1., Definiálja két függvény egy adott x0 pontbeli legalább n-edrendű érintkezésének fogalmát!Legyen f(x) és g(x) n-szer differenciálható [a,b]-n, x0ϵ[a,b], akkor f és g n-ed rendben érintkeznek, ha f(x0)=g(x0), f’(x0)=g’(x0), f’’(x0)=g’’(x0),…fn(x0)=gn(x0)2., Definiálja az f függvény adott x0 pontjához tartozó simulókör fogalmát!k(x) kör az f függvény x0-beli simulóköre, ha f(x) és k(x) az x0-ban legalább másodrendben érintkeznek. f(x0)=k(x0), f’(x0)=k’(x0), f’’(x0)=k’’(x0)3., Adja meg a koszinusz / szinusz függvény negyedik Maclaurin polinomját!f(x)=sinx x0=0 T4(x)=x-1/3!x3

f(x)=cosx x0=0 T4(x)=1-1/3!x3+1/4!x4

4., Definiálja az f függvény x0-beli görbületét!Azt értjük, h a görbe mennyire tér el az egyenestől (a görbület az érintő irányváltozásának a sebessége). Egy görbület csak akkor 0, ha a görbe egyenes. Ha k(x) az f(x) függvény simulóköre az x0-ban, akkor az f(x) függvény görbülete alatt értjük a k(x) kör sugarának reciprokát. g=1/r5. Írja fel az m egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer általános alakját. Írja fel az egyenletrendszert vektor / mátrix jelöléssel!a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 …am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

6. Ismertesse a Gauss-féle eliminációs módszert! Hány megoldása lehet a feladatnak?Az elimináció lényege abban áll, hogy rendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrixszal reprezentálható alakra. Ezt sorozatos, jobb és bal oldalon egyaránt alkalmazott, lineáris transzformációk segítségével érjük el. A Gauss-elimináció szerint az egyenletrendszereket csak a következő megengedett lépésekkel szabad megoldani, ezek: két egyenlet felcserélése, egyenlet számmal szorzása, egyik egyenlethez a másik skalár-szorosának hozzáadása. Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága: lehet hogy egy megoldás, lehet hogy végtelen megoldás, lehet hogy nincs megoldás.7. Mit nevezünk n komponensű vektornak, milyen műveleteket lehet végezni (és hogyan) az n komponensű vektorokkal?Azt az oszlop vagy sor vektort nevezzük, amelynek n db eleme van. Összeadás, skalárral való szorzás, egymással való szorzás, kivonás.8. Adja meg a lineáris tér (vektortér) definícióját!H halmaz lineáris tér, ha megadható „+”,”α*” ezekre nézve zárt a H halmaz, és a tulajdonságok teljesülnek, akkor H-t lineáris térnek nevezzük.9. Definiálja egy vektorrendszer lineáris kombinációját / a 0 triviális lineáris kombinációját/ a 0 nem triviális lineáris kombinációját!Rn-ben legyen a1,a2,…akϵRn, α1, α2,… αkϵR, akkor az ai-k αi-k súlyokkal vett lineáris kombinációja: a1α1+a2α2+…+akαk

triviális lineáris kombináció ha a 0 vektor csak úgy hozható létre hogy az össze αi=0 a1,a2,…ak

αi=0, i=1,2,…k, akkor 0a1+0a2+…+0ak=0 nem triviális lineáris kombináció ha van legalább egy olyan α, ami nem egyenlő 0-val és megkapjuk a 0 vektort, 0a1+0a2+…+2010ak=010. Definiálja egy vektorrendszer lineáris függetlenségét/ lineáris összefüggőségét!A vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha a zérus vektort csak triviálisan állítható elő lineáris kombinációjaként. A vektorrendszer lineárisan összefüggő, ha a zérus vektort nem csak triviális kombinációként állítható elő.11. Definiálja egy vektorrendszer rangját!/ Definiálja egy lineáris tér dimenzióját!

