Matematica dai 6 ai 99 anni

e Origami

Emma FrigerioDipartimento di Matematica

Università degli Studi di Milanonel CDO dal 1986

emma.frigerio@unimi.it

Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici valenze educative dell’origami…sviluppo di varie abilitàabitudine alla concentrazione e alla pazienzacooperazione e lavoro individualerecupero di alcuni handicap

...e la sua potenzialità per fare matematicale pieghe più comuni sono assi e bisettricil’approccio multisensoriale favorisce l’interiorizzazione e

la memoria a lungo termine.

Idee- base

Foglio = Piano

Piega = Retta

Ogni piega realizza una simmetria

Se con una o più pieghe due “cose” si sovrappongono esattamente, queste due “cose” sono uguali.

Un esempio

Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?

Un esempio

Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?

Un rombo, con le sue diagonali.

Scuola primaria

Usiamo il rombo per piegare un modello

Pappagallomodello di Emma Frigerio

Scuola secondaria di primo grado

Osservazioni sulle diagonali:

sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà;sono anche bisettrici.

Scuola secondaria di secondo grado

Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato?

Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra loro e si tagliano scambievolmente a metà, allorai lati di Q sono congruenti e a due a due paralleli, dunque Q è un rombo.le diagonali bisecano gli angoli.

NON abbiamo dimostrato che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.

Un nuovo teorema (Justin)

Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo da ottenere una figura piatta.

Allora i tre vertici risultano allineati.

E le pieghe curve?

Sono possibili, ma…

E le pieghe curve?

Sono possibili, ma… si ottengono oggetti 3D.

Eric e Martin Demaine David Huffman

Un po’ di storia 1

Costruzioni geometriche

Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893Costruzioni di Euclide piegando la carta.

Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!

Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80

Un po’ di storia 1

Costruzioni geometriche

Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893Costruzioni di Euclide piegando la carta.

Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!

Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara), anni ’30

Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80

Un po’ di storia 2

Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di costruzione impossibili con riga e compasso:Duplicazione del cuboTrisezione di un angolo

La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l’origami, dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella delle costruzioni possibili con riga e compasso.

Origami, matematica e tecnologia

Matematica dell’origami

Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere matematicamente problemi di origami)

Lang, E. Demaine (USA)

Tecnologia dell’origami (applicazione dell’origami alla soluzione di problemi che nascono nell’ingegneria, nel design, e nella tecnologia in generale).

Esempi 1

Map folding (K. Miura) Prototipo di “Eyeglass” Lawrence Livermore National Laboratory, Livermore, California

R. Lang

Esempi 2Stent origami (prototipo)

Trasporto di medicinali

Protein Folding

Piegatura di airbags

Nella lezione di matematica 1

Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, …

Geometria solida: poliedri

Ma anche…

Nella lezione di matematica 2

Problem solvingProblemi di colorazioneCalcolo combinatorioTrigonometriaConicheLimitiFrattali

Spugna di Menger (J. Mosley)

Modello di van Hiele

Piet e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni ’50) distinguono 5 livelli nell’apprendimento della geometria

Visualizzazione (figure come un tutto)Analisi (proprietà)Astrazione (argomentazioni, relazioni tra figure)Deduzione (teoremi, c.n.s.)Rigore (geometrie non euclidee)

L’origami può utilmente accompagnare tutti questi livelli.

Miri Golan e l’Origametria

In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 – 14 anni), tenute da persone appositamente formate, con un progetto creato da Miri Golan.

Da qualche anno ha creato il programmaKindergarten Origametria, che è stato approvato dal Ministero per l’Educazione.

Thomas Hull

Corsi nelle università degli Stati Uniti e un libro, dal titolo

Project Origamiin cui presenta dettagliatamente molte e varie attività matematiche adatte a studenti delle superiori.

Per finire…

La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o all’andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi.

H.S.M. Coxeter

Grazie per l’attenzione !