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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE L’ARBI BEN M’HIDI D’OUM EL BOUAGHI
INSTITUT DES SCIENCES TECHNOLOGIQUES D’AIN BEIDA
DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
Option : Construction mécanique
Mémoire de Fin d'Etudes
En vue de l’obtention du diplôme :
MASTER
Thème :
Présenté par : Encadreur :
Rahim Med Hamza Pr MAHFOUDI Chawki
Soutenu le : 27 Juin 2018
Année universitaire : 2017 – 2018
Contribution à l’étude conceptuelle et dynamique du robot
Ortho-glide
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier tout d’abord ALLAH le tout puissant qui
m’a donné, durant toutes ces années, la santé, le courage et la foi pour
arriver à ce jour.
Je tenue à remercier profondément mon encadreur
MrMAHFOUDI CHAWKI pour ses encouragements, son aide, ses
Connaissances, son savoir et surtout ses conseils.
Je remercie également mes professeurs pour la qualité de
l’enseignement
Qu’ils m’ont prodigué au cours de ces cinq ans passées à l’université de
L’ARBI BEN M’HIDI D’OUM EL BOUAGHI
Enfin un grand merci tout spécial à ma famille, à mes parents qui
M’ont permis de poursuivre mes études, à mon frère et ma sœur.
Je tiens à remercier chaleureusement
Djeffal selman et Sahel Med Amine qu’ils sont toujours présents à
m’aider .
MERCI
Dédicace
Avant toute chose je remercie Dieu le tout puissant de
m'avoir donné le courage et la patience pour accomplir ce modeste travail.
Je dédie ce modeste travail :
Aux deux êtres qui me sont les plus chères au monde, qui sont ma raison d'être et de vivre; ma mère et mon père.
Que Dieu les garde toujours auprès de moi.
A ma très chère sœur Saadia et son marie Rabah , et ses petits Alli & Yousef.
A mon très cher frère Tarek et ca femme Wahiba.
A mes tantes et oncles.
A mes cousins et cousines.
A mes meilleurs amis.
A Pr Mahfoudi Chawki.
A mes enseignants et professeurs.
Rahim Med Hamza
Nomenclature
ddl Degrés de liberté n Nombre de corps de la structure articulée Ci Corps i Ri Repère lié au corps Ci R0 Repère lié à la base RB Repère lié au cardan RP Repère lié à la plate-forme Oi Origine du repère Ri associé à la liaison liée au corps Ci Op Origine du repère Rp liée à la plate-forme iTj Matrice de transformation homogène de Ri à Rj iA j Matrice d’orientation associé à iTj iPj Vecteur de position associé à iTj R Matrice d’orientation de RP dans R0 Ѱ, ϕ, δ Les angles de rotation de RP dans R0 Px0, Py0, Pz0 Coordonnées de l’origine du repère RP dans R0 MGD Modèle Géométrique Direct αj, dj, Ѳj, rj Paramètre de Denavit-Hartenberg pour une structure ouverte simple q Vecteur des coordonnées articulaires σj Variable binaire CѲ cos (Ѳ) SѲ sin (Ѳ) C2i cos(q2) S2i sin(q2) C3i cos(q3) S3i sin(q3) Ca(j) Corps antécédent du corps Cj CG Centre de Gravité du corps αj, dj, Ѳj, rj, ϒj, bj Paramètre de Khalil-kleifinger pour une structure arborescente Ii Longueur du segment i MGI Modèle Géométrique Inverse MCD Modèle Cinématique Direct MCI Modèle Cinématique Inverse ou p Vecteur de vitesse articulaires ou pp Vecteur des accélération articulaires p Vecteur de vitesse de la plate-forme vp Vecteur de vitesse linéaire de la plate-forme wp Vecteur de vitesse angulaire de la plate-forme pi Vecteur de vitesse du point Pi lié à la chaine cinématique i vɜi Vecteur de vitesse linéaire du point Pi lié à la chaine cinématique i Jp Matrice jacobienne de la plate-forme par rapport au repère R0 Jɜi Matrice jacobienne de la chaine cinématique i par rapport au repère R0 LK,n Vecteur d’origine Ok et d’extrémité On MDD Modèle Dynamique Direct MDI Modèle Dynamique Inverse (t) (t) (t) Evolution de la position la vitesse l’accélération articulaire dans le temps Гi Couples des articulations de la chaine cinématique i Hi Vecteur contenant les éléments des forces inertiels, de coriolis, centrifuge et de gravité fi Forces de réaction des chaines cinématique sur la plate-forme ◦Fp Forces et moments appliqués sur la plate-forme Fs Vecteur de frottement sec Fv Vecteur de frottement visqueux Mp Masse de la plate-forme Ip Matrice d’inertie de la plate-forme dans le repère R0 ◦MSp Premier moment de la plate-forme dans le repère R0
M(i) Masse des corps i Iɜ Matrice d’identité x Symbole du produit vectoriel g Accélération du pesenteur Cg vecteur de centre de graviter de plate-forme
Liste des figures
Figure I.1 Architectures de robot…………………………………………………………………………………………………………. 04 Figure I.2 Le premier hexapode octaédrique à sa naissance en 1957 et peu avant son transfert dans un
musée en 2000 (dunlop tyres)…………………………………………………............................................ 05
Figure I.3 Le premier Héxapode octaédrique utilisé dans un simulateur de vol, construit autour de 1965 (klaus cappel)………………………………………………………………………………………………………………..
06
Figure I.4 Exemple d’application pour un robot à 2 ddl............................................................................ 07 Figure I.5 Exemple d’application utilisant des mécanismes à 3ddl……………………………………………………….. 08 Figure I.6 Robot Delta à 3 degrés de liberté…………………………………………………………………………………………. 09 Figure I.7 Représentation du Delta à 4 ddl (ABB)…………………………………………………………………………………. 09 Figure I.8 Un robot hybride découplé composé de deux robots parallèles mis en série……………………….. 10 Figure I.9 Un robot hybride à 6 ddl………………………………………………………………………………………………………. 10 Figure II.1 Architecture de l'Ortho-glide………………………………………………………………………………………………. 13 Figure II.2 Description du robot Ortho-glide…………………………………….…………………………………………………… 13 Figure II.3 Placement des repères sur la chaîne cinématique i……….……………………………………………………. 14 Figure II.4 Repère de la base R0 et repère de la plate-forme RP…….……………………………………………………… 15 Figure II.5 Paramètres géométriques pour une structure avec arborescence……………………………………….. 16 Figure II.6 Recherche des équations géométriques pour le MGI de la chaîne cinématique i……………….. 23 Figure II.7 Trajectoire Hypocycloïde suivie par l’ortho-glide………………………………………………………………….. 25 Figure II.8 Présentation de la trajectoire suivit par le robot Ortho-glide……………………………………………….. 25 Figure II.9 déplacement suivant l’axe X…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.10 déplacement suivant l’axe Y…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.11 déplacement suivant l’axe Z…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.12 coordonnées articulaires de la 1ere chaine………………………………………………………………………….. 27 Figure II.13 coordonnées articulaires de la 2éme chaine………………………………………………………………………… 27 Figure II.14 coordonnées articulaires de la 3éme chaine………………………………………………………………………… 27 Figure III.1 vitesse suivant l’axe X…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.2 vitesse suivant l’axe Y…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.3 vitesse suivant l’axe Z…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.4 vitesse articulaire de la 1ére chaine……………………………………………………………………………………… 38 Figure III.5 vitesse articulaire de la 2éme chaine……………………………………………………………………………………. 38 Figure III.6 vitesse articulaire de la 3éme chaine……………………………………………………………………………………. 38 Figure IV.1 Architecture de l'Ortho-glide………………………………………………………………………………………………. 40 Figure IV.2 Position quelconque du robot Ortho-glide dans l’espace……………………………………………………. 41 Figure IV.3 Présentation de la position du robot Ortho-glide pour les quatre vus………………………………… 41 Figure IV.4 Dessin d’ensembles……………………………………………………………………………………………………………… 42 Figure IV.5 Tige………………………………………………………………………………………………………………………………………. 43 Figure IV.6 Bras………………………………………………………………………………………………………………………………………. 44 Figure IV.7 Raccord……………………………………………………………………………………………………………………………..... 45 Figure IV.8 Chape………………………………………………………………………………………………………………………………….. 46 Figure IV.9 Chape…………………………………………………………………………………………………………………………………... 47 Figure IV.10 Bride…………………………………………………………………………………………………………………………………….. 48 Figure IV.11 Raccord……………………………………………………………………………………………………………………………...... 49 Figure IV.12 Plate Forme………………………………………………………………………………………………………………………….. 50 Figure IV.13 Vérin Moteur……………………………………………………………………………………………………………………….. 51 Figure IV.14 Outille………………………………………………………………………………………………………………………………..... 52 Figure IV.15 Guide Porte Outille ……………………………………………………………………………………………………………… 53 Figure IV.16 Pièce a Soudé…………………………………………………………………………………………………………………….. 54 Figure IV.17 Les paramètres d’inertiels du Tige par rapport au centre de gravité……………………………………. 55 Figure IV.18 Les paramètres d’inertiels du Bras par rapport au centre de gravité……………………………………. 56
Figure IV.19 paramètres d’inertiels du Bride par rapport au centre de gravité………………………………………… 57 Figure IV.20 Les paramètres d’inertiels du Raccord par rapport au centre de gravité………………………………. 57 Figure IV.21 Figure IV.21:Les paramètres d’inertiels du Chape Par rapport au repère pR ……………….. 58
Figure V.1 Bilan des efforts au centre de gravité…………………………………………………………………………………… 63 Figure V.2 Forces extérieure appliquées au point P (à refaire)………………………………………………………………. 67 Figure V.3 Schéma du programme MATLAB(Simulink) utilisé pour la simulation du robot Ortho-
glide………………………………………………………………………………………………………………….………………….. 68
Figure V.4 Force de 1er vérin………………………………………………………………………………………………………………….. 70 Figure V.5 Force de 2eme vérin……………………………………………………………………………………………………………….. 70 Figure V.6 Force de 3eme vérin……………………………………………………………………………………………………………….. 70
Liste des Tableaux
Tableau II.1 : Paramètres géométriques du repère du 1er coprs de la chaine cinématiquei (pour i = 1 à 3)…. 17 Tableau II.2 : Tableau II.2 : Les 9 Paramètres géométriques de la chaine cinématique………………………………… 17
Résumé
Le travail développé dans ce mémoire concerne la modélisation géométrique,
cinématique et dynamique d’un robot parallèle appelé Orto-glide [Gue03]. Ce type de robot
fait partie de la classe des robots rigide parallèles comportant des chaînes fermées
complexes. Nous présentons en premier lieu une étude détaillée sur les modèles
géométrique, cinématique. En deuxième lieu on propose une conception du robot sur le
logiciel solide-works permettant ainsi de recueillir les données inertielles nécessaire pour le
calcul des forces sur le robot par l’utilisation du formalisme de newton-euler. Les résultats de
la simulation obtenus par la réalisation d’un programme sur matlab-simulink confirment la
validité de la modélisation et la conception proposée.
