matematica i

1

AUTORIDADES

Presidente Ejecutivo Ing. Jorge Pazos Holder

Rector Dr. Hctor Vilca Palacios

Vicerrector Acadmico Dr. Flix H. Valverde Orchs

Gerente General Msc. Arq. Juan Salazar Luza

Primera Edicin, Octubre 2013

Lima - Per

2

MDULO

Matemtica

3

SLABO

MATEMTICA

I. DATOS GENERALES

1.1. Cdigos de la Asignatura : I 001

1.2. Ciclo Acadmico : I

1.3. Crditos : 4

1.4. N de horas : 5

1.5. Semestre Acadmico :

1.6. Docentes responsables :

II. SUMILLA

Asignatura del rea cientfica bsica con carcter tericoprctico, cuyo,

propsito es desarrollar en el alumno su capacidad analtica, crtica en la

formulacin y solucin de problemas. Comprende: Lgica proposicional y

Teora de Conjuntos; Nmeros Reales; Ecuaciones e Inecuaciones:

Relaciones y Funciones.

III. COMPETENCIAS DEL ESTUDIANTE

Elabora modelos matemticos aplicando la argumentacin lgica

Construye funciones interpretando las relaciones con propiedad y

capacidad crtica.

Resuelve problemas aplicando el razonamiento lgico

IV. OBJETIVOS

Objetivo general

Aplicar los fundamentos de la matemtica a fin de desarrollar las

capacidades analticas y crticas en la formulacin y solucin de

problemas.

Universidad Peruana de Ciencias e Informtica

4

Objetivos especficos

- Aplicar la lgica proposicional y la Teora de Conjuntos para la

solucin de problemas en su entorno y quehacer diario.

- Utilizar los conceptos de los Nmeros Reales para interpretar y

resolver problemas

- Aplicar las operaciones y mtodos de solucin de las ecuaciones .e

inecuaciones en el planteamiento, interpretacin y resolucin de

problemas

- Representar grficamente las relaciones y funciones en la realidad

contextual.

V. CRONOGRAMA Y CONTENIDOS

UNIDAD I: Lgica Proposicional y Conjuntos

1ra. Semana:

- Proposicin, concepto y clases

- Formalizacin lgica

- Relaciones proposicionales-tablas de verdad

- Leyes del algebra proposicional

- Problemas sobre verdades y mentiras

- Inferencias Lgicas

2da. Semana

- Idea de conjunto

- Determinacin de conjuntos

- Relaciones entre elementos y conjuntos

- Clase de conjuntos.

3ra. Semana

- Operaciones con conjuntos

- Problemas con conjuntos

5

UNIDAD II: Nmeros Reales

4ta. Semana

- Nmeros Reales

- El sistema de nmeros reales

o Adicin

5ta. Semana

o Multiplicacin

o potenciacin

6ta. Semana

o Radicacin

o Notacin cientfica

UNIDAD III: Ecuaciones e Inecuaciones

7ma. Semana

- Ecuaciones de primer grado con una incgnita

- Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas

8va. Semana

- Ecuaciones simultneas de primer grado con tres incgnitas

9na. Semana

- EXAMEN PARCIAL.

10ma. Semana

- Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

- Desigualdades

UNIDAD IV: Relaciones y Funciones

11va. Semana

- Relacin

- Par ordenado

- Plano cartesiano

6

12va. Semana

- Producto cartesiano.

- Idea de relacin

13va. Semana

- Dominio de una relacin

- Rango de una Relacin

14va. Semana

- Funciones

- Dominio y Rango de una funcin

15va. Semana

- Funciones Notables

- Composicin de Funciones

16va. Semana

- EXAMEN FINAL

VI. ESTRATEGIAS DIDCTICAS

La metodologa ser activa utilizando tcnicas de participacin, dilogo

y resolucin de ejercicios prcticos

VII. MEDIOS Y MATERIALES

- Recursos audiovisuales

- Separatas

- Ejercicios de aplicacin

VIII. EVALUACIN

La evaluacin considerar los siguientes criterios:

- Asistencia y participacin

- Prcticas y desarrollo de actividades

- Exmenes

7

IX. BIBLIOGRAFA

ESPINOZA RAMOS E. (Ed.) (2005). Anlisis Matemtico I. Lima Per.

Editorial Servicios Grficos. J.J.

FIGUEROA, R. (2005). Matemtica Bsica 1. Editorial Lima.

GALDS, L. (2002) Matemticas de Hoy. Teora y Prctica. Espaa.

Editorial Cultruiral, S.A.

GUEVARA GUEVARA E. (1999). Introduccin a la Lgica y al

Razonamiento Lgico formal. Trujillo. CEPUNT.

HAASEr N., Lasalle J., SULLIVAN J. (Ed.) (1971). Anlisis Matemtico I.

Mxico. Editorial Trillas.

LEHMANN C. (Ed.) (1953). Geometra analtica. Mxico. Unin

Ttipogrfica Editorial hispano Americana.

LEITHOLD L. (Ed.) (1992). El clculo con geometra analtica. Sexta

edicin. Mxico. Editorial Harla.

MITACC M. M., TORO M. L. (Ed.) (2010). Tpicos de clculo. Vol. I.

Editorial Thales S.R.L. Per.

STEWART J., REDLIN L., WATSON S. (Ed.) (2007). Preclculo. Mxico.

Editorial Thomson.

8

PRESENTACIN

En la vida diaria se presentan situaciones donde la Matemtica juega un rol

importante. Su influencia en la sociedad ha ido en constante crecimiento, en

buena parte debido al espectacular aumento de sus aplicaciones. No es

concebible la innovacin tecnolgica, en el sentido actual de investigacin y

desarrollo, sin la presencia preeminente de la matemtica (Boyer, 1995).

La universidad Peruana de Ciencias e Informtica, presenta el mdulo de

matemtica como herramienta que posibilita no solo la resolucin de problemas

sino tambin el planteamiento de nuevas situaciones generadoras de

conocimientos.

El libro de la Naturaleza, est escrita en lenguaje matemtico Galileo Galilei

9

Gua Metodolgica del Mdulo

Estimado estudiante, a continuacin se presentan en el mdulo, las actividades

de aprendizaje que debern desarrollar por cada unidad. Estas son diversas y

forman parte del proceso de autoestudio, autoevaluacin y evaluacin:

Deber planificar su tiempo para el desarrollo de las actividades, de tal

manera que al organizar sus horarios obtendr ptimos resultados

Recuerde que la metodologa que estamos trabajando considera que

dediques un tiempo valioso para el logro de los aspectos de cada unidad.

La responsabilidad es un valor que deber tener en cuenta en el cumplimiento

de las tareas asignadas, demostrando honestidad en el desarrollo de los

mismos.

El mdulo se ha desarrollado en base a unidades en concordancia al diseo

silbico, donde se especifica la temtica y las actividades.

La tutora es un proceso de acompaamiento permanente en el proceso del

desarrollo del mdulo, al presentarse una duda, una inquietud, recuerde

consultar a su tutor(a)

10

CONTENIDO

UNIDAD I: ................................................................................................................................................. 12

LGICA PROPOSICIONAL Y CONJUNTOS ................................................................................................... 12

1.1 LGICA PROPOSICIONAL ....................................................................................................................... 13

1.1.1 PROPOSICIN ................................................................................................................................. 13

1.1.2 CLASES DE PROPOSICIONES ........................................................................................................... 14

1.1.3 FORMALIZACIN LGICA ............................................................................................................... 14

1.1.4 RELACIONES PROPOSICIONALES TABLAS DE VERDAD ................................................................ 18 1.1.3.1 Conjuncin ............................................................................................................................................... 18 1.1.3.2 Disyuncin inclusiva ................................................................................................................................. 18 1.1.3.3 Disyuncin exclusiva ................................................................................................................................ 18 1.1.3.4 Condicional .............................................................................................................................................. 18 1.1.3.5 Bicondicional o doble implicacin ........................................................................................................... 19 1.1.3.6 Tautologas,contradiccin y contingencia................................................................................................ 19

1.1.4 LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL ........................................................................................... 20

1.1.5 PROBLEMAS SOBRE VERDADES Y MENTIRAS:................................................................................ 21

1.2.INFERENCIAS LOGICAS .......................................................................................................................... 26

1.2.1 PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA ............................................................................................ 28 1.2.1.1 Modus ponendo ponens (PP) .................................................................................................................. 29 1.2.1.2 Modus tollendo tollens (TT) ..................................................................................................................... 30 1.2.1.3 Doble Negacin (DN) ............................................................................................................................... 31 1.2.1.4 Adjuncin y Simplificacin ....................................................................................................................... 31 1.2.1.5 Modus Tollendo Ponens (TP) ................................................................................................................... 31 1.2.1.6 Ley de la adicin (LA) ............................................................................................................................... 32 1.2.1.7 Silogismo Hipottico (SH) ........................................................................................................................ 32 1.2.1.8 Silogismo Disyuntivo (DS) ........................................................................................................................ 32 1.2.1.9 Simplificacin Disyuntiva (SD) .................................................................................................................. 33 1.2.1.10 Ley Conmutativa .................................................................................................................................... 33 1.2.1.11 Ley de Morgan (DM) .............................................................................................................................. 34

1.3. CONJUNTOS .......................................................................................................................................... 36

1.3.1 NOCIN DE CONJUNTO ................................................................................................................. 36

1.3.2 DETERMINACIN DE CONJUNTOS. ................................................................................................ 36

1.3.3 RELACIONES ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS: .......................................................................... 37 1.3.3.1 Relacin de Igualdad: ............................................................................................................................... 37 1.3.3.2 Relacin de Pertenencia: ......................................................................................................................... 38 1.3.3.3 Relacin de Inclusin: .............................................................................................................................. 38

