mat fin - aula 02

D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8

CURSOONLINEMATEMTICAFINANCEIRACURSOREGULARPROFESSOR:GUILHERMENEVES

1www.pontodosconcursos.com.br

Ol pessoal!

Conforme a nossa programao, estudaremos nesta aula os Descontos Simples e Equivalncia Simples de Capitais.

So assuntos de grande relevncia em matria de concursos. Alm disso, um bom aprendizado desta aula nos ajudar bastante no bom entendimento dos Descontos Compostos e Equivalncia Composta de Capitais.

Descontos Simples

Imagine que voc tem uma dvida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas voc foi aprovado no seu to sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salrio. justo voc pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? bvio que no! Da surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dvida de R$ 10.000,00?

Essa uma situao tpica de uma operao de desconto. Desconto o abatimento que se faz no valor de uma dvida quando ela negociada antes da data de vencimento. Notas promissrias, duplicatas, letras de cmbio so alguns documentos que atestam dvidas e so chamados ttulos de crditos. Esses ttulos apresentam os seguintes conceitos de valores:

Valor Nominal, Valor de Face,

Valor Futuro (N)

o valor que est escrito no ttulo. o valor que deve ser pago na data do vencimento.

Valor Atual, Valor Presente,

Valor Lquido, Valor Descontado (A)

O valor lquido obtido pela diferena entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto o abatimento que se faz no valor de uma dvida quando ela negociada antes da data de vencimento. a diferena entre o valor nominal e o valor atual.

Para caracterizar uma operao de desconto, devemos saber qual o tempo de antecipao do pagamento. Esse tempo de antecipao




ser denotado pela letra n. E j que estamos transportando uma quantia no tempo, devemos saber qual a taxa percentual que far esse transporte. A taxa do desconto ser denotada pela letra i.

O clculo do desconto pode ser feito por dois critrios. Existe o desconto racional, tambm chamado de desconto por dentro. O desconto racional o desconto teoricamente correto. Existe tambm o desconto comercial ou desconto por fora. o desconto sem fundamentao terica, mas muito praticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos:

Desconto Racional Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto

Existe uma diferena entre o desconto comercial e o chamado desconto bancrio. O desconto bancrio leva em conta tambm despesas administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a efetivao da operao de desconto. Ou seja, o desconto bancrio uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

Para se responder qualquer questo sobre descontos, devemos saber qual a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operao (simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos simples.

Quando a questo nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a conveno de usar o regime simples.

E quanto modalidade do desconto? Adiante falaremos que o desconto racional simples equivale a uma operao de juros simples. Ento se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto




na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma operao de desconto racional. Caso contrrio, trata-se de uma operao de desconto comercial. Essa conveno tambm ser utilizada quando estudarmos os descontos compostos.

No importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre ser igual ao valor nominal menos o desconto. Esse raciocnio vlido para os quatro tipos de desconto.

A N D= Voltando ao nosso exemplo. Voc tinha uma dvida de R$ 10.000,00. E quando voc foi ao banco negociar a dvida, seu gerente disse que voc ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, voc ir pagar R$ 8.000,00.

10.000 2.000 8.000A N D= = = Alternativamente, podemos dizer que o desconto a diferena entre os valores nominal e atual.

D N A= Voltemos ao nosso exemplo. Voc tinha uma dvida de R$ 10.000,00. Foi ao banco e eles disseram que a dvida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. Podemos, ento, concluir que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00.

10.000 8.000 2.000D N A= = = Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida resolverei questes diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto simples por dentro.

Ento para deixar bem clara a situao: Existe uma dvida para ser paga em alguma data futura. O valor dessa dvida chamado de VALOR NOMINAL (N). Quero antecipar o pagamento dessa dvida. Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dvida, pagarei um valor menor do que o valor nominal. O valor que ser acordado para que o pagamento seja antecipado ser denominado VALOR ATUAL (A). A diferena entre o valor nominal e o valor atual denominada DESCONTO (D).




Desconto Racional Simples (por dentro)

A operao de desconto racional simples, por definio, equivalente a uma operao de juros simples.

Enquanto que na operao de juros simples, o nosso objetivo projetar um valor presente para o futuro, na operao de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do ttulo, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do ttulo.