Mots clés : Robots parallèle, Orto-glide, modélisation cinématique, dynamique, conception.
Sommaire
Introduction générale……………………………………………………………….
1
Chapitre I : Etat de l’Art
I.1 Introduction……………………………………………………………………. 3
I.2 Constituants d'un robot…………………………………………………………. 3
I.3 la robotique parallèle :………………………………………………………….. 4
I.4 Caractéristiques d'un robot……………………………………………………… 6
I.5 Différents robots parallèles……………………………………………………... 7
I.5.1 Robot à deux degrés de liberté………………………………………………... 7
I.5.2 Robots a Trois degrés de liberté ..……………………………………………. 7
I.5.3 Robots a Quatre degrés de liberté……………………………………………. 9
I.6 Les robots hybrides……………………………………………………………... 10
1.7Conclusion……………………………………………………………………… 11
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
II.1. Introduction………………………………………………………………… 12
II.2. Description du robot Ortho-glide…………………………………………….. 12
II.2.1. Le robot Ortho-glide………………………………………………………... 12
II.2.2. Données numériques……………………………………………………….. 18
II.3. Modélisation Géométrique…………………………………………………… 19
II.3.1. Modèle géométrique direct de la chaîne cinématique i…………………… 20
II.3.2 Modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i et du robot……….. 22
II.4 Application : suivi d’une trajectoire complexe dans l’espace par le robot
ortho-glide ………………………………………………………………………….
25
II.4.1 : formule mathématique de la trajectoire hypocycloïde……………………… 25
II.5 les déplacements de la plate forme selon les trois axes……………………….. 26
II.6 Les coordonnées articulaires des trois chaines………………………………. 27
II.7 Conclusion……………………………………………………………………. 28
Chapitre III : Modélisation cinematique du robot Ortho-glide
III.1 Introduction ……………………………………………………………….. 29
III.2 Définition de la Jacobienne………………………………………………… 29
III.2.1 Calcul de la matrice Jacobienne de base…………………………………… 29
III.2.2 Calcul de la matrice i
nJ…………………………………………………….
30
III.2.3 Calcul du modèle cinématique inverse (MCI)……………………………… 31
III.3 Application au robot ortho-glide…………………………………………….. 31
III.3.1 Modélisation cinématique…………………………………………………. 31
III.3.2 Modèle cinématique du robot………………………………………………. 36
III.4 les vitesses de déplacement de la plate forme selon les trois axes…………. 37
III.5 les vitesses articulaires (qp1,qp2,qp3)pour les trois chaine………………… 38
III.6 Conclusion………………………………………………………………… 39
Chapitre VI : Conception avec SolidWorks
IV.1 Introduction………………………………………………………………….. 40
IV.2 Robot Ortho-glide…………………………………………………………… 40
IV.3 Positionnement d’Ortho-glide sur l’logiciel (SolidWorks)………………….. 41
IV.4 Conception des composants du corps d’Ortho-glide…………………………. 42
IV.5 Paramètres inertiels…………………………………………………………... 55
IV.6 Conclusion…………………………………………………………………… 59
Chapitre VI :L'etude Dynamique du robo Ortho-glide
V.1. Introduction………………………………………………………………… 60
V.2 Notation…………………………………………………………………….. 60
V.3 Le modèle dynamique inverse (MDI)…………………………………………. 61
V.3.1. Formalisme de Newton Euler……………………………………………… 62
V.4 Calcul du modèle dynamique inverse de la chaine cinématique i…………….. 66
V.4.1 Calcul 0fi en utilisant le modèle dynamique de la chaine cinématique i……. 66
V.4.2 dynamique de la plate-forme………………………………………………. 67
V.5 Résultats de l’application sur le robot ortho-glide……………………………. 69
V.6 conclusion……………………………………………………………………… 72
Conclusion générale……………………………………………….. 73
Introduction générale
1
Introduction générale
La robotique est un ensemble de disciplines techniques (mécanique, électronique,
automatique et informatique) articulées autour d’un objectif et d’un objet communs. Cet
objectif est l’automatisation flexible de nombreux secteurs de l’activité, et l’objet est le robot,
sorte de machine universelle dont l’homme rêve depuis toujours [Fis 04].
Ces robots sont en train de révolutionner l’industrie moderne. Ils s’avèrent particulièrement
précieux dans de nombreuses applications industrielles, en particulier la manutention, la
peinture, la soudure, le contrôle et l’assemblage mécanique…etc.
Les robots industriels, tout comme les unités de fabrication modernes, ne sont autres que
des systèmes automatisés de haut niveau qui utilisent des ordinateurs comme partie intégrante
de leur chaîne d’asservissement. Ces systèmes sont des appareils où le mécanisme de
préhension, appelé manipulateur, simule les gestes d’un bras humain. Il possède donc des
articulations que l’on appelle, par analogie, épaule, coude ou poignet [Che09].
On peut dire que ce temps est l’ère de la robotique qui a investi beaucoup de domaines par
des différentes recherches scientifiques, ces domaines sont les suivants [Fis 04] :
- Le domaine de la production qui est caractérisé par la répétition des taches à accomplir,
la production de séries moyennes, meilleurs utilisation de la capacité de production, le
caractère pénible ou dangereux des opérations, la qualité du produit et la manutention.
-Le domaine de l’exploitation caractérisé par l’exécution des opérations d’accès difficile
comme l’exploitation forestière, la construction, les lignes électriques…et aussi le milieu
hostile ou dangereux pour l’homme comme le milieu sous marin, spatial….
-Le domaine de l’assistance individuelle aussi caractérisé par le remplacement de
l’homme dans les taches fatigante ou dangereuses exemple la robotique médicale permettant
d’améliorer les conditions de vie des personne handicapées…
Un robot manipulateur est constitué par deux sous-ensembles distincts, un organe terminal
(dispositif destiné à manipuler des objets) et une structure mécanique articulée (architecture
composée de plusieurs chaînes de corps rigides assemblés par des liaisons appelées
articulations). Les chaînes peuvent être soit ouvertes ou en série (tous les corps ont au plus
deux liaisons), arborescentes (au moins l’un des corps a plus de deux liaisons) ou fermées
(l’organe terminal est relié à la base du mécanisme par plusieurs chaînes).
Les robots les plus répondus et les plus connus sont les robots sériels qui sont composés
d’une chaîne cinématique ouverte. Ces manipulateurs sont capables d’atteindre un grand
espace de travail, mais ne peuvent garantir une grande précision quand à la position et
l’orientation de son organe terminale. En effet, les erreurs de positionnement et d’orientation
s’additionnent de la base à l’effecteur. Les manipulateurs sériels présentent aussi
l’inconvénient d’un faible rapport charge/poids, En effet, en plus du poids des membrures
s’ajoutent le poids des moteurs qui sont placés au niveau des articulations. D’un autre coté,
ces manipulateurs présentent des faiblesses au niveau de rigidité, vu que les membrures
supportent le poids des moteurs qui entraîne une déformation en flexion. Les manipulateurs
Introduction générale
2
sériels ne devraient donc pas être conçus pour des applications nécessitantes une grande
vitesse, une grande rigidité et charge.
Les besoins en robotique sont, la précision qui est une exigence majeur pour beaucoup de
tâche (par exemple la fabrication), quant à la dynamique nous savons que les robots série ne
permettent pas d’effectuer des taches pour les quelles une rapidité de réaction est nécessaire.
Un autre point important est la notion de complaisance. D’une manière générale, si l’on
soumet l’organe terminal d’un manipulateur à un torseur de forces sa position subira de
légères variations : c’est le phénomène de complaisance. Donc certaines applications en
robotique nécessitent un manipulateur pour l’exécution des mouvements fins, qui doit être
doté d’une grande précision, et pouvoir manipuler une charge pouvant être élevée [Amo11].
Un autre manipulateur est en train de ce développer, ce sont est les manipulateurs
parallèles jouissent d’une grande précision, rigidité et rapport, charge/poids, en effet, les
membrures ne supportent pas les poids des moteurs ce qui améliore la rigidité et la précision,
en plus, et grâce à leur chaîne cinématique fermée, les erreurs de positionnement et
d’orientation ne s’additionnent pas mais s’annulent
Un manipulateur parallèle est un mécanisme à chaîne cinématique fermée, composé d’un
organe terminal possédant n degrés de liberté, souvent appelé « plate-forme », d’une base fixe
et de plusieurs chaînes cinématiques indépendantes reliant cette dernière à la plate-forme.
Chaque chaîne cinématique se compose de segments articulés et motorisée par un actionneur
à un degré de liberté qui peut être linéaire (prismatique) ou rotatif (rotoïde).
Parmi ces manipulateurs on trouve robot ortho-glide composée d’une plate-forme mobile
liée à une base par l’intermédiaire de 3chaînes cinématiques, chaque chaîne cinématique est
composée de huit articulations, (7 articulations rotoïdes passives), un vérin (une articulation
prismatique motorisée) [Gue03],[Wen02].
Chapitre I : Etat de l’Art.
Chapitre 1 : Etat de l’Art
3
I.1 Introduction :
Un robot est un dispositif mécatronique (alliant mécanique, électronique et
informatique accomplissant automatiquement soit des tâches qui sont généralement
dangereuses, pénibles, répétitives ou impossibles pour les humains, soit des tâches plus
simples mais en les réalisant mieux que ce que ferait un être humain.
le terme robot apparaît pour la première fois dans la pièce de théâtre (science-fiction) de
l'auteur Karel Čapek : R. U. R. (Rossum's Universal Robots). Le mot a été créé par son
frère Josef à partir du mot tchèque « robota » qui signifie « travail, besogne, corvée ».
Les premiers robots industriels apparaissent, malgré leur coût élevé, dans le début des
années 1970. Ils sont destinés à exécuter certaines tâches répétitives, éprouvantes ou toxiques
pour un opérateur humain : peinture ou soudage des carrosseries automobiles. Aujourd'hui,
l'évolution de l'électronique et de l'informatique permet de développer des robots plus précis,
plus rapides ou avec une meilleure autonomie. Industriels, militaires ou spécialistes
chirurgicaux rivalisent d'inventivité pour mettre au point des robots assistants les aidant dans
la réalisation de tâches délicates ou dangereuses. Dans le même temps apparaissent des robots
à usages domestiques : aspirateur, tondeuses, etc. La robotique possède de nombreux domaines
d'application. Les robots ont été installés dans les industries, ce qui permet de faire des tâches
répétitives avec une précision constante. À la suite de l'évolution des techniques on retrouve
des robots dans des secteurs de pointe tels que le spatial, médecine, chez les militaires.
Depuis quelques années on les retrouve même à domicile.
