matematica estructural

MATEMATICA ESTRUCTURALEL CENTRO, 2009

Autor: Andrs Forero CuervoPortada: Andrea SolanoBogot, Colombia, 2009.

Ms informacin en Internet: Recursos de matemtica estructural:http://matematicaestructural.googlepages.com/

3Introduccin

Este libro consiste en una introduccin detallada a las matemticas de una man-era rigurosa, partiendo del estudio de los conjuntos como pilar fundamental. Secubren diversos temas como son: teora intuitiva de conjuntos, induccin mate-mtica, conteo, divisibilidad y congruencias, relaciones y funciones, relaciones deequivalencia y nmeros cardinales. Adems se introduce el concepto de isomor-fismo, nocin que formaliza la idea de similaridad estructural. Esperamos que ellector pase un buen rato leyendo este libro!

Durante la lectura de cada captulo el lector se encontrar ocasionalmente conel siguiente mensaje:

! Para antes de seguir leyendo:Es este caso le sugerimos que se detenga en la lectura e intente resolver los

pequeos ejercicios que aparecen propuestos all, con el fin de aclarar los concep-tos que se han presentado. Adicionalmente al final de cada captulo se encuentrauna seccin de ejercicios, organizados por distintos niveles de dificultad. Recomen-damos al lector intentar resolverlos durante un buen rato, y si no los puede resolver,seguir intentando. Es frecuente que el primer enfoque para resolver un ejercicio nosea el correcto, as que se deben hacer varios intentos, y para ello ciertamente serequiere de persistencia.

El autor est profundamente agradecido con Ramiro de la Vega, principal editory colaborador del libro. Tambin agradece a Sergio Tello Lee y Alejandro Foreropor su ayuda en la escritura del primer captulo, y a Alexander Berenstein, CarlosMontenegro, Aquiles Pramo, Silvia Barbina, Andrea Solano, Andrs Betun Be-tancourt y Camilo Rengifo por colaborar en diversos aspectos.

Este libro se encuentra en proceso de elaboracin. Si usted tiene alguna sugerencia,ha encontrado errores en el texto o tiene comentarios generales sobre el libro y lapgina web, no dude en escribir al autor, Andrs Forero ([email protected]).

ndice general

1. Conjuntos 71.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Propiedades de la relacin y el conjunto potencia . . . . . . . . 161.3. Operaciones bsicas entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. lgebra de conjuntos: pruebas sin doble inclusin . . . . . . . . . 321.5. Unin e interseccin generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6. La paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.7. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.9. - Proyecto: lgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Induccin: los nmeros naturales 632.1. El principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Principios de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3. Definiciones por recursin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4. Isomorfismo entre estructuras ordenadas . . . . . . . . . . . . . . 772.5. Conteo utilizando induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. Divisibilidad: los nmeros enteros 973.1. Conceptos fundamentales, el algoritmo de la divisin . . . . . . . 983.2. El mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3. El teorema fundamental de la aritmtica . . . . . . . . . . . . . . 1093.4. Sucesiones eventualmente nulas y el T.F.A. . . . . . . . . . . . . 1143.5. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5

6 NDICE GENERAL

3.6. El pequeo teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.7. El teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.9. - Proyecto: Clausura e ideales en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4. Relaciones y funciones 1514.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2. rdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3. Clausura de una relacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.6. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1794.7. Imagen e imagen inversa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1864.8. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.9. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.10. Construccin de los nmeros enteros y racionales . . . . . . . . . 2034.11. Conteo mediante relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . 2154.12. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5. Cardinales 2295.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.2. El teorema de Cantor-Schrder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . 2325.3. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.4. Conjuntos enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.5. Conjuntos infinitos no enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.6. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6. Estructuras matemticas 2576.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.3. Isomorfismos de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.4. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

A. Lgica 279A.1. Lgica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.2. La implicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283A.3. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284A.4. Lgica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.5. / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

CAPTULO 1

CONJUNTOS

Todo es un conjunto...

La nocin de conjunto es posiblemente la nocin ms importante utilizada enlas matemticas modernas, y fue desarrollada a finales del Siglo XIX por GeorgCantor. Muchos objetos y conceptos matemticos (relaciones, funciones, grupos,anillos, grafos, espacios vectoriales, topologas, etctera) se definen de forma pre-cisa en trminos conjuntistas. Por ejemplo, un grupo es un conjunto junto con unaoperacin sobre l que posee ciertas propiedades. Una topologa es un conjunto deconjuntos llamados abiertos, que cumplen con varias condiciomes. Ya que la no-cin que nos permite construir objetos matemticos complejos es la de conjunto,

7

8 CAPTULO 1. CONJUNTOS

la pregunta fundamental parece ser la siguiente: qu es un conjunto exactamente?No nos molestamos por responder esta pregunta, ya que esto da pie a un juego denunca acabar: si un objeto es una coleccin, entonces qu es una coleccin? siuna coleccin es una clase, entonces qu es una clase? En vez de buscar definirun conjunto, nos enfocaremos en establecer ciertos principios fundamentales quehablen sobre ellos y que nos permitan manipularlos de forma efectiva. En vez dedecir explcitamente qu son los conjuntos, los describiremos de forma generalestableciendo sus propiedades fundamentales, y desarrollando as su teora.

1.1. Conceptos fundamentales

En trminos informales un conjunto es una coleccin de objetos. La nocinConjuntobsica para estudiar los conjuntos es la pertenencia. Por ejemplo, seaH el conjuntode todos los seres humanos, y d la persona Diego Reyes. Es claro que d es unmiembro o elemento del conjunto H. Decimos que d pertenece a H, o d es unelememto de H y escribimos:

d H.: Pertenencia

Como el nmero c= 3 no es un ser humano, decimos que c no pertenece a Hy escribimos:

c 6 H.

Para entender mejor qu es un conjunto, hacemos las siguientes observaciones:

Conocer un conjunto equivale a conocer a sus elementos. De esta forma, si Ay B son conjuntos que poseen exactamente los mismos elementos, entoncesson el mismo conjunto y escribimos A= B (Esto se lee: A es igual a B).

La notacin de corchetes es una forma comn de describir conjuntos. Porejemplo, si A es el conjunto cuyos elementos son 3 y 5 (y ningn otro ele-mento), podemos escribir:

A= {3,5}.

El orden en que listamos los elementos de un conjunto no es importante. Enotras palabras, un conjunto se asemeja a una bolsa de dulces distintos quepodemos revolver o desordenar sin que el conjunto cambie: al hacerlo, noperdemos la informacin sobre qu dulces pertenecen a la bolsa (el conjun-to). Por ejemplo, {3,5}= {5,3}.

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9

Si un objeto pertenece a un conjunto, pertenece exactamente una vez a l.Por ejemplo, el conjunto {6,6} posee exactamente un elemento (el nmero6) y {6,6} = {6} (pues ambos conjuntos poseen exactamente los mismoselementos, a saber, 6). Anlogamente tenemos que {2,3,3,2,3}= {2,3}.Un conjunto puede ser finito o infinito, segn ste posea un nmero finito oinfinito de elementos: por ejemplo, el conjunto {1,3,5} es finito (pues posee3 elementos). El conjunto de los nmeros impares positivos {1,3,5,7, . . .}(que nunca acabaramos de escribir) es infinito.

Un conjunto puede carecer de elementos: un conjunto con esta propiedad sedenomina un conjunto vaco. Ms adelante demostraremos que en realidadexiste un nico conjunto vaco.

La notacin de corchetes es conveniente para describir algunos conjuntos, perohay que ser cuidadoso en su uso. Por ejemplo, podra pensarse que el conjunto{x,y} es necesariamente un conjunto con dos elementos, sin embargo si x = y,entonces {x,y} = {x} = {y}, luego ste es, en tal caso, un conjunto con un nicoelemento.

Ejemplo 1.1. Los siguientes son ejemplos de conjuntos:1. Sea A el conjunto cuyos nicos elementos son 2 y 7. Esto es, 2A, 7A,

y para cualquier objeto x, si x es distinto de 2 y de 7 entonces x 6 A. Elconjunto A se puede escribir como A = {2,7}. Gracias a estas obser-vaciones tenemos que A = {2,7} = {7,2} = {2,7,2,2} = {7,7,2,2},etctera.

2. Si d es un objeto cualquiera, el conjunto que resulta a partir de intro-ducir a d en un conjunto y no introducir ningn otro objeto es {d},el conjunto cuyo nico elemento es d. El conjunto {d} es llamado elsngleton {d}. Por ejemplo, si A = {1,2}, entonces {A} = {{1,2}}. SingletonClaramente A es distinto de {A} ya que A posee dos elementos, mien-tras que {A} posee tan slo un elemento.

3. Llamamos N al conjunto de los nmeros naturales: N: Nmerosnaturales

N= {0,1,2, . . .}.

N es un conjunto infinito1. Para todo n, si n N, entonces n+1 N.


4. Si c es una propiedad y x es un objeto, entonces la afirmacin x poseela propiedad c la propiedad c es vlida para x ser abreviada as:c(x). Sea c una propiedad relativa a un objeto x (por ejemplo, c(x) =xes calvo). Denotamos el conjunto de los x que poseen la propiedad c(el conjunto de los calvos) por

{x : c(x)},

y lo leemos as: el conjunto de los x tales que c(x) (el conjunto de los xtales que x es calvo).

5. Sea S el conjunto de todos los nmeros naturales entre 4 y 900, incluyen-do extremos. En lugar de listar todos los elementos de S, es convenienteescribir a este conjunto como {x N : 4 x 900}. Esto se lee: el con-junto de todos los x en N tales que x es mayor o igual a 4 y menor oigual a 900 (aqu la propiedad x N y 4 x 900 hace las veces delc(x) del numeral anterior).

6. Sea D = {3,8,13,18,23}. Entonces D = {3+5 j : j = 0,1,2,3,4}, quese puede leer as: D es el conjunto de los nmeros de la forma 3+5 j, endonde j vara entre 0 y 4. Por ejemplo 13 es de la forma 3+5 j (tomandoj = 2).

Los tres primeros ejemplos ilustran maneras extensionales de nombrar con-juntos, en las cuales listamos sus elementos explcitamente; el cuarto y quintodescriben otra forma de nombrarlos, intensionalmente2, exhibiendo la propiedadcomn que comparten sus elementos; el sexto ejemplo muestra un conjunto repre-sentado de ambas maneras.

Toda forma extensional puede traducirse a forma intensional: si S= {a0,a1, . . . ,an},entonces S = {x : p(x)}, donde p(x) es la propiedad x = a0 x = a1 x =an. Sin embargo, muchas descripciones intensionales no tienen contraparte exten-sional.

Sea H1843 el conjunto de los seres humanos que nacieron en 1843. Claramentetodo elemento de H1843 es un elemento de H = {x : x es un ser humano }, esto es,para todo x, si x pertenece a H1843, entonces x pertenece a H. Lo anterior lo expre-samos diciendo que H1843 es un subconjunto de H. Si simbolizamos para todomediante el smbolo , e implica mediante el smbolo, podemos formular la Para todo

: Implicacin2No confundir con intencionalmente!


definicin general de subconjunto de la siguiente forma:

Definicin 1.2. Sean A y B conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B : Subconjunto(en smbolos, A B) si

x : x A x B (se lee: para todo x, si x A entonces x B.)Por definicin las expresiones A B, A es un subconjunto de B, A est

contenido en B y A est incluido en B son equivalentes. Sin embargo stas noson equivalentes a la expresin A pertenece a B. En otras palabras, las nocionesde pertenencia y contenencia son distintas y no son intercambiables. Por ejemplo,un ser humano no est contenido en el conjunto H de los seres humanos, sino quepertenece a este conjunto. Por otra parte, el conjunto de los nigerianos no perteneceal conjunto de los africanos, sino que est contenido en l (ya que para todo x, si xes nigeriano entonces x es africano).

