manual del geometra

MANUAL DEL GEÓMETRA

MANUAL DEL GEÓMETRA TRATADO TEÚBICO-FRÁCTIGO EN LECCIOKES

TOPOGRAFÍA, TRAZADO DE VÍAS DE COMUNICACIÓN, REPLANTEOS

Y EVALUACIÓN DE ÁREAS V VOLÚMENES, . CON UNA LIGERA IDEA DB LA T R I G O N O M E T R Í A APLICADA

AL LEVANTAMIENTO DE PLANOS,

y MULTITUD DE FÓRMULAS V DATOS PRÁCTICOS

Capataz facultativo de minas.

CON UN PRÓUOQO OE LOS SEÑORES

M mm mm ? SOK mm ¡lÉsm mm Ingenieros del mismo cuerpo.

ey^¿í^ T^^Z^^LO^ÍK.

MADRID «SrABCBOIWtBKTO TIPOOBIJ-IOO D I BIOAROO ¿I.TA.RIZ

Rondé d» AioOtOf iS.- TAéfono 809.

i S 9 0

Esta obrá es proDkdad de su autor, y los ejemplares que no lleven su rúbrica se perseguirán ante la ley. Queda hecho el depósito que marca aquélla y los tratados internacionales vi-genites.

<» cfvmfK^ vi2MQA,a como nuxcóhoo u auwt^

^ ***<? ño/vmomoi, b(íbica ^h Smniíbc' ha^

SoUo

ÍNDICE

Páeinag.

Advertencia. 17 Prologo 19

PEIMEKA PARTE

Trigonometr ía .

UOOIÓN FBIMBBA

Prelimmtee8...1.: 28 I^efloidones de líneas trigonométricas.. * Arcos suplementarios 24 Valores particulares de algunas lineas : , 28

.^c^ftdades de los triángulos rectángulos 2» "'f*«3iaeB de los triángulos oblicu¿iguloB 27

txooióN azavtrojí

Wíposición y uso de las tablas de líneas trigonométricas 2» «««Ititíón de los triángulos rectángulos.... 80 «•«olución de los triángulos obUouánguloB 82

V SEGUNDA PARTE

T<90crafia.—Libro priaMo.

UtCOIÓM TBIXXBA

):>eAiaoi6D ......é 8flf flgnjtadelatterr . . . . . . . . ; . . »

— 8 — Páginas.

Linea vertical 89 Detenninación de la vertical > Barpendícolo * Plano vertical - ' > Línea y plano horizontal 40 IMviBión d^ la topografía > Sálales para marcar en el terreno las líneas y ángulos de los

polígonos... > Hqnetes > Jalones * Banderolas ' > escalas > Escala numérica..... . . . . . . . . . < > . . > > . . . . . . . 41 Escala gráfica 43 Escala de transversales > Koniús 43 Konins recto ..' > Uso > Nonios circular. 44 Apredación de loa nonios engraienü.... . . . >

. 4pHrat(M de onión de los insáromentoB con Boa pies 47 BodiUss..... -. , > Bodillas denoez > Sla^&omas.. v • > Slataforma detiea tomillos. ..,..*. > 'Viám de los iastmmmtos.,., 48 JfartoaoB ó ehosos. , > fSÉl odsB. > ,ul^iM*eioiie«. ^ 49 Itaiadodélas aliaeadones... ^ > AfolOQgaddadelttauído.. 00 ilMida^lMliaAas. é. 61 C a d e n . . . . . . . . . . . . . . . . » Unte aietáUcá. i «Odéto... »

:Jf«dÍdona9 fi8 ^fteHaaas qoe ptmtbn reaolTWie pormedio deiilinwMáottai.,.. M

Pégini»

LBOCIÓN TCBCEBA

EBCoadrae . . , . . . , . . . . • • • . . • . • . . . • . ••• * Escuadras prismática y cilindrica. * Usos , . . . , " Yerificadon^B 7 coireccioaes..... • * Problemas que pn,eden resolverse con la escuadra • 6T Pantómeti....... . . . , '^^ Verificaciones y con'eccioneB ^

LUpOU^K CViXtA.

Brújula. . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . 62 Principio en que se fonda • • * Declkuuáón de la aguja...» • Pesctipción de la bn^ula suspendida. • • • • '* Armadora, para suspenderla. . . . . . . ' . ,** Veriflcadones y corrrecciones.. " Semicírculo. • W Modo de usarle . - « . . . . . . . . , . •- ** Comprobación de su exactitud. ».- •••• * * Accesorios que acompafian á la bn^ula y semicíroulo " Longitud de las cuerdas ^ Precauciones para el manejo de la bn:uula..' . . . . . . . . . . . . *'

- *' jMoatót vnwu.

^lüúmetros de predslón. 8t Teodolito bnyul» deíangke »

/üsoB de este teodoUto.. tt VeriflcacioQbs y correcoioneB t^,

Ltootós sixxi

£& piA coasistiB un plAQo.. W ' tJtília8d'da.mi«B«>............... »

^ < de los tqranusionet que oonsütayen^ leTantamiento de on plano *. »

B«coaocimÍento del terreno. ^ Oañevaa topcgráflco.,,^.

— 10 — ' Página».

Elección de las escalas. 79 Begistros 80 Fimos de mina •• utilidad de los mismos para la explotación 81 Xevantamiento de planos • Primer método.—Con la escuadra sobre nn solo eje 81 S^^nndo método.—Por rodeo con la pantómetra 83 Tercer método.—Radiación con la pantómetra. 84 Intersecciones sencillas y dobles con la pantómetra. 86 Por rodeo.—Con el teodolito usado como brújula... j 80 Por radiación con el mismo instrumento 88 Obseryaciones acerca de los métodos que antecede¿ »

LEOCIÓV SÉmifA

Levantamiento de planos de minas - 89 Con el teodolito.. » Con la brújula suspendida y el semicírculo 94 Ordenen que se toman los datos 97 libreta de anotación > Croqnip > Galerfoa que se cruzan > Modo de relacionar la posición de labores ñtnadas en distíntos

I BOS ó niveles 98

LIOCIÓII OOTATÁ

Triangulaciones 102 CLuificación de las triangulaciones en diferente ordene»....... 103 Eleeción de la base y puntos principales........^ • Fonná de los triángulos.... 104 Beoonodmiento del terreno >

7 Medida de la base i . . . . . . . . . » I Ol ffervación délos ángulos..... * 106 ^ Leruitaínimato del plano de superficie de un establecimiento

ininem>. > fiíitrumentos que deben emplean» 108

VmXtífB noTKKÁ

'• Hanefa de relacionar la poñción de naevas excavacicmeB coa 'i otras y o plano esté ya levantado.. 109

— II — Pigina».

Cálculo de las proyeccioneB horiaontales y verticales de las cuerdas 110

Tablas para calcularlas ». Cálculo de las proyecciones por las tablas de logaritmos 118

LEOaÓN' DÉCIMA

Trazado gráfico 116 Transportador • Uso del transportador » Orientación de los planos » ' Construcción de un plano levantado con la escuadra. IW Construcción de un plano levantado con la pantómetra > Construcción de un plano levantado con brójula. 117 Construcción del plano de un establecimiento minero 119 Disposición del trazado de los trabajos hechos para efectuar un

rompimiento entre dos puntos dados. ^ 120

I.BCCIÓN UUDÉCIIU.

Trazado de las proyecciones horizontales y verticales de las ex. cavacioues. Vil

Modo de representar los diversos pisos de una mina en la planta y en los cortes verticales. •. • 132

Método de explotación seguido en las minas de Almadén 124 Inconvenientes del trazado gráfico * 129

LSCCIÓH DüODionUk

Método de tres planos coordenados 180

LKOCIÓK DÉCnULTERCERA.

Cálculo de las coordmadas de puntos trigonométricos 142 Efectuar un rompimiento entre dos puntos cuando se conocen

laH coordenadas de éstos... i > •. • Ui .Combinación de los dos sistemas gráfieo y coordenado pora el le

vantamiento de planos 1B4

:\fi

Página» •

Topografia.—Libro seguido.

LECCnAS FBIMX&l

Definiciones 156 Soperfícies de nivel 1S7 Inferencia de nivel aparente al verdadero Seíracción atmosférica. 168 JHTkdón de la nivelación con respecto á los 'procedimientos que

se emplean para obtener los desniveles 158 InstromentoB de iiivelación: mira de corredera ó tablilla » IBra parlante 169 Nireles 160 ^irelde perpendículo. >

LBCcióM saomroA

ITiTel de agua 102 JSdvél de aire con anteojo 163

,UBO 164 Teriflcacio^es y correociones Í. jKiTalacióli por alturas. 166 Marcha que se sigue en las operaciones de la.nivelacióa com

puesta 166 €otM. . . . .^ . . . . leí COealo de las cotas. 168

Problemas déla nivelación por alturas.. »

•^ LSOOIÓV T K B O n U

lürdación por ángulos dependiente. 17t Obstáonios que pueden presentarse 178 Begistro de la nivdación por pendientes... >

- iSsblM de reducción de las pendientes A los angulosa queoorres. ponden.. I7e

JPkoblemas de niyelaeión por pendientes. , 176 LSO(SÓS GUASEA.

..ütaianí de marcar la pendimite de una galería ó plano ineli-aado... . , . , , . 17»

'*-

- 13 ^

Nivelación de todos los puntos notables de un establecimiento minero y labores interiores <

LBOCIÓN QTTIKT^

Curvas de nivel Equidistancia , Determinación de las curvas Método para trazar las curvas de nivel sobre el papel Método gráfico

LECCIÓN SBXTÁ

Deslindes de terrenos Sustitución de lindes curvas por rectas sin alterar la superficie de

los colindantes Copia y reducción de planos «. " Instrumentos de reducción

TEECEEA PAETE

Trasado d« v iu de corntrnioaclón.

LBCoióN ranuiu.

Consideradones generales , . . . ' . . . • Situación en que puede encontrarse la vía con respecto al terreno

natural Definición de las partes piiúcipaleB de que se compone una vía. Desmontes Terraplenes

LtCOIÓS SKOÜltDA.

Caminos ordinarios , . . ' . . , Datos que debe eontenor él plano de la zona por donde pasa

iavia . , Trabi os de campo. . Personal necesario -• Estacas de la base 7 d« los perfiles transversales........... ..«i

— 14 — Páginas.

InstromMito en estación 216 libreta del croquis 216 Hivelación de todos los puntos antes determinados >

LBCOIÓK TIBCSBA

'Sttbt^ de gabinete 219 OotMí de los puntos intermedios 220 Ck>(M rojas ^ ( ÜCBlo de los puntos y líneas de paso 221 Otieolo de desmonte y terraplén 223 fl*tadoB necesarios par» la cubicación .'. 226

iMX3t6V CUANTA

• dbtw de £tt>riea 227 Orawtas de coronación en los desmontes 228 CmáBo» de hierro 229

.'Bétenainación del eje de un túnel 230 f^»té» necesarios para hacer la medida general de las obras 231 .'

CUARTA PARTE

B«pl«at«oe.

uooidv raxwoLÁ.

Oefinidón . . . . . , . . . . . . ; . . . . . .^;. 286 BepUntear una linea coiúqniera. > Biântear ana línea en la niperflcie Beidantear la base de on edifldo 2S6

- Beiplaatear una línea en el interior de las minas 237 uooióv sBomroA

fStIumdo de corras sobre «1 terreno • 343 Saiâatear laa líneas que constituyen el proyecto definitivo de

. ônavía....- 247 IRvelataa.^.. 360

- . iS -Página».

QUINTA PAUTE

Sralnaclón do ¿roas y volúmenes.

LicoióN imcÁ.

PreUminares ^^^ Fórmulas para las áreas de figuras regulares * Evaluación del área de un terreno limitado por curvas y rectas.. 266 Fórmulas para los volúmenes de figuras regulares 263 Manera de obtener el volumen de una figura irregular *

NOTAS

' PBIMGRA.

Aplicaciones prácticas 2'^

SEOVNPA ;

Hanos de los edificios 272

TBBOSBA

Fórmulas y datos útiles . . . . . i 27*

ADVERTENCIA

La experiencia adquirida durante largo tiempo en los trabajos propios del ^ eówe ríí witnero me ha hecho comprender, y más de una vez tocar, los inconvenientes con que tienen que luchar cuantos se dedican al honroso cargo de capataz de minas.

Dos son, en mi juicio, los motivos de tales inconvenientes.

••• El uno es la necesidad sentida hace largo tiempo de enseñar á los alumnos de la Escuela de Capataces el l e vantamiento de planos de minas, y el otro la falta de nna obra adecuada que permitiera á los aspirantes y capataces con poco coste y en un tomo poco voluminoso adquirir aquellos conocimientos que hoy se encuentran distribuidos en multitud de libros y que les cuesta mucho dinero, mucho tiempo y no poco trabajo.

El objeto que me propongo al publicar esta obrita es el de ofrecer á cuantas personas se dedican á los trabajos del geómetra y capataz de minas en un pequeño ubro y por un ínfimo coste los principios más esenciales ^tíe la cualidad de su cargo les impone.

A este fin, y al de que puedan conseguir el indicado

r .:-v

— l 8 —

objeto, he recopilado en este libro con cuanta claridad me ha sido posible, y distribuido en treinta lecciones^ varios apuntes de trigonometría rectilínea, topografía, trazado de vías de comunicación para las necesidades de las minas, replanteos y descripción de las fórmulas empleadas para la evaluación de las áreas y volúmenes, tanto de figuras regulares como irregulares.

Breves apuntes trazados ligeramente bajo estudios hechos en obras de ilustres autores son estas desaliñadas lecciones que me atrevo á sacar á la luz cuando acaso no bebieran haber salido de la obscuridad de mi humilde gabinete.

Dificilísimo sería para mí redactar una obra completamente original; lejos de mí tal pretensión, sólo aspiro á que este trabajo, fruto de muchos desvelos, sirva á mis queridos compañeros para allanarles las dificultades ha—

, eiendo más fácil el camino que deben seguir. Si mis compañeros, cuya opinión estimo en mucho,

creyeran que puedo conseguir con este libro el objeto que me propongo, veré mis esfuerzos completamente recom-

Sedw @. §ffCoM.

P R Ó L O G O

Es indudable que el número de publicaciones cientí-, ficas es muy pequeño en España, si se atiende á los

profundos conocimientos que ilustres personalidades de los cuerpos facultativos poseen en diversas especialidades

, científicas. Por lo que se refiere á la enseñanza, se comprende,

que no se publiquen en castellano' tratados completos de laboreo de minas, mecánica aplicada, paleontología, etcétera; pues siendo habitual en los alumnos de las carreras especiales la traducción del francés, j leyéndose poco, por desgracia, en nuestro país, seguramente acometería una desastrosa empresa financiera el profesor que intentase dar á la publicidad una obra de suyo muy costosa y que apreciada seguramente por los hombres de ciencia no llenaría un vacio ocupado hace tiempo por los textos franceses é italianos. He aquí por qué los profesores de ias escuelas prácticas de Hieres y Cartagena han tenido que escribir obras á propósito para los capataces de minas, á los que no se exige traducción de idioma alguno extranjero.

Estos son, por consiguiente, los que no encontrarán

— 20 —

á su alcance obras de consulta, que con tanta facilidad puede hojear el ingeniero, y tampoco podrán valerse de los numerosos manuales ó agendas, que también en francés ó inglés resuelven prácticamente los casos que pueden presentarse.

Todo el mundo reconoce que la enseñanza en las escuelas especiales adolece del defecto de ser excesivamente teórica, y aunque esta observación puede contestarse diciendo que nada hará en la práctica quien no posea la teoría, también es cierto que en el trabajo diario se presentan pequeñas dificultades á las que no pueden descender los sabios en sus jíublicaciones ;f que exigen el concurso de esos manuales donde con facilidad se encuentra la fórmula ó la marcha que conviene seguir en cada caso.

El libro de Mora viene, pues, á satisfacer una necesidad. En él no encontrará nada nuevo el ingeniero; pero hallará en poco espacio las aplicaciones prácticas de los principios que conoce. Al capataz le servirá de libro de consulta, contribuyendo al propio tiempo á ensanchar el campo de sus conocimientos, siéndole su concurso valioso en ocasiones difíciles. Finalmente, contribuirá á que el minero y el industrial prejuzguen y resuelvan muchos problemas sin necesidad de acudir á personas peritas.

De desear es que los penosos^ trabajos del Sr. Mora 86 vean recompensados, y seguramente lo serán por todos UM que tienen ocasida de aplicar las teorías de la ciencia.

3om*M^ timonea y éFu»nt¡»A. ®on»a(o €lfuitt«.

MANUAL DEL GEÓMETRA '

PRIMERA PARTE

K^ociones de Trigonometría rectilínea.

23 —

LECCIÓN PRIMERA

"teliminares.—Definición de líneas trigonométricas.—Arcos saplementarios.— Valores particulares de algunas Kneas.—Propiedades de los triángulos rectángulos—Propiedades de los triángulos oblicuángulos ó generales.

1. Preliminares.—La trigonometría es la parte de las matemáticas que se ocupa de la resolución de los triángulos por medio del cálculo.

En todo triángulo entran seis elementos, tres ángulos y tres lados. Se ha resuelto un triángulo cuando de las relaciones que ligan á los datos y las incógnitas se han deducido los valores de éstas.

Éntrelos elementos conocidos es preciso que haya un lado,, pues sabemos que los tres ángulos corresponden á infinitos triángulos semejantes.

2 . Como los ángulos no pueden ligarse directamente con los lados sino por medio de ecuaciones muy complicadas, ha sido preciso introducir en lugar de los primeros ciertas líneas, que ptírlas sencillas relaciones que guardan con dichos elementos pueden referirse á la misma unidad que los lados.

3. Definición de lineas trigonométricas.—Las lineas trigonométricas usadas son: el seno, la tangente, el coseno y la cotana gente.

Para conocer estas líneas tracemos una circunferencia con un tadio cualquiera que se toma por unidad, y tiremos dos diámetros ^ 4 ' , BB" (fig. I.*) perpen4iculares entre sí. Tomemos ahora un arco cualquiera AP menor que un cuadrante; llamemos al punto A origen del arco y extremo del mismo al punto P, conviniendo en contar desde il y en el sentido ABF... cuantos arcos tenga-» roos que considerar» • ^

- ~ 24 —

En esta suposición se llama seno del arco AP, 6 de su ángulo correspondiente AOP, á la perpendicular PC bajada desde el extremo P al diámetro AA\ que pasa por el origen A,

Dicho seno PC y los de todos los arcos cuyos extremos estén en el i.° y 2 " cuadrante se consideran positivos, y los de los arcos cuyos extremos estén en el 3.° y 4.° cuadrante serán negativos, por tener dirección contraría á la de aquéllos.

Para obtener la tangente del mismo arco ó ángulo se traza la tangente geométrica al círculo en el origen, y la parte AD interceptada entre este origen y la prolongación del radio OP que pasa por el extremo es la línea pedida.

La tángeme AD y las de todos los arcos cuyos extremos estén en el i " y 3." cuadrante son positivas, y laj de todos los arcos cu-v yos extremos estén en el 2° y 4° serán negativas.

Se llama complemento de un arco cualquiera la diferencia entre el minuendo gó" = -^y dicho arco.

Se llama coseno del arco AP el seno EP del arco complemen-.tario BP, ó su igual OC distancia entj-e el pie del seno y el centro. Suponemos que el origen de los arcos complementarios es el punto B y que éstos están contados en el sentido BAB'A'.

£1 coseno OC y todos los arcos que tengan su extremo en el 1.° y 4.° cuadrante on positivos, y los de los arcos cuyos extremos estén en el 2.° y 3." cuadrante negativos.

La cotangente es la línea BM^ que es la tangente del comple» memo.

Esta cotangente BM y la de los arcos cuyos extremos estén en el t.° y 3." cuadrante son positivas, y én los otros dos cuadrantes negativas. •

4. Áxoom MtpIeiMiitMios.—£1 arco AF que corres|>onde al ángulo obtuso AOF^ tiene, como sabemos, su origen tnAynvL estremo eo F. Su seno es la perpendicular FL bajada desde el et-tremo F al radio que pasa por el origen.

La tangente es la línea ARy ti cospuo es d seso FJSfáú k cQ «emfdementario FB, ó sea la distancia LO entre el pie del aenq jelceotro.

— 25 -La cotangente de dicho arco es la tangente BN del comple-

tnenio. 5. Los senos RAÍ j " R'M' de dos arcos suplementarios AR y

ABR' son iguales y del mismo signo, y los cosenos, tangentes y cotangentes, igualesy de signos contrarios.

En efecto, tracemos los senos JiM y M'M' (fig. 3.°) de estos arcos, y tendremos los triángulos ORM y OR'M', que por ser iguales nos darán:

RAÍ ^ R'M' y 0M== OM' luego seno arco AR = seno arco ABR' y eos. arco AR = eos. arco ABR' y como los senos RM y R'M' están en la primera semicircunferencia, serán positivos según hemos dicho anteriormente.

Del mismo modo, per estar el coseno OM' en el 2." cuadrante será negativo.

Los triángulos ¡guales OAP y OAP'd&nAP'-'AF^ luego tag. arco AR •»=. tag. arco ABR', y como los ángulos en el a.' cuadrante tienen tangentes negativas, qfüeda demostrado.

También los triángulos OBHy OBH son iguales y dan los lados Bi í = Bi¡?', siendo la segunda negativa.

6. Valores particulares de algunas lioeas trigonométrí* cas.—El seno de un ángulo ó de su arco correspondiente es mitad de la cuerda del arco dwp/o.—Si prolongamos el seno BC (figu-fa 3.*) del arco BE hasta encontrar en D'& la circunferencia, la perpendicular AE á la cuerda BD divide á ésta y al arco correspondiente en dos partes iguales; luego el seno del ángulo BAE ó del arco correspondiente BE^ es mitad de la cuerda BD que subtiende al arco duplo.

7. Lineas trigonométricas del arco o°.—En la suposición que los arcos se han descrito con un radio OA = i (fig. i.") tendre-fto« para «I arco de o*:

Seno o" = o; eos. o" = i; tag. o° — o; cot. o* = oo. • 8. Lineas trigonométricas del arco 3o°.—Como el seno del

arjo de 30" es la mitad de la cuerda del arco de 6o' y esM cuMn es igual al radio, el seno de 3o* será la mitad de dicho valor, asi:

, _ 36 —

Seno 3o=¿-2-='?"^°°°'^*^°'"° ^^^° 3o=cos. 6o. será eos. 6o=o.5. 9. Líneas trigonométricas del creo de 43°.—Siendo SAE[íi^u-

ra 3.*) un ángulo de 45°, su complemento ASE en el triángulo rectángulo EASts también de 43°; luego ES = EA = i; por tanto, como se tiene lang. 43° = cot. 43°, será también cot. 43" = i.

10 . Líneas trigonométricas del arco 90°. — Para el arco de 90° tenemos ¡fig. i . '):

Seno 90° = I ; eos. 90° = o; tag. 90 = 00 por ser SAf paralela á O A; cot. 90 = 0.

1 1 . Lineas trigonométricas de los arcos comprendidos entre ojr 90°.—El seno crece á medida que crece el arco, y tiene por valor máximo el radio y por mínimo cero.

El coseno disminuye de i á o. , La tangente crece de o al infinito. 12 . Lineas trigonométricas del arco 180°:

Seno 180°== o; eos. 180°= — i; tag. 180° = o; cot. 180° = —- 00. 1 3 . Líneas trigonométricas de los arcos comprendidos entre

90j^ 180".—El seno disminuye de i á o á medida que el arco crece.

£1 coseno crece en valor absoluto de o á i. La tangente disminuye en valor absoluto desde '00 á o. 14 . Propiedades de los triángulos rectángulos.—Si hace -

mes centro en el vértice B (fig. 4) de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo PBS y con un radio igual á la unidad, trazamos el arco GA correspondiente á este ángulo, las perpendiculares MD y CA al cateto BP serán el seno y ungcnte del ángulo B. El coseno de este ángulo será la línea BD.

1 5 . Comparemos los triángulos semejantes BSP y BMD, y nos darán:

SP.MD::BS:BM y l lamando^, b, s respectivamente á los lados opuestos á los án-'gulos P, J5, S, tendremos:

b : seno B::p:t de donde resulta:

b s=p. seno B (i.*)

— a r que nos dice que en todo triángulo rectángulo un cateto cualquiera es igual á la hipotenusa multiplicada por el seno del ángulo opuesto al cateto.

16. Los mismos triángulos dan la proporción: BS: BM : : PB : BD, ó bien p : i : : s : eos. B

de donde se tiene: s = p. eos. B (2.')

que nos dice que en todo triángulo rectángulo, un cateto cualquiera es igual á la hipotemusa por el coseno del ángulo comprendido.

17 . Comparando los triángulos semejantes .BSP y BCA, tenemos:

SP : BP::lag. B = AC:BA=: i, ó bien b : s : : tag. B : i de donde resulta:

b^s.xag.B (3.") que nos dice que en todo triángulo rectángulo un cateto cualquiera es igual al otro por la tangente del ángulo opuesto al primero.

18. Propiedades de los triángulos oblicuángulos.—£n un triángulo cualquiera los lados son proporcionales á los senos de los ángulos opuestos.

Desde el vértice B (figuras 5." y 6.') de uno de los ángulos, Se baja una perpendicular BD, y si cae dentro del ángulo (fig. 5.'), tendremos (núm. i5) ^

BD = c. señó A y JBD == a. seno C, de donde c. seno A — a. seno C, y, por tanto,

c : a : : seno C : seno J4 (m) Si la perpendicular cae fuera del triángulo (fig. 6.'), se tendrá

6n el triángulo rectángulo . á£D BD = C. seno BAD

Pero como seno BAD •= seno BAC (núm. 5), ó seno A, refiriéndonos al triángulo ABC, será

BD = c. seno A. - En el triángulo rectángulo CBD sé tiene

BD = a. seno C

, - a8 — De estas dos ecuaciones se tiene

c seno A =a. seno C, de donde resulta c: a:: seno C: seno i4,'que es la proporción (mj

19. En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual á la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de estos dos ledos, por el coseno del ángulo opuesto lal primero.

En eL triángulo rectángulo ABC {ñg. 5.*j tenemos: BC*=-AC*-hAB* — 2ACXAD,ó bien a - = ¿ ' - ) - c ' — séX-^A-pero^D —c. eos. A (núm. i6), por lo que, reemplazando, resultad' = b*-hc* — 2be. eos. A... (4.")

El triángulo ABC (fig. 6,") da igual fórmula.

— 39 —

LECCIÓN SEGUNDA

Disposición y oso de las tablas de Uneas trigonométricas.—Resolación de los triángulos rectángulos.—Resolución de los triángulos oblicuángulos.

20. Disposición y uso de las tablas de lineas trigonométricas.—Antes de ocuparnos de la resolución de los triángulos, es necesario conocer los valores de las líneas trigonométricas, de Jos ángulos de o° á i8o°. Estos valores se aprecian generalmente en la práctica en grados y minutos.

Las tablas á que nos referimos son de Vázquez Queipo; ellas están referidas á la división sexagesimal de la circunferencia, y comprenden directamente loa logaritmos de los senos, cosenos, tangentes y cotangentes naturales de minuto en minuto, en la suposición de ser el radio i; pero pueden hallarse con facilidad los de los segundos y medios segundos;*

Siendo el coseno j ^ tangente de un ángulo los mismos que los de su suplemento, é iguales al coseno y cotangente del complemento, las tablas trigonométricas no pasan de 45', estando continuadas en sentido inverso hasta 90°.

Cada dos llanas forman una sola plana que abraza un grado. A la derecha é izquierda de cada llana hay dos columnas señaladas ' que quiere decir minutos; la de la izquierda empieza pojr cero, y termina en la segunda llana por 60, que son los minutos de un grado. Sirve esta columna para buscar les logaritmos de los senos tangentes, etc., de los grados y minutos del arco marcado á la parte superior de cada plana. Los de la derecha, que siguen un orden inverso, esto es, que se leen de abajo á arrib«|, sirven para el mismo objeto respecto de los arcos ihayores de 4$" que van marcados en la parte inferior de cada plana.

Es necesario tener presente que los ángulos expresados por islas columnas sobre la misma linea hori\ontal, son reciproca' atente complementarios.

_ 30 — Así vemos que el ángulo 34° 17' leído en la columna izquier

da de los minutos corresponde en la derecha de los mismos al ángulo 55° 43', que son recíprocamente complementarios, ó complemento uno de otro.

2 1 . Para comprender el manejo y uso de las tablas, cuya reseña dejamos hecha, propongámonos los ejemplos siguientes:

1° Hallar el logaritmo del seno 34° i5' 35".—Búsquese en la tabla el logaritmo del seno 34° i5' , que eí 1.75o358: multipliqúese el número de segundos 35" por la parte proporcional 3.10 que está enfrente en la columna de los i" correspondiente á los senos,

y añádese su producto 108 (despreciando las dos cifras decimales) al logaritmo anterior: su suma T.75o466, será el que se busca.

2° Hallar el ángulo del logaritmo seno y.934107.—Búsquese en la columna de los senos el logaritmo T-954o7o inferior y más próximo al logaritmo dado, el cual corresponde á 55° 8'; para hallar los segundos que deben añadirse, se toma la diferencia 37 entre ambos logaritmos, y se divide por 1.47, parte proporcional que le corresponde en la columna marcada i": el cociente 25 expresará los segundos que habrá que añadir para obtener el que se busca.

Este será 55° 8' 25". 2 2 . Resolución de los triángulos rectángulos.—Se conoce

siempre el ángulo recto. Los casos que pueden presentarse son cuatro. PRIMER CASO.—Dados los dos catetos cy b (fig. 7.*), hallar la

hipotenusa a y los ángulos ^y C. Tendremos (núm. 17) b=c. lag. B, ó bien tag. 5 = — f:^J También (núm. i5) b = a. seno B, de donde <J=- 77 fz')

> ' ' seno li • 1 1 ' Ejemplo.—Sean ¿=413™. 15; c==207™.8o. Para esto, tomemos

logaritmos en la ecuación (^J, y serálog. tag. B =^\ogb— log c. Cálculo.

log. ¿ = 2.616107 log. c = 2.317186

log. tg. B — 0.298921 — log. tg. 63." 19'. 24".

_ 31 — Tomando logaritmos en la ecuación [{') tendremos:

log. a == log. b — log. seno B.

Cálculo. ^ ^

log. b = 2.616107 log. seno 5 = T - 9 5 i i 2 i

log. a = 2.664986 = I02:. 462"'.38. ' El ángulo C = 90° — (63". 19'.24") ó bien C = 26°.4o'.86"

SEGUNDO CASO.—Dada la hipotenusa a y un cateto c hallar el otro cateto b y los ángulos Ej- C.

Se tiene (núm. i5) _ c = n. seno C, de donde

seno C = — fn) El seno de C corresponde á dos ángulos suplementarios, por

lo que su valor en general es indeterminado; pero como se trata de un triángulo rectángulo, es dicho ángulo necesariamente agudo.

5 = 90° — C y 6 = íz. seno B ^n'). Ejemplo.—Sea a = 462™.36; 0 = 207'".80. Tomando logarit

mos en la ecuación (n), será log. seno 6' = log. c — log. a = log. cH- C " log. a — 10

Cálculo.

log. c = 2.317186 C.'o log. a = 7.335014

9.652300 — 10

log. seno C —J.662200 = log. seno 26°. 40'. 36* Tomando logaritmos en la ecuación fn';, tendremos

log b •= log. a -f- log. seno B.

— 3» —

Cálculo.

log. a = 2.664986 log, seno .5 = 7.951121

log. A = 2.616107 •—log. 413"".15 Los otros dos casos, dado un cateto y un ángulo agudo y

dada la hipotenusay un ángulo agudo, se resuelven de un modo análogo.

2 3 . Resolución de los triingnlos oblicuángulos.—En la resolución de los triángulos oblicuángulos pueden ocurrir cuatro casos.

PRIMEKO.—Dados dos lados a j - b (fig. ,8. ')^ el ángulo com~ prendido C hallar el tercer lado c y los ángulo^ A_K B.

Sabemos (núm. ig) que c^ =a^ -{- b^ — 2 ab. eos. C; extrayendo raíz tenemos:

, | / . 3 j2 4 . ¿8 _ 2 cb. COS. C... , . (X)

Suponiendo que ÍJ < ¿ ó d < c, se calculará el ángulo A por la proporción

a : c:: seno A : seno C de donde resulta:

_ . a. seno C / , , seno A => (xj

Como por haber supuesto a < ; é ó a <^c, resulta A <^B 6 A <Z C, el ángulo A es necesariamente agudo; por lo que el valor será el que den las tablas.

Últimamente tendremos: 3~I8O' — (AA- C)

. ' Ejemplo.—S&2iQ. a — 738'n.25; * — 645'". 17; C — 54". 18'. Para hallar el valor de c pongamos en la fórmula (x) los valores particulares, y tendremos:

1/738,25' -+. 645,17 — 2 X 738,25 X 645,i7Xcos. 54».j8'

^ « I / T I C B * -f-6Í5;7>' -2X738.í5X645,i7X(-i-H>,766072)

— 33 -

c = \ / 5 4 5 o i 3 .0625 4- 416244,3289 — 222838.29

< = | / 738419.10 = 859'".3i luegoc = 859'".3i.

Tomando logaritmos en la ecuación fx')^ resulta: log. seno A = log. a -+- log. seno C — log, c, ó bien log. seno A = log. a -Hlog. seno C-+- C.'° log. c — 10.

Cálculo.

log. a = 2.868065 + log. seno C = "909601 -f-C'^log. c =7.077270

log. seno A = 1:854936 = log. seno 45'.43'.43" Observación.—En el triángulo que consideramos, se tiene

« < c, luego el ángulo A es agudo y su valor es el dado por las tablas.

SEGUNDO.—Dado un lado a y los ángulos adyacentes B j ' C, hallar A, cy b.

Tendremos en primer lugar A = i8ü° — !^B -+- CJ

los valores de c y ¿ se hallarán (núm. 18) por las proporciones c: a: : seno C: seno A • b: a:: seno B : senoil

de las que se deducen los valores a. seno C i a. seno C C = y é== — _ seno A •' seno A

TERCERO.—Z)arfos los tres lados a, by c, hallar los tres ángulos A, ñy C.

Supongamos que c ^ea el lado mayor, y en este supuesto hallemos el ángulo mayor C por la ecuación c = a -|- ¿>2 — 2 ab. COS. C, de la que se deduce pasando a y í>2 al primer miembro: a -+. ¿2 — c2 =» 2 a¿. COS. C, y por consiguiente eos. C«= ° Xai>~^'

El ángulo A se hallará por la ecuación c : a:: seno C: ' «eno4. , El valor de A deducido de esta ecuación es el dado por las

3

- 34 — tablas, pues siendo A <ZC & causa de ser ¿i <<c, el ángulo es evidentemente agudo.

Finalmente, B se hallará por la fórmula. ^ = ,80' —('4 + 6';

CvAHTO.—Dados los lados a b, j - el ángulo A opuesto á uno de ellos, hallar el tercer lado z y los otros dos ángulos Ejy C.

Sea el triángulo ABC (fig. 9.°). El ángulo B se halla en este caso por lo proporción b : a: : seno B : seno A, de donde

„ h seno A i rr, s e n o j 5 = {HJ

El ángulo C se halla por la fórmula C = 180°— (A-\-B) El lado c por la proporción c: a: : seno C : seno ^ , de donde

a. seno C »« , C = T— flf)

seno A , ' NOTAS.—i. ' El ángulo B se halla en este caso por su seno, y

como el seno no determina enteramente el ángulo, discutamos los casos que pueden ocurrir en este problema.

Si el lado í i > ¿ , será ángulo 4 > ángulo B; luego el ángujo £ será agudo, pues no puede ser recto, porque entonces A sería obtuso, y el triángulo ACB tendrá un ángulo recto y otro obtuso, lo que es imposible; luego el problema es determinado.

2. ' Si el lado a = b, será ángulo A =B, luego el ángulo Bel también agudo, y el problema es determinado.

3.* Si el lado a<^b, será ángulo A < ; ángulo B. En este caso nada se opone á que el ángulo B tenga dos valores uno el ángulo P dado por las tablas, y el otro su suplemento 180 — P.

En efecto, bajando desde el vértice C la perpendicular CD al lado opuesto, como el ángulo A debe ser agudo, caerá ésta dentro del ángulo-, tomando DB •=• DB'^y tirando la CB' «= CB, tendremos dos triángulos ABC y AB'C, que ambos satisfacen el enunciado, siendo en el primero el ángulo ABC agudo y en el s^uodo el AB'C obtuso.

Si se tiene a = CD, se hallará la tínica solución ACD, y el ángulo CDA, cuyo valor se busca, es un ángulo recto. El seno de este ángulo es la unidad, lo que hace que la fórmula (H) se transforme en esta otra:

a'— b. seno A

- 35 — 4 ' Sí el lado a < CD, el problema es imposible. Cuando no se sabe si el ángulo B es agudo ú obtuso, entonces

el problema tiene dos soluciones, que son las que corresponden á los dos ángulos suplementarios.

Hemos prescindido en algunos casos de solución de triángu-M de resolver algunos ejemplos, porque siendo enteramente

an ogos á los expuestos, harían más largos estos ligeros apuntes.

SEGUNDA PARTE

TOPOGRAFÍA

— 39 —

LECCIÓN PRIMERA

Definición.—Figura de la tierra.—Línea vertical. — Determinación dr la verti-c'-—Perpendículo.—Plano vertical.—Línea y plano horizontal.—División de la topografía.—Señales para marcar en el terreno las líneas y ángulos de los polígonos.—Piquetes.—Jalones.— Banderolas —Escalas.—Escala numéri -<^'''—Escala gráfica.—Escala de transversales.— Nonius.—Nonius recto.— Nonius circular, —Apreciación de los nonius en general.

24. Definición.—Se llama topografía la ciencia que se ocupa de la representación geométrica de una pane de la superficie terrestre.

25. Figura de la tierra.—La figura de la tierra se asemeja á »a de una esfera, ó es más bien un elipsoide de revolución aplanado, de 6.366,200 metros de radio.

26. Linea vertical.—Se llama línea vertical ó simplemente vertical de un punto cualquiera A (fig. lo) á la recta Zc, determinada por dicho punto y el centro de la tierra.

La Zc puede considerarse indefinidamente prolongada, y es ia vertical común á los infinitos puntos por los cuales pasa, ya estén en la superficie terrestre como el A, ya fuera de ella como el Z, ó en el interior de su masa como el p.

27. Determinación da la vertical.—La vertical se determina por un cordón ad que lleva en uno de sus extremos un peso p', el cual, en virtud de la ley de gravedad, es atraído al centro de la tierra.

28. Perpeadiculo.—El sencillo aparato que el cordón y el peso constituyen, se llama propiamente perpendículo y vulgar-naente plomada.

29. Plano vertical.—Todo plano que pasa por una vertical es vertical.

ün plano vertical se determina.

— 40 — Por una vertical y un punto fuera de ella. Por una vertical y otra recta cualquiera que la corte. Por dos verticales cualesquiera. 3 0 . Linea y plano horizontal.—Toda recta AB (fig. ii)

que es perpendicular á una vertical V, se llama línea horizontal, y plano horizontal es todo plano M'N perpendicular á una vertical V.

3 1 . División de la topografía.—La topografía se divide en planimetría y nivelación.—La planimetría tiene por objeto determinar las posiciones que guardan entre sí las proyecciones horizontales de los puntos más notables del terreno que se trata de representar. ,

3 2 . Señales para marcar en el terreno las lineas y ángulos de los polígonos.—Para esto se emplean los piquetes, jalones y banderolas.

3 3 . Piquetes.—Consisten en unas estacas de madera de o™.3o á o"".5o, terminando en su parte inferior én punta afilada, para poder con facilidad ser introducidos en el terreno, y por la superior en un plano que va reforzado con un cincho de hierro para que no se abra á los golpes de maza.

3 4 . Jalones.—Consisten en unas esucas cilindricas de 2'".oo de longitud, terminando en su parte superior en un tro^o de bayeta de colores para poder ser distinguidos desde lejos.

3 5 . Banderolas.—Estas son como los jalones, pero de 2">.5o de longitud, y sirven, como los anteriores, para que sean visibles á larga distancia los puntos determinados por los piquetes.

36 . Escalas.—Si suponemos (fig*. 12) que 45C7Z)£F representa un polígono en el terreno, abcdef representará su proyección horizontal ó polígono semejante en el papel; y, por tanto, los ángulos del primero serán iguales á los del segundo, y sus lados homólogos proporcionales, existiendo, por tanto, la serie de razones iguales

AB BO OD M aib bu ed • • •••• ^

siendo M la unidad de medida empleada para medir las líneas

— 41 — en el terreno, y m la magnitud adoptada para representar á M en el plano.

37 . Escala numérica.—Si para medir las líneas en el terreno se ha tomado el metro, se tomará para representar estas líneas en el papel un submúltiplo del mismo, y así conseguiremos que la razón ~ sea siempre comensurable. Tomando, por ejemplo, un decímetro, un centímetro, dos y medio milímetros, etc., para representar en el plano un metro de terreno, la relación será

-¡j-==—j—= -r^ O sea escala de i por lo.

-jf = — j — == „) o sea escala de i por \ oo. O'".002r) 25 , , .

-o sea escala de i por 400. .M l UXKW

En el primer miembro numérico de la primera igualdad se lee que un decímetro en el papel es un metro en el terreno, y en el segundo miembro que un metro en el papel es diez en el terreno, y así sucesivamente en las demás.

Si llamamos en general / al lado aé*del polígono en el papel, L al lado AB del polígono en el terreno, y hacemos m = i metro, la igualdad -j^ =" "9" * convertirá en - ^ = - ^ , de donde resulta respectivamente:

/ = -^\ L = IM; M== — , dando origen, por tanto, á tres problemas:

i.° (Qité longitud se daría en el dibujo en la escala de -^^ á una línea que tiene en el terreno 527 metros?

Sustituyendo estos valores en la fórmula / = - j - tendremos

2. ' iQué longitud hay entre dos puntos del terreno^ sabiendo que en un dibujo cuya escala es - ^ los separa o™.47?

Sustituyendo en la fórmula L = /Af, tendremos: ^ L = o'n.47 X 400 = i88"\oo

3." (Cuál será la escala de un plano sabiendo que entre dos puntos del terreno hay 188™.00, j ' la distancia que separa á estos puntos en el plano es o'".47?

Sustituyendo en la fórmula M= -j- será 188 1

•^'°° o» 47 "" 4°° ' * " ^ escala de - ^

— 42 — 38. Escala gráfica ordinaria.—Usando la escala numérica,

las operaciones serían demasiado largas y se evita este inconveniente construyendo figuras que se llaman escalas gráficas, y son rectas divididas en partes iguales representando las unidades de medida del terreno, y que se hallan con ésta en la relación numérica adoptada, permitiendo de este modo apreciar las distancias por medio del compás. Supongamos que se quiere construir la escala gráfica, en la razón numérica de —•

Formemos las igualdades siguientes: I.* 400 metros en el terreno = i metro en el papel. 2.* 40 — — = o. I — — 3.* 4 — — = 0 . 0 1 — — 4.* I — = 0.0025 — — Tómese sobre una recta indefinida ÁR (fig. i3) una parte

AB = 0.1 y tendremos una línea que representará 40"" en el terreno (a.*|. A continuación, ó sea á la derecha, se repetirá esta magnitud un número de veces tal, que su longitud total no sea desproporcionada con el dibujo á que esta escala se refiere.

Hecho esto se divide la distancia ^ ^ en diez partes iguales, teniendo cada una el tamaño de un centímetro, y representará cada una 4"" (3.").

Coloqúese la numeración empezando por cero en el pumo A y poniendo los números 4, 8, 12, 16, etc. en los demás puntos de división.

Para obtener en esta escala Ja magnitud que representa el metro en el terreno, se divide el primer centímetro en cuatro partes %uale^, y el resultado será la magnitud pedida (4.*).

39. Para evitar las construcciones y obtener más exactitud, se venden en el comercio escalas de boj y marfil, que comprenden las más usadas generalmente. *

Elstas escalas llevan cerca del cero el denominador de la fracción que da nombre á la escala, y en su parte media tienen un botón de metal para manejarlas con facilidad.

40. Escala i|e transversales. — Cuando se quiere llevar la apreciación de las distancias más allá de lo que permite la es-

— 43 — cala gráfica descrita, se construye la llamada de transversales ó de mil partes.

Consiste (fig. 14) en la misma escala antes explicada, con la diferencia de que las líneas de la menor división se prolongan, y tomando en ellas diez partes iguales y de magnitud arbitraria, se tiran por los puntos de división paralelas á la MN, obteniéndose el rectángulo Mhrs; tirando la diagonal hr podremos apreciar submúltiplos del metro por medio de las bases de los pequeños triángulos que se ven en la figura.

4 1 . Nonius.—Se da este nombre á una pane de los instrumentos que tiene por objeto llevar la apreciación de las longitudes y de los valores angulares más allá de lo que permite la que puede obtenerse por las divisiones de la unidad lineal ó del limbo del instrumento. Los hay. por tanto, rectos para longitudes, y circulares para arcos.

4 2 . Nonius recto.—Supongamos que se trata de medir con toda precisión una longitud cualquiera, y que la medida que se ha de emplear sea la regla AB (fig. i5) dividida en centímetros y milímetros.

Para obtener fracciones de milímetro se toma otra regla, ab, de 9 milímetros de longitud, y dividiéndola en diez partes iguales, se observará que cada división de esta regla es -— de cada una de las divisiones de la primera.

A está regla adicional es á lo que se llama nonius. Ahora bien, supongamos que los ceros de la regla y del no

nius se hallan en contacto; las divisiones marcadas con el número I en ambas reglas no coincidirán, y se hallarán separadas entre sí —r- de milímetro-, las divisiones marcadas con el número 2

'O 2

se hallarán separadas -j^ de milímetro y así suceslvamenfe. 4 3 . uso.—Para hacer aplicación del nonius á la medida de

una longitud, supongamos que se trata de la de un objeto cualquiera CD (ñg. 16), la cual, además de tener 2 centímetros y i Milímetro de la regla tomada por unidad, contenga una fracción de milímetro rs, que es lo que se trata de apreciar. Si á conti-; nuación del objeto y en contacto suyo y de la regla colocamos el

— 44 — nonius ab, que también suele hallarse dispuesto de modo que pueda correr á lo largo de la regia AB, no habrá más que examinar con cuidado cuál de las divisiones del nonius coincide con una de la regla; y si fuese como se ve en la figura propuesta la 8.*, entonces la división primera de la regla se hallará separada de la línea;cero del nonius, una distancia igual á —- de milímetro, valor de la cantidad rs; y, por tanto, la longitud del cuerpo CD, será o'".0218.

4 4 . Nonius circalar.—En el extremo de la alidada móvil que llevan los instrumentos angulares va un nonius circular adaptado perfectamente al limbo, á quien es concéntrico-, gira con la visual alrededor del eje vertical del instrumento, y su graduación consiste en tener una división más que las que tiene este mismo arco en el limbo. Este nonius así dispuesto tiene por objeto apreciar fracciones de la menor división marcada en el limbo.

En efecto, para hacer una aplicación, supongamos que al tomar el ángulo AíOiV(fig. 17), entre dos objetos, la alidada móvil ha tomado la posición ON. Estando el limbo dividido en grados, el ángulo MON valdrá 40° mas Sa', que provienen de multiplicar trece divisiones del nonius por 4', que es el valor de una, siendo, por tanto

ángulo MOA/'=^o».52' 4 5 . Apreciación de los nonius en general.—Si representa

mos por d el valor de la menor división de la regla ó limbo, por x la diferencia entre una división d de la regla ó limbo y una división del nonius, d — x será el valor de esta última división. Llamando además n al número de divisiones del nonius, el valor de la longitud ab (fig. 16) ó del arco ab (fig. 17) será [d — x] n. El mismo arco tomado en la regla ó limbo estará expresado por d [n — i), y, por tanto, podemos establecer la ecuación:

( á _ j c ) n = . d ( n _ , ) fi.'] resolviendo esta ecuación, tendremos sucesivamente:

dn — nx = dn — d ó bien dn — dn -h d = nx, de donde

nx = d

— 45 — y por consiguiente

Ar = i . [2."] fórmula que nos dice que la diferencia entre la menor división de la regla ó limbo y la del noniíis correspondiente es igual d la menor división del limbo partido por el número de las que tiene el nonius.

La apreciación del nonius será tanto más sensible cuanto mayor sea el número de partes que se tomen de la regla ó limbo para formarle. Vemos, pues, que se concibe teóricamente la posibilidad de obtener una apreciación indefinida, si bien en la práctica sólo puede conseguirse hasta cierto límite.

4 6 . Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, podemos establecer la siguiente regla práctica para determinar la apreciación de nonius.

Dado un instrumento que lleve nonius^ se observará con el mayor cuidado el número de las menores divisiones de la regla ó limbo que comprende su correspondiente nonius; se dividirá después el valor de la menor división de la regla ó limbo por dicho número aumentado en una unidad, que sondas partes en que se halla dividido el nonius, y el cociente que resulte marcará la fracción que aprecia el nonius de la expresada menor división.

Ejemplos.—1.° Si íjr= i milímetro, y se han tomado 19 par-O-'.OOl tes de la regla para dividirlas en 20 en el nonius, será — —

•= oni,oooo5, ó — = - -=o""" .o5 , de modo que el nonius apreciará media décima de milímetro.

2.° Si á = 1° = 60', y se han tomado 29 partes del limbo para dividirlas en 3o en el nonius, será —=.-—== 2'.

3.° Si íi = - j^de grado = 5' y se toman Sg partes del limbo para dividirlas en 60 en el nonius, será — = -~^—=. 5"

n bO 60

Si despejamos n en la ecuación [2.'] (45), resultará; n = ~

que nos dice que para saber las partes de que ha de constar el nonius, conocida la división menor de la regla ó limbo y lo que Bl nonius ha de apreciar, no habrá más que dividir la primera cantidad por la segunda.

- 4 6 -Ejemplos. —1." Siendo d == i milímetro y o; »= o™'".o5 de mi

límetro, tendremos: n = , - ^ — = ™ = 20,

es decir, que siendo 20 el número de partes del nonius, deberán tomarse 19 partes de las menores de la regla, ó 19 milímetros, para dividir esta distancia en 20 partes iguales.

c- J ' " , 20' 20X60" cA Si a = 20 y x = 20 se ráM= — = = ^ — = 6 0

luego se tomarán Sg partes del limbo, que son tercios de grado, para dividir esta cantidad en 60 partes iguales.

— 47

LECCIÓN SEGUNDA

Aparatos de unión de los instrumentos con sus pies.—Rodillas.—Rodillas de nuei.—Plataforma}—Plataforma de tres tornillos.—Pies de los instrumentos.—Bastones 6 chur.os.—Trípodes. Alineaciones."—Traiado de las alineaciones.—Prolongación del trazado.—Medida de las líneas.—Cadena.—Cinta metilica.—Rodete.—Mediciones. Problemas que pueden resolverse por medio de alineaciones.

47 . Aparatos de unión de los instrumentos con sus pies.— Los aparatos cuyo mecanismo vamos á describir, y que tienen , por objeto hacer que formen un sólo cuerpo las partes esenciales de los instrumentos con los pies que han de mantenerlos á una cierta altura, satisfacen también á la condición de hacer que los planos ó limbos de aquéllos puedan colocarse en la posición más conveniente.

Estos aparatos son de varias clases, si bien aquí solamente describiremos los más usados.

4 8 . Rodillas.—Son unos mangos huecos que van acompañados de articulaciones y permiten colocar el plano del limbo en varias posiciones.

4 9 . Rodillas de nuez.—El mango m (fíg. i8) va atravesado en su parte superior por un tornillo T que sujeta dos piezas esféricas cóncavas j» en forma de conchas, las cuales abrazan una esfera que lleva el limbo R del instrumento en su parte inferior, esta esfera se puede mover dentro de las conchas en todos senti" dos, deteniendo este movimiento para colocar el plano del limbo en la posición conveniente por la presión del tornillo T.

5 0 . Plataformas. —Las plataformas son unos aparatos de unión, que permiten colocar el instrumento en posición horizon-tal por medio de tornillos.-^

5 1 . Plataforma de tres tornillos.—En la plataforma de tres tornillos, el eje m (fíg;. 19) del instrumento de que forma partees perpendicular á la vez al plano .4 y á la pieza de tres brazos 9y <tti

- 48 -cuyos extremos se hallan las tuercas de los tornillos T, T\ T", los cuales apoyan sus extremidades en el platillo C fijo al pie del instrumento.

Por medio de los tornillos T, T', la inclinación del plano de la pieza B, y, por consiguiente, la de su paralelo ^ , pueden variar en el sentido de la recta T T' que une estos tornillos, y por el tercero V, en el sentido de la T"h^ determinada por el pie del tornillo y el punto medio de la T, T'.

5 2 . Pies de los instrumentos.—Se da el nombre de pies de los instrumentos á los aparatos destinados á sostenerlos á una altura conveniente para poderlos manejar y servirse de ellos con comodidad en las operaciones. Describiremos los más usados.

5 3 . Bastones ó chuzos.—El pie más sencillo (fig. 20) consiste en un bastón de madera AB áz, forma prismática, y generalmente de I"".3o de altura, terminando en su parte inferior por el regatón /, y en la superior por una espiga í, que se introduce en el mango hueco de los instrumentos.

El bastón ó chuzo se coloca en la posición vertical con el auxilio de la plomada.

5 4 . Trípodes.—El trípode, representado en la figura 21, se compone de cuatro piezas: la superior M lleva un taladro en el centro por el cual pasa una varilla v terminada en rosca por su parte superior n con su correspondiente tuerca /, para que se apoye en la parte superior de la misma. Esta pieza superior va unida por medio de articulaciones á otras tres,' cada una de las cuales está formada por dos piezas longitudinales rr j r'r'.

Un resorte en espiral contenido en el cilindro c oprime á la tijerca contra la pieza superior cuando se atornilla la rosca al cilindro y se eleva la varilla por el mango m, á fin de introducir el tornillo n en una segunda tuerca practicada en la parte inferior de la plataforma del instrumento.

5 5 . El trípode que acabamos de describir y otros análogos, si bien son bastante ligeros, tienen el inconveniente de ceder al mo-YÍaiiento de rotación que tiene que darse al instrumento, y á la uez son poco cómodos para operar con ellcs en el interior de las

— 49 — minas, donde generalmente el espacio de que se dispone para la operación es demasiado reducido; se evita este inconveniente dividiendo cada uno de los pies en dos partes en el sentido de la longitud, y en los cuales la mitad posterior puede resbalar sobre la anterior, pudiendo sujetarse á voluntad por medio de abrazaderas de hierro ó metal con tornillos colocados en sus extremos.

Por este medio se reduce el trípode á la mitad de su altura, y en su parte superior puede terminar en la forma descrita ú otra conveniente, por ser esta disposición de los pies completamente independiente de las demás partes que la componen.

56 , Alineaciones.—Se llama alineación (fig. 22) al plano que determinan las verticales Vy T'" de dos puntos dados, A y B.

Entre todas las distancias que pueden considerarse en el espacio desde un punto A á otro 5 , sólo consideraremos ahora tres: la ArstB intersección del plano vertical VA VE con la superficie del terreno que se llama distancia natural; la recta AB^ intersección del mismo plano vertical con uno de los inclinados que pueden pasar por entre estos dos puntos se llama distancia geométrica; y la A Ti intersección de dicho plano vertical con el horizontal que pasa por A, se llama distancia horizontal.

La distancia horizontal es la proyección comían á las otras dos, y es la que siempre debe buscarse entre los puntos del terreno para llevarla al plano.

5 7 . Trazado de las alineaciones.—La dirección de una alineación como la de toda recta se obtiene pqr medio de dos puntos, bien sean sus extremos, si es de longitud determinada, bien dos puntos cualesquiera de su dirección si es indefinida. En el te-Weno bastará, por lo tanto, colocat verticálmente por medio de la plomada un jalón en cada uno de estos dos puntos para tener el plano vertical que ellos determinan, y se tendrá la dirección ó alineación de la recta.

En muchos casos hay necesidad de más puntos intermedios en las alineaciones, y como para colocarlos puede tropezarse al • ^unas veces con dificultades, nos proponemos indicar los procedimientos que en algunos de estos casos debe seguirse.

4

— 50 —

Supongamos que colocadas dos banderolas en los puntos A y B (fig. 23) tan distantes una de otra, que un observador colocado en A no puede ver la banderola colocada en J5 y se quieran colocar banderolas intermedias en la alineación que une los puntos dados: para corlar la distancia se colocarán dos observadores, cada uno con una banderola en los puntos i y 2, de manera que el observador que está en el número 2 vea el punto já, y el situado en el punto i vea el B; el que está en i mandará al 2 entrar en la línea iB hasta colocarse en 2'; después el 2' mandará al 1 entrar en la línea A2' hasta ponerse en i', y de este modo acabará por ponerse el 2 en n y el i en m.

