Sveučilǐste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni nastavnički studij matematike i informatike

Marina Barǐsić

Matematika u Rubikovoj kocki

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveučilǐste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni nastavnički studij matematike i informatike

Marina Barǐsić

Matematika u Rubikovoj kocki

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan MatićKomentor: dr. sc. Ljerka Jukić Matić

Osijek, 2011.

Sadržaj

1. Uvod 1

2. Što je Rubikova kocka? 22.1. Povijest Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Varijacije Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1. Rubik 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2. Sudokocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3. Square one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4. Pyraminx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5. Oktogonalna prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.6. Magična kugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.7. Oblo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Izgled i grada Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Broj konfiguracija Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Algoritmi za rješavanje Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6. Natjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Matematika u Rubikovoj kocki 113.1. Oznake i notacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Grupa i podgrupe Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Grupa Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2. Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Simetrična grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1. Parnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5. Homomorfizam grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Djelovanje grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7. Konfiguracije Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7.1. Valjane konfiguracije Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . 243.8. Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.8.1. Cayley graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8.2. Božanski algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.9. Strategije za rješavanje Rubikove kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9.1. Komutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9.2. Konjugacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9.3. Strategije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10. Rubikova kocka u današnjoj kulturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Sažetak 36

5. Summary 37

6. Životopis 38

1

1. Uvod

U ovom diplomskom radu obradena je zabavna slagalica Rubikova kocka i njezina pri-mjena u matematici. Diplomski rad je podijeljen u dva poglavlja: što je Rubikovakocka i matematika u Rubikovoj kocki.

U prvom poglavlju dan je odgovor na pitanje što je Rubikova kocka. Opisan jenjezin nastanak te životopis njezinog tvorca Ernöa Rubika. Detaljno je opisana struk-tura kocke i predstavljene su mnoge njezine varijacije koje su nastale tijekom vremena.Cilj igre s Rubikovom kockom je složiti Rubikovu kocku u početni položaj, pa su u pr-vom poglavlju opisane različite metode za pomoć pri slaganju te su prikazani rezultatii zanimljivosti s natjecanja u slaganju kocke koja se često održavaju.

U drugom poglavlju opisana je matematika koja se nalazi u Rubikovoj kocki terazličiti pojmovi koji se vrlo lagano mogu objasniti uz pomoć Rubikove kocke: grupa,podgrupa, generatori, ciklička grupa, homomorfizam grupa, parnost i graf su samoneki pojmovi koji pokazuju važnost minijaturne igračke. Takoder, u radu su opisanekonfiguracije Rubikove kocke, koje su konfiguracije valjane i dane su neke strategijekako ju riješiti uz pomoć matematike. A što je božanski algoritam i božanski broj?Odgovori se mogu pronaći u ovom radu.

2

2. Što je Rubikova kocka?

Rubikova kocka je mehanička igračka oblika kocke koja je nastala 1974. godine uBudimpešti. Tijekom osamdesetih godina prošlog stoljeća bila je najtraženija i najpo-pularnija igračka. Do 2009. godine prodano je preko 350 milijuna primjeraka, a snjom se igralo vǐse od jedne petine svjetskog stanovnǐstva. Smatra se da je Rubikovakocka najpoznatija igračka na svijetu. U medicinskom rječniku mogu se naći poj-movi ”Rubikov zglob” i ”Kockin palac” koji označavaju bolesti koje nastaju opsesivnimrješavanjem Rubikove kocke, a od 1980. godine u Americi postoji grupa liječenih”kockara” nazvana ”Cubaholics” koja pomaže ljudima koji su ovisni o rješavanju Ru-bikove kocke.

2.1. Povijest Rubikove kocke

Rubikovu kocku slučajno je izumio Ernö Rubik, inženjer arhitekture i profesor na fakul-tetu primjenjenih umjetnosti u Budimpešti (Slika 2.1.).

Slika 2.1. Ernö Rubik

Ernö Rubik je roden 13. srpnja 1944. godine u Budimpešti, Madarska. Njegovamajka je bila umjetnica i pjesnikinja, a otac strojarski tehničar i avio inženjer. Ernö je1967. godine diplomirao na Fakultetu tehničkih znanosti u Budimpešti, nakon čegaje završio srednju školu dekorativne umjetnosti interijera. Od 1971. do 1975. godineradio je kao arhitekt, nakon čega započinje akademsku karijeru kao profesor. Oženiose 1977. godine arhitekticom interijera i 1978. godine dobiva kćer Annu.

Ernö Rubik je postao urednik magazina za igre i puzzle, nakon čega je osnovaovlastiti ’Rubik Studio’ koji se bavi dizajnom namještaja, igrica i mnogih drugih vari-jacija na temu ’Rubikove kocke’. Godine 1990. imenovan je za predsjednika Madarskeakademije za inženjerstvo i osnovao je ’International Rubik Foundation’ koja pomažei podržava u radu nadarene inženjere i studente industrijskog dizajna.

Ernö je bio fasciniran geometrijom 3D oblika i proučavajući objekte u prostorunapravio je prvi uzorak kocke sastavljene od 26 malih kockica različite boje. Ernö jedobio inspiraciju od oblih, glatkih kamenčića s obale Dunava koji su mu dale rješenjekako napraviti cilindrične oblike i osovine u kocki.

Nakon početnog oduševljenja zbog kombinacija različitih boja na kocki, Ernö Rubikse zapitao kako vratiti kocku u ’početno stanje’. Shvatio je da nasumičnim okretanjem

3

kocke za svog života neće uspjeti vidjeti kocku s kojom je započeo. Tek nakon oz-biljnog promǐsljanja o logici svakog pokreta kocke, nakon mjesec dana našao je pravukombinaciju od mogućih 43 trilijuna. Sve se to dogodilo u proljeće 1974. godine, a već1975. godine Ernö Rubik je prijavio igračku ’Rubikovu kocku’ Madarskom zavodu zapatente. Izum je najprije nazvan Magična kocka (mad. Büvös Kocka), a 1980. godineime joj je promijenjeno u Rubikova kocka u čast izumitelju.

Pod nazivom ’Rubikova kocka’ je poznata gotovo u svim jezicima osim u njemačkom,židovskom, kineskom, portugalskom i islandskom. U židovskom jeziku nazivaju jeMadarskom kockom, a u ostalima Magičnom kockom.

U to vrijeme Madarska je bila izolirana iza ”Željezne zavjese” i tek se početkom1978. ta čudna igračka pojavila u Madarskim trgovinama igračaka. U početku je pro-daja tekla slabo sve dok ju nisu otkrili dvojica Madara: poslovni čovjek Tiber Laszikoji ju je odnio 1979. godine na izložbu igračaka u Nürnberg i Tom Kremer koji jestupio u kontakt s Ideal Toy Company koja je ”pokazala” Rubikovu kocku cijelom svi-jetu. U meduvremenu, engleski matematičar David Singmaster otkrio je fenomenalnematematičke osobine kocke o kojima pǐse u članku u časopisu ’Scientific Americans’,1979. godine, čime si je Rubikova kocka osigurala još veću pozornost javnosti. Inter-nacionalni interes za kocku počinje 1980. godine, a već 1981. potražnja je nadmašilakapacitete proizvodnje.

Zanimljivo je da su u to vrijeme dvojica inovatora prijavila svoje izume slične Ru-bikovoj kocki. Terutoshi Ishige je 1976. godine Japanskom zavodu za patente prijaviokocku nalik Rubikovoj kocki, dok je Amerikanac Larry Nichols prijavio svoju kockui prije Rubika, no sve su ga kompanije za proizvodnju igračaka odbile te je nesretniLarry Nichols cijeli svoj život proveo u siromaštvu.

Vrlo slične slagalice nastale su vrlo brzo nakon Rubikove kocke (Slika 2.2.). Ernö Ru-bik patentirao je i 4×4×4 Kocku osvete (eng. Revenge cube) koja je zahtjevnija zbogsvojih 3.7 × 1045 mogućih konfiguracija, a pojavile su se takoder 2 × 2 × 2 Džepnakocka (eng. Pocket cube) koja nema sredǐsnjeg dijela i lakša je za slaganje jer ima3, 674, 160 različitih konfiguracija te 5×5×5 Profesorska kocka (eng. Professor’s cube)teža verzija Rubikove kocke jer ima 2.83× 1074 mogućih konfiguracija.

Slika 2.2. Varijacije Rubikove kocke

Godine 2005. grčki inovator Panagiotis Verde konstruirao je 6 × 6 × 6 Rubikovukocku koja ima 1.57 × 10116 mogućih konfiguracija, a 2007. uspješno je konstruirao i7× 7× 7 kocku koja ima 1.95× 10160 mogućih konfiguracija.

4

Te kocke su izradene V-cube tehnologijom. Odlikuju se odličnom kvalitetom, vrlolako se okreću i njihov savršeni mehanizam im omogućava da gotovo nikad ne zap-inju. No, vrlo su zahtjevne jer sadrže mnogo veći broj različitih kombinacija negostandardna kocka. Nemaju fiksirane centre (što povećava broj mogućih konfiguracija ido 6.29× 10116 za 6× 6× 6 kocku, i 7.80× 10160 za 7× 7× 7 kocku) pa je zbog togaizazov još veći, a i pogrešna orijentacija može dovesti do nemogućnosti slaganja kocke.

Godine 2008. predstavljen je prvi primjerak elektroničke 3 × 3 × 3 Rubikovekocke, a 2009. godine predstavljena je i druga elektronička kocka nazvana ’Rubik’sTouchCube’ koja radi na senzore koji su osjetljivi na dodir (Slika 2.3.). Stranice seokreću povlačenjem prsta po površini kocke, a kocka ima ugraden mehanizam koji sebrine da se registriraju samo dodiri na onoj strani kocke koja je okrenuta prema gore.

Slika 2.3. Elektronički primjerak Rubikove kocke

2.2. Varijacije Rubikove kocke

Od same pojave Rubikove 3×3×3 kocke do danas pojavile su se brojne varijacije kojesu u osnovi slične Rubikovoj kocki:

2.2.1. Rubik 360

Slika 2.4. Rubik 360

Rubik 360 predstavljen je u veljači 2009. godine. Sas-toji se od 3 prozirne sfere u kojima se nalazi 6 šarenihkuglica. Cilj je da se šarene kuglice iz unutarnje sferekroz sredǐsnju sferu, koje ima samo dvije rupice, pre-mjeste u utore iste boje na vanjskoj sferi, pritom dasu utor i kuglica iste boje. Rubik 360 nije moguće ras-taviti pa složiti u željeni položaj te ima samo jednorješenje.

2.2.2. Sudokocka

Slika 2.5. Sudokocka

Sudokocka je varijacija Rubikove 3×3×3 kocke. Svestrane kocke su iste boje i sadrže brojeve od 1 do9. Slaganje ove kocke teže je od Rubikove kocke jersvaki broj mora biti na točno odgovarajućoj poziciji,a centralni broj mora takoder biti u odgovarajućojorijentaciji. Kod Sudokocke postoji vǐse od jednogrješenja.

5

2.2.3. Square one

Slika 2.6. Square One

Square One je varijacija originalne Rubikove kockekoja zakretanjem daje tijelo koje nema oblik kocke.Sastoji se od triju slojeva. Gornji i donji sloj podi-jeljeni su kao pita u 8 dijelova: 4 kutna koja oblikompodsjećaju na zmaja i 4 rubna dijela u obliku trokuta.Srednji sloj podijeljen je u 2 dijela duž neke linijejednog od preostala dva sloja. Svaki se sloj može slo-bodno zakretati.