En matemticas frecuentemente demostramos afirmaciones de la forma A B.Esto significa demostrar que para cualquier x, si x A, entonces x B. La primeraafirmacin es llamada la hiptesis (afirmacin que suponemos verdadera), y la se-gunda afirmacin es llamada la conclusin (afirmacin que debemos concluir a par-tir de la hiptesis). Esquemticamente, una demostracin de la afirmacin A Btiene la forma siguiente:

Sea x A: entonces ... entonces x B.Los puntos suspensivos representan distintas afirmaciones que se pueden concluirlgicamente a partir de la hiptesis de que x A. El objetivo es llegar a la afir-macin x B. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1.3. Sean A = {12n : n N}, B = {3k : k N}. Demuestre queA B.Prueba. Sea xA. Entonces por definicin de A, existe nN tal que x= 12n.Entonces x= 3k, en donde k= 4n. Claramente k N (pues el producto de dosnmeros naturales es un nmero natural), luego por definicin del conjunto B,3k B. Como x= 3k, entonces x B. o

Ejemplo 1.4. Sean D = {n3 : n N,n > 1}, E = {k : k N,k > 5}. De-muestre que D E.


Prueba. Sea x D. Entonces existe n N tal que n > 1 y x = n3. Comon> 1 y n es un nmero natural, tenemos que n 2. Entonces x= n3 23 = 8.Claramente x N y x> 5, luego x E. o

Observacin 1.5. A B significa naturalmente B A, lo que se puede leer A esun superconjunto de B.

Supongamos que A B, y sea x cualquier objeto. Si x no pertenece a B, en-tonces x tampoco pertenecer a A, ya que si x perteneciera a A, tambin perteneceraa B, lo cual contradice nuestra hiptesis de que x 6 B. En resumen:

Si A B y x 6 B, entonces x 6 A.La relacin de no ser subconjunto la denotamos con el smbolo 6. Por ejemplo, siA= {1,3,5} y B= {1,7}, entonces A no es un subconjunto de B ya que por ejemplo3 A y 3 6 B. La afirmacin A 6 B es equivalente a la siguiente afirmacin:

Existe x tal que x A y x 6 B.Sean A y B conjuntos3, y supongamos que A B y B A. Esto quiere decir Ay B poseen los mismos elementos: todo x que pertenezca a A debe pertenecer aB y viceversa. Pues bien, en este caso lo ms natural es que podamos concluirque A y B son en realidad el mismo conjunto. En otras palabras, la nica raznpara afirmar que dos conjuntos son distintos es que difieran en sus elementos. Laanterior propiedad la expresamos en el siguiente principio4:

Principio 1.6 (Extensionalidad). Si los conjuntos A y B poseen exactamente losPrincipio deextensionalidad mismos elementos, entonces A= B.

Si A y B son conjuntos y A = B, entonces claramente A y B poseen los mis-mos elementos. Ahora, gracias al principio de extensionalidad, si A y B poseen losmismos elementos, entonces A= B. En resumen, las afirmaciones A= B y A yB poseen los mismos elementos son equivalentes, esto es, siempre que alguna deAfirmaciones

equivalentes ellas sea verdadera, la otra tambien lo es5. De forma ms concisa, escribimos:

A= B A y B poseen los mismos elementos,donde el smbolo se lee si y slo si, y representa la equivalencia entre dos afir- :

Equivalencia3en principio podra ocurrir que A= B, pues dos nombres o smbolos distintos no garantizan que

los objetos nombrados por ellos sean objetos distintos4Un principio es una afirmacin que suponemos que es verdadera pero no la demostramos.5Para ms sobre la nocin de afirmaciones equivalentes, ver el apndice de lgica.


maciones.

Observacin 1.7 (Formas equivalentes para expresar la igualdad de conjun-tos). Dados conjuntos A y B, las siguientes afirmaciones son equivalentes entres; esto es, siempre que alguna de ellas sea verdadera, entonces las dems tam-bin lo sern:

(a) A= B.

(b) A y B poseen los mismos elementos.

(c) A B y B A.(d) (x : x A x B) y (x : x B x A).(e) (x : x A x B). (Para todo x, x A si y slo si x B).(f) Para todo elemento x, o bien x A y x B, o bien x 6 A y x 6 B.

Observacin 1.8. Una analoga til con el principio de extensionalidad es lasiguiente. Si a y b son nmeros tales que a b y b a, entonces a= b.

A veces la relacin de ser subconjunto es estricta en el sentido de que no se dala igualdad:

Definicin 1.9. Diremos que A es subconjunto propio de B (y lo notamos por : SubconjuntopropioA( B o A B) si A B y A 6= B.

Por ejemplo, {1,2}( {1,2,3,4} y {}( {2,3}. Como el lector puede verificar,la afirmacin A( B es equivalente a: A B y existe un x tal que x B y x 6 A.

! Para antes de seguir leyendo:(a) Verdadero o falso: dados dos conjuntos A y B siempre vale por lo menos

alguna de las siguientes afirmaciones: A B B A. (Cmo se com-para esto con la analoga de los nmeros propuesta anteriormente?)

(b) Calcule el nmero de subconjuntos propios de {1,2}.


El conjunto vacoSea V un conjunto. Decimos que V es un conjunto vaco si no posee ningn : El conjunto

vaco. elemento. Dicho de otro modo, el conjunto V es vaco si x : x /V (para todo x, xno pertenece a V ).

Naturalmente, un conjunto es no vaco si existe algn elemento x que le pertenez-ca. Representando existe con el smbolo , tenemos que un conjunto V es no : Existevaco s y slo si

x : x V (se lee: existe un x tal que x pertenece a V).Es fcil pensar en conjuntos no vacos: pensar en {2,3} es pensar en el 2 y el

3 y pensar en N es pensar en infinitos nmeros: 0,1,2, . . .. En contraste, pensar enun conjunto vaco equivale a pensar en nada! A continuacin establecemos, comoprincipio, que existe por lo menos un conjunto con la propiedad de ser vaco:

Principio 1.10 (Principio del conjunto vaco). Existe un conjunto V que es vaco,esto es, que cumple con la siguiente propiedad:

x : x /V.Existen mltiples conjuntos vacos diferentes entre s? La respuesta es que no.

A continuacin damos una demostracin de este hecho.

Teorema 1.11. Si V y V son conjuntos vacos, entonces V =V .

Prueba. Sean V y V conjuntos vacos. Entonces por definicin tenemos que

x : x /V y x : x /V .Demostraremos que V V y que V V . Supongamos queV 6V : esto significa,por la definicin de 6, que existe un x tal que x V y x 6 V . Sin embargo, laexistencia de un x tal que x V contradice la hiptesis de que V es conjunto vaco,de modo que en realidad no puede ocurrir que V 6V y as V V .

De manera anloga podemos demostrar que V V . Como V V y V V ,concluimos, por extensionalidad (principio 1.6), que V =V . o

El anterior teorema nos permite utilizar un nombre para referirnos al conjuntovaco (ya que este es nico). Este nombre ser , o tambin {}. Si abreviamosexiste un nico por !, lo que hemos mostrado es lo siguiente: !Y : x : x 6Y . Atal Y lo llamamos , o tambin {}, el conjunto vaco. Por definicin, el conjuntovaco es un conjunto finito (pues posee cero elementos).


! Para antes de seguir leyendo:(a) Demuestre que A : A (en otras palabras: todo conjunto A contiene

al conjunto vaco).

(b) Es todo objeto del universo un conjunto? Por qu? [Ayuda: la defini-cin de un conjunto no puede ser algo que posee elementos; de locontrario no sera un conjunto, lo cual estara en contradiccin con elprincipio 1.10 del conjunto vaco.]

Supongamos que queremos encontrar una propiedad que slo la posea el nmero2. Por ejemplo, la propiedad p(x) := x es par es una propiedad relativa a 2, perootros nmeros tambin la poseen. En cambio, la propiedad q(x) := x es un nmeroprimo par es una propiedad que slo posee el 2 (como se ver en el captulo 3).Decimos entonces que la propiedad q (ser un par primo) caracteriza al nmerodos.

La propiedad de ser un conjunto vaco, definida anteriormente, al ser satisfechapor un nico objeto, lo caracteriza y le da su nombre: el conjunto vaco.

Veamos otra caracterizacin del conjunto vaco, esto es, otra propiedad que lodistingue del resto de los conjuntos. Esta propiedad es ser subconjunto de todos losconjuntos.

Teorema 1.12. Para cualquier A tenemos: A= (B : A B).Prueba. Sea A un conjunto. Una proposicin de la forma p q es equivalente a(p q) y (q p). Por ende, para demostrar la afirmacin

A= (B : A B),podemos demostrar por separado las siguientes dos afirmaciones:

(a) A= (B : A B), y(b) (B : A B) A=.La parte (a) se simboliza por (), y la parte (b) por ():

() Supongamos que A = . Debemos demostrar que para cualquier conjuntoB tenemos que A B. Por la definicin de subconjunto, debemos demostrarque para todo x tenemos que

x A x B.


Como x A es siempre falsa (pues A = ), podemos aplicar la ley del an-tecedente falso (ver apndice de lgica) para concluir que la afirmacin an-terior es verdadera para todo conjunto B, luego A B.6

() Supongamos que (B : A B). Debemos concluir que A = . Segn lahiptesis, A es un subconjunto de todo conjunto B. Tomando en particularB=, concluimos que:

A.Por lo recin demostrado en () sabemos que el conjunto vaco tiene lapropiedad de ser un subconjunto de todos los conjuntos, en particular de A,y entonces:

A.Por el principio de extensionalidad (principio 1.6) concluimos que A=, loque queriamos demostrar.

o

Las demostraciones con el formato anterior son llamadas demostraciones pordoble implicacin. stas son bastante comunes en matemticas, y tienen la ventajaDoble

implicacin de que en muchos casos permiten partir una demostracin en dos demostracionesms sencillas.

1.2. Propiedades de la relacin y el conjunto potenciaConsideremos a N, el conjunto de los nmeros naturales:

N= {0,1,2,3,4, . . .},ordenado por la relacin . Como ejemplos de esta relacin tenemos que 4 10,10 17, 4 17, y 17 17. La relacin cumple con tres propiedades fundamen-tales:

(a) Reflexividad: x : x x (todo nmero natural es menor o igual a s mismo).Reflexividad(b) Antisimetra: x,y : (x y y y x) x = y (dados nmeros naturales x yAntisimetra

y, si x es menor o igual que y y viceversa, entonces x= y).

(c) Transitividad: x,y,z : (x y y y z) x z (dados nmeros naturalesTransitividadx,y,z, si x es menor o igual que y, y y es menor o igual que z, entonces x esmenor o igual que z).

6Para una demostracin menos formal pero igualmente vlida que la anterior, podramos haberrazonado de un modo similar a como hicimos en la demostracin del teorema 1.11.

1.2. PROPIEDADES DE LA RELACIN Y EL CONJUNTO POTENCIA 17

Las anteriores tres propiedades tambin son vlidas en el contexto de los con-juntos, con respecto a la relacin :

Teorema 1.13. Dados A,B y C, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad: A A.

(b) Antisimetra: (A B y B A) A= B.

(c) Transitividad: (A B y BC) AC.

Prueba.

(a) Evidentemente, A A, puesto que para todo x, si x A, entonces x A.

(b) Esto vale por el principio de extensionalidad (principio 1.6).

(c) Debemos demostrar que AC, suponiendo como hiptesis A B y BC.Sea x A. Como A B, entonces x B. Como BC, entonces x C.

o

Una relacin que cumpla con las tres propiedades del teorema anterior se de-nomina un orden parcial. Tanto como son rdenes parciales (el primero orde- Orden parcialna a los nmeros, y el segundo ordena a los conjuntos). Las reflexiones anterioressugieren cierto parecido estructural entre el universo de los nmeros naturales consu relacin de orden, y por ejemplo el universo de los subconjuntos de N con larelacin de contenencia o inclusin. Adems de que ambos universos se encuen-tran parcialmente ordenados, en ambos encontramos un mnimo: el 0 es menor oigual que cualquier nmero natural y el conjunto vaco est contenido en cualquierconjunto. En este sentido, el nmero cero y el conjunto vaco cumplen con el mis-mo papel, pero en contextos distintos.