En las distanciasjjlm, mn, nB, no habrá inconveniente ninguno en colocar los puntos intermedios que se quieran. Este mismo procedimiento se seguirá cuando el operador se halle entre A y B y sean estos dos puntos para él inaccesibles.

5 8 . Prolongación del trazado.—Supongamos que se tienen dos puntos de una recta y se trata de prolongar el trazado de la misma en uno de los sentidos de su alineación ó en ambos.

Sean los puntos A y B (fig. 24): se colocarán los jalones a' y b\ y por medio de ellos el c' en la alineación que determinan; valiéndose después de los b' y d para alinear el d! y así sucesivamente hasta llegar á £ , donde cambia el terreno (como en el ejemplo presente en que empieza á elevarse), en cuyo punto se fijará el jalón é ó la banderola e" y o t r o / ' próximo al e', continuando del mismo modo hasta donde vuelva á cambiar el terreno en sentido de su inclinación. Para comprobar el trazado se dirigirá desde un jalón g', por ejemplo, situado en la cumbre, una visual que pase por el e' 6 la banderola e", y si pasa también por un punto de un jalón d" del terreno llano, los dos planos verticales AEe'a' y EGg'e', que tienen comunes la visual y la línea Ee, serán un solo plano vertical, AGg'a'.

El trazado y prolongación de las alineaciones se facilita con el empleo de los instrumentos angulares y se hace con más exactitud, pues no hay más que colocarse en uno cualquiera de los puntos de dicha línea, dirigir la visual al otro, é impidiendo todo

— SI — movimiento que no sea el del anteojo en sentido vertical, se colocan en la alineación, y á partir de este segundo extremo los jalones intermedios que sean necesarios, haciendo que sus pies coincidan sucesivamente con la dirección de la visual.

59 . Medida de las lineas—Para calcular la distancia horizontal ó geométrica que media entre cada dos puntos de los considerados en el terreno, hay muchas veces necesidad de medirla, y en esta operación .se emplean como medios directos la cadena, cinta metálica y rodetes.

60. Cadena.—Consiste la cadena en unos eslabones nZ», éc.. . , (fig. 25) de alambre de hierro no muy gruesos, unidos por anillas del mismo metal; cada eslabón suele tener dos decímetros, y de cinco en cinco de estos eslabones lleva una chapita con números ó agujeros que indican los metros que deben contarse hasta donde ellas se encuentran. Esta cadena termina por sus extremos en los agarraderos A'A", y su longitud total suele ser de lo, 20 y 25 metros.

6 1 . Cinta metálica.—La cinta metálica es un resorte de acero empavonado (fig. 26) de la longitud de 10, 20 y 25 metros, siendo su ancho o"'.016 y su grueso y temple tales, que se la puede arrollar fácilmente para el transporte, no presentando inflexiones ni dobleces cuando hay que extenderla para hacer uso de ella. Se hallan señalados los metros con unos discos de metal a, los dobles decímetros con otros iguales b, pero de menor diámetro, y los decímetros con unos agujeros n practicados en ella.

El agarradero m, en que termina por cada uno de sus extremos, forma parte del último decímetro y lleva en la cara extrema una canal r, que tiene el mismo diámetro que las agujas que acompañan para medir.

A los cinco metros de cada uno de los agarraderos lleva un cuadrado del mismo metal que los discos, y á los 10 (si la cinta es de 20) lleva un rombo que indica el punto medio, haciendo, por tanto, más pronto la lectura.

6 2 . Rodete.—El rodete (fíg. 27) es una cinta de trama metálica barnizada y dividida en metros, decímetros y centímetros; los

— 5» — metros van señalados con números rojos y los decímetros con negros. La cinta está arrollada dentro de una caja P de cuero alrededor de un eje y por medio de un pequeño manubrio nn'.

La longitud de esta cinta suele ser de lo, 20 y 25 metros, y termina en una anilla a de metal.

Estos tres aparatos descritos son inexactos, puesto que además de sentir las influencias atmosféricas, su construcción se presta á hacer variable la longitud de cada uno de ellos; y para evitar en lo posible estas variaciones, debe el que con ellos opere comprobarlos con mucha frecuencia.

6 3 . Mediciones.—Trazadas en el terreno las alineaciones, se procede á su medición, para lo que se necesitan dos peones y un juego de once agujas. Contadas éstas, cogen los dos peones la cadena por sus agarraderos y se colocan todo lo posible en la alineación AB (íig. 28), para lo cual el más inteligente que marcha detrás dirigiendo la medida después de clavar una aguja en sustitución de la primera banderola y entregar al otro las diez agujas restantes, coloca el extremo de la cadena en contacto con la que se ha clavado en el punto A y hace señas al segundo para que entre en la línea.

Bien tendida la cadena horizontalmente, el segundo peón clava en el terreno una aguja enrasando con el extremo de aquélla; hecho esto, el primer peón coge la primera aguja colocada en el extremo de la línea, y levantando ambos la cadena con objeto de no tropezar en la segunda aguja, se retiran á un lado de la línea y siguen marchando en dirección de aquélla hasta que el primer peón llega á la segunda aguja; entonces coloca el agarradero de la cadena de modo que enrase con esta aguja, y teniendo cuidado de no moverla, hace entrar en la línea al segundo peón, que clavará <X>mo antes su tercera aguja, después de lo cual el de atrás levan-t8 la segunda. Continuando la medida hasta que el segundo peón baya clavado las agujas que llevaba.

El primer peón apunta en un cuaderno la medida, entrega después al segundo las diez agujas y en el terreno queda clavada Ja que marca el punto hasta donde se ha medido. A panir de esté

— 53 — se repite de nuevo la operación explicada hasta llegar al extremo B de la línea.

ejemplo de una medición.—Supongamos que en la medida de una línea se haya empleado una cadena de 20"^ de longitud, que el peón que va detrás haya recogido y apuntado cuatro veces las diez agujas, y que al final tenga tres, habiendo además una fracción de cadena de 4 Vj eslabones: resultará, para valor de la línea

200'" X4- f -20" ' X 3-Ho'".2 X4i5o = 86o"i.90 64 . Problemas que se pueden resolver por medio de ali

neaciones.—1.° Levantar una perpendicular á una alineación A.B en un punto p dado en ella.

Para esto (fig. 29) se tomará en una cuerda ó cadena las tres distancias consecutivas Ap = 4">; pC =3'" y AC = 5'"; se afianzarán los puntos de estas divisiones de modo que formen el triángulo ApC, y se tendrá el ángulo recto CpA por ser AC* =- Ap* + pC.

También se puede resolver (fig. 3o).tomando á ambos lados del punto 2? las distancias igualts pd y pd'; y fijando en d y d' los extremos de una cuerda, que se pone tirante, cogiéndola por su punto medio C, en el que se coloca un piquete, este punto determinará con elp la perpendicular pedida.

2.° Bajar una perpendicular d una alineación AB desde un punto C fuera de ella.

Pueden ocurrir tres casos: primero, que el punto C se encuentre á una distancia de la alineación AB, menor que la longitud de la cinta; segundo, que se encuentre á mayor distancia, y tercer ro, que desde el punto C no se vea ninguno de la alineación AB.

PKIMER CASO (fig. 3i).—Se coloca un agarradero de la cint« en C, y el otro extremo se hace entrar dos veces distintas en la alineación AB, marcando los puntos C y C": la mitad de la distancia C'C" nos dará el punto J), pie de la perpendicular pedida.

SEGUNDO CASO (fig. 3?).—Se elige á ojo un punto £>' como pie de la perpendicular pedida, y sobre este punto se levanta la perpendicular D'C, la cual raras veces pasará por el punto C, y sí próximamente á él; desde Cse bájala perpendicular CR áia 1/0'^

— 54 — se trasladará la distancia CR sobre AB, desde J)' á B, y se tendrá el punto D, pie de la perpendicular pedida.

Puede rectificarse esta operación levantando una perpendicular desde D sobre AB, y prolongada la alineación, se ve si pasa por el punto C.

TERCER CASO (fig, 32).—Para resolver el problema en este caso, se mandará un peón al punto C á que haga cerca de este punto una señal perceptible desde el punto 2)', que arbitrariamente se ha elegido para pie de la perpendicular, y en dicho punto D' se levanta una perpendicular ala AB, que se prolongará hasta dar vista al punto C. Si por casualidad pasara esta alineación por C, la D'C resolverá el problema; pero si así no sucede (que es lo más general), se bajará desde C una perpenclicular CR á la B'R, continuando después como en el caso segundo.

3° Medir una distancia AB inaccesible por el extremo B. En el extremo accesible A (fig. 33) trazo una alineación AD;

fijamos su punto medio o y se colocan banderolas en los puntos .i. o y D; sobre la alineación AB fijo un punto C, colocando otra banderola en C en la alineación CO prolongada; tomo una distancia OE igual á OC, colocando en E otra banderola; prolongo la alineación DE hasta que encuentre á la alineación BO, prolongada en el punto F. Midiendo la i>F tendremos la medida de la alineación AB.

En efecto, por ser oA = oD y oG = oE, la figura AEDC es un paralelogramo; luego las alineaciones AC y DE son ¡guales y paralelas, y, por tanto, paralelas las AB y DF. Los triángulos .áOi? y DpF son iguales por tener iguales el lado AO = OD por construcción, y los ángulos OAB y OZ>Figuales por alternos internos entre las paralelas AB y i>F cortadas por la secante AD; \\ít%oDF = AB.

— 55 —

LECCIÓN TERCERA

Escuadras.—Escuadra prismática y cilindrica.—Usos.—Verificaciones y correcciones.—Problemas que pueden resolverse con la escuadra.—Pantómetra.— Uso.—Verificaciones y correcciones.

65. Escuadras.—Se da el nombre de escuadra ó cartabón á un instrumento que tiene por objeto determinar en el terreno alineaciones perpendiculares entre sí y alineaciones que se corten bajo ángulos de 45, i35, 223, 270 y 3i5 grados.

Entre las varias disposiciones que se dan á este instrumento sólo nos ocuparemos de las más usadas en la práctica.

66. Escuadra prismática y cilindrica. — La escuadra ha sufrido varias modificaciones, llegando en su mayor perfección á ser un prisma octogonal, recto y hueco (íig. 34), ó un cilindro recto y hueco de base circular (fig. 35) con cuatro ranuras ab, <^'b' y cd, c'd' en el sentido de la longitud Viel prisma ó cilindro, con unas ventanillas alternadas, las cuales llevan una cerda que coincide con la dirección de las ranuras. «Estas ventanillas y ranuras se llaman pínulas». Cada dos pínulas opuestas están colocadas de modo que las visuales que por ellas se dirijan se corten en ángulo recto. Además llevan otras cuatro ranuras mn más pequeñas, colocadas también dos á dos en ángulo recto, pero formando un ángulo de 45° en el centro del instrumenio con las anteriormente dichas.

En la parte inferior de la escuadra ó base inferior del prisma ó cilindro lleva un mango hueco que entra á tornillo, el cual sirve para colocar el instrumento sobre un pequeño jalón ferrado que se llama j;te de la escuadra.

67. Usos.—Con el objeto ya indicado de levantar ó bajar perpendiculares sobre una línea dada y trazar alineaciones que se corten bajo diferentes ángulos, se emplean en topografía las escuadras en los croquis, replanteos y planos de reconocimientos.

68. TerificacioneB j correcciones.—Todo instrumento ha

- s e de satisfacer á ciertas condiciones para poderle usar con buen éxito. En esta escuadra ha de verificarse: que las visuales que se dirijan por los dos sistemas de pínulas ab, a'b' y cd, cd\ ó bien los planos que pasan por ellas, se corten perpendicularmente.

En este caso (fig. 36) y para ver si se verifica el instrumento, se colocará la escuadra sobre su pie verticalmente en el punto C de la alineación AB; se hace coincidir la visual que pasa por dos pínulas opuestas con la alineación AB (en cuyos extremos se habrán colocado dos banderolas). Se dirige una visual por las otras dos pínulas y se coloca una banderola en C , punto de esta dirección; después se hacen coincidir las segundas pínulas, ó sean las que miraban á C con la alineación AB, y si en esta situación del instrumento la visual dirigida por las primeras pínulas coincide con la banderola colocada en C" el instrumento se verifica, pues resultan iguales los ángulos adyacentes 4 C C y C'CB, siendo, por lo tanto, rectos y las visuales perpendiculares. Si esto no se verificase, y suponiendo que en la primera posición de la escuadra la visual dirigida por las segundas pínulas cae en D al dar al instrumento un cuarto de vuelta, la visual dirigida por las primeras pínulas (después de confundidas las segundas con .á^) tomará la dirección C2)'. En este caso, el error de perpendicularidad sería la mitad del ángulo LCD'. Para hallar dicho error, se toman sobre CD y CD' á partir de C dos distancias Iguales; se unen los puntos Dy D' por medio de la alineación DD' y en su punto media C se coloca una banderola que determinará un punto de la perpendicular CC á la recta 4 .8 en el punto C: la recta C'Dó Ciy será el error de la escuadra á la distancia CC. La corrección del instrumento no es posible, por ser de metal y estar hechas las ranuras de una manera invariable. En este caso, se puede formar una tabla desde uno á cien metros, por ejemplo, en la que se consigne este error de metro en mefro; se marcan las pínulas que han de hacerse coincidir sobre la base ó recta á que se levanten ó bajen las perpendiculares, anotando también la pínula que se dirige al objeto, á fin de que la visual que se dirige por las segundas pínulas dé el error hacia un mismo lado.

- 57 — 6 9 . Problemas qne pueden resolverse con la escuadra.—

i.° Por un punto de una alineación levantar áésta una perpendicular.—Para levantaren el punto C (tig. Zy] una perpendicular CD á la alineación AB, se fija el instrumento verticalmente en el punto dado C, moviéndole alrededor de su eje hasta que el plano de colimación (*) determinado por un sistema de pínulas se halle en el plano vertical de la alineación AB; se mirará después por el sistema de pínulas opuesto y se hará colocar verticalmente un jalón Z), que esté en el plano vertical que esta visual determina; este punto D, unido con el C, dan la perpendicular pedida.

2.° Desde un punto C, dado fuera de una alineación AB, bajar d ésta una perpendicular.—Puede suceder que el punto sea visit e desde la alineación AB, y que no sea visible desde esta alineación.

PRIMER CASO.—Se busca por tanteos un punto B de la recta AB (fig. 38), desde el cual las visuales dirigidas sucesivamente por un sistema de pínulas y su opuesto vayan á parar exactamente á los jalones colocados en 4 y C.

SEGUNDO CASO.—Se colocará el instrumento (fig. 38) sobre la alinaación AB, próximamente en el pie de la perpendicular pedida, para lo cual se mandará hacer una señal en el punto C, perceptible desde el punto elegido; se levanta una pírpendicular D'C\ se prolongará su alineación hasta que desde ella se vea el punto ¿7, se baja sobre la alineación D'C desde el punto C una perpendicular y se mide la distancia CG\ que se trasladará sobre la alineación AB Y hacia el mismo lado de la DG\ el punto D será el pie *le la perpendicular pedida. Debe rectificarse la determinación del punto D, levantando en él una perpendicular á la alineación AB y prolongarla hasta ver si pasa por el punto C Si así no sucedie-••*» se corregirá convenientemente tomando la distancia del punto C á la perpendicular trazada y corrigiendo la situación del punto D hasta que la perpendicular levantada en él pase por el punto C.

{*] Se llaman planos de coUmacióo & los planos verticales detenninados por **^ dos pfnnlas opnettaa y qae se cortan en ángulo recto en el centro.

- S 8 -3.° Construir un ángulo igual áotro dado.—S¡ el ángulo dado

es £^ (fig. 39) y en un punto IC de la alineación A"A' se quiere construir un ángulo igual al dado, se tomará la distancia Kd, así como la dn, y tomando JC'd' «= A'd y levantando en d' una perpendicular indefinida, tomaremos sobre ella y á partir de d' la distancia d'n' = dn; uniendo después los puntos -A" y «' se tendrá ángulo K' = ángulo iT.

4.* Desde un punto dado fuera de una alineación, trabar una paralela á ésta.—i. Sea AB (fig. 40) la alineación y 2> el punto obligado, bajaremos desde él la perpendicular DR á la alineación dada (problema 2,°), y en el punto Z)levantaremos la perpendicular DF á la DR (problema i.°)-, ésta será la paralela pedida á lá alineación ÁB. >

2. Se colocará la escuadra (fig. 41) sobre la alineación AB, moviéndose sobreestá hasta que una visual dirigida por las pínulas que determinan el ángulo de 45° con las pínulas que coinciden con AB pase por el punto obligado D; en el punto marcado por el pie de la escuadra se coloca una banderola, y situándose en el punto D se forma con la alineación DR un ángulo CDR de 45", y la CM será Ja paralela pedida,

5.° Medir una distancia inaccesible por el centro. — Para medir la RZ (fig. 42) se levantará en R una perpendicular RT, y en T'otra TX á la RT; trazando la alineación que pasa por Z y el punto medio Sde h RT, y prolongándola hasta que encuentre á la perpendicular TX, los triángulos iguales RZS y STX darán TX, que se podrá medir, y se tendrá el valor de su igual RZ.

6,° Medir una distancia inaccesible por los dos extremos.—En la parte central accesible (fig. 43) y en Vn punto cualquiera T, se levanta la perpendicular TL, de longitud suficiente para salvar los obstáculos, y levantando en L la perpendicular A'B' á la TL, determinaríamos después la longitud A'B' = AB' bajando desde los puntos inaccesibles A y B l&s perpendiculares AA'y BB'.

7.° Trabar la biscetri\ de un ángulo cuyo vértice es inaccesible.—S^ e\éLViga\oBAC{íig. 44), prolongúense los lados en sentid do contrario y tendremos el ángulo B^A'C » BAC. En un pun-

- 59 — to D del lado ÁB' levantemos al mismo la perpendicular DF, prolongándola hasta que encuentre en E al lado ÁC. En el punto JE' levantemos al lado AC la perpendicular EF y trácese la bis-ceiriz EJi del ángulo DEF; bajando desde A la perpendicular AP á esta bisceiriz prolongada en sentido contrario á partir de A, nos dará la biscetriz A Q pedida.

En efecto: los ángulos B'AC, BAO y DEF, son iguales, por tener el mismo complemento AED. Los ángulos PAB' y BER son iguales por tener sus lados perpendiculares, y por la misma razón son iguales los EAP y FER; pero DER = REF, luego EAP <==PAB\ y, por tanto, la alineación AP bajada resuelve e problema.

70. Pantómetra.—La. pantómetra es un goniómetro empleado en la topografía para obtener el valor numérico de los diferentes ángulos que forman las líneas que unen puntos dados del terreno.

Consiste ésta, en su mayor grado de pef fección, en un cilindro AB (fig. 45) dividido en dos partes; la inferior A presenta en su superficie el limbo que está dividido generalmente en grados y roedios grados de derecha á izquierda; una hendidura corresponde al cero de la misma, y una ventanilla con su cerda á la divi- , sión 180°, constituyendo ambas la alidada fija.

Esta parte se une al trípode por medio de ¡una plataforma P de Tes tornillos, á la que va unido el sistema de los ac para el moví-tiiento rápido ó lento del limbo alrededor de su eje de figura.

La parte superior B del cilindro se mueve alrededor del misino eje é independiente de la inferior por medio del tornillo t, fijo ^ esta parte y provisto de un piñón ^p, cuyos dientes engranan con los de una rueda r , fija interiormente al cilindro superior.

En la parte superior de este segundo cilindro lleva dos mon -tantes i f sobre ios que gira un anteojo astronómico A' alrededor de un eje E de muñones que descansa en unos cojinetes colocados en Uparte superior de los montantes M, En un costado y formando párie invariable de uno de los montantes, lleva un trozo de linibo graduado L' que sirve para tomar los ángulos de elevación

— 6o — y depresión; unido por un tornillo t' al eje del anteojo y en el mismo costado, llera un nonius n que se mueve con el anteojo en su movimiento vertical, apreciando un minuto. Algunas pantómetras, como la presente, llevan en la parte superior del segundo cilindro una pequeña brújula que sirve para orientar el trabajo.

7 1 . Verificaciones y correcciones.—i.* Que el limbo esté bien dividido.—Se tomará una abertura de compás igual á cinco grados^ por ejemplo, y se llevará sobre el limbo en todo él y á partir de diferentes puntos del mismo.

Si en todos casos la abertura de compás coincide con las divi-• siones del limbo, éste estará bien dividido; en caso contrario, el instrumento no se verifica, y, por lo tanto, no vale para el objeto que se desea. '

2.* Verticalidad del eje del instrumento.—Se coloca el nivel en la dirección n'n' (fig. 46) paralela á dos tornillos tt' de la plataforma y se horizonta por ellos; se da una semirrevolución exacta al instrumento, con lo que el nivel habrá tomado la posición n"n", y si la ampolla marca entonces la posición horizontal del nivel, éste estará corregido; si no, se corrige la desviación que se observe, mitad por el tornillo de corrección particular del nivel y mit^d por los mismos tornillos tt' de la plataforma; se lleva el nivel á su primera posición y se repite la operación hasta que en ambas posiciones la ampolla marque la horizontalidad.

Se coloca éste después en dirección del tercer tornillo /", ó sea en una posición paralela á la rs, y se horizonta por el movimiento de este solo tornillo. Para asegurarse que la corrección está bien hecha, se observará si el nivel queda horizontal en todas las posiciones que se den al instrumento, haciéndole girar alrededor de su eje.

3 / Que el eje óptico del anteojo describa un plano vertical al girar alrededor de su eje de muñones.—Para ver si el eje óptico del anteojo describe en su movimiento un plano vertical, se suspenderá una plomada de un hilo á una altura de 5 ó 6">, sumergiendo la plomada en agua para quitar las oscilaciones, y se horizonta el instrumento con el auxilio del nivel.

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Se mueve el anteojo alrededor de su eje, y s¡ durante este movimiento el cruce de las cerdas del retículo coincide siempre con el hilo de la plomada, se verifica el instrumento en esta parte, resultando al propio tiempo que el eje del anteojo es perpendicular al eje de muñones y éste es horizontal.

Si el cruce de las cerdas del retículo no coincide con el hilo de la plomada, podrá suceder que el plano engendrado por el eje del anteojo corte al hilo una sola vez ó que la corte dos. Si la corta una vez nos dirá que ei eje de muñones, siendo perpendicular al eje óptico del anteojo no es horizontal, y si Ja corta dos veces nos manifestará que el citado eje de muñones y el óptico del anteojo no son perpendiculares, y engendra en este caso dicho eje óptico una superficie cónica. En el primer caso se podrá corregir subiendo ó bajando uno de los montantes sobre que descansa el eje de muñones, haciendo uso para ello de los tornillos que la sujetan á la pantómetra hasta que el cruce filar de las cerdas del retículo recorra el hilo de la plomada.

En el segundo caso se desecha el instrumento, puesto que el eje de muñones está unido invariablmente al anteojo.

4. ' Que el plano que pasa por dicho eje sea un diámetro del Itmbo en todas sus posiciones.—Para ver si el plano que pasa por el eje óptico del anteojo corta según un diámetro al limbo, se siguen varios procedimientos, entre los cuales seguiremos el más breve, que consiste en colocar la pantómetra en un punto C (^8- 47), donde se corten dos ó más alineaciones AB, MN, PQj *e visará con el anteojo (hechas las correcciones anteriores) á los puntos A, M, P, escribiendo las lecturas del nonius en cada di rección.

Después se moverá la parte superior del instrumento y se visa-'& & los puntos B, N, Q; si la diferencia de las lecturas hechas ^ lo» extremos de cada recta es de 180°, el instrumento se verifica; *n el caso contrario se desecha.

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LECCIÓN CUARTA

Brújala,—Principio en que se fonda.—Declinación de la aguja.—Descripción de la bnijnla suspendida.—Veriñcaciones y correcciones.—Semicírculo.—Modo de usarle.—Comprobación de su exactitud.—Accesorios que acompañan á la brújula y semicírculo.—Longitud de las cnerdas.—Precauciones para el manejo de la brújula.,

72. Brújula.—La brújula es un gonótnetro por medio del cual se determinan las direcciones ó rumbos de las rectas que unen puntos dados del terreno.

73 . Principio en que se funda.—Una aguja de acero, después de imantada, se convierte en un imán artiñcial con todas las propiedades de los naturales, entre las cuales citaremos sólo la que tiene relación con nuestro objeto.

La propiedad que constituye el fundamento del instrumento que nos ocupa es que cuando esta aguja se halla suspendida libremente se dirige constantemente hacia un mismo punto del horizonte racional, formando un ángulo con el meridiano. £1 punto hacia el cual se dirige el extremo A^ de la aguja magnética, y que está algo separado del polo norte ó geográfico N (fig. 48), se llama polo norte magnético; á su extremo £', polo sur magnético, y á la línea N'S que los une, eje magnético de la tierra.

74. Declinación de la aguja.—Toda sección ÍV'/J5'Í (fig. 48) que se considera causada por este eje, se llama meridiano magnético, y al ángulo N'ON que esta sección forma con el meridiano astronómico NpSq se llama ángulo dejieclinación.

La declinación de la aguja no es absolutamente constante, varía con los tiempos y los Jugares, y aun es diferente para un mismo punto en intervalos de tiempo más ó menos considerables. Estas variaciones se clasifican en seculares^ anuales y diurnas, habiendo además otras que se llaman perturbaciones.

Variaciones seculares,—La declinación en el espacio de tres

_ 63 -siglos ha cambiado desde n " '/, NE. á 33° 84' NO., siendo en la actualidad 19° 20' NO. próximamente.

Variaciones anuales.—En un mismo año la declinación experimenta variaciones, separándose ya hacia el Este, ya hacia el Oeste, siendo de unos 20' la amplitud del arco recorrido.

Variaciones diurnas.—La variación diurna se verifica desde la salida del sol, mafchando el extremo Norte de la aguja hacia el Oeste, y llegando á su máximo á poco de medio día; desde este punto retrocede hacia el Norte, hasta que vuelve á tomar su posición primitiva; el arco recorrido varía entre 8 y i5 ' .

En las aplicaciones de la aguja imantada á la topografía, pueden considerarse estas variaciones como nulas, por no afectar de ningún modo los resultados de las operaciones.

No sucede así con las perturbaciones, puesto que siendo éstas de mucha más importancia que las indicadas, no se puede prescindir de ellas sin ^rror sensible. Las perturbaciones provienen Unas veces del estado eléctrico de la atmósfera y otras de la proximidad de la aguja á masas ferruginosas.

Conoceremos que la aguja se halla bajo la influencia de d i chas causas cuando, separada de su dirección, hace en un tiempo dado un número de oscilaciones distinto del que hace en su estado natural.

7 5 . Descripción de la brújala suspendida.—Se compone ésta en general (fig. 49) de un limbo graduado de 0° á 360°, en el centro del cual hay un pivote que lleva la aguja imantada. Las más pequeñas divisiones son en medios ó cihtrtos de grado, según que el diámetro del limbo es más ó menos grande.

En el fondo de la caja que lleva el limbo se hallan trazadas dos líneas, NSy EO, perpendiculares entre sí, representando sus extremos los cuatro puntos cardinales del globo, por lo que NS representa la meridiana astronómica.

El cero de la graduación corresponde al Norte y las divisiones 90*, t8o° y 270" respectivamente, al Este, Sur y Oeste del limbo.

El limbo se cubre con un cristal para evitar los movimientos qu« el viento imprime á la aguja, y el cristal se sujeta con un aro

- 64 — circular de cobre, que en virtud de su fuerza elástica oprime las paredes de un pequeño resalte de la misma forma que presenta la caja que lleva el limbo é impide que el cristal se levante.

Para separar la aguja del estilo sobre que se apoya y sujetarla contra el cristal, evitando así el desgaste del extremo del estilo cuando no se opera con ella, se hace uso de una pequeña palanca destinada al efecto indicado y que se pone en movimiento por medio de un resorte colocado en la pane inferior de la brújula.

7 6 . Armadura para suspenderla.—La brújula descrita se coloca en una armadura de metal ó latón encorvado en arcos de círculo MNP-, y cuyas extremidades terminan en forma de ganchos invertidos para suspenderla.

7 7 . Verificaciones y correcciones.— i.* Que el eje de giro de la aguja coincida con el centro del limito.—Una brújula está bien construida cuando, estando suspendida del cordel, la línea o'—i8o° está exactamente confundida con la proyección horizontal del mismo, y cuando, colocada sucesivamente en ambos sentidos de la línea, ó sea cambiándole los extremos, las diferencias acusadas por las dos puntas de la aguja sean de i8o° exactamente.

La primera de estas condiciones es poco importante si se dispone de una meridiana ú otra linea donde la dirección verdadera esté bien determinada con objeto de poder transformar la dirección magnética en verdadera.

Para esto se suspende la brújula de un hilo muy fino, y llevando un plomo se observa si la traza del plano vertical que pasa por el cordel coincide con la línea o°—i8o°, ó leer en caso contrario el ángulo que forma está línea con aquella traza. La declinación magnética es igual á la de aquel lugar, aumentada ó dismi -nuída de este ángulo. '

La segunda condición se verifica por la condición del pivote relativamente al limbo, pues cuando el pivote (ó estilo) es perpendicular al plano del limbo, la proyección de su extremo sobre este plano es precisamente el centro del limbo; entonces todas las porciones de la aguja serán diámetros del mismo, y la diferencia de leaura será constantemente de i8o°.

- 65 -Pero si destilo no es perpendicular á dicho plano, ó aun sién

dolo, su proyección no está en el centro del limbo,-las lecturas hechas no se diferenciarán en i8o°, y en este caso, y con objeto de utilizar el instrumento, se apuntarán las dos lecturas dadas y se restará i8o° de su suma, dividiendo el resto por dos y tomando como verdadero este resultado.

2.* Que los extremos de ¡a aguja y su punto de giro estén en línea recta.—Si estando el pivote colocado perpendicularmente al centro del limbo la diferencia de las lecturas hechas en los extremos de la aguja no son de i8o° exactamente, se dirá que el eje de la misma es una línea quebrada; en este caso, se golpeará la aguja con un mazo de madera hasta ponerla derecha y que se verifique la condición citada.

3.' Que la aguja esté bien nivelada.—Cuando por medid de los dos ejes perpendiculares entre sí y que coinciden en proyección con los de figura E—O y I^—S se ha colocado el plano del limbo en posición horizontal» deben los extremos de la aguja enrasar con el plano del limbo; si así no fuera, el centro de gravedad de la misma no está bien determinado; se colocará en este caso una fajita de papel ó una gota de esperma sobre la mitad de la *Suja que esté más levantada.

78. Semicirculo—£1 semicírculo consiste en una lámina de Qietal ó latón (fíg. 5o) formando una semicircunferencia, llevando grabada en una de sus caras una doble graduación de o° á 90° en iQedios ó cuartos de grado, según la longitud del radio, verifícán-«ósc que la línea que pasa por ftl centro y el cero es constantemente perpendicular á la línea que une las divisiones marcadas 90%

Este aparato está provisto de un pequeño plomo en el extremo «e un hilo (crin de caballo) que está sujeto al centro del semi-«írculo.

Para que pueda colocarle éste sobre el cordel, termina por sus *«remos en dos ganchos semejantes en forma á los de la brújula, y sirve para ver el ángulo que el cordel forma con la horizontal*, * ^ ángulo se llama de inclinación.

— 66 — 79. Modo de usarle.—Supongamos (fig. 5i) que se trata de

hallar el ángulo que cada una de las cuerdas AJB, BC, CD... forma con la horizontal AN.

Para esto, suponiendo que el sentido de la operación es el ABCD...^ tomará el operador el semicírculo cogido por el lado a j con la cara de la graduación hacia él-, le colocará sobre el cordel con cuidado para evitar que la plomada tarde mucho en pararse, y observará los grados y minutos del arco mn correspondiente al ángulo nom=^BAN que forma la primera cuerda con la horizontal AN de uno de sus puntos, y que, por uinto^ es el ángulo de inclinación que se deseaba obtener.

Una vez conocido y anotado el valor de dicho ángulo, se pasará á la segunda cuerda, en la que se har^ idéntica operación que en la primera, continuando así hasta terminar.

Si se tiene cuidado de colocar el semicírculo sobre la cuerda, siempre del mismo lado, se observará que la pendiente es subiendo cuando la plomada del semicírculo se incline á la izquierda del operador, y bajando cuando se incline á la derecha.

90. Comprobación de an ezactitud.—La línea que une las divisiones marcadas 90° debe pasar por el centro del semicírculo.

Se verá si se verifica esta condición aplicando un ^ilo sumamente fino sobre estas divisiones-, el canto debe encontrarse á igual distancia de ellas y del cero, y además quedar cubierto dicho centro por el hilo.

Si esta condición no se verifica, se coloca, el semicírculo sobre el cordel y se lee el ángulo acusado por la plomada. Se cambian los extremos del semicírculo y el ángulo acusado en esta segunda posición debe ser exactamente igual «1 primero, corrigiendo en caso contrario la mitad del error obtenido cerrando un poco uno de los ganchos que sirven para suspenderle del cordel, consiguiendo por dicho medio que se verifique el paralelismo entre el cordel y la linea que une las divisiones' marcadas 90* del semicírculo.

Para> evitar el inconveniente de teiter que abrir ó cerrar uno •4^ los ganchos de suspensión, puede darse al semicírculo la dis-

~ 67 -posición indicada (fíg. 52) con objeto de dejar movible uno de los ganchos, siendo susceptible de colocarle del modo más conveniente por medio del tornillo /, que le hará subir ó bajar, resbalando sobre ab.

8 1 . Accesorios que acompañan á la bri^jula y semicirca-lo,—Los accesorios necesarios para las operaciones con este instrumento son los siguientes:

Cadena ó cinta metálica, pimpas, muletillas y clavos, plomo y cuerdas.

La cadena ó cinta metálica es la descrita (números 6o y 6i), y debe estar graduada en centímetros, si es posible.

Pin:{as.—Para evitar que la brújula ó semicírculo, al colocarlos sobre el cordel cuando éste tiene una inclinación bastante grande, puedan resbalar sobre él, se usan al efecto unas pinzas de metal (fig. 53) que van colocadas con el semicírculo y la brújula en el aparato llamado bolsa del minero.

Muletillasj^ clavos.—Para poder fijar de una manera estable los extremos de las cuerdas, se emplean «1 efecto las muletillas y clavos. Consisten las primeras en unos trozos de hierro en forma de cruz (fíg. 54), teniendo un agujero en la intersección de los brazos para que cuando se colocan en el cielo de las galerías pue^ dan suspenderle de ellas las plomadas.

Los clavos pueden ser de cualquier forma, debiendo ser de varias clases, con objeto de poderlos colocar, tanto en la roca como eti la entibación, si las galerías están fortificadas con maderas. En ' Uno y otro caso es preciso tengan biselados los ángulos de la espiga y cabeza para evitar la rotura ó roce del cordel.

Donde las aguas son corrosivas, deben emplearse clavos de cobre, si los puntos determinados por éstos han de conservarse largo tiempo.

Cuerdas.—Los cordeles generalmente empleados son de cá-. Qatno, de un diámetro el menor posible, debiendo tener una longitud de 100™ á lo menos, por si el desarrollo de las galerías, cuyo plano haya que levantar, es considerable.

;. Cas muletillas, clavos, cuerda, cinta y plomo se colocan en

— o s una bolsa ó saco de cuero que se encarga de llevar el auxiliar de operador.

82. Longitud de las cnerdas.—La longitud de las cuerdas no debe pasar de 20"», porque las de más longitud, y aun las de 20™ producen errores, tanto en los ángulos de inclinación como en la medida de ellas, por lo que se procurará sean de una longitud que varíe de 10 á i5".

83. Precauciones para el manejo de la br^'ula.—Teniendo presente cuanto se ha expuesto en esta lección con respecto á las causas que pueden alterar el resultado de las operaciones practicadas con brújula para la determinación de puntos dados del terreno, sólo añadiremos que antes de comenzar un trabajo cualquiera con dicho instrumento se hará un minucioso reconocimiento del trayecto que haya de recorrerse, para asegurarse que no hay objetos que puedan alterar los resultados de la operación, como son carriles, vagones, plataformas, etc., etc.^

Es conveniente también al operar con brújula llevar siempre el Norte en el sentido de la operación, para evitar que una dirección tomada en sentido contrario pueda dar lugar á tener que Tepetirla, si, como sucede varias veces, hace el trazado una persona que no ha sido la que ha tomado los datos en el terreno.

- 6 9 -

LECCION QUINTA

Goniómetros de precisióo.—Teodolito bnljula de Lingke.—Uso de este teodolito. Veriñcaciones y correcciones.

84. Goniómetros de precisión.—Merecen este nombre los teodolitos que difieren en general de la pantómetra y demás instrumentos que para medir ángulos se emplean, no sólo en los detalles de su construcción, sino en la mayor apreciación angular que con aquéllos se obtienen.

Varias son las disposiciones que los constructores modernos Kan adoptado para estos instrumentos, siendo, por tanto, distintas sus correcciones.

De entre éstos, nos \ocuparemos del más á propósito para las operaciones del interior de las minas.

85. Teodolito br^ula de Lingke. — Este instrumento se compone de una placa concéntrica /' que gira alrededor de su eje de figura, dentro de otra / que es el limbo, dividido en grados y tercios de grado; en la parte en que termina la placa /' y en contacto con el limbo hay dos nonius, según un diámetro del mismo, que aprecian minutos.

Inmediatamente encima lleva una pieza circular S que sirve de base y está invariablemente unida á otra JTZ, cuya forma es la representada en la fig. 53. A la mitad de la altura de esta pieza va sostenido un eje P" perpendicular al de roución del instrumento', y en uno de sus extremos va unido sólidamente un limbo vertical (*) b" dividido como el anterior, con sus nonius v para la apreciación de los ángulos.

Este nonius lleva dos divisiones á derecha é izquierda, partiendo de cero, j aprecia como los anteriores del limbo horizontal; el

(*) A este limbo y «1 horizontal se les da d nombre de Mtmital j laimMUU 1*»P«ctivamente.

, r

— 70 —

limbo vertical participa de los mismos movimientos que un anteojo N, que sirve de alidada {*) y que atraviesa el eje P' en su centro. Este anteojo puede sacarse de los collares practicados en la pieza JTZ, levantando la palanca x, que tiene su punto de apoyo en el punto o.

Para ver con claridad los objetos que se han de visar sirve el tornillo s, el cual tiene en su extremo un piñón que engrana con una cremallera colocada en la parte superior del ocular del anteojo y al cual hace variar de longitud.

La pieza KL recibe en su parte superior otra H, en cuyo interior hay una brújula, la cual tiene la línea NS en el plano vertical determinado por la visual del anteojo, y está sujeta á la caja H por el tornillo r, que la comprime, pudiendo quitársela cuando se crea conveniente; dicha caja / f va unida á la pieza KL por cuatro tomillos WW.

Para observar los ángulos llevan los dos limbos unos lentes microscópicos que facilitan la lectura en ellos, y los espejitos n'n' colocados bajo los lentes del limbo horizontal sirven para que la luz reflejada en ellos haga.más perceptibles las divisiones del

Jimbo. Todo el instrumento puede moverse alrededor de su eje verti

cal de dos modos: con movimiento rápido por los tornillos aa (figuras 53 y 54), y con movimiento lento por el tornillo c (figura 54); el tomillo a se llama de presión y el c de coincidencia.

En el extremo opuesto del eje P' lleva un tornillo de presión para el limbo vertical, y más bajo y unido á la pieza JTZ, en la parte opuesta, lleva un tornillo de coincidencia de la misma forma que el c; por lo que este limbo y el atueojo tienen los dos movimientos explicados para el limbo anterior. El retículo de este «nteojo tiene cuatro cerdas (ñg. 55), y, por tanto, se puede usar como telémetro para medir distancias.

Todo el aparato así descrito se une al trípode por una plataforma de tres tomillos t, f, tí'.

(*) Se d» el nraibre <k alidada á la parte de nn instromento destinada á d twmlMr la direcciÚB de noa vúna].

~ 71 — En la placa 5 ' , y en su centro, va un nivel de aire de forma es

férica, sentado en un rebajo circular que tiene dicha placa en la parte superior, y por medio del cual se nivela el instrumento. Un segundo nivel puede colocarse sobre el eje de muñones del anteojo para ver si éste es horizontal.

86. Uso de este teodolito.—Este instrumento puede usarse como brújula edímetro (*), empleando el limbo vertical y la brújula, ó midiendo ángulos horizontales, haciendo uso del limbo horizontal.

Dos procedimientos pueden emplearse para medir ángulos horizontales.

El primero consiste en colocar en coincidencia los ceros del limbo y nonius y dirigir la visual á uno de los extremos del ángulo, dejar fija la parte inferior del instrumento, y moviendo la superior, visar al otro-extremo; el arco recorrido en el limbo en el sentido de la graduación será el valor angular pedido. Para la comprobación de este procedimiento haj necesidad de volver á colocar los ceros en coincidencia, y tomando como primero el segundo punto visado, repetir la operación, encontrando de este modo un nuevo valor angular que, sumado con el anterior, será igual á 36o°.

De este modo, como es fácil comprender, no hace falta emplear nada más que un solo nonius.

El segundo procedimiento consiste en no colocar los ceros en coincidencia, sino hacer para cada visual la lectura de ambos nonius, deduciendo el valor angular por una simple resta entre cada doá nonius correspondientes, como expondremos después.

Este segundo procedimiento suele ser el único aplicable, ope-~ rando con este teodolito, por no ser movible el limbo horizontal

en la mayor parte de ellos. Respecto á las ventajas é inconvenientes de ambos procedi

mientos, creemos el segundo preferible por ser tan exacto con») el primero y mucho más rápido. .-——^ ^—^—— '

(*) Es nn« brtijala qne va provista de nn aparato vertical j lleva el anteo}f>: . es noo de tas costados.

— 72 — Supongamos, para mayor claridad, que se quiere hallar con

este instrumento el valor del ángulo ^áCi? (fig. 56), el desnivel que existe entre dos puntos dados y el rumbo de las rectas que forman un ángulo cualquiera.

Para esto se coloca el instrumento en el punto C (fíg. 56) de modo que su centro esté en la vertical del punto citado, lo que se consigue con la plomada; después de verificado y corregido en todas sus partes, se dirige la visual, que llamaremos de atrás, al punto A, en el que se habrá colocado verticalmente una banderola; vista que sea la banderola en el campo del anteojo, se sujeta la parte superior del instrumento por medio del tornillo de presión, haciendo después la coincidencia de la cerda vertical con el eje de la banderola por medio del tornillo de coincidencia; cuando esta circunstancia se verilea, se observan' las lecturas de los dos nonius, tomando como primero el que tiene marcado un uno en números romano», y que está por la parte del ocular, y como segundo, el del objetivo, marcado con el número dos, en iguales números.

Supongamos que se haya obtenido I .«"• nonius = 38.45 2.' » = 218.45

- Después se mueve ef instrumento alrededor dé su eje vertical hasta que la visual vaya á parar á una segunda banderola colocada en el punto B. En éste se habrá hecho idéntica operación que en el punto A, y, por tanto, suponiendo que la lectura de los oonius sea en-este caso:

i.er nonius = I45'.32' 2.» > =325 .32

tendremos que hacer la siguiente resta para obtener el ángulo. ^ . Íi.»lect.*i45'.32-»i44».92' I i.'lect/324.92 Nomusl|^.j^^^. 38 5 _ 38 5 NoniusIIj ., . „ ^

(2. Iect.'2i8.45 Valor del ángulo-io6°.47' Valór del ángulo - 106.4/

En todas las observaciones de los nonius deben dar éstos una Wctara que se diferencie en 180°; si esto no se verifica se repetirá

— T a la operación (por si ha sido mal hecha) hasta que esta circunstancia se verifique ó la diferencia sea i ó 2', máximo que debe tolerarse.

Si durante esta operación la aguja de la brújula ha estado separada de su punto de apoyo, se habrán observado los ángulos que estas lineas forman con la meridiana magnética, estando éstos representados en este caso por los arcos m y m' para las rectas CÁ Y CB respectivamente.

Para hallar el desnivel entre dos puntos A y B (fig. 57) se coloca el instrumento verticalmente en el punto 1 y se dirige una visual á un punto a determinado en una banderola, de tal modo, que^a—J74, altura del instrumento; entonces la recta ap será sensiblemente paralela á la línea AB, formado la ap con la horizontal pd del instrumento un ángulo x '=x' que es el que forma la recta AB con su proyección horizontal.

Con el valor de este ángulo tomado en el limbo vertical y la medida de la recta AB, se puede resolver el triángulo rectángulo ACB, que nos dará .ffC desnivel y jáCproyección horizontal de la recta dada.

87. Verificaciones y correcciones.— i.' Verticalidad del instrumento.

Se coloca el instrumento en estación en un punto dado R (figura 58) y se observará á qué lado del nivel cStá la burbuja. Supongamos que está en el punto a: se bajará el tornillo / ó se subirán los f í", hasta que la burbuja venga á colocarse en R.

Esta, en lugar de venir al punto i?, ó sea en la dirección <wr, puede tomar la ab ó la ad, según que t' esté más alto queY' ó al contrario.

En uno ú otro caso se d«jará ir hasta el punto b' ó d, y ana vez en estos puntos, se subirá el tornillo opuesto al lado en que se encuentre hasta que llegue á colocarse en el punto R: el instrumento estará horizontal, porque toda perpendicular á una vertical es horizontal.

a.* Qite los limbos estén bien divididos.—Se hace girar el platillo de los nonius ó sea la placa /' (fíg. 53) en pequeñas porciones,

— 74 — se anotan las lecturas que nos den dichos nonius sobre el limbo, y se ve si la diferencia en cada posición es de 180"; si así sucede, nos dice que el limbo está bien dividido, que el eje de giro pasa por el centro del mismo y que los ceros de los nonius están en los extremos de un diámetro. Si la diferencia de las dos lecturas no es de 180°, podrá suceder que esta diferencia sea constante ó que no lo sea. En el primer caso nos dice que el limbo esté bien dividido y que el eje de giro de los nonius pasa por el centro del limbo, pero que los ceros de éstos no están en línea recta con su punto de giro.

A pesar de este defecto, puede usarse el instrumento tomando para las direcciones las lecturas con un mismo nonius ó inutili-2ando el otro, ó bien tomar el término medio de los dos.

Si la diferencia de que hablamos no es 'constante, se desecha el instrumento.

3.* Centración del anteojo.—Para ver si el instrumento se verifica en esta parte, supongamos (fig. Sg) que ABt& una recta horizontal que puede estar señalada en la fachada de un ediñcio: colocaremos el instrumento en estación en un punto H desde el cual se vea la recta AB.

Después de horizontado el instrumento, se dirige el anteojo al punto A, sujetándole por su tornillo de presión; se moverá el ins-ttumento alrededor dé su eje vertical, y se verá si el cruce filar de las cerdas del retículo va cubriendo sucesivamente los puntos C, JD, £ , Bi al recorrer el arco ai; si esto se verifica, está bien centrado; si sucede lo contrario, se corrige el retículo por tanteos, haciendo uso del tornillo m que lleva al efecto (fig. 53).

4.' Que el plano que engendra el anteojo en su moviihiento alrededor del eje de muñones sea vertical.—Se efectúa esta verificación de igual manera que se hizo para la pantómetra.

.' 5." Que elplfino vertical que engendra el anteojo sea un diámetro del limbo en todas sus posiciones.—^Tracemos cuatro alineaciones AO, CO, SO y GO (fig. 60), que se corten en un punto O; coloquemos en él el instrumento, y después de horizon-

. udo ^rcorregido, se,dirigen visuales álos puntos A, C, E y G,

- 75 ~ anotando las lecturas de ambos uonius en cada visual; se le da una vuelta completa al anteojo alrededor de su eje de muñones, y otra al instrumento alrededor de su eje vertical, visando después á los puntos antes citados, anotando las lecturas como en el primer caso.

Si á las lecturas hechas con los nonius coinciden la del nonius primero en el primer caso, con la del nonius segundo en el segundo y viceversa, el instrumento se verifica; en el caso contrario, se desecha ó considera como excéntrico el anteojo.

6.' Que la visual sea horizontal cuando los ceros del nonius y limbo del aparato pertical estén confundidos.

Para esto, sea mn (fig. 6i) una vertical trazada en una fachada, ó el hilo de una plomada. Colocando el instrumento en un punto A del terreno frente á la vertical, se dirige la visual (después de horizontado) á la vertical citada, habiendo hecho antes la coincidencia de los ceros del nonius y limbo vertical; se marca el punto j7 en que el cruce de las ¿erdas corta á dicha vertical; dando una vuelta de campana al anteojo se vSlverá á hacer la coincidencia de los ceros, y dando á todo el instrumento un giro de i8o" alrededor de su eje vertical, observaremos el punto j .que nos da en esta nueva posición; se áWiátpq en dos partes iguales, y marcando el punto r se mueve el anteojo en sentido vertical hasta que el cruce de las cerdas vaya á parar al punto r.

La diferencia que haya habido en los ceros del nonius y limbo se corrige por los tornillos / ó i?' (fig. 53), hasta que tenga lu- ' gar la coincidencia.

Si en la primera y segunda posición del instrumento la visual fuera exactamente á parar al punto r, el instrumento se verifica.

- 76 -

LECCIÓN SEXTA

En qné consiste an plano.—Utilidad del mismo.—Idea de las operaciones qae coDAtítuyen el levantamiento de an plano.—Reconocimiento del teireno.— Canevas topográfico.—Croquis 6 bosquejo.—Elección de las esealai.—Registros.—Planos de minas.—^Utilidad de los mismos para la explotación.—Le-•aotamiento de planos.—Primer método.—Con Ja escuadra sobre nn solo eje. —Segando método.—Por rodeo con la pantómetra.—Tercer método.—Radiación con la pantómetra.—Cuarto método.—loterseccionet sencillas y dobles

' con la pantómetra,—Por rodeo.—Con el teodolito usado como brújula—Por radiación coo el mismo instrumento.—Obsenracioves acerca de los métodos que «ntecedea. \

88 . En qné consiste nn plano.—Consiste un plano en la representación gráfica sobre el papel de una porción de superficie con más ó menos detalles de sus accidentes.

89. utilidad del mismo.—El dibujo de un plano ofrece las ventajas siguientes:

I .* Conocer la forma de la proyección hori:{ontal del terreno y conservar la indicación de los procedimientos empleados por el geómetra.

2.* Poder medir sobre el papel las líneas inaccesibles ó de difícil recorrido.

3.' Facilitar ¡a división del terreno en partes iguales entre si ó Tptoporcionales., ó dos longitudes dadas.

4.' Dar indicaciones útiles para encontré^ los limites de los campos. <•

90. Idea de las operaciones que constituyen el levanta-niento de nn plano.—Después de saber medir toda clase de rectas y ángulos y el uso de los instrumentos, poco podrá decirse en el levantamiento de un plano si los terrenos qUe el geómetra tiene que determinar fueran polígonos terminados por líneas rectas, con sus vértices situados en un mismo plano y sin presentar otras inacbas dificultades.

— 77 — Algunas veces se presentan casos en que el terreno es llano y

despejado, teniendo que considerar figuras rectilíneas regulares é irregulares; pero entonces es que ha intervenido la mano del hombre, como sucede en la construcción de edificios, cercas de propiedades, jardines y estanques. No sucede así en cuanto nos presenta la naturaleza, sino que ésta, por el contrario, no ofrece esa regularidad en las formas de la superficie terrestre, siendo, por tanto, sus contornos líneas muy sinuosas y con todo género de curvaturas, aunque algunas veces se encuentran lados ó trozos que se aproximan á la línea recta. Esto en lo que se refiere al contorno; pero el geómetra tiene que luchar con otras dificultades debidas al mayor ó menor grado de accesibilidad de los terrenos que tiene que atravesar. Las desigualdades y accidentes que se encuentran con tanta frecuencia en el transcurso de las operaciones topo gráficas hace se tengan que emplear otros procedimientos para poder satisfacer, con la elección del más á propósito, las dos condiciones esenciales de pronta y más exacta ejecución.

Además, no es sólo la determinación del contorno de un polígono lo que debe ocupar la atención del geómetra, sino la multitud de objetos esparcidos sin orden en el interior, entre los cuales podemos citar los arroyos, caminos, árboles, edificios, jardines, plantaciones y manantiales, cada uno de los cuales ha de ser determinado con separación y situados en el plano, guardando con los demás la misma relación de posiciót) que tienen en el terreno, y á cuya operación llamaremos determinación de los deta~ lies interiores.

9 1 . Reconocimieato del terreno.—La primera operación que debe practicarse es elegir el punto más elevado desde el cual se descubra mejor la zona de terreno que se quiere representar para formarse dé él una idea lo más exacta posible, fijando la atención en todos sus accidentes, así como los diversos objetos que comprende, y con especialidad en la dirección de canales, ríos, caminos, arroyos... guiándose además por personas prácticas en la localidad, con el objeto de que le puedan suministrar cuantos da. tos crea necesarios, como son los nombres de los diversos acciden-

- 78 - . tes, eligiendo después nuevos puntos para poder ir descubriendo los objetos restantes.

En el caso de no poder hallar estos puntos ó si la porción que hay que representar es muy reducida, una tierra de labor, por ejemplo, se reconocerá el terreno en todos sentidos con objeto de establecer en ambos casos el método más á propósito para obtener los datos que sirvan para la construcción del polígono en el papel. El resultado de este reconocimiento debe llenar las condicio-nes siguientes:

I • La elección del terreno más llano é igual para el establecimiento de la base ó bases que se necesiten medir, que deben ser, si es posible, en sentido déla mayor longitud.

a.* El que sean visibles desde dicha as el mayor número de punios notables. '

3.* Que el número de rectas que se establezcan para hacer depender de ellas las demás sea el menor posible, á fin de evitar los errores que producen las medidas.

92. Ganevas topográfico.—Después de reconocido el terreno , se procede á la colocación de banderolas en todos aquellos puntos < ue no estén determinados por otros objetos, como árboles, casas, torres... y valiéndose del instrumento ó instrumentos que se quie* ran emplear en la operación, se procede á establecer aquel conjunto de rectas que han de ser las bases principales de todos los trabajos sucesivos que el geómetra haya juzgado más oportunos, para que, formando una especie de red ó entramado, puedan relacionarse con ellas los diversos puntos del terreno. Este sistema de rectas se llama canevas topográfico.

0 3 . Croquis ó bosquejo.—A medida que se establecen en el terreno las rectas que componen el canevas, deben irse figurando y disponiendo á ojo de una manera análoga en el papel, así como dibujando con cuidado y claridad la posición de cada objeto, configuración de su contorno, anotando en cada línea y ángulo el valor que se haya obtenido.

. El modo de colocar estos ntimeros en el croquis no se puede e!spresar de una manera concreta, así como tampoco el de repre*-

— 79 — sentar las diferentes rectas para distinguirse unas de otras, por te-ner generalmente su sistema cada operador; por tanto, nos concretaremos á exponer en el lugar correspondiente los que creemos preferibles en cada caso particular.

En cuanto se refiere á la formación del croquis ó borrador, no hay un sistema fijo, resultando de esto que en la mayoría de los casos no pueda entenderle otro que el que le ha formado, siendo bastante difícil el hacer un croquis que pueda ser transportado al papel,por un operador distinto al que le ha hecho, cuando se tra- > ta del plano de una zona muy accidentada y que exija una representación clara y exacta de todos sus detalles.

Puede, por tanto, servir de aclaración el figurar en dicho croquis con mucho cuidado, limpieza y esmero, los contornos de caminos, arroyos y otros objetos que hayan de formar parte del plano-, pero ni aun así debe trazar los trabajos otro operador diferente al que los ha tomado en el terreno.

Deben dibujarse los diferentes objetos y la disposición y figu-' ra de todas las partes del terreno á medida que se van presentando, teniendo previamente relacionadas entre sí las que constituyen el canevas topográfico, con objeto de evitar que la confusión de. líneas y objetos sean causa de errores que hagan volver al terreno á rectificar.

94. Elección de escelas.—Entre las diferentes escalas que pueden adoptarse, suele elegirse á arbitrio la que permita incluir en un papel de tamaño regular el plano que ha de contener, ó se procura que sea lo mayor posible para mayor claridad y exactitud, exceptuando los casos eñ que la escala está dada por la Administración, según el ramo á que el trabajo pertenezca.

Las escalas más usadas en los trabajos públicos son las siguientes:

I : 5ooo = o">.ooo3 1 1 ; aSoo =»o™.oo04 [ Para los planos de conjunto. 1: 2000 —o^.oooS /

( Para los planos parcelarios y , < 1 : looo =• o".ooi i . c, I . .. ,

f los perfiles longitudinales. <.

