manual de matemática básica08-07-09

Compilado por

Lic Esp Joseacute Francisco Barros Troncoso

Santa Marta2009

Manual de Matemaacutetica Baacutesica Lic Esp Joseacute F Barros Troncoso1

CONTENIDO

I Justificacioacuten II Objetivo GeneralIII Contenido TemaacuteticoIV Orientacioacuten MetodoloacutegicaV Criterios EvaluativosVI BibliografiacuteaVII Web grafiacutea

1 Estructura Epistemoloacutegica de la Matemaacutetica iquestQueacute es MATEMAacuteTICA El Nuacutemero iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica Las competencias

2 Nuacutemeros Reales Los Operadores Expresiones aritmeacuteticas Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Sistemas de Numeracioacuten Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero

3 Nuacutemeros Enteros Valor Absoluto de un Nuacutemero Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros

4 Nuacutemeros Racionales- Definicioacuten - Origen de las fracciones- Propiedades de las fracciones- Principio fundamental de los Racionales- Operaciones con los nuacutemeros Racionales

o Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros Racionaleso Multiplicacioacuten de los Racionaleso Divisioacuten de los Racionales

- Nuacutemeros Mixtos


- Ecuaciones con nuacutemeros Racionales- Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales

5Nuacutemeros Decimales Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales Porcentaje

6 Potenciacioacuten Radicacioacuten Conjunto Notacioacuten de Conjunto Tipos de Conjuntos Relacioacuten entre Conjuntos Operacioacuten entre Conjuntoso Unioacuteno Interseccioacuteno Diferenciao Complementoo Diferencia Simeacutetrica

Desigualdad Intervaloso Abiertoo Cerradoo Semi-abierto o semi-cerrado o Intervalos Infinitos

Logaritmacioacuten

7 Expresiones Algebraicas Conceptos Baacutesicos Expresioacuten Aritmeacutetica Teacutermino Algebraico Teacuterminos Algebraicos Semejantes Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Expresioacuten Algebraica Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma


Producto de polinomios Productos Notables Signos de Agrupacioacuten

8 Factorizacioacuten

9 Fracciones Algebraicas Definicioacuten Simplificacioacuten Suma y resta Producto Cociente

10 Ecuaciones Ecuacioacuten lineal con una variable Ecuacioacuten Cuadraacuteticao Solucioacuten por factorizacioacuten o Solucioacuten completando de cuadrados o Solucioacuten por la formula general

Inecuaciones Inecuaciones Lineales

11 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Conjunto Solucioacuten- Sistemas de Ecuaciones- Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal- Meacutetodo de Igualacioacuten - Meacutetodo de Sustitucioacuten - Meacutetodo de Eliminacioacuten- Por Determinante


I Justificacioacuten

El presente compilacioacuten es fruto de la experiencia obtenida durante 14 antildeos de servicio a la educacioacuten en diferentes instituciones acadeacutemicas en Maicao y Riohacha (Guajira) y en Santa Marta en los niveles de baacutesica media teacutecnica y profesional La propuesta busca darle sentido a la matemaacutetica en otros contextos que el estudiante le deacute una mirada distinta a la que tradicionalmente se le atribuye por las dificultades de su aprendizaje que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento loacutegico del ser humano y el desarrollo de la sociedad

II Objetivo General Exponer los conocimientos baacutesicos de la matemaacutetica en forma sencilla loacutegica criacutetica y analiacutetica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y econoacutemicos

III Contenido Temaacutetico

Nordm Contenido1 Nuacutemeros Reales2 Factorizacioacuten3 Ecuaciones e Inecuaciones4 Sistemas de Ecuaciones

IV Orientacioacuten MetodoloacutegicaPara el desarrollo del modulo se plantean las siguientes estrategias metodoloacutegicas Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios praacutecticos de su vida

cotidiana Mostrar al estudiante ejercicios praacutecticos que estimulen el pensamiento criacutetico Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construccioacuten de

conocimiento que permite discernir sobre la base conceptual


Complementar los temas tratados a traveacutes de ejercicios praacutecticos utilizando herramientas informaacuteticas en procura de reforzar clasificar y analizar los diferentes conocimientos

V Criterios EvaluativosSe busca aplicar una evaluacioacuten integral donde el componente numeacuterico proveniente de una evaluacioacuten escrita no sea el uacutenico a considerar sino que adicionalmente a este se tomaraacuten aspectos como la participacioacuten talleres y evaluaciones escritas

VI Bibliografiacutea HARSHBARGER|REYNOLDS Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y

ciencias sociales Editorial McGrawHill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten

economiacutea FRANK S BUDNICK Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten economiacutea y ciencias

sociales Editorial McGrawHill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY Matemaacuteticas Universitarias Editorial

McGrawHill SOO TANG TAN Matemaacuteticas para Administracioacuten y Economiacutea Editorial Thomson

Tercera Edicioacuten 2005

Web grafiacutea httpplateapnticmeces~jalonsomatesejerbachhtml httpalgebrabaldorwebcindariocomindexhtm httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtml httpwwwsectormatematicaclsimcehtm httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racional httpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-

racionalesshtml httpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf httpusuarioslycosesmislogaritmos httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtm httpalgebrabaldorwebcindariocomid95htm httpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf httpusuarioslycosescalculo21id401htm httpwwwcalc101com


LA MATEMAacuteTICA

iquestQueacute es MATEMAacuteTICA Del latiacuten mathematĭca y este del griego τὰ μαθηματικά derivado de μάθημα que significa ciencia conocimiento aprendizaje

La matemaacutetica es la ciencia que mejor conocemos porque el nuacutemero es una creacioacuten humana

El Nuacutemero Es un siacutembolo que representa una cantidad A traveacutes de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades

La necesidad de contar La invencioacuten de la matemaacutetica data de los albores de la humanidad La matemaacutetica es maacutes vieja como el instinto de propiedad es decir tan antigua como el hombre este se sintioacute matemaacutetico en cuanto el afaacuten de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebantildeos y medir sus tierras

Los dedos primer sistema de numeracioacuten En sus comienzo el hombre numeraba las cosas con los dedos si queriacutea decir uno levantaba un dedo dos levantaba dos dedos con las dos manos podiacutea contar hasta diez Para sentildealar nuacutemero mayor haciacutea girar las manos veinte la giraba dos veces treinta tres veces etceacutetera

Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar las yescas piedras nudos rayas en las piedras hasta llegar al aacutebaco

La forma de los Nuacutemeros Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio el uno dos y tres corresponden a los dedos levantados el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muntildeecas

Los nuacutemeros que utilizamos en la actualidad se derivaron tambieacuten del sistema de contar con los dedos El uno desde un principio se escribioacute tal como lo hacemos hoy el dos era representado por


dos trazos pero horizontal el tres por tres bastones acostados el un sobre el otro el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido Al escribirse raacutepidamente sin levantar la pluma del papel fueron tomando la forma que conocemos

Los Nuacutemeros Araacutebigos que son Hinduacutees Esos nuacutemeros que utilizamos provienen de la antigua escritura India se denominan araacutebigos porque en el antildeo 711 los Aacuterabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilizacioacuten Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los aacuterabes en Europa de alliacute fueron conocidos como signos araacutebigos La matemaacutetica es un modo de pensar un modo de razonar Se puede usar para comprobar si una idea es cierta o por lo menos si es probablemente cierta La matemaacutetica es un campo de exploracioacuten e invencioacuten en el que se descubren nuevas ideas cada diacutea y tambieacuten es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias el gobierno y la industria Es un lenguaje simboacutelico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra iexclHasta ha llegado a sugerirse que la matemaacutetica seriacutea el lenguaje que entenderiacutea los habitantes de Marte (si existieran)Obtenido del libro EXPLORANDO LA MATEMATICA tomo 1

En general podemos concluir que el objetivo general de la matemaacutetica es la buacutesqueda del desarrollo del pensamiento loacutegico del hombre

iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica A traveacutes de la historia la matemaacutetica ha sido y es una de las aacutereas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje iquestPor queacute iquestCoacutemo se justifica dicha complejidad

No sea comprendido el problema de las matemaacuteticas Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad (iquestFalta trabajo en la

formacioacuten de los docentes) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfeccioacuten formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad La figura del docente

Hoy en diacutea son muchas las personas que estaacuten trabajando en el disentildeo de estrategias que permitan mejorar los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

Las competencias matemaacuteticas no se alcanzan por generacioacuten espontaacutenea sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos que posibiliten avanzar a niveles de competencia maacutes y maacutes complejos httpjaa-matematicasblogspotcom200610qu-es-la-matemticahtmlhttpwwwsectormatematicaclsimcehtm


Unidad Nuacutemeros RealesTema Nuacutemeros Naturales

Ejercicio Lea las siguientes cifras

a5acute006004b 200202c1acute001000d 1057003000e 52125

Problema Nordm 1 Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana El lunes consigna doscientos mil cien pesos el martes un milloacuten cinco mil diez pesos el mieacutercoles gira un cheque por un milloacuten un mil diez pesos el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos iquestCuaacutenta plata le queda en el banco

Los Operadores Son siacutembolos que indican una relacioacuten u operacioacuten entre dos o maacutes nuacutemeros Existen diferentes tipos de operadores

Los loacutegicos permiten combinar expresiones (y o no) De relacioacuten permiten realizar comparaciones entre valores (= lt le gt ge ne) Aritmeacuteticos Indican una operacioacuten (+ radic)

Ejercicio-1 Realice las siguientes operacionesa 85935 + 97486b 7000 ndash 5699c 32476 ndash 25588d 4 x 25e 0 divide 19f 23 divide 0g 2515 + 73045h 3168 divide 198i 7745 divide 548

Expresiones aritmeacuteticas Es la combinacioacuten de nuacutemeros y operadores

Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Las expresiones de dos o maacutes operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones este orden es

1 Los signos de agrupacioacuten ( ) [ ] 2 Potenciacioacuten y radicacioacuten3 Multiplicacioacuten y divisioacuten


4 Suma y resta

Si en una expresioacuten se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha

Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones1 6 + 9 times 22 6 ndash 8 divide 4 + 3 times 23 6 + 4 times 3 ndash 42 divide 4 4 4 times 32 - 23 divide radic16 + 55 35 divide radic25 times 3 ndash 5 times 2 + 23divide4

Ejercicio-2 Dados los siguientes ejercicios ubique el signo de agrupacioacuten en el sitio indicado

1 2 36 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 4 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -2 6 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= 76 + 8 divide 2 ndash 3 times 1= -14

5 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 105 times 6 - 4 times 5 = 130

8 ndash 2 3 + 1 = 248 ndash 2 3 + 1 = 198 ndash 2 3 + 1 = 3

SISTEMAS DE NUMERACIOacuteN

Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir nuacutemeros Cada sistema de numeracioacuten tiene una base Entre los sistemas de numeracioacuten conocidos tenemos Binario de base dos octal de base ocho el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez este uacuteltimo es el que empleamos nosotros

Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero

Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer- 300 + 50 + 7- 3100 + 510 + 7 como 100= 1- 3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10- 3x2+5x+7

