MANUAL DE

PROBABILIDADES

DANIEL VILCA REYES

ESTADISTICA:

Son métodos y técnicas que nos

permiten : Recolectar, Ordenar-

Clasificar, Graficar, Interpretar,

Analizar e Inferir.

Clases de estadística:

Descriptiva Interpretar

Inferencial Teoría de

Probabilidades.

Población : Un total.

Muestra : Parte

representativa de la

población.

Población Diana : No

está previsto.

VARIABLES

Cualitativas : Denotadas sin

Número.

Cuantitativas : Representada

con números.

Discreta Números

Enteros

Continua Números

Decimales

Por su Ubicación:

Cronológicas : Cuando tienen un

orden. Se interpreta mejor la

información.

Atemporales : En un desorden

total (en la línea de tiempo).

Por el Numero:

Unidimensional : Analizamos una

sola variable.

Bidimensional: Analizamos 2

variables.

Multidimensional : Analizamos 3 o

más variables.

ORGANIZACIÓN DE DATOS

1. DATOS BRUTOS

2. DATOS ORDENADOS

3. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

DATOS CUALITATIVOS

Ejemplo 1: Tipo de películas.

DATOS BRUTOS ARREGLO DE DATOS

X1 = Comedia X6 = Comedia

X2 = Policial X7 = Acción

X3 = Acción X8 = Terror

X4 = Policial X9 = Terror

X5 = Terror X10 = Comedia

X3 = Accion X4 = Policial

X7 = Accion X2 = Policial

X1 = Comedia X5 = Terror

X6 = Comedia X8 = Terror

X10 = Comedia X9 = Terror

Tabla Nº1

Preferencia Tipo de Películas

Tipo Película

Cantidad %

Acción 2 20

Comedia 3 30

Policial 2 20

Terror 3 30

Fuente: Elaboración Propia

Gráfico Nº1

Preferencia Tipo de Películas

Terror

Comedia

Accíon

Policial

Pictogramas

Accion

Policial

Terror Comedia

Ejemplo 2: 15 personas, que gaseosas

toman.

DATOS

BRUTOS

ARREGLO

DE DATOS

X1 = Inca cola X9 = Coca Cola

X2 = Sprite X10 = Inca Cola

X3 = Coca Cola X11 = KR

X4 = KR X12 = Inca Cola

X5 = Coca Cola X13 = Coca Cola

X6 = Inca Cola X14 = Sprite

X7 = Sprite X15 = Guarana

X8 = Inca Cola

X1 = Inca cola X3 = Coca Cola

X6 =Inca Cola X2 = Sprite

X8 = Inca Cola X7 = Sprite

X10 = Inca Cola X14 = Sprite

X12 = Inca Cola X4 = KR

X3 =Coca Cola X11 = KR

X5 = Coca Cola X15 = Guarana

X9 = Coca Cola

Tabla Nº1

Preferencia Tipo de Gaseosas

Tipo Gaseosa

Cantidad %

Inca Cola 5 33

Coca Cola 4 27

Sprite 3 20

KR 2 13

Guarana 1 7

Fuente : Elaboración Propia

Gráfico Nº1

Preferencia de Gaseosas

Inca Cola

Coca Cola

Sprite

KR

Guarana

Pictogramas

Inca Cola Coca Cola

Sprite KR

Guarana

Cuantitativas

Discretos :

Clase (Xi) : Diferentes tipos de

datos.

Frecuencia Absoluta(fi) : Son

las veces que se repite cada

clase.

Frecuencia Absoluta

Acumulada(Fi) : Suma sucesiva

de las Frecuencias Absolutas.

Frecuencia Relativa(hi) : El

tanto por uno de la (fi).

Frecuencia Relativa

Acumulada(Hi) : Suma sucesiva

de “hi”.

