matemática - ii° medio (gdd)

AUTORES TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR

MARIO ZAÑARTU NAVARROLICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARROLICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,

MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAURICIO RAMOS RIVERALICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA

LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA

UNIVERSIDAD DE CHILE

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La Guía Didáctica del Docente, correspondiente al TextoMatemática 2º, para Segundo Año de Educación Media,es una obra colectiva, creada y diseñada por elDepartamento de Investigaciones Educativas de EditorialSantillana, bajo la dirección de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN:JAVIERA SETZ MENA

AYUDANTE DE EDICIÓN:ALDO PEREIRA SOLIS

AUTORES TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y

AUTORES GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE:MARIO ZAÑARTU NAVARROFLORENCIA DARRIGRANDI NAVARROMAURICIO RAMOS RIVERA

CORRECCIÓN DE ESTILO:ISABEL SPOERER VARELAASTRID FERNÁNDEZ BRAVO

DOCUMENTACIÓN:PAULINA NOVOA VENTURINOMARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de

VERÓNICA ROJAS LUNA

con el siguiente equipo de especialistas:

COORDINACIÓN GRÁFICA:CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN LICITACIÓN:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:XIMENA MONCADA LOMEÑAMARIELA PINEDA GÁLVEZ

FOTOGRAFÍAS:ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

PRODUCCIÓN:GERMÁN URRUTIA GARÍN

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o

par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella

me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2009, by San ti lla na del Pa cí fi co S.A. de Edi cio nes,

Dr. Aní bal Ariz tía 1444, Pro vi den cia, San tia go (Chi le)

PRIN TED IN CHI LE

Im pre so en Chi le por Quad/Graphics

ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1567 - 3

Ins crip ción N° 186.187

Se terminó de imprimir esta 4a edición de 4.000 ejemplares,

en el mes de septiembre del año 2012

www .san ti lla na.cl

La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

PAG 1-2_Guía matemática 4 31-08-12 10:05 Página 2

Índice | 3

Índice

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA6

Introducción6

Escenario educacional6

Concepción del subsector de aprendizaje8

Fundamentos del proyecto12

Habilidades del pensamiento18

Evaluación en Matemática20

21 Instrumentos de evaluación

Razonamiento matemático y resolución de problemas26

Relación entre los CMO de Educación Media30

ORGANIZACIÓN INTERNA DEL TEXTO34

Estructura del Texto34

Organización del Texto34

ORGANIZACIÓN DE LA GUÍA DIDÁCTICA36

Unidad 1: Números y raíces38

Propósito de la unidad38

Esquema de la unidad38

Propuesta de planificación de la unidad39

Indicaciones y orientaciones para las páginas de iniciodel Texto para el Estudiante

40

Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollodel Texto para el Estudiante

43

60 Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierredel Texto para el Estudiante

66 Evaluación final. Material fotocopiable

65 Bibliografía

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4 | Índice

Índice | 4

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 4: Semejanza

Unidad 2: Expresiones algebraicas fraccionarias

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Propósito de la unidad



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Esquema de la unidad



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Propuesta de planificación de la unidad



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Taller de evaluación 1. Material fotocopiable.116

Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierredel Texto para el Estudiante


113 Bibliografía



141 Bibliografía



89 Bibliografía


Índice

Índice | 5

Unidad 5: Circunferencia

Unidad 6: Datos y azar

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168



144

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182

Solucionario Evaluaciones finales y Talleres de evaluación.190

Taller de evaluación 2. Material fotocopiable.188



165 Bibliografía



185 Bibliografía


6 | Guía Didáctica Matemática 2o Medio

Fundamentación teórica

INTRODUCCIÓN

La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y ContenidosMínimos Obligatorios para 2º Medio del sector Matemática, establecidos en elAjuste Curricular, e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales conlos contenidos y actividades centrales presentados.

La propuesta Matemática 2º Medio consiste en el Texto para el Estudiante, la GuíaDidáctica para el Profesor y el Hipertexto.

El Texto para el Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista,de este modo, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidoscorrespondientes a su nivel, a partir de situaciones contextualizadas, en las quemediante el razonamiento espontáneo los y las estudiantes activen susconocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades yejemplos resueltos. La evaluación se considera en todas las etapas del proceso deaprendizaje, de manera transversal.

La Guía Didáctica para el Profesor es una herramienta que permite articular y llevara cabo cada contenido tratado en el Texto explicando claramente aquellosconceptos claves para la comprensión del contenido, las relaciones principales quese puedan establecer y sus referencias teóricas, con el objeto de sustentar y ampliarlos conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar lasdistintas actividades presentadas en el Texto para el Estudiante.

El Hipertexto consiste en un material educativo multimedial diseñado para ampliarlas instancias de aprendizaje de los jóvenes, que complemente las actividades delTexto y aproveche los recursos tecnológicos disponibles, y que el y la estudiantepueda resolver de manera autónoma. Contiene actividades de motivación,ejercitación y profundización y evaluaciones diagnósticas y sumativas, de modo queel o la estudiante pueda autoevaluarse independiente de sus actividades en clases.

ESCENARIO EDUCACIONAL

A diez años de iniciada la Reforma Curricular de la Educación Básica y Media, elMinisterio de Educación ha desarrollado un proceso de revisión del currículum, pararesponder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia.

Esta revisión es parte de una política de desarrollo curricular que busca mejorarcíclicamente el currículum a la luz de su implementación y de los cambios que sevan experimentando en la sociedad. Lo anterior se relaciona directamente con lascaracterísticas de la sociedad actual: el currículum debe ser capaz de responderoportunamente a la rápida generación de cambios en el conocimiento, a lastransformaciones constantes del mundo productivo y a las nuevas demandasformativas que van surgiendo. Así, el Ministerio ha estado elaborando una propuestade ajuste curricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacional.Si bien este proceso de ajuste es de mayor envergadura que las modificaciones


Fundamentación teórica | 7

Introducción

realizadas hasta la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, puesto quese mantiene el enfoque de la Reforma, es decir, el currículum sigue estandoorientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que sonrelevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos de lasociedad actual.

La propuesta de ajuste curricular tiene entre otros, los siguientes objetivos.

Con respecto a los sectores de aprendizaje:• Mejorar la redacción de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos

Obligatorios, para precisar su extensión y mejorar su claridad.• Mejorar la secuencia curricular y la articulación entre ciclos.• Visibilizar la presencia de las habilidades en Contenidos Mínimos Obligatorios.• Reducir la extensión del currículum (especialmente en ciencias sociales y naturales).• Fortalecer la presencia transversal de Tecnologías de la Información y

Comunicación (TIC), en la Educación Básica y Media.

Con respecto a temas de organización del currículo:• Homologar la nomenclatura de las asignaturas en Educación Básica y Media.• Homologar los Objetivos Fundamentales Transversales en Educación Básica

y Media.• Mejorar la presencia de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales en primer ciclo.• Definir objetivos y contenidos específicos de Inglés.• Revisar la definición de niveles en primer ciclo básico, único que tiene definidos

OF/CMO para dos años escolares.• Revisar la formulación diferenciada humanístico-científica.

En el sector Matemática, se reordenó el sector con una nueva organización decuatro ejes curriculares: Números, en el que se introducen los distintos sistemasnuméricos, con énfasis en las operaciones y situaciones que cada sistema permite yresuelve; Álgebra, el cual introduce al estudiante en el uso de símbolos pararepresentar y operar con cantidades y en la noción de función y el estudio dealgunas de ellas en particular; Geometría en el que se dan diferentes enfoques parael tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición;y Datos y Azar, que introduce el tratamiento de datos y modelos para elrazonamiento en situaciones de incerteza y propone desarrollar conceptos ytécnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades.

Además, contempla un eje trasversal de razonamiento matemático, de modo quese explicite en cada eje la resolución de problemas, la exploración de caminosalternativos y el modelamiento de situaciones o fenómenos, así como el desarrollodel pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, labúsqueda de regularidades y patrones y la discusión de la validez de lasconclusiones.

Esta reorganización tiene el propósito de acercar el currículum del sector a laexigencia internacional y a pruebas internacionales en las que participa nuestro país,ya que el análisis mostró que muchos contenidos eran tratados tardíamente ennuestro currículum, o bien, de manera muy acotada.



Como parte complementaria del ajuste curricular, se han elaborado los Mapas deProgreso del Aprendizaje, que describen la secuencia típica que sigue elaprendizaje, en las áreas o dominios que se consideran fundamentales en laformación de los estudiantes, en los distintos sectores curriculares. Estos establecenuna relación entre currículum y evaluación, orientando lo que es importante evaluary entregando criterios comunes para observar y describir cualitativamente elaprendizaje logrado. Los aprendizajes en Matemática se organizan en cuatro Mapasde Progreso correspondientes a los ejes curriculares anteriormente mencionados enque se organiza el sector.

CONCEPCIÓN DEL SUBSECTOR DE APRENDIZAJE

La propuesta Matemática 2º Medio responde a una concepción de la Matemáticareflejada en los Ajustes Curriculares y en los Requerimientos para la Elaboración deTextos Escolares. Desde esta perspectiva, el sector Matemática tiene comopropósito formativo enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selecciónde estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamientocrítico y autónomo en todos los estudiantes.

De acuerdo a lo anterior, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemáticacumple los siguientes grandes objetivos:

• Proporcionar herramientas conceptuales para analizar la información cuantitativapresente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando aldesarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción eimpulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática.

• Contribuir a que los y las estudiantes valoren su capacidad para analizar,confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas y elanálisis de situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividadmatemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación yel ajuste a modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias,la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos parahallar soluciones.

Los cuatro ejes en los que se organizan los aprendizajes y el conocimientomatemático que conforman los Objetivos Fundamentales y Contenidos MínimosObligatorios articulan la experiencia formativa de los alumnos y alumnas a lo largode los años escolares. Estos ejes articulan la propuesta Matemática 2º Medio.

• Números: este eje constituye el centro del currículo matemático. Incluye losaprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, losdiferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes dela vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática misma. Se organiza entorno a diferentes ámbitos y sistemas numéricos, de modo que cada uno deestos permita resolver problemas que los precedentes dejaron sin resolver.Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los númerosnaturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales.Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra susmotivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes.



Introducción

• Álgebra: este eje introduce al estudiante en el uso de símbolos para representary operar con cantidades. El álgebra provee de un lenguaje a la Matemática, porende, contribuye y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría ydatos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio dealgunas de ellas en particular.

• Geometría: este eje se orienta, inicialmente, al desarrollo de la imaginaciónespacial, al conocimiento de objetos geométricos clásicos y algunas de suspropiedades. En particular, propone relacionar formas geométricas de dos y tresdimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Además,se introduce la noción de medición de figuras planas. Progresivamente seintroduce el concepto de demostración y se amplía la base epistemológica de lageometría, mediante las transformaciones rígidas en el plano, los vectores y lageometría cartesiana. De este modo, se dan diferentes enfoques para eltratamiento de problemas en los que intervienen la forma, el tamaño y la posición.

• Datos y Azar: este eje introduce el tratamiento de los datos y modelos para elrazonamiento en situaciones de incerteza. Incluye los conocimientos y lascapacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos. Provee demodelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variadoscontextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las queinterviene el azar. Son también temas de estudio conceptos básicos quepermiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar laprobabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables y distinguir entre losfenómenos aleatorios y los deterministas.

El razonamiento matemático, abordado transversalmente en los ejes anteriores,busca lograr aprendizajes referidos a la resolución de problemas, formulación deconjeturas y verificación de la validez de los procedimientos y relaciones. De estemodo, la formación matemática y, por tanto, la propuesta Matemática 2º Mediodebe apelar a las bases del razonamiento matemático, incluyendo el desarrollo desus habilidades centrales, como la estimación y aproximación, el cálculo mental, lacomunicación, el uso de herramientas matemáticas, la manipulación aritmética yalgebraica, el manejo de información, clasificación, comparación, secuenciación,análisis de las partes y el todo, identificación de patrones y relaciones, inducción,deducción, visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.

En cuanto a la resolución de problemas específicamente, se debe promover eldesarrollo de habilidades referidas a la comprensión del problema, búsqueda,comparación y puesta en práctica de caminos de solución, el análisis de los datos yde las soluciones, la interpretación de los resultados en función del contexto, entreotras. La resolución de problemas se debe trabajar en forma transversal a loscontenidos, considerando sus cinco componentes de forma interconectada:

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario pararesolver problemas matemáticos. En particular: conceptos numéricos, geométricos,algebraicos y estadísticos.



• Habilidades: se refiere a las habilidades que se espera que los estudiantes seancapaces de desarrollar en cada contenido: estimación y aproximación, cálculomental, comunicación, uso de herramientas matemáticas, manipulación de tipoaritmética y algebraica y manejo de información.

• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resoluciónde problemas matemáticos:

– Habilidades de razonamiento: clasificar, comparar, secuenciar, análisis de laspartes y el todo, identificación de patrones relaciones, inducción, deducción,visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.

– Heurística para resolver problemas: simulación, uso de diagramas o modelos,listado sistemático, búsqueda de patrones, razonamiento en reversa, usar elconcepto de antes y después, ensayo y error, hacer suposiciones, reformularel problema, simplificar el problema y resolver parte del problema.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática:placer de hacer Matemática, aprecio por la belleza y poder de la Matemática,confianza en el uso de la Matemática y perseverancia en la resolución de unproblema.

• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamientopropio durante la resolución de problemas. Se promueven instancias quepermitan al estudiante: monitoreo constante y consciente de las estrategias yprocesos mentales usados al realizar una labor, búsqueda de maneras alternativasde realizar una labor y chequear cuán razonable y apropiada es una respuesta.

Considerando que el conocimiento matemático forma parte del acervo cultural dela sociedad y es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de lanecesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los másvariados ámbitos; el aprendizaje de la Matemática debe buscar consolidar,sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos yalumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado enlos niveles que lo precedan.

En este sentido, el desarrollo de los contenidos debe promover la conexión de loscontenidos previos con los nuevos contenidos, integrando el conocimiento. Paraello, es necesario que el proceso de aprendizaje tenga una base en contextossignificativos para los alumnos y alumnas, que permitan favorecer la comprensiónpor sobre la mecanización de los procedimientos y el aprendizaje de reglas. Estassituaciones deben ser motivadoras y desafiantes para los y las estudiantes, pero sucaracterística fundamental es que el contenido a estudiar sea necesario paraenfrentar dichas situaciones. Luego de esta contextualización, es importante realizarel proceso inverso de descontextualización, de modo de sistematizar y ubicar losconceptos emergentes en el plano puramente matemático.

En relación con lo anterior, las actividades de aprendizaje que se desarrollan en estapropuesta están orientadas a facilitar, potenciar y reforzar la comprensión yaplicación de los contenidos, de manera que los y las estudiantes vayanprofundizando en sus conocimientos. Estas actividades dan cuenta de distintospropósitos:



Introducción

• Ejercitar los conceptos centrales, procedimientos y habilidades, permitiendo unareal apropiación de los nuevos contenidos.

• Abstraer los contenidos, es decir, ubicar las ideas matemáticas surgidas encontextos de diario vivir o en la experimentación, en el contexto matemáticopertinente.

• Generalizar los aprendizajes, aplicando los conceptos construidos a situacionesnuevas, reconociendo el valor de la Matemática.

• Sistematizar los contenidos estudiados.

Así mismo, las actividades propiamente colaborativas cobran especial relevancia,dando espacios para la exploración, experimentación y la investigación, junto con lacomunicación, confrontación de ideas y fundamentación de opiniones e ideas.

El sector Matemática también es concebido como una oportunidad para el desarrollopersonal. En este sentido, es importante favorecer la confianza de los y lasestudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, una actitud positiva haciala Matemática y la autonomía del pensamiento.

Del mismo modo, la enseñanza de la Matemática promueve, además, el desarrollo delos Objetivos Fundamentales Transversales de forma integrada con los contenidoscentrales, entre los cuales encontramos:

• Aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, degénero, de condición física, opinión u otras.

• Respeto de la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberesde todas las personas.

• Preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente.• Desarrollo de las habilidades del pensamiento.

La evaluación en el sector Matemática considera tanto los procesos como losresultados de estos, siendo parte inherente del proceso de aprendizaje, de modoque las actividades de aprendizaje contemplan preguntas que promueven laevaluación. Esta recoge los aprendizajes centrales y a su vez es desafiante para losalumnos y alumnas, midiendo destrezas, habilidades y conocimientos de diversasformas. Además, considera diferentes propósitos, que se materializan enevaluaciones diagnósticas, formativas y sumativas, junto con promover instancias dereflexión sobre los propios procesos y sus resultados.

Finalmente, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios delsector Matemática incluyen el uso de tecnologías digitales, de Internet y softwaresespecializados. Estas tecnologías, además de contribuir a presentar la Matemática enuna mayor diversidad de medios y modos, de apelar a los intereses de los jóvenesy de facilitar la exploración y el estudio de procesos que requieren operacionesrepetidas, permiten tratar la Matemática desde una perspectiva más amplia y realista.De esta manera, las herramientas tecnológicas, sitios web y softwares complementanel desarrollo, la comprensión y la aplicación de los contenidos del sector.



FUNDAMENTOS DEL PROYECTO

La metodología utilizada en la propuesta Matemática 2º Medio tiene como puntode partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma EducacionalChilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Ajuste Curriculary a los requerimientos generales para la elaboración de Textos escolares deSegundo Año Medio, presentados por el Ministerio de Educación.

Los objetivos generales de nuestra propuesta son:

• Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que losalumnos y alumnas poseen como resultado de su interacción con el medio y lorealizado en cursos anteriores.

• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través delaprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitanintervenir activamente en ella.

• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamientomatemático y de la resolución de problemas, a través de situaciones, problemasy desafíos que favorezcan la integración de diferentes dimensiones de laMatemática.

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática,desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder dela Matemática, la confianza en el uso de la Matemática y la perseverancia en laresolución de problemas.

Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

• Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en unnivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivelseñaladas en los Ajustes Curriculares y en los Mapas de Progreso del Aprendizaje.

• Presentar los contenidos en contextos significativos, que den cuenta de lanecesidad de utilizar el nuevo contenido.

• Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de losy las estudiantes, promoviendo el razonamiento espontáneo respecto del nuevocontenido. Conectar el contenido nuevo de manera explícita con contenidosprevios, profundizando e integrando el conocimiento.

• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesosinvolucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos. Incluirjustificaciones simples de los conceptos y procedimientos cuando sea pertinente.

• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cadacontenido, a través de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivelde los y las estudiantes.

• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitannaturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirseen instancias de evaluación permanente.

• Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan laaplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas.

• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático yde la resolución de problemas, como son la selección de los datos, la búsqueday puesta en práctica de estrategias de resolución y la interpretación de resultadosen función del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje.



Fundamentos del proyecto

• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen laheurística de la resolución de problemas.

• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar loscontenidos y procedimientos centrales estudiados.

• Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitantomar conciencia de los procedimientos y sus resultados y monitorear el procesode pensamiento propio durante la resolución de problemas.

• Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la Matemática de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, formativas y sumativas en las cuales seevalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estasevaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos a travésde actividades diversas y desafiantes.

• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobrelos propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover eldesarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición.

En la metodología de nuestra propuesta, se consideran, además, aspectoscurriculares referidos a los ejes en que se organiza el currículo en el sector, el Mapade Progreso del Aprendizaje del eje Números y operaciones y el Mapa de Progresode las TIC. Para este último, junto al texto escolar, los estudiantes tendrán a sudisposición el apoyo de un Hipertexto, que es el conjunto de recursos multimediaque tienen una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y enmovimiento, animaciones y sonidos.

Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentospedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada unidad del texto impreso:inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos, se presentan diversos recursosque incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas,actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de loscontenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursosdestacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada,enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextosdistintos, evaluar sumativamente y sintetizar.

Respecto de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, estos complementan lasactuales herramientas curriculares, estableciendo una relación entre currículo yevaluación, orientando lo que es importante evaluar y entregando criterios comunespara observar y describir cualitativamente el aprendizaje logrado. De esta forma, noconstituyen un nuevo currículo, ya que no promueven otros aprendizajes; por elcontrario, pretenden profundizar la implementación del currículo, promoviendo laobservación de las competencias claves que se deben formar. Es por esto que ennuestra propuesta, los Mapas de Progreso son considerados de forma integrada enel tratamiento de los contenidos, orientando la progresión de los contenidos en elnivel y los aprendizajes centrales que es importante evaluar.



Los aprendizajes descritos en este mapa progresan considerando tres dimensionesque se desarrollan de manera interrelacionada:

• Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significadode los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los quepertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/opermiten resolver.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión delsignificado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, lasrelaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nuevainformación a partir de información dada.

• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección,aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas y laargumentación y la comunicación de estrategias y resultados.

El Mapa de Números describe el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan desde PrimerAño Básico hasta Cuarto Año Medio. En estos 7 niveles, se describe una secuenciaque los alumnos y alumnas recorren a diferentes ritmos. A continuación, sepresenta cada uno de estos niveles.

MAPA DE PROGRESO DE NÚMEROS

NIVEL DESCRIPCIÓN

NIVEL 7Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que lesdieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía yflexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios,utilizando diversas estrategias, y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utilizalenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

NIVEL 6

Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los númeroscomplejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que noadmiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelveproblemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias yautilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.

NIVEL 5

Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden serescritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de losnúmeros racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en formaalgebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados.Utiliza las potencias de base racional y exponente racional y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implicandescomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. Argumenta susestrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.


Mapas de Progreso del Aprendizaje


Extraído de:• Mapas de progreso del aprendizaje.

Ministerio de Educación. 20 de enero 2008. www.mineduc.cl/biblio.

NIVEL DESCRIPCIÓN

NIVEL 4

Comprende que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza alestimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre lascuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y laspotencias de base racional y exponente entero y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelveproblemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecerrelaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultadosobtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

NIVEL 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa enforma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar,estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar.Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o númerosdecimales para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones con númerosdecimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversoscontextos que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de unprocedimiento, estrategia o conjetura planteada.

NIVEL 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular.Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de unobjeto, una colección de objetos o una unidad de medida y realiza comparaciones entre númerosdecimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales,comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones ycálculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples.Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos noestán necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado. Justifica laestrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a través de ejemplos.

NIVEL 1

Utiliza los números naturales hasta 1 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcularcantidades de objetos y magnitudes. Comprende que, en estos números, la posición de cada dígitodetermina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estasoperaciones y la relación entre ellas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar comoadiciones o sustracciones de dos números naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades.Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategiassimples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares, en que los datos están explícitos y cuya estrategia de solución está claramente sugerida en elenunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las TIC. En relación aellas, el ajuste curricular postula el fortalecer su presencia a través de laincorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto ejetransversal. En ese sentido, el Mapa de Progreso de las TIC es considerado almomento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que losalumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, porotro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.



El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones:

• Tecnología. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvanlas necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/inmediato/ próximo (no virtual).

• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales yevaluación de su pertinencia y calidad.

• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportescreativos propios.

• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.

Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles y para cada uno deellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnasserán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Algunos de estos niveles, pordimensión, son:

Nivel 513–14 años1º y 2º medio

Dimensión Tecnología

NIVELES VARIABLES INDICADORES


Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación y dispositivosperiféricos para desarrollar productosmultimediales simples (glosario).

• Transporta información con dispositivos auxiliares ytrabaja archivos en distintos programas.

• Utiliza programas como el MindManager paraorganizar información.

• Utiliza herramientas de productividad sin importarel tipo de programas.


Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación y dispositivosperiféricos para desarrollar productosmultimediales simples (glosario).

• Produce hipertextos. • Traspasa/ incorpora video o sonido a

presentaciones Powerpoint.• Incorpora movimiento en sus presentaciones.• Graba y edita videos.

Nivel 411–12 años7º y 8º básico

Utiliza diversos programas como procesadorde texto, planillas de cálculo y plantillas depresentación, para escribir, editar y ordenarinformación, exportando información de unprograma a otro y de algunos dispositivosperiféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto.• Utiliza cámara digital.• Crea presentaciones con incorporación de

movimiento en plantillas de Powerpoint.• Vincula información en las presentaciones.• Mezcla música con imágenes estáticas y en

movimiento en sus presentaciones.• Utiliza el corrector ortográfico.

Dimensión Comunicación



Participa en comunidades virtualesdesarrollando intereses particulares.

• Participa activamente en redes de interés, conocediariamente lo que sucede en ellas.

Publica información propia en plataformasvirtuales, como blogs, y retroalimenta a otros.

• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog o página web).

• Inicia debates virtuales.


Participa en espacios interactivos de sitios web,de debate e intercambio de información yproduce documentos en forma colectiva.

• Utiliza el control de cambios.• Participa en foros de curso.



Mapas de Progreso del Aprendizaje

Recupera, guarda y organiza información endistintos formatos, extraída de sitios webrecomendados por el profesor, y navegalibremente en Internet. Identifica y utiliza loscriterios básicos de evaluación de lainformación: la actualidad, autoría ypertinencia.

• Utiliza diversos buscadores electrónicos.• Guarda URL que le interesan.• Busca música y videos en sitios especializados.• Busca elementos que le permiten analizar la validez

de la información (autor, fecha y fuente).• Busca fuentes de información en catálogos de autor,

materia o título.• Identifica en los datos de la URL la relevancia e

interés del sitio (extensiones).• Identifica fuentes primarias y secundarias.• Diferencia hechos de opiniones.

Dimensión Ética



Respeta las nomas éticas en su participaciónen espacios virtuales. Reconoce y valora latransparencia y democratización de lainformación de la red y hace extensivos losaccesos a su comunidad.

• Guarda adecuadamente información confidencial.• Comparte información con su entorno.• Participa en actividades de difusión de las

oportunidades de la red en su comunidad.


Conoce la regulación legal de utilización delespacio virtual y las normas de seguridad dela red (claves, pirateo y hackeo) y aplicacriterios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias legales de interferir en la comunicación on-line.

• Identifica en el contenido de las páginas mensajesdiscriminatorios o ilegales.

• Emplea buenas maneras al usar correo electrónico(Netiquette).


Cita las fuentes desde donde ha extraídoinformación y utiliza convenciones bibliotec-nológicas básicas para registrarlas (bibliografíao linkografía). Discrimina y se protege de lainformación y ofertas de servicios quepueden ser perjudiciales para él/ella.

• No abre correos desconocidos.• Borra los spam.• Cita correctamente las fuentes virtuales de

información (implica conocer nociones depropiedad intelectual, derechos de autor y plagio).

Dimensión Información



Utiliza bases de datos para requerimientosespecíficos de información en buscadoresespecializados.

• Localiza y recupera información de fuentesmundiales como UN u otro organismotransnacional.

• Busca datos directamente en fuentes primarias de información.


Recupera información de Internet en formaautónoma utilizando buscadores especializadosy metabuscadores. Evalúa la informaciónutilizando los criterios específicos de la calidadde la información electrónica.

• Utiliza operadores boleanos para buscarinformación.

• Evalúa con diversos criterios la calidad de unapágina web.

• Sabe utilizar un tesauro.• Realiza búsquedas en metabuscadores.




HABILIDADES DEL PENSAMIENTO

El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de granimportancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad deformar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbitomatemático de forma autónoma y eficaz. De esta manera, las actividades a desarrollarpor los alumnos y alumnas de Segundo Año Medio, propuestas en el Texto para elEstudiante y en la Guía Didáctica para el profesor, buscan promover el desarrollo deestas habilidades mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición.

Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados hanjugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “EstudioInternacional de Tendencias en Matemática y Ciencias 2003” (TIMSS), proyecto dela Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así,las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar losalumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de estamanifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.

A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en estapropuesta. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primerashabilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde elconocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de esteconocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad nodebe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, puesesta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

RecordarRecordar definiciones, vocabulario, unidades, hechos numéricos, propiedades de los números,propiedades de las figuras planas y convenciones matemáticas.

Reconocer/

Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partesde figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes;expresiones algebraicas simplificadas y figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para +, –, •, : o una combinación de estas operaciones;conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluarexpresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir unacantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresionesalgebraicas y numéricas y reunir términos semejantes.

Usar herramientasUsar las matemáticas y los instrumentos de medición, leer escalas y dibujar líneas, ángulos ofiguras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás paraconstruir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

ClasificarClasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes;tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase y ordenar números y objetossegún sus atributos.

RepresentarRepresentar números mediante modelos; representar información matemática de datos endiagramas, tablas, cuadros y gráficos, y generar representaciones equivalentes de una entidad orelación matemática dada.

Formular Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.



Habilidades del pensamiento

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.

DistinguirDistinguir preguntas que se pueden plantear con información dada –por ejemplo un conjuntode datos– de aquellas que no se pueden plantear así.

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que hayaun algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabríaesperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas ounidades apropiadas.

RepresentarGenerar una representación apropiada, por ejemplo, una ecuación o un diagrama, pararesolver un problema común.

InterpretarInterpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutarun conjunto de instrucciones matemáticas.

AplicarAplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemasmatemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares alos que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobarVerificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que esla solución de un problema.

Formular hipótesis,

conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinarconjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad,transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas,analizar datos estadísticos univariantes, descomponer figuras geométricas para simplificar laresolución de un problema, dibujar la red de un sólido dado poco conocido y hacer inferenciasválidas a partir de información dada.

EvaluarDiscutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución deproblemas, método, demostración, etc.

GeneralizarExtender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y laresolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales ymás aplicables.

ConectarConectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes, hacer conexiones entrediferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas y vincular ideas uobjetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrarCombinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados y combinarresultados para llegar a un resultado ulterior.

Resolver problemasResolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que esmuy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicarprocedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

JustificarProporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediantereferencia a propiedades o resultados matemáticos y desarrollar argumentos matemáticospara demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.



EVALUACIÓN EN MATEMÁTICA

La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como unproceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionalessobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado.

En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluacióny calificación.

Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles deestructuración. Puede ser un proceso de clasificación o de generación de categoríasa partir de la observación o la comparación de comportamientos observables concategorías o escalas conocidas.Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la quepertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultadosde la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el ola estudiante y el estándar o criterio seleccionado.Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica unaposición en una escala dada) el resultado de ese juicio.

El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje,ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómose está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educandoantecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y quéaspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajesde los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o eldocente crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, através de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos.

Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía laaplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación diagnóstica. Se integran al inicio de cada unidad, para identificar losconocimientos previos con los cuales el y la estudiante se enfrentará a los nuevosaprendizajes y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro deaprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la unidad y dado su carácter procesual,permitirá al y la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar atiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada unidad en lasección MI PROGRESO. Con estas instancias, se busca monitorear el proceso deaprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.

• Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la unidad y entrega informaciónacerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados, dandola posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles.Además, al finalizar cada unidad de esta Guía, se presenta una evaluación sumativaen la sección EVALUACIÓN FINAL (Material fotocopiable), que evalúa loscontenidos trabajados a lo largo de toda la unidad.

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes buscadeterminar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolverproblemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento



Evaluación en Matemática

Conceptos y terminología

3 puntos.Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático yuna notación y una terminología adecuadas.

2 puntos.Comete algunos errores en la terminología empleada y muestraalgunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

1 punto.Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíosconceptuales profundos.

0 punto. No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.

empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y laactitud presentada frente al problema a resolver, además, permite conocer el estadodel pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde ycómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en lacual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental.

El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadasentre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denominaestructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendoconceptos de orden superior.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución detareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En élse distinguen tres niveles:

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezasaritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.

• Razonamiento en matemática: conjunto de enunciaciones y procesos asociadosque se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos opremisas y unas reglas de inferencia.

• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de unaestructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos quepermitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, sepresentan algunos instrumentos que puede utilizar con sus alumnos y alumnas.

Evaluación de mapas conceptuales

Los mapas conceptuales son un medio para visualizar conceptos y relacionesjerárquicas entre conceptos. Tienen por objeto "representar relaciones significativasentre conceptos en forma de proposiciones", es decir, dos o más términosconceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman unaunidad con un significado.

Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo de los y las estudiantes con los mapasconceptuales, Bartels propone tres categorías y para cada una establece cuatro criteriosde desempeño a los cuales le asigna un puntaje que se muestra a continuación:



Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

3 puntos.

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendoejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexionesadecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dandocomo resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

2 puntos.Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuadaestableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dandocomo resultado un mapa fácil de interpretar.

1 punto.Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada yusa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando comoresultado un mapa difícil de interpretar.

0 punto. Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

3 puntos.Identifica todos los conceptos importantes y demuestra unconocimiento de las relaciones entre estos.

2 puntos.Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexioneserradas.

1 punto. Realiza muchas conexiones erradas.

0 puntos. Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.

Evaluación de proyectos realizados por estudiantes

Considerar como punto de partida los intereses o motivaciones personales almomento de plantear estrategias que permitan alcanzar logros en el aprendizaje,permite plantear el conocimiento como un desafío más atractivo y eficaz para los ylas estudiantes.

La realización de proyectos estimula a los y las estudiantes a plantearse un desafío,ya que surge a partir de sus propios intereses o necesidades, por lo cual elaprendizaje del tema investigado se hace más significativo.