J que o desconto racional simples equivale operao de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.

O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operao de juros simples.

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operao de juros simples.

O desconto da operao de desconto racional simples corresponde ao juro da operao de juros simples.




Podemos dizer que o valor nominal o montante do valor atual em uma operao de juros simples em que o juro igual ao desconto racional simples!!

Correspondncia entre os elementos das operaes

Juros Simples Desconto Racional Simples (por dentro)

Capital Inicial (C) Valor Atual (A)

Montante (M) Valor Nominal (N)

Juro (J) Desconto (D)

Vamos ento deduzir as frmulas da operao de desconto racional simples (por dentro).

Juros Simples: J C i n=

Desconto Racional Simples:

Juros Simples: (1 )M C i n= +


E no podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma unidade!

De acordo com as frmulas explicitadas acima, s podemos calcular o desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos ento

D A i n=

(1 )N A i n= +




deduzir uma frmula para calcular o desconto racional simples em funo do valor nominal.

(1 )N A i n= + O fator (1+i.n) que est multiplicando no segundo membro, passar dividindo para o primeiro membro.

(1 )N Ai n

=+ Devemos agora substituir essa expresso na frmula D A i n= .

1ND i ni n

= +

Logo,

Portanto, h trs expresses bsicas que precisamos saber em uma operao de desconto racional simples. So elas:

Vejamos um exemplo:

01. (BNB 2004 ACEP) Em uma operao de desconto racional com antecipao de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao ms. Qual o valor de face desse ttulo?

a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.666,67

1N i nDi n = +

D A i n= (1 )N A i n= + 1N i nDi n = +




c) R$ 32.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 160.000,00

Resoluo

Lembre-se sempre que uma operao de desconto racional equivale a uma operao de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante.

Alm disso, a questo usou alguns apelidos do valor atual e do valor nominal. Vamos relembrar:

Valor Nominal, Valor de Face,

Valor Futuro (N)

Valor Atual, Valor Presente,

Valor Lquido, Valor Descontado (A)

Ento, j que a questo est pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor nominal. J os R$ 8.000,00 que a questo chamou de valor descontado ns estamos acostumados a cham-lo de valor atual.

De posse dessas informaes, podemos desenhar o diagrama abaixo.

Utilizaremos a frmula (1 )N A i n= + que idntica frmula do montante em juros simples. A taxa igual a 5% = 0,05 ao ms.

(1 )N A i n= + 8.000 (1 0,05 5)N = +




10.000,00N = Letra A

02. (AFRE-MG 2005 ESAF) Um cheque pr-datado adquirido com um desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operao considerando um desconto simples por dentro.

a) 6,25%. b) 6%. c) 4%. d) 5%. e) 5,5%.

Resoluo

O enunciado no informou o valor do cheque pr-datado. Isso mostra que o seu valor no influenciar a resposta. Portanto, em situaes como essa, podemos assumir certo valor para o cheque, para que os nossos clculos tornem-se mais fceis. costume em matemtica, principalmente em questes que envolvem porcentagem, utilizarmos o valor R$ 100,00.

Portanto, admita por hiptese que o VALOR NOMINAL do cheque igual a R$ 100,00. Esse valor o que est escrito no cheque (valor de face).

Se o cheque est sendo adquirido quatro meses antes do seu vencimento com um desconto de 20%, ento o cheque ser resgatado por R$ 80,00 (j que 20% de R$ 100,00 so iguais a R$ 20,00). R$ 80,00 , portanto, o valor atual do cheque. Obviamente, o valor do desconto foi de R$ 20,00 (100 80).

Alm disso, o enunciado deixou explicito que estamos trabalhando com um desconto racional simples. Podemos desenhar, ento, o seguinte diagrama:




Lembre-se que a operao de desconto racional simples equivale a uma operao de juros simples.

Juros Simples: J C i n=


Dessa forma, 20 80 4i=

20320

i =

Para transformar essa taxa em termos percentuais, devemos multiplic-la por 100%.