Es decir el nuacutemero 357 se puede expresar como 3x2+5x+7

Ejercicio Expresar cada nuacutemero en forma polinoacutemica1 5462 123503 100201


Ejercicio Exprese cada polinomio en forma decimal1 5x2+3x+92 2x3+6x2+8x+13 4x3+3x4 7x2 ndash 5x + 35 x3 ndash 6x - 9

CONJUNTO DE NUacuteMEROS

Nuacutemeros Diacutegitos Son los que consta de una cifra

Nuacutemeros Reales Se considera el conjunto universal se representa con la letra R a eacutel pertenecen

o Los Naturales Los nuacutemeros para contar se representa con la letra No Los Enteros Estaacuten formados por los naturales el cero y los negativoso Los Racionales son los de la forma abo Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razoacuten de dos enteros Tienen

representaciones decimales que no se repiten ni terminan

Problemas relacionados con los nuacutemeros Naturales

1 Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa el inventario inicial es de 157 bolsas recibe durante la semana las siguientes cantidades el lunes 285 el martes 278 el mieacutercoles 196 el jueves 418 y el viernes 332 El saacutebado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500 iquestCuaacutel es utilidad obtenida durante dicha semana

2 iquestCuaacutento costoacute lo que al venderse por $12acute517350 deja una peacuterdida de $1acute383500

3 Si compro un computador portaacutetil por 807 doacutelares si quiero ganarme $500000 por su venta teniendo en cuenta que el doacutelar estaacute en $219080 iquesten cuaacutento debo vender

4 Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razoacuten de $100 la unidad Si se le dantildearon 35 naranjas iquestcuaacutel es la ganancia o la perdida

NUMEROS ENTEROS

Matemaacuteticamente el conjunto de los nuacutemeros enteros con las operaciones de suma y multiplicacioacuten

constituye un anillo conmutativo y unitario Por otro lado donde es el orden


usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior los enteros no tienen principio ni fin El conjunto de los nuacutemeros enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemaacuten Zahlen nuacutemeros)

Valor Absoluto de un Nuacutemero Es la distancia del nuacutemero al cero por ello este valor siempre es positivo es decir no tiene en cuenta el signo Si x es un nuacutemero entero el valor absoluto de x se representa |x|

Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|

Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Para sumar o restar dos o maacutes nuacutemeros enteros se debe tener en cuenta

1 Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el nuacutemero que tienen los nuacutemerosEjemplo

5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8

2 Si son de de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del nuacutemero de mayor valor absolutoEjemplo

5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2

Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros Para multiplicar o dividir dos enteros debemos tener en cuenta1 El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo

Ejemplo 6 3 = 18 (-6) (-3) = 18 6 divide 3 = 2 (-6) divide (-3) = (2)

2 El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 (-4) = -64 (-16) 4 = -64


16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER

Tema Nuacutemeros Enteros

Objetivo Identificar los nuacutemeros enteros aplicar sus propiedades y resolver problemas que involucran dicho conjunto de nuacutemeros

I Marque con una C la afirmacioacuten correcta y con una I la incorrecta Si la repuesta es incorrecta justifiacutequela

1 19 ndash 54 ndash 81 = 116 ( )2 -9 + 18 ndash 10 = - 1 ( )1 Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( )2 Si 3x = -18 entonces x = 6 3 -1 gt -2 ( )4 |-3| lt|-5| ( )


5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )

Problemas 1 Se quiere resolver un problema sobre tres nuacutemeros enteros consecutivos que sumados fueran 81

Se escribe la ecuacioacuten (n ndash 1) + n + (n + 1) a iquestQueacute representa n

- El menor de los tres nuacutemeros enteros- El nuacutemero entero del medio- El mayor de los tres nuacutemeros enteros- La diferencia entre el nuacutemero menor y el mayor de los tres nuacutemeros enteros

b Los tres nuacutemeros son

26 ndash 27 ndash 28 16 ndash 17 ndash 18 6 ndash 7 ndash 8 36 ndash 37 ndash 38

2 Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de cafeacute a iquestCuaacutentos litros de agua quedan en el tanque despueacutes de 5 horas si se gastan un promedio de

4900 litros por hora- 180 litros- El tanque queda vaciacuteo- No alcanza el agua- 10 litros

b iquestCuaacutentos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance

3 En un campeonato de fuacutetbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistiacutea en partido ganado daba 3 puntos partido empatado daba 1 punto partido perdido quitaba 2 puntos cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1 Al final cada equipo jugoacute 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes


EQUIPO PARTIDOS GOLESGAN EMP PER FAV CONTRA

TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9

TOROS 5 2 3 8 8REBELDES 3 2 3 12 7PITUFOS 2 0 6 7 12

4900 litros 4864 litros 4684 litros 4090 litros

En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos

4 Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000 Vendioacute una parte por US $ 46400 a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte por US $ 36000 ganando US $ 100 a cada unoa El lote tiene

216 computadores 116 computadores 60 computadores 40 computadores

b Para obtener una ganancia de US $ 4000 los restantes computadores los debe vender en

US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480

5 Pitaacutegoras filoacutesofo y matemaacutetico griego vivioacute entre los antildeos 582 y 496 aC iquestA queacute edad murioacute iquestCuaacutentos antildeos hace de eso

6 Hipatia de Alejandriacutea fue una cientiacutefica filoacutesofa y maestra que murioacute asesinada en el antildeo 415 a la edad de 45 antildeos Arquiacutemedes en cambio fue un matemaacutetico griego que murioacute a la edad de 75 antildeos durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el antildeo 212 aC iquestEn queacute antildeo nacioacute cada uno

Ejercicio Utilice la hoja de caacutelculo Excel para generalizar cada uno de los ejercicios anteriores

NUMEROS RACIONALES

httpeswikipediaorgwikiNC3BAmero_racionalhttpwwwmonografiascomtrabajos42numeros-racionalesnumeros-racionalesshtml

Definicioacuten de Nuacutemero racional


Posicioacuten Equipo Puntos12345

Es el que se puede expresar como cociente de dos nuacutemeros enteros El teacutermino racional hace referencia a una racioacuten o parte de un todo el conjunto de los nuacutemeros racionales se designan con Q por quotient que significa cociente en varios idiomas europeos El conjunto Q de los nuacutemeros racionales estaacute compuesto por los nuacutemeros enteros y por los fraccionarios Los nuacutemeros enteros son racionales pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad a = a1 Los nuacutemeros racionales no enteros se llaman fraccionarios

El conjunto Q de los nuacutemeros racionales se representan de la forma ab donde a y b R con b 0 a recibe el nombre de numerador y b denominador Un racional es una divisioacuten indicada

Existen dos tipos de racionales propios e impropios Un racional propio es aquel que el numerador es

menor que el denominador como por ejemplo 12

23

y 1115

Un racional impropio es aquel que el

numerador es mayor que el denominador por ejemplo 5273y

194

Los racionales impropios se

pueden convertir en nuacutemeros mixtos o en enteros (por ejemplo 213

534

y 623

)si se divide el

numerador por el denominador y el resto se expresa como una fraccioacuten del denominador

Todo nuacutemero entero se puede expresar como un racional

Origen de las fracciones Aritmeacutetico La divisioacuten no exacta de los enteros Geomeacutetrico Un segmento con longitud no exacta Fiacutesico Medicioacuten de magnitudes fiacutesicas

Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1 Si el numerador es igual a cero el racional es cero Si el denominador es cero el racional es indeterminado

Principio fundamental de los RacionalesEl numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificacioacuten) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero

Ejercicio Amplificar en 2 5 7 y 8 cada racional


1

43

2 74

3 25

4

37

Ejercicio Simplifique cada una de las siguientes expresiones

1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3

64 xy2 Operaciones con los nuacutemeros Racionales

Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros RacionalesPara sumar o restar nuacutemeros racionales debemos tener en cuenta si

1 Si tienen el mismo denominador Se mantiene el mismo denominador comuacuten y se suman los numeradores Simboacutelicamente

adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0

2 Si tiene diferente denominador Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientosa Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominadorb Se busca el maacuteximo comuacuten divisor

Si a y b son dos nuacutemeros naturales distintos de cero tal que a gt b entonces MCD (a b) = MCD (b a ndash b)

c Se aplica la foacutermulaacplusmnbd=adplusmnbc

cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52

Multiplicacioacuten de los Racionales

El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores Es

decir

abxcd= axcbxd

Divisioacuten de los Racionales

El cociente de dos nuacutemeros racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador

Es decir

abdivide cd=abtimesdc=atimesdbtimesc

Nuacutemeros Mixtos Son aquellos formados por un entero y un racional Es decir abc

Ejemplo 5

143

127

232

14

Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional Ejemplo convertir en racional

5143

127

232

14

Para convertir una fraccioacuten en mixto esta de ser impropia se descompone el numerador en dos

sumas tal que uno de los sumandos sea muacuteltiplo del denominador se separan los sumando se simplifica y se expresa como mixto

Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515


Ecuaciones con nuacutemeros Racionales

Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones

1 m +

7iquest3 iquestiquest

iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23

Problemas de Aplicacioacuten de los Racionales

1 Si un fosforo mide 1

25 iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir

34

de metro

2 Una persona debe realizar un trabajo en 3 diacuteas el primer diacutea alcanza a realizar

17 del total el

segundo

25 y el tercero

14 iquestalcanzo a cumplir con su trabajo

3 En un colegio hay 3 240 estudiantes y el nuacutemero de estudiantes mujeres es de 7

18 del total

iquestcuaacutentos estudiantes varones hay

4 De un tanque de gas se gasto

13 en la primera semana

38 en la segunda y

14 en la tercera

semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque



14 en la segunda

320 en la tercera y

15

la cuarta semana iquestQueacute fraccioacuten de gas queda en el tanque Si el tanque se llena con 5000 cc iquestqueacute fraccioacuten de gas se gasto cada semana


6 Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma

15 para su esposa

14 para sus hijos

16

para el resto de la familia y el restante lo donaraacute a una casa de beneficencia Si su herencia estaacute valorada en 300 millones de pesos iquestcuaacutento le corresponde a cada uno

7 Un sentildeor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera a dos de sus hijos les deja 25y

13

de su herencia y al tercero el resto Si la herencia es de 300 millones de pesos iquestCuaacutento le

corresponde a cada uno

8 Un joven quiere comprar una bicicleta El papaacute la da la mitad de la plata la mamaacute

25 de la

parte que le falta Si la bicicleta tiene un valor de $124000 iquestQueacute fraccioacuten le hace falta para comprar la bicicleta

9 En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fuacutetbol iquestCuaacutentos no juegan fuacutetbol 10 Si un empleado devenga $1200000 y gasta $160000 en servicios $340000 en alimentacioacuten

$280000 de la cuota de una deuda reserva $200000 para transporte y $100000 para imprevistos lo restante lo ahorra iquestQueacute fraccioacuten de su sueldo ahorra

11 En una estacioacuten de gasolina se llena el depoacutesito el lunes con 2500 galones el mismo diacutea se venden 600 galones el martes 500 galones y el martes 300 galones iquestQueacute fraccioacuten de gasolina se vendioacute cada diacutea iquestQueacute fraccioacuten de gasolina queda en el depoacutesito