— 8o — . ( Para los perfiles transversales I : zoossíOi^.ooS í , 1 . .

( y las grandes obras de arte. I : ioo-=o">.oi í Para los trabajos de arte de I : 5O=»O™.02 ( mediano tamaño.

Y, por último, los planos parcelarios trazados por las compañías de ferrocarriles para las expropiaciones son invariablemente en la escala de

I : looo = o^.ooi por metro. 95 . Rei^stros.—Son éstos unos esudos compuestos de varias

columnas, en las que se inscriben los valores de los lados y de los ángulos, la designación de los puntos de estación y demás datos y observaciones que sea necesario tomát en el campo, para repro» ducir en el papel la figura del polígono en el terreno.

En los casos complicados, se llevan otros"registros por separado y relacionados con el primero ó general, teniendo estos segundos por objeto hacer más comprensible y claro el primero.

Los registros sustituyen al croquis, y éste á aquéllos, siguiendo cada geómetra el que le parece más conveniente. Ambos son buenos si el geómetra acompaña en su práctica en cualquiera de ellos el orden constante en el modo de inscribir los datos que juzgue mejor para no confundirse en los trabajos de gabinete.

Para evitar el u.«!0 de los croquis y registros por separado, se han formado unas libretas de campo dispuestas de modo que se colocan los datos en las llanas de la izquierda, dejando en blanco las de la derecha para el trazado de los croquis.

Este segundo método es preferible en un todo al anterior, pues aunque algo más largo y costoso, no lo es tanto como el tener que volver al terreno cuando por falta de claridad en la colocación de los datos ha salido mal la operación.

Como los estados ó registros varían según la naturaleza de la operación, presentaremos suá modelos á medida que vayan siendo necesarios.

96 . Planos de minas.—Los planos de minas tienen por objeto representar gráficamente sobre el papel las labores y obras de arte que constituyen la misma.

— 8i — 97. Utilidad de los mismos para la explotación.—El dibu-

io de un plano de minas ofrece las ventajas siguientes: I .* Conocer las direcciones del filón, filones ó capas que se ex

plotan, asi como su inclinación y potencia. 2.* Saber cuándo una labor se debe parar por llegar á los limi

tes de pertenencia, agotamiento del filón ó capa, ó por otras causas análogas.

3.' Poder hacer la división en maci:{os de la manera más conveniente, y valuar, aunque de una manera aproximada, los metros cúbicos de mineral disponible,

4.* Poder hacer estudios comparativos en los casos de pérdida del filón, y ver de la manera más aproximada el camino que debe seguirse para encontrar la continuación, haciendo los menos trabajos posibles en estéril.

98. Levantamiento de planos.—Para la determinación del contorno de los terrenos se emplean varios métodos, cada uno de los cuales es más á proposito en cada caso particular.

99. Primer método. Con la escuadra sobre un solo eje.— Al hacer el reconocimiento del terreno se verá el sitio más conveniente para el establecimiento de una base ó directriz, desde la cual sean visibles todos los vértices del polígono.

Supongamos |fig. 63) que ÁBCDEFG representa un polígono cuyo contorno es mistilíneo, y MN la base ó direariz.

Desde los vértices A, B, C... en los que previamente se habrán colocado banderolas, se bajarán las perpendiculares Aa, Bb, Ce... sobre la base MN, á cuyas perpendiculares se les llama ordenadas; se medirán con sumo cuidado, anotando sus valores lineales en un registro como el que exponemos á continuación:

— 8a —

REGISTRO DEL CONTORNO DEL POLÍGONO ABCDEFGH Rumbo de la base MN = 217°.33'

Abscisas Vértices Designación á partir del

punto a Ordenadas á que

corresponden de los

vértices OBSERVACIONES

I 2 3 4 s 0 . 0 0 —32.5o A Árbol

3o.oo —140.30 B 11

10.00 —100.00 C Jalón

127.60 —140.00 D »

62.50 0 .00 E *

9.00 -f-io5.5o F Ang-^-casa

55.00 4-14a.5o G Jalón

H »

ó debajo de la misma línea en el sentido de la base á los vértices. Para mayor sencillez y mejor comprensión del croquis, se consi-

' deran como positivas las ordenadas situadas á la derecha del eje y en el sentido de la operación, señalándolas con el signo + y las tomadas á la izquierda serán negativas y se marcarán con el signo— . La medida de las distancias ab, bg..,, que se llaman abscisas, puede hacerse á partir para todas del punto a, 6 por separado cada una, comprobando la suma a¿ + ¿^-{-^c + ..... con la medi. da total aE, y viendo ñ son iguales, como debe suceder, ó si se diferencian en una cantidad que se pueda tolerar, teniendo que repetir la medida en caso contrario.

Para determinar el lado FG, se trazará con la escuadra la línea OP perpendicular á la ordenada Gg, aproximándola cuanto sea posible á la curva, j desde esta perpendicular se levantan las ordenadas 1, I'; 2, 2'; 3, 3';... á la OP considerada como eje, anotando la* medidas de estas líneas de igual manera que se hizo en las ante-lioíea.

- 8 3 -Si el terreno es muy accidentado, se establece otro ú otros eje»

relacionados con el primero, teniendo cuidado de anotar los ángulos de éstos en el estado ó sobre las mismas líneas, continuándola operación como en el caso anterior.

Si en el interior del polígono hubiera detalles que representar en el plano, se les consideraría como vértices de polígonos, siguiendo para determinarlos operaciones análogas á las indicadas anteriormente.

Este instrumento se emplea en planos de poca importancia, teniendo su mayor aplicación para trazar líneas dadas sobre el terreno en los replanteos de edificios.

100 . Segundo método. Por rodeo con la pantómetra.— Este método, llamado así porque según él se opera siguiendo el contorno, y que puede adoptarse cuando el terreno es llano y accesible en su interior y exterior, tiene también aplicación en el caso de ser solamente accesible en las proximidades del contorno, siendo inaccesible su parte interior, por ser el terifeno pantanoso, estar cubierto de bosque espeso, ser un pueblo, etc., etc.

Supongamos (fig. 63) que ABCDEFG representa un polígono en el terreno. Se colocará la patitómetra en uno de sus vértices [A, por ejemplo), y después de hechas las correcciones necesarias se colocan en coincidencia los ceros del limbo y nonius y se dirige la visual á uno de los vértices B 6 G, según esté graduado el limbo del instrumento; se deja fija la parte inferior del mismo y se mueve la superior para visar al otro vértice; el arco comprendido entre los ceros del limbo y nonius, y que llamaremos observación directa, será el valor del ángulo BA G.

Antes de abandonar el punto A será conveniente medir el ángulo exterior, para ver si con el interior BAG del polígono suma 360°. Esta operación se llamará observación inversíf. También debe hacerse, si es posible, y al empezar la operación, el determinar un punto elevado en el interior del polígono, desde el cual puedan ser visibles todos los vértices para desde éstos dirigir visuales de comprobación. Terminadas en dicho pui^to A todas lji3 operaciones, tanto directas como de comprobación, se traslada t i '

- 84 -instrumento al vértice J5, en el que se hacen idénticas operaciones continuando de igual manera en todos los vértices restantes del polígono.

Con estos ángulos y las medidas de los lados AB^ BC^... tenemos los datos suficientes para construir su plano.

Los detalles interiores se determinan por los ángulos que forman con los vértices más próximos y los que ellos formen entre sí.

Estos datos se disponen en un registro ó en el croquis, poniendo el valor de cada ángulo en su abertura y las medidas de los lados debajo de éstos, como está indicado en la figura.

REGISTRO DEL POLÍGONO ABCD... LEVANTADO CON LA PANTÓMETRA POR EL MÉTODO DE RODEO

Rumbo de la base AB = 16" 'A-

2- . , "

i 2 m ^

OBSKRTAOIONgl DIbBOTAS Observa

ciones inversas.

Lados del

polígono. gtiirtlu.

2- . , "

i 2 m ^

Al punto O. AsguJos

del polígono.

Observaciones

inversas.

Lados del

polígono. gtiirtlu.

\ 2 3 4 5 6

A OAB = 52.3o i43».45' 216». 15' AB=' i5o™.oo

B » 113.3o 246 .30 BC= 142 5o

C » 123.45 236.15 C Z ) = 125 0 0

D » 147.30 212 .3o DE= i35.oo

E > I i 3 . 3 o 246 .30 £ F = 143.75

F » 140 220 ^£•0= 137.50

G > 117 4 0 242 .20 GA'= 146 .00

101 . Tercer método. Radiación con la pantómetra.—Este método, de difícil aplicación en los terrenos de mucha extensión, por tener pocas comprobaciones, se emplea como auxiliar del mé-xoáo de rodeo para determinar los cruces de los caminos, inflexiones del perímetro de los polígonos, etc., etc.

- 85 -Para hacer aplicación de este método al levantamiento del

plano de una pequeña porción de terreno, supongamos que ÁBCDE es un polígono cuyo plano se trata determinar: se busca un punto H desde el cual se vean (fig. 64) los vértices del polígono; se hace estación con el instrumento en dicho punto H, y se miden los ángulos AHB, BHC,... que forman las rectas tiradas desde el punto dado á los vértices del polígono.

Con estos valores angulares y la medida de las rectas HA, HB,... tenemos los datos suficientes para construir el plano.

Los datos se disponen como está indicado en la figura. 102 . Cuarto método. Intersecciones sencillas y dobles

con la pantómetra.—Sea ABCDEFG (fig. 65) un polígono cuyo plano se trata de levantar por este método.

Empleándose este método en el caso de ser inaccesible el interior, ó el contorno, ó ambos á la vez, habrá necesidad de elegir en terreno accesible una base i/iV desde la cual se vean todos los vértices del polígono y sus detalles interiores. Después de medida la base con toda precisión, se estacionará el instrumento sucesivamente en los puntos Jif y JV, y se medirán los ángulos i, 2, 3,4,.. . que las visuales MF, ME,... dirigidas á los vérticesF, E,C,... forman con la base MN, y los i', 2', 3', 4', . . . que forman los iVC?, NA, NB,... dirigidas á los puntos G, A,B, con la misma base.

De este modo queda cada punto de los considerados determinado por el encuentro de dos visuales, teniendo con la medida de estos ángulos datos suficientes para construir su plano.

Como puede suceder empleando este método que dos visuales dirigidas á un punto desde otros dos se corten bajo ángulos muy agudos, j siendo éste un inconveniente para la determinación del verdadero punto visado, se hace entonces una estación con el instrumento en un punto de la base, cuya distancia á un extremóse anotará, y desde él se dirigen visuales á los puntos anteriores, quedando de este modo cada punto determinado por la intersec» ción de tres líneas, siendo esta última la que determina el punto verdadero.

Si desde la base elegida no fuotra posible ver todos los vérticei

— 86 — ó detalles que hubiera que fijar en el plano, se establecerá otra base relacionada con la primera, midiéndola, como se hizo con la anterior.

Los ángulos, longitud y rumbos de la base se disponen en un registro como el representado á continuación:

LONGITUD DE LA BASE MN = 307™. Rumbo de la misma = 88° ' ' ,.

. . . . T T T : — * -

Ángulos en la

estación M. «

Ángulos en la

estación N. Vértices.

Ángulos en la estación 0,

(listantes 202,50 metros . de M.

Obserraeiones.

1 2 3 4 5

I 4' F 7'; 2 5' E 5" 3 7' D 6"

4 6' C 4" 5 r G 3" 6 3' B 2 " '

7 2 ' A I "

Este instrumento, empleado solamente en planos de mediana exactitud, y más generalmente para la determinación de los detalles menos esenciales de un plano, después que con otros de más precisión se han determinado las líneas y puntos más notables, hace además embarazosas y poco expeditas las operaciones, por no poder hacer más uso de la brújula que lleva para otra opera-dón que orientar el'trabajo, determinando la dirección de una línea, pues es más pronta la determinación de los detalles interiores haciendo uso de un instrumento que permita operar con la brújula que teniéndolo que hacer midiendo los ángulos que dichos detalles forman con el punto de estación.

103. Por rodeo con el teodolito osado como bravia.— Por la disposición particular dada al teodolito explicado, puede usarse éste simplemente como brújula.

- 87 — Para esto, supongamos que ABCDEF [ñg. 66) representa un

polígono cuyo plano se trata de levantar. Se colocará el instrumento en el vértice A, y después de ho-

rizontado y verificado en todas sus partes se visa al vértice B, se deja libre la aguja, que tomará la posición indicada en la figura por las flechas. El rumbo ó ángulo que la recta AB forma con la meridiana magnética NS, está expresado por el arco a en el supuesto de ser la graduación de esta brújula inversa (*).

Se pasa después al vértice B, en el que se hace idéntica operación, resultando para valor del ángulo el arco b, y de igual manera en los demás encontraremos los valores angulares expresados por los arcos c, d, e y / .

Con estos ángulos y las medidas de los lados del polígono tenemos los datos necesarios para construir su plano.

Estos valores angulares y lineales se colocan en un registro ó sobre la misma figura.

REGISTRO DEL POLÍGONO ABCDEFG, LEVANTADO CON BRÚJULA POR EL MÉTODO DE RODEO

Gstaciooes 6

vértices.

Lados del

polígono.

llltHrvtcUnti

iireetu.

ObuivteitBei

inTtriti.

ObNtnelun de

MmpNbteKi.

ObuiyteUiu

gMtniM.

1 2 3 4 5 6

A AB=i5^^^. 76». 256° I28".3o' B J 5 C = 177.5o i37°.45' m i9i°.3o' C C D = i5o 208°, 3o' n 269°

D £ > £ = i i 5 260°. 3o' 0 X

E £ F — i85 3i8Vi5' P y F FA = 127.50 2 0 ° . 1 5 '

r u

{*) Uoa brújala se dice que es directa cuando el sentido de su graduación <• igual al de los relojes, é inversa cuando está graduada en sentido contrario.

_ 88 — 104. Por radiación con el mismo instrumento.—Para le

vantar por este método el plano de un polígono ABCDE (figura 67) se elige un punto, si es posible, en el interior del mismo, desde el cual se vean todos los vértices y puntos notables. Se coloca el instrumento en este punto y se dirigen visuales á los vértices A, B, C, D, JE.... La aguja que ha estado libre durante la operación, habrá señalado para cada vértice un ángulo que está expresado por los arcos a, b, c, d y e. Terminada esta operación, se miden las visuales oA, oB para poder con estos valores y los ángulos construir el polígono en el papel.

En este procedimiento, como en el <Je rodeo, se fijarán los detalles interiores por los ángulos que las visuales dirigidas á ellos desde los vértices más próximos formen con la meridiana magnética y las longitudes de las .visuales.

Los datos se disponen en un registro análogo al anterior. 105 . Observacionos acerca de los métodos que antece

den.—Como son tan distintas las circunstanciasen que el geómetra puede encontrarse, ya por la naturaleza del terreno ó por los instrumentos de que dispone, no puede decirse de una manera absoluta qué método es preferible entre los explicados para el levantamiento de un plano.

Por muy favorables que dichas circunstancias sean, se hace siempre preciso emplear varios métodos combinados para la determinación de una zona cualquiera, por pequeña que ésta sea. Por tanto, sólo la práctica y conocimiento del operador pueden guiarle en la elección de la marcha que debe seguir, en la manera de emplear más convenientemente los instrumentos de que puede hacer uso y en la buena combinación de Jos sistemas empleados para la más pronta y exacta determinación.

- 89 -

LECCIÓN SÉPTIMA

Levantamiento de planos de mina.—Con el teodolito.—Con brújala suspendida y semicírculo.—Orden en que se toman los datos. Libreta de anotación.—Croquis.— Galerías que se cruian.—Modo de relacionar la posición de labsres situadas en distintos pisos ó niveles.

106. Levantamiento de planos de mina.—Sabemos que la operación de levantar un plano, sea interior ó exterior, consiste en medir los ángulos horizontales que las diferentes líneas forman entre sí y en medir estas distancias, bien sean horizontales, 6 con una inclinación conocida.

Un gran número de instrumentos son empleados en la superficie para levantar los planos; mas en la mina es necesario excluir aquéllos que por la falta de espacio no permiten operar con la prontitud y precisión que es necesario en la mayoría de los casos; este número queda, por tanto, reducido á los siguientes: teodolito, nivel de aire y brújula suspendida.

En toda explotación regular se pueden considerar dos géneros de escavaciones: galerías principales, generalmente con vías, y galerías secundarias, la mayoría sin vías; por tanto, podemos dividir el levantamiento de planos en dos partes distintas.

Las galerías principales comprenden las de transporte, planos inclinados, etc., etc.; y como éstos tienen generalmente dimensiones mayores que los demás, permiten el empleo del teodolito, en tanto que las galerías secundarias, sea por su inclinación, sea por sus pequeñas dimensiones, sólo permiten el empleo de la brújula suspendida, lo que por otra parte casi siempre es posible, pues como acabamos de Indicar, carecen de vías.

Resumiendo diremos que el teodolito sirve para el levantamiento del plano de las galerías principales, y la brújula suspendida para las secundarias.

1 0 7 . Levantamiento dle planos de mina con teodolito.—

— po — El levantamiento de planos de mina con teodolito le dividiremos en dos partes: primera, colocación de los puntos y medida de las distancias comprendidas entre éstos, y segunda, medida de los ángulos.

Prz>nera. —Estando determinado en una de las galerías generales el punto de partida, y distribuidos que hayan sido por el geómetra los cargos que cada uno de los tres auxiliares (*) tiene que ejecutar, se colocará el tercero de éstos provisto de su luz en el punto de partida, extremidad posterior de la primera línea que se trata de determinar, en tanto que el primero marcha en la dirección de los trabajos cuyo plano s^ trata de levantar hasta que su luz va á dejar de verse; entonces este último coloca un clavo en el cielo de la galería, ó si no fuera gosible, en una traviesa de la vía ó punto visible, desde el extremo opuesto de la línea. A una señal convenida, el tercer auxiliar se traslada al punto determinado por el primero, colocando su luz en dicho punto. Esta luz sirve de punto de mira al primero para la colocación del segundo punto y al geómetra, que con el segundo auxiliar proceden á la medida de la línea determinada por los dos primeros puntos.

Si la longitud de la línea es menor que la de la cinta de que se dispone para la medida, no habrá más que colocarla sobre la línea bien extendida y leer el número de metros, decímetros y centímetros que contenga dicha longitud. En tanto se ha hecho la medida, el tercer auxiliar tomará las distancias á derecha é izquierda del punto colocado si éste no está exactamente en el eje de la galería, como debe procurarse siempre que sea posible.

Si la longitud de la línea es mayor que la de la cadena, se efectúa la medida de una manera análoga á la explicada para la medida dé una alineación, sirviendo la luz del segundo auxiliar como punto intermedio colocado en la línea para acortar la distanda.

En el caso de ser algo inclinada la línea, se levantará la cade-

(^ Soa los qtte el geómetn Deceiita para operar con rmpidez.

— 91 — na al hacer la medida del extremo más bajo, determinando el punto con un plomo, con objeto que la medida sea horizontal. Después se procede á la colocación de más puntos y medidas de las demás líneas de igual manera que se ha hecho con la primera.

En todos los levantamientos debe el geómetra hacer la medida de las líneas con el segundo auxiliar, y la colocación de puntos el primero y tercerp de éstos.

Inútil es decir que en la mayoría de los casos no se dispone de los tres auxiliares, por lo que es imposible operar así. En este caso el geómetra distribuirá el trabajo entre los que tenga á sus órdenes, procurando encargar á cada uno de las operaciones que estén más acostumbrados á hacer, interviniendo el geójnetra ea todas las operaciones para el mejor resultado.

Si la inclinación de la galería es bastante fuerte y uniforme, se puede hacer la medida tendiendo un cordel fuertemente atado de un punto á otro, midiendo la lonjjitud del cordel y el ángulo de inclinación. Si la pendiente es menos fuerte se puede hacer uso del limbo cenital del instrumento, y midiendo según el piso de la galería; en este caso se deberá visar á un punto D (fig. 68/, distante de Cen sentido vertical, lo que B está de A., siendo la distancia BA la altura del instrumento, leyendo, por tanto, un ángulo de inclinación A:, que, con la medida de la hipotenusa AC=^BÍ), resuelven el triángulo rectángulo BCE-^ACF, ó bien visar al punto C, extremo superior de I9. línea, leer el ángulo y resolver el triángulo BCE^ que dará el valor jde OB, al cual se añadirá AB para tener CF, que es el desnivel que existe entre los puntos A y C.

Este segundo caso se empleará cuando en C no se pueda co> locar un jalón para determinar en él el punto D.

Cuando la pendiente de la galería no es uniforme, se acorta k longitud de las estaciones para que puedan ser medidas tas líneas de una sola vez.

Segunda.—Antes de explicar la manera de medir los ángulos, expondremos brevemente los accesorios que se emplean para determinar los puntos de mira.

— 9» — Para este objeto se emplean unas pequeñas placas rectangula

res (fig. 69), que lleva una de las caras coloreada en blanco y rojo formando un ángulo, á cuyo vértice B se dirige la visual con un agarradero m por su parte posterior para tenerla vertical durante la operación, y de modo que dicho vértice B corresponda exactamente con el centro de la cabeza del clavo. En este caso será colocada la luz del auxiliar un poco delante de la placa, de modo que los rayos luminosos iluminen el vértice del ángulo B.

Con el objeto también de determinar el punto de mira, se emplean las plomadas, las cuales se suspenden de los clavos de modo que la vertical que determinan pase por el centro del clavo. Las cuerdas para las plomadas deben estar blanqueadas, con objeto que se destaquen mejoren el fondo obscura de la galería. La luz se coloca á un lado y un poco delante de la cuerda, poniendo una en cada lado si una no bastara para ver la cuerda con claridad.

Estas plomadas tienen el inconveniente de moverse, porque generalmente es muy activa la corriente de aire y es difícil tenerla en reposo para la observación, pudiendo ser causa de errores si no se procura que esté completamente parada para el momento de visarla.

Hechas estas aclaraciones pasaremos al objeto de la segunda operación.

Los tres auxiliares se distribuirán del modo siguiente: el primero para la colocación del trípode, el segundo al punto de avance y el tercero el punto de atrás.

El primer auxiliar colocará el trípode en estación, procurando que la plomada suspendida del cielo de la galería coincida exactamente con un pivote que lleva una pieza circular que se coloca en un agujero practicado en el centro de la plataforma del trípode.

Si el punto determinado está en el piso de la galería, se pasará una plomada por un ganchito que dicha pieza circular lleva en su parte inferior, encontrándose el centro de este gancho en la prolongación del extremo del pivote. ^

En ambos casos se hará la aproximación al punto subiendo ó

— 93 — bajando los pies del trípode, puesto que para el efecto indicado está dividido cada pie en dos piezas longitudinales sujetas por medio de abrazaderas.

Después de establecido sólidamente el trípode, el geómetra coloca el instrumento sobre él de modo que los extremos inferiores de los tornillos reposen sobre las ranuras hechas en la plataforma del trípode, procediendo á la nivelación del instrumento de la manera indicada en el núm. 87.

Terminada esta operación y colocado el instrumento en estación en el punto i (fig. 70), se visa al punto de partida marcado o, y siguiendo uno cualquiera de los métodos explicados en el número 86 para la medida de los ángulos, se observará el valor que corresponde al primero o, 1,2, anotándolo en la libreta en el lugar correspondiente.

Terminada esta operación se coloca el instrumento en el punto 2 para obtener el valor del ángulo 1.2.3, y así los demás. En el punto 2 se tomarán por orden los ángulos 1.2.a, i.i.b, 1.2.3, L.2.C, t.2.m y i.2.á, siempre medidos en el sentido que se haya empezado á medir el primero, colocando los valores de los ángulos i.°, 2.°, 4 . ' y 6."en la columna encabezada ángulos secundarios, y que sirven para determinar los ángulos a, b, c, d, que, unidos á los puntos extremos de las ordenadas mu y m'n\... nos darán los contornos de la galería en uniéndolos por una línea tanto más movida cuanto más irregular se encuentre aquélla.

Al comenzar la operación se tomará la dirección de la línea o — I para poder trazar estos trabajos sobre el plano si se han de relacionar con otros que hubiera hechos por la parte i — A.

Cuando el trabajo que se hace es en principio, ó cuando es un trabajo aislado, no es de necesidad tomar la dirección de la primera línea (aunque debe hacerse si se puede), sino la de cualquiera otra para tener la posición absoluta de los puntos y lineas determinados.

Las medidas y valores angulares, así como las observación^ necesarias, se anotarán en una libreta ó estado como, el represen* tado al final de la presente lección.

- 94 — 108. Levantamiento de planos con bréala suspendida y

semicírculo.—El levantamiento de planos con brújula suspendida y semicírculo se divide en tres partes: primera, colocación de los f untos y cuerdas; segunda, observación de las inclinaciones y rumbos; tercera, medida de las líneas.

Primera —Una vez hecho el reconocimiento preliminar de la galería ó galerías cuyo plano se trata de levantar, y determinado que haya sido el punto de partida, que si es posible debe estar relacionado con el levantamiento de las galerías principales, se procede á la colocación de los puntos y cuerdas de la manera siguiente:

Se coloca el auxiliar (fig. 71] con la luz cerca de la cabeza del clavo que determina el punto de partida, en tanto que el operador ha marchado por la galería hasta el punto^i, en que la luz va á dejar de verse, ó antes, si la longitud de la cuerda pasara de los límites que sabemos debe tener; coloca en dicho punto un clavo ó muletilla de modo que la cuerda tendida de o á i no toque á los salientes de la galería (*). Esta cuerda se procurará quede lo más tirante posible para el mejor resultado de la segunda operación. Se traslada el auxiliar al punto i, en el que repite la operación que hizo en el punto O. Entonces el operador continúa avanzando en sentido de la operación, visando la luz que el auxiliar tiene colocada en el punto i hasta colocar el punto 2, y así sucesivamente.

El número de cuerdas que deben tenderse antes de empezar la segunda operación depende del estado de la galería y circulación que haya por la misma, así que en algrunos casos podrán tenderse tantas como sean posibles con el cordel de que se haga uso, y en otros habrá necesidad de hacer las dos primeras operaciones y aun la tercera, según se vayan colocando las cuerdas.

Segunda.—Estando supuesto el punto de partida como cero, (*) Loi clavos 6 moletillaii deben colocarse sobre piquetes, puentes 6 peonet

•ólidamentq establecidos, saUentea de la roca, etc., etc., clarándolos de modo qne salgan 01°. 15 á lo más de la cara de t« roca ó madero donde est¿ colocado, exceptuando d caso en qaé por evitar qne hi cnerda toque en tígúa sitio haya que dejarlos más salientes.

— 95 — los demás números colocados son la continuación natural de los números comenzados por la unidad, por lo que las estaciones serán o — 1,1 — 2, 2 — 3,

Esta segunda operación comprende dos partes: observación de los ángulos de inclinación y rumbos ó direcciones délas cuerdas*

Para observar el ángulo de inclinación de la estación o—i en el punto O, se colocará el semicírculo (de la manera indicada en lá lección 4.*) á o"i.3o á lo más del punto de partida. Después se coloca para la segunda observación del cordel, á la misma distancia o™.3o del punto i.

Se observará si este segundo ángulo difiere del primero en 2* á lo más para una estación de 20™. Una diferencia más grande acusará falta de tensión en el cordel.

Esta diferencia será en más si la inclinación general es subiendo, y en menos si esta inclinación es bajando.

Estando el valor del segundo ángulo escrito, coloca el operador el semicírculo para la observación del primer ángulo de la estación i — 2, y en tanto que el plomo deje de oscilar suspende la brújula de la primera cuerda para observar la dirección á i.™ próximamente del punto i .

Después de ver que el limbo de la brújula está perfectamente horizontal y en tanto la aguja deja de hacer oscilaciones, se observa y anota el primer ángulo de inclinación de la estación i — 3, pasando después á hacer la observación de la brújula.

El medio mejor para leer el ángulo acusado consiste en colocar la luz y el ojo en el mismo plano vertical que contiene la aga* ja á una distancia próximamente igual del borde del limbo y cer . ca de la punta N: en el momento que los rayos emitidos por la luz llegan al ojo pasando por la parte deseada del limbo y forman un ángulo de reflexión igual al de incidencia, se hace la obser** vación apreciando hasta un cuarto, un tercio ó un octavo de grado si el limbo lo permite.

Después de hecha la observación, se moverá un poco la brúju* la y se verá si acusa el mismo ángulo después de este movimidn to, anotando el valor obtenido en el lugar respectivo.

- 9 6 -Algunos operadores observan los dos ángulos acusados por las

dos extremidades de la aguja. Esta segunda lectura se hace sobre ' la punta blanca de la misma sin mover la luz de la primera posición. La media aritmética de las dos direcciones observadas será entonces la dirección magnética de la estación.

Después que la dirección obtenida para la estación o — i es anotada, se observa el segundo ángulo de inclinación de la estación I — 2 y el primero de la estación 2 —- 3, colocando la brújula en la estación i —2 en tanto se observa el ángulo de inclinación de la estación 2 — 3, y así sucesivamente.

Siempre que se quiera obtener más exactitud en la operación, se observarán en cada cuerda dos direcciones, una en cada extremo, tomando la media de las dos como resultado.

Tercera.—Dos casos se deben considerar: que la distancia entre los puntos sea menor que la longitud de la cinta ó cadena, y que sea mayor. En los dos casos, el auxiliar del operador marcha delante llevando la cinta ó cadena cogida por un extremo, se para en el punto i si la distancia que se quiere medir es menor que la longitud de la cadena, ó cuando ésta está completamente tendida, si esta distancia es más grande. En el primer caso y cuando el operador está seguro que el auxiliar ha colocado el extremo sobre el centro del clavo que determina el punto, coloca la cadena frente al clavo del punto o, y hace avanzar la mano derecha justamente á la altura de la cabeza del mismo. £1 operador entonces lee el número de metros, decímetros y centímetros de la cinta ó cadena, apreciando á ojo á estos últimos si la cadena no está graduada en centímetros.

En el segundo caso el operador coge el extremo de la cadena con la mano derecha y la coloca frente &t clavo colocado en el punto o; el auxiliar marcha en sentido de la cuerda hasta que la cadena está completamente tendida, colocándola con la mano izquierda en contacto con el cordel; entonces con el pulgar de la derecha coge la cuerda y previene ál operador para hacer la medida; á una señal convenida abandona el operador la cadena, se coloca cerca del segundo, y pone el extremo de la cinta ó cadena

- 97 - -sobre la cuerda en el punto marcado por el auxiliar, pasando este último á repetir la operación anterior cuantas veces sea necesario hasta concluir la medida de la cuerda.

El número de cintas ó cadenas de cada cuerda se va anotando para hacer al fínal el resumen de la medida.

Es preciso tener presente para la exactitud de la medida el colocar exactamente el extremo de la cinta ó cadena en el punto determinado sobre el cordel, sin que haya resbalamiento alguno en los dos sentidos de la cuerda.

En cada uno de los puntos considerados en el levantamiento, el auxiliar de la operación medirá las distancias de éstos á los costados de la galería y las alturas del punto al cielo y piso de la misma.

1 0 9 . Orden en que se toman los datos.—El orden en que los datos deben tomarse es el expuesto anteriormente, es decir, ángulos de inclinación, rumbos ó direcciones de las cuerdas y medida de las mismas.

110. Libreta de anotación.—La libreta de anotación para escribir los datos que se hace preciso tomar á fin de poder construir la figura semejante á la del terreno, consiste en un estado compuesto de diez columnas, colocando aquellos en el orden que están indicados en el cuadro B y que corresponden á la figura 71.

1 1 1 . Croquis.—£1 croquis es, según hemos explicado en la lección 6.*, una figura aproximada á la del terreno que se trata de levantar, trazado á ojo, disponiendo en éi las galerías de una manera análoga á como se encuentran practicadas.

En estos croquis se anotan, como se ve en la figura 71, los puntos en que las fallas cortan las labores, así como su inclinación, dirección y espesor.

También se indicará el sentido de la extratifícación de la roca; esterilidad ó enriquecimiento del mineral que se explota, refírien-

yio los puntos en que esto se encuentre al más próximo del levantamiento.

112 . Galerías qne se cmsaB.—Cuando en el levantamieme del plano de trabajos interiores se va haciendo el de una galeds

7

- 98 -cualquiera y se llega á un punto en que se cruzan varias de éstas (fig. 72), se procede para su determinación de la manera siguiente:

Una vez llegados al punto 3 de la manera explicada anteriormente, y en la suposición de querer seguir en el sentido AB,... se colocará el punto 4 de manera que dé salida á las cuerdas 4-5, y 4-5, para la continuación por las galerías ACy AD, tomando en el punto 4 la distancia 4a para la mejor determinación del costado ap de la galería AB, así como la 4b para determinar el lado bn de la A C. El punto 3 determina el extremo s del lado sx de la galería AD_, por lo que no hay necesidad de referirle al ángulo opuesto.

Siempre que haya que partir para el levantamiento del plano de una galería de un punto tal como el 4, dejado con este objeto al pasar por las inmediatas ó contiguas, se escribirá en la libreta la siguiente indicación:

A partir del punto 4 del levantamiento OAB,... indicándolo ^n la libreta debajo de los datos anteriores ó en una hoja aparte.

113 . Modo de relacionar la posición de labores situadas en distintos pisos ó niveles.—Cuando tengamos que relacionar labores situadas en diferentes niveles (fíg. jB), se hará uso de los pozos y rampas más próximos á éstas para comunicar los trabajos del levantamiento. Así, si recorriendo los trabajos hechos en el nivel AB nos encontramos con el pozo mn, que pone estos últimos en comunicación con los del nivel CD, se procurará que el punto II de la estación 10— 11 quede colocado de manera que pueda suspenderse de la cuerda la plomada ab hasta el nivel inmediato inferior. Ai colocar la plomada se hará de modo que la cuerda sea tangente á dicha plomada, si no se ha suspendido la Cuerda, colocáhdola en ejtte caso en un punto cualquiera que se coloca sin otro objeto que el expresado.

Después se desciende al nivel CD y se coloca el punto 12 todo lo próximo que sea posible á la plomada, tendiendo la cuerda 12 — 13 con las precauciones antes indicadas, para lo cual se bascará por tanteos el sitio donde se ha de colocar el punto i 3 , iQoviendo la cuerda basta que ésta sea tangente á la plomada.

— 99 — La medida de la cuerda lo— i i se haría solamente de la par

te l o — a s i no hubiera que continuar el levantamiento por la par tead de la galería BA, é igualmente, en la cuerda 12 — i3 se medirá la parte b — 13 si no se continuara por el lado bD. Si, por el contrario, se trata de un levantamiento general, se tomarán en ambas cuerdas las medidas ib — aya—11, 12—b y b—i3, para poder continuar desde los puntos 11 y 12 en cada nivel según fuera conveniente.

Cuando el enlace de los trabajos ha de hacerse por una rampa ó galería inclinada, la operación no difiere en nada de la explicada para las galerías próximamente horizontales, pues sólo hay la diferencia de la mayor pendiente de las cuerdas, como se ve en la figura á que nos referimos, que es un corte longitudinal de trabajos abiertos á diferentes niveles.

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— 102 —

LECCIÓN OCTAVA

TrianguIacioDes.—Clasificación de los triángulos en diferentes órdenes.— Elección de la base y de los pantos principales.—Forma de los triángulos.—Reconocí-miento del terreno.—Medida de la base.— Observación de los ángulos.—Levantamiento del plano de (uperficie de un establecimiento minero.—Instrumentos que deben emplearse.

114. Triangulaciones.—Los mérodos de levantamiento de planos explicados en lecciones anteriores son insuficientes cuando se trata de terrenos de mediana ó grand» extensión, ó cuando, aunque sean de corta extensión, haya necesidad de determinar cierto número de puntos notables por la acumulación de errores á que siempre da lugar en trabajos de esta naturaleza. De aquí la necesidad de recurrir á otros medios que nos conduzcan á la determinación exacta de las posiciones absolutas y relativas de ciertos puntos principales, destinados á suministrar bases á las que deben referirse algunos puntos secundarios y de las que deben partir las operaciones necesarias para determinar otros puntos de este mismo orden y proceder de la misma manera para puntos de otros órdenes inferiores, hasta haber considerado todos aquellos cuyo conjunto ha de constituir la proyección horizontal del terreno.

Entre las condiciones que este sistema de determinación exige, figura en primer término la medición directa del menor número posible de rectas, operación difícil de lle'var á cabo con la exactitud necesaria. A esta circunstancia, así como á las indicadas anteriormente, satisface de una manera completa la triangulación, que es el sistema que se sigue, y consiste en considerar unidos por medio de rectas cierto número de puntos convenientemente elegidos, constituyendo estas rectas una red de triángulos cuyos ángulos se miden con toda la precisión á que es posible, llegar, así como uno de los lados que es la base de la triangulación.

— I03 —

115 . Clasificación de las triangulaciones en diferentes órdenes.—Cuando se trata de un terreno de gran extensión, no es suticiente una sola triangulación para la determinación de éste: en efecto, si el número de los triángulos es corto, lo que disminuye la acumulación de errores en las observaciones y en los cálculos, los lados tienen mucha longitud y no se prestan fácilmente á la determinación de los detalles que á ellos deben referirse, sucediendo, lo contrario si es grande el número de los triángulos. A fin de obviar los inconvenientes que presentará la adopción absoluta de uno cualquiera de estos dos sistemas, se forma una primera red de triángulos llamada triangulación de primer orden, y cuyos lados pueden tener de lo á 3o kilómetros. Otra segunda red, llamada triangulación de segundo orden y que se relaciona con la primera, forma el conjunto de rectas que constituye el canevas trigonométrico, pudiendo darse á estos segundos longitudes de 5 á lo kilómetros y disminuyendo sucesivamente para los órdenes inferiores.

La longitud de estas rectas, sin embafgo de lo expuesto, se reduce para el plano de un terreno de corta extensión, y en el caso de querer aplicar la triangulación para mks exactitud, hasta un hectómetro.

116 . Elección de la base y de los puntos principales.— La base debe satisfacer en lo posible á las condiciones siguientes:

I ,* Que se establezca en la parte más céntrica del terreno que se trata de triangular. Esta condición tiende á evitar la acumulación de los errores en la parte más distante de aquella en que se hubiese establecido la base, en el caso de no poder satisfacer á la indicada condición.

2.' Que se elija para su establecimiento un terreno descubierto y poco accidentado, á fin de facilitar las operaciones de la medición y procurar la exactitud tan necesaria para asegurar el éxito de los cálculos que en ella se fundan.

3.* Que sus extremos permitan descubrir el mayor número de puntos notables.

Elección de los vértices,—Los puntos que han de ser vértices

— 104 — de los triángulas deben satisfacer á la doble condición de estar perfectamente determinados y de poder ser vistos á gran distancia, al mismo tiempo que deben servir para colocar en ellos los instrumentos de estación. Las agujas de los campanarios y de las cúpulas cumplen generalmente con la primera de estas condiciones i expensas de la segunda, y las señales arúfícialmente dispuestas evitan la reducción de los ángulos al centro de la estación, pero no son en general tan claramente perceptibles.

Las banderolas colocadas en Ictalto de los castilletes de los pozos de extracción cuando están descubiertos ó colocadas sobre los tejados de los edificios que cubren aquéllos, sirven para la determinación del centro de éstos, estando, como es de suponer, dichas banderolas colocadas en la prolongación del eje del pozo, para de este modo poder ser observados desde lejos y considerarlos como vértices de triángulos para que queden perfectamente determi' nados.

117. Forma de los triángulos.—En la elección de los vértices debe procurarse que los triángulos resulten próximamente equiláteros, porque los ángulos excesivamente agudos producen errores, tanto más considerables cuanto más agudos sean.

La forma que atribuímos á los triángulos no puede casi nunca obtenerse por completo: se procurará que se acerquen á ella todo lo posible, no admitiendo nunca ángulos menores de 3o" en las triangulaciones de segundo y tercer orden, límite á que no debe Ufarse en las de primero.

118. Reconocimiento del terreno.—A las demás operación nes de la triangulación debe preceder un reconocimiento detallado hecho de una manera análoga á la.explicada en la lección sexta.

119. Medida de la base.—Por mucho que sea el esmero con que sé mida una línea sobre el terreno, son tantas las causas qye pueden motivar errores, que se puede asegurar no ser posible obtener su valor exacto. Esto ha hecho que los geómetras eviten todo lo posible la medida de las líneas.

Como, á pesar de las precauciones que se adopten, n o ^ pue-

- IOS —

de conseguir la perfecta horizontalidad de la cadena ó cinta cuando el terreno es inclinado ni tampoco impedir el pandeo por completo, se emplea en la medida de las bases reglones de pino, de hebra recta, los cuales se barnizan para evitar las inñuencias atmosféricas, si bien las variaciones de longitud, que es lo esencial, no son sensibles en la madera, obteniendo con este aparato un resultado muy exacto.

120 . Observaciones de los ángulos.—Una vez trazado el plan délas operaciones y medida de la base, se procede á las observaciones de los ángulos procurando medir el mayor número de ellos que sea posible y obtener por lo menos dos de los que corresponden á cada uno de los triángulos que se han de resol' ver, evitando en lo posible las reducciones al centro de la estación y no omitiendo la observación de todos los ángulos en los vértices accesibles, aun cuando no sean absolutamente necesarios para la resolución de los triángulos, toda vez que pueden suministrar comprobaciones importantes al efectuar los cálculos, evitando asi la repetición de las medidas.

La repetición de los ángulos debe hacerse en estos casos tomando en las triangulaciones de primer orden el séxtuplo de un ángulo cuando el instrumento aprecia minutos, bastando tomar el duplo cuando la apreciación es de 20", á fin de obtener en ambos casos una aproximación de 10". En los triángulos de los órdenes inferiores basta repetir una sola vez para comprobación en el primer caso y en el segundo observar los ángulos cuidadosamente y comprobar tan sólo por la lectura de ambos nonius.

121 . Levantamiento del plano de superficie de un establecimiento minero.—Una de las cuestiones más importantes que el geómetra tiene que resolver es el relacionar de un modo exacto los puntos principales de una concesión, entradas de las minas, pozos, socavones, etc., etc., por medio de una triangulación. Todos los puntos deben estar relacionados, si es posible, al mismo origen que los del interior, para poder tener sobre la misma hoja en que se encuentra el plano de mina todos los detalles de la superficie.

— io6 — El punto á que estos trabajos se han de referir ha de ser un

punto trigonométrico. Además de los puntos citados, será preciso colocar algunos

vértices en los caminos entradas de la población, con objeto de poder comprobar cuando se vayan siguiendo cada uno de los detalles que se hayan de fijar en el plano.

Supongamos, para mayor claridad, una zona (fig. 74) que comprende cuantos detalles se pueden encontraren estos trabajos.

Después de establecida la base AB txi las condiciones ya explicadas, así como los vértices i , 2, 3, a, b, i,J, g, e, s, o, d, que determinan los pozos, ángulos de las concesiones y demás puntos notables á la vez que convenientes, se procede á la observación de los ángulos de la manera explicada anteriormente, se anotarán los ángulos tomados en cada extremo de la base en primer lugar, y en segundo los de las bases Ai, B3, Bd y Bs que haya habido que relacionar con la primera, cuando como en este caso no se pueden determinar desde la base AB los puntos o, d, e, s y demás que fueran necesarios.

Propongamos, por ejemplo, hallar los valores de los ángulos que pertenecen á la triangulación hecha para determinar los puntos citados anteriormente, cuya triangulación consideramos como de tercer orden. Haciendo estación en el extremo A de la base, dirigiremos la alidada con los ceros en coincidencia al extremo Bd& la misma, y fijando el limbo observaríamos con la alidada móvil ó con la misma si no tuviera esta segunda los puntos b, 2, a, 3, i,.... anotando los ángulos sucesivos en un registro. Dirigiendo después la alidada al punto r , previa la coincidencia de los ceros, se visará á los puntos antes citados anotando del ftiismo niodb los valores angulares, pudiendo hacer una tercera observación á partir del punto 3, por ejemplo, y aumentar al nlímero de observaciones cuanto se crea conveniente.

Pasando al punto B se completará el registro de observaciones angulares, procediendo después á calcular los valores de los án-galos.

El que corresponde á un ángnlo cualquiera se halla por las

— 107 — diferencias de los que forman sus lados con el origen de cada observación, tomando el término entre todas las observaciones.

Antes de comenzar á determinar detalles interiores, se procede por hallar los valores numéricos de los lados incógnitos de los triángulos, para poder determinar sobre el papel los vértices de éstos, pudiendo después continuar con los detalles, siendo de preferencia aquellos que primero deban fijarse en el plano.

Así, por ejemplo, partiendo del vértice i, se hará un seguimiento por el método de rodeo, según el eje del camino, haciendo á la vez radiaciones desde las estaciones i, i ', 2', 3', vértice_/j etcétera, á los ángulos de las propiedades M, anotando, bien sea sobre y, debajo de cada línea, el rumbo y medida respectivamen. te, siempre en el sentido visado, ó en unos estados ó itinerarios encabezados con el nombre del sitio de donde parten, y terminando con el de llegada ó final.

De una manera análoga, partiendo del vértice g, se hará un seguimiento para determinar la quinta y sus alrededores. Para determinar los contornos de la ribera se hará un recorrido por la margen más descubierta de maleza, determinando puntos de la orilla opuesta por el método de intersecciones, si no fuera posible siempre pasar por donde es necesario..

La parte de población se rodea de un polígono que enlaza con el extremo B de la base y puntos I y d más próximos. Esta operación se efectúa colocando los vértices a\ b', c',... frente á las entradas de las calles, con objeto de poder subdividir el polígono ó polígonos principales en otros secundarios, hasta que cada manzana de casas ó grupo de ellas, si éstas son muy pequeñas, quede inscrita en dicha red poligonal. Después se miden ios ángulos y líneas que forman estos polígonos, haciendo á la vez radiacio -nes desde los vértices para determinar la posición de los ángulos de los edificios, anotando sobre el croquis análogo á la figura las direcciones y medidas en el mismo sentido que lo hicimos para los caminos.

Se tendrá en esta operación el cuidado de referir los seguimientos hechos á todos los vértices posibles, así como dirigir vi-

— io8 — suales de comprobación á los campanarios y puntos elevados de la población.

122 . Instrumentos que deben emplearse.—En esta operación, la más delicada de las que el geómetra tiene que practicar, por la necesidad de obtener datos muy exactos, hay que excluir todos aquellos que no sean de precisión, necesitando, por tanto, emplear teodolitos que por lo menos aprecien minutos.

De esta manera y haciendo la repetición, tanto de ángulos como de líneas, las veces necesarias, se puede tener seguridad de obtener un resultado satisfactorio.

— 109 —

LECCIÓN NOVENA

Manera de relacionar la posición de nuevas excavaciones con otras cuyo plano esté ya levantado.—Cálculo de las proyecciones horizontales y verticales de laa cuerdas.—Tablas para calcularlas.—Cálculo de las proyecciones por las tablas de logaritmos.

123. Manera de relacionar la posición de nuevas excavaciones con otras cuyo plano esté ya levantado-—Siendo tan frecuente en las minas efectuar operaciones como de la que nos vamos á ocupar, expondremos por el orden en que deben ejecutarse los trabajos que hay necesidad de hacer en estos casos.

Supongamos (fig. j5) que se tratan de relacionar los trabajos hechos por el pozo .ff y la entrada de obreros B" con los empezados por el pozo 4 , en el supuesto que loi primeros están representados en el plano y que se quieran fijar estos últimos trabajos sobre el mismo plano, con objeto de comunicarlos entre sí.

Admitamos que los primeros trabajos se encuentran á un mismo nivel: partiendo de un punto a', colocado en el frente avanzado a, se hará un recorrido con brújula suspendida ó teodolito siguiendo el camino más corto y posible hasta llegar al pozo A, en el que se determinará el centro suspendiendo una plomada para continuar después por la galería fe, hasta llegar al frente, donde se coloca un punto e, fijándole de un modo estable.

Si se ha empleado la brújula suspendida en esta operación, habrá sido preciso ai llegar al punto B", que está ya en la superficie, continuar con el teodolito ú otro instrumento angular el camino B'QPONf hasta llegar al pozo, continuando después en el interior con la brújula hasta el frente de la excavación.

Si no existiera otra comunicación de los primeros trabajos con la superficie que el pozo S, habría necesidad de hacer el recorrido siguiendo el camino a, m, /, j.,y,.... hasta el centro del pozo, j

— l i o — colocar convenientemente una plomada para continuar con el teodolito desde el pozo B al pozo ^ , de igual manera que hicimos antes.

Cuando los trabajos que se tienen que recorrer con este objeto se encuentran á diferentes niveles, ya hemos indicado en otra lección la manera de proceder en la ejecución de los mismos.

\ Con estos datos transportados al plano tendremos los puntos homólogos de los a y e, para disponer como se crea más conveniente el camino que haya de seguirse para comunicar dichos trabajos.

Al conjunto de operaciones explicadas anteriormente puede llamársele también operaciones necesarias para verificar un rompimiento entre dot puntos dados, y á la línea quebrada recorrida polígono del rompimiento.

Los datos tomados para dicho trabajo se disponen en la libreta correspondiente al instrumento empleado, ó sobre el croquis, de u a modo análogo al indicado en lecciones anteriores.

124. Cálculo de las proyecciones horizontales y ver t icales de las cuerdas.—Cuando en el levantamiento de planos de minas se toman ángulos de inclinación en las cuerdas, se hace preciso, para poder trazar estos trabajos sobre el papel, calcularlas para obtener las reducidas horizontales y verticales de dichas cuerdas,

125. Tablas para calcularlas.—Entre las varias tablas que para este uso se han escrito, las de senos naturales por Mr. E. La-rrán y las de D. M. Zuaznávar, calculadas las primeras de cuarto en cuarto de grado y las segundas de minuto en minuto, son las más aplicables al objeto indicado. .

Las primeras se componen de 46 tablas ó planas, llevando en la parte superior é inferior los valores de los ángulos, variando de cuarto en cuarto de grado, como dejamos dicho antes, y en la primera columna de la izquierda la serie de números enteros de 10 á 100, expresando las longitudes medidas en metros. '

Las tablas llevan en la parte superior de cada página los ángulos de o" á 45* y en la parte inferior de 90° á 45*, de modo que cada

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columna vertical lleva en sus extremos dos ángulos complementarios.

Con estas tablas se pueden calcular triángulos rectángulos donde la hipotenusa sea un número superior á loo metros ó un número decimal y el ángulo correspondiente esté apreciado en octavos de grado.

Cada tabla comprende dos páginas, á continuación una de otra, conteniendo, como hemos dicho, los números enteros de lo á lOO. Estos números van colocados en la columna titulada Números, á la izquierda de cada página. La página de la izquierda contiene la serie de números enteros de lo á 55. y la de la derecha la serie de 55 á loo.

Cada página está dividida en cuatro columnas principales de arriba á abajo, en las que se encuentra el ángulo expresado en grados, cuartos, medios grados y tres cuartas partes de grado. Cada una de las columnas principales está así dividida en cuatro pequeñas columnas, comprendiendo los cosenos y senos y las diferencias respectivas con la columna principal que está inmediatamente á la derecha.

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La columna principal á la derecha de cada tabla contiene la diferencia del coseno y seno de esta columna con las de la primera columna principal de la tabla siguiente.

Dicho lo anterior, pocos ejemplos bastarán para familiarizar al lector con el uso de estas tablas.

PRIMER EJEMPLO.;—Supongamos que se quieren encontrar los valores de los dos catetos CA y BA del triángulo rectángulo ABC (fig. 76) valiendo la hipotenusa BC 35™ y el ángulo agudo BCA ao°.i5'.

Se buscará la tabla que tenga en su parte superior 20" y sobre la línea horizontal del número i5 tomado en la columna de la izquierda se seguirá hasta la intersección de esta línea con la columna principal vertical que está encabezada con 20* */^, dando, por tanto, 32'".84 y i2">.io para dichos lados. El coseno es la horizontal calculada y el seno la vertical.

SEGUNDO EJEMPLO.—Si la hipotenusa vale 68™ y el ángulo 84**/*

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se buscará la tabla que en su parte inferior lleve 84' y se tomará en la página de la derecha, y siguiendo la línea horizontal del número SS"» y la intersección de las dos, nos dará 67'".7i y 6"".22, que son respectivamente la vertical y la horizontal calculada.

TERCER EJEMPLO,—La longitud 345"".73 y ángulo 58°»/,. Se descompondrá la longitud en 100™ X 3 -H 45™ -ho"».73 y los cálculos se dispondrán como sigue: ioo'nX3=3oo'":sen 58<'.45'X3 =256'" 47:cos.58"'.45'X3=-i55'n.64

45™ = 38.47 23.34 o«>.73 = 0.6241 0.3787

345"i.73 =295'".564i i79'».3587 Con objeto que puedan estar bajo el donginio de estas tablas

los resultados de números inferiores á io">, se multiplicará por 1.000 la parte decimal de una longitud tal como Sn'.og, y por 10 la parte entera, colocando después convenientemente la coma.

CUARTO EJEMPLO —La longitud S^-og y ángulo 25°. Se multiplicará 5 y 0.09 por 10 y i.ooo respectivamente, y se

obtendrán 5o y 90, números que se encuentran en las tablas. Longitud 5o'" COS. 25° —45™.32 sen. 25° = 21 . i3

id. 90™ 81 57 38.04 dividiendo los primeros valores por 10 y los segundos por i .000, aetá

5'".00 COS. 25° —4'".532 sen. 25' —2™.ii3 o . 0 9 O . 08157 o .03804

Suma—5™.09 4'n.6i357 2'>'.i5io4 Estos ejemplos resumen todos los caso9>que se pueden presen

tar en los levantamientos de planos de trabajos secundarios, sirviéndose de la brújula suspendida.

Las tablas de O. M. Zuaznávar forman un volufnen de 460 paginas y contienen las proyecciones horizontales y verticales desde uno á diez metros de longitud, calculadas de minuto en minuto.

Gtiando se trata de la unidad, las proyecciones tienen cuatro decimales y tres, aunque apreciada la cuarta. Cuando las líneas

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de operación son 2, 3, 4, etc., metros, lo cual permite extender el uso de estas tablas á líneas que tengan 100" de longitud, dando las provecciones con dos decimales.

Para los ángulos menores de 45°, los grados se hallan en la parte superior de las páginas y los minutos en la primera columna de la izquierda indicada M; para los ángulos superiores á 45°, los grados se hallan en la parte inferior y los minutos en la primera columna de la derecha, entendiéndose al objeto subdividida cada columna en dos.

El manejo de las tablas en sencillo y á primera vista se observa que, para buscar, por ejemplo, las proyecciones horizontales y verticales de una línea de un metro de longitud inclinada o°.25', basta abriendo por la primera página hallar en la primera columna de la izquierda el número 25; se verá á su derecha i'".0000 como proyección horizontal, y oin.oojS como proyección vertical.

Si se buscan las proyecciones de una línea de un metro de longitud inclinada 89°.35', complemento de o°.25', se encontrará en la misma página, pero en la columna de minutos de la derecha y á la izquierda de la cifra 35 las mismas cantidades, si bien cambiadas, es decir, o'".0073 para proyección horizontal y i™.oooo para proyección vertical.

Supongamos que la línea de operación tenga 100™ y admitamos también que el ángulo sea de o™.25'; hallaremos en la misma página y á la derecha del número 25, pero corriendo la coma dos lugares á la derecha, la cifra ioo™.oo para proyección horizontal y o™.73 para proyección vertical. Si en lugar de 100™ fuera o™.i ó o™.oí, sería preciso correr la coma á la izquierda uno ó dos lugares.

Para obtener las proyecciones de una línea de 38™, por ejemplo, inclinada cualquier número de grados y minutos, se buscarán primeramente las proyecciones horizontales y verticales de una línea de SC", en seguida las de una línea de 8"': su suma sería las proyecciones de la línea de 38 metros.

126 . Gilculo de las proyecciones por las tablas de logarít-m o s . ^ P a r a obtener las reducidas por medio de las tablas de lo-

— 114 — garittnos se procederá del modo explicado para la resolución de un triángulo rectángulo cuando se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.

Propongámonos para mayor claridad el ejemplo siguiente: Sea (fig. -jj] ABC un triángulo rectángulo donde la hipotenusa vale 12"'.35 y el ángulo agudo BCA = ic/'.^f.

Tenemos BA = BC. sen. C y CA == BA . eos. C; ó bien BA = 12"'.35 X sen. i9°.37' y CA = i2"'.35 X eos, if.S/.

DISPOSICIÓN DEL CÁLCULO

Log. 12.35= 1.0916670 Log. J2™.35= i.0916670 Log. sen. i9".37'== 9.5259844 Log. eos. 19°.37'= 9.9740324

Log. ^ J . = 10.6176514 Log. (7.4 = 11.0656994 Vertical BA —4™. 146 Horizontal CA «= 1 i"n.633.