La pauta siguiente establece tres áreas de observación respecto del trabajo de los y lasestudiantes, en donde es importante observar y orientar su desempeño, a saber: laformulación del proyecto, el desarrollo del proceso de investigación y, por último, lapresentación de los resultados.




PROYECTO:

INTEGRANTES:

FORMULACIÓN BIEN MALNECESITAMEJORAR

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros paraorientar su investigación.

Plantea en forma clara el problema a investigar.

Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

DESARROLLO

Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Discute con otros compañeros acerca de los avances de su investigación.

Presenta avances parciales de su trabajo.

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase parapresentar los resultados de su investigación.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto.

Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo.

Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada.

Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm



Evaluación de la comunicación de procedimientos

En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, es indispensable lacomunicación de los procedimientos realizados por los y las estudiantes en laresolución de problemas.

La comunicación en Matemática es fundamental, ya que obliga a detenerse sobre elpropio pensamiento para precisarlo, justificarlo y clarificarlo. Informar sobre lorealizado implica la reconstrucción de la acción realizada.

Para potenciar este proceso metacognitivo, en el cual sus alumnos y alumnas debenexplicitar el razonamiento aplicado, se sugiere aplicar una pauta como la que sepresenta a continuación, la cual permite evaluar la exposición oral de los resultadosobtenidos en la resolución de un problema matemático.

PROBLEMA:

INTEGRANTES:

LOGRADO MEDIANAMENTELOGRADO

POR LOGRAR

Explica el problema.

Identifica y explica la pregunta del problema.

Explica claramente los procedimientos realizados en laresolución.

Presenta más de una solución (en caso de que sea posible).

Pregunta por otras soluciones a la clase.

Extiende el problema mediante la presentación a la clase de unproblema nuevo derivado del presentado.

Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta laúnica manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?,¿qué pasa si...?

Responde las preguntas realizadas por la clase.

Se expresa en forma audible y clara.

Escucha las ideas de otras personas.

Fuente: adaptación de documento extraído de www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm




Fuentes consultadas:

• Evaluación del aprendizaje matemático. Alternativas para innovar. En: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/alternativas.htm

• Barrón Rodríguez, H. La evaluación de las matemáticas en el aula, México. material de apoyo, Dirección General de Educación

Secundaria Técnica, SEP, 2003

• Oteíza, F.; Montero, P.; Rencoret, M. La matemática en el aula: contexto y evaluación. Santiago, Chile. Ministerio de Educación,

Programa MECE media, 1997.

Técnicas de observación

Consisten en evaluar aspectos que difícilmente se evaluarían con otras técnicas oinstrumentos, como, por ejemplo, los aspectos afectivo y psicomotor. Losinstrumentos utilizados para estos casos son:

• Lista de control: este tipo de instrumento requiere de la delimitación de lascategorías de la conducta a observar.

• Participación: se utiliza la lista de participación para registrar la frecuencia con quelos alumnos y alumnas aportan verbalmente ideas relacionadas con el tema dela clase.

• Escala de evaluación: consiste en una serie de frases precedidas por unagradación donde el profesor o profesora indica, según su apreciación, el nivel enque se encuentran sus estudiantes en relación al estado ideal de una característicaespecífica. Las escalas de evaluación pueden ser: escalas numéricas, escalas gráficaso escalas comparativas.

Para evaluar a sus alumnos y alumnas a través de la observación, usted puedeelaborar una escala gráfica como la que se presenta a continuación.

CONOCIMIENTO Y HABILIDADES, PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS,DESTREZAS Y ACTITUDES.

SÍ NO

Intenta comprender de qué trata un problema.

Relaciona los datos en la solución de un problema.

Utiliza más de una estrategia en la solución de problemas.

Verifica la solución.

Maneja la calculadora.

Maneja instrumentos de medición.

Se observa motivado frente a la resolución de problemas.

Trabaja en colaboración con otros.

Es perseverante.



RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nosenfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la maneramás óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, lacreatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver unproblema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevassituaciones que impliquen un desafío.

Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en laque el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedanexplorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/ogenerar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprenderprocedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante,interactuando con desafíos especialmente diseñados en un ambiente cooperativo yestimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estassituaciones pueden ser:

• Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto ogenerar procedimientos para buscar y reconocer una solución.

• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto deaprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule.

• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información queinvolucre el uso de modelos matemáticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de razonamiento matemático y resolución deproblemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cincocomponentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes ymetacognición.

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario pararesolver problemas matemáticos.

• Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes seancapaces de desarrollar en cada contenido.

• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resoluciónde problemas matemáticos.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática.• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento

propio durante la resolución de problemas.



Razonamiento matemático

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema en un plan queconsiste en cuatro pasos:

1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponiblesdentro del contexto del problema.

¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la preguntadel problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?,¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿haydatos que no son necesarios para resolver el problema?

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lodesconocido.

¿Qué puedes hacer con los datos que tienes para responder correctamentela pregunta?

3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado.

Implementa la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso.Al desarrollar tu plan, verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro de quecada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?

4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida.

¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedesobtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes "ver" la respuesta deuna sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolverotro problema?

Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades através de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasosdescritos. En la sección CÓMO RESOLVERLO (del Texto para el Estudiante), seplantean problemas en diversos contextos, con el objetivo de que seanrecepcionados por los alumnos y alumnas como un desafío y los estimule a utilizartodos los recursos de los cuales disponga. Además, se determina una estructuraclara de los pasos a seguir para resolverlos.



VERIFICACIÓNDERESULTADOSY/OPROGRESOS

• No revisa cálculos niprocedimientos.

• No reconoce si surespuesta es o norazonable.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen

dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados.• Reconoce sin razones.

NO COMPRENDE EN PROCESO, LOGRO PARCIAL LOGRO, APLICACIÓN

COMPRENSIÓN

DEL PROBLEMA

O DE LA

SITUACIÓN

• No intenta entenderel problema.

• Entiende malel problema.

• Como rutina pideexplicaciones.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que malinterprete parte

del problema.• Puede que tenga alguna idea acerca

del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras ointerpretar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.• Elimina la información innecesaria.• Tiene una idea acerca de la respuesta.

COMPRENSIÓNDECONCEPTOS

• No modela losconceptos rutinarioscorrectamente.

• No puede explicarel concepto.

• No intenta resolverel problema.

• No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcialo satisfactorio.

• Puede encontrar y explicar usandouna variedad de modos.

• Está listo para hacer conexionesacerca de cómo y por qué.

• Relaciona el concepto conconocimientos y experiencias anteriores.

• Puede crear problemas relacionados.• Realiza las tareas cada vez con

menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmoscuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a problemas o

situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

MEDICIÓN(LONGITUD,MASA YCAPACIDAD)

• Hace comparacionesdirectas entre objetos.

• No puede ordenarobjetos de acuerdo asu medida.

• No distingue diferenciasentre distintas unidadesde medida.

• Puede ordenar y comparar usandounidades no estándares.

• Puede estimar y medir usandounidades no estándares.

• Puede resolver algunos problemasrelacionados con medida.

• Puede estimar y medir usando unidadesestándares.

• Puede utilizar incrementos fraccionariospara medir.

• Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas pocorealistas.

• No usa estrategias pararefinar la estimación.

• No puede modelar oexplicar la estrategiaespecificada.

• No puede aplicarestrategias unidas aexplicaciones.

• Refina conjeturas o estimacionesmediante particiones/comparaciones.

• Demuestra poseer estrategias, otras le faltan.

• No puede modelar o explicar laestrategia cuando le preguntan.

• Refina conjeturas o estimacionesmediante particiones y comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar unaestrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias.• Usa estimación cuando es apropiado.

continúa en la sgte. pág.

Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla que especificalos indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas.



Resolución de problemas

NO COMPRENDEEN PROCESO,

LOGRO PARCIALLOGRO, APLICACIÓN

RECOLECCIÓN YORGANIZACIÓN DE DATOS

• No hace planteamientos.• No puede proceder sin

instrucciones ni asistencia.• Comete graves errores al

recolectar o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegardatos, dada una forma deregistrarlos.

• Tiene errores menores alrecolectar y desplegar datos.

• Puede corregir errores enmomentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar enforma organizada.

• Clasifica en forma exacta yapropiada.

INTERPRETACIÓN Y SÍNTESIS DERESULTADOS

• No hace planteamientos pararesumir y describir datos.

• Puede responder preguntassimples relacionadas con losdatos, si es requerido.

• No puede comunicar resultadosen forma rudimentaria.

• Resume y describe datosapropiadamente.

• Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos.

• Puede comunicar resultados enforma rudimentaria.

• Expresa conclusiones einterpretaciones válidas.

• Hace generalizaciones.• Comunica resultados en forma

clara y lógica.

APLICACIÓN DECONCEPTOS,PROCEDIMIENTOS Y ESTRATEGIAS

• No intenta.• Se apoya en otros para

seleccionar y aplicar estrategias.• Su trabajo no es comprensible.• No puede explicar su trabajo o

estrategia adecuadamente.• Selecciona estrategias

inadecuadas.• Su implementación no es lógica

ni ordenada.

• Usa estrategia si se lo piden.• Reconoce estrategias.• Puede explicar estrategias.• Usa un limitado número de

estrategias.• Puede seleccionar una

estrategia, pero puede necesitarayuda en su implementación.

• Puede presentar su trabajo enuna forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos.• Extiende o modifica la estrategia.• Conoce o usa diversas

estrategias.• Usa estrategias en forma flexible.• Reconoce cuando una

estrategia es aplicable.• Presenta su trabajo en forma

lógica y coherente.

DISPOSICIÓN (VALORES YACTITUDES)

• Demuestra ansiedad o disgusto.• Se retira o es pasivo durante

la clase.• Cede fácilmente y se frustra

en la clase.• Necesita un apoyo frecuente,

atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea.• Participa activamente en las

actividades de aprendizaje.• Esta dispuesto a intentar

nuevos métodos.• Responde si le preguntan, pero

puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo.

• Es persistente cuando intentavarios enfoques.

• No se da por vencido.• Es curioso, muestra flexibilidad.• Hace muchas preguntas.

GENERALIZACIÓN YCONEXIONES

• No intenta hacer conexiones.• No puede extender ideas en

nuevas aplicaciones.• Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas oaplicaciones similares.

• Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones.• Puede crear problemas paralelos

variando las condiciones delproblema original.

• Puede aplicar ideas en nuevasaplicaciones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Fuentes consultadas:

• Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas.Alambra Longmam. Madrid. 1991.

• Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”. En:

Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid, 1996.

• www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html



RELACIÓN ENTRE LOS CMO DE EDUCACIÓN MEDIA, EJE NÚMEROS, SEGÚN AJUSTE CURRICULARC

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pro

cedi

mien

tos d

e cá

lculo

escr

ito y

con

ayu

da d

e he

rram

ienta

s tec

noló

gicas

de a

dicio

nes,

sustr

accio

nes,

mult

iplic

ació

n y

divis

ione

s con

núm

eros

racio

nales

y su

apl

icació

nen

la re

solu

ción

de p

robl

emas

.

Reso

lució

n de

pro

blem

as e

n co

ntex

tos d

ivers

osqu

e in

volu

cran

núm

eros

racio

nales

o p

oten

cias

de b

ase

racio

nal y

exp

onen

te e

nter

o, e

nfat

izand

oel

análi

sis c

rítico

de

los p

roce

dimien

tos d

ere

soluc

ión

y de

los r

esult

ados

obt

enido

s.

Apro

ximac

ión

de ra

ciona

les a

trav

és d

ere

dond

eo y

trun

cam

iento

y re

cono

cimien

to d

elas

lim

itacio

nes d

e la

calcu

lador

a pa

ra a

prox

imar

decim

ales.

Tran

sform

ació

n de

núm

eros

dec

imale

s inf

inito

spe

riódi

cos y

sem

iper

iódi

cos a

frac

ción.

Inte

rpre

tació

n y

cálcu

lo d

e po

tenc

ias

de b

ase

racio

nal y

exp

onen

te e

nter

o.D

eter

mina

ción

y ap

licac

ión

de p

ropi

edad

es.

Car

acte

rizac

ión

de lo

s núm

eros

irra

ciona

les y

núm

eros

reale

s, re

cono

cimien

to d

e pr

opied

ades

de lo

s núm

eros

y d

e las

ope

racio

nes y

su u

sopa

ra re

solve

r dive

rsos

pro

blem

as.

Ubi

cació

n de

algu

nas r

aíces

en

la re

cta

num

érica

, exp

lora

ción

de si

tuac

ione

sge

omét

ricas

en

que

ellas

está

n pr

esen

tes y

análi

sis d

e la

dem

ostra

ción

de la

irra

ciona

lidad

de a

lguna

s raíc

es c

uadr

adas

.

Apro

ximac

ión

del v

alor d

e un

núm

ero

irrac

iona

lpo

r def

ecto

, por

exc

eso

y po

r red

onde

o.

Inter

pret

ació

n y

cálcu

lo d

e la

raíz

enés

ima

de u

nnú

mer

o re

al, e

stable

cimien

to d

e su

s pro

pied

ades

y su

relac

ión

con

las p

oten

cias d

e ex

pone

nte

racio

nal.

Inte

rpre

tació

n y

cálcu

lo d

e lo

garit

mos

, es

tabl

ecim

iento

de

sus p

ropi

edad

es y

su

relac

ión

con

las p

oten

cias y

raíce

s.

1º M

EDIO

2º M

EDIO

Car

acte

rizac

ión

de lo

s núm

eros

com

plejo

s y d

elo

s tip

os d

e pr

oblem

as q

ue p

erm

iten

reso

lver.

Iden

tifica

ción

de la

uni

dad

imag

inar

ia co

mo

solu

ción

de la

ecu

ació

n x2

+ 1

= 0

y su

utiliz

ació

n pa

ra e

xpre

sarr

aíces

de

índi

ce p

ar

de n

úmer

os re

ales n

egat

ivos.

Form

ulació

n de

conje

tura

s y d

emos

tració

nde

prop

iedad

es re

lativa

s a lo

s núm

eros

com

plejo

sen

situ

acio

nes s

impl

es ta

les c

omo:

el p

rodu

cto

de u

n nú

mer

o co

mpl

ejo c

on su

con

juga

do e

sun

núm

ero

real;

la a

dició

n, su

strac

ción,

mul

tiplic

ació

n, di

visió

n y

eleva

ción

a po

tenc

ia de

núm

eros

com

plejo

s es u

n nú

mer

o co

mpl

ejo.

Exte

nsió

n de

las n

ocio

nes d

e ad

ición

,su

strac

ción,

mul

tiplic

ació

n, di

visió

n, po

tenc

ia a

los n

úmer

os c

ompl

ejos y

esta

blec

imien

to d

epr

oced

imien

tos d

e cá

lculo

de

esta

s ope

racio

nes.

3º M

EDIO



Relación entre los CMO

de Educación Media

RELACIÓN ENTRE LOS CMO DE EDUCACIÓN MEDIA, EJE ÁLGEBRA, SEGÚN AJUSTE CURRICULAREs

tabl

ecim

iento

de

relac

ione

s ent

re e

xpre

sione

salg

ebra

icas n

o fra

ccio

naria

s med

iante

elim

inac

ión

de p

arén

tesis

, red

ucció

n de

térm

inos

sem

ejant

es, p

rodu

ctos

, pro

duct

os n

otab

les y

facto

rizac

ión.

Reso

lució

n de

ecu

acio

nes d

e pr

imer

gra

do

con

una

incó

gnita

y c

oefic

iente

s lite

rales

y su

aplic

ació

n en

la in

terp

reta

ción

y tra

nsfo

rmac

ión

de fó

rmul

as.

Análi

sis d

e las

dist

inta

s rep

rese

ntac

ione

s de

lafu

nció

n lin

eal, s

u ap

licac

ión

en la

reso

lució

n de

dive

rsas

situ

acio

nes p

robl

ema

y su

relac

ión

con

la pr

opor

ciona

lidad

dire

cta.

Uso

de

un so

ftware

gráfi

co e

n la

inte

rpre

tació

nde

la fu

nció

n afí

n, an

álisis

de

las si

tuac

ione

s que

mod

ela y

estu

dio d

e las

var

iacio

nes g

ráfic

as q

ue se

prod

ucen

por

la m

odific

ació

n de

sus p

arám

etro

s.

1º M

EDIO

Reso

lució

n de

situ

acio

nes e

n las

que

sea

nece

sario

sim

plific

ar, s

umar

, res

tar,

mul

tiplic

ar

y di

vidir

fracc

ione

s alge

braic

as si

mpl

es, c

onbi

nom

ios t

anto

en

el nu

mer

ador

com

o en

el

deno

min

ador

.

Plan

teo

y re

solu

ción

de si

stem

as d

e ec

uacio

nes

linea

les c

on d

os in

cógn

itas,

y re

pres

enta

ción

yan

álisis

de

las so

lucio

nes e

n el

plan

o ca

rtesia

nous

ando

un softw

are

gráfi

co.

Reso

lució

n de

pro

blem

as a

socia

dos a

siste

mas

de e

cuac

ione

s lin

eales

con

dos

incó

gnita

s en

cont

exto

s var

iados

. Disc

usió

n de

la e

xiste

ncia

y la

perti

nenc

ia de

las s

oluc

ione

s.

2º M

EDIO

Reso

lució

n de

ecu

acio

nes d

e se

gund

o gr

ado

con

una

incó

gnita

por

com

plet

ació

n de

cuad

rado

s, po

r fac

toriz

ació

n o

por i

nspe

cció

n,co

n ra

íces r

eales

o c

ompl

ejas.

Inte

rpre

tació

n de

las so

lucio

nes y

det

erm

inac

ión

de su

per

tene

ncia

al co

njun

to d

e lo

s núm

eros

reale

s o c

ompl

ejos.

Ded

ucció

n de

la fó

rmul

a de

la e

cuac

ión

gene

ral

de se

gund

o gr

ado

y di

scus

ión

de su

s raíc

es y

sure

lació

n co

n la

func

ión

cuad

rátic

a.

Repr

esen

tació

n y

análi

sis g

ráfic

o de

la fu

nció

nf(x

) = a

x2+

bx+

c, pa

ra d

istin

tos v

alore

s de

a,b

y c.

Disc

usió

n de

las c

ondi

cione

s que

deb

ecu

mpl

ir la

func

ión

cuad

rátic

a pa

ra q

ue la

cur

vain

ters

eque

el e

je x

(cer

os d

e la

func

ión)

. Uso

de

softw

are

para

el a

nális

is de

las v

ariac

ione

s de

lagr

áfica

de

la fu

nció

n cu

adrá

tica

a pa

rtir d

e la

mod

ificac

ión

de su

s par

ámet

ros.

Mod

elam

iento

de

situa

cione

s o fe

nóm

enos

asoc

iados

a fu

ncio

nes c

uadr

ática

s.

Reso

lució

n de

pro

blem

as a

socia

dos a

ecu

acio

nes

de se

gund

o gr

ado

con

una

incó

gnita

. Aná

lisis

dela

exist

encia

y p

ertin

encia

de

las so

lucio

nes d

eac

uerd

o co

n el

cont

exto

en

que

se p

lante

a el

prob

lema.

3º M

EDIO



RELACIÓN ENTRE LOS CMO DE EDUCACIÓN MEDIA, EJE GEOMETRÍA, SEGÚN AJUSTE CURRICULARId

entif

icació

n de

l plan

o ca

rtesia

no y

su u

sopa

ra re

pres

enta

r pun

tos y

figu

ras g

eom

étric

as.

Cons

trucc

ión

de fi

gura

s geo

mét

ricas

en

el pla

noca

rtesia

no p

or tr

aslac

ión,

refle

xión

y ro

tació

n en

ángu

los d

e 90

º y 1

80º.

Relac

ión

del c

once

pto

de c

ongr

uenc

ia co

n las

trans

form

acio

nes i

som

étric

as y

util

izació

n de

los c

riter

ios d

e co

ngru

encia

de

trián

gulo

s par

are

aliza

r con

struc

cione

s geo

mét

ricas

, res

olve

rpr

oblem

as y

dem

ostra

r pro

pied

ades

en

políg

onos

.

Not

ació

n y

repr

esen

tació

n gr

áfica

de

vect

ores

en p

lano

carte

siano

y su

apl

icació

n pa

rade

scrib

ir tra

slacio

nes d

e fig

uras

geo

mét

ricas

en

el p

lano

carte

siano

.

Aplic

ació

n de

la su

ma

de v

ecto

res p

ara

desc

ribir

com

posic

ione

s de

trasla

cione

s en

elpl

ano

carte

siano

.1º M

EDIO

Car

acte

rizac

ión

del c

once

pto

de se

meja

nza

defig

uras

y su

reco

nocim

iento

de

form

asse

meja

ntes

pre

sent

es e

n el

ento

rno.

Iden

tifica

ción

y ut

ilizac

ión

de c

riter

ios d

ese

meja

nza

de tr

iángu

los p

ara

el an

álisis

de

lase

meja

nza

en d

ifere

ntes

figu

ras p

lanas

y la

dedu

cció

n de

los t

eore

mas

de

Eucli

des r

elativ

os

a la

prop

orcio

nalid

ad d

e tra

zos e

n el

trián

gulo

rect

ángu

lo.

Aplic

ació

n de

l teo

rem

a de

Tha

les so

bre

trazo

spr

opor

ciona

les. D

ivisió

n in

terio

r de

un tr

azo

enun

a ra

zón

dada

y u

so d

e un

pro

cesa

dor

geom

étric

o pa

ra v

erific

ar re

lacio

nes.

Aplic

ació

n de

la n

oció

n de

sem

ejanz

a a

lade

mos

tració

n de

relac

ione

s ent

re se

gmen

tos e

ncu

erda

s y se

cant

es e

n un

a cir

cunf

eren

cia.

Iden

tifica

ción

de á

ngul

os d

el ce

ntro

y á

ngul

osin

scrit

os e

n un

a cir

cunf

eren

cia, f

orm

ulac

ión

yve

rifica

ción

de c

onjet

uras

que

relac

iona

n la

med

ida

del á

ngul

o de

l cen

tro c

on la

del

corre

spon

dien

te á

ngul

o in

scrit

o.

Des

crip

ción

de la

hom

otec

ia de

figu

ras p

lanas

med

iante

el p

rodu

cto

de u

n ve

ctor

y u

n es

calar

.U

so d

e un

pro

cesa

dor g

eom

étric

o pa

ravis

ualiz

ar e

n fo

rma

diná

mica

las r

elacio

nes q

uese

pro

duce

n al

desp

lazar

figu

ras h

omot

ética

s en

el p

lano.

2º M

EDIO

Det

erm

inac

ión

de la

dist

ancia

ent

re

dos p

unto

s en

el pl

ano

carte

siano

y su

aplic

ació

n al

cálcu

lo d

e m

agni

tude

s lin

eales

en

figur

as p

lanas

.

Det

erm

inac

ión

de la

ecu

ació

n de

la re

cta

que

pasa

por

dos

pun

tos.

Inte

rpre

tació

n y

dete

rmin

ació

n de

la p

endi

ente

y de

l int

erce

pto

de u

na re

cta

con

el eje

de

lasor

dena

das y

la re

lació

n de

esto

s valo

res c

on la

sdi

stint

as fo

rmas

de

la ec

uació

n de

la re

cta.

Análi

sis d

e las

solu

cione

s de

siste

mas

de

dos

ecua

cione

s con

dos

var

iables

y su

inte

rpre

tació

na

parti

r de

las p

osici

ones

relat

ivas d

e re

ctas

en

el pl

ano:

con

dicio

nes a

nalít

icas d

el pa

ralel

ismo,

coin

ciden

cia y

de

la in

ters

ecció

n en

tre re

ctas

.

3º M

EDIO



Relación entre los CMO

de Educación Media

RELACIÓN ENTRE LOS CMO DE EDUCACIÓN MEDIA, EJE DATOS Y AZAR, SEGÚN AJUSTE CURRICULARO

bten

ción

de in

form

ació

n a

parti

r de

dato

spr

esen

tado

s en

histo

gram

as, p

olígo

nos d

efre

cuen

cia y

de

frecu

encia

s acu

mul

adas

.

Org

aniza

ción

y re

pres

enta

ción

de d

atos

,ex

traído

s de

diver

sas f

uent

es, u

sand

o his

togr

amas

,po

lígon

os d

e fre

cuen

cia y

de

frecu

encia

sac

umul

adas

, con

strui

dos m

anua

lmen

te y

con

he

rram

ienta

s tec

noló

gicas

.

Obt

enció

n de

info

rmac

ión

por m

edio

de

lalec

tura

de

med

idas

de

tend

encia

cen

tral y

posic

ión

a pa

rtir d

e co

njunt

os d

e da

tos o

bten

idos

desd

e div

ersa

s fue

ntes

.

Car

acte

rizac

ión

de u

n co

njun

to d

e da

tos

agru

pado

s en

inte

rvalo

s, m

edian

te e

l cálc

ulo

dem

edid

as d

e te

nden

cia c

entra

l (m

edia,

mod

a y

med

iana)

y m

edid

as d

e po

sició

n (p

erce

ntile

s ycu

artil

es),

en d

ivers

os c

onte

xtos

y si

tuac

ione

s.

Justi

ficac

ión

de la

repr

esen

tativ

idad

de

una

mue

stra

a pa

rtir d

e la

pobl

ació

n es

tudi

ada

y la

man

era

en q

ue d

icha

mue

stra

ha si

do e

scog

ida.

Explo

ració

n de

la L

ey d

e lo

s Gra

ndes

Núm

eros

apa

rtir d

e la

repe

tició

n de

exp

erim

ento

s alea

torio

s,co

n ap

oyo

de h

erra

mien

tas t

ecno

lógic

as y

suap

licac

ión

a la

asign

ació

n de

pro

babil

idade

s.

Reso

lució

n de

pro

blem

as e

n co

ntex

tos d

ein

certe

za, a

plica

ndo

el cá

lculo

de

prob

abilid

ades

med

iante

el m

odelo

de

Lapl

ace

o las

frec

uenc

iasre

lativa

s, de

pend

iendo

de

las c

ondi

cione

s del

prob

lema.

1º M

EDIO

Det

erm

inac

ión

del r

ango

, var

ianza

y d

esvia

ción

está

ndar

, apl

icand

o cr

iterio

s ref

erid

os a

l tip

o de

dato

s que

se e

stán

utiliz

ando

, en

form

a m

anua

ly

med

iante

el u

so d

e he

rram

ienta

s tec

noló

gicas

.

Com

para

ción

de la

s car

acte

rístic

as d

e do

s o m

ásco

njun

tos d

e da

tos h

acien

do u

so d

e in

dica

dore

sde

tend

encia

cen

tral, p

osici

ón y

disp

ersió

n.

Empl

eo d

e ele

men

tos b

ásico

s del

mue

streo

aleat

orio

sim

ple,

en d

ivers

os e

xper

imen

tos,

para

infe

rir c

arac

terís

ticas

de

una

pobl

ació

n fin

ita a

parti

r de

mue

stras

ext

raíd

as.

Uso

de

técn

icas c

ombi

nato

rias p

ara

obte

ner e

lnú

mer

o de

elem

ento

s de

un e

spac

io m

uestr

alen

cas

os fi

nito

s.

Reso

lució

n de

pro

blem

as d

e cá

lculo

de

prob

abilid

ades

apl

icand

o las

técn

icas d

el cá

lculo

com

bina

torio

, diag

ram

as d

e ár

bol y

pro

pied

ades

de la

sum

a y

prod

ucto

de

prob

abilid

ades

.

2º M

EDIO

Hac

er u

so d

e sim

ulac

ione

s digi

tales

par

a ve

rifica

rla

conv

erge

ncia

entre

la d

istrib

ució

n te

órica

de

una

varia

ble

aleat

oria

y la

corre

spon

dien

tegr

áfica

de

frecu

encia

s en

expe

rimen

tos

aleat

orio

s disc

reto

s.

Aplic

ació

n de

l con

cept

o de

esp

eran

za d

e un

ava

riabl

e ale

ator

ia en

dive

rsas

situ

acio

nes,

inte

rpre

tació

n gr

áfica

y c

onex

ión

natu

ral c

on

la m

edia

aritm

ética

ant

erio

rmen

te e

studi

ada.

Uso

del

mod

elo b

inom

ial p

ara

desc

ribir

situa

cione

s o e

xper

imen

tos,

cuyo

s res

ulta

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os.

3º M

EDIO



Organización interna del Texto

ESTRUCTURA DEL TEXTO

El Texto Matemática 2º Medio se organiza en 6 Unidades, con los siguientes títulos:

Texto Matemática 2º Medio

Unidad 1: Números y raícesUnidad 2: Expresiones algebraicas fraccionariasUnidad 3: Sistemas de ecuaciones linealesUnidad 4: SemejanzaUnidad 5: CircunferenciaUnidad 6: Datos y azar

ORGANIZACIÓN DEL TEXTO

Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre

En el Inicio se considera:

• Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los aprendizajes que seespera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la unidad y sepresentan actividades de motivación y activación de experiencias yconocimientos previos.

• ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitiránevaluar los contenidos que son prerrequisitos de la Unidad.

• ¿Qué debes recordar? Resumen de los principales conceptos que serviránde base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad.

En el Desarrollo se considera:

• Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración,activación del razonamiento espontáneo de los estudiantes, construcción yaplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos,demostraciones, etc. Incluye una sección que define, describe o formaliza losconceptos tratados.

En estas páginas, la información se complementa con las siguientes secciones:

– Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar concalculadora, planillas de cálculo, software o programas ocupacionales.

– Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán alalumno evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes.

– ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y lasactividades relacionadas con cada uno, de modo que el alumno y alumnapueda autoevaluarse.


Organización interna del Texto | 35

Organización del Texto

Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria:

– Recuerda que...: permite recordar contenidos o procedimientos aprendidosen años anteriores que sean necesarios para desarrollar las actividades aresolver.

– No olvides que...: permite enfatizar la revisión continua de sus procedimientos,análisis de la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respectodel contexto, etc.

– Glosario: permite incorporar vocabulario matemático.

Para la consolidación del aprendizaje, se presentan las siguientes secciones:

• Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, demanera que el y la estudiante aprenda distintas estrategias de resolución. En cadapágina, se plantea un problema resuelto paso a paso (comprender, relacionar,calcular, comprobar) y se presentan problemas en los que pueda aplicar loaprendido.

• En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la unidad en un contextode índole laboral, con variada información, de modo que parte de la dificultadpara el alumno y alumna sea discernir qué información le es útil para responderlas preguntas.

– Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajocolaborativo, basado en la temática de la sección anterior, perosolicitando investigación adicional de parte de los alumnos.

– Evaluemos nuestro trabajo: consiste en preguntas para realizar laautoevaluación y la coevaluación respecto del trabajo colaborativorealizado.

En el Cierre se considera:

• Síntesis de la Unidad: síntesis de los contenidos tratados en la unidad através de mapas conceptuales; incluye un listado de preguntas deverdadero o falso, enfocadas a contenidos conceptuales y problemas dedesarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados.

• Evaluación de la Unidad: sección de evaluación sumativa. Consiste en unlistado de preguntas de selección múltiple.



La Guía para el Profesor está organizada a partir de las siguientes secciones:

• Propósito de la unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo quese debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la unidad.

• Propuesta de planificación de la unidad: en una tabla se organizan los contenidosmínimos obligatorios, los contenidos de la unidad, aprendizajes esperados,recursos didácticos, tipos de evaluación y el tiempo estimado para el desarrollode la unidad.

• Esquema de la unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidostrabajados en la unidad.

• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlocon el trabajo de los contenidos de la unidad.

Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada unidad, sedistinguen:

Páginas de INICIO

• Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permitenorientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes conrespecto a los contenidos de la unidad.

• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan lasdel Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluaciónde las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto para elEstudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro quepresentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridos enaños anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítemy se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan encada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posiblesdificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnósticapresentada en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Páginas de DESARROLLO

• Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican lashabilidades que se trabajan en cada actividad.

Organización de la Guía Didáctica


Organización de la Guía Didáctica| 37

Organización de la Guía Didáctica

• Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicacionescon respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, usode recursos, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidadesen los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaracionesespecíficas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades,formalizaciones, etc.

• Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugerenciasy estrategias distintas a las presentadas en el Texto para el Estudiante, de manerade asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y estilosde aprendizaje.

• Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/oampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando.

• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener susestudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de lasactividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto para el Estudiante,a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los ylas estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, sepresentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en elque se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultadesque pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para podersubsanarlos o evitarlos.

• En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de estasección y actividades complementarias que potencian el establecimiento devínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

Páginas de CIERRE

• Síntesis: en esta sección, se entregan sugerencias para organizar y sintetizar loaprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar y clarificar las dudasque aún presenten sus estudiantes.

• Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la secciónEVALUACIÓN DE LA UNIDAD, permitiendo evaluar los logros alcanzados porsus alumnos y alumnas en la unidad.

• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posiblesdificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en elTexto para el Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

• Ejercicios resueltos: en esta sección, se plantean orientaciones para trabajar laresolución de problemas.

• Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicaciónde un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar a susestudiantes al finalizar la unidad. Además, se incluye una pauta que incorpora lashabilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.


Ecuacioneslogarítmicas

Propiedades

Concepto

38 | Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio

1Unidad

Númerosy raíces

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por losalumnos y alumnas en relación al estudio de los conjuntos numéricos. Los números irracionales seintroducen a través del concepto de números decimales infinitos no periódicos ni semiperiódicos. De aquí se deduce que no es posible escribir un número irracional como un cuociente entre dos racionales.Como parte de los números irracionales, son estudiadas las raíces enésimas y sus propiedades, parala resolución de operatoria con raíces y su relación con potencias de exponente fraccionario. Los ylas estudiantes aprenderán a estimar raíces cuadradas no exactas. Además, utilizando las propiedadesde las raíces, podrán calcular algunas cuando estas resulten ser números enteros. Por otro lado, losalumnos y alumnas trabajarán en esta unidad con las ecuaciones que contienen raíces, aprenderán aresolverlas e interpretar sus soluciones. También se estudiará el concepto de logaritmo, sus propiedadesy su relación con las potencias además de la resolución de ecuaciones logarítmicas y algunas de sus apli-caciones en la ciencia como son, por ejemplo, la medición del pH de una sustancia, la energía liberadadurante un sismo o el cálculo del nivel de intensidad sonora.

A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los ylas estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextosmatemáticos y cotidianos.

A continuación, se presenta esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Aplicaciones

Números irracionales Logaritmos

Aproximación

Números y raíces

Orden

Ubicación en larecta numérica

Raíces

Operaciones

PropiedadesPotencias

Ecuacionescon radicales

U1 PAG 38-67_UNIDAD 1 31-08-12 10:08 Página 38

Números y raíces | 39

Tiempo estimado: 15 a 20 horas

• Identificación de situaciones que

muestran la necesidad de ampliar los

números racionales a los números

reales, reconocimiento de algunas de

las propiedades de los números y de

las operaciones y su uso para resolver

diversos problemas.

• Aproximación del valor de un

número irracional por defecto, por

exceso y por redondeo.

• Ubicación de algunas raíces en la

recta numérica, exploración de

situaciones geométricas en que ellas

están presentes y análisis de la

demostración de la irracionalidad

de algunas raíces cuadradas.

• Análisis de la existencia de la raíz

enésima en el conjunto de los

números reales, su relación con las

potencias de exponente racional y

demostración de algunas de sus

propiedades.

• Interpretación de logaritmos, su

relación con potencias y raíces,

deducción de sus propiedades y

aplicaciones del cálculo de logarit-

mos a la resolución de problemas

en diversas áreas del conocimiento.

• Uso de un softw

aregráfico en la

interpretación de funciones expo-

nenciales, logarítmicas y raíz cuadra-

da, análisis de las situaciones que

modela y estudio de las variaciones

que se producen por la modifica-

ción de sus parámetros.

• Números racionales en

la recta numérica.

• Números irracionales.

• Números reales.

• Aproximación de un

número irracional.

• Raíces cuadradas y raí-

ces cúbicas.

• Ubicación de raíces en

la recta numérica.

• Irracionalidad de algunas

raíces cuadradas.

• Cálculo de raíces

enésimas y sus propie-

dades.

• Relación entre raíces

enésimas y potencias

de exponente racional.

• Situaciones que

involucran raíces.

• Caracterizar los números

irracionales como

aquellos que no pueden

ser escritos como un

cuociente entre dos

números enteros.

• Caracterizar los números

reales como aquellos

que corresponden a la

unión de los números

racionales e irracionales.

• Utilizar los números rea-

les en la resolución de

problemas, reconocer

sus propiedades y reali-

zar aproximaciones por

defecto, por exceso y

por redondeo.

• Ubicar algunas raíces en

la recta numérica y

explorar algunas

situaciones geométricas

en que ellas están

presentes.

• Analizar la demostración

de la irracionalidad de

algunas raíces cuadradas.

• Interpretar y calcular la

raíz enésima de un

número real y reconocer

algunas propiedades.

• Relacionar las raíces ené-

simas con las

potencias de exponente

racional.

• Identifican números

irracionales.

• Ubican raíces no

exactas en la recta

numérica.

• Analizan la demostra-

ción de la

irracionalidad de

algunas raíces cuadradas.

• Ordenan y comparan

números reales.

• Aproximan números

irracionales por defecto,

por exceso y por

redondeo.

• Comprenden el

concepto de raíz cua-

drada y cúbica.

• Interpretan y calculan

raíces no exactas.

• Establecen propiedades

de las raíces enésimas.

• Interpretan y calculan

la raíz enésima de un

número real.

• Relacionan las raíces

enésimas con las

potencias de exponente

racional.

• Regla

• Calculadora cientí-

fica

• Compás

• Diagnóstica:

páginas 14 y 15

del Texto para el

Estudiante.

• Formativa:

página 24, 41 y 59

del Texto para el

Estudiante.

• Sumativa:

páginas 66 y 67

del Texto para el

Estudiante y 66 y 67

de la Guía Didáctica

para el Profesor.

RECURSOSDIDÁCTICOS

INDICADORES

APRENDIZAJESESPERADOS

CONTENIDOSDELA

UNIDAD

CMO

TIPOSDEEVALUACIÓN



Páginas de entradaPÁGINAS 12 - 13

En la imagen se muestra la presencia de la famosa sucesión de Fibonacci en lanaturaleza, y con esto puede comenzar a conversar sobre los números irracionales,su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por ejemplo, en elarte, en la geometría y en la economía, entre otras.

El número irracional e, también está presente en diversos ámbitos; por ejemplo,en Economía, se utiliza para explicar modelos económicos predictivos; enBiología, para explicar el crecimiento de las poblaciones; en Salud, para estudiarenfermedades de carácter epidémico, etc.

También podría conversar sobre otro número irracional muy interesante y atractivo,el número de oro f. Este número también está relacionado con la sucesión deFibonacci. Por ejemplo, si dividimos dos números consecutivos de la sucesión deFibonacci (el mayor dividido por el menor), el resultado se aproximará cada vez másal número de oro a medida que utilizamos números más grandes de la sucesión.Este número es también encontrado en diversas manifestaciones de la naturaleza yde las proporciones humanas, además ha sido utilizado en muchas obras de arte,como, por ejemplo, en las de Da Vinci y Dalí.En el libro El Código Da Vinci, de Dan Brown, se dedican varias páginas a lasmaravillas del número f. Sería interesante que leyera o invitara a leer a susestudiantes algunas páginas de este libro. Las páginas que hacen referencia alnúmero de oro son: 117 - 126.También, en el magnífico libro de H.S.M. Coxeter, Fundamentos de geometría, Editorial Limusa. México. 1971. El capítulo 11 del libro está totalmente dedicado altema. Puede encontrar allí breves discusiones históricas y aplicaciones a la morfologíade las plantas, además de problemas relacionados y algunas de sus soluciones.

Más información sobre el número f puede encontrar en los siguientes sitios.http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htmhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/index.htmlRecuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Evaluación diagnósticaPÁGINAS 14 - 15

En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir elnivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidosde esta unidad.Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta unaevaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: descomponer números como producto de factores primos.Ítem 2: determinar si las igualdades dadas son verdaderas. Ítem 3: calcular expresiones aplicando propiedades de las potencias.Ítem 4: resolver problemas aplicando potencias.Ítem 5: calcular expresiones aplicando propiedades de las raíces.

4 Aplicar y calcular.

5 Conectar y calcular.

¿Cuánto sabes?

ÍtemHabilidades que se evalúan

1, 2 y 3 Calcular.

Revise el hipertexto, para queconozca los recursos disponibles:ejercitación adicional, elementosde profundización de contenidos,links y evaluaciones.



Orientaciones didácticas

Unidad 1

Ítem Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr

1

• Descomponecorrectamente todos lonúmeros dados comoproducto de factoresprimos.• Los números utilizados encada descomposición sonfactores de los númeroscorrespondientes.• Todos los factoresutilizados en cadadescomposición sonnúmeros primos.

• Descompone correctamentemás de tres números dadoscomo producto de factoresprimos.• Las descomposicionesincorrectas se pueden deber a:- Descomponer los númerosdados, pero todos o algu-nos de los factores sonnúmeros compuestos.

- Los números utilizados noson factores de un númerodado.

- No descompone los núme-ros en factores.

• Descomponecorrectamente tresnúmeros como productode factores primos.• Las descomposicionesincorrectas se pueden deber a:- Descomponer los númerosdados, pero todos o algu-nos de los factores sonnúmeros compuestos.

- Los números utilizadosno son factores de unnúmero dado.

- No descompone losnúmeros en factores.

• Descompone correctamentemenos de tres números comoproducto de factores primos.• Las descomposicionesincorrectas se pueden deber a:- Descomponer los númerosdados, pero todos o algu-nos de los factores sonnúmeros compuestos.

- Los números utilizados noson factores de un núme-ro dado.

- No descompone losnúmeros en factores.

2

• Determina correctamentesi todas las igualdades dadasson verdaderas. • Resuelve correctamentetodas las operaciones dadas.• Aplica correctamente las propiedades de laspotencias en todos los casos.

• Determina correctamentesi más de tres de las igualda-des dadas son verdaderas. • Resuelve correctamente lamayoría de las operacionesdadas.• Aplica correctamente laspropiedades de las potenciasen la mayoría de los casos.

• Determina correctamentesi tres de las igualdadesdadas son verdaderas. • Resuelve correctamentela mitad de las operacionesdadas.• Aplica correctamente laspropiedades de las potenciasen la mitad de los casos.

• Determina correctamentesi menos de tres de lasigualdades dadas sonverdaderas. • Resuelve correctamentemenos de la mitad de lasoperaciones dadas.• Aplica incorrectamente laspropiedades de las potenciasen la mayoría de los casos.

3

• Aplica correctamente laspropiedades de las potenciasen todos los casos.• Calcula correctamentetodas las expresiones dadas.

• Aplica correctamente laspropiedades de las potenciasen la mayoría de los casos.• Calcula correctamentemás de seis expresiones.

• Aplica correctamente laspropiedades de las potenciasen la mitad de los casos.• Calcula correctamente seisexpresiones.

Aplica incorrectamente laspropiedades de las potenciasen la mayoría de los casos.Calcula correctamentemenos de seis expresiones.

4

• Comprende el enunciadode cada problema.• Traduce correctamente alenguaje algebraico elenunciado de cada problema.• Resuelve correctamentelos dos problemas.• Da respuesta a los dosproblemas.

• Comprende el enunciadode cada problema.• Traduce correctamente alenguaje algebraico elenunciado de los dosproblemas.• Resuelve correctamente unproblema y el otro estáincompleto o medianamentecorrecto.• Da respuesta a un problema.

• Comprende el enunciadode un problema.• Traduce correctamente alenguaje algebraico elenunciado de un problema.• Resuelve correctamenteun problema.• Da respuesta a unproblema.

• No comprende el enuncia-do del problema.• No traduce correctamentea lenguaje algebraico elenunciado de cada problema.• Resuelve incorrectamentelos dos problemas.• No da respuesta a losproblemas.

5

• Aplica correctamente laspropiedades de las raíces entodos los casos.• Calcula correctamentetodas las expresiones dadas.

• Aplica correctamente laspropiedades de las raíces enla mayoría de los casos.• Calcula correctamentemás de cuatro expresiones.

• Aplica correctamente laspropiedades de las raíces enla mitad de los casos.• Calcula correctamentecuatro expresiones.

• Aplica incorrectamente laspropiedades de las raíces enla mayoría de los casos.• Calcula correctamentemenos de cuatro expresiones.



Posibles dificultades en la evaluación y remediales

En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el concepto denúmero primo, lo cual dificulta la realización del ítem. Para remediar esta situación,podría recordarles cuáles son los números primos y darles algunos ejemplos.Además, muestre a sus estudiantes cómo descomponer un número como productode factores primos. Un buen ejercicio sería mostrar varias descomposiciones ypedir a los estudiantes que las analicen y determinen si estas son descomposicionesprimas de ciertos números.

En los ítems 2, 3 y 5 podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden lasprioridades de las operaciones ni las propiedades de las potencias y de las raíces, locual complicaría el desarrollo correcto de los ejercicios presentados. Para ayudarlos,recuérdeles cuáles son las prioridades de las operaciones y muéstreles su aplicaciónen diversos ejercicios de distinta dificultad, para que puedan distinguir las prioridadesadecuadas. Sería conveniente que presentara a sus estudiantes ejercicios resueltosque contengan algún tipo de error en el procedimiento para que ellos puedandetectarlo, y de esta forma se familiarizarán con las prioridades y podrán aplicarlasde forma correcta en el futuro. Del mismo modo, recuerde a sus alumnos yalumnas las propiedades de las potencias y de las raíces, muestre su utilidad e ilustrediversos ejemplos, para que las recuerden. Es importante hacer notar que un mismoejercicio se puede resolver aplicando distintas propiedades.

En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no recuerden cómo calcular elárea y perímetro de un cuadrado y el volumen de un cubo, lo que impediría lacorrecta resolución de los problemas. Para remediar esta situación, podría recordarcómo realizar estos cálculos, entregándoles las fórmulas correspondientes,acompañadas de algunos ejemplos cotidianos.

En el ítem 5, podría ocurrir que los y las estudiantes no recuerden propiedadesbásicas de las raíces cuadradas. Si lo considera necesario, lleve a cabo un ejemplodonde descomponga la cantidad en dos factores y luego en dos raíces (el problemainverso al pedido).

Evaluación de conocimientosprevios.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar la uni-dad, a modo de introducción.




Unidad 1

Números racionales en la recta numéricaPÁGINAS 16 - 17

Indicaciones para el docente

Una afirmación simple de recordar es que dados dos números racionales cualesquierasiempre existe otro número racional entre ambos. En términos de orden, correspondea afirmar que dados dos números racionales distintos existe otro mayor que el menory menor que el mayor. Para probar lo anterior, puede indicar que para encontrar unnúmero racional que esté entre otros dos, basta con sumar los dos números y tomarla mitad. Si los números originales eran a y b, la semisuma

será y ese número se representa como el punto medio del segmento ab.

se suma a ambos lados a y se obtiene 2a < a + b, por lo que dividiendo por 2

a ambos lados de la desigualdad y se obtiene que a + b < 2b, de donde se

cualesquiera (propiedad de densidad).

a + b2

Es simple demostrar que el número está entre a y b. En efecto, si a < b,a + b2

la desigualdad, se obtiene a < . También, a partir de a < b, se suma ba + b2

concluye que < b. Observe que esto es válido para dos números realesa + b2

2 Clasificar.

En tu cuaderno

ActividadHabilidades que se desarrollan

1Representar yverificar.

4 Calcular y ordenar.

Números irracionalesPÁGINAS 18 - 19


Los alumnos y alumnas ya han trabajado con números irracionales, su operatoria ypropiedades, el objetivo de estas páginas es abordarlos desde su perspectiva histórica,aprovechando, además, el teorema de Pitágoras para representarlos geométricamente.

Actividades complementarias

1. ¿Cuál es la expresión correcta?

> a + o < a +

2. Verifica, sin usar calculadora, la notable aproximación encontrada por Herón,célebre ingeniero alejandrino del año 100 d. C., para el número irracional p.

< <

No se conocen los detalles de cómo obtuvo este sabio esta prodigiosa desigualdad.

3. ¿Existirán números positivos a y b tal que sea un número natural?

4. El número , ¿es irracional?3 2 2 3 2 2– · +

a b+

35 31267 441

32 64762 351

p

6

b2a

a b2+

b2a

a b2+

2 y 3 Calcular y clasificar.

En tu cuaderno


1 Clasificar.

Ampliación de conceptosnuméricos y de operatoria.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como complemento ala introducción de los númerosirracionales.



5. Sea AB = a el trazo que está dividido por el punto P en dos segmentos delos cuales PA > PB. Para que P divida al trazo AB en sección áurea, debecumplirse que: PA : AB = PB : PA.

Por lo tanto: =

a. Resuelve y comprueba que:

PA = ( – 1) y PB = (3 – )

b. Calcula . ¿A qué conjunto numérico pertenece el número obtenido?

55

a – xx

xa

PAPB

a2

a2

4 Evaluar.

3 Ordenar.

En tu cuaderno


1 y 2Reconocer/identificary calcular.

3Reconocer/identificary calcular.

2 Calcular.

En tu cuaderno


1 Calcular.

Aproximación de un número irracionalPÁGINAS 22 - 23


Sería interesante mencionar como motivación que, en cálculos concretos motivadospor aplicaciones, es común usar aproximaciones que representen a los númerosdecimales infinitos involucrados. Un computador, por ejemplo, si no está llevandoa cabo una operación simbólica, debe representar un número irracional por unasecuencia finita de números enteros (de otro modo requeriría una ¡memoriainfinita!). Es decir, debe hacer una aproximación. La precisión adecuada para talobjeto dependerá del contexto de la aplicación. Desde el punto de vista práctico,los métodos para aproximar son de gran importancia. Los párrafos introductoriosde la unidad darán a los alumnos y alumnas una buena idea de la importancia dehacer una aproximación adecuada. En este contexto, puede plantear como tareael problema 1 de las actividades complementarias.

Números realesPÁGINAS 20 - 21


Es importante considerar a los números reales como los números formados porlos racionales y los irracionales y abordar diversos tipos de problemas queinvolucran números reales y que requieren la aplicación de los procedimientos ypropiedades de las operaciones.También, se sugiere mencionar que los números reales seguirán apareciendo deaquí en adelante permanentemente y que son fundamentales en la construcciónde conceptos como el de función y en la generalización de algunos resultados.

A P B

x a – x

Comentarios• El aporte de la Historia de laMatemática en la entrega de loscontenidos es muy valioso y sinduda enriquece el proceso de ense-ñanza-aprendizaje. Situar a losy las estudiantes en el contexto his-tórico, presentarles, por ejemplo, lasdistintas formas en que el ser huma-no ha aproximado números irracio-nales son elementos quetienden a crear un ambientefavorable al aprendizaje.




Unidad 1


1. Se desea pintar un estanque de agua cilíndrico de 100 m de diámetro. ¿Cómoafectaría la aproximación usada para p al cálculo de la cantidad de pinturanecesaria para el proyecto? Emplea las aproximaciones usadas por Tatiana enla página 22 del Texto. ¿Es posible que quede “demasiada” superficie sin pintarsi la aproximación usada es “gruesa”?

2. ¿Hasta qué cifra decimal es exacta la aproximación hecha por los hindúes

(300 a.C.) en la expresión ?

3. Usando la aproximación: a + , calcula y .b2a

4 2 23p

≈+

a b2+ ≈ 45 5

Mi progresoPÁGINA 24

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos yalumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar comouna evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadroMi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: clasificar los números dados en racionales e irracionales.Ítem 2: determinar entre qué números enteros se ubican los números irracionales

del ítem anterior.Ítem 3: ordenar de mayor a menor los grupos de números dados.Ítem 4: ordenar de menor a mayor los números dados.Ítem 5: aproximar por exceso y por defecto los números dados.

Para los ítems 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel deconocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.


1

• Calcula correctamenteel valor de todas lasexpresiones dadas.• Clasifica correctamentetodos los números dadosen racionales e irracionales.

• Calcula correctamente elvalor de más de tresexpresiones dadas.• Clasifica correctamentemás de tres de los númerosdados en racionales eirracionales.

• Calcula correctamente elvalor de tres expresionesdadas.• Clasifica correctamentetres de los números dadosen racionales e irracionales.

• Calcula correctamente elvalor de menos de tresexpresiones dadas.• Clasifica correctamentemenos de tres de los números dados en racionales e irracionales.

2

• Determina entre quénúmeros enteros se ubicantodos los númerosirracionales del ítem anterior.

• Determina entre quénúmeros enteros se ubicanmás de tres de los númerosirracionales del ítem anterior.

• Determina entre quénúmeros enteros se ubicantres de los númerosirracionales del ítem anterior.

• Determina entre quénúmeros enteros se ubicanmenos de tres de los núme-ros irracionales del ítemanterior.

3, 4 y 5 Clasificar.

Mi progreso





3

• Calcula correctamenteel valor de todas lasexpresiones dadas.• Ordena correctamente demayor a menor todos losgrupos de números dados.

• Calcula correctamenteel valor de todas lasexpresiones dadas.• Ordena correctamente demayor a menor más de dosgrupos de números dados.

• Calcula correctamente elvalor de la mayoría de lasexpresiones dadas.• Ordena correctamente demayor a menos dos gruposde números dados.

• Calcula correctamente elvalor de la mitad o menosde las expresiones dadas.• Ordena correctamente demayor a menor menos dedos grupos de númerosdados.

4

• Calcula correctamenteel valor de todas lasexpresiones dadas.• Ordena correctamente demenor a mayor todos losnúmeros obtenidos.

• Calcula correctamente elvalor de las expresionesdadas cometiendo un error.• Ordena correctamente demenor a mayor los núme-ros, cometiendo un error.

• Calcula correctamente elvalor de las expresionesdadas cometiendo dos otres errores.• Ordena correctamente demenor a mayor los núme-ros, cometiendo dos o treserrores.

• Calcula correctamente elvalor de las expresionesdadas cometiendo más detres errores.• Ordena correctamente demenor a mayor los núme-ros, cometiendo más de treserrores.

5

• Aproxima correctamentepor exceso y por defectolos resultados obtenidos.

• Aproxima correctamentepor exceso y por defectomás de tres de losresultados obtenidos.

• Aproxima correctamentepor exceso y por defectotres de los resultados obte-nidos.

• Aproxima correctamentepor exceso y por defectomenos tres de los resultadosobtenidos.


En los ítems 1 y 2, es importante enfatizar en las prioridades de las operaciones yla eliminación de paréntesis para reducir las expresiones dadas, y con ello obtenerconclusiones acertadas sobre el tipo de número que es: racional o irracional. Estossimples puntos permitirán que sus estudiantes puedan simplificar procedimientos,ya que en muchos casos se eliminarán expresiones más complejas.

En los ítems 3 y 4, sus estudiantes podrían tener inconvenientes para dividirnúmeros decimales y, por ello, obtener resultados incorrectos, lo cual provocaríaerrores al ordenar los números dados. Para evitar esto, es conveniente recordar ypracticar constantemente diversos procedimientos para dividir números decimales,para que cada estudiante pueda optar por el método que le resulte más adecuado.

En el ítem 5, se sugiere que muestre a sus estudiantes cómo utilizar la calculadoracon números irracionales, sobre todo para que noten la diferencia al trabajar concalculadoras no científicas y científicas, pues esta última respeta las prioridades delas operaciones y la primera no, situación que produce resultados erróneos alseguir una secuencia de izquierda a derecha.




Unidad 1

Raíces cuadradas y raíces cúbicasPÁGINAS 25 - 26


En estas páginas se presenta la definición de la raíz cuadrada de un número a,

representada por . Recuerde que este tema lo trabajaron en cursos anteriores.

El trabajo algebraico con raíces cuadradas se realiza a través de situaciones que

involucran no solo la resolución algebraica, sino también el análisis de sus soluciones.

Es conveniente hacer énfasis en que, al contrario de lo que sucede con las raícescuadradas, todo número real a posee una raíz cúbica.

Recuerde a sus estudiantes que las raíces cuadradas pueden ser construidas conregla y compás, sobre una recta numérica. Sin embargo, las raíces cúbicas no pue-den ser construidas con regla y compás, al igual que el famoso problema de la tri-sección de un ángulo, que no puede ser resuelto utilizando estos implementos.

Es conveniente precisar que para las soluciones de la ecuación x2= b son los

• Verifica mediante ejemplos numéricos que la relación = no secumple.


1. Encuentra el radio de una esfera cuyo volumen es 64p.

2. Encuentra la arista de un cubo el cual tiene el mismo volumen que el cilindro,de radio igual al radio de la esfera anterior (ejercicio 1) y de altura igual a lamitad del radio.

3. Investiga sobre la siguiente pregunta. ¿Es verdad que la suma de las raíces cúbicasde dos números es otra raíz cúbica? Fundamenta tu respuesta.

a b+a b+

b ≥ 0

a

números reales y ; y que no hay solución real para valores negativos de b.– bb

3Representar, evaluary aplicar.

2 Evaluar y justificar.

En tu cuaderno


1 Representar y aplicar.

Ubicación de raíces en la recta numéricaPÁGINAS 27 - 28


A partir de las actividades propuestas, guíe a sus estudiantes a reconocer lasdiferencias entre un número racional y uno irracional. Además, sería interesantehacer nuevas reflexiones sobre el tema de las aproximaciones decimales.


Puede proponer que, con el apoyo de una calculadora, encuentren entre quénúmeros se ubican las raíces cuadradas de 0,4; 0,04; 0,9 y 2,5, entre otras.

2Representar yjustificar.

En tu cuaderno


1 Representar.



Irracionalidad de algunas raíces cuadradasPÁGINAS 29 - 30


En esta sección se presenta una antigua demostración que se remonta a Euclides(en el año 300 a.C): la irracionalidad de . La demostración puede resultar difícilde entender por sus alumnas y alumnos. Para guiarlos a través de ella, será necesa-rio primero lograr una buena comprensión del método de demostración (verGlosario, página 29) acentuando que, si se ha pensado correctamente, las contra-dicciones son imposibles (la Lógica nos dice que las proposiciones o son verdade-ras o son falsas, pero no ambas). Si se ha llegado a una contradicción es por unaequivocación: justamente suponer que la hipótesis era falsa.


1. Probar que si a y b son números racionales, entonces a + b es un númeroirracional. ¿Puede el producto de dos de tales números ser racional?, ¿y su suma?

2. Probar que es un número irracional.

3. Probar que no existe un número racional tal que 2x= 3.

Raíces enésimasPÁGINAS 31 - 32


Aquí se introduce el concepto de raíz enésima de un número real, paraposteriormente establecer sus propiedades y su relación con potencias deexponente racional. Además, se proponen actividades para que los y las estudian-tes calculen la raíz enésima de casos particulares.


1. Determine si existen las siguientes raíces o sumas de raíces.

a. c. e.

b. d. f.

2. Verifique o muestre en cada caso que la igualdad es cierta.

a. c.

b. d.

3. Verifique mediante algunos ejemplos que

a. b.

En tu cuaderno


1 Analizar y aplicar.

En tu cuaderno



2

2

23

40966

–1 16 2+

–2935

2 204811+

–1331 168073 5+

2 10245102 10=

81 94 =1

2

22

=

10 1084 4=

–40966

Aprender a diferenciarexpresiones racionales delas irracionales.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar al finalizar el análisis deirracionales y propiedades de las potencias.

a b a bn n n+ ≠ + a b a bn n n– –≠




Unidad 1

Cálculo de raíces enésimas y sus propiedadesPÁGINAS 33 - 34


Enfatice las siguientes propiedades:• La raíz enésima de un producto es igual a las raíces enésimas de cada uno de

los factores y recíprocamente.• La raíz enésima de un cociente es igual al cuociente entre la raíz enésima del

dividendo y la raíz enésima del divisor, y recíprocamente.• Una raíz cuyo índice está dado por el producto de dos factores puede

expresarse como una raíz doble que tiene como índice cada uno de losfactores y recíprocamente.

• Si en una raíz enésima se multiplica o se divide el índice y exponente por elmismo número, el valor de la raíz no varía.

Relación entre raíces enésimas y potencias de exponente racionalPÁGINAS 35 - 36


Un error frecuente es no hacer la transferencia de la representación de raíces a

las potencias, o sea, no escribir las raíces como una expresión con exponente

racional. Que los alumnos y alumnas manejen estas notaciones les facilitará dedu-

cir propiedades de las raíces tales como y determinar la falsedad

de .


1. ¿Qué condiciones deben satisfacer m y n para que

para todo a ≥ 0?

2. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia.

a. b. c.

3. Si se sabe que si m y n son enteros an

· am

= an + m

, ¿se cumple

que ? En caso contrario, ¿a qué es igual ?

En tu cuaderno


1, 2, 3 y 4 Calcular.

8 Aplicar.

7 Interpretar y calcular.

6 Aplicar.

5 Calcular.

2 y 4Reconocer/identificary calcular.

En tu cuaderno


1 y 3 Reconocer/identificar.

Conocer y memorizar las propie-dades de las potencias.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar al repasar las propiedadesde potencias, como aprendizajede fórmulas.

Relacionar raíces y potencias deexponente racional.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar luego de haber explicadolas propiedades de las raíces ypotencias.



7 Aplicar.

Situaciones que involucran raícesPÁGINAS 37 - 40


Es probable que las ecuaciones con radicales resulten difíciles de manejar a sus

estudiantes. Ellos deben entender que pueden existir problemas que no tengan

solución. Por ejemplo , al elevar al cubo y cancelar las raíces

de x, se obtiene que ¡1 = –1!, por lo que no existe un número real x que cumpla

la ecuación planteada. La ecuación es en sí contradictoria. Otra forma en que

puede reconocerse una ecuación sin solución se da en los ejemplos 2 y 3 del

Texto. Se sugiere enfatizar estos ejemplos.

Se ha dicho que la ecuación x2= a posee dos soluciones, una de ellas positiva a

la que hemos llamado raíz cuadrada de a, . La otra solución es .

Matemáticamente hablando, no es mejor una solución que la otra. Cuando una

ecuación cuadrática aparece en el contexto de las aplicaciones, a menudo ha de

seleccionarse la solución pertinente al problema. Por ejemplo, si se considera el

movimiento bidimensional de un proyectil, una expresión válida para la coordenada

y del proyectil es y = y0– gt

2(escogemos el origen del tiempo cuando el

proyectil pasa a una altura y0). Si se quiere determinar en qué momento el proyectil

son admisibles; corresponden a los momentos de salida y llegada del proyectil al

suelo. Si nos piden encontrar el momento en que el proyectil se encontraba a una

altura , luego de haber alcanzado su altura máxima (y0), la ecuación a resolver


1. El área de un cuadrado es x. Si esta es aumentada en dos unidades cuadradas,el lado del nuevo cuadrado es igual al lado del cuadrado original más 1.Finalmente, ¿cuál es el área del cuadrado?

2. Sea s la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, dada por s = g · t2,

donde g es la aceleración de gravedad y t es el tiempo transcurrido.

a. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el primer segundo? b. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el tercer segundo?,¿y en el décimo segundo?

c. Si un cuerpo se dejara caer desde 2 000 m de altura, ¿qué distanciarecorrería en el último segundo?

y0

2

12

12

se encuentra en el suelo (y = 0), se debe resolver (y0) · = t

2 y ambas soluciones

2g

es � � · = t2, pero en este caso la solución pertinente es la positiva.

2g

y0

2

6 Calcular.

2, 3, 4 y 5 Evaluar y analizar.

En tu cuaderno


1 Calcular y verificar.

Errores frecuentes

• Es usual que erróneamente se

escriba , sabiendo que

y, por lo tanto, .

25 5≈ ±

25 5= – –25 5=

1 13 3+ =x x –

a – a




Unidad 1


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en elcuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: resolver operaciones con raíces cuadradas y cúbicas. Ítem 2: resolver operaciones con raíces enésimas.Ítem 3: relacionar raíces enésimas y potencias de exponente racional.Ítem 4: resolver ecuaciones con radicales.Ítem 5: aproximar raíces cuadradas.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivelde desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.

Mi progreso


1, 2, 3, 4 y 5 Calcular.


1

• Realiza correctamentetodas las operaciones conraíces.• Determina correctamentesi todas las igualdadespresentadas son verdaderaso falsas.

• Realiza correctamentetres operaciones con raíces.• Determina correctamentesi dos de las igualdadespresentadas son verdaderaso falsas.

• Realiza correctamentedos operaciones con raíces.• Determina correctamentesi una de las igualdadespresentadas son verdaderaso falsas.

• Realiza correctamentemenos de dos operacionescon raíces.• No determinacorrectamente si lasigualdades presentadas sonverdaderas o falsas.

2

• Resuelve correctamentetodas las operaciones conraíces.• Reduce los resultadosobtenidos cuando es posible.

• Resuelve correctamentemás de tres operacionescon raíces.• Reduce los resultadosobtenidos cuando es posible.

• Resuelve correctamentetres operaciones con raíces.• No reduce los resultadosobtenidos.

• Resuelve correctamentemenos de tres operacionescon raíces.• No reduce los resultadosobtenidos.

3

• Resuelve correctamentetodas las operaciones conpotencias y raíces.• Aplica correctamente laspropiedades de laspotencias y raíces.• Expresa el resultado finalcomo una sola raíz.

• Resuelve correctamentemás de tres operacionescon potencias y raíces.• Aplica correctamente laspropiedades de laspotencias y raíces.• Expresa el resultado finalcomo una sola raíz.

• Resuelve correctamentetres operaciones conpotencias y raíces.• Aplica correctamentealgunas de las propiedadesde las potencias y raíces.• Solo en algunos casosexpresa el resultado finalcomo una sola raíz.