12 El valor de un artiacuteculo es $180000 es incrementado en

16 de su valor iquestCuaacutel es su nuevo

precio Si el nuevo precio es de $24000 iquestcuaacutel es la fraccioacuten del incremento

13 Despueacutes de una fiesta sobraron

285 del pastel iquestCuaacutentos pasteles enteros se pueden formar

iquestQueacute cantidad sobra

14 De una finca de 40 hectaacutereas

25 estaacute sembrada en cacao y

14 del resto de banano y el resto es

para crianza de animales iquestCuaacutentas hectaacutereas estaacuten sembradas de cacao y cuaacutentas de banano iquestQueacute fraccioacuten de la finca estaacute destinada para la crianza de animales

15 iquestCuaacutentos pedazos de varillas de

14 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de

254 metros de largo


16 Si una llave vierte 814

litros de agua por minuto iquestCuaacutento tiempo emplearaacute en llenar un

deposito de 9014

NUacuteMERO DEacuteCIMALES

Cualquier nuacutemero racional expresado en el sistema de numeracioacuten decimal se dice que son decimales Por ejemplo 05 -284 3141592hellip

Un nuacutemero decimal estaacute compuesto por una parte entera el punto o la coma decimal y la parte decimal

Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman deacutecimas centeacutesimas mileacutesimas diezmileacutesimashellip milloneacutesimas

Si un nuacutemero decimal tiene un nuacutemero finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto si tiene infinito nuacutemero de cifras que se repiten perioacutedicamente se llaman decimales perioacutedicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten perioacutedicamente son nuacutemeros irracionales Es el caso de p = 3141592hellip Atilde = 141424hellipPara convertir una fraccioacuten en decimal se divide el numerador por el denominador Por ejemplo32=15

45=08

12=05

Para convertir un decimal en fraccioacuten se realiza el siguiente procedimiento

Procedimiento Ejemplo


Se hace el decimal igual a una variable x=0 25Se multiplica la ecuacioacuten por una potencia de 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el nuacutemero

(100 )x=0 25(100 )

Se resuelve la operacioacuten 100 x=25Se despeja la variable x=25

100Se simplifica si es posibles

x=14

Ejercicio-1 Convertir en decimal

a

12 b c

512 d

25 e

2496

Ejercicio-2 Convertir en fraccioacuten

a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005

Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Decimales

Para sumar o restar nuacutemeros decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas unidades debajo de unidades deacutecimas debajo de deacutecimas centeacutesimas debajo de centeacutesimas y asiacute sucesivamente se efectuacutea la operacioacuten en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos Si los nuacutemeros no tienen la misma cantidad de cifras decimales inicialmente se iguala el nuacutemero de cifras decimales de ambos nuacutemeros antildeadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos

Ejercicio-3 Calcular

1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018

4 152 ndash 075 ndash 46 5 35 + 936 ndash 1075 6 38 ndash 075 + 135

Multiplicacioacuten de Nuacutemeros Decimales


5

3

Para multiplicar dos nuacutemeros expresados en forma decimal hacemos la multiplicacioacuten sin tener en cuenta las comas como si fueran nuacutemeros naturales Despueacutes contamos cuaacutentas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese nuacutemero de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda

Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067

Divisioacuten de los Nuacutemeros Decimales

Para dividir dos decimales si no son homogeacuteneos es decir si no tienen el mismo nuacutemero de cifras decimales se hace que lo sean antildeadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales Una vez homogeacuteneos el dividendo y el divisor se suprimen los puntos y se dividen como enteros Si se divide un entero por un decimal al entero se le antildeaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros

Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16

Ejercicio-6 Evalueacute en la calculadora

1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)

Aplicacioacuten de los nuacutemeros decimales

1 Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 23995 si la paga a creacutedito en 12 plazos le recarga $102 94560 Si da una cuota inicial de $490 78555 iquestqueacute cantidad de dinero tendraacute que pagar cada mes

2 Para hacer 36 vestidos se requieren 8925 metros de tela iquestCuaacutentos metros de tela se gastan en tres vestidos

3 Se canceloacute un creacutedito de $30acute086 900 en 180 cuotas iquestCuaacutento se cancelo cada mes4 Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 5675 Km iquestcuaacutentos kiloacutemetros es posible

recorrer con 15 galones5 Un sastre gasta 890 metros de pantildeo en la confeccioacuten de 780 pantalones iquestcuaacutentos metros de

pantildeo emplea en cada tres pantalones6 Una madeja de lana tiene 900 metros En un tejido se han gastado 26725 metros iquestcuaacutentos

metros de lana no se han utilizado7 Un mantel de forma rectangular de 210 metros de largo por 15 metros de ancho se quiere

adornar en su borde con 10 metros de encaje iquestAlcanzaraacute el encaje iquestCuaacutentos metros de encaje sobran o faltan


8 Una cuenta de $89acute654 82350 se cancela con billetes de 20 000 iquestCuaacutentos billetes se necesitan

9 Un terreno cuadrado mide 0096 metros de lado iquestCuaacutento mide el periacutemetro 10 En un terreno rectangular de 7508 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de

137 m de largo por 1245 m de ancho

a iquestQueacute aacuterea del terreno no estaacute construidab iquestCuaacutentas casas completas de la misma aacuterea pueden ocupar en el terreno desocupadoc Para construir la casa se invirtieron $32acute907 50 iquestCuaacutento se gasto por metro cuadradod iquestEn cuaacutento excede el periacutemetro del terreno al periacutemetro de la casa e Si desea cercar el terreno dando tres vueltas al alambre iquestcuaacutento alambre se necesita

11 Los porcentajes de ciertas asignaturas de u estudiante son 075 090 correspondientes al primer y segundo parcial respectivamente iquestQueacute nota miacutenima debe obtener en el final para aprobar la asignatura

Porcentaje

Porcentaje o tanto por ciento es la fraccioacuten de un nuacutemero entero expresada en centeacutesimas El teacutermino se deriva del latiacuten per centum que significa ldquopor cientordquo pues representa fracciones cuyo denominador es 100 Asiacute 20 por ciento significa 20100 Normalmente se representa con el siacutembolo Los caacutelculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados

Para calcular el porcentaje de un nuacutemero n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primeroEjercicio-1 Dado el nuacutemero halla el porcentaje indicado

1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28

Ejercicio-2 Calcula que tanto por ciento es hellip1 20 de 80 2 90 de 1900 3 16 de 360 4 38 de 96 Ejercicios de aplicacioacuten

1 El 24 de las gallinas de una granja aviacutecola murieron debido a una epidemia Si el nuacutemero de aves muertas fue de 28 800 iquestcuaacutentas gallinas teniacutea la granja aviacutecola

2 El 56 de la produccioacuten de la palma africana se utiliza para la produccioacuten de aceite iquestCuaacutento aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma


3 Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8 iquestCuaacutento se debe pagar por el vestido iquestCuaacutel es el valor del descuento

4 Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales Si el arriendo se incrementa en el 62 cada antildeo iquestcuaacutento debe pagar de arriendo cada uno de los proacuteximos 5 antildeos

5 El precio de un computador de $1 760 000 Si el pago es de contado se hace un descuento del 12 Halle el precio de contado

6 Si se producen 800 000 barriles de petroacuteleo diarios se consumen 500 000 y el resto se exporta iquestqueacute porcentaje se exporta

POTENCIACIOacuteN

Ejercicios de conocimientos previos Calcular el valor de cada expresioacutena 23 b 32 c (-2)4 d (-3)3

e 4-2

Si b e y p son nuacutemeros Reales entoncesbe = b x b x b x hellipx b = p

____ e veces __Donde b=0 es la base e el exponente y p la potencia

La potenciacioacuten es la forma abreviada de la multiplicacioacuten y consiste en multiplicar la base el nuacutemero de veces que indique el exponente

Debemos tener en cuenta que

Si e = 1 entonces b1 = b Si e = 0 entonces b0 = 1


Si b = 1 entonces 1e = 1 Si b = 0 entonces 0e = 0 Si blt0 y e es par entonces pgt0Si blt0 y e es impar entonces plt0

Tambieacuten bminuse= 1

be

Propiedades

Supongamos que a y b son dos nuacutemeros reales distintos de cero y n y m son tambieacuten dos nuacutemeros enteros

a Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se estaacuten multiplicando Es decir

am xan=am+n

b Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se estaacuten dividiendo

am

an=amminusn

c Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias Es decir

(a x b) n = an x bn

d Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias Es decir

( ab )n

=an

bn

e Potencia de una Potencia es una nueva potencia con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor Es decir

(am )n=amxn

6 Exponente Racional amn=

nradicam

Ejercicio1 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos

1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4

4 (2x-2)-4 5(minus8 aminus2b2) (2a5bminus4 )


6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1

9 (x2y-3)-1 10 ( cminus4 bminus1 aminus2

aminus4 bminus3c3 )minus3

Ejercicios2 Escriba las expresiones en la forma CXn

1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3

Ejercicios3 Evalueacute en la calculadora

1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5

Problemas de Aplicacioacuten de la potenciacioacuten

1 En un almaceacuten hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo 25 de ancho y 25 de alto Si cada par se vende en US $25 iquestCuaacutento vale la pila

2 En un cajoacuten hay 12 cajas de laacutepices cada caja tiene 12 paquetes cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de laacutepices iquestCuaacutentos laacutepices hay en el cajoacuten

3 Se invierten $1acute000000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto trimestralmente el valor futuro resultante seraacute

S = 1acute000000 (102)4x

iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos4 Se invierten $3acute200000 durante x antildeos con una tasa de intereacutes del 8 compuesto

trimestralmente el intereacutes ganado esI = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000

iquestCuaacutel seraacute el capital en 5 antildeos5 Si se invierten $p durante n antildeos con una tasa anual compuesta i (como decimal) el valor

futuro acumulado esta dado porS = P (1 + i)n

y el intereacutes ganado es I = S ndash P Encuentre S e I para lo P n e i dados

a $1acute200000 a 5 antildeos con un intereacutes del 12b $1acute800000 a 5 antildeos con un intereacutes del 10


c $5acute000000 a 7 antildeos con un intereacutes del 125d $8acute000000 a 3 antildeos con un intereacutes del 105

6 Si una inversioacuten tiene un objetivo (valor futuro) de $S despueacutes de n antildeos y ofrece una tasa de intereacutes anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)n Encuentre P para S n e i dados

a $15acute000000 despueacutes de 2 antildeos con intereacutes del 13b $80acute000000 despueacutes de 20 antildeos con un intereacutes del 15c $7acute000000 despueacutes de 36 meses con un intereacutes del 12

7 Es posible hacer una aproximacioacuten precisa del nuacutemero de fondos mutuos N con la foacutermulaN = 48139 (19)t

donde t es el nuacutemero de deacutecadas que han pasado desde 1900a iquestQueacute valor t corresponde a 1950b Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de fondos mutuos en 1950 1990 2000 y 2007

8 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro (S) de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula

S = Pℓ0 1 n

Donde ℓ 2718 Encuentre S para P y n dadosa $1acute000000 durante 10 antildeosb $1acute000000 durante 5 antildeos