De una manera semejante se procede en todos los casos. Como se ve, este procedimiento es demasiado largo aun en

levantamientos de poca longitud, por lo que se deben emplear las tablas antes descritas.

— l i s —

LECCIÓN DECIMA

Traiado gráfico.—Transportador.—Uso del transportador,—Orientación de los planos.—Construcción de un plano levantado con la encuadra.—Construcción de un plano levantado con la pantómetra.—Construcción de un plano levantado con brújula.—Construcción del plano de un establecimiento minero.—Dis» posición del trarado de los trabajos hechos para efectuar un rompimiento entre dos puntos dados.

127. Trazado gráfico. — Ya dejamos expuesto en lecciones anteriores las diferentes operaciones que hay necesidad de ejecutar para obtener los datos necesarios para la construcción del plano. Mas ahora es necesario aplicar á cada instrumento empleado el método que más convenga para el trazado sobre el papel, y que estará en relación con su grado de exactitud.

Los métodos empleados se reducen en conjunto á dos: método ordinario ó gráfico y método de tres planos cooordenados ó numérico.

El primero se funda en el siguiente principio: Un punto dado en el espacio está completamente determinado con relación á otro punto tomado como origen, cuando se conoce la dirección magnética ó verdadera de la linea que une estos dos puntos., su diferencia de niveljr la longitud horizontal de dicha línea.

128. Transportador.—Consiste este instrumento en un círculo de metal ó talco dividido generalmente en grados y medios grados sexagesimales desde o" á 360", habiendo otros, aunque no tan generalizados, divididos en 400 partes ó grados, correspondientes éstos á la división centesimal de la circunferencia.

129. Uso del transportador.—Se emplea en el trazado gráfico para transportar sobre el papel los ángulos que con los instrumentos se han medido en el terreno.

130 . Orientación de los planos,—Cualquiera que sea el método que se haya empleado para tomar en el campo los datos necesarios á fin de tener los medios suficientes para construir en el

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papel el plano del polígono en el terreno, habremos conseguido obtener siempre la posición relativa de los puntos vértices del polígono.

Para tener la posición absoluta es necesario conocer la dirección que en el terreno tiene uno de los lados del polígono ú otra recta cualquiera relacionada con él.

Cuando se ha determinado la dirección dé una línea ó se ha trazado la meridiana pasando por uno de estos puntos, se dice que el plano está orientado, y esta operación se conoce con el nombre de orientación del plano.

1 3 1 . Construcción de un plano, levantado con la escuadra.—Sobre un solo eje.—En una recta indefinida (fig. 62 bis) y en la escala correspondiente ó adoptada se ¡jtomará una distancia a'E', cuyo valor numérico sea igual á la base ó eje de abscisas <j£ (fig. 62j, fijando sobre ellas los pies de las ordenadas, en cuyo puntos se levantarán perpendiculares de una longitud igual á la de cada una en el terreno, y sus extremos serán los vértices del polígono, que, unidos por rectas, nos darán el polígono pedido.

Si se hubieran empleado varios ejes coordenados, se procedería por fijar dichos ejes formando los ángulos que ellos formen entre sí, procediendo luego de igual manera sobre cada eje, que se hizo en el caso primero.

132 . Canstruccióa de un plano levantado con la pantómetra.—Método de rodeo.—Sobre una recta indefinida {úg. 63 bis) colocada convenientepiente en el papel, se tomará una distancia A'B' en la escala del plano, igual al valor del lado AB (fig. 63) en sus extremos se construyen con el transportador dos ángulos iguales á los en .á y ^ del terreno y sobre cada una de estas direcciones se toman distancias iguales á los valores de los lados A G y BC. En ¿7 se construye un ángulo igual al del terreno y sobre el otro lado de este ángulo tomo una distancia igual al valor del lado CD., y así sucesivamente hasta llegar al punto de partida.

Método por radiación.—En el papel y en el sitio conveniente (fig. 64 bis) se eligirá un punto H homólogo del H del terreno (fig. 64), y fijando sobre este punto el centro de un transportador

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(orientado próximamente), se marcarán el cero y demás lecturas que en el registro de campo ó sobre la misma figura nos hayan dado las direcciones de las líneas HA, HB,.... tomando sobre las rectas que unen estos puntos con el punto / / , y á partir de este punto, distancias iguales respectivamente á los valores de las HA, HB,.. del terreno, y sus extremos nos darán los vértices del polígono que se pide, los cuales, unidos por rectas, resolverán el problema.

Método por intersecciones.—Sobre una recta MN' colocada convenientemente (fig. 65 bis) y que representará la MN (fig. 65) elegida como base en el terreno, se tomará una distancia igual al valor de ésta y en la escala elegida; en sus extremos se construyen ángulos iguales á los i, 2, 3, . . . . y i ' , 2', 3 ' , . . . . y las intersecciones respectivas de estos segundos lados nos darán los vértices del polígono homólogos á los del terreno; uniendo estos vértices por medio de rectas tendremos el polígono pedido.

1 3 3 . Construcción de un plano levantado con brújala.— Antes de pasar á ocuparnos del desarrollo de los trabajos hechos con brújula en cada uno de los casos explicados, es conveniente hacer una advertencia importante para llevar á cabo esta clase de trabajos.

Al transportar el rumbo de una recta tomada en el terreno, después de hacer coincidir la línea O — 180° del transportador con la meridiana magnética, deberán contarse en el transportador los grados y minutos de este rumbo, tomándolos en sentido inverso á como se tomaron en el terreno con el instrumento; es decir, que si el limbo de la brújula está dividido en sentido directo, se tomará el valor del ángulo ó rumbo en sentido inverso.

Para demostrar esto basta observar que en el terreno hacemos coincidir latinea O— 180°, ó sea laiV , S, del instrumento con la visual, y la lectura del rumbo ó extremo del arco se verifica en la Intersección del limbo con la meridiana magnética que determina la aguja al quedar libre, en tanto que en el papel se coincide la línea O — 180° del transportador con la meridiana magnética, y

— i i 8 — la lectura del rumbo ó extremo del arco nos determina la dirección de la visual.

Hecha esta aclaración, pasaremos á ocuparnos del desarrollo del trabajo de brújula en cada caso.

Método de rodeo.—Elegida la escala del plano se elige en el papel convenientemente el punto A' (tig. 66 bis) homólogo del A del terreno (fig. 66), y se traza por dicho punto la meridiana mag« nética iVS, que debe, siempre que sea posible, quedar sensiblemente paralela á dos lados opuestos del papel, trazándola en sentido oblicuo á dichos lados, cuando así conyenga para la situación del plano con relación al papel de que se disponga. Después se coloca el centro del transportador sobre el punto .á'J de modo que la linea O — 180° coincida con esta línea; se toma á partir de cero, como queda dicho, el rumbo (anotado en la libreta ó sobre el croquis) del lado AB, marcando sobre el papel, en el extremo del arco y con números pequeñitos, el valor angular 76" correspondiente á dicha línea, marcando de igual manera los demás antes de mover el iranspoitador, siempre que los rumbos no sean muchos ó las longitudes de estas líneas sean demasiado grandes, pues haciéndolo así se evitan los errores que produce la estación del transportador en muchos puntos.

Después de terminada la operación de marcar sobre el papel los valores angulares correspondientes á los ángulos que las rectas del polígono forman con la NS, se une el punto marcado 76° con el de estación del transportador, con lo que tendremos la dirección del lado AB, al que se le dará la longitud correspondiente para tener sobre el papel el punto homólpgo del B del terreno. Hecho esto, se transporta con las plantillas al punto h o mólogo del B la línea que determina el punto marcado 137°.43' con el centro anterior, determinando así la dirección del Xa^áoBC, continuando de igual manera hasta cerrar el polígono, llevando úempre cada una de las líneas que determinan los diferentes pantos marcados sobre el papel con el centro del transportador al extremo de la anterior, para ir determinando la dirección de la linea siguiente.

— 119 — Las visuales dirigidas ai punto interior del polígono son tra

zadas de igual modo sobre el papel, dejándolas indefinidas, debiéndose cortar todas en un solo punto, que será el homólogo del o del terreno.

Método por radiación.—Trazada la línea NS (fig. 67 bis) sobre el papel, se elige convenientemente en esta línea un punto que será el homólogo del o del terreno (fig. 67);"se coloca en este punto y haciendo coincidir con dicha línea la o — 180° del transportador para determinar sobre el papel los puntos cuyos valores angulares son a.¿>.c,... que las líneas OA, OB, OC,... forman con la meridiana magnética.

Por dichos puntos así determinados y por el centro se trazan rectas indefinidas, tomando después y á partir del punto homólogo del o del terreno distancias iguales á los valores de cada una de las alineaciones, valores que se encontrarán anotados en el registro en el lugar correspondiente ó sobre el croquis. Uniendo los puntos determinados por rectas tendremos el polígono pedido.

134 . Construcción del plano de un establecimiento minero.—Tomada en una recta (fig. 74 bis) convenientemente orientada la magnitud que en la escala elegida ha de representar la base, se construyen sobre ella los triángulos de qué forma parte, empleando las magnitudes halladas para los lados correspondientes á cada uno, y sobre ellos se construyen del mismo modo los triángulos á que sirven de bases, continuando así hasta haber fijado la posición de todos los vértices del canevas trigonométrico.

Una vez terminada esta operación, se procederá á la colocación de los detalles interiores sobre el plano, siguiendo el mismo orden que se siguió ai tomar los datos en el terreno, es decir, empezando por fijar aquellos más principales, como son concesiones, caminos, arroyos, etc., etc., haciendo para ello uso del procedimiento explicado en k presente lección, según el método seguido en el terreno para su determinación.

Así, para fijar sobre el plano la parte de población (fig. 74)., se

— I 2 0 —

partirá de los vértices O y C, así como del extremo B de la base, puntos antes determinados sobfe el plano, trazando las líneas homologas de las Ba\ dd\ etc., cuyas direcciones y longitudes tomaremos del registro de la misma figura, determinando sobre el papel la posición de los vértices d', a', etc., de los polígonos que circunscriben las manzanas de casas, continuando del mismo modo hasta fijarlas todas, así como los demás detalles que hubiera en los alrededores.

De igual manera y partiendo de los vértices g y j , puntos determinados con anterioridad, se procederá á fijar la Quinta y caminos, determinando por radiación desde cada estación puntos que serán los homólogos de los de los ángulos de las propiedades.

De este modo los errores cometidos con el empleo de los métodos de levantamiento de planos, explicados en la lección 6.*, se atenúan y reducen á cero de vértice en vértice, siendo los errores tanto menores cuanto más próximos se encuentren unos de otros dichos vértices.

135 . Disposición del trazado de los trabajos hechos para efectaar un rompimiento entredós pantos dados.—Habiendo

- explicado antes las operaciones que se hace necesario ejecutar para poner en comunicación dos puntos determinados, se reduce esta operación á trazar sobre el plano el camino que se haya re-Corrido con aquel objeto y del modo que ya sabemos hacer, determinando de esta manera los puntos extremos, y entre los cuales se hace sobre el plano el trazado que más convenga, pudiendo ser si los puntos extremos son a y e ffig. 75) el camino a'b'c'd'e y si los puntos son e y Hsl Hm"e.

En el primer caso, el camino elegido cíb'c'd'e comprende dos partes, una recta áb' y otra curva b'c'de, y en el segundo caso solamente comprende una curva. En las partes curvas, como se ve, se inscribe una línea quebrada para después ir llevando éstas al terretio, debiendo ser tanto menores dichas líneas cuanto mes queramos que la curva resulte más aproximada.

121 —

LECCIÓN UNDÉCIMA

Trazado de las proyecciones horiiontales y verticales de las excavaciones —Modo de representar los diversos pisos de una mina en la planta y en los cortes verticales.—Inconvenientes del trazado gráfico.

136. Trazado de las proyecciones horizontales y verticales de las excavaciones. —Después de calculadas las proyecciones horizontales y verticales de las cuerdas, y una vez colocados sus valores numéricos en el registro en el lugar correspondiente, se procede á transportar sobre el papel los diferentes puntos de -terminados en el levantamiento del plano.

Habiendo explicado la manera de construir sobre el papel el plano de un polígono, cualquiera que haya sido el instrumento empleado en el levantamiento, poco habremos de añadir para la construcción del plano de los trabajos del interior de las minas.

Esta operación la dividiremos en dos partes que cada una corresponderá respectivamente á las dos en que también se ha dividido el levantamiento de aquel: construcción del plano cuando el trabajo se ha hecho con teodolito y construcción del plano cuando el trabajo se ha hecho con brújula. •

Para la primera parte, y después de establecida la primera línea sobre el papel, que habrá sido situada en el mismo por el ángulo que forma con la línea N-S convenientemente colocada, se hará estación con el transportador en el extremo de dicha línea tomado como centro, quedando el cero para atrás-, se hace bien la coincidencia de dicha línea con la O — i8o° del transportador; se cuentan los grados y minutos correspondientes al primer ángulo tomándolos del registro ó libreta y se aprecian los minutos á ojo si el transportador no los señala sobre la graduación que corresponda al lado que se encuentre el ángulo, marcando, por último, con un lápiz (bien afilado) el extremo del arco corres-* pondiente al mismo.

— 122 —

Después con las plantillas se une el punto determinado con el centro del transportador, con lo que tendremos la dirección del segundo lado del primer ángulo; se procederá á determinar el extremo de dicha línea, dándole la longitud que, reducida á escala, le corresponde, según el valor anotado para la misma en el lugar correspondiente del registro.

Las distancias obtenidas á derecha é izquierda en cada estación se toman sobre perpendiculares trazadas á la línea homologa de aquella á que en el terreno se hayan referido, determinando de este modo los contornos de la galería.

Después se coloca el transportador sobre esta última línea de la manera explicada para la anterior, continuando en lo demás de la misma manera. '

Cuando en una estación concurran varios ángulos, como ' sobre el terreno se ha,brán tomado éstos referidos todos á la visual

dé atrás, se irán formando dichos ángulos sobre el papel sin variar la posición del transportador, escribiendo sobre el papel y en el extremo del arco que corresponde á cada ángulo el valor numérico que le corresponda. Después se unen por una línea ligera-

. mente ondulada los puntos que corresponden á los ángulos de las galerías, quedando, por tanto, dibujado el cotltorno de los trabajos.

En la segunda parte, y después de elegida convenientemente la posición de la línea N-S se procederá de la manera *"xplicada en la lección décima para la construcción sobre el papel de los puntos y líneas determinados para construir el plano cuando los trabajos se han hecho cpn brújula.

137. Modo de representar los diversos pisos de nna mina en la planta y en los cortes verticales.—Ya hemos explicado (lección 6.*, 96 y 97) el objeto de los planos de mina á la vez que hemos expuesto también las aplicaciones que más generalmente tienen; por un to , la manera de representar sobre el papel las excavaciones, debe ser por cortes ó planos horizontales, longitudinales y transversales.

Los cortes longitudinales siguen la inclinación de la capa ó fildo que se explota, proyectada siempre sobre un plano vertical.

— 123 — Supongamos (fig. 8o) que MN representa un filón inclinado

entre 45° y la vertical, y ^ , 5 , 6', tres galerías de dirección, constituyendo estas cada uno de los pisos 3.°, 2.° y i.°

En este supuesto, la manera de representar estos trabajos es la siguiente:

Un plano ó sección horizontal según cada una de las líneas j y , x'y\ x"y" en toda la extensión del filón, un corte longitudinal según M'N y desarrollado según los ejes de las galerías de dirección, á la vez que proyectado sobre dcba^ y cuantos cortes transversales sean necesarios, según la mayor ó menor inflexión de la caja del filón, y semejantes al que representa la fig. 80.

En las minas de hulla de la cuenca carbonífera de Bélmez (Córdoba), en la parte que de dicha cuenca explota la Compañía Hullera y Metalúrgica, no se sigue en rigor lo explicado anteriormente para la representación de los trabajos.

Estando los pisos establecidos de 8 en 8" de altura y teniendo siempre trabajos en dos macizos contiguos, se llevan para representar aquéllos: un plano de superposición donde están trazados los tres pisos principales que comprenden los dos macizos antes dichos, con objeto de ver la relación que guardan entre sí; tantos planos horizontales parciales como pisos intermedios de altura de 2'" resulten en uno ó en los dos macizos, según se exploten uno ó ambos á la vez, y una proyección vertical de todos los trabajos reunidos.

Las figuras 78 y 79 representan la superposición y corte vertical de una de las capas que se explotan en la actualidad.

En las minas de mercurio de Almadén se llevan para representar los trabajos un corte ó sección horizontal de cada piso, tres cortes longitudinales desarrollados según los ejes de las galerías de dirección establecidas en cada uno de los tres filones y tres cortes transversales por los puntos de mayor inflexión de la caja del criadero.

Dada la importancia que se les concede á las minas de Altaa' den, y que realmente debe concedérsele, tanto por su riqtieza como por las obras de arte en ellas construidas, creemos que í t '

— 124 — lector verá con gusto que, separándonos un tanto de los límites señalados en esta obra, acompañemos los planos de que hemos hecho mención dando una ligera reseña sobre el sistema de explotación seguido para el beneficio del mercurio

138 . Método de explotación seguido en las minas de Almadén.—Todos los depósitos de cinabrio conocidos en esta comarca están constituidos por bancos de arenisca blanca ó negra, impregnada de sulfuro de mercurio rojo, y aunque se han reconocido varios por antiguas explotaciones, tan/ sólo tres forman objeto de la explotación actual de Almadén. Estos tres criaderos, cuya dirección es de NO. á SE., y la inclinación más general de 75 á 80°, son conocidos con los nombres de San Pedro y San Diego (continuación uno de otro), San Francisco y San Nicolás.

El llamado San Pedro y San Diego ocupa la posición más meridional de los tres y está constituido poruña arenisca casi blanca impregnada de cinabrio, en tal abundancia, que sus minerales son generalmente de un hermoso color rojo de bermellón, presentando diferentes tránsitos de riqueza, no sólo en sentido longitudinal de los criaderos, desde la porción de Poniente -de San Pedro, donde es más rico, hasta el extremo de Levante de San Diego, donde acaba por esterilizar lentamente, sino de Norte á Sur, en cuyo sentido estas variaciones son más intensas.

A los 26 metros de San Pedro y San Diego en dirección NE., se encuentra el criadero de San Francisco, y separado de éste por un intermedio de cuarcita de 6 á 8 metros el llamado San Nicolás.

Ambos están formados por areniscas d ; color negruzco, tan dura y compacta como la de &in Pedro y San Diego, pero impregnada de cinabrio con más irregularidad y menos abundancia que en éstos.

Estos criaderos comunican con la superñcie por medio de tres pozos verticales, que se distinguen con los nombres de San Miguel [ñg. 81), situado en la extremidad Este de los criaderos-, Éan Aquilino, situado en el extremo opuesto, y San Teodoro, que aunque no ocupa una posición media entre los dos anteriores, no

- I2S -deja de estar colocado de una manera conveniente, como pozo principal de extracción y desagüe.

Estos tres pozos se comunican entre sí y con los criaderos por medio de galerías en estéril y de dirección en el mineral, formando hoy 11 pisos, siendo la distancia vertical media entre ellos de unos 30"^ medidos en el pozo de San Teodoro, el cual, incluyendo I o"' de caldera que para depósitos de agua tiene por bajo del nivel del undécimo piso, alcanza una profundidad total de 322™.23.

El pozo San Miguel baja lo™ por bajo del undécimo piso, y San Aqtiflino 8 del nivel del décimo piso.

El método de explotación que actualmente se sigue en Almadén es debido al Ingeniero de minas D. Diego de Larrañaga.

El carácter distintivo de este método consiste en el empleo de la mampostería como fortificación permanente para impedir los movimientos de los respaldos de los criaderos después de arrancados éstos, en sustitución de los estemples y arcos de fábrica que venían empleándose en la fortificación, y que á consecuencia del aumento sucesivo del espesor de las capas de cinabrio cada vez llenaban peor las condiciones á que debían satisfacer, con perjuicio de la seguridad de la mina.

En el método seguido hoy calificado de labor mixta, por practicarse en él tanto la labor en bancos como en testeros y á través, los trabajos preparatorios de la explotación de cada tramo ó intermedio entre dos pisos consisten: i.°, en una galería abcde, que partiendo del pozo San Teodoro vaya á cortar los criaderos en el nivel á que se quiera establecer el piso inferior; 2.°, en una galería de transportes MNOP abierta en el intermedio estéril que separa el criadero de San Francisco, de San Pedro y San Diego, paralelamente á ellos en casi toda su corrida y que comunica por su extremo de Levante con el pozo San Miguel y por el de Poniente con el pozo San Aquilino; 3.°, en galerías de dirección ÁBCD, A'B'C'D', A"B"C"J)'\ excavadas sobre los criaderos en su pane central, al mismo tiempo que pozos x, y, ¡j, (fig. 82} abiertos de 40 en 40"' próximamente, según la inclinación de los criaderos,

— 136 — desde el piso superior del tramo, con objeto de comunicar estas galerías con las respectivas de aquel piso.

A la galería á través que parte del pozo San Teodoro, y á la de transpone, abiertas en estéril, se le dan las dimensiones 2<".40 de ancho por 2"'.5o de alto, á fin de colocar en ellas dobles vías; y á las demás 2 metros de ancho por 2 de alto, y á los pozos de comunicación abiertos en el criadero 3 metros de largo por 2 de ancho.

Para formarse una idea clara del método de explotación de Almadén, lo consideraremos dividido en tres períodos ó épocas bien distintas, por más que no se guarde -una sucesión rigurosa en ellas.

En la primera época se arranca la zona ó«faja central del criadero en el sentido de su dirección y su altura hasta el piso inmediatamente superior.

En la segunda época se explotan en sentido transversal columnas alternantes de las fajas ó zonas laterales; esto es, inmediatas á los respaldos que en el primer período se dejaron cortados.

En la tercera época se derriban las columnas ó primas que en el período anterior se dejaron cortadas.

PRIMERA ÉPOCA.—Los pozos abiertos en el mineral de 40 en 40 metros, siguiendo la pendiente del criadero y que llegan á comunicar con las galerías correspondientes del piso inmediato inferior, producen la división en macizos de la zona central del criadero, procediendo al arranque de esta zona por medio de la labor á testero ó realce, partiendo de los bordes inferiores m, m,... de dichos pozos.

Gomo estos macizos centrales tienen *el ancho de los pozos y de las galerías que los cortan, los testeros t, í,... y realces se llevan con el ancho y alto de 2 metros, y á medida que los primera-mente puestos se alejan de los pozos de donde arrancaron una distancia conveniente, se ponen otros nuevos.

El avance de los testeros aumenta la superficie de las zonas laterales que resultan aisladas ó cortadas, las que se sostienen en su posición por medio de estemples fuertes de encina ó roble, sobre

— 127 —

los que se arman encamaciones n, o, p,... que sirven de piso para el trabajo de los testeros. Algunas veces si el mineral es de escasa ley, se dejan llaves que tienen por objeto mantener la separación de las zonas laterales con mayor seguridad que los estemples.

Antes el arranque de la zona central se hacía con labor á ¿an-cos partiendo de los bordes superiores en vez de partir, como se ha dicho, de los inferiores; pero á pesar de que la labor de testeros es más costosa que á bancos, se ha dado la preferencia á aquél por ofrecer, aparte de otras ventajas, más seguridad para los trabajadores que se encuentran cobijados por un macizo natural y no en medio de un hueco cuyas paredes tienden constantemente á aproximarse y á caer.

En caso de necesidad, sin embargo, puede combinarse la labor á testeros con la labor á bancos de arriba á abajo sobre el macizo que se quiere arrancar. En la forma indicada pueden excavarse la zona central de cada macizo en toda su altura; pero la conveniencia de atender á la fortificación permanente desde el momento que sea posible obligan á emprender antes de acabar esta labor la déla

SEGUNDA ÉPOCA.—En ésta se arrancan las zonas laterales de mineral que quedan después de explotada la zona central por medio de labor á través (fig. 83) y se procede de la manera siguiente:

A unos 2 Y, d 3'" sobre el piso del plan inferior y correspondiendo venicalmente con las columnas de mampostería de arriba, se abren galerías ab en sentido transversal á la dirección del criadero hasta llegar á los respaldos de éste.

Estas galerías tienen de alto 2'" y 3"».4o de ancho, y en cada zona cada dos galerías contiguas están separadas por un espacio del mismo ancho de ellas; una vez llegados á los respaldos del criadero se labran en ellos dos los arranques para un arco de ladrillo mphq, cuya cuerda sea perpendicular á la estratificación de los respaldos, que cuando ofrecen alguna inclinación obligan á hacer los arranques á diferente nivel, y entonces se llama rafa al más bajo de ellos y cabeceadero al más alto; en estos arcos la sa-gita tiene generalmente cierta relación con su espesor.

— 128 — Sobre estos arcos, llamados fundamentales, y de los que los hay

con luz de 12, 14 y 18 metros, se continúa excavando el mineral de las zonas laterales con labor á testero en el ancho de 3'".40 y el alto de i^.So á i™.8o que puede un hombre alcanzar con comodidad, y una vez llegados á los respaldos estériles, se procede á rellenar con mampostería los huecos resultantes, construyendo macizos de fábrica sobre los arcos fundamentales en toda la distancia que media entre los respaldos del criadero.

En estos macizos de fábrica, que vienen á formar pilares de mampostería que alcanzan de un piso á otro, se dejan de distancia en distancia huecos r, s', ^, que, correspondiéndose en el mismo nivel en todas las obras y unidos por encamaciones, forman medios pisos. , '

Los arcos fundamentales no se construyen tan sólo formando cielo á las galerías de plan, sino que se suelen establecer además en cualquiera punto intermedio entre dos pisos ó planos inmediatos ó contiguos, con el objeto de no gravar todo el peso de la obra sobre el arco del cielo.

Los macizos ó pilares de mampostería se construyen hasta recibir los arcos del piso superior, quedando empotrados en ellos los arcos que en el intermedio se hubieran construido.

Las obras (que así se llaman esios pilares) ó muros se distinguen con los mismos signos que sus correspondientes verticales, y así se dice i. ' , 2.*, 3.*, etc., obras á Levante ó á Poniente en cada uno de los planes.

Una vez que con las obras de un tramo se ha llegado á recibir las superiores, ofrece esto el aspecto de una serie de pilares alternados de mamprostería y de mineral, y él arranque de estas columnas, llamadas reserpas, que están sostenidas en su posición por los estemples que en ellos se apoyan y por el engrane de las obras contiguas, es lo que constituyen la tercera época del método de Larrañaga.

TERCERA ÉPOCA.—El arranque de las resurvas se hace siempre de arriba á abajo en forma de banco, y estando estos pilares prismáticos cortados por tres de sus caras laterales y no muy adherí-

— 129 — dos al respaldo, sobre lodo cuando éste es pizarra, resulta esta labor la más económica de cuantas se practican en Almadén.

Cuando el hastial es de pizarra, se hace preciso á veces sostenerlos para que no se caiga sobre los barreneros que arrancan la reserva, y esto se acostumbra á hacer, ó bien revistiendo su superficie con tablas que se mantienen aplicadas contraía roca recuñán-dolas sobre palos horizontales, ó bien revistiéndolas de muros de fábrica que se construyen sobre arcos volteados de una obra á otra, y que por tener su cuerda en la misma dirección de los criaderos se llaman arcos longitudinales.

Terminada esta breve reseña sobre la explotación de las minas de Almadén, volveremos al objeto de estas lecciones.

139. Inconvenientes del trazado gráfico.—Los procedimientos descritos para la construcción sobre el papel del plano de un polígono no son suficientes cuando se tienen que construir ángulos que tienen fracciones de minutos y segundos, por ser imposible apreciar con los transportadores ordinarios fracciones menores que 74 de grado. Por otra parte, el prolongar las líneas sobre el papel con las plantillas produce desviaciones que influven notablemente en el resultado de las operaciones.

Por tanto, para transportar convenientemente sobre el papel trabajos hechos con precisión, no se deben emplear otros insttu-mcntos que el decímetro, debiendo recurrir á un medio diferente <le los que constituyen el método gráfico ú ordinario.

Este método se apellida numérico ó de tres planos coordenados, y consiste esencialmente en reemplazar el ángulo de dirección por sus líneas trigonométricas.

— 13° —

L E C C I Ó N D U O D É C I M A

Método de tres planos coordenados.

140. Método de tres planos coordenados.—El fin principal de este método es excluir todo instrumento para la construcción de planos sobre el papel.

Está fundado en el principio siguiente: un punto en el espacio está completamente determinado con relación á otro punto tomado por origen, cuando se conocen los vaiores numéricos de las perpendiculares bajadas de este punto á tres planos que se cortan en ángulo recto en el punto de origen.

En efecto, sea B un punto (fig. 84) tomado en el espacio y A el punto de origen donde se cortan los tres planos ZA Y vertical y dirigido según la línea NS, XA Y vertical, y dirigido según la línea £ 0 , y ZAX horizontal.

Si nosotros conocemos las tres perpendiculares BC, BD y BG bajadas desde el pui>to B á los tres planos, el punto será determinado, porque para encontrarle no haremos más que construir el paralelepípedo A.,.B, llevando sobre las líneas de los planos y á partir del punto A las distancias AH, AF y AE respectivamente iguales á las BC, BD y BG.

Observemos que lar línea AB diagonal del paralelepípedo así construido no es otra que la,distancia medida sobre la cuerda tendida entre los puntos A y B,y que las líneas BG y AG son las proyecciones vertical y horizontal respectivamente y que sabemos encontrar.

Si se considera la proyección horizontal AG de esta cuerda, ó la longitud de la estación medida horizontalmente, y el triángulo AHG rectángulo en / / , se ve que los dos ángulos del ángulo recto son iguales á las otras dos líneas BC y BD que han servido para la construcción de la figura.

— 131 —

Si nosotros llegásemos á encontrar un ángulo agudo de dicho triángulo, nos será desde luego fácil determinar sus dos lados, y, por consecuencia, tendríamos las tres líneas necesarias para establecer la posición del punto B con relación al punto A.

Luego AG forma con el meridiano representado por la línea AZ un ángulo ZAG, que no es otra cosa que el dado por la aguja de la brújula ó calculado, porque es evidente que si sobre esta línea se colocara una brújula la aguja tomaría la dirección AZ y acusaría el ángulo GAZ.

En el triángulo AGF, conociendo la hipotenusa AG j el ángulo agudo A, tendremos

GF=AG, sen. A AF=AG, COS. A

Estas dos líneas se llaman respectivamente longitud y latitud^ tomando el nombre de altura la vertical calculada.

Así, para determinar las tres líneas altura, longitud y latitud para obtener la posición exacta de un pynto con relación á otro, se añade separadamente al logaritmo del largo del cordel el logaritmo seno y coseno del ángulo de inclinación; los números correspondientes dan la altura y la horizontal calculada.

Añadiendo separadamente al logaritmo de esta última línea el logaritmo seno y coseno del ángulo de dirección, se tendrán los logaritmos de la longitud y latitud del pumo B con relación al pnnto A. Los números correspondientes dan las líneas que constituyen con la altura lo que se llaman coordenadas relativas.

Mientras no se consideren los tres planos XA Y, XAZ, ZA Y mas que prolongados en un sentido, el principio que tenemos enunciado en verdad, pero los tres planos deben ser mirados como no terminados. El encuentro de estos tres planos da lugar á ocho ángulos sólidos iguales, y se concibe que varios puntos pueden caer en estos ángulos.

Hecha esta suposición se puede ver que ocho posiciones diferentes corresponden á cada punto si no se le considera más que en el valor absoluto de sus coordenadas. Para evitar confusión se ha convenido en dar un nombre á cada uno de estos ángulos, y

- 13* —

he aquí cómo se ha conseguido. Los cuatro ángulos de encima del plano horizontal se han llamado ángulos superiores y los cuatro de abajo inferiores. Los cuatro á la derecha de un observador situado en la intersección de los planos, la cara vuelta hacia el Norte, se llaman orientales; los cuatro á su izquierda occidentales; los cuatro delante de él anteriores, y los cuatro de detrás posteriores.

Combinando en conjunto estas tres series de ángulos, se deduce un nombre particular para cada uno de ellos; éstos son:

Ángulo anterior superior oriental. ídem id. id. occidental. ídem id. inferior oriental. ídem id. id. occidental. , ídem posterior superior oriental. ídem id. id. occidental. ídem id. inferior oriental. Ídem id. id. occidental. Cada punto comprendido en el uno ú otro lado de los ángu

los sólidos anteriormente dichos tiene necesidad, para que sea determinado, que se conozcan las tres perpendiculares que hemos llamado altura, longitud y latitud, á fin de que al primer golpe de vista se pueda distinguir en cuál de los ocho ángulos sólidos se encuentra el punto, habiendo convenido en aplicar el signo -h álas alturas contadas sobre el plano horizontal, y del signo — las contadas debajo de él; del signo-+-las longitudes contadas siguiendo la parte Este del plano Este-Oeste, y del signo — las contadas siguiendo la parte Oeste; en fin, de marcar con el signo •+• las latitudes contadas siguiendo la parte Norte del plano Norte-Sur, y del signo — las contadas según la parte Sur.

El cuadro siguiente, y que corresponde á la figura 85, ha sido formado después de este convenio. Cada punto corresponde á una posición cualquiera de uno délos ocho ángulos sólidos, siguiendo el origen del cuadro siguiente:

- «33

ANGi;i ,OS ALTURA LONGITUD LATITUD

M -f- -+• •+•

M. -h — 4-M, — -H 4-Ms — — 4-M, -f- -f- —

M, -h — — M, — + — M, ^ — —

Así, en el ángulo M anterior superior oriental, las coordenadas son positivas; en el ángulo M, anterior superior occidental, sólo la longitud es negativa, y así sucesivamente. Veamos ahora cómo de estos datos tomados sobre el terreno se viene á deducir el valor y el signo de las coordenadas de cada punto.

Sabiendo encontrar el valor numérico de estas tres líneas, no tenemos que ocuparnos más que en darlas signos.

Desde luego la altura ó vertical calculada será positiva cuando el ángulo de inclinación se halle por la parte superior del instrumento, ó cuando por la nivelación se haya encontrado una cota ú ordenada superior al plano horizontal de comparación, y negativa si dicho ángulo es formado por la parte inferior, ó si la ordenada obtenida por la nivelación es inferior al plano de comparación.

La inspección del ángulo de dirección (traído siempre que sea posible al meridiano astronómico) debe dar los signos de la longitud y latitud de los puntos.

Así, si se supone que la dirección observada (siempre notación inversa), está comprendida entre o y go', posición iVdela aguja (fig. 86), la extremidad 3 de la estación AB caerá en uno de los ángulos anteriores orientales; luego según el convenio he -

— >34 — cho será la longitud y latitud de estos ángulos positivos; por lo tanto, tendremos:

„ . , (Longitud -f-Prtmer cuadrante ¡ , . ,

(Latitud -f-Supongamos en segundo lugar que el ángulo observado esté

comprendido entre 90 y 180°, posición iVde la aguja (fig. 87); el extremo B de la estación AB caerá en uno de los ángulos sólidos posteriores orientales; cualquiera que sea la naturaleza de la inclinación, estos ángulos tienen para la longitud el signo -+- y para la latitud el signo — , por lo que tendremos:

Sesundo cuadrante '. . . * i Latitud^ —

Si la dirección observada ó calculada cae en el tercer cuadrante, es decir, acusando un ángulo comprendido entre 180 y 270", posición iVde la aguja (fig. 88), el extremo B de la estación AB caerá en uno de los ángulos sólidos posteriores occidentales, y se puede ver, cualquiera que sea su altura, que sus signos para longitud y latitud son negativos, por lo que podemos poner desde luego:

Tercer cuadrante \ ^ . , f Latitud —

En último lugar, si la brújula ó dirección calculada acusa un ángulo de 270 á 360°, posición A^de la aguja (fig. 89), la extremidad B de la estación AB caerá en uno de los ángulos sólidos an teriores occidentales, siendo la longitud negativa y la latitud positiva; tendremos, pues:

Cuarto cuadrante ] , r ( Latitud -f-

De modo que, resumiendo, tendremos en las cuatro posiciones:

— I3S —

CUADRANTES

^ » * — . — . —^fc ,—

LONGITUDES LATITUDES

I.° -h + 2.° -f- — 3.° — —

4-° — 4 -

Es fácil convencerse de Ja determinación de estos signos, bajando del punto B, de las cuatro figuras 86, 87, 88 y 89, frente á las líneas N— S y E — O que son las intersecciones de los planos verticales con el horizontal, las perpendiculares que representan la longitud y latitud de dicho punto, no perdiendo de vista que la longitud está contada siguiendo la línea E— O, y la latitud siguiendo la A^— S. Nosotros sabemos que la longitud y latitud de un punto, con relación á otro tomado por origen, constituyen los dos lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es la horizontal calculada ó medida, y d«l cual un ángulo agudo el opuesto á la longitud es conocido: este es el ángulo de dirección observado por la brújula ó calculado por la fórmula.

Pero como este ángulo varía de O á 360°, hay necesidid de reducirle por los ángulos superiores, y sin cambiar en nada el valor de las líneas á uno más pequeño que un recto.

Esta transformación se llama reducción del ángulo al cuadrante, y está fundada en que las líneas vrigonométricas de los ángulos suplementarios tienen el mismo valor absoluto.

Tendremos, pues, para hacer las reducciones: Primer cuadrante de o" á 90° tal como es dado por la briijula.

2." id. de go á 180" ángulo de la brújula deducido de 180°.

3." id. de 180 á 270° deducir 180° del ángulo de la brújula.

4.° id. de 270 á 360" deducir de 36D° el ángulo de la brújula.

— i3<5 — Si se consideran (fig. 90) las cuatro posiciones de la punta

azul de la aguja, se ve que el ángulo reducido al cuadrante es siempre el formado por la punta N de la aguja y un lado NS de la línea O — 180° del limbo.

Reasumamos y sea x el ángulo agudo, J) la dirección, y tendremos:

Primer cuadrante x = D 2." id. X = 180" — 2 ) 3° id. X = Z> — iSo" 4." id. x; = 36o° — D

141.—Hasta aquí no hemos considerado más que una simple estación, teniendo un punto de partida en el origen. Una estación cualquiera será calculada lo mismo, porque siempre se puede hacer que en el punto de partida de cada estación se crucen tres planos perpendiculares y semejantes á los del punto de origen.

Después de lo que precede, nosotros sabemos encontrar el valor numérico de las coordenadas, y los signos que les convienen. Cada punto estará entonces determinado tal como lo indica el principio enunciado al comenzar la presente lección.

Como el plano es una figura semejante á la del terreno proyectada sobre un plano horizontal, será necesario para construir esta figura el conocer los ángulos horizontales formados por las diversas líneas que la componen y el valor horizontal de ellas. Nosotros podemos encontrar, dadas las operaciones que hemos descrito para el manejo de los instrumentos, los medios de satisfacer á estas dos condiciones.

Los ángulos horizontales son dados directamente por el teodolito y la pantómetra, j de las direcciones observadas con la brújula suspendida ó cuadrada deduciremos el valor de estos ángulos.

La brújula suspendida ó cuadrada (para el caso de tener la galería vías) dan conocidos los ángulos que cada línea de la red levantada forgia con un plano vertical fijo (*).

(*) Se Uama plano •ettícal fijo >t de la agaja imantada, porque «apooentct que las direcciones se traosfornun todas en verdaderas.

— 137 — Siendo conocido el ángulo de cada línea con otra fija, dos

líneas consecutivas forman entre ellas un ángulo igual á la dirección de la I.* ó de la 2.* linea aumentada de 180° y disminuida de la dirección de la 2.' ó i.* línea, según que la brújula esté graduada de izquierda á derecha ó al contrario, y según que se quiera calcular el ángulo de izquierda ó derecha de estas líneas.

Las figuras 91, 92, 93 y 94 hacen más clara la explicación dada anteriormente.

En ellas representan a, la dirección de la i.* línea; b, la de la 2 ", y jf, el ángulo buscado.

De las figuras 91 y gS resulta: jc = a -f- 180' — b De las figuras 92 y 94 resulta: x = b + i8o' — a

La primera de estas dos fórmulas corresponde á la graduación directa de la brújula, y la segunda á la graduación inversa.

La relación sobre el papel se efectúa trazando líneas desde los puntos de partida de cada estación paralelas á las líneas N — S y E — O, y llevando respectivamente sobre estas líneas la longitud y latitud, teniendo presente los signos que las afectan; el encuentro de las perpendiculares levantadas al punto asr determinado dará el punto pedido.

Observemos que semejante procedimiento necesita construcciones más ó menos largas, y que un error cometido respecto á un punto se hace sentir sobre todos los que de él dependen.

Se evita este inconveniente calculando las coordenadas de cada punto con relación á tres planos fijos, que pasan por el punto de origen. Esta operación se llama suma algebraica y hace conocer el valor absoluto de las coordenadas de cada punto.

Se efectúa esta operación considerando el valor absoluto, y el signo del punto que precede, y el valor relativo, y el signo de la estación que sigue. «

Se suma si los signos son los mismos, y al resultado se le da el signo común; se resta si son los signos contrarios, y al resto se le da el signo del mayor número.

Hagamos esta operación más clara por medio de una figura. Sean OE y VS (fig. gS) las líneas de I05 planos verticales, cuya

- 138 -intersección con e] plano horizontal da el origen O, y ABCDEP los diversos vértices de un polígono, cerrándose en el punto precedente A.

Consideremos sucesivamente estos puntos, y se verá desde luego que A tiene por longitud relativa Aa, y por latitud Ab las dos positivas, por lo que este punto corresponde al primer cuadrante. Los valores absolutos son los mismos, teniendo este punto por partida el origen de las coordenadas.

El punto B tiene por longitud relativa Be, y por latitud Bd las dos positivas, correspondiendo este punto al primer cuadraa-te. Los valores absolutos son Ba' y Bb' también positivos.

El punto C tiene por longitud relativa Ce con el signo -f-, y por latitud Cf con el signo—. Valores absofutos: longitud Ca" con el signo -f-i latitud Cb" con el signo —

El punto I) tiene por longitud relativa Dg con el signo —, y por latitud Bh con el mismo signo. Valores absolutos: longitud Ba^ con el signo + y latitud Db^ con el signo —.

El punto B tiene por longitud relativa Ei con el signo —, y latitud £/• con el signo-{-. Valores absolutos: longitud .Ea^ con

'el signo — y latitud Sb^ con el mismo signo. En fin, F tiene por longitud relativa Fk y latitud Fl, ambas

positivas. Valores absolutos: Fa^ negativo y Fb"* positivo. El punto O de origen, punto de enlace del polígono tiene,

por consiguiente, longitud relativa ob^ positiva, y por latitud oa^ negativa. Valores absolutos: se reducen á cero, luego siempre que se enlace así se deberán encontrar valores absolutos tanto más débiles cuanto que el geómetra haya operado bien.

En resumen, y bajo forma deícuadro, colocamos los valores absolutos y relativos de cada punto:

- '39 —

• VALORES RELATIVOS VALORES ABSOLUTOS I — • - I I I " - — - — - 1 1 , — — ^ ^ — -

VÉRTICES i Longituil. I.atiluil. Longituil. Lalituil. - — ^ ^ - - ^ • * -—-- ——-—-- - " ^ * > —.

i -4-

o.oo

— + — + — +

0 OO 0

i -4-

o.oo o.oo o.oo'o.oo O.OO o.oo O OO 0 OO

A 1 Aa » Ab » Aa » Ab » B • Bl » Bd » 1 Ba^ » Bbi » C i Ce » » Cf Ca^ » » \Cbi D 1 * ! ^g » Dh Da" » » 'M^ E ¡ '" Ei Ej * » Ea* » Eb* F \ Fk » Fl » » Fa^ Fb- » 0 lOb^ » •» Oé' o.oo 0 . 0 0 O.OO O.OO

Observemos que los valores absolutos del punto A son iguales á los valores relativos del mismo punto, que los valores absolutos del punto B lo son respectivamente á los del punto A aumentados en los valores relativos del punto B.

La longitud absoluta del punto C es igual á la del punto 5 , aumentada de la relativa del punto C, y la latitud absoluta del mismo punto igual á su latitud disminuida de la latitud absoluta de 5 .

La longitud absoluta del punto D es igual á la del punto £7, menos la longitud relativa del punto B, y su latitud absoluta igual á la absoluta de C, mas la relativa del punto B.

La longitud absoluta del punto E es igual á su longitud relativa disminuida de la longitud absoluta del punto Z>, y su latitud absoluta igual á la de D, menos la latitud relativa del punto E.

La longitud absoluta de F e s igual á la del punto E, disminuida de la longitud relativa de F , y su latitud absoluta es igual á su relativa disminuida de la absoluta de F.

En fin, el punto O tiene por valores absolutos cero, ó bien la longitud absoluta de F, menos la longitud relativa de O, y latitud absoluta de F, menos latitud relativa de O.

— 140 — En una palabra, los valores absolutos de cada punto son igua

les á los del punto precedente, aumentados ó disminuidos del valor relativo, segiin el signo.

La relación sobre el papel de los puntos determinados por el método que acabamos de describir se efecttia de la manera siguiente:

Se trazan sobre la hoja de papel dos líneas perpendiculares indicando las NS y EO de los planos verticales, de modo que su intersección determine el punto de origen, que será convenientemente colocado para que todos los trabajos posteriores puedan estar contenidos en la hoja. Entonces basta para llevar un punto cualquiera tomar sobre estas líneas, y á partir dd punto de origen, las coordenadas de este punto, atendiendo á sus signos y reducidas estas distancias á la escala convenida; el encuentro de las dos perpendiculares da el punto pedido, que estará completamente determinado por la nivelación hecha en el sentido conveniente y que se hará preceder del signo-(-ó —, según esté encima ó debajo del plano de comparación.

Para evitar el contar desde el punto de origen para cada punto que se quiera relacionar las coordenadas que le convienen se divide la hoja en cuadrados de loo"" de lado. Bastará entonces buscar el cuadrado que contenga el punto atendiendo á los signos, llevar respectivamente á partir del ángulo más próximo al origen sobre las líneas EO y NS la longitud y latitud del punto, abstención hecha de la cifra de las centenas y de las que precedan á la izquierda; el encuentro de las perpendiculares levantadas en las extremidades de estas distancias dará el ptinto pedido.

Para operar con más rapidez, se usa un pequeño instrumento para evitar la construcción de las perpendiculares.

Consiste en un cuadrado de meul, cristal ó papel de o°>. 12 de lado y de o<".oot de grueso. Dos lados adyacentes llevan una graduación en milímetros partiendo del ángulo formado por estos lados; los otros dos opuestos están divididos en medios milímetros: la primera graduación sirve para construir la figura que se

'quiere en escala de i : looo y la segunda para la escala de i : 2000.

— 141 — Sin embargo de esto, se pueden fijar puntos sobre el plano con

dicho instrumento en una escala cualquiera. Para colocar sobre el plano con este instrumento un punto te

niendo por longitud i265'n.76 y por latitud 861^.09, prescindiríamos de las cifras que liacen 1200 y 800 unidades, teniendo, por consiguiente, que apreciar 65"'.76 longitud y 61™.09 latitud. Para esto, como hemos dicho que el papel se encuentra dividido de antemano en cuadrados de 100™ de lado, estando dichos cuadrados numerados á partir del origen, es fácil ver qué línea está marcada con 1200'" de longitud y la que lo está con 800™ de latitud.

Si suponemos que la figura 96 representa un trozo de la hoja cuadriculada, al primer golpe de vista se observa que el punto pedido es el m, que corresponde al cuadrado abcd.

La posición del instrumento (que también se llama transportador como los empleados en el sistema gráfico) es la indicada por la doble línea cuyo canto ó borde superior op se hace resbalar en el sentido ab, hasta que se coloca la división 65 más '/« de la siguiente, coincidiendo con el punto a, ó sea el ángulo del cuadrado; hecho esto, se marca con el lápiz en el lado adyacente pq un punto m, cuya distancia mpála línea que representa 800'" sea 61'".09, siendo, por consiguiente, dicho punto m el que se deseaba obtener.

Después de lo expuesto, sólo resta explicar las operaciones que se hace preciso ejecutar para encontrar la longitud y latitud de cada punto, haciendo uso de las tablas de logaritmos; pero antes observaremos cuál de las dos es siempre la mayor, resultado que depende del valor del ángulo reducido al cuadrante. Así (fig. 97):

Ángulo iV<j¿> 45° tiene longitud ¿ 3 ' > que latitud ¿3 id. Nac = 45° tiene longitud C2' =» latitud C2 id. Nad •< 45° tiene longitud </i' < q u e latitud di

La horizontal y vertical se determinan por las tablas de logaritmos, y su mayor valor lineal se conoce por la inspección del ángulo de inclinación. Así (fig. 98): Cuando el ánguloac¿>43' 'se tiene horizontal i / < q u e vertical V. Cuando el ángulo dcb=4S° se tiene horizontal H= que vertical V. Cuando el ángulo ecb<C45'se tiene horizontal / / > que vertical V".

— 142 —

LECCIÓN DÉCIMATERCERA

Cálculo de las coordenadas de puntos trigonométricos.—Efectuar un rompimiento entre dos puntos conociendo las coordenadas de éstos,—Combinación de los dos sistemas gráfico y coordenado para el levantamiento de planos.

142 . Cálculo de las coordenadas de puntos trigonométricos.—Para llevar al sistema de coordenadas un trabajo hecho con la pantómetra ó el teodolito, sé emplean varias fórmulas según los casos: si el limbo de la brújula que sirve para tomar la primera dirección ó que«compañaal instrifmento de que se hace uso y el de éste están graduados en sentido inverso uno de otro, se emplean las fórmulas D -^ A — i8o° = D' y D ^- J. 4- 180° — 360" = D', siendo preferible esta última.

Si los limbos están graduados en el mismo sentido, se hará uso de la fórmula D -+- 180" — A = D'.

En estas fórmulas representan D la dirección de la i.° línea, A el ángulo formado por las dos, y 2)' la dirección que se busca de la 2.' línea.

Dicho esto, tratemos encontrar las coordenadas de los diferentes vértices de la triangulación representada en la fig'ura 99.

Se empezará por determinar los valores de los diferentes ángulos de los triángulos considerándolos todos medidos en el sentido del primero, habiendo medido éste según esté graduado el instrumento.

Una vez conocida la dirección de la linea de base, se procede á la determinación de las direcciones (magnéticas ó verdaderas)-de las diferentes líneas que componen el canevas trigonométrico, del modo siguiente:

~ 143 — 14".15' Dirección i. ' línea ó base.

-I- 201». 9'.3o" -(- 180°

395". 24'. 3o" - 360"

35°.24'.3o" Dirección 2 / línea. 43°.26'

180°

258°.5o'.3o" Dirección 3.' línea. • 97°-38'

180°

536°.28'.3o" — 36o°

i76°.28'.3o" Dirección 4." línea. -h27i'>.i4' -t-i8o°

627°.42'.3o" — 36o°

267°.42'.3o" Dirección 5." línea. -h 68°.2o'.3o" -^ 180°

515°. 3'.00" — 36o°

156°. 3' Dirección 6." linea. -+- 298°.44' 4 - 180"

634°.47' — 36o°

— «44 — 274°-47' Dirección 7.* línea.

67°. 10' 180°

Dirección 8.* línea.

521° . 5 / — 36o"

161° . 5 / -f- 3 0 1 " .39'- 3o" — 180°

643". .36'. 3o" — 36o"

283".36'3o" Dirección g.Mínta. -f- 62°.35'.3o" + 180°

526".I2'.00" 360°

166°. 12' Dirección io.° línea. 63°.37'

180"

409°-49' •36o°

49°.49' Dirección II.* línea. 323°.47'.3o" 18o'

553°.36'.3o" 36o°

igS'.Se'.So" Dirección 12,* línea.

Cuando como en la 3.* línea se tenga por minuendo una can-Vtdad a58°.5o'.3o" menor que el sustraendo 36Í»*, queda dicho minuendo por dirección obtenida sin restarle nada.

— I4S — Para ver si la dirección i93".36'.3o" es la que exactamente co

rresponde á la última línea, se hará la siguiente comprobación. Se sumarán con el valor 1799°.21'.3o" de los 11 ángulos ob

servados, la dirección 14''. 15' de la primera línea, y de su suma i8i3°.36',3o" se restar^ 1980°, que es el producto de 180" por los II ángulos observados, debiendo quedar un reato igual á la última dirección obtenida.

Como en el caso presente ei minuendo es menor que el sus-traendo, habrá necesidad de añadir 36o° al primero, resultando una suma 2i73°.36'3o", de la cual se restará el valor 1980°, quedando, por tanto, un resto igS^.Só'.So", que es el que se debía obtener para que la operación esté bien hecha.

Observaremos, para mejor inteligencia del lector, que la brújula empleada en esta operación es directa, y el limbo del goniómetro inverso, razón por la cual, y según hemos dicho antes, se ha empleado la fórmula D -h A •+• 180 — 36o = J/ para obtener las direcciones, y que, además, estas liltímas son verdaderas por ser conocida la declinación de la brújula en el lugar de la operación.

Una vez encontradas las direcciones magnéticas ó verdaderas, se reducen éstas al cuadrante por medio de las fórmulas dadas en la lección doce, no olvidando que las direcciones que no llegan á 90° quedan como están colocándolas en el cuadrante respectivo.

Antes de hallar las longitudes y latitudes de los vértices de los triángulos se hace preciso conocer los valores lineales de sus lados; por lo tanto, colocamos á continuación los cálculos que se han hecho preciso hacer para obtener dichos valores, así como la disposición que debe darse á los datos y resultados.

10 IZX^

— 146

Triángulo núm. i.

C — 36».9'.3o

5 = 53°.3o' 4 — 90*.2o'.3o"

FÓRMULA EMPLEADA

a:h:\A : sen. J? Lado CB

log. 69.70 <=• 1.8432328 + log. sen. 9o°.2o'.3o" — 9.9999923

11.8432251 — log. sen. 36°.9'.3o" = 9.7708658

2.0723593 = log. I iS". 120 ( 7 5 = 1 1 8 » . 120

Lado A O log. 69™.70 — 1.8432338

+ log. sen. 53'.3o» — 9.9051787

11.7484115 — log. sen. 36».9'.3o" — 9.7708658

1.9775457 — log. 94'".961 JC-=94"».96r

De igual manera se harán los cálculos de los ocho triángulos de que se compone la figura, disponiéndolos sobre una hoja á

— 147 — continuación unos de otros, para después pasar estos valores al estado correspondiente.

Una vez hallados estos valores, se obtienen las longitudes y latitudes sumando con el logaritmo de la distancia el logaritmo seno y coseno del ángulo que á la misma distancia corresponde, después de reducidas las direcciones al cuadrante. De esta adición resultan dos logaritmos, cuyos números respectivos son la longitud y latitud de cada punto.

Los cálculos se disponen como sigue:

11.5664275 t= log. 36^.849 Log. sen. =» 9.3912057

(i4°.i5'j Log. i49'".7o =» 3.1752218 Log. COS. = 9.9864276

12.1616491 =• log. 145^.19

11.9778112 = log. gS'^.oig Log. sen. = 9.9917118

'(78°.5o'.3o") Log. 9 6 . 8 5 = 1.9860996 Log. eos. >=» 9.2867279

11.2728275 = I o g . i8™.742

11^9469^79 = log. 88™.509 Log. sen. = 9.7629783

(35°.24'.3o") Log. 152.76= 2.1840096 Log. eos. = 9.9111808

12.0951904 «o log. 124™.5oo

10.8139044 — log. ó^.SiS Log. sen. = 8.7887625

{d^.di'So") Log. 105.96— 2.0251419 Log. COS. = 9-9991776

12.0243195—log. io5">.75o

148

11.7258090 «= • log . 53" '.187

(87' ' .42' Log .

.3o") Log. í Log .

sen. )3.2I

COS.

e g j

9.9996525 1.7261555 8.6019130

10.3280695 ==

12.2648073 =

= log.

= Iog.

2"i.

i83

129

m.990

(76°. 23 ' . ; Log .

5o") L o g . I :

Log.

sen. 39 3i

COS. =

9.9876336 2.2771736 9.3715914

11:648765o =

11.5249677 = ~^—^ »—

= log.

:10g.

44.'

33.'

"542

"494

(23-Log.