2.2.4. Pyraminx

Slika 2.7. Pyraminx

Pyraminx je slagalica u obliku tetraedra. Svaka jestrana obojena različitom bojom, te je podijeljena na9 trokuta koji su razdijeljeni u 3 sloja: prvi sloj sadržijedan trokut, drugi sloj sadrži tri trokuta, a treći slojsadrži 5 trokuta. Cilj slagalice je vratiti strane tetrae-dra u originalni položaj.

2.2.5. Oktogonalna prizma

Slika 2.8. Oktogonalna prizma

Oktogonalna prizma mehanički je identična 3× 3× 3Rubikovoj kocki. No, vertikalni kutni stupci bojomse ne podudaraju s vertikalnim stupcima koji činelice. Zbog toga se kutni stupci mogu smjestiti u bilokoji kut. To olakšava slaganje, no neke kombinacijestupaca ne mogu se dobiti legalnim potezima.

2.2.6. Magična kugla

Slika 2.9. Magična kugla

Magična kugla poznata je i kao Rubikova sfera.Mehanički je identična 3 × 3 × 3 Rubikovoj kocki uoperacijama i rješenju. No, puno ju je teže uhvatitii zakretati njezine dijelove od standardne Rubikovekocke.

6

2.2.7. Oblo

Slika 2.10. Oblo

Oblo je trodimenzionalna obla slagalica koju je izumiozagrepčanin Marko Pavlović. Sastoji se od vanjskogdijela koji je u jednom komadu u koji se slažu drugidijelovi koji su obojani u 4 boje. Oblo je izvrsnadidaktička igračka za djecu predškolskog uzrasta.

Opisano je nekoliko slagalica koje su nastale na temelju Rubikove kocke. Ostalevarijacije koje nisu nabrojene su: Equator slagalica, Skewb, Megaminx, Rainbow cube,Picture cube, Aleksandrova zvijezda, Rubikova zmija i mnoge druge.

2.3. Izgled i grada Rubikove kocke

Iako ima raznih ”veličina”, kad se govori o standardnoj Rubikovoj kocki misli se nakocku 3× 3× 3 (Slika 2.11.).

Slika 2.11. Standardna Rubikova kocka

Svaka strana kocke podijeljena je na 9 sukladnih kvadrata, točnije, kocka se sastojiod 27 jednakih pomičnih kockica koje su povezane. 26 kockica se nalaze na površinikocke, a srednja kockica se ne vidi, a i ne postoji. Centralna kockica svake strane jemehanizam koji omogućuje rotaciju odredenih dijelova kocke. Jezgru kocke čine tri osikoje se presijecaju i drže na mjestu 6 centralnih kockica, tj. drže Rubikovu kocku naokupu. Preostale površinske kockice nisu u matematičkom smislu kockice jer su iznutraizdubljene. Sve su uklopljene na odgovarajuća mjesta tako da tijelo ima izgled kocke(Slika 2.12.).

Slika 2.12. Grada Rubikove kocke

7

Kocka ima 6 strana, a svaka strana sastoji se od 9 kvadrata. Svaka strana kockeje različite boje. Kocka ima 12 rubnih kockica čije su dvije strane obojene različitimbojama, 8 kutnih kockica čije su tri strane obojene različitim bojama i 6 centralnihkockica obojenih jednom bojom. Kad se različiti slojevi kocke naizmjenično okrećukvadrati mijenjaju mjesto i boju te tako za svaki okret nastaje jedinstvena kombinacijaboja. Kad je svaka strana kocke jedne boje, onda se kaže da je Rubikova kocka riješena.Standardne boje Rubikove kocke su bijela nasuprot žute, zelena nasuprot plave tenarančasta nasuprot crvene, a duljina stranice joj iznosi 5.7 cm.

2.4. Broj konfiguracija Rubikove kocke

Rubikova kocka ima 6 obojenih strana, 26 kockica i 54 malih kvadrata. Razlikuju serubne, kutne i centralne kockice. 8 kutnih kockica mogu se medusobno izmjenjivati,ali nikad ne mogu zauzeti mjesto rubne kockice. Takoder, 12 rubnih kockica ne mogudospjeti na ugao kocke. Kako bi se izračunao broj konfiguracija kocke, treba izračunatibroj permutacija kutnih i rubnih kockica.

8 kutnih kockica mogu se rasporediti na 8! = 40320 načina. Svaka kutna kockica imatri orijentacije (boje) pa se prethodni broj mora pomnožiti s 38. Kada je kocka gotovosložena, broj mogućih poteza se smanjuje. Kad je na odgovarajuće mjesto postavljenapredzadnja kockica, zadnja ima samo jednu orijentaciju pa se 38 mora podijeliti s 3,što daje 37 = 2187. Slijedi da je ukupan broj rasporeda kutnih kockica

40320× 2187 = 88, 179, 840.

12 rubnih kockica mogu se rasporediti na 12! = 479, 001, 600 načina. Kad je postavl-jena treća odozada rubna kockica, preostale dvije mogu se raspodijeliti samo na jedannačin pa prethodni broj treba podijeliti s 2 (parnost permutacija rubnih kockica morabiti jednak parnosti permutacija kutnih kockica), što daje 239, 500, 800 načina. Svakarubna kockica ima dvije orijentacije (boje), pa novo dobiveni broj treba pomnožiti s212. Taj broj se takoder mora prilagoditi jer zadnja rubna kockica ima fiksan položaj.Dakle, 212 treba podijeliti s 2, što daje 211 = 2048. Ukupan broj rasporeda rubnihkockica je

239, 500, 800× 2048 = 490, 497, 638, 400.

Ovo daje 43 trilijuna konfiguracija Rubikove kocke, tj.

88, 179, 840× 490, 497, 638, 400 = 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000.

Za predodžbu, ako je za svaki okret potrebna jedna sekunda, potrebno je 1.4×1012godina da se prode kroz sve konfiguracije. Za usporedbu, Svemir je star oko 1.4× 1010godina.

8

2.5. Algoritmi za rješavanje Rubikove kocke

Osnovni problem Rubikove kocke je pronaći algoritam koji će složiti kocku u početnipoložaj, tj. u položaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji. Svaka osoba koja slažekocku, koristi algoritam koji je zapravo niz koraka koji dovode do rješenja Rubikovekocke. No, bez pomoći, rješavanje Rubikove kocke može trajati mjesecima. Postojerazni pristupi koji se razlikuju po kompleksnošću i brojem poteza, a svrha im je pomoćiprilikom slaganja kocke.

U nekim metodama kreće se od slaganja kutnih kockica i njihovog pravilnog zakre-tanja, a nakon toga i rubnih kockica i pravilnog zakretanja onih koji nisu u pravompoložaju.

Najpopularnija je metoda koju je razvio David Singmaster i objavio je 1981. godineu knjizi Notes on Rubik’s ’Magic Cube’. Ta metoda uključuje slaganje ”sloj po sloj”.Pomoću nje kocka se može složiti u manje od jedne minute. Slijedi njezin kratki opis:

Metoda ”sloj po sloj”

a. Prvi sloj

• Formirati križ u boji gornje strane kocke• Umetnuti 4 kutne kockice prvog sloja na odgovarajuća mjesta

b. Srednji sloj

• Umetnuti 4 rubne kockice

c. Zadnji sloj

• Formirati križ u boji donje strane kocke• Umetnuti kutne kockice na kutna mjesta• Okrenuti kutne kockice u pravilni položaj• Zamijeniti položaje rubnih kockica ako je potrebno

Razvijene su i brojne ”brzinske” metode za slaganje kocke u što kraćem vremenu.Jednu od takvih metoda razvila je Jessica Friedrich. Njezina metoda takoder uključujeslaganje ”sloj po sloj”.

Vrlo je popularna i metoda Larsa Petrusa koja se često koristi na natjecanjima jerdaje rješenje već u nekoliko koraka.

Larsova metoda koristi 7 osnovnih koraka za rješavanje Rubikove kocke, a to su:

1. Pravilno složiti 2× 2× 2 blok

2. Proširiti na 2× 2× 3 pritom da se ne unǐsti blok 2× 2× 2

3. Ispraviti orijentaciju rubnih kockica

9

4. Riješiti prva dva sloja

5. Zamijeniti kutne kockice na zadnjem sloju

6. Pravilno orijentirati kutne kockice na zadnjem sloju

7. Zamijeniti položaj rubnih kockica

I na kraju, ako niti jedna metoda za slaganje kocke ne pomaže, kocka se može laganorastaviti pomoću odvijača: gornji sloj kocke se zaokrene za 45◦ i uz pomoć odvijačakocka se rastavi tako da se niti jedan dio ne slomi te se lagano može ponovno sastavitiu početni položaj.

2.6. Natjecanja

U slaganju Rubikove kocke održavaju se mnogobrojna natjecanja, a cilj je složiti Ru-bikovu kocku u što kraćem vremenu. Od 2003. godine sve je veći broj nacionalnihi medunarodnih prvenstva u brzom slaganju kocke, a čak ih je 33 održano 2006. go-dine. Svjetska udruga Rubikove kocke organizira natjecanja u slaganju Rubikove kockejednom rukom ili nogom. Takoder, organiziraju se natjecanja gdje se Rubikova kockaslaže ispod vode u ”jednom dahu” ili pak vezanih očiju (natjecatelj promatra kocku,planira način kako složiti kocku, a zatim na temelju zapamćenih koraka vezanih očijuslaže kocku).

Prvo natjecanje održano je 13. ožujka 1981. godine u Münchenu, a organizirala gaje Guinnessova knjiga svjetskih rekorda. Pobjednik tog natjecanja bio je Nijemac JuryFroeschl kojemu je bilo potrebno 38 sekundi da složi kocku.

Prvo svjetsko natjecanje održano je 5. lipnja 1982. godine u Budimpešti. Kocka jebila izmješana kompjutorski. Od 19 natjecatelja, najbrže ju je složio šesnaestgodǐsnjiMinh Thai, vijetnamski učenik iz Los Angelesa. Potrebno mu je bilo 22.95 sekundi.

Od 2003. godine pobjednik natjecanja se odreduje u dvije kategorije. U prvoj kat-egoriji uzima se prosječno vrijeme najboljih tri od pet pokušaja, a u drugoj najboljevrijeme jednog pokušaja. U ožujku 2007. godine Francuz Thibaut Jacquinot je postaoprvi natjecatelj kojemu je bilo potrebno manje od 10 sekundi da složi kocku. Složio jekocku u 9.86 sekundi.

Trenutno najbolje vrijeme u jednom pokušaju slaganja Rubikove kocke postavio jeAustralac Feliks Zemdegs 7. ožujka 2011. Koristio je metodu Jessice Friedrich i složioje kocku za nevjerojatnih 5.66 sekunde. Šestnaestogodǐsnji Feliks takoder ”drži” rekordu prosječnom vremenu slaganja kocke koji trenutno iznosi 7.64 sekunde.

17. ožujka 2010. godine, 134 učenika Osnovne škole Dr. Challoner’s u Amershamuu Engleskoj su oborili svjetski Guinessov rekord za najveći broj ljudi koji su složiliRubikovu kocku u 12 minuta. Prethodni rekord je ostvaren u prosincu 2008. godine uSAD-u kada je sudjelovalo 96 natjecatelja.