Dados conjuntos A y B, sucede exactamente uno de las siguientes cuatro posi-bilidades (ver la figura 1.1):

1. A B pero B 6 A, es decir, A B (A es un subconjunto propio de B).

2. B A pero A 6 B (es decir, B A).

3. A B y B A: en este caso, A= B.

4. A 6 B y B 6 A: en este caso decimos que los conjuntos A y B no son compa-rables entre s. Comparabilidad


Figura 1.1: Dados dos conjuntos A y B, ocurre una y slo una de estas cuatroposibilidades.

Un ejemplo de la cuarta posibilidad es el siguiente: Sean A = {1,2,3}, B ={2,3,4,5}. En este caso A 6 B (ya que 1 A y 1 / B), y B 6 A (ya que 5 B y5 / A).

Un orden total es una relacin de orden sobre la cual todos los elementos sonOrden totalcomparables entre s, es decir: dados dos elementos, alguno de ellos es menor queel otro, o los elementos son iguales. Como hemos notado, el orden parcial en losconjuntos no es un orden total. Por el contrario, el orden sobre N nos permitecomparar a todo par de nmeros naturales: este orden parcial es un orden total.

La totalidad (tambin llamada linealidad) del orden sobre N permite ima-ginar a este conjunto ordenados en una fila infinita (con mnimo y sin mximo),mientras que la no totalidad del orden en los conjuntos slo permite visualizar-los como un rbol, con varias ramas bifurcantes, pero sin un rnking absoluto,por as decirlo.

Una analoga til con esta cuestin es la siguiente: algunas personas creenen una lista que ordene a todas las pelculas existentes as: la mejor, la segundamejor, etctera. Para estas personas, todas las pelculas son comparables (dadas dospelculas A y B, o A es mejor que B, o viceversa, o A y B eran la misma pelcula).Estas personas creen que el orden ser mejor que de las pelculas es un orden to-tal, similar al orden sobre N. Alternativamente, algunas personas son incapacesde comparar ciertas pelculas, argumentando que la primera tiene aspectos que lasegunda no tiene, pero la segunda tiene otros que la primera no tiene, etctera.Sin embargo en algunos casos s determinan que cierta pelcula es mejor que otra.Estas personas creen que el orden ser mejor que de las pelculas es un orden queno es total, similar al orden de los conjuntos.7

7Incluso para algunas personas la relacin ser mejor que de las pelculas ni siquiera es transitiva.

1.2. PROPIEDADES DE LA RELACIN Y EL CONJUNTO POTENCIA 19

! Para antes de seguir leyendo:

(a) Demuestre que si A est contenido en B y C no est contenido en B,entoncesC no est contenido en A.

(b) Determine si los conjuntos A= {n N : n> 5} y B= {n N : n2 > 36}son comparables (es decir, si alguno es un subconjunto del otro).

Conjunto potenciaSea A un conjunto. Evidentemente el conjunto de todos los elementos de A es

A mismo: A = {x : x A}. Sin embargo, el conjunto de todos sus subconjuntosresulta ser bien distinto y en general ms complejo.

Definicin 1.14 (Conjunto potencia). Dado un conjunto A, definimos el con- P(A) :Conjuntopotencia

junto potencia de A (o partes de A) como:

P(A) = {B : B A}.

Esto es, para todo conjunto B, B P(A) B A.

Ejemplo 1.15 (Algunos ejemplos del conjunto potencia).1. Sea A1 = {1}. Entonces P(A1) = {,{1}} (un conjunto con dos ele-

mentos). Note que aunque {1} P(A1), {1} / A1.2. Sea A2 = {1,2}. P(A2) es el conjunto de 4 elementos{,{1},{2},{1,2}}.

3. Sea A3 = {1,2,3}. P(A3) es el conjunto de 8 elementos{,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}.

4. P() = {}: para ver esto, basta preguntarse qu conjunto S es can-didato a ser subconjunto de : Si S posee al menos un elemento x, en-tonces x 6 , y por ende S 6 . Ahora, como , entonces pordefinicin P().


Figura 1.2: Distintas representaciones del conjuntoP({1,2,3}). La primera consiste enun diagrama de Venn, en donde representamos conjuntos visualmente por regiones espa-ciales. En la segunda se construye el retculo en donde se pintan lneas siempre que hayacontenencia (sin pintar, por supuesto, todas las lneas posibles). En la tercera se asocia acada conjunto S P({1,2,3}) una sucesin ordenada de ceros y unos, fS = ( f0, f1, f2),en donde fi = 1 si y slo si i S (as por ejemplo, al conjunto S = {1,3} se le asocia lasucesin fS = (1,0,1)).

Teorema 1.16. Sean A y B conjuntos. Tenemos:

(a) P(A) y A P(A).(b) P(A) 6=.(c) A B si y slo siP(A)P(B).(d) A= B si y slo siP(A) =P(B).

Prueba.

(a) Como A, entonces P(A). Como A A, entonces A P(A).(b) Es una consecuencia inmediata de (a).

(c) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que A B y demostremos que P(A) P(B): sea S P(A). Entonces S A. Como A B, por transitividad de la relacin concluimos que S B, lo cual implica que S B.

() Supongamos queP(A)P(B). Por (a) tenemos que A P(A). En-tonces A P(B), lo cual implica que A B, como queramos.

1.3. OPERACIONES BSICAS ENTRE CONJUNTOS 21

(d) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que A= B. Entonces A B y B A; aplicando (c) dos ve-ces concluimos queP(A)P(B) yP(B)P(B). Por el principiode extensionalidad concluimos queP(A) =P(B).

() Se razona de manera anloga.o

1.3. Operaciones bsicas entre conjuntos

Unin e interseccinSi P y Q son dos afirmaciones, entonces la afirmacin P Q ser verdadera

si P es verdadera Q es verdadera (o tanto P como Q son verdaderas). Por ejemplola afirmacin x {1,2} x {2,3} ser verdadera si x= 1, verdadera si x= 2,verdadera si x= 3, y falsa si x= 4. Para ms sobre el uso del (disyuncin), verel apndice de lgica.

Definicin 1.17 (Unin). Dados A y B conjuntos, definimos el conjunto AB : Uninpor:

AB := {x : x A x B}.El conjunto AB se denomina la unin entre A y B, o A unido con B.

Simbolizando el por , entonces para todo x tenemos que: : Disyuncin

x AB (x A x B).

Ejemplo 1.18. Si A = {1,2,3} y B = {1,3,4,5}, entonces A B ={1,2,3,4,5}. Note que el conjunto AB incluye los elementos que pertenecenpor lo menos a alguno de los conjuntos A o B. Por otro lado, 6 6 AB, ya que6 / A y 6 6 B.

Como el ejemplo anterior ha ilustrado, en general vale lo siguiente:

(x / AB) (x / A y x / B).


Definicin 1.19 (Interseccin). Dados A y B conjuntos, definimos el conjunto : InterseccinAB por:

AB= {x : x A y x B}.El conjunto AB se denomina la interseccin entre A y B A intersecado con B.

Simbolizando el y por , entonces para todo x tenemos que: : Conjuncin

x AB (x A x B).

Ejemplo 1.20. Si A = {1,2,3} y B = {1,3,4,5}, entonces AB = {1,3}.Note que AB incluye nicamente los elementos que aparecen en ambos con-juntos A y B. Por ejemplo 2 A pero 2 / B, de modo que 2 / AB.

Dados conjuntos A y B, tenemos que para todo x, x no pertenece al conjuntoAB si y slo si ste no se encuentra simultneamente en A y B, esto es, si x 6 A x 6 B:

(x / AB) (x / A x / B).

Figura 1.3: Unin e interseccin de conjuntos. Intuitivamente la unin es un conjuntogrande, mientras que la interseccin es un conjunto pequeo.

Diremos que A y B son disjuntos (entre s) si AB=. En otras palabras, AConjuntosdisjuntos y B son disjuntos si no poseen elementos en comn.

! Para antes de seguir leyendo: Verdadero o falso? (justificar)


1. Para todo conjunto A, A y son disjuntos.

2. Si A posee 5 elementos y B posee 6 elementos, entonces AB posee 11elementos.

Por el principio de extensionalidad, para demostrar que los conjuntos A y Bson iguales, basta demostrar dos afirmaciones por separado: A B y B A. A estemtodo de demostracin de igualdad de conjuntos lo denominaremos el mtodo dedoble inclusin (o mtodo de demostracin por elementos). El lector podr notar Mtodo de

doble inclusinque en varios teoremas ya hemos utilizado este mtodo.Las siguientes propiedades de la unin y la interseccin son evidentes y se

basan en las propiedades lgicas de los conectivos de disyuncin y conjuncin (y ):

Teorema 1.21. Sean A,B U conjuntos. Entonces se cumplen las siguientespropiedades:

(a) Idempotencia: AA= A ; AA= A.

(b) Conmutatividad: AB= BA ; AB= BA.

(c) A AB ; AB A.

(d) Identidades: A= A ; AU = A.

(e) Piso y techo: A= ; AU =U .

(f) Asociatividad: (AB)C = A (BC) ; (AB)C = A (BC).

Prueba.

(a) Demostremos que AA= A. Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Si x AA, entonces x A o x A. Pero entonces lgicamente x A.() Si x A, entonces lgicamente x A o x A, luego x AA.

La demostracin de que AA = A es anloga y se deja como ejercicio allector (ejercicio 16).

(b) Demostremos que AB= BA. Utilizamos el mtodo de doble inclusin:


() Si x AB, entonces x A y x B. Pero entonces lgicamente x By x A, y por ende x BA.

() Si x BA, entonces x B y x A. Pero entonces lgicamente x Ay x B, y por ende x AB.

La demostracin de que AB= BA se deja como ejercicio al lector (ejer-cicio 16).

(c) Veamos que A AB: Si x A, entonces es verdadero que x A o x B,8luego x AB. Ahora demostremos que AB B: Si x AB, entoncesx A y x B, y as lgicamente x B. Esto demuestra que AB B.

(d) Demostremos que A= A. Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Si x A, entonces x A o x . Pero la segunda opcin es im-posible, luego x A.

() Se tiene gracias a la propiedad (c).

La demostracin de que AU =U es dejada como ejercicio al lector (ejer-cicio 16).

(e) Demostremos que AU = A. Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Si x AU , entonces x A o x U . Como AU , concluimos queen cualquier caso x U .

() Se tiene gracias a las propiedades (b) y (c).

Veamos ahora que A=: por (b) y (c) tenemos que A. Pero elnico subconjunto de es , luego A=.

(f) Demostremos que (AB)C = A (BC). Utilizamos el mtodo de dobleinclusin:

() Si x (AB)C, entonces hay dos casos:(i) x AB: Entonces x A o x B. Pero ya que B BC (propiedad (c)),entonces necesariamente x A o x BC, es decir, x A (BC).

8Recordemos que si P y Q son proposiciones y P es verdadera, entonces la proposicin P o Qtambin lo ser. En la demostracin en cuestin, estamos pensando que P es la afirmacin x A yQ es la afirmacin x B.


(ii) x C: Entonces por la propiedad (c) x BC, y de nuevo utilizando lapropiedad (c) tenemos que x A (BC).

En cualquier caso tenemos que x A (BC), como queramos de-mostrar.

() Es similar a la demostracin de ().La demostracin de que (AB)C = A (BC) se deja como ejercicio allector (ejercicio 16).

o

Como el lector podr notar, en el teorema anterior pudimos haber utilizado a(c) como herramienta para demostrar una de las dos contenencias en (a).

Otro teorema menos evidente caracteriza de dos maneras distintas la relacinA B:Teorema 1.22. Dados dos conjuntos A y B:

(a) B A si y slo si AB= A.(b) B A si y slo si AB= B.

Prueba.

(a) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que BA. Debemos demostrar que AB=A. Utilizamosel mtodo de doble inclusin:

() Si x AB, entonces como todo elemento de B es elemento de A(por la hiptesis de que B A), necesariamente x A.