20 2.000100% % 6, 25%320 320

i = = = Letra A

03. (BNB 2003 ACEP) Jos tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dvida aps dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor Jos pagaria a dvida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuzo para o banco se nesta poca a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional?

a) R$ 16.000,00 b) R$ 13.800,00 c) R$ 17.600,00 d) R$ 14545,45 e) R$ 14.800,00

Resoluo

Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado.

D A i n=




O valor do emprstimo o valor atual da operao. A = 10.000,00

Taxa de juros do emprstimo: 30% a.a.

Tempo para pagamento do emprstimo: 2 anos.

Prazo de antecipao do pagamento do emprstimo: 5 meses

Taxa de desconto racional: 24% a.a.

O prximo passo saber quanto Jos se comprometeu a pagar daqui a 2 anos. Queremos saber o montante em uma operao de juros simples. Esse valor do montante ser o valor nominal da dvida (que depois ser renegociada).

(1 )M C i n= + 10.000 (1 0,30 2)M = +

16.000M = Ou seja, o valor nominal da dvida igual a R$ 16.000,00. De posse desse valor, deixe-me recontar o enunciado.

Jos tem uma dvida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto Jos deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.?

Ou seja, temos agora uma operao de desconto racional simples, j que existe uma dvida que ser antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, a mesma coisa que uma operao de juros simples.

Temos um valor nominal N = 16.000,00 que ser antecipado 5 meses a uma taxa de juros simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples.

(1 )N A i n= +

Portanto, 1NAi n

= +




16.000 16.000 14545, 451 0,02 5 1,1

A = = =+ Letra D

04. (AFT 2010 ESAF) Um ttulo sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,0 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00.

Resoluo

Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa incidida sobre o valor atual. Assim,

10.000 0,04 5

10.000 0,2

10.000

0,2 50.000

Dessa forma, o valor nominal ser dado por

N = A + D = 50.000 + 10.000 = 60.000,00

Letra A

05. (UnB/CESPE PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um ttulo de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e taxa de juros de 12% ao ano, ento o valor do desconto racional, ou por dentro, ser superior a R$ 450,00. Resoluo

A operao de desconto racional simples, por definio, equivalente a uma operao de juros simples.

Temos trs frmulas bsicas no desconto racional simples. Uma que relaciona o desconto com o valor atual.




A segunda frmula relaciona o valor de face (N) com o valor atual (A): .

A terceira frmula relaciona o desconto (D) com o valor de face (N).

justamente dessa formula que precisamos para resolver essa questo. Observe que a taxa de 12% ao ano e que o tempo de antecipao de 3 meses. Para que possamos utilizar a frmula acima, devemos ter uma conformidade entre a taxa e o tempo. Como a taxa de 12% ao ano, e o ano tem 12 meses, ento a taxa mensal ser de 1% (12%/12).

Temos os seguintes dados da questo:

15.000, 0,01, 3 .

Logo, o desconto racional simples ser

15.000 0,01 3

1 0,01 3

4501,03

436,89

Portanto, o item est errado, pois 436,89 < 450,00.

06. (Economista IBRAM UnB/CESPE - 2009) Com relao a desconto, julgue o item abaixo. Considere que um ttulo de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente de 36% ao ano e se o desconto considerado o racional (ou por dentro), ento a quantia que o devedor est deixando de pagar por liquidar o ttulo antecipadamente inferior a R$ 290,00. Resoluo O ttulo ser descontado dois meses antes da data de vencimento. E j que a taxa nominal de 36% ao ano, devemos transform-la em uma taxa mensal. O ano possui 12 meses, ento a taxa mensal de 3% = 0,03. A quantia que o devedor est deixando de pagar o que denominamos desconto. Sabemos que vlida a seguinte expresso para o desconto racional.

1




5.000 0,03 2

1 0,03 2 283,02

Como 283,02 < 290,00, ento o item est certo.

07. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitria 2007 Unb/ Cespe) Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um ttulo de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. Resoluo O que a pessoa deve pagar na antecipao de um ttulo o que chamamos de valor atual ou valor descontado. Temos ento um ttulo com o valor nominal (N) de R$ 7.800,00 e queremos descont-lo a uma taxa de 60% ao ano. J que o tempo de antecipao de quatro meses, devemos transformar a taxa anual para taxa mensal. Considerando que o ano tem 12 meses, a taxa de 60% ao ano equivalente a uma taxa de 5% = 0,05 ao ms (60%/12 = 5%). Sabemos que em um desconto racional simples (por dentro) vlida a seguinte relao:

1 .