I.2 Constituants d'un robot :
Un robot manipulateur est constitué par deux sous-ensembles distincts, un organe
terminal (dispositif destiné à manipuler des objets) et une structure mécanique articulée
(SMA) (architecture composée de plusieurs chaînes de corps rigides assemblés par des
liaisons appelées articulations). Les chaînes peuvent être soit ouvertes ou en série (tous les
corps ont au plus deux liaisons), arborescentes (au moins l’un des corps a plus de deux
liaisons) ou fermées (l’organe terminal est relié à la base du mécanisme par plusieurs
chaînes). Ces différentes structures sont montrées dans la Figure I.1 [Amo11].
Chapitre 1 : Etat de l’Art
4
Figure I.1: Architectures de robot
I.3 la robotique parallèle :
Un robot parallèle est un mécanisme dont l'architecture lui confère des propriétés
remarquables dont la définition scientifique, est un Mécanisme en chaîne cinématique fermée
dont l'organe terminal est relié à la base par plusieurs chaînes cinématiques indépendantes.
En quelques sortes, l'organe terminal ou effecteur — partie qui agit sur l'environnement,
l’outil est relié au bâti par plusieurs bras, chaque bras étant une « chaîne cinématique »
(association de plusieurs pièces articulées entre elles). Sa mobilité est donc restreinte,
puisqu'elle est limitée par les divers bras ; par contre, cela confère une plus grande résistance
et précision, puisque les efforts sont répartis.
Le plus répandu parmi les mécanismes parallèles est connu sous des dénominations
comme « hexapode », « plate-forme de Gough-Stewart », « plateforme synergétique ». Il peut
se présenter sous différentes formes mais comporte en général 6 actionneurs identiques dont
le couplage assure les qualités du système : 6 degrés de liberté dans les déplacements c’est-à-
dire x, y, z, tangage, lacet et roulis.
le premier l’hexapode octaédrique afin de tester des pneus en appliquant des charges
(Figure I.2)
Chapitre 1 : Etat de l’Art
5
Figure I.2 : Le premier hexapode octaédrique à sa naissance en 1957
et peu avant son transfert dans un musée en 2000 (dunlop tyres)
Avant l’ère de l’information, le premier inventeur n’était pas nécessairement celui qui
rend son invention populaire. En 1965, le célèbre article de Stewart a été publié. Dans cet
article, M. Stewart décrit essentiellement le croquis d’une variante de l’hexapode et propose
qu’elle soit utilisée comme simulateur de vol. Mais cette variante est très loin de la
géométrie de l’octaèdre. Puisque cet article a eu un impact majeur sur le monde académique
et déclenché la recherche sur la robotique parallèle, les hexapodes octaédriques sont souvent
appelés plate- forme de Stewart. Mais ironiquement, ce n’est pas Stewart non plus qui est
le pionnier de l’industrie des simulateurs de vol. En 1962, le Franklin Institute Research
Laboratories aux États-Unis demande à son employé, l’ingénieur Klaus Cappel
(récemment décédé) d’améliorer rigidité d’un MAST avec sept cylindres. C’est en
essayant d’éliminer la redondance, et sans connaître les travaux du Dr. Gough, que M.
Cappel réinvente l’hexapode octaédrique (Figure I.3).
Chapitre 1 : Etat de l’Art
6
Figure I.3 : Le premier héxapode octaédrique utilisé dans un simulateur de vol, construit autour de 1965 (klaus cappel)
En 1967, M. Klaus obtient un brevet américain pour son invention et l’utilisation de
son invention comme simulateur de mouvement. Les fabricants de simulateurs de vols
(Link et ensuite autres) ont immédiatement adopté la nouvelle architecture et pendant deux
décennies se sont conformé au brevet. Ainsi, c’est l’ingénieur Klaus Cappel qui est le
véritable pionnier qui a lancé l’industrie de la robotique parallèle. Après une quinzaine
d’années sans nouveaux développements, voilà qu’en 1983, le Pr Kenneth Hunt publie un
article qui propose une grande partie des architectures parallèles utilisé dans l’industrie
aujourd’hui. Ce qui suit, c’est un boom exponentiel de projets de recherches en robotique
parallèle. Parallèlement, plusieurs compagnies se sont lancées dans la production de robots
parallèles [Lad15].
I.4 Caractéristiques d'un robot
Un robot doit être choisi en fonction de l'application qu'on lui réserve. Voici quelques
paramètres à prendre, éventuellement, en compte :
La charge maximum transportable (de quelques kilos à quelques tonnes), à
déterminer
dans les conditions les plus défavorables (en élongation maximum).
L’architecture du SMA, le choix est guidé par la tâche à réaliser.
La répétabilité, ce paramètre caractérise la capacité que le robot a à retourner
vers un point (position, orientation) donné. La répétabilité correspond à
l'erreur maximum de positionnement sur un point prédéfini dans le cas de
trajectoires répétitives. En général, la répétabilité est de l’ordre de 0,1 mm
Chapitre 1 : Etat de l’Art
7
La vitesse de déplacement (vitesse maximum en élongation maximum),
accélération.
La masse du robot.
Le coût du robot.
La maintenance, …[Amo11]
Les robots parallèles se différencient principalement par le nombre de degré de liberté (ddl).
I.5 Différents robots parallèles
I.5.1 Robot à deux degrés de liberté :
Ce sont des robots simples utilisés dans les lignes de production lentes
ou Intermittentes, seuls deux ddl sont nécessaires : les translations suivant x et z
(architecture 2T). Dans l’exemple présenté à la Figure I.4.
Figure I.4 : Exemple d’application pour un robot à 2 ddl
I.5.2 Robots a Trois degrés de liberté :
Il y a quelque déférent types des robots à Trois degrés de liberté:
Les mécanismes 2T1R sont utilisés dans des applications dont lescaractéristiques sont
similaires au cas précédent (ligne très lente ou intermittente), maisl'objet à manipuler
demande à être orienté.
Les ddl de ces mécanismes doivent donc être deux translations en x et z et une rotation
autour de z. Un exemple de ce type d'application est présenté à la (Figure I.5a).
Chapitre 1 : Etat de l’Art
8
Le mécanisme 3T dans le cas d’applications rapides pour les quelles un suivi de
convoyeur (appelé « tracking ») est indispensable, l’organe terminal du robot doit
pouvoir se déplacer suivant les trois translations x, y, z. Un exemple de ce type
d’application est présenté à la Figure I.5b Le mécanisme 3T dans le cas d’applications
rapides pour les quelles un suivi de convoyeur (appelé «tracking ») est indispensable,
l’organe terminal du robot doit pouvoir se déplacer suivant les trois translations
x, y, z. Un exemple de ce type d’application est présenté à la (Figure I.5.b).
a) application nécessitant 2T1R b) application nécessitant 3T
Figure I.5 : Exemple d’application utilisant des mécanismes à 3ddl
Les robots parallèles présentent de nombreux avantages pour les tâches de pick-and-place
(prise et pose d’un objet), notamment grâce à leur surprenante vélocité. Ainsi le célèbre robot
Delta (Figure.6), avec ses trois degrés de liberté en translation, permet de manipuler un objet
dans les trois directions de l’espace avec des cadences de plusieurs Hertz sur de distances
de quelques centimètres voire dizaines de millimètres.
Chapitre 1 : Etat de l’Art
9
Figure I.6 : Robot Delta à 3 degrés de liberté
I.5.3 Robots a Quatre degrés de liberté :
Le Delta à quatre degrés de liberté Afin de répondre aux besoins des applications de
manipulation d’objets, l’architecture Delta, originalement pourvue de trois ddl, fut modifiée
afin d'y ajouter une quatrième mobilité. Ainsi, la rotation est obtenue en ajoutant une liaison
rotoïde à la plateforme dont la rotation est commandée à l'aide d'une chaîne cinématique de
type RUPU (Figure I.7).
Figure I.7 : Représentation du Delta à 4 ddl (ABB)
Chapitre 1 : Etat de l’Art
10
I.6 Les robots hybrides
Nous avons vu que les manipulateurs à structure ouverte avec des corps montés en
sérient des avantages et des inconvénients, leur avantage l’espace de travail, les inconvénients
de ces systèmes sont relativement lents dans leur réponse et peuvent manquer de rigidité.
Pour les manipulateurs parallèles ont un espace de travail réduit mais leur rigidité, la grande
vitesse et la précision est plus importante. L’idée des structures hybrides série-parallèle c’est
de combinais les avantages des deux structures parallèles et sérielles, la structure hybride
consistant à disposer en série des modules de structure parallèle. Parmi les réalisations de ce
genre de structures, on trouve le robot hybride de [Zhang] qui est constitué de deux
manipulateurs parallèles mis en série (Figure I.8), chaque manipulateur a 3 ddl, la plate-
forme inférieure et supérieure contrôlent respectivement la position et l’orientation de
l’effecteur. Ce type de manipulateur permet de découpler la position et l’orientation de
l’organe terminal. On trouve une autre structure similaire dans (Figure I.9).
Figure I.8 : Un robot hybride découplé composé de deux robots parallèles mis en série
Figure I.9 : Un robot hybride à 6 ddl
Chapitre 1 : Etat de l’Art
11
I.7 Conclusion :
Dans ce chapitre nous avons présenté comment les robots parallèles sont développés depuis le
premier hexapode octaédrique de Gough-Stewart en 1947 pour tester les pneus en appliquant
des charges, en 1965 le célèbre article de Stewart décrit l’hexapode et propose qu’elle soit
utilisée comme simulateur de vol. Nous avons aussi cité les robots parallèles utilisés dans les
différents domaines en les classant selon les nombres des degrés de liberté, comme exemple :
- Les mécanismes à deux et trois degrés de liberté utilisée aux taches de pick-and-place
(prise et pose d’un objet).
- Le célèbre robot Delta créé en 1985 qui a révolutionné les robots parallèles moins de six
degrés de liberté et qui présente de nombreux avantages pour les tâches de pick-and place
Dans les trois directions (robot Delta de 3 ddl) et la manipulation des objets dans les trois
directions avec orientation (robot Delta de 4 ddl).
-Les structures hybrides série-parallèle qui combinent les avantages des deux structures
parallèles et sérielles [Amo11].
Chapitre II : Modélisation géométrique
du robot ortho-glide.
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
12
II.1. Introduction
La conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles
mathématique tels que les modèles de transformation entre l’espace opérationnel (dans lequel
est définie la situation de l’organe terminal) et l’espace articulaire (dans lequel est définie la
configuration du robot).
On distingue parmi ces modèles :
- les modèles géométriques direct et inverse, qui expriment la situation de l’organe terminal
en fonction des variables articulaires du robot et inversement.
- les modèles cinématique direct et inverse, qui expriment la vitesse de l’organe terminal en
fonction des vitesses articulaires du robot et inversement.
