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Tema 1. Cálculo Diferencial
Noção intuitiva e definição de limite.
Exemplos de limites.
Limites laterais.
Propriedades.
Bibliografia Básica
Autor Título Editorial Data
Stewart, James Cálculo, Volume 1
5ta. Edição,
Pioneira
Thompson
Learning
2006
Zuma Medeiros ,
Valéria
Pré-Cálculo
2ª edição revista actualizada
CENGAGE
Learning 2012
Demana,
Franklin... (et al.) Pré-Cálculo
Pearson
Education do
Brasil
2011
Larson, Ron Cálculo Aplicado
1 Edição,
Pioneira
Thomson
Learning
2011
Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)
Noção intuitiva de limite.
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o
seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la
nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática,
portanto, tenha significado.
Ainda, em muitos casos, é importante saber como a função se
comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não
pertence ao seu domínio.
E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a
análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um
ponto, sem se preocupar com o valor da função neste ponto.
Noção intuitiva de limite.
Em Matemática o conceito de limite é usado para
descrever o comportamento de uma função a
medida que seu argumento aproxima-se de um
determinado valor, assim como o comportamento
de uma sequência de números reais, à medida
que o índice (da sequência) vai crescendo.
Noção intuitiva de limite
Sucessões
numéricas
Dizemos
que:
1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se cada vez
maiores, sem atingir um limite
x +
Os números aproximam-se
cada vez mais de 1, sem
nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada vez
menor, sem atingir um limite
x -
Os termos oscilam sem tender
a um limite
,.....6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
,...7,7
6,5,
4
5,3,
2
3,1
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em
torno de x0, excepto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os
valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para
x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
0x xlim f(x) L
x0
x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R,
indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer
(épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R,
> 0, tal que:
I x – a I < I ƒ(x) - L I < .
Definição Formal de Limite
Limites
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
3)12(lim)(lim
11
xxf
xx
Neste caso o limite é igual ao valor da função.
f(x) = f(1) = 3 1
limx
Limites
No caso da função f(x) =
é diferente pois f(x) não é definida para x = 1.
Porém o limite existe e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:
1
22
x
xx
Limites
• Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-
se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
• Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se
calculando o limite lateral direito. x a +
• Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)] ax
limax
lim
Limites Laterais
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim1
xfx
4)(lim1
xfx
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
y Pela esquerda
Pela direita
Limites Laterais
)(lim1
xfx
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR IR, definida por
1,3
1,1)(
xparax
xparaxxf
4)(lim1
xfx
2)(lim1
xfx
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
Limites Laterais
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.
Propriedades dos limites
x c
x c
n n
x c
n n
x c
I) lim b b
II) lim x c
III) lim x c
IV) lim x c
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g
funções para as quais e Lxfcx
)(lim .)(lim Mxgcx
Operação com limites
x c
x c
x c
I) lim[b.f(x)] bL
II) lim[f(x) g(x)] L M
III) lim[f(x).g(x)] L.M
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
x c x c
n n
x c
nn
x c
f(x) LIV) lim ; lim g(x) 0
g(x) M
V) lim f(x) L
VI) lim f(x) L
Propriedades
• P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
3,0lim3,0
xx
3lim3
xx
axax
lim
Exemplos:
3
55lim
3
x
x
x
xlim
exex
lim
Operação com limites
• P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
KKax
lim
Operação com limites
44lim3
x
Exemplos:
33 55lim x
2
limx
eex
2lim
• P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
1552.325limlim3lim
5lim3limlim)53(lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2
xxx
xxxx
xx
xxxx
Exemplo:
Operação com limites
• P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
Operação com limites
• P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax
93.3lim.lim.lim)(lim333
2
3
xxxxx
xxxx
Operação com limites
Exemplo:
• P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
10
1
727
53
)7(lim
)5(lim
7
5lim
3
3
3
33
x
x
x
x
x
x
x
Operação com limites
Exemplo:
• P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
813))2(lim()2(lim 443
1
43
1
xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
• P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
nax
n
axxfxf )(lim)(lim
n xf )(
51)2(4)2()14(lim14lim 44
2
4
2
xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
e Lxfax
)(lim ,)(lim Mxgax
• Regra da soma(subtração):
• Regra do Produto:
• Regra da multiplicação por escalar:
• Regra do quociente:
MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)().(lim
Lcxfcxfcaxax
.)(lim.)(.lim
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
)(lim
)(lim
)(
)(lim
Limites
• Regra da potência:
• Regra da raíz
se é impar.
nn
ax
n
axLxfxf
))(lim()(lim
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim
nLxfax
,0)(lim
Limites
• Regra do logaritmo:
• Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
• Regra da exponencial:
0)(limlog
))(lim(log))((loglim
xfseL
xfxf
axc
axcc
ax
senLxfsenxsenfaxax
))(lim()(lim
Lxf
xf
axccc ax
)(lim)(lim
Limites
Limites
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
)()(lim cPxPcx
Limite de uma função polinomial
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se 0
1
1 ...)( axaxaxP n
n
n
n
então 01
1 ...)()( lim acacacPxP nn
nn
cx
Limites
Exemplo 1– Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243 lim
245
245
2 x
xxxx
Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se e são polinômios e ,
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xP
cx
Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Factor Comum
0
0
22
2
1lim
xx
xx
x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma
fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(22
2
Se x 1
Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores
quando x 1 por substituição:
)1(
)1)(2(2limlim
12
2
1
xx
xx
xx
xx
xx
31
212lim
1
x
x
x
Limites. Exercícios
Calcular:
a) lim (2x + 3) =
x 5
b) lim (4 + x3) =
x 2
c) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] =
x 4
d) lim [(x + 3) (x - 3)] =
x 4
3
6
R: -3
R: 0
R:
4
31
1
1x
xLim
x
h)
3
1
1
1x
xLim
x
i) R: 2/3
3
21
3 2
1x
x xLim
x
f)
0
3 3
x
xLim
x
g)
R: 4/3
e)
1
452
1
x
xxLimx
Limites. Exercícios