Hi = ; Hi =

hi =

Tabla Nº2

TÍTULO

Xi fi Fi hi Hi

X1 f1 F1 h1 H1

X2 f2 F2 h2 H2

X3 f3 F3 h3 H3

Xk fk Fk hk Hk

K = último

EJERICICIO :

Se a encuestado a 20 alumnos de la Universidad peruana de Las Américas, para saber cuantos hermanos tienen y se han obtenido las sgtes respuestas:

Procedimiento:

1º. Calcular Rango

R = DM – dm

R = 4 – 0 = 4

2º.

3 1 0 1 0 2 4 2 3 1 3 2 3 4 1 0 1 3 2 0

R + 1 = Clase

3º. Confeccionar Distribución de

Frecuencias.

TABLA Nº3 Nº HERMANOS

Xi fi Fi hi Hi

0 4 4 0.20 0.20

1 5 9 0.25 0.45

2 4 13 0.20 0.65

3 5 18 0.25 0.90

4 2 20 0.10 1.00

n = 20

FUENTE : Elaboración Propia

FUENTE : Elaboración Propia

0

2

4

6

0 1 2 3 4

fi

fi

FUENTE : Elaboración Propia

0

10

20

30

0 1 2 3 4 5

Fi

Fi

,000

,050

,100

,150

,200

,250

,300

0 1 2 3 4

hi

hi

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

DE VARIABLE CONTINUA

1.) Los datos son enteros?

Si Pasar al Nª 2

No DM x Pasar

dm x al nº 2

d = numero decimales

2.) Calcular Rango

,000

,200

,400

,600

,800

1,000

1,200

0 1 2 3 4 5

Hi

Hi

R = DM – dm

3.) R 9 ?

Si ir al 4

No Hacer el procedimiento de

variable discreta.

4.) Calcular “K”

K = 1 + 3

K’ = Aproximar K al inmediato superior

5.) Calcular “m”

m =

m’ = Aproximar “m” al inmediato

superior.

6.) Calcular R’

R’ = m’ K’

7.) Calcular Exceso

E = R’ – R

E= PAR

dm - = dm’ DM + = DM’

E = IMPAR

dm - = dm’ dm - = dm’

DM + = DM’ DM + = DM’

8.) Hacer D, F, V, C

, ,

Ejemplo : Se ha desarrollado una encuesta a 40

alumnos de la Univ. Para saber su talla y peso.

1.70 1.68 1.49 1.82 1.66

1.75 1.63 1.73 1.48 1.66

1.63 1.70 1.68 1.77 1.65

ALTURA

1.73 1.67 1.73 1.69 1.55

1.61 1.57 1.60 1.72 1.70

1.49 1.67 1.73 1.77 1.48

55 68 56 86 58 72 59 77 51 57

57 70 71 68 70 68 52 64 65 60

58 73 59 65 75 52 70 68 70 52

N=30

1.) Los datos son enteros?

NO DM x 1.82 x = 182

dm x 1.48 x = 148

PESO

2.) R = DM – dm R = 182 – 148 = 34

3.) R 9 ? SI

4.) Calcular “k”

K = 1 + 3.222

K = 5.9

K’ = 6

5.) m = = 5.67

m’ = 6

6.) R’ = 6 x 6

R’ = 36

7.) E = R’ – R

E = 36 – 34 = 2

182 + = 183

148 - = 147

= 1.83 =1.47 m= =0.06

TITULO : TALLA

[Li-Ls> Xi Tartas fi Fi hi Hi 1.47 - 1.53

1.50 IIII 4 4 0.13 0.13

1.53 - 1.59

1.56 II 2 6 0.07 0.20

1.59 - 1.65

1.62 IIII 4 10 0.13 0.33

1.65 - 1.71

1.68 IIIIIIIIIII 11 21 0.37 0.70

1.71 - 1.77

1.74 IIIIII 6 27 0.20 0.90

1.77 - 1.83

1.80 III 3 30 0.10 1.00

FUENTE : Elaboración Propia

1.) Son enteros?