10

Čak se i znanstvenici natječu tko će izraditi najboljeg robota koji će najbrže složitiRubikovu kocku. Robota Rubya su osmislili studenti australskog Sveučilǐsta Swinburne(Slika 2.13.). Ruby uz pomoć sofisticiranog softvera rješava kompleksne algoritme ipronalazi brzinsko rješenje za Rubikovu kocku. Prije nego li počne slagati kocku, onskenira početni položaj kocke kako bi ”znao” koji razultat treba dobiti. Super pamet-nom i brzom androidu su bile potrebne 10.18 sekunde da složi kocku. Prethodni rekordje postavio robot Cubinator kojemu su bile potrebne 18.2 sekunde.

Slika 2.13. Robot Ruby

No, iako se smatralo da roboti nisu brži od čovjeka u slaganju kocke, ipak jenapredna tehnologija pobijedila. U listopadu 2011. godine, robot Cuberstormer IIje složio rubikovu kocku za nevjerojatnih 5.35 sekundi (Slika 2.14.). Cuberstormer IIkoristi kameru mobilnog telefona koji memorira slike dijelova kocke, te potom blue-toothom šalje upute dvjema ”rukama” koje okreću kocku velikom brzinom u početnipoložaj.

Slika 2.14. Robot Cuberstormer II

Zanimljivo je da će se 19.11.2011. godine u Hrvatskoj po prvi puta održati natjecanjeu slaganju Rubikove kocke. Natjecanje će se održati u Zagrebu i bit će službeno WCAnatjecanje koje će se održati pa pravilima WCA (World Cube Association).

11

3. Matematika u Rubikovoj kocki

S Rubikovom kockom se može raditi samo jedno: zaokretati jednu od 6 strana oko osikoja prolazi sredǐstem te strane i kocke tako da se nakon okreta ponovno dobije kocka.Stoga, zaokrenuti jednu stranu Rubikove kocke znači rotirati jednu stranu za pravi kutu smjeru kazaljke na satu. Ta jednostavna radnja ima veliku ulogu u matematici iotvara široko područje za istraživanje.

3.1. Oznake i notacija

Rubikova kocka se sastoji od 27 minijaturnih kockica, od kojih su 26 vidljivih, a koc-kica koja je u sredǐstu zapravo ni ne postoji. Kako bi se lakše proučavala, notacijaRubikove kocke se neće vezati za boje, već će se koristiti imena i slova. Na kocki senalazi 8 kutnih kockica koje imaju 3 vidljive strane, 12 rubnih kockica koje imaju dvijevidljive strane te 6 sredǐsnjih kockica koje imaju jednu vidljivu stranu.

Uobičajna je notacija koja je potekla od Davida Singmastera, pa se prema njemunaziva Singmasterova notacija. On pretpostavlja da se na početku odabralo koja stranaće biti gore, naprijed i desno te da se to neće mijenjati (to se postiže tako da se zapamteboje sredǐsta prednje, gornje i desne strane) (Slika 3.1.). Notacija za 6 strana Rubikovekocke glasi: desna strana (r), lijeva strana (l), gornja strana (u), donja strana (d),prednja strana (f), stražnja strana (b) (notacija strana je preuzeta iz engleskog jezika).

Slika 3.1. Notacija strana Rubikove kocke

Kutne kockice se označavaju tako da se nabroje vidljive strane u smjeru kazaljkena satu. Tako na primjer, kockica koja se nalazi u gornjem, desnom, prednjem kutuse označava sa urf (ili rfu ili fur). Kada nije važno koja je strana prva navedenagovori se o neorijentiranim kockicama. No, kad se govori o orijentiranim kockicama,važno je koja je strana prva navedena. Tada su orijentirane kutne kockice urf, rfu,fur različite.

Na isti način se imenuju rubne i sredǐsnje kockice. Tako se na primjer, sredǐsnjakockica na desnoj strani označava sa r jer je to jedina vidljiva strana te sredǐsnje koc-kice.

Takoder, postoje prostori u kojima kockice ”žive”. Označeni su na isti način kao ikockice. Ako je Rubikova kocka u početnom položaju tj. ako je riješena, svaka kockicase nalazi u prostoru kockice istog naziva (urf kockica se nalazi u urf prostoru). Ako

12

se rotira strana kocke, kockice mijenjaju svoj položaj, a prostori se ne miču. Samosredǐsnje kockice uvijek ostaju u istom prostoru.

Osnovni potez na Rubikovoj kocki je rotacija jedne strane za pravi kut u smjerukazaljke na satu. Singmasterova notacija za 6 osnovnih poteza glasi:

• F (eng. Front): rotacija prednje strane

• B (eng. Back): rotacija stražnje strane

• U (eng. Up): rotacija gornje strane

• D (eng. Down): rotacija donje strane

• L (eng. Left): rotacija lijeve strane

• R (eng. Right): rotacija desne strane

Slijed osnovnih poteza čini potez. Na primjer, LRRRD znači redom okrenuti lijevu,triput zaredom desnu i jednom donju stranu kocke za pravi kut u smjeru kazaljke nasatu.

Kada apostrof ili eksponent −1 slijedi slovo, to znači da tu stranu kocke trebaokrenuti suprotno od kazaljke na satu za pravi kut (90◦). Slovo kojeg slijedi eksponent2, npr. D2 znači da tu stranu treba okrenuti za 180◦. Znači, ako je X bilo koji osnovnipotez, eksponent označava koliko puta treba taj osnovni potez izvršiti:

X2=XX, X3 = XXX, . . ., Xn = XXX . . .X(n puta).

Ako se osnovni potez ponovi 4 puta, efekt je isti kao da se nije niti jedna radnjaizvršila. Na primjer, X4 = I = X0, gdje je X bilo koji osnovni potez, a I označava”nǐsta ne raditi”.

Takoder, ako se izvede okret jedne strane za pravi kut pa se zatim izvede u suprot-nom smjeru, to je isto kao i ”nǐsta ne raditi” (XX−1 = X−1X = I).

Ako se izvede potez XY, npr: FR tj. okret prvo prednje, a onda desne strane zapravi kut, kocka će se u početno stanje vratiti tako da se prvo napravi okret desnestrane (R−1), pa okret prednje strane (F−1) u suprotnom smjeru kazaljke na satu.

Općenito vrijedi: (XY . . . Z)−1 = Z−1 . . . Y −1X−1, gdje su X, Y, . . . , Z osnovnipotezi.

Okret jedne strane u suprotnom smjeru kazaljke na satu za 90◦ ima isti efekt kao iokret te strane u smjeru kazaljke na satu za 270◦ (X−1 = X3).

Iz svega navedenog slijedi da se uzastopnim okretanjem jedne strane razlikuju samo4 poteza: X0, X1, X2, X3, gdje je X bilo koji od mogućih 6 osnovnih poteza.

Primjer 3.1 R9 = R1+4+4 = R1R4R4 = RII = R (okrenuti desnu stranu devet putaje isto kao okrenuti desnu stranu jedanput).

13

Zbog toga, za okretanje jedne strane kocke, za potpun opis svih mogućih situacijadovoljan je četveročlani skup: C4 = {X0, X1, X2, X3}.

Na temelju činjenica da osnovni potezi ne mijenjaju prostore sredǐsnjih kockica teda kutne kockice mogu doći samo na mjesto kutnih kockica, a rubne na mjesto rubnih,mogu se proučavati moguće konfiguracije Rubikove kocke:

8 kutnih kockica mogu se raspodijeliti na 8! načina. Svaka kutna kockica ima triorijentacije pa se prethodni broj mora pomnožiti s 38.12 rubnih kockica mogu se raspodijeliti na 12! načina. Svaka rubna kockica ima dvijeorijentacije pa se prethodni broj mora pomnožiti s 212.Sve zajedno daje ukupno 212388!12! mogućih konfiguracija Rubikove kocke. To je oko5.19× 1020, odnosno 519 trilijuna mogućih konfiguracija.

Iako su, teoretski gledano, sve ove konfiguracije moguće, nisu sve valjane! Samouz pomoć valjanih konfiguracija sa može izvršiti skup poteza koji omogućuju vraćanjeRubikove kocke u početni položaj, tj. moguće je ”riješiti” Rubikovu kocku.

3.2. Grupa i podgrupe Rubikove kocke

3.2.1. Grupa Rubikove kocke

Prije daljnjeg razmatranja Rubikove kocke, prisjetit ćemo se što je to grupa.

Definicija 3.1 Neka je G neprazni skup. Svako preslikavanje ∗ : G × G → G saKartezijevog produkta skupa G sa samim sobom u skup G zove se binarna operacijana skupu G.

Definicija 3.2 Grupa je algebarska struktura koje se sastoji od nepraznog skupa G ibinarne operacije ∗ koja je definirana za svaka dva elementa iz G,

(a, b) 7→ a ∗ b sa G×G u G,

i ima sljedeća svojstva:

1. Zatvorenost: ∀a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G.

2. Asocijativnost: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

3. Neutralni element: ∃e ∈ G tako da je a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G (neutralnielement je jedinstven, te se ponekad označava i s 1).

4. Inverzni element: ∀a ∈ G ∃a′ ∈ G tako da je a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.

Prema tomu, grupa je par (G, ∗).

Definicija 3.3 Grupa (G, ∗) je komutativna ili Abelova ako je

a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.

14

Definicija 3.4 Grupa se naziva konačnom ukoliko je skup G konačan.

Definicija 3.5 Broj elemenata neke konačne grupe G se označava s |G| ili red (G) izove se red grupe G.

Tada, skup svih mogućih poteza na Rubikovoj kocki se može označiti s G, pritomse dva poteza smatraju istim ako daju isti rezultat (npr. okret desne strane je isto kaoi okret desne strane u suprotnom smjeru tri puta).

Binarna operacija ∗ se može definirati na idući način: ako su X i Y dva poteza,tada X ∗ Y označava potez gdje se prvo izvršio potez X pa zatim potez Y. Par (G, ∗)čini grupu.

Treba provjeriti sva svojstva kako bi se pokazalo da je skup (G, ∗) grupa:

1. Zatvorenost: jedan potez, nakon kojeg slijedi drugi potez ponovno daje potezkoji je element skupa G.

2. Asocijativnost: u ovom slučaju radi se operaciji koja je kompozicija funkcija,a kompozicija funkcija je uvijek asocijativna.

3. Neutralni element: potez koji nǐsta ne mijenja na kocki.

4. Inverzni element: svaki potez se može izvesti unatrag i time ga ponǐstiti (nakonsvakog poteza nekim potezom iz skupa se može vratiti kocka u početno stanje).

Stoga, skup svih poteza Rubikove kocke na kojem je definirana operacija uzastopnogizvodenja elemenata tog skupa označeno nadopisivanjem, je grupa.

No, grupa Rubikove kocke (G, ∗) nije Abelova, ne zadovoljava svojstvo komuta-tivnosti. To se lagano može primjetiti na kocki: kocka različito izgleda nakon DR,nego nakon RD.