1.3.4 CLASES DE CONJUNTOS. ................................................................................................................ 38 1.3.4.1 Conjunto Nulo o Vacio. ............................................................................................................................ 38 1.3.4.2 Conjunto Unitario. ................................................................................................................................... 39 1.3.4.3 Conjunto Universal o referencial. ............................................................................................................ 39 1.3.4.4 Conjunto Potencia. .................................................................................................................................. 39

1.3.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS .................................................................................................. 43 1.3.5.1. Interseccin de Conjuntos: ..................................................................................................................... 43 1.3.5.2 Unin de Conjuntos: ............................................................................................................................... 44 1.3.5.3 Diferencia de Conjuntos: ......................................................................................................................... 44 1.3.5.4 Diferencia Simtrica de Conjuntos: ......................................................................................................... 45

11

1.3.5.5 Complemento de un conjunto ................................................................................................................ 46 1.3.6 Problemas con Conjuntos: ............................................................................................................. 47

UNIDAD II ................................................................................................................................................. 52

NMEROS REALES .................................................................................................................................... 52

2.1 NMEROS REALES. ........................................................................................................................... 53 2.2.1 El Sistema de Nmeros Reales: ................................................................................................................... 54 2.2.1.1 Adicin. .................................................................................................................................................... 54 2.2.1.2. Multiplicacin. ........................................................................................................................................ 55 2.2.1.3 Potenciacin: .......................................................................................................................................... 57 2.2.1.4 Radicacin ............................................................................................................................................... 58

2.2.2 NOTACIN CIENTFICA ................................................................................................................... 59

UNIDAD III ................................................................................................................................................ 62

ECUACIONES E INECUACIONES .................................................................................................................. 62

3.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA ....................................................................... 63

3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 INCGNITAS ........................................................................... 67

1.- RESOLUCIN POR EL MTODO DE REDUCCIN................................................................................ 67

2.- RESOLUCIN POR EL METODO DE IGUALACIN ............................................................................... 67

3.- RESOLUCIN POR EL METODO DE SUSTITUCIN .............................................................................. 68

3.3 ECUACIONES SIMULTNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCGNITAS ............................................. 71

3.4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA .................................................................... 75

3.5 DESIGUALDADES ................................................................................................................................... 79

3.5.1 Principios de la desigualda ............................................................................................................. 79

3.5.2 Clases de intervalos........................................................................................................................ 79

3.5.3 Inecuaciones de primer grado ....................................................................................................... 80

UNIDAD IV ................................................................................................................................................ 83

RELACIONES Y FUNCIONES ........................................................................................................................ 83

4.1 RELACIN .............................................................................................................................................. 84

4.1.1 Par Ordenado. ................................................................................................................................ 84

4.1.2 Plano Cartesiano ............................................................................................................................ 85

4.1.3 Producto Cartesiano. ..................................................................................................................... 86

4.1.4 Idea de Relacin. ............................................................................................................................ 87

4.1.5 Dominio de una Relacin. .............................................................................................................. 91

4.1.6 Rango de una Relacin. ................................................................................................................. 91

4.2 FUNCIONES ............................................................................................................................................ 93

4.2.1 Dominio y Rango de una funcin: .................................................................................................. 95

4.3 FUNCIONES NOTABLES .......................................................................................................................... 97

4.4. COMPOSICIN DE FUNCIONES: ............................................................................................................ 98

GLOSARIO ............................................................................................................................................... 102

BIBLIOGRAFA. ........................................................................................................................................ 106

12

UNIDAD I: LGICA PROPOSICIONAL Y CONJUNTOS

13

1.1 LGICA PROPOSICIONAL

Proposicin

Enunciacin de una verdad

demostrada o que se trata de

demostrar.

Diccionario, Real Academia Espaola.

1.1.1 PROPOSICIN

Una proposicin es un enunciado de tipo declarativo o afirmativo, la cual puede

ser evaluada como verdadera o falsa, sin lugar a dudas.

En la vida cotidiana utilizamos palabras que se emiten para comunicarnos con

otras personas.

Ejemplo:

1. Fuiste al cine?

2. Aprate.

3. Qu frio!

4. El da est lluvioso.

5. 8 es un nmero par.

6. Pitgoras es el padre de las ciencias sociales.

7. Todas las rosas son rojas.

8. Mario Vargas Llosa es un premio Nobel de la Literatura.

Se trata de 8 enunciados: una pregunta, una orden, una exclamacin y cuatro

declaraciones. Las tres primeras no son verdaderas, ni falsas; sin embargo, las

cuatro ltimas si pueden ser o verdaderas o falsas y se les conoce como

proposiciones.

14

1.1.2 CLASES DE PROPOSICIONES

Proposicin Simple o Atmica: Aquella que presenta una sola proposicin.

Ejemplo:

- El Misti queda en Arequipa.

Proposicin Compuesta o Molecular: Aquella que presenta de dos a ms

proposiciones las cuales estn unidas por conectores lgicos. Ejemplo:

- El Misti queda en Arequipa y Machupicchu en Cusco.

1.1.3 FORMALIZACIN LGICA

La formalizacin es de gran importancia no slo para el anlisis del lenguaje

cientfico sino tambin contribuye a la claridad de tu pensamiento para un mejor

desempeo acadmico y profesional.

Toda proposicin puede representarse en lenguaje lgico simblico haciendo uso

de letras, conectores lgicos y signos de agrupacin:

Letras : p, q, r, s

Ejemplos:

p : Tomar agua es saludable.

q : Vanessa se gradu con honores.

r : Nancy es una buena profesional

15

a. Conectores:

CONECTOR EXPRESION EN EL LENGUAJE VERBAL SIMBOLO

Conjuncin y, pero, adems.

Disyuncin inclusiva o, y/o v

Disyuncin exclusiva o.o. ; o bieno bien

Condicional Si. entonces; luego; en

consecuencia; por consiguiente

Bicondicional Si y slo si

b. Signos de agrupacin: ( ), { }, [ ]

Ejemplo: Formaliza:

El Misti queda en Arequipa y Machupicchu en Cusco.

p: El Misti queda en Arequipa.

q: Machupicchu queda en Cusco.

Formalizando: p q

Cuando la coma es utilizada en la numeracin de caractersticas, propiedades del

sujeto o en un argumento, reemplaza a un conjuntor, al disyuntor o a la

condicional.

Ejemplos:

a) La Universidad brinda una formacin cientfica, humanista y tecnolgica.

p: La Universidad brinda una formacin cientfica.

q:La Universidad brinda una formacin humanista

r: La Universidad brinda una formacin tecnolgica.

Formalizando: p ^ q ^ r

Conector

16

b) Si llegas despus de las ocho de la noche, encontrars la puerta cerrada y te

perders la funcin de teatro.

p: Llegas despus de las ocho de la noche.

q: Encontrars la puerta cerrada.

r: Te perders la funcin de teatro.

Formalizando: p ( q r )

Negacin de Proposiciones.- La negacin de la proposicin p es ~p (no p);

obtenida anteponiendo el adverbio no a la primera. Tambin suele usarse no es

verdad que, es falso que, entre otros.

Ejemplo:

p : Octavio es deportista.

~p : Octavio no es deportista.

Ejemplo:

No es verdad que, Miluska juegue vley y Leonardo juegue bsquet.

La proposicin formalizada queda: ~ ( p q )

17

ACTIVIDADES

1. Indique cul de los siguiente enunciados son proposiciones y, de las

que son, evaluar su valor de verdad:

a) La Luna es un planeta cercano a la Tierra.

b) El Titicaca es el lago ms alto del mundo.

c) Termina tus deberes a tiempo.

d) 12 + 5 = 17

e) 2x + 6 = 24

f) Beln es una provincia de Tumbes.

g) Los retablos son tpicos de Ayacucho.

h) 52 5 = 5

i) El lago ms alto del mundo es el Titicaca y queda en Arequipa.

j) Sintate.

2. Formalizar las siguientes proposiciones:

a) Si estacionas mal tu auto se lo llevara la gra y te aplicarn una multa.

b) O Juan va al cine o val al teatro. Juan llega tarde al cine. Por

consiguiente va al teatro.

c) Es falso que Carlos es estudioso y Juana bailarina.

d) Si est lloviendo; entonces hace fro o no est nevando. No hace fro.

Por lo tanto est nevando.

e) Roxana se casa si slo si, la luna de miel es en Cusco o adquiere un

auto nuevo.

3. Dada las proposiciones:

p: Juan es alto. q: Juan es galn.

Escribir en lenguaje verbal:

a) (p v q) b) ~ (p q)

c) ~q p d) p ~q

18

1.1.4 RELACIONES PROPOSICIONALES TABLAS DE VERDAD

1.1.3.1 CONJUNCIN (): La conjuncin es verdadera, si y slo si, ambas

proposiciones son verdaderas.

1.1.3.2 DISYUNCIN INCLUSIVA (V): La relacin de disyuncin es falsa, si y

slo s, ambas proposiciones son falsas.

1.1.3.3 DISYUNCIN EXCLUSIVA (): El conectivo disyuncin exclusiva; es

verdadera si y slo si, una de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa

(F) o viceversa.

1.1.3.4 CONDICIONAL (): Para demostrar el principio del valor de verdad,

utilicemos un ejemplo:

p : Miguel aprueba Matemtica.

q : Le regalar un chocolate.

p q : S Miguel aprueba Matemtica, entonces le regalar un

chocolate.

p q p q

V V F F

V F V F

V F F F

p q p q

V V F F

V F V F

V V V F

p q p q

V V F F

V F V F

F V V F

19

- Miguel aprob Matemtica (V); se le regala el chocolate (V) es

verdadera (V).

- Miguel aprob Matemtica (V); no se le regala el chocolate (F); es

injusto, luego es falsa (F).

- Miguel no aprob Matemtica (F); como se le quiere y engre, se le

regala el chocolate (V); es verdadero (V)

- Miguel no aprob Matemtica; no se le regala el chocolate, es justo,

luego es verdadero (V).

La implicacin o condicional, es falsa (F) si y slo s; la primera proposicin

(antecedente) es verdadera (V) y la segunda (consecuente) es falsa (F).