A vektorrendszer rangja alatt a maximális lineárisan független elemszámot értjük.Egy L lineáris tér bázisát alkotó vektorok számát a lineáris tér dimenziójának nevezzük12. Definiálja egy lineáris tér bázisát!Rn bázisa az [a1,a2,…an] vektorrendszer, ha maximális elemszámú, lineárisan független vektorokból áll.13. Ismertesse a mátrixokkal kapcsolatban tanult mátrixszorzás, skalárral való szorzás, összeadás műveleteket!Mátrixok szorzása: A*B, akkor lehetséges ha A oszlopainak száma meggyezik B sorainak számával cij=∑l

k=1aikbik, skalárral való szorzás esetén minden elemet meg kell szorozni, összeadáskor csak azonos méretű mátrixokat lehet összeadni, úgy hogy a megfelelő tagok összegét vesszük.14. Vizsgálja a mátrix szorzás kommutativitását!Négyzetes mátrixok esetén asszociatív, amennyiben nem négyzetes a mátrix, akkor csak úgy lehet szorozni h a szorzandó mátrix sorainak száma megegyezik a szorzó mátrix oszlopainak számával.15. Definiálja egy mátrix transzponáltját!Egy mátrix transzponáltja alatt azt a mátrixot értjük, amelyet az eredeti mátrixból úgy kapunk, hogy felcseréljük az oszlopait a soraival.16. Definiálja egy négyzetes mátrix inverzét!Mátrix inverze alatt azt értjük, melyet ha megszorzunk az eredeti mátrixot eredményül az egységmátrixot kapjuk.17. Mondja ki a lineáris térre (vektortérre) vonatkozó reprezentációs tételt!Vektorrendszerben, ha veszem a lineárisan független vektorokat és ezek lineáris kombinációja a rendszer minden elemét előállítja.18. Mi mondható egy olyan vektorrendszer lineáris összefüggőségéről/ függetlenségéről, amely tartalmazza a 0-t?Az a vektorrendszer, amely tartalmazza a 0-t, lineárisan összefüggő, mivel nem csak triviális kombinációként áll elő a 0 vektor.19. Definiálja a másodrendű/ a harmad rendű/ az n-ed rendű determináns fogalmát!

20. Adjon meg nem csupa 0 elemű, 0 determinánsú mátrixot! Válaszát indokolja!1 1 12 0 12 2 2 Ennek a mátrixnak 0 a determináns értéke, mert ha egy mátrix sorai v. oszlopai megegyeznek, illetve egymás szám szorosai, akkor a determináns értéke 0.21. Adjon meg 0 elemet nem tartalmazó, 0 determinánsú mátrixot! Válaszát indokolja!1 4 22 8 41 4 2 Ennek a mátrixnak 0 a determináns értéke, mert ha egy mátrix sorai v. oszlopai megegyeznek, illetve egymás szám szorosai, akkor a determináns értéke 0.22. Mit nevezünk egy négyzetes mátrix sajátvektorának/ sajátértékének?Egy nxn-es M négyzetes mátrix sajátvektora a v nem zérus vektor, ha alkalmas λ számra Mv= λ v teljesül. Ekkor v sajátvektor a λ sajátértékkel. 23. Hogyan határozhatók meg egy négyzetes A mátrix sajátértékei/ sajátvektorai?Sajátérték és sajátvektor meghatározásához tekintsük az alábbi egyenletet: (M-λE)v=0. (E az egységmátrix.) Ezen homogén egyenletrendszernek csak akkor van nem triviális megoldása, ha az együtthatók mátrixának determinánsa zérus, azaz ha det(M-λE)=0.24., Milyen esetben és hogyan használható fel a mátrix inverze egyenletrendszer megoldására?

25. Írja fel a P0(x0; y0; z0) ponton áthaladó v(v1; v2; v3) irányvektorú egyenes vektoregyenletét / paraméteres egyenletrendszerét!Paraméteres: x=x0+v1t Vektoregyenlete: [x, y, z] = [x0, y0, z0] + t[v1, v2, v3] =