Logo,

1 .

7.8001 0,05 4

7.800

1,2 6.500,00

O item est errado.

Desconto Comercial Simples (por fora)

Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operao de juros simples. Na operao de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

Imagine que voc fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final).




Estranho ou no? Pois justamente o que acontece no desconto comercial simples. A taxa no incide sobre o valor atual como em uma operao de juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor nominal (valor futuro). justamente por isso que o desconto comercial simples no o teoricamente correto, mas usado em larga escala no mercado financeiro.

Os elementos da operao de desconto comercial simples so os mesmos do desconto racional simples. A nica coisa que vai mudar o fato de a taxa incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto comercial simples ser dado por

Em qualquer tipo de desconto, o valor atual igual ao valor nominal menos o desconto.

A N D= Substituindo a primeira expresso na segunda:

A N N i n= Finalmente colocando o N em evidncia:

08. (TCE Piau 2002 FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, ser descontada 50 dias antes do vencimento, taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancrio, o valor de resgate ser:

a) R$ 14.850,00 b) R$ 16.119,29 c) R$ 16.335,00 d) R$ 16.665,32 e) R$ 18.233,50

D N i n=

(1 )A N i n=




Resoluo

O desconto simples bancrio , nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a frmula

(1 )A N i n= Perceba que a taxa e o tempo esto na mesma unidade de tempo.

Portanto, no h alteraes a fazer nos dados do enunciado.

0,0216.500 1 50100

A = 16.335,00A = Letra C

09. (AFC 2005 ESAF) Marcos descontou um ttulo 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao ms. b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao ms. c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao ms.

Resoluo

O primeiro passo colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses.

45 dias correspondem a 1 ms e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m.

J em relao taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao ms.

O valor descontado (valor atual) igual a R$ 370.000,00.

Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que:

(1 )A N i n=




370.0001 1 0,05 1,5ANi n

= = 400.000N =

O problema ainda pergunta qual a taxa efetiva da operao. O que a taxa efetiva???

A taxa de desconto efetiva nada mais do que a taxa de juros simples que aplicada ao valor descontado do ttulo, durante um prazo equivalente ao que falta para o vencimento, produz como montante o valor nominal do ttulo.

???

Ou seja, a taxa efetiva igual a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipao. Ou, se preferir, pode aplicar uma capitalizao simples sobre o valor atual para gerar o valor nominal.

(1 )eM C i n= + (1 )eN A i n= +

400.000 370.000 (1 1,5)ei= + Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou cortar 4 zeros.

40 37 (1 1,5)ei= + 40 37 55,5 ei= +

55,5 3ei = 3

55,5ei =

Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%.




3 300100% %55,5 55,5e

i = =

5,4% . .i a m Letra B

ATENO!!!!!!

Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu conceito, colocarei a sua disposio uma frmula indispensvel para ganhar tempo. Lembre que nos ltimos 10 minutos da sua prova voc vai implorar por um pouco mais de tempo. Ento, vamos aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa frmula porque nem todos os livros a descreve.

A taxa efetiva para o desconto simples comercial dada por

1eiii n

= Onde i a taxa do desconto!

Um detalhe: essa frmula s poder ser utilizada se no houver taxas administrativas ou impostos cobrados pelo banco!!

Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito.

A taxa de 5% ao ms durante 1,5 meses.

0,05 5,4%1 1 0,05 1,5eiii n

= =

10. (Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um ttulo no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 trs meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6% b) 5% c) 4%




d) 3,3% e) 3%

Resoluo

Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples incidida sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto dado por

D N i n= Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos isolar a taxa na frmula acima. O N e o n que esto multiplicando vo para o outro membro dividindo. Assim,

DiN n

= O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto (R$ 1.800,00) e o tempo de antecipao (trs meses). J que o tempo de antecipao dado em meses, obviamente a taxa ser mensal. E lembre-se que para transformar a taxa em termos percentuais devemos multiplic-la por 100%.

