MAT_55_4.3_5

ว.วทย. มข. 40(2) 515-523 (2555) KKU Sci. J. 40(2) 515-523 (2012)

ผลเฉลยแมนตรงของสมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสน Analytic Solution of Nonlinear Partial Differential Equations

ศรรตน สขใส1

บทคดยอ

ในบทความนเราไดน าเสนอวธการตรงฮโรตะ เพอหาผลเฉลยแมนตรงของสมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสน ซงเรยกผลเฉลยทไดวา ‘ผลเฉลยโซลตอน’ วธการตรงฮโรตะเปนหนงวธการทมชอเสยงมากทสดในการสรางผลเฉลยหลายโซลตอน และวธการตรงฮโรตะจะมขนตอนในการหาผลเฉลยสขนตอน ขนตอนทส าคญคอการแปลงสมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสนใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะซงสามารถเขยนใหอยในรปพหนามของตวด าเนนการ D เราไดยกตวอยางของสมการเคดวเพอเพมความเขาใจยงขนในการแปลงใหอยในรปแบบเชงเสนคและหาผลเฉลยโซลตอนของสมการนได ซงเราสามารถหาผลเฉลยไดถงสามโซลตอน

ABSTRACT In this article, we show the Hirota direct method to find exact solutions of nonlinear

partial differential equations. These solutions are call ‘soliton solution’. The Hirota direct method is the most famous one method which can construct multi-soliton solutions. And the Hirota method has four processes. The importance process is transforming nonlinear partial differential equations to Hirota bilinear form that can write in polynomial of D -operator. We have example of KdV equation for more understanding in the transforming nonlinear equations to bilinear form and find soliton solutions of this equation that we can find to three-soliton solutions. ค าส าคญ: สมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสน ผลเฉลยแมนตรง วธการตรงฮโรตะ ผลเฉลยโซลตอน Keywords: Nonlinear partial differential equations, Analytic solution, Hirota direct method,

Soliton solution 1ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ กรงเทพฯ 10110 E-mail: sirirats@swu.ac.th

MAT_55_4.3_5

KKU Science Journal Volume 40 Number 2516 Review516 KKU Science Journal Volume 40 Number 2 Review บทน า

เปนทรกนในกลมของนกคณตศาสตรวา ไมใชเรองงายเลยทจะหาผลเฉลยแมนตรงของสมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสน ผเขยนจงตองการน าเสนอวธการหนงทนาสนใจ และสามารถหาผลเฉลยแมนตรงของสมการเชงอนพนธยอยทไมเชงเสนได วธการนคอ “วธการตรงของฮโรตะ (Hirota’s direct method)” และผลเฉลยแมนตรงซงผลเฉลยแมนตรงนมชอวา ผลเฉลยโซลตอน (Soliton solutions) กอนทจะกลาวถงขนตอนและวธการในการหาผลเฉลยแมตรงกน เรามารทมาทไปของวธการและผลเฉลยกนกอน ซงหลายคนนาจะมค าถามอยในใจวาผลเฉลย โซลตอน หรอโซลตอนคออะไร

โซลตอน คอคลนเดยว (solitary wave) ซงคงรปเดมไดดหลงจากปะทะหรอชนกบคลนลกอนทเปนคลนชนดเดยวกน เมอ 40 ปทผานมาไดมการพฒนาทฤษฎโซลตอน และไดมนกคณตศาสตร นกฟสกส และนกวศวกรรม ซงตางกสนใจศกษาโซลตอนเพอน าไปประยกตใชในงานทางกายภาพ (รวมไปถงพลาสมา (plasma), โจเซฟสนจงชน (Josephson junctions), โมเลกลโพลอเซตลน (poly acetylene molecule) เปนตน) โซลตอนถกพบครงแรกในคลนน าตน (shallow water waves) โดยเจ สกอต รสเซล (Russell, 1834) การทดลองของ รสเซลท าใหเขาคนพบ การมอยจรงของคลนเดยว และสตรความเรว ของคลน คอ hg เมอ คอ ความกวางของคลนซงวดจากระดบน า h คอความกวางของรองน า และ g คอแรงโนมถวงของโลก เขาไดน าเสนอการทดลองกบสมาคมคณตศาสตรองกฤษในป ค.ศ.1844 แตนกคณตศาสตรบางคนไมเหนดวยกบผลงานของเขา