\57 ' ) L o g . \ Log.

sen. ?2.5l

COS. =

9.6084611 1.9165066 9.9608981

11.8774053 •= log. 75."'406 1 i.3o6866o = log. 2o."'27o

Log.sen.= 9.3775493 (i3°.48') Log. 84.98 = 1.9293167

Log. COS. = 9.9872795 11.9165960 >= log. 82™.527 11.5989131 =log. 39".7ii

Log. sen. == 9 9984848 (85°.i3') Log. 39.85= 1.6004283

Log. COS. = 8.9;iiio34 io.52i53i7= log. 3m.323

11.8538457 — log. 71"1.432 Log. sen. = 9.9830341

(49°.49') Log. 93.5o = 1.9708116 Log. COS. » 9.8097182

11.7805298 = log. 60™. 329

149 — ir.3642351 = log. 2 3 » M 3 3

Log. sen. = 9.4911471 (i8°3') Log. 74.66 = I 8730880

Log. COS. = 9.9780830 11.8511710 = log. 7oni.985

11, o 197562-= log. io"'.465 Log. sen. = 9.3715914

(i3°.36'.3o") Log. 4 4 . 4 8 = 1.6481648 Log. COS. == g.9876336

11.6357984 = log. 43'".231

Una vez calculadas las longitudes y latitudes de todos los puntos, se colocarán en un estado, teniendo en consideración los signos que las afectan. Para esto se observará qué signos tiene el ángulo reducido al cuadrante y que corresponda á cada línea.

A continuación insertamos un estado con todos los datos de la triangulación y sus resultados en el lugar correspondiente, dispuestos de manera que puede servir para cuando se opera con brújula y cuando se opera con teodolito ó pantómetra.

Este se compone en conjunto de 24 coloumnas; las columnas números i, 2, 3, 4, 5, 7, 12, i3, 18, 19 y 24 sirven para eJ método gráfico, por lo que puede utilizarse dicho estado para ambos métodos

Las columnas 8, 9, 10 y 11 son para la colocación de los ángulos reducidos al cuadrante; las 14, i5, 16 y 17 para las longitudes y latitudes particulares de cada punto; las 20 á 23 inclusives para la suma de longitudes y latitudes con relación al origen de las coordenadas.

Y, finalmente, la columna 24, de mayor ,dimensión que las demás, sirve para el croquis y observaciones necesarias.

— 151 -

- ISO —

líi

CÁLCULOS D £ I-

HECHA EN LA RIBERA DENOMINADA EL GUADIAT

1.» MAÍlí^

^ANGULACIÓN

IICLlIlCllltS

1 2 3

A

AB 149.70 »

BO, 152.76 »

CD 96.85 » dB 105.9S n

Be 53.23 » cH 82.51 » Hb 39.85 » bA 74.66 X

AD 189.S1 T

Df 84.98 I

/ * 93.50

ae 44.48

titicnoiis

Anpulos obser

vados ó direcciones.

M

n 14°.15'

zoi'.g'.so* 35°.24'.30»

43.26 258.50.30

97.38 176.28.30

271.14 267.42.30

68.20.30 156.3

298.44 274.47

67.10 161.57

301.39.30 283.36.30

62.35.30 166.12

63.37 49.49

323.47.30 193.36.30

VINCIA DE CÓRDOBA, TERMINO DE BÉLMEZ

1 8 8 7

»<»• COORDENADAS J ^ I O U t i B E S DB CADA PUHTO'

Longitudes.

O.

14

95.02

53.19

39.71

Latitudes.

N.

15

36.85 88.51

6.51

33.49

23.13 183.99, »

20.27 71.43

I 10.47

16

145.19 124.50

3.32

44.54

60.33

17

18.74 105.75

2.13 75.41

» 70.98

» 82.53

» 43.23

SUMA DE LAS COORDENADAS DB CADA PUNTO AL O B i a B N

Suma de

alturas.

+ 18 19

Suma de

longitudes.

+ 20

0.00

16.34 »

22.56 »

183.42 163.15 91.72

I) 102.19

21 0.00 36.85

125.36 30.34 36.85

» 17.15

» 0.57'

Suma de

latitudes.

0.00 145.19: 269.69 250.45 145.20 143.0 67.66 70.98J 0.00

44.54 »

22.34

23

0.00

0B0QUI3

7 obstTTaeio&es.

24

A; éstremo de la base y origen de las coordenadas.

37.99

20.89

En este punto resulta una diferencia de longitud de 0.57 metros: la latitud es cero.

— 152 —

143 . Efectuar un rompimiento entre dos puntos cuando se conocen las coordenadas de éstos.—Sean A y B los dos puntos (fig. IDO), y sean sus coordenadas

A B Longitud.. . . 444 "1.20 Longi tud . . . 722'". 3o Latitud i66m.oo Latitud 'iyi"K2S Altura 463"\83 Altura 459"!.80

Empecemos por calcular cualquiera de las incógnitas, por ejemplo, el ángulo de dirección.

Se tiene para el ángulo de dirección: AC^BC X tag- -4, de donde tag. A = ^ -^ luego

AC 732.3o — 444.20 278.10 tag. dirección = -^-^ = - r-^ ^ = -^—-° BC 371.2D — 166.00 205,25

Si representamos por d el ángulo incógnito y tomamos logaritmos, tendremos:

log. tad. íí = log. 278.10 — log. 2o5.25 Cálculo.

log. 278.10 = 2.4442010 — log. 205.25 = 2.3X22832

log. tag. ¿=0 .1319178 d = 53°.34'.i5", que es el ángulo

de dirección. Calculemos ahora la horizontal del rompimiento. Por el teorema de Pitágoras sabemos que AB^ = AC^-+- BC*,

ó bien tenemos: - « « .

horizomal -=» diferencia longitudes -f-diferencia latitudes sustituyendo valores dados por el problema, tendremos:

AB* = i78.10 -I-205.25 extrayendo raíz cuadrada, resulta:

^ ^ = V 278^0^ -f- ^ . 2 5 ' ó bien

.4 i? *= 1 / 77339.61 -f-42107.36 = ^ / 119446,99

— 153 — de donde resulta:

AB = 346"'.33, que es la horizontal del rompimiento. Calculemos ahora la longitud verdadera (fig. loi) ; se tiens

por el teorema de Pitágoras: AD^ = AB--hBD^ ó bien J,£)- == horizontal -f- diferencia alturas

sustituyendo valores-particulares, tendremos: AD* = ?46.33' + ^ '

extrayendo raíz cuadrada, será:

^ ^ - = 1 / ^ 7 3 3 ' + Í ; ^ ' = y "9-960,71 de donde resulta AD== 346'".33, que es la longitud verdadera. Calculemos, finalmente, el ángulo de inclinación.

Sabemos que la pendiente entre dos puntos está expresada por

la fórmula/' = — siendo/r la pendiente, d el desnivel entre d! chos puntos y /I la distancia horizontal^ por tanto, la expresión de la pendiente será en este caso:

diferencia alturas P = ; ,

horizontal luego esta razón es igual á la tangente del ángulo de inclinación; tendremos, pues:

4i03

log. 4,o3 ologí aritmos.

" S - ^ ^ - 346.33 1 tendremos:

log. tag. ^ = log. 4,o3 —log , 346.33=1 H - C >- log. 346..

Cálculo. 33 — 10

log. 4.o3 = o.6o53o5o C> ' log. 346.33 = • 7.4605099 C> ' log.

8.0658149 — 10

log. tag. A = 2.0658149 A = o°.40'.5", que es el ángulo de

inclinación.

— »S4 —

4.o3 La pendiente por metro será — o"* .0012, y la pen

diente por 100 = o™.12. Así, para efectuar un rompimiento entre dos puntos dados,

se determinarán los dalos de la manera que lo hemos hecho en el presente ejemplo, si los puntos que se han de comunicar son ios extremos de una recta; pero si la línea del rompimiento es una línea quebrada, habrá necesidad de efectuar análogos cálculos para cada una de las líneas rectas que componen la quebrada supuesta, comparando dichos puntos de dos en dos.

Los datos reunidos del problema serán, pues: Ángulo de dirección = 53°,34'. 15" Horizontal = 346">,33 Longitud verdadera.... = 346™.35 Ángulo de pendiente.... = o".4o'.5 "

1 4 4 . Combinación de los dos sistemas gráfico y coordenado para el levantamiento de planos.—Ya hemos dicho en una délas lecciones anteriores los errores á que da lugar la construcción de un plano por el sistema gráfico; por lo tanto, para el miejor resultado de las operaciones deben combinarse los dos métodos explicados.

Cuando se trate del levantamiento de un plano general de superficie, se deben llevar al plano los puntos trigonométricos, así como otros puntos notables, por el sistema coordenado, colocando el mayor número posible de puntos por este método. Una vez que se tienen límites fijos en el plano de donde poder partir para la colocación sobre el mismo de los demás detalles, pueden trazarse éstos por el método gráfico, piies de esta manera los erro-resÁ que hemos dicho da lugar quedan tanto más débiles cuanto máfr próximas estén unos de otros los puntos colocados por el sistema coordenado.

En levantamiento de planos de minas se deben colocar sobre el plano por el sistema coordenado los puntos tomados para la determinación de las galerías principales, y por el sistema gráfico los puntos tomados para la determinación de las galerías secun-

— «55 — darlas, pues cuando como en algunas minas, por -m^°^^^' hulla s í avanza con tanta rapidez en los - b ^ ) ? - - - ^ ; sería casi imposible, y además innecesario, el poder 1 , erlo por el sistema coordenado, por las muchas operaciones y cálculos que hay necesidad de hacer para determinar los puntos.

156 -

LECCIÓN PRIMERA

Definicioces.—Superficies de nivel.—Diferencia de nivel ajuárente al verdadero.— Refracción atmosférica,—División de la nivelación con respecto á los procedimientos oue se emplean para obtener los desniveles.—Initrumentos de nivelación.—Mira de corredera ó tablilla.—Mira parlante.—Niveles.—Nivel de perpendiculo.

1 4 5 . Definiciones.—La nivelación es la pafte de la topografía que tiene por objeto hallar la diferencia de altura vertical de dos ó más puntos del espacio y especialmente de los que constituyen la superficie terrestre.

Partiendo de la hipótesis de que esta superficie es de forma esférica, se toma como término de comparación el centro de la tierra, en el cual concurren las verticales de todos los puntos que pueden considerarse.

Un plinto material recorre en su caída la línea vertical del -punta del espacio en que se encontraba al empezar su movimiento, por hallarse atraído al centro de la tierra en virtud de la fuerza conocida con el nombre de gravedad, y se dice que dicho punto material baja ó desciende cuando se acerca al expresado centro de atracción.

Pasando á considerar varios puntos, se dice que dos ó más de ellos están á igual altura ó son de nivel cuando equidistan del centro de la tierra, y que uno está más elevado que otro cuando el primero dista de dicho centro más que el segundo.

Así el punto m está de nivel con los n y s y con todos los de la superficie esférica cuyo radio es me. La diferencia de altura de los puntos my c, contada en sentido vertical, será la cantidad co— cm=os, diferencia de distancias de los puntos dados al centro de la tierra. La recta os se llama desnivel, ó la diferencia de nivel de los'puntos m y o, cuya recta os, como se ve por la fig-ura 102, no es más que la diferencia entre las distancias de dichos puntos al centro de la tierra.

- 157 — 146. Superficies de nivel.—Toda superficie esférica cuyo

centro coincida con el de la tierra, es una superficie de nivel que la naturaleza nos presenta en los lagos tranquilos, en los mares (si prescindimos de los movimientos causados por los vientos y las mareasj, y en general en la superficie de un líquido cualquiera libremente solicitado por la acción de la gravedad.

Estas superficies, consideradas en la máxima extensión de 111 kilómetros próximamente á que pueden abarcar los planos topográficos (según convenio de la mayor parte de los autores), se confunden sensiblemente con el plano tangente á la superficie esférica, el cual puede adoptarse entonces como plano de comparación al que se refieren las cotas de los diferentes puntos cuya representación geométrica nos ocupa.

147. Diferencia de nivel aparente al verdadero.—Como la naturaleza no nos presenta otras superficies de nivel que las ya indicadas y no tenemos medios de determinar las que corresponden á los demás puntos de la superficie terrestre, se ha convenido en la determinación de un plano horizontal de comparación ÁK tangente en .4, á la superficie .4.S, ó á la de su paralelo nh (figura io3).

Todos los puntos de la superficie nn'í, están de nivel verdadero con n y de nivel aparente con el mismo punto los del plano horizontal nh.

La vertical de B encuentra á las superficies de nivel aparente y de nivel verdadero en los puntos h y n', cuya distancia vlh es lo que se llama diferencia de nivel aparente al verdadero.

Designándola por x, puede hallarse su valor conociendo la distancia horizontal «A = / y el radio R de la tierra; tendremos pues:

iR-\-x:l::l:x. Dando valores particulares y despreciando A:, cantidad suma

mente pequeña comparada con el diámetro de la tierra, resulta: 12732400 : 100 : : 100 : J:

de donde x «= o'».ooo785, cantidad despreciable en las operaciones ordinarias; pero si la distancia / es de 1000'", resulta jf = o'".0785, error que debe tomarse en cuenu.

- IS8 -148. Refracción atmosférica.— Consiste el error llamado

refracción atmosférica en que las visuales horizontales^^(figura 104) que se trazan en la práctica para representar el nivel aparente, no son en realidad líneas rectas, á causa de que la trayecto-ría de la luz á través de las capas de la atmósfera, todas de distinta densidad, determinan una curva AM cuya concavidad está hacia la tierra.

Este error, dependiente de causas variables, no se ha podido calcular con toda precisión, pero sí se ha hallado un término medio ó valor empírico, pero bastante exacto, del cual resulta ser '/s de la diferencia de nivel aparente al verdadero.

Para evitar en cada caso el cálculo de las dos diferencias expH" cadas, se sitúa el operador en el punto t (fíg. io5) equidistante de los a y ¿, entre cuyos puntos se quiere hallar el desnivel; y por ser at=:tb resultará ao = bo, porque los triángulos rectángulos

' ato y otb tienen iguales sus dos catetos; luego los terceros lados ao y bo son iguales. También se consideran iguales lasj7¿ y p'^i diferencia de refracción por estar en la misma capa de aire atmosférico, y como estas diferencias entran en el cálculo con signo contrario, se obtiene el desnivel entre cada dos puntos con toda exactitud.

149. Divisióa de la nivelación con respecto á los procedimientos que se emplean para obtener los desniveles.—Se puede determinar el desnivel entre dos puntos:

I.* Por sus distancias á un plano horizontal. 2.° Por la longitud y pendiente déla recta que los une. 3." Por observaciones hechas con los instrumentos de física

llamados barómetro y termómetro. * Según se emplean cada uno de estos procedimientos, la nivela-

cióá se llamará: nivelación por alturas, nivelación por pendientes y nivelación ifarométrica.

150. Instrumentos de nivelación: mira de corredera ó de taUilla.—La mira es un instrumento que sirve para medir las distancias que separan los diversos puntos del terreno de la línea horizontal dada por el nivel.

— IS9 — Se compone la de corredera de dos reglas c y b,\a. primera de

las cuales puede deslizarse á todo lo largo de la otra, en virtud de un enlace particular representado por las partes a'b' en la sección transversal R (fig. 115); se sujetan las dos reglas por medio del tornillo t, que tiene su tuerca en la caja metálica c unida invariablemente á la regla a. Dependiente de otra caja metálica c va una chapa de hierro k, que lleva su cara anterior pintada con dos colores opuestos nn', cuya línea de separación es ú punto de mira.

La cara posterior de la regla b está dividida á partir del pie en metros, decímetros y centímetros, continuando la graduación en una de sus caras laterales v también de abajo á arriba. A estas graduaciones corresponden nonius que aprecian milímetros con el cero en la parte superior, dispuesto convenientemente en las armaduras c y c'.

El uso de la mira descrita se reduce á colocarla verticalmente en el punto cuyo desnivel con otro se quiere obtener, y corriendo la tablilla pintada hasta que la línea de mira se halle en el plano horizontal dado por el nivel, la distancia del pie de la mira al cero del nonius dará la lectura de mira.

151. Mira parlante.—Se compone de tres cuerpos de caoba a, fe, c (fig. 117), el primero de los cuales recibe en su interior al segundo b, que puede correr á lo largo de él hasta tanto que se verifica el ajuste de un botón n que lleva el cuerpo b en su par» te posterior, con un taladro n' abierto en igual cara del a; análogamente dispuesto se halla el tercer cuerpo c con el segundo b.

En la cara anterior de los tres cuerpos va grabada la escala mi-trica sobre el papel convenientemente dispuesto y preparado. LAS líneas que representan los decímetros comprenden al ancho de la regla, y su lectura se obtiene por un número rojo que se encaeo» tra debajo de aquélla y marca ó indica los metros, y el negro que está por encima y marca los decímetros. En otras miras es diferente la disposición, causa por la cual es necesario comprenderlas bien antes de hacer la lectura en ellas.

Los centímetros correspondientes á cada decímetro se encuentran marcados por rectángulos blancos y negros aiteraati'var

— i6o — mente, de modo que leyendo de abajo arriba los blancos ocupan los lugares impares. La mitad de cada decímetro va indicado con un círculo negro, y con respecto á la apreciación de los milímetros si la mira no está graduada en dobles milímetros hay necesidad de apreciarlos á ojo, para lo cual se necesita alguna prác tica.

Para hacer uso de la mira parlante se coloca verticalmeme en el punto cuya diferencia de nivel con otro dado se quiera obtener, dando á aquélla toda su altura si la del primer cuerpo no bastara y teniendo cuidado se verifique exactamente el ajuste de los botones.

La división en que se proyecte el plano del nivel será la altura pedida, obteniendo su valor por la lectura de los metros, decímetros que comprenda y la apreciación de los milímetros. Como ejemplo de lectura indicamos en la figura las alturas siguientes, que corresponden á dos posiciones diferentes de la mira; éstas sOn: para la »z = i"'.342, y para la n = o™.664.

152. Niveles.—Estos instrumentos están construidos bajo los principios siguientes:

I.° Za perpendicular al hilo á plomo es horizontal. i.° Dos puntos tomados sobre la superficie de las aguas tran

quilas determinan una recta que es horizontal. 3.° La tangente á una ampolla de aire dejada en un tubo de

cristal es horizontal. 4.° La linea que une el centro de un objeto con el de su imagen

en un espejo plano vertical es horizontal. £1 primero de estos principios ha da4o lugar á la construc

ción de los niveles de perpendículo, el segundo á los de agua, el tercero á los de aire y el cuarto á los de reflexión.

1 5 3 . Niveles de perpendículo.—De todos los niveles construidos bajo este principio, el más sencillo y'el único que se emplea en la nivelación topográfica es «1 conocido ordiiiariamente con el nombre de nivel de albañil (fig. 109).

Se compone de tres reglas de oíadera reunidas de modo que formen el triángulo ABG., isósceles ó equilátero; la regla 2> tiene

— l 6 i — señalado en su mitad un trazo rf, que se llama linea de fe, y del vértice B está suspendido un hilo á plomo, resultando de esta disposición que ¿uando se coloca el instrumento sobre un plano MNy el hilo á plomo cubra exactamente la línea de fe, los puntos ^ y C determinan una horizontal, y el plano MN estará horizontal en esta dirección.

Para verificar la exactitud de este nivel bastará asegurarse que la línea de fe es perpendicular á la AC. Luego teniendo un plano de cuya horizontalidad se estuviera seguro, bastaría colocar el instrumento sobre él y ver si el hilo á plomo caía sobre la línea de fe. Pero cuando no se tenga este plano, se colocará sobre uno cualquiera y en una dirección marcada i^iV(figura n o ) , señalando el punto d en que el hilo á plomo corta á la regla; se invertirá la posición del nivel, y si la línea de fe no estaba bien marcada, el hilo á plomo señalaría otro punto d': la bisectriz del ángulo dBd' será la verdadera línea rectificada.

Para hallar con este instrumento la diferencia de nivel entre dos puntos A Y B, se procederá del modo siguiente: se colocará 5obre el punto A una regla apoyada contra otra graduada, fija verticalmente en B, y se subirá ó bajará el extremo C de la primera, hasta que el nivel colocado en el punto medio acuse la horizontalidad. El número de divisiones de la regla vertical contadas desde su extremo B hasta la cara inferior de la regla horizontal será la diferetKia de nivel entre los puntos A y B (fig. i i i ) .

Según esto, no se puede horizontar con el nivel de albañil distancias superiores á tres metros, porque para mayores distancias, además de ser incómoda la operación, sería defectuosa y errónea, teniendo su mayor aplicación, por lo tanto, en la nivelación de terrenos muy pendientes y para las galerías muy inclinadas en el interior de las minas.

11

— I62

LECCIÓN SEGUNDA

Nivel de agua.—Nivel de aire con anteojo.—Uso.—Verificaciones y correccio-neí.—^Nivelación por altaras.—^Marcha que se signe en las operaciones de la nivelación compuesta—Cotas,—Cálcalo de las cotas.—Problemas de la nivelación por alturas.

154. Nivel de agua.—Compónese este instrumento de un tubo cilindrico de latón lá hojalata dV (fig. 112) encorvado por sus extremidades en ángulo recto, ó bien terminando en unas esferas a!b', á las que se adaptan otros dos pequeños cilindros cúf, perpendiculares al primero y terminando éstos en unos frascos de vidrio e/" de menor diámetro; en el punto medio r del tubo va soldado un eje m con juego de nuez y que termina en un mango hueco, que ha de unirse á la espiga de un trípode.

Teoría del nivel de agua.—Se. funda este instrumento en la propiedad que tiene todo liquido homogéneo de elevarse á la misma altura en los extremos de un tubo de brazos comunicantes de un mismo diámetro, como el que constituye la parte cilindrica ea'é'/* del instrumento representado en la f ígurá i i2 , y el cual suponemos lleno de líquido hasta la línea mn. Las partes ae, bj del tubo son los brazos comunicantes, y a'b' el tubo de comunicación.

Cuando los cilindros que constituyen los bra:{Os de tubos comunicantes tienen igual diámetro, el plano determinado por las superficies del agua en los cilindros es un mismo plano horizontal para todas las posiciones del aparato.

Supongámosle sujeto á girar alrededor de rt (fig. i i3j, que es el eje de rotación del instrumento, y que el giro se verifique de modo que siempre quede algo del líquido en los tubos. Sean además V y í^ los volúmenes respectivos de las partes cm y dn del l í quido contenido en ellos. ' El volumen cabd del líquido que llena el tubo de comunica-

— i63 — ctón, siendo el mismo enlodas las posiciones que se den ai aparato, la suma de los volúmenes y y v' permanecerá constante también en todas ellas.

Por otra parte, el volumen v es igual á la altura media mm multiplicada por la sección recta del tubo á que llamaremos s, y será V = 5 y^mm'.

Del mismo modo resultará para el otro tubo v'=s''X.nn\ luego tendremos

. V + í»' = 5 X " '" i ' -i- •y' X nn' y como se tiene s = s' por el supuesto, vendrá á resultar:

j> -1-v' == s [mm' -+- nn'). Como r-f-v ' es constante y lo mismo se verifica con la expre

sión s [mm' •+• nn'], en la cual s es siempre la misma, se deduce que la suma de alturas mm' -h nn' es una cantidad constante; luego mm -hnn ^ ^^ igual rí en el trapecio mm'nn también lo será, y

como i es un punto fijo, el punto r lo.será del mismo modo. Luego todos los planos horizontales determinados por las su

perficies del nivel mn en sus diferentes posiciones pasan por el punto r; luego son un solo y mismo plano horizontal.

Para obtener con el instrumento descrito el desnivel entre dos puntos A y B (fig. 114), se estaciona en C próximamente equidistante de los extremos en cada uno de los cuales se coloca vertical-mente utia mira. Las visuales dirigidas sucesivamente á una y otra mira, según una de las cuatro tangentes comunes á los anillos nn' y algo retirada del frasco octilar, darán dos lecturas Áa y Bb^ en las miras, cuya diferencia será el desnivel que se busca.

155 . Nivel de aire con anteojo.—Varios y diversos son los niveles de aire con anteojo construidos hasta el día, diferenciándose unos de otros únicamente en el mecanismo que enlaza las partes principales de que se componen.

De entre todos los conocidos, nos ocuparemos del nivel Egault.

Se compone de un anteojo astronómico AB (fig. u6 ) , el cual, descansa entre los collares b en que terminan unos soportes fijos

— 164 —•' á la regla metálica CD, uno de los cuales es susceptible de subir ó bajar convenientemente una cierta cantidad por medio del tornillo s, haciendo así variable la inclinación del eje del anteojo con respecto al plano de la regla. El anteojo puede sacarse de los collares y colocarse de nuevo en ellos invertido, para lo cual se aflojan los tornillos í», que permiten girar á unas aldabillas que dan paso al anteojo y que se vuelven á cerrar cuando éste está colocado de nuevo, oprimiendo los tornillos, que no le permiten entonces otro movimiento que el giro alrededor de su eje de figura dentro de los collares.

Puede determinarse una de las infinitas posiciones que en virtud de este giro haya de ocupar el tubo del anteojo, moviendo el tornillo a, que atraviesa un cilindro ó tambor metálico c, fijo al soporte, hasta el tope de su extremo con un prisma saliente invariablemente unido al tubo del anteojo; de esta manera puede hacérsele volver cuando sea necesario en lo sucesivo á la posición así determinada, moviéndole hasta que tenga lugar el contacto de) prisma con el tornillo.

Sobre la regla CD se halla el nivel n provisto de su tornilo r, "de corrección particular é invariablemente unido á ella, y en su

parte inferior el eje de rotación del instrumento relacionado con una plataforma de tres tornillos t con otro de presión para impediré! giro del instrumento.

156. Uso.—Para obtener con el instrumento descrito el desnivel entre dos puntos A y B (fig. 114), se estaciona en C próximamente equidistante de los extremos, en cada uno de los cuales se coloca verticalmente una mira. Las visuales dirigidas sucesivamente á una y otra mira según el plano horizontal descrito por el eje óptico del anteojo darán en ellas dos lecturas Aa y Bb, coya diferencia será el desnivel que se busca.

1 5 7 . Verificaciones y correcciones.—i.* Centración de la cerda horizontal.—Se hace coincidir esta cerda con la imagen de una reaa cualquiera que puede ser la horizontal de la tablilla de una mira, y se da al anteojo una semirrevolución dentro de sus collares, viendo si la cerda cubre en esta situación á la misma

- i6s -recta, en cuyo caso ocupará la posición de un diámetro del tubo y estará corregido: En caso contrario se hará que quede paralela á ella, moviendo la cerda por los tornillos del retículo, hasta que haya recorrido la mitad de la separación de las rectas cubiertas por ella en ambas posiciones del tubo del anteojo.

Con la mira se toman las alturas correspondientes á ambas posiciones, se marca la altura media y se lleva á ella la cerda por el movimiento de los tornillos del retículo.

2." Determinación de la posición perfectamente horizontal de una de las cerdas del retículo.—Se hace girar al anteojo alpede-dor de su eje de figura dentro de los collares, hasta que la cerda sea horizontal á la vista, y se mueve el instrumento alrededor de su eje de rotación hasta que el cruzamiento de las cerdas cubra un punto bien determinado; continuando el movimiento se observa si los demás puntos de la cerda horizontal van cubriendo sucesivamente al punto observado durante todo el tiempo que permanece en el campo del anteojo, en cuyo caso la cerda será perfectamente horizontal. Cuando esta circunstancia no se verifique, se moverá el anteojo dentro de los collares en el sentido conveniente, hasta hallar una posición en la cual la cerda cubra constantemente al mismo punto, fijando esta posición por el movimiento del tornillo a hasta el contacto indicado.

3." Horizontalidad del eje óptico del anteojo.—Se ejecuta esta operación dirigiendo la visual á una mira colocada á 200 ó 3oo"^ del punto de estación, y marcando la altura correspondiente á la graduación que cubre la cerda horizontal del anteojo, sacándole después de los collares para colocarle de nuevo en ellos invertido, y dando una semirrevolución al instrumento para dirigir la visual á la mira y ver si marca la misma altura. Si no, se corrige por la altura media de la mira y el tornillo que mueve el soporte b del anteojo.

4.* Verticalidad del eje de rotación del instrumento.—Es la misma que hemos explicado para la pantómetra en la lección 5.*

158 . Nivelacióii por altaras.—La nivelación por alturas se divide en simple y compuesta. Se llama simple cuando con una soU

— i66 — estación del instrumento se obtiene el desnivel entre dos puntos; y compuesta, cuando para el mismo fin hay necesidad de hacgr una serie de estaciones simples.

159 . Marcha que se sigue en las operaciones de la nivelación compuesta.—Para hallar el desnivel entre dos puntos A y E (fig. io6), situados de un modo tal que con una sola estación no puede obtenerse el desnivel que se busca, se hará estación en A/> colocando una mira en el punto A de partida y otra en un nuevo punto B, cuyo desnivel con A puede hallarse por medio de una nivelación simple.

La diferencia de alturas aya dará el desnivel entre A y B. Trasladando el instrumento á otro punto de estación A , se observarán del mismo modo las alturas b -3 b' correspondientes al punto .8 y á otro C, elegido con relación á 5 en las mismas condiciones que éste con respecto á 4 en la primera estación.

Así se continuará tomando desde cada punto de estación del instrumento la altura correspondiente á la última mira colocada en la estación anterior y la de otro nuevamente elegido hasta lle-

* gar á una estación en la que el punto que en ella se ha de elegir pueda ser el J", cuyo desnivel con el de partida se pretende hallar.

Observando la marcha que acabamos de explicar, notaremos que á cada estación corresponden dos alturas de mira que designaremos con los nombres de nivelada de atrás y nivelada de frente; la diferencia de nivel que resulta de cada estación ó de cada nivelación simple de las que constituyen una nivelación compuesta se halla por la diferencia aritmética entregas alturas de mira correspondiente.

Para relacionar entre sí estas diferencias de manera que podamos obtener fácilmente y siguiendo una regla general el desnivel entre los puntos dados, supondremos que el punto de partida es el más bajo, y llamaremos también diferencias subiendo á aquellas en que la mira de atrás sea mayor que la de frente, como sucede á las que corresponden á la estaciones M y Q, en las que el terreno sube yendo de A Á E, que es el sentido en que suponemos ejecutada la operación, y diferencias bajando á aquellas en que se

— i67 — verifique lo contrario, como sucede con las de las estaciones N y P. Hechas estas hipótesis, si todas las diferencias fueren subiendo, es evidente que sumándolas encontraríamos la diferencia total, y que en el caso de hallar una diferencia bajando habrá que restarla de la suma ya obtenida.

Así el punto B estará más elevado que A en una cantidad igual á la diferencia a — a' de las alturas observadas en la estación primera; el punto C más bajo que B en la diferencia b' — ¿ y más elevado que A en la cantidad [a — a'J — (^b' — b). Desde la estación P se observará que el punto D está más bajo que Cen la diferencia c' — c, j c o m o Cestaba más alto que A, la cantidad (c —a) — ^b' — b), D estará respecto de A más alto en la cantidad (a —a') — {b'~bj-(c'-c).

En la estación Q, en que podremos observar la mira del punto E, en que ha de concluir la operación, tendremos que, estando E más alto que i>, la cantidad d— d y habiendo visto que D está más alto que A en la (a — a') — (b' — b) — (c' — cj, E estará más . alto que A en la (a — a') — (b' — b) —{c' — c)-{- fd — d), que es el desnivel que buscamos.

Verificando las operaciones indicadas en esta última expresión, resulta a — a' — b' •\- b — c' -{- c -\- d — d ó bien (a -\- b -\- c •\- d) — fa' -\- b' -\'c' -\- d), pero ("a -^b -{• c -\- d) t% la suma de las miras de atrás y (a' -|- A' -}- c' -[- d') es la de las miras de frente; luego la diferencia de nivel que existe entre los puntos extremos de una nivelación compuesta se halla sumando los valores que indican las miras de atrás, así como las de frente y res . tando la segunda de la primera. ,

Si la primera suma es mayor que la segunda la diferencia será positiva, é indicará que el punto E está más alto que el de partida A conforme á la hipótesis hecha para establecer la relación que resuelve el problema.

Si las sumas son iguales Ay E están de nivel. Si es mayor la segunda la diferencia será negativa, é indica

que el punto de término está más bajo que el de partida. 1 6 0 . CotaB.—Se llamaii cotas de nivel á las distancias vertí-

— l68 — cales que separan los puntos del terreno de un plano horizontal indefínido ó de una superficie concéntrica á la de la tierra considerada inferior á todos ellos.

161. Cálcalo de las cotas.—Halladas las alturas de mira aa\ bb\... siendo A, B, C,... los puntos cuyas cotas queremos determinar, la cota que corresponde al punto A es generalmente arbitraria y conviene elegirla de manera que el plano de comparación sea inferior ó superior á los puntos considerados, con objeto de que todas las cotas sean del mismo signo; bastará para conseguirlo asignar al punto A de partida una cota mayor que la diferencia que se juzgue ha de haber entre este punto y el más bajo, en caso de que el plano de comparación haya de ser inferior á los puntos dados.

Cuando hubiere de ser superior á ellos, se tendrá en cuenta el desnivel de A con el más elevado.

Después de esta consideración se obtendrán las cotas correspondientes á los demás puntos, añadiendo á la cota del punto anterior, ó restando de ella el desnivel que exista entre ambos puntos, según que este desnivel resulte subiendo ó bajando en el sentido de la operación.

1 6 2 . Problemas de la nivelación por alturas.—1.° Hallar un punto cuyo desnivel con otro dado sea igual á una cantidad determinada.—Sea A el punto dado en la pendiente AB (fig. 109), y rn «= CD el desnivel que há de haber entre el mismo punto y el que se trata de determinar. Colocando en A una mira y estacionando el nivel en £ , de manera que la visual se halle más elevada si es posible con respecto á A que el dfesnivel dado m, se observa la altura de mira Aa y restando de ella este desnivel, se marca en otra mira una altura Hh igual al resultado obtenido por la sustracción que acaba de hacerse. Después se hace subir ó bajar la mira por la pendiente AB de modo que se apoye siem-pre^en el terreno, sin variar el punto marcado h hasta que la visual vaya á parar exactamente á él, como sucede en la posi> ción Ch; el punto C, ocupado entonces por el pie de la mira, será el punto pedido, puesto que el desnivel entre A y C será la dife-

— 169 —

rencia de las alturas Aa y Ch igual al desnivel dado m. Cuando este desnivel fuese mayor que la altura total de la mira, se resolverá este problema por una nivelación compuesta, anotando los desniveles parciales hasta que falten para el total pedido una cantidad menor que la altura de la mira, estando en este caso en el ejemplo primero.

2.° Dado un punto de la superficie del terreno hallar otro que esté de nivel con el primero.—Este problema es el caso particular del anterior, en que el desnivel dado es cero.

Colocando la mira en el punto dado A, y puesto el nivel en estación en M, se tomará la altura de mira que corresponde al punto 4 , y con ella se busca por tanteos un punto del terreno en el cual, colocada la mira sin variar la altura colocada en ella, la visual termine exactamente en el punto que la señala. El punto B ocupado por la mira estará de nivel con A (fig. 108).

3," Tra^^ar en el terreno una linea ouyos puntos se hallen en el mismo plano horizontal.—Determinados como en el problema anterior los puntos .á y B (figura anterior), se pasa á estacionar el nivel en otro punto N, y se marca la altura Ba' de la inisma visual en la mira que ha debido permanecer en el punto B. Con esta altura se determina como en el problema anterior el punto C, que estará en el mismo plano horizontal de B y A.

Dejando colocada la última mira en C, y pasando á hacer una nueva estación con el nivel, se podrá determinar otro punto del mismo plano, y así sucesivamente.

Para las operaciones de la nivelación se usan registros como el que exponemos á continuacióii, donde por el orden que corresponde se van colocando las longitudes entre cada dos puntos nivelados, las alturas de mira que á los mismos pertenece y cuantas observaciones sean necesarias para el mejor resultado de la operación.

I70 —

MODELO DE LIBRETA PARA NIVEL DE AIRE CON ANTEOJO

i «, .

a c £ o -a a;

4

ce

' o

Vi O

NIVELADAS DIFERENCIAS

Ordenadas. otsitTicigiii

i «, .

a c £ o -a a;

4

ce

' o

Vi O

De espiílila.

De frente*.

>

Itjult. Ordenadas. otsitTicigiii

i «, .

a c £ o -a a;

4 » r.287

De frente*.

> > > 269.460 El punto 4 I » 1.448 1.072 0 .2 l5 > J 269.675 es el punto 2 » I ,45o 0.880 0.568 • 270.243 departida.

3 n n I. n6 0.334 > 270.577

Sumas,... 4.185 3.068 1.117 • 269.460 A deducir. » > 9 > I . I I 7

Restos 4.185 3.068 1 . 117 11 270.577 3.068 » >

1.117

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Di/e <-encias tales.. 1.117

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1.117

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> Exacto.

— 171 —

LECCIÓN TERCERA

Nivelación por ángulos dependiente.—Obstáculos ^ e pueden presentarse.—Registro de la nivelación por pendientes.—Tablas de reducción de las pendientes á los ángulos áque corresponden.—Problemas de la nivelación por pendientes.

163 . Nivelación por ángulos de pendiente.—Se llaman ángulos de pendiente los ángulos que las rectas quet unen dos puntos del terreno forman con la horizontal trazada por uno de dichos puntos; estos ángulos serán de elevación cuando la recta está sobre el plano horizontal del instrumento, y de depresión en el caso contrario. Dichos ángulos se llaman también ángulos verticales.

El desnivel entre dos puntos se obtiene en función del ángulo de pendiente y de la distancia geométrica de los dos puntos que se consideran, ó bien del citado ángulo de pendiente y de la proyección horizontal de dicha recta.

Las fórmulas por medio de las cuales se calcula el desnivel citado, son:

d= L. seno m (x) yd = l.tsig.m fí)

siendo d el desnivel que se busca, L la distancia geométrica que separa los dos puntos, I su proyección horizontal y m el ángulo de pendiente.

Los instrumentos empleados para obtener el ángulo m son las brújulas y pantómetras, que tienen un semicírculo ó cuadrante vertical graduado, y más generalmente las brújulas llamadas nivelantes, y también los teodolitos.

Para hallar el ángulo de elevación ó de depresión de una recta se hace estación en uno de sus extremos con el instrumento y se coloca un jalón, ó mejor, una banderola, en el otro^ en la que se habrá señalado la altura del instrumento empleado. Des>

— 172 —

pues de horizontado y corregido aquél en todas sus partes, se dirige el cruce de los hilos del retículo al punto señalado en el jalón. y el ángulo comprendido entre el cero del limbo y la lectura del nonius en el aparato vertical será el ángulo de pendiente.

Este ángulo será de elevación cuando el cero del^nonius esté hacia la región del objeto visado respecto de la vertical del punto de estación, y será de depresión cuando se encuentre dicho cero hacia el observador. Esto cuando el cero del limbo está en la citada vertical y en la parte inferior. Pero si el cero del limbo se encuentra en la horizontal ó próximo á esta posición, será de elevación cuando el cero del nonius se encuentre debajo del diámetro o°—180°, y de depresión en el caso contrario, suponiendo el cero del limbo cerca del ocular del anteojo. Lo contrario sucede si el cero del limbo está próximo al objetivo.

Los ángulos de elevación se consideran como positivos y los de depresión como negativos.

Dicho ló anterior, nos ocuparemos de la nivelación por ángulos de pendiente. Como en la nivelación por alturas, se divide en este caso en nivelación simple y en nivelación compuesta. Nivelación simple es cuando se puede obtener el desnivel entre dos puntos por una sola estación del instrumento hallando la distancia geométrica con la cinta y midiendo el ángulo de pendiente.

Nivelación compuesta cuando hay que hallar el desnivel entre dos puntos por medio de dos ó más estaciones intermedias.

Supongamos se quiere hallar el desnivel entre dos puntos A y 5 ( f i g . 118).

Haciendo estación en J 1 , se visará á un jalón colocado en C y tendremos el ángulo de elevación m = iS'.So' y se medirá la distancia geométrica ^(7==48'".53. Se traslada el instrumento á C, se visa al jalón colocado en D y tendremos el ángulo de depresión w ==8°.i6 ', y se medirá la distancia geométrica CD «=» 57™.32. Se traslada el instrumento á £>, se visa el jalón colocado en J9 y tendremos el ángulo de elevación m = 16". 10', completando la operación con la medida de la distancia geométrica DB - • &4'°,20. La

— «73 -suma algebraica de los desniveles parciales nos dará el desnivel entre A y B.

164. Obstáculos que pueden presentarse.—Cuando la forma del terreno ó algún obstáculo intercepta la visual paralela á la línea AM (fig. 119) que une los términos de la estación, es preciso elevar la tablilla de la mira hasta la altura C", necesaria para alcanzar á la visual que salva el obstáculo. El ángulo de elevación m así obtenido dará por la aplicación de una de las fórmulas (x) ó (^) el desnivel HC '='BA', en virtud de la igualdad del triángulo CHC con el ABA' que resulta de tirar por A la paralela AA' á la visual CC\ y para hallar el desnivel verdadero BM que existe entre A y M, observaremos que se puede establecer la ecuación

BM^BH-hHM; y comostúeneBH=ACy HM=HC' — MC\ sustituyendo en ella resultará:

5Af == AC-\-HC' — MC llamando u al desnivel buscado BM; a ala altura AC del instrumento, y observando que 110 = 1. tag. w, representando por h la altura de mira MC y sustituyendo en la expresión anterior, se halla la ecuación

M-=»/. tag.m-r-í^ — h que nos dice: que el desnivel se halla en el caso que nos ocupa, añadiendo al valor obtenido por la ampliación directa de la fórmula (z) para el dngulo de elevación m la altura del instrumento, y restando de esta suma la observada en la mira.

Para un ángulo de depresión, se tiene desde luego a-t-M = / . tag. m-(-/»

de donde resulta M — /. tag. m-\-h — a

165 . Registro de la nivelación por pendientes.—El registro se dispone ordinariamente según el modelo que exponemos á continuación, y se llenan en el terreno las cinco primeras casillas con los mismos datos que se inscriben en el croquis; en el primer renglón y en la segunda casilla se anota el número i con que se

— «74 — ha señalado el punto A de partida, dejando en blanco las casillas restantes; en el segundo renglón se anotan los datos necesarios para la determinación de la cota del punto B, empezando por escribir en la primera casilla el número de la estación hecha en A, que es la primera; en la segunda casilla el número 2 de la estaca en que se ha colocado la mira para hallar la pendiente de AB; en la tercera el valor 23'.26' del ángulo de elevación que da la pendiente de la misma línea, y en la quinta el valor 98™,25 de su longitud. En el tercer renglón se anotan de una manera análoga los datos relativos á la determinación del punto C, y en el cuarto y quinto los que determinan los D y E, los cuales se han observado desde la tercera estación hecha en el punto C, y que, por lo tanto, se han comprendido en una llave, comease ve en el registro. A las casillas de que consta suele añadírseles en caso necesario otra, destinada á los rumbos que corresponden á las líneas medidas, cuando al mismo tiempo que la nivelación se quiere levantar el plano de la línea que se nivela.

— »7S —

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- 1 7 6 -166. Tablas de redncción de las pendientes á los ángnlos

i qne corresponden.—En la resolución de los problemas de n i velación por ángulos de pendiente, es necesario muchas veces conocer la relación que expresa la tangente del ángulo de elevación ó depresión obtenido con los instrumentos de que hemos hablado anteriormente, y otras conviene saber el valor angular correspondiente á la relación dada pdt un eclímetro.

Esta consideración nos ha conducido á insertar la tabla que exponemos á continuación. En las primeras columnas se hallan las pendientes por ciento que indican el desnivel o™. i... o™. 2... que corresponde á la distancia horizontal-de 100'" para la línea á que esta pendiente corresponde; la segunda expresa los desniveles referidos á la unidad de distancia; las colupinas tercera y cuarta contienen los valores angulares que á las mismas pendientes corresponden para los límites de apreciación de los instrumentos más usados en las operaciones topográficas. Para hallar el valor angular de una pendiente que no esté en las tablas, como la 2,7 por loo"", no habrá más que buscar en las de líneas trigonométricas naturales y en la columna de las tangentes el núihero que más se acerca á este valor, considerando corrida la coma dos lu gares á la derecha, y se hallará que es 0,0270292, y corresponde á I".33'. Recíprocamente á este valor angular corresponde próximamente la pendiente de 2.7 por 100.

— «77 — TABLA DE REDUCCIÓN

DE LAS PENDIENTES A LOS ÁNGULOS A QUE CORRESPONDEN

PENDIENTES ÁNGULOS á que corresponden. PENDIENTES ÁNGULOS

á que corresponden.

Por ciento.

Por unidad.

O.OOI

De l ' e n l ' .

De 20» en 20».

Por ciento.

Por unidad.

De 1' en 1'.

De 20» en 20»

O.I

Por unidad.

O.OOI o'.B' 0".3'.20" 1 .9 0 . 0 1 9 I».5' l ' . 5 ' . 2 0 " 0 . 2 0 . 0 0 2 0 . 7 0 . 7 . 0 2 . 0 0 , 0 2 0 1 .9 1 . 8 . 4 0 0 . 3 o.oo3 0. 10 0 . t 0 . 2 0 2 . 5 0 . 0 2 5 1 .26 1 . 2 6 . 0 0 . 4 0.004 0 .14 0 . 1 3 . 4 0 3 . 0 o,o3o 1.43 I , 4 3 . 0 0 . 5 o.oo5 0.17 0 . 1 7 . 2 0 3.5 o,o35 2 . 0 2 , 0 . 2 0 0 . 6 0 , 0 0 6 0.21 0 . 2 0 . 4 0 4 . 0 0,040 2 . 1 7 2 . 1 7 . 2 0 0 . 7 0 . 0 0 7 0.24 0 . 2 4 . 0 4.5 0.045 2.35 2.34.40 0 . 8 0 . 0 0 8 0.28 0 . 2 7 . 4 0 5 . 0 o.o5o 2 . 5 2 2 . 5 1 . 4 0 0 . 9 0 . 0 0 9 o .3 i o . 3 i . o 5.5 o.o55 3.9 3.g,o I.O O.OIO 0 .34 0 . 3 4 . 2 0 6 . 0 0.060 3.26 3 , 2 6 , 0 1.1 O.OII 0.38 0 . 3 7 . 4 0 6.5 o.o65 3.43 3.43.0 1 .2 0 . 0 1 2 0.41 0 . 4 1 . 2 0 7 . 0 0.070 4 . 0 4 . 0 , 2 0 1 .3 o . o i 3 0.45 0 . 4 4 . 4 0 7.5 0.075 4 . 1 7 4.17.20I 1 . 4 0 . 0 1 4 0.48 0 . 4 8 . 0 8 , 0 0.080 4.34 4.34.20 1 . 5 o . o i 5 0.52 o . 5 i . 4 0 8.5 o.o85 4,52 4.51.40 1 .6 0 . 0 1 6 0.55 0 . 5 5 . 0 9 . 0 0 , 0 9 0 5,9 5.8.40 1-7 0 . 0 1 7 0.58 0 . 5 8 . 2 0 9.5 0 . 0 9 5 5,26 5,25.40 1 . 8 0 . 0 1 8 1 . 2 V . 2 . 0 1 0 . 0 O.IOO 5.43 5,42.40

Para la apreciación de 20", y como un ejemplo del empleo del cálculo logarítmico, se tendría la expresión:

2,7 lag. X 100 r

siendo x el ángulo que se busca y r el radio de las tablas, tomando logaritmos se tendrá:

log. tag. J : = 10 -t- log. 0.027 log. tag. X =- 10 -H 2743i3638 — 8.43i3638

que en las tablas de Callet corresponde á un ángulo de i°.33'.48". .•.4

- 178 -

167. Problemas de nivelación por pendientes.—i.* Dado un punto del terreno, hallar otro tal que la recta que los une tenga una pendiente dada.—Haciendo estación en el punto dado, se hace que el nonius del limbo zenital marque la pendiente asignada y en el sentido que haya de tener la pendiente; se toma en una mira la altura del centro del limbo zenital sobre el punto de estación, y se busca por tanteos un punto del terreno en el cuai colocada la mira con la altura* marcada en ella, la visual dirigida por el anteojo vaya á parar exactamente al punto de mira.

2." Trabar en el terreno una linea de pendiente dada.—Se resuelve este problema determinando cada uno de sus elementos sucesivos por el problema anterior.

3.° Medida de una altura cuyo pie es accesible y está situada en terreno horizontal.—Sea AM {ñg. 120) la altura de una torre cuyo valor se trata de conocer: mídase tina base ÁB, y poniendo el instrumento en estación de modo que su centro C esté en la vertical del extremo B de la base, diríjase la visual horizontal CB y tómese el ángulo de elevación DC£, con lo cual se podrá resolver el triángulo rectángulo DCS, en el que se conocen dos ángulos y el cateto CD == AB, y se tendrá el valor de DE. Añadiendo á este valor la altura AD, igual á la BC del instrumento, se tendrá el de la altura AB que se trataba de conocer.

Ejemplo. Sea AB •^CD — 85^.24; 5 C = t»'. 15 y BCB = 44'.26':

resultará: AE'=2,4^.71.

- 179 —

LECCIÓN CUARTA

Maoera de marcar la pendiente de una galería 6 plano inclinado.— Nivelación de todos los pantos notables de un establecimiento minero y labores interiores.

168 . Manera de marcar la pendiente de una galería ó plano inclinado —Guando en la apertura de una galería se hace preciso que su eje siga una línea inclinada un cierto número de grados con el horizonte, conio sucede con los planos inclinados, ha y necesidad de colocar los puntos que determinan dichas líneas, para lo cual se puede seguir el procedimiento siguiente: '

Supongamos que se quieren poner en comunicación los trabajos abiertos en los pisos AB y CD (fig. i3i) por medio del plano ó galería inclinada BC. Si dicha galería BC no tiene otro objeto que servir para el tránsito de obreros, puede determinarse la línea de pendiente abe sirviéndose del semicírculo, colocando un punto a en uno de los peones de la primera portada (sí la galería, como suponemos, está íortificada por el método de avance) en el que se sujetará una cuerda por uno de sus extremos, teniéndola por el extremo libre, hasta que el semicírculo colocado en el punto medio próximamente señale el ángulo que corresponde á dicha pendiente; la cuerda, en tanto, se habrá movido resbalando sobre uno de los peones de las portadas siguientes, hasta marcar un punto b, por el que pasará tangente dicha cuerda, determinando la inclinación pedida.

Después de colocados dichos puntos, se tendrá cuidado que el piso de la galería vaya sensiblemente paralelo á dicha línea, para lo cual se tomará la altura del primer punto al piso, procurando que exista dicha distancia entre el piso y la cuerda en todos los puntos del eje de la galería.

Este procedimiento tiene el inconveniente que si la longitud de la galería es algo considerable (y como la cuerda aunque se

— l8o — ' tenga cuidado que sea perfectamente tangente al segundo punto

produce desviación al prolongarla) produce errores que es necesario corregir de tiempo en tiempo con un instrumento ó con un nivel de albañil y una regla de dos metros.

Cuando se quiere más exactitud en esta operación, se usará al efecto el aparato representado en la fig. 122, que consiste en una regla om con un nivel n unido invariablemente á ella; esta regla om lleva en uno de sus extremos y en la parte inferior un taco de madera t de un alto igual al desnivel que corresponde á la longitud de la regla.

Por ejemplo, si la regla es de 2™ (que es de la longitud que generalmente se usan) y la pendiente es de o'n.oiS por metro, el taco í tendrá ofn.oS de altura. Para hacer u'so de este instrumento (fig. 123), se coloca en la posición Am indicada en la figura, y cuando el nivel n acuse la horizontalidad de Ja regla om, existirá entre los puntos .4 y m el desnivel pedido. Según se vaya avanzando y de dos en dos metros se irá repitiendo la operación anterior en las posiciones mn y nB,.... hasta terminar, quedando, por tanto, establecida la galería como se desea.

Si la galería tiene vías y se va haciendo la colocación de éstas á la vez, se colocará el aparato descrito sobre los carriles para que queden éstos colocados con la pendiente dada.

Para mayor exactitud y como comprobación, se coloca un instrumento en el punto A; se forma el ángulo de pendiente en el limbo vertical, y marcando en una mira ó jalón una altura igual á la del instrumento medida desde el piso al eje de giro del anteojo, se verá si colocando el jalón á 5 ó 10 metros del punto de estación el hilo horizontal del retículo va á parar exactamente á la señal marcada de antemano.

Si esta circunstancia se verifica, el piso de la galería marchará bien; en caso contrario, el hilo horizontal del retículo cortará al jalón sobre ó debajo de la señal marcada, según que el piso de la galería esté más bajo ó más alto que debiera estar.

En cualquiera de estos dos casos, se colocarán piquetes en el piso de modo que, colocando sobre ellos el jalón, la señal marcada

— i 8 i —

en él quede interceptada con la visual, elevando ó bajando el piso al nivel de las cabezas de los piquetes.

Si los piquetes no pueden colocarse en el piso y sí en el cielo de la galería, se anotará la distancia de éstos al piso y lo que en cada uno de dichos puntos haya que bajar ó subir.

Esta operación de comprobar la pendiente con un instrumento debe repetirse con tanta más frecuencia cuanto más exacto se quiera obtener el resultado.

En la ejecución de esta clase de trabajos hay necesidad de hacer dos veces la operación explicada; una según se va ejecutando la excavación, y otra después para arreglar el piso de una manera definitiva.

169 . Nivelación de todos los puntos notables de un esta^ blecimiento minero y labores interiores.—Para ejecutar esta operación (después de conocida la cota de un punto que se tomará como de partida y relacionado, si es posible, con el nivel del mar ó con un plano general de comparación elegido arbitrariamente), se comenzará por hallar las cotas de todos los vértices del' canevas trigonométrico, siguiendo para determinar dichas cotas el camino más corto y expedito entre cada dos puntos, con objeto de que haya los menores errores posibles en las cotas de estos vértices, en el supuesto que dichos puntos han de ser los de partida para la nivelación de cada uno de los seguimientos hachos para determinar los detalles interiores.

Al hacer la nivelación de dichos vértices se marcarán puntos sobre las placas de los pozos de extracción ó señales fijas cerca de ellos y cuyas cotas sean conocidas, con el objeto que de estos puntos se pueda partir para la nivelación de las labores interiores. - Una vez que sean determinadas las cotas de todos los puntos

dichos anteriormente, se colocarán éstas sobre el plano con tinta roja al lado de los puntos respectivos.

Para obtener las cotas de los demás puntos marcados en el levantamiento del plano, se tomará por punto de partida ó plano auxiliar de comparación el punto trigonométrico más próximo á aquellos que se quieren nivelar, tomando siempre que se pase por

— l82 —

un punto de aquéllos la altura de mira en dicho punto para ver si la cota que resulte para el mismo es exactamente la obtenida en la primera nivelación.

Para poder hacer esta comparación, en el momento que se obtenga la altura de mira correspondiente al punto, y antes de continuar la operación, para poder corregir en caso de haber diferencia, se hace preciso hallar la suma de las miras de espalda y la de las de frente de todos los puntos comprendidos entre el de partida y el que se considera para poder añadir ó restar á la cota del punto de partida la diferencia de dichas sumas y ver si la cota resultante es la misma que se obtuvo antes, en cuyo caso se ha operado perfectamente, pudiendo continuar hasta que en otro punto se repita idéntica operación. Si la diferencia existe y no se puede tolerar, hay necesidad de repetir el trabajo en sentido contrario hasta volver al punto de partida.

De un modo análogo se nivelarán todos los puntos que se crean necesarios, colocando las cotas de éstos sobre el plano, como hicimos con los anteriores.

Para relacionar la nivelación de los trabajos interiores y en cuanto se reñere á las galerías principales con la hecha anteriormente en la superficie, se medirá la altura vertical de un pozo de extracción, contada desde el punto determinado cerca de la boca del mismo hasta las placas de las plazas de enganche ó puntos colocados convenientemente con el objeto que sirvan de partida para las operaciones de la nivelación.

Si los trabajos interiores tienen bastjinte extensión y comunican por varios pozos con la superficie, se repetirá en todos la operación explicada anteriormente con objeto de tener varios puntos á que referirse y partir siempre del que esté más próximo al sitio de la operación. Se tendrá el cuidado de colocar estos puntos de referencia en todos los niveles que comuniquen con los pozos de extracción, facilitando de este modo los trabajos que hubiera que hacer entre dos niveles diferentes.

Después de colocados dichos puntos se reduce la operación á hacer seguimientos por las galerías principales colocando cota|í en

- 183 -|as entradas de las galerías secundarias, cruces de las principales y demás sitios en que la variación del piso de la galería lo exija calculando después las cotas que correspondan á estos puntos y colocándolos sobre el plano respectivamente al lado de los homólogos de los del terreno.

Como comprobación y en minas donde la abundancia de aguas es considerable, pueden obtenerse puntos de un mismo nivel aprovechando las subidas de éstas en roturas ó instalaciones de bombas ó máquinas de desagüe, colocando puntos fijos en varios sitios diferentes y en una misma hora dada por varios operadores.