• Resuelve correctamentemenos de tres operacionescon potencias y raíces.• No aplica correctamentelas propiedades de laspotencias y raíces.• No expresa el resultadofinal como una sola raíz.

4

• Resuelve correctamentetodas las ecuaciones conradicales.• Las soluciones encontradasson pertinentes a lasecuaciones originales.

• Resuelve correctamentetres ecuaciones con radicales.• Las mayoría de lassoluciones encontradas sonpertinentes a las ecuacionesoriginales.

• Resuelve correctamentedos ecuaciones con radicales.• Dos de las solucionesencontradas son pertinentesa las ecuaciones originales.

• Resuelve correctamentemenos de dos ecuacionescon radicales.• Algunas solucionesencontradas no sonpertinentes a las ecuacionesoriginales.




En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes tengan problemas para operarcon raíces debido a que no están familiarizados con las propiedades de las raícesy su utilidad para reducir expresiones, y que las apliquen de manera incorrecta. Es importante que los alumnos y alumnas conozcan y manejen perfectamentecada una de las propiedades de las raíces y de las potencias, para ello es importante que las recuerde a través de variados ejemplos. Enfatice en lainexistencia de propiedades para las operaciones de adición y sustracción cuandotrabajamos con raíces.

En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar con potencias nosimplifiquen los resultados obtenidos y con ello las raíces obtenidas sean máscomplicadas. Para evitar esto, recuerde la importancia y utilidad de simplificarcuando sea necesario, pues de este modo se obtienen expresiones más simples.Por otro lado, es importante que mencione la utilidad que tiene amplificarfracciones para obtener fracciones con igual denominador y con esto poder redu-cir expresiones a una sola raíz.

En el ítem 4, al resolver ecuaciones con radicales puede ocurrir que los y lasestudiantes no apliquen adecuadamente las prioridades de las igualdades o no prestenatención a si las soluciones encontradas son correctas respecto de las ecuacionesplanteadas. Es fundamental que comprendan cómo resolver este tipo de ecuacionesde manera correcta y verifiquen las soluciones encontradas. Para ello, ejercite con losy las estudiantes diversas ecuaciones con radicales, que presenten distintos niveles dedificultad y, además, verifique las soluciones que se obtienen.

LogaritmosPÁGINAS 42 - 45


Para abordar el tema de los logaritmos, se propone a los y las estudiantes calcularalgunas multiplicaciones sin la ayuda de una calculadora. Insista en que debenresolverlas con lápiz y papel, se pretende que con algunos ejercicios aprecien lodifícil y engorroso que podía volverse calcular una simple multiplicación antes dela invención de las calculadoras. Después, se sugiere que resuelvan estas multipli-caciones observando las tablas de potencias presentadas, como un acercamientoa lo que fueron las tablas de logaritmos.

Es importante que enfatice a sus alumnos y alumnas que los logaritmos están defi-nidos únicamente para valores positivos tanto del argumento como de la base dellogaritmo. Insista en la relación entre los logaritmos y las potencias, ya que escri-biendo la ecuación exponencial correspondiente pueden comprender qué se lesestá pidiendo y calcular el logaritmo.

En tu cuaderno


1 y 2 Calcular.




Unidad 1

Propiedades de los logaritmosPÁGINAS 46 - 47


En estas páginas, se muestra que tal como se relacionan los valores de una potencia conlos de su correspondiente raíz enésima, estos valores también pueden representarseutilizando logaritmos. Una forma que tienen sus estudiantes de verificar que esto se cum-ple es leer cada expresión según su definición:

• loga b = c, dice que “c es el exponente de la potencia de base a para obtener b”.

• ac= b, dice que “b es el valor de la potencia de base a y exponente c”.

• a = , dice que “a es la base de la potencia que, con exponente c, tienevalor b”.

Las propiedades de los logaritmos se abordan a partir de la definición de logaritmoy las propiedades de las potencias. Enfatíceles que siempre el valor de a, la base,debe ser positivo y distinto de 1.


1. Utiliza la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo con res-pecto a la base indicada y calcula su valor.

a. log32 8; a base 2. c. log361296; a base 6.

b. log9 27; a base 3. d. log9 6561; a base 3.

bc


1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a. log2 64 d. log13 2197

b. log325 325 e. log19 361

c. log2 256 f. log0,4 0,064

2. Halla el argumento de los siguientes logaritmos.

a. log6 x = 1 d. log0,05 x = 3

b. log2 x = 5 e. log0,25 x = –2

c. log10 x = –4 f. log3 x = 60

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. log2 512 + log3 243 – log8 64

b. –5 log8 64 + 7 log7 49 – 3 log10 100

c. 6 log9 81 – 3 log10 10 000 + 4 log0,2 0,04

En tu cuaderno


1, 2 y 3 Calcular.



2. Aplicando la propiedad de cambio de base, calcula los siguientes logaritmos sinusar calculadora.

a. log49 343 c. log169 2197

b. log225 15 d. log27 81

Propiedades de las operaciones de los logaritmosPÁGINAS 48 - 49

Actividad inicial

En estas páginas se muestra que, a partir de las propiedades para las operaciones conpotencias, se pueden establecer propiedades para las operaciones con logaritmos.Enfatice a sus estudiantes que al aplicar logaritmos, el producto se relaciona con lasuma y el cociente con la resta, para que no cometan los errores que se mencionanen la sección No olvides que...


1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.

a. log2 (8 · 32) c. log3 � �

2. Escribe cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia de logaritmos.

a. loga d. logb

c. loga (x2– 6x + 9) f. logm

3. Expresa como un solo logaritmo.

a. 4 loga x – 3 loga y + 1 c. logm (a3+ b

3) – 2 logm (a + b)

b. loga (x2– 81) – loga (x – 9) d. 3 (logm a

3– logm d

7) – 4 logm b

4

xyz

2781

En tu cuaderno


1 Desarrollar.

2 Reducir.

3 Calcular y evaluar.

b. log5 (25 · 125) d. log � �343 · 4971

7

b. logb e. logb (x3– y3)

xyz

a

c

35

4

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

b a

c3




Unidad 1

4. Sabiendo del log 2 = 0,30, log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69, calcula los siguienteslogaritmos sin usar calculadora.

a. log 6 d. log 0,024

c. log 0,125 f. log

b. log e. log 27453

36

27

5

4

Ecuaciones logarítmicasPÁGINAS 50 - 52


La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizadospara resolver ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, es recomendableconvertirla en otra equivalente en la cual no aparezcan logaritmos, para esto, se ha deintentar llegar a una situación semejante a la siguiente: logb f(x) = logb g(x). Entoncesempleamos antilogaritmos (pues la función logaritmo es uno a uno) para simplificar laecuación obteniendo f(x) = g(x), que se resuelve con los métodos habituales. Tambiénse puede aplicar propiedades de los logaritmos en la ecuación logarítmica para obteneruna ecuación equivalente del tipo: logb f(x) = m, de donde se obtiene que f(x) = b

m, para

luego resolver en forma habitual.


1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si losvalores obtenidos satisfacen la ecuación.

a. log (x + 4) + log (x – 6) = 2 log (x – 2)

b. log (6x + 5) + log (x + 7) = log (3x + 4) + log (2x + 5)

c. log (x + 8) + log (x + 4) = log (x2+ 8x + 24)

d. 3 log x + log x2+ log x

3– 4 log x = 2

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas.Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen el sistema.

a. log2 x + log2 y = 5 c. log3 x5+ log3 y

3= 13

log2 x3– log2 y

4= 8 log3 x

4– log3 y

2= 6

b. 21 log2 x + 35 log3 y = 112 d. 5 log2 x + 3 log3 y = 8

–20 log2 x – 35 log3 y = –110 4 log2 x – 7 log3 y = –3

En tu cuaderno


1 y 2 Calcular.



Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicasPÁGINAS 53 - 54


Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de sonido,llamadas belio y decibeles, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Asíun decibel se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal (base10) del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomadacomo referencia.

La escala de medida Richter, para la intensidad de un sismo, utiliza una escalalogarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no corres-ponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial, esdecir, un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que un terremotode grado siete y cien veces menor que uno de grado ocho.

Posibles dificultades en las actividades

Al resolver los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán utilizar una calculadoracientífica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que solicite lacalculadora como material indispensable para dicha clase, o bien que escriba en lapizarra los valores asociados a los problemas, para que los y las estudiantes trabajencorrectamente.


1. Encuentra �H+� aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH.

a. Plátanos, pH = 5b. Amoníaco doméstico, pH = 11,9c. Huevos, pH = 8d. Levadura, pH = 8,4

2. El terremoto ocurrido el 21 de abril de 2007, en el fiordo de Aysén, fue de 6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo?

En tu cuaderno


1, 2 y 3 Calcular.

4 Calcular e investigar.

5Calcular, analizar ydemostrar.




Unidad 1

Herramientas tecnológicasPÁGINAS 55 - 58

Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas,presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.

Tutorial de instalación del programa

GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libredisposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.orgAntes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el programaen cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir dificultades enel proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que los computadores tenganautorización solo del administrador para instalar programas; esto evita que los y lasestudiantes bajen programas para fines no académicos en los computadores. En estecaso, solicite al administrador de los computadores su autorización para instalar elprograma.Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así,ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la página 55del Texto del Estudiante.En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sí tengaconexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el computadortiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el programa enun pendrive o en un CD, respectivamente.Para descargar el programa al CD o pendrive se debe:Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download, tal como el de la imagen.

Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga, segúnel sistema operativo de cada computador. Si los computadores que va a utilizar usan

Windows, haga un clic sobre la opción

y luego elija guardar. Se recomienda traspasar el archivo al escritorio del computador,para después copiarlo a un CD o pendrive. El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB,por lo que la descarga demorará entre 10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidezde la conexión a Internet que disponga.

Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita,haciendo doble clic sobre el ícono, y siga los pasos de instalación que aparecen enpantalla.

En tu cuaderno

Habilidades que se desarrollan

Usar herramientas, interpretar,analizar y aplicar.



Tutorial de uso del programa

a) Todas las funciones, una vez que son graficadas, aparecen en laventana de vista algebraica y en la de vista gráfica. En la ventanade vista algebraica, se puede desactivar la gráfica de alguna de lasfunciones, presionando el botón verde que aparece junto a lafunción y dejándolo en blanco.

Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces se necesitarealizar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:

b) En la barra de herramientas, que aparece en la parte superior

de la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica.

Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano,

así como también permite alejarse o acercarse para

observar los puntos o las gráficas de las funciones.

c) Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar enbarra de menú a Opciones y luego Vista Gráfica.

d) Luego, se desplegará una ventana donde puede realizar lasvariaciones que considere pertinentes en los ejes X e Y.

Seleccione el eje que va a modificar.

Si selecciona 1, entonces aparecen los valores 1, 2, 3, 4, 5, etc.,en el eje seleccionado. Si selecciona 5, entonces aparecen losvalores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.

Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en elplano cartesiano la distancia correspondiente a 1, en el eje X,corresponde a 2 en el eje Y.

Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en lavista gráfica de cada eje.

a)

b)

c)

d)




Unidad 1



Ítem 1: Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias.Ítem 2: Calcular logaritmos.Ítems 3 y 4: Aplicar propiedades de los logaritmos.Ítem 5: Resolver ecuaciones logarítmicas.Ítem 6: Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.Ítem 7: Reconocer propiedades de los logaritmos.

Posibles dificultades en la evaluación

En el ítem 1, es posible que sus estudiantes no relacionen correctamente los valoresindicados con las filas y columnas en las que deben buscar los valores correspondientes.Recuérdeles que cada columna corresponde a todas las potencias que tienen la mismabase. Luego, la base del logaritmo les indica en qué columna pueden buscar el valor delargumento para calcular correctamente el logaritmo.En el ítem 2, recuerde a los alumnos y alumnas cómo se relacionan los logaritmos y laspotencias, de modo que verbalicen los logaritmos como ecuaciones exponenciales, porejemplo, log6 216 se puede leer: ¿Cuál es el exponente de la potencia de base seis, talque el valor de la potencia es 216?En el ítem 3, un error frecuente es que los y las estudiantes apliquen algunaspropiedades, pero no desarrollen exhaustivamente la expresión. Enfatíceles quedeben transformar todas las raíces, potencias, productos y cocientes que tenga elargumento del logaritmo.En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas cometan errores respecto de laprioridad de las operaciones. Recuérdeles que si no hay paréntesis, se resuelvenprimero los productos y cocientes y después las sumas y restas, siempre de izquierdaa derecha.En el ítem 5, enfatice a sus estudiantes que siempre deben verificar la soluciónalgebraica en la ecuación original y constatar que los todos logaritmos que tenga laecuación estén bien definidos, esto es, su argumento sea positivo. En caso contrario,esta solución no satisface la ecuación.En el ítem 6, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora científica paracalcular el valor correspondiente a la solución; en caso de no tener acceso a dichosdispositivos, se sugiere que ellos y ellas escriban la expresión que les permitiríaobtener el resultado, lo más simple posible.En el ítem 7, enfatice que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrarun contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentarmatemáticamente, es decir, con una demostración.

Mi progreso


1 Aplicar.

2 Calcular.

3 y 4 Representar.

5Interpretar, calcular yverificar o comprobar.

6 Aplicar.

7 Analizar y justificar.



Cómo resolverloPÁGINAS 60 - 61

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sinembargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas paraque los y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas. Además, estaresolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo quepermite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomiendaque enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender,planificar, resolver y revisar.1 (Pág. 45)

Interpretar, seleccionary aplicar.

En tu cuaderno


1 (Pág. 44)Interpretar, seleccionary aplicar.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeñode sus estudiantes en la evaluación formativa.


1

• Calcula correctamentetodos los logaritmos, utili-zando la tabla vista en la Unidad.

• Calcula correctamentetodos los logaritmos, porinspección.

• Calcula correctamente unoo dos logaritmos.

• No comprende cómoutilizar la tabla depotencias para calcularlos logaritmos.

2

• Calcula correctamentetodos los logaritmos,mediante la ecuación expo-nencial correspondiente.

• Calcula correctamentetodos los logaritmos, porinspección.

• Calcula correctamente algunos logaritmos, perocomete errores numéricos.

• No relaciona los loga-ritmos con las potencias corres-pondientes.

3

• Desarrolla correctamenteambas expresiones, apli-cando las propiedades.

• Desarrolla ambas expresio-nes, pero comete erroresal aplicar las propiedades.

• Desarrolla una o ambasexpresiones, pero cometeerrores numéricos o de signosal aplicar las propiedades.

• Desarrolla una o ambasexpresiones, perocomete errores al apli-car las propiedades.

4

• Reduce correctamenteambas expresiones, aplican-do las propiedades.

• Reduce correctamente almenos dos expresiones,pero comete errores alaplicar las propiedades.

• Reduce correctamente almenos dos expresiones,pero comete errores numé-ricos o de signos.

• Reduce una o ambasexpresiones, perocomete errores al apli-car las propiedades.

5

• Resuelve correctamentetodas las ecuaciones loga-rítmicas.

• Resuelve correctamentetodas las ecuaciones loga-rítmicas, pero no com-prueba sus soluciones.

• Resuelve correctamentea lo menos dos de las cuatro ecuaciones loga-rítmicas.

• Resuelve correctamenteuna o ninguna de lasecuaciones logarítmicas.

6

• Responde correctamenteel problema, planteando laecuación y resolviéndolacorrectamente.

• Plantea y resuelve correc-tamente todas las ecuacio-nes que le permiten dar res-puesta a cada una de laspreguntas, pero necesitaorientación para compren-der el problema y elaborarla respuesta.

• Plantea correctamentela ecuación, pero comete errores al despejar la incógnita, obte-niendo un valor incorrecto.Aun así, formula una res-puesta para responder lapregunta.

• Comete errores en elplanteamiento de laecuación que resuelveel problema.

7

• Marca la alternativacorrecta justificando sudecisión.

• Marca la alternativacorrecta, pero no justificasu decisión.

• Puede decidir si algunas de lasafirmaciones es verdadera,pero no logra determinar larespuesta correcta.

• Marca una alternativaincorrecta o la omite.




Unidad 1


1. El número de días de un año no bisiesto, 365, es un número muy especial. Es elúnico que corresponde a la suma de tres cuadrados de números consecutivos ytambién es la suma de los siguientes dos cuadrados. ¿Cuáles son estos números?

2. Da valores a las siguientes letras para que se verifique cada igualdad.

a. (AA)2= ALA b.

3. Los siguientes números irracionales se inventaron siguiendo una regla.Descúbrela, escríbela y aplícala para encontrar las cinco cifras decimales quesiguen en cada caso.

a. 0,102103210… c. 5,1525354…

b. 10,212031304140… d. 1,1010010001…

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar paraevaluar la resolución de problemas planteados.

Comprensióndel problema osituación

Comprensión deconceptos

Verificación deresultados y/oprogreso

• Puede expresar en sus propiaspalabras e interpretarcoherentemente el problema.

• Identifica la informaciónnecesaria.

• Tiene una idea acerca de larespuesta.

• Aplica correctamente reglaso algoritmos cuando usasímbolos.

• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto aproblemas o asituaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

• Chequea racionalidad de losresultados.

• Reconoce sin razones.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que malinterprete parte del problema.

• Puede que tenga alguna ideaacerca de la respuesta.

• Demuestra un entendimientoparcial o satisfactorio.

• Puede demostrar y explicarusando una variedad demodos.

• Está listo para hacerconexiones acerca de cómoy por qué.

• Relaciona el concepto conconocimiento y experienciasanteriores.

• Realiza las tareas cada vez conmenos errores.

• Revisa cálculos yprocedimientos.

• Puede investigar razonessi existen dudas.

• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina pideexplicaciones.

• No modela los conceptosrutinarios correctamente.

• No puede explicar elconcepto.

• No intenta resolver elproblema.



• No reconoce si su respuestaes o no razonable.

Logro, aplicación En proceso, logro parcial No comprende


PAPI SI=



4Analizar, aplicar yrepresentar.

3 Conectar y seleccionar.

2 Analizar.

En terrenoPÁGINAS 62 - 63

Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar algunos de los contenidosde la unidad con alguna aplicación o trabajo práctico. La unidad plantea construiren forma geométrica una aproximación del numero p.Podría sugerir a sus estudiantes, además, encontrar un valor aproximado para p,usando un papel cuadriculado o un programa para graficar (Graphmatica esuna buena opción). Recuerde a sus alumnos y alumnas que un círculo de radio1 unidad tiene un área de p unidades2. Pídales que piensen en qué factordeterminará que la aproximación encontrada por este método sea buena. Puedenusar una calculadora y/o computador para verificar.Para complementar esta actividad, podría pedirles que investiguen acerca demétodos no geométricos de aproximar p. Una expresión para tener en mentees la serie:

Pídales que exploren qué tan buenas aproximaciones de p se logran a medidaque se toman cada vez más términos de la serie. Para comparar, pueden usarvalores calculados con un computador (la mayoría de los sistemas operativosposeen una calculadora científica como accesorio).Haga notar las aproximaciones en términos de números racionales dadas en laintroducción a la sección. Realmente, en la construcción de los números realesestá involucrada la idea de aproximar mediante números racionales. Recuerdeque los números enteros fueron construidos a partir de los naturales y los racio-nales a partir de estos últimos. Los números irracionales también puedenser construidos a partir de los racionales como una especie de límite de unasecuencia de números racionales. La construcción usada es menos elemental quelas ya conocidas. Una referencia al respecto se encuentra en el libro de M. Spivak,Cálculo infinitesimal, segunda edición, Editorial Reverté, 1992, Capítulo 28.

Síntesis de la UnidadPÁGINAS 64 - 65

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos yalumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados en toda la unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnicade estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican susaprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzadosus estudiantes.

En esta sección, los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapaconceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácterconceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidostrabajados en la unidad.

3 y 4Analizar, aplicar yconectar.

En tu cuaderno


1 y 2 Aplicar.

Investiguemos...


1 Evaluar.

2 Aplicar.


Síntesis de la Unidad


Mapaconceptual

Recordar, conectary representar.

p

41 1

315

17

= + +– – ...




Unidad 1


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntascomo las siguientes:

• ¿Es posible ubicar números irracionales en la recta numérica? ¿Cómo lo harías?Da un ejemplo.

• ¿Puedo expresar un número irracional como fracción?, ¿por qué?• ¿Qué tipo de número decimal es un número irracional?• ¿Qué números irracionales conoces? Da algunos ejemplos.• ¿Todas las raíces son números irracionales? Explica.• ¿Es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo? Explica.• ¿Siempre se puede calcular la raíz cúbica de un número negativo? Explica y daalgunos ejemplos para justificar tus respuestas.

• ¿Qué relación existe entre las potencias y las raíces?• ¿Qué propiedades de las raíces conoces?• ¿Qué es racionalizar una expresión?• ¿Para qué sirve la racionalización?• ¿Cómo definirías las ecuaciones con radicales?• ¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Explica y da un ejemplo.

Evaluación de la UnidadPÁGINAS 66 - 67

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de 13 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente 13 preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de 13 preguntas.


• En los ítems 16, 17 y 18, se podría presentar una dificultad relacionada conlos conceptos de diagonal, perímetro y área de un cuadrado. Para ello, se reco-mienda hacer un breve repaso de estos contenidos geométricos.

• En el ítem 8, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden que cual-quier número elevado a 0 es 1. Para evitar esto, se recomienda repasar estapropiedad antes de la evaluación.

• En los ítems 1, 3, 4 y 6 puede que tengan dificultades para resolver la expresiónpresentada, para ello recuérdeles las propiedades de las raíces. Es importante quelos alumnos y alumnas conozcan muy bien cada una de las propiedades, pues deesta forma podrán trabajar de manera óptima con las raíces.

• En el ítem 5, puede ocurrir que sus estudiantes quieran resolver el ejerciciodesarrollando el cuadrado de binomio asociado. Otra opción de resoluciónes expresar todos los términos en función de una misma raíz, luegoreducir términos semejantes y finalmente elevar al cuadrado. Para esto esimportante que puedan descomponer raíces para expresarlas en función deotras. Muéstreles ambas formas de resolución para que puedan notar queun método puede ser más conveniente que el otro.

Evaluación


1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8,10, 11, 12,13, 14, 15y 19

Calcular.

9, 16, 17 y 18 Aplicar y calcular.

Repasar conceptos y definicionesclaves de la Unidad.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis paraintegrar conceptos y definicionesde la unidad.

Como complemento a estaevaluación, el hipertexto cuentacon una evaluación interactiva y,además, una autoevaluación impri-mible para que susestudiantes evalúen su desempeño.



• En los ítems 7 y 12, puede que los y las estudiantes tengan dificultad paraencontrar el valor aproximado de la raíz dada, para ello es importante queaprendan cómo encontrar el valor de raíces no exactas con algún métodoconveniente, si es que no usan calculadora.

• En el ítem 9, el inconveniente estaría en que los alumnos y alumnas norecuerden el concepto de superficie total y también cómo calcularla en uncubo. Se recomienda explicar el concepto a través de la red de un cubo,mostrando que está compuesto por 6 cuadrados. Por lo tanto, el área totaldel cubo sería 6 veces el área de cada cuadrado.

• En el ítem 10, los alumnos y alumnas se podrían complicar al tratar de resol-ver la potencia del trinomio presentado. Muestre que la mejor opciónen ejercicios de este tipo es expresar todos los términos en función de unamisma raíz, luego reducir términos semejantes y finalmente elevar a la sexta.Para esto, es importante que puedan descomponer raíces para expresarlasen función de otras, por ello es fundamental que practiquen estos contenidoscon diversos niveles de dificultad.

• En el ítem 11, puede suceder que no recuerden cómo simplificar este tipo deexpresiones. Para ello, puede explicar el proceso de racionalización de raíces,cuya finalidad es eliminar las raíces en el denominador, o bien, pídales que traba-jen con potencias, transformando la raíz en potencia, y luego aplicar la propie-dad de división de potencias de igual base.

• En el ítem 13, podría provocar complicación en los y las estudiantes resolveruna composición de raíces. Recuérdeles que es conveniente dejar expresadotodo en una sola raíz. Para ello, deben comenzar introduciendo términos deadentro hacia afuera, considerando los índices de las raíces involucradas y apli-cando las propiedades de las raíces. También puedentrabajar expresando todo como potencias y aplicando sus propiedades.

• En el ítem 14, puede suceder que los alumnos y alumnas se confundan aloperar con raíces y elevar al cuadrado. Recuérdeles que al elevar a dos se eli-mina una raíz cuadrada, quedando la cantidad subradical. Nuevamente esimportante que tengan presente las propiedades de las raíces y las potenciaspara operar con mayor facilidad.

• En el ítem 15, se podría presentar la dificultad relacionada con aplicarcorrectamente las propiedades de las igualdades para resolver la ecuacióncon radicales. También puede ocurrir que no verifiquen los valores de xencontrados en la ecuación original en algunos casos en que el valor encontradono satisface la ecuación con radicales presentada. Para evitarlo, exija a sus alum-nos y alumnas verificar esto cada vez que resuelvan una ecuación de este tipo.

• En el ítem 19, se podría presentar dificultades relacionadas con las operatoriascon raíces y potencias. Se recomienda enfatizar en su utilidad y mostrar lo fácilque resulta la resolución del ejercicio al aplicar los conocimientos y propieda-des sobre potencias y raíces.




Unidad 1

Evaluación final

En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y quele permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Conlos resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunostemas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar lasiguiente pauta:

Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total

1 Calcular. 2 puntos 2 puntos

2 Analizar. 2 puntos 2 puntos

3 y 4 Calcular. 2 puntos cada una 4 puntos

5 y 6 Analizar. 2 puntos cada una 4 puntos

7, 8, 9, 10 y 11 Calcular. 2 puntos cada una 10 puntos

12 Aplicar y calcular. 2 puntos 2 puntos


Puntaje total 28 puntos

• Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003. • Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.Sitios web• El portal de la educación: www.educarchile.cl• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.netRecuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

BIBLIOGRAFÍA


Evaluación final

Material fotocopiable


Nombre: Curso: Fecha:

1. El valor de es:

A. 0,11

B.

C. 0,9

D. 0,99

E.

2. ¿Cuál de las alternativas es falsa?

A. es irracional.

B. p es irracional.

C. es real.

D. es irracional.

E. Toda fracción es un número real.

3. El resultado de es:

A.

B.

C.

D.

E.

4.

A. 7

B.

C. 0

D.

E. 47

5. ¿En cuál de los siguientes casos es siempreirracional?

I. x es par.II. x es impar.III. x es primo.

A. Solo IB. Solo IIIC. Solo I y IIID. Solo II y IIIE. I, II y III

6. Si x representa el área de un cuadrado, enton-ces, ¿cuál expresión representa el perímetro delcuadrado?

A.

B.

C.

D. 4x

E. x

7.

A.

B.

C. 4

D.

E. 10

119

911

81121

5 2 – 3 5 2 + 3( )( ) =

–25 5

24 5

x

2

324

3 2

8

12 2

−2 2

2 3

3 2 + 32 – 50

2 3+

Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.

7 + 3 =8 2

2

( ) ( )( )

7 386 4+

7 3+

10

x

2 x

4 x



Evaluación final


8. La expresión es equivalente a:

A.

B.

C.

D.

E.

9. El valor de es:

A. 6

B.

C.

D.

E. Ninguna de las anteriores.

10. Para ubicar geométricamente el número en una recta numérica, se puede construir untriángulo rectángulo de catetos:

A. 1 y

B. –1 y

C. –1 y

D. 1 y 2

E. –1 y –

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. Todos los números naturales son racionales. B. Todos los números racionales son naturales. C. Todos los números naturales son reales. D. Todos los números enteros son racionales. E. Todos los números irracionales son reales.

12. La hipotenusa del triángulo rectángulo isóscelescuyos catetos miden 10

–2es:

A.

B.

C.

D.

E.

13. Encuentra el valor de x en la ecuaciónlog2 x + log2 x = 2.

A. x = 0

B. x = 1

C. x = 2

D. x = 2,5

E. x = 3

14. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:

A. 3–1

B.

C. 9

D. 12

E. 2

127

13

43

23

86

26

83

2

23

3 – 2 3 + 26

( )( )

16

−

16

26

1100

210

2100

10 2

100 2

2

3

3

5

5



2Unidad

ExpresionesalgebraicasfraccionariasPROPÓSITO DE LA UNIDAD

En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por losalumnos y alumnas en relación al estudio de las expresiones algebraicas. Ellos ya han aprendido arepresentar relaciones entre valores conocidos y desconocidos mediante expresiones algebraicas, adesarrollar productos notables y a factorizar. También, han aprendido a resolver ecuaciones de primergrado con una incógnita. En este curso utilizarán esos conocimientos para escribir, evaluar y operarcon fracciones algebraicas. Primero, analizarán las fracciones para determinar en qué valores se anulano se indeterminan. Luego, aprenderán a simplificar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas, basadosen la factorización y en los productos notables, y a sumar y restar fracciones algebraicas, calculandoel mínimo común múltiplo correspondiente. Además, los alumnos y alumnas trabajarán con lasecuaciones que involucran fracciones algebraicas, aprenderán a resolverlas e interpretar sus soluciones.

A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los ylas estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextosmatemáticos y cotidianos.

A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.


Restricciones

Denominadordistinto de 0

Orden Simplicación Operaciones

Multiplicación División

SustracciónAdición

Ecuaciones

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicasfraccionarias

Planteamiento de problemasLenguaje algebraico


Expresiones algebraicas fraccionarias | 69

Tiempo

estim

ado: 5 a 6 sem

anas

CMO

CONTEN

IDOSDELA

UNID

AD

APR

ENDIZAJESESPE

RADOS

INDICADORES

REC

URSO

SDID

ÁCTICOS

TIPOSDEEV

ALU

ACIÓ

N

• Establecimiento de

estrategias para

simplificar, sumar, restar,

multiplicar y dividir

fracciones algebraicas

simples, con binomios

tanto en el numerador

como en el denomi-

nador y determinación

de aquellos valores que

indefinen una expresión

algebraica fraccionaria.

• Fracciones algebraicas.

• Comparación de

fracciones algebraicas.

• Análisis de fracciones

algebraicas.

• Restricciones en


• Simplificación de


• Multiplicación de


• División de fracciones

algebraicas.

• Mínimo común múltiplo

de expresiones

algebraicas.

• Adición de fracciones

algebraicas.

• Sustracción de


• Ecuaciones que

involucran fracciones

algebraicas.

• Situaciones que


algebraicas.

• Identificar las fracciones

algebraicas.

• Establecer relaciones de

orden entre fracciones

algebraicas.

• Simplificar fracciones

algebraicas utilizando

factorización y

productos notables.

• Resolver ejercicios de

adición, sustracción,

multiplicación y división

de fracciones

algebraicas.

• Explicar y expresar

algebraicamente

relaciones cuantitativas

incluidas en diversos

problemas. Resolver

esos problemas y

analizar las soluciones.

• Identifican las fracciones

algebraicas.

• Ordenan y simplifican


• Calculan sumas, restas,

productos y cuocientes

de fracciones

algebraicas.

• Interpretan fracciones

algebraicas.

• Explican y expresan

algebraicamente

relaciones cuantitativas

incluidas en diversos

problemas.

• Traducen problemas

a ecuaciones que


algebraicas.

• Resuelven ecuaciones

que involucran

fracciones algebraicas,

analizan las condiciones

de existencia de sus

soluciones.

• Computador con planilla

de cálculo.

• Calculadora científica.

• Diagnóstica: páginas

70 y 71 del Texto

para el Estudiante.

• Formativa: páginas

86 y 97 del Texto para

el Estudiante.

• Sumativa: páginas 104 y

105 del Texto para el



para el Profesor.




La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introduciry motivar a los alumnos y alumnas en el estudio y aprendizaje de las expresionesalgebraicas fraccionarias y otros contenidos relacionados.

En la imagen se muestra la presencia de la proporción áurea en las construccionesgriegas y con esto puede comenzar a conversar sobre las expresiones algebraicasfraccionarias, su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por ejemplo, en las ciencias, en la ingeniería y en la economía, entre otras. La soluciónde esta ecuación corresponde al número de oro f, ya comentado en la Unidad 1.


Para identificar los conocimientos previos que poseen los alumnos y alumnas, sepresenta una evaluación diagnóstica, titulada ¿Cuánto sabes? En ella se evalúan lashabilidades que a continuación se describen e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: Resolver operatoria combinada de números racionales (con y sinparéntesis). Simplificar según pertinencia.

Ítem 2: Determinar la validez de propiedades de los números racionales. Justificar.Ítem 3: Resolver operatoria algebraica, reconociendo además términos semejantes.


3 Calcular.

¿Cuánto sabes?

ÍtemHabilidades que

se evalúan

1 Calcular.


1

• Resuelve correctamentetodas las operacionescombinadas.

• Resuelve correctamentemás de tres operacionescombinadas.

• Resuelve correctamentetres operacionescombinadas.

• Resuelve correctamentemenos de tres operacionescombinadas.

2

• Determina validez detodas las expresiones. Escapaz de justificar.

• Determina validez de másde tres expresiones. Escapaz de justificar al menosel 50%.

• Determina validez de tresexpresiones. Es capaz dejustificar el 50%.