ไอร (Airy, 1845) ไดเขยนสตรของความเรวของคลน ทสมพนธกบความสงและความกวางของคลนและสรปวาคลนเดยวไมมจรงในงานของรสเซล โครตเวก และเดอ วรส (Korteweg and de Vries, 1985) ไดแกสมการทเรยกวา สมการเคดว (KdV equation) ซงอธบายคลนน าตน วามคลนเดยวอยจรงซงพสจนไดทางคณตศาสตร เฟอรม พาสตา และ อแลม (Fermi et al., 1955) ไดแกปญหาเชงตวเลขของการเคลอนทของสมการนวตน ส าหรบหนงมตของมวลทเหมอนกนของสปรงไมเชงเสน ซาบสก และครสคาล (Zabusky and Kruskal, 1965) ไดวเคราะหสมการเคดวซงเกดขนจากปญหาเอฟพย (FPU) พวกเขาสงเกตวาคลนสามารถรกษารปรางและโมเมนตมไดเมอชนกน จงเรยกคลนนวา “โซลตอน”

ฮโรตะ (Hirota, 1971) ตพมพบทความทใหวธการใหม เรยกวา “วธการตรงของฮโรตะ” ซงหาผลเฉลยแมนตรงของสมการเคดวส าหรบการชนของหลายโซลตอน ในบทความของไรโอโก ไดใชวธการนหาผลเฉลยของสมการววฒนาการไมเชงเสน เชน สมการเอมเคดว (modified Korteweg-de Vries, mKdV) (Hirota, 1972) สมการเอสจ (sine-Gordon, sG) (Hirota, 1972) สมการเอนแอลเอส (nonlinear Schrödinger, nlS) (Hirota, 1973) และสมการทแอล (Toda lattice, Tl) (Hirota, 1973)

ขนตอนของวธการตรงฮโรตะ กอนทจะทราบขนตอนของวธการตรงฮโรตะ เราตองรจกเครองมอทจะใชในการแปลงสมการเชงอนพนธ

ยอยและสมการผลตางไมเชงเสนใหเปนสมการเชงเสนคของฮโรตะกอน

MAT_55_4.3_5

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 517บทความบทความ วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 517

นยาม ให S เปนเซตของปรภมของฟงกชนทหาอนพนธไดซงสงจาก 2 แลวตวด าเนนการ ฮโรตะ D คอ SSSD : ซงนยามวา

ttxxm

ttm

xxmt

mx txgtxfgfDD ',''' ',',][][ 2121

หมายเหต เราจะแทนสญลกษณ xuu

x xx

,

เรามตวอยางสมการทแปลงใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะ ดงน ตวอยางท 1 สมการเคพ (KP, The Kadomtsev-Petviashvili Equation) สมการเคพ คอ

036 yyxxxxxt uuuuu

ตวทใชแปลงใหเปนเชงเสนคส าหรบสมการน คอ

fytxu x log2,, 2

รปแบบเชงเสนคของสมการเคพ คอ

03343 22 yyyxxxxxxxxxxtxxt ffffffffffff

รปแบบเชงเสนคของฮโรตะ คอ

03 24 ffDDDD yxtx

สวนรปแบบเชงเสนคของฮโรตะทมากกวาหนงสมการ แสดงไวในตวอยางถดไป ตวอยางท 2 สมการเอมเคดว (MKdV, The Modified KdV Equation) สมการเอมเคดว คอ

024 2 xxxxt uuuu

ตวทใชแปลงใหเปนเชงเสนคส าหรบสมการน คอ

22,fggffgtxu xx

รปแบบเชงเสนคของสมการเคพ คอ

xxxxxxxxxtt gffgfggffgfg 322

MAT_55_4.3_5

KKU Science Journal Volume 40 Number 2518 Review518 KKU Science Journal Volume 40 Number 2 Review 06 22 xxxxxxxx gggfffgffg

รปแบบเชงเสนคของฮโรตะ คอค

0,0

2

3

ggffDfgDD

x

tx

ตอไปจะกลาวถงขนตอนและวธการทงหมดในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยและสมการผลตางไมเชงเสน ดงตอไปน

ขนตอนแรก คอการแปลงสมการเชงอนพนธยอยและสมการผลตางไมเชงเสน ใหอยในรปแบบสมการก าลงสองของตวแปรทไมอสระ ซงรปแบบใหมทไดนเรยกวา “รปแบบเชงเสนค” การหาตวทจะมาแปลงสมการไมใชเรองงาย และบางครงจ าเปนทจะตองหาตวแปรทอสระและไมอสระใหมเพอน ามาใชในการแปลงสมการ