La modélisation géométrique des robots existe depuis le début des années 1970 avec un
développement spécialement important dans les années 80. Il existe donc de nombreux outils
et formalismes mis au point dans le cadre de la modélisation des robots. Il faut toutefois noter
que la grande majorité des ouvrages sur la robotique ne prennent en compte que l’étude de la
modélisation des robots sériels, car ce sont les plus utilisés et les mieux maîtrisés dans le
monde industriel. Dans la première partie du chapitre, et comme les robots parallèles sont des
structures fermées, les chaînes cinématiques par rapport à la base forment une structure
arborescente et la chaîne cinématique est une structure ouverte simple. On décrit d’abord les
différentes descriptions géométriques telles que, la description géométrique d’une structure
ouverte
simple, la description géométrique d’une structure arborescente et la description géométrique
des structures fermées puis la description de la plate-forme de 3ddl.
II.2. Description du robot Orth-oglide
II.2.1. Le robot Ortho-glide
L'Ortho-glide est un robot parallèle à trois degrés de liberté en translation. Il est composé
d'une plate-forme mobile et de trois chaînes cinématiques identiques. Chaque chaîne est
composée d'un actionneur prismatique (P) liant la base à la chaîne (point Ai pour i = 1, 2, 3)
d'une articulation rotoïde (R), d'une articulation de type parallélogramme (Pa) et d'une
articulation rotoïde liant la chaîne à la plate-forme (figure II.1).
Le robot a une structure complexe avec 2 boucles spatiales et 3 boucles planaires.
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
13
La structure arborescente équivalente est obtenue en isolant la plate-forme et en coupant les
trois articulations passives q8i (i = 1, 2, 3) (figure II.2) :
Figure II.1 :Architecture de l'Ortho-glide
Figure II.2 :Description du robot Ortho-glide
Parce que son architecture se rapproche des machines standards d'architecture série PPP
(espace de travail Cartésien régulier et performances uniformes) et avec, en plus,les propriétés
des structures parallèles (inerties moins importantes et meilleures performances dynamiques)
l'Ortho-glide est dédié à l'usinage à grande vitesse. Son espace de travail est proche d'un cube
et ne possède aucune singularité à l'intérieur de cet espace. Il existe une configuration, appelée
position isotrope, où la matrice jacobéenne est isotrope avec tous ces facteurs d'amplification
de vitesse égaux à 1.
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
14
Figure II.3 :Placement des repères sur la chaîne cinématique i
Les axes des trois actionneurs se coupent au point K, qui sert d'origine pour le repère fixe
RK. Les axes XK, YK, ZK sont définis par les axes des trois actionneurs (q1i), respectivement
q12,q13, q11. Nous définissons également deux repères : le repère R0 fixe par rapport à la base
et le repère RP fixe par rapport à la plate-forme, respectivement d'origine A1 et P. Leurs axes,
respectivement
(X0, Y0, Z0) et (XP, YP, ZP), sont parallèles aux axes (Xk , Yk , Zk). De plus, nous introduisons
3 repères R0i d'origine Ai. Leurs axes sont définis de la manière suivante : l'axe z0i est le long
de l'axe de l'actionneur i et le plan (X0i, Z0i) est défini pour i = 1 à 3 respectivement par :
(A1, K, A2), (A2, K, A3), (A3, K, A2). La Figure II.4 indique l'emplacement de ces repères :
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
15
Figure II.4 : Repère de la base R0 et repère de la plate-forme RP
Le placement des repères d'une chaîne cinématique est indiqué sur la Figure II.3. On peut
remarquer que l'on utilise deux repères R8i et R9i, pour l'articulation coupée q8i. Les
paramètres géométriques nécessaires pour définir le repère du 1er corps de chaque chaîne
cinématique R1i, dans le repère de base du robot R0, sont donnés dans le Tableau II.1. Le
Tableau II.2 donne la description du reste de chaque chaîne cinématique : Les six paramètres
permettent de construire la matrice de passage iTj du repère Rj au repère Ri , cette matrice est
donnée par la relation suivante :
iTj= Rot(z, γj)×Trans(z, bj)×Rot(x, αj)×Trans(x,dj)×Rot(z, θj)×Trans(z,rj)
Pour le passage du repère Ri au repère Rj, on définit les 6 paramètres géométriques suivants
(figureII.5) :
- γj : angle entre xi et uj autour de l’axe zi
- bj : distance entre xi et uj le long de zj
- αj : angle entre les axes zi et zj est une rotation autour de uj
- dj : distance entre zi et zj le long de uj
- θj : angle entre les axes xi et uj correspondant à une rotation autour de zj
- rj : distance entre xi et uj le long de zj.
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
16
Figure II.5 :Paramètres géométriques pour une structure avec arborescence
i ij ji
j
1×3
A PT =
0 1
(II.1)
j j j j j j j j j j j j
ij j j j j j j j j j j j j
j j j j j
Cγ Cθ -Sγ Cα Sθ -Cγ Sθ -Sγ Cα Cθ Sγ Sα
A = Sγ Cθ +Cγ Cα Sθ -Sγ Sθ +Cγ Cα Cθ -Cγ Sα
Sγ Sθ Sα Cθ Cα
(II.2)
j j j j j
ij j j j j j
j j j
d Cγ + r Sγ Sα
P = d Sγ - r Cγ Sα
r Cα + b
(II.3)
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
17
C’est cette méthode qu’on va utiliser dans nos calculs car elle représente la forme générale de
la matrice de transformation qui décrit les robots aux structures ouvertes simples et s’étend
aux structures arborescente et fermée.
iJ iA(j ) jiμ jiσ
jiγ jib
ji jid
ji jir ji
l1 0 1 1 0 0 0 0 0 q11 0
l2 0 1 1 π/2 a π/2 0 0 -a+q12 0
l3 0 1 1 0 a π/2 0 π/2 -a+q13 0
Tableau II.1 : Paramètres géométriques du repère du 1er coprs de la chaine cinématique
i (pour i = 1 à 3)
iJ iA(j ) jiμ jiσ
jiγ jib
ji jid
ji jir ji
2i 1i 0 0 0 0 -π/2 0 q2i r2i 1
3i 2i 0 0 0 0 -π/2 0 q3i 0 1
4i 3i 0 0 0 0 0 D4i q4i 0 1
5i 4i 0 0 0 0 π/2 0 q5i r5i 1
6i 5i 0 0 0 0 0 D6i 0 0 1
7i 2i 0 0 0 7iΒ -π/2 0 q7i 0 1
8i 7i 0 0 0 0 0 D8i q8i 0 1
9i 4i 0 0 π/2 0 0 D9i 0 0 1
Tableau II.2 : Les 9 Paramètres géométriques de la chaine cinématique
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
18
On peut observer, sur la Figure II.3, les relations suivantes entre les paramètres géométriques,
pour i = 1 à 3 :
b7i = −2r2i
D9i = 2r2i
r5i= −r2i
D8i= D9i (II.4)
Le point terminal de chaque chaîne cinématique est le même. Il correspond à P, origine du
repère RP. La plate-forme n'ayant que 3 degrés de liberté en translation, il y a 3 variables
indépendantes (q1i, q2i et q3i) pour chaque chaîne cinématique i. En effet, on peut retrouver la
valeur des autres variables articulaires (q4i,q5i,q7i et q8i)à partir des équations de contrainte de
fermeture de boucle suivantes (pour i = 1 à 3) :
q7i= q3i
q8i= q4i= −q3i (II.5)
q5i= −q2i− /2
Le vecteur de gravité 0g exprimé dans le repère R0 est le suivant :
II.2.2. Données numériques :
Les valeurs théoriques des paramètres géométriques de chaque chaîne cinématique du
prototype du laboratoire sont (i = 1 à 3) :
D4i= 0.212m
D6i= 0.03m (II.6)
r2i= 0.04m
b = 0.1m
ai= 0.34m (II.7)
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
19
II.3. Modélisation Géométrique
Les notations suivantes seront utilisées :
0PP Vecteurs des coordonnées du point P exprimés dans le repère R0:
T0 0 0 0
p P,1 P,2 P,3P = P P P
(II.8)
0P0i : Vecteur des coordonnées du point Ai exprimés dans le repère R0:
T001P = 0 0 0
T T0 0 002 02,1 02,3 2 1P = P 0 P = a 0 a
(II.9)
T T0 0 003 03,2 03,3 3 1P = 0 P P = 0 a a
Le choix de l'emplacement du repère de base du robot au point Ai diminue le nombre de
coordonnées non nuls des vecteurs 0P0i (pour i=1 à 3) :
q : vecteur composé des positions des articulations indépendants de la chaine cinématique i :
T
i 1i 2i 3iq = q q q (II.10)
3i
π π- < q <
2 2
0Pp vecteurs des coordonnées du point P exprimées dans le repère R0 :
0 0 0 0
p P P,2 P,3P = P P P
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
20
II.3.1. Modèle géométrique direct de la chaîne cinématique i
Ce modèle donne les coordonnées cartésiennes du point P, exprimées dans le repère R0, en
fonction des variables articulaires indépendantes
(q1i, q2i, q3i pour i = 1 à 3). On calcule la matrice de transformation qui définit le repère R6i,
dont l'origine est l'extrémité de la chaîne cinématique i (point P), dans le repère de base du
robot R0. On parcourt une des branches du parallélogramme pour l'obtenir (Figure II3) :
0 0 1i 2i 3i 4i 5i
6i 1i 2i 3i 4i 5i 6iT = T T T T T T (II.11)
0 00 6i 6i
6i(1×3)
A PT =
0 1
(II.12)
Résultats obtenues par MATLAB :
En se basant de Tableau II.1 et Tableau II.2
Pour 0A61
syms q1 q2 q3 r2 D4 D6 q5 r5 B7 q7 D8 q8 D9 a
A61=[cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-
q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0
0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2
-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-
q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2), 0 ];
simplify(A61)
Pour 0P61
P61 = [D4*cos(q2)*cos(q3)-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2 +
cos(q2)*sin(q3)^2))
r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)
q1-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-
D4*cos(q3)*sin(q2)];
Pour 0A62
A62=[-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2 + sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-
q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2 + sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2),0
cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2 + cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-
q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0
0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2];
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
21
Pour 0P62
P62=[q1-a-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-
D4*cos(q3)*sin(q2)
D4*cos(q2)*cos(q3)-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2
+cos(q2)*sin(q3)^2))
a+r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)];
Pour 0A63
A63=[0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2
-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-
q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2),0
cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-
q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0];
Pour 0P63
P63=[r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)
q1-a-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-
D4*cos(q3)*sin(q2)
a-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-
q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2))+D4*cos(q2)*cos(q3)];
d’ou:
0
61
0 1 0
A = 0 0 1
1 0 0
et
41 21 31
0
61 41 21
11 41 21 21 61
D C C
P = -D S
q - D S C + D
(II.13)
0
62
1 0 0
A = 0 1 0
0 0 1
et
2 12 42 22 32 62
0
62 42 22 22
2 42 32
-a + q - D S C + D
P = D C C
a - D S
(II.14)
0
63
0 0 1
A = 1 0 0
0 1 0
et
42 33
0
63 3 13 43 23 33 63
3 43 23 33
-D S
P = -a + q - D S C + D
a + D C C
(II.15)
Avec C2i, S2i, C3i et S3i désignent respectivement cos (q2i),sin (q2i),cos(q3i) et sin(q3i).