Nekomutativnost grupe Rubikove kocke je vrlo važno svojstvo. Kad bi svaka dvapoteza komutirala rješavanje kocke bi bilo trivijalno. Trebalo bi se samo prebrojati ko-liko puta su izvedeni potezi na pojedinim stranama i svaku stranu okrenuti do sljedećegvǐsekratnika od 4, jer je 4 red grupe čiji se elementi sastoje od kombinacija jednog odosnovnih poteza. Na primjer, ako je 5 puta izveden osnovni potez R i 2 puta osnovnipotez D, da vrijedi komutativnost, kocka bi se vratila u svoj početni položaj ako seizvede 3 puta osnovni potez R i 2 puta osnovni potez D.

Izvodenje poteza je komutativno samo ako se radi o potezima sa samo jednom stra-nom.

Red grupe Rubikove kocke je broj koji označava koliko ima različitih konfiguracijakocke koje se mogu dobiti primjenom osnovnih poteza, a taj broj iznosi 4.3× 1019.

Binarna operacija ∗ često se izostavlja, pa se tako umjesto g∗h može pisati samo gh.Stoga, grupa (G, ∗) se može zapisati samo sa G i označava grupu na kojoj je definirananavedena binarna operacija.

15

3.2.2. Podgrupe

Kako bi se pokušala razumjeti grupa Rubikove kocke čiji je red ogroman, treba sekrenuti od jednostavnije situacije: razmatranja njezinih podgrupa. Zbog preglednostii manjeg broja slučajeva pogodnije su za objašnjenje i ilustriranje različitih pojmova.

Definicija 3.6 Neka je (G, ∗) grupa. Neprazni podskup H ⊆ G je podgrupa od G akoje H s obzirom na operaciju ∗ takoder grupa.

Primjer 3.2

• Već spomenuti četveročlani skup C4 = {X0, X1, X2, X3}, gdje je X jedan odmogućih 6 osnovnih poteza (R, L, U, D, F, B) je podgrupa grupe Rubikove kocke.To su najjednostavnije podgrupe. Njihov red iznosi 4 jer broj elemenata u skupuje 4. Grupa C4 ima i jedno dodatno svojstvo: nije bitan redoslijed izvodenjapoteza (isti je rezultat nakon okreta jedne strane za 90◦, pa za 180◦ ili obrnuto),tj. vrijedi svojstvo komutativnosti.

• LR je podgrupa (tj. svake dvije suprotne strane čine podgrupu): to je takodertrivijalna grupa jer okreti dviju suprotnih strana su nezavisni i ima 16 elemenata.

• R2U2 je podgrupa: ta se grupa sastoji od svih poteza koji se mogu dobiti izvodenjemokreta prvo desne pa gornje strane za 180◦ u smjeru kazaljke na satu. Ponavl-jajući R2U2 6 puta zaredom, kocka se vraća u svoj početni položaj.

Za rješavanje Rubikove kocke veliku ulogu imaju klase (eng. coset) koje se defini-raju na sljedeći način:

Definicija 3.7 Neka je H podskup grupe G, tada za g ∈ G vrijedi:

• gH = {gh : h ∈ H} je lijeva klasa podgrupe H u grupi G

• Hg = {hg : h ∈ H} je desna klasa podgrupe H u grupi G.

3.3. Generatori

Definicija 3.8 Neka je S ⊂ G. Sa 〈S〉 označavamo najmanju podgrupu od G kojasadrži S.

Definicija 3.9 Neka je S ⊂ G podskup grupe G. S generira G (S je skup generatoraod G) ako G = 〈S〉, tj. svaki element grupe G se može zapisati kao konačan produktelemenata iz S i njezinih inverza (inverzi nisu nužni ako se radi o konačnoj grupi).

Primjer 3.3

• Svaki element grupe G se može zapisati kao konačan slijed osnovnih poteza Ru-bikove kocke, stoga je G = 〈D,U, L,R, F,B〉.

• Svaki element grupe C4 se može zapisati uz pomoć osnovnog poteza X, stoga zasvaki X = D, U, L, R, F, B, vrijedi C4 = 〈X〉.

16

Definicija 3.10 Grupa G je ciklička ako je generirana jednim jedinim elementom,tj. ako postoji g ∈ G sa svojstvom da je G = 〈g〉. Element g se zove generator grupeG.

Primjer 3.4 Grupa C4 je ciklička grupa. Njezin generator je osnovni potez X.

Sljedeća propozicija je veoma korisna za Rubikovu kocku jer govori da je umjestosvojstava svih mogućih 5× 1020 poteza, dovoljno razumjeti svojstva 6 osnovnih potezaRubikove kocke.

Propozicija 3.1 Neka je S ⊆ G podskup konačne grupe G. Neka su zadovoljenasljedeća dva uvjeta:

1. Svaki element iz S i inverz svakog elementa iz S zadovoljavaju svojstvo P.

2. Ako g ∈ G i h ∈ G zadovoljavaju svojstvo P, tada i gh zadovoljava svojstvo P.

Tada, svaki element iz 〈S〉 zadovoljava svojstvo P.

Dokaz : Svaki element iz 〈S〉 se može zapisati u obliku s±11 · s±12 · · · s±1n , gdje jen ∈ N, a si, i = 1, . . . , n elementi iz S. Dokaz se provodi indukcijom po n:

1. Baza indukcije: za n=1, s±11 zadovoljava svojstvo P.

2. Induktivna pretpostavka: pretpostavimo da s±11 · · · s±1n−1 zadovoljava svojstvo P.

3. Korak indukcije: uz pomoć induktivne pretpostavke vrijedi: produkt (s±11 · · · s±1n−1)s±1n je produkt dvaju elemenata koji zadovoljavaju svojstvo P, pa zbog toga i ontakoder zadovoljava svojstvo P. 2

Kako se radi o konačnoj grupi, poput grupe Rubikove kocke, primijetimo da smoiz uvjeta 1. prethodne propozicije mogli izbaciti dio da inverzi elemenata iz S za-davoljavaju svojstvo P. Zaista, svaki element s ∈ S je konačnog reda (jer je red el-emenata manji ili jednak redu grupe) te postoji n ∈ N takav da je sn = e. Odakleje s · sn−1 = sn−1 · s = e, pa je s−1 = sn−1. No, tada prema uvjetu 2. prethodnepropozicije direktno slijedi da i s−1 zadovoljava svojstvo P.

3.4. Simetrična grupa

Prije nego li se počnu proučavati konfiguracije kockica Rubikove kocke, prvo trebakrenuti od konfiguracija bilo kojih n objekata.

Neka su dani objekti označeni s 1, 2, . . . , n. Tada postoji bijekcija σ : {1, 2, . . . , n} →{1, 2, . . . , n} koja svakom objektu 1, 2, . . . , n pridružuje točno jedan objekt iz skupa{1, 2, . . . , n}. Funkcija σ definira razmještaj (permutacije) danih n objekata. Stoga,umjesto proučavanja skupa svih mogućih razmještaja, može se proučavati bijekcija{1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.

Skup svih bijektivnih preslikavanja nekog konačnog skupa na sebe je grupa.

17

Definicija 3.11 Simetrična grupa stupnja n je skup bijekcija (permutacija) sa{1, 2, . . . , n} u {1, 2, . . . , n} na kojem je definirana binarna operacija kompozicije ioznačava se sa Sn.

Simetrična grupa Sn je grupa svih permutacija skupa {1, 2, . . . , n}.

Dokaz da je Sn grupa je trivijalan: kompozicija bijekcija je opet bijekcija, svakabijekcija ima inverz koji je bijekcija, te je identiteta bijekcija.

Elemente simetrične grupe i način kako ih zapisati najbolje je prikazati na primjeruRubikove kocke gdje se želi opisati kako i gdje se miče svaka kockica i svaka stranakockica kad se izvede neki osnovni potez.

Primjer 3.5 Kad se rastvori kocka, desna strana Rubikove kocke izgleda ovako:

u u uf r r r bf r r r bf r r r b

d d d

Ako se rotira desna strana za pravi kut, tj. izvede se osnovni potez R, tada desnastrana izgleda:

f f fd r r r ud r r r ud r r r u

b b b

Dakle, R(rfu)=rub: kutna kockica rfu premjestila se u prostor rub, tj. na mjestogdje je prije bila kutna kockica rub (r strana kockice leži u r strani prostora, f stranakockice leži u u strani prostora, i u strana kockice leži u b strani prostora). To vrijedii za ostale kutne kockice: R(rub) = rbd, R(rbd) = rdf , R(rdf) = rfu. Slično se moguopisati i rubne kockice: R(ru) = rb, R(rb) = rd, R(rd) = rf , R(rf) = ru.

Ako se to sve zapǐse kao ”i 7→ j” što znači R(i) = j dobiva se:rfu 7→ rub, rub 7→ rbd, rbd 7→ rdf, rdf 7→ rfuru 7→ rb, rb 7→ rd, rd 7→ rf, rf 7→ ru

Ti podaci govore što osnovni potez R radi svakoj kockici na Rubikovoj kocki, stogaoni definiraju R. Kraće se pǐse:

R = (rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)

Pritom, (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf) se zovu ciklusi ili cikličke permutacije.

Na sličan način, svaki osnovni potez ili slijed poteza na Rubikovoj kocki se možepromatrati kao permutacija (preuredivanje) kockica.

18

Primjer 3.6 Potez FFRR se može zapisati kao permutacija:

FFRR=(df uf)(dr ur)(br fr fl)(dbr ufr dfl)(ulf urb drf).

Definicija 3.12 Ciklus ili ciklička permutacija (i1i2 · · · ik) je element τ ∈ Sndefiniran s τ(i1) = i1, τ(i2) = i3, . . . , τ(ik−1) = ik, τ(ik) = i1 i τ(j) = j ako je j 6= ir∀r. Duljina ciklusa je k, a supp τ označava skup brojeva (i1i2 · · · ik) koji se pojavljujuu ciklusu. Ciklus duljine k se zove k-ciklus.

Definicija 3.13 Dva ciklusa su disjunktna ako je njihov presjek prazan skup, tj. akonemaju zajedničkih elemenata (supp σ

⋂supp τ = ∅).

Lema 3.1 Ako su σ, τ ∈ Sn dva disjunktna ciklusa, onda je στ = τσ.

Dokaz : Neka je i ∈ {1, . . . , n}. Pošto je στ = τσ, postoje dvije mogućnosti:

• i /∈ supp σ i i /∈ supp τ . U tom slučaju, σ(i) = i i τ(i) = i, stoga (σ ◦ τ)(i) =τ(i) = i i (τ ◦ σ)(i) = σ(i) = i

• Inače, i je element točno jednog ciklusa σ ili τ . Bez smanjenja općenitosti,pretpostavimo da je i /∈ supp σ i i ∈ supp τ . Tada, σ(i) = i, stoga (σ◦τ)(i) = τ(i).S druge strane, (τ ◦σ)(i) = σ(τ(i)). Pošto je τ(i) ∈ supp τ i supp σ

⋂supp τ = ∅,

τ(i) /∈ supp σ. Dakle, σ(τ(i)) = τ(i). Stoga ponovno vrijedi (στ)(i) = (τσ)(i).

Dakle, (στ)(i) = (τσ)(i) = i, ∀i, što pokazuje da vrijedi στ = τσ. 2

Primjedba 3.1 Svaki ciklus τ ∈ Sn se može prikazati kao produkt disjunktih ciklusa,tj. ciklusa koji ne sadrže iste brojeve (elemente).