9 El nuacutemero de suscriptores de un sistema inalaacutembrico (en miles) se puede modelar con la foacutermula

N = 6302ℓ0 3739 t

donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1985 Determinea El nuacutemero de suscriptores con los que inicio el sistemab Haga una aproximacioacuten del nuacutemero de suscriptores en 1995 y en el 2007

10 El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el nuacutemero de empleados del hospital seraacute seguacuten la ecuacioacuten

N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz) Donde t representa el nuacutemero de antildeos despueacutes de abrir una instalacioacuten nueva

a iquestCuaacutel es el nuacutemero de empleados al momento de abrir la instalacioacutenb iquestCuaacutentos empleados se pronostica despueacutes de 1 5 y 10 antildeos

RADICACIOacuteN

La expresioacuten nradica se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando


Si nradica=p entoncesp

n=aCondiciones

Para un iacutendice par se puede presentar 2 casos

1 Si alt0 no existe ninguacuten real p tal que nradica = p

2 Si agt0 existen dos nuacutemeros reales que al elevarlo a la n sea igual a a es decir nradica=plusmnp

Ejercicio-1 Escriba las siguientes expresiones en forma de radical

1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23

Ejercicio-2 Escriba cada expresioacuten con exponente racional

1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3

Regla de los Radicales

1 nradican=a

nn=a1=a

2 nradica nradicb=nradicab

3

nradicanradicb

=nradic ab

Ejercicio-3 Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresioacuten de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical

1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34

Ejercicio-4 Simplifique cada expresioacuten usando las propiedades de los radicales

1 radic64 x4 2 radic121x6 y8

3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16

Ejercicio-5 Realice las operaciones indicadas

1 radic12radic3 2 radic xradic x 3 radic25 xradic5 x 4 radic63 x5 y3radic28x2 y


nradicaa=0 agt0 alt0

Si n es par 0 gt0 infin

Si n es impar 0 gt0 lt0

5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5

4radic162a5bEjercicio-6 Evaluacutee en la calculadora

1 radic64 2 3radic216 3

4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32

Ejercicio-7 Escribir cada expresioacuten de la forma Cxn

donde C y n R

1radic x 2 radica5 3

3radic y4 4 radic16 x3

5

minus3

radicx Ejercicio-8 Evaluacutee en la calculadora


4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32

Ejercicios de aplicacioacuten de la Radicacioacuten

1 Imagine que se determina que las ventas de una galeriacutea disminuyen luego de terminar una campantildea publicitaria con ventas diarias que se obtienen con

S=2000 (2 )minus110

x

donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea iquestCuaacuteles son las ventas diarias 5 10 15 20 diacuteas y seis meses despueacutes de culminar la campantildea

2 Se puede escribir el crecimiento de una compantildeiacutea con la ecuacioacuten

N=500 ( 0 02 )( 710 )t

donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados

a iquestCon cuaacutentos empleados inicio labores la compantildeiacutea b iquestCuaacutel seraacute el nuacutemero de empleados 5 y 10 antildeos despueacutes de haber iniciado labores la

compantildeiacutea

3 En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por

C=20 xℓx2

100

donde x es el nuacutemero de rollos producidos de la tela Determine el costo de producir 1 2 5 y 10 rollos

4 La productividad fiacutesica (cantidad de empleados producidos) para una faacutebrica de juguetes es

P=250 ( x+4 )32

donde x es el nuacutemero de maacutequinas en funcionamiento iquestcuaacutel es la productividad de la faacutebrica si estaacuten en funcionamiento 1 3 o 5 maacutequinas


5 Despueacutes que una persona ha trabajado por t horas con una maacutequina en particular su tasa de rendimiento estaraacute dada por

R=10(1minusℓminust5 )

iquestCuaacutel es el rendimiento durante la primera tercera quinta y octava hora de trabajo Haga un anaacutelisis de los resultados

6 Si se invierten $P durante n antildeos con una tasa de intereacutes del 10 compuesto continuamente el valor futuro de la inversioacuten se obtiene mediante la foacutermula

S=Pℓ1

10n

iquestQueacute valor se obtendraacute en una inversioacuten de $1acute000000 en 20 antildeos7 Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad seguacuten el modelo

Sn=24 58+325 18(1minusℓminus x14 )

donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 milloacuten 7 10 y 20 millones de pesos en publicidad

8 Suponga que la funcioacuten demanda para cierta mercanciacutea estaacute dada por

P=30 (3q2 )

donde p es el precio y q el nuacutemero de unidades iquestPara queacute precio por unidad seraacute la demanda igual a 3 5 y 13 unidades

9 El decaimiento de las ventas de un producto estaacuten dadas por S=50000 ℓminus4

5x

donde S son las ventas mensuales y x es el nuacutemero de meses que han transcurrido desde que se terminoacute la campantildea promocional iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 4 meses despueacutes de haber terminado la campantildea

10 La administradora de una compantildeiacutea pronostica que las ventas aumentaraacuten despueacutes de que ella asuma el puesto y que el nuacutemero de ventas se obtendraacuten por

N=3000 ( 0 2 )(35 )t

donde N son las ventas obtenidas (dada en doacutelares) y t el nuacutemero de meses a partir del momento en que ella asume el cargo

aiquestCuaacuteles son las ventas en el momento en que ella asume el puestob iquestCuaacuteles seraacuten las ventas 3 meses despueacutes de asumir el puesto


TALLER

Tema Radicacioacuten

Marque con un ciacuterculo la respuesta correcta

1 La simplificacioacuten de la expresioacuten (27

8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481

2 La simplificacioacuten de la expresioacuten radic12radic3 es igual aa 36 b 3 c 4 d 6

3 La expresioacuten 3radic53

es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153

4 La expresioacuten 3radicminus8 es equivalente a

a -2 b No existe c 2 d 24

5 La expresioacuten 4radicminus81es equivalente a

a 3 b No existe c -3 d -27

6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13

c -8 d Ninguna de las anteriores

7 La expresioacuten radic121x4 y8es equivalente a

a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4

d Ninguna de las anteriores

8 La expresioacuten 3 xradic x es equivalente a

a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x

donde S se da doacutelares y x es el nuacutemero de diacuteas despueacutes de culminar la campantildea La venta 5 diacuteas despueacutes de culminar la campantildea es aproximadamente dea US $1 41421 b US $1 86606 c US $ 2 82842 d US $625


N=500 ( 0 02 )( 710 )t

donde t es el nuacutemero de antildeos que la compantildeiacutea tiene de existencia y N es el nuacutemero de empleados Seguacuten la ecuacioacuten en 10 antildeos la compantildeiacutea tendraacutea 447 b No se puede calcular c 32 d 64x10-10

INTERVALOShttpwwwunizaresaragon_tresunidad4u4reapr50epdf

Conceptos Baacutesicos

Conjunto


Intuitivamente un conjunto es una coleccioacuten de elementos bien definidos

Notacioacuten de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayuacutesculas y sus elementos con letra minuacutescula

Los conjuntos se enuncian por extensioacuten (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensioacuten (Se enuncia una o maacutes propiedades del conjunto)

A = a e i o u por extensioacuten

A= xx es una letra vocal por comprensioacuten

Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser

Finitos Se pueden contar sus elementos Infinitos No se pueden contar sus elementos Vacio No tiene elementos Universal Conjunto de referencia

Relacioacuten entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser

Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos No tienen elementos en comunes

Operacioacuten entre Conjuntos

Unioacuten A U B = xx Є A v x Є B Interseccioacuten A n B = xx Є A ^ x Є B Diferencia A ndash B = xx Є A ^ x Є B Complemento Ac = xx Є U ^ x Є A Diferencia Simeacutetrica A Δ B = xx Є (A U B) ^ x Є (A n B)

Ejercicio Sean U = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = 0 1 2 3 4 5 B = 6 7 8 9 C= 2 4 6 8 10

Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c

3 B ndash C 8 Bc U Cc


4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad

El nuacutemero real a es menor que b lo que se describe a lt b si b ndash a es positivo

Propiedades

P1 Si a lt b oacute a=b oacute a gt bP2 Si a lt b y b lt c entonces a lt cP3 Si a lt b entonces a + c lt b + cP4 Si a lt b y c gt 0 entonces ac lt bcP5 Si a lt b y c lt 0 entonces ac gt bc

Intervalos

Subconjunto de los nuacutemeros reales y se clasifican en

Abierto (a b) = x ϵ R a lt x ltb Cerrado [a b] = x ϵ R a le x le b Semi-abierto o semi-cerrado (a b] = x ϵ R a lt x le b oacute [a b) = x ϵ R a le x lt b

Intervalos Infinitos o (ainfin) = x ϵ R x gt ao [ainfin) = x ϵ R x ge ao (-infin a) = x ϵ R x lt ao (-infin a] = x ϵ R x le a

TALLER DE INTERVALOS1 Sean A=(-infin7] B=[-40] y C=[0infin) representar graacuteficamente y calcular

a B n Cb B u Cc Ac


d A ndash Be A Δ Bf Ac n Bc

g (A u B) c

2 Para cada afirmacioacuten escriba dos intervalos que verifiquena Su unioacuten (-82]b Su interseccioacuten [1-3)c Su diferencia (-infin 3)d Su interseccioacuten sea vaciacutea y su unioacuten todos los reales

LOGARITMACIOacuteN

httpusuarioslycosesmislogaritmos


httpwwwvideosdematematicascomenlinealogaritmoshtm

Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes

Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero

Donde a Є R a gt 0 y a ne 1 a se denomina base del sistema de logaritmos

que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a

Un logaritmo no es otra cosa que un exponente

Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x

log a(U V )iquest logaU+log aV

log aUV

=log aUminuslogaV

log a(U iquestiquestn)=n logaU iquest

log a(nradicU iquestiquest)=1

nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos


Logaritmos Comunes Tambieacuten llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el

nuacutemero 10 Se escriben log10 x = log x

Logaritmos Naturales Tambieacuten llamados Neperianos o hiperboacutelicos tienen por base el nuacutemero

e Se escriben loge x = ln x

1 Escriba cada ecuacioacuten en forma exponencial

4 = log2 16 4 = log3 81 12=log4 2 minus2=log3

19

2 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

log 2 x=3 log 4 x=minus2log 8 x=

minus13

log 25 x=minus12

3 Escriba cada ecuacioacuten en forma logariacutetmica

25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3

4 Escriba cada expresioacuten como la suma o diferencia de dos funciones logariacutetmicas que no contienen exponentes

log ax

x+ yLn (x + y)(4x + 5) log7 iquest ln

x2

radicx+4

5 Use la calculadora para determinar

ln radic4 6ln radic56

2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13

ln 8minusln 5ln 3417


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTOS BAacuteSICOS

Aacutelgebra

Etimoloacutegicamente la palabra laquoaacutelgebraraquo (tambieacuten nombrado por los aacuterabes Amucabala) (yebr) جبر (al-dejaber) proviene por lo tanto del aacuterabe y significa reduccioacuten operacioacuten de cirugiacutea por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el meacutedico reparador de huesos)

Parte de la matemaacutetica que trata los nuacutemeros en forma abstracta representaacutendolos en forma de letras generalizando las relaciones aritmeacuteticas Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen nuacutemeros o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan en su forma maacutes general se dice que el aacutelgebra es el idioma de las matemaacuteticas