() Si x A, entonces x AB por el teorema 1.21(e).() Supongamos que AB= A. Debemos demostrar que B A. Sea x B.

Entonces x AB, pero por hiptesis este conjunto es igual a A, luegox A.

(b) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que BA. Debemos demostrar que AB=B. Utilizamosel mtodo de doble inclusin:

() Si x AB, entonces x B.


() Si x B, entonces como B A, x A . Entonces x AB.() Supongamos que AB = B. Debemos probar que B A. Sea x B.

Entonces x AB (pues AB= B), luego x A.

o

La operacin es una operacin binaria. Por esto, una expresin de la formaABC en principio es ambiga, y debe traducirse a (AB)C A(BC). Peroen virtud del teorema 1.21(c) ambas expresiones denotan el mismo conjunto, y porlo tanto definimos ABC como (AB)C (o A (BC)!). Esta observacintambin vale cambiando por .

Ahora avanzamos un poco ms, y relacionamos las operaciones de unin einterseccin entre s, mediante las llamadas leyes de distribucin:

Teorema 1.23 (Distribucin). Dados A, B y C conjuntos tenemos:

(a) (AB)C = (AC) (BC).(b) (AB)C = (AC) (BC).

Prueba.

(a) Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Sea x (AB)C. Entonces x AB y xC. Por lo primero, x A ox B. Si x A, entonces x AC. Si x B, entonces x BC. Luegox AC o x BC, es decir, x (AC) (BC).

() Sea x (AC) (BC). Entonces x AC o x BC. En el primercaso, como x A, entonces x A B, luego x (A B)C. En elsegundo caso, como x B, entonces x AB, luego x (AB)C.En cualquier caso, x (AB)C.

(b) Se deja al lector (ejercicio 17).

o

Teorema 1.24 (Absorcin). Dados A y B conjuntos tenemos:

(a) A (AB) = A.(b) A (AB) = A.

Prueba.

(a) Utilizamos el mtodo de doble inclusin:


() Sea x A (AB). Tenemos dos casos:(i) x A: Entonces x A.(ii) x AB: Entonces x A y x B, luego x A.

En cualquier caso concluimos que x A, como queramos.() Sea x A. Entonces por el teorema 1.21(b), x A (AB).

(b) Por el teorema de distribucin (teorema 1.23), tenemos que

A (AB) = (AA) (AB) = A (AB) = A(la ltima igualdad vale por la parte (a)).

o

En lo que resta de esta seccin explicaremos el concepto de contraejemplo. ContraejemploPara ello consideremos la siguiente proposicin:

x2 > x.

En la anterior proposicin, x representa el valor de un nmero natural cualquiera.Hay dos posibilidades respecto de esta afirmacin:

Que la proposicin sea verdadera para todos los valores de x N, oQue no se de el anterior caso. Es decir, que la proposicin sea falsa para almenos un valor de x N.

De hecho, el segundo caso es el que se da, pues si tomamos por ejemplo ax = 1 N, entonces la afirmacin x2 > x es falsa. Este ejemplo es llamado uncontraejemplo para la proposicin x2 > x (x N), ya que es un ejemplo quecontradice la verdad general de ella. A partir del contraejemplo podemos concluirque la afirmacin

Para todo x N, x2 > xes falsa.

Ejemplo 1.25. Para cada una de las siguientes proposiciones, determinesi ella es verdadera (para cualesquiera conjuntos A y B) o falsa, dando unademostracin en caso de ser verdadera, o un contraejemplo en caso de serfalsa.


(a) Si AB=, entonces A= y B=.(b) Si AB=, entonces A= B=.(c) Si AB 6=, entonces A 6= y B 6=.(d) (AB)B= AB.

Solucin. (a) Es verdadera. Veamos la demostracin: Si A B = , en-tonces como A AB y B AB, concluimos que A y B .Pero el nico subconjunto del vaco es el vaco, luego A= y B=.

(b) Es falsa. Veamos un contraejemplo: Sea A = {1}, B = {2}. Se cumpleque AB=, pero no se cumple que A= B=.

(c) Es verdadera. Veamos la demostracin: Si AB 6=, entonces existe xtal que x AB. Entonces x A y x B, y ello implica que A 6= yB 6=.

(d) Es falsa. Veamos un contraejemplo: Sea A= {1,2}, B= {2,3}. Entonces(AB)B= {2,3}, y AB= {1,2,3}.

o

Diferencia y complementoAs como podemos restar dos nmeros, tambin es posible restar dos conjuntos

de una manera natural. Esta operacin se llama la diferencia entre conjuntos.

Definicin 1.26 (Diferencia). Dados A y B conjuntos, definimos ArB como elr : Diferenciaconjunto

ArB := {x A : x 6 B}.Otra forma de decir esto es que para todo x, x Ar B (x A x 6 B). Elconjunto ArB se denomina A menos B, la diferencia entre A y B.

Ejemplo 1.27 (Algunos ejemplos de diferencia entre conjuntos).(a) {1,a,2,b,3,c,4,d}r{1,b,c,4}= {a,2,3,d}.(b) Si A = {0,4,7,10} y B = {3,4,8,10,12}, entonces Ar B = {0,7} y

BrA= {3,8,12}.


(c) Si A y B son disjuntos, entonces ArB= A.

(d) {3,5,7}rN=.

! Para antes de seguir leyendo: Verdadero o falso? (Dar unademostracin o un contraejemplo)

(AB)rB= A.

Ahora tomamos un conjunto cualquiera U y trabajamos dentro deP(U );esto significa que todos los conjuntos que consideremos sern subconjuntos deU .Llamaremos a U nuestro universo de discurso, o simplemente el universo. U : Universo

Esto nos permite definir el complemento de un conjunto A:

Definicin 1.28 (Complemento). Para un conjunto A U , definimos su com- c :Complementoplemento Ac :=U rA. Note que Ac U .

Por definicin, afrimar que x pertenece a Ac equivale a decir que x U y x nopertenece a A. Simbolizando no mediante , tenemos que para cualquier x: : Negacin

x Ac ( x U (x A) ).

Ejemplo 1.29. En este ejemplo tomamos como universo al conjunto U =N = {0,1,2, . . .}. Esto significa que slo consideramos subconjuntos de N.Sea A = {1,5,6}, B = {3,7,8,10} y C = {n N : n > 3} = {4,5,6,7, . . .}.Entonces:

Ac = {n N : n 6= 1n 6= 5n 6= 6}= {0,2,3,4,7,8,9, . . .}(AB)c = {0,2,4,9,11,12,13, . . .}.Cc = {n N : n< 4}= {0,1,2,3}.

Algunos autores suelen denotar a Ac por A,A, A o inclusoA. Dos propiedadesnotables del complemento son que para todo conjunto AU , A y su complemento


Figura 1.4: Diferencia y complemento de conjuntos. El complemento es un caso especialde la diferencia.

son disjuntos, y adems U se puede escribir como la unin disjunta entre A y sucomplemento (decimos unin disjunta para resaltar el hecho de que los conjuntosson disjuntos); este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema 1.30 (Todo o nada). Para todo AU :(a) AAc =,(b) AAc =U .

Prueba.

(a) Utilizamos el mtodo de contradiccin9 (que consiste en suponer que lo queMtodo decontradiccin queremos demostrar es falso, y a partir de esto llegar a una contradiccin):

supongamos que A Ac 6= . Entonces existe x tal que x A Ac. Peroentonces x A y x 6 A, lo cual es absurdo (ya que un elemento no puedepertenecer y no pertenecer simultneamente a un conjunto). Concluimos queAAc =.

(b) Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Si x AAc, dado que tanto A como Ac son subconjuntos de U , en-tonces x U .

() Sea x U . Si x A, entonces x AAc. Si por el contrario x 6 A,entonces (por definicin de complemento) x Ac, luego x AAc. Encualquier caso tenemos que x AAc.

o

Veamos otras propiedades menos evidentes del complemento:

9Para ms informacin sobre el mtodo de contradiccin, consltese el apndice de lgica.


Teorema 1.31. Para A, B subconjuntos de U :

(a) ArB= ABc.(b) Doble complemento: (Ac)c = A.

(c) A B si y slo si Bc Ac.

Prueba.

(a) Para x arbitrario, x ArB si y slo si (x A y x 6 B) si y slo si x ABc.(b) Si x (Ac)c, entonces x U = AAc y x 6 Ac, luego necesariamente x A.

Ahora, si x A, entonces x U . Pero adems x 6 Ac (de lo contrario setendra que x 6 A), y entonces (por definicin de complemento), x (Ac)c.

(c) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que A B. Debemos demostrar que Bc Ac. Sea x Bc.Entonces x U y x 6 B. Este ltimo hecho (junto con la hiptesis)implica que x 6 A (o de lo contrario x sera un elemento de B), as quex Ac.

() Supongamos que Bc Ac. Por la implicacin que acabamos de estable-cer (donde Bc juega el papel de A y Ac juega el papel de B) tenemosque (Ac)c (Bc)c, y esto junto con (b) garantiza el resultado.

o

La prueba de la propiedad (a) no fue descompuesta en dos inclusiones como decostumbre, sino que consisti en demostrar directamente que pertenecer al primerconjunto equivale a pertenecer al segundo (luego al ambos conjuntos poseer losmismos elementos, deben ser iguales). Esta forma de demostracin es llamada elmtodo directo para demostrar una igualdad de conjuntos. Pese a la elegancia del Mtodo directomtodo directo, el lector se dar cuenta con la experiencia que muchas pruebas deigualdad de conjuntos son ms claras utilizando el mtodo de doble inclusin.

Teorema 1.32 (Leyes de De Morgan). Para A,BU :(a) (AB)c = Ac Bc (el complemento de la unin es la interseccin de los

complementos).

(b) (AB)c = Ac Bc (el complemento de la interseccin es la unin de loscomplementos).


Prueba. Dejamos la prueba de (a) al lector (ejercicio 18), y demostramos (b).Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Si x (AB)c, entonces x U y x 6 AB; esto ltimo implica que x 6 A x 6 B. Por ende, necesariamente x Ac x Bc, esto es, x AcBc.

() Si x AcBc, entonces tenemos dos casos:

(i) x Ac : entonces x U y x 6 A, luego x 6 AB, por ende x (AB)c.

(ii) x Bc: razonando de forma anloga a como lo hicimos en (i) concluimosque x (AB)c.

En cualquier caso, x (AB)c.o

1.4. lgebra de conjuntos: pruebas sin doble inclusin

Recordemos algunas de las propiedades bsicas sobre operaciones entre con-juntos que hemos establecido:

Teorema 1.33. Dados conjuntos A,B,C U , tenemos:(1) Conmutatividad: AB= BA; AB= BA (teorema 1.21(b)).(2) Asociatividad: A (BC) = (AB)C; A (BA) = (AB)C (teorema

1.21(f)).

(3) Absorcin: A (AB) = A; A (AB) = A (teorema 1.24).(4) Distribucin: A (BC) = (AB) (AC); A (BC) = (AB) (AC)

(teorema 1.23).

(5) Todo o nada: AAc =; AAc =U (teorema 1.30).(6) Identidades: A= A; AU = A (teorema 1.21(d)).(7) Piso, techo: A=; AU =U (teorema 1.21(e)).(8) Idempotencia: AA= A ; AA= A (teorema 1.21(a)).(9) Doble complemento: (Ac)c = A (teorema 1.31(b)).

(10) De Morgan: (AB)c = AcBc; (AB)c = AcBc (teorema 1.32).

1.4. LGEBRA DE CONJUNTOS: PRUEBAS SIN DOBLE INCLUSIN 33

En esta seccin presentamos una manera efectiva para establecer la igualdadentre conjuntos. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que la siguien-te igualdad es vlida en general:

A= (AB) (ABc).Para demostrar esto podemos utilizar (como lo hemos hecho hasta ahora) el mtodode doble inclusin. Sin embargo existe otro procedimiento, llamado lgebra deconjuntos, que consiste en demostrar la igualdad de ambos conjuntos por medio lgebra de

conjuntosde propiedades ya establecidas. Veamos cmo:

A= AU (Identidades, teorema 1.30)= A (BBc) (Todo o nada, teorema 1.30)= (AB) (ABc) (Distribucin, teorema 1.23(a))

En este esquema de prueba se debe justificar cada igualdad. Debe quedar claroque este mtodo es igual de vlido que el mtodo de doble inclusin.