U prethodnom primjeru, R koji označava rotaciju desne strane Rubikove kocke za pravikut, sastoji se od dva disjunktna ciklusa: (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf).

3.4.1. Parnost

Svaka permutacija u Sn se može zapisati kao konačan produkt 2-ciklusa. Ciklus duljine2 se zove transpozicija.

Primjer 3.7 Osnovni potez R se može prikazati kao produkt 6 transpozicija:

R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)=(rfu rub)(rfu rbd)(rfu rdf)(ru rb)(ru rd)(ru rf)

Parnost ciklusa duljine n je odreden brojem transpozicija od kojih je sastavljen.Ako je n paran, potreban je neparan broj transpozicija, pa je permutacija neparna.Ako je n neparan, potreban je paran broj transpozicija, pa je permutacija parna.

Važna činjenica o parnosti Rubikove kocke koja ima veliku ulogu prilikom rješavanjakocke glasi:

Teorem 3.1 Rubikova kocka je parna, tj. uvijek se paran broj kockica ne nalazi u svompočetnom položaju.

19

Dokaz: Dokaz se provodi matematičkom indukcijom gdje n označava broj rotacijastrane.

1. Baza indukcije: za n=0, niti jedna kockica nije promijenila svoj položaj, 0 jeparan.

2. Induktivna pretpostavka: P(n): pretpostavimo da je poslije n rotacija paran brojkockica promijenilo svoj položaj.

3. Korak indukcije: na temelju P(n) treba pokazati da tvrdnja vrijedi za P(n+1).Svaki potez se sastoji od osnovnih poteza. Na primjer, permutacija osnovnogpoteza F glasi: F = (fl fu fr fd)(flu fur frd fdl) = (fl fu)(fl fr)(fl fd)(flu fur)(flu frd)(flu fdl). Pošto se svaki ciklus duljine 4 može zapisati kao 3 2-ciklusa,za osnovni potez dobije se 6 2-ciklusa, pa je parnost svakog osnovnog potezaparan. Pošto se nakon n poteza izmijeni paran broj kockica, te pošto je n+1potez osnovni potez koji je takoder paran, ukupno se dobije paran broj izmijen-jenih kockica. 2

Budući da je svaka permutacija Rubikove kocke parna, ne postoji potez koji ćepromijeniti položaj samo jednom paru kockica. To znači, ako se dvije kockice ne nalazeu svom početnom položaju, onda mora postojati još kockica koje se ne nalaze u svompočetnom položaju.

3.5. Homomorfizam grupa

Definicija 3.14 Neka su (G, ∗) i (H, ?) grupe. Homomorfizam grupe G u grupu Hje preslikavanje φ : G→ H za koje vrijedi

φ(a ∗ b) = φ(a) ? φ(b), ∀a, b ∈ G.

Homomorfizam je preslikavanje medu algebarskim strukturama koje se može jed-nostavno prikazati na Rubikovoj kocki.

Primjer 3.8

• Može se definirati preslikavanje φkut : G → S8 na sljedeći način: svaki potez izG preureduje kutne kockice te je na takav način definirana permutacija 8 neori-jentiranih kutnih kockica. Znači, svaki M ∈ G definira neku permutaciju σ ∈ S8.Neka je φkut(M) = σ, tj. φkut(M) je element od S8 koji opisuje što M radi sneorijentiranim kutnim kockicama. Na primjer, iz prethodnog primjera može sevidjeti da se R sastoji od dva disjunktna ciklusa (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf).Stoga, φkut(R)=(rfu rub rbd rdf).

• Slično se može definirati homomorfizam φrub : G → S12 tako da je φrub(M) el-ement od S12 koji opisuje što M radi s neorijentiranim rubnim kockicama. Naprimjer, φrub(R) =(ru rb rd rf).

20

• Konačno, može se definirati homomorfizam kocke φkocka : G → S20 koja opisujepermutacije svih 20 neorijentiranih rubnih i kutnih kockica.Na primjer, φkocka(R)=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf).

Definicija 3.15 Jezgra Ker(φ) homomorfizma φ grupe G u grupu H je skup svihelemenata iz G koje φ preslikava u neutralni element 1φ grupe H, tj.

Ker(φ) = {g ∈ G : φ(g) = 1φ}.

Primjer 3.9 Jezgra homomorfizma φkocka : G → S20 se sastoji od svih poteza naRubikovoj kocki koji ne mijenjaju položaj niti jedne kockice, tj. Ker(φkocka) se sastojiod svih poteza koji djeluju na orijentaciju, a ne na položaj kockica. Taj skup je vrlovažan jer ako se sve kockice nalaze na pravom položaju, ali nemaju pravilnu orijentaciju,treba samo naći prave poteze iz tog skupa koji će utjecati samo na orijentaciju kockica.

Na temelju definiranih pojmova: parnost permutacija i homomorfizam grupa možese opisati još jedan pojam vezan za grupu Rubikove kocke, a to je alternirajuća grupa(eng. alternating group). Taj pojam će biti važan prilikom dokazivanja valjanostikonfiguracija Rubikove kocke.

Produkt parne i neparne permutacije je neparna permutacija. Produkt dviju parnihili dviju neparnih permutacije je parna permutacija. Inverz parne permutacije je paran,a inverz neparne je neparna permutacija. Stoga, može se definirati podgrupa od Snkoja se sastoji od svih parnih permutacija. Ta grupa se zove alternirajuća grupa ioznačava se sa An.

Primjer 3.10 Neka je M ∈ G jedan od osnovnih poteza: D, U, L, R, F, B. Tada,φkocka(M) je produkt 2 4-ciklusa. Pošto je svaki 4-ciklus neparan, produkt 2 4-ciklusaje paran. Stoga, preslikavanje φkocka(M) je parno. Pošto svi osnovni potezi generirajuskup G, to znači da je preslikavanje φkocka(M) parno ∀M ∈ G, tj. φkocka(M) ∈ A20,∀M ∈ G.

Stoga, φkocka(M) = φkut(M)φrub(M), pa ili su φkut(M) i φrub(M) parni, ili suoba neparni, tj. φkut(M) i φrub(M) imaju isti predznak što je vrlo važna činjenica zadokazivanje koja je konfiguracija Rubikove kocke valjana.

3.6. Djelovanje grupe

Djelovanje grupe je još jedan u nizu matematičkih pojmova koji se na jednostavannačin može razumjeti uz pomoć Rubikove kocke.

Definicija 3.16 (Desno) djelovanje grupe grupe (G, ∗) na neprazni skup A jepreslikavanje A×G→ A koje zadovoljava sljedeća svojstva:

1. (a · g1) · g2 = a · (g1 ∗ g2) ∀g1, g2 ∈ G, a ∈ A

2. a · e = a ∀a ∈ A (e je neutralni element grupe G).

Primjer 3.11 Neka je G grupa Rubikove kocke i C jedna konfiguracija Rubikove kocke.Tada vrijedi:

21

1. Nakon što se primijeni potez M1, dobije se nova konfiguracija Rubikove kockeC ·M1. Nakon primjene poteza M2, konfiguracija postaje (C ·M1) ·M2. Znači,na početnu konfiguraciju primijenjen je potez M1M2. Drugi način pisanja novekonfiguracije je C·(M1M2). Stoga je (C·M1)·M2 = C·(M1M2), za sve konfiguracijeC i poteze M1M2 ∈ G.

2. Ako se ne primijeni niti jedan potez (neutralni element e ∈ G), tada se konfigu-racija ne mijenja, tj. C · e = C.

Znači, elementi grupe Rubikove kocke (elementi su potezi na Rubikovoj kocki) djelujuna elemente nekog skupa (skup konfiguracija Rubikove kocke).

Primjedba 3.2 Ako postoji djelovanje grupe G na skup A, onda se kaže ”G djelujena A”.

Primjer 3.12 Grupa G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke (skup sadržii konfiguracije koji nisu valjane).

Definicija 3.17 Neka G djeluje na skup A. Orbita od a ∈ A je skup {a · g : g ∈ G}.

Primjer 3.13 G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke. Orbita početnekonfiguracije je skup svih valjanih konfiguracija Rubikove kocke.

3.7. Konfiguracije Rubikove kocke

Rubikova kocka je ”jednostavna” slagalica iza koje stoji ”ozbiljna” matematika. No,glavni cilj ove slagalice je iz bilo koje konfiguracije, skupom poteza se vratiti u početnipoložaj, tj. u položaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji.

Konfiguracije Rubikove kocke odredene su sa 4 podatka1:

• položaj kutnih kockica

• položaj rubnih kockica

• orijentacija kutnih kockica

• orijentacija rubnih kockica

Prvi podatak se može opisati kao preslikavanje σ ∈ S8 koje premješta kutne kockiceiz svog početnog položaja u neki novi položaj.

Drugi podatak se može opisati kao preslikavanje τ ∈ S12 koje premješta rubnekockice u novi položaj.

Za treći i četvrti podatak važna je samo pravilna notacija. Osnovna ideja je za-pamtiti notaciju početne orijentacije i zapisati na koji se način notacija nove orijentacijerazlikuje od notacije početne orijentacije.

Notacija orijentacija kutnih kockica se može opisati na sljedeći način: Svaka kutnakockica ima 3 moguće orijentacije koje se mogu numerirati brojevima 0, 1 i 2. Neka seRubikova kocka nalazi u početnom položaju i neka jedna strana svakog kutnog prostorasadrži broj kao što slijedi:

1Oznake i notacija su preuzete iz [3], poglavlje 6, str. 20.

22

1 se nalazi na u strani ufl prostora2 se nalazi na u strani urf prostora3 se nalazi na u strani ubr prostora4 se nalazi na u strani ulb prostora5 se nalazi na d strani dbl prostora6 se nalazi na d strani dlf prostora7 se nalazi na d strani dfr prostora8 se nalazi na d strani drb prostora

Znači, svaki kutni prostor ima numeriranu jednu stranu. Stoga, svakoj kutnoj kock-ici jedna strana leži na numeriranoj strani kutnog prostora. Ta strana neka je označenas 0. Sljedeće dvije strane, gledajući u smjeru kazaljke na satu, neka su označene s 1 i2 (Slika 3.2.).

Slika 3.2. Numeracija strana kutnih kockica

Tada se na svakoj strani kutnih kockica nalazi broj. Ako se Rubikova kocka nalaziu bilo kojoj konfiguraciji, orijentacija kutnih kockica se opisuje na sljedeći način:za svaki i izmedu 1 i 8, treba naći stranu kutnog prostora koja je označena sa i,pritom xi označava broj koji se nalazi na strani kutne kockice koja ”živi” na toj stranikutnog prostora. Stoga, orijentacija kutnih kockica se označava sa uredenom 8-orkomx = (x1, . . . , x8). Budući da kutna kockica koja je triput zaokrenuta ima istu ori-jentaciju kao i kutna kockica koja je nula puta zaokrenuta, xi se može promatrati kaoelement skupa cijelih brojeva modulo 3 (element iz Z/3Z), tj. x je uredena 8-orkaelemenata iz (Z/3Z).