El aacutelgebra actual trata con entidades maacutes generales que los nuacutemeros y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritmeacuteticas)

Variable (Parte literal) Siacutembolo que representa un nuacutemero y puede tomar diferentes valores (xyzahellip)

Constante (Parte numeacuterica) Es un nuacutemero

Signo Operador Aritmeacutetico (+ - hellip)

Expresioacuten Aritmeacutetica Combinacioacuten de variables constantes unidos por operadores aritmeacuteticos

Teacutermino Algebraico Estaacute constituido por un signo una constante una o maacutes variables con un

exponenteminus5 x2 3xy minus2

3a2b3 z minus6

Teacuterminos Algebraicos Semejantes Dos o maacutes teacuterminos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia

Suma y Diferencia de Teacuterminos Algebraicos Estos deben ser semejantes se suman los coeficientes y no se modifican el exponente Se debe tener en cuenta la ley de signos

Multiplicacioacuten de Teacuterminos Algebraicos Se tiene en cuenta la ley de signos se multiplican o dividen las constantes ademaacutes


Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciacioacuten producto o cociente de potencias de igual base

Si las variables no son iguales la operacioacuten se deja indicada

Expresioacuten Algebraica Dos o maacutes teacuterminos algebraicos unidos por operadores aritmeacuteticos

Propiedad Distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la suma Simboacutelicamente

a(b+c)= ab + ac

Producto de polinomios Simboacutelicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten que cumplen ciertas reglas fijas Su aplicacioacuten simplifica y sistematiza la resolucioacuten de muchas multiplicaciones habituales

1 ( x+a)( x+b )=x2+(a+b )+ab2 (ax+b )(cx+d )=acx2+(ad+bc )x+bd3 ( x+a )2=x2+2ax+a2

4 ( xminusa )2=x2minus2ax+a2

5 ( x+a )( xminusa )=x2minusa2

6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3

7 ( xminusa )3=x3minus3a2 x+3ax2minusa3

Ejercicios Resuelva cada ejercicio

1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)

3 (2x ndash y)(x + 3y)

4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3

Signos de Agrupacioacuten Son los operadores de mayor nivel de jerarquiacutea en su orden y entre ellos mismo hay un orden asiacute pareacutentesis ( ) corchete [] y llave Cuando un signo de agrupacioacuten va precedido de un signo negativo los teacutermino que se encuentran dentro de esteacute cambian de signo (ley de signos)

Ejercicio

1 Evalueacute cada expresioacuten algebraica con los valores indicados de las variables

a 4x ndashx2 donde x=-2 b 3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4

c

2 xminus y

x2minus2 y donde x=-5 y y=-3 b

16 y1minus y donde y=-3

2 Utilice la hoja de caacutelculo Excel y evalueacute cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10

httppersonalredestbesjavfuetubalgebrahtmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid95htmhttpalgebrabaldorwebcindariocomid96htm

Divisioacuten de Polinomios

Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera6 Se ordena el dividendo y el divisor de acuerdo a una misma letra


FACTORIZACIOacuteN

Procedimiento mediante el cual se representa una expresioacuten algebraica como el producto de dos o maacutes factores

Reglas de Factorizacioacuten1 Monomio factor

2 Trinomio de la forma x2+nx+m = x2 + (a+b)x + ab= (x+a)(x+b) donde n=a+b y m=ab Factorar

x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32

7 Trinomio de la forma ax2+bx+c donde a no es cuadrado perfecto

2x2+11x+5 3x2 +7x- 6 2x2 +5x+ 2 4x2 +7abc ndash 15b2c2

Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes

2ax + 2b 10xy + 5xz 8a3bc ndash 12ab3cd + 4b4c2d2 Z2 ndash 49

+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y

Problemas de Aplicacioacuten del Algebra

1 Un artista grafico disentildeo un cuadro que consistiacutea en un marco rectangular con un borde uniforme El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm

a Represente graacuteficamente la situacioacutenb Represente algebraicamente el aacuterea del cuadro y el aacuterea de la pinturac Si el aacuterea total del cuadro es de 5000 cm2 iquestCuaacutel es el largo y el ancho del cuadrod Si el borde del cuadro es de 3 cm iquestcuaacutel es aacuterea total de la pintura


xy + 3x = x(y + 3) 2x2 ndash 4 = 2(x2 ndash 2)

3k2x3+ 9kx3 ndash 12k3x2

2 Una compantildeiacutea vende su producto a $55 por unidad Escriba una expresioacuten para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto

3 Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000

a Si la ganancia es el ingreso menos el costo encuentre una expresioacuten para la ganancia de la produccioacuten y la venta de x unidades

b Encuentre el ingreso costo y ganancia si se venden 1000 unidades4 Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un intereacutes del 10 y el resto

al 8 Escriba una expresioacuten que representea La cantidad invertida con cada tasab La rentabilidad obtenida por cada inversioacuten c El total ganado en la inversioacuten

5 El valor futuro de una inversioacuten con intereacutes simple de P pesos con una tasa de intereacutes anual r (dado en decimal) durante t antildeos se obtiene con la expresioacuten V = P + Prt

a Factorice la expresioacutenb iquestQueacute tiempo debe durar la inversioacuten para duplicarla Si la tasa de intereacutes es del 8c iquestCuaacutento se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 antildeos a una

tasa del 35

6 El gasto del consumidor por artiacuteculo es el producto de su precio en el mercado p y el nuacutemero de unidades demandadas Suponga que para cierto artiacuteculo el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p ndash 100p2

a Factorice la expresioacuten con el fin de encontrar una expresioacuten para el nuacutemero de unidades demandadas

b Encontrar el nuacutemero de unidades demandadas cuando el precio es $38

7 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Donde e=271

a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacuten b Encuentre el costo de producir 100 unidades

8 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C(q)=02q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q(t)= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten

a Escriba una expresioacuten del costo total de fabricacioacuten respecto al del tiempob Calcular el costo total de fabricacioacuten 1 5 y 7 horas despueacutes de iniciada la produccioacuten

iquestQueacute encuentra


9 Suponga que el costo C (en doacutelares) de eliminar el p de contaminacioacuten del agua de desperdicio de un proceso de fabricacioacuten se obtiene con

c=540000100minusp

minus5400

a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 98 de la contaminacioacutenc iquestQueacute sucede a esta foacutermula cuando p=100 Explique

10 Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacioacuten se determina mediante

C=285000p

minus2850

a Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminacioacuten

11 El costo promedio por unidad de un articulo esta dado por

C=50000x

+105

Donde x es el nuacutemero de artiacuteculos producidosa Exprese la foacutermula como una sola fraccioacutenb Encuentre el costo promedio de producir 3000 artiacuteculos

Algebra con Tecnologiacutea

1 El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como

Costo promedio=Costo totalx

Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen con

Costo promedio= 4 000x

+55+01 x

Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga Unidades producidas Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades iquestQueacute encuentra


- El costo promedio por unidad de una compantildeiacutea cuando se producen x unidades se define como


Suponga que los costos promedios de una compantildeiacutea se obtienen mediante


+190+02 x


- Suponga que el volumen de ventas diarias de una compantildeiacutea atribuido a una campantildea publicitaria se obtiene

Volumende ventas=1+ 3t+3

minus 18

(t+3)2

Donde t es el nuacutemero de diacuteas desde que se inicio la campantildeaDisentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de diacuteas y volumen de ventas diarias en 2 meses iquestQueacute encuentra

2 Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un intereacutes mensualmente compuesto de 9 entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta despueacutes de n meses se obtiene mediante la foacutermula

S=100[ (10075)nminus100075 ]

Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el valor futuro de la inversioacuten mensualmente en 5 antildeos

3 Suponga que pide un preacutestamo de 10 000 doacutelares por n meses para comprar un automoacutevil con una tasa de intereacutes mensual compuesto de 78 El monto de cada pago mensual R se obtiene por medio de la foacutermula

R=10 000[ 00065

1minus(10065)minusn ]Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de meses y el monto de cada pago mensual durante dos antildeos


4 Suponga que el costo total en doacutelares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex600 Disentildee una hoja de caacutelculo Excel que contenga el nuacutemero de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de produccioacuten

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fraccioacuten algebraica es una expresioacuten algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios

Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son

Simplificacioacuten Para simplificar una fraccioacuten se dividen el numerador y el denominador por uno o maacutes factores comunes a ambos Se obtiene asiacute otra fraccioacuten equivalente

Ejemplos simplificar cada fraccioacuten

1x2minusxminus6x2minus7 x+12

2 2x2+6 xminus88minus4 xminus4 x2

Suma y resta Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nuacutemeros enteros reduciendo primero a comuacuten denominador

1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y

15 x y2+ 2 xminus3 y

10 x2 y

Producto Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones multiplicando los numeradores y los denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede


12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y

2 12 xminus3 y15a+10b

lowast21a+14b

20 xminus5 y

Cociente Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores aunque antes de multiplicar debemos simplificar si se puede

135a3

18b3 divide14 a9b2 2 x

3minusxx+1

dividexminus1x+1

Racionalizacioacuten de Denominadores

Algunas veces el denominador de una fraccioacuten tiene dos teacuterminos que incluyen raiacuteces cuadradas dicho denominador puede racionalizarse al multiplicaacutendolo por una expresioacuten que los convierta en una diferencia de dos cuadrados es decir por otra cuyo segundo teacutermino tenga signo contrario

Ejercicio Racionalice cada expresioacuten

1x

radic2minus6 2 radic5minusradic2

radic5+radic2

TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

1 Reduzca cada expresioacuten a su expresioacuten maacutes simple

a2x

2x+4

b4 x2 y3minus6 x3 y 4

2 x2 y2minus3 x y3

2 Realice la operacioacuten indicada y simplifiquex2minus6 x+9x2+7 x+12

dividex2+4 x+3x2minus3 xminus4

3 Simplifique la fraccioacuten

xminus1minus xminus1x

1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000


5 Racionalice el denominador de 3xminus3

radicxminus1

Actividad

En la siguiente direccioacuten de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta resuelva a manera de ejercicios

httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios8pdf

ECUACIONES

Una ecuacioacuten es una afirmacioacuten que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales Las cantidades se denominan miembros de la ecuacioacuten

Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3

La incoacutegnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuacioacuten es cierta


La solucioacuten de la ecuacioacuten es la accioacuten de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuacioacuten

Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales

Resolver una ecuacioacuten lineal con una variable es hallar el valor de la variable a traveacutes de procedimientos algebraicos Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad Esto se logra despejando valores y variables Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operacioacuten contraria es decir si esta sumando pasa a restar y viceversa y si estaacute multiplicando pasa a dividir y viceversa

Ejercicio-1 Despeje P en cada ecuacioacuten

1 I=Pr t2 S=P (1+ i)p 3 S=P+Pr t

4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r

Ejercicio-2 Resuelva y verifique cada ecuacioacuten

1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones

1 Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas esta dado

por C(x) = 120000

pminus120 iquestA un costo de 3 000 doacutelares que porcentaje de agua sin impurezas

se puede obtener2 El nuacutemero de estudiantes por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos se

puede modelar con la ecuacioacuten f(x) = 3755minus15 xx+003

donde x es el nuacutemero de antildeos transcurridos

desde 1981 iquestEn queacute antildeo se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas puacuteblicas de Estados Unidos