Si

2.) R = DM – dm R = 86 – 51 = 35

3.) R 9 ? Si 4.) K = 1 + 3.222

K = 5.9 K’ = 6

5.) m = = 5.83

m’ = 6

6.) R’ = 6 x 6

R’ = 36

7.) E = R’ – R

E = 36 – 35 = 1

51 - = 51

86 + = 87

[Li-Ls> Xi Tartas fi Fi hi Hi 51-57 54 IIIIII 6 6 0.20 0.20 57-63 60 IIIIIII 7 13 0.23 0.43 63-69 66 IIIIII 6 19 0.20 0.63 69-75 72 IIIIIIII 8 27 0.27 0.90 75-81 78 II 2 29 0.07 0.97 81-87 84 I 1 30 0.03 1.00

f2 = 2 hay 2 alumnos que tienen su talla

entre 1.53 y 1.58.

F4 = 21 Hay 21 alumnos que tienen su talla

entre 1.47 y 1.70.

H3 = 0.13 el 13% de alumnos tienen su talla

entre 1.59 y 1.64.

REPRESENTACION GRAFICA

A continuación….

FUENTE : ELABORACION PROPIA

FUENTE : ELABORACION PROPIA

0

2

4

6

8

10

12

1,47 002 002 002 002 002 002 1,83

Talla de alumnos UPA

fi

f i

0

5

10

15

20

25

30

35

1,47 002 002 002 002 002 002

Talla de alumnos UPA

Fi

FUENTE : ELABORACION PROPIA

FUENTE : ELABORACION PROPIA

000

000

000

000

000

1,47 002 002 002 002 002 002 1,83

Talla de alumnos UPA

hi

h i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,47 002 002 002 002 002 002

Talla de alumnos UPA

H i

FUENTE : ELABORACION PROPIA

FUENTE : ELABORACION PROPIA

0

2

4

6

8

10

51 54 60 66 72 78 84 87

Peso de alumnos UPA

fi

f i

0

5

10

15

20

25

30

35

51 54 60 66 72 78 84

Peso de alumnos UPA

Fi

FUENTE : ELABORACION PROPIA

FUENTE : ELABORACION PROPIA

000

000

000

000

000

000

000

51 54 60 66 72 78 84 87

Peso de alumnos UPA

hi

h i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

51 54 60 66 72 78 84

Peso de alumnos UPA

Hi

Media Aritmética (Promedio) ( )

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Datos No Agrupados (Pocos Datos)

Datos Agrupados (muchos Datos)

Ejemplo : Edad de 4 alumnos

Jose = 19 Carlos = 21 Manuel = 18 Miguel = 21

Cual es la edad promedio?

=

X1=19 = =

X2 = 21

X3=18 = = 19.75 años

X4=21 Años Meses

Ejemplo 2: Edad

X1 f1 fiXi

18 9 162

19 5 95

20 6 120

21 15 315

22 5 110

N=40 802

= = 20.05 Años

[LI-li> Xi fi

15-20 17.5 7 -2 -14

20-25 22.5 16 -1 -16

25-30 27.5 22 0 -35/35

30-35 32.5 17 1 17

35-40 37.5 9 2 18

Ot = 27.5

= 27.5 + ( ) 5

= 27.85

MEDIANA (Me) la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.

1.) DATOS NO AGRUPADOS Procedimiento A) Ordenar de mayor a menor o viceversa B) Numero de datos es impar?

Si Ubicar el dato medio

P =

El dato en “p” es mediana =Me=Xp 2 – 3 – 3 – 5 – 6 – 7 - 11 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

P = = = 4

Me = Xp Me = 4 Me = 5

NO P =

Me =

1.70 ; 1.62 ; 1.35 ; 1.84 ; 1.62 ; 1.71

P = n+1

P = = 3.5

1.84 ; 1.71 ; 1.70 ; 1.62 ; 1.62 ; 1.35

Me =

Me = 1.66

2.) DATOS AGRUPADOS

Discretas:

Utilizar Fi

j =

existe Fi

Si Me =

* NO ME = Xj Ejemplo :

Xi fi Fi

0 4 4

1 3 7

2 6 fj 13 Fj

3 2 15

j = = 7.5

Me = 2

Xi Fi Fi

0 1 1

1 4 5

2 2 7 Fj-1

3 5 12 Fj

4 7 14

J = = 7

Me = = 2.5

Continuas:

Me = (Ii)j + ( ) A

Li – ls fi Fi 1.40-1.50 5 5 1.50-1.60 7 12 1.60-1.70 12 24 j 1.70-1.80 10 34 1.80-1.90 6 40

J= = 20

Me = 1.60 + ( ) 0.1

Me = 1.67

MODA (Mo) Fenómeno o dato que mas veces se repite.