1.800 100%20.000 3

i =

180.000%60.000

i = 3% a.m.i = Letra E

11. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissria sofrer desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontar a promissria reter, a ttulo de saldo mdio, 7% do valor de face durante o perodo que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissria. H ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor lquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, dever ser




(A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344

Resoluo

Trata-se de um desconto bancrio simples. O desconto bancrio leva em conta tambm despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivao da operao de desconto. Ou seja, o desconto bancrio uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

Podemos afirmar que o valor lquido recebido (V) igual ao valor nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas so calculadas como se no houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidir sobre o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora ser efetuado como se no houvesse despesas administrativas.

Portanto,

F BV N D D= , onde DF o desconto por fora e DB so as taxas e as despesas administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto comercial simples (por fora) dado por D = N.i.n,

0,07 0,01V N N i n N N= Alm disso, o tempo de antecipao (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias (30+30+20).

Observao: O ms comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360 dias.

Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diria dever ser dividida por 360.

Ou seja, 0,18360

i = . Ufa! Voltemos nossa expresso.




7% 1%V N N i n N N= O valor lquido recebido foi igual a R$ 4.620,00.

0,18 80 0,07 0,01 4.620360

N N N N = 1 0,04 0,07 0,01 4.620N N N N = J que 1 0,04 0,07 0,01 = 0,88, temos que

0,88 4.620N = 4.620 5.2500,88

N = =

Letra C

12. (CEF 2004 FCC) Em suas operaes de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operao, cobrada pelo banco, ser de, aproximadamente,

(A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63%

Resoluo

A questo envolve o clculo da taxa efetiva em uma operao de desconto simples comercial. Basta aplicar a frmula descrita anteriormente:

0,025 0,025 2,5%100% 2,63%1 1 0,025 2 0,95 0,95eiii n

= = = = Mas de qualquer forma, bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a frmula, por exemplo).




A taxa efetiva a taxa de juros que aplicada sobre o valor lquido gera um montante igual ao valor de face.

Alm disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor nominal. E a frmula que envolve o valor lquido e o valor de face dada por

(1 )A N i n= 2,51 2100

A N =

0,95A N= Faremos agora uma capitalizao simples em que o capital inicial igual a A e o montante igual a N.

(1 )M C i n= + (1 )N A i n= +

0,95 (1 2)N N i= + 1 0,95 (1 2)i= + 1 0,95 1,9 i= +

1,9 0,05i = 0,05 5%100%1,9 1,9

i = =

2,63%i Letra E

Um pouco mais trabalhoso, no !?




Relao entre os descontos simples por fora e por dentro

Como o desconto simples comercial (por fora) calculado sobre o valor nominal, ao passo que o desconto simples racional calculado sobre o valor atual, fcil constatar que, quando calculados nas mesmas condies, o desconto simples por fora ser sempre maior do que o por dentro. Isso porque o valor nominal sempre maior do que o valor atual.

Acompanhe o raciocnio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do ttulo. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples comercial sempre menor do que no desconto simples por dentro (por isso to utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde incidida a taxa no valor nominal).

Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, mais vantajoso para o adquirente do ttulo (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancrio (da o apelido do desconto comercial) do que o desconto racional.

Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual a relao entre os descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas condies, ou seja, mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do ttulo.

Para diferenciar, chamarei de DF o desconto simples por fora (comercial) e DD o desconto simples por dentro (racional).

Vimos anteriormente que

e 1D FN i nD D N i ni n = = +

Logo,

1F

DDDi n

= +

( )1F DD D i n= + 13. (Fiscal PA 2002 ESAF) Uma nota promissria sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, trs meses antes do seu vencimento, a




uma taxa de desconto de 3% ao ms. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente mesma taxa.

a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00

Resoluo

Para quem conhece a frmula que mostrei anteriormente, a questo faclima!!

( )1F DD D i n= + O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que igual a R$ 981,00, a taxa que igual a 3% = 0,03 ao ms e o tempo de antecipao que igual a 3 meses.

( )981 1 0,03 3DD= + 981 1,09DD=

981 9001,09D

D = =

Letra E

14. (AFPS 2002 ESAF) Um ttulo no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00




Resoluo

A taxa de desconto ser igual nas duas operaes.