ขนตอนทสองคอการใชตวด าเนนการเชงอนพนธพเศษทเรยกวา ตวด าเนนการฮโรตะ ซงเราจะเขยนรปแบบเชงเสนคของสมการใหอยในรปตวด าเนนการด ( D -operator) ของพหนาม ซงเรยกวา รปแบบเชงเสนคฮโรตะ แตนาเสยดายทไมมแนวทางทเปนระบบในการสรางรปแบบเชงเสนคฮโรตะส าหรบสมการเชงอนพนธยอยและสมการผลตางไมเชงเสน ซงบางสมการไมสามารถเขยนใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะได แตจะเขยนใหอยในรปแบบเชงสามเสนหรอไมกรปแบบเชงหลายเสนไดเชนกน (Grammaticos et al., 1994) ทนเราสามารถคาดเดาไดวาสมการเชงอนพนธยอยและสมการเชงผลตางไมเชงเสนทหาปรพนธไดโดยสมบรณนนสามารถเขยนใหอยในรปแบบเชงเสนคได ในทางกลบกนบทกลบไมจรงนนคอ จะมบางสมการซงหาปรพนธไมไดแตเขยนใหอยในรปแบบเชงเสนคได

ขนตอนสดทายของวธการนเราจะน าการกระจายเพอรเทอรเบชน (the perturbation expansion) มาใช ซงจะเหนวารปแบบเชงเสนฮโรตะและการวเคราะหสมประสทธของพารามเตอรเพอรเทอรเบชนและตวยกก าลงทแยกกนได จะใหผลลพธคอผลเฉลยหลายโซลตอน (multi-soliton) ตวอยางการหาผลเฉลยแมนตรงของสมการเชงอนพนธไมเชงเสน

เราเลอกสมการเคดว (the KdV equation) มาหาผลเฉลยแมนตรงโดยใชขนตอนทไดกลาวมาจากขางตน ซงสมการคอ

06 xxxxt uuuu (1)

วธฮโรตะมกฎเกณฑส าคญในการศกษาระบบสมการทหาปรพนธได สมการสวนมากมรปแบบฮโรตะซงจะใหผลเฉลยหนงโซลตอนและสองโซลตอนไดทนท เมอเราตองการหาผลเฉลยสามโซลตอนเราจะตองจ ากดเงอนไข ถามเงอนไขไมเพยงพอในการหาผลเฉลยของสมการ แตเราสามารถใชเครองมอทมประสทธภาพมาใชกบปญหานไดจากไฮเอททารน (Hietarinta, 1991) เขาไดน าเงอนไขนมาสรางสมการใหมทหาปรพนธได เชน ในป ค.ศ.1987 เขาไดคดคนผลเฉลยสามโซลตอนของสมการเคดว เคดวและเอสจ และในป ค.ศ.1988 คอสมการเชงเสนคเชงซอน

MAT_55_4.3_5

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 519บทความบทความ วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 519

สมการทเขยนอยในรปแบบเชงเสนคฮโรตะไดและมผลเฉลยหลายโซลตอนเราจะเรยกสมการนวา ฮโรตะทหาปรพนธได

ขนตอนท 1 การท าใหเปนเชงเสนค : เราใช Fu x log2 2 มาแปลงสมการเคดวใหอยในรปแบบเชงเสนค ก าหนดให w เปนตวแปรตามตวใหมโดยท

wu x2 (2)

โดยก าหนดให

Fw log2 (3)

หลงจากนนสมการเคดวเขยนใหมไดเปน

06 xxtxxxxxxxxxx wwww (4)

หาปรพนธเทยบ x จะได

03 2 xtxxxxxx www (5)

จาก (3) หาอนพนธยอยเทยบแตละตวแปรและแทนใน (5) จะไดรปแบบเชงเสนคของเคดว คอ

034 2 txxtxxxxxxxxxx FFFFFFFFF (6)

ขนตอนท 2 การแปลงใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะ: โดยการใชตวด าเนนการเชงอนพนธของฮโรตะ ซงจะเราพยายามทจะเขยนสมการเคดวใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะ โดยพจารณา tx DD มาประยกตกบผลคณของ ff .

]|)()()[(}{ 1221 21 xxxxxttx xfxfDffDD txxt ffff 2 (7)

สงเกตวาเทอมเหลานคอสองเทอมหลงของสมการ (6) คณดวย 2 และเทอมทเหลอนาจะไดอกหนงตวด าเนนการ

ซงเราจะพจารณา 4xD

4xD 2342 xxxxxxxxxx fffff (8)

นนคอสามเทอมแรกของสมการ (6) คณดวย 2 เพราะฉะนนเราสามารถเขยนสมการ (6) ใหอยในรปแบบเชงเสนคของฮโรตะดวยตวด าเนนการไดคอ

MAT_55_4.3_5

KKU Science Journal Volume 40 Number 2520 Review520 KKU Science Journal Volume 40 Number 2 Review