Por ejemplo, la propiedad 6 (ver teorema 1.33) puede deducirse a partir delas propiedades 1 hasta 5 utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos. Veamoscmo:

Ejemplo 1.34. Utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos y laspropiedades 1 hasta 5, demuestre la propiedad 6.

Solucin. Veamos primero que A= A:

A= A (AAc) (Absorcin)= A (Todo o nada)

Ahora veamos que AU = A:

A= A (AAc) (Absorcin)= AU (Todo o nada)

o

El ejercicio 28 puede verse como una continuacin de las ideas del ejemploanterior.


Ejemplo 1.35. Demuestre que (AB) ((AB) (AB)c)c = AB.Solucin.

(AB) ((AB) (AB)c)c= (AB) ((AB)c ((AB)c)c) (De Morgan)= (AB) ((AB)c (AB)) (Doble complemento)= ((AB) (AB)c) ((AB) (AB)) (Distributibidad)= (AB) (Todo o nada + pr.interseccin)= AB (prop. unin)

o

En el ejemplo anterior, para evitar referenciar exactamente el teorema o propiedadutilizado para justificar cada paso, nos hemos dado el lujo de escribir prop. com-plemento, prop. interseccin y prop. unin, haciendo referencia a las propiedadesrelevantes que ya hemos establecido sobre el complemento, la unin y la intersec-cin: U = A Ac, A A = A, A Ac = y A = A. Lo importante es quesepamos qu propiedades estamos utilizando, y que estemos convencidos de suvalidez (porque lo hayamos demostrado antes).

Sean A,BU conjuntos. Si AcB=, es fcil ver que B A, y si AcB=U , es fcil ver que A B (vase el ejercicio 20). Concluimos que si Ac B = y Ac B = U , entonces A = B. Este resultado lo podemos demostrar mediantelgebra de conjuntos:

Lema 1.36. Si A,BU , y se tiene queAcB=, AcB=U ,

entonces A= B.

Prueba.Veamos primero que A= AB:

A= AU (Identidades)= A (AcB) (Hiptesis)= (AAc) (AB) (Distribucin)= (AB) (Todo o nada)= AB (Identidades)

1.4. LGEBRA DE CONJUNTOS: PRUEBAS SIN DOBLE INCLUSIN 35

Ahora veamos que B= AB:

B= BU (Identidades)= B (AAc) (Todo o nada)= (BA) (BAc) (Distribucin)= (AB) (Conmutatividad + Hiptesis)= AB (Identidades)

Entonces A= AB= B. o

Utilizando las propiedades 1 hasta 9 (y en particular el lema 1.36, que hasido establecido utilizando algunas de estas propiedades), podemos dar una pruebaalternativa de la propiedad 10, esto es, de las Leyes de De Morgan, mediantelgebra de conjuntos:

Teorema 1.37 (Leyes de De Morgan). Para A,BU :

(a) (AB)c = AcBc.

(b) (AB)c = AcBc.

Prueba. Dejamos la prueba de (b) al lector (ejercicio 18), y demostramos (a): SeaX = (AB)c,Y =AcBc. En virtud del lema 1.36, basta demostrar que XcY =y XcY =U . Esto lo hacemos por el mtodo de lgebra de conjuntos:

XcY= ((AB)c)c (AcBc)= (AB) (AcBc) (Doble complemento)= (A (AcBc)) (B (AcBc)) (Distribucin)= ((AAc)Bc) ((BBc)Ac) (Conmutatividad + Asociatividad)= (Bc) (Ac) (Piso, techo)= (Identidades)= (Identidades)

Ahora veamos que XcY =U :


XcY= ((AB)c)c (AcBc)= (AB) (AcBc) (Doble complemento)= ((AB)Ac) ((AB)Bc) (Distribucin)= ((AAc)B) ((BBc)A) (Conmutatividad + Asociatividad)= (U B) (U A) (Piso, techo)= U U (Piso, techo)= U (Identidades)

o

Propiedades dualesEl dual de una propiedad P es la propiedad Pd que se consigue intercambiandoPropiedad dual

por , por , U por y viceversa. Por ejemplo, el dual de la propiedad P :=AB A es Pd := AB A, y el dual de P := A= es Pd := AU =U .La propiedad AU es siempre vlida y su dual (A) tambin lo es. Las leyesde distribucin son duales entre s.

Veamos un ejemplo en donde utilizamos el lgebra de conjuntos para demostrarel dual de una propiedad vlida: a partir de la ley de De Morgan P := (AB)c =AcBc podemos demostrar su dual, esto es,

Pd = (AB)c = AcBc.

(AB)c= ((Ac)c (Bc)c)c (Doble complemento)= ((AcBc)c)c (Propiedad P)= AcBc (Doble complemento)

1.5. Unin e interseccin generalizadas

En esta seccin generalizamos las operaciones de unin e interseccin de con-juntos. La generalizacin consiste en que en vez de unir nicamente dos conjuntos,podremos unir cualquier nmero de conjuntos (incluso un nmero infinito de ellos),y de forma anloga con la interseccin.

Imaginemos a un conjunto A como una caja cuyos elementos son bolsas b A,cada una de las cuales contiene ciertas piedras p b. Podemos formar el conjuntoque resulta de introducir todas estas piedras en una nueva caja:

Definicin 1.38 (Unin generalizada). Sea A un conjunto. DefinimosA (laUnin

generalizada unin de A) por p : p Ab A : p b.

1.5. UNIN E INTERSECCIN GENERALIZADAS 37

Es decir, p A si y solo si existe una bolsa b perteneciente a la caja A, talque p pertenece a b. Un caso particular de esto es cuando la caja A posee como ele-mentos exactamente a las bolsas B yC (A= {B,C}). Es claro entonces que x Asi y solo si x B x C; en otras palabras, A coincide con el conjunto BC.De forma anloga podemos definir la interseccin (generalizada):

Definicin 1.39 (Interseccin generalizada). Sea A un conjunto. DefinimosA Interseccin

generalizada(la interseccin de A) por p : p Ab A : p b.Por ejemplo, si A es una bolsa que posee ciertos conjuntos de personas como

sus elementos, entoncesA ser la lista de las personas que aparecen en todos los

conjuntos de A. Si B= {{1,2},{2,4},{8,2,4}}, entoncesB= {2}. Como ocurrecon la unin, AB resulta ser {A,B}.

Sea I, un conjunto, y para cada i I sea Ai un conjunto. Entonces podemosdefinir el conjunto que contiene como elementos precisamente todos los conjuntosAi:

A= {Ai : i I}.El conjunto I se denomina un conjunto de ndices. Con base en el conjunto A cuyoselementos son los conjuntos Ai (i I), definimos:

iIAi :=

A la unin de los Ai con i I,

iI

Ai :=

A la interseccin de los Ai con i I.


Para los siguientes ejemplos es necesario introducir al conjunto de los nmerosreales, R. La definicin precisa de este conjunto no es tan sencilla: intuitivamenteR : Nmeros

reales los nmeros reales se representan por una recta infinita sin huecos, incluyendopor ejemplo los nmeros 7,3,1,1/2,2,pi,14, etctera.

El conjunto de los nmeros enteros es el conjuntoZ: Nmerosenteros

Z := {. . . ,2,1,0,1,2, . . .}.El conjunto de los nmeros racionales es el conjuntoQ : Nmeros

racionalesQ= {a

b: a,b Z,b 6= 0}.

Entonces tenemos que N ZQ R.Definicin 1.40. Sea AR, y sea aR . Definimos los siguientes subconjuntosAa,A+,Ade A:

Aa = {x A : x a}.Aa, Aa se definen anlogamente.

A := {x A : x 6= 0}.A+ := A>0 = {x A : x> 0}.A := A

1.5. UNIN E INTERSECCIN GENERALIZADAS 39

Ejemplo 1.42. Dado n N sea An = [0, 1n ]. Entonces tenemos quenN

An = {0}.

Teorema 1.43. Sean A y B conjuntos. Tenemos que:

(a) Monotona: A B implica AB.(b) B A implica AB.

Prueba.

(a) Si xA, entonces x y para algn y A. Como A B, entonces y tambinpertenece a B, y entonces x y para algn y B, esto es, x B.

(b) Si x A, entonces para todo y A, x y. Como B A, en particular paratodo y B, x y, esto es, x B.

o

Teorema 1.44. Sea A un conjunto no vaco. Entonces:

(a) Si a A, entonces aA.(b) Si a A, entonces A a.(c) Si para cada a A se tiene que c a, entonces cA.(d) Si para cada a A se tiene que a c, entonces A c.

Prueba. Se deja al lector (ejercicio 31 h). o

El anterior teorema puede reformularse utilizando la terminologa de subndices:

Teorema 1.45. Sea {Ai : i I} un conjunto. Entonces para todo j I:(a) Para todo j I, A j iI Ai.(b) Para todo j I, iI Ai A j.(c) Si para todo i I, C Ai, entonces C iI Ai.


(d) Si para todo j I, A j C, entonces iI Ai C.El resultado ms importante que relaciona la unin con la interseccin genera-

lizada es el teorema de De Morgan (generalizado):

Teorema 1.46 (De Morgan generalizado). Sea A = {Ai : i I} un conjunto talque para cada i I, Ai U . Entonces:

(a)

(iI

Ai

)c=iI

Aci .

(b)

(iI

Ai

)c=iI

Aci .

Prueba. Demostraremos la igualdad (a) por el mtodo de doble inclusin, y laigualdad (b) por el mtodo directo:

(a) Si x (iI

Ai)c, entonces x 6iI

Ai, luego no es cierto que para todo i Ix Ai, y por ende debe existir un i0 I tal que x 6 Ai0 , es decir, x Aci0 . PeroAci0

iI

Aci , luego x

iI Aci . La otra inclusin es demostrada de forma

anloga.

(b) Dado un x cualquiera, tenemos que:

x (iI Ai)c x 6iI Ai (def. complemento) no existe i I tal que x Ai (def. unin) para todo i I,x 6 Ai (lgica) para todo i I,x Aci (def. complemento) x iI Aci (def. interseccin)

o

! Para antes de seguir leyendo:(a) Sea A un conjunto. Qu conjunto es

(P(A))? Y

(P(A))?

(b) Qu conjunto es/0?

(c) Verdadero o falso?: A :AA.(d) Qu es

/0?

1.6. LA PARADOJA DE RUSSELL 41

1.6. La paradoja de Russell

Es natural suponer que a partir de cualquier propiedad podemos construir elconjunto de los objetos que cumplen con esta propiedad. Sin embargo este no es elcaso, como se muestra a continuacin.

Sea p(x) la propiedad x 6 x. Entonces A = {x : p(x)} = {x : x / x} es elconjunto de los conjuntos que no pertenecen a s mismos. Pertenece A a A? Haydos posibles respuestas a esta pregunta: que s, o que no:

Supongamos que A A: por definicin de A, p(A) es verdadera, luego A / A,contradiciendo la suposicin original.

Supongamos entonces que A 6 A: por definicin de la propiedad p, vale p(A)y, por definicin del conjunto A, tenemos que A A, lo que de nuevo con-tradice la hiptesis.

En cualquier caso llegamos a una contradiccin. Concluimos que el conjunto Aanteriormente descrito no existe. Esta paradoja se conoce con el nombre de parado-ja de Russell10. La moraleja de esta paradoja es que no podemos darle existenciaa un conjunto nicamente a partir de una propiedad que imaginemos. Sin embar-go, existe un axioma llamado el principio de separacin, que permite hacerlo enalgunos casos (ver ejercicio 40).