• Determina validez demenos de tres expresiones.Es capaz de justificar menosdel 50%.

3

• Resuelve correctamentetodas las operatoriasalgebraicas.

• Resuelve correctamentemás de cinco operatoriasalgebraicas.

• Resuelve correctamentecinco operatoriasalgebraicas.

• Resuelve correctamentemenos de cinco operatoriasalgebraicas.





Unidad 2


En el ítem 1, los errores frecuentes en operatoria combinada son no respetar elorden de las operaciones, a lo que se agrega lo siguiente:

- En la adición de racionales, sumar directamente, por ejemplo: .

- Confundir la multiplicación con la división de números racionales.

- No respetar el orden de los paréntesis.

- En ejercicios como e y f, suelen no respetar ley de los signos cuando un signo negativo antecede a un paréntesis.

En el ítem 2, en las aseveraciones b y e, no interpreta correctamente el cuociente,cuando uno de los elementos es cero. Aclarar este concepto basándose en que:

Si .

En el ítem 2, en la aseveración c, la principal dificultad es simplificar de la forma:

, pero se debe recordar que :

En el ítem 3, se sugiere repasar la reducción de términos semejantes, ya que los ylas estudiantes tienden a confundir la adición con la multiplicación de expresionesalgebraicas, luego calcularán, por ejemplo, de la siguiente forma:

• 2x6+ 5x

6= 7x

12

• 3x3– 5x

4= 15x

12

Es importante realizar una revisión de la evaluación diagnóstica de manera individual,para así conocer las realidades de cada estudiante. También sería interesante realizaruna revisión general en el pizarrón, lo que les permitiría reconocer sus errores,corregirlos y aclarar dudas evitando posteriores errores conceptuales.


1. Factoriza las siguientes expresiones:

a. 16 – (x – y)2 = d. 1 – a2 + 3b2 – 3ab2=

b. x4– 289 = e. x

6– y

6=

c. 1 000a3 – 27 = f. p9– q

9=

2. ¿A qué hora, después del mediodía, los punteros del reloj coinciden? (Si esnecesario, indique a los y las estudiantes que después del mediodía los punterosse juntan entre la 1 y las 2).

Deben plantear la ecuación: = xx + 60

112

23

32

55

+ =

ab

c bc a= ⇔ =

a ba

b+=

a ba

aa

ba

ba

b+= + = + ≠1

Aprendizaje de conceptos clavesa tratar en la unidad. Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información. Localiza yrecupera información.Sugerencias metodológicas: utilizar luego de haber avanzadoen los conceptos claves de launidad, como ejercitación.



3Interpretar yreconocer/identificar.

2 Calcular.

En tu cuaderno



Fracciones algebraicasPÁGINAS 72 - 73


Un buen método para ayudar a sus estudiantes a trabajar con fracciones algebraicas,es verlas y tratarlas como una extensión de las fracciones numéricas. Por lo tanto, sesugiere recordar la operatoria y propiedades de fracciones antes de comenzar.

Se sugiere que recuerde el orden de fracciones, porque podría asumir el alumno o

alumna que la mayor expresión de velocidad es , solo porque t + 5 es mayor.


Para motivar a los estudiantes en el estudio de las fracciones o expresionesracionales, se les puede pedir su IMC (índice de masa corporal), el cual relaciona lamasa M (kg) y la altura de una persona h (m). Se define mediante la expresiónracional:

IMC =

Se sabe que lo ideal es registrar un IMC = 30, así por ejemplo, una mujer de1,63 m de alto y de 90 kg o un hombre de 94,5 kg y 1,70 m de altura, tienen másposibilidades de enfermar que una persona con un IMC ideal.

Actividades sugeridas

1. Calcula con los datos anteriores, el IMC de un grupo de compañeros ycompañeras.

2. Valora con x = 3, a = 2 y b = 1 las siguientes expresiones:

a.

b.

Si primero se simplifica, el cálculo se hace más fácil.

M

h2

at + 5

Errores frecuentes• El alumno o alumna cree que lamayor rapidez en el problemainicial es t + 5, esto es porqueconfunde los conceptos tiempo yrapidez.

En la sección En tu cuaderno,un error común es pensar que1 minuto y diez segundos es lomismo que 1,10 minutos.

11

12

11

11

2−

− − ++

−+

+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

aax a x x x( ) ( )

a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

ab a b

a b

+

−+

−

+−

++

+

−

⋅−

+

3 3

2 2

Aprendizaje de la nomenclaturade términos de un polinomio.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar previo al análisis aritméticode las expresiones algebraicasfraccionarias.


2 Verificar.



Unidad 2

En tu cuaderno



Comparación de fracciones algebraicasPÁGINAS 74 - 75


Para los ejemplos dados, asegúrese de que los alumnos y alumnas comprendanpor qué una expresión es mayor que otra. En el caso del ejemplo 1, mencioneque en la expresión de la izquierda se tiene un número positivo más 1, que es unnúmero positivo siempre, dividido por otro número positivo, resulta un númeropositivo; en cambio, en la de la derecha, si 0 < n <1 el numerador de la fracciónresulta un número negativo, con lo que la expresión es negativa. Pueden verificar-lo también asignando valores numéricos para n.


Se recomienda, como actividad de investigación, trabajar con la propiedad detricotomía que indirectamente es utilizada para crear la desigualdad:

< . Luego, esta actividad puede estar orientada a investigar tanto el

concepto de tricotomía como en qué propiedades se ha utilizado para realizaruna demostración. También, se pueden sugerir actividades en que se utilicedirectamente este concepto.

a + 1b

ab + 1

En tu cuaderno


1 y 3 Analizar.

Análisis de fracciones algebraicasPÁGINAS 76 - 77


Estas páginas tienen como objetivo la reflexión y análisis de expresiones algebraicasespeciales, como son aquellas con denominador igual a uno, cero, etc. Además,se motiva a los y las estudiantes para analizar qué sucede con una determinadaexpresión si sus valores aumentan o disminuyen.

Como por ejemplo, la expresión .


1. Determina el valor de la expresión en cada caso.

a. con x muy grande.

b. con a muy grande. 2a + 53a + 1

x + 2x – 3

1x + 2

Errores frecuentes• Confunden valores de expresionesque involucran unos o ceros, por

ejemplo: cuando n = 0; se

suelen confundir con el valor ceropara la expresión. Para evitar estoserrores, es necesario explicar a los ylas estudiantes que, en algunasexpresiones, ciertos valores de lasvariables pueden no estar definidas.

1n



Restricciones en fracciones algebraicasPÁGINAS 78 - 79


El estudio de restricciones algebraicas fraccionarias constituye un tema importante,por lo cual, se debe motivar a los y las estudiantes a buscar valores para los cualesuna cierta expresión algebraica está indeterminada.

Es importante que los alumnos y alumnas logren comprender que para el análisisde expresiones algebraicas se deben dar variados valores numéricos y así revisar elcomportamiento de cada una de ellas.

Interesa que los y las estudiantes analicen las condiciones de existencia del valornumérico que puede tener una expresión racional.

Por ejemplo, no está definida para x = , esto significa que dicha expresión

toma valores muy grandes, no expresables numéricamente. ¿Qué sucede si x se

hace muy grande?

En este caso, se puede usar la equivalencia:

= , en la cual y , se reducen a cero cuando x se hace

cuando x es grande, es .

Para x = 1 el valor de está indefinido.


Pida a sus estudiantes que determinen entre qué valores se encuentra una expresiónalgebraica. Por ejemplo, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión x

4?

Analizar expresiones algebraicas tales como, 2n o 2n + 1, de manera de descubrirque representan números pares e impares, respectivamente, para lo cual sepropone asignar diferentes valores numéricos a n.

x2– 1

x – 1

25

2x + 35x – 1

3x

1x

2x + 35x – 1

15

Distinto es el caso de expresiones como , que se pueden simplificar siemprey cuando x ≠ 1.

x2– 1

x – 1

Así tenemos: = = x + 1. (x – 1)(x + 1)x – 1

x2– 1

x – 1

Herramientas tecnológicas


Usar herramientas e interpretar.

Errores frecuentes• Generalmente, se cree que paraque una fracción esté determinada,el denominador debe ser mayorque 0 y sus elementos al menosdistintos de cero, por esto,se sugiere enfatizar que no essiempre así.

2 3

5 1

+

−

x

xmuy grande. Tenemos que el valor de la fracción algebraica , 2x + 3

5x – 1




Unidad 2

1. Verifica si el valor de la variable es una restricción para la fracción en cada caso.

a. con m = 25m

2– 81

5m + 9–95

b. con x = –1 2x2+ 5x + 3x + 1

Simplificación de fracciones algebraicasPÁGINAS 80 - 81


El objetivo de estas páginas es relacionar las propiedades y procedimientos defracciones numéricas con propiedades y procedimientos de expresiones algebraicasfraccionarias. Interesa que los alumnos y alumnas relacionen los ejercicios aritméticoscon aquellos algebraicos, constatando que los resultados obtenidos en estos songeneralizaciones obtenidas del caso algebraico.

Por ejemplo: analizar el valor numérico de ; ; , etc., y luego comparar con el

análisis de la expresión .

Variante metodológica

Es posible que algunos estudiantes presenten problemas para aplicar propiedadesaritméticas a problemas algebraicos. Para ello, pida que en forma paralela efectúenoperaciones con fracciones y la correspondiente operación de expresionesfraccionarias que las representen, para luego comparar los resultados.

Puede pedir que completen un cuadro como el siguiente:

1x

14

13

12

2 Interpretar y calcular.

En tu cuaderno


1 Calcular.

37449

aa b

b

a b( ):( )+ +

2

316

49⋅

a

b

b

a2 2⋅

1

1a

1

12

Errores frecuentes

• Los y las estudiantes puedencaer en el error de factorizar laexpresión 12x

2– 12 como 12(x

2).

• En el caso de la expresión

, el alumno o

alumna tiende a simplificar solo

, ignorando que el numerador

está compuesto por un binomio.

12 1216 3 1

2xx x

−

+ +( )( )

1216

Aprendizaje del procedimientopara simplificar expresionesalgebraicas complejas.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación de repaso de fracciones algebraicas.



Multiplicación de fracciones algebraicasPÁGINAS 82 - 83


El problema propuesto en el Texto permite que usted muestre a sus estudiantesla relación entre las operaciones con fracciones numéricas, que ellos realizanhabitualmente, con las mismas operaciones, pero con fracciones algebraicas.Si ellos no comprendieran el desarrollo propuesto, asigne valores adecuados alas variables, por ejemplo, a = 12, b = 6, c = 36, P = 144, Q = 540 y R = 72,y resuelva el problema, paso a paso, tal como está descrito en el Texto. Luego,revise el procedimiento para las fracciones algebraicas. Insista en que la formade operar es la misma, solo que ahora se opera con términos algebraicos en lugarde números.

Es importante que sus estudiantes factoricen correctamente las expresionesalgebraicas, porque, en muchos casos, factorizar las expresiones contenidas en elnumerador y denominador facilita la simplificación en el caso de la multiplicación ydivisión de fracciones algebraicas, así como el cálculo del mcm, es fundamentalpara resolver la adición y sustracción de fracciones algebraicas.


1. Resuelve las siguientes multiplicaciones factorizando previamente e indicandolas restricciones.

a. c.

b. d.

Importa que los alumnos y alumnas visualicen la relación entre ambos tipos deejercicios: el aritmético y el algebraico; que puedan proponer otros ejemplos apartir de la forma general y constaten que los resultados que se obtienen sonparticularizaciones del caso general dado por el álgebra.

Posibles dificultades

Comúnmente, los y las estudiantes confunden el modelo aditivo con el multiplicativo,y por tanto, el significado del producto ab con la suma a + b. Para remediar estadificultad, se propone la comparación de productos y adiciones de la maneraaritmética; por ejemplo: calcular 124 + 21 y 124 · 21 y, luego, comparar los resultados.

En tu cuaderno


1 Calcular.

2 4

6 3 42

3

2 2a b

a ab

a

a b

−

+⋅

−

3 15

12 35

14 49

25

3

2

2

4 2a a

a a

a a

a a

−

+ +⋅ + +

−

6 43 3

9 9

36 48 16

2 2

2 2a ba b

a b

a ab b

+

−⋅ −

+ +

4 2 6 618 92 2 2

2x y

x y

x y

y

xx y

−

−⋅ − ⋅

−

Aprendizaje del procedimientopara simplificar expresionesalgebraicas progresivas.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar como autoevaluación enla simplificación de fraccionesalgebraicas.




Unidad 2

División de fracciones algebraicasPÁGINAS 84 - 85

Frecuentemente, la división de fracciones algebraicas se muestra como un procedimiento que se resuelve mecánicamente, ya que pocas veces los y lasestudiantes le encuentran sentido o no ven para qué puede utilizarse. El problemapropuesto en el Texto es un buen ejemplo de cómo se aplica la división defracciones algebraicas, especialmente cuando no se conocen las medidas específicas,pero sí las relaciones entre ellas, como en este caso.

Supervise si sus estudiantes utilizan correctamente los productos notables parasimplificar algunas fracciones antes o después de la división. Si no es así, esrecomendable que realice un repaso, en particular sobre cómo factorizar untrinomio con un término común, que es el caso más general y, eventualmente,incluya el cuadrado de binomio y la suma por diferencia.

Enfatice a sus alumnos y alumnas que, pese a que una fracción algebraica sinsimplificar puede ser igualmente correcta, es mejor que acostumbren a presentarla simplificada o bien factorizada, sobre todo si este resultado se va a utilizar en nuevos cálculos o para estimar algunos valores numéricos. Puedemostrar en el pizarrón un desarrollo en paralelo, con y sin simplificación, para queellos noten cómo, a medida que se resuelve cada nueva operación, sus cálculos sepueden volver muy engorrosos.


1. Resuelve las siguientes divisiones factorizando previamente e indicando lasrestricciones.

a.

b.

c.

d.

En tu cuaderno


1 Calcular.

x ax

x a

a x a

x

2

2 2 2−

+

⋅ −: ( )

bx ab

a

x ax a

b

− − +2

2 2

22:

4 12 9 6 9

1

2 2

3 2 2m mn n

m m

m n

m

+ +

+

+

−:

5 10

20

4

122

2 2

2p q

p p

p q

p p

+

+ −

−

− −:

Aprendizaje del procedimientopara el cálculo de operacionescon fracciones algebraicas.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar para ejercitar lasimplificación de fraccionesalgebraicas en más de una variable.




En el ítem 1, podría ocurrir que sus estudiantes olviden aplicar los valoresconsiderados de las variables para ordenar las expresiones dadas y, por lo tanto,podrían obtener conclusiones erradas sobre el orden correcto de las fracciones. Paraevitar esto, recuerde a sus estudiantes la importancia de los valores de las variablespara determinar el orden correcto en que deben estar las expresiones

En el ítem 2, los y las estudiantes podrían tener inconvenientes para decidir si se buscan valores de x para los cuales las fracciones se anulan o quedan indefinidas.Para evitar esto, previo a la actividad recuerde a sus estudiantes las condiciones deuna fracción, que se anula cuando su numerador se hace cero y su denominador esdistinto de cero; y que una fracción queda indefinida cuando su denominador sehace cero.


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera la habilidad que se detalla en elcuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: ordenar fracciones algebraicas.Ítem 2: determinar para qué valores se anula y se indefine una fracción algebraica.Ítem 3: determinar para qué valores una fracción algebraica es positiva.Ítem 4: resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas.Ítem 5: resolver divisiones de fracciones algebraicas.

Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar elnivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Mi progreso


se evalúan

1 Ordenar.

2 y 3 Evaluar.

4 y 5 Aplicar.


1

• Ordena correctamentelas fracciones algebraicas entodos los grupos dados.

• Ordena correctamentelas fracciones algebraicas endos de los grupos dados.

• Ordena correctamentelas fracciones algebraicas enun grupo dado.

• No ordena correctamentelas fracciones algebraicas deningún grupo dado.

2 y 3

• Determina correctamentelos valores de x en todas lasfracciones algebraicas.

• Determina correctamentelos valores de x en tres delas fracciones algebraicas.

• Determina correctamentelos valores de x en dos delas fracciones algebraicas.

• Determina correctamentelos valores de x en menosde dos fracciones algebraicas.

4 y 5

• Resuelve correctamentetodas las operaciones confracciones algebraicas.

• Resuelve correctamentedos de las operaciones confracciones algebraicas.

• Resuelve correctamenteuna operación con frac-ciones algebraicas.

• No resuelve correcta-mente ninguna operacióncon fracciones algebraicas.




Unidad 2

En el ítem 3, podría ocurrir que sus estudiantes solo observen los signos de losnúmeros que tiene la fracción para decidir si es positiva o no. Recuérdeles que estodepende del signo del numerador y del denominador, si son iguales, la fracción espositiva.En el ítem 4, los alumnos y alumnas suelen multiplicar directamente, y despuéssimplificar el resultado, lo cual no siempre es fácil de realizar por la eventualcomplejidad de las expresiones resultantes. Para evitar esto, recuerde a los y lasestudiantes que, de ser posible, simplifiquen las expresiones antes de realizar lamultiplicación.

Por otro lado, en el ítem 5, al tratarse de divisiones, los y las estudiantes suelenpensar que deben multiplicar directamente, lo cual no lleva al resultado correcto.Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que para dividir fracciones algebraicas,se debe transformar en una multiplicación por el inverso multiplicativo del divisor.

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicasPÁGINAS 87 - 88


Estas páginas tienen como objetivo generalizar el cálculo de mcm mediante ladescomposición prima, de manera de facilitar cálculos del tipo algebraico y lasoperatorias básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).

Se recomienda comenzar calculando el mcm entre factores numéricos y, paso a paso,ir generalizando hasta llegar a determinar el mcm entre expresiones algebraicas.

Variantes metodológicas

Para evitar problemas con la factorización para calcular el mcm entre expresionesalgebraicas, se recomienda el siguiente tipo de actividad:

Completa la siguiente tabla y, luego, saca tus conclusiones.

Expresiones Mínimo común múltiplo

En tu cuaderno


1 y 2Reconocer, interpretary calcular.

Errores frecuentes• Los y las estudiantes puedenconsiderar solo triángulosrectángulos para la imagen delproblema inicial, donde los catetoscorresponden a las medidas a y b,pero no considerar otro tipos detriángulos, o simplemente cometenel error de medir como a uno delos lados de un triángulo y como botro de los lados del mismo, sinconsiderar que este último nocorresponde a la altura.

12

14

16

, ,

1 1 12 4n n n

, ,

2 134

152a a a

, ,

25

1320

1525

, ,



Adición de fracciones algebraicasPÁGINAS 89 - 90


Estas páginas tienen como objetivo la aplicación de los contenidos de simplificación,factorización y el cálculo del mcm, por lo cual, se propone un repaso antes dedesarrollar las páginas.Por ejemplo, encontrar el mcm entre 20, 400 y 160 000, o bien, encontrar el mcm

entre x, x2, x4.


Puede entregar a los y las estudiantes procedimientos de adición y sustracción deexpresiones algebraicas, y pedir que encuentren errores en dichos procedimientos.Pida que inventen un ejercicio para resolver y que sea revisado por un compañeroo compañera.Una actividad posible es trabajar con fracciones de distinto denominador (sin

igualar los denominadores) con el siguiente procedimiento: + = .

Con esto se obtiene el mismo resultado pero, en ocasiones, es necesariosimplificar la expresión resultante.

1. Resuelve las siguientes adiciones factorizando previamente cuando sea necesario.

a. c.

b. d.

ad + bcbd

cd

ab

x

x x x2 4

22

52−

+−

++

5

5 6

4

42 2a a a− −+

−

12

4 5

21

352a a a a− −

+++

−

3 2

5 6

2 4

2

3 7

2 32 2 2x

x x

x

x x

x

x x

+

+ ++ −

+ −+ −

+ −

3 Representar y calcular.

En tu cuaderno


1 y 2 Calcular.

Errores frecuentes• Una dificultad puede estar dadapor errores en la factorización yen la aplicación de productosnotables. Por ejemplo, confundirsuma por su diferencia concuadrado de binomio. Pararemediar esto, muestrerepresentaciones geométricasde los productos notablescomúnmente usados.


Pedir a los y las estudiantes que obtengan el mínimo común múltiplo de algunasexpresiones algebraicas que involucren la aplicación de productos notables, por ejemplo:

El mcm entre los denominadores de:

es

El mcm entre los denominadores de:

es

1

22 2 2( ); ;

( )a b

a

a ab b

ba b+ + + +

22 2

n

n b

bn b

n bn b− +

+

−; ;

Se reconoce la diferencia entre unaexpresión algebraica factorizable deuna que no lo es.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar al terminar de explicar losmétodos de factorización.




Unidad 2


1. Resuelve las siguientes sustracciones factorizando previamente cuandosea necesario.

a.

b.

c.

d.

x

x x

x

x x

−

+ +− −

+ −

3

7 6

2 1

5 62 2

p qp q

p qp q

pq

p q

+

−− −

+−

−

42 2

u

u u

u

u u

+

+ +− −

+ +

3

6 8

3

8 162 2

m

m m

m

m m

−

− −− +

+ +

7

2 15

5

7 122 2

Sustracción de fracciones algebraicasPÁGINAS 91 - 92


Tanto en la adición como en la sustracción de fracciones algebraicas, los y lasestudiantes pueden demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque se demoren en reconocer los factores de cada expresión algebraica o tambiénporque se confundan fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicarmecánicamente. Asegúrese de que sus estudiantes dispongan de tiempo suficientepara terminar los ejercicios y, luego, comparar sus respuestas con las de suscompañeros y compañeras.

Insista en comparar cómo se resuelve la adición y sustracción de fraccionesnuméricas con la adición y sustracción de fracciones algebraicas. Esto les permitirácomprender mejor el procedimiento. Si observa que la dificultad radica en que nohan aprendido correctamente las operaciones con fracciones numéricas, es indispensable realizar un repaso completo de estas operaciones.

En tu cuaderno


1 y 2 Calcular.



Se sugiere recordar al alumno y alumna, para evitar complicaciones en la resoluciónde ecuaciones (que es el objetivo de la unidad), realizar en el pizarrón una tabla decodificaciones algebraicas claves, tales como: el doble de un número, el sucesor deun número, el inverso de un número y el opuesto de un número, entre otros.


1. A la base de un rectángulo se le añaden 5 cm. ¿Cuánto debe añadirse a la alturapara que el área del rectángulo resultante sea el doble de la del primero?

2. Averigua en qué consiste el teorema de la bisectriz y luego utilízalo pararesolver el siguiente problema.

La bisectriz del ángulo en C divide al tercer lado en dos segmentos cuya diferencia es 12 cm. Calcula la medida de dicho lado.

a

x

b 5

A

C

20 36

x x + 12B

Errores frecuentes• Los y las estudiantes suelenconfundirse al plantearalgebraicamente un problema, conelementos tales como ocho vecescon la octava parte.

Resolución de ecuacionesalgebraicas fraccionarias.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar al explicar la metodologíade resolución de ecuacionesfraccionarias.

3 Calcular.

Ecuaciones que involucran fracciones algebraicasPÁGINAS 93 - 94


Es posible que la lectura de los enunciados de los problemas correspondientesa las ecuaciones resulte tediosa para los alumnos y alumnas; en este caso, sesugiere realizar juegos de rapidez para motivar la lectura e incentivar la invenciónde problemas, poniendo a prueba su creatividad. De la geometría se puedenextraer muchos y variados ejemplos; se pueden plantear ejercicios interesantesusando semejanza de triángulos.

Es importante mencionar a los y las estudiantes la utilidad de aplicar la factorizacióny simplificación de expresiones algebraicas para resolver una ecuación que involucrafracciones algebraicas, ya que esto evita hacer cálculos innecesarios.

En tu cuaderno


1 y 2 Analizar y aplicar.




Unidad 2

Errores frecuentes• Una dificultad a la cual seenfrentan los y las estudiantes, esel traducir una situación dadaverbalmente a un lenguaje escrito.Para esto, se recomienda practicarcon casos simples.

• El hecho de que una llave trabajela mitad que otra puede confundira los y las estudiantes, ya que estosasumirán que ambas trabajan1,5 horas, por lo tanto responderán(incorrectamente) diciendo quecomo 1,5 · 2 = 3, entoncesbastarán dos períodos de tiempo.

• Si corresponde a una de las

llaves, el alumno o alumna tenderáa suponer, que si la otra llave tardauna hora más, esto se podrá escribir

como la expresión + 1.1a

1a

Situaciones que involucran fracciones algebraicasPÁGINAS 95 - 96


El objetivo de estas páginas es que el alumno y alumna traduzcan situaciones allenguaje algebraico y las resuelvan utilizando ecuaciones; para esto es necesarioque logren comprender que las fórmulas matemáticas y expresiones algebraicastienen un nivel de independencia en contextos numéricos. Como por ejemplo, escribir en lenguaje algebraico:

a. El doble de un número aumentado en 15 unidades.b. La edad de dos personas suman 57 años.c. La edad que tenían hace cinco años, etc.

Recuerde a los y las estudiantes los pasos a seguir para la resolución de un problema:

• Leer el problema.• Analizar el procedimiento a seguir.• Plantear la situación problemática.• Resolver.• Redactar la respuesta.• Evaluar la pertinencia de la solución obtenida.

Como el enunciado del problema dice que una llave se demora la mitad de laotra, se prestará a confusión que para el desarrollo del problema se escribió 2x

y no , que es la codificación adecuada. Se propone explicar a los y las estudiantes

por qué se realiza esta codificación y que, dependiendo la forma de plantear lasituación, es igual de adecuado cualquiera de las dos expresiones algebraicas.


1. Resuelve los siguientes problemas.

a. El triple de un número más 90 unidades es igual a su doble aumentado en tres.

b. Las edades de dos hermanos están en la razón de m es a n; si uno de ellostiene 3b + 12 años, expresa la edad del otro hermano en función de b.

c. Un curso de 24 estudiantes contrata un bus para un paseo escolar; el díade la salida 4 de los jóvenes se enferman y no asisten, por lo que la cuotaa pagar por cada uno sube a $ 2 000. ¿Cuánto cobró el bus?

d. Un automovilista demora 8 horas en recorrer la distancia que separa dosciudades; su hermano demora 2 horas menos empleando una rapidezsuperior en 20 km/h. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades?

x2

En tu cuaderno


1 Representar y analizar.

2Formular, representary aplicar.





Ítem 1: hallar mcm de expresiones algebraicas. Ítem 2: resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas.Ítem 3: resolver ecuaciones con fracciones algebraicas.Ítem 4: resolver problemas que involucran fracciones algebraicas.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivelde conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Mi progreso


se evalúan

1, 2, 3 y 4 Calcular.


1

• Encuentra en todos losgrupos el mcm quecorresponde.

• Encuentra en tres de losgrupos el mcm quecorresponde.

• Encuentra en dos de losgrupos el mcm quecorresponde.

• Encuentra en menos dedos grupos el mcm quecorresponde.

2

• Resuelve correctamentetodas las operaciones deadición y sustracción.

• Resuelve correctamentemás de tres operaciones deadición y sustracción.

• Resuelve correctamentetres operaciones de adicióny sustracción.

• Resuelve correctamentemenos de tres operacionesde adición y sustracción.

3

• Resuelve completamentey correctamente todas lasecuaciones.

• Resuelve completamentedos ecuaciones.

• Resuelve completamenteuna ecuación.

• No logra resolver ningunaecuación completamente.

4

• Resuelve completamentey correctamente el proble-ma.

• Resuelve el problema conerrores, pero escribecorrectamente la ecuación.

• Resuelve correctamente el problema, por tanteo.

• No logra resolver elproblema.


En el ítem 1, podría ocurrir que sus alumnos y alumnas no visualicen con facilidadcómo aplicar el procedimiento para encontrar el mcm de las expresionescorrespondientes. Para ayudarlos, recuérdeles que deben factorizar las expresionesde cada grupo, a fin de encontrar el mcm requerido con mayor facilidad.

En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las adiciones ysustracciones no recuerden el procedimiento y simplemente sumen y restennumeradores y denominadores por separado y, con ello, los resultados obtenidossean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde el procedimientode adición y sustracción de fracciones numéricas, y que esto se extiende a lasfracciones algebraicas.




Unidad 2


La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sinembargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para quelos y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas. Además, esta res-olución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permiteaclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener.Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución deproblemas:

Comprender: Los y las estudiantes deben leer atentamente las instrucciones del problema. Yrealizar un análisis de la resolución propuesta.En caso de que se presenten alumnos o alumnas con dificultad para entender losproblemas, se sugiere que:

a. Repase de la fórmula de área de un rectángulo.b. Repase el concepto de codificación algebraica.c. Repase ecuaciones literales de primer grado.

d. Explique, por qué cm2, utilizando los conceptos de despejar una

incógnita en una ecuación literal de primer grado, además de la sustitución deincógnitas.

e. Realice diagramas que le permitan a los alumnos y alumnas situar correctamenteancho y largo de cada rectángulo.

Planificar:El alumno y alumna deben planificar una estrategia similar para resolver las preguntassiguientes que no se encuentran resueltas, considerando, además, conceptos comoproporciones, evaluación de expresiones algebraicas y conceptos físicos comovelocidad.

1, 2 y 3(Pág. 87)

Aplicar, calcular yverificar.

En tu cuaderno


1 y 2(Pág. 86)


x ACmq

=

En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las ecuaciones no

recuerden la propiedad o no la apliquen correctamente y los

resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerdeesta propiedad de las fracciones para resolver el ejercicio correctamente.

En el ítem 4, podría ocurrir que los y las estudiantes no traduzcan adecuadamente allenguaje algebraico, y con ello los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitaresto, previo a la actividad recuerde el procedimiento de traducir del lenguaje usual allenguaje algebraico, y notar este hecho para resolver adecuadamente el problema.

ab

cd

ad bc= ⇔ =



Resolver:Los y las estudiantes deberán manejar la operatoria algebraica, cálculo de áreas ygeneralización de estas a través de conceptos algebraicos.

Revisar:Enfatice en lo importante que es revisar cada resultado, su pertinencia según el contexto del problema y la comprobación de los métodos utilizados.










• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a proble-mas o a situaciones nuevas.




• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que malinterprete partedel problema.





• Relaciona el concepto conconocimientos y experienciasanteriores.
















Unidad 2

4 Aplicar y representar.


Investiguemos...


1 y 2 Evaluar.


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos yalumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección se resumen y organizan a través de un mapa conceptual losconceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácterconceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidostrabajados en la unidad.



• ¿Qué debe analizarse en una fracción algebraica?, ¿cómo lo harías? Da un ejemplo.• ¿Se puede expresar una fracción algebraica como fracción?, ¿en qué casos?• ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con fracciones algebraicas? Explica y daun ejemplo.


Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidosen la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionadacon la ley de enfriamiento de Newton.

Se recomienda que esta actividad sea realizada de forma individual y al términode esta formar grupos de 3 personas para comentar y comparar las solucionesobtenidas.

También puede trabajar con una planilla de cálculo y obtener una tabla relacionandola estimación de la hora de muerte con la temperatura del cadáver, considerandouna misma temperatura ambiental. Esto permitirá que visualicen de mejor forma elcomportamiento de la temperatura del cadáver a medida que pasa el tiempo y cómoesto permite determinar la hora de muerte de las personas.

Para complementar esta actividad, podría pedir a sus alumnos y alumnas queinvestiguen sobre otros contextos en los cuales este modelo resulte útil paradeterminar la temperatura de ciertos objetos.

3, 4 y 5 Analizar y aplicar.

En tu cuaderno


1 y 2Usar herramientasy calcular.

2 Aplicar.




Mapaconceptual





Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de 10 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente entre ocho y diez preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de ocho preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales:• En los ítems 1, 2 y 3, se podría presentar una dificultad relacionada con elconcepto de orden en fracciones algebraicas. Para ello, se recomienda mostraralgunos ejemplos de cómo valorizar para determinar el orden correcto.

• En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden a qué serefiere una restricción en una fracción algebraica. Para evitar esto, se recomiendarecordarles que se relaciona con los valores en que la fracción se indefine.

• En los ítems 6, 7 y 8, podría pasar que los y las estudiantes no recuerden losproductos notables y su correspondiente desarrollo, o bien, que confundandivisión y multiplicación de fracciones algebraicas. Se sugiere que antes realiceun breve repaso de los principales productos notables.

• En los ítems 10 y 12, se podría presentar una dificultad relacionada con elconcepto de mínimo común múltiplo, aplicado a fracciones algebraicas. O bien,que sumen horizontalmente, error heredado de las fracciones algebraicas. Paraevitar esto, se recomienda recordarles el proceso de adición y sustracción defracciones y compararlo con el procedimiento para sumar y restar fraccionesalgebraicas, y cómo obtener el mcm en el caso de las expresiones algebraicas.

• Como todos los ítems son de selección múltiple, la información que entrega laalternativa seleccionada por los y las estudiantes es limitada, de modo que esdifícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden deberse a la faltade conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitareste inconveniente, se sugiere que en estos ejercicios pida que realicen algúntipo de desarrollo en cada pregunta, para poder detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los niveles de logro que se espera para loscontenidos de esta unidad.