Estos puntos, colocados, se refieren después al nivel superior con sólo la medida de la altura de uno de ellos [colocado, si es posible, en el mismo pozo) al nivel de la superficie.

— i84

LECCIÓN QUINTA

Carras de nivel.—EquidisUocia.—Determinación de las curvas Métodos para trazar las corvas de nivel sobre el papel.—Método gráfico.

170. Curvas de nivel.—Para dar á conocer el origen de las curvas de nivel supongamos una isla -M (fig. 124) que contenga llanuras y cerros, situada en medio de un gran lago. Para fijar su contorno ó línea exterior tendríamos que cc^ior la curva AA' A'"" que separa la tierra de las aguas siguiendo las sinuosidades de sus costas ú orillas.

Por esta curva pasa el plano horizontal determinado por el nivel superior del lago y que adoptaremos como plano de comparación.

Supongamos también que las aguas suben progresivamente. Cuando su nivel se haya elevado lo", por ejemplo, sobre el nivel primitivo, es evidente que se habrá ocultado á la vista cierta cantidad de terreno y que la isla aparecerá más pequeña, formando su límite una curva BB' B'"". Si el nivel de las aguas sigue elevándose otros 10, 20"', etc., las distintas curvas correspondientes serán cada vez más reducidas, hasta que, ocultándose los collados y partes más bajas de sus cordilleras, asomarán únicamente los picos altos y aislados F, 2), / / , P, como si fueran islitas en forma de otras tantas curvas cerradas. *

Suponiendo ya dibujadas todas las curvas reunidas, observaremos: I.', que cada una representa la sección ó corte dado al terreno por un plano hori:{ontal; 2.', que todos los puntos de una curva se hallan á igual distancia sobre el nivel ó plano de la inmediata inferior, y, por consiguiente, sobre el bajo ó de comparación, y 3.*, que las aguas han avanzado más en los sitios llanos que en los pendientes y escarpados, por lo cual las curvas deben aparecer más reunidas en éstos que en aquéllos.

- i8s -1 7 1 . Equidistancia.—Se da el nombre de equidistancia á la

diferencia constante de altura entre dos curvas consecutivas. Esta equidistancia es variable según los casos: en los planos de regiones muy extensas se toma 20"" por equidistancia, 40"^ para los países accidentados y para la representación de un campo se toma hasta I'" ó o"" 5o por altura ó equidistancia.

172 . Determinación de las curvas.—Las curvas de nivel se pueden determinar:

1.° Directamente sobre el terreno por secciones horizontales. 2.° Por medio de perfiles. Primer procedimiento.—Supongamos que se trata de repre^

sentar el cerro JV, que se eleva en una llanura: partiendo de un, punto m del llano (fig i25) que procuraremos quede señalado de una manera estable, se colocará en él una mira, y haciendo estación en un punto a se hallan desde él los puntos 1, a, 3, que están de nivel con m. Si se conoce la equidistancia que se quiere dar á los planos secantes, podrá hallafse desde la misma estación un punto n más elevado que m en una cantidad igual al valor de la expresada equidistancia. Pasando á hacer otra estación en a' se obtienen los puntos 4 y 5 de nivel aparente con 3 y que pertenecen, por tanto, á la primera curva.

Desde la estación a" se obtienen los 6, 7 y 8, continuando del mismo modo hasta volver al punto m, con lo que se concluirá el trazado de la primera curva horizontal.

Si al colocar la mira última en m con la altura correspondiente á la última estación de nivel el pie de la mira coincide exactamente con m ó la diferencia es de algunos centímetros, la curva estará bien trazada; pero si la diferencia que resulta es más considerable, se partirá devwi en sentido contrario, rectificando la posición de las estacas hasta llegar á encontrar la que coincide con el trazado primitivo.

Todas las estacas de la primera curva se señalan con la letra m y con el número de orden en que se hayan colocado. La curva continua que pase por todos los puntos así determinados será la curva perdida, que se aproximará tanto más á ser la verdadera in-

— i86 — tersección de la superficie del terreno con el plano horizontal del punto m cuanto mayor sea el número de puntos determinados y mejor elegida haya sido la posición de los mismos, procurando establecerlos en todos aquellos en que la forma del terreno varíe en sentido vertical. Ya trazada la primera curva y determinado que haya sido un punto b de la segunda, se trazará desde él esta última de igual manera que se hizo en la primera, y se continúa del mismo modo hasta trazar todas las curvas restantes, teniendo cuidado de señalar y numerar las estacas de cada uno de ellos.

Una vez hallados y marcados estos- puntos en el terreno con piquetes, se levanta el plano de éstos por los mismos métodos y con los mismos instrumentos usados para, la proyección horizontal del canevas.

Unidos convenientemente estos puntos darán en el plano las curvas de nivel ó secciones horizontales del terreno.

Segundo procedimiento.—Sea .áiffCZ>£'(fig. 126) una zona de terreno cuyas curvas de nivel se quieran determinar. Se empezará por nivelar el perfil del perímetro de este polígono á partir del punto A^ fijando estacas en los puntos de estación de mira en que el terreno cambie de inclinación y aquellos que hayan de servir de partida para otros perfiles; se cerrará este perfil en dicho punto A, pasando por los B, C, Z>yj?,dejando también estacasen estos puntos. Después de visto que cierra este perfil con un error admisible, se procederá á dividir la zona en otras más pequeñas por medio de perfiles, que, paniendo del perímetro del polígono general, apoyándose en los vértices de éste ó en los puntos determinados por las estacas fijadas en su perímetro, vayan á terminar en otros puntos del mismo perímetro atravesando toda la zona. Estas zonas se dividirán á su vez en otras más pequeñas, según la mayor ó menor accidentación del terreno, etc. Estas líneas de perfiles podrán ser las carreteras, caininos, canales, arroyos, etc. del terreno para poder utilizar.(si la hubiere) la planimetría de la zona. En caso contrario se levantará el plano de «tos perfiles con la brújula, pantómetra, etc., y tendremos la proyección horizontal de ellos. De un modo análogo al seguido

_ 187 -en el perfil del perímetro anterior se nivelarán estos perfiles secundarios ó interiores, empezando siempre por los que se apoyen en el perímetro del polígono general, haciendo constar en la casilla correspondiente de los estados en qué punto empieza y concluye cada perfil.

Debe siempre procurarse que cada perfil parta y termine en puntos anteriormente fijados y nivelados, y, por tanto, de cota conocida.

173. Métodos para trazar las curvas de nivel sobre el papel. —Nivelados todos los perfiles según queda dicho y levantado el plano de los mismos, se procederá á la comprobación del trabajo de campo, empezando por formar polígonos con los perfiles nivelados y hallando el error de cierre de cada polígono, considerando que en cada uno se ha empezado la nivelación desde uno de sus vértices y yendo en un mismo sentido hasta volver al punto de partida; la diferencia entre la suma de las diferencias en -4- y la suma de las diferencias en — en cada polígono debe ser cero ó dar un error admisible.

Sste error, sea grande ó pequeño, se consignará dentro del polígono correspondiente con el signo que se obtenga, procurando llevar la misma marcha al calcular todos y cada uno de los cierres de estos polígonos. Hecho este trabajo se marcarán los errores que excedan del límite fijado, y si resultan errores (en po* ligónos contiguos) de signos contrarios, nos dirán con bastante grado de certeza que el error había sido producido en la nivelación de la parte de perfil común á dichos polígonos, localizando de este modo los errores, é indicarán que sólo esta parte debe repetirse en el campo. Si los errores notables son del mismo signo (cosa que sucede pocas veces cuando éstos son grandes), habrá que repetir la nivelación de los perfiles que sean comunes primero y después pasar á los demás, hasta encontrar el error.

Hecha esta operación, y después de deducidas las cotas en lundón de las diferencias en 4- ó en — sobre el punto de partida, se procede sobre los trozos de perfil de pendiente uniforme, i determinar puntos de cota redonda á la equidistancia marcada.

— i88 — Esto se hace con más exactitud por medio de cuartas propor

cionales en las que entra la distancia horizontal de ios puntos extremos del trozo que se considera, el desnivel entre estos dos puntos y la equidistancia de las curvas. De este modo obtendremos la proyección horizontal de cada curva, puesto que la incógnita será la distancia horizontal desde el punto de partida al de cota redonda que se busca.

Supongamos primero que dos puntos distan horizontalmente 50™.6o, que su desnivel es 20™, y deseamos hallar las proyecciones de los puntos de cota redonda é 4"" de equidistancia, suponiendo que la del punto de partida sea también cota redonda. Para esto diremos: si 20"' de desnivel dan So™ 60 de distancia horizontal, ¿á qué distancia horizontal del punto de partida se encontrará un punto cuyo desnivel sea 4™?

Se formará la proporción siguiente: 4™ X 5o.6o 20™ : 4 : : So™.60 : x;x=-—~ = I0'».i2

20 La distancia horizontal de un punto cuya cota sea 8 será

o r r So™, 60 X 8 , . 20 : 8 :: 5o">.oo : x; x ^ =: 20™.24, y asi sucesiva-

20 mente.

Si la cota de partida fuera 456"'.73, hallaríamos por un procedimiento análogo la distancia horizontal correspondiente á o'^.yS por la proporción:

20 : o™.73 :: 5o™.6o : x, y después compararíamos para los puntos restantes 4™.73, 8™.73, i2'".73, etc., hasta obtener las proyecciones de los puntos de cota redonda comprendidos en la recta que se considera. Por este procedimiento podemos obtener sobre todos los perfiles la proyección horizontal de todos los puntos de las curvas que se desean, los cuales, enlazados convenientemente con auxilio del croquis nos darSn las curvas de nivel pedidas.

También se pueden obtener de la manera siguiente: i.*, se deducirán las cotas de todos los puntos de mira; 2.*, se desarrollará el plano horizontal de todos los perfiles y se marcarán en

— l89 — estos perfiles las estaciones de mira que en cada trozo rectp del perfil indiquen variación de pendiente del terreno, ó sean los puntos en que se dejaron estacas, consignando á su lado su cota correspondiente, así como las de los vértices del polígono general y de las estaciones análogas de los perfiles interiores. Hecho esto, se determinará la proyección horizontal de los puntos de cota redonda en cada perfil, y uniendo los de igual cota tendremos las curvas de nivel. Estos puntos de cota redonda se pueden determinar gráficamente construyendo la escala de pendiente constante (figuras 127, 128 y 129), eligiendo en esta escala los pumos que tengan las cotas pedidas. O construyendo cada perfil aparte (fig. 13o) en función de sus cotas y trazando líneas horizontales de cota redonda por los puntos de equidistancia, los en que estas paralelas cortan á la línea del perfil se proyectan sobre las líneas de comparación y obtendremos las proyecciones de los puntos de cota redonda, que podrán trasladarse sobre las líneas del plano en cada perfil, llevando la cota que le$ corresponda.

Para emplear este método, que indudablemente es más breve que el de secciones horizontales, se hace necesario sacar un croquis lo más aproximado posible d^ movimiento del terreno, pues de lo contrario nos expondríamos á unir puntos de igual cota, correspondientes á dos ó más curvas distintas, y viceversa.

Para la determinación y trazado de la« curvas de nivel cuando se emplea la nivelación por ángulos de pendiente, formaremos una serie de perfiles que, como los indicados para el método de nivelación por alturas, formen polígonos cuya extensión superficial será mayor ó menor, segün la mayor ó menor accidentación del terreno. Se nivelan los perfiles que constituyen estos polígonos, yendo de mayor á menor. Se deducen las cotas de los puntos y se comprueban los cierres de estos políg'onos como ya hemos indicado en el caso anterior.

Después se construye la proyección horizontal de dichos polífonos, y por medio de la escala de pendiente de cada trozo de perfil de pendiente constante se fijan las proyecciones horizontales, de los puntos de cota redonda, los cuales, unidos convenientemen-

— 190 —

te (con el croquis del terreno á la vista), nos darán las curvas de nivel á la equidistancia pedida.

174 . Método gráfico. — Cuando en la porción de terreno cuyas curvas de nivel se trata de determinar se han nivelado un perfil longitudinal y varios perfiles transversales perpendiculares al primero, puede hacerse sobre el dibujo del plano el trazado de las curvas de la manera gráfica siguiente:

Supongamos que ABCD representa el plano topográfico del terreno (fig. i3i). Se trazarán las dos líneas J 1 5 y CHque representan el perfil longitudinal y uno de los transversales en proyección horizontal; la proyección vertical del primero será A'IfB' y la del segundo C'D"H'; si se ha trazado la línea / / que representa la proyección horizontal del perfil, sfe tendrá representada su proyección vertical en IM'J. Hecho esto, se corta el perfil A'D'B por un plano horizontal cuya traza vertical será E'F% y sobre e plano del perfil transversal rebatido á la derecha será G'L'; la superficie del terreno será encontrada por este plano en W, cuya proyección horizontal es E; el mismo plano encuentra al perfil CI/'H' en los puntos G' y L' cuyas proyecciones son G y L; el perfil extremo IM'J es cortado por dicho plano en los puntos P' y Q', cuyas proyecciones horizontales son Py Q. Por tanto, todo s los puntos P, G, E, L y Q pertenecen á la misma curva.

Si se quiere obtener una segunda curva se trazará otro plano secante, y así se continuará para determinar cuantas curvas se quieran.

Este procedimiento da buenos resultados en las regiones accidentadas de pendiente considerable.

- i g l —

LECCIÓN SEXTA

Oeslindes de terrenos.—Sustitucióa de Imdes curvu por rectas sin alterar las SM-perficies <le las colindantes.—Copia y reducción de planos.—Instrumentos de reducción.

1 7 5 . Deslindes de terrenos.—Deslindar un terreno es determinar su contorno, ó sea la línea que le separa de sus colindantes. Esta operación, que con tanta frecuencia puede ocurrír-sele al geómetra, es de la mayor importancia por las razones siguientes:

I.* Porque es indispensable como auxiliar en la resolución de muchas cuestiones, especialmente en laá que tienen por objeto la división de los terrenos.

2.' Por la aplicación que puede Ijacerse de ella como auxiliar también para la medición de las superficies, transformando el po-Hgono que resulta en otros cuyas tormas sean más adecuadas para el cálculo de aquéllos.

3.* Por la conveniencia que puede resultar en casos dados á los propietarios colindantes de la transformación convencional de su$ heredades en otras que tengan el mismo ó menor número de lados, para regularizar las figuras de los terrenos y rectificar los linderos, ó para satisfacer á otra circunstancia.

La operación de deslindar puede hacerse siguiendo cualquiera de los métodos de levantamiento de planos explicado en lecciones anteriores, si bien el procedimiento más indicado es el de rodeo:, y en particular cuando el polígono que se trata de deslindar se compone de gran número de lados, pues siendo éstos en general de cortas y muy variadas longitudes, presentan contornos mtjy sinuosos, siendo estas líneas quebradas las que con más frecuencia limitan los terrenos.

Deslitiík entre dos Ayuntamientos.-—Todo deslinde consta de dos partes: la primera consiste en fijar ó rectificar sobre el terre-

— 19* — no, de común acuerdo entre las partes interesadas, los puntos de las líneas que constituyen la común á las dos partes, y la segunda en levantar el plano de estas líneas y referirlas á puntos fijos é invariables del terreno, á fin de que puedan ser establecidas siempre que fuese necesario. En la primera parte pueden ocurrir dos casos: que la línea límite sea línea de posesión de hecho, ó que sea línea de posesión de derecho.

Límite de posesión de hecho es aquel que en la actualidad se respeta por las partes colindantes, y límite de posesión de derecho es aquel que en virtud de concesiones hechas y á documentos justificados corresponde á cada una de las partes.

Para uno y otro caso se citan las comisiones respectivas de cada Ayuntamiento que han de entender en el acto del deslinde, y una vez reunidos sobre el terreno se dará principio á la operación por el mojón ó patrón que es generalmente el común á dos ó más términos municipales, á cuyo acto deben concurrir las comisiones de dichos Ayuntamientos.

Reconocido por tales comisiones el mojón de que se trata, se escribirá una reseña detallada del sitio en que se encuentra, ti'>rra en que está enclavado ó tierras á quien es común, con el nombre del propietario ó propietarios á quienes corresponda, distancia á este mojón de las señales de referencia, así comq también anotar si desde este mojón se ve alguna torre, edificio ú objetos notables.

De todas estas operaciones se levantará acta, que firmarán todas las comisiones. Hecho esto, continuarán solamente las dos comisiones cuya linea de limite común^se trate de deslindar.

Fijado como se ha dicho el mojón de partida, se pasará á fijar y describir lo restante de una manera análoga, indicando en cada caso si ]a línea que une cada dos mojones está determinada por líneas naturales del terreno, como márgenes ó ejes de ríos, arroyos, etc., sin olvidarse de los puntos de referencia de cada mojón. Así se continúa hasta llegar al punto ó mojón común á tres términos municipales, en cuyo caso deberán citarse de antemano y con oportunidad á la comisión del Ayuntamiento ó Ayunta-

— 193 — míenlos colindantes en este punto, á fin de que dicho mojón quede reconocido por todas las comisiones interesadas. De todo este reconocimiento se levantará acta, que después de leída se firmará por los interesados y el encargado ó encargados de este trabajo.

Después se continuará el deslinde con las comisiones respectivas levantando acta cada día del trabajo que se verifique en el mismo, hasta volver al punto de partida ó hasta completar el deslinde de cada término municipal.

Hecha esta operación se procederá á la segunda parte, ó sea 31 levantamiento del plano de los mojones reconocidos y líneas que los unen, cuyo trabajo puede hacerse con la brújula ó con la pantómetra, pero teniendo á la vista el acta ó actas anteriormente

lenas, á fin de que todos esos detalles que se determinen estén de acuerdo con lo escrito en dichas actas, sin olvidarse tomar los «ngulos ó rumbos de las visuales dirigidas á los diferentes objetos o puntos notables del terreno que en las actas se citan.

Cuando el deslinde es entre particulares, se sigue un procedimiento análogo, con la diferencia de ser reemplazadas las comisiones por los dueños ó apoderados debidamente de las parcelas ó tierras colindantes.

En la operación de deslinde puede hacerse todo á la vez; es decir, el apeo ó amojonamiento, y al propio tiempo el levantamiento del plano.

El deslinde debe ser contradictorio, y si hubiese reclamación ó dudas, se salvarán, si es posible, con los datos que presenten los interesados; y en caso de no haber avenencia, se determina la lí-"ea de posesión de hecho,

176. Sustitución de lindes curvas por rectas sin alterar la «uperflcie de los colindantes.—Sea EHFla. línea ondulada 9ue separa dos propiedades My iV(fig. i32) comprendidas entre *s rectas AB ó CD, y queremos reemplazarla por una recta FG,

sin que se alteren las superficies de las dos propiedades. En el punto de intersección de la línea ondulada con la recw

•AB se levantará á ésta una perpendicular JEF , prolongándola hasta su encuentro en F con la línea CJ>, y se hallarán las super-

18

— >94 -ficies de los tres segmentos a, b y c que forma con la línea ondulada. La propiedad AEHFCst hallará aumentada en los segmentos a y c y disminuida en el b; si b fuese igual á a -(- c, la recta FE resolvería el problema; pero si resulta a-l- c > - ¿ , se hallará

EF la diferencia a -+- c — é y se dividirá por—^— tomando á partir de JE una parte SG igual ai cociente hallado y trazando la FG, ésta resolverá el problema, siendo la recta de compensación que ha de representar el mismo límite común á ambas propiedades. En efec-

FJí! to, se tiene triángulo EFG = —^. +• EG =^a-^c — b. 177. Copia y reducción de planos.—En la reproducción de

un plano ó de un perfil en la misma escala^ se da el nombre de co-,p¡a al dibujo obtenido conservando el primitivo el de original. Cuando la escala del plano que se trata de construir ha de resultar «n menor que la del original se dice que éste se reduce, y que se amplifica cuando ha de estar en escala mayor.

Entre los distintos métodos que para copiar un plano se conocen describiremos los siguientes;

Con papel vegetal.—Esta clase de papel tiene tal transparencia, que, colocando éste sobre el original, se perciben con toda claridad hasta sus más ligeros detalles. Se va pasando con lápiz ó tinta todo el dibujo ó las partes principales que se elijan como suficientes, y después se coloca el papel vegetal sobre la hoja de papel blanco donde se ha de hacer la copia, interponiendo un papel llamado polígrafo (*) que tiene la propiedad de marcar en la hoja eo blanco las líneas que con un punzón ó lápiz duro se hagati en el papel vegetal. ,

Al cristal.—Consiste 6n disponer el original sobre un cristal y «ncima el papel blanco donde se ha de hacer la copia, pegándolos con cola de boca. Hecho esto, se coloca el cristal inclinado de modo que dé paso á la luz, para que el original se vea á través del papel blanco, y no habrá más que ir pasando con lápiz el dibujo

i • (*) El pape] qae como poUgnfo da mejor reioltado es no trozo del mUme ^pe i regetal impregnado por uno de sns ladoi con difumino, frotándolo despaii nany Meo para qne no manche con otro papel coalquiera.

— «95 — •de las curvas; en cuanto á las rectas, bastará marcar sus extremos para trazarlas después con las reglas.

Por la cuadrícula.—Para la reducción ó amplificación de los planos en la copia se usa también, sobre iodo cuando los contornos son curvilíneos, el método llamado por la cuadrícula, que •consiste (fig. i33) en trazar con lápiz en el orignal un cuadrado ABCl) que le comprenda enteramente, trazando después el suficiente número de paralelas á los lados de esta figura y á las que •distinguiremos llamándolas horizontales y verticales, para que se Torme una red de cuadrados pequeños iguales, numerándolos para mayor comodidad en su uso.

Se construye después en el papel donde ha de hacerse la copia otra cuadrícula 4 '5 ' e 'Z ) ' cuyos lados guarden con los del original la relación en que se han de hallar los dibujos. Se toma á partir del punto de intersección o de las líneas señaladas con el número uno la abscisa oa y la ordenada ob, y después; de tomadas en la escala de la copia se tendrán las o'a' y o'b\ v fijos, por lo tanto, los puntos homólogos de a\b' de la copia. Un punto r se determina por la abscisa/;« y la ordenada nr, llevadas á la copia <on arreglo á escala.

De la misma manera se situarán en la copia los puntos necesarios del original para obtener el plano copia.

* / 8 . Instrumentos de reducción.—Compás de proporcÍQ-«««.^Supongamos dos rectas AE y BD exactamente iguales eij longitud y que se corten en un punto C, de modo que las partes "de un mismo lado de este punto sean iguales, es decir, que se ^enga AC-^ BC y DC ^^ EC; imaginando trazadas las AByDS tendremos dos triángulos ACB y DCB, que serán semejantes, d^ los que resulta:

AC: DC :: BC : CE De modo que ú AC fuese la mitad, el tercio, etc., de CJ", r e

sultaría también AB mitad, tercio, etc. de DE^ lo que se conse-•guirá haciendo movible el punto C(fig. 134). .

Materializando esta teoría, el compás de proporciones secón»*.. pone de dos brazos de metal AEy BDy terminando por P<M£KÍ|

— 196 — de acero; estos brazos tienen el ancho suficiente para llevar una abertura longitudinal en su centro por donde corre á lo largo una pieza /, que ajusta exactamente con ella.

Uno de los brazos lleva rayas divisorias señaladas con las-fracciones—, —, —, —-, etc., que indican las relaciones de que

2 3 - 4 ^ se puede hacer uso.

Haciendo coincidir la línea de fe que lleva la pieza movible con la raya de la fracción á cuya relación se quiere reducir, y apretando su tornillo de presión, tendremos dispuesto el compás á los usos á que se le destinan (fig. i35).

Pantógrafo de Gaward.—Se funda 1« teoría de este instrumento de reducción en que si se suponen dos reglas A'C, CK (fig. i36) unidas por medio de articulaciones á otra PC en los puntos A' y C, constituyendo un sistema que puede girar alrededor del punto P , conservándose siempre paralelas las dos primeras reglas cuyas longitudes son proporcionales á las distancias de P á las articulaciones respectivas, sus extremos K y C estarán siempre en línea recta con el punto fijo P , principio que está fundado á su vez en la teoría de las líneas proporcionales. Además, al pasar el sistema de una posición á otra recorriendo el punto C un arco Ce, los extremos K y C de las reglas paralelas estarán también en línea recta en sus nuevas posiciones k' y c' en virtud del principio indicado, y se tendrá la proporción:

Pe : Pa :: Pk : Pe' y como por hipótesis se tiene

PC : PA' :: P ^ * . PC y las primeras razones son evidentemente una misma, se tendrá:

PK.PC :: Pk-.Pc' y por consiguiente la recta Ce' es paralela á Kk y está con ella en la relación constante de PA' á PC. En virtud de todo lo expuesto, si suponemos un lápiz situado en el punto C y un punzón en Ky cuando éste recorra una recta Kk, el lápiz trazará la Ce paralela á ella y en la relación de PA' á PC; por lo tanto, cuando el punzón recorra los diferentes lados de un polígona

— 197 — <UaIquiera, el lápiz trazará otro semejante á él por tener sus lados paralelos y en la misma relación, que puede ser dada de antemano disponiendo convenientemente las articulaciones A' y C. Las «urvas recorridas al mismo tiempo por KyC resultarán también semejantes porque pueden considerarse como límites de polígonos rectilíneos.

descripción del pantógrafo.—Se compone el pantógrafo de ^os reglas de metal ^ C y BD (fig. iSj) unidas á otra C^por me-•dio de juegos de charnela c, c', los cuales llevan en su parte inferior un taladro donde se introduce una palanca en que termina Ja pieza del destornillador; una cuarta regla A'B' igual en longitud á la parte QD de la CK va unida por sus extremos por juegos ae charnela c" y c'" como los anteriores á dos cajas de metal ^ ' y B' que corren á lo largo de las reglas AC y BD cuando se aflojan los tornillos t y t', logrando de este modo colocar la A'F paralela á la CD y á la distancia conveniente, constituyeiido un paralelogramo A'B'DCde ángulos variables. A lo largo déla parle PA corre otra caja P con una tuerca t" para fijarla á la regla y <:on un taladro cilindrico por la parte interior, donde lleva un eje «e acero que tiene en su extremo una masa de hierro / / , la que nace permanecer fijo dicho eje alrededor del cual se verifica el movimiento de rotación de todo el instrumento.

Otra caja C corre en la regla A'B' fijándola en el lugar conteniente por medio del tornillo t'", llevando un lapicero f, y en «na tercera caja X dispuesta en la regla CD como la anterior en la A'B' va un calcador a. El lapicero lleva unos pesos de plo-n>o en su parte superior para que pueda estar en contacto con e l ' papel colocado sobre el tablero y para cuando se quiera que el lapicero no señale sobre el papel, se eleva aquél por medio de un cordón que pasa por unas poleas verticales p, p' y la horizontal" .

-P 1 así como por una anilla b, sujetándose por sus extremos á la pieza d dotada de movimiento de báscula.

Las reglas que constituyen el instrumento se apoyan en cua-i ^ro ó más cajas s, que llevan en su pane inferior unas armaduras •«e hierro, las cuales terminan en unas ruedas de marfil r suscep-

—. 198 — tibies de girar alrededor de su eje horizonta], y la armadura sobre que éste se apoya gira también alrededor de un eje vertical, resultando que todas las ruedas giran en todos sentidos.

La longitud de la regla BD es igual á la parte de la CA, que hay desde su extremo C hasta el cero.

A partir de este punto en la CA, del extremo B, en la BD, y del A' en la A'B', se ven marcadas en las tres reglas'las mismas divisiones - ¿ - - ^ ^

Las letras mayúsculas de ia fígura son las que van grabadas en el mismo instrumento.

Verificaciones y correcciones.—Las causas de imperfección á que este instrumento está sujeto y las verificaciones y correcciones á que da lugar son las siguientes:

I.* Que estando bien establecidas las divisiones de las tres r e glas, exactamente colocadas las cajas A\ B' y C (fig, 137) en la relación elegida de ' / , , por ejemplo, los tres puntos P, C, K, no se hallen en línea recta, lo que se conocerá en que adaptando á ellos el canto de una regla ó un hilo tirante no coincide exactamente. Entonces el error no puede provenir de que la punta del lápiz ao-sea la proyección del eje del lapicero por estar mal afilado, lo que se conocerá si haciéndole girar sobre si mismo alrededor de su eje traza la punta una pequeña circunferencia en lugar de señalar un solo punto, en cuyo caso se afilará mejor. Si á pesar de estar bien afilado el lápiz su punta no se halla en línea recta con los ceros, es prueba de que el error está en las divisiones de la regla A'B\ por lo que habrá que recorrer á lo largo de ésta la caja C en el sentido conveniente, verificando la corrección por tanteos.

a.* Que estando el lapicero en línea.recta con los ceros Py K no resulte la coincidencia debida, resultando, por tanto, en el or i ginal, una recta más corta ó más larga que la homologa de la r e currida por el lápiz en la copia. En este caso, se aproximará la re> gla A'B' á la CK, ó se alejará de ella paralelamente á sí misma hasta encontrar por tanteos una posición en que se verifique la coincidencia exacta.

Usos del pantógrafo.—Dispuesto el instriimento en un tablera

— «99 ~ bien nivelado y colocadas las cajas en la relación que hayan de estar el original y la copia, se reduce la operación á pasar el calcador a por todas las lineas del original, las que irá reproduciendo fielmente y con exactitud el lápiz en el papel dispuesto para la copia.

El pantógrafo sustituye con la mayor ventaja á cuantos procedimientos son conocidos, determinando con toda facilidad y prontitud que pueda desearse los contornos del dibujo, así como sus detalles, por complicados que sean.

TERCERA PARTE

Trazado de vías de comunicación.

203 —

LECCIÓN PRIMERA

ConsideracioDfs generalts.—SitnacióD en que pufde encontrarse la vía con res» pecio al terreno natural.—Drfinición de las partes principales de que se compone una vía.—Desmontes.—Terraplenes.

179. Consideraciones generales.—No hay explotación de minas en que el transporte exterior ó las comunicaciones no necesiten carreteras, caminos de hierro ó planos inclinados, generalmente en trayectos cortos y de un desarrollo poco considerable. Por lo tanto, daremos algunas nociones siquiera sean elementales sobre su trazado, que está la mayor parte de las veee» reservado al geómetra encargado en los trabajos de las minas.

En todo proyecto de carretera ó camino de hierro los dos puntos que han de ponerse en comunicación son conocidos, 6 bien solamente uno, y la pendiente de la línea que los une.

En uno y otro caso se debe tener en cuenta llegar al objeto deseado con el menor gasto posible, siendo esta la primera y más importante de las condiciones.

Para esto se evitarán las obras de arte, las grandes trincheras, los fuertes terraplenes, el atravesar tárenos de mucho valor, etc.

Mas si se observa que en pequeñas secciones los radios de las curvas pueden llevarse á 5'", se ve claramente que los puntos difíciles no será costoso el franquearlos, teniendo á la vez en cuenta que si se evitan las obras de arte se aumenta mucho el desarrollo de la vía siguiendo las sinuosidades del terreno.

Debe ser cuidadosamente estudiada la naturaleza del terreno recorrido, el punto de arranque dé los materiales destinados á la -obra y las condiciones climatológicas para el caso de establecer una carretera; por tanto, debe escogerse con preferencia un suelo sano y seco, y si se costea una corriente de agua, elevar el niv«;l ,, «el camino de las más altas crecidas que se conozcan en el pa¡^>V

En la mayoría de ios casos no se pueden llenar todas-MW*^

— 204. —

condiciones por no vener siempre dos ó más trazados diferentes entre sí con condiciones diametralmente opuestas; así que el solo estudio de diversos trazados y sus presupuestos pueden dar una idea justa de la elección que se deberá hacer.

El trazado se divide en anteproyecto, proyecto definitivo y •ejecución de los trabajos.

El anteproyecto tiene por objeto establecer de una manera aproximada los gastos que hay que hacer y comparar varios trazados entre sí. El proyecto definitivo establece los gastos exactos del mismo, y la ejecución de los trabajos consiste en reproducir sobre el terreno lo que se ha establecido sobre el papel por el proyecto definitivo. Este último es susceptible de modificaciones durante su ejecución, ya por necesidad, ya poi economía.

180. Situación en que puede encontrarse la vía con respecto al terreno natural.—Toda vía de comunicación puede -encontrarse, respecto del terreno natural, en tres situaciones:

I. ', al nivel del mismo; 2.', debajo del suelo de éste, y, 3. ' , encima de él.

Cuando se halla en el primer caso, que sucede pocas veces, la superficie del terreno sólo exige la preparación necesaria para recibir la vía. En este caso se dice que la vía está de nivel.

1 8 1 . Definición de las partes principales de que se compone una vía.—Se llama despionte la parte de terreno que hay ^ue arrancar cuando la vía tiene que ir por debajo del suelo natural, y á operación ejecutada desmontar.

Las partes Aa'B^ Cc'D., Jfe'Fconstituyen desmontes (fig. i38). Se llama terraplén al volumen de tierras superpuestas ó agre

gadas cuando la vía pasa por encima del terreno natural, y la operación ejecutada terraplenar.

Se llama plano rasante á la superficie del terreno preparada para recibir la vía; rasante á su línea media ó sea á la intersección de este plano con otro ó con un cilindro vertical, según que la vía esté en línea recta ó curva, y eje 6 clirectri:^ de la vía á la |}royección horizontal d^ la rasante.

Si suponemos establecida la directriz RS de una vía y sobre

— 205 — ella se trazan una serie de planos y cilindros verticales, éstos cortarán el terreno natural según una línea MAa'B que se llama perfil longitudinal, y al plano rasante según la rasante RS. Este perfil longitudinal se obtiene por medio de una nivelación topográfica verificada á lo largo de la línea citada anteriormente.

La rasante, con arreglo á dicho perfil, puede ser ftorÍToníai o de nivel y en pendiente, bajando ó subiendo. Cuando sube se llama rampa.

Se llaman/«MÍOS de paso á los puntos Á, B, C, D del perfil longitudinal.

Se llaman líneas de paso, de desmonte á terraplén, ó viceversa, á las intersecciones del plano rasante con el terreno natural.

Se llaman cotas de desmonte ó terraplén las alturas aa' bb' de cada punto del terreno sobre el plano rasante, ó de éste sobre aquél.

Si ahora trazamos varios planos verticales y perpendiculares á la directri:^ por los puntos b\ c, e',... estos planos cortarán al rasante según rectas horizontales mp, m'p\ m"p" normales á la directriz, y al terreno según líneas transversales que se llaman perfiles transversales, cada uno de los cuales tiene un punto común con el perfil longiiudinal.

De manera que, según la cota ó altura de la rasante y la mayor ó menor inclinación transversal del terreno, la vía puede hallarse:

Toda al nivel del terreno; toda en desmonte (perfil i.\ figura i38;; toda en terraplén (perfil 2.°), y parte en desmonte y parte en terraplén (perfil 3."), tomando en este caso el nombré de en ladera.

Se da el nombre de explanación al conjunto de trabajos hecho» para la ejecución de los desmontes y terraplenes.

Se llama explanación á cielo abierto cuando los desmontes llegan á la superficie del terreno natural, y explanación subterra-

'*tea cuando el desmonte no llega á la superficie de dicho « " e n ° v 1 8 2 . Desmontes . -Todo desmonte consta de un fo^do 6 •.

caja de forma y dimensiones veriabjes, de dos cauces lateralfl». .,

— 2o6 — llamados cunetas, para la salida de las aguas, y de dos caras inclinadas.

Las cunetas son de forma trapezoidal, siendo sus dimensiones más comunes o"i.8o de ancho en la parte superior, y.o'".42 en el fondo (fig. i3g).

El fondo de la cuneta debe quedar más bajo que la rasante de la explanación para que ésta quede bien saneada y las aguas salgan lateralmente con la misma pendiente que aquélla. Cuando €l terreno es flojo y la pendiente es grande, se hace preciso empedrar el fondo y parte de los costados, para que las ag;uas,á causa de su mucha velocidad, no hagan socavaciones. Y cuando la pendiente sea pequeña ó de nivel se dará mayor pendiente á las cunetas, haciendo éstas más profundas del lado que vienen las aguas.

Las caras del desmonte más ó menos inclinadas se llaman taludes.

En la ejecución de un desmonte hay que verificar tres operaciones: su extracción del lugar donde se encuentra, el transporte al punto donde haya de emplearse y la colocación en éste.

Para abrir un desmonte es necesario que satisfaga á la doble condición de poder establecer á la vez trabajos en varios puntos sin que los operarios se estorben unos á otros, con objeto de que se realice la obra en poco tiempo y con el menor gasto posible.

En la organización de las cuadrillas de los desmontes hay <jue procurar que el número de los cargadores y transportadores €sté en relación con el de cavadores, y que las distancias de los puntos de carga á los de descarga seah los más conos posible, de»-«chando sietnpre que se pueda los transportes verticales y en rampa y prefiriendo los horizontales y en bajada como más expeditos y económicos, y, por último, que los medios de transporte sean los más adecuados, no sólo á las distancias que median, sino al volumen de tierras que se han de transportar.

£1 número de cavadores que necesita un cargador depende <Íe la dureza del terreno.

Si se quiere conocer se dividirá ei tiempo empleado por un

— 207 —

<avador en remover un mitro cúbico de tierra, por ejemplo, por ^l empleado por otro operario en cargaría; el resultado será el número de cavadores necesarios á un cargador.

Esta relación da idea de la mayor ó menor dureza de las tierras; por tanto, si esta jelación fuera de -5- = i.5o, se diría tierra •de tres cavadores para dos cargadores.

Si es de — = 2, se dice tierra de dos cavadores para un carga--dor, ó de dos hombres, y así sucesivamente.

Los medios de transporte son variados y dependen no sólo de las distancias sino del volumen que hay que transportar, por lo que debe existir cierta relación entre los cargadores y tránspor-tadores, teniendo presente que es necesario que al concluir un cargador de llenar un vehículo cualquiera, le presente el trans-ponador otro vacío, y en el caso que haya dos de éstos es necesario cargar uno en tanto el otro recorre el camino de ida y vuelta.

El medio de transporte más adecuado en cada caso está dado por la práctica, y ésta aconseja como preferibles en el orden de las •distancias para los transportes horizontales los medios siguientes:

I)e o á ao™ las palas y espuertas. De 20 á 90 las carretillas. De 90 á 200 los carros. De 200 á 5oo los carros tirados por caballerías. De 5oo á 2.000 los vagones tirados por ídem. De 2.000 en adelante vagones arrastrados por locomotoras. Al fijar la inclinación de los taludes se cuida de no llegar al

talud definitivo, dejando una faja de terreno de o™.i5 á o™.20 de «spesor. Después se practican de 5 en 5 metros ó de 10 en 10 y -en plands verticales perpendiculares á la directriz de vía rotas 6 maestras, uniéndolas después por medio de cuerdas colocadas en , su parte superior y que sirven de directrices para determinar las stiperficies que marcan el talud adoptado.

La inclinación de estas directrices se fija por una regla á k^ •"<ual se adapta un nivel de albañil en forma de bastidor cuadmdo^^

-"bcd (fig. ,40), en cuya diagonal ab la plomada p indica UB l « ^ ] a graduadas para cada talud.

— 208 —

En los terrenos flojos se da ordinariamente una inclinación á las caras de los desmontes de i^.So ó i de base por i'" de altura (fig. 141), y en los terrenos más ó menos duros suele ser el talud de I por I.

En las rocas y según su dureza se dan los taludes de V4 á Vior llegando en algunos casos á dejarlos verticales.

Los productos de las excavaciones pueden destinarse: todos á formar terraplenes á uno y otro lado del desmonte, parte al mismo objeto y el resto á otras obras ó á ser depositado fuera de la explanación de la vía, y todo á depositarse fuera de la vía.

En el primer caso, y suponiendo se quiere formar terraplenes situados á uno y otro lado del desmonta-, se colocarán dos brigadas de operarios, según el eje de la vía, y separados uno de otro I™.5o próximamente; comenzarán á excavar á partir de las extremidades mj n (fig. 142) la primera capa del terreno, según planos inclinados, hasta llegar al punto o.

Terminadas estas excavaciones se procede á desmontar las segundas capas m'o' y ti'o', y así en las demás. Pero si se quisiera dar mayor impulso á los trabajos se empezarán las segundas capas cuando las primeras hubieran adelantado lo suficiente, teniendo el cuidado de practicar en les costados las rampas necesarias para el transporte.

Cuando la mayor parte de los productos del desmonte se destina á formar un solo terraplén, por ejemplo el /', se prolongan entonces por dicho lado las excavaciones hasta la horizontal nt en caso necesario, quedando una pequeña cantidad para transportarla al otro lado. *

Si, por último, los productos del desmonte excedieran de los que se necesitan para el terraplén, se empezará por desmontar la parte central BOB' por capas ó planos inclinados, haciéndose la extracción por los extremos B y B'\ después se abren zanjas laterales ó transversales á la vía, bastantes separadas unas dei otras para extraer por ellas los productos del desmonte próximos á d i chas zanjas.

Para conservar las estacas del replanteo y otros usos se dejaa

— 209 —

porciones de terreno sin arrancar en los desmontes, las que se labran en forma de cono truncado, y se las da el nombre de damas. Terminado el objeto para que se han dejado se destruyen.

A los depósitos de tierras que no se han utilizado para la formación de los terraplenes se les llama caballeros, y se deben colocar algo distantes de la vía para que su peso no origine desprendimientos sobre la misma.

A las excavaciones hechas en las proximidades de la vía con objeto de tomar tierras para la construcción de los terraplenes, se les da el nombre de :^anjas de préstamo.

La faja de tierra que queda entre la vía y las zanjas de préstamo se llama berma.

183. Terraplenes.—Un terraplén se compone de una superficie ó cara superior que tiene por objeto recibir la vía, con un ancho que depende de la clase de ésta, de la superficie correspondiente al terreno natural y de las caras laterales, cuya inclinación varía en razón de la clase de tierras de que se compone.

La ejecución de los terraplenes puede hacerse por capas de poca altura y mucha extensión, ó por capas de mucha altura en toda su extensión. Los materiales empleados para su composición pueden ser procedentes de los desmontes, de las zanjas de préstamo ó de ambos, siendo de preferencia las tierras sueltas y vegetales.

En ambos casos debe limpiarse el terreno sobre que se ha de ejecutar el terraplén de hierbas, raíces, etc., labrando si hubiese prados, con objeto de establecer la más perfecta unión entre la •uperficie del terreno y el terraplén. Cuando el terraplén se ha **eformar sobre superficies bastante inclinadas, es conveniente formar en el terreno escalones a, ¿, c,d... de o>n.5o á i de altura, Wiendo que el plano de las caras superiores esté inclinado en ••ntido contrario á la superficie del terreno, para qup de esí© '"Wdo no resbale el terraplén ¡fig. i43).

En la construcción de los terraplenes debe seguirse el prirner procedimiento cuando la altura del mismo no exceda de 4™, porque para mayor altura es muy lento y poco económico; 7 el "" u

gundo procedimiento cuando dicha altura es mayor, aunq^ue casi se puede preferir el segundo en todos los casos.

Cuando los terraplenes se construyen por el segundo método, en las proximidades ó las obras de fábrica, y cuando aquellos tienen mayor altura que estas últimas, conviene formar el terraplén avanzando por igual en ambos lados de las obras hasta que el pie del terraplén llega próximamente á la mitad de la altura de los estribos, colocando á mano y apisonando esta parte del terraplén hasta cubrir por completo la obra de fábrica. Esta medida se toma para evitar la dislocación de la obra y su destrucción, que indudablemente resultaría si no se contrarrestase el empuje del terraplén por el lado opuesto. '

Cuando las aguas bañan el pie ó caras de un terraplén, es necesario revestirle en toda la altura á que lleguen las aguas con piedra en seco, y á lo que se llama piedraplén.

El talud de estos revestimientos será el del terraplén, y su espesor no debe bajar de o™.8o en su base por o™.40 en la coronación <

El talud más general de los terraplenes es de i™.5o por 1 de base y ahura respectivamente, aunque en algunos casos varía por la tlaturaVeza de las tierras.

En el caso de que las caras de un terraplén, lo mismo que las de tm desmonte, tienden á ocupar terrenos de mucho valor, ó no toman su talud natural por la mucha inclinación de las laderas, se emplean muros de contención destinados á contener los empujes de las tierras en ambos casos. Estos Muros se pueden construir de piedra en seco ó con mezcla, prefíriendo los primeros por dar niejor salida á las ^aguas y disminuir los efectos del empuje. La forma es la de un trapecio cuyas dimensiones son respectivamente o™.40 y o™.8o, teniendo su cara exterior una inclinación variable de ' / »^ V,o y la ioterior escalonada, cuyos escalones tienen de i'".2o á i^.So de altura por o™.iO á o™.3o de ancho (fig. 144.)

— i l l

LECCIÓN SEGUNDA

C*ininos ordinarios.—Datos que debe contener el piano de la zona por donde pasa la vía. —Trabajos de campo.—Personal necesario.—Estacas de la base J de los perfiles transversales.—Iistrumento en estación.—Libreta de campo.— Nivelación de todos los puntos antes determinados.

184. Caminos ordinarios.—Los caminos se dividen en cuatro clases, que son: i.*, los llamados naaowíT/ei-, ó sean las carrereras generales, que unen la capital de la Monarquía con las fronteras del reino; 2.*, los provinciales ó transversales, q*ue son los que interesan á una ó más provincias, estableciendo comuni-•caciones entre sus capitales, bien empalmen ó no con las de pri-<nera clase; 3.', los municipales ó provinciales, es decir, los que «entro de una provincia interesan á uno ó más partidos ó ciudades importantes por su comercio, industria ó agricultura; y 4.*, los vecinales 6 locales, que son los que interesan á uno ó más pue-»>»os dentro de sus términos juridiccionales. Los pequeños caminos ó veredas que atraviesan las haciendas ó propiedades rústicas y llevan diez años de uso común toman el carácter de vías públicas, sin poderlas variar ni cerrar sus primitivos dueños.

La longitud adoptada en España para los diferentes caminos ^ntes expresados, es como sigue:

FIEME BERMAS

ó paseos.

LATITUD total.

CUNETAS

í ' c l a s e *•' id. 3 / id. 4-* id

Metros. 6.68 6 . 1 2 5.60 4.84

Metros. 3.34 2.78 2.22 1.66

Metros. 10 8.90 7.82 6.5o

Metros.]

\ Dimensionei I 1 variables según Q,5 lias aguas que

, ] han de recibir. 0 . 5 ;

En las inmediaciones de las capitales puede aumentarse el firme hasta S^^o. En los pasos difíciles de mucho coste pueden suprimirse ó 'disminuir bastante los paseos en los caminos de I.* y 2.* clase.

En los de 3.' y 4.* que tienen poco más espacio que el necesario para el tránsito de los carruajes no se debe disminuir el firme á no ser en parajes muy costosos en que podrá bastar pase cómodamente un carruaje, esperando en el lado opuesto el que marcha en sentido contrario.

Los paseos en este caso quedandel todo suprimidos. 186. Datos que debe contener el plano de la zona por

donde pasa la vía.—Por poco importante que sea el proyecto de una carretera, se deberá dibujar un plano de la zona por donde ha de pasar el trazado, conteniendo dicho piano los límites de lo» terrenos atravesados, el nombre de los propietarios á que pertenecen, superficie de las parcelas, etc., etc.; trazando sobre este plano con tinta roja el eje de la vía é indicando el radio de la» curvas y el ángulo en el centro de las tangentes. Sobre el eje se numerarán los piquetes de los perfiles transversales, dibujanda además un perfil longitudinal siguiendo el eje del proyecto, sobre el cual se marcarán por una línea roja la intersección del eje de k carretera en proyecto con la del terreno natural, ó sea el des^ arrollo de la linea mixta que forma el eje del trazado.

Los perfiles transversales se trazarán en el plano guardando» con el eje de la carretera la relación de posición con que se hayan trazado en el terreno.

186. Trabajos de campo.—Cifando no se dispone de un plano general donde se puedan encontrar situados todos los datos que debe contener la zona por donde ha de pasar la carretera, se procede por levantar el plano de dicha zona, siguiendo para ello d método más conveniente,de los explicados en la planimetría^ así como empleando el instrumento que parezca más á propósito-y que creemos debe ser el teodolito.

El estudio de una carretera exige en primer lugar, y es de tama importancia, el reconocimiento escrupuloso de la zona ta

— ai3 — '<lue ha de desarrollarse, una vez que sean conocidos los puntos obligados que ha de unir ó su dirección general.

Para esto, entre los citados puntos, y acompañados de guías ú hombres prácticos en la localidad, se recorre el terreno en tino y otro sentido, marchando por los diversos caminos que puedan conducirá los mismos puntos, haciéndose cargo detenidamente de la estructura del terreno, dirección de los ríos y de las •divisorias, de sus contrafuertes ó estribaciones y de los barran-< os, mesetas y valles, formando un ligero croquis, en el que se indican Jos pasos convenientes para las divisorias y corrientes de ^ u a , las enfilaciones generales y cuantas observaciones se crean convenientes para el objeto.

Si el trazado ha de recorrer un país llano, pocas dificultades ê presentarán para la elección conveniente de la traza; mas si el •terreno es montañoso, hay precisión de verificar ciertos trabajos preparatorios, tanto más necesarios y 'penosos cuanto más caprichosas sean las direcciones y altitudes de las cordilleras y estriba<7 Clones que haya que atravesar ó vencer, Pero siendo imposible "^ unos elementos como los presentes comprender todos ó la âyor parte de los problemas á que da lugar la elección má» «certada de la traza, nos ocuparemos de Ja marcha general que. *n ciertos casos se debe seguir.

Cuando la vía tenga que desarrollarse según la dirección de i n valle, suele haber dos zonas, que son las más favorables par* *1 trazado: una la que va por el fondo del valle en dirección pa?-Jálela al camino de aquél y á corta distancia del mismo, y la otra la inmediata á la línea divisoria que comprende el nacimiento de Jos afluentes del río principal. La primera es la que ordinaria-•nente se sigue, procurando ceñirse siempre á la meseta que sirve ê estribación á las montañas, cuando las condiciones del traza-•• Oj la pendiente del río y la configuración del terreno lo permitan, sin olvidar que en general aquella pendiente aumenta con J"**» ó menos rapidez al acercarse el río á su origen.

Cuando haya necesidad de cruzar un río, se examinartl sU *. <auce buscando el paso más favorable, sin perder de vi»t» ié r-^^

- 214 — altura á que podrá estar la rasante y la clase de terreno en que las obras de fábrica habrán de fundarse.

Una vez establecida la zona en que se ha de desarrollar el trazado, veamos ahora cómo han de organizarse los trabajos y de que modo se han de practicar éstos para el mejor y más rápida resultado de las operaciones.

187. Personal necesario.— El personal necesario para verificar los trabajos de campo se compone de dos empleados, un escribiente ó peón intruído y tres ó cuatro peones (').

Uno de los primeros jefes de ki brigada es quien dirige las operaciones, fija los vértices de la base de operaciones, indica en el sentido en que se han de trazar loe perfiles transversales y lleva la libreta del croquis; el segundo hace las observaciones con el teodolito, y el escribiente anota en la libreta correspondiente los datos y observaciones que el segundo le dicta.

De los peones se dedican los dos más instruidos á la medida de las líneas con la cadena ó cinta metálica, cujas medidas anota el escribiente en el lugar que corresponde, y los restantes colocan las estacas de la base y puntos necesarios en los perfiles transversales .

188 . Estacas de la base y de los perfiles transversales.^ Los reconocimientos previos y tanteos hemos visto que reducen á una extensión muy limitada la zona de los trabajos en sentido de su latitud, en la cual conviene establecer la base de operaciones, procurando, siempre que sea posible, situarla en los puntos más altos y mejor definidos y hacia su centro, para que desde los vértices se comprenda su anchura. L« latitud de esta zona no se puede fijar a priori, pues depende naturalmente de las circunstancias de la localidad, de la mayor ó menor importancia de la carretera, según el uso ó usos á que ésta se destine, pudiendo fiijarse como límite máximo loo metros y como mínimo 20.

(*) Aun cnando bastaría an solo empleado facultativo para practicar todas las operaciones de campo, dibujando él mismo el croquis y acotando en la libreta las observaciones que hiciera con el instrumento, indicamos p^ra cada brigada el personal que juzgamos necesario para que las operaciones sean ejecutadas con la. lapidez necesaria.

— 2IS —

Si en vez de una carretera se tratara de un camino de hierro, los límites de dicha zona serían de lOO á 800 metros, teniendo por término medio 400 metros.

La distancia á que deben situarse las estacas de la base es muy variable, y, por tanto, puede estar comprendida entre 10 y aoo™, no debiendo pasar de este límite, á no ser que el terreno fuefa despejado y de pendiente constante, procurando colocar dichas estacas fuera de los terrenos de cultivo, con el fin de evitar el que desaparezcan al labrar los campos.

Los perfiles transversales deben trazarse fíor los puntos determinados en la base y perpendiculares siempre que sea posible á una de las dos líneas que concurren en cada punto; sobre estos perfiles (que se habrán trazado simultáneamente con la base) se determinarán tantos puntos como cambios de pendiente se encuentren en dichas líneas, colocando estacas en ellas, que.se numerarán á partir de la del eje á derecha é izquierda, para evitar confusión al hacer la nivelación de todos los puntos. Las distancias entre los puntos determinados en los perfiles transversales se anotarán sobre el croquis para hacer después su trazado.

Para las estacas de la base se emplea la numeración correkr tiva 1 2 3 4 . desde el punto de partida, y para los detalles las letras m¡vúsculas A, B, G,... con el númerodel vértice desd^ el cual han sido observados.

189 Instrumento en estación.-Colocadas las banderolas en los puntos convenientes y el instrumento en estación, se dirige v el anteojo á la banderola colocada en la estación de atrás o punto departida si esta fuera la primera estación, leyendo el rumbo correspondiente á dicha línea, que deberá diferenciarse del obte-nido en el otro sentido de la misma en .80°. y se visa después al punto siguiente para hallar el ángulo directo Ide las dos a l inej . ciones, que deberá ser igual á la diferencia entr^ los rumbos ob-servados para las mismas.

1 j j - 1 » ;An trazaremos el. perfil transversal corres-„ Desde dicha estación trazaremu» Í • . . . _ pondiente á este punto, observando su rumbo s , este no Juer^

. perpendicular á ninguna de las dos alineaciones.: , , . .. '-^

http://que.se

— 2 l 6

Se tendrá un especial cuidado en llevar siempre el mismo orden en las operaciones para no dar lugar á errores que se originarían si se hiciese alguna alteración; por lo tanto, se observará: primero, el rumbo de la línea de atrás; segundo, el ángulo directo entre las dos alineaciones; tercero, el rumbo de la segunda línea; cuarto, se hará el trazado del perñl transversal, y quinto, se harán las medidas de estas líneas por el orden en que se han determinado sus valores angulares.

190 . Libreta del croquis.—Ya hemos dicho que el jefe déla brigada es el encargado de llevar los croquis, y se ocupa en hacer el dibujo aproximado de la zona en que va á operarse mientras se pone el teodolito en estación y se hacetf las observaciones á los vértices de atrás y de adelante.

Para estos croquis se emplean generalmente dos lápices, uno con los colores rojo y azul y el otro negro; la base de operaciones se traza con rojo, con azul los ríos y afluentes y con negro los demás detalles del croquis. En cada página, que ha de comprender dos ó tres estaciones, se indican los caminos, cortes del terreno, barrancos, cercas, casas, etc., y las obras de fábrica que salven las corrientes de agtia que el trazado atraviesa, cuidando de medir y anotar su luz y altura para conocer el desagtie é importancia de los ríos y arroyos.

Al mismo tiempo se indicará la clase de terreno, y si es de labor, viña, erial ó arbolado, marcando aproximadamente la dirección de las curvas de nivel.

Cuando en la libreta del croquis se hagan anotaciones que se refieran á puntos de la línea de operaciones ó perfiles transversa* les, se señalarán sobre aquél con el mismo número ó letra que le corresponden en la libreu del teodolito, con objeto de eviur al desarrollar el trabajo equivocaciones perjudiciales.

1 9 1 . NÍTflUcióa d« todos los puntos antes determinados. La nivelación de la base de operaciones y perfiles transversales se hace al terminar la operación anterior, empezando por nivelar cuidadosamente todos los puntos de la base de operaciones, repitiéndola á lo menos dos veces para tener más seguridad en su re-

— 217 — sultado, anotando los datos en una libreta igual á la expuesta al tratar de la nivelación por alturas.

Por esta nivelación se obtienen las cotas de todos los puntos del eje supuesto, procediendo después á la nivelación de los puntos de los perfiles transversales, tomando como cota de partida la que en dicho perfil transversal corresponde al perfil longitudinal. Esta nivelación se hace á derecha é izquierda del punto común de los dos perfiles, poniendo los datos en una libreta como la que exponemos á continuación:

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219 —

LECCIÓN TERCERA

Trabajos de gabinete.—Cotas de los puntos intermedios.—Cotas rojas.—Cilcolo de los puntos y líneas de paso.—Cálculo del desmonte y terraplén.—Estados necesarios para la cubicación.