1.1.3.5 BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIN (): Dos proposiciones son

verdaderas cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.

1.1.3.6 TAUTOLOGAS,CONTRADICCIN Y CONTINGENCIA

TAUTOLOGA- Se dice que una proposicin compuesta es tautolgica s y slo

s; en su tabla de verdad todas son verdaderas; sin que interesen las tablas de

verdad de las proposiciones simples.

CONTRADICCIN.- Se dice que una proposicin compuesta forma una

contradiccin y slo s en su tabla de verdad todas son falsas, sin que interesen

las tablas de verdad de las proposiciones simples.

p q p q V V F F

V F V F

V F V V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

20

CONTINGENCIA.- Se dice que una proposicin compuesta, forma una

contingencia, s y slo s, sus tablas de verdad, no son tautolgicas ni

contradictorias.

Ejemplo:

Evaluar [( p q ) q] p

Se trata de una contingencia

1.1.4 LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL

1. Idempotencia

pp p

p p p

2. Involucin

~ (~p) p

3. Asociativa

(p q)vr p(q r)

(p q) r p (q r)

4. Conmutativa

p q q p

p q q v p

p q [ ( p q ) q ] p

V

V

F F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

21

5. Distributiva

(p q) r (p r) (q r)

(p q) r (p r) (q r)

6. Leyes de Morgan

a. La negacin de la conjuncin es equivalente, a las negaciones de la

disyuncin.

~(pq) ~p v ~q

b. La negacin de la disyuncin es equivalente, a las negaciones de la

conjuncin.

~(p q ) ~p ~q

c. La negacin de la implicacin es equivalente, a la primera proposicin y

la segunda proposicin negada.

~(pq) p ~q

7. Implicaciones asociadas

Directa p q

Recproca q p

Contraria ~ p ~ q

Contra-recproca ~ q ~p

1.1.5 PROBLEMAS SOBRE VERDADES Y MENTIRAS:

Consiste en agrupar proposiciones que se contradigan en forma parcial o total, de

esa forma se asegura la existencia de proposiciones cuyo valor de verdad sea F

(falso), siendo otra V (verdadero).

Dos proposiciones son contradictorias totalmente cuando una de ellas es

VERDADERA (V) y la otra FALSA (F). Y son contradictorias parcialmente,

cuando por lo menos el valor de verdad de una de ellas sea FALSO (F),

Ejemplos

Proposiciones Contradictorias Totalmente:

22

Mario: Yo no jugu en la cancha.

Mnica: Julio jug en la cancha.

Proposiciones Contrarias:

Ana: Hoy es domingo.

Martha: Hoy es sbado.

Ejemplo:

Cuatro amigas; Tatiana, Pamela, Jimena y Teresa, se renen para averiguar

quin de ellas cont el secreto a Jorge. Las afirmaciones de cada una con

respecto al tema fueron las siguientes:

Tatiana: Pamela canto el secreto.

Pamela: Jimena conto el secreto.

Jimena: Pamela no dice la verdad.

Teresa: Yo no fui.

Si adems se sabe que slo una de las cuatro amigas fue la indiscreta que cont

el secreto a Jorge y slo una de ellas miente, Quin cont el secreto?

a) Tatiana b) Pamela c) Jimena d) Teresa e) No se puede determinar.

Solucin:

Slo una de las cuatro amigas cont el secreto a Jorge.

Slo una amiga miente, entonces de las proposiciones: 3V y 1F.

Como slo una de las cuatro proposiciones es FALSA, bastar encontrarla para

que las otras tres sean VERDADERAS. Se observa contradiccin entre lo dicho

por Pamela y Jimena.

De lo anterior se deduce que las otras dos proposiciones deben ser

VERDADERAS,

Tatiana: Pamela cant el secreto. ( V )

Teresa: Yo no fui. ( V )

- Teresa no fue. Por lo tanto, Pamela cont el secreto a Jorge.

23

ACTIVIDADES

1. Evala si cada una de las siguientes proposiciones son tautologa,

contingencia o contradiccin:

a. ( p v ~ q) ~ p

b. [~ p ( q v p)]

c. ~ (~p ^ ~ q) ~ r

d. ~ [ ( p ^ q) v ( p q)] [ ( p v q ) ^ ( q p) ]

e. (~ p v q) ~ ( p ^ ~ q)

f. [(p v q) (p v s) ] ~ q

g. ~[ ~ p v (q ^ r) ] [(p v q) ^ r ]

h. [ ~p ( q v r)] ( ~p v r)

2. Dadas las proposiciones:

p: 33 4 = 5

q: 2/7 + 4/5 = 6/12

r: 5-2 = 1/25

s: (0,2)3 = 0,08

Determina el valor de verdad de:

a) (p ^ q) v r

b) (r p) ^ ~s

c) (p v s) r

d) (r ^ s) v ( p v q)

3. Si la proposicin p(q v r) es falsa, hallar el valor de verdad de p, q y r

4. Si (p ^ ~ q) r es falsa, determinar el valor de la negacin de p, q y r

respectivamente.

5. Utilizando las leyes del Algebra Proposicional, simplificar las siguientes

proposiciones:

24

a. (~p q) [(~p q ) (p p )]

b. [(~p q ) p ) (p v v ) (p ~p )

6. Evala y marca la alternativa correcta:

a. Cuatro hermanas luego de jugar a lanzar un dado comentan:

I. Willy: Laura gan.

II. Axdel: Willy miente.

III. Ana Luisa: Yo obtuve seis puntos.

IV. Laura : Axdel sac cinco puntos.

Si se sabe que una de ellas sac seis puntos y gan el juego; adems, de

las cuatro amigas, una siempre miente y las dems siempre dicen las

verdad, Quin gan el juego?

a. Willy b. Axdel c. Ana Luisa d. Laura e. Ninguna

b. Un profesor ha recibido por su cumpleaos un reloj de regalo, el cual fue

enviado de manera annima por una de sus cuatro admiradoras: Rosa,

Marisol, Vanessa y Nancy.

Das despus, se encontr con ellas en la biblioteca y les pregunt quin

haba sido; por lo que respondieron lo siguiente:

- Rosa : Una de nosotras fue.

- Marisol: Yo no fui.

- Vanessa: Fue Nancy

- Nancy : Rosa no fue.

c. Si por vergenza la que envi el paquete miente y el resto dice la verdad

Quin fue la admiradora que le envi el paquete?

a.Rosa b. Marisol c. Vanessa d.Nancy e.No se puede determinar

d. Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, Csar y Roberto, practican cada uno un

deporte diferente:

i. Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de ftbol.

25

ii. Alberto le pide prestada las paletas de frontn a Roberto.

iii. Csar nunca fue buen nadador.

Qu deporte practica Csar?

a. Tenis b. Ftbol c. Natacin d. Frontn

e. Antonia, Bertha, Corina y Daniela han nacido en 4 ciudades diferentes del

Per: Arequipa, Cusco, Trujillo e Iquitos.

Antonia naci en Arequipa y Bertha no naci ni en Cusco ni en Iquitos.

Dnde naci Daniela, si Corina no es cusquea?

a. Arequipa b. Cusco c. Trujillo d. Iquitos e. Faltan datos

26

1.2. INFERENCIAS LOGICAS

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y

declaraciones establecidas.

En lgica, especialmente en lgica matemtica, una regla de inferencia es un

esquema para construir inferencias vlidas. Estos esquemas establecen

relaciones sintcticas entre un conjunto de frmulas llamados premisas y una

asercin llamada conclusin.

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)

Aqu por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde,

podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusin no

necesariamente es vlida porque puede ser que el maestro algn da llegue

temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o

varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que ser

verdadero lo que concluimos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un

amigo, tu todos los das dices mentiras, y l contesta, no es cierto, ayer en todo el

da no dije una sola mentira.

Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la

observacin de uno o ms casos y no se puede asegurar que la conclusin sea

verdadera en general.

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se

sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el da de hoy que est

lloviendo hay nubes. Tambin se conoce como inferencia deductiva cuando

tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las

premisas slo hay una posible situacin, en este caso decimos que la situacin

nica es la conclusin. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son

verdaderas entonces la conclusin tambin lo es.

27

En este caso se encuentran MPP: Modus PonendoPonens y MTT: Modus

TollendoTollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos

formas de establecer una inferencia vlida. La inferencia deductiva es la nica

aceptada como vlida en matemticas y computacin para hacer comprobaciones

y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada ms delante en

INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

Transductiva (de particular a particular o de general a general)

Con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros das y

concluimos que el lunes siguiente tambin llegar tarde. O del amigo que varias

veces nos ha mentido y concluimos que lo que nos dice es ese momento es

mentira.

El anterior sera de particular a particular, un caso de general a general es por

ejemplo de un compaero maestro que la primera vez que imparti matemticas

discretas observ que todos los alumnos estudiaban, concluy que para el

siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de

que la conclusin es verdadera.

Abductiva

Es semejante a la deductiva, tambin utiliza la estrategia de analizar todas las

posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como

por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay

nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el

caso inductivo y transductivo no es una forma vlida de obtener conclusiones en

matemticas o en lgica y es necesario conocer ms informacin para poder

verificar la validez.

28

1.2.1 PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA

MPP Modus ponendo ponens

A B A

B

MTT Modus tollendo tollens

A B ~B

~A

SD Silogismo Disyuntivo

A B ~A

~B

SH Silogismo hipottico

A B B C

A C

LS Ley de simplificacin

A B A

LA Ley de adicin

A

A B

CONTRAPOSITIVA

A B

~B ~A

La comprobacin de las reglas anteriores es directa y basta hacer una frmula

con la conjuncin de las premisas condicional la conclusin y probar que es una

tautologa, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los valores verdaderos

29

1.2.1.1 MODUS PONENDO PONENS (PP)

En lgica, modus ponendoponens (en latn, modo que afirmando afirma), tambin

llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de

inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces B

A

Por lo tanto, B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podra ser:

Si est soleado, entonces es de da.