1.7. Producto cartesiano

Un par ordenado (a,b) consiste en dos elementos a y b (no necesariamente (a,b) : Parordenadodistintos), que aparecen en cierto orden (a aparece de primero y b de segundo). Por

ejemplo, el par ordenado (4,6) es distinto del par (6,4), pues ambos poseen losmismos elementos pero en distinto orden. Es por esto que un par ordenado no es lomismo que un conjunto de dos elementos: en los conjuntos no importa el ordenen que se listen sus elementos y por ejemplo {4,6} = {6,4}, mientras que comoya hemos explicado, (4,6) 6= (6,4).

La definicin conjuntista de un par ordenado (a,b) es poco til e intuitiva parala teora que queremos desarrollar, aunque por supuesto la daremos ms adelanteen esta seccin (defincin 1.50); a partir de ella se puede demostrar que (a,b) =(a,b) si y slo si a= a y b= b, como se quiere.

10Bertrand Russell (1872 - 1970), matemtico y filsofo ingls.


! Para antes de seguir leyendo:Verdadero o falso?

(a) (2,2) es un par ordenado,

(b) {a,b} es un conjunto de dos elementos,(c) (3,3) = (3,5),

(d) ((3,2),1) = ((3,2),1),

(e) Si (a,b) = (b,c), entonces {a,b,c} es un singleton (esto es, un conjuntocon exactamente un elemento).

Dados conjuntos A y B, podemos definir el conjunto de todas las parejas or-denadas (a,b), en donde la primera coordenada (a) proviene de A, y la segundacoordenada (b) proviene de B. A este conjunto lo llamamos el producto cartesianoentre A y B y lo denotamos por AB. Formalmente:Definicin 1.47 (Producto cartesiano). AB := {(x,y) : x A,y B}.AB : Producto

cartesianoNotacin: A2 := AA= {(x,y) : x,y A}.

Ejemplo 1.48 (Ejemplos de producto cartesiano).Si A= {1,2} y B= {1,0,1}, entonces

AB= {(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)}.

El conjunto A posee 2 elementos, el conjunto B posee 3 elementos, y elconjunto AB posee 2 3 = 6 elementos (de este hecho proviene lapalabra producto en la definicin).

Si A= B=R, entonces R2 es llamado el plano cartesiano. Las caricatu-ras y los dems objetos bidimensionales habitan en R2: un crculo noes ms que cierto subconjunto de R2; por ejemplo, el crculo de radio 3centrado en el origen es el siguiente conjunto de pares ordenados:

{(x,y) R2 : x2+ y2 = 9} R2.

1.7. PRODUCTO CARTESIANO 43

Los objetos tridimensionales son subconjuntos deR2R (que llamamosR3 para abreviar).

Teorema 1.49 (Propiedades del producto cartesiano). Dados A,A,B y B con-juntos se tiene:

(a) A=B=.(b) Si A y B son conjuntos no vacos, A= B si y slo si AB= BA.(c) Si A y B son conjuntos no vacos, A= A y B= B si y slo si AB= AB.(d) A (BC) = (AB) (AC).(e) A (BC) = (AB) (AC).

Prueba. Mostramos (b) y (d), y dejamos las partes (a), (c) y (e) como ejercicio allector (ejercicio 34):

(b) Utilizamos el mtodo de doble implicacin:

() Supongamos que A= B. Entonces AB= AA= BA.() Supongamos que A B == B A. Debemos demostrar que A = B.

Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Sea x A. Como B 6= , existe y tal que y B. Entonces pordefinicin (x,y) AB. Por hiptesis AB = BA, entonces(x,y) BA, lo que implica que x B.

() Es anloga.(d) Utilizamos el mtodo de doble inclusin:

() Sea (x,y) A (BC). Entonces x A y y BC. Tenemos doscasos:

(i) y B: En este caso concluimos que (x,y) AB.(ii) y C: En este caso concluimos que (x,y) AC.

A partir del razonamiento anterior concluimos que (x,y) A B (x,y) AC, luego (x,y) (AB) (AC).

() Sea (x,y) (AB) (AC). Entonces hay dos casos:


(i) (x,y) AB: En este caso x A y y B; como B BC, concluimosque y BC, y por ende (x,y) A (BC).

(ii) (x,y) AC: Mediante un razonamiento anlogo al hecho en (i) con-cluimos que (x,y) A (BC).

En cualquier caso concluimos que (x,y)A(BC), como queramos.

o

De forma anloga a la definicin de un par ordenado, podemos definir unan-tuplan-tupla (donde n es un nmero natural positivo) (a1,a2, . . . ,an) como un objeto talque:

(a1,a2, . . . ,an) = (b1,b2, . . . ,bn) si y slo si ai = bi para todo i {1,2, . . . ,n}.

Podemos generalizar el producto cartesiano entre dos conjuntos, y definir elproducto cartesiano entre n conjuntos A1, . . . ,An (donde n N) de la siguientemanera:

A1A2 An := {(a1,a2, . . . ,an) : a1 A1a2 A2 an An}.

Definicin conjuntista de un par ordenado

En esencia queremos definir (a,b) como un conjunto (en trminos de a, y b),que satisfaga la siguiente propiedad:

(a,b) = (a,b) si y slo si a= a y b= b.

Definicin 1.50 (Par ordenado). Dados a,b, definimos el par ordenado (a,b) as:

(a,b) := {{a},{a,b}}.

(a,b) es llamado el par a coma b, o simplemente a coma b.

Por ejemplo, (4,6) es el conjunto {{4},{4,6}}, mientras que (6,4) es el con-junto {{6},{6,4}}. Note que, por ejemplo, {4} (4,6)r (6,4), y por esto con-cluimos (como queramos) que (4,6) 6= (6,4).

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la penaobservar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostracin dejamos al lector),que utilizaremos constantemente:


1. a 6= b si y slo si {a,b} no es un singleton (un singleton es, como su nombrese indica, un conjunto con exactamente un elemento). Por ejemplo, {2,2} y{a} son singletons).

2. a= b si y slo si {a}= {b}.

Teorema 1.51 (Propiedad del par ordenado). (a,b) = (a,b) si y slo si [a= ay b= b].

Prueba. La direccin es inmediata por la definicin de par ordenado. Demos-tremos la otra direccin: supongamos que (a,b) = (a,b), esto es, que:

{{a},{a,b}}= {{a},{a,b}}.

Dividimos la prueba en dos casos, segn a y b sean iguales o no:

(i): a = b: entonces

{{a},{a,b}}= {{a},{a,b}}= {{a},{a,a}}= {{a},{a}}= {{a}}.

Entonces {a}= {a,b}= {a}, lo cual implica que a= b= a. Entonces a,a,by b son el mismo elemento, y en particular podemos concluir a= a y b= b.

(ii): a 6= b: Entonces {{a},{a,b}} posee 2 elementos (por que?), locual implica que {{a},{a,b}} (siendo el mismo conjunto) posee 2 ele-mentos. Pero esto implica que a 6= b (por qu?). Como {{a},{a,b}} ={{a},{a,b}}, entonces {a} = {a} o {a} = {a,b}. Pero la segunda op-cin es imposible, luego {a} = {a}, es decir, a = a. De manera similar,{a,b}= {a} o {a,b}= {a,b}, pero la primera opcin es imposible, as que{a,b} = {a,b}. Esto implica que b = a o b = b; sin embargo la primeraopcin es imposible (pues a = a y b 6= a). Por ende, b= b.

En cualquier caso concluimos que a= a y b= b. o

La definicin de una 3-tupla es recursiva. Esto es, para definir una 3 tupla re-currimos a la definicin de una 2-tupla:

Definicin 1.52. Dados a1,a2,a3, definimos la 3-tupla (a1,a2,a3) as:

(a1,a2,a3) := ((a1,a2),a3).

Por ejemplo, la 3-tupla (a,b,c) es igual a ((a,b),c), que a su vez es igual a:

((a,b),c) = {{(a,b)},{(a,b),c}}= {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.


Como el lector se dar cuenta, toda 3-tupla es un par ordenado! La 3-tupla (a,b,c)es el par ordenado cuyas coordenadas son (a,b) y c. De forma anloga al cason= 3, podemos definir una n-tupla para cualquier nN (para hacer esto de formarigurosa se requiere de una definicin por recursin: consultar la seccin 2.3 params detalles).


Lecturas adicionales

Las siguientes son lecturas adicionales sobre algunos de los temas tratados enel captulo 1:

Para ms sobre teora de conjuntos, consultar [7], secciones 1.1 a 1.5; [2],secciones 1.1, 1.2; 1.3; [3], captulo 1; [10], captulo 2.1; [4], secciones 8,10.

Para ms sobre rdenes parciales, consultar [4], seccin 50.

Para una exposicin axiomtica de la teora de conjuntos, consultar [3], cap-tulo 1(3); [2], seccin 6.1.


1.8. / Ejercicios

EJERCICIOS DE CALENTAMIENTO

1. Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sean A,B y C los siguientes subconjun-tos de U :

A= {1,4,5}, B= {4,6,7}, C = {2,7,8}.Calcule los siguientes conjuntos (donde el complemento se toma con respec-to a U ):

a) AB,b) AB,c) AC,d) ArCc,

e) BrC,f ) Ar (BC),g) Bc,

h) (BC)c,

i) BcCc,j) P(A),

k) P(A)P(B).l) CrU .

2. Determine, si es posible, el nmero exacto de elementos en cada uno de lossiguientes conjuntos (donde x es un nmero natural):

a) {3},b) {2,2,2},c) {1,3,1,3},

d) {},e) {x},f ) { 1,{2,3,4} },

1.8. / EJERCICIOS 49

g) { 2,{3,4},{4,2} },h) { 2,{3,4},{4,2},{4,3} },i) {n N : n2 < 16},

j) {n N : n> 6},k) {x,x,x2},l) {x,x+1}.

3. Sea A = {y : existe n N tal que 4 < n < 8 y y = 2n+ 1}. Describa elconjunto A extensionalmente, esto es, liste todos sus elementos. [Otra formade describir al conjunto A es la siguiente: A= {2n+1 : n N,4< n< 8}.]

4. Sea x= {1,2,3,4}.a) Liste todos los elementos deP(x) (esto es, todos los subconjuntos de

x). Cuntos son?

b) Sea y = x{5}. Liste todos los elementos de P(y)rP(x) (esto es,todos los subconjuntos de y que no son subconjuntos de x). Cuntosson?

5. Sea A= {1,2, . . . ,n} (donde n N). Calcule el nmero de subconjuntos deA que poseen:

a) 0 elementos,

b) 1 elemento,

c) n1 elementos,d) n elementos.

6. Sea A= {1,3}.a) Calcule el conjuntoP(A). Cuntos elementos posee ste?

b) Calcule el conjuntoP(P(A)). Cuntos elementos posee ste?

c) Cuntos elementos posee el conjuntoP(P(P(A)))?

7. D un ejemplo de conjuntos A, B, C, D, E y F tales que A no sea vaco, Apertenezca a B, B sea un subconjunto propio de C, C pertenezca a D, D seaun subconjunto propio de E y E sea un subconjunto propio de F . Respondalas siguientes preguntas de acuerdo a su ejemplo (justificando su respuesta):

a) Pertenece A aC?

b) Es A subconjunto deC?

c) Pertenece B a D?

d) Es B un subconjunto de E?


e) Pertenece D a F?

f ) Es D un subconjunto propio de F?

8. Recuerde que Z = {. . . ,2,1,0,1,2, . . .} es el conjunto de los nmeros en-teros. Sea A el conjunto

A= {3s+1 : s Z}.a) Demuestre que 11 A [Ayuda: Encuentre un nmero entero s tal que11= 3s+1.]

b) Demuestre que 8 6 A.c) Qu conjunto es Ac = ZrA?