A primeira operao um desconto comercial simples com valor nominal R$ 10.900,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipao igual a 3 meses. Como sabemos que o desconto

comercial simples dado por FD N i n= , ento 981 10.900 3i=

981 32.700 i= 981 0,03

32700i = =

J que a taxa utilizada ser a mesma nos dois descontos, e a questo trocou o desconto comercial simples por um desconto racional simples, podemos calcular esse novo desconto com a frmula

( )1F DD D i n= + ( )981 1 0,03 3DD= +

981 1,09DD= 981 9001,09D

D = = Letra B

Questo copiada!!! Mesma banca... Mesmo ano.. Mesma questo... Mesmos valores!!!

Essa a importncia de resolver questes anteriores da banca!!

As questes frequentemente so repetidas...


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Equivalncia Simples de Capitais

Antes de qualquer coisa, deixe-me definir formalmente o que significa equivalncia de capitais.

Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, so ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais.

Por exemplo: Imagine que voc deve pagar uma dvida em duas prestaes. A primeira no valor de R$ 50.000,00, vencvel daqui a 3 anos, e a segunda, no valor de R$ 40.000,00, a pagar daqui a 5 anos. Mas voc passou no seu to sonhado concurso e deseja trocar esse dbito por dois outros iguais, pagveis daqui a 1 ano e 2 anos, respectivamente. bvio que voc no vai pagar R$ 90.000,00 (40 mil + 50 mil). Voc ir pagar um valor menor. aquela mxima: quem tem dinheiro economiza, quem no tem pagar juros. E j que voc agora auditor fiscal vamos saldar essa dvida e economizar!!

Para responder os valores que voc pagar, o problema precisa deixar claro outras duas informaes: a taxa de juros e a data focal. A taxa de juros j nossa conhecida. E o que a data focal? a data de referncia.

Qual a necessidade de existir uma data de referncia?

No permitido em Matemtica Financeira comparar valores que esto em datas diferentes. Para ilustrar bem essa situao, basta voltar para a pergunta que te fiz na aula passada:

Voc prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos?

Obviamente receber R$ 100.000,00 hoje no a mesma coisa que receber esse valor daqui a 20 anos.

E o enunciado obrigado a informar qual a data focal. Se o enunciado nada dispuser acerca da data focal, por conveno, adotamos que a data focal 0 (hoje).

Ressalte-se ainda que, a juros simples, dois conjuntos de capitais equivalentes em uma determinada data focal no o sero em outra data focal.

Teremos aqui ainda nossas antigas preocupaes. Temos que saber o regime da equivalncia: se simples ou composto.


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E mais...

Toda questo de equivalncia resolvida com o auxlio das operaes de desconto. Por isso, o problema deve deixar pistas acerca da modalidade de desconto. E ento, usaremos o que foi dito anteriormente. Lembra que o desconto racional simples a mesma coisa que uma operao de juros simples? Ento, se o enunciado falar algo sobre taxa de juros, saberemos que se trata de uma equivalncia que utiliza desconto racional, caso contrrio, usaremos o desconto comercial.

Para esquematizar os problemas que envolvem entradas e sadas de capitais ao longo do tempo, utilizamos grficos que contm setas com sentidos contrrios e que representam entradas e sadas de dinheiro no caixa em diferentes momentos. Esses grficos so chamados fluxos de caixa.

E a melhor maneira de aprender equivalncia de capitais resolvendo problemas. Vamos prtica!

15. (AFTN ESAF - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% ao ms). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, de $ 1.400,00. As condies contratuais prevem que o pagamento deste financiamento ser efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do dcimo primeiro ms. O valor que mais se aproxima do valor financiado :

a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00

Resoluo

O enunciado j deixou claro que estamos trabalhando no regime simples.




E qual o valor das parcelas? A primeira de 70% do total dos

pagamentos, ou seja, 70 1400 980

100 = . A segunda parcela de 30%

do total dos pagamentos, ou seja, 30 1400 420

100 = .