Est soleado.

Por lo tanto, es de da.

Otro ejemplo sera

Si Javier tiene rabia, es una nube.

Javier tiene rabia.

Por lo tanto, Javier es una nube.

Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:

Y an otra manera es a travs de la notacin del clculo de secuentes: Con

condicional:

( )

En la axiomatizacin de la lgica proposicional propuesta por Janukasiewicz, el

modus ponens es la nica regla de inferencia primitiva. Esto ha motivado que

mucha de la discusin en torno al problema de la justificacin de la deduccin se

haya centrado en la justificacin del modus ponens.

30

p q Si llueve, entonces las calles se mojan (premisa)

p Llueve (premisa)

q Luego, las calles se mojan (conclusin)

El condicional o implicacin es aquella operacin que establece entre dos

enunciados una relacin de causa-efecto. La regla ponendo ponens significa,

afirmando afirmo y en un condicional establece, que si el antecedente (primer

trmino, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente

(segundo trmino, en este caso q).

1.2.1.2 MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

Tollendo tollens significa negando, niego, y se refiere a una propiedad inversa

de los condicionales, a los que nos referamos en primer lugar.

p q Si llueve, entonces las calles se mojan

~q Las calles no se mojan

~p Luego, no llueve

Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto),

eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se

da, su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores,

consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicacin; la regla

ponendoponens slo nos permite afirmar si est afirmado el antecedente (el

primer trmino de la implicacin), y la regla tollendotollens slo nos permite negar

a partir del consecuente (segundo trmino de la implicacin); ambas

consecuencias se derivan de que la implicacin es una flecha que apunta en un

nico sentido, lo que hace que slo se pueda afirmar a partir del antecedente y

negar slo a partir del consecuente.

31

1.2.1.3 DOBLE NEGACIN (DN)

~~p p

El esquema representa, p doblemente negada equivale a p. Siguiendo el

esquema de una inferencia por pasos, la representaramos as:

~~p No ocurre que Ana no es una estudiante

p Ana es una estudiante

La regla doble negacin, simplemente establece que si un enunciado est

doblemente negado, equivaldra al enunciado afirmado.

1.2.1.4 ADJUNCIN Y SIMPLIFICACIN

Adjuncin (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas

separadas, mediante la adjuncin, podemos unirlos en una sola premisa

utilizando el operador (conjuncin).

p Juan es cocinero

q Pedro es polica

p q Juan es cocinero y Pedro es polica

Simplificacin (S): obviamente, es la operacin inversa. Si disponemos de un

enunciado formado por dos miembros unidos por una conjuncin, podemos hacer

de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p q Tengo una manzana y tengo una pera

p Tengo una manzana

q Tengo una pera

1.2.1.5 MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyuncin, que se simboliza con el operador V, representa una eleccin entre

dos enunciados. Ahora bien, en esa eleccin, forma parte de las posibilidades

escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es

incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendoponens

(negando afirmo): si uno de los miembros de una disyuncin es negado, el otro

32

miembro queda automticamente afirmado, ya que uno de los trminos de la

eleccin ha sido descartado.

p V q He ido al cine o me he ido de compras

~q No he ido de compras

p Por tanto, he ido al cine

1.2.1.6 LEY DE LA ADICIN (LA)

Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una eleccin

(disyuncin) acompaado por cualquier otro enunciado.

a He comprado manzanas

a V b He comprado manzanas o he comprado peras

1.2.1.7 SILOGISMO HIPOTTICO (SH)

Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el

consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva

implicacin cuyo antecedente sea el de aquella implicacin cuya consecuencia

sea el antecedente de la otra implicacin, y cuyo consecuente sea el de sta

ltima, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y sta

consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir

que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo

que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una

bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en

forma de inferencia lgica:

p q Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve

q r Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve

p r Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve

1.2.1.8 SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyuncin

cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir

en una nueva premisa en forma de disyuncin, cuyos miembros seran los

33

consecuentes de las dos implicaciones. Lgicamente, si planteamos una eleccin

entre dos causas, podemos plantear una eleccin igualmente entre sus dos

posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

p q Si llueve, entonces las calles se mojan

r s Si la tierra tiembla, los edificios se caen

p V r Llueve o la tierra tiembla

q V s Las calles se mojan o los edificios se caen

1.2.1.9 SIMPLIFICACIN DISYUNTIVA (SD)

Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el

mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros

de una disyuncin, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.

p V q Helado de fresa o helado de vainilla

p r Si tomas helado de fresa, entonces repites

q r Si tomas helado de vainilla, entonces repites

r Luego, repites

1.2.1.10 LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es vlida para la implicacin, pero s para conjuncin y para la

disyuncin. Una conjuncin es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo

que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyuncin

es presentar una eleccin entre dos cosas, sin importar en qu orden se presente

esta eleccin. As pues,

p q q p p y q equivale a q y p

p V q q V p p q equivale a q p

34

1.2.1.11 LEY DE MORGAN (DM)

Esta ley permite transformar una disyuncin en una conjuncin, y viceversa, es

decir, una conjuncin en una disyuncin. Cuando se pasa de una a otra, se

cambian los valores de afirmacin y negacin de los trminos de la

disyuncin/conjuncin as como de la propia operacin en conjunto, como

podemos observar aqu:

p q p V q

~(~p V ~q) ~(~p ~q)

EJEMPLOS DE REGLAS DE INFERENCIA:

Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qu podemos concluir?

Si llueve hay nubes.

Hay nubes.

Si haces la tarea te llevo al cine.

Lo vimos en el cine.

Si se hace el experimento en un saln de clases o con un grupo de personas, en

el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin

embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que s hay conclusin y que

se est seguro que hizo la tarea.

Analicemos los casos simblicamente, en el primero:

p: llueve

q: hay nubes

con smbolos queda:

p q

q

35

En el segundo caso

p: hacer la tarea

q: llevarlo al cine

con smbolos:

p q

q

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo

que en los dos casos se puede sacar conclusin vlida o en ninguno. Pero no es

posible que en uno s y en el otro no.

La respuesta correcta es que en ningn caso se puede obtener conclusin vlida.

A continuacin se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una

condicional simple, de los cuales dos tienen conclusin vlida y dos no.

ACTIVIDAD RECREATIVA

Los pavos incgnitos

Cuntos pavos viste en la granja de tu to? -

Pregunta su mam a Jacinto.

-haba dos pavos delante de un pavo, dos pavos

detrs de un pavo y un pavo en medio. Cul era el

menor nmero de pavos que poda haber visto

Jacinto?

36

1.3. CONJUNTOS

Conjunto

Totalidad de los entes matemticos

que tienen una propiedad comn.

Diccionario, Real Academia Espaol.

1.3.1 NOCIN DE CONJUNTO

La idea que tenemos de conjunto, es el de una coleccin o agrupacin de objetos

materiales o inmateriales, distintos y bien definidos por medio de una

caracterstica o propiedad en comn.

Por ejemplo, cuando hablamos del conjunto formado por las voleibolistas de la

seleccin peruana; o del conjunto de jvenes de la UPCI que les agrada el Taller

de Lenguaje y Comunicacin, o cuando en Navidad se reparten juguetes a nios

de un determinado albergue mayores de 3 aos pero menores de 10; o cuando

representamos a los nmeros naturales pares mayores a 6.

Los conjuntos se denotan con letras maysculas y se escriben entre llaves.

Por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales pares mayores a 6 y menores e

iguales que 16.

A = {8; 10; 12; 14; 16}

Los conjuntos se representan grficamente en diagramas de Venn.

1.3.2 DETERMINACIN DE CONJUNTOS.

Por Extensin: Cuando se nombran explcitamente los elementos de dicho

conjunto.

Ejemplo: A = {4, 6, 8, 10, 12}

12. 14.

8. 10.

16.

A

37

Por Comprensin: Cuando se define al conjunto enunciando una propiedad

comn que caracteriza a los elementos de dicho conjunto.

Ejemplo: A= {x/x N, x es par, 4 x 12}

1.3.3 RELACIONES ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS:

1.3.3.1 RELACIN DE IGUALDAD:

Una de las relaciones ms elementales que existe entre los objetos, elementos o

conjuntos es la relacin de igualdad. Dos conjuntos son iguales si y slo si tienen

los mismos elementos.

Se denota: A = B

Propiedades de la igualdad.

a. A = A (Propiedad Reflexiva)

b. Si A =B B = A (Propiedad Simtrica)

c. Si A = B y B = C A = C (Propiedad Transitiva)

Ejemplo:

Dados A = { 2x + 3 ; 7; 8} y B = { 7 ; 3y 4 ; 17} y A = B, hallar x + y

Por comprensin Por extensin

A= {x/x N, x es par, 4 x 12} A = {4, 6, 8, 10, 12}

B= {x/x N, x es primo, 3 x

38

Solucin:

Si A = B entonces los elementos de A son los mismos que los de B; por

consiguiente:

2x + 3 = 17 ^ 3y 4 = 8

2x = 14 3y = 12

x = 7 y = 4

Respuesta: x + y = 11

1.3.3.2 RELACIN DE PERTENENCIA:

Otra relacin importante que existe, es la relacin de pertenencia. Esta relacin se

da de elemento a conjunto, se denota con el smbolo . As:

Si A = {4; 6; 8; 10; 12}, entonces 4 A; 8 A y se lee: 4 pertenece a A

8 pertenece a A

1.3.3.3 RELACIN DE INCLUSIN:

La relacin de inclusin se representa por el smbolo y se presenta cuando

todos los elementos de un conjunto forman parte de otro conjunto en el cual est

incluido.

Ejemplo:

Si A={3;4;5;6} y B={1;2;3;4;5;6;7;8} entonces A B

Se lee "A est incluido (o contenido) en "B" o "A" es un subconjunto de B y

significa que todo elemento de A es elemento de B.