y=y0+v2t [x0 + v1t, y0 + v2t, z0 + v3t].z=z0+v3t

26. írja fel a P0(x0; y0; z0) ponton áthaladó n(A;B;C) normálvektorú sík egyenletét!A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 027. Adja meg az f(x; y) kétváltozós függvény totális deriválhatóságának definícióját a P0(x0; y0) pontban! Mi a geometriai jelentése a totális deriválhatóságnak?Legyen f(x,y) értelmezett P0(x0,y0)-ban és annak környezetében, ha vannak A,BЄR, hogy f(x,y)–f(x0,y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+ε1(x-x0)+ε2(y-y0) teljesül P0 környezetében úgy, hogy lim(P→P0)ε1=0 és lim(P→P0)ε2=0, akkor f(x,y) P0-ban totálisan deriválható. Geometria jelentése, hogy a P0-ban létezik érintősík.28. Adja meg az f(x; y) kétváltozós függvény irány menti deriváltjának definícióját, kiszámítási módját!Legyen f(x,y) értelmezve P0-ban és annak környezetében, f(x,y) P0-ban α irányban derivható, ha [f(x0+t∙cosα; y0+t∙sinα)–f(x0,y0)]/t , α irányban P0-ban vett differencia hányadosnak van véges határértéke. Ezt a véges határértéket nevezzük f(x,y) P0-ban α irányú, iránymenti deriváltjának. Jele: f’α(x0,y0)Ha f(x,y) P0-ban totálisan derivható, akkor bármely α irányban létezik az iránymenti deriváltja, mégpedig: f’α(x0,y0)=f’x(x0,y0)cosα + f’y(x0,y0)sinα29. Adja meg az f(x; y) kétváltozós függvény P0(x0; y0)-beli gradiens vektorát, és annak jelentését!f(x,y) P0-beli gradiens vektora (f’x(x0,y0); f’y(x0,y0)). Jele: grad f(P0). A gradiens vektor irányában maximális az iránymenti derivált számértéke → abban az irányban nő a leggyorsabban a függvény! f’α(x0,y0)=gradf(P0)∙v=gradf(P0)∙v∙cosφ30. Adja meg a másodrendű felület definícióját! Nevezzen meg egy másodrendű felületet!A háromdimenziós tér részhalmaza, amely a Descartes-féle koordináta-rendszerben olyan egyenlettel adható meg, amelynek jobb oldalán a három koordináta másodfokú polinomja áll, bal oldalán pedig nulla: ax2+bx+c=0 Pl.: Ellipszoid.31. Legyen f(x) a valós számok halmazán értelmezett korlátos függvény. Adja meg az ∫∞

-

∞f(x) dx / ∫∞af(x) dx/ ∫b

-∞f(x) dx definícióját!

32. Legyen f(x) az (a; b] intervallumon értelmezett, a környezetében nem korlátos függvény. Adja meg az ∫a

bf(x) dx definícióját!

33. Válassza meg az a és b értékeket úgy, hogy a ∫ab(1/√(1-x2))dx integrál improprius

legyen!Úgy, hogy +1 és/vagy -1 et tartalmazza az intervallum.34. Konvergens-e az ∫∞

0sin x dx?Nem konvergens, mert a sinx függvény nem korlátos a végtelenben.35. Adjon példát olyan f(x) függvényre, amelyre a ∫1

0f(x) dx improprius integrál divergens!f(x)=1/x236. Adjon példát olyan f(x) függvényre, amelyre az ∫2009

0f(x) dx integrálra a trapézformulával pontos értéket kapunk!

f(x)=x, trapézformulával a lineáris függvényeket lehet jól megközelíteni.37. Adjon példát olyan f(x) függvényre, amelyre az ∫2009

0 f(x) dx integrálra a Simpson-formulával pontos értéket kapunk!f(x)=ex, mivel Simpson-formulával a görbe függvényeket lehet jól közelíteni.38. Vázolja a trapézformula levezetésének főbb lépéseit!a)[a,b] intervallumot osszuk fel n egyenlő részre b) mindegyik intervallum hossza h c) az osztópontok legyenek: a=x0<x1<…<xn-1<xn=b és az ezekhez tartozó fv. értéke pedig y0,y1,…,yn) a kérdéses síkrész területét trapézok területének összegével közelítjük: (képletet kimásolni a lapról)39. Vázolja a Simpson-formula levezetésének főbb lépéseit!a)[a,b] intervallumot osszuk fel 2n (páros számú) egyenlő részre b) mindegyik intervallum hossza h c) az integrál értéke h szélességű trapézokkal, melyek tetejét parabolákkal és nem egyenesekkel helyettesítjük.40. Adja meg egy m tömegű tömegpont adott t tengelyre vonatkozó statikai nyomatéknak definícióját!Ez alatt az m tömegű tömegpont és a t tengelytől való távolságának szorzatát értjük.41. Adja meg a síkbeli tömegpontrendszer adott t tengelyre vonatkozó statikai nyomatékának definícióját!

42. Adja meg egy általános alakzat súlypontjának definícióját!

43. Adja meg egy általános görbe vonal ívhosszának definícióját!

44. Adja meg egy m tömegű tömegpont adott t tengelyre vonatkozó inerciájának definícióját!

45. Adja meg a síkbeli tömegpontrendszer adott t tengelyre vonatkozó inerciájának definícióját!

46. Mondja ki a Steiner tételt!

47. Igazolja, hogy a háromszög geometriai súlypontja, azaz a súlyvonalak metszéspontja, egybeesik a mechanikai súlyponttal!