T
0 0 0 0 0 0 0
61 62 63 P p,1 p,2 p,3P = P = P = P = P P P (II.16)
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
22
Dans la relation (II.11) : 0T1i peut être décomposer en deux matrices de transformation pour les chaînes cinématiques
2 et 3 (on rappelle que R01 est confondu avec le repère de base du robot R0) :
0 0 0i
1i 0i 1iT = T T (II.17)
Les matrices de transformation du repère R0i dans le repère R0 pour i = 2 à 3, s'écrivent :
0 0
01 010
01
(1×3)
1 0 0 0
A P 0 1 0 0T = =
0 1 0 0 1 0
0 0 0 1
2
0 0
02 020
02
(1×3) 1
0 0 1 a
A P 1 0 0 0T = =
0 1 0 1 0 a
0 0 0 1
(II.18)
0 0
03 03 30
03
(1×3) 1
0 1 0 0
A P 0 0 1 aT = =
0 1 1 0 0 a
0 0 0 1
(II.19)
II.3.2 Modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i et du robot
Le modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i donne les variables articulaires
indépendantes (q1i,q2i et q3i) en fonction des coordonnées (0PP,1 ,
0PP,2 et
0PP,3) du point P
exprimées dans le repère R0. Il existe deux solutions à ce modèle mais une seule est accessible
physiquement.
On retrouve facilement ces relations à partir des expressions de 0P6i (pour i = 1 à 3) données
par les équations (II.1), (II.2) et (II.3). On obtient de manière séquentielle les variables
articulaires indépendantes des 3 chaînes cinématiques, de la façon suivante :
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
23
-1 3i3i
4i
-Δq = sin
D
Avec physiquement : 32 2iq
(II.20)
-1 22i
34i
-Δq = cos
Di
iC
avec physiquement : 2i
0 < q (II.21)
21 311i 1i 4i 6iq = Δ +S C D -D (II.22)
011 ,3
021 ,1
031 ,2
Δ = P
Δ P
Δ P
P
P
P
,
012 P,1 2
022 P,2
032 P,3 1
Δ = P
Δ = P
Δ = P -a
a
et
013 P,2 3
023 P,3 1
033 P,1
Δ = P
Δ = P
Δ = P
a
a
(II.23)
On peut remarquer que le modèle géométrique inverse des chaînes cinématiques peut se
déduire aussi de la Figure II.5, en utilisant des équations géométriques élémentaires :
Figure II.6 : Recherche des équations géométriques pour le MGI de la chaîne cinématique i
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
24
A partir des relations (II.18), (II.19) et (II.20), on détermine le modèle géométrique inverse du
robot, qui donne les positions des actionneurs (q11,q12 et q13) en fonction des coordonnées
(0PP,1 ,
0PP,2 et
0PP,3 ) du point P [Gui03]
0P,3 31 21 41 61
110
12 P,1 32 22 42 62
013
P,2 33 23 43 63
P +C S D -Dq
q = P +a +C S D -D
q P +a +C S D -D
(II.24)
-1 031 P,2 41q = sin - P / D et -1 0
21 P,1 31 41q = cos P / C D
-1 032 P,3 1 42q = sin - P +a / D et -1 0
22 P,2 32 42q = cos P / C D (II.25)
-1 033 P,1 43q = sin - P +D et -1 0
23 P,3 1 33 43q = cos P -a / C D
avec physiquement 20 iq et 32 2
iq
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
25
II.4 Application : suivi d’une trajectoire complexe dans l’espace par le
robot ortho-glide :
II.4.1 : formule mathématique de la trajectoire hypocycloïde :
qx = α[(q+1)cos(t)-cos(q+1)]t
qy = α[(q+1)sin(t)-sin(q+1)]t
Avec :
qb
α : le rayon du cercle de base
: le rayon du cercle qui entoure le cercle de base b
q : lenombre du cercle qui entoure le cercle de base
Figure II.7 : Trajectoire Hypocycloïde suivie par l’ortho-glide
Figure II.8 : Présentation de la trajectoire suivit par le robot Ortho-glide
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
26
II.5 les déplacements de la plate forme selon les trois axes :
Figure II.8 : déplacement suivant l’axe X
Figure II.9 : déplacement suivant l’axe Y
Figure II.10 : déplacement suivant l’axe Z
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
27
II.6 Les coordonnées articulaires des trois chaines
Figure II.11 : coordonnées articulaires de la 1ere chaine
Figure II.12 : coordonnées articulaires de la 2éme chaine
Figure II.13 : coordonnées articulaires de la 3éme chaine
On remarque que toutes les courbes représentées concordent exactement avec le suivi
de la trajectoire choisie, cela nous a permis la validation de la résolution du modèle
Géométrique inverse.
0 1 2 3 4 5 6 7 0.55
0.6
0.65
0.7 q
1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 1.6
1.7
1.8
1.9 q
2 [rad/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
les trois premières coordonnées sur la 3ème chaine q1,q2,q3
[q 3 rad/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 0.5 0.55 0.6
0.65 0.7
q 1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 1.4
1.6
1.8
2 q
2 [rad/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4
les trois premières coordonnées sur la 2ème chaine q1,q2,q3
q 3 [rad/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 0.55
0.6
0.65
0.7 q
1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 1.4
1.6
1.8
2 q
2 [rad/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2
0
0.2
0.4
les trois premières coordonnées sur la 1ère chaine q1,q2,q3
q 3 [rad/s]
Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide
28
II.7 Conclusion
Dans ce chapitre, une description géométrique du robot ortho-glide à été faite, on se
basant sur la structure arborescente équivalente minimale obtenue par la décomposition du
robot en deux parties à savoir la plate-forme et les chaînes cinématiques attachées à la base.
Ce qui nous a permis d’appliquer les différentes techniques utilisées pour le robot série,
arborescent ou à boucles fermées. La modélisation géométrique est basée sur le calcul du
modèle géométrique inverse qui est facile est unique contrairement au modèle géométrique
direct.
Après cette modélisation géométrique inverse du robot, on va aborder dans le chapitre
qui suit l’étude cinématique, qui va nous permettre de calculer les vitesses cartésiennes et
articulaires de tous les éléments constituants le robot.
Chapitre III : Modélisation cinématique
du robot ortho-glide.
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
29
III.1 Introduction :
Le modèle cinématique est littéralement un modèle des vitesses. Il exprime les relations
entre les vitesses articulaires de chaque liaison et les vitesses cartésiennes d’un corps de la
chaîne cinématique, généralement l’organe terminal.
Ce modèle est donc un modèle par accroissements infinitésimaux : chaque variation
élémentaire de la valeur d’une articulation implique une variation de position de l’organe
terminal, et inversement. Lorsque ces variations infinitésimales sont exprimées par rapport au
temps, on peut les considérer comme des vitesses.
Le modèle cinématique permet donc de compléter éventuellement le modèle géométrique
en tenant compte des vitesses.
III.2 Définition de la Jacobienne : Les mathématiciens parlent de matrice Jacobienne alors que les roboticiens utilisent plutôt
les termes Jacobien ou Jacobienne. C’est une matrice qui relie les vitesses de l’organe
terminal (la poignée du robot) aux vitesses articulaires du robot [Kha99].
v.
= J qw
V et ω sont les vitesses translationnelles et rotationnelles de l’organe terminal. Ces
composantes sont choisies pour pouvoir identifier d’une manière unique la vitesse de ce
dernier.
III.2.1 Calcul de la matrice Jacobienne de base
Si on écarte les méthodes de calcul symbolique permettant de dériver les équations du
modèle géométrique direct, On peut utiliser une méthode très répandue pour le calcul
cinématique, qui permet d’obtenir la matrice Jacobienne par un calcul direct fondé, d’une
part, sur la relation entre les vecteurs des vitesses de translation et de rotation Vn et wn du
repère n et les vitesses articulaires q , qui est donnée par:
.n
n
n
qv
Jw
(III.1)
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
30
III.2.2 Calcul de la matrice i
nJ
La matrice Jacobienne est souvent exprimée dans le repère de base R0 que dans le repère
de l’organe terminal n. D’une façon générale, projetée dans le repère i la matrice
Jacobienne notée i
nJ s’écrit :
1 ,1 1 1 1,
1 1
a a ... .. a a
a ...... an
nn n n n nnin
n
L LJ
1 1 ,1 1 1,
1 1
a a ... .. a a
a ...... an
i i i i
i i
n n n n nnin
n
L LJ
(III.2)
En remarquant que :
iak×
iLk,n =
iAk(
kkLk,n ) (III.3)
Avec :
kak=[ ]001
T (III.4)
iLk,n =
kPn = [ ] k
Pnx kPny
kPnz (III.5)
On calcule alors la kième
colonne de la matrice Jacobienne, notée iJn;k, projetée dans le repère
Ri par la formule :
, ,
,
(i k i k i
k k k n y k n x ki
n ki
k k
a P s P nJ
a
i = 0,…n ; k = 1,….n
Où:
- isk ,
ink et
iak : sont respectivement le 1
er , 2
ème et le 3
ème vecteurs de la matrice
iAk ;
- kPnx et
kPny : sont respectivement la 1
ère, 2
ème composantes du vecteur
kPn qui la quatrième
colonne de kTn calculée précédemment par le modèle géométrique direct.
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
31
III.2.3 Calcul du modèle cinématique inverse (MCI)
Le modèle cinématique inverse (MCI) d’unrobot permet de calculer à partir d’une
configuration q donnée les vitesses articulaires q qui assurent au repère terminal une vitesse
opérationnelle imposée, il est calculé par :
. .
1q J X (III.6)
Le calcul du modèle cinématique inverse revient à l’inversion de la matrice Jacobienne du
robot. Dans le cas régulier où la matrice Jacobienne est carrée d’ordre net son déterminant est
non nul, son inversion est simple.
III.3 Application au robot ortho-glide
III.3.1 Modélisation cinématique :
La chaine cinématique de notre robot i étant isolée de la plate-forme, et les articulations ,
et sont actives. Dans le modèle complet du robot, on rappelle que seules les
q1i (i = 1 à 3) sont motorisées.
Soit : qai le vecteur contenant les articulations actives, et qpi le vecteur contenant les
articulations passives.
1 2 3 q = q q q T
ai i i i (III.7)
Le modèle cinématique directe (MCD) de la chaine cinématique i donne la vitesse linéaire du
point Pi on fonction de la vitesse des articulations de la chaine cinématique
. . .
1 1 1( )i i iq q q
.0 0
P i iV J q
Où :
0
iJ =0
6iJ Est la matrice Jacobienne de la chaine cinématique
Et pour la simplifier on calcule la matrice (3*6) 6
6
i
iJ du point terminal de la chaîne
cinématique i exprimée dans le repère R6i :
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
32
.