13 y 14 Aplicar.

10, 11 y 12 Calcular.

9 Reconocer/Identificar.

6, 7 y 8 Calcular.

5 Conjeturar y analizar.

4 Analizar.

Evaluación


se evalúan

1, 2 y 3 Analizar y clasificar.

Como complemento a estaevaluación, el hipertexto cuentacon una evaluación interactiva y,además, una autoevaluaciónimprimible para que susestudiantes evalúen su desempeño.




Unidad 2

Evaluación final



1, 2 y 3 Reconocer/Identificar. 2 puntos cada una 6 puntos


5 Reconocer/Identificar. 2 puntos 2 puntos



9 Aplicar. 2 puntos 2 puntos



• Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003. • Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.Sitios web• El portal de la educación: www.educarchile.cl• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.netRecuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

BIBLIOGRAFÍA


Evaluación final




exponentes positivos.

A. 3ax D.

B. 3a5x7

E.

C.

2. Al simplificar se obtiene:

A. – D.

B. – E.

C.

3. Al simplificar se obtiene:

A. D.

C.

4. (Ensayo PSU, 2004) Si t = 0,9 y r = 0,01;

entonces es igual a:

A. 0,89

B. 0,9

C. 8,9

D. 89

E. Ninguno de los valores anteriores.

5. (Ensayo PSU, 2004) Si x e y son números enteros

distintos de 0, entonces + es igual a:

A. 1 D.

C.

6. (Ensayo PSU, 2004) En la igualdad ,

si P y R se reducen a la mitad, entonces,para que se mantenga la igualdad, el valorde Q se debe:

A. duplicar.

B. mantener igual.

C. reducir a la mitad.

D. cuadruplicar.

E. reducir a la cuarta parte.

x + yxy

2x + 2yxy

xy

yx

ab2

a4

b

t – rr

x2

9y

9x6

y9x2

y7

a5

2b3

a4

2b

a3

2b

(–2a2b)

3

(–4ab2)2

3xa

3x

3ax

x

y

x

y

2

3

12

2

23

−

−−

−

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⋅⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟


B. E.9y7

x2

x2

9y7

1 1 1P Q R= +

B. 2 E. x2+ y

2

xy

1. Simplifica y expresa usando solo6a2x4

2a3x3



Evaluación final


7. (Educarchile, PSU, 2004) Si a π b,

entonces es:

A. ab

B.

C.

D. 0

E.

8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve:

A. D.

B. E.

C.

9. Una llave puede llenar una tina en 5 minutosy otra lo hace en 6 minutos. Si se abren ambasllaves al mismo tiempo, ¿cuánto tardan en llenarla tina las dos juntas?

A. minutos.

B. 11 minutos.

C. 30 minutos.

D. minutos.

E. minutos.

10. El resultado de es:

A.

B.

C.

D.

E.

11. El resultado de

es:

A.

B.

C.

D.

E.

1 1a bb a

−

−

1ab

−

1ab

1a b−

1 1 1x y x

: +

yx+1

11x +

xx y+

yx y+

yx+1

2

1130

3011

112

( )a b

a b

−

+

3

3 3

a b

a b

3 3

3

−

+( )

a b

a b

3 3

3 3

−

+

a ba b−

+

a b

a b

−

+

3

3

a ba b

a ba b

++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2:

abxy

xyab

+

2 abxy

xyab

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

axby

byax

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2ayxb

xbay

+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

axby

byax

−

xy

yx

ab

ba

xy

yx

ab

ba

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎠⎟



3Unidad

Sistemas deecuacioneslinealesPROPÓSITO DE LA UNIDAD

Los sistemas de ecuaciones lineales son un tema central dentro de los contenidos trabajados en laEducación Media, debido a su gran aplicabilidad en variados contextos matemáticos y del mundo real.Por ello, la enseñanza de este tema se realiza a través de la resolución de problemas provenientes dediferentes contextos cotidianos, dando, de esta forma, sentido a las ecuaciones y variables utilizadas.

La intencionalidad de esta unidad no es solo que los alumnos y alumnas se centren en la resoluciónde sistemas de ecuaciones lineales, sino también que sean capaces de modelar distintas situacionesproblemáticas con estos sistemas y además puedan interpretar los resultados obtenidos, de acuerdo alcontexto del problema planteado. Por ello, los sistemas de ecuaciones lineales deben ser concebidoscomo una herramienta para la resolución de problemas, y no solo como un contenido matemáticoalejado de la realidad. Sin embargo, es importante la ejercitación de diversos sistemas de ecuaciones,para que los estudiantes puedan analizar los distintos casos según el número de soluciones que tengael sistema de ecuaciones, a través de diferentes métodos de resolución, incluida su interpretación gráfi-ca con la ecuación de la recta.



Pertinencia de las solucionesAnálisis de las soluciones

Resolución de problemas

Aplicación

Rectas secantes

Rectas coincidentes

Rectas paralelas

Solución única

Infinitas soluciones

No tiene solución

Igualación

Sustitución

Reducción

Sistemas deecuaciones lineales

Tipos de soluciones

Método gráfico

Métodos de resolución

Métodos algebraicos

Incógnitas auxiliares

Ecuaciones linealescon dos incógnitas


Sistemas de ecuaciones lineales | 93


CMO

CONTENIDOSDELA

UNIDAD


INDICADORES

RECURSOSDIDÁCTICOS

TIPOSDEEVALUACIÓN

• Reconocimiento de

sistemas de ecuaciones

lineales como modelos

que surgen de diversas

situaciones o

fenómenos.

• Resolución de problemas

asociados a sistemas de

ecuaciones lineales con

dos incógnitas en

contextos variados,

representación en el

plano cartesiano usando

un softw

aregráfico y

discusión de la existencia

y pertinencia de

las soluciones.

• Ecuaciones lineales con

dos incógnitas.

• Planteo de sistemas de


dos incógnitas.

• Método gráfico.

• Análisis de las

soluciones en el plano

cartesiano.

• Método de igualación.

• Método de sustitución.

• Método de reducción.

• Análisis algebraico

sobre la existencia de

soluciones.

• Estudio de las

soluciones.

• Otros sistemas

asociados a sistemas de

ecuaciones lineales.

• Plantear y resolver


lineales con dos

incógnitas.

• Conocer y utilizar

diversos métodos de

resolución de sistemas

de ecuaciones.

• Representar sistemas de

ecuaciones lineales en

el plano cartesiano

utilizando un

softw

aregráfico.

• Analizar las soluciones

de sistemas de

ecuaciones lineales

representados en el

plano cartesiano.

• Discutir la existencia y

pertinencia de las

soluciones de

problemas asociados

a sistemas de


• Resolver problemas que

involucren sistemas de


dos incógnitas.

• Plantean y resuelven


lineales con dos

incógnitas.

• Conocen y utilizan

diversos métodos de

resolución de sistemas

de ecuaciones.

• Representan sistemas

de ecuaciones lineales

en el plano cartesiano

utilizando un

softw

are gráfico.

• Analizan las soluciones

de sistemas de

ecuaciones lineales

representados en el

plano cartesiano.

• Discuten la existencia y

pertinencia de las

soluciones de

problemas asociados

a sistemas de


• Resuelven problemas

que involucren sistemas

de ecuaciones lineales

con dos incógnitas.

• Regla

• Computador

• Diagnóstica: páginas 108

y 109 del Texto para

el Estudiante.

• Formativa: página 102 y


Estudiante.

• Sumativa: páginas 140 y




para el Profesor.


4 Usar herramientas.

5 Calcular.

6 Analizar.

7 Representar y calcular.



La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tienecomo propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizaje delos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, sus métodos de resolucióny el análisis de sus soluciones. La intencionalidad de la introducción presentadatambién es mostrar a los alumnos y las alumnas que este contenido matemáticoes posible encontrarlo en variados temas del mundo real, como la aleación demetales como el oro.

Chile es un país de grandes reservas minerales, por eso la extracción de mineralesmetálicos y no metálicos ha sido un factor de gran importancia para la economíade nuestro país, ya que ha permitido el crecimiento de la economía chilena. Laextracción de cobre, es nuestra principal fuente de recursos, ya que somos elprincipal exportador de cobre en el mundo.

Más información sobre la minería en Chile, puede encontrar en el sitio web delMinisterio de Minería de Chile: www.minmineria.cl.Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.


En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir elnivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos deesta unidad.Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientescriterios: Ítem 1: responde las preguntas planteadas.Ítem 2: resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita.Ítem 3: determina si los pares de ecuaciones dadas son equivalentes, justificando

su respuesta.Ítem 4: grafica funciones lineales y afines en el plano cartesiano.Ítem 5: evalúa expresiones algebraicas.Ítem 6: determina si las proposiciones dadas son verdaderas, justificando sus

respuestas.Ítem 7: determina las variables involucradas en cada problema, plantea la ecuación

correspondiente, la resuelve y verifica la pertinencia de la solución encontrada.

2 Calcular.

3 Calcular y analizar.

¿Cuánto sabes?


1 Recordar.


1

• Responde correctamentetodas las preguntasplanteadas.

• Las explicaciones yrespuestas entregadas sonclaras y completas.

• Responde correctamentemás de tres de las pregun-tas planteadas.

• La mayoría de lasexplicaciones y respuestasentregadas son claras ycompletas.

• Responde correctamentetres de las preguntasplanteadas.

• La mitad de las explica-ciones y respuestas entre-gadas son claras y com-pletas.

• Responde correctamentemenos de tres de las pre-guntas planteadas.

• Las explicaciones yrespuestas entregadas sonpoco claras e incompletas.





Unidad 3


2

• Resuelve correctamentetodas las ecuacionesplanteadas.

• Aplica correctamente laspropiedades de las igual-dades para resolver lasecuaciones.

• Resuelve correctamentemás de tres de las ecua-ciones planteadas.

• Aplica correctamente laspropiedades de las igual-dades para resolver lasecuaciones.

• Resuelve correctamentetres de las ecuacionesplanteadas.

• Aplica correctamente enla mitad de los casos laspropiedades de las igual-dades para resolver lasecuaciones.

• Resuelve correctamentemenos de tres de lasecuaciones planteadas.

• Aplica incorrectamentelas propiedades de lasigualdades en la mayoríade los casos para resolverlas ecuaciones.

3

• Determina correctamenteen todos los casos si lospares de ecuaciones pre-sentadas son equivalentes.

• Aplica correctamentelas propiedades de lasigualdades para determinarlas equivalencias.

• Determina correctamenteen la mayoría de loscasos si los pares deecuaciones presentadasson equivalentes.

• Aplica correctamente laspropiedades de las igual-dades para determinar lasequivalencias.

• Determina correctamenteen dos casos si los paresde ecuaciones presentadasson equivalentes.

• Aplica correctamente enla mitad de los casos laspropiedades de las igual-dades para determinar lasequivalencias.

• Determina correctamenteen menos de dos casos silos pares de ecuacionespresentadas son equiva-lentes.

• Aplica incorrectamentelas propiedades de lasigualdades en la mayoríade los casos para determi-nar las equivalencias.

4

• Dibuja correctamente unplano cartesiano.

• Grafica correctamentetodas las funciones dadas.


• Grafica correctamentemás de tres de las fun-ciones dadas.


• Grafica correctamentetres de las funcionesdadas.

• Dibuja de forma incorrectaun plano cartesiano.

• Grafica correctamentemenos de tres de las fun-ciones dadas.

5

• Determina correctamenteel valor de todas lasexpresiones presentadasconsiderando los valoresdados.

• Aplica correctamente laspropiedades de lasoperaciones.

• Determina correctamenteel valor de más de cuatrode las expresiones pre-sentadas considerando losvalores dados.

• Aplica correctamente laspropiedades de las opera-ciones.

• Determina correctamenteel valor de cuatro de lasexpresiones presentadasconsiderando los valoresdados.

• Aplica correctamente las propiedades de lasoperaciones en cuatro delos casos presentados.

• Determina correctamenteel valor de menos decuatro de las expresionespresentadas considerandolos valores dados.

• Aplica incorrectamentelas propiedades de lasoperaciones la mayoríade los casos.

6

• Determina correctamentesi todas las proposicionesdadas son correctas.

• Justifica adecuadamentecada una de las proposi-ciones dadas.

• Determina correctamentesi más de tres de lasproposiciones dadas soncorrectas.

• Justifica adecuadamentemás de tres de lasproposiciones dadas.

• Determina correctamentesi tres de las proposicionesdadas son correctas.

• Justifica adecuadamentetres de las proposicionesdadas.

• Determina correctamentemenos de tres de lasproposiciones dadas soncorrectas.

• Justifica adecuadamentemenos de tres de lasproposiciones dadas.

7

• Para todos los enunciadosplanteados, define las variables, plantea unaecuación, resuelve laecuación y verifica la per-tinencia de la soluciónencontrada.

• Para más de dos de losenunciados planteados,define las variables,plantea una ecuación,resuelve la ecuación yverifica la pertinencia dela solución encontrada.

• Para dos de los enuncia-dos planteados, define lasvariables, plantea unaecuación, resuelve laecuación y verifica la per-tinencia de la soluciónencontrada.

• Para menos de dos de losenunciados planteados,define las variables,plantea una ecuación,resuelve la ecuación yverifica la pertinencia dela solución encontrada.



En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para responderlas preguntas relacionadas con funciones y sus parámetros. En caso de advertir unconocimiento insuficiente, puede repasar los conceptos básicos, tales como:ecuación, incógnita, solución, gráfica de una función afín y recta, ya que esto seráde utilidad para el estudio de esta unidad.

En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes resuelvan de maneraincorrecta las ecuaciones, ya que aplican de forma errónea las propiedades delas igualdades. Evite esto explicando y repasando cada una de estas propiedades.Además, mencione la importancia de verificar la solución encontrada en laecuación correspondiente remplazando la incógnita por el valor obtenido.

En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes determinen incorrectamentesi cada par de ecuaciones presentadas son equivalentes, ya que aplican de formaerrónea las propiedades de las igualdades. Evite esto explicando y repasando cadauna de estas propiedades.

En el ítem 4, podrían suceder que los alumnos y alumnas no recuerden cómograficar funciones afines. Para solucionar este inconveniente, recuerde a susestudiantes cómo graficar utilizando tabla de valores o a través de la pendiente(m) y la intersección con el eje y (n), en una función de la forma f(x) = mx + n.

En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas hayan olvidado la prioridad delas operaciones aritméticas y cometan errores en tal sentido. Otro error comúnes que eliminen mal los paréntesis de una expresión, no considerando, por ejem-plo, un signo negativo delante de un paréntesis. Es fundamental repasar esto, yaque evaluar una expresión algebraica es el método de comprobar una solución,procedimiento que se utilizará constantemente en esta unidad.

En el ítem 6, podría presentar problemas la justificación de las proposiciones, yaque puede que no recuerden estos contenidos. Sería conveniente que recordaralos principales conceptos con este contenido, ya que están estrechamenterelacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

En el ítem 7, el principal problema podría estar en que los alumnos y alumnastengan dificultades para definir variables y expresar problemas comoecuaciones. En particular, pueden tener dificultades para expresar en términosmatemáticos, expresiones tales como “el triple de un número”, “la mitad deun número”, “un número dobla al otro” o expresar como una ecuación

“dos números están en proporción de 2 : 7” �o sea = �, etc. Puederemediar esto haciendo una lista de tales expresiones en el pizarrón y susequivalentes en términos de operaciones o ecuaciones. Es importante que susestudiantes se acostumbren a resolver problemas y que vean las ecuaciones y lossistemas de ecuaciones como una herramienta para la resolución de problemas yno como un contenido aislado de su aplicación real.

27

xy

Aprendizaje de conceptos clavesa tratar en la unidad.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar luego de introducir losconceptos claves de la unidad,como ejercitación.




Unidad 3

4Interpretar yrepresentar.

Ecuaciones lineales con dos incógnitasPÁGINAS 110 - 111


Se busca introducir el tema de estudio de la unidad discutiendo primero elconcepto de ecuación lineal con dos incógnitas.El estudiante debe comprender que una ecuación lineal con dos incógnitas puedemanipularse tal como las ecuaciones con una incógnita. Es decir, mediante algunasoperaciones (similares a las utilizadas para resolver una ecuación), se obtienenecuaciones equivalentes.En general, una ecuación lineal con dos incógnitas podrá tener soluciones finitassi se restringe el conjunto en el cual se buscan las soluciones. Por ejemplo, en elproblema planteado al inicio, puesto que x e y representan una cantidad dediscos, deben ser números enteros y además cumplir tanto 0 <– x <– 55 como0 <– y <– 55, de modo que la ecuación tiene como solución a todos los pares denúmeros enteros que cumplen lo anterior.Cuando no se plantea tal restricción, se asume que el conjunto donde se busca lasolución corresponde a los números reales, tanto para x como para y. Por lotanto, las soluciones son infinitas. Puede plantear algunos problemas para clarificareste punto, las actividades complementarias 1 y 2, son pertinentes.


1. Considera la ecuación x + y = 10, ¿cuántas soluciones hay si solo se admitecomo solución pares de números naturales? Escríbelas. ¿Y si se admite paresde números enteros?, ¿y si se busca la solución entre pares de reales?

2. La velocidad de un móvil con aceleración constante una dimensión y el tiempose relacionan mediante la ecuación v = (10 m/s – 5 m/s

2· t). Responde:

a. ¿En qué momento del tiempo el móvil está en reposo?b. ¿El móvil está acelerando o desacelerando?c. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el móvil lleve una velocidadde –100 m/s?

d. ¿Qué velocidad llevaba el móvil cuando el reloj estaba en 0?

3. Si x > 0, encuentra algunas soluciones a la ecuación x = y – x.

4. Tengo 3 masas de 1 kg, una ubicada en el origen (0), otra ubicada a unadistancia x del origen y una tercera ubicada a una distancia y del origen. La leyde gravitación de Newton dice que la fuerza que sentirá la masa central será

2Interpretar,representar y calcular.

En tu cuaderno


1 y 3 Calcular.

F = – + (un signo negativo significa que la fuerza tira la masa

hacia la izquierda, en este caso el primer término es la contribución de la masaen el origen. Un signo positivo indica una fuerza hacia la derecha, en este casoel segundo término corresponde a la fuerza ejercida sobre la segunda masapor la tercera). Determina algunas posiciones de las masas 2 y 3 de modo quela fuerza sobre la masa central sea cero (esté en equilibrio).

a. Si y = 20 m, encuentra la posición de equilibrio de la masa central.

1

x2

1

(y – x)2

Errores frecuentes• Un error común al resolverecuaciones es trasladar unacantidad de un lado a otro de laigualdad sin el correspondientecambio de signo, ya que el alumnoo la alumna podría no entenderen realidad el procedimiento. Sesugiere dar un ejemplo, mostrandoque de esta forma no se obtieneuna ecuación equivalente omostrando que para eliminar unacantidad de un lado de la ecuaciónha de sumarse la misma cantidad,pero con signo contrario, a amboslados de la ecuación. Visualmente,el resultado de esta operación(que entrega una ecuación equivalente) es que dicha cantidad“pasa al otro lado” de la ecuacióncon signo contrario. Lo mismopuede hacerse en el caso de lamultiplicación.


3 Verificar.


En tu cuaderno


1 y 2Representar yanalizar.

Planteo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitasPÁGINAS 112 - 113


En esta sección se introduce el concepto central de la unidad. En Internet puedeencontrar variados ejemplos de aplicaciones de tales ecuaciones a la economía,ciencias, ingeniería, matemática aplicada, etc., de modo que puede dedicar unosminutos de su clase para motivar a sus alumnos y alumnas hablándoles al respecto.Tal vez encuentre en alguna biblioteca el libro Fundamentos de Álgebra, deC. Allendoerfer y C. Oakley, McGraw-Hill, 1967. En este libro, además deencontrar excelente material sobre casi todos los contenidos de la matemáticasecundaria, encontrará particularmente bien explicadas aplicaciones referentes aoferta y demanda y optimización (programación lineal) y también muchosproblemas resueltos o con sus respuestas.Un punto a destacar es que la solución de un sistema es siempre un par denúmeros. Decir que una solución es, por ejemplo, x = 6, no tiene sentido.

Método gráficoPÁGINAS 114 - 117


En esta sección se establece finalmente la conexión entre función afín y ecuaciónlineal con dos incógnitas. De este modo, los y las estudiantes pueden representaruna ecuación lineal en dos incógnitas como una recta.No obstante, si se presentase un sistema de la forma 3x + y = 18, x = 45, nopodríamos usar las gráficas de la funciones afines para interpretar la segundaecuación como una recta. No toda recta corresponde a la gráfica de una funciónafín, en particular la recta L = �(x, y) Œ �

2: x = 3�, corresponde a la ecuación en

dos variables x = 3 y no es la gráfica de una función afín ni de ninguna clase.Sistemas tales como 3x + y = 18, x = 45, tienen sentido, y para efectos derepresentación en el plano son dos rectas. El alumno o alumna debe entender laecuación x = 3, no como un punto en la recta real, sino como la recta verticalcorrespondiente. Es posible que también causen dificultad ecuaciones tales comoy = –17, que corresponde a una recta horizontal. Claro está que sería unapérdida de tiempo resolver uno de tales sistemas mediante el método gráfico,pues, por su forma, su solución está casi explícita.Cuando se intenta resolver un sistema gráficamente, puede resultar difícildeterminar con precisión, a partir del dibujo, cuál es efectivamente la solución.Es muy importante entonces que los alumnos y alumnas comprueben siemprelas soluciones obtenidas.

3 y 4 Analizar.

2Representar yanalizar.



1Representar y calcular.

Aplicación de un sistema deecuaciones a la resolución de unproblema.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como un introduccióna la aplicación de los sistemasde ecuaciones.




Unidad 3


Puede aprovechar Graphmatica para resolver el siguiente problema:

1. Dos automóviles emprenden un viaje desde Santiago a Puerto Montt. Elsegundo automóvil retrasa su partida en 30 minutos. Si el primer automóvilmantiene una velocidad constante de 80 km/h y el segundo mantiene 120 km/h, ¿alcanzará el segundo automóvil al primero antes de llegar aPuerto Montt?, ¿y si la velocidad del primer automóvil fuera 119 km/h?(Considere que la posición de un cuerpo que se mueve con velocidad constante está dada por s(t) = s0 + vt, donde s0 es la posición del cuerpo en t = 0 y t el tiempo).

Note que la pregunta ¿alcanzará el segundo automóvil…? puede decidirsegráficamente sin necesidad de resolver sistema alguno, graficando la ecuacióncorrespondiente a cada auto y fijándose si el punto que representa la solucióntiene coordenada s menor que la distancia a Puerto Montt.Problemas de cinemática en una dimensión pueden servir como motivación alestudio gráfico de ecuaciones.

Extracción de información de laforma gráfica de un sistema deecuaciones.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas:utilizar una vez enseñada larelación entre la posición de lasrectas en el plano cartesiano y lossistemas de ecuaciones lineales.

3 Conjeturar y evaluar.

2Representar ycalcular.

Análisis de las soluciones en el plano cartesianoPÁGINAS 118 - 119


El método gráfico ayuda a decidir el problema de la existencia y unicidad de lassoluciones para algunos sistemas. En todos los ejemplos planteados en el Texto,ocurre que uno puede observar cuándo dos rectas coinciden, son paralelas o sonsecantes. Es importante que los alumnos y alumnas entiendan que esto puedehacerse en casos especiales. También es difícil, en general, encontrar la solución exacta, salvo en algunos casos.De todas maneras, usando programas graficadores, que tengan funciones quepermiten cambiar la escala o ampliar una determinada zona del plano, se puedeestimar una solución con tantos decimales como se quiera.

Para ilustrar lo anterior, puede utilizar Graphmatica para llevar a cabo la siguienteactividad demostrativa.El que dos rectas parezcan paralelas cerca del origen no quiere decir que enefecto lo sean. Por ejemplo, consideremos el sistema:

y = 2,00x + 1y = 2,01x + 2

Grafique el sistema y pregunte ¿se puede afirmar que las rectas son paralelas?Aunque con la escala predeterminada, parece que lo son, realmente no es así.Vaya al menú View resalte la opción Scrollbars. Aparecerán barras de deslizamientohorizontal y vertical. Utilícelas para moverse al punto de intersección de las dosrectas. Utilice el botón Zoom In y estime la solución del sistema.

1Representar yanalizar.

En tu cuaderno


Reconocimiento en el plano carte-siano de rectas secantes, paralelas ycoincidentes y su relación consistemas de ecuaciones linealescompatibles e incompatibles.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas:utilizar como ejercitación para aplicarlos conceptos a casos concretos.



2 Analizar.



1. Pídales a sus alumnos y alumnas que inventen un sistema, de modo lasecuaciones parezcan paralelas cerca del origen, pero las rectas querepresentan se intersecan en realidad muy lejos del origen. Como indicaciónpuede decirles que se fijen en las ecuaciones de la actividad anterior ¿En quéson distintas?, ¿en qué son casi iguales? Deben usar Graphmatica.

2. Estimar con 8 decimales (ver unidad Números y raíces) la solución delsistema.

Para ello, pueden usar la función Zoom In y acotar cada una de las componentesde la solución, tal como se explica en la unidad Números y raíces.


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en elcuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:Ítem 1: resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones dados.Ítem 2: determinar si las afirmaciones dadas son verdaderas.Ítem 3: decidir si los sistemas dados tienen solución sin resolverlos.

Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivelde desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.

Mi progreso


1 Interpretar y verificar.


1

• Reconoce correctamentetodos los planos cartesianos.• Encuentra las solucionesa todos los sistemas deecuaciones.• Verifica cada una de lassoluciones encontradas.

• Reconoce correctamentedos planos cartesianos.• Encuentra las solucionesa dos de los sistemas deecuaciones.• Verifica cada una de lassoluciones encontradas.

• Reconoce correctamenteun plano cartesiano.• Encuentra las solucionesa menos de dos de lossistemas de ecuaciones.• Verifica algunas de lassoluciones encontradas.

• No reconoce correctamentelos planos cartesianos.• No encuentra lassoluciones de los sistemasde ecuaciones.• Verifica cada una de lassoluciones encontradas.

2

• Determina correctamentesi todas las afirmacionesdadas son verdaderas ofalsas.• Justifica de forma clara ycompleta todas susrespuestas.

• Determina correctamentesi tres de las afirmacionesdadas son verdaderas ofalsas.• Justifica de forma claray completa tres de susrespuestas.

• Determina correctamentesi dos de las afirmacionesdadas son verdaderas ofalsas.• Justifica de forma clara ycompleta dos de susrespuestas.

• Determina correctamentesi menos de dos de lasafirmaciones dadas sonverdaderas o falsas.• Justifica de forma pococlara e incompleta susrespuestas.

− + = −

− =

2 5 5 15 7 2 1x yx y




Unidad 3


En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades parareconocer la representación gráfica de cada sistema de ecuaciones, y por esto sussoluciones encontradas sean incorrectas. Para solucionar esto, refuerce lascondiciones que permiten reconocer la gráfica de las ecuaciones a través susparámetros, es decir, la pendiente y la intersección con el eje Y

En el ítem 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas justifiquen de maneraincorrecta las afirmaciones planteadas, debido básicamente a que no comprendanbien la relación entre los tipos de rectas y los tipos de soluciones en un sistemade ecuaciones lineales. Para corregir esto, es importante que aclare esto a susestudiantes explicando cada uno de estos conceptos, para que en el futuro notengan problemas como estos.

En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades paradeterminar si los sistemas de ecuaciones dados tienen solución, debido a que noestán familiarizados ni acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades, talescomo amplificar o simplificar ecuaciones. Para evitar problemas como estos,muestre constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentesy más sencillas aplicando estas propiedades, de tal modo que ellos en otras ocasiones puedan reconocer equivalencias en diversas ecuaciones.


3

• Determina correctamenteen todos los casos si lossistemas planteados tieneno no solución.• Argumenta de forma claray completa su decisión.

• Determina correctamenteen dos de los casos si lossistemas planteados tieneno no solución.• Argumenta de forma claray completa su decisión.

• Determina correctamenteen uno de los casos si lossistemas planteados tieneno no solución.• Argumenta de formapoco clara e incompleta sudecisión.

• Determina incorrectamenteen todos los casos si lossistemas planteados tieneno no solución.• Argumenta de formapoco clara e incompleta sudecisión o no argumentasus decisiones.

Método de igualaciónPÁGINAS 121 - 122


El método de igualación es el más simple de los métodos presentados en estaunidad. El problema se reduce finalmente a resolver dos ecuaciones lineales conuna incógnita. Se sugiere hacer hincapié en que cuando se ha encontrado unasolución para, por ejemplo la incógnita x, puede remplazarse este valor encualquiera de las dos ecuaciones originales, puesto que, por definición, unasolución del sistema es un par de números que satisface ambas ecuaciones.

En tu cuaderno


1 Calcular y clasificar.

2 y 3 Aplicar y calcular.



Método de sustituciónPÁGINAS 123 - 124


En esta sección se le exige al alumno un correcto manejo de expresionesalgebraicas. Debe insistirles en eliminar paréntesis y simplificar cuando sea posible. En particular, al operar fracciones con expresiones algebraicas en sus denominadores.Se sugiere recalcar que cuando se ha encontrado una solución para una incógnita,puede remplazarse este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales.


El método presentado en esta sección es, en esencia, el método que consiste enbuscar una solución transformando el sistema en uno equivalente cuya solución seainmediata. En la literatura matemática, los métodos conocidos como eliminacióngaussiana o reducción mediante operaciones elementales son básicamente esto.Estos métodos son más generales y permiten manejar sistemas de cualquiernúmero de ecuaciones, además de ser particularmente apropiados paraprogramarse en una computadora. Puede motivar a sus estudiantes averiguandosobre aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales a la economía, ingeniería,programas de videojuegos y ciencias en general.Si le parece, puede mostrar que convenientemente aplicado este método permiteen realidad resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, o cuatro ocinco, etc. He aquí un ejemplo de cómo hacerlo con un sistema de tres ecuacionesy tres incógnitas:

La estrategia es obtener un sistema equivalente que contenga una ecuacióndonde solo aparece z, otra donde solo aparece z e y, por último una dondeaparecen x, z e y. Conservemos las dos primeras ecuaciones y la última lacambiamos por la resta de la segunda con la tercera:

O sea eliminamos x de la tercera ecuación. Obtenemos el sistema equivalente:

En tu cuaderno



2, 3, 4 y 5 Aplicar y calcular.

Método de reducciónPÁGINAS 125 - 126

En tu cuaderno



2 Verificar o comprobar.

3x + 2y – z = 8x – y + 2z = –3x + y + z = 2

x y z

x y zy z

− + = −

+ + =

→ − + = −

2 3

22 5

3 2 8

2 3

2 5

x y z

x y z

y z

+ =

+ =

+ =

–

– –

– –




Unidad 3

Ahora eliminemos x de la segunda ecuación. Para hacer esto, podemos cambiarla segunda ecuación por la primera menos 3 veces la segunda:

Llegamos al sistema equivalente:

Ahora solo resta eliminar y de la tercera ecuación. Podemos cambiar la terceraecuación por 2 veces la segunda ecuación más 5 veces la tercera:.

Obtenemos, finalmente, el sistema equivalente:

Ahora es sencillo resolver el sistema. La tercera ecuación dice que z = –1.Remplazando este en la segunda, se obtiene 5y + 7 = 17, es decir y = 2.Finalmente, se remplaza z = –1 e y = 2 en la primera ecuación que queda3x + 4 + 1 = 8 y, por lo tanto, x = 1.El trío de números x = 1, y = 2 y z = –1 es una solución del sistema.

Otra aplicación de tales ideas es la siguiente:Consideremos un sistema general.

Puede mostrar cómo se resuelve este en general: se multiplica la primeraecuación por c y le restamos la segunda multiplicada por a:

Factorizando por y la ecuación anterior queda: y(bc – ad) = ce – af. La solución es:

Todo esto funciona si ad – bc π 0. Si se resuelve de manera similar para x, seobtiene:

−+ − =

− + = −( )⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪→ − =

3 2 8

3 2 35 7 17

x y z

x y zy z

·

+( )( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪→

− =

− + = −− =

2

5

5 7 17

2 59 9

y zy z

z

3 2 8

5 7 17

2 5

x y z

y z

y z

+ =

=

+ =

–

–

– –

3 2 8

5 7 17

9 9

x y z

y z

z

+ =

=

=

–

–

–

−⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣ ⎤⎦

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪→ −

+ =

+ =

c

a

ax by ecx dy f

bcy ady == −ce af

ax + by = ecx + dy = f

y = af – cead – bc

x = de – bfad – bc



Es decir, se pueden obtener expresiones algebraicas para obtener las soluciones,siempre que el sistema cumpla que ad – bc ≠ 0. Estas no son más que lasexpresiones obtenidas mediante el método de Cramer. Este último métodopodría ser interesante de plantear una vez que el o la docente sienta que susestudiantes manejan los métodos de resolución. Puede servir incluso como unaforma de comprobar la validez de las soluciones obtenidas mediante los métodosanteriores. Sin duda, jamás se aprenderá matemáticas mediante la memorizaciónde fórmulas, no obstante esto, tampoco se debe despreciar la confortable rutinade su uso.