48. Mondja ki a forgástest térfogatára / felszínére vonatkozó Pappus-Guldin tételt! Mutasson egy példát az alkalmazásra!Legyen egy A területű síkidom, és egy t egyenes vele egy síkban, mely nem metszi a síkidomot. Ha a síkidomot a t egyenes mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy V térfogatú forgástestet súrol. A síkidom CA súlypontjának távolsága a t tengelytől Rs. Ennek a forgástestnek a térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont pályája ívhosszának szorzatával.Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága s. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. A görbe C súlypontjának távolsága a t tengelyől rs. Az első tétel kijelenti, hogy egy síkgörbe megforgatásával nyert forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe s ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának (körív) szorzatával.49. Mit nevezünk n különböző elem ismétlés nélküli / ismétléses permutációjának? Hány permutációja van n különböző elemnek? Írja fel az A, B, C elemek permutációit!n elem egy permutációján az n darab elem egy meghatározott sorrendjét értjük.

n különböző elem esetén, n egy permutációját, n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Jele: Pn

Ha n elem között találunk k1,k2,…,km egymással megegyezőt, akkor n elem egy permutációját, n elem k-ad rendű ismétléses permutációjának nevezzük. Jele:Pn

k1,k2,…,km.n elem ismétlés nélküli permutációinak száma Pn = n!ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA50. Mit nevezünk n elem k-ad osztályú ismétléses / ismétlés nélküli variációjának? Adja meg, hogy hány van belőlük! Mutasson egy példát!A variáció ismétlés nélküli, ha egy elem csak egyszer fordulhat elő benne. Ebben az esetben – ha n a halmaz elemszáma, és k-ad osztályú variációkat képzünk – szükségképpen k≤n. Vn

k =n!/(n-k)! Pl. 9színből 3-at választunk egy zászló készítéséhez, hányféle zászló készülhet? 9!/(9-3)!=504Ismétléses variációkról beszélünk, ha egy elem többször is előfordulhat. Ebben az esetben k és n értéke független egymástól. Vn

k,i =nk Pl.: Hogyan tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény az 1, 2 és x szimbólumok használatával? (Ebben a példában n=3 és k=14.)314 =478296951. Mit nevezünk n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációjának? Adja meg, hogy hány van belőlük! Mutasson egy példát!Vegyük az n elemű halmaz egymástól különböző elemei közül k(<=n) darabot minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott k elem sorrendjére nem vagyunk tekintettel.Mind a k elem különböző. Az így képzett k elemű halmazok az n elem k-ad osztályú kombinációi. Ezen kombinációk számát Cn

k szimbólummal jelöljük = (nk) = n!/k!(n-k)!

Pl.: Lottó: 90 számból 5öt kell eltalálni. 90!/5!(90-5)!=439426852. Definiálja az elemi esemény fogalmát!Csak egyféleképpen következhet be.53. Definiálja az eseménytér és az esemény fogalmát!Eseménytér alatt egy adott dologgal, kísérlettel kapcsolatos összes kimenetelt, lehetőséget értjük. Eseménynek nevezhetünk mindent, amiről a kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem.54. Adja meg az összegesemény definícióját!Ha A és B esemény közül valamelyik bekövetkezik, akkor az újabb eseményt A+B-vel jelöljük.55. Adja meg a szorzatesemény definícióját!Akkor beszélünk szorzateseményről ha mindkét A és B esemény bekövetkezik és A*B-vel jelöljük56. Adja meg a különbségesemény definícióját!Ha A bekövetkezik és B nem A-B=AB( b felső vonal)57. Adja meg a komplementer esemény definícióját!Komplementer esemény alatt azt értjük amikor a vizsgált esemény nem következik be, jele: A(felső vonal). 58. A gyakoriság fogalmának segítségével definiálja egy A esemény valószínűségének fogalmát!Nagy számú kísérlet esetén A esemény valószínűségének az esemény bekövetkezésének relatív gyakoriságát nevezzük.59. Mondja ki a Kolmogorov-féle valószínűség axiómákat!0<=P(A)<=1, P(Ω)=1, ∑Ai=Ω A1,A2,….,Ak =>P(A1+A2+…+Ak)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)60. Adja meg a klasszikus valószínűségi mező definícióját!Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínűségei együtt ún. klasszikus valószínűségi mezőt alkotnak.