Na isti način se može opisati orijentacija rubnih kockica. Rubni prostori neka buduoznačeni na sljedeći način:

1 se nalazi na u strani ub prostora2 se nalazi na u strani ur prostora3 se nalazi na u strani uf prostora4 se nalazi na u strani ul prostora5 se nalazi na b strani lb prostora6 se nalazi na b strani rb prostora

23

7 se nalazi na f strani rf prostora8 se nalazi na f strani lf prostora9 se nalazi na d strani db prostora10 se nalazi na d strani dr prostora11 se nalazi na d strani df prostora12 se nalazi na d strani dl prostora

Svaka rubna kockica ima stranu koja leži na numeriranoj strani rubnog prostora.Ta strana označena je s 0, a druga strana rubne kockice označena je s 1. Stoga, yije broj koji se nalazi na strani rubne kockice koja se nalazi na strani rubnog prostoranumeriran sa i. To definira y ∈ (Z/2Z)12.

Opisane orijentacije kockica najlakše je razumjeti na primjeru:

Primjer 3.14 Treba naći x i y nakon što se primijeni osnovni potez R na kocku kojase nalazi u početnom položaju.

U početnoj konfiguraciji, desnastrana Rubikove kocke izgleda:

u u uf r r r bf r r r bf r r r b

d d d

Na stranama kutnih prostoranalaze se brojevi:

2 3

7 8

Dakle, označavanje strana kut-nih kockica glasi:

0 02 1 2 1

1 2 1 20 0

Rotacijom desne strane kocke za90◦, dobiva se:

1 20 2 1 0

0 1 2 02 1

Kad se izvrši osnovni potez R, kutne kockice na lijevoj strani su netaknute pa jex1 = 0, x4 = 0, x5 = 0 i x6 = 0. Sa dijagrama se očitava: x2 = 1, x3 = 2, x7 = 2 ix8 = 1. Stoga, x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1)

Na isti način se može pokazati orijentacija rubnih kockica:

24

Početna konfiguracija:

u u uf r r r bf r r r bf r r r b

d d d

Numeracija strana rubnih prostora:

2

7 6

10

Numeracija rubnih kockica:

01

0 1 1 010

Rotacija desne strane za 90◦:

01

0 1 1 010

Sa dijagrama se očitava da niti jedna rubna kockica nije promijenila svoju ori-jentaciju nakon što se primijenio osnovni potez R, pa je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Stoga, svaka konfiguracija Rubikove kocke se može opisati sa σ ∈ S8, τ ∈ S12, x ∈(Z/3Z)8 i y ∈ (Z/2Z)12, tj. svaka konfiguracija Rubikove kocke je uredena 4-orka(σ, τ, x, y).

Primjedba 3.3 Početna konfiguracija Rubikove kocke je (1, 1, 0, 0).

3.7.1. Valjane konfiguracije Rubikove kocke

No, od mogućih 5.19 × 1020 konfiguracija Rubikove kocke, nisu sve valjane. Konfigu-racija Rubikove kocke je valjana ako se može dobiti slijedom poteza na kocki koja senalazi u početnom položaju.

Sljedeći teorem daje karakterizaciju valjanih konfiguracija:

Teorem 3.2 Konfiguracija (σ, τ, x, y) je valjana ako i samo ako

sgn σ = sgn τ ,∑xi ≡ 0(mod 3) i

∑yi ≡ 0(mod 2).

Dokaz ovog teorema se može naći u [3], poglavlje 11, str. 35.

Teorem pokazuje da od svih mogućih konfiguracija Rubikove kocke, ”samo” je 112

valjana. To znači da postoji vǐse od 4.3×1019 valjanih konfiguracija, što nije mali broj.

Primjer 3.15 Osnovni potez R se može zapisati kao:

R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)

25

Ciklus kutnih kockica se sastoji od neparnog broja transpozicija, pa preslikavanje σ ∈ S8ima predznak −1. Ciklus rubnih kockica sa sastoji od neparnog broja transpozicija, papreslikavanje τ ∈ S12 takoder ima predznak −1.Orijentacija kutnih kockica je x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1), pa vrijedi

∑xi ≡ 0(mod 3). Ori-

jentacija rubnih kockica je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), pa vrijedi∑yi ≡ 0(mod 2).

Stoga, osnovni potez R je valjana konfiguracija.

3.8. Graf

Svaka permutacijska grupa ima svoju grafičku interpretaciju. Za početak, pitanje glasi:što je graf?

Definicija 3.18 Graf je uredeni par (V,E) koji se sastoji od

• skupa V čiji se elementi zovu vrhovi

• skupa E čiji su elementi neuredeni parovi {{v1, v2}| v1, v2 ∈ V } koji se zovubridovi.

Definicija 3.19 Ako je svakom elementu iz E pridružen ureden par iz V, onda se grafzove usmjereni graf ili digraf (eng. directed graph).

Graf se prikazuje crtežom u ravnini u kojem se vrhovi grafa prikazuju točkama,bridovi kao spojnice točaka, a usmjereni bridovi kao spojnice sa strelicom.

Ako e = {v1, v2} pripada skupu E, tada se kaže da je e brid od v1 do v2 (ili od v2do v1). Put od vrha v do vrha w je konačan slijed bridova od v do w. Ako taj putpostoji, onda se kaže da su vrhovi v i w povezani. Ako je svaki par vrhova povezan,kaže se da je graf (V,E) povezan. Stupanj vrha v je broj bridova incidentnih s v, aoznaka je stupanj(v) ili deg(v).

Definicija 3.20 Udaljenost vrhova v i w u grafu je duljina d(v, w) najkraćeg putakoji spaja v i w. Ako v i w nisu povezani tada je d(v, w) = ∞. Dijametar grafa jenajveća udaljenost:

diam (V,E)= max {d(v, w)| v, w ∈ V }.

3.8.1. Cayley graf

Neka je G = 〈g1, g2, · · · , gn〉 permutacijska grupa, tada vrijedi:

Definicija 3.21 Cayley graf od G je graf (V,E) čiji su vrhovi V elementi od G, abridovi se odreduju sljedećim uvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid od xdo y (ili od y do x) ako i samo ako y = g ∗ x ili x = g ∗ y, za neki g ∈ G.

Definicija 3.22 Cayley digraf od G je digraf (V,E) čiji su vrhovi V elementi od G,a bridovi se odreduju sljedećim uvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid odx do y ako i samo ako y = x ∗ g, za neki g ∈ G.

26

Cayley graf je koristan način da se dobije uvid u strukturu grupe i podgrupa Ru-bikove kocke.

Svojstva koja opisuju Cayley graf za grupu Rubikove kocke su:

• Svaki g ∈ G je vrh.

• Svakom generatoru grupe s ∈ S je dodijeljena boja cs.

• Za neki g ∈ G, s ∈ S, elementi koji odgovaraju g i gs su spojeni usmjerenimbridom koji je boje cs.

Cayley graf za grupu Rubikove kocke bi imao 43 trilijuna vrhova, no ipak, može seprikazati Cayley graf za manje podgrupe.

Cayley graf za podgrupu grupe Rubikove kocke generiran osnovnim potezom Rizgleda:

Slika 3.3. Cayley graf

Pitanje je kako bi izgledao Cayley graf za grupu generiranu sa U? On bi izgledaoisto kao i za grupu generiranu sa R. Ako dvije grupe imaju isti Cayley graf, tada oneimaju istu strukturu, pa se za njih kaže da su izomorfne. Dvije izomorfne grupe imajujednak red i isti utjecaj na kocku. Na primjer, potez FFRR ima isti utjecaj na kockukao i potez RRBB kad bi L strana sada bila prednja.

Štovǐse, rješenje Rubikove kocke je zapravo put u grafu od vrhova koji su povezani utrenutni položaj kocke do vrhova koji su povezani u identitetu. Broj poteza u najkraćemmogućem rješenju je udaljenost izmedu tih vrhova. Dijametar Cayleyevog grafa od Gje broj poteza najboljeg mogućeg rješenja najgoreg mogućeg slučaja.

3.8.2. Božanski algoritam

Drugi naziv za traženje dijametra Cayleyevog grafa grupe Rubikove kocke je božanskialgoritam (iako se taj naziv koristi i za označavanje jednog težeg problema). To jealgoritam koji daje osnovne poteze koji iz bilo koje konfiguracije vode ka početnompoložaju, a broj tih osnovnih poteza se zove božanski broj. Dijametar Cayleyevoggrafa je neriješen problem za mnoge slagalice, te ga je čak i uz pomoć računala jakoteško pronaći.

27

Slagalice kojima je naden dijametar su:

Slagalica DijametarPyraminx 11 (bez poteza vrha)

Skewb 112× 2× 2 Rubikova kocka 14 (u QTM)

Dijametri su pronadeni uz pomoć računala.

Mnogi ljudi su se bavili otkrivanjem božanskog algoritma za Rubikovu kocku. Tajproblem i danas pobuduje veliki interes kod matematičara i obožavatelja Rubikovekocke.

Postoji dva puta za traženje božanskog algoritma i božanskog broja:

1. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90◦ ili za 180◦. Stoga, u ovom slučaju,božanski broj je dijametar Cayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom〈L,R, U,D, F,B, L2, R2, U2, D2, F 2, B2〉. Takva metrika u kojoj je i okret za 180◦osnovni potez kraće će se zvati i pisati HTM (eng. half-turn metric).

2. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90◦. Božanski broj je dijametarCayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom 〈L,R, U,D, F,B〉. Takvametrika će se zvati QTM (eng. quarter-turn metric).

Potrebno je najmanje 18 poteza kako bi se složila Rubikova kocka i taj broj označavadonju granicu. Pitanje je, koliko je potrebno najvǐse poteza, tj. koliko iznosi gornjagranica?

Smatra se da je najteži slučaj za rješavanje Rubikove kocke kad se sve kutne i rubnekockice na Rubikovoj kocki nalaze u pravilnom položaju, a rubne kockice nisu pravilnoorijentirane. Taj slučaj, kada je položaj kocke najdalji od početnog položaja, je nazvan”superflip”. 1992. g. Dik T. Winter je pokazao da se taj slučaj može riješiti u 20osnovnih poteza u HTM, a Michael Reid i Jerry Bryan su 1995. g. pokazali da jepotrebno 24 osnovnih poteza u QTM. Medutim, 1998. g. Reid je otkrio položaj ko-jemu treba 26 osnovnih poteza u QTM kako bi se vratio u početni položaj, taj položajje nazvan ”superflip sastavljen sa 4 točkice”.

Prve gornje granice su temeljene na ”ljudskim” algoritmima. Smatralo se dabožanski broj iznosi oko 100. No, takav pristup nije bio zadovoljavajući, te su setražili novi načini i počela su se koristiti računala.

Kombinirajući najgore moguće slučajeve, Morwen Thistlethwaite je otkrio da gornjagranica iznosi oko 52. Douglas Hofstadter je detaljno opisao Thistlethwaiteov algori-tam u časopisu ’Scientific American’, 1981. g.Njemački profesor matematike Herbert Kociemba je 1992. g. pobolǰsao Thistlethwait-eov algoritam. Pomoću tog algoritma, u većini slučaja je bilo potrebno manje od 21poteza da bi se složila Rubikova kocka.Michael Reid je 1995. godine dokazao da se svaka konfiguracija može riješiti u najvǐse

28

29 osnovnih poteza u HTM i u 42 osnovnih poteza u QTM.

1997. g. Richard Korf je objavio svoj algoritam. Korfov algoritam daje optimalnorješenje, ali ne analizira najgore slučajeve i ne zna se koliko osnovnih poteza je potrebnoovom algoritmu.