Debe insistirse en la correcta manipulación de expresiones algebraicas en dosvariables, con ejemplos tales como:

(5x + 8y) – 2(17x – y) = (5 – 2 · 17)x + (8 + 9)y = –29x + 17y

Los errores de signo son también comunes a todo nivel. Una forma de evitarloses aconsejar orden al momento de escribir el desarrollo de una solución. Si elalumno o la alumna no está seguro de una manipulación se le puede decir que lalleve a cabo en tantos pasos como le parezca pertinente a fin de evitar este tipode errores. Por supuesto que la mejor forma de detectar un error es comprobarsiempre la solución.


1. Explica cómo podrías resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales concuatro incógnitas.

2. Observa que al resolver el sistema general (con letras como coeficientes) hemosencontrado una fórmula para las soluciones de cualquier sistema de ecuacionesque cumpla que ad – bc π 0. Con esto en mente escribe de inmediato, sin usarninguno de los métodos aprendidos, la solución de los sistemas:

a. b. c.

3. De acuerdo con las fórmulas planteadas, si un sistema tiene coeficientesracionales, ¿puede tener una solución (x, y) donde ya sea x o y seanirracionales? Recuerda que suma, resta, multiplicación y división (excepto el 0)de números racionales siempre es un número racional.

92

− + =

− + =

x y

x y

2

2 0

2 3 7

6 1

x y

x y

+ =

+ = −

2 5 5 215 2 2 21x yx y+ = −

+ =

Conocimiento de los métodosde resolución de sistemas deecuaciones.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar al concluir los tresmétodos algebraicos, comoejercitación.

Análisis algebraico de las solucionesPÁGINAS 127 - 128


Tal como se comentó en la sección anterior, aparece aquí el método de encontrarsistemas equivalentes para resolver un sistema, ahora en el contexto de analizar exis-tencia y unicidad de soluciones. Puede considerarse también, como se sugiere en el ejemplo del método de igualaciónen el Texto, que, al aplicar el método de reducción para resolver un sistema que no tiene solución, se obtiene una contradicción. Puede considerar nuevamente elejemplo del Texto. Para eliminar cualquiera de las incógnitas, se debe restar, lo que

En tu cuaderno


1 Reconocer/identificar.

2 Verificar o comprobar.




Unidad 3

lleva a que 0 = –2, lo que es contradictorio. Luego, el sistema no tiene solución.De igual modo, si el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitassoluciones), con cualquier método se obtiene la igualdad 0 = 0 (esto es porque la única forma en que un sistema puede tener infinitas soluciones es que unade las ecuaciones sea múltiplo de la otra). En general, el concepto de sistemas equivalentes se aplica a todo tipo de sistemaslineales y sirve tanto para resolver como para analizar las soluciones de sistemas.


1. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. b. c.

Analiza la existencia y unicidad de soluciones usando el concepto deecuaciones equivalentes. Si el sistema tiene una única solución, calcúlala.

2. ¿Como podrías resolver el sistema ?

3 6 12 8

2 4 1

2

x y z

x y z

x y z

–

– – –

+ =

+ =

+ + =

2 4 0

5

2 2 2 1

x y z

x y z

x y z

– + =

+ + =

+ + =

x y z

x y z

x y z

+ + =

− + =

+ − =

3

2

3 3

x y z

x y z

+ − = −

− + =

2 3

2 5

Pertinencia de las solucionesPÁGINAS 129 - 130


En esta sección se le presentan al alumno o la alumna varios problemas que puedenser resueltos con la utilización de un sistema de ecuaciones. De este modo, seejemplifica en términos concretos el uso de sistemas de ecuaciones. Puede motivar a los alumnos y alumnas interesados en ciencias o en economíaaveriguando en Internet sobre posibles aplicaciones. Aunque debe advertirse que eltratamiento de tales problemas requiere a menudo conocimientos específicos de loscampos de aplicación particulares. Debe quedar claro que el método sugerido en la sección no es una receta universaly siempre válida, sino más bien una lista de procedimientos a considerar a la hora deplantear un problema en términos de ecuaciones. También debe insistir en que una manera de advertir un error es fijarse en que lassoluciones sean adecuadas al problema planteado.


En los problemas 1 al 7, se le pide al alumno o alumna plantear el problema entérminos de sistemas de ecuaciones. En los últimos dos problemas se le entregauna ecuación que modela una situación y se le pide resolver un problema queeventualmente deberá plantear usando la ecuación dada.

En tu cuaderno





1. Magdalena y Diego trabajan como obreros en una fábrica de muebles.Magdalena fabrica 2 sillas más al día que Diego. Si trabajan juntos, fabrican10 sillas al día, que es 2 menos de las que fabrican cuando trabajan separados.¿Cuántas sillas fabrican cada uno cuando trabajan separados?

2. Dos números están en razón 1 : 4. Si el menor más 12 está en razón 2 : 3con el mayor menos 12, ¿cuáles son los números?

3. Considera la ecuación ax + by + 20 = 0, los pares (1, 3) y (–1, 2) sonsoluciones de ella. Determina el valor de a y b.

4. Un rectángulo es tal que su perímetro es 42 y el cuociente entre el ladomayor y el menor es 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

5. Los costos totales de operar una máquina anualmente están dados por la funciónC(h) = F + hH. En esta función, F representa los costos fijos (mantención anual,seguros, etc.) y H representa el costo de mantener la máquina operando unahora (sueldo del operario, electricidad, etc.). Hace dos años, los costos deoperación fueron $ 2 500 000 y la máquina operó 300 h. El año pasado, loscostos fijos se duplicaron, se operó la máquina 400 h y los costos de operaciónaumentaron en $ 1 500 000 en relación al año anterior. ¿Cuáles fueron los costosfijos y de operación por hora de la máquina el año pasado?

6. La ecuación del gas ideal es PV = kT, donde P, V y T representan la presión,volumen y temperatura de un gas, respectivamente, y k es una constante. Supónque un gas encerrado en un recipiente rígido de volumen 1 000 obedece a laecuación del gas ideal, con k = 1 (sin considerar las unidades). Se han averiadolos medidores de presión y temperatura de modo que solo se pueden medirdiferencias de ellas. Si al elevar la temperatura del gas en 2, su presión aumentaen 3, ¿cómo podemos determinar la presión y temperatura originales?

Otros sistemas asociados a sistemas de ecuaciones linealesPÁGINAS 131 - 132


Es posible que, para ciertos sistemas que pueden ser resueltos mediante incógnitasauxiliares, no exista una solución única al problema. Por ejemplo:

Si se usa como incógnitas auxiliares u = x2y v = y

2, se obtiene u = 25 y v = 16, de

donde se tiene que x2= 25 e y

2= 16. Las ecuaciones anteriores tienen soluciones

x = 5, x = –5 e y = 4, y = –4, respectivamente. Por lo tanto, las soluciones son(5, 4), (5, –4), (–5, 4) y (–5, –4). Así que aunque se usen métodos ideados parasistemas lineales, las soluciones no tienen que ser necesariamente una o infinitas.

– –

–

x y

x y

2 2

2 2

9

4 5 20

+ =

=

En tu cuaderno


1 Calcular.





Unidad 3

Es posible que un sistema no tenga solución, aunque puedan resolverse las incógnitas auxiliares. Considere por ejemplo el sistema:

Con incógnitas auxiliares y se obtiene un sistema lineal con

soluciones u = 25 y v = –3, lo que implicaría que la raíz de y es negativa. Luego,el sistema no tiene solución.

Resolución de sistemas en másde dos variables o fraccionarios.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercicios deprofundización de la resoluciónde sistemas de ecuaciones.


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan enel cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:Ítem 1: determinar si los pares de sistemas de ecuaciones planteados

son equivalentes.Ítem 2: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de igualación.Ítem 3: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.Ítem 4: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de reducción.Ítem 5: plantear sistema de ecuaciones con dos incógnitas y resolver.


Mi progreso



2, 3 y 4 Calcular.


ux

=1

–1 1 28

1 1 22

x y

x y

+ =

+ =

uy

=1


1

• Determina correctamentesi todos los pares desistemas de ecuacionesdados son equivalentes.• Aplica las propiedades delas igualdades para obtenerecuaciones equivalentes.

• Determina correctamentesi todos los pares desistemas de ecuacionesdados son equivalentes,pero no aplica laspropiedades de lasigualdades para obtenerecuaciones equivalentes.

• Determina correctamentesi uno de los pares desistemas de ecuacionesdados son equivalentes.• Aplica en algunos casoslas propiedades de lasigualdades para obtenerecuaciones equivalentes.

• No determinacorrectamente si los paresde sistemas de ecuacionesdados son equivalentes.• Aplica incorrectamentelas propiedades de lasigualdades o no las aplicapara obtener ecuacionesequivalentes.

2

• Resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados medianteigualación.

• Resuelve correctamentedos de los sistemas deecuaciones presentadosmediante igualación.

• Resuelve correctamenteuno de los sistemas deecuaciones presentadosmediante igualación.

• No resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados medianteigualación.




3

• Resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados mediantesustitución.

• Resuelve correctamentedos de los sistemas deecuaciones presentadosmediante sustitución.

• Resuelve correctamenteuno de los sistemas deecuaciones presentadosmediante sustitución.

• No resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados mediantesustitución.

4

• Resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados mediantereducción.

• Resuelve correctamentedos de los sistemas deecuaciones presentadosmediante reducción.

• Resuelve correctamenteuno de los sistemas deecuaciones presentadosmediante reducción.

• No resuelve correctamentelos sistemas de ecuacionespresentados mediante reducción.

5

• Define las variables,plantea las ecuaciones,resuelve el sistema y verificala pertinencia de la soluciónencontrada.• Justifica correctamente sila solución es correcta.

• Define las variables,plantea las ecuaciones,resuelve el sistema, pero noverifica la pertinencia de lasolución encontrada.• Justifica correctamente sila solución es correcta.

• Define las variables,plantea las ecuaciones, perono resuelve el sistema.• Justifica parcialmente si lasolución es correcta.

• Define las variables oplantea las ecuaciones, deforma incorrecta.Justifica parcialmente o nojustifica si la solución escorrecta.


• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades paradeterminar si los sistemas de ecuaciones dados son equivalentes, debido a queno están acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades. Para evitarproblemas como estos, muestre constantemente a sus estudiantes cómoobtener ecuaciones equivalentes y más sencillas al aplicar estas propiedades,de modo que en otras ocasiones ellos puedan visualizar con mayor facilidadlas equivalencias entre diversas ecuaciones.

• En los ítems 2, 3 y 4, podría causar dificultades recordar los procesos que sedeben realizar en cada caso para encontrar la solución a los sistemas deecuaciones, según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamentalque sus estudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos.Cuando ellos dominen cada uno de estos métodos, serán capaces de decidircuál es el más conveniente para un sistema de ecuaciones determinado, yaque frecuentemente ocurre que para resolver un mismo sistema un métodoresulta más complicado y con otro se puede obtener la solución fácilmente.

• En el ítem 5, el principal problema radica en que los alumnos y alumnas tengandificultades para definir las variables y expresar el enunciado del problemacomo un sistema de ecuaciones. Para evitar esto, es importante que los y lasestudiantes estén habituados al proceso de resolución de problemas, y queconsideren las ecuaciones y también los sistemas de ecuaciones como unaherramienta para la resolución de problemas y no como un contenido aisladode su aplicación real. También es importante que tengan presente el contextodel problema y se acostumbren a verificar la pertinencia de la solución deacuerdo al problema, como en este caso, en que el número de respuestascorrectas e incorrectas debe ser un número entero positivo o cero.




Unidad 3


La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sinembargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas. Además, estaresolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permiteaclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda queenfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender,planificar, resolver y revisar.



En tu cuaderno


1 y 2Aplicar, calcular yverificar.








• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a proble-mas o a situaciones nuevas.

























1. Una bolsa de azúcar tiene 60 gramos más que una bolsa de sal. Si la suma deambas bolsas es igual a 540 gramos, ¿cuánto pesa cada bolsa?

2. En una tienda de videos se ofrecen 2 formas de arriendo mensual. En laprimera, se cobra $ 2 400 de cargo fijo, más $ 1 500 por video; en la segunda,se cobra $ 1 200 por cargo fijo más $ 2 000 por video.a. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente.b. Resuelve el sistema planteado y luego indica cuál es la oferta más conveniente.

3. Se necesita hacer un pedido de 656 litros de una solución de ácido al 23%. Enel laboratorio hay soluciones al 20% y 30%. ¿Cuántos litros de cada soluciónse necesitan para responder al pedido?

4. Un químico farmacéutico desea fortificar una sustancia sintética que contiene20% de agua del tipo A agregándole un químico con 60% de agua del tipo B.La sustancia obtenida debe concentrar un 48% de ambas, debiendo llenarse2 200 botellas de 1 litro. ¿Cuántos litros de agua del tipo A y del tipo B sedeben usar?

5. Un aeroplano recorre 90 millas en 3 horas con ayuda del viento a su favor. En 3 horas y 36 minutos, realiza el viaje de regreso con el viento en contra. A partir de estos datos, calcula:a. La velocidad del viento.b. La velocidad del avión sin considerar el viento.

3Aplicar,usar herramientas yevaluar.

5 Justificar.


• Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar loscontenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, sepresenta una actividad sobre economía, relacionada con la oferta y demandade productos, específicamente la producción de madera en nuestro país, paraque los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de los sistemasde ecuaciones lineales en temas como la economía.

• Las actividades que se presentan permitirán que los alumnos y alumnas seinterioricen en estos temas y además puedan aplicar todos los contenidosaprendidos, como métodos de resolución (gráficos y algebraicos),interpretación y pertinencia de resultados según el contexto.

• Para complementar la actividad del Texto para el Estudiante, sería interesanteque pudiera modelar con sus alumnos y alumnas las diversas situacionespresentadas con algún software computacional, como Graphmatica, utilizadoen la sección Herramientas Tecnológicas del Texto para el Estudiante.

• Interesante información sobre economía y otros temas relacionados, quepuede ser de gran utilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puedeencontrar en los siguientes sitios en Internet.- Ministerio de Economía de Chile www.economia.cl- Ministerio de Hacienda de Chile www.hacienda.gov.cl- Banco Central de Chile www.bcentral.cl- Instituto Nacional de Estadísticas (INE) www.ine.cl

2, 3 y 4 Aplicar.

En tu cuaderno



Investiguemos...


1 y 2 Evaluar.




Unidad 3


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos yalumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes enesta parte de la unidad.En esta sección se sugiere a los y las estudiantes qué conceptos debiera incluir elmapa conceptual de toda la unidad, para que ellos lo construyan en sus cuadernos,resumiendo y organizando así los contenidos trabajados en toda la unidad.



• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado con dos incógnitas?• ¿Ocurre lo mismo con una situación que se modela con una ecuación deprimer grado con dos incógnitas? Justifica.

• ¿Siempre es conveniente utilizar el método gráfico para resolver sistemas deecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿por qué?, ¿en qué casos es útil?

• ¿Qué métodos conoces para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dosincógnitas?, ¿en qué consiste cada uno de ellos?

• ¿En qué hay que fijarse cuando se enfrenta un problema que se puederesolver con sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿qué pasosse deben seguir para dar solución al problema?

Para aplicar los contenidos aprendidos en la unidad, puede presentar problemascomo los siguientes:

• Un grupo de amigos almuerza en un restaurante. A la hora de pagar, observanque, si cada uno coloca $ 3 000, faltan $ 2 000 para cancelar el total, mientrasque si cada uno coloca $ 3 500, sobran $ 4 000. ¿Cuántos amigos fueron aalmorzar?, ¿cuánto deben cancelar en total?

• Una fábrica produjo hoy 1 500 unidades más que ayer, y lo que produjo entre ayer y hoy es 3 000 unidades más que el tercio de lo que produjo ayer. ¿Cuánto produjo hoy y cuánto ayer?

Repaso de conceptos ydefiniciones claves de la Unidad.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrarconceptos y definiciones dela unidad.

2 Aplicar.




Mapaconceptual




4, 6, 7 y 8 Analizar y calcular.


Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de diez preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1, 2, 3, 4, 5, 8 y 9, podría causar dificultades recordar losprocesos que se deben realizar para resolver los sistemas de ecuaciones,según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamental que susestudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos. Ellosserán capaces de decidir cuál es el más conveniente para un sistema deecuaciones determinado, ya que frecuentemente ocurre que para resolver unmismo sistema, un método resulta más complicado y con otro se puedeobtener la solución fácilmente.

• En el ítem 10, se podrían presentar inconvenientes relacionados con laobtención de sistemas equivalentes, esto debido a las operatorias que sehacen en las ecuaciones del sistema. Para solucionar esto, es importante quesus estudiantes se manejen en las propiedades de las igualdades para poderoperar correctamente en las ecuaciones y así poder obtener sistemas deecuaciones equivalentes a los dados.

• En el ítem 11, puede suceder que los alumnos y alumnas se compliquen pararealizar cambio de variables y obtener sistemas de ecuaciones equivalentespero más sencillos que el original. Para remediar situaciones como esta, esimportante mostrar diversos sistemas de ecuaciones donde sea convenienteutilizar incógnitas auxiliares, de esta forma ellos podrán enfrentar de mejormanera futuros sistemas de ecuaciones que requieran incógnitas auxiliares.

• En el ítem 12, puede ocurrir que los alumnos no comprendan cómodeterminar qué opciones no son solución a la ecuación de primer grado condos incógnitas presentada, sobre todo aquellas que están representadas enfunción de las variables de la ecuación. Para remediar esto, es importantemencionar a los alumnos y alumnas que una forma efectiva de hacerlo es rem-plazar los valores dados en la ecuación presentada y, si se cumple laigualdad, entonces estos valores son solución de la ecuación; tambiénreescribir la ecuación original como las opciones algebraicas que se entregan, sies posible hacerlo, significa que también es solución de la ecuación.

• En los ítems 6, 7 y 13, podría ocurrir que sus estudiantes no relacionen bien eltipo de representación de las rectas en el plano cartesiano con el tipo de solu-ciones en el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para evitar estetipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes dominen muy bienestos conceptos para poder enfrentar de buena forma futuros problemas ypreguntas de este tipo.

Evaluación


1, 2, 3,5, 9 y 12

Calcular.

10, 11 y 13 Analizar.





Unidad 3

Evaluación final



1, 2, 7, 10, 12 y 14 Calcular. 2 puntos cada una 12 puntos

3, 4, 6, 8 y 11 Aplicar y calcular. 2 puntos cada una 10 puntos

5, 9 y 13 Calcular y clasificar. 2 puntos cada una 6 puntos


• Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.• Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.• Magnus, Hans. El diablo de los números, Editorial Siruela, Madrid, 1998.• Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.• Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.• Sociedad de Matemáticas de Chile. Matemáticas y Olimpíadas, Santiago de Chile, 1994.• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.• Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Editorial Limusa, México, 1998.• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.

Sitios web• Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/• El portal de la educación: www.educarchile.cl• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

BIBLIOGRAFÍA


Evaluación final




1. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

A. (0, –2)B. (0, –3)C. (–3, 0)D. (0, 3)E. Ninguna de las anteriores.

2. ¿De qué sistema es solución x = 1 e y = –1?

A. D.

B. E.

C.

3. Las medidas de los ángulos BAC y BCA son,respectivamente:

A. 25º y 65ºB. 30º y 60ºC. 40º y 50ºD. 400 y 130ºE. Falta información.

4. Las edades de dos personas están en la razón 7 : 4, y una de ellas tiene 6 años más que laotra. ¿Cuál es la edad de la persona mayor?

A. 6B. 8C. 12D. 14E. No se puede determinar.

5. Al resolver el sistema, se puede afirmar que:

A. No tiene solución.B. Tiene solo una solución.C. Tiene infinitas soluciones.D. Tiene dos posibles soluciones.E. Ninguna de las anteriores.

6. La suma de dos números es 3 y su diferenciaes 4. ¿Cuáles son los números?

A. x = 3,5; y = –0,5B. x = –3,5; y = –0,5C. x = 3,5; y = 0,5D. x = 4,5; y = –1,5E. x = –4,5; y = –0,5

7. ¿Cuál es el valor de xy si ?

A. –8B. –4C. 2D. 4E. 8

8 4 12

12 5 15

x y

x y

+ = −

− + = −

2 3 5

0

x y

x y

− =

+ =

3 3 5

0

x y

x y

− =

+ =

3 2 5

0

x y

x y

− =

− =

2 3 5

2

x y

x y

− =

+ =

2 3 5

2

x y

x y

− =

− + =

4 6 8

12 18 5

x y

x y

− = −

− + =

5 12

4

x y

x y

− = −

− = −

A

x + y

2x

3x + 2y + 25

B C




8. Una llave tarda cuatro veces más tiempo queotra en llenar un recipiente. ¿Cuánto tardarácada una por separado en llenar el recipiente,sabiendo que cuando se abren las dos a la veztardan 8 horas en llenar el mismo recipiente?

Llave 1 Llave 2A. 16 h 4 hB. 8 h 2 hC. 12 h 3 hD. 10 h 40 hE. 2,5 h 10 h

9. La representación gráfica de las ecuaciones del

sistema corresponde a:

A. Dos rectas paralelas.B. Dos rectas concurrentes.C. Dos rectas coincidentes.D. Dos rectas perpendiculares.E. No corresponde a rectas.

10. Si , entonces x – y:

A. 14B. 7C. –7D. 3,5E. 6

11. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay enun corral si entre todos juntan 44 cabezas y148 patas?

A. 30 gallinas y 14 conejosB. 20 gallinas y 24 conejosC. 14 gallinas y 30 conejosD. 12 gallinas y 32 conejosE. 29 gallinas y 15 conejos

12. En el sistema: , ¿qué valores

deben tener m y n, respectivamente, para quela solución sea el par (2, 1)?

A. 1 y 9B. –1 y –9C. –5 y –4D. 5 y 4E. Ninguna de las anteriores.

13. Sobre las soluciones del siguiente sistema

es posible afirmar que:

A. Tiene una solución.B. Tiene dos soluciones.C. Tiene infinitas soluciones.D. No tiene solución.E. No se puede determinar.

14. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

donde a y k son constantes

positivas. El valor que debe tomar a y k paraque el sistema tenga infinitas soluciones es:

A. a = 3 y k = 3

B. a = 8 y k = 3

C. a = 8 y k = 1

D. a = y k = 1

E. a = 1 y k = 3

83

Evaluación final


2 3 4

12 18 0

x y

x y

− =

− + =

4 9

7 11

x my

nx y

− =

+ = −

x y

x y

+ =

− − + =

2 5

2 4 10 0

ay kx

y x

= −

= −

4

8 3 126 20 80

8 6 18

x y

x y

− =

+ =


Taller de evaluación 1




1. , entonces x:

A. –1 D. 7

B. 1 E. 9

C. 5

2. Si a es un número impar positivo, ¿cuál de lossiguientes números es siempre un número irracional?

I.

II.

III.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. Solo I y IIE. Solo II y III

3. =

A. D. 0

B. E.

C.

4. Si el área de un triángulo equilátero es

m2, entonces el lado mide:

A. m D. m

B. 10 m E. m

C. 100 cm

5. El valor de (2ab – 2)0: (3

0a–2

b) es:

A. D.

B. a2

E. 1

C.

6. Simplifica:

A. D.

B. E.

C.

7. (Ensayo PSU, 2004) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s)expresión(es), al ser simplificada(s), resulta(n) 1?

I.

III.

A. Solo IB. Solo I y IIC. Solo I y IIID. Solo II y IIIE. I, II y III

(b – a)2

a2+ b

2– 2ab

2a + 33 + 2a

1 – a–2

1 + a–1

a3

3

a3

3b3

a2

b


x + 2 = 3

11a

11

a

23

1316

32

2

7 – 1– 2

7 + 1

II.a2– b

2

(a – b)

25 3

5 3 20 3

50 3

aa+1

a

a

2

2 1−

aa −1

aa−1

a

a

2

3

1−

Taller 1(116-117)_UNIDAD 1 31-08-12 10:13 Página 116



Taller de Evaluación 1 | 117

8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve y simplifica:

A. C. E.

B. D.

9. Un obrero puede arar un pedazo de tierra en

2 días y un aprendiz, en 3 días. ¿Cuánto

demoran si trabajan juntos, cada uno en la

misma razón?

A. 5 días. D. 1 días.

C. 4 días.

10. En una granja con vacas y gansos, se cuentan130 cabezas y 380 patas. ¿Cuántas vacas ygansos hay en la granja?

A. 60 vacas y 70 gansos. B. 100 vacas y 30 gansos. C. 70 vacas y 60 gansos. D. 80 vacas y 50 gansos. E. No se puede determinar.

11. La representación gráfica de las ecuaciones del

sistema corresponde a:

A. dos rectas paralelas.B. dos rectas concurrentes.C. dos rectas coincidentes.D. dos rectas perpendiculares.E. No corresponde a rectas.

12. Consuelo es 12 años mayor que Antonia. Sesabe que en 5 años más, la edad de Antoniaserá un tercio de la edad de Consuelo. Si sedesea saber sus edades, es posible afirmar que:

I. Si definimos como x la edad actual deConsuelo e y la edad actual de Antonia, elsiguiente sistema permite determinar lasedades actuales de ambas.

II. Consuelo tiene 13 años y Antonia 1.

III. Con la información entregada no es posibleencontrar las edades pedidas.

A. Solo I D. I y III

B. Solo II E. I, II y III

C. I y II

13. (Ensayo PSU, 2004, DEMRE) En el sistema:

¿qué valores deben tener m y n para que lasolución del sistema sea el par (1, –3)?

m n

A. –2 1

B. –2 –1

C. 2 1

D. 4 –23

E. Ninguna de las anteriores.

311

12

12

( )

( )

3

6

2 2

2 2

x y

xy

x

y

2

24

xy2

xy

2

4

2xy

xy

2

2

B. 1 días. E. 1 día.12

y x

x y

+ =

− =

5312

3 9

4 11

x my

nx y

− =

+ = −

6 2 10

12 4 10

x y

x y

+ =

+ =

Taller 1(116-117)_UNIDAD 1 31-08-12 10:13 Página 117


La semejanza de figuras planas es un contenido matemático que es trabajado en los distintos nivelesde la Educación Media, debido a su importancia desde el punto de vista matemático y también porsu relevancia en contextos reales.

Durante esta unidad, queremos que los y las estudiantes sean capaces de identificar figuras semejantes,más allá de la simple visualización. Para ello, son enseñados tres importantes criterios de semejanza y el teorema de Thales, con el objeto de que puedan reconocer matemáticamente si diferentes figuras presentadas son semejantes, como por ejemplo al analizar la igualdad de ángulos y la proporcionalidad de los lados correspondientes. Toda esta amplitud y profundización de contenidostiene como finalidad aplicar los nuevos conocimientos adquiridos en situaciones del contexto real.Por este motivo, a lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con elpropósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos matemáticos y cotidianos.




4Unidad

Semejanza

Semejanza

Homotecia

Factor k

Euclides

Negativo

Figuras planas

AplicacionesTeoremas Mapas y planos a escala

Criterio AA Criterio LLL Criterio LAL

Triángulos

Criterios desemejanza

General deThales

División de untrazo en unarazón dada

Centro

Thales

Positivo

PAG 118-143_UNIDAD 1 31-08-12 10:11 Página 118

•Com

pren

den el con

cepto de

semejanza y su relación

con

form

as sem

ejantes presen

tes

en el e

ntorno

.•Dem

uestran prop

osicione

s sim

ples utilizando

con

ceptos y

prop

iedade

s relacion

adas con

la sem

ejanza de figuras planas.

•Iden

tifican y utilizan criterios de

semejanza de triángulos para

el análisis de

la sem

ejanza en

diferentes figuras planas.

•Aplican criterios de

sem

ejanza

en m

odelos a escala.

•Aplican el teo

rema de

Thales

sobre trazos propo

rcionales.

•Dividen

interio

rmen

te un trazo

en una razón

dada y usan un

proc

esador geo

métrico para

verificar relacione

s.•Dem

uestran los teorem

as

de Euclides relativos a la

prop

orcion

alidad de trazos

en el triá

ngulo rectángulo.

•Describen

la hom

otecia de

figuras planas med

iante el

prod

ucto de un

vector y un

escalar.

•Usan un

procesado

r geom

étrico

para visu

alizar las relacion

es que

se produ

cen al desplazar figuras

homotéticas en el plano

.

Semejanza | 119


•Ex

ploración de

diversas situa-

cion

es que

invo

lucran el con

-cepto de

sem

ejanza y su

relación

con

form

as pre-

sentes en el entorno

. •Iden

tificación y utiliz

ación de

crite

rios de

sem

ejanza de

triángulos para el análisis de

la sem

ejanza en diferentes

figuras planas.

•Aplicación de

l teo

rema de

Thales sob

re trazos

prop

orcion

ales. D

ivisión

interio

r de

un trazo en

una

razón dada y uso de un

proc

esador geo

métrico para

verificar relacione

s, en

casos

particulares.

•Dem

ostración de

los

teorem

as de Eu

clides

relativos a la propo

rcionali-

dad de

trazos en

el triá

ngulo

rectángulo, d

emostración de

lteorem

a de

Pitágo

ras y

del teo

rema recíproc

ode

Pitágo

ras.

•Aplicación de

la noc

ión de

semejanza a la dem

ostración

de relacione

s en

tre

segm

entos en

cue

rdas y

secantes en un

acircun

ferencia y a la

homotecia de figuras planas.

•Se

mejanza de figuras.

•Se

mejanza de

triángulos: criterio

AA.

•Se

mejanza de


LLL.

•Se

mejanza de


LAL.

•Análisis de

sem

ejanza

en figuras planas.

•Aplicación de

lasemejanza en

mod

elos a escala.

•Te

orem

a de

Thales.

•Te

orem

a gene

ral d

eTh

ales.

•División

de un

trazo

en una razón

dada.

•Te

orem

a de

Euclides.

•Aplicacione

s de

l teorem

a de

Euclides.

•Hom

otecia.

•Com

pren

der el con

cepto de

semejanza y su relación

con

form

as sem

ejantes presen

tes

en el e

ntorno

.•Dem

ostrar propo

sicione

s sim

ples utilizando

con

ceptos

y prop

iedade

s relacion

adas con

la sem

ejanza de figuras planas.

•Iden

tificar y utilizar criterios de

semejanza de triángulos para

el análisis de

la sem

ejanza en

diferentes figuras planas.

•Aplicar criterios de

sem

ejanza

en m

odelos a escala.

•Aplicar el teo

rema de

Thales

sobre trazos propo

rcionales.

•Dividir interio

rmen

te un trazo

en una razón

dada y usar un

proc

esador geo

métrico para

verificar relacione

s.•Dem

ostrar lo

s teorem

as

de Euclides relativos a la

prop

orcion

alidad de trazos

en el triá

ngulo rectángulo.

•Describir la hom

otecia de figuras

planas m

ediante el produ

cto de

un vector y un

escalar.

•Usar un

procesado

r geom

étrico

para visu

alizar las relacion

es que

se produ

cen al desplazar figuras

homotéticas en el plano

.

•Escuadra

•Re

gla

•Calculado

ra

•Com

putado

r•Internet

•Cinta adh

esiva

•Pape

l mantequ

illa

•Diagnóstica: páginas

142 y 14

3 de

lTe

xto para el

Estudiante.

•Fo

rmativa: páginas

158 y 17

5 de

lTe

xto para el

Estudiante.

•Su

mativa: páginas

182 y 18

3 de

lTe

xto para el

Estudiante y 142

y 14

3 de

la G

uía

Didácticapara el

Profesor.

CMO

CONTENIDOSDELAUNIDAD


INDICADORES

RECURSOS

DIDÁCTICOS

TIPOSDEEVALUACIÓN




La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tienecomo propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizajedel concepto de semejanza y otros contenidos relacionados. La intencionalidadde la introducción presentada también es mostrar a los y las alumnas que un concepto matemático tan importante como la semejanza de figuras es posibleencontrarlo en variados aspectos cotidianos, como por ejemplo en mapas dediversas localidades (continentes, países, ciudades, comunas, etc.), planos de diferentes construcciones (casas, puentes, estadios, carreteras, etc.), entre otros.

La imagen presentada en el Texto para el Estudiante corresponde a una vistaaérea de la ciudad de Linares, con el propósito de ilustrar a los alumnos y alumnasque a través de distintos tamaños fotográficos hay aspectos que se mantienenconstantes, como las formas de los sitios, los ángulos de diversas intersecciones ylas proporciones entre diferentes longitudes, y otros varían como los tamaños delos distintos lugares, todo ello dependiendo de la altura en que son mirados.

Con esta ilustración introductoria, sus estudiantes podrán apreciar que a través de la tecnología es posible observar distintas imágenes, que permitirán obtenerresultados semejantes.