61. Adja meg a visszatevés nélküli mintavétel esetén annak az eseménynek a valószínűségét, hogy az n elemű mintába k db. selejtes elem kerül!P(Ak)=kedvező/összes (s

k)∙(N-sn-k)/(N

k); N: elemek száma; s:selejtes elemek; n mintát veszünk; Ak: az n elemű minta pontosan k selejtet tartalmaz.62. Adja meg a visszatevéses mintavétel esetén annak az eseménynek a valószínűségét, hogy az n elemű mintába k db. selejtes elem kerül!P(Ak)=(n

k) pk∙qn-k ; p=s/n; q=1-s/n63. Adja meg a P(A\ B) kifejez és definícióját és egy példán keresztül szemléltesse jelentését!Amikor A esemény bekövetkezik, de B nem. Pl.: A: párosat dobunk, B: páratlant egy dobókockával.64. Definiálja a teljes eseményrendszer fogalmát!B1,B2,…Bn teljes eseményrendszert alkotnak, ha összegük a biztos esemény, és páronként kizáróak B1+B2+…+Bn=Ω65. Mondja ki a teljes valószínűség tételét!Bi esemény (BiЄΩ) események teljes eseményrendszert alkotnak és AЄΩ. P(A)=P(AB1)P(B1)+ P(AB2)P(B2)+…+ P(ABn)P(Bn)66. Definiálja az A és B események függetlenségét!az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja (nem is rontja, nem is javítja) a másik bekövetkezési esélyét. Mivel a B esemény (P(B)>0) bekövetkezésekor az A bekövetkezésének esélyét a P(A\B) feltételes valószínűség jellemzi, így azt mondhatjuk, hogy az A akkor független B-től, ha P(A\B)=P(A). (P(AB)=P(A)P(B))67. Adja meg a valószínűségi változó definícióját!Valószínűségi változónak nevezzük azt a változó mennyiséget, mely értéke a véletlentől függ68. Adja meg a diszkrét valószínűségi változó definícióját! Mutasson két, diszkrét valószínűségi változót!Valamely valószínűségi változó diszkrét, ha lehetséges értékei véges vagy végtelen számsorozatot alkotnak. Pl.: tel.központ max. kapacitása 100hivás/óra → val.változó az 1,2…100 értékeket veheti fel. Elemi eseményeket jelöljük A1,A2…A100 akkor annak a valószínűsége, h ξ=i az Ai esemény valószínűségével egyenlő, vagyis P(ξ=i)=P(Ai)=1/100 és ez a valószínűség minden más i értéke 0.69. Adja meg a folytonos valószínűségi változó definícióját! Mutasson két, folytonos valószínűségi változót!Valamely val. változó folytonos, ha lehetséges értékei egy számegyenes véges v végtelen intervallumát folytonosan kitöltik pl.: Duna vízállása, emberek magassága.70. Definiálja az eloszlásfüggvényt, és adja meg a tulajdonságait!Eloszlásfüggvény: Legyen ξ egy val. változó , x pedig egy tetszőleges valós változó, akkor az F(x)=P(ξ<x) fv-t , mely minden x valós számra megadja, h mekkora valószínűséggel vesz fel ξ x-nél kisebb számértéket, a ξ eloszlásfüggvénye. Tulajdonságai: balról folytonos, monoton, nem csökkenő, -∞-ben a határérték=0, +∞-ben=171. Definiálja egy diszkrét valószínűségi változó eloszlását!Legyen ξ olyan diszkrét valószínűségi változó, melynek értékkészlete x1,x2,…. Jelölje Ai a ξ=xi eseményt, i=1,2,…. Ekkor az Ai i=1,2,… halmazok teljes eseményrendszert alkotnak. Ebből következik, hogy a pi=P(Ai)=Pξ=xi, i=1,2,…,számok diszkrét eloszlást alkotnak (azaz pi≥0 i=1,2,…, és ∑∞

i=1pi=1)72. Definiálja a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényét, és adja meg a tulajdonságait!