04 ffDDDffDP xtx (9)

ขนตอนท 3 การประยกตของฮโรตะเพอรเทอรเบชน: แทน ...1 22

1 ffF (ฮโรตะเพอรเทอรเบชน) ลงในสมการ (9) จะไดผลคณของ F คอ

)11()11(11 21122

11 ffffffFF )1( 1312213

3 fffffff

แทนผลคณทไดลงใน 0}){( FFDP จะได

}11){(}11){(}11){(}.){( 21122

11 ffffDPffDPDPFFDP 011)( 321123

3 ffffffDP (10)

เพอใหสอดคลองกบสมการ เราจะแสดงสมประสทธของ ทยกก าลงตาง ๆ ใหเปนศนย เนองจากเราจะเขยน f อยในรปพหนามของฟงกชนเลขชก าลง (exponential) เมอเราพจารณาผลเฉลยโซลตอนตาง ๆ ของสมการ 0][ uF ส าหรบ jf ทก 1 nj จะเทากบศนย และผลเฉลยแมนตรงแตละโซลตอนทไดจะตองสอดคลองกบทฤษฎบทดงน

ผลเฉลยหนงโซลตอน ทฤษฎบท ให ],[ txfTu เปนการแปลงใหเปนเชงเสนคของสมการเชงอนพนธยอยไมเชงเสน

หรอสมการ เช งผลต างไม เช ง เสน 0uF ซ งสามารถเขยนใหอย ในรปแบบเช ง เสนค ของฮ โรตะ 0 ffDP แลวผลเฉลยหนงโซลตอนของสมการนคอ

]1[,, 1neTtxfTu

โดยท 1111 tqxp เมอคาคงท 111 ,, qp สอดคลองกบ 0, 111 PPqpP การหาผลเฉลยหนงโซลตอนของสมการเคดว เราพจารณาจากสมการ (10) โดยให 11 fF ซง 1

1ef และ 1

11xp tq1 เราจะทราบวา 0jf ส าหรบทก 2j ซงผลเฉลยหนงโซลตอนคอ

12

21

cosh2 pu

โดยท 13111 tpxp

MAT_55_4.3_5

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 521บทความบทความ วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 521

ผลเฉลยสองโซลตอน ทฤษฎบท ให ],[ txfTu เปนการแปลงใหเปนเชงเสนคของสมการเชงอนพนธยอยไมเชงเสน

หรอสมการเช งผลต าง ไม เช ง เสน 0uF ซ งสามารถเขยนใหอย ในรปแบบเช ง เสนค ของฮ โรตะ 0 ffDP แลวผลเฉลยสองโซลตอนของสมการนคอ

]1[,, 2112

21 eAeeTtxfTu n

โดยท iiii tqxp เมอคาคงท iii qp ,, สอดคลองกบ 2,1,0, iPPqpP iii และ 21

2112 PPP

PPPA

การหาผลเฉลยสองโซลตอนของสมการเคดว โดยพจารณาจากสมการ (10) โดยให 11 fF

22 f ซง 21

1 eef โดยท iiii tqxp ส าหรบ 2,1i ซงเราจะตองก าหนด 2f ใน

ภายหลง เราทราบวา 0jf ส าหรบทก 3j และผลเฉลยสองโซลตอนคอ

2121

21212121

12

221

21

2212

22

21

122

eAee

eppeepepAepepu

โดยท iiii tqxp 3 , 2,1i และ 221

221

12 ppppA

ผลเฉลยสามโซลตอน

ทฤษฎบท ให ],[ txfTu เปนการแปลงใหเปนเชงเสนคของสมการเชงอนพนธยอยไมเชงเสนหรอสมการเช งผลต าง ไม เช ง เสน 0uF ซ งสามารถเขยนใหอย ในรปแบบเช ง เสนค ของฮ โรตะ 0 ffDP ถา 0uF สอดคลองกบเงอนไขผลเฉลยสามโซลตอนคอ

1

113333222211332211 0i

ppPppPppPpppP

และ 3,2,1,0 iPP i แลวผลเฉลยสามโซลตอนคอ

,,txfTu ]1[ 32132

2331

1321

12321 BeeAeAeAeeeT n

MAT_55_4.3_5

KKU Science Journal Volume 40 Number 2522 Review522 KKU Science Journal Volume 40 Number 2 Review