Un ejemplo de ello es Mapcity, un sitio en Internet creado en el año 2000, cuyopropósito es la localización y búsqueda de direcciones, que recibe mensualmentemás de un millón y medio de consultas. Mapcity también ofrece servicios aempresas en el ámbito del marketing, gestión de ventas y logística. Hoy, Mapcityentrega sus servicios en las principales ciudades de Latinoamérica. Más información en www.mapcity.com



En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir elnivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidosde esta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientescriterios:

Ítem 1: calcular en qué razón están las medidas de los segmentos dados.Ítem 2: determinar el valor de la incógnita en las proporciones dadas.Ítem 3: determinar si los pares de triángulos dados son congruentes.Ítem 4: determinar la medida de los ángulos entre paralelas.

3 Analizar.

¿Cuánto sabes?


1, 2 y 4 Calcular.



Semejanza | 121


Unidad 4


1

• Determina correctamenteen todos los casos en quérazón están las medidas delos segmentos dados.

• Determina correctamenteen tres casos en qué razónestán las medidas de lossegmentos dados.

• Determina correctamenteen dos casos en qué razónestán las medidas de lossegmentos dados.

• Determina correctamenteen uno o en ningún caso enqué razón están las medidasde los segmentos dados.

2

• Aplica correctamente entodos los casos la propiedadfundamental de las proporciones.• Resuelve correctamentetodas las ecuaciones formadas.• Encuentra el valor correc-to de la incógnita en todaslas proporciones dadas.

• Aplica correctamente entodos los casos la propiedadfundamental de las proporciones.• Resuelve correctamentetres de las ecuaciones formadas.• Encuentra el valorcorrecto de la incógnita entres de las proporcionesdadas.

• Aplica correctamente endos casos la propiedad fundamental de las proporciones.• Resuelve correctamentedos de las ecuacionesformadas.• Encuentra el valorcorrecto de la incógnita endos de las proporcionesdadas.

• Aplica correctamente enmenos de dos casos la propiedad fundamental de las proporciones.• Resuelve correctamentemenos de dos de las ecuaciones formadas.• Encuentra el valor correcto de la incógnitaen menos de dos de lasproporciones dadas.

3

• Determina correctamentesi todos los pares de figurasdadas son congruentes.• Justifica correctamentetodas sus respuestas.

• Determina correctamentesi tres de los pares de figurasdadas son congruentes.• Justifica correctamentetres de sus respuestas.

• Determina correctamentesi dos de los pares de figurasdadas son congruentes.• Justifica correctamente dos de sus respuestas.

• Determina correctamentesi menos de dos de lospares de figuras dadas son congruentes.• Justifica correctamentemenos de dos de sus respuestas.

4

• Determina correctamente la medida de todos losángulos dados.• Aplica correctamente en todos los casos laspropiedades de los ángulosentre paralelas.

• Determina correctamente la medida de todos losángulos dados.• Aplica correctamente en todos los casos laspropiedades de los ángulos entre paralelas.

• Determina correctamente la medida de uno de losángulos dados.• Aplica correctamente en un caso las propiedades delos ángulos entre paralelas.

• Determina incorrectamentela medida de todos los ángulos dados.• Aplica incorrectamente en todos los casos laspropiedades de los ángulos entre paralelas.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el conceptode razón, que es la base de esta unidad. Para remediar esta situación, podríarecordarles este concepto a través de una definición y de ejemplos claros quepermitan ayudar y no confundir. Por otra parte, muestre a sus estudiantesque para determinar la medida del segmento AD, por ejemplo, se debesumar las medidas de los segmentos AB, BC y CD.

• En el ítem 2, podría suceder que sus estudiantes no recuerden cómo encontrarel valor incógnito en una proporción. Para ello, es conveniente recordarles la propiedad fundamental de las proporciones (a : b = c : d, si y solo si ad = bc), y luego que apliquen las propiedades de las igualdades como en cualquier ecuación.


Semejanza de figurasPÁGINAS 146 - 147

Información para el docente

En esta unidad se introduce el concepto de semejanza. Intuitivamente, las figurassemejantes están relacionadas por una transformación, ya sea de dilatación o contracción de sus longitudes, de modo que las razones entre las medidas de lasdistintas rectas que componen la figura original y la dilatada es la misma, así comolos ángulos correspondientes. La razón entre sus longitudes es una medida de lamagnificación de la transformación. Un caso especial de esto es la congruencia,donde la magnificación es igual a 1.

Dos figuras que cumplan lo anterior, pero que estén rotadas una con respecto aotra, pueden causar cierta dificultad. Para ello, debe hacerse hincapié en la definición.Por ejemplo, dos figuras pueden ser semejantes pero no estar “semejantementeubicadas”, tal como se muestra en la figura de la cámara oscura.


1. Supón que dos triángulos cumplen que la razón entre sus correspondienteslados es constante, ¿se puede decir que los triángulos son semejantes?, ¿es necesario verificar también que los ángulos correspondiente son iguales, tal como se enuncia en la definición del Texto?

2. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de cómo se podría definirsemejanza, en general, para figuras que no están formadas por segmentos derectas. ¿Qué puedes decir de las figuras mostradas en la siguiente figura?


2Usar herramientas,interpretar y verificar.

En tu cuaderno


1 Reconocer/Identificar.

3 Justificar.

4 y 5Usar herramientas y justificar.


• En el ítem 3, recuerde a sus alumnos y alumnas la noción de congruencia. Los dibujos mostrados sugieren que se utilice algún criterio para determinarcongruencia, esto le permitirá evaluar cuánto recuerdan sus alumnos y/oalumnas acerca de criterios de congruencia.

• En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden cómo relacionar las medidas de los ángulos señalados. Para corregir esto, es importante que revise las distintas igualdades entre ángulos que se forman cuando una recta corta a dos paralelas. Dibujar ejemplos en elpizarrón es útil para aclarar este punto.

Ampliación de conceptosgeométricos.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar launidad, a modo de introducción.


3. ¿Son semejantes las siguientes figuras?, ¿por qué?

a. En este caso, ¿se mantiene la razón entre los lados correspondientes de lasdistintas partes que la componen?, ¿cuál es esta razón?

b. ¿Por qué no se puede concluir que las figuras son semejantes? Justifica.

Semejanza | 123


Unidad 4

1 Clasificar.

En tu cuaderno


Semejanza de triángulos: criterio AAPÁGINAS 148 - 149


En esta sección, se introduce uno de los tres criterios de semejanza que se presentarán en la unidad, el criterio AA (ángulo-ángulo).

Es posible que los alumnos o las alumnas hayan olvidado que la suma de las medidasde los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. La siguiente figurapuede servir para mostrar esto:

Usando las relaciones entre ángulos internos entre paralelas es sencillo concluirque las medidas de los ángulos a, b y g suman 180º.

b

a g

ba

Aprendizaje de conceptos clave a tratar en la unidad.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar luego de introducir losconceptos clave de la unidad,como ejercitación.

Errores frecuentes• Los y las estudiantes pueden

confundir o ignorar que el ordenen que se escriben los vérticesde un triángulo o un polígono esfundamental para establecer lasemejanza.

• Enfatice que, por ejemplo, si lostriángulos ABC y DEF son semejantes, entonces los vérticesque se corresponden son: el vértice A con el vértice D, el B con el E y el C con el F. Así, el lado BC se correspondecon el lado EF, y �BCA se corresponde con �EFD.



Semejanza de triángulos: criterio LLLPÁGINAS 150 - 151


En esta sección se establece el criterio LLL. Como su nombre lo indica, es adecuado para establecer semejanza cuando se conocen las medidas de los tres lados de cada uno de los triángulos que se van a comparar. Los alumnos y las alumnas deben entender que el criterio de semejanza que puedan utilizardepende de los datos de que dispongan para un problema en particular.


1. Considera un paralelogramo. Si tomamos una diagonal cualquiera, ¿resultarándos triángulos semejantes? ¿congruentes?

2. ¿Es la congruencia un caso especial de semejanza?, ¿por qué?

3. Una vez que se ha establecido semejanza entre triángulos, mediante cualquiercriterio, se puede decir ciertamente que los lados correspondientes de lostriángulos son proporcionales. Considera, por ejemplo, el caso del par detriángulos rectángulos mostrados en la figura:


1. Muestra que los ángulos basales de un triángulo isósceles son iguales.

2. Identifica todos los posibles triángulos en la figura (las líneas que parecen ser paralelas, son paralelas). Determina si hay triángulos semejantes. ¿Son semejantes de a tres o más? Justifica.

3. Si �ABC es semejante a �DEF, ¿se puede decir que el �DEF es semejante al�ABC? Explica. Si �DEF es semejante a �GHI, ¿puede concluirse que �ABCes semejante a �GHI? Justifica.

3, 4 y 5 Calcular.

6 Justificar.

7 Calcular.

En tu cuaderno


1 y 2 Clasificar.

a

P

C

BAO

A B C

F

J

K

I

E

G

D

H


Semejanza | 125


Unidad 4

Los triángulos AOP y ABC son semejantes. De modo que = .

Pero esta proporción es equivalente a = . Observa que esto dice

que la razón entre el cateto opuesto a un angulo a y su hipotenusa es independiente del tamaño del triángulo rectángulo, y solo depende del ángulo a. ¿Qué otras razones como esta puedes descubrir?

Semejanza de triángulos: criterio LALPÁGINAS 152 - 153


Un resultado interesante que se puede mostrar en clases, usando los criterioshasta aquí establecidos es que si DABC es semejante a DA’B’C’, entonces larazón entre sus áreas es el cuadrado de la razón entre sus lados. Es decir, si setiene un triángulo de área 1, por ejemplo, y otro semejante, con razón 1 : 5,entonces sus áreas estarán en relación 1 : 25. Esta relación se demuestra másadelante en el Texto.

Esta propiedad se puede usar para demostrar geométricamente el teorema dePitágoras. Considera el DABC, rectángulo en C. Traza la perpendicular desde el vértice C al lado opuesto y marca el punto de intersección con el lado ABcomo el punto O.

Los triángulos ABC, ACO y CBO son semejantes. Si se denotan sus áreas por ABC, ACO y CBO respectivamente, por el resultado

anterior, se tiene: = =

Además, observando la figura, es claro que: ABC = ACO + CBO

De la primera ecuación, considerando la segunda proporción, se obtiene:

=

Luego, componiendo proporciones:

=

Remplazando la segunda de las ecuaciones (suma de áreas) en la ecuación anterior, se obtiene que:

(CB2 + AC2) =

En tu cuaderno


1 y 2 Justificar.

3Reconocer/Identificar.

4 Resolver problemas.

APAC

OPCB

CBAC

OPAP

ABCAB2

CB2

AC2

CBOACO

CB2 + AC 2

AC2

AC 2 · ABCACO

CBO + ACOACO

ACOAC 2

CBOCB2

O

A

CB

Errores frecuentes• En caso del criterio LAL, se

debe enfatizar que no bastan doslados proporcionales y un ángulocongruente, sino que dicho ángulodebe ser el que está formado porlos lados proporcionales, o no sepuede aplicar este criterio.




Comente con sus estudiantes que no basta que, al triangular dos figuras, lostriángulos que las forman sean semejantes, también deben estar similarmente ubicados, esto es, sus posiciones deben ser correspondientes dentro de las figuras consideradas.

A menudo ocurre que no existe una única forma de triangular una figura. Puede plantear problemas al respecto.


1. En las figuras se muestran dos hexágonos regulares. Con la definición dada desemejanza para figuras planas y esta triangulación, ¿se puede mostrar que loshexágonos son semejantes? ¿Qué otra triangulación sería más adecuada? ¿Qué criterio(s) sería(n) adecuado(s) para una triangulación de 6 triángulossemejantes con vértice en el centro del hexágono?

Finalmente, utilizando la primera proporción de la primera ecuación, es claro que

= .

Remplazando en la ecuación anterior, se obtiene:CB 2 + AC 2 = AB 2

1. En la figura, L // L’, CO = 3, BC = 5 y EF = 8. ¿Cuánto mide OD + DE?

2. DABC es semejante a DDEF. El DABC tiene área 16 u2 y base 2 u. Si larazón entre los lados de DABC y DDEF es 1 : 4, ¿se puede determinar laaltura del DDEF? Explica.

3. Considera dos triángulos isósceles semejantes. La razón entre sus lados es 3 : 4. ¿Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los conosobtenidos rotando estos triángulos alrededor de su eje de simetría? Justifica.

4

Análisis de semejanza en figuras planasPÁGINAS 154 - 155

En tu cuaderno



2 y 3Interpretar, representar y calcular.

Interpretar y calcular.

AB2

AC2

ABCACO

O

DCL

L’

A F

EB


Semejanza | 127


Unidad 4

2. ¿De cuántas formas se puede triangular un octágono?

3. ¿Son todos los n-ágonos regulares semejantes, para cada valor de n?, ¿quétriangulación y criterios de semejanza serían adecuados para establecer esto?

4. ¿Son todos los rombos semejantes? Explica.

5. Determina si son semejantes un rectángulo de lados 4u y 2u con uno delados u y 0,5 u.

6. Un rectángulo tiene lados x e y. ¿Es semejante a un rectángulo de lados y

?, ¿por qué?

7. ¿Como podrías definir semejanza de círculos si sabes que todos los n-ágonosson semejantes? Comenta con tus compañeros y compañeras.

8. Usando una triangulación adecuada, enuncia y demuestra un criterio parasemejanza de rectángulos.

9. Si un rectángulo tiene lados de 2u y 16u de largo y es semejante a uno cuyolado menor mide 3u, encuentra la longitud del lado mayor del segundo rectángulo.

Interpretar, representar y calcular.

Aplicación de la semejanza en modelos a escalaPÁGINAS 156 - 157


El concepto de escala suele ser un concepto difícil de entender. Intentar dibujardiversos objetos a escala puede resultar un ejercicio aclarador para sus estudiantes.Puede pedirles a sus alumnos y alumnas que realicen dibujos a escalas pequeñas,por ejemplo, de 1 : 2, 1 : 3, etc., de modo que una comparación visual entre elobjeto y su representación sea inmediata.


1. ¿Cómo se relaciona el área de un cuadrado de 3 km de lado y el área de uncuadrado que lo representa en un plano dibujado a escala de 1 : 10 000?

2. Si se considera la superficie de la comuna de Ñuñoa representada porcuadrados pequeños (en relación a las dimensiones de la superficie), ¿cómo se relacionaría el área de la comuna con el área de un plano que la representa y cuya escala es 1 : 10 000?

3. Supón que se ha dibujado usando una escala 1 : 100 un rectángulo de lados10 m y 5 m. Calcula las dimensiones del rectángulo que lo representa en el plano. Verifica que las diagonales de sus cuadrados se encuentran en razón 1 : 100.

En tu cuaderno


1Usar herramientas,representar y calcular.

2, 3, 4, 5 y 6

Usar herramientas,representar y calcular.

7

1y

1x

Reconocimiento de los criterios desemejanza en triángulos.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar al concluir los tres criteriosde semejanza, como ejercitaciónconceptual.



5

3 y 4


En estas páginas, se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: determinar cuál afirmación caracteriza a las figuras semejantes.Ítem 2: determinar cuál afirmación es correcta acerca de dos cuadriláteros de

condiciones específicas.Ítem 3: determinar la medida de los lados de un triángulo dado, utilizando

contenidos de semejanza.Ítem 4: determinar la medida de los lados indicados de un triángulo dado,

utilizando contenidos de semejanza.Ítem 5: determinar si dos triángulos pueden ser semejantes según

las condiciones dadas.Ítem 6: determinar la escala del problema planteado.Ítem 7: determinar la distancia real considerando las medidas de

un mapa a escala.

Los ejercicios 1 y 2 son ítems de selección múltiple.


Mi progreso

Habilidades que se evalúan

Ítem

1 y 2 Analizar.

Calcular.

Calcular y analizar.

6 y 7


3

• Establece correctamentelas tres proporciones nece-sarias.• Determina correctamentela medida de los tres ladosdel triángulo.

• Establece correctamentedos proporciones.• Determina correctamente la medida de dos lados del triángulo.

• Establece correctamenteuna proporción.• Determina correctamente la medida de un lado deltriángulo.

• Establece incorrectamentetodas las proporciones o no las forma.• Determina incorrectamentetodas las medidas de los ladosdel triángulo o no logra determinarlas.

4

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.Establece correctamente las dos proporciones necesarias.• Determina correctamente la medida de los dos ladosindicados.• Justifica la elección del criterio utilizado y los resultados obtenidos.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.• Establece correctamente las dos proporciones necesarias.• Determina correctamente la medida de uno de loslados indicados.

• Aplica correctamente el criterio de semejanza.• Establece correctamenteuna proporción.• Determina correctamente la medida de uno de loslados indicados.

• Aplica incorrectamente el criterio de semejanza o no lo aplica.• Establece incorrectamentelas dos proporciones necesarias o no las forma.• Determina incorrectamentela medida de los dos ladosindicados o no logra determinarlas.

Calcular.


Semejanza | 129


Unidad 4


5

• Determina correctamente el criterio de semejanza autilizar.• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.• Determina si los triángu-los dados son semejantes.• Explica de forma argumentada, completa y clara la respuesta dada.

• Determina correctamente el criterio de semejanza autilizar.• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.• Determina si los triángu-los dados son semejantes.• Explica vagamente sus argumentos, explicándolosde forma incompleta y poco clara.

• Determina correctamente el criterio de semejanza autilizar.• Aplica correctamente el criterio de semejanza elegido.• Determina si los triángu-los dados son semejantes.• No explica losprocedimientos utilizados ni losrazonamientos realizados parallegar a la respuesta dada.

• No determina el criterio de semejanza a utilizar.• No logra determinar si los triángulos dados son semejantes.• No explica losprocedimientos utilizados nilos razonamientos realizados.

6

• Realiza correctamente laconversión de unidadesentre m y cm.• Forma correctamente laproporción necesaria.Determina correctamente aqué escala se encuentraconstruido el plano.

• Realiza correctamente laconversión de unidadesentre m y cm.• Forma correctamente laproporción necesaria.• Determina incorrectamente a qué escala se encuentraconstruido el plano.

• Realiza incorrectamente laconversión de unidadesentre m y cm.• Forma correctamente laproporción necesaria.• Determina incorrectamentea qué escala se encuentraconstruido el plano.

• Realiza incorrectamentela conversión de unidadesentre m y cm.• Forma incorrectamente la proporción necesaria o no logra formarla.• Determina incorrectamentea qué escala se encuentraconstruido el plano o nologra determinar la escala.

7

• Forma correctamente laproporción necesaria.• Determina correctamentecuál es la distancia realentre las dos ciudades.• Realiza la conversión deunidades necesaria, porejemplo, expresar el resultado en km.

• Forma correctamente laproporción necesaria.• Determina correctamentecuál es la distancia realentre las dos ciudades.• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar elresultado en km o la conversión es incorrecta.

• Forma correctamentela proporción necesaria.• Determina incorrecta-mente cuál es la distanciareal entre las dos ciudades.• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar elresultado en km o la conversión es incorrecta.

• Forma incorrectamente la proporción necesaria.• Determina incorrectamentecuál es la distancia real entrelas dos ciudades.• No realiza la conversión de unidades necesaria, por ejemplo, expresar el resultado en km o la conversión es incorrecta.


• En los ítems 1 y 2, es importante hacer énfasis en las características que pre-sentan las figuras semejantes, relacionadas con las medidas de los ángulos yde los lados correspondientes. Para evitar inconvenientes, sería apropiado quemuestre a sus estudiantes diversas figuras semejantes y no semejantes, endonde ellos tengan que analizar si cumplen las condiciones de semejanza utilizando los diversos criterios enseñados. Además, es importante recalcar la diferencia entre figuras congruentes, para ello sería conveniente mostrarejemplos de congruencia y repasar los criterios involucrados.



• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan dificultadespara encontrar las medidas del triángulo DEF, debido a que no comprendenel significado de una razón 2 : 3 y además presentan problemas para formarlas proporciones correspondientes. Para superar este inconveniente seríaapropiado explicar el concepto de razón de semejanza y repasar la formaciónde proporciones.

• En los ítems 4 y 5, puede que los alumnos y alumnas tengan dificultades para encontrar las medidas de los lados pedidos, ya que no manejan bienlos criterios de semejanza. Para solucionarlo, es importante enfatizar estos criterios, ya que permiten comprobar la condición de semejanza con un mínimo de datos. Importante también es recalcar el orden en que son nombrados los ángulos, pues de esto depende la razón de semejanza y, por ende, los resultados obtenidos.

• En el ítem 6, podrían ocurrir inconvenientes porque los y las estudiantes norealizan la conversión de unidades adecuada entre cm y m, y con esto la proporción y los resultados obtenidos serían incorrectos. Para solucionarlo,mencione la importancia de trabajar con las mismas unidades, por ejemplo,expresar todo en cm. También recuerde a sus estudiantes simplificar losresultados obtenidos para expresar de manera más simple la razón de semejanza.

• En el ítem 7, podría ocurrir que los alumnos y alumnas asocien erróneamentela medida de longitud dada con la razón planteada. Para evitar esto, recuerdea sus estudiantes que la menor cifra de una razón corresponde a la distancia representada en un plano o mapa, y la mayor cifra corresponde a la distancia real.


En esta sección, se demuestra el teorema de Thales y su recíproco. Debe quedarclaro que el recíproco establece condiciones para que dos rectas que cortan ados secantes sean paralelas. De este modo, se pueden plantear condiciones sobrelos segmentos proporcionales (según el teorema), aun cuando sus medidas sondesconocidas. Por ejemplo, un tipo de problema muy común es que al alumno o alumna se le pregunta “¿qué valor debe tener x (algún segmento a determinaren el problema) para que las rectas sean paralelas?”

Un problema interesante es solicitar a los y las estudiantes que, a partir del teorema de Thales planteado en la unidad, determinen si es válido lo que seplantea al inicio de la unidad 4. Deberían intuir que rotando uno de los triángulosque componen la figura obtenemos el caso ya planteado y, por lo tanto, las proporciones del teorema de Thales son también válidas en este caso.

En tu cuaderno


1, 3 y 4Interpretar, representar y calcular.

2 y 5Interpretar, representar, calculary justificar.

Teorema de ThalesPÁGINAS 159 - 161


Semejanza | 131


Unidad 4

Teorema general de ThalesPÁGINAS 162 - 164

4Interpretar, representar y justificar.

En tu cuaderno




Antes de comenzar con el tema planteado en esta sección, sus estudiantesdeberían poder reconocer todas las proporciones involucradas en la figura delproblema 3, de la sección teorema de Thales. Se recomienda mostrar todas estasproporciones en la pizarra.

Llevar a cabo la actividad sugerida mediante el software Regla y compás ayudará averificar experimentalmente el teorema general de Thales. Se recomienda,además, llevar a cabo uno de los problemas enunciados en las actividades complementarias. Como actividad optativa y/o tarea, puede pedir la demostraciónde alguno de estos problemas.

Para determinar si dos rectas son paralelas, debe verificarse que todas lasproporciones que se puedan establecer utilizando el teorema general de Thalesse cumplen al remplazar los valores correspondientes. Basta que alguna no secumpla para que las rectas no sean paralelas.


1. Determina el valor de x en la siguiente figura, de manera que DE sea paralelaa AB, si AD = 10, DC = 2 y AB = 15.

2. Determina el perímetro de los triángulos DEC y ABC en la figura anterior.

C

ED

A B

x

Demostración geométrica delteorema de Thales.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como profundización.

Aplicación el teorema general de Thales.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar al explicar el teorema general de Thales.



1. En la figura, ¿es posible determinar x, y y z si L // L’ // L’’?

2. Verifique usando el software Regla y compás que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

3. Verifique usando el software Regla y compás que el segmento que une lospuntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es también paralelo a los lados paralelos de este y que su largo es igual a la semisuma de las medidas de los lados paralelos.

División de un trazo en una razón dadaPÁGINAS 165 - 166


Cuando lleve a cabo la demostración de la proposición sobre las bisectrices, hagaver a sus alumnos y alumnas, que, no obstante parecer un truco, la construcciónusada es correcta y fue introducida justamente para poder usar el teorema deThales. Al momento de llevar a cabo una demostración, es válido utilizar cualquierresultado pertinente que ya esté demostrado. Puede plantear también el resultadoen forma de contrarrecíproca, es decir, si no se cumple la condición planteada (de labisectriz), entonces no se cumple la proporción.

Puesto que el resultado planteado no es nada de evidente, puede “explorarlo”gráficamente usando el software Regla y compás.


1. Considera un segmento AB.

a. Supón que el punto O divide al segmento en sección áurea, es decir AB : AO = AO : BO. Calcula la proporción AO : AB. ¿Qué número seobtiene? Construye el número tal como fue explicado en la Unidad 1.

b. Verifica con Regla y compás la validez de la proposición demostrada en elTexto. ¿Qué sucede si el segmento DC no es bisectriz?


En tu cuaderno



2Interpretar, representar yresolver problemas.

L’’

L’

y

L

8

z

x

5

3

Conocimiento y significadomatemático de la razón áurea y sus características.Indicador: comparte informacióncon su entorno.Sugerencias metodológicas: utilizar como profundización.

Errores frecuentes• A veces los y las estudiantes

solo observan el dibujo einmediatamente calculan lo que les parece apropiado, sinleer el enunciado de la pregunta.En este caso, si ven todos lossegmentos con valores, puedeque no sepan qué hacer.


Semejanza | 133

Teorema de EuclidesPÁGINAS 167 - 168


1. La altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa endos segmentos cuyas longitudes están en razón de 1 : 3. Encuentra la razónentre los otros dos lados del triángulo.

2. En un triángulo rectángulo, si h = 20, y p = 4, ¿cuánto valen a, b y c?


Unidad 4

En tu cuaderno


1 Verificar.

2Representar y calcular.

3 Justificar.

2, 4, y 7

Aplicar.3 y 6

Aplicaciones del teorema de EuclidesPÁGINAS 169 - 170


Es posible que los alumnos y alumnas apliquen mal las relaciones enunciadas en el teorema de Euclides, debe insistirse en su correcta memorización. Igualmente,debe quedar claro que cuando se habla de la distancia desde un punto a unarecta, siempre se refiere a la distancia medida desde el punto, sobre una rectaperpendicular a la anterior y que pase por el punto, a la recta. Si se ubica esteconjunto de puntos en un triángulo, es intuitivamente claro que esta distanciacorresponde a la altura de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, es posibleaplicar el teorema de Euclides para calcularla.

La distancia desde el punto C al segmento AB corresponde a la medida de laaltura hc .

En tu cuaderno



Usar herramientas,interpretar y calcular.

5 Justificar.

ab

h

p q

c

Resolución de problemas aplicando el teorema de Euclides.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación numéricadel teorema de Euclides.

A

C B

Aplicar el teorema de Euclides alcálculo de trazos en un triángulo.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación del teorema de Euclides.


3 y 4 Justificar.


HomoteciaPÁGINAS 171 - 174


El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizar yentender para sus estudiantes. Para aclararles esto, puede dibujar en el pizarrónalgunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se invierte la orientación de los distintos segmentos que componen una figura.

También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de lahomotecia está dentro de la figura dada, tal como se plantea en el problema 2.Puede aclarar este punto haciendo notar que el concepto de homotecia comouna transformación de la figura no guarda relación con que el centro de lahomotecia se encuentre en algún lugar particular del plano, ya que la forma deconstruir la imagen de una figura bajo una homotecia es siempre la misma.

La actividad complementaria 6 puede servir como una tarea o actividad sugeridaal estudiante interesado. Finalmente, el principio de funcionamineto del aparato es una simple semejanza de triángulos, de modo que ilustra con una aplicación losconceptos de homotecia y semejanza presentados en la unidad. Tales principiospodrían tener aplicación, por ejemplo, en máquinas que fabrican piezas mecánicasde cierto tamaño a partir de un molde más grande, tal como las que se usan enla fabricación de monedas, etc.


1. ¿Cómo se relacionan el área de un cuadrado y el área de su imagen bajo una

homotecia de razon ?, ¿y si la homotecia es de razón – ?

2. ¿Qué ocurre a una figura si es transformada bajo una homotecia de razón 1?

3. ¿Una homotecia de razón negativa contrae la figura original?, ¿por qué?

4. ¿Una homotecia de razón positiva siempre dilata las longitudes? Explica.

5. Si dos figuras planas, con lados hechos de segmentos de recta, están relacionadaspor una homotecia de razón k, ¿cómo se relacionan sus perímetros?, ¿qué pasasi el valor de k es negativo?

6. Averigua en Internet acerca del Pantógrafo de Scheiner (puede ver unesquema en Coxeter HSM, Introduction to Geometry, página 69). Este es uninstrumento que permite realizar una copia homotética de una figura.¿Cómo funciona?, ¿se puede usar para construir una copia homotética derazón negativa?, ¿por qué?

2

En tu cuaderno


1 y 2Interpretar, representar y calcular.

12


Semejanza | 135


Unidad 4

3

• Conoce la razón áurea.• Divide el segmento ABen la razón áurea.• Encuentra la medida de AP.

• Conoce la razón áurea.• Divide el segmento ABen la razón áurea.• No encuentra la medidade AP o el resultadoobtenido es incorrecto.

• Conoce la razón áurea.• No divide el segmentoAB en la razón áurea.• No encuentra la medidade AP o el resultadoobtenido es incorrecto.

• No conoce la razón áurea.• No divide el segmentoAB en la razón áurea.• No encuentra la medidade AP o el resultadoobtenido es incorrecto.

4

• Copia la figura original.• Construye correctamentelas ocho homotecias pedidas.

• Copia la figura original.• Construye correctamentemás de cuatro de lashomotecias pedidas.

• Copia la figura original.• Construye correctamentecuatro de las homoteciaspedidas.

• Copia la figura original.• Construye correctamentemenos de cuatro de lashomotecias pedidas.


3 Calcular y recordar.



En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular las medidas de los segmentos dados.Ítem 2: dibujar un segmento e identificar la ubicación de los puntos según la

división realizada.Ítem 3: determinar la medida de un segmento.Ítem 4: construir homotecias a partir de la figura y datos proporcionados.

Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivelde conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.

Mi progreso


1 Calcular.


1

• Forma correctamentetodas las proporcionesnecesarias.• Opera correctamente contodas las proporciones formadas.• Encuentra las medidas delos seis segmentos pedidos.

• Forma correctamente más de tres proporciones.• Opera correctamente con más de tres de las proporciones formadas.• Encuentra las medidas demás de tres segmentospedidos.

• Forma correctamente tres proporciones.• Opera correctamente contres de las proporcionesformadas.• Encuentra las medidas delos tres segmentos pedidos.

• Forma correctamentemenos de tres proporciones.• Opera correctamente con menos de tres de lasproporciones formadas.• Encuentra las medidas demenos de tres segmentospedidos.

2

• Dibuja un segmento ABcualquiera.• Divide correctamente elsegmento AB en lasrazones pedidas.• Identifica correctamente los puntos Q y R.• Identifica correctamentede qué punto están máscerca Q y R.

• Dibuja un segmento ABcualquiera.• Divide correctamente elsegmento AB en lasrazones pedidas.• Identifica correctamentelos puntos Q y R.• Identifica incorrectamentede qué punto están máscerca Q y R.

• Dibuja un segmento ABcualquiera.• Divide correctamente elsegmento AB en lasrazones pedidas.• Identifica incorrectamente los puntos Q y R.• Identifica incorrectamentede qué punto están máscerca Q y R.

• Dibuja un segmento ABcualquiera.• Divide incorrectamente el segmento AB en lasrazones pedidas.• Identifica incorrectamentelos puntos Q y R.• Identifica incorrectamentede qué punto están máscerca Q y R.




La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad;sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicaspara que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas.Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentesacciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedenmantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.


A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizarpara evaluar la resolución de problemas planteados.


• En el ítem 1, es posible que los estudiantes tengan problemas para construir las proporciones necesarias para encontrar las medidas requeridas.Para evitarlo, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan y entiendanel teorema general de Thales. También es importante hacer notar a losalumnos y alumnas que, al establecer diferentes proporciones, es posible llegar al resultado correcto.

• En el ítem 2, podría provocar confusión en los estudiantes el tener que hacervarias divisiones en un mismo segmento. Si considera necesario, podría permitirles que dibujen un segmento para cada razón dada. También señale la opción de dibujar segmentos con medidas convenientes según la razón,

así por ejemplo, si dividimos AB en la razón , podrían dibujar un segmento

de 6 cm, ya que 1 + 5 = 6.

• En el ítem 3, podría causar inconvenientes el que los estudiantes no conozcancuál es la razón áurea. Podría entregárselas si considera necesario o tambiénpodría plantearles un trabajo de investigación sobre esta razón y su presenciaen distintos ámbitos del mundo real, y de esta forma los alumnos y alumnasno olvidarán con facilidad cuál es la razón áurea.

• En el ítem 4, es posible que los alumnos presenten problemas para realizarlas homotecias pedidas, debido a que les provoca confusión la razón k, ya sea cuando es una fracción o cuando es un número negativo. Para evitareste tipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes practiquencon