Propiedades de la Inclusin:

a) A A para todo conjunto A (Propiedad Reflexiva)

b) Si A B B C entonces A C (Propiedad Transitiva).

c) El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. A

1.3.4 CLASES DE CONJUNTOS.

1.3.4.1 CONJUNTO NULO O VACIO.

Se le denota por la letra griega ""= Fi o tambin por: { }

39

Ejemplo:

A ={x/x es un nmero entero comprendido entre 9 y 10}

A = "" A = { }.

1.3.4.2 CONJUNTO UNITARIO.

Es aquel que tiene uno y slo un elemento.

Ejemplo 1:

a ) A= {6 }

b) B = { x/xZ, 3

40

{6} el mismo conjunto.

el conjunto vaco total.

Total 2 Subconjuntos

Del conjunto A = {6} se obtienen 2 subconjuntos

2. Si B = {1,2}: Los Subconjuntos de B son: P(B) = { {1}, {2},{1;2;3}; } , es decir:

{1} {2} 2 conjunto unitario.

{1,2} 1 el mismo conjunto.

1 conjunto vaco.

Total 4 Subconjuntos

Del conjunto C ={1;2} se obtienen 4 subconjuntos

Por consiguiente:

Si el conjunto A tiene 1 elemento P (A) = 21 Subconjunto.

Si el conjunto B tiene 2 elemento P (A) = 22 Subconjunto.

Si el conjunto C tiene 3 elemento P (C) = 23 Subconjunto.

Esto es: Si n (A) =k n (P(A)) = 2

k

41

ACTIVIDADES

1) Se tiene los siguientes conjuntos

A= {1;3;5} B={2;3;5;7} C={3;5;1} D={1}

Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

a) A = C b) D es un conjunto Unitario

c) A B d) D C

2) Dado el conjunto universal U={x/x N, 9 x < 28}

Escribe todos los siguientes conjuntos por extensin:

A= {x U/x tiene suma de cifras igual 5}

B= {x U/x tiene producto de cifras iguales a 6}

C={x U/x2 tiene como cifra de unidades al 1}

D= {x U/x es primo}

3) Dado el conjunto universal U = {x/x N, 9 < x < 21}

Determina cul de las siguientes conjuntos es igual al conjunto A= {x U/x es

mltiplo de 9}.

B={ x U/x tiene suma de cifras igual a 9}

C= {x U/x tiene producto de cifras igual a 9}

D= {x U/2x es un cuadrado perfecto}

4) Dado los conjuntos

a) U={X N/ 1 x 30}

b) A={X U/x es mltiplo de 2}

c) B={X U/x es mltiplo de 3}

d) C={X U/x es mltiplo de 5}

e) D={X U/x es mltiplo de 6}

f) E ={X U/x es mltiplo de 9}

42

Qu conjuntos incluyen a D? Qu conjuntos estn incluidos en D?

5. Determina por extensin los siguientes conjuntos:

a) A ={x/x N, x es impar, 7< x 17}

b) B= {x+4/x Z, -3< x 2}

c) C= {x3-4/xN, 1< x 8}

d) D={

/x N, 2< x 6}

43

1.3.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.3.5.1. INTERSECCIN DE CONJUNTOS:

Dados los conjuntos A y B, la interseccin de A y B est formada por el

conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que tambin

pertenecen a B.

Simblicamente:

AB = {x /xA xB}

Es decir: x (AB) xA xB

Propiedades de la Interseccin de Conjuntos.

Si tenemos los conjuntos A, B, C, se cumplen las siguientes propiedades

a. AB A AB B

b. AA = A (Propiedad de idempotencia)

c. (AB) C = A (BC) (Propiedad Asociativa)

d. AB = BA (Propiedad Conmutativa)

e. AB AB = A

f. A =

g. AU=A (Propiedad del elemento neutro)

Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1;2;3;4;5} y B ={3;4; 6; 7; 8}

Hallar AB

A B = {3 ; 4}

44

1.3.5.2 UNIN DE CONJUNTOS:

Dados los conjuntos A y B se llama reunin o unin de conjuntos A y B al conjunto

cuyos elementos pertenecen a A o B (o a ambos). Para indicar esta operacin se

utiliza el smbolo de unin U. Simblicamente se expresa:

AB= {x/xAxB}

Es decir: x(AB) {xA xB}

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A= {1;2;3;4;5} y B ={3;4; 6; 7; 8}

Hallar AB

A B = {1;2;3;4;5;3;4;6;7;8}

Propiedades de la Unin de conjuntos:

1. AA BB AB

2. AD BD AB D

3. AA = A (Propiedad de idempotencia)

4. (AB) C = A (BC) (Propiedad Asociativa)

5. AB = BA (Propiedad Conmutativa)

6. A=A (Propiedad del elemento neutro)

1.3.5.3 DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Dados los conjuntos A U y B U la diferencia de A y B denotado por A-B, es el

conjunto formado por todos los elementos x U tales que x A y x B

Simblicamente: A - B = {xU/xA xB}

45

Es decir: x(A-B) x A xB

Ejemplo

Sean los conjuntos: A= {1;2;3;4;5} y B ={3;4; 6; 7; 8}

Hallar A - B

A - B = {1;2;5}

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos

1. A - A=

2. =A

3. - A=

4. (A-B) A

5. A-B=(AB) - B=A - (AB)

6. (AB) - C = (A-C) (B-C)

7. (A-B) - C=(A-C) - B

8. B (A-B) =

1.3.5.4 DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS:

Dado los conjuntos A y B se denomina diferencia simtrica al conjunto que

contiene todos los elementos de (A B) (B A) y se denota por A B.

Es decir:

A B = (A-B) (B-A)

o tambin

A B=(AB) - (BA)

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A= {a, b, 1, 2} y B= {b, c, 2, 4}, hallar: A B

Se puede hallar (A-B) (B-A) de la siguiente manera:

46

Solucin:

(A-B) = {a, 1}

(B-A) = {c, 4}

Luego

(A-B) (B-A) = {a, 1} {c, 4} = {a, 1, c, 4}

Propiedades de la Diferencia Simtrica

A = A (Propiedad del elemento neutro)

A A =

A B = B A (Propiedad conmutativa)

(A B) C =A (BC) (Propiedad asociativa)

(A B) C = (A C) (B C) (Propiedad distributiva)

1.3.5.5 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Ejemplo:

Sea: U={ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10} y los conjuntos

A= {1; 3; 5; 7} B= {xU/ 4 x < 8}

Hallar

a) A b) B

Solucin:

U= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A= {1; 3; 5; 7}

Solucin:

U= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A= {5;6; 7}

A=U A = {2; 4; 6; 8; 9; 10}

B=U B = {1;2; 3; 4; 8; 9; 10}

47

1.3.6 PROBLEMAS CON CONJUNTOS:

1. En un restaurant, durante una tarde 45 comensales consumieron leche y/o

caf. Si 23 de ellos consumieron caf y 34 consumieron leche. Cuntas

personas consumieron caf con leche?

Solucin:

2. En la UPCI se tom una encuesta a 500 estudiantes para conocer el nmero

de inscritos en una o ms de las asignaturas de Matemticas, Estadstica y

Contabilidad, durante el Primer semestre del presente ao, revelando lo

siguiente: Matemticas = 329; Estadstica = 186; Contabilidad = 295;

Matemtica y Estadstica = 83; Matemtica y contabilidad = 217; Estadstica y

Contabilidad = 63. Cuntos alumnos estarn inscritos en:

a. Los 3 cursos.

b. Matemtica pero no Contabilidad.

c. Estadstica pero no Matemtica.

d. Contabilidad pero no Estadstica.

e. Matemtica Contabilidad pero no Estadstica.

f. Matemtica y Contabilidad pero no Estadstica.

g. Matemtica pero no Estadstica ni Contabilidad.

L(23) C(34)

45

x 23 - x 34 - x

23 x + x+ 34 x = 45

23 + 34 45 = x

12 = x

48

Solucin:

Del Diagrama de Venn se tiene que:

= n(M) + n(E) + n(C) n(ME) n(MC) n(EC)+n(MEC)

= (329+186+295) 83-217-63+n(MEC)

n(MEC) = g = 53

n(M) = 329 = a + d+ f +g

= a + (d + g) + (f + g) g

= a + 83 + 217 53

a 267 = 329

a = 82

El mismo procedimiento se desarrolla con el apoyo del grfico y obtenemos:

B = 93; c = 68; d + g = 83 d = 30 ; e = 10 ; f = 154

g = 53; a + d = 112; b + e = 103; c + f = 232; a + f + c = 314; p = 164; a =

82

b

E(186) M(329)

C(295)

c

g e

d a

f

83

63

217

49

ACTIVIDADES

1. Si A = { (2x + 1) / x N ^ 3 x 6} Hallar A

2. Si A = { (x2 - 1) / x Z ^ -4 x 2} Hallar A

3. Si A = B; hallar el valor de m y n:

A= {2m - 4; 18}

B = {26; n2 7}

4. Si: A ={ 0; 2; 4; 6 }, B = { 1; 3; 5; 6; 7 } , C = { 3; 4; 5; 8 }, efectuar

a) (B C) A

b) (A U B) ( A C)

5. Si A= {3;5;7;9} B= {x/x N , 4 x 6} y

U = {x/x N, 1 x 9}, hallar: (A B) B

6. Si A = {1;2;5;7;8} B = {2;3;4;7;9}, C= { 1;3;5;6;8} y U= {x/x N; x < 10}

Hallar y graficar:

a) [(A B) (A C)]

b) [(A B) (A C)]

c) [(A - B) (A - C)]

d) [(C B) (A C)]

e) (A B) (B C)

7. Si A U B = {1; 2; 3; 4}, A B = { 1; 3} y A B = { 2} Hallar el conjunto A y el

conjunto B.

8. A una Financiera acuden 115 personas de las cuales 72 hacen depsitos, 65

hacen retiros y 3 ninguna de las dos operaciones. Cuntas personas hacen

depsitos y retiros?