192. Trabajos de gabinete.—Por medio de los datos anotados en las libretas del teodolito y de los perfiles longitudinales y transversales, y teniendo á la vista la libreta del croquis, se establece sobre el papel el plano de la zona nivelada. Este dibujo se hará siguiendo el procedimiento explicado para el trazado de los trabajos hechos con dicho instrumento, sin olvidar cuantas comprobaciones sean pertinentes al objeto.

Se dibujará un perfil longitudinal'siguiendo la línea de operación, sobre la que se tirará otra que indique el eje del camino. Este eje, según su posición respecto á la superficie del suelo, hará ver las cantidades de desmonte y terraplén, la distancia de los transportes y los puntos en que convendrá modificar el primer perfil. Las cotas indicadas en el plano de la zona nivelada demos-trarán cuánto conviene mover el eje á derecha ó á izquierda de la línea de operación, para que los desmontes y terraplenes sean los menos posibles y se compensen los unos con los otros, conciliable el todo con la menor distancia de transporte.

En estas modificaciones del primer perfil no se debe perder de vista que el camino ha de ofrecer siempre un aspecto agradable, siendo en cuanto se pueda lo más uniforme y con muy pocos recodos.

Una vez obtenido un perfil satisfactorio, se le pinta con tinta roja, como hemos dicho antes, sobre el plano de la zona nivelada, representando así el verdadero eje del camino. En el perfiL longitudinal se pintará igualmente roja la línea definitiva del proyecto, y con negro la del terreno, la cual se hará recta entre lo& diferentes puntos nivelados.

— 220 —

Dibujado ya el perfil longitudinal se pasará á hacer otro tanto con los perfiles transversales del terreno y camino, comprendiendo en esto las cunetas y taludes.

Las figuras 145, 146 y 147 representan el plano perfil longitudinal y dos perfiles transversales de un trozo del estudio hecho para una carretera.

Después de terminados dichos planos y perfiles, se disponen •de modo que tengan o™.3o de ancho cada uno, plegándolos sobre ellos mismos para que formen un cuaderno de o".20 X o"'.3o.

193. Cotas de los pantos intermedios.—El terreno comprendido entre dos piquetes consecutivos A y B (148), debe tener una pendiente uniforme, por manera que halladas las cotas c y c' de los dos, separados la cantidad </, la cota c" de un punto intermedio R situado á la distancia eT del piquete A será dada por la fórmula

c"^c-h^(c'--c)

Si, por el contrario, se quiere tener el valor de d' correspondiente á una cota dada c", se tendrá:

.*" .. c'-~<f'

194. Cotas rojas.—Se designa con el nombre de cota roja á la distancia vertical que separa un punto del terreno natural de la línea del proyecto. Esta distancia es igual á la diferencia de Jas cotas marcadas en negro y en rojo sobre la misma vertical.

Se determinará, por consiguiente, tina cota roja por una simple sustracción, conocidas las cotas del terreno y del proyecto en -el punto considerado.

Si conocida la cota de un punto del proyecto se quiere saber la de otro punto ligado al primero por una pendiente uniforme y situado á cieru distancia conocida, se agregará á la cota del primer punto ó se restará de ella, según que la pendiente desdeñóla ó suba, el producto de la pendiente en cada metro por. la dis-jancia horizontal de ambos puntos. Si esta pendiente no fuese uni-

— 221 — forme, se determinarán sucesivamente las cotas intermedias de los puntos de inflejíión.

Para mayor facilidad (fig. 146) supongamos que la línea del proyecto se establece de modo que pasa por el punto 20, uniéndose, por consiguiente, con la línea que representa el terreno natural; en este supuesto la cota del proyecto será en dicho punto 543^.90 igual á la del terreno natural. Para los demás puntos se tendrá: Cota roja en el punto 20 543.90 \ Pendiente del proyecto en 297™.5o

á o™ 0268 por metro 7.97 Si la linea de proyecto bajara ett vez de subir, se reítarian las pendientes que re-Cotaroja en el punto 21 551.87

Pendiente del proyecto en 225™. 10 á ^ suitaran de un perfil o™.o268 por metro 6.o3 á otro.

Cota roja en el punto 22 557.90 í

Para los demás puntos se continuará de igual manera, así como para las de los perfiles transversales, partiendo de las cotas ya conocidas del perfil longitudinal correspondiente al eje del camino.

195. Cálculo de los puntos y lineas de paso.—Conocidas las cotas rojas c y c' (ríg. 149) sobre dos verticales A y B unidas por pendiente uniforme y separadas entre sí la disuncia d, se tendrá la d' de la vertical A al punto de paso R por la fórmala

c-hc d" = d— <r, será la disuncia del punto de paso á la otra vertical B, que también se podría calcular como la d', haciendo

dc'_ • c'

Antes de exponer el procedimiento que se ha de seguir para determinar las lineas de paso, una de las más importantes opera-* ciones para la aproximación más exacta del volumen de tierras en desmonte, indicaremos la manera de colocar los perfiles transvecr

sales sobre el plano horizontal del camino para obtener la intersección del plano rasante con la superficie de aquél.

El pUnto M del terreno (fig. 15o) que se encuentra en la intersección de los planos verticales rectangulares del perfil longitudinal y perfil transversal, tiene cero por cota; otro punto tal como Nst relaciona con la línea MA, que en este caso representa el plano de comparacióu del perfil transversal. Después se traza una perpendicular MO igual á la cota AfO' de desmonte, y la línea Gg paralela á la . á ^ y de un ancho igual al de la carretera, representando aquélla la plataforma de la vía, ó sea la intersección del plano rasante con la superficie 4 1 terreno.

La línea itAfiV indica el relieve del terreno en sentido normal al eje de la vía y siguiendo el perfil transversal. Por los puntos g y G st trazan las rectas g-^ y GN más ó menos inclinadas, según la naturaleza del terreno, resultando, por tanto, el perfil en desmonte representado en MNGgK. La cota c'd' de terraplén se transporta al punto C y á la izquierda de dicho punto determinando el punto D.

Por los puntos I, é F se trazarán las rectas lE é FVqut indican la pendiente del terraplén, quedando determinada la línea EQPU, superficie del terreno.

Sabiendo ahora lo qtle es una línea de paso, veamos en el caso presente la manera de determinarla.

Los puntos E y Fque pertenecen á dos perfiles consecutivos en un terraplén se proyectan sobre sus ejes respectivos y la recta ef, que une los pies de estas proyecciones, es una línea de paso.

Entre dos perfiles tales como My C, de naturaleza diferente, y por todos los puntos como E^ C, P, en que la superficie del terreno cambia de pendiente, se trazan paralelas al eje y se divide el entreperfíl, ó sea la distancia entre los dos perfiles consecutivos que se consideran en partes proporcionales á las cotas de desmonte y terraplén; así, para determinar el punto £ , donde el desmonte sucede al terraplén, ó sea un punto de paso, se escribirá:

LR : LS:: HG: IJ ó bien

— 223 —

LR : LR •+- LS :: HG : HG -f- U de 4pnde

LR-^LSX HG _ RSXHG HG-\-ÍJ ~'HG + IJ

<le la misma manera se tendrá MT: CTv.MO : CD

para el punto T, continuando de una manera análoga para los puntos V y X.

Uniendo después la línea quebrada ALTVX con el punto_K, proyección de K^ tendremos la línea de paso ó término del desmonte y principio del terraplén. La parte LTVX es la intersec-* <ión del suelo con el plano rasante; en fin, puede decirse que el terraplén está completamente determinado por la línea quebrada ^mnfeLTVXZab.

Para determinar gráficamente los puntos de paso, tales como L, se tomará Rp=HG, Sq = IJ, y trazando la línea pq, quedará determinado el punto á que nos referimos.

196. Cilcolo del desmonte y terraplén.—Fija la posición del camino y hechos todos los perfiles longitudinal y transversales, se investigarán los volúmenes que resulten de desmonte y terraplén, ya para modificar el proyecto si estos volúmenes no se <:ompensasen recíprocamente, como para hallar los diferentes precios de obra y tener el primer dato del presupuesto. Bastará para ello proceder con orden de un perfil transversal á otro, haciéndose cargo de los diferentes volúmenes que resultan y ano- , tándolos después de dividir el camino por planos verticales paralelos que pasen por todos los entrantes y salientes del terreno y proyecto. En las vueltas del camino estos planos se sustituyen por superficies cilindricas paralelas al eje.

Dicho lo anterior, se procederá al cálculo de los volúmenes del movimiento de tierras del modo siguiente:

Siendo dados dos perfiles consecutivos, se pueden presentar cinco casos.

I." Los dos perfiles están en desmonte ó terraplén. 2." Uno está en desmonte y otro enjterraplén.

— 224 —

3° Uno está en desmonte ó terraplén, y el otro parte en desmonte y parte en terraplén.

4.° Los dos perfiles están parte en terraplén y parte en desmonte, y sus superficies en terraplén y desmonte se corresponden.

5." Los dos perfiles están parte en terraplén y parte en desmonte, no correspondiéndose estas partes.

Las figuras i5i, i52, i53, 154 y 155 representan estos cinca casos respectivamente.

La fórmula que se emplea en el primer caso es

i>ór=^±^ .¿ (I/) 2

Es decir, que el volumen en desmonte ó terraplén es igual á la semisuma de las superficies de los dos perfiles multiplicadas por la distancia qtie separa á aquéllos. Este volumen es conside^ rado como el de un prisma recto que tenga por base la media aritmética entre las superficies de los perfiles y por altura la distancia que los separa.

En el segundo caso se emplean para el desmonte y terraplén las fórmulas siguientes:

2

T~s.í 2

siendo ct y d" las distancias de los perfiles al punto de paso. Este punto se calcula como se ha calculado el punto de paso

del proyecto al terreno natural, en reemplazando las cotas rojas-por las superficies Sy s.

Como tenemos </ = i ' + <¿", si se ha obtenido <f, por ejemplo, se obtendrá rf" por la diferencia d!' = i-~-£.

En el tercer caso es fácil trazar por el punto de paso¡del perfil, parte en desmonte y parte en terraplén, yn plano xy paralelo al eje del camino, y considerar los volúmenes á derecha é izquierda de este plano por los casos i." y 2.°, habiendo calculado previamente la superficie abcx interceptada por dicho plano sobre et fttíA que está compleumente en terraplén ó desmonte.

— 335 — Para el cuarto caso se emplea la fórmula del primero, consi

derando las superficies que se corresponden. Y finalmente, en el quinto se emplean las fórmulas del segun

do considerando las superficies que se correspondan, estando antes calculadas d' y d".

197. Estados necesarios para la cubicación.—Los valores obtenidos por las fórmulas anteriores en los casos explicados para la apreciación del movimiento de tierras se van colocando en unos estados como el representado á continuación:

ESTADO PARA LOS CÁLCULOS DE LA CUBICACIÓN

Número de ¡os

perfiles.

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perfiles./

DESMONTES TERRAPLÉN TOTIL-I.*

Número de ¡os

perfiles.

DlD«DtMlle> de

las figuras.

Longitud entre

perfiles./ Si(«i8el«i. Cibu. tnptrliiN. tltlH. TOTIL-I.*

•

Estos estados se componen de ocho columnas: en la primera se anotan los números de los perfiles; en la segunda las dimensiones de las figuras, indicando los cálculos; en la tercera las longitudes correspondientes entre perfiles; la cuarta y quinta comprenden las superficies y volúmenes de las partes en desmonte; la sexta y séptima para las superficies y cubos de las partes en terraplén, y, finalmente, la octava contiene el total de metros cúbicos de ambas partes.

Bata última columna puede prescindirse de ella en algunos casos.

Para la apreciación de los gastos se lleva un segundo estado compuesto de cinco columnas, en las que se anotan la clase de obras, las cantidades, el precio y el importe total.

— 226

ESTADO PARA LA APRECIACIÓN DE GASTOS

INDICACIÓN de

las ijVjras. CASTIDADES PRECIO

I M P O R T t : INDICACIÓN de

las ijVjras. CASTIDADES PRECIO

POR NATURALEZA POR OBRAS

•

1 »

— 227 —

LECCIÓN CUARTA

Obras di f:ibr!c».—Ciioeta <íe coronación en los desmoDle».—Caminos de hierro.— Dtfifrtninación dei eje de un túnel. — Datos necesarios pira hacer la medida general de las obras.

198 . Obras de fábrica.—En la construcción de una carretera son indispensables cierta clase de obras llamadas dt fábrica ó arte, con objeto, unas de dar paso á las corrientes de agua, ya sean permanentes, como las de los ríos, arroyos, etc., ya sean accidentales ó periódicas, como las que provienen de lluvias ó nieves ó exigidas para el riego de la agricultura ó reclamadas por la localidad que atraviesan, y otras con el fin de salvar algún obstáculo natural del terreno, atravesar otra carretera ó camino cualquiera.

Las primeras, llamadas obras de desagüe, son las que generalmente se presentan en las carreteras, pues las otras, nombradas puentes-vias, son mas propias de los caminos de hierro.

Las obras de desagüe comprenden los puentes, pontones, alcantarillas, caños y tajeas.

Los puentes se dividen en puentes de fábrica, de hierro, de madera y mixtos, según la clase de materiales empleados en su construcción.

Según su disposición pueden strjijos ó móviles, según que permanezcan constantemente en la posición que se les asigne al construirlos, ó que algunas de sus partes puedan tomar movi-piiento por razones especiales, como la de establecer ó interrumpir ia comunicación, dar paso á las embarcaciones en ríos navegables, etc.

Los fijos se conocen con el nombre iepuentes cuando se establecen sobre una corriente de importancia, y, por lo tanto, de gran anchura; de viaductos, cuando sirven para la comunicación salvando una extensa y fuerte depresión del terreno, y de octM":

•Átl

— 228 —

ducto, si el objeto es la conducción de aguas á través del mismo obstáculo.

Se da el nombre de pontón á un puente de un solo arco, cuya luz está comprendida entre tres y ocho metros.

Se da el nombre de alcantarilla al puente cuya luz está comprendida entre uno y tres metros.

Se da el nombre de tajea á la obra de fábrica cuya luz está comprendida entre o™.5o y un metro.

Se da el nombre de caños á unos cilindros huecos de sección circular ú ovalados, formados de barro ó de hierro, terminando por sus extremos en unos cuellos con el fin de introducirlos ó enchufarlos unos con otros, constituyen3o de este modo un tubo continuo para la conducción ó salida de las aguas.

Se emplean en sustitución de las tajeas de pequeña luz y altura, revestidos de una capa de hormigón ó reforzados de otra manera parecida para su mayor consistencia y solidez.

Todas estas obras deben situarse en el punto más bajo del terreno, hallándose, por tanto, indicadas en los terraplenes en el punto de su mayor cota ó altura; además debe procurarse que el eje de dichas obras sea normal al de la explanación, por ser muy costosos y complicados los aparejos oblicuos de las bóvedas; con este objeto y con las precauciones debidas puede en muchos casos variarse la dirección de las corrientes para evitar la oblicuidad, ó bien, como sucede en las grandes cargas de terraplenes, hacer un frente ó corte normal, resultando, por tanto, desiguales en altura las dos aletas, é inclinado en vez de horizontal el plano del talud del terraplén y la imposta de coronación de la obra.

199 . Cuneta de coronación en los desmontes. —En los desmontes, aun cuando por regla general se dirigen las aguas por las cunetas, hay ocasiones en que es preciso pasar aquéllas á la parte opuesta, y en este caso puede efectuarse, ó por un acueducto superior ó, lo que es más general, por medio de un badén construido sobre el talud de la explanación y ejecutar después al pie de éste una cuneta para darle salida por Ja parte opuesta.

Cuando la pendiente transversal del terreno es muy grande,

229 es decir, en terrenos muy inclinados, no es conveniente ejecutar la obra de desagüe en los desmontes y terraplenes, siguiendo dicha inclinación por una línea continua, sino dividirla en trozos ó porciones horizontales ó ligeramente inclinadas. En este caso, y con el fin también de evitar ó, por lo menos, aminorar la acción corrosiva de las aguas de las fuertes lluvias en los taludes, se impide el que aquéllas viertan sobre éstos, estableciendo una ^anja ó cuneta de coronación y teniendo la precaución de colocar los productos de la excavación del lado donde vierten las aguas para formar sus rebordes. Estas cunetas se prolongan hasta llegar á los extremos del desmonte, dándole una inclinación de i por loo en sentido de su longitud; pero si el terreno fuese ondulado, se aprovechan los puntos bajos donde se reúnen las aguas para establecer desde ellos cubetas que bajan hasta la cuneta de la vía por donde se les da la correspondiente salida,

2 0 0 . Caminos de hierro.—Los caminos de hierro tienen por objeto disminuir las resistencias debidas al rozamiento de las ruedas, conducir á igualdad de fuerza mucha más cantidad de peso que por los caminos ordinarios, ó transportar el mismo peso con una velocidad mucho más considerable.

La pendiente máxima adoptada 6 adinitida en las carreteras es, según hemos dicho, de 5 á 8 centímetros por metro, comprendiendo los casos excepcionales; pero como á medida que disminuye el rozamiento aumenta la velocidad, se ha procurado en los caminos de hierro disminuir esta pendiente, admitiéndose en términos generales para la máxima o™.02 por metro, no debiendo pasar, siempre que se pueda, de o".oo5 á o™.oo6.

Los caminos de hierro se diferencian de los ordinarios ó carreteras en la forma especial de sus calzadas, en la menor anchura que ellas tienen, en sus pendientes poco sensibles, en los radios de curvatura para las variaciones de dirección, cuyo mínimo se fija en 3oo™ y, en fin, en el modo de cruzarse con otros caminos de hierro ú ordinarios, pasando á nivel ó por encima ó debajo unos de otros por medio de viaductos ó de túneles.

Tienen, por consiguiente, de común con las carreteras todoü

— 23° — los trabajos de desmonte y terraplén, y aun galerías subterráneas y las obras de arte de toda especie, como son los muros de contención, puentes, viaductos, etc., obras que se multiplican más en los caminos de hierro que en los ordinarios en razón á las menores pendientes que exigen, dando lugar á mayor número de soluciones.

Se aplica igualmente á los caminos de hierro todo cuanto se ha dicho respecto al trazado, desmontes y terraplenes de las carreteras ordinarias.

2 0 1 . Determinación del eje de un túnel.—Cuando la alineación representada en .ff£/s B'E'F' (ég. i56) es determinada por las direcciones BD y GF, se puede atacar la galería por los dos extremos; mas para que los trabajos se hagan en el plazo más breve posible, se practican pozos de distancia en distancia entre los mismos. Estos pozos, colocados de 5 á 8 metros del eje de la vía y profundizados hasta llegar al nivel de la plataforma de la misma en dichos puntos, permiten atacar la galería por mh& de estos á la vez. Para marcar la dirección que corresponde á dicha galería, se coloca en la parte superior de los pozos unos marcos ó reglas de madera bien as(igurados, señalando sobre ellos una linea xy (ñg. iSjj paralela al eje de la galería con la que se hará coincidir una regla, desde cuyo punto medio se hace descender una plomada con hilo de cáñamo estirado para evitar que dé vueltas; después que los pozos han llegado á la profundidad máxima que deben tener, se suspenden otras dos plomadas que lleguen hasta el fondo de la excavación, determinando dichas plomadas la proyecdón horizontal de xy; sobre esta proyección «e elevará una perpendicular AB igual á la distancia que les centros de ios pozos se encuentran del eje de la galería, determinando de esta manera puntos del eje; para obtener la dirección del túnel se traza una alineación CJ) perpendicular á la AB^ la que, prolongada en los dos sentidos, encontrará á los trabajos hechos por los entremos del túnel. Para trazar las perpendiculares se puede emplear una escuadra de acero CDEF de dobles brazos.

' . Si la proyección borizonul del túnel es curvaí y después de

— 231 —

trazada dicha proyección en la parte superior de la montaña, se procederá de la manera siguiente:

Hacia el medio se abre un pozo central, y á los extremos de éste y á distancias iguales próximamente á la sexta parte de la longitud del túnel, se abren otros dos de dimensiones algo menores que las de) primero. Se señalan con jalones las rectas que forman las tangentes al arco ó arcos que comprende la curva, con el objeto de que sirvan para determinar y fijar el eje en su verdadera posición y dirección, transportándolas verticalmente por los pozos y á las entradas del subterráneo. Los ejes de los pozos conviene, siempre que sea posible, ajustados sobre el eje horizontal de la galería.

Los vértices ó intersecciones de las tangentes debe procurarse no salgan fuera de la zona del terreno de la montaña correspondiente al espacio interior del túnel, disponiéndolo de modo que sea fácil transportar directamente las líneas al interior sin otras auxiliares.

Para esto será conveniente que tres tangentes lo sean respectivamente á los tres pozos determinados, marcando con miras coloradas sus intersecciones.

Hecho esto se pueden empezar las excavaciones, procurando conservar la verticalidad de los pozos é invariable su eje por medio de los marcos de madera antes descritos. Al llegar los pozos á su profundidad máxima y sirviéndose de plomadas análogas á las aplicadas, se tiende un bramante sobre dos caballetes nivelados á igual altura de los arranques de la galaría. Esta dirección se traza invariablemente fijando en los aros intermedios del re-vertimiento de los pozos dos cilindros de hierro. A medida que se adelante la excavación y prolongación, se colocan nuevos pun^ tos que se correspondan con los anteriores, con lo que resultará abajo en la galería una traza igual á la verificada sobre la montaña, verificándola varias veces para comprobar su exactitud.

2 0 2 . Datos necesarios para hacer la medida general de las obras.—La cantidad y naturaleza de la obra hecha se justificará en la medición general del modo siguiente:

— 233 —

I." Con los perfiles del proyecto de que se dará conocirniento al contratista al tiempo del replanteo de las obras, haciéndose entonces su comprobación sobre el terreno y rectificándose los que resultasen equivocados. Verificado el replanteo y comprobación de los perfiles, se hará constar en las hojas correspondientes de los planos la conformidad del contratista.

2." Con los perfiles que se formen al tiempo de hacer la medición de la obra ejecutada, que deberá tomarse precisamente en los mismos puntos á que corresponden los del proyecto, firmándose por el Ingeniero y el contratista.

3.° Con los perfiles que en los misnws puntos se lomen durante la ejecución de los desmontes á petición del contratista y por orden del Ingeniero. En tales casos se tomarán además perfiles intermedios ert los puntos de paso que resultarían, considerando perfiles longitudinales en las diferentes capas de terreno que se presenten, y se anotarán las distancias de estos últimos á los más próximos del proyecto.

4.° De un modo análogo y con arreglo á las disposiciones qi^e el Ingeniero adopte en cada caso se llevará nota de las excavaciones que se hagan para los cimientos y fuera del emplazamiento de las obras para la ejecución de los terraplenes.

CUARTA PARTE

Replanteos.

- «3S —

LECCIÓN PRIMERA

DeñoiciÓD.—Replantear una línea cualquiera.—Replantear una línea en la superficie.—Replantear la base de un edificio.—Replantear una línea en el interior de lai minas.

2 0 3 . Definición.—Se da el nombre de replanteo á la operación por medio de la cual se fijan en el terreno y en su verdadera posición los puntos y rectas cuyas proyecciones se hallan en el plano.

204. Replantear una linea cualquiera. — Esta operación puede dividirse en dos, á saber: replanteo de lineas en la superficie y replanteo de líneas en el interior, de las minas.

Para cada uno de estos casos se emplean instrumentos y métodos adecuados, siendo los aparatos más usados en el primer caso (sin excluir otros de más precisión) la cinta ó cadena y las escuadras, tanto la de reglas como las descritas en el núm. 66, y en el segundo los teodolitos y la brújula suspendida.

2 0 5 . Replantear una linea en la- superficie.—Tomemos como ejemplo el replantear los muros de un edificio, suponiendo que la base del muro está limitada por líneas rectas.

^Para esto (fig. i58) se empieza por fijar en el suelo ó en la cara superior de la fundación el eje afr, haciendo uso de un cordel que se sujeta en sus extremos con piquetes ó clavos; hecho esto, se mide horizontalmente la longitud ab que debe tener el muro, y en sus extremos se trazan las lineas cdy e/perpendicular res á la primera ó con el ángulo que resulte de los planos. En estas líneas se miden las distancias acy ad, be, bf, iguales al semi-anchodel muro en cada punto, j como se ha dicho antes, se tiende un cordel de c á e y d e / á <í, señalando de esta manera las líneas inferiores de los paramentos.

Si limitan á la base líneas curvas 6 quebrada», se sigue él mit^ mo procedimiento en principio, trazando un eje, ya curvo, f§

— 236 — rectilíneo, levantando las perpendiculares necesarias y tomando en ellas las longitudes convenientes, cuyos extremos se señalan con clavos.

Para trazar un muro como el representado en la figura iSg, se hace preciso dividir la curva abcdefen un numero de partes ¡guales, ab, be, cd, de, ef, y formar en cada uno de los pumos b, c, d, e, los ángulos abe, bed, cde, def, cuyo valor encontraremos en el plano. Después por los vértices se trazan las bisectrices bb", c'c",... tomando á cada lado del eje distancias iguales al semi-ancho del muro, como se hizo en el caso anterior para determinar las líneas extremas de los paramentos.

Para trazar los ángulos de la línea quebrada cbcdef inscúta en la curva af, se hace uso en la práctica de una escuadra mds de madera, dividida en dos partes por un brazo dp, que tiene por objeto determinar la dirección de la bisectriz d^d".

Esta operación se lleva á efecto colocando la escuadra de .modo que el vértice d de ella esté en el punto que se quiere formar el ángulo, y de modo que el lado ds coincida con la línea ¿e; verificándose esta circunstancia, el trazo dm determinará la d i rección del lado de, y el brazo dp la dirección de la línea d'd", restando sólo tomar sobre estas líneas las longitudes marcadas en el plano.

206. Replantear la base de on edificio.—Habiendo explicado el modo de determinar sobre el terreno una línea cualquiera, poco habrá que añadir en el caso presente, puesto que las l í neas que determinan los ejes de los muros son rectas, quebradas ó curvas; por tanto, sólo haremos algunas observaciones conve-üientes para cuando se hayan de ejecutar estas operaciones.

Cuando la línea A€ (fig. i6o) que se trata de replantear sobre el terreno tiene una longitud algo considerable, como sucede en los edificios para instalaciones de máquinas y demás aparatos industriales, el procedimiento de las escuadras mop para la determinación de los ángulos ABC... es inexacto por la desviación de la línea otn determinada por el brazo de la escuadra al prolon-. garla hasta el punto C. Se evita este inconveniente haciendo uso

— 237 — de la escuadra prismática ó cilindrica explicada, colocándola en el punto A y visando á un jalón colocado en B la visiyil dirigida por el sistema de pínulas correspondiente para formar el ángulo recto con el primero, dará la dirección del lado A C, determinando con la cinta el extremo C.

Esta operación se repite en el punto 5 , determinando el punto D de igual manera que el C.

Para comprobar esta operación se coloca la escuadra en C ó D y visando á Z) en el primer caso, ó á (7 en el segundo, se verá si la visual dirigida por el otro sistema de pínulas va á parar exactamente al punto A ó al ^5, en cuyo caso estará bien hecha la operación. En caso contrario se rectiñca la posición de los puntos C y D.

El replanteo de estas líneas puede hacerse solamente con la cinta, formando el ángulo recto BACen el punto A con la línea conocida AB de la manera explicada (núm. 64); sin embargo, este modo de operar tiene, cuando la línea es de mucha longitud, el mismo inconveniente que hemos indicado para las escuadras de reglas.

De lo expuesto anteriormente para el replanteo de líneas en la superficie, y refiriéndonos á los instrumentos que con preferencia deben emplearse, creemos que exceptuando los casos en que se-irate de líneas de poca longitud, deben emplearse para estas operaciones las escuadras prismática ó cilindrica.

2 0 7 . Replantear una linea en el interior de las minas.— O sea procedimiento empleado para colocar los puntos que determinan la dirección de dichas líneas.

No hay explotación de minas, por poca que sea su importancia, que no haya necesidad de establecer labores en una dirección determinada. En este supuesto la primera y más importante operación que tiene que ejecutar el geómetra es colocar puntos de una manera invariable en los sitios más convenientes, de modo que . éstos determinen la dirección deseada.

Con este objeto, yantes de exponer de un modo general el procedimiento seguido para colocar los puntos que determinen

— 338 — dichas líneas, haremos algunas observaciones con respecto á los inconvenientes que se presentan y á la manera de proceder en las operaciones para salvarlos.

En los trabajos subterráneos y cuando atraviesan estos terrenos deleznables y movedizos, se hace preciso tener un cuidado especial para obtener el resultado verdadero. Supongamos el caso más desfavorable que se trata de una mina de hulla, que es donde con más frecuencia se ejecutan estas operaciones, tanto por la rapidez con que avanzan las labores como por el crecido número de éstas.

Como por lo general la hulla, la pizarra que le sirve de caja y las tierras que emplean para rellenar'las partes excavadas, ya ocupen éstas la parte superior ó la inferior de los trabajos, ofrecen tan poca consistencia, no se encuentra método que responda con seguridad de que con una dirección determinada se llegará á un punto también determinado en el caso de atravesar terrenos de tal naturaleza.

Así, por tanto,-sólo conduce á resultados satisfactorios un estudio detenido del sentido en que se ejercen las presiones del terreno, á la vez que una vigilancia continua, rectificando cuantas v^ces sea posible.

Como en esta clase de terrenos es necesario fortificar por el método de avance, es preciso, si las tierras empleadas para el relleno ocupan la parte superior, colocar los puntos en el piso y á un lado del eje, por si tiene que servir la galería para arrastre, y si está dicho relleno por la parte inferior, colocar dichos puntos en los puentes de las portadas.

El primero de estos procedimientos tiene el inconveniente qpe las presiones del piso alterarán los piquetes colocados para la determinación de la línea y la alteración que sufrirían por el con» tacto de obreros y vehículos, contribuyendo en suma á desviar por completo la dirección determinada por los puntos colocados.

Con el segundo procedimiento ocurre que, teniendo las tierras en el pisp del tramo inferior y yendo continuamente rebajándose

— 239 — y disminuyendo de volumen, tendrían movimiento los peones, haciendo variar los puntos de su primera posición.

De lo expuesto anteriormente podemos deducir en conclusión: cuando las tierras ocupen ¡aparte superior, o sea cuando se emplea un sistema de explotación descendente, se colocarán los puntos en los puentes de las portadas^ y cuando las tierras ocupen la parte inferior, ó lo que es ¡o mismo, cuando se sigue un sistema ascendente, se colocarán los puntos en tarugos colocados dentro de taladros abiertos en el cielo de la galería.

En ambos casos será preciso comprobar la operación con mucha frecuencia para estar más seguros del resultado.

En cuanto se refiere á las labores en terrenos consistentes, los puntos sp colocarán en el cielo de las galerías de igual manera que hemos expuesto para el caso segundo de los terrenos movedizos.'Dicho esto, nos ocuparemos del procedimiento empleado parala colocación de los puntos, qu« dividiremos en dos partes:

1.' Colocación de puntos en galerías principales.—Supongamos (fig. i6i) una galería abierta en un terreno cualquiera y supongamos también que es horizontal ó poco inclinada,

Se colocará el instrumento en el punto A vértice del ángulo BAM que forman las direcciones AB y AM de las galerías abierta y en proyecto respectivamente.

Estando los puntos A y B colocados en el plano, se deducirá el valor del ángulo BAM para poder transportarle al terreno; , para esto, se virará al punto B puestos los ceros en coincidencia y dejando fija la parte inferior del limbo, se moverá la superior hasta que el cero del nonius acuse un ángulo igual al deducido del plano. Si el ángulo está del lado en que va la graduación del instrumento, se formará en el limbo el ángulo verdadero-, pero sk está en sentido contrario, habrá que formar un ángulo igual á la diferencia entre 360° y el ángulo del pla.no.

Después de fijar la parte superior del instrumento, se colocará un clavo en el punto C (p. e.) de la línea AM, del que se suspea* dará una plomada, que con la del punto A, determinará la dtrec-^ ción de la línea 4 3 / .

http://pla.no

— 240 —

Para colocar el clavo que ha de determinar el punto deseado se cogerá aquél con la mano derecha poniéndole todo lo vertical posible y próximamente al sitio donde se crea ha de estar, colocando la luz detrás del clavo hasta que la cerda vertical coincida con el centro de la misma. Cuando esto tenga lugar, se separa la luz al lado y un poco avanzada, hasta que, moviendo el clavo convenientemente, se haga la coincidencia con el del hilo vertical del retículo del anteojo.

Hecho esto se clava con cuidado rectificando después para corrregir el error que casi siempre se comete al fijar los clavos que determinan los puntos.

2.* Colocación de puntos en galerías secundarias,—Fijando en el punto conocido A (fíg. 162) el extremo de una cuerda, teniéndola por el otro extremo el auxiliar, que en todos casos y según hemos dicho antes acompaña al geómetra encargado de la operación, se suspende de ella la brújula, moviendo la cuerda convenientemente á uno y otro lado, hasta que la punta azul de la aguja señale la dirección que ha sido calculada de antemano y anotada en la libreta; cuando esto se verifique se señala el punto B, donde se colocara un clavo para determinar el que se desea.

Después de clavado se fija la cuerda á él por su extremo libre y se suspende la brújula otra vez para rectificar el error cometido al colocar aquél, desviando con pequeños golpes la cabeza del mismo, hasta que se lea en el limbo el ángulo m que forma la •línea AH con la TViS medida según la graduación del limbo.

Una vez terminada la operación se colocan dos plomadas en dicho? puntos A y B, cuya visual tangente á las dos cuerdas de-ter^aina la dirección deseada.

Cuando haya que colocar varias direcciones á continuación unas de otras, se fijará el extremo de cada una de ellas, de igual manera que se ha hecho para determinar el punto ¿ , no debiendo pasar ninguna cuerda, según dejamos dicho (núm. 82), de i5"> para obtener un resultado satisfactorio.

Cuando por la poca distancia del punto de partida A ai firente de la galería no se pueda colocar el punto delante del primero, se

— 24" — colocará detrás en la posición B\ siendo preferible, en la mayoría de los casos, hacerlo así porque el frente de la excavación no debe dejarse avanzar mucho para dar con más facilidad la curva, que aunque no bien determinada se acostumbra á dar á la galería en cada cambio de dirección.

Cuando la línea que se quiere replantear es una curva y se conocen los elementos necesarios para la determinación de la misma, se procede del modo siguiente:

Sean jáC y wBC (fig. i63) dos alineaciones rectas cuyo punto de encuentro es C. Supongamos que se quieren unir las galerías Af y iVpor la curva ÁB; en este supuesto son conocidas las direcciones ái AC Y BCi y como el radio es tomado á arbitrio del modo más conveniente, se pueden calcular el ángulo en el centro y la tangente, los que por otra parte podemps obtener conociendo el radio 0 5 = / 2 .

Sean Ji = lo"", dirección AC-^ i^b'-io', dirección BC "^ i2o.°44', tendremos para el ángulo ABC-^ IT^.I^ Y para el ángulo en el centro O = 54°.36'.

Dividamos el valor 54°.36' en tres partes iguales, sará:

cada cuerda corresponderá á ün ángulo de 18". 12', y será la base de un triángulo isósceles en que los otros dos lados son iguales al radio; por tanto, los ángulos opuestos serán iguales, resultando:

180» _ 18° —le* 16r48' o o E ' g — - 2 80 .54

El ángulo que la recta Aa forma con la prolongación de la CA, será 90"-t- 80°.64' — i7o°,54'. Los ángulos de las otras do» cuerdas serán: 2 -+- 80°.54' — i6i*.48'.

La longitud de pada cuerda se obtiene en resolviendo el triángulo del cual es base-, por tanto, en el triángulo OAa, tendremos por el teorema general de los triángulos (núm. 18):

Aa: Oa = R::sen. 18°. 12' : sen. 8o'.54' de donde se tiene: '

H. sen. W.lif Aa gen. WM'

— %43 —

y haciendo el cálculo, será: Log. R — log. I o = i.ooooooo -f-log sen. i8". i2 '= 9.4946205

10.4946205 — log. sen. 8o''.54' — 9.9944992

log. .áa = o.5ooi2i3 = log. S'o.ióS Determinados todos los valores, se coloca el instrumento en

el punto A, se forma un ángulo de i7o*.54' colocando puntos que determinen dicha dirección hasta que avance la excavación 3'°.i63 longitud de la primera cuerda. Después se formarán de una manera análoga en los puntos ay b los ángulos i6i''.48' de las líneas Aa,abjab, bB hasta llegar al punto ¿ , en el que se construirá un ángulo igual al construido en el punto A.

Esta operación puede hacerse á la vez por ambos lados, debiendo encontrarse entre los puntos ajbát modo que las direcciones de la recta ab marcadas por ambos lados se confundan exactamente.

Si la operación se hiciera con brújula, se deducirían de los valores angulares las direcciones de las lineas Aa^ ab y bS, etc., transportándolas al terreno de la manera explicada anteriormente.

— 243 —

LECCIÓN SEGUNDA

Trazado de corvas sobre el terreDo.—Replantear el proyecto definitivo de una vía.—Niveletas.

I

208. Trazado de curvas sobre el terreno.—El trazado de vías de comunicación como canales, caminos y ferrocarriles, se compone, según sabemos, de alineaciones rectas unidas por curvas que generalmente son arcos de círculo, siendo el radio de éstos arbitrario y escogido ó tomado de modo que al replantear el proyecto exija esta operación los menos gastos posibles, quedando esta condición dentro de límites muy variables, según las cir« cunstancias diversas á que haya que atender.

El problema consiste, en general,'en trazar sobre el terreno la curva por puntos distantes entre sí lo menos posible. Este qu^a resuelto, puesto que el ángulo (ñg. 164) de las dos alineaciones ^Tj BTea conocido ppr la medida directa, y el radio es escogido de una manera conveniente.

Se empieza para el replanteo de la curva por determinar el vénice S de ella, calculando la distancia ST por la fórmula

5T"= RI jr 11 ó si se ha resuelto el triátigulo rectángu-Vcos. 'I, a I

lo OÁ T, puesto que le son conocidos O A := i2, y el ángulo •áOT-^^/^a, podemos conocer el valor de la tangente AT; él mismo triángulo da el valor de OT, de donde se obtiene ST con •tistraer de dicho valor el radio R.

En la figura A TBO se verifica quej' -+- o = i8o*, de donde a •> igo* —y, que nos dice que los áng ilos a, e\ y son suplementarios. . Los puntos de contacto il y ^ se obtienen por el conocimiento de las longitudes TA y TB halladas por la resolución del' triángulo OAT^ que da la fórmula A T= R. tag. V, a.

Si se empezara por hallar el cateto A T, se podría obtener 0^¡.

— 244 —

por la relación 0 7 ' = 4 T' -+- Jt*, de donde OT — \/A T ' + /?*

que se calcula con facilidad, aunque no se disponga de tablas de los cuadrados de los números.

El desarrollo del arco ASB se obtiene por la fórmula conocida de geometría

2. te Jl a tt R a. °° 36o~ ~ ~ T 8 ^

Para facilitar estas operaciones se han calculado tablas que contienen, según las dos divisiones del círculo y para un radio de I .ooo">, la longitud de las tangentes, la de la bisectriz y el desarrollo de los arcos para los ángulosj^ = i8o° — a e'y «• 200° — a, comprendidos entre uno y dos ángulos rectos.

Si el ángulo ABC de las alineaciones (fíg. i65) es menor que un recto, lo que sucede raras veces, se traza por el vértice m de la curva una perpendicular os á la bisectriz Bq, prolongándola hasta el encuentro con las tangentes en los puntos o y s\ con esto se formarán dos ángulos Aom y msC mayores de 90°, operando después sobre las dos partes de la curva de igual manera que en el caso anterior.

Si la tabla con que se trabaja está calculada para un radio de 1.000 metros, para un radio cualquiera R se multiplicará el número obtenido por la relación

1.000 Esundo determinados los valores de la tangente y vértice de

la curva, se marcan sobre el terrei\o fijando piquetes en dichos puntos A, S, B, restando sólo determinar entre SA y SB un número suficiente de puntos intermedios, para lo cual describimos á continuación los métodos más usados con este objeto.

Método llamado del grafómetro (*).—Si sobre la circunferencia tomamos un punto tal como el M, y se consideran trazadas las rectas ó alineaciones AM j BM, dicho punto hace que los ángulos MATy MBA sean iguales por tener ambos por medida la

(*) El ^fdmetro t» an goniómetro pan medir ángniot liorizontaleí y en el 1 «B0 de los objctot, 7 tiene loi mitmot tuot qne Im pastómetn.

- 24S — mitad del arco AM. En este supuesto, para obtener puntos de la curva se hará estación con el grafómetro en los puntos A y B, formando dos ángulos x el uno con la tangente ^ 3" y la cuerda AM, y el otro con las cuerdas BA y BM; el punto determinado pertenece á la curva.

Haciendo variar el ángulo x se obtendrán tantos puntos como se quieran del arco ASB.

Dos operadores con dos instrumentos, colocados uno en 4 y otro en B resolverían el problema mucho más pronto, sin necesidad de colocar jalones en medio de las alineaciones, pues sólo con un ayudante pueden determinar la intersección de las dos.

Este procedimiento se emplea pocas veces, por ser largo y poco exacto.

Método por tangentes principales y tangentes sucesivas.— Cuando la abscLsa ab sobre la tangente es conocida (ñg. i66), se-obtiene un punto d de la curva sustituyendo en la fórmula 3." (de las qile exponemos á continuación) las letras por sus valores conocidos, y levantando en el punto a la ordenada ad, igual á la longitud que resulte de la fórmula.

FÓRMULAS

t^JZ- I.-X

c-mi/ 2ry 2.* y^r—V^~r*~^3C*' 3.*

En estas fórmulas representan: j ' =:ad; x = ab; t — bn; c •= bi. Para mayor claridad de las operaciones que han de preceder,

empecemos por determinar dichas fórmulas de la figura misma. Determinación de la incógnita t.—Trazando la línea on^ ten

dremos los triángulos obn y bad, que por ser semejantes nos dan la proporción

bn : bo :: ad : ba 6 bien t: r ::y : X, de donde íj; — r^, y finalmente

ry ' • 'i< t —• —^^ que es la fórmula i .*

X

— 246 — Determinación de la incógnita c.—Para obtener el valor de c,

que es la cuerda subtendida por el arco bd, no habrá más que proyectar od sobre ob, y por un teorema conocido de geometría tendremos

íxf = oft'-+-oíf — 20*X (od — bh^ad) sustituyendo estas cantidades por sus valores, tendremos

c' «= r' -i- r' — 2r ('r —y) Efeauando operaciones, será

c*B=r*-f-r' — 2r*-t- 2ry y por consiguiente

c» —2r* — if^-^'iry de donde resulta simplificando y extrayendo raíz

c== / 2ry que es la fórmula 2.* Determinación de la incógnita y.—Trazando la línea dh, se ob

tiene un triángulo rectángulo ohd, en el cual tenemos por el teorema de Pitágoras

oh^ — od' — dh* sustituyendo sus valores, tendremos

de donde resulta r —y =íVr* — **

y finalmente, restando r* de ambos miembros y cambiando de signos, daría

y.=r—\/ r* —*• que es la fórmula 3 / Aplicación.—Si suponemos que r (fórmula 3.*) vale 160"" y x

tcf", se tendrá para valor de y y — 160 — ^ 160' — 10* ó bien^ •>- 160 — (/ 256oo — 100 y por consiguiente

^—160— |/255ob= lóo™— i5g™.68s=so.'"32;luego^""0.'"32. £ste valor se transportará en una perpendicular á la tangente bs levantada en el punto a, y cuyo extremo d será un punto de la curva; para una distancia 30<" se haría x — 20, continuando en lo demá&'como antes.

Por el conocimiento de la distancia í <-- ^ , se obtiene el pun-

— 247 — to n, que unido con d, determinará la tangente nd, sobre la. que se puede operar como con la tangente bs.

Cuando la curva que se quiere replantear tiene un radio bastante grande (fig. 167), se obtienen puntos de ella operando sobre la tangente ab y la cuerda hg, tomando siempre á los dos lados del punto c de tangencia separadamente.

Para esto se sustituyen los valores particulares en la fórmula 3.*, obteniéndose, comosabemos, el valor de la normal compren-dida entre la tangente y el arco; restando este valor obtenido de la flecha, se tendrá la distancia de la cuerda al arco.

Supongamos para mayor claridad que el radio es 7*".25 y la abscisa ó su igual om 4"'; se tendrá:

y = 7">.25 — t/7'n.25» — 4» = 7'".25 — ^ 36.5625 = 7™.25 — 6'n.«4.6

ó bien_;' = i .™204 distancia de la tangente al arco; y, por consiguiente 2»" — 1.204= o™ .796, distancia de la cuerda al mismo.

209. Replantear las lineas que constituyen el proyecto definitivo de ana via.—Sabemos que el eje de un camino cualquiera es una línea de elementos rectos y curvos; por lo tanto, d problema consiste en determinar sobre el terreno los extremos de las partes rectas y puntos intermedios necesarios, é igualmente de cuantos pumos sean precisos para la determiiiación exacta de la» curvas. Al mismo tiempo es indispensable marcar sobre el tetre-Qo también todos los puntos en que éste cambie de pendiente, para poder, valiéndose de las cotas rojas, determinar la rasante del proyecto, y, por consiguiente, el plano rasante del mismo.

También hay necesidad de marcar sobre el terreno los puntos en que se han de hacer las obras de arte, determinando sus ejes para el replanteo de las mismas.

, .Dicho lo anterior, explicamos el método más práctico seguido ' I i a la determinación exacta del eje del camino.

Colocado el instrumento en el punto 20 (fig, 145). y que con-; aderaremos ahora como de partida para la explicación, s« h*f< >

¿ <|t e la aguja de la brújula aeuse la lectura (|ue corresponde..iyMÍí-,>

— 248 — dirección de la línea 20 — m; entonces en la dirección del anteojo se comenzarán á colocar piquetes en los puntos 21, 22, punto o de tangencia en que se colocarán dos unidos indicando el principio de la curva, y por fin el m, vértice del ángulo de las tangentes. Para colocar estos puntos es preciso ir midiendo con toda precisión las distancias horizontales comprendidas entre ellos, y cuyos valores se encuentran en la figura 146 en la columna horizontal titulada Distancia entre perfiles, teniendo cuidado el operador que los que niidan la línea no se separen de la dirección determinada por el anteojo del instrumento.

Cuando la distancia 20 — m no sea muy considerable y el terreno poco accidentado, se puede colocar un jalón en el punto m, y valiéndose de este jalón y otro colocado en otro punto de la línea, se puede hacer la medida y colocar los piquetes restantes, comprobando después con el instrumento.

En el caso de ser la distancia grande ó el terreno muy accidentado, es preciso colocar todos los puntos con el instrumento y hacer varias estaciones para una misma línea; cuando esto se verifique, después de colocado el instrumento en un punto cualquiera de los intermedios, se dirige la visual al punto más próximo de atrás, y se comprueba la dirección de la línea*, entonces, dando una vuelta de campana al anteojo alrededor de su eje de giro, se tendrá la prolongación de la alineación, continuando así hasta llegar al punto m.

Para determinar los puntos necef arios de la curva on y en los que corresponden á la tangente om se hará uso de la fórmula 3. an es explicada, hallando los valores de las ordenadas correspondientes alas abscisas cuyos valores son 10, 20,30,40, 5o'»..... contadas á partir del punto O, y con el radio 475"» de dicha curva. Los valores o™. I o, o"".43, o™.95, i™.69, a^.óS..... que resultan paralas coordenadas, se toman sobre perpendiculares levantadas á la tangente desde los extremos de las abscisas correspondientes, determinando con la cinta los extremos de estas perpeadicu-Jares, que, unidos convenientemente, irán formando la curva.

. Para el trazado de «stas perpendiculares se puede hacer uso,

— 249 — (con ventaja sobre otros instrumentos) de las escuadras ya conocidas (núm. 66).

Los piquetes colocados en los exiremos de dichas perpendiculares forman una línea quebrada inscrita en la curva, que se aproximará tanto más á ella cuanto más pequeñas sean las distancias entre cada dos abscisas consecutivas.

Determinados que h^yan sido cuantos puntos se crean necesarios para la curva, desde o al vértice de la misma se trazará con el instrumento la bisectriz del ángulo omn, con objeto de situar el punto que señala el vértice de la curva á que nos referimos. Después, en la otra mitad de la curva y en las alineaciones y curvas restantes, se sigue exactamente la marcha ó procedimiento explicado anteriormente.

Para evitar el cálculo de las ordenadas en la mayor parte de los casos, 7 con el objeto de acelerar más la operación, se usan unas tablas que se titulan Trabado de curvas por tangentes principales y tangentes sucesivas. Estas tablas se componen de tres columnas-, en la primera están las longitudes de las abscisas 5, lo, 2o, 3o™ ; en la segunda, losvaloreso'".o2, o'".io,o">.43,o'".95,.. que corresponden á aquéllas, y según el radio de la curva, que va expresado en la parte superior de las columnas, y en la tercera los valores, que tomados sobre la tangente principal constituyen las tangentes sucesivas.

Para ver esto con claridad, supongamos que las abscisas son ; de una longitud considerable, por ejemplo, loo"», y se quiere obtener otra tangente más próxima á la curva, con objeto que las ordenadas no tengan tanta longitud.

Para hallar el valor de esta nueva tangente supongamos que la distancia ba (figura i66), es igual á roo">, y á cuya abscisa (cop el radio 475.™) le corresponde io".65; es decir, que íjrf-«" 10^.65,

El valor So"'.58 colocado en la 3.' columna enfrente de io°>.65 7 en la misma línea horizontal, nos da el punto n que^ unido con el d^ determina la nueva tangente, sobre la que se pue-de Qperar, según hemos dicho, con más comodidad y exactUad,.

A continuación insertamos una de las páginas consecutivos %vi

— 250 — dichas tablas, donde se encuentran los valores de las ordenadas correspondientes á la curva owin, (figura 145.)

RADIO DE 450 METROS RADIO DE 475 METROS •—• — • ^ ^ f c t e — ^ • - - ™ ^ * * ^^— , ,— — —^ ^ — r •

«.» t." •.• %..' ».• %.' Longitud

ORDKKÁDiS VALORES

de T. Longitud

de ORÜEUDIS VALORES

de T. las abscisas

VALORES de T. las abscisas

VALORES de T.

Metros. Metros. Metros. Metros.

5 0 03 5 0 03 10 0. II 10 O.IO 3 0 0.45 10.00 2 0 » 0.43 3 0 1.00 3 0 0.95 4 0 Í.78 4 0 1.69 5 0 «•7.9 25.11 SO 3.65 aS.»7 « 0 4 .02 6 0 3.81 70 s 48 70 S.>9 8 0 7.17 8 0 6.79 90 9.09 9 0 8.61

loo 11.25 50.63 100 10.65 50.58 l i o 13 65 l i o 13.93 120 16.30 130 »S.43 «30 19.19 130 18.14 . 140 33.33 140 3 1 . I I

: ISO 25.78 150 24.3» 76.98 160 29.41 t6o «7.77 1 7 0 33-35 170 3«.47 180 37.57 180 35.43 190 42 .08 190 39.63 3 0 0 46 89 105.50 2 0 0 44 .10 104.88 2 1 0 52.01 3 1 0 48.95 2 2 0 57-44 3 3 0 54.03 aso 63 22 3 3 0 59.40 340 69.34 2%0 65 09

Caando el radio de la curva no esté en las tablas de que he< nos hablado, se hará uso dé la fórmula para determinar los valores de las ordenadas. , 2 1 0 . Niveletas,—Para establecerla pendiente uniforme de etda rasante en los espacios comprendidos entre dos piquetes consecutivos, cuando la distancia que separa á éstos es grande (y después que se ha desmontado la parte superior ó terraplenado

£<É«í en su totalidad en las partes de caminos que estén en térra-

— 25» -plén) se emplean unos aparatos A, B, C, JD, llamados niveletas, de la forma representada en la figura i68, y que sencillamente consisten en dos listones 6 tablas no muy gruesas unidas en forma de T.

Para hacer uso de ellas se coloca una verticalmente en el punto A y otra en un punto B determinados antes con el instrumento y sobre la rasante AB. Para quitar las pequeñas alteraciones que presenta la superficie del terreno, se colocarán otras niveletas en los puntos C y D; y dirigiendo la visual rs por la parte superior del brazo horizontal, en sentido perpendicular á dicho brazo, se harán subir y bajar las niveletas colocadas en C y D respectivamente, las cantidades om y o'm' hasta que la visual pase tangente por ^Uas. De este modo se determinan las cantidades ce y Djy que hay que terraplenar y desmontar respectivamente para quedar completamente determinado el plano rasante.

E^tas niveletas intermedias se colocarán tanto más unidas cuanta más exactitud se quiera obtener en la determinación de la rasante.

QUINTA PARTE

Evaluación de áreas y volúmenes.

— aSS -

LECCIÓN ÚNICA

Preliminares.—Fórmalas para las áreas de ñgurai regulares.—Evaluaciín del área de un terreno limitado por curvas y rectas.—Fórmalas para los volúmenes de figuras regulares.—Manen de obtener el volumen de una figura irregular.

211. Preliminares.—Se llama área de una superficie limitada el número de veces que esta superficie contiene á la unidad.

La unidad superficial tiene la forma de un cuadrado, cuyo lado es la unidad lineal adoptada para medir las longitudes.

Indiquemos la manera de obtener las áreas de los planos, cuya construcción ha sido el objeto de estudios precedentes, operación de la mayor importancia en muchas aplicaciones de la to^ pograffa.

212. Fórmulas para las áreas de figuras regulares.—En las fórmulas que siguen representan:

A = lado, apotema, arista. H =• altura. B «=• base mayor. b •=• base menor. P — perímetro. JR — radio de la base mayor, r •=> radio de la base menor. D •=• diámetro de la base mayor. d := diámetro de la base menor. C>i- circunferencia. 4S''> superficie. F—volumen. -R — á la relación de la circunferencia con su diámetro f

•cuyo valor es iguala 3.141593653 Área del triángulo — -f- ó | / ^ (f^a) (p-bj ff-^ ^^

siendo/» el semiperímetro, y a, b, c los tres lados.

— 356 —

A reas del rectángulo y paralelogramo ~ By^H. Área del cuadrado = A^ . Área del trapecio = — — X H-

p\ Área del polígono = -P X Vj apotema = ^ Área del circulo = it 7?2 ,

4

Área de la pirámide == á la suma de las áreas de las diferentes caras de que se compone.

A rea del cono = it RA ó —^ A rea del cono truncado de bases paralelas •= te A (R +• rj

Área del cilindro 2-aRH. Área de la esfera «= 4itJ?2 ó «2)2 . A rea del huso esférico =» 2Í?<i, siendo a el arco correspon

diente al ángulo del huso, y éste es igual á 2it/? X 5551 siendo a el ángulo.

Área del triángulo esférico = R (a-h b -h c — T^R), siendo a, b, c los ángulos del triángulo.

Área de la \ona esférica = 2icRH6 rcDH. Área de la elipse •— iwjí, siendo a y 6 los semiejes mayor y

menor respectivamente. 213. EvalaacióD del área de nn terreno limitado por car-

xTaa y recta».—El perímetro curvilíneo de las figuras que se trate de medir, ya sea en todo ó en parte compuesto por curvas, hace emplear para la determinación de su superficie métodos aproximados, debido á que dichas curvas presentan en la mayoría de los casos contornos que no pueden asimilarse á las formas comunes.

Para obtener el área comprendida entre una recta y una curva se puede seguir el método por compensación, ¡os trapecios y triángulos inscritos, las fórmulas de Poncelet y 'Simpson y el segmento de parábola.

I." Hallar la superficie de un terreno cuyo perímetro es curvilíneo, empleando el método por compensación.—Supongamos

— 257 — (fig. 169) que ACGB representa un terreno limitado por la curva CDFHJB y la línea quebrada CAB. Después de examinado, elige el operador un punto G^ tal, que el segmento excedente CDE sea igual al segmento añadido EPG. Del mismo modo se trazará una recta GM que dé IJK = GHI -(- KLM y considerando el resto BM de la curva como parte recta.

De este modo resulta el terreno dado reemplazado por el polígono ACGBM fácil de medir, pues sólo habrá necesidad de trazar las ordenadas MN y GP, calculando el área de las figuras resultantes por las fórmulas conocidas.

Observación.—El procedimiento por compensación es muy rápido, pero es necesario para que dé buen resultado habilidad en el operador y que los segmentos CDE y EFG sean poco extensos.