Za daljnja pobolǰsanja, veliku ulogu je imao Silviu Radu koji je svojom metodompokazao da se svaka konfiguracija može riješiti u 27 osnovnih poteza u HTM i 35 os-novnih poteza u QTM.

No, čak ni super računala nisu mogla istražiti sve moguće konfiguracije kako bi sepronašao najbolji put do rješenja. Profesor Gene Cooperman i njegov student DanielKunkle sa Sveučilǐsta Northeastern razvili su inteligentnu matematičku i računalnustrategiju kako bi računalu olakšali zadatak. Na primjer, ako je jedna strana u istojboji, zadatak je riješen. Takoder, dvije konfiguracije smatrane su identičnima ako sudvije boje samo medusobno zamjenjene. Na temelju toga, broj konfiguracija je sman-jen na nešto vǐse od 1× 1018. Nadalje, otkrili su da se 15000 konfiguracija može riješitiokretanjem za pola kruga bez okreta za četvrtinu kruga te da je za njihovo rješenjepotrebno 13 ili manje poteza. Te konfiguracije nazvali su ”posebne konfiguracije”. Po-tom su istražili kako bilo koju konfiguraciju pretvoriti u ”posebnu konfiguraciju”.

U proces računanja uključili su i super računalo kojemu su omogućili da izravnodolazi do podataka preciznim pohranjivanjem na tvrdom disku bez pretraživanja. Toga je dodatno ubrzalo kao i korǐstenje njihovih strategija. Nakon 63 sata rada, računaloje došlo do zaključka da je potrebno izvesti najvǐse 16 osnovnih poteza da bi se bilokoja konfiguracija složila u posebnu. Na temelju tog podatka, došli su do zaključka daje 29 osnovnih poteza dovoljno za rješavanje svih konfiguracija Rubikove kocke. Budućida to nije bilo dovoljno za ostvarenje rekorda, dalje su istraživali i ustvrdili su da sesvaka konfiguracija može riješiti u najvǐse 26 osnovnih poteza u HTM. Sve te rezultate,Gene Cooperman i Daniel Kunkle su predstavili 29. srpnja 2007. g. u Waterloou uOntariju.

Kalifornijski programer Tomas Rokicki je 2008. g. dokazao da je dovoljno najvǐse25 osnovnih poteza za rješavanje Rubikove kocke, a iste godine je objavio da ima dokazda su dovoljna 22 osnovna poteza u HTM. Godinu dana kasnije dao je dokaz da je tajbroj jednak 29 u QTM.

Metode za traženje božanskog broja lakše se primjenjuju u HTM nego u QTM.Konačno, smatra se, ali nije još sasvim dokazano da božanski broj u QTM iznosi 26.Općenito vrijedi da se n×n×n Rubikova kocka može optimalno riješiti u Θ(n2/log(n))osnovnih poteza.

Godine 2010. Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson i John De-thridge su objavili trenutačni zadnji dokaz u otkrivanju božanskog broja. Uz pomoćračunala pokazali su da se sve konfiguracije Rubikove kocke mogu riješiti sa maksi-malno 20 osnovnih poteza u HTM. Istraživači su došli do rezultata tako da su problemsveli na potprobleme koji su bili dovoljno mali kako bi stali u memoriju modernog

29

računala te se na takav način problem brže rješavao. Koristeći znanje o simetrijamate program kojeg su sami napisali, svaki potproblem je uspješno riješen te su na krajudošli do rezultata. Istraživači tvrde: ”Trebalo je 15 godina nakon predstavljanja kockeda se nade raspored kockica iz kojeg se zagonetka može riješiti u 20 osnovnih poteza.Primjereno je da 15 godina nakon toga možemo dokazati da se kockice mogu posložitiu 20 osnovnih poteza iz svih pozicija”.

No, interes za božanski algoritam i božanski broj sigurno neće prestati. Taj prob-lem će se i dalje istraživati i tko zna što donosi budućnost.

Postoji još jedan problem vezan za graf grupe Rubikove kocke koje glasi: je li Cayleygraf za grupu Rubikove kocke Hamiltonov graf ?

Definicija 3.23 Hamiltonov ciklus na grafu G je ciklus koji sadrži sve vrhove odG. Graf koji ima Hamiltonov ciklus zove se Hamiltonov graf.

Hamiltonov ciklus je slijed bridova koji formiraju put u grafu tako da se kroz svakivrh prode točno jedanput.

Tada, problem grupe Rubikove kocke glasi: Neka je G grupa Rubikove kocke. Imali Cayleyev graf od G Hamiltonov ciklus, tj. može li se svaka konfiguracija Rubikovekocke ”posjetiti” točno jedanput koristeći osnovne poteze R, L, U, D, F, B?

To je poseban slučaj općenitog neriješenog problema: za proizvoljnu permutacijskugrupu sa danim skupom generatora, je li njezin Cayleyev graf Hamiltonov?No, još se ne zna efikasni algoritam za rješavanje tog problema.

3.9. Strategije za rješavanje Rubikove kocke

Postoje ljudi koji samo pogledaju Rubikovu kocku i odmah znaju kako ju vratiti upočetno stanje. No ipak, većina treba neke strategije, što jednostavnije to bolje, zapomoć pri rješavanju. Važni pojmovi za rješavanje kocke su pojam komutatora i pojamkonjugiranja. Radi se o matematičkim pojmovima koji se lagano mogu razumjeti uzpomoć Rubikove kocke.

3.9.1. Komutatori

Komutator je kombinacija dvaju poteza tako da se prvo izvede jedan potez pa drugipotez, zatim se prvi potez izvede u suprotnom smjeru i na kraju se izvede drugi poteztakoder u suprotnom smjeru.Opći oblik komutatora je:

[M,P ]=MPM−1P−1,

gdje su M i P bilo koji potezi na Rubikovoj kocki.

Primjer 3.16 Odredimo komutator poteza M = LF i poteza P = L2R, (pritom ko-ristimo formulu za inverz i činjenicu da je inverz kvadrata osnovnog poteza on sam, tj.(L2)−1 = L2):

30

[M,P ] = [LF,L2R] = LFL2RF−1L−1R−1L2.

Ako potezi M i P komutiraju (na primjer, ako su oba iz grupe C4), njihov komutatorje jednak I. Iz te činjenice potječe naziv za komutator.

Komutatori se koriste kada se s dva poteza M i P može puno toga napraviti, no oniuzrokuju neke neželjene efekte koji se uz pomoć M−1P−1 eliminiraju. Često se železamjeniti dvije, tri ili četiri kockice i te se zamjene bilježe uz pomoć ciklusa. Različitimpotezima nastaju ciklusi kockica koji dovode do rješenja Rubikove kocke.

Većinom se komutatori koriste za zaokretanje kutnih kockica koji imaju pravilanpoložaj, ali nisu pravilno orijentirani te za postizanje ciklusa. Imaju još jedno svojstvokoje se odnosi na dva osnovna poteza koji se nalaze na susjednim stranama: ako se dvaputa provede njihov komutator dobije se 3-ciklus rubnih kockica i sve kutne kockiceostanu na mjestu, a triput provedeni komutator zamjenjuje točno dva para kutnihkockica tako da se niti jedna rubna kockica ne pomakne.

3.9.2. Konjugacija

Konjugacija je još jedan koristan pojam za izgradnju naredbi za rješavanje Rubikovekocke. Potezi dobiveni konjugiranjem su potezi koji se sastoje od prvog poteza, zatimdrugog poteza i na kraju prvi potez u suprotnom smjeru.

Konjugiranje poteza M potezom P je potez P−1MP i označava se

MP = P−1MP .

Konjugiranje se najvǐse primjenjuje kada se žele dobiti odredeni ciklusi rubnih ili kutnihkockica.

3.9.3. Strategije

U odjeljku o algoritmima pokazane su neke metode za rješavanje Rubikove kocke. No,postoje odredene matematičke ideje koje su vrlo korisne za rješavanje kocke2.

Uz poznate osnovne poteze R, L, U, D, F, B, neka MR označava okret srednjegdijela koji je paralelan s desnom stranom u smjeru kazaljke na satu za 90◦.

Neka se prvo krene s rješavanjem kutnih kockica. Pretpostavka je da se želi kutnakockica lfd premjestiti u položaj urf kutne kockice. Tada se učini potez R−1DR idobije se jedan od tri sljedeća slučaja:

1. Riješene su sve kutne kockice.

2. Sve su kutne kockice riješene, samo se dvije moraju zamijeniti.

3. Sve su kutne kockice riješene, samo se 3 moraju ciklički permutirati.

2Strategije i oznake su preuzete iz [7], poglavlje 15, str 286.

31

U 2. slučaju potez UF [R,U ]3F−1 = UFRUR−1U−1RUR−1U−1RUR−1U−1F−1

napravi cikluse (ubr ufl) i (uf ul ub ur). No, ako kutne kockice koje se trebaju za-mijeniti nisu u ubr i ufl položaju, samo se rotira Rubikova kocka tako da prva kockicabude u ubr položaju, drugu kockicu nekim potezom X staviti u ufl položaj te tadanapraviti potez iznad pa potez X−1.

U 3. slučaju potez [RDR−1, U ] = RDR−1URD−1R−1U−1 permutira 3 kutne kock-ice (brd urb ulb). Takoder, ako se kutne kockice ne nalaze u brd, urb i ulb položajima,primijeni se trik opisan u 2. slučaju.

Nakon što su sve kutne kockice vraćene u svoj početni položaj, kako bi se riješilerubne kockice (ignorirajući orijentaciju) može se primijeniti potez M2RU

−1M−1R U2MR

U−1M2R. Taj potez napravi ciklus (uf ul ur).

Za pravilno orijentiranje kutnih kockica koriste se potezi kao na primjer (R−1D2RB−1

U2B)2 koji djeluje na kutnu kockicu ufr u smjeru kazaljke na satu i na kutnu kockicubld u suprotnom smjeru kazaljke na satu.

Za pravilnu orijentaciju rubnih kockica se koristi potez (MRU)3U(M−1R U)

3U kojidjeluje na rubne kockice uf i ub, a potez (MRU)

4 djeluje na rubne kockice ub i ul, terubne kockice df i db.

Slijedi tablica sa korisnim potezima koji djeluju samo na odredene kockice, dokostale kockice na Rubikovoj kocki ostaju netaknute:

Potez UčinakM2RU

−1M−1R U2MRU

−1M2R 3-ciklus rubnih kockica (uf ul ur)(MRU)

3U(M−1R U)3U djeluje na rubne kockice uf i ub

(R2U2)3 permutira (uf ub)(fr br)(MRU)

4 djeluje na rubne kockice ub,ul i df,db(R−1D2RB−1U2B)2 ufr+, bld++

[R,U ]3 = (RUR−1U−1)3 permutira (ufr dfr)(ubr ubl)F 2L2U2(F 2L2)3U2L2F 2 permutira (uf ub)(ur ul)

(D2R2D2(F 2R2)2U)2 permutira (ufl ubr)(dfr dbl)(M2RUM

2RU

2)2 permutira (ufl ubr)(ufr ubl)RDR−1URD−1R−1U−1 3-ciklus kutnih kockica (brd urb ulb)

Tablica 2.1. Potezi i njihovi učinci3

Jedan je pristup rješavanju Rubikove kocke koristeći računalo, koji se naziva metodapodgrupa, da se krene od konstruiranja podgrupa:

Gn = 1 ⊂ Gn−1 ⊂ . . . ⊂ G1 ⊂ G0 = G

gdje je G = 〈R,L, F,B, U,D〉 grupa Rubikove kocke, te se provode sljedeće strategije:

• Neka g0 ∈ G predstavlja željeni položaj Rubikove kocke.3Tablica preuzeta iz [7], poglavlje 15, str. 288.