โดยท iiii tqxp , 3,2,1i และ ji

jiij PPP

PPPA

ส าหรบ ,3,2,1, ji ji และ

231312 AAAB และผลเฉลยสามโซลตอนทสอดคลองกบทฤษฎบทคอ

]1[ 3213223

3113

2112

321 BeeAeAeAeeeTu n

โดยท iiii tqxp , 3,2,1i และ ji

jiij PPP

PPPA

ส าหรบ ,3,2,1, ji ji และ

231312 AAAB ซงเราจะตด u ในรปการแปลงไวซงไมงายถาเราจะหาผลเฉลยแมนตรงเพราะเปนฟงกชนทซบซอน บทสรป

วธฮโรตะเปนเครองมอทมประโยชนในการหาผลเฉลยโซลตอน การกระจายโลรองตสามารถน าไปใชในการสรางสมการเชงเสนคไดโดยการแปลงจนอยในรปแบบตว

ด าเนนการด เมอนบสมการและฟงกชนทไมทราบคาแลว อยาลมนบจ านวนเชงซอนซงมสองคาดวย ถาสมการถกแปลงเปนรปแบบเชงเสนคซงอยในรป ,0),( FFDDP tx แสดงวาผลเฉลยมสอง

โซลตอน ซงสมการเชงเสนคไมจ าเปนตองมรปแบบอน ถาเราไมสามารถแปลงสมการใหอยในรปแบบเชงเสนคได ใหเราสงสยวามผลเฉลยโซลตอน เราควรจะ

แปลงสมการใหอยในรปแบบเชงสามเสน หรอเชงหลายเสน เมอเรามสมการเชงเสนค เราอาจจะมองหาผลเฉลยคาบ (periodic) หรอหลายคาบ (multi-periodic)

โดยฟงกชนรมนน วธการตรงฮโรตะใชไดกบสมการดงน สมการววฒนาการไมเชงเสน (nonlinear evolution equations),

สมการคลน (wave equations) และระบบสมการค (coupled system equations) และสงทวธการตรงฮโรตะตองการคอ การเปลยนแปลงอยางรวดเรวของตวแปรตาม การน าตวด าเนนการเชงอนพนธทแปลกใหมมาใช และการขยายตวรบกวนทใชในการหาผลเฉลยของสมการเชงเสนค (bilinear equation)

เอกสารอางอง Russell, S. J., (1844). Fourteenth meeting of the British association of the advancement of

science, Report on waves, London: eds. John Murray. 311 – 390. Airy, G. B., (1845). Tides and waves. Encyclopedia Metropolitans. London. 5: 241-396.

MAT_55_4.3_5

วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 523บทความบทความ วารสารวทยาศาสตร มข. ปท 40 ฉบบท 2 523

Korteweg, D. J. and de Vries, G. (1985), On the change of form of long waves advancing in rectangular canal and on a new type of long stationary waves. Philos. Mag. Ser. 5(39): 422-443.

Fermi, A., Pasta, J. and Ulam, S. (1955). Studies of non-linear problems, I. Los. Alamos Report LA 1940.

Zabusky, N. J. and Kruskal, M. D., (1965). Interaction of solitons in a collision less plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett. 15: 240-243.

Hirota, R. (1971). Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons. Phys. Rev. Lett. 27: 1192.

Hirota, R. (1972). Exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons. J. Phys. Soc. Japan. 33: 1456.

Hirota, R. (1972). Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple collisions of solitons. J. Phys. Soc. Japan. 33: 1459.

Hirota, R. (1973). Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation, J. Math. Phys. 14: 805-809.

Hirota, R. (1973). Exact N-soliton solution of a nonlinear lumped network equation. J. Phys. Soc. Japan. 35: 286-288.

Grammaticos, B., Ramani, A. and Hietarinta, J. (1994). Multilinear operators: the natural extension of Hirota’s bilinear formalism. Phys. Lett. A. 190: 65-70.

Hietarinta, J. (1991). Searching for integrable PDE’s by testing Hirota’s three soliton condition, Proceedings of the 1991 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC’91”. Stephen M.Watt. (Association for Computing Machinery, 1991), 295-300.

Hietarinta, J. (1987). A search of bilinear equations passing Hirota’s three-soliton condition: I. KdV-type bilinear equations. J. Math. Phys. 28: 1732-1742.

Hietarinta, J. (1987). A search of bilinear equations passing Hirota’s three-soliton condition: II. MKdV-type bilinear equations. J. Math. Phys. 28: 2094-2101.

Hietarinta, J. (1987). A search of bilinear equations passing Hirota’s three-soliton condition: III. sine-Gordon-type bilinear equations. J. Math. Phys. 28: 2586-2592.

Hietarinta, J. (1988). A search of bilinear equations passing Hirota’s three-soliton condition: IV. Complex bilinear equations. J. Math. Phys. 29: 628-635.

MAT_55_4.3_5