3 Las ventas y (en miles de doacutelares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de

doacutelares) seguacuten y(x) = 200xxminus10

con x ge 10 iquestCuaacutento se puede invertir en publicidad para obtener

ventas de 10 millones de doacutelares ( f(y)=10 000)4 Si el costo promedio (en doacutelares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por

C(x) = 50000+105 x

x donde x es el nuacutemero de televisores producidos por semana iquestcuaacutentos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 doacutelares

5 Suponga que las ventas diarias S (en doacutelares) t diacuteas despueacutes de terminar una campantildea publicitaria son

S(t) = 400 + 2400t+1

Encuentre el nuacutemero de diacuteas que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 doacutelares

6 El propietario de una construccioacuten de 30 millones de pesos la deprecia El valor y de la construccioacuten despueacutes de x meses de uso es y= 30 ndash 0123x a iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 6 mesesb iquestCuaacutel seraacute el valor de la construccioacuten dentro de 5 antildeosc iquestCuaacutento tiempo pasa hasta que la construccioacuten se deprecie por completo (y=0) d iquestCuaacutento tiempo debe pasar para que la construccioacuten se deprecie en 10 millones de pesos

7 La carga tributaria per caacutepita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de T(t)=2037 + 1834t donde t es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestCuaacutel era la carga tributaria en 1980b iquestCuaacutel seraacute la carga tributaria en el 2008c iquestEn queacute antildeo aproximadamente la carga tributaria seraacute de 70 millones de pesos


8 El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electroacutenicos ha aumentado conforme se ha incrementado el nuacutemero de maacutequinas Se puede escribir esa relacioacuten con y=0136x ndash 509 donde y son los miles de millones de pesos de las transacciones y x el nuacutemero de cajeros (en miles)a iquestCuaacutel es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros b iquestCuaacutentos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10

millones de pesos

9 El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con P(x)=265x-1945 por ciento donde x es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1980a iquestQueacute porcentaje de personas reclutaron en 1998b iquestCuaacutentos antildeos deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las

empresas alcance el 50

10 Se puede describir el nuacutemero de cuentas de internet A mediante la ecuacioacuten A=3303X ndash 1859 millones de cuentas donde X es el nuacutemero de antildeos que han pasado desde 1990 iquestEn queacute antildeo aproximadamente se alcanzaraacuten los 4747 millones de cuentas

11 El importe total de una inversioacuten con intereacutes simple se da con A=p + prt iquestqueacute valor principal de p se debe invertir durante t= 5 antildeos con una tasa de intereacutes r=10 de modo que el importe A aumente a $6000

12 Las altas tasas de intereacutes hacen que para la gente sea difiacutecil pagar la deuda de tarjeta de creacutedito en un periodo razonable Se puede hacer una aproximacioacuten del intereacutes en doacutelares I pagado sobre la deuda de $10000 a 3 antildeos cuando la tasa de intereacutes es r por medio de la ecuacioacuten

I175 39

+0 66=r

Encuentre el intereacutes pagado si la tasa es del 198

13 Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD Si el costo total y el ingreso total (en doacutelares) por x paquetes de 500 CD estaacuten dados por

Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20xiquestCuaacutentos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio


14 En su segundo antildeo de operaciones las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500 Si esta cantidad represento el 576 de las ganancias de la compantildeiacutea en el primer antildeo encuentre las ganancias aproximadas del primer antildeo

15 Un vendedor de automoacuteviles compra 20 automoacuteviles nuevos en $16 000 (doacutelares) cada uno Si vende 16 con una ganancia del 20 iquesten cuaacutento debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de Ecuaciones Conjunto de dos o maacutes ecuaciones con dos o maacutes variables Si un Sistema de Ecuaciones tiene solucioacuten se dice compatible sino es incompatible Si un sistema compatible tiene una solucioacuten se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado

Meacutetodos para resolver un Sistema de Ecuacioacuten lineal

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuacioacuten con una incoacutegnita

Los meacutetodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son por igualacioacuten sustitucioacuten eliminacioacuten regla de Cramer o determinante y el graacutefico

La diferencia entre los meacutetodos consiste en la obtencioacuten de la primera incoacutegnita el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable

Conjunto Solucioacuten Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuacioacuten oacutesea la vuelven una igualdad numeacuterica

Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solucioacuten se deben verificar en las ecuaciones el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuacioacuten se resuelve y si se obtienen igualdades numeacutericas entonces la solucioacuten es correcta

Meacutetodo de Igualacioacuten Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable se igualan las expresiones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten

Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de igualacioacuten

x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)

Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2

De la (Ec1) De la (Ec1)y = 1 ndash x (Ec3) y = -12 ndash 3x (Ec4)


Igualamos las ecuaciones 3 y 4 1 ndash x = -12 ndash 3x

Despejando 3x ndash x = -12 ndash 1 2x = -13 x=minus13

2

Halamos el valor de la otra variable remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas en (Ec3) o (Ec4)

En la (Ec1)y=1minus(minus13

2 )Entonces y=15

2

y=152

Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales (Ec1) y (Ec2)

En la (Ec1) En la (Ec2)x + y = 1 3x + y = -12

minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12

Meacutetodo de Sustitucioacuten Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables la expresioacuten obtenida se sustituye en la otra ecuacioacuten obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten

Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de sustitucioacuten

4x ndash 2y =4 (Ec1)x ndash 2y =-2 (Ec2)

Se despeja la variable x de la (Ec2) x=2 yminus2 (Ec3)


Se remplaza en la (Ec1) 4 (2 yminus2 )minus2 y=4

Resolviendo 8 yminus8minus2 y=4 6 yminus8=4

Despejando 6 y=8+4 6 y=12 y=126entonces y=2

Se remplaza en la (Ec2) xminus2 (2 )=minus2 xminus4=minus2 x=minus2+4 entonces x=2

VerificacioacutenEn la (Ec1) En la (Ec2)

4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2

8minus4=4 2minus4=minus2

4=4 minus2=minus2

Meacutetodo de Eliminacioacuten Consiste en eliminar una cualquiera de las variables Esto se logra haciendo que una de las variables quede con igual coeficiente pero con signo contrario por medio de la multiplicacioacuten y divisioacuten luego se suman las ecuaciones obtenidas obteniendo una ecuacioacuten con una incoacutegnita se resuelve y se halla el valor de la primera variable se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solucioacuten

Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por el meacutetodo de eliminacioacuten

2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)

Se multiplica la (Ec2) por -2 minus2 ( xminus2 y )=minus2 (8 ) minus2x+4 y=minus16 (Ec3)

Sumamos las (Ec1) y la (Ec3) 2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21

Despejando y=minus21

7 y=minus3

Remplazando en la (Ec2) xminus2 (minus3 )=8 x+6=8 x=8minus6 x=2

VerificandoEn la (Ec1) En la (Ec2)

2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante

Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho nuacutemero es el tamantildeo de la matriz Una matriz de n filas y n columnas es decir el nuacutemero de filas es igual al de columnas se dice una matriz cuadrada de orden n

Determinante de una matriz de orden 2

Dada la matriz A=a11 a12

a21 a22

El determinante de A es un nuacutemero que se denota det(A) o |A| y se obtiene

det(A) = |A|= a11a22 - a21a21

Regla de Cramer Dado el sistema de ecuacioacuten lineal ax + by = cdx + ey = f

con a b c d e y f R se cumple

x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]

Ejercicio Resolver el siguiente sistema de ecuacioacuten lineal por la regla de Cramer

3x + 2y = -72x - 3y = 4

Aplicando la regla de Cramer

x=[minus7 2

4 minus3][3 22 minus3]

=(minus7 ) (minus3 )minus(4 )(2)

(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)= 21minus8

minus9minus4= 13

minus13=minus1 entonces x=minus1


y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]

=(3 ) (4 )minus (minus7 )(2)(3 ) (minus3 )minus(2 )(2)

=12+24minus9minus4

= 26minus13

=minus2 entonces y=minus2

Verificando

En la (Ec1) En la (Ec2)3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) ndash 3(-2) = 4

-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4

Ejercicio Resuelva cada sistema de ecuacioacuten lineal

1 x ndash y = -2 2x + y = -12 3x ndash y = 10 6x ndash 2y = 53 2x ndash y = 3 4x ndash 2y = 64 4x ndash y = 3 2x + 3y =195 3x + 4y = 1 2x ndash 3y =126 5x ndash 2y = 4 2x - 3y = 57 -4x + 3y= -5 3x ndash 2y = 48 x + 2y =3 3x + 6y = 69 02x ndash 0y3 = 4 23x ndash y = 12

10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11

PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Pasos para resolver un problema se aplicacioacuten

a) Leer el problema hasta entenderlob) Defina las variables que participan en el problemac) Plantee las ecuacionesd) Resuelva el sistema de ecuacionese) Verifique los resultados

1 La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es 18 millones de pesos iquestcuaacuteles son los capitales si se sabe que el primero se prestoacute al 5 y el segundo al 8


2 En un cine 10 entradas de adultos y 9 de nintildeos cuestan $51 200 y 17 de nintildeos y 15 de adultos $831 00 Hallar el precio de una entrada de nintildeo y una de adulto

3 Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes iquestcuaacutentos billetes de cada denominacioacuten entrego

4 El viernes en el almaceacuten ldquotraposrdquo se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000 El saacutebado el almaceacuten vendioacute cada pantaloacuten y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 iquestcuaacutentas pantalones y cuaacutentas camisas se vendieron

5 Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional

6 Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas La empresa cobra una tarifa fija maacutes un costo adicional por invitado Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 iquestcuaacutel es la tarifa fija y el costo por invitado

7 El alquiler de un automoacutevil tiene un costo fijo semanal un recargo adicional que se cobra por cada kilometro recorrido Un viaje de una semana de 800 kiloacutemetros cuesta $440 000 y uno de $1200 cuesta $560 000 Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilometro recorrido

8 Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros iquestcuaacutentos boletos de cada tipo debe vender

9 Por usar el servicio de internet una compantildeiacutea cobra un cargo de $2 000 horadiacutea y $2 500 horanoche si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el nuacutemero de horas diurnas y nocturnas del servicio

10 Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras Cobra US$ 28 por libra de cacahuates y US$ 53 por libra de almendra Si la mezcla se va a vender en US$ 33 por libra iquestcuaacutentas libras de cacahuate y cuaacutentas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla

11 Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta Una tiene un reacutedito de 10 sobre la inversioacuten y la otra de 12 Su ingreso total de estas es de $25 000 iquestEn queacute tasa tiene la mayor inversioacuten y de cuaacutento es el monto

12 En la cafeteriacutea Colombiano hay cafeacute de dos clases uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de cafeacute para venderla a $6000 el kilogramo iquestCuaacutentos kilogramos deberaacuten ponerse de cada clase de cafeacute

13 El nuacutemero total de pasajeros matutinos de cierta liacutenea de autobuses urbanos es de 1000 Si el pasaje para nintildeos cuesta US $025 y el de adulto US $075 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650 iquestCuaacutentos nintildeos y cuantos adultos utilizaron el bus en la mantildeana