Quando uma pessoa faz um financiamento (emprstimo), ela pega o valor na data zero (hoje) e se compromete a pagar em datas futuras. Ento, temos duas formas para quitar o emprstimo:

i) Devolver o valor (X) do financiamento no momento do contrato. Ou seja, voc recebe o dinheiro e no mesmo momento devolve.

ii) Pagar uma parcela de R$ 980,00 ao final do quarto ms e a segunda parcela de R$ 420,00 ao final do dcimo primeiro ms.

Temos o seguinte diagrama:

O conceito de equivalncia de capitais nos diz que pagar X na data zero equivale a pagar $ 980,00 no 4 ms e $ 420,00 no 11 ms.

O conceito diz ainda que os dois conjuntos de capitais so equivalentes: no so iguais. No podemos dizer que X = 980 + 420. Isso porque no podemos somar quantias em pocas diferentes. A Matemtica Financeira no permite operaes com quantias em pocas diferentes. R$ 100.000,00 hoje no a mesma coisa que R$ 100.000,00 daqui a 20 anos. Para que possamos comparar os dois conjuntos de capitais, devemos compar-los em uma mesma data. Essa data o que chamamos de data focal, a data de referncia.

No regime simples o problema obrigado a dizer qual a data focal, a data de referncia. Quando no o fizer, adotaremos a data zero como data focal. o que faremos nessa questo.




Logo, devemos transportar todos os valores para a data zero. Dessa forma, posso afirmar que X igual a $ 980 transportado para a data zero mais $ 420 transportado para a data zero. E como fazemos esse transporte? Os transportes das quantias ao longo do tempo nos problemas de equivalncia so feitos atravs de operaes de desconto. Portanto devemos saber se o desconto ser racional ou comercial. Para isso, o enunciado nos deu uma dica: disse que a taxa era uma taxa de juros simples. E ns sabemos que juro simples o mesmo que desconto racional simples.

Nosso prximo passo ser fazer o transporte das quantias. Vamos faz-lo separadamente.

i) 1 parcela: $ 980,00

(1 )N A i n= + 980 (1 0,10 4)P= +

980 1, 4P= 980 7001,4

P = =

Isso quer dizer que pagar $980,00 daqui a 4 meses o mesmo que pagar R$ 700,00 hoje!

ii) 2 parcela: $ 420,00




(1 )N A i n= + 420 (1 0,10 11)Q= +

420 2,1Q= 200Q =

Isso quer dizer que pagar $420,00 daqui a 11 meses o mesmo que pagar R$ 200,00 hoje!

Dessa maneira, o valor que devo pagar hoje ser X= 700 + 200 = 900.

Letra B

16. (AFRF 2002 ESAF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinquenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu h 20 dias, taxa de juros simples de 0,1% ao dia.

a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00

Resoluo

Para resolver questes de equivalncia importantssimo desenharmos o fluxo de caixa.




O enunciado forneceu uma taxa diria e os tempos esto todos em dias. No h necessidade de alteraes.

Outro fato importante: o enunciado colocou (na ltima linha) que est sendo utilizada uma taxa de juros simples. Portanto, o regime adotado ser o simples.

Toda questo de equivalncia de capitais resolvida mediante operaes de desconto. Diante disso, precisamos descobrir qual a modalidade do desconto.

O enunciado foi omisso quanto modalidade do desconto. Mas lembre-se que o desconto racional simples equivale a uma operao de juros simples. E na ltima linha o enunciado deixou explicito que a taxa utilizada uma taxa de juros. Portanto, o desconto utilizado ser o desconto racional simples (por dentro).

Agora em relao data focal. No regime simples o enunciado obrigado a dizer qual a data de referncia. No falou explicitamente a data focal ..., mas disse Indique qual o capital hoje equivalente ao..., portanto a data focal ser 0 (hoje).

E como se resolve uma questo de equivalncia de capitais? Devemos transportar os dois conjuntos de capitais para a mesma data. Que data? A DATA FOCAL!!

O primeiro conjunto de capitais, o que est abaixo da linha do tempo no fluxo de caixa j est na data focal. Nada precisamos fazer.




Vamos agora transportar o segundo conjunto de capitais (setas vermelhas) para a data focal 0.

Vejamos cada um dos capitais componentes:

i) R$ 4.000,00

Lembre-se que o desconto racional simples equivale a uma operao de juros simples.