0 0 6
6 6 ( )1
i
p i i iV A J Giq
(III.8)
On construit la matrice Gi à partir des équations de contrainte de fermeture de boucle (III.7)
de la manière suivante :
arii
ai
qG
q
q = q q ari ai pi (III.9)
On obtient :
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1
T
iG
(III.10)
Et il faut calculer la matrice Jacobienne :
D’après
, ,
,
(i k i k i
k k k n y k n x ki
n ki
k k
a P s P nJ
a
(III.11)
6 2 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6 6
6 1 6 2 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6
2 3 4 5 60
Y x Y x Y x Y x Y xa P s P n P s P n P s P n P s P n P s P nJ
a a a a a
(III.12)
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
33
Les remplacements dans la matrice [III.11] nous donnent les résultats suivants :
Si :k=1
1 1 2 3 4 5
6 2 3 4 5 6T T T T T T OU 1 1 2
6 2 6T T T
1
2
2 2 0 0
0 0 1 2
2 2 0 0
0 0 0 1
C S
rT
S C
; 2
3
2 3 0 0
0 0 1 0
3 3 0 0
0 0 0 1
C S
TS C
3
4
3 3 0 4
3 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C S D
S CT
; 5
6
1 0 0 6
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D
T
Si :k=2
2 2 3 4 5
6 3 4 5 6T T T T T
2
5
2 2 0 4 3
2 2 0 0
0 0 1 2 3 4
0 0 0 1
C S D C
S CT
r S D
2
6
2 2 0 2 6 4 3
0 0 1 2 6
0 1 0 3 4
0 0 0 1
C S C D D C
S DT
S D
; 2
6
2 0 0
2 0 1
0 1 0
T
C
A S
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
34
Si :k=3
3 3 4 5
6 4 5 6T T T T
3
5
3 2 2 3 3 2 3 4
3 2 3 2 3 2 3
2 2 0 0
0 0 0 1
C C S C S r S D
S C S S C r CT
S C
3
6
3 2 2 3 3 6 3 2 2 3 4
3 2 3 2 3 6 3 2 2 3
2 2 0 2 6
0 0 0 1
C C S C S D C C r S D
S C S S C D S C r CT
S C S D
; 3
6
3 2 3 2 2
2 3 3 2 2
3 3 0
T
C C S C S
A S C S S C
S C
Si :k=4
4
6
2 2 0 2 6
0 0 1 0
2 2 0 2 6
0 0 0 1
C S C D
TS C S D
; 4
6
2 0 2
2 0 2
0 1 0
T
C S
A S C
Si :k=5
5
6
1 0 0 6
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D
T
; 5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
TA
6
6
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
T
; 6
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
TA
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
35
Finalement après les simplifications on trouve :
0
1
0 4 3 2 4 2 3
0 0 4 3
1 4 3 2 4 2 3
D C S D C S
J D C
D C S D S S
; 0
2
1 4 3 2 4 2 3
0 4 3 2 4 2 3
0 0 4 3
D C S D S S
J D C S D C S
D C
0
2
0 0 4 3
1 4 2 3 4 2 3
0 4 3 2 4 3 2
D C
J D C C D S S
D C S D S C
(III.13)
On utilise l’inverse de la matrice Jacobienne pour le modèle cinématique inverse de la chaîne
cinématique i, qui s'écrit:
.0 1 0
i piq J V (III.14)
0 1
1
1/ 2 3 / 2 1
1 3 / 4 3 2 0
0 1/ 4 3 0
T T S
J T D C T
D C
0 1
2
1 1/ 2 3 / 2
0 1/ 4 3 2 3 / 4 3 2
0 0 1/ 4 3
T T S
J D C S T D C T
D C
0 1
3
3 / 2 1 1/ 2
3 / 4 3 2 0 1/ 4 3 2
1/ 4 3 0 0
T S T
J T D C T D C S
D C
(III.15)
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
36
III.3.2 Modèle cinématique du robot
Le modèle cinématique inverse du robot donne la vitesse des variables prismatique
Motorisées
. . .
1 1 1( )i i iq q q : en fonction de la vitesse de la plate-forme :
.
0 1 0
p pJ Vlq
Où :
0 1
pJ : est la matrice Jacobienne inverse du robot que l'on retrouve en utilisant les 1ères
Lignes des matrices Jacobienne inverse des chaînes cinématiques :
0 1
1/ 21 31/ 21 1
1 1/ 22 32 / 22
33 / 23 1 1/ 23
p
T T S
J T T S
T S T
(III.16)
Avec :
2 2 3 3 3 3tan( ) S sin( ) tan( )i i i i i iT q q T q
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
37
III.4 les vitesses de déplacement de la plate forme selon les trois
axes :
Figure III.1 : vitesse suivant l’axe
Figure III.2 : vitesse suivant l’axe Y
Figure III.3 : vitesse suivant l’axe Z
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
38
III.5 les vitesses articulaires (qp1,qp2,qp3)pour les trois chaine :
Figure III.4 : vitesse articulaire de la 1ére chaine
Figure III.5 : vitesse articulaire de la 2éme chaine
Figure III.5 : vitesse articulaire de la 3éme chaine
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1
0 0.1 0.2
qp 1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2
0
0.2
0.4 qp
2 [rads/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4
les trois premières vitesses articulaires sur la 3éme chaine qp1,qp2,qp3
qp 3 [rads/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1
0 0.1 0.2
qp 1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4
qp 2 [rads/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1
0 0.1 0.2
les trois premières vitesses articulaires sur la 2ème chaine qp1,qp2,qp3
1
qp 3 [rads/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.1 -0.05
0 0.05 0.1
qp 1 [m/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4
qp 2 [rads/s]
0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4
les trois premières vitesses articulaires sur la 1ère chaine qp1,qp2,qp3
qp 3 [rads/s]
Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide
39
III.6 Conclusion :
Dans ce chapitre, une description cinématique du robot Orthoglide a été faite, on se basant
sur la structure arborescente équivalente minimale obtenue par la décomposition du robot en
deux parties : la plate-forme et les chaînes cinématiques attachées à la base. Ce qui nous a
permis d’appliquer les différentes techniques utilisées pour le robot série, arborescent ou à
boucles fermées, La modélisation cinématique du robot a été établie par le calcul du modèle
cinématique des chaînes cinématiques i et par le calcul de la matrice Jacobienne inverse du
robot parallèle. Ce calcul sera nécessaire pour compléter la modélisation dynamique par le
formalisme de Newton-Euler.
Chapitre IV : Conception avec
Solidworks.
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
40
IV.1 Introduction
La conception d’un manipulateur parallèle n’est pas une chose simple, car les robots
Parallèles présentent intrinsèquement des potentialités intéressantes, mais choisir une
Architecture, une géométrie pour les différents éléments mécanique du manipulateur dans le
but de satisfaire un cahier des charges définissant les contraintes d’exploitation Par exemple :
L’espace de travail, la précision, la vitesse d’exécution et le poids …etc est difficile.
Dans ce chapitre nous proposons une structure pour de robot Ortho-glide et nous donnons une
Description générale de sa structure.
L’idée de la conception et de proposer un prototype dont le calcul est basé sur une charge
Supposer supporter par la plate-forme. Le but de la conception est de calculer les paramètres
Inertiels : la masse, les moments d’inerties…..etc. par la programmation DAO/CAO utilisé
Pour la conception.
IV.2 Robot Ortho-glide
Le robot parallèle est composé d’une plate-forme mobile connectée à une base fixe par trois
Chaînes cinématiques extensible. Les longueurs des chaînes cinématiques sont actionnées par
Des articulations prismatiques actives. (Figure IV1,IV2, IV3)
Figure IV.1:Architecture de l'Ortho-glide
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
41
IV.3 Positionnement d’Ortho-glide sur l’logiciel (SolidWorks)
Figure IV.2 : Position quelconque du robot Ortho-glide dans l’espace
Figure IV.3 : Présentation de la position du robot Ortho-glide pour les quatre vues
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
42
IV.4 Conception des composants du corps d’Ortho-glide
Figure IV.4 : Dessin d’ensemble
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
43
Figure IV.5 : Tige
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
44
Figure IV.6 :Bras
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
45
Figure IV.7:Raccord
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
46
Figure IV.8:Chape
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
47
Figure IV.9:Chape
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
48
Figure IV.10:Bride
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
49
Figure IV.11:Raccord
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
50
Figure IV.12:Plate Forme
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
51
Figure IV.13:Vérin Moteur
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
52
Figure IV.14:Outille
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
53
Figure IV.15:Guide Porte Outille
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
54
Figure IV.16:Pièce a Souder
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
55
IV.5 Paramètres inertiels
Pièce N°02 : Tige
Figure IV.17 : Les paramètres d’inertiels du Tige par rapport au centre de gravité
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
56
Pièce N°03 : Bras
Figure IV.18:Les paramètres d’inertiels du bras par rapport au centre de gravité
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
57
Pièce N°07 : Bride
Figure IV.19 :Les paramètres d’inertiels du Bride par rapport au centre de gravité
Pièce N°08 : Raccord
Figure IV.20:Les paramètres d’inertiels du Raccord par rapport au centre de gravité
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
58
Pièce N°09 : Chape
Figure IV.21:Les paramètres d’inertiels du Chape
Par rapport au repère pR
Chapitre IV : Conception avec Solid-Works
59
IV.6 Conclusion
Dans ce chapitre on a proposé une conception mécanique prototype pour le robot parallèle
orth-glide sur lequel on a placé une plate-forme mobile de forme circulaire ou prismatique
centré par un trou pour l’emplacement d’un effecteur. La plateforme est liée à la base fixe
par trois chaines cinématiques identiques, chaque chaine cinématique est composée d’une
structure de forme parallélogramme elle-même formée de huit articulations dont une seule
active représentant un vérin qui est le seul actionneur motorisé, le vérin utilisé est un vérin
mécanique à vis, on peut utilisé aussi des vérins hydrauliques pour avoir de grande vitesses,
plus de précision et manipuler des charges lourdes. Le cahier de charge sur le quel est basé la
conception on trouve une seul contrainte qui est la charge supporter par la plate-forme, toute
les autres contraintes sont négliger ou prise aléatoirement comme l’espace de travail, la
vitesse et la précision car le but de la conception est d’avoir les paramètres inertiels
directement par la programmation DAO/CAO de la chaine cinématique et de la plate-forme,
qui sont présentés dans les pages 54-57.
Chapitre V : L’étude Dynamique du
Robot Ortho-glide.
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
60
V.1. Introduction
Tandis que les équations cinématiques décrivent le mouvement du robot sans
considération des forces et des moments produisant le mouvement, les équations dynamiques
décrivent explicitement le rapport entre les couples (et/ou forces) appliqués aux actionneurs et le
mouvement (positions, vitesses et accélérations articulaires).