ENTRADAS

9. Empareje cada afirmacin de la izquierda con una de la derecha de modoque las afirmaciones emparejadas sean equivalentes entre s:

(1) {x,y}r{x}= (a) x / A(2) Ac = (b) A= B=(3) A B (c) A {x}(4) Ar{x}= (d)P(A)P(B)(5) {x} 6= {y} (e) x= y(6) A{x}= A (f) A=U(7) x (g) A= {}(8) AB= (h)P(A) =(9) Ar{x}= A (h) {x}{y}=(10) AB= (i)P() = {}(11) Ac =U (j) x A(12) A= (k) A Bc

10. Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si sta es verdaderao falsa (justificando con una demostracin o un contraejemplo):

a) x : x) /0.b) x : /0 x.c) .d) /0 {{}}.

e) /0 {{}}.f ) = {}.g) r=.h) {1} N.

i) {1} N.j) {1,{2}} N.k) {x : x 6= x}=.l) x :P(x) 6=.

11. Este ejercicio consiste en encontrar propiedades precisas que nos permitandescribir la pertenencia a ciertos conjuntos.


a) Sea X el conjunto {6,10,14,18,22, . . .}. Describa a X intensionalmente,ms precisamente, encuentre una propiedad p(x), tal que X = {x N :p(x)}. [Ayuda: ver el ejercicio 3.]

b) Sea 2N el conjunto de los nmeros naturales pares: 2N := {0,2,4, . . .}.Describa al conjunto 2N intensionalmente; ms precisamente, encuen-tre una propiedad p(x), distinta de x es par, tal que 2N = {x N :p(x)}.

c) Sea X el conjunto de los nmeros primos (un nmero primo es unnmero natural mayor que 1 cuyo nico divisor mayor que 1 es l mis-mo). Escriba a X intensionalmente (hay varias formas de hacerlo!).

12. Demuestre mediante el mtodo de doble inclusin las siguientes igualdades:

a) {3x+1 : x Z}= {13y : y Z},b) {pi(n2) : n Z}= {pi(n+10) : n Z},c) {2x+5 : x Z}= {1+2y : y Z},d) {(x+2) : x N}= {y Z : y2}.

13. Diremos que A muerde a B si existe x tal que x A y x B. Para cada unade las siguientes afirmaciones, determine si sta es verdadera o falsa, dandouna demostracin o un contraejemplo:

a) A muerde a A.

b) Si A muerde a B, entonces B muerde a A.

c) Si A muerde a B y B muerde aC, entonces A muerde aC.

d) Si A muerde a BC entonces [ A muerde a B o A muerde aC ].e) Si A muerde a B o A muerde aC entonces A muerde a BC ].f ) Si A muerde a BC entonces [ A muerde a B y A muerde aC ].g) Si A muerde a B y A muerde aC entonces A muerde a BC ].h) Si AB muerde aCD, entonces A muerde aC o B muerde a D.

14. Sean A,A,B y B conjuntos tales que A A y B B. Demuestre que si Ay B son disjuntos, entonces A y B son disjuntos.

15. Demuestre que A BC si y slo si existen A1,A2 tales que A1 B, A2 Cy A= A1A2.

16. Sean A y B conjuntos. Demuestre las siguientes propiedades (refirase alteorema 1.21):


(a) AA= A.(b) AB= BA.(c) AB AB.(d) AU =U .(e) (AB)C = A (BC).

17. Demuestre el teorema 1.23(b).

18. Demuestre que (AB)c = AcBc utilizando el mtodo de doble inclusin,y que (AB)c = AcBc, utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos.

19. Demuestre las siguientes propiedades de operaciones entre conjuntos:

a) AB ABC ; ABC AB.b) A, BC si y slo si ABC; A, BC si y slo si ABC.c) AB= AB si y slo si A= B.d) Si B 6 A entonces BrA 6=.e) BrA= B si y slo si ArB= A.f ) Ar (ArB) = AB.g) A (BrC) = (AB)r (AC).h) (AB) (CBc) AC.i) Cr (AB) = (CrA) (CrB).j) Cr (AB) = (CrA) (CrB).k) Cr (BrA) = (AC) (CrB).l) (BrA)C = (BC)rA= B (CrA).m) (BrA)C = (BC)r (ArC).

20. Sean A,B U conjuntos. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes entre s:

a) A B,b) BcA=,c) AcB=U ,d) Bc Ac,e) AB= A,f ) AB= B.


21. Sean A,B U conjuntos. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) A B(ii) Existe U tal que Br= A.Concluya que el conjunto vaco es un subconjunto de todos los conjuntos (es-ta es una demostracin natural de este hecho; comparar con la demostracinde la direccin en el teorema 1.12).

22. Sean A,B,C conjuntos. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) P(AB) =P(A)P(B).b) P(AB)P(A)P(B). Adems d un ejemplo en el cual la con-

tenencia anterior sea estricta.

c) A= si y slo siP(A) = {}.d) A y B son disjuntos si y slo siP(A)P(B) = {}.e) Si A B y AC, entonces

{X A : X P(B)}= {X A : X P(C)}=P(A).

23. Demuestre que si A posee n elementos (para n un nmero natural), entoncesP(A) posee 2n elementos [Ayuda: Sea A = {a1, . . . ,an}: represente a cadasubconjunto de A como una n-tupla de ceros y unos, como se ejemplific enla figura 1.2.]

24. Suponga que A B, A posee n elementos y B posee m elementos. En trmi-nos de n y m, cuntos elementos posee el conjunto X = {AC :C P(B)}?PLATOS FUERTES

25. Dados conjuntos A y B, diremos que A es un vecino inferior de B si A es unsubconjunto propio de B y no existen conjuntos X tales que A es un subcon-junto propio de X y X es un subconjunto propio de B. Con base en la anteriordefinicin, resuelva los siguientes ejercicios:

a) Sea B= {0,1, ...,n}. Calcule el nmero de vecinos inferiores de B.b) Si B es un conjunto que posee un nmero infinito de vecinos inferiores

A, es necesariamente B un conjunto infinito? Justifique su respuesta.

c) Demuestre que A es un vecino inferior de B si y slo si [ A es subcon-junto de B y existe x tal que x no pertenece a A, y todo elemento de Bque sea distinto de x pertenece a A. ]


d) Demuestre que si B es un conjunto infinito, entonces B posee un nmeroinfinito de vecinos inferiores.

26. Para cada una de las afirmaciones siguientes, determine si sta es verdaderao falsa (justificando con una demostracin o un contraejemplo):

a) (AB)C = A (BC).b) Si A B, entonces A (BC) = A.c) (AB)rA= BrA.d) (ArB)rC = Ar (BC).e) A B si y slo si ArB=.f ) Ar (BrC) = (ArB)rC.g) A (BC) B (AC) si y slo si A B.h) Si ABC , entonces A= B=C =.i) Si ABC , entonces A= B= C =.j) A= B si y slo si ArB= BrA.k) Para todo conjunto X , si X B= X C, entonces B=C.l) Si para todo conjunto X vale que X B= X C, entonces B=C.m) Existe un conjunto X tal que: si X B= X C, entonces B=C.n) Si existe un conjunto X tal que X B= X C, entonces B=C.

27. Dados dos conjuntos A y B, definimos su diferencia simtrica as:

A4B= (ArB) (BrA).

a) Demuestre que A4B= (ABc) (BAc).b) Demuestre que A4B= (AB)r (AB).c) Demuestre que la operacin4 es conmutativa y asociativa.d) Qu conjunto es A4? Y A4A? Y A4U ?e) Si A B, qu conjunto es A4B?f ) Demuestre que A (B4C) = (AB)4 (AC).g) Demuestre que A (B4C) = A4 (Br (AC))4 (Cr (AB)).h) Demuestre que (A4B)c = (AB) (AB)c.i) Demuestre que A= B si y slo si A4B=.j) Demuestre que B= ((A4B)Ac) ((A4B)cA).


k) Demuestre que si A4C = A4B entonces B=C.28. Sean 1,2, . . . ,10 las propiedades listadas en el teorema 1.33.

a) Utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos y las propiedades 1 has-ta 6, demuestre la propiedad 7.

b) Utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos y las propiedades 1 has-ta 7, demuestre la propiedad 8.

c) Utilizando el mtodo de lgebra de conjuntos y las propiedades 1 has-ta 8, demuestre la propiedad 9.

29. Sean A1,A2,A3 U . Demuestre las siguientes igualdades:a) A1A2 = (A1rA2) (A2rA1) (A1A2). Ilustre esta igualdad me-

diante un diagrama de Venn.

b) (A1A2A3)c = Ac1Ac2Ac3.c) (Ac1A2Ac3)cAc3Ac1A2 =U .d) ((Ac1A2)cA2)c (Ac2A1)cA1 =U .e) (A4B)4 (B4C)4 (C4D) = A4D.f ) (A4B) (A4C) (C4D) = (ABCD)r (ABCD).

30. Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relacin (pienseantes en ejemplos con conjuntos pequeos, despus intente demostrar engeneral las contenencias que cree que siempre valen):

a) P(U rA) vs.P(U )rP(A).b) P(A4B) vs.P(A)4P(B).c)

iI(AAi) vs. A (

iI Ai).

d) (

iI Ai)r (

iI Ai) vs.

iI(AirBi).e) A4 (BC) vs. (A4B) (A4C).f ) A4 (BC) vs. (A4B) (A4C).

31. Ejercicios de unin e interseccin generalizadas:

a) Demuestre que =

BP(A)B.

b) Demuestre que A=P(A).


c) Demuestre que R =

aZ[a,a+ 1). [Aqu, [a,a+ 1) = {x R : a

x< a+1}.]

d) Demuestre que R=xR

(>0

(x ,x+ )).

e) Dado s R, sea Es = {s}. Qu conjunto essQ

Es?

f ) Qu conjunto es A=

a[0,1)

b(a,6]

[b,b+a)

?g) Para cada n,m I sea An,m un conjunto. Demuestre que(

nI

(mI

An,m

))c=nI

(mI

Acn,m

).

h) Dado i N, sea Ai = (0, i). Demuestre queiN

Ai = R+.

i) Dado i N, sea Ai = (0, i). Demuestre queiN

Ai = (0,1).

j) Dado i Z, sea Ai = [2i,2i+1]. Qu conjunto es(iZ

Ai

)c?

k) Demuestre que A iIBi si y slo si existen conjuntos Bi (i I) talesque A= iIAi y para cada i I se tiene que Ai Bi.

l) Demuestre el teorema 1.44.

32. Encuentre un contraejemplo para la siguiente afirmacin: Si A B, en-tonces A B.

33. Para cada i I sea Ai un conjunto y para cada j J sea B j un conjunto.Demuestre que si para todo (i, j) I J se tiene que AiA j =, entonces(

iIAi

)(

iJB j

)=.

34. Demuestre el teorema 1.49.


35. Sean A,B,C,A,B U . Cmo se comparan los siguientes conjuntos?

a) (AB) (AB) vs. (AA) (BB).b) (AB) (AB) vs. (AA) (BB).c) (XrA) (Y rB) vs. (XY )r (AB).d) P(AB) vs. E = {ST : (S,T ) P(A)P(B)}.e) A (BC) vs. (AB)C.

36. Definicin (filtro): Sea X un conjunto no vaco. Un filtro sobre X es un con-juntoF P(X) que cumple las siguientes propiedades:

F 6=.F es cerrado bajo interseccin finita: Si S1,S2 F , entonces S1S2 F .

F es cerrado bajo superconjunto: Si S1 S2 S2 y S1 F , entoncesS2 F .

a) El filtro de Frchet: Sea F = {S P(N) : Sc es un conjunto finito}(aquU =N, de modo que Sc =NrS). Por ejemplo {4,5,6, ...} F ,pero para n N, tenemos que nN = {nx : x N} = {0,n,2n, ...} 6F . Demuestre que F es un filtro sobre el conjunto de los nmerosnaturales.

b) D un ejemplo de un filtro E sobre N, distinto del filtro de Frchet.c) Diremos que un filtro F sobre X es un ultrafiltro si para todo A X ,

A F Ac F . Es el ejemplo dado en b) un ultrafiltro? Es el filtrode Frchet un ultrafiltro?

37. Definimos la operacin L de la siguiente forma (donde A,B,C U ):

L(A,B,C) = (AB) (BC) (AC).