9. Si A = { (x2 - 1) / x N ^ 3 x 5} Hallar A

50

10. Rosana come aceituna y/o queso cada tarde de todo el mes de marzo, si

comi 18 tardes aceituna y 22 maanas queso. Cuntas tardes comi

aceituna y queso a la vez?

11. Se hizo una encuesta entre 200 personas: saban Espaol 56; 60 Alemn y 84

Francs. Espaol y Alemn 16; Espaol y Francs 20 y Alemn y Francs 10.

6 los tres idiomas.

a. Cuntos no estudiaban idiomas?

b. Cuntos estudiaban exclusivamente Francs?

12. En un grupo de 120 estudiantes, 49 no llevan el curso Matemtica 53 no llevan

el curso de Administracin. Si 30 alumnos no llevan ni Matemtica ni

Administracin Cuntos alumnos llevan exactamente uno de esos cursos?

13. De un grupo: el 13% no conoce Huaraz; el 11% no conoce Huancayo; el 84%

conoce ambas ciudades. Qu porcentaje no conoce Huaraz ni Huancayo?

14. Se ha encuestado a 4 400 personas que consumen los productos A, B y C. El

nmero de personas que consumen los tres productos es:

- 1/6 de los que consumen slo el producto A

- 1/5 de los que consumen slo B

- de los que consumen slo C

- de los que consumen slo A y B

- 1/3 de los que consumen slo A y C

- de los que consumen slo B y C

15. Sombrear la operacin que corresponde a la operacin

(A U C) ( B C)

16. En el departamento de publicidad de METRO se efecta una encuesta a un

grupo seleccionado de 1000 clientes, de entre todos los que abrieron su

B C A

51

cuenta de crdito en el mes pasado de diciembre. Se les pregunt si su crdito

fue utilizado para comprar artculos para el hogar, artculos de vestir, o

juguetes. Los resultados de la encuesta se han tabulado as:

MERCANCA N PERSONAS

Artculos para el hogar 275

Artculos de vestir 400

Juguetes 550

Artculos para el hogar y vestir 150

Artculos para el hogar y Juguetes 110

Artculos de vestir y juguetes 250

Artculos de vestir, del hogar y juguetes 100

Se pregunta: Cuntas personas no usan su crdito en ninguna de esas 3

mercancas?


La Pequea Familia

Rosita se va de excursin con su familia y

lleg a una posada dispuesta a solicitar

almuerzo en donde le preguntan:

Cuntos son ustedes? Somos padre,

madre, to, ta, hermano, hermana,

sobrino, sobrina y dos primos.

Cul ser el menor nmero de

miembros que podra haber en esa

familia?

52

UNIDAD II NMEROS REALES

53

2.1 NMEROS REALES.

Nmeros Reales

Nmero real, cualquier nmero

racional o irracional. Los nmeros

reales pueden expresarse en forma

decimal mediante un nmero entero,

un decimal exacto, un decimal

peridico o un decimal con infinitas

cifras no peridicas.

UMSNH Salvador Gonzlez Snchez 2005.

Un nmero es un concepto matemtico que expresa cantidad. De acuerdo a sus

caractersticas, los nmeros estn organizados en conjuntos, as tenemos los

nmeros naturales, los nmeros enteros, los nmeros racionales, los nmeros

irracionales, los nmeros reales y los nmeros complejos.

El Conjunto de los Nmeros Naturales (N): Formado por aquellos nmeros

que sirven para contar:

N = {0;1;2;3;4;5;6;..}

El Conjunto de los Nmeros Enteros (Z): Representan cantidades no

fraccionadas, los cuales pueden ser positivos y negativos.

Z = { -3;-2;-1;0;1;2;3;..}

El Conjunto de los Nmeros Racionales (Q) : Representan cantidades

fraccionadas o decimales de tipo exacto o con periodo. Incluyen a los enteros.

Q = { -2; -5/4; -1; -1/2; -1/3; 0; 1/3; ; 1; 5/4; 2,..}

El Conjunto de los Nmeros Irracionales (I): Formado por aquellos nmeros

que no pueden expresarse como fracciones de la forma: m/n, con m y n Z, n

0; por ejemplo son nmeros Irracionales :

-, - , - 3 2 , - 3 9 , 4 12 , 3 , , ,

Hay dos nmeros Irracionales muy importantes en el ejemplo:

Pi cuyo valor aproximado es: 3,14159265359

54

Epsiln cuyo valor aproximado es: 2,7182

El Conjunto de los Nmeros Reales (R): Es la reunin de los nmeros, naturales,

enteros , racionales e irracionales; es decir:

La Recta Real:

Los nmeros reales pueden ser representados geomtricamente en una recta a la

que se denomina Recta Real

Usando diagramas de Venn Euler (diagramas o grficos propios de la teora de

conjuntos) para representar los nmeros N ;Z; Q; I, y R tendramos :

2.2.1 EL SISTEMA DE NMEROS REALES:

Los Nmeros Reales pertenecen a un Sistema Numrico, el cual se entiende

como un conjunto en el cual se definen las operaciones cuyos resultados

pertenecen a dicho conjunto. En el caso de los nmeros reales, estas operaciones

son la adicin y la multiplicacin.

2.2.1.1 ADICIN.

La adicin es una funcin de R x R, o sea una correspondencia que asocia a

cada par de nmeros reales (a,b) un nico nmero real a+b, llamado suma de a y

b es decir: R x R R tal que (a,b) a+ b

R = N Z Q I

55

Los nmeros reales a y b reciben el nombre de sumandos.

Propiedades:

a. Propiedad de clausura.

Si a R= y bR (a+b)R

Ejemplo: Si 2,26 R y 1,3 R 2,26 + 1,3 = 3,56 R

La suma de dos nmeros reales es una operacin cerrada

b. Propiedad Conmutativa.

a + b =b + a, a, bR

Ejemplo: 2,26 + 1,3 = 3,56 ^ 1,3 + 2,26 = 3,56

c. Propiedad Asociativa.

a+b+c =a+(b+c) a, b, cR

Ejemplo: ( 2,26 + 1,3) + 12 = 2,26 + ( 1,3 + 12)

d. Propiedad del elemento neutro aditivo.

0R/a + 0 = 0 + a a R

Ejemplo:

e. Propiedad del elemento inverso aditivo.

a R, (-a) R/a+(-a) = (-a) +a = 0

Ejemplo: 2,26 + (- 2,26) = 0

2.2.1.2. MULTIPLICACIN.

La multiplicacin es una funcin de R x R en R o sea una correspondencia que

asocia a cada par de nmeros reales (a, b) un nmero real a. b, llamado Producto

de A y B, es decir:

R x RR/(a, b)a .b

Los nmeros reales a y b reciben el nombre de factores.

56

Propiedades:

a. Propiedad de clausura.

Si aR y bR(a, b)R

El producto de dos nmeros reales, es una operacin cerrada

Ejemplo:

Si 2, 3 R ^ 4 R (2,3) (4) = 9,2 R

b. Propiedad Conmutativa.

a. b = b . a a,b R

Ejemplo:

(2,3) ( 4) = (4)(2,3)

c. Propiedad Asociativa.

(a.b) = c. (b.c), a,b,c R

Ejemplo:

[(2,3) ( 4)] (2) = (2,3) [( 4)(2)]

d. Propiedad del elemento neutro multiplicativo.

1R/a.1 = 1.a=aaR

Ejemplo:

1(2,34567) = 2,34567

e. Propiedad del elemento inverso multiplicativo.

aR-{}, (l/a)R/a (l/a) = (1/a) a = 1

Ejemplo:

(3/5).(5/3) = 1

f. Propiedad Distributiva.

si a, b, c R

a (b+c) = a.b + a.c

57

Ejemplo:

2,3(2+5) = (2,3).(2) + (2,3).(5)

2,3(7) = 4,6 + 11,5

16,1 = 16,1

2.2.1.3 POTENCIACIN:

Definicin: aaaaaan (n veces)

Ejemplo:

a. 43 = 4 . 4. 4 = 64

b. (2/3)2 = (2/3) . (2/3) = 4/9

c. (7)2 = (7)( 7) = 7

Propiedades de la Potenciacin:

a. Multiplicacin de Potencias de Igual Base: mnmn aaa

Ejemplo: 43 x 44 = 43+4 = 47

b. Propiedad de la divisin de Potencias de Igual Base:

Ejemplo:

c. Todo nmero Real elevado al exponente cero: =1

Ejemplo:

0 = 1

d. Potencia de una potencia: ( )

Ejemplo:

e. (53)2 = 53x2 = 56

Operaciones combinadas;

a) (-3)2 + (-542)0 + (1/5)-1

Solucin:

58

9+1+5=15

a) {{( ) }

}

Solucin:

( )

( )

b) c) Simplificar:

( )

Solucin:

2.2.1.4 RADICACIN

Toda potencia de exponente fraccionario puede representarse a modo de radical:

Ejemplo:

a)

b)

Propiedades de la Radicacin:

a. Raz de un producto:

Ejemplo:

b. Raz de un cociente :

Ejemplo:

Recuerda: producto de bases iguales exponentes se

suman; divisin de bases iguales exponentes se restan

59

c. Raz de Raz:

Ejemplo:

d. Potencia de una Raz :

Ejemplo:

a)

b) (( ) )

2.2.2 NOTACIN CIENTFICA

Todo nmero se puede representar en notacin cientfica, es decir, en potencias

de base 10.

Ejemplos:

a) 0,000 000 000 024 = 2,4x10-11 24x10-12

b) 518 000 000 000 000=5,18xl014

c) 0,000 000 000 0025 = 2,5x 10-12

Un qumico trabaja con el numeral de molculas de hidrgeno en un mol,

que es el nmero de Avogadro y equivale a:

602 000 000 000 000 000 000 000

Cmo representaras dicho nmero con potencia de base 10?.................

60

ACTIVIDADES

1. Ubicar aproximadamente los siguientes nmeros en la Recta Real:

a) -3 b) c) -2,8 d) -0,1 e) 1/7 f) 4,35555..