(1 )N A i n= + 0,14.000 (1 20)100

P = + 4.080P =

Isso quer dizer que o capital de R$ 4.000,00 que venceu h 20 dias, hoje vale R$ 4.080,00.

ii) R$ 4.620,00




(1 )N A i n= + 0,14.620 1 50100

Q = + 4.620 1,05Q=

4.400Q = Ou seja, o capital de R$ 4.620,00, que vencer daqui a 50 dias, vale hoje R$ 4.400,00.

iii) R$ 3.960,00

(1 )N A i n= + 0,13.960 1 100100

R = + 3.960 1,1R=

3.600R =




Temos, agora, o seguinte fluxo de caixa:

A equivalncia simples de capitais no um assunto muito comum em provas de concursos, mas a teoria servir de base para o entendimento da equivalncia composta de capitais. Este sim, um assunto muito comum em provas e que de fundamental importncia para o estudo das rendas certas.

Aconselho que voc d uma olhada na minha parte aberta do site. Coloquei vrias resolues de provas de Matemtica Financeira do ano de 2010.

Um abrao e at a prxima aula.

Guilherme Neves

[email protected]




Questes comentadas nesta aula

01. (BNB 2004 ACEP) Em uma operao de desconto racional com antecipao de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao ms. Qual o valor de face desse ttulo?

a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.666,67 c) R$ 32.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 160.000,00

02. (AFRE-MG 2005 ESAF) Um cheque pr-datado adquirido com um desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operao considerando um desconto simples por dentro.

a) 6,25%. b) 6%. c) 4%. d) 5%. e) 5,5%.

03. (BNB 2003 ACEP) Jos tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dvida aps dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor Jos pagaria a dvida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuzo para o banco se nesta poca a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional?

a) R$ 16.000,00 b) R$ 13.800,00 c) R$ 17.600,00 d) R$ 14545,45 e) R$ 14.800,00

04. (AFT 2010 ESAF) Um ttulo sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,0 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00.




05. (UnB/CESPE PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um ttulo de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e taxa de juros de 12% ao ano, ento o valor do desconto racional, ou por dentro, ser superior a R$ 450,00. 06. (Economista IBRAM UnB/CESPE - 2009) Com relao a desconto, julgue o item abaixo. Considere que um ttulo de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente de 36% ao ano e se o desconto considerado o racional (ou por dentro), ento a quantia que o devedor est deixando de pagar por liquidar o ttulo antecipadamente inferior a R$ 290,00. 07. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitria 2007 Unb/ Cespe) Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um ttulo de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. 08. (TCE Piau 2002 FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, ser descontada 50 dias antes do vencimento, taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancrio, o valor de resgate ser:

a) R$ 14.850,00 b) R$ 16.119,29 c) R$ 16.335,00 d) R$ 16.665,32 e) R$ 18.233,50

09. (AFC 2005 ESAF) Marcos descontou um ttulo 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao ms. b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao ms. c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao ms.

10. (Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um ttulo no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 trs




meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3%

11. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissria sofrer desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontar a promissria reter, a ttulo de saldo mdio, 7% do valor de face durante o perodo que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissria. H ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor lquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, dever ser

(A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344

12. (CEF 2004 FCC) Em suas operaes de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operao, cobrada pelo banco, ser de, aproximadamente,

(A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63%

13. (Fiscal PA 2002 ESAF) Uma nota promissria sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, trs meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao ms. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente mesma taxa.

a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30




d) R$ 920,00 e) R$ 900,00

14. (AFPS 2002 ESAF) Um ttulo no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00

15. (AFTN ESAF - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% ao ms). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, de $ 1.400,00. As condies contratuais prevem que o pagamento deste financiamento ser efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do dcimo primeiro ms. O valor que mais se aproxima do valor financiado :

a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00

16. (AFRF 2002 ESAF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinquenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu h 20 dias, taxa de juros simples de 0,1% ao dia.

a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00




Gabaritos

01. Letra A 02. Letra A 03. Letra D 04. Letra A 05. Errado06. Certo07. Errado08. Letra C 09. Letra B 10. Letra E 11. Letra C 12. Letra E 13. Letra E14. Letra B 15. Letra B 16. Letra C

mat fin - aula 02

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