! . 2! . 1! 2 x 1 x 2 x 1 x 1
B. Kombinasi Pengertian Kombinasi :
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek
tersebut.
Contoh Soal:
Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD.
Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya.Oleh karena itu :
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCABCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
9/13
9 | P R O B A B I L I S T I K
Rumus-rumus Kombinasi :Kombinasi x dari m objek yang berbeda :
Bila kita telaah, persamaan kombinasi dapat dinyatakan dalam permutasi sebagai
berikut:
Contoh Soal :
1. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemainganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?
Penyelesaian :M = 5 dan x = 2
5!
5C2 = ---------------- = 10
(52)! . 2!
2. Ada 4 pasang suami istri, maka berapa carakah yang dapat dilakukan agar dapat dibentukkelompok yang terdiri atas 3 orang?, lalu berapa cara yang dapat dilakukan agar dapatdibentuk kelompok yang terdiri atas 3 orang (2 orang laki- laki dan 1 orang wanita)?
Penyelesaian :Kelompok yang terdiri atas 3 orang (tanpa jenis kelamin yang khusus), maka
kemungkinannya:
kelompok yang terdiri atas 3 orang (2 orang laki-laki dan 1 orang wanita), maka
kemungkinannya:
2.6 Fungsi Ditribusi
Distribusi BinomialFungsi distribusi adalah fungsi yang menggambarkan kumpulan dari beberapa peluang,
adapun binomial mengandung arti dua, sedangkan distribusi binomial yang dimaksud adalah
keadaan untuk menggambarkan peluang yang akan muncul dari suatu peristiwa yang diulang n
kali percobaan dimana peristiwa tersebut memiliki dua kemungkinan kejadian. Sebagai contohperistiwa binomial adalah:
1.2. lemparan sebuah mata uang dapat berupa gambar atau angka,3. keadaan spin partikel dapat up atau down.
Pada peristiwa yang menggunakan distribusi binomial akan memiliki dua keadaan(katakanlah A dan A). Untuk satu kali peristiwa itu terjadi, peluang kejadian A dinyatakan
dengan P(A) = p dan peluang kejadian bukan A (kejadian A) dinyatakan dengan P(A) = q,dalam hal ini hubungan antara p dan q dapat dinyatakan dengan :
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
10/13
10 | P R O B A B I L I S T I K
Bagaimanakah kita dapat menentukan peluang yang akan muncul untuk keadaan tertentu
jika peristiwanya kita ulang beberapa kali.
Sebagai contoh:1. lemparan sebuah
mata uang.
2. Tentukan peluang untuk mendapatkan 2 muka gambar dalam tiga kali lemparan sebuah matauang.
3. Tentukan peluang untuk mendapatkan 1 muka gambar dalam tiga kali lemparan sebuah matauang.
Pola lemparan yang akan terjadi ditunjukkan pada tabel 3.1.
Tabel 3.1
Pola kombinasi tiga kali lemparan sebuah mata uang
Jika kita melihat hal ini maka untuk menjawab pertanyaan di atas dapat dilakukan denganmudah:
P(3G) = 1/8. P(2G) = 3/8. P(1G) = 3/8.
Namun untuk lemparan yang cukup banyak, misalnya empat lemparan, maka pola yangterbentuk menjadi seperti pada tabel 3.2. Pola ini akan semakin berkembang jika jumlah
lemparan diperbanyak. Perhatikan peluang untuk mendapatkan dua muka gambar dalam empat
kali lemparan mata uang dapat diperlihatkan oleh tabel 3.2, P(2G) = 6/16. Harga peluang ini adakaitannya dengan harga kombinasi yang harus dilakukan untuk menempatkan pola yang dapat
terjadi. Untuk jumlah lemparan yang cukup banyak akan sangat kerepotan kita dalam
menentukan pola kombinasi yang akan terjadi. Oleh karena itu kita perlu model matematis untukmenentukan harga probabilitas dalam distribusi binomial.
Tabel 3.2Pola kombinasi empat kali lemparan sebuah mata uang
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
11/13
11 | P R O B A B I L I S T I K
Model ini dapat kita asumsikan sebagai berikut, misal hasil sebuah eksperimen yang telah
dilakukan memiliki dua kemungkinan yakni berhasil (h) dan gagal (g), bagaimanakah peluang
utuk menentukan dua eksperimen yang berhasil dari semua eksperimen yang pernah dilakukan.
Berdasarkan hasil uji coba maka diperoleh model matematis untuk distribusibinomial, yang dinyatakan dengan:
Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut:
Distribusi MultivariatDistribusi Bivariat dan Trivariat, Jika X1 dan X2 variabel-variabel random diskrit,
maka fungsi f(x1, x2) = P(X1 = x1, X2 = x2) untuk setiap (x1, x2) dalam X1 dan X2, disebut
fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint distribution) dari X1 dan
X2.
Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas bersama dari sepasang
variabel random diskrit X1 dan X2 jika dan hanya jika f(x1, x2) memenuhi syarat berikut: f(x1,
x2) 0 untuk setiap (x1,x2) dalam domainnya;
di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua pasangan (x1,x2) yang mungkin dalam doimainnya.
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
12/13
12 | P R O B A B I L I S T I K
2.6.Manfaat Probabilitas Dalam PenelitianManfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam
mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjaupada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;4. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan
yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karenakehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasiyang didapat tidaklah sempurna.
5. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yangterkait tentang karakteristik populasi. Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis(perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik
populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan
berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.6. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.Contoh Soal :
Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandinganantara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin
perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010
menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah
penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusanbahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat
daripada jumlah penduduk pria.
2.7.Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian
Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya
memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disinikita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat
apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.
Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika kointersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar
dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan
secara seksaama, pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka,
maka peluang munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu . 1 menyatakan hanya satudari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2
menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya
gambar + munculnya angka.
Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkinterjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai
berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian
A, maka probabilitas A adalah :
P(A) = nA/N
Dimana : nA= banyaknya kejadian
N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh Soal :
1. Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar danangka dilemparkansecara bebas sebanyak 1 kali. Berapakah probabilitas munculnya gambar
atau angka?
Penyelesaian :n=1, N=2
P (gambar atau angka)=1/2 atau 50%Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.
-
7/21/2019 Makalah Probabilistik
13/13
13 | P R O B A B I L I S T I K