Les principaux problèmes dans la dynamique du robot sont [ChE] :
* La dynamique directe : (donner les forces et établir les accélérations), elle est employée
principalement pour la simulation.
* La dynamique inverse : (donner les accélérations, établir les forces), elle a des diverses
utilisations, incluant : commande en ligne des mouvements et des forces de robot,
conception de trajectoire et optimisation, conception du mécanisme du robot et le calcul
des coefficients de l'équation du mouvement.
* L’identification des paramètres inertiels.
V.2 Notation
Les principales notations utilisées sont les suivantes :
im : la masse du corps Ci
g : accélération de la pesanteur.
i,0L : vecteur d’origine 0O et d’extrémité iO égal à i
0P .
iL : vecteur d’origine 1iO et d’extrémité iO égal à i
1iP
.
i et i : vitesse et accélération de rotation du corps Ci.
iV et iV : vitesse et accélération du point iO
GiV et GiV : vitesse et accélération du centre de gravité (Gi) du corps Ci
Ti 100 a
iF résultante des forces extérieures sur le corps Ci.
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
61
iC Moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Ci autour de Oi.
iS vecteur d’origine Oi et d’extrémité Gi.
h le tenseur du vecteur h tel que :
0hh
h0h
hh0
h
xy
xz
yz
:désigne le produit vectoriel.
ik tenseur d’inertie du corps Ci par rapport au repère Ri qui s’exprime par :
ii
ii
iii
22
22
22
i
IzIyzIxz
IyzIyIxy
IxzIxyIx
dm)yx(yzdmxzdm
yzdmdm)zx(xydm
xzdmxydmdm)zy(
k
GiI tenseur d’inertie du corps Ci par rapport à un repère parallèle à Ri et d’origine Gi.
if et ic résultante et moment du torseur dynamique exercé sur le corps Ci par son antécédent et par
l’actionneur i.
eif et eic résultante et moment du torseur dynamique exercé par le corps Ci sur l’environnement.
Tsn1ss FFF , avec siF le paramètre de frottement sec de l’articulation i.
Tvn1vv FFF , avec viF le paramètre de frottement visqueux de l’articulation i
V.3 Le modèle dynamique inverse (MDI)
Le modèle dynamique inverse (ou le modèle dynamique tout court) d’un robot permet de
déterminer les équations du mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux
actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires [KHA 99].
Il est exprimé sous la forme :
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
62
)f,q,q,q(f e
(V-1)
Dans cette équation et q,q,q sont, respectivement, les vecteurs de position, vitesse,
accélération et force, dans l’espace articulaire. Chacun est un vecteur de dimension n. Les
variables de force sont définies tels que Tq est la puissance fournie par au système. Ainsi, q
et qualifiés comme ensemble de variables généralisées de vitesse et de force pour le système.
ef est un vecteur (6) ; dénote la force externe agissant sur le robot, dû au contact avec
l'environnement ,ainsi le robot exerce une force de ef sur l'environnement.
Les deux principaux formalismes utilisés pour obtenir les équations différentielles qui
décrivent le comportement d'un mécanisme à plusieurs corps articulés sont le formalisme de
Newton (théorèmes généraux de la mécanique classique) et celui de Lagrange. [AIS 06]
V.3.1. Formalisme de Newton Euler
Cette méthode est fondée sur une double récurrence ; la récurrence avant de la base du robot
vers l’effecteur, calcule successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur
dynamique, une récurrence arrière de l’effecteur vers la base, permet le calcul des couples des
actionneurs en exprimant pour chaque corps le bilan des efforts. [KHA 99]
Les équations de Newton Euler expriment le torseur dynamique en iG des efforts extérieurs
sur un corps i par les équations :
)ω(IωωIC
VmF
iGiiiGiGi
Giii
(V-2)
Cette méthode permet d’obtenir un MDI non linéaire par rapport aux paramètres inertiels,
pour qu’il soit linéaire, le MDI doit être calculé en exprimant le torseur dynamique des efforts
extérieurs en iO plutôt que iG .
Les équations de Newton Euler ainsi modifiées s’écrivent :
iiiiiiii
iiiiiiii
VmS)k(kC
)mS(mSVmF
(IV-3)
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
63
Récurrence avant : elle permet de calculer iF et iC à partir de la relation (V-4)
Pour ce faire, il faut calculer iii V, et .
Les formules de composition des vitesses donnent :
......n1iaq)P(VV
aq
iiii
1i
1i1ji
iii1ii
(V-5)
La dérivée de l’équation (IV-4) par rapport au temps s’écrit :
...n1i)aqaq()aqP()P(VV
)aqaq(
iiiiiiiiiii
1i
iiiii
1i
1i1ji
iiiiiii1ii
(V-6)
Ce qui donne :
)aq2aq()P()P(VV iiiiiiii
1i
iiiii
1i
1i1ji
(V-7)
On peut finalement calculer iF et iC , on initialise cette récurrence par 0V,0 00 et
00 .
Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à
partir du bilant des efforts sur chaque corps, écrit à l’origine iO , on obtient (FigureV.1)
eiii1i1i1iii
eii1iii
cgmSfLccC
fgmffF (V-8)
Figure V.1 : Bilan des efforts au centre de gravité
On peut faire intervenir l’effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans le bilan des
i-1 i+1
Oi+1 Oi
Gi
Li+1
Si
i -fi+1
fi - fei
ci-cie -ci+1
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
64
efforts, pour cela on prend:
gV0 (V-9)
D’où l’on tire les équations suivantes :
ei1i1i1iii
ei1iii
cfLcCc
ffFf (V-10)
On obtient alors les couples aux actionneurs i en projetant, suivant la nature de
l’articulation i, les vecteurs if ou ic sur l’axe du mouvement :
i
T
iiiii a)cf( (V-11)
Les frottements doivent être pris en compte dans l'équation dynamique. Le modèle du type
frottement sec (ou de Coulomb) fait l'hypothèse d'un couple constant de frottement en opposition au
mouvement. Au début du mouvement (vitesse nulle), un couple supérieur au couple de frottement
sec doit être développé pour amorcer le mouvement. De nombreuses études ont été réalisées afin de
mieux analyser les frottements, menant à l'approximation suivante [VIV 04] :
) visif Fq(DiagF)]q(Sign[Diag (V-12)
On ajoute à ’équation (V-10) les termes correctifs représentant l’effet des frottements et des
inerties des actionneurs, aiI , ce qui nous donne la relation suivante :
iaiifi
T
iiiii qIa)cf( (V-13)
Les inerties des actionneurs sont calculées comme suit :
mi
2
iai JNI (V-14)
miJ est le moment d'inertie du rotor de l'actionneur i, iN est le rapport de réduction de l'axe i égal à
imi q/q et miq désigne la vitesse du rotor de l'actionneur i.
On déduit directement de l’équation (V-9) que les termes if et ic ne dépendent que des
paramètres inertiels du corps i et de ceux des corps situées en aval qui sont introduit par les termes
1nf et 1nc de la récurrence.
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
65
Pour utiliser pratiquement l’algorithme de Newton Euler exposé ci-dessus, il faut projeter dans un
même repère les vecteurs et tenseurs qui apparaissent dans une même équation. [BOI 88]
Les équations de la récurrence avant peuvent être présentées par l’algorithme suivant:
Récurrence avant :
Conditions initiales : i0
T
0
0T
0
0gaV000,000 0et
i 1
1 1 1
i i
1
i i-1 i
1 1 1
i i-1 1 1 i
1 1 1 1
i
i i i i
pour 1,2,...,
( )
( ) (2 )
( )
i i
i i i
i i i i i
i
i i i i i i i i i
i i i
i i i i i i i i i i i
i i
i i i i i i
i i i
i i i i i i i i
i n
A
q a
A q a q a
V A V b P q a q a
F m V b m S
C k k m S
iV
(V-15)
i
i
i
i
i
i
i
i ˆˆˆb (V-16)
Les équations de la récurrence arrière peuvent être présentées par l’algorithme suivant:
Récurrence arrière :
Conditions initiales:
)5:4(fc)3:1(ff e1n
n
e1n
n
1
1 1
1 1 1
1 1
pour , 1,...,1
i i i i
i i i ei
i- i i
i i i
i i i i i i
i i i i i ei
i- i i
i i i
i i T
i i i i i i f i ai i
i n n
f F f f
f A f
c C C P f c
C = A c
Γ (σ f σ c ) a Γ I q
(V17)
Dans cette formulation (Newton Euler), l'effet de la pesanteur est introduit par une
accélération verticale de la base du robot. Si le robot manipulateur est situé sur un véhicule dont le
mouvement est connu, on peut donc également introduire les fonctions du temps correspondantes
(vitesses et accélérations) dans les premières récurrences directes qui partent de la base [TEC 07].
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
66
Application au robot ortho-glide
V.4 Calcul du modèle dynamique inverse de la chaine cinématique i :
Chaque chaine cinématique du robot est composée d'une boucle planaire de type
parallélogramme. On calcule le modèle dynamique de la structure arborescente équivalente en
coupant l'articulation passive ( q8i ) du parallélogramme (Figure V.2) [Gue 03] :
=
) (V-18)
Avec :
= T
Le modèle dynamique de la boucle fermée est obtenu à partir de et des équations de
Contraintes (III.10).
Dans le modèle complet du robot, on rappelle que seule q1i est motorisée er que l'on considère les
couples et de valeurs nulles :
T =
(V-19)
=
) = ) (V-20)
Ou Gi est donné par la relation (III.10) [Gue]
) Est le modèle dynamique de la chaine cinématique i. Lorsque l'on prend en compte
la force de réaction fi sur le point terminal de chaque chaine cinématique, la forme générale du
modèle dynamique de la chaine cinématique i, devient :
= ) 0JiT 0fi (V-21)
V.4.1 Calcul 0fi en utilisant le modèle dynamique de la chaine cinématique i
On reprend la forme générale du modèle dynamique de la chaine cinématique i relations (V-20)
est composé des couples/forces de la chaine cinématique i ou sont nuls :
= T = T
(V-22)
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
67
En utilisant l'équation (IV-20), les forces réaction 0fi peuvent s'écrire :
0fi =
0Ji
T
(V-23)
0fi =
0Ji
T +
0Ji
T (V-24)
En remplaçant 0Ji
T par ) dans l'équation (IV-23), On obtient :
0fi = +
0Ji
T (V-25)
exprime le vecteur dans l 'espace cartésien de position au point Pi
[Khatib ,lilly et orin]
En utilisant l'équation (GUIGAN) , on obtient pour la chaine cinématique 1 :
0fi =
(V-26)
On peut observer que le coefficient de dans l'équation (IV-25)correspond à la première colonne
de la matrice jacobienne inverse transposée du robot voir chapitre cinématique. II en est de même
pour les chaines cinématique 2 et 3. Leurs coefficient respectifs et correspondant
respectivement à la deuxième et la troisième colonne de la matrice jacobienne inverse transposée du
robot :
0fi = +
0J
-Tp [:,i]
(V-27)
Où 0 -Tp,i
J ; représente la ième colonne de la matrice jacobienne inverse transpose du robot.