Ecuaciones Cuadraacuteticas

La ecuacioacuten de la forma ax2+ bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros reales y ane0 se llama ecuacioacuten cuadraacutetica o de segundo grado en la variable x

Si b y c son diferentes de cero la ecuacioacuten se denomina completa y si b yo c son iguales a cero se dice incompleta

Ejercicio 1 Dada cada ecuacioacuten cuadraacutetica identifique los valores de los coeficientes a b y c

El nuacutemero D = b2 - 4ac se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones

1 Si D= b2 - 4ac gt 0 la ecuacioacuten tiene dos soluciones o raiacuteces2 Si D= b2 - 4ac = 0 la ecuacioacuten tiene una solucioacuten o raiacutez3 Si D= b2 - 4ac lt 0 la ecuacioacuten no tiene solucioacuten en los reales

Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas

Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos

Meacutetodo 1 Solucioacuten por factorizacioacuten

Como toda ecuacioacuten cuadraacutetica es equivalente a una ecuacioacuten en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse se procede asiacute

Si entonces la ecuacioacuten es equivalente a

(1)

La ecuacioacuten (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los nuacutemeros reales

Meacutetodo 2 Solucioacuten completando de cuadrados

Este meacutetodo es el maacutes antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten cuadraacutetica

Se supone que la ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten cuadraacutetica


(1)

Sumando en ambos miembros de la ecuacioacuten (1) se obtiene

oacute

Extrayendo raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad (lo cual tiene sentido solo

si ) se obtiene

de donde (2)

La foacutermula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacioacuten cuadraacutetica (1) que es equivalente a la ecuacioacuten

Meacutetodo 3 solucioacuten por la formula general

Usando el meacutetodo completando cuadrados demuestre que la solucioacuten de la ecuacioacuten cuadraacutetica

con a 0 viene dada por

(1)

Solucioacuten

La ecuacioacuten con a 0 es equivalente a la ecuacioacuten

Sumando en ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene


O equivalentemente

Extrayendo la raiacutez cuadrada en ambos miembros de la uacuteltima igualdad(si b2-4ac gt= 0) se obtiene

De donde

(2)

La foacutermula (2) se conoce como foacutermula general para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2+bx+c=0 con ane0

Ejercicios Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadraacuteticas2 x2 ndash 5x + 6 = 03 x2 + x ndash 20 = 04 x2 ndash 64 = 05 x2 + 12 = 456 x2 ndash 18x = -857 2x2 + 5x + 1 = 08 3x2 ndash 2 = 4x

Ejercicios Resuelva cada uno de los siguientes problemas

1 Si la funcioacuten ingreso total para una licuadora es R(x) = 36x ndash 001x2 donde x es el nuacutemero de unidades vendidas Encuentre el nuacutemero de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $359

2 Dada la funcioacuten f ( x )=200 xminus500x+300

determine el valor de x si f(x) es igual a 25


3 Suponga que el precio p (en doacutelares) de un producto Se determina mediante la funcioacuten demanda

p=100minus10x400minusx

donde x son las unidades demandadas Determine las cantidades demandadas a un precio de 40 doacutelares

4 La funcioacuten ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estaacute dada por g(x) = 180x + 001X2-200 Obtenga la cantidad miacutenima que debe producir para no tener peacuterdida

5 La funcioacuten oferta para un producto estaacute dada por la ecuacioacuten f(p) = 3p2 ndash 4200 donde f(p) es la cantidad ofrecida y p el precio iquestA queacute precio no oferta ninguacuten producto

6 Los ingresos semanales de una peliacutecula de estreno se determina mediante R(t) =50 t

t2+36 con

tgeo donde R(t) se da en millones de doacutelares y t en semanas iquestCuaacutentos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 milloacuten de doacutelares (R(t)=1)

7 En cierta faacutebrica el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de produccioacuten diaria es C (q)=02q2+q+900 iquestCuaacutentas unidades se pueden fabricar con 3000 doacutelares

8 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q (t)=t2+100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de produccioacuten iquestCuaacutentas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de produccioacuten

9 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es 4 m Halla las dimensiones sabiendo que el aacuterea es 60 m2 (base 10 m y altura 6cm)

10 La diferencia entre la base y la altura de un rectaacutengulo es de 2 m sabiendo que el aacuterea es 48 m2 halla la base y la altura del rectaacutengulo ( base 8 cm y altura 6 cm)

11 La diferencia entre la base y la altura de un triaacutengulo es de 2 m Y el aacuterea es 24 m2 Halla la base y la altura del triaacutengulo ( base 4 cm y altura 6cm )

12 El aacuterea de un cuadrado es 144 m2 Calcula su lado ( lado 12 cm )13 El producto de dos nuacutemeros consecutivos es 1260 Calcula dichos nuacutemeros (35 y 36)14 El producto de dos nuacutemeros es 675 calcula dichos nuacutemeros sabiendo que uno es el triple del

otro (15 y 45)15 El producto de dos nuacutemeros es 450 sabiendo que uno excede al otro 7 unidades Calcula

dichos nuacutemeros ( 18 y 25)16 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Busca esos nuacutemeros (24 y 26 )17 Un nuacutemero es 5 veces superior a otro y su producto es 320 Busca los dos nuacutemeros (8 y 40)

INECUACIONES Ley de la tricotomiacutea


Para cada par de nuacutemeros reales a y b es verdadera una y solamente una de las proposiciones

Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva

Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo

Teorema3-Multiplicacioacuten por un nuacutemero positivo

Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo

Los Teoremas 1 a 4 tambieacuten son vaacutelidos si se cambia gt por ltTeorema5 Teorema6

Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad se cambia el sentido de la desigualdad

Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11

Inecuaciones Lineales


Una inecuacioacuten es una desigualdad en la que aparece una incoacutegnita Si el grado de la inecuacioacuten es uno se dice que la inecuacioacuten es lineal Resolver una inecuacioacuten es encontrar los valores de la incoacutegnita para los cuales se cumple la desigualdad La solucioacuten de una inecuacioacuten es por lo general un intervalo o una unioacuten de intervalos de nuacutemeros reales El meacutetodo para resolver una inecuacioacuten es similar al utilizado para resolver ecuaciones pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades Es conveniente ilustrar la solucioacuten de una inecuacioacuten con una graacutefica Si la solucioacuten incluye alguacuten extremo del intervalo en la graacutefica representamos dicho extremo con un ciacuterculo en negrita en cambio si la solucioacuten no incluye el extremo lo representamos mediante un ciacuterculo blanco (transparente)

Ejercicios Resolver cada inecuacioacuten justificando cada uno de los pasos

1) X + 3 gt 7X + 3 ndash 3 gt 7 ndash 3 Por IgualacioacutenX + 0 gt 7 ndash 3 Inverso AditivoX gt 7 - 3 Propiedad modulativa de la sumaX gt 4 Operando

En notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (4 infin) todos los valores reales mayores que 4

Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6

2x ndash 4 + 4 lt 6 + 4 Por igualacioacuten2x + 0 lt 6 + 4 Inverso Aditivo2x lt 6 + 4 Propiedad Modulativa de la suma 2x lt 10 Operando 2x2 lt 102 Por igualacioacuten1x lt 102 Inverso Multiplicativox lt 102 Propiedad Modulativa de la multiplicacioacutenx lt 5 OperandoEn notacioacuten de intervalos la solucioacuten es x Є (-infin 5) todos los valores reales menores que 5

Graacuteficamente


-infin

1 2 3 4 5 63) 3x + 1 gt 54) 2x ndash 3 lt 3x + 1 5) x + 2 gt -x + 1 36) x - 3 lt 1

2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2

httpusuarioslycosescalculo21id401htm

TALLER

Escoja la respuesta correcta y verifique o justifique cada resultado

Responda los encisos 1 y 2 con el siguiente enunciado


Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compantildeiacutea por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 135x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 55x + 10000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo entonces

1 La expresioacuten para la ganancia es

G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000

2 Cuaacutentas unidades debe vender para tener un punto de equilibrio (ni perdida ni ganancias)

125 unidades 100 unidades 200 unidades 150 unidades

3 El duentildeo de una finca cuadrada donde cada lado mide X metros debe vender al estado dos pedazos de tierra de 2x4 ubicados en dos esquinas opuestas de la finca Para instalar un sistema de bombeo de agua El rectaacutengulo de finca que queda es

(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)

4 Una agencia de publicidad ha encontrado que cuando promueve un nuevo producto la tasa de cambio R del nuacutemero de personas que conocen el producto estaacute dada por

R=28000 ndash 008X

Donde X es el nuacutemero de personas iquestSiacute el nuacutemero de personas que conocen el producto aumenta entonces como varia la tasa de cambio

Aumenta Disminuye Es variable Es constante


2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO

Expresiones aritmeacuteticas

Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos

Sistemas de Numeracioacuten


4 Nuacutemeros Racionales

Definicioacuten

Origen de las fracciones

Propiedades de las fracciones

Principio fundamental de los Racionales

Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros Racionales





5 Nuacutemeros Decimales


6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten

Unidad Nuacutemeros Reales


Ejercicio-1 iquestCuaacutel es el resultado de las siguientes operaciones


Dado el nuacutemero 357 se puede descomponer

300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas

a iquestQueacute representa n


NUMEROS RACIONALES












1 Si un fosforo mide iquestcuaacutentos foacutesforos se necesitan para cubrir de metro


POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x

I = 3acute200000 (102)4x ndash 3acute200000

S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302

N = 2000(06)05t (Ecuacioacuten de Gompertz)

RADICACIOacuteN

La expresioacuten se llama radical donde es el signo del radical n es el iacutendice y a eacutel radicando

Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

CONTENIDO

I Justificacioacuten II Objetivo GeneralIII Contenido TemaacuteticoIV Orientacioacuten MetodoloacutegicaV Criterios EvaluativosVI BibliografiacuteaVII Web grafiacutea

1 Estructura Epistemoloacutegica de la Matemaacutetica iquestQueacute es MATEMAacuteTICA El Nuacutemero iquestCuaacutel es el problema de la matemaacutetica Las competencias

2 Nuacutemeros Reales Los Operadores Expresiones aritmeacuteticas Reglas de prioridad de los operadores aritmeacuteticos Sistemas de Numeracioacuten Descomposicioacuten polinoacutemica de un nuacutemero

3 Nuacutemeros Enteros Valor Absoluto de un Nuacutemero Ley de los signos Adicioacuten y sustraccioacuten de Nuacutemeros Enteros Multiplicacioacuten y Divisioacuten de Nuacutemeros Enteros

4 Nuacutemeros Racionales- Definicioacuten - Origen de las fracciones- Propiedades de las fracciones- Principio fundamental de los Racionales- Operaciones con los nuacutemeros Racionales

o Adicioacuten y sustraccioacuten de nuacutemeros Racionaleso Multiplicacioacuten de los Racionaleso Divisioacuten de los Racionales