2. Indica el axioma o propiedad que se aplica en cada una de las siguientes

expresiones.

a) 2,345 +3 = 3 + 2,345 b) -0,75 . 1 = -0,75 c) 3 412 . 0 = 0

d) 8 + 0 = 8 e) (2+3) x = 2x + 3x f) 7 + (-7) = 0

3. Indica cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

-(a-b) = -a + b

si x + y = 0 x = y = 0

si xy =yz x = z para cualquier x, y, z R.

a) (xy)-1 = (y-1) (x-1) para cualquier x, y R

4. Indica cules de los siguientes nmeros reales, son racionales y cules son

irracionales

a) 0,3224

b) 3,999...

c) 19

d) 0,567 567 567...

e) - 7

f) 1,999 99...

g) -345

h) 2/5

Expresa en notacin cientfica las siguientes cantidades.

a. La velocidad de la luz en el vaco es aproximadamente 30 000 000 000 cm

por segundo.

b. La masa aproximada de un tomo de hidrgeno es 0,000 000 000 000 000

000 000 000 166g.

61

ACTIVIDADES

Resuelve aplicando propiedades:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

g) =

h) =

i) =

j) =

k) 3722552

722322

32)23()32(

323)2()3(

l) =

m) =

n)

o) 1001/2 + 641/2 + 641/3


El caracol

Un caracol asciende cada da 6m por un pino y

durante la noche su propio peso le hace descender

2m; si la altura del pino es de 26m y el ascenso

empez el martes. Qu da llegar a la punta?

62

UNIDAD III ECUACIONES E INECUACIONES

63

Ecuacin

Igualdad que contiene una o ms

incgnitas.


Inecuacin

Sinnimo de desigualdad

Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemticos, Efran Soto Apolinar (2011)

3.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

Toda ecuacin de 1er grado con una incgnita puede reducirse a la forma:

ax+b=0

Se observa que:

1 Si : a0 la raz es b/a

2 Si : a=0 y b0 la raz no existe

3 Si : a=0 y b=0 la raz es un nmero cualquiera (ecuacin indeterminada).

4 Si : a0 y b=0 la raz es cero

Ejemplo:

(2x-1) (x+1) = 2[x+(x+1) (x-1)]

Solucin:

(22+x-1) = 2[x+x2+1]

2x2+x-1=2x+2x2-2

x-2x=-2+1

-x =-1 x=1

64

b)

Solucin:

MCM = 20x

15 36 = 22x - 40x

-21=18x ==> x= 7/6

c)

Solucin:

MCM=25x2 -16

(5x+4) (2x+6) = (5x-4) )2x-6)

10x2+30x+8x+24=10x2-30x-8x+24

76x=0 x=0

65

ACTIVIDADES

1. Hallar el valor de x en cada caso

a. 6x (4x - 7) = 5x (4 9x) + (-4x + 35)

b. 9x + (-2x + 8) = 3x + (5 6x) (-5x - 18)

c. 4x (3x - 10) = 2x (8 5x) + (3x - 18)

d.

( )

e.

f.

g. 9x + {-6x +(-2x + 9)} = -5 {-(7x +3)(-9x + 22)}

h. 3(2x - 4) 4(5 2x) = 3(x - 2) + 5(4x + x) + 2

i. 4(x - 2) + 3(x + 5) = 2(x + 2) 3(x - 4) + 17

j. 3(x - 2) 6(3 2x) = 3(5x - 2) + 3(2x - x)

k. 10x (8x - 5) = 7x (5 9x) + (-3x - 45)

l. 3x (5x + 8) = 4x (6 2x) (-4x + 26)

m. 9x + {-7x + (-x + 25)} = 12 {-(3x + 2) (3x - 4)}

n. 5x {-x (-2x + 5)} = -8 {-(4x + 8) (2x + 3)}

o. 4(x - 3) 5(6 2x) = 5(3x - 8) 2 (x - 16)

p. 6(x + 3) + 2(x - 5) = 4(x - 3) + 3(x + 7)

q. 3(2x - 4) 5(x + 6) = -6(5x - 18) + (x + 3)

r. 3x + {-7x + (-x + 9)} = 33 { - (3x + 2) (3x - 14)}

s. 4x {-5x (-3x + 10)} = 18 +{ -(5x + 4) + (-7x + 12)}

t. (x + 7)(x - 3) = x2 + 3x 16

u. (x + 3)(x - 3) = (x + 6)2

66

v.

2. Despejar x en las siguientes igualdades:

a) 2x 5y + 12 = 3

b) x2 + 2 = 24y - 3

c) 2x 6 = 3y 1 2

67

3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 INCGNITAS

Son de la forma: a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

MTODOS DE RESOLUCIN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

1.- RESOLUCIN POR EL MTODO DE REDUCCIN

Consiste en eliminar una incgnita combinando las dos ecuaciones, tratando que

los coeficientes de la incgnita a eliminar tengan el mismo valor absoluto y el

signo contrario.

Ejemplo: Resolver el sistema

5x + 2y = 14

3x 4y = 24

Solucin:

Multiplicamos ambos miembros de la primera ecuacin por 2, obtenemos el

sistema.

10x + 4y = 28

3x 4y = 24

Sumamos miembro a miembro obtenemos:

13x = 52 x = 4

Reemplazamos x en la 1ra ecuacin

5x + 2y = 14 5(4) + 2y = 14

2y = -20+14 y= 6/2 y=-3

Respuesta: x = 4 ; y = -3

2.- RESOLUCIN POR EL METODO DE IGUALACIN

Consiste en despejar la misma incgnita, en las dos ecuaciones e igualar el

resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuacin de primer

grado.

68

Ejemplo: Resolver el sistema:

2x y = 7

x + 2y = 6

Solucin:

Despejamos x en ambas ecuaciones:

x =

x = 6 2y Igualamos las expresiones para calcular el valor de y

= 6 - 2y

y + 7 = 12 4y

5y = 5 y = 1

Ahora calculamos el valor de x

x + 2y = 6

x + 2(1) = 6

x = 4

Respuesta.: x = 4 ; y = 1

3.- RESOLUCIN POR EL METODO DE SUSTITUCIN

Consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y sustituir esta

expresin en la otra ecuacin, con lo cual obtendremos una sola ecuacin con

una incgnita.

Ejemplo: Resolver:

x + 2y = 13..... (1)

3x y = 11...... (2)

Solucin:

Despejamos x en (1)

x = 13 2y ....... (3)

Sustituimos (3) en (2)

69

3(13 2y) y = 11

Despejamos y y = 4

Reemplazamos y = 4 en (1)

x + 2 (4) = 13

Despejamos x X = 5

Rpta. X = 5 ; y = 4

70

ACTIVIDADES

Resuelve cada uno de los sistemas empleando los mtodos de reduccin,

igualacin y sustitucin:

1.- x + y = 6 x - y = 2 6.-

3x - y = 8 + 7y 2x = 21 - 5y 2

2.- 3x y = 7 x + y = 13 7.-

7x - 1 = 5y + 7 3

2y + 5 = - x 3

3.- 5x + y = 1 2x + y = 10 8.-

3x + 5 = 11y - 20 4 2x - 1/2 = 6 3y

4.- 5x + y = 1 2x + y = -1

9.-

7x + 71 = y 5 x + y = - 7 3 15

5.- 4x + 5y = 7 10x + 3y = 8

10.-

5x + 29 = 7y x + y = 0 3 2

71

3.3 ECUACIONES SIMULTNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCGNITAS

Cuando tenemos tres ecuaciones con 3 incgnitas, primero se reduce a un

sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas y finalmente a una sola ecuacin con

una incgnita.

De la forma:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ejemplo:

3x + 2y 4z = 30 (1)

- x + 16y + 2z = -88 (2)

-2x + 3y + 8z = -9 (3)

Solucin:

Resolvemos ecuaciones (1) y (2)

3x + 2y 4z = 30 por (1)

- x 16y + 2z = - 88 por (3)

3x + 2y 4z = 30

- 3x 48y + 6z = - 264

-46y + 2z = - 234 (4)

Resolvemos ecuaciones (1) y (3)

3x + 2y 4z = 30 por (2)

- 2x + 3y + 8z = -9 por (3)

6 x + 4y 8z = 60

-6x + 9y + 24z = -27

13y + 16z = 33 (5)

Resolviendo (4) y (5) se obtiene

y = 5 ; z = -2 ; x = 4

72

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES:

Cmo resolver un Problema?

Comprender el problema: En el proceso de entender el problema se debe

tener bien en claro cul o cules son las incgnitas que intervienen y cul

es su relacin.

Desarrollar un plan : En este caso el plan consiste en escribir el problema

como una ecuacin

Llevar a cabo el Plan : Se desarrolla mediante la ecuacin

Verificar: Se toma la respuesta obtenida y se lleva al problema original

para comprobar que satisface las condiciones dadas.

Ejemplo:

Cul es la edad de Fernando, si al multiplicarlo por 4 , aadirle 18,y dividir

dicha suma entre 19 obtendremos 2 como resultado?

Edad de Fernando = x

Multiplicamos por 4 la edad de Fernando = 4x

Aadimos 18 a dicho producto = 4x + 18

Dividimos dicha suma entre 19 = (4x + 18)/19

A manera de ecuacin:

(4x + 18)/19 = 2

4x + 18 = 38

4x = 38 18

4x = 20

x = 5

Respuesta: La edad de Fernando es 5 aos.

73

ACTIVIDADES

1. 2x + y - z = 0

3x + 2y + z = 7

2x + 3y + 2z = 7

2. 2x + y - 2z = - 1

3x + 3y - 3z = 0

2x - y + 3z = 7

3. 3x + 3y + 2z = -5

2x - 5y - 3z = -7

-6x + 10y + 9z = 6

4. x + 2y + 3z = -1

2x - 3 = y - z

3x - 26 = 2z y

5. La cantidad de alumnos de dos aulas en la UPCI es 106. Si el aula de

mayor nmero excede a la menor en 8. Hallar el nmero de alumnos de

ambas aulas.