az f(x) sűrűségfüggvényt az eloszlás fv. deriválásával kapjuk meg f(x)=F’(x) Tul.: f(x)≥0; F(x)=-∞∫xf(t)dt; -∞∫+∞f(x)dx=1; a∫bf(x)dx=F(b)-F(a)=P(a≤x≤b)73. Definiálja a valószínűségi változó várható értékét!Legyen a ξ val. változó diszkrét eloszlású, mely az x1,x2… lehetséges értékét p1,p2

valoszínűségekkel veszi fel, akkor: M(ξ)=∑xkpk összegét a ξ várható értékének hívjuk.74. Definiálja a valószínűségi változó szórását!Egy val. változó ingadozásának mértéke a D(ξ)=√M[ξ-M(ξ)]2 =√M(ξ2)-M2(ξ) mennyiséget tekintjük, s ezt a ξ valószínűségi változó szórásának, ennek négyzetének a D2(ξ) mennyiségét pedig szórásnégyzetnek hívjuk.75. Adjon meg egy egyenletes / exponenciális / normális eloszlású valószínűségi változót és adja meg és ábrázolja a hozzá tartozó eloszlású és sűrűségfüggvényt!

76. Milyen kapcsolat van az (m; σ) paraméterű és a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényei között?

Numerikus módszerek6.Hermit interpoláció: Legyen ismert f[a,b]ЄR fv. és első deriváltjának az értéke x1,x2…xn Є[a,b] pontokban válasszunk ki (2n-1)-ed fokú polinomot, amelyre g(xi)=f(xi) és g’(xi)=f’(xi) i=1,2…n. g(x)=A1+A2x+A3x2+…+A2x2n-110.Nemlíneáris egyenlet közelítő megold Newton módszerrel: f(x) egyenletről tudjuk, h egyetlen gyöke van (a,b) intervallumon a fv. x=a pontjához tartozó érintő egyenlete y-f(a)=f’(a)(x-a) ez az érintő x tengelyt x1-ben metszi, melynek ordinátája=0, ez elvégezhető ha: f(a)>0 és f”(a)>0 konvex; f(a)<0 és f”(a)<0 konkáv. (a,b) intervallumok ahol a pontjában kell elindulni, melyben a fv. értékek és a második der. Előjele megegyezikTaylor polinom: Legyen f(x) x0-ban legalább n-szer deriválható, akkor az f(x) x0-beli n-ed fokú Talyor polinomja az a polinom mely f(x)-et x0-ban legalább n-ed rendben érinti.Lagrange-féle maradék: Legyen f(x) x0-ban és annak egy környezetében (n+1)-szer deriválható, ekkor van x és x0 között x valós szám, hogy az f(x)-Tn(x)=[f(n+1)(x)/(n+1)!]*(x-x0)n+1.Taylor-formula: f(x)=Tn(x)+[f(n+1)(x)/(n+1)!]*(x-x0)n+1.2 változós fv. totális deriváltja: Legyen f(x;y) értelmezett P0(x0;y0)-ban és annak 1 környezetében. Ha vannak A;BÎlR, hogy f(x;y)-f(x0;y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+e1(x-x0)+e2(y-y0) teljesül P0 környezetében úgy, hogy lime1=0 és lim e2=0 akkor f(x;y) P0-ban totálisan P®P

0 P®P

0deriválható.Tétel: Ha f(x;y) P0-ban totálisan deriválható, akkor FOLYTONOS.Tétel: Ha f(x;y) P0-ban totálisan deriválható, akkor P0-ban x;y szerint parciálisan deriváltak is léteznek, mégpedig A=fx’(x0;y0) és B=fy’(x0;y0).Iránymenti derivált: Legyen f(x;y) értelmezett P0-ban és annak 1 környezetében, akkor f(x;y) P0-ban a irányban deriválható, ha a irányban P0-ban vett diferencia hányadosának ”[f(x0+t*cosa;y0+t*sina)-f(x0;y0)]/t” van véges határértéke. Ezt a határértéket nevezzük f(x;y)P0-ban vett a iránymenti deriváltjának. Jele: fx’(x0;y0).Tétel: Ha f(x;y) P0-ban totálisan deriválható, akkor bármely a irányban létezik az irány menti deriváltja, mégpedig fa’(x0;y0)=fx’(x0;y0)*cosa+fy’(x0;y0)*sina.Gradiens vektor: f(x;y) P0-beli gradiens vektora [fx’(x0;y0);fy’(x0;y0)]. Jele: Ñf(P0)=gradf(P0). fa’(x0;y0)=Ñf(P0)*v=|Ñf(P0)|*|v|*cosr.

Tétel: A gradiens vektor irányában MAXimális az iránymenti derivált számértéke.