- Nuacutemeros Mixtos






Logaritmacioacuten






























LA MATEMAacuteTICA






























4 Suma y resta

























NUMEROS ENTEROS






Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





Logaritmacioacuten






























LA MATEMAacuteTICA






























4 Suma y resta

























NUMEROS ENTEROS






Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2




























LA MATEMAacuteTICA






























4 Suma y resta

























NUMEROS ENTEROS






Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





















4 Suma y resta

























NUMEROS ENTEROS






Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2












NUMEROS ENTEROS






Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



Ejemplos - |-5| = |5|- |-3|lt|-4|- |-2|gt|1|



5 + 3 = 8 (-5) + (- 3)= -8


5 ndash 3 = 2 -5 + 3 = -2





16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

16 divide (-4) = -4 (-16) divide (4) = -4

TALLER






5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

5 -5 ndash 2 lt -15 + 8 ( )6 |-7 + 12| gt |8 ndash 3| ( )












TIGRES 4 0 4 8 8OSOS 5 1 2 10 9







US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





US $ 500 US $ 740 US $ 620 US $480




NUMEROS RACIONALES









23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





23

y 1115



194



534

y 623

)si se divide el








1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

1

43

2 74

3 25

4

37


1 48

2 3035

3 5x 4

15 x2

4 18 xy 3




adplusmnbd=aplusmnb

d Con d0




cd con c y d 0

Ejercicio Calcular


1 23+ 1

92

14+ 3

63

23+3 4 2minus1

45

16+ 2

5+ 7

5

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

minus79minus3

5minus5

674minus 7

10minus3

883+ 2

7minus5

243+ 5

6minus1

2

1+

56+

12

minus12

+ 52



decir

abxcd= axcbxd



Es decir



Ejemplo 5

143

127

232

14


5143

127

232

14



Ejemplo 1

43 2

115

3

278

4

12515




1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



1 m +


iquest = -

74 2 x -

25 = -

18 3 x -

56 =

18

4

3x4 = -


iquest

5 -

6 x5 =

minus45 6

x3 +

12 =

13 7

3x5 -

13 = -

23




34

de metro


17 del total el

segundo

25 y el tercero



18 del total




38 en la segunda y

14 en la tercera




14 en la segunda

320 en la tercera y

15




15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


15 para su esposa

14 para sus hijos

16



13




25 de la

















254 metros de largo




deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



deposito de 9014






45=08

12=05





(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


(100 )x=0 25(100 )



x=14


a

12 b c

512 d

25 e

2496


a 08 b 017 c 0125 d 0015 e 00005




1 08 + 017 2 03 + 08 + 315 3 039 ndash 018




5

3


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


Ejercicio-4 Calcula

1 05 x 03 2 018 x 374 3 1187 x 01 4 0008 x 096 5 4589 x 067



Ejercicio-5 Calcula

1 128 096 2 0903 3 0735015 4 1303 5 064 16


1 (14 ndash 025) x 318 2 1547 + (0025 x 5132) 3 1000000 x (1 +02)















Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2






Porcentaje



1 4 el 30 4 x

30100

=4 x 03=12

2 1600 el 18 1600 x

18100

=1600 x0 18=288

3 35 el 404 840 el 255 90 el 646 200 el 28









POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





POTENCIACIOacuteN


e 4-2









be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



be

Propiedades



am xan=am+n


am

an=amminusn


(a x b) n = an x bn


( ab )n

=an

bn


(am )n=amxn


nradicam


1

56

54 2

x2

x5 3

( xy )4



6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

6 (y3)-2 7

xminus3

xminus4 8

( yminus3

xminus2 )minus1




1

2x 2

3

xminus2

3 (2x)3 4

1

4 xminus2 5

3

2x4 6

(minusx2 )

3


1 23 2

1

33

3 64 4 (-3)5 5 (-2)-3

6 123 7 (-37)3 8 (-15)-5 9 ( 14 )

4

10 ( 2

3 )minus5





S = 1acute000000 (102)4x














S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2







S = Pℓ0 1 n



N = 6302ℓ0 3739 t





RADICACIOacuteN




n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


n=aCondiciones





1 16163

2 yminus32

3 (6m )23

4 (8 x )minus23


1 radic x3 2

13radicb2

3 3radic (( ab )3 4

3radic8m3


1 nradican=a

nn=a1=a


3

nradicanradicb

=nradic ab


1 y14 y

32

2 z34 z4

3 yminus32 y 4

x13

xminus23

5 (x

23 )

34



3 radic125a6 4

3radic27 x3 5

4radic256 x8 y16







5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

5

radic12 x3 y12

radic27 xy 2 6

4radic32a9b5



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32


donde C y n R



5

minus3



4radic625 4

1

radic144 5

1+radic5

10radic 32



S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t



compantildeiacutea


C=20 xℓx2

100



P=250 ( x+4 )32







S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





S=Pℓ1

10n





P=30 (3q2 )



5x



N=3000 ( 0 2 )(35 )t




TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

TALLER




8 )minus13

es

a

8124 b

32 c

23 d

2481



es equivalente a

a 125 b 5 c 1 d 153





6 La expresioacuten

213

2minus23

es equivalente a

a 2 b 2minus13



a 11 xy 2 b 11 x2 y c 11 x2 y4



a 3 x3 b 3 x

32

c 3 x23




S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


S=2000 (2 )minus110

x



N=500 ( 0 02 )( 710 )t




Conjunto














Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2













Determinar

1 A U C 6 Ac n Bc

2 C n B 7 (A n B) c



4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

4 Ac 9 (B U C) c

5 C Δ A 10 (C - B) c

Desigualdad


Propiedades


Intervalos





a B n Cb B u Cc Ac



g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


g (A u B) c


LOGARITMACIOacuteN









Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2







Propiedades

log a1=0

log aa=1

log aax=1

a logax=x


log aUV

=log aUminuslogaV



nlog aU iquest

Tipos de Logaritmos








19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2







19



minus13

log 25 x=minus12


25 = 32 53 = 1254-1 =

14

912 = 3


log ax


x2

radicx+4



2312iquest 1

2ln 56minusln 23

ln3radic 8

5

13





Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



Aacutelgebra










3a2b3 z minus6









a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





a(b+c)= ab + ac






6 ( x+a )3=x3+3a2 x+3ax 2+a3



1 (x + 3)(x + 3)

2 (x ndash 1)(x + 1)


4 (x + 2)2

5 (y ndash 3)2

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3


8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

8 (3x ndash 2y)3


Ejercicio



c

2 xminus y








FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

FACTORIZACIOacuteN




x2+7x+10 x6-6x3-7 x2y2+ xy -12 x8 + 4x4 -32





+ 3 a2 +12a + 35 5x2 + 25x + 30 X2 + 6 x + 9 9y2 ndash 18y + 8

X4y ndash 2x2y + y














tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2








tasa del 35











c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


c=540000100minusp

minus5400



C=285000p

minus2850



C=50000x

+105







+55+01 x







+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





+190+02 x




minus 18

(t+3)2



S=100[ (10075)nminus100075 ]



R=10 000[ 00065












1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2










1t

3t+2minus 4tminus1

2 xminus2

x2+6 x+9minus x+2

2(x2minus9) 3

3x+4 y


10 x2 y



12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

12 x y 4

3a3blowast5ab4

5x3 y


lowast21a+14b

20 xminus5 y


135a3


3minusxx+1

dividexminus1x+1




1x


radic5+radic2



a2x

2x+4


2 x2 y2minus3 x y3





1xminus1

+1



c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


c=540000100minusp

minus540 000



radicxminus1

Actividad



ECUACIONES


Ejemplo

2 x+5=12

7 x+1=6 x+10

3( x+1)=5( x+2)

3x+12

= x3








4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2






4

Pminusbxminusa

=m 5 5 xminus4 P=1200

6x=65 4minusP

0 36

79 x+3

2P=11

8

32x+5P=1

3 9

P17

+066=r


1 x+7=1 2 xminus2=minus4 3 3 x=18

4

x3=minus4

5

23x=1

56 2 x+8=1

7 4 xminus7=8x+2 8 x+8=8( x+1)9

minus34x=24


1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

1023x+ 1

4=1

2x

11

33minusx5 x

=212

2 x2x+5

=23minus 5

4 x+10

Aplicaciones


por C(x) = 120000










C(x) = 50000+105 x



S(t) = 400 + 2400t+1






millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Santa Marta

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CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2


millones de pesos






I175 39

+0 66=r


















x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2














x + y = 1 (Ec1)3x + y = -12 (Ec2)






2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



2



2 )Entonces y=15

2

y=152



minus132

+ 152

=1 3(minus132 )+ 15

2=minus12

22=1

minus392

+ 152

=minus12

1=1minus24

2=minus12

minus12=minus12











4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



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Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2






4(2) ndash 2(2) =4 2 ndash 2(2) =-2


4=4 minus2=minus2



2x + 3y = -5 (Ec1)x - 2y = 8 (Ec2)




7 y=minus3



2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8


4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




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Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



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Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

4 ndash 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Por Determinante




a21 a22


det(A) = |A|= a11a22 - a21a21



x=[c bf e ]

[ a bd e ]

y=[a cd f ]

[[ a bd e ]]


3x + 2y = -72x - 3y = 4


x=[minus7 2




minus9minus4= 13



y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


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Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

y=[3 minus72 4 ][3 22 minus3]


=12+24minus9minus4

= 26minus13


Verificando


-3 ndash 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4



10

52xminus7

2y=minus1 8x+3 y=11






























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


TALLER






G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




2004 2007 2009 2011


Compilado por


Santa Marta

2009

CONTENIDO






Definicioacuten











6 Potenciacioacuten

Radicacioacuten






300 + 50 + 7

3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



TALLER

Problemas



NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

























(1)






(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














t2+36 con














Ejemplo ilustrativo

Teorema2-Suma

Ejemplo ilustrativo


Ejemplo ilustrativo

Teorema4

Ejemplo ilustrativo



Teorema7 Teorema8

Teorema9 Teorema10

Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


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G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


R=28000 ndash 008X




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3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

5 x3 ndash 6x - 9



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NUMEROS RACIONALES














POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

(1)


oacute


si ) se obtiene

de donde (2)





(1)

Solucioacuten




O equivalentemente


De donde

(2)














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Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


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-infin


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3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

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____ e veces __

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S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2

O equivalentemente


De donde

(2)














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Teorema7 Teorema8

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Teorema11







Graacuteficamente

0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


Graacuteficamente


-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


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G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




(X+2)(X+4) (X+4)(X-4) (X-2)(X-4) (X-4)(X-4)


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3100 + 510 + 7 como 100= 1

3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

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POTENCIACIOacuteN

____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2







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0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


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-infin


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G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




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3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

3x2+5x+7

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____ e veces __

Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


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0 1 2 3 4 5 62) 2x ndash 4 lt 6


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-infin


2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


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S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2





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2 29 -3(x + 1) gt 2x + 2


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Propiedades



S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


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G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




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S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

S = P

N = 6302


RADICACIOacuteN


Si entonces

Condiciones



1 2 3 4 5





1 2 3


1 2


1 2



G(x)=150x -15000 G(x)=80x+10000 G(x)=80x-10000 G(x)=150x +15000




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3102 + 5101 + 7+100 Si hacemos x = 10

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S = 1acute000000 (102)4x


S = P (1 + i)n

N = 48139 (19)t

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manual de matemática básica08-07-09

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