2.° Hallar ¡a superficie de un terreno cuyo perímetro es curvilíneo, empleando los triángulosj^ trapecios inscritos.

Sea ABCDE (ñ^. 170) un terreno "limitado en parte por dos caminos ó por dos arroyos.

Se trazarán dos rectas AC y CF como directrices y aproximadas tanto como sea posible al perímetro para que las ordenadas tengan poca longitud. Hecho esto se determinarán varios pumos G, / , K, de manera que G/, IK sean sensiblemente rectilíneos, trazando después las ordenadas GH, IJ, KL, etc.; de esta manera se obtienen las parcelas LEU, JIGH^... que pueden ser considerados como trapecios y triángulos calculándolos por las fórmulas conocidas.

Este cálculo se simplifica si se pueden trazar las ordenadas equidistantes unas de otras.

Determinar la superficie de un terreno empleando trapecios de una misma altura.

Supongamos que el terreno cuya superficie se trata de determinar es AMNG (fig. 171). . Se dividirá la base .áG en partes iguales, y por los puntos de división se trazarán ordenadas que representaremos por a, é, c, <ii «t y, g., y por d la distancia de dos ordenadas consecutivas, resultando para expresión del área:

17

•:%

- íS8 -

2 2 2 2 2

que es la expresión algebraica que resulta sumando las áreas de los cinco trapecios en que queda dividida la figura propuesta; reduciéndola será:

9 — ^ - l - 2 ^ - t - 2 C + 2 e - f - 2 f-¥- g , 2

como todas las ordenadas, menos las extremas, entran dos veces como sumando, se puede simplificar, resultando

= ( ^ •g

•f) d.

2

Esta fórmula, traducida al lenguaje vulgar, nos da la siguiente regla:

La superficie de que se trata es igual á la semisuma de las ordenadas extremas, mas la suma de ¡as intermedias, multiplicado jpor la distancia entre dos ordenadas consecutivas.

Observación.—Cuando las ordenadas extremas son nulas, se tiene (fig. 172) 5 = (3^.-t-y,-+-y.-I-y,) (/,

3 . " Hallar la superficie de un terreno cuyo perímetro es curvilíneo, empleando las fórmulas de Poncelety Simspon. ' Fórmula de /'once/eí.=Supongamos que se trata de valuar el área de la parte comprendida entre la curva AB, la recta fija xy y las perpendiculares AA', BB', bajadas sobre ésta desde los extremos de la curva (fig. 173).

Consideremos, en primer lugar, un arco AB cóncavo hacia la recta xy en toda la extensión que se considera desde A hasta B.

Dividamos la base A' B' en un número ^ a r de partes iguales, por ejemplo, diez. Designaremos las once ordenadas correspondientes por y,, y,, y,,.. . y,„, y, , . Por las extremidades de todas las ordenadas de lugar par y , y^, y,,.. . y,(, tracemos tangentes á la curva AB y limitemos estas tangentes en las dos ordenadas contiguas. Formaremos así una serie de trapecios cuya suma (evidentemente mayor que el área que se busca) será como un límite superior de ésta.

— 259 — Designando por h la distancia común entre dos ordenadas

consecutivas, se tiene: Trapecio ÁD' = 2 h XVi

Id DF'^2hXy,

Id A-5' = 2/ ,Xy,o Representando por Sla. suma de estos trapecios, se tiene:

S=2h(^,-hy^-h -+-yj fórmula que contiene dentro del paréntesis todas las ordenadas del lugar par.

Representándolas por P, tendremos: S=2hXP-

Tracemos las cuerdas AC y BE correspondientes á las divisiones extremas; después las cuerdas intermedias CE, EG, Gí, IL, que corresponden á dos divisiones. Formaremos así una nueva serie de trapecios, cuya suma será iin límite inferior del área pedida.

Pero se tiene

trapecio.... ÁC = /tí^'" '"^*]

id EE" = 2h (^' "*" ^*

id J'G' = 2/,[?i-±^)

id GP'^2h l^"

id ir =2h

id LB'

2

2

'y^o-+•lfi 2

Designando por S la suma de estos trapecios, se tiene

n-^y» , y» + y.o\ 2 2 )

— 26o —

sumando los quebrados dentro de cada paréntesis, resulta

simplificando para escribirlo todo dentro de un paréntesis se tiene

separando el factor común 2 y permutando el término y,,,, será

,= , [li±i^.±ll^±l^l+ ,. + , , „ . . , , , +y,+ ,,) ]

Reduciendo el entero á quebrado se tiene

Reduciepdo y separando, tenemos

y finalmente

í = h [^î^^ + 1 (y.+yôi + - '-y* - ê+y , ) ] Añadiendo la cantidad — =^ para obtener la suma de todas

2 .las ordenadas del lugar par, y restando la misma cantidad para que la igualdad no se altere, tendremos:

[.. y.. . 3(y,+ y,„; y, + y„, y,-+-y.o 2

2 (y« + ys + y«)J sumando los quebrados 2.* y 3.* será

simplificando y sustituyendo por P la suma de todas las ordenadas del lugar par, se tiene

I ~(~yn y<"t~yio _ i _ , p i 2 2 /

siendo S" el área ])edida tenemos s<^8' sys'

— 26l

S -{• s Pero la media aritmética está comprendida también entre

s y S, y se puede con cierto error tomar o, S + s , / „ E — E' • S' = = /i 2 P + 2 \ 4 /

En la que E representa la suma de las dos ordenadas extremas, y E' la suma de las dos contiguas á las extremas.

La ventaja que ofrece esta fórmula cuando el número de las divisiones es grande, es que no entran más que las ordenadas del lugar par y las dos ordenadas extremas, y no se requiere el conocimiento de las ordenadas intermedias del lugar impar.

La fórmula anterior traducida al lenguaje vulgar da la siguiente regla: el área S' es igual al duplo de las ordenadas del lugar par mas la cuarta parte de la diferencia entre la suma de las ordenadas extremas y la suma de' las dos ordenadas contiguas d las extremas, multiplicado todo por la equidistancia entre dos ordenadas consecutivas.

Fórmula de Simpson.—Designando por B y B' las bases de un trapecio, y por B" la paralela á ellas equidistante de las dos, y por h la semialtura, se puede expresar el área del trapecio, por la fórmula

La base AB (fig. 174) debe dividirse en un número par át partes iguales, por ejemplo, diez, y por los puntos de división G', JD', E^ levantemos perpendiculares á ATF. Designemos las once ordenadas correspondientes por y,, y, y,o, y,,, y por h la distancia constante entredós ordenadas consecutivas. Siendo' Cy el punto en que la cuerda AD corta á CC, se tendrá por expresión del área del traprecio rectilíneo ÁDD'A'

'^{AA' JrDD' -ir^Cfi')

pero este trapecio ea menor que el trapecio tpxxúXinto AGDiyJk't y conviene aumentarle; será, pues, conveniehte ttem^tax4*¿^.,^-i por ce y tendremos como expresión aproxitoáda 4«l^lrM

— 202 —

trapecio mixiilíneo ACDiyA' la expresión h 3- (s-i + y, + 4ys)

Del mismo modo

1 fy» + ys + 4y«); j (ys + y + 4y6); j (yT + ya + 4y8);

3-(y9 + yii + 4y,o) serán expresiones aproximadas de las áreas de los trapecios mix-tilíneos DFF'D\ FHH'P, HKK'H, KBB'K'\ sumándolas se obtiene para valor aproximado del área pedida la expresión siguiente:

i r -'S' = j y, + y „ -+- 2 (y-, -f- ys -H y7 -+• y») -+- 4 (y» -f- y4 +• ye - H

y«-Hy,o)J Esta fórmula se retiene fácilmente si se pone bajo la forma

en la cual E designa la suma de las ordenadas extremas, / la suma de las ordenadas del lugar impar y P la suma de todas las del lugar par.

La fórmula anterior traducida al lenguaje vulgar nos da la siguiente regla: el área 5 es igualad/ tercio de la equidistancia entre dos ordenadas consecutivas, multiplicado por la suma de las ordenadas extremas, mas el duplo de la suma de las ordenadas del lugar impar y más el cuadruplo de la suma de las del lugar par.

Nota.—Si el arco AB mera convexo hacia la recta XY, se llegaría á la misma fórmula siguiendo una marcha análoga. Si el arco fuera en parte cóncavo y en pane convexo, se trazarían perpendiculares á A*y por los puntos de inflexión, se medirían las áreas parciales así obtenidas y su suma sería la pedida.

Aplicación.—Para el cuadrante de radio i se encuentra divi-

— 263 — diendo el radio en diez partes iguales: por la fórmula de Ponce-let of"3.7822, y por la de Simpson 0^2.7818.

y siendo el verdadero valor — — o'"2.7834 resulta un error límite de o'"-. 108, que en realidad no es más que o'"2.oo32.

4 " Hallar la superficie de un terreno cuyo perímetro es curvilíneo, empleando la cuerda jr la flecha. Cuando una curva BFC (fig. 175) tiene cierta simetría con relación á la perpendicular EF levantada en mitad de la cuerda, se puede asemejar á un arco de parábola y obtener la superficie del segmento en multiplicando la cuerda BC por la flecha EF y tomando los dos tercios del resultado.

2 1 4 . Fórmulas para los volúmenes de figuras regulares.—Sabemos que volumen de un cuerpo es la extensión del lugar que este cuerpo ocupa en el espacio indefinido. Ese lugar, esencialmente limitado, está separado del espacio que le rodea por la superficie del cuerpo.

Dada esta definición, pasemos á exponer las fórmulas. Volumen del prisma •=• B "X H. Vohimen del paralelepípedo = B X. H. Volumen de la pirámide V, (B X W-Volumen de la pirámide troncada de bases paralelas = -j—

{B + b-j- y/M). Volumen del conp »= ' / , (r.m H) ó ' / „ (TtD^ H). Volumen del cono troncado de bases paralelas •= Vr, ' '•^ (R^ -(-

'•'^ •+• i/R?).

Volumen del cilindro = nlli Hó 'U T' -O -^A Volumen de la esfera — */, -nR^ ó ' / , -rB^ . Volumen del sector esférico == V, ti?^ H. Volumen del casquete esférico = '/-, aR^ , siendo a el arco co-

Tespondiente á su ángulo. Volumen del segmento esférico — ' / , itíj^ -\—— (R^ + r^ J-2 1 5 . Manera de obtener el volumen de una figura irre

gular.—Se da el nombre de cubicación de tierras á la operación.., por medio de la cual se obtiene el volumen de un terreno dadA.

— 264 — Entre los varios procedimientos empleados por muchos ope

radores, nos ocuparemos especialmente del método conocido con el nombre de la mediana de las áreas, que es el que con más frecuencia se emplea en los trabajos públicos.

Mediana de las áreas.—Este método consiste en dividir la zona de terreno cuyo volumen se quiere obtener en un niímero de partes tanto más pequeñas cuanto más accidentada sea aquélla, trazando por estos puntos perfiles transversales y perpendiculares á una línea tomada como eje. Sobre estos perfiles se van tomando todos aquellos puntos en que / I terreno varíe en sentido vertical, marcándolos y midiendo las distancias comprendidas entre ellos; después se hallan las cotas de cada uno de dichos puntos para obtener las alturas de ellos sobre el plano de comparación.

Para obtener después el cubo se hallan las áreas de los perfiles uansversales, se toma la semisuma de cada dos consecutivos y se multiplica por la distancia entre los dos medida sobre el eje, resultando de este modo descompuesto el cuerpo en tantos prismas regulares como perfiles menos uno se tengan, y cuyos volúmenes sumados nos darán el volumen total.

Cuando el cuerpo que se quiere valuar es una escombrera, por ejemplo, la operación no ofrece dificultad en el supuesto de poder establecer el eje de modo que quede por la parte inferior ó por la superior, resultando, por tanto, todos tos perfiles del mismo nombre, en cuyo caso se empl«a la fórmula

que representan 3 y J5' las áreas de los perfiles i y 2, y d la distancia entre ellos.

Si, por el contrario, las tierras que se tratan de valuar son las procedentes de las excavaciones hechas para la construcción de una vía, el eje á qíie nos hemos referido en el caso anterior es, en el presente, la rasante, teniendo que , considerar perfiles de nombre distinto, para lo cual se emplearán las fórmulas dadas al tratar de las vías de comunicación. ' Respecto al método exacto para la cubicac^ión de terrenos, sólo

— a6s — diremos que su uso es poco frecuente por la serie de operaciones y cálculos necesarios para obtener el volumen. El caso más frecuente y á la vez el más favorable es cuando la base es rectangular, y en este caso se valúa exactamente por el método explicado. En fin, es casi inútil aplicar á la cubicación de terrenos un método riguroso que la mayor parte de las veces no da el resultado apetecido, porque las fórmulas de que se hace uso se refieren á troncos limitados por caras planas 6 por un plano oblicuo, en tanto que la superficie real del terreno puede diferir notablemente de la superficie convencional que se ha adoptado.

— 266 —

isroT^s 2 1 6 . I. ' APLICACIONES PRÁCTICAS.— Siendo de un uso tan

frecuente el tener que calcular ciertos volúmenes de manipostería, los macizos ó huecos que resultan en los trabajos de las minas, así como cubicar piezas de madera, metal, etc., expondremos los métodos más generales que se emplean con el indicado objeto.

Supongamos que se desea encontrar el volumen de un trozo recto de galería cuya sección transversal está representada en la figura 176. La forma de este hueco puede considerarse comp la de un prisma de infinito número de lados que tiene por base dicha sección y por altura el largo de la galería; por tanto, su volumen se obtendrá por la fórmula siguiente:

V «=« superficie segmento x^i "X. L . (1.') en la cual Z representa la longitud ó altura de la bóveda.

Si la forma de la sección transversal fuera como la representada en la figura 177, y dicha sección se conservara constante en toda la longitud, se hallaría su volumen por la fórmula primera teniendo presente que dicha sección es una figura irregular.

Si se quisiera hallar el volumen del arco Zxyi{AfO, tomaríamos como altura también la longitucl de la bóveda, y por base la sección Zxy^MO, que tiene evidentemente por sup)ertície ZOMZ —xy\x\ por tanto, su volumen será:

F<— (superf. seg. Z O M Z — superf. seg. jryfx) L (2.*) También se puede hallar el volumen anterior calculando pri-

I I • j j I ZOM-hxyz , . ,. meramente la longitud del arco mnp = ^-, y multiph-cando después esta longitud por la distancia Oy llamada dovela y por el largo de la bóveda, es decir, el volumen sería:

F - longitud mnp = ^^M + xy^ X Oy X L (3.')

— 267 — Cuando se tiene que hallar el volumen de un arco como el

representado en ia figura 178, se puede emplear la fórmula siguiente:

V— {op + ts -f- ab) thXL (4.') Esta fórmula práctica que emplean los alarifes de este esta

blecimiento, puede admitirse con cierto error por exceso, consistiendo éste en considerar las cantidades iop-h ts -^ ab) y desarrollo arco a'rc como equivalentes.

En algunos casos se obtiene el volumen de dicho arco por la fórmula tercera, hallando las longitudes de los arcos ZOM y xy^ con una cuerda ó cinta que tienden sobre dichas curvas, y cuya semisuma es, como sabemos, la longitud del arco mnp, equidistante de los anteriores.

También puede obtenerse la longitud del arco a'rc por la fórmula de geometría:

Longitud are. c re = — —^ :— 180

en la que m vale 3.1415.. , M es el radio del arco y a el número de grados del ángulo que corresponde á dicho arco.

Para hallar el volumen de las porciones MNO y o/^ (fig. 176) llamadas enjutas, se resta de la superficie del rectángulo ZMNP la del segmento ZOM, y se multiplica el resto por la longitud de la bóveda, es decir, que el volumen de las dos porciones ó enjutas será: V= (supert. rectang. ZMNP — superf. seg. ZOM) L (x) y también por la fórmula práctica.

Volumen de una enjuta =• •/, 3 / iVX ^O X L í^) que difiere poco de la anterior.

Cuando el arco cuyas enjutas se quieren cubicar es como el representado en la figura 178, no se puede aplicar para determinar dicho cubo la fórmula x empleada para la figura 176; en este caso y otros análogos, y con objeto de obtener exactamente la super-

. ficie de dicha enjuta, se hará uso de la fórmula S = superf. triáng. ^qb — superf. seg. ^hb, ^ , j

obteniendo el volumen correspondiente con sólo multipUdir fívá

— 368 — diferencia por la longitud, que en este caso es el ancho; es decir, el volumen será:

F = (superf. triáng. i(qb — superf. seg. :{hb) L (mj Si en esta fórmula y en la /hj, que en este caso es

se colocan los valores particulares deducidos de la figura correspondiente, nos darán:

la fórmula (^m) F.^. 2™*. 960 , la id. (nj F=:23">'.940 )

Z = 3™.5o

Diferencia o""*. 980 por exceso, ó sea á favor del alarife contratista; por tanto, se debe en todos casos seguir la fórmula (mJ que no da ningún error.

Para calcular el volumen de los espacios excavados en el interior de las minas, se puede emplear el procedimiento siguiente, que aunque no da resultados del todo exactos, ofrece comodidad para su uso en la práctica.

Supongamos que M y N ¡fig. 179) son dos cortes transversal y longitudinal respectivamente de una excavación.

Se empezará por determinar las medidas de las lineas i-i , 3-3, que representan diferentes anchos en los puntos de más mílexión del contorno tomando por ancho medio el cociente que resulte de dividir la suma de todas las medidas tomadas por el número de ellas.

De igual manera después de sumar las longitudes tn, / '«', iwn, / '«', y partir dicha sutna por el ntímero de medidas, se ol>tendrá el término medio del alto y el término medio del largo después de sumar ab, a't, i*b\..... y dividir por el número de medidas.

Supongamos que se ha medido el hueco de una excavación y han resultado las medidas que exponemos á continuación:

Ancho.

Una medida.. i.oo Id 1.58 Id 2.35 Id 2.8o Id 3.48 Id 3.80

Sumas 14.93

269 — Alto. Largo.

I 60 5.20

2 .00 7 .00

2 90 7 .10

2 . 4 0 7.60 2.85 »

»

jm V

» 11.75

jm V . 2 6 . 0 0 •) Z. = 2m.4g í =.2™.35 ==6'i^.725

cuyos términos medios 2.49, 2.35 y 6.725 multiplicados entre sí representan ó dan el volumen aproximado de la excavación; este volumen será 39'»'.io3.

La causa que más contribuye á que este sistema de medir sea imperfecto, es la diticultad que se encuentra para acertar dónde se deben tomar las medidas que nás lleven al término medio deseado. Así, la práctica unida al buen golpe de vista del operador son las que deciden en estos casos cuántas medidas y en qué puntos se deben tomar; por tanto, como el mayor grado de exactitud del resultado depende casi de la casualidad, no es aventurado decir que siempre se ha de encontrar algún error. Si se quiere evitar que este error sea demasiado grave, será conveniente el abstenerse de tomar medidas que se diferencien mucho unas de otras para encontrar el término medio que se busca, por lo que cuando la excavación tenga una amplitud muy variable, se descompondrá en varios trozos, procurando que cada uno de éstos se aproxime lo más que se pueda á ser un prima rectangular, hallando el volumen de cada uno de ellos por separado y como dejamos indicado anteriormente.

En algunos casos se puede calcular con toda precisión el volu-roen de una excavación de forma irregular, si se considera dividid o su espacio en prismas triangulares truncados.

Supongamos que ABCD (fig. 180) representa la proyeccióo horizontal de la excavación, 6 sea su suelo. Si se toma por base el triángulo srr^ y se levantan en los vértices de este triájlguio Vf^^

— «70 — pendiculares hasta el techo ó cielo de la galería, resultará entre .dichas perpendiculares un espacio en forma de prisma triangular truncado, cuyo volumen se determina por la fórmula

F = S X <^-*-'' + ^') 3

En la cual S representa el área de la base, y 5, y r ' las tres perpendiculares de que hemos hablado antes.

Por igual fórmula se calcularán sucesivamente los volúmenes de los prismas fundados sobre las bases ír'r*, r^r'r^, r'r*r*, hasta terminar el hueco de la excavación.

Reglas prácticas para medir las rpaderas.—Las maderas de que se hace uso en las construcciones se asemejan en muchos casos á un prisma rectangtilar, y en tal caso se obtiene su volumen exactamente por la fórmula V = Sx a [R] en la que S es la superficie de la base ó sección transversal, y a la altura ó longitud.

Cuando la forma de las maderas sean la de una pirámide ó cono truncado, se obtiene su volumen por las fórmulas

r = V, a (5 + ¿ + t / ^ ) y F = V,a(/?* + r«4 - i ? r ) en la primera representan B la superficie de la base mayor, b la superficie de la base menor y ala. altura; en la segunda R y ríos t&áios de las bases mayor y menor del cono, y a la. altura.

Cuando la madera es sin descortezar, importa algunas veces saber la madera de construcción que puede sacarse de un árbol esté ó no cortado. Para esto, sé mide la longitud de la circunferencia del árbol, haciendo uso de uAa cuerda que se arrolla alrededor del tronco, en el punto medio próximamente de su elevación, con objeto de rebajar lo que abulta la corteza y la albura y se multiplica la longitud hallada

por 0.83 si el árbol es viejo por o.8o si es de mediana edad por 0.75 si es tierno.

El resultado que obtengamos de estas multiplicaciones expresará poco más ó menos la longitud de la circunferencia útil, es decir, de la circunferencia del tronco sin corteza.

— 271 —

Para obtener ahora el espesor máximo correspondiente á la viga que resulte de dicho árbol, se multiplica la longitud déla circunferencia útil por o.25 y tendremos el grueso en cuadro de la pieza labrada groseramente sin perfeccionar las aristas, y multiplicando por 0.23 se halla el grueso de la pieza labrada á viva arista.

Si queremos obtener el volumen de la madera de un tronco, averiguaremos en primer lugar cuál es su diámetro medio, lo que conseguiremos dividiendo la expresada circunferencia por 3.1415... terminando la operación por la fórmula (MJ.

Se hará más claro lo' expuesto anteriormente con algunos ejemplos.

I." Se quiere saber el volumen de un árbol de 12 metros de altura, 4.'". 12 de circunferencia media medida sobre la corteja en el punto medio de su altura.

Supongamos que el árbol es de mediana edad y tendremos: Circunferencia útil - " 4"M2 X ^.So = 3'".296. Lado ó sea espesor en cuadro de la pieza labrada groseramen

te, 3.296 X o.25 — o'".824. Lado ó espesor de la pieza labrada á viva arista, 3"".296 X

0.23 — 0^.758. Diámetro medio del tronco, -f- =• Trrrr "" i" 'o5.

' 7C 3,iU5 Volumen del mismo tronco V= S X. ^• En cuya fórmula, para hallar la superficie S, despejáremos R

en esta otra C «= 2ITÍ2, que es la longitud de la circunferencia*, C 3 296

tendremos, por tanto, R = ^ «- -^jf =* o"'.53i, y, por consiguiente,/S = (7 X Vi -B = 3"<.296 X 'A o-53i — o"''.87, y r«,o 'n*.87 X 1 3 = io'"».440.

Una vez que sea conocido el volumen es fácil hallar el número de tablas ó piezas de ciertas dimensiones que ha de producir el árbol, no olvidando que por cada corte de sierra se pierde de ' á 4 milímetros.

En algunos casos hay necesidad de emplear piezas de madera fuenes, y entonces se puede obtener su medida de la manera siguiente:

— 27* — Mídanse las dos circunferencias extremas del árbol sin desear-

te^ary tómese la décima parte de su suma; elévese al cuadrado este valor,y multiplicando el resultado por la longitud tendremos el volumen.

Para determinar la mayor escuadría de un árbol después de cortado, se sigue la regla siguiente:

Mídase el diámetro del árbol y elévese al cuadrado, tómese la mitad de este cuadrado y la rai\ cuadrada de dicha mitad expresará el lado del mayor cuadrado que puede resultar labrado á viva arista.

La fórmula — = ^/T^ ó a = r j / S " que expresa la razón del lado del cuadrado inscrito en un círculo con su radio da igual resultado que la regla precedente.

2 1 7 . 2.* PLANOS DE LOS EDIFICIOS.—Los planos de los edificios se componen del contorno exterior, de los planos de las plantas ó secciones horizontales de los aleados ó elevaciones, y, por último, de cortes ó secciones verticales.

El contorno puede determinarse cuando el edificio está aislado, refiriendo todas sus aristas por ordenadas á un rectángulo ó polígono circunscrito de corto número de lados, ó por radiación con un instrumento angular desde estaciones hechas en las proximidades de sus ángulos. Cuando el edificio está rodeado por

, otros, tiene que deducirse el contorno del plano del piso bajo. En Xas plantas ó secciones horizontales se ha adoptado el con

venio de representar los objetos situados por debajo del plano de proyección, figurando, además, en ¿as piezas abovedadas, las aristas entrantes y salientes de las bóvedas, y en las escaleras los escalones ó peldaños situados encima del plano hasta el suelo del piso inmediato superior. En los sótanos ó cuevas, el plano de proyección se considera trazado por el arranque de las bóvedas; en los demás pisos el referido plano se considera trazado á la al-

, tura de un decímetro sobre el dintel inferior de los balcones ó ventanas, y en los'desvanes ó buhardillas sobre el mismo suelo.

£ n los planos de las plantas se representan las diversas habitaciones que componen cada piso con su colocación respectiva.

— 373 — para conseguir lo cual se miden en cada una de las habitaciones sus diversos lados y diagonales, así como los huecos de puertas 6 ventanas y las distancias que separan unos huecos de otros.

El espesor de las paredes se mide por las ventanas y puertas. Los al:¡ados ó elevaciones sirven para representar las fachadas,

concibiéndolas proyectadas sobre planos verticales paralelos á ellas y para determinar las alturas de las diversas partes del edificio. Las dimensiones horizontales se deducen de las plantas de los diversos pisos, y las verticales se determinan por medio de reglones ó plomadas.

En los cortes ó secciones verticales se considera cortado el edificio por planos verticales, unos paralelos y otros perpendiculares á la fachada, en cada uno de los cuales se proyectan solamente los objetos comprendidos entre él y las paredes más próxi-ttias. Sirven estos cortes para conocer el espesor de los muros ó paredes, el de los suelos, los materiales de que se hallan formado» y sus diversas disposiciones. Las dimensiones horizontales necesarias para la representación de dichos cortes se deducen de los planos de las plantas y las verticales de los alzados ó elevaciones»

Las figuras I 8 J y 182 representan la planta y alzado de un pequeño edificio; para determinar su interior se ha trazado una recta CD perpendicular á la AB, trazada esta última sobre la vía ptíblica. A partir de esta línea como base y en los puntos convenientes, se le levantan perpendiculares oa, W,... cuyos extremos «determinan los ángulos de las puertas, salientes, etc.

Para las habitaciones interiores se trazan otras líneas R'S'y ^'8", y á las que, consideradas como ejes, se relacionan los entrantes y salientes, como en la base anterior. Estas segundas bases 6 ejes se relacionan con la primera según un ángulo que sólo *n algunos casos excepcionales es diferente del recto, anotando su valor cuando no lo fuera. «. Como comprobación se medirán en cada habitación las dos <Íiagonales de que hemos hablado antes, siempre que dichas habitaciones sean cuadradas, rectangulares ó en forma de paralelo- / «ramo. -^

— 274 — Cuando alguno de los ángulos interiores ó exteriores del edi

ficio no sean rectos, se halla su valor por medio de abracaderas mn trazadas á igual distancia del vértice del ángulo-, así, si el ángulo que hubiera necesidad de medir es el representado en la figura 183, se procederá de la manera siguiente:

En los lados OP y OQ se tomarán dos distancias Om y On iguales, y trazando la abrazadera mn tendremos un triángulo Omn cuyos tres lados se conocen, con lo que se podrá construir, determinando, por consiguiente, las direcciones de Op y OQ.

Si el ángulo fuera el exterior P'HQ', se colocarían dos reglas an', bm' de igual escuadría y lo más delgadas posibles, sujetas al muro en los puntos m', n'\ se tiene entonces el triángulo bHa, que, midiéndole como en el caso anterior, nos darán las direcciones de los lados i ^ y HQ'

Siendo bastante comprensibles las operaciones que hay que e}«cutar para obtener las elevaciones y cortes, prescindimos de su explicación.

218 3 / FÓBMULAS Y DATOS ÚTILES.—Cuando se quiere hallar el radio de un arco en función de la semiluz y la sagita ó flecha, se hará uso de la fórmula siguiente:

R^£±JL (I.*) en la que / representa la semiluz'y / l a flecha.

— 275 —

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— «7* — Sabiendo que el lado del triángulo inscrito es igual á R V 3 "

se han obtenido las fórmulas precedentes; para los polígonos de un número de lados múltiplo de los dados se hacen operaciones análogas para obtener sus fórmulas.

Definiciones.—i." Una esfera y un cono de igual radio son equivalentes si la altura del cono es cuatro veces mayor que su radio.

2.* Un cilindro y una esfera de igual radio son equivalentes si la altura del cilindro es igual á -=- de su radio.

3." Un cono y un cilindro de -igual radio son equivalentes si la altura del primero es tres veces mayor que la del segundo.

4.* Un cono y un cilindro de igual altura son equivalentes si el radio del primero es igual al del segundo piultiplicado

porVT VALORES DE LOS ÁNGULOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES

FORMAS

Triángulo Cuadrado Pentágono Exágono Eptágono V. Octógono Eneágono Decágono < Dodecágono

VALOR DE TODOS

i8o' 36o 540 = 6 720 — 8 900 = 10

1080 - * 4 2

1260 " - 14

1440 =» 16

1800 — zo

2 rectos. 4 »

DE UNO SOLO

60° 90 108 120

I20'>.34'.i7" 135° 140 144 15o

— 277 —

FÓRMULAS PARA DETERMINAR LOS RADIOS DE LAS ESFERAS INSCRITAS Y CIR

CUNSCRITAS A CADA UNO DE LOS CINCO POLIEDROS REGULARES, SIENDO R Y r LOS RADIOS Y a LA ARISTA.

Tetraedro...

Exaedro

Octaedro

Dodecaedro.,

Icosaedro.. . ,

INSCRITAS

r = a>/ 6

12

r = •

r =

2

r — ^ 1 / 2 5 - 1 - 1 1 / 5 2 V 10 .

12

CIRCUNSCRITAS

/? = a ^/ 6

4 _

i?

R-

2 a (/T

2

- í l / 5 -H /T

— ayS —

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— «79 — Jtelación enlre los volúmenes de una esfera y dos conos equild'

teros (•) inscrito y circunscrito d la misma. Vol. cono circunscrito : Vol. esfera :: 9 : 4 Vol, cono id. : Vol. cono inscrito :: 2 ' : i ' Vol. esfera id. : Vol. cono id. :: 32 : 9.

Relación entre los volúmenes de una esfera, un cono y un cilindro equiláteros (•*) inscritos estos dos últimos en aquélla.

Vol. esfera : Vol. cilindro :: 8 : 3\/~ Vol. esfera : Vol. cono :: 32: 9 Vol. cilindro : Vol. cono :: 8 V ^ '• ^^

Relación entre los volúmenes de una esfera, un cono y un cilin-"fo, ambos equiláteros y circunscritos á la primera.

Vol. esfera : Vol. cilindro :: 2 : 3 Vol. id. : Vol. cono - 4 : 9 Vol. cilindro : Vol, conq :: 2 : 3.

O Se lUma cono equilátero al (jae tiene el lado igual al diámetro de n •«ue.

(**) Se llaoia cilindro eqailátsro al que tiene igual altara qne diámetro.

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— 2 8 l —

CUADRO DEL NÚMERO DE m ' QUE PUEDE EXTRAER UN OPERARIO EN DIEZ HORAS

CLASE DE TERREXOS Metrus cúbicos.

Tierra ordinaria 14.000 ídem franca y muy libera 12.000 ídem id. ordinaria 11.000 Arena ó grava suelta 10.000 Turba ó fango 6.700 Arcilla ó greda 6.700 Grava muy compacta 6.000 Margas 5.000 Toba ordinaria 3.000 ídem mezclada con piedras 2.000 Roca saltada con pólvora i .800 Toba con mucha grava i . joo ídem petrificada i . 5oo

AUMENTO DE VOLUMEN POR METRO CÚBICO

Tierra vegetal de varias clases (aluviones, arenas)

ídem franca muy grasa , ídem margosa y arcillosa bastante com

pacta ídem id. id. muy compacta y dura ídem gredosa Toba dura ó medianamente dura Roca desmontada á i)arrenos

Sin compresión cin

co (iías después de excavadas.

0.100 0.200

o.5oo 0.700 0.200 o.55o o. 65o

C o m - . primidas

al máximo con pisones t> con agua.

o.o5o 0.070

o.3oo 0.400 o . I C O

o.3(io 0.490

— 28a —

CUADRO

QUÉ EXPRESA EL ESPESOR QUE SE DA Á LOS HUROS DE LOS EDIFICIOS

Expesores. OLXm DB HÜHOÍ jff-^^^

En los cimientos o.gS á 0.97 i En los zócalos 0.57 á 0.81

Muros de fachada > E n los pisoS bajos O.49 á 0 .65 f En el primer piso 0.43 á 0.54

En el piso alto .-. 0.35 á 0.48 ,' En los cimientos 0.54 á 0.60

Paredes de 3 á 4m de al-1 7 jji^ ' Al nivel del suelo o.35 á 0.40

' En la coronación o.35 á o.38 Cornijales 0.24 á 0.27

' Postes de puerta cochera . . . . 0.22 á 0.24 I ídem de marcos o. 19 á 0.22

EDtnunados de fachadas I í d e m d e re l lenos O.16 á 0 .22 de 4"> de altura y de j Soleras y carreras 0.22 á 0.24 011.22 áo.24degnie- j Tornapuntas ja balcones y cru-** • I ees de San Andrés o. 16 á 0.22

¡ Pilarejos o. 13 á 0.22 ^ Separación de los postes del ^ relleno 0.27 á 0.33

. (De 4™ de altura 0.16 Entramados maestros . . ? ^

r De más de 4 metros o. 19 L Sosteniendo suelos o. 13 á o. 16

Postes ; r No sosteniéndolos o. 11 á 0.14

Paredes maestras 0.40 á 0.4S Tabiques o.io á 0.20 ídem grueso 0.08 á 0.14

— a83 —

CUADRO DE LAS ESCUADRÍAS QUE SE PUEDEN DAR Á LAS VIGUETAS DE LOS

SUELOS, SEGÚN LAS DIVERSAS LONGITUDES Y SEPARACIÓN EN LAS EDIFI

CACIONES ORDINARIAS, POR M R . D E M A N E T .

Luz

sa lvada

por las

viguetas.

E S C U A D R Í A Luz

salvada

por las

viguetas. 0.50 0.70 0.80 0.90 1.00

3m 0.15x0.11 0.17X0,12 0.17x0.12 0.18x0.13 0.19X0.14

4 0.18x0.13 o.2oXo-'4 0.21X0.15 0.22X0.16 0.24X0.17

5 o . í iXo iS 0.24X016 0.25x0.17 0.26x0.18 0.27X0.19

6 0.23X0. í 7 0.26X0.18 o.»jXoi9 0.28x0.20 o.apXo.ai 7 0.25X0.18 0.23X0.20 0.30X0.21 0.31x0.2a 0.32X0.33

8 o.28Xo-ao 0.31X0.21 0.32X0.22 0.33x0.23 o.35Xo.a5 9 0.31X0.22 0.35X0.25 0.36X0.26 0.37X0.27 o.39Xo.a8

10 o-33Xoa3 O-37X0.26 0.38X0.27 0.40x0.28 0.43X0.30

Observación.—Para formar este cuadro «c ha hecho uso de 1«

formula 5 — 0.0134 j/j?/ £,» en la que B representa la altura de la sección transversal; /, la separación de eje á eje de las viguetas; £, w longitud entre los muros, tomando para p (peso del suelo y de '* sobrecarga por metro cuadrado) 3oo kilogramos, á s|ber: 3o para la carga ordinaria del suelo, mas 270 para las sobrecargas accidentales, comprendiendo el peso de los muebles y de las perdonas en movimiento, llenando todo el espacio del suelo. Las escuadrías ofrecen bastante resistencia para poderse aplicar hasta en **s edificaciones militares que sirven de alojamiento á la tropa.

284 —

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- 2 8 7 -

VARIOS Pesetas.

El m* de tabique de panderete con ladrilos sesquiálteros o. 5o

El id. id. id. con id. jaboneros 0.75 El id. id. id. con id. comunes i.25 EJ m* de muralla con piedra con menos de

o'n.60 de espesor y hasta 6™ de altura i .60 El id. de muralla de 0.60 á o.85 de espesor y

8"" de altura 2.00 l?i 1 j .-• j i ._ i 0.60 de soga. «<i »)' de tabiques de adobes í i.25 de tizón. El m* de tejado incluida la colocación de ma-

deras y encabiados 0.75 El tn* de enlucido con cal 0.75 El m* de id. con barro, .v 0.00 El m* de cielo raso con yeso incluida la colo-

cación del cañizo i. 5o Por la colocación de cada tirante ó viga en los

suelos o.25 Por la id. de una puerta ó ventana 2.5o Por la colocación de un balcón de platina de

hierro i5.oo Por la id. de una reja 7.5o El tn* de solado con baldosín i .25 El «* de id. con baldosa de 0.20X0.20 i 'OO El TO» de id. con id. de 0.24X0.24 0.75 El m* de id. con id. de 0,28X0.28 o. 5o El m* de empedrado o. 5o

PRECIOS DE ALQtJNOS MATERIALES

El carro de piedra de 460 kilogramos, en la cantera 2. 5o

El ciento de tejas comunes, en la tejera 5.25 Un rollo de pino de 4m.i7=5v» 3.5o

^ 1 carro de cal de 14 fanegas, en la obra.... 21.00 una carga de tierra, en la obra o.25 ün quintal de ye»o 2«oo .

— 288 —

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— 289 '"

TABLA. DE PESOS DE HIERROS CUADRADOS Y REDONDOS PARA UNA LONGITUD DE UN METRO

Djmen- Peso Peso Dimen Peso Peso •iones ó lados.

en kilogramos. en kilogramos. siones ó lados.

en kilogramos. en kilogramo».

Miltms, Hierros Hierros . . Hierros Hierros Miltms, cuadrados. redondos. Milims, cuadrados. redondos.

I I 0 . 0 0 7 8 0 . 0 0 6 1 3« 7 . 4 9 5 5 . 8 M 6 . S < ^ 2 0 . 0 3 1 0 . 0 2 2 32 7 . 9 8 5 5 . 8 M 6 . S < ^

3 0 . 0 7 0 0 0 4 4 33 8 . 4 9 4 6.668 4 O . I 2 4 0 092 34 9 . 0 1 & 7 . 0 6 0 S o . » 9 S 0 152 35 9-555 7 . 4 ^ 6 0 . 2 8 0 0 212 36 1 0 . 1 0 8 7 , 9 2 0 7 0 , 3 8 2 0 . 2 8 8 37 . 1 0 . 6 7 8 8.364 S 0 . 4 9 9 0 , 3 9 0 38 1 1 . 2 6 3 8 . 8 2 0 9 0 . 6 3 1 0 4 8 8 39 1 1 . 8 6 3 9.3<»

l o 0 . 7 8 0 0 . 6 1 2 4 0 1 2 . 4 8 0 9;-788 :, « | i 0 . 9 4 3 0 . 7 3 2 4 1 ' 1 3 . 1 1 1 ioí.376^ i

' I 2 I 123 0 . 8 6 S 4a «3 759 10I.776' ' »3 l . 3 « 8 1 . 0 2 0 4 3 1 4 . 4 M 1 1 , 3 0 0 ; ;

; «4 1 . 5 2 8 1 .1S8 4 4 I5.ÍOO u„836' ?

»s «•755 1 . 3 6 8 45 «5-795 i * - 3 8 4 1 2 . 9 3 6

* ' 6 I 996 1 . 5 5 6 4 6 1 6 . 5 0 4

i * - 3 8 4 1 2 . 9 3 6 • •

>7 18

2 . 2 S t 1 . 7 5 0 47 17 *3o 1 3 ' 5 0 4 ' >7 18 a . 5 2 7 1 . 9 6 8 4 8 17 971 1^4.080 »9 a . 8 1 5 2 . 2 0 0 49 1 8 . 7 2 7 1 4 . 6 8 ^

• So 3 . 1 2 0 J . 2 4 4 50 1 9 - 5 0 0 il5.»9i». ••

I * l 3-439 . 2 . 6 8 8 55 3 3 - 5 9 5 . v8;5o» \ Sa 3 775 a 9 4 4 60 2 8 . 0 8 0 32 ' ,024 \

ji «3 4 . 1 2 6 3 . 2 0 4 65 3a-955 ' «5 i 84a i '<• 3 4 4.4?« 3 . S I S

3 . 8 1 6 70 3 8 . 2 2 0 291968^ \

»S 4.875 3 . S I S 3 . 8 1 6 75 4 3 . 8 7 5 34*. 41 a

i

*6 5 . 2 7 2 4 " 4 80 4 9 9 « o 3 9 . 1 6 0 , 4 4 . 3 0 3 ! »7 5 686 4 . 4 4 8 85 56.355 3 9 . 1 6 0 , 4 4 . 3 0 3 !

' «8 6 . 1 1 5 4 . 7 8 4 9 0 6 3 , 1 8 0 49 556 ^9 «559 S.»36 95 70.395 SS.aio 30 7 . 0 2 0 5 . 5 0 4 IQO . 7 8 . 0 0 0 6 1 . 1 5 9

* = = = • ^ •

^ Si la barra fuese tableada ó de llanta se determinaría su peso *«U«ndo el lado del cuadro equivalente al rectángulo de 1? sec-

; . ' r y por la tabla se bailaría su peso inmediatamente.

— 390 —

ITABLA DE PESOS DE UN METRO CUADRADO DE CHAPAS DE LOS METALES SIGUIENTES

Eipeaor Kilo Kilo Kilo Kilo- Kilo Kilo• en mili-

melros. gramos. gramos. gramos. granioa gramo». gramos. • en

mili-melros. Palastro. Cobre rojo. Plomo. Zinc. Plata. Estaño.

* '•947 2.197 2.838 I.715 2.652 t .825 i 3-894 4.394 5.676 3.430 5.305 3.650 1 7-788 8.788 n . 3 5 2 6 801 10.610 7.300 2 1S-S76 17.576 32.704 «3.722 21.220 14.600 3 23364 26 364 34 016 ' 20.583 3«.83o 21.900 4 31.164 35.152 41.408 37 444 41 440 29 200 5 38.940 43-940 56 760 34 305 52.050 36 500 6 46.778 52 728 68.112 40.176 62.660 43 800 7 54-5 «6 61 516 79 474 47 027 73.270 51.100 8 62.304 70.304 90.816 53.878 83 880 58 400 9 70.092 79 092 102.168 60.749 94.490 65.700

l o 77.880 87.880 113.5*0 67 6 io I05 loo 73.000 11 85.668 9.6688 124 872 74.471 115.7«o 80.200 13 92.456 105.456 «35.224 81 332 126.320 87.600 «3 100.234 44 .244 «47 576 88.193 «36.930 94 900 14 109.232 123.032 158 928 95 054 «47.540 102.200 >S 116.830 131.820 170.280 .101.905 158.150 109.500 16 124.608 140.608 181.632 108.776 168.760 116.800

. «7 132.396 «49 346 192.984 ««5.637 «79.370 124.100 ' 18 140.184 158.184 204 336 122.498 189.980 131.400

>9 147.972 166.972 211.685 «29-359 200.590 138 700 3o 31

«55.760 J75•770 237 040 136.220 • 211.200 146.loo

3 3

Si en el espesor de la .chapa hubiera dos materiales laminados, conociendo el espesor de cada uno se obtendría su peso, que, unidos después, darían el peso pedido.

— agj —

TABLA QUE EXPRESA Í*S DIFERENTES USOS Y PESOS POR Wí' DE VARIAS CLASES DK MATERULfS

3.»

S-0

CL,A.SES

Fiedraa volcánicas. Lava , Traquita . . . . . . . Basalto Toba volcánica...,

Piedras silíceas. Sdice pirómsco. Piedra molar... Pórñdo Granito Gneis

* " Veso piedra

Piedras caliías.. Greda y creta.. Toba caliza.. . . Caliza gruesa, ídem compacta, Mármol

U S O S

'•*> Piedras pizarreñas Tejados y cobertizos.

Objetos de adorno. ídem Empedrados.. Adoquines, Construcciones....

Para molinos... Ornatos Emped^dos. . . Construcciones.,

Fabricación del yeso.

Construcciones, ídem y cat Mármoles... , Decorados.'....

Peso por m'

a 93» Variable,

2. aso 2.809 3 .000 i.ate

2.400

a.Ss»

2 . 8 M 2. 100

> ,468 .300 3S«

.3001 700

ALGUNOS DATOS DE ALBAÑILERÍA *

Hn un pie superficial entran dos ladrillos de marca común, *6 en el metro cuadrado y unos 100 en la tapia -«S^'.SS.

En un pie ciíbico de fábrica de ladrillo entran 10 de éstos, "nos 470 en cada metro cúbico y una cantidad de mortero^ siendo '©«'tendeles delgados y la fábrica horizontal de 420 decímetro» ^bicos.

Para obtener i ™' de mortero se necesita mezclar 566 decfmft* ^ '^ cúbicos de cal, in>*.ioo de arena y 343 Htrot.de «gu«, nmAt'» :tfiido próximamente 168 cubos de mezcla.

http://Htrot.de

— 392 —

La fanega de cal (56 litros ó decímetros cúbicos) pesa 57>'.?ii •» 5 arrobas, y para apagarla se necesitan 96 litros de agua próximamente.

Con una fanega de cal de buena calidad y en terrón empleada en la proporción de un volumen de ella por dos de arena, se puede hacer en fábrica horizontal de ladrillos 627 decímetros cúbicos sentando de 25o á 3oo ladrillos; la misma poco más ó menos se gasta en un volumen igual de mampostería bien trabajada y enripiada; pero si la fábrica es de arcps ó bóvedas, entra mayor cantidad de mezcla, porque los tendeles abren mucho por el trasdós de la fábrica.

La piedra necesaria para hacer i""'. de hormigón ó mampostería viene á ser 3 '/« carros de 40 arrobas uno, que hacen i.óio"^. próximamente, empleándose 3 '/i fanegas de cal »=• 209 decímetros cúbicos, 460''". de arena y 3oo litros de agua.

En un metro superficial de bóveda tabicada sencilla entran 25 ladrillos ia''».5oo de yeso negro y S''» de yeso blanco; si el tabicado es doble, 52 ladrillos 29'».5oo de yeso negro y i2i".t2 de yeso blanco.

En un metro cuadrado de tabicado entramado de o*".35 de grueso entran 160 ladrillos y i29'».20 de yeso negro; en el de o™.28, 138 ladrillos y 86''».65 de yeso negro; en el de sesma == b".2p8j 100 ladrillos y 60''*. de yeso negro; y, por último, en el de o". 14, 69 ladrillos y 48''».25 de yeso negro.

En el metro cuadrado de tabique doble deoo^.io de grueso entran 52 ladrillos y 38i<*.65 de yeso; si el tabique es sencillo y entramado de o'",o5 de grueso, entran aS ladrillos y i9i'*.5oo de yeso negro. • r Con Sói -Soo de yeso n^ro se guarnece y maestrea un metro . cuadrado 4e fábrica de ladrillo, y si ésta es entramada, se necesitan 45^*.09 én lienzos verticales, porque en techos de madera par^^i^al superficie se necesiun 45i».85, y «si son de cañizo 38k»65: =

En el blanqueo á llana de un metro cuadrado de paramento t Vvrtícal se gastan i>".6to de yeso blanco y 3i«.o7 para igual su-

— '93 -perHcie en el techo; si el yeso se aplica en lechada á brocha, con 4'".6oo se pueden cubrir 20 metros cuadrados.

En el metro cuadrado de tejado entran de 33 á 36 tejas comunes ó acanaladas, y unos gks.óS de yeso negro en caballetes y boquillas; siendo planas las tejas entran sólo ar.

En el metro lineal de cañería para subida de humos entran 3 caños, i9''s.32 de yeso negro y 6i''.45 de yeso blanco.

Para construir un fogón de 2'" de largo, o^.gS de alto y otro tanto de salida, se necesitan 23o ladrillos y 46k*.o9 de yeso negro; y para una campana de2™.5ode alto y i">.iode salida y a ^ - i o de ancho se gastan 92 ladrillos, 27 baldosas, 322^^.065 de yeso negro y 27'<s.o25 de yeso blanco-para su blanqueo.

Con una fanega de cal diluida en 180 á 240 litros de agua, se pueden blanquear 5o tapias = 194'"'., dando dos manos de lechada, una horizontal y otra cruzada, ó sea á las aguas.

La piedra necesaria de río 6 morrillo para empedrar varía seglin su grueso: siendo mediana se necesitan cargo y cuarto ó «ean 5o arrobas para cada 5o pies cuadrados •=- 3™'.88.

En cuanto á la cantidad de obra aproximada que en un día de nueve horas de trabajo puede hacer la cuadrilla de albañilería compuesta de un oficial, peón de mano y dos peones comunes, en las obras mayores, es: 4">'.326 de mampostería en cimientos; 2n'».245 de mampostería al descubierto con hilada de verdu-

"gada, 2"*».704en muros de fábrica de ladrillos, 2"'*. 169 en fachada con arcos, i-n^./Si en bóvedas de cañón seguido con lunetos y ' '° ' .5i4 en las demás clases de bóvedas.

El desperdicio que experimenta el mortero de cal y arena en su empleo es V,o de su volumen.

El desperdicio de los ladrillos es también V,» próximamente.

FE DE ERRATAS

Linea. Dice. Debe decir.

'94

241

259 260

7 £7 = 26", 40', 86"

33 M • • • *

n 35 B'A'C^BAC 3,4,5y6 bisectriz

i3 dicha as 35 vs .

25

25 24

FE Jf-EG

i 8 o ° - i 8 ° — t 2 ' 2

por 5 la suma

C = 26", 40', 36" M_ m

B'AC'^BAC bisectriz

dichas rectas NS

Topografía.—Libro segundo.

^XEG

180°—18°, 12' 2

por s la suma S>S

Mcvmaf dd Geómetra Ldjruna / '

P.MorcLd¿bf lilMaleitiBanf'Villo 4^ ^-

Mojiaal dd GeoinetrcL Ldi amina ^'

" » 2

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F.Moradib!' i / í¿ yWoí'w, Jianfuilh 4¡/^

Mwiiial dd G^dmelrcL ¿/amina J."

RMora/iib!' Lít Mcd(u, Jíair¡iUllí> 4 y 6-

Manual del Geonielra Lájjúna 4-

F.MorcLxiibf l.U Maífii, Hanjuillo 4il ^

Manual dd GeJnutra Ijarmncí j .

F. Mora. xül>' J,it Maieu, Bar<}uillo 4¡/ ^-

Maiuial de¿ Geonutra Lrámna 6"'

P.Morad¿l>' MU Ma/eit, Banfuilh 4y 6

Manual del G&dmetra LájTuncí 7 '

P.Mora ¿iib: Jyil Malm, fíarxjiullc 4n ^

Manual del G&dnudrcL

F.MorcLdibf J.il Maieu, BairfmlU 4y ^-

Manual dd Geómeira Lámina c /

P.MorcL dih' LitAlaleii, BanfiUUo M

yiuiLHdl de/ GóOimtrcL

P.Moradibt lit McUen, Bwtiu lia 4^ '

AíauLial del Géonc//:a Lamilla- 1i^

Fig?' 65 bü

P.Mora (UO? TAI Maieii, Éanfuillc 4y ^-

AJanual dd Gccmelra

MINAS DE J^j'fjDEN Plano del l^-Piso.

/'"j." sr.

ESPLICACION

m Mineral I I Cuarcita-I I Fi-aüesca

zarra' I I Pórfido^ r I Mainposleiia, corlada \jy\ Depósiio de Jierramienias

^<J"C M 0£ í: 16iyO.

Lámina 12.

/ ; \->

V''.' I '

P.Mora dib? L íi MaUu Bai-qmllo ¡n/6

Maiuiaídel Gcómdrri Lanüna' Í3.

MINAS D^^l^MADEN

Cor/e loiigüudinai pcr^lvse/e.^ ^ ¿ - ^ 7 ^''^ de dirección y su descu-rcllc.

Cn adero t^n • Jíico^ fíasli'al delMoríe.

ESPLICACION. • Llave de núneixd. [ J Mitieral. g | Pizarra. '. --' I ) Cuarcüa,. • Frailesca cea ta

Ârcalcnîludinalcorii ^M id enproyeccioi . ,

[•] 6>niunicadoiiej ^ Mampfmpny f"'

f 2:c¿

/•^¿•^/^ ^•/5í7¿7

P.Mcrcc, dd'' Ut Maû^íü-quUlc^ó.

, ¡Icinmd dd óec'nicfra

• i ': <,

mdiros Corle ¿rasversal de los crm' ^'feûn ¿a lüiea rb(^. de la. Jiûj-a s/. £JPLICAC10A/.

Mivd del I I Mineral %

L J Cuarccla-

ÍSB Pizarra

\;;;\Frrfido

^^Jfcun/pos/eria. coiiada,

WK id. eiijirvyecciaii id,

^^.4rco Irasverscd cariado

Q id. lotigüudinal id

(JEJ Chmunicadones

10 "M . -

i if.''id._

/ / ^ ^ ¿ ^ ê 1:S00

Lámina /4--

P.Moradib? LiiMaicti,BwriaiUD ¿fy6.

Ma/mal del 0eometra Lámina, 15.

¿'ícelo- amarillo rejjrMeiüa lapiedra,: los demos ccloi'^-labores alierlas en carbón. ESCALA DE 1.:2OO0-

\PuiraccioJV

a P.Mora,dii'í ItíMídmSaríittüteifye.

Mcuinal ^£¿ GrónulrcL caniixi 16

F.Moradibf lU Matea, ñw.j.iillc 4y 6'-

Mamia¿del 6eóineircv Zójm'núu í7.

fií^''" del 6uadialo.

Triajigiüacion para del'^'''^^' '«^ mdvgcms

lit Maffu BarquiJUiltit^

P. Mora dib'.

jVhmual xM üeJm^lra L amma 1S

F'<j'*/oi- /^<,* /os

¿il Maieii, Banjaillo. 4'J ^•

P.Moradib'

á.

Mwmal dd 6¿dmdrcL / jüinina 19

! • • • • • '•-aa^^a^^^^^^gs prrrwT co .= í • I

P.Moradib!' LilMaleu, Rai^tullc 4tj S.

Maniud £Í£¿ (jc^indra L amina 20

laical • * . - , : /

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V.—'-'^ F.Moradrb!' lit Maten, Barcfiulh 4 i' ^-

Maiiiicii del Gecmid/u Lanuiiü

A'MJ'V'^A-

/r>''.:\

P.Mora4¿bf Lit Miden, Banfuillo 4¡/ ^-

MjiMmai xiel Geojiieira LdinincL 22

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F.Moradib!' lU MaitihBanluMo 4 y ^

Manual deí GeómelrcL LcvmníL 2ó.

PROYECTO DE UNA CARRETERA

PctJ^il Umqiiudinal

( Jit-ia iai> iictii.CH.la.fei? ^•.\00Q0

/'L^^ f/,Ó

Lnn •/ Jr cofa .~)00 "'

Ordenadas del Icrrcno. '^

Ordenada,'; sobre ele/ey.

DislancídS eiilre perfiles. ^

Di.siancias aJ origciv. Número de los perfiles. Núiivero ¿fe Kilomdros.

Curvas ,/ Jlúi^acicies

/"Afora da' li'i Maleiv BartfliUlo 4¡/ 6.

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Mcuuial del Gcomebn Lánwta.

PERFILES TRASVERSALES

^"•fü número 21.

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F.Mora (m° lilMcdiHl, Bartfiíülo, Uy C'

Marnial dd GeJineii'iZ Jjájmna 25

P.MorcLxtíbf lU J^aieih Bai^uilh 4y^-

Míuu¡c7Í del fíeJ/n£¿rci Lamina Jv

a Maieií, Barquillc 4il ^•

F. Mo/n dib:

Manual d^¿ Geonielra L (Milna 2 I

UtMaieii,Barí}UÍlh 4y (>•

F.Mora dik

Mojiihi/ del GevinelrcL Lámina. 2-8

F.^ " iC,.9 F.filO Fu^m

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P. Mora dil>f lü Maicih Jiarcjutlh 4 y ^

':^ ^n Manual dd GeoineircL ¿.amina. 29

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RMora/übf lit Malea, BaríjuMo 4 y ^-

Mcuiiicü dd Geonuü^ci Lcvruiia 30

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F. MotxL dik" Ut Maint, Barquillc 4if^

manual del geometra

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