Demuestre las siguientes propiedades:

a) L(A,B,C)=L(A,C,B)=L(B,A,C)=L(B,C,A)=L(C,A,B)=L(C,B,A).

b) L(A,A,A) = A.

c) L(A,B,) = AB.d) L(U ,A,B) = AB.e) L(AB,B,C) = L(A,B,C)B.


f ) L(AB,B,C) = (AC)B.g) A,B yC son conjuntos disjuntos dos a dos11 si y slo si L(A,B,C) =.h) L(A,B,C) =U si y slo si {A,B}= {U } {B,C}= {U } {A,C}={U }.

i) L(A,B,C) = A si y slo si BC A BC.j) Si A BC, entonces L(A,B,C) = AB.k) Si A1 B1, A2 B2 y A3 B3, entonces L(A1,A2,A3) L(B1,B2,B3).l) L(A,Ac,B) = B.

m) L(Ac1,Ac2,A

c3) = {x U : si x Ai entonces x 6 A j Ak,{i, j,k} =

{1,2,3} }.38. Dados A,BU conjuntos definimos Z(A,B) como el siguiente conjunto:

Z(A,B) = {x U : Si x A entonces x B}.

Demuestre las siguientes propiedades:

a) Z(A,A) =U .

b) Z(A,AB) =U .c) Z(AB,A) =Ud) Z(A,Ac) =.e) Z(A,B) = Z(Bc,Ac).

f ) Z(,A) =U .g) Z(A,) = Ac.h) Z(A,BC) = Z(A,B)Z(A,C).i) Z(A,BC) = Z(A,B)Z(B,C).j) Z(A,B)c = ABc.k) Z(A,B) = AcB.l) Z(AB,AB) = [(ArA)B]c [A (BrB)]c.

39. Sean A1,A2 y A3 conjuntos cualesquiera. Dado un conjunto X , diremos que Xes aglomerado si para toda eleccin de ndices distintos entre s i, j,k entre1 y 3 (dicho de otro modo, {1,2,3} = {i, j,k}) se cumplen las siguientespropiedades:

11Esto quiere decir que AB= BC = AC =

1.9. - PROYECTO: LGEBRAS DE CONJUNTOS 59

X A1A2A3,Si X Ai 6=, entonces X Air (A j Ak).Si X Ai 6= y X A j 6=, entonces X (AiA j)rAk.Si X Ai 6=, X A j 6= y X Ak 6=, entonces X AiA j Ak.

a) Sea A = {X : X es un conjunto aglomerado}. Sea k el nmero de el-ementos de A (k puede ser en principio infinito). Calcule todos losdistintos valores que k puede tomar, variando los conjuntos A1,A2 yA3. [Por ejemplo, si A1 = A2 = A3 =, el nico conjunto aglomeradoes .]

b) Trabajando ahora con dos conjuntos base A1,A2, idee una definicin deconjunto aglomerado anloga a la anterior, y calcule el nmero mximoposible de conjuntos aglomerados.

40. El Axioma de separacin afirma (aproximadamente) lo siguiente: Dado unconjunto A y una propiedad p(x) existe un conjunto B tal que x : x B(x A p(x)). En otras palabras, B es el conjunto de los elementos de A conla propiedad p. Demuestre que tal conjunto B es nico, es decir, que si existeB tal que x : x B (x A p(x)), entonces B = B.

41. Utilice el axioma de separacin y la Paradoja de Russell para demostrar queno existe el conjunto de todos los conjuntos: esto es, que no existe unconjunto A tal que para todo x, x A.

42. Dada una palabra cualquiera, diremos que a es autolgica si ella se aplicaa s misma, y heterolgica si ella no se aplica a s misma. Por ejemplo laspalabras esdrjula y largusisisisima son autolgicas, mientras que laspalabras persona y rara son heterolgicas.

a) La palabra autolgica es autolgica o heterolgica?

b) La palabra heterolgica es autolgica o heterolgica?

1.9. - Proyecto: lgebras de conjuntos

En los tres ejercicios que siguen definiremos las lgebras de conjuntos y cara-terizaremos algunas de ellas. Para ello fijamos cierto universo U . Dado A Udefinimos A0 := Ac, A1 := A. Sean A1,A2 U (en los siguientes ejercicios traba-jaremos con estos conjuntos; el lector podr convencerse que es posible generalizarlos siguientes ejercicios considerando n conjuntos A1, . . . ,An (o incluso un nmeroinfinito de ellos); por simplicidad nos concentramos en el caso n= 2).


1. Conjuntos bsicos y estructurados:

a) Diremos que A es un conjunto bsico si A es de la forma A= Ai11 Ai22(i0, i1 {0,1}). Demuestre que dos conjuntos bsicos distintos entres deben ser disjuntos entre s; en otras palabras, si A,B son bsicos yA 6= B, entonces AB=.

b) Calcule el mximo nmero posible de conjuntos bsicos, dando unejemplo (debe comenzar por definir A1 y A2).

c) Diremos que A es un conjunto estructurado si A puede verse comola unin de cero o ms conjuntos bsicos. (En particular el conjuntovaco es estructurado, pues es la unin de cero conjuntos bsicos, ytodo conjunto bsico es tambin estructurado). Demuestre que A1 y A2son conjuntos estructurados.

d) Calcule el mximo nmero posible de conjuntos estructurados, dandoun ejemplo (debe comenzar por definir A1 y A2).

2. Dado AU , diremos que A es un conjunto completo si para cada eleccinde i1, i2 {0,1}, se tiene que

si AAi11 Ai22 6=, entonces A Ai11 Ai22 .

a) Demuestre que A1 y A2 son conjuntos completos.

b) Demuestre que si A y B son conjuntos completos, entonces AB es unconjunto completo.

c) Demuestre que si A es un conjunto completo, entonces Ac es un con-junto completo.

d) Demuestre que si A y B son conjuntos completos, entonces AB esun conjunto completo. [Ayuda: Suponga que A y B son completos, yutilice los sub-ejercicios anteriores, junto con el hecho de que AB=(AcBc)c.]

e) Demuestre que todo conjunto bsico es completo.

f ) Demuestre que para todo A, A es completo si y slo si A es estructurado.

3. Dado C P(U ), diremos que C es un lgebra de conjuntos si C es ce-rrado bajo unin, interseccin y complemento. En otras palabras, si dadosA,BU se tiene:

Si A,B C , entonces AB C , AB C y Ac C .

1.9. - PROYECTO: LGEBRAS DE CONJUNTOS 61

a) Demuestre que si C es un lgebra de conjuntos y A 6= , entonces C y U C .

b) Demuestre que si C y D son lgebras de conjuntos, entonces E :=C D es tambin un lgebra de conjuntos.

c) Sea C0 := {A P(U ) : A es un conjunto completo }. Demuestre queC0 es un lgebra de conjuntos.

d) Demuestre que si C es un lgebra de conjuntos tal que A0 C y A1 C , entonces C0 C . [Ayuda: Si AC0, entonces A es completo, luegoA es estructurado. Demuestre ahora que C debe tener como elementoa todo conjunto bsico (dado que tiene a A0 y A1 como elementos), ypor ende a todo conjunto estructurado, de modo que A C .]

e) Por lo anterior, C0 es la mnima lgebra de conjuntos que tiene a A0 ya A1 como elementos. Demuestre que C0 = {C : C es un lgebra deconjuntos y A0,A1 C }. En particular un conjunto A es completo (oestructurado) si y slo si A pertenece a todas las lgebras de conjuntosC tales que A0 y A1 pertenecen a C .

CAPTULO 2

INDUCCIN: LOS NMEROSNATURALES

Qu fue primero, el huevo o la gallina?

2.1. El principio del buen orden

Comencemos este captulo por redondear algunas ideas acerca de conjuntosordenados que habamos mencionado anteriormente (ver seccin 1.2).

Definicin 2.1 (Orden parcial). Una estructura parcialmente ordenada (A,)consiste en un conjunto A, y una relacin sobre A que cumple con las siguientestres propiedades:

63

64 CAPTULO 2. INDUCCIN: LOS NMEROS NATURALES

(a) Reflexividad: x A : x x (todo elemento se relaciona consigo mismo).(b) Antisimetra: x,y A : (x y y x) x= y (dados cualesquier x y y, si

x se relaciona con y y y se relaciona con x, entonces x= y).

(c) Transitividad: x,y,z A : (x yy z) x z (dados cualesquier x,y,z,si x se relaciona con y, y y se relaciona con z, entonces x se relaciona con z).

Bajo estas condiciones diremos que es un orden parcial sobre A.Definicin 2.2 (Orden lineal). Una estructura linealmente ordenada o totalmenteordenada (A,) consiste en un conjunto A, y un orden parcial (ver los comentariosque siguen al teorema 1.13) sobre A que adems cumple la siguiente condicin(llamada comparabilidad) :

Si a,b A, entonces a b b a.

Bajo estas condiciones diremos que es un orden lineal (o total) sobre A. Tambinse dice que ordena linealmente a A. Por convencin, a < b significa a b ya 6= b.

En este captulo nos interesa estudiar rdenes lineales principalmente. Un ejem-plo importante de ellos es la estructura ordenada de los nmeros enteros:

Z= {. . . ,3,2,1,0,1,2,3, . . .}.

El orden que consideramos sobre Z es el tradicional: por ejemplo, 2 5 (el 2est por debajo del 5), 1 0, 43, 3 3, etctera. Puede verificarse queeste orden es lineal (de hecho, se parece a una lnea sin extremos). Informalmenteeste orden es similar a un pozo sin fondo, puesto que por ejemplo, por debajodel 4 podemos encontrar infinitos nmeros enteros (3,2,1,0,1,2, etctera.), sinllegar as a un mnimo (o tocar fondo, de acuerdo con la analoga del pozo). Eneste sentido podramos decir informalmente que Z es un conjunto mal ordenado.

Veamos otro ejemplo un poco ms interesante. Consideremos el conjunto detodos los nmeros reales positivos, incluyendo al cero, con su orden lineal usual:

A= {r R : r 0}= [0,).

En este orden, por ejemplo, 0 2/32 2 pi 1000, y claramente el 0 es elmnimo elemento de A. Sea ahora S el siguiente subconjunto de A:

S= (1,2) = {r R : 1< r < 2}.

2.1. EL PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN 65

Es claro que S A, y adems S no posee un elemento mnimo: pues dado r S, setiene que 1< r, luego es posible encontrar un nmero s entre 1 y r, esto es, tal que

1< s< r.

(por ejemplo tomamos a s como el promedio entre 1 y r: s = (r+ 1)/2). De-safortunadamente, S es un subconjunto no vaco de A que no posee un elementomnimo... en este sentido podemos decir informalmente que A se encuentra malordenado, pues algunas de sus regiones (es decir, algunos de sus subconjuntos novacos) son como pozos sin fondo, esto es, no poseen elementos mnimos.

La discusin anterior da pie a la siguiente definicin:

Definicin 2.3 (Conjunto bien ordenado). Sea (A,) una estructura linealmenteordenada. Diremos que (A,) es un buen orden (o A es un conjunto bien orde- Buen ordennado por ) si todo subconjunto no vaco de A posee un elemento mnimo m. Oformalmente, si se cumple:

S A : (S 6=m S : (x S : m x)).Resulta que (N,) es un buen orden (este hecho se conoce como el principio

del buen orden). Intuitivamente esto lo justificamos as: si A es un subconjunto no Principio delbueno ordenvaco de nmeros naturales, entonces debe poseer un elemento a0 S. Si ste no

es el mnimo elemento en S, es por que existe a1 S, a1 < a0. Si a1 es el mnimoelemento en S, lo hemos encontrado, y si no, podremos encontrar a3 < a2, a3 S.Este proceso de bsqueda del mnimo lo podemos repetir tan slo un nmero finitode veces, pues slo hay un nmero finito de nmeros naturales debajo de a1!Cuando ya no podamos seguir con el procedimiento anterior, el ltimo elementoque hayamos encontrado en S tendr que ser su elemento mnimo.

Princi

matematica estructural

Documents