V.4.2 dynamique de la plate-forme :
Les équation de Newton-Euler appliquées à l 'origine de la plate-forme s'écrivent
(pas de rotation) :
0Fp = 0 p Mp Mp
0g (V-28)
0Fp force totale exterieure appliquée sur la plate forme au point P . Puisque
0 p est connue, alors
0Fp peut-être calculé à partir de l'équation (V-28)
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
68
Les forces appliquées à la plate forme dues aux forces de réaction de toutes les chaines
cinématiques (Figure V.2) sont calculé en utilisant l'équation suivante :
3
0 0p i
i=1
F = f
(V-29)
Figure V.2 : Forces extérieure appliquées au point P
En substituant l'équation (V-26) dans l'équation (V-28) , On obtient :
0 0 -T
p xi i i i p p[:,1] 1i
i=1
3
F = H q ,q ,q + J G
(V-30)
ou : 0 T
p robotΓ = J F
0 -T 0
p p i i i
i=1
3
xiJ Γ = F + H q ,q ,q
0 -T 0
p p i i i
i=1
3
xiJ G = F + H q ,q ,q
(V-31)
On peut en déduire la forme suivante :
0 TP robotΓ= J F
avec :
11 12 13 T
(V-32)
robotF = 0
p i i i
i=1
3
xiF + H q ,q ,q (V-33)
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
69
Figure V.3 : Schéma du programme MATLAB(Simulink) utilisé pour la simulation du robot
Ortho-glide
V.5 Résultats de l’application sur le robot ortho-glide
Données numériques :
*Corps 1 : Tige
Masse=119.01 (grammes)
centre de gravité G1=[X=106.24 , Y=0 , Z=0] (mm)
Inertie I1=Lx=[1 0 0] Px=1902.09
Ly=[0 1 0] Py=591179.98 (gramme*mm^2)
Lz=[0 0 1] Pz=59204.83
*Corps 2 :Bras
Masse=69.6 (grammes)
centre de gravité G2=[X=11.80 , Y=0 , Z=-27.12] (mm)
Inertie I2=Lx=[-1 0 0] Px=1015.56
Ly=[0 0 -1] Py=2138.70 (gramme*mm^2)
Lz=[0 -1 1] Pz=2367.88
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
70
*Corps 3 :Bride
Masse=126.11 (grammes)
centre de gravité G3=[X=-46.42 , Y=0 , Z=-32.99] (mm)
Inertie I3=Lx=[0.65 0.02 0.76] Px=564.38
Ly=[-0.76 0.02 0.65] Py=183141.94 (gramme*mm^2)
Lz=[0 -1 0.03] Pz=191397.13
*Corps 4 :Raccord
Masse=29.10 (grammes)
centre de gravité G4=[X=0 , Y=16.70 , Z=0] (mm)
Inertie I4=Lx=[0 1 0] Px=907.73
Ly=[0 0 -1] Py=8900.73 (gramme*mm^2)
Lz=[-1 0 0] Pz=-0.03
*Corps 5 :Chape
Masse=18049.83 (grammes)
centre de gravité G5=[X=97.99 , Y=-41.28 , Z=-37.64] (mm)
Inertie I5=Lx=[0.47 0.66 -0.58] Px=84002698.57
Ly=[0.24 0.54 0.81] Py=1156148060.62 (gramme*mm^2)
Lz=[0.85 -0.52 0.09] Pz=1503149434.76
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
71
Les figures suivantes représentent les différentes forces sur les vérins obtenus lors du suivi
de la trajectoire désirée et après introduction des données inertielles de la structure, obtenues par le
chapitre précédent.
Figure V.4 : Force de 1er
vérin
Figure V.5 : Force de 2eme
vérin
Figure V.6 : Force de 3eme
vérin
Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide
72
V.6 conclusion
Dans ce de chapitre nous avons établi le modèle dynamique inverse, en utilisant les étapes
suivante :
- calcul du modèle dynamique de chaque chaîne cinématique par le calcul de Hi ;
- calcul du modèle cartésien de chaque chaîne cinématique Hxi ;
- calcul des forces et moments °Fchaine qui correspondent à tous les Hxi ;
- calcul du modèle dynamique de la plate-forme ;
- calcul de couple Γ.
En déduit que la plate-forme peut être représentée par un corps unique ayant les mêmes
paramètres inertiels que la plate-forme, sur la quelle on applique des forces extérieures -Hxi à
chaque point Pi. Les résultats obtenus sont logique et concordent avec les dimensions inertielles du
robot ainsi que la tâche à exécutée de même cela va servir pour le dimensionnement des trois
actionneurs.
Conclusion générale
73
Conclusion générale :
Dans ce travail, on s’est intéressé à la modélisation des robots parallèles et proposé une
conception mécanique prototype à un robot parallèle définit par une plate-forme mobile liée à
une base fixe par trois chaînes cinématiques identiques, chaque chaîne cinématique est
composée de huit articulation de forme parallélogramme et un vérin qui est le seul actionneur
motorisé. Dans le premier chapitre intitulé état de l’art nous avons présenté comment les
robots parallèles sont développer depuis le premier hexapode de Gough Stewart en se basant
sur le nombre de degré de liberté pour les différencier, commençant par deux degrés de
liberté, trois degrés de liberté …..jusqu’au six degrés de liberté et aussi les structures
hybrides.
Le deuxième et troisième chapitre consacré à la modélisation géométrique et cinématique
du robot ortho-glide, au premier temps on définit le robot parallèle qui est considéré comme
une structure à boucles fermées puis définir les différents repères et l’énumération des corps
de la structure arborescente qui est faite chaîne par chaîne. La modélisation géométrique est
basée sur le calcul du modèle géométrique inverse qui est simple et unique, ce calcul nous a
permis de tracer quelque configuration du robot. La modélisation cinématique nous à permis
de calculer le modèle cinématique inverse symboliser par le calcul de la matrice jacobienne
inverse du robot parallèle qui est la matrice jacobienne inverse de la plate-forme mobile, le
résultat obtenu est vérifier par une simulation faite sur Matlab, ce calcul nous à permis de
tracer les vitesses articulaires des actionneurs motorisées ainsi que les vitesses de la plate-
forme.
Dans le quatrième chapitre on a présenté une conception mécanique du robot ortho-glide
dont le cahier de charge se base sur une seul contrainte qui est la charge supporter par la plate
forme, toute les autres contraintes sont négliger ou pris aléatoirement comme l’espace de
travail, la vitesse et la précision car le but de la conception est d’avoir les paramètres inertiels
directement par la programmation DAO/CAO.
Le cinquième chapitre représente une modélisation dynamique par l’application du
formalisme de Newton-Euler. Cette modélisation est la résultante des deux parties obtenues
par le découpage du robot parallèle. D’une part la plate-forme, sur laquelle sont appliquées les
forces extérieures et les paramètres inertiels pris en considération. D’autre part les six chaines
cinématiques dont les quels les seuls actionneurs sont les vérins, leurs modélisations est
établies par le modèle dynamique inverse de chaque chaîne cinématique. La résultante
s’exprime par les forces nécessaires pour actionner le robot.
Conclusion générale
74
Perspectives futures
Notre projet s’est focalisée sur la conception et la modélisation dynamique du robot ortho-
glide à trois degré de liberté, basées sur les paramètres inertiels obtenus par la conception du
robot et le formalisme de Newton-Euler pour la modélisation dynamique. A la fin de cette
étude, on peut affirmer que l’objectif est atteint. Ce pendent les conclusions formulées
permettent la suggestion de quelques pistes pour la poursuite de ce travail. Les propositions
suivantes sont avancées pour un éventuel travail futur :
- une conception basée sur un cahier de charge bien précis comme exemple l’utilisation
du robot sur machine-outil.
- Vu la complexité du robot et leur exigences précisément la précision, on propose
d’étudier la commande du robot.
- Les robots parallèles peuvent présenter une élasticité non négligeable dans les
articulations ou dans les structures des chaines cinématiques. Dans ce cas
l’introduction d’une flexibilité localisée des articulations dans le modèle dynamique
pourrait nous fournir un modèle plus réel pour l’étude du comportement du robot.
Bibliographie :
[Amo11] AMOURI AMMAR «modélisation dynamique d’un robot parallèle forme de
plusieurs modules empiles» mémoire de MAGISTER, Université Larbi Ben M’hidi Oum-El-
Bouaghi, Faculté des Sciences et Sciences Appliquées, 2011.
[AIS 06] A. Aissaoui, « Conception et commande neuronal d’une patte d’un robot
marcheur », mémoire de magister, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie, mars 2006.
[AGU 07] I.H. Aguilar. « Commande des bras manipulateurs et retour visuel pour des
applications à la robotique de service ». Thèse de doctorat, Université Toulouse III, 2007.
[Bon 09] Thomas BONNEMAINS «Etude du comportement mécanique des machines-outils
à structure parallèle en Usinage Grande Vitesse» mémoire de DOCTORAT, ´Ecole Doctorale
Sciences pour l’Ingénieur de Clermont-Ferrand, Université BLAISE PASCAL - Clermont II,
décembre 2009.
[BOI 88] J. Boissonat, B. Faverjon « Technique de la robotique, Architecture et commande »,
Hermes sciences, paris, 1988
[CHE 09] S. Chemami, «etude des differentes lois de commande pour un robot
manipulateur»,Thése de magister, Université d’Oum EL Bouaghi, 2009.
[FIS 04] P. Fisette, H. Buyse, J.C. Samin «Introduction à la robotique» France, 10 novembre
2004
[Gue 03] SYLVAIN - GUEGAN «contribution a la modélisation et l'identification
dynamique des robots parallèles» mémoire de DOCTORAT, L'École Centrale de Nantes et
l'Université de Nantes Université de Nantes, 2003
[KHA 99] W. Khalil, E. Dombre, « Modélisation, Identification et Commande des Robots »,
2ième
édition, Hermes Science Publication, 1999.
[Lad1 5] LADOUALI Atif «Contribution à la modélisation et la commande d’une plate-
forme mobile» mémoire de MASTER, Université Larbi Ben M’hidi Oum-El-Bouaghi Faculté
des Sciences et Sciences Appliquées, 2014 / 2015
[TEC 07] A. LIÉGEOIS « Modélisation et commande des robots manipulateurs»,
Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique Industrielle, Doc S 7730, octobre 2007
[VIV 04] O.A.VIVAS Albán « Contribution à l'identification et à la commande des robots
parallèles » Thèse de doctorat, Montpellier II, le 10 novembre 2004
[Wen 02] P. Wenger, D. Chablat, F. Majou «L’orthoglide, une machine-outil rapide
d’architecture parallèle isotrope» Département de Génie Mécanique, Université Laval, 2002