6. La suma de dos nmeros es 540 y su diferencia es 32. Hallar los

nmeros.

7. Juan tiene 14 aos menos que Bertha, y ambas edades suman 56

aos. Hallar las edades de ambos.

8. Repartir 1080 soles entre dos hermanos de tal manera que uno reciba

1041 ms que el otro. Cunto recibe cada uno?

9. Hallar dos nmeros enteros consecutivos de modo que la suma entre

ellos sea 103.

10. La suma de las edades de tres personas es 88 aos. La mayor tiene 20

aos ms que la menor, y la del medio tiene 18 aos menos que la

mayor. Cul es la edad de la persona mayor?

11. La edad de Pedro es el triple que la de Juan y ambas edades suman

140 aos. Hallar las edades.

74

12. En un conocido centro comercial se han comprado unos muebles y una

mesa por $600; pero los muebles costaron cuatro veces el valor de la

mesa. Cunto costaron los muebles?

13. Un prestigioso hotel de Lima cuenta con dos pisos de 48 habitaciones.

Si el nmero de habitaciones del primer piso son la mitad de las

habitaciones del segundo piso. Cuntas habitaciones hay en cada

piso?

14. Una deuda de 254 soles se quiere dividir en tres partes de modo que la

segunda sea el triple de la primera y 40 ms que la tercera. A cunto

asciende cada cuota?

75

3.4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA

Es la ecuacin que simplificada tiene al nmero dos como el mayor exponente de

la incgnita.

Su forma general es:

Mtodos para resolver:

1 Si las ecuaciones son Completas:

a) Por Factorizacin:

Ejemplo 1.: x2+ 5x + 6 = 0

Solucin:

x2 + 5x +6 = 0

X 3

X 2

3X

2X 5X

coincide con el trmino central de la ecuacin

(x+3)(x+2) = 0

x =-3 ; x = -2

76

Ejemplo 2 : 6x2 13x + 5 =0

Solucin:

La ecuacin se puede resolver por la frmula general o factorizando;

a) Por factorizacin:

6x2 13x + 5 = 0

3x -5 -10x

2x -1 -3x -13x

(3x 5) (2x 1) = 0

x1 = 5/3 ; x2 =

b) Por la frmula cuadrtica

Ejemplo 3: Resolver: 8m2 2m = 1

Solucin:

Ordenamos la ecuacin: 8m2 2m 1 = 0

Dnde: a= 8; b= -2; c= -1

( ) ( )( )

( )

x =

2. Si las ecuaciones son Incompletas:

De la Forma : ax2 + bx = 0

Ejemplo 2x2- 200 = 0

Solucin:

2x2 = 200 2x2 = 2

200

X = 100

x1 = 1/2

x2 = -1/4

77

Luego las races son:

x1=10 ; x2 = -10

De la Forma ax2 + c = 0

Ejemplo 4x2 20x = 0

4x2 20x = 0 x (4x-20)=0

x = 0 x1 = 0

4x - 20 = 0 x2 = 5

78

ACTIVIDADES:

1.

16. x2 + 10x + 21 = 0

2.

17. x2 25x + 150 = 0

3. 4 = 100y2 18. 5x2 9 = 46

4. x2 - 3x + 2 = 0 19. p2 = 4(p2 12)

5. 2x2 14x = -24 20. r(r-6) = 3(7 2r)

6. x2 12x + 35 = 0 21. 2b2 + 12b = b2

7. 5x2 25x 70 = 0 22. ( )

( )

8. 4x2 16 = 0 23. 5 = x(2x + 3)

9. x2 22x + 105 = 0 24.

10. 2x2 5x + 2 = 0 25. 2x2 = 8x

11. 39x2 23x 12 = 0 26. 3a2 4a = 5a

12. 3x2 5mx + 2m2 =0 27.

13. 15x2 + 11x + 2 = 0 28. 4x2 + 32x + 48 = 0

14. 3x2 + 2x = 8 29. x2 + 54 = 15x

15. x2 - 8x + 15 = 0 30. b(b + 2) = 2b + 10

79

3.5 DESIGUALDADES

Es aquella relacin que se establece entre dos nmeros reales y que nos indica

que tienen diferente valor.

Si

3.5.1 PRINCIPIOS DE LA DESIGUALDA

1. Si ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma

cantidad el sentido de la desigualdad no vara. Ejemplo:

8 15 8 + 3 15 + 3

2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma

cantidad negativa el sentido de la desigualdad varia. Ejemplo:

a) 14 8

14 (-2) 8 (-2)

-28 - 16

3. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma

cantidad positiva el sentido de la desigualdad no vara.

a) 9 12

9 x 3 12 x 3

3.5.2 CLASES DE INTERVALOS

a) Intervalo Abierto

Se define: x a; b a x b

Grficamente:

- a b

a; b R/ a=b = a b o a b

80

a) Intervalo cerrado

x [a; b] a x b

- a b

b) Intervalo mixtos

x [ a; b a x b

Grficamente:

- a b

x a; b ] a x b

Grficamente:

- a b

3.5.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO

CONJUNTO SOLUCIN DE UNA INECUACIN

Se llama as al conjunto de los valores de la incgnita que reemplazados en la

inecuacin verifican la desigualdad, la solucin de una inecuacin generalmente

se presentan por medio de intervalo

Ejemplo 1: Resolver x + 8 10

Solucin:

X + 8 10

X 2 Conjunto solucin =

Grficamente:

- 2

81

Ejemplo 2: Resolver: - x 5

Solucin:

(-1) (x) (-1) (5)

x -5

Grficamente:

- -5

Conjunto Solucin = - ; -5 ]

82

ACTIVIDAD

a. 3x + 2 23

b. 5 + 9x -4

c. 3 + 4x 5 + 6x

d. 9x 2 5x + 18

e. 3x 1 x 1

5

f. 4x + 1 3x 1

13 2

g. 2x + 1 + 4x + 1 6

3 7

h. 2x + 1 + 3x + 1 2x

3 4

i. 5 + x + 7 + x 3 + x

3 4

j. 2x + 1 + 3x 2 + 4x + 1 5

5 4 3


Resuelve el SUDOKU

completando en cada casilla en

blanco los nmeros del 1 al 9 en

cada bloque, sin que se repita

alguno ni en filas ni en columnas.

4 6 1

8 6 5 3

3 8 9

4 8 6

3 1 5

5 7 4

5 1 2

3 6 5 1 2

6 2 3

83

UNIDAD IV RELACIONES Y FUNCIONES

84

4.1 RELACIN

Relacin:

Resultado de comparar dos

cantidades expresadas en nmeros.

Funcin:

Resultado de comparar dos

cantidades expresadas en nmeros.


4.1.1 PAR ORDENADO.

Si los apellidos de Vernica son Ruiz Mndez y los de Otto son Mndez Ruiz

podemos notar que Vernica y Otto no tienen iguales apellidos a pesar de las

coincidencias.

Matemticamente el par de apellidos de cada uno se denomina par ordenado y se

escribe entre parntesis para diferenciarlos del par no ordenado, que es cualquier

conjunto de dos elementos.

Asi:

(Ruiz, Mndez) (Mndez, Ruiz)

Si Ruiz se representa por la componente x y Mndez por la componente y;

en el primer caso tendremos representado el par ordenado (x; y)

(x,y)

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual, cada uno de ellos

tiene un lugar fijo.

Primera componente Segunda componente

85

Propiedad de la igualdad de los pares ordenados:

Si (a,b) = (c,d) a = c ^ b = d

Ejemplo: Si (2m + 9; 15) = (17 ; n2 10),

Calcular m + n.

Solucin:

2m + 9 = 17 y n2 10 = 15

m = 4 n = 5

m + n = 9

4.1.2 PLANO CARTESIANO

Para situar un punto en el plano se necesitan dos rectas perpendiculares que se

llaman ejes de coordenadas.

El punto de corte de los ejes se llama origen.

Cualquier punto tiene dos coordenadas:

La primera se mide sobre el eje horizontal o de abscisas.

La segunda se mide sobre el eje vertical o de ordenadas.

86

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.

Cada punto del plano se designa por un par ordenado de nmeros que se llaman

coordenadas del punto. (x;y)

4.1.3 PRODUCTO CARTESIANO.

Si tenemos los conjuntos

A={1,2,3} B={4,5}

El producto cartesiano de A x B (en ese orden) sera el siguiente conjunto.

A x B = {(1,4) ,(1,5 ),(2,4 ) (2,5 ), (3,4 ), (3,5)}

Dado 2 conjuntos A y B se llama Producto Cartesiano de A por B (en ese orden),

cuyo smbolo es A x B, al conjunto de todos los pares ordenados ( x , y) tales que

su primera componente x pertenece a A y la segunda y pertenece a B.

87

Si A y B son conjuntos cualesquiera:

A x B = {(x,y)/xAxB}

A : Primer Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Partida.

B : Segundo Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Llegada.

Ejemplo:

Si A = {1;2} B{3;4;5}

Hallar A x B

Solucin

A x B={( 1,3) ( 1,4)( 1,5)(2,3)(2,4)(2,5)}

Como n(A)=2; n(B)=3 n(A x B) = n(A) x n(B)

En el ejemplo: n(AxB) = 2 x 3 = 6

n(AXB) =6

Representacin grfica de A x B

4.1.4 IDEA DE RELACIN.

Veamos la siguiente situacin:

En una fiesta infantil participa el conjunto A de nios.

A= {Carola, Juan, Lali, Pedro, Nancy, Yuli}

Al terminar la fiesta se sortearon el siguiente conjunto B de premios.

88

B= {pelota, canica, patineta, triciclo, Barbie, playstation}

La rifa result de la siguiente manera:

Carola gan la pelota, Lali una Barbie, Juan el playstation, Pedro las canicas,

matematica i

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