32

• Treba odrediti konačan skup klasa prikazan s Gk+1/Gk:

Gk+1/Gk = ∪rki=1gk+1,iGk+1, rk > 1, ∀0 ≤ k < n

(pritom vrijedi: mn−1 = 1 i gn,1 = 1).

• (Korak 1): Ako je g0 ∈ g1,iG1 (i ∈ {1, . . . , n1}) tada g1 = g1,i i g′1 = g

−11 g0 (pritom

g′1 ∈ G1).

• (Induktivan korak): Ako je definiran g′k ∈ Gk i ako je g′

k ∈ gk+1,jGk (j ∈{1, . . . , n1}), tada gk+1 = gk+1,j i g

′

k+1 = g−1k+1g

′

k (pritom g′

k+1 ∈ Gk+1).

• Sve zajedno daje 1 = g−1n g−1n−1g−1n−2 . . . g−11 g0, stoga vrijedi

g0 = g1g2 . . . gn−1gn.

Treba se izabrati takav slijed podgrupa Gi tako da su klase kraće s relativno jednos-tavnim potezima na Rubikovoj kocki što će rezultirati da rješenje g0 = g1g2 . . . gn−1gnne bude predugo.

Taj se pristup rješavanju kocke lako može prikazati na jednostavnom primjeru kaošto je ”kut-rub” metoda:

Primjer 3.17 Neka je G1 podgrupa koja ne utječe na kutne kockice, G2 podgrupa kojane utječe na kutne i rubne kockice, G3 podgrupa koja ne utječe na kutne i rubne kockiceniti na orijentaciju kutnih kockica i G4 = {1}, tada vrijedi:

G4 = {1} ⊂ G3 ⊂ G2 ⊂ G1 ⊂ G0 = G.

Ideja je sljedeća:

1. Neka g0 ∈ G označava traženi položaj Rubikove kocke.

2. Potez označen s g1 premjesti sve kutne kockice u pravilni položaj, stoga je g−11 g0 ∈

G1. Neka je g′1 = g

−11 g0.

3. Potez označen s g2 premjesti sve rubne kockice u pravilni položaj, stoga je g−12 g

′1 ∈

G2. Neka je g′2 = g

−12 g

′1.

4. Potez označen s g3 pravilno orijentira kutne kockice, stoga je g−13 g

′2 ∈ G3. Neka

je g′3 = g

−13 g

′2.

5. Potez označen s g4 pravilno orijentira rubne kockice.

6. Rješenje je g0 = g1g2g3g4.

Matematičar Morwen Thistlethwaite razvio je jednu od najboljih metoda podgrupakoju je primijenio za računanje božanskog broja:

Primjer 3.18 Thistletwaite je problem podijelio na manje potprobleme, tj. podije-lio je grupu Rubikove kocke na sljedeće podgrupe: G1 = 〈R,L, F,B, U2, D2〉, G2 =〈R,L, F 2, B2, U2, D2〉, G3 = 〈R2, L2, F 2, B2, U2, D2〉, i G4 = {1}.Uz pomoć računala pokazao je sljedeće činjenice:

33

• Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g1,i| 1 ≤ i ≤ n1} od G/G1 tako daje svaki g1,i najvǐse 7 poteza dugačak (i n1 = 2048). Taj skup poteza djeluje samona orijentaciju rubnih kockica.

• Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g2,i| 1 ≤ i ≤ n2} od G1/G2 tako daje svaki g2,i najvǐse 13 poteza dugačak (i n2 = 1082565). Taj skup poteza djelujesamo na orijentaciju kutnih kockica.

• Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g3,i| 1 ≤ i ≤ n3} od G2/G3 tako daje svaki g3,i najvǐse 15 poteza dugačak (i n3 = 29400). Taj skup poteza premjestisve kutne i bridne kockice u pravilni položaj.

• Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g4,i| 1 ≤ i ≤ n4} od G3/G4 tako daje svaki g4,i najvǐse 17 poteza dugačak (i n4 = 663552).

Dakle, Rubikovu kocku može se složiti u najvǐse 7 + 13 + 15 + 17 = 52 poteza.

Pokazana su dva od mnogobrojnih primjera u kojima se koristi strategija nazvanametoda podgrupa za rješavanje Rubikove kocke uz pomoć računala.

3.10. Rubikova kocka u današnjoj kulturi

Rubikova kocka već 30-ak godina privlači pažnju cijelog svijeta. Dobila je svoje mjestoi u engleskom rječniku, a u Muzeju moderne umjetnosti u New Yorku nalazi se stalnaizložba posvećena Rubikovoj kocki.

Slaganje Rubikove kocke korǐsteno je u mnogim filmovima i TV serijama kao načinpokazivanja inteligencije glavnih likova. Stoga, Rubikova se kocka pojavljuje u fil-movima Armageddon, Dude, Where’s My Car?, My Name is Khan, 3 Idiots, Let theRight One In, Wall-E, Hellboy, Being John Malkovich i TV serijama The Fresh Princeof Bel-Air, Seinfeld, Doctor Who, Everybody Hates Chris, The Simpsons i mnogimdrugim.Rubik, nevjerojatna kocka je crtani film u kojemu je glavni lik osjetljiva Rubikova kocka,a Rubikova kocka se pojavljuje i u glazbenom spotu pjesme Viva Forever grupe SpiceGirls.

Rubikova kocka se redovito pojavljuje kao motiv u umjetnosti. U New York-u senalazi skulptura u obliku Rubikove kocke, a veliki primjerak Rubikove kocke izgradenje na Sveučilǐstu u Michiganu (Slika 3.4.). Takoder, umjetnici su razvili stil u kojemse kao motiv koristi kocka i nazvali su ga Umjetnost Rubikove kocke ili Rubikov kubizam.

34

Slika 3.4. Skulptura Rubikove kocke u Michiganu

Postoje različite komercijalizacije Rubikove kocke. Pojavljuje se kao motiv na mod-nim dodacima, knjigama, bilježnicama, privjescima i na mnogim drugim predmetima.

Popularnost Rubikove kocke ne prestaje. Ta minijaturna igračka jedan je od rijetkihprimjeraka koji se koristi i za zabavu i za ”ozbiljno” učenje. Već su otkrivene njezinevelike prednosti, a tko zna što sve donosi budućnost.

35

Literatura

[1] F. M. Brückler, Grupa Rubikove kocke, Poučak, 36(2008), 4-15.

[2] D. Butković, Predavanja iz linearne algebre, Osijek, 2006.

[3] J. Chen, Group Theory and the Rubik’s Cube,http://www.math.harvard.edu/ jjchen/docs/Group Theory and the

Rubik’s Cube.pdf, 20.9.2011.

[4] T. Davis, Group Theory via Rubik’s Cube, 2006.,http://geometer.org/rubik/group.pdf, 20.9.2011.

[5] A. Horvatek, Rubikova kocka, http://public.carnet.hr/ ahorvate/materijali.html,31.8.2011.

[6] W. D. Joyner, Mathematics of the Rubik’s cube,http://www.permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/rubik.pdf, 20.9.2011.

[7] W. D. Joyner, Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine,and Other Mathematical Toys, The Johns Hopkins University Press, 2002.

[8] D. Kunkle & C. Cooperman, Twenty-Six Moves Suffice for Rubik’s Cube, Pro-ceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation(ISSAC ’07), ACM Press, 2007.

[9] J.Trajber, Rubikova kocka - Priručnik za slaganje, Prosvjeta, Zagreb, 1982.

[10] http://www.index.hr/xmag/clanak/otkriveni-svi-nacini-na-koje-se-moze-sloziti-rubikova-kocka/506792.aspx, 31.8.2011.

[11] http://web.mit.edu/sp268/www/rubik.pdf, 20.9.2011.

[12] http://www.math.uchicago.edu/ may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALAPP/Travis.pdf,20.9.2011

[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik’s Cube, 31.8.2011.

[14] http://www.rubikovakocka.com, 31.8.2011.

[15] http://www.rubiks.com/world/history.php, 31.8.2011.

36

4. Sažetak

Ovaj diplomski rad sastoji se od dvaju poglavlja: što je Rubikova kocka i matematikau Rubikovoj kocki.

Na samom početku nalazi se opis nastanka Rubikove kocke i opisan je život njezinogtvorca Ernöa Rubika. Prikazane su mnogobrojne varijacije Rubikove kocke koje sunastale tijekom vremena. Nadalje, u radu su opisani algoritmi za slaganje Rubikovekocke, a i prikazani su rezultati s natjecanja u slaganju Rubikove kocke koji su jakozanimljivi.

U drugom se poglavlju pokušava objasniti koja se matematika nalazi u Rubikovojkocki i kako Rubikova kocka može biti vrlo koristan primjer za objašnjavanje matemati-čkih pojmova. U radu se pokušavaju razumjeti pojmovi: grupa, podgrupa, generatori,parnost, ciklička grupa, homomorfizam grupa, graf i mnogi drugi uz pomoć minijaturneigračke Rubikove kocke. Opisane su konfiguracije Rubikove kocke, pokazane koje kon-figuracije su valjane, te su dane matematičke strategije kako iz bilo koje konfiguracijevratiti Rubikovu kocku u početni položaj. U radu se opisuje razvoj i značenje božanskogalgoritma i božanskog broja.

Na kraju se može zaključiti da je Rubikova kocka mala igračka velikog značenja.To je sjajan izum koji i nakon 30 godina plijeni pažnju jer je jednostavna i zabavnaigračka s velikom koristi u obrazovanju.

37

5. Summary

This paper contains two chapters: What is Rubik’s cube and Mathematics in Rubik’scube.

The first chapter describes the development of the Rubik’s cube and the life ofErnö Rubik, her creator. The chapter as well explains variations, which were intro-duced over time, of the Rubik’s cube. In addition, it describes algorithms for compo-sition of Rubik’s cube shows interesting results from competitions.

The second chapter deals with mathematics in the Rubik’s cube and how Rubik’scube can be very useful example for explaining mathematics terms. The paper explainsterms as: group, subgroup, generators, parity, cyclic group, group homomorphisms,graph and others therms with the help of the toy Rubik’s cube. Configurations ofthe Rubik’s cube are described and it is shown which configurations are valid. Math-ematics strategies dealing with how to return Rubik’s cube to the first position arepresented as well. The development and meaning of god’s algorithm and god’s numberare described as well in this chapter.

In conclusion one can say that the Rubik’s cube is a small toy with a great meaning.It is a brilliant invention which even after 30 years captures attention because it canbe seen as a simple and fun toy but it is interesting enough to be used in education.

38

6. Životopis

Marina Barǐsić rodena je 13. travnja 1987. g. u Dakovu.

Osnovnu školu Vladimira Nazora u Dakovu završava 2001. g. i upisuje Opću gim-naziju A. G. Matoša, takoder u Dakovu. Nakon završene srednje škole, 2006. g. upisujesveučilǐsni nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Os-ijeku.