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Bibliografia Básica
Autor Título Editorial Data
Stewart, James Cálculo, Volume 1
5ta. Edição,
Pioneira
Thompson
Learning
2006
Zuma Medeiros ,
Valéria
Pré-Cálculo
2ª edição revista actualizada
CENGAGE
Learning 2012
Demana,
Franklin... (et al.) Pré-Cálculo
Pearson
Education do
Brasil
2011
Larson, Ron Cálculo Aplicado
1 Edição,
Pioneira
Thomson
Learning
2011
Definição de função contínua
Definição: Uma função f é contínua no ponto a se:
Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.
Tipos de descontinuidades
Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c e a função não está definida no ponto, ou se o limite não coincide com o valor da função avaliada no ponto.
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
f é contínua em um intervalo fechado se for
contínua no aberto, e além disso, e
Continuidade de uma função em um intervalo
Continuidade
ba,
ba,
c) x = 0, x =-1, x = 1, x = 2, x = 4
1 3
1
2
3
4
2 -1 -2 x
y
4
Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, nos pontos
c) x = 0, x =-1, x = 1, x = 2, x = 4
1 3
1
2
3
4
2 -1 -2 x
y
4
x = 1, porque não existe
)1(f
)(lim2
xfx
A função é contínua em x = 0
)(lim1
xfx
)(lim)4(4
xffx
A função é descontínua em:
x = -1, porque não existe
x = 2, porque não existe
x = 4, porque
Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, nos pontos
Verificar se a função é descontínua em x = 1
11
12)(
2
xsex
xsexxf
1
2
1
1)2lim()(limxx
xxf
11
2)1lim()(limxx
xxf
Os limites laterais são diferentes então não existe o limite da função no ponto. A função é descontínua por salto em x=1
Exercício 4
11
12
12
)(
2
xse
xse
xsex
xf
1
2
1
1)2lim()(limxx
xxf
11
1)1lim()(limxx
xf
e 2)1( f
O limite de f em x = 1 existe , mas )1()(lim1
fxfx
)1()(lim1
fxfx
Exercício 5
Verificar se a função é descontínua em x = 1
Quando uma função tem uma descontinuidade removível num ponto a, pode ser redefinida de modo que é contínua naquele ponto. Assim escrevemos f(a) como o valor do limite da função naquele ponto.
11
11
12
)(
2
xse
xse
xsex
xfou
11
12)(
2
xse
xsexxf
No exemplo anterior pode redefinir a função como:
Descontinuidade removível
Analisar a continuidade da função em x = -1 1
)(
x
xxh
A função é indefinida em x = -1 e, portanto, é descontínua em x = -1.
Note-se que:
1
lim1 x
x
x
Diz-se que a função apresenta uma descontinuidade infinita em x = -1.
1
lim1 x
x
xe
Exercício 6
Como é uma função racional é contínua em todo seu domínio.
65
1)(
2
xx
xxf
Descontínua infinita em x = 6
)1)(6(
1
65
1)(
2
xx
x
xx
xxf é descontínua em x = 6 e x = -1
7
1
6
1lim
)1)(6(
1lim
65
1lim)(lim
11211
xxx
x
xx
xxf
xxxx
Descontínua removível em x = -1
6
1lim
)1)(6(
1lim
65
1lim)(lim
66266 xxx
x
xx
xxf
xxxx
Determine os pontos de descontinuidade
Exercício 7