A) DATOS CUALITATIVOS

E.C CANT

S 14

C 12

V 18

D 3 NO ES COHERENTE CALCULAR (Mo) EN ESTE CUADRO

COLOR CANT

Azul 14

Crema 15

Rojo 18

Verde 13

Mo = 18

B) DATOS CUANTITATIVOS

Discretas :

Xi fi

0 5

1 7

2 3

3 7

4 2

Mo1 = 1 Bimodal Mo2 = 3

Continuas :

Li – Ls Li

1.40-1.50 5

1.50-1.60 7

1.60-1.70 9

1.70-1.80 6

1.80-1.90 3

Mo = (Li) j + ( ) A

= fij – fij – 1 = fij – fij + 1 = es la fila donde esta la “fi” mas alta.

Mo = 1.60 + ( ) 0.1

Mo = 1.60 + ( )0.1

Mo = 1.64

CUANTILES (C)

Cuartiles (Qk)

Deciles (Dk)

Percentiles (Pk) (Qk)

Qk = (Li) j + ( ) A

4 Q B 10 D 100 P

= = = 68.25

Q3 = 65 +( ) 5

Q3 = 66.73 (Dk)

= = 72.8

5

(Pk)

= 59.15

60 + ( ) 5

P65 = 64.1

ESTADIGRAFOS DE DISPERSION DESVIACION MEDIA (DM)

DESVIACION ESTANDAR ( ) poblacion S muestra

DM =

=

Ejemplo:

Xi Xi- (

3 -4.8 23.04

4 -3.8 14.44

7 -0.8 0.64

12 4.2 17.64

13 5.2 27.04

82.80 = 4.06 Muestra:

Xi Fi U Ufi ( (

4 10 -2 -20 -1.85 3.42 34.2

5 15 -1 -15 -0.85 0.72 10.80

6 16 0 -35/26 0.15 0.02 0.32

7 12 1 12 1.15 1.32 15.84

8 7 2 14 2.15 4.62 32.34

S =

93.50

s =

= = 1.24

= 6 +( )

= 5.85 s =

Varianza ( )

=

=

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

Xi P(Xi=X)

0 0.10

1 0.15

2 0.07

3 0.35

4 0.25

5 0.08

P(Xi=5) = 0.08 P(Xi=2) = 0.07

Xi P(Xi X)

0 0.10

1 0.25

2 0.32

3 0.67

4 0.92

5 1.00

P(x = 0.92 P(x ) = P(Xi=0)+ P(Xi=1)+ P(Xi=2)+ P(Xi=3)+ P(Xi=4) P(x ) = 0.10 + 0.15 + 0.07 + 0.35 + 0.25 = 0.92

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCION BINOMIAL

Existe 2 resultados p exito q fracazo

Se puede realizar muchos ensayos

P(x = x) = .

Ejemplo : Si se tira una moneda al aire 10 veces . Cual es la probabilidad de 3 oportunidades obtenga cara.

N=10 X=3

P(x=3) = x x

= x x

= x x

= 0.117

Ejemplo 2 : En el Examen Final de Estadistica se han planteado 10 preguntas para responder si es falso o verdadero. Si el Alumno Huaracayo no ha estudiado para el examen, tiene la probabilidad de contestar cada pregunta del 0.2 . Cual es la probabilidad de que apruebe el curso?

n = 10 P(x=1) = x x = 0.27

X = ?

p = 0.2 P(x=6) = x x = 0.0055

q = 0.8 nota = 11 o más

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA Caracteristicas

1) Simetrico

2) = Me = Mo 3) Area bajo la curva = 1

Estandarización o Tipificación

x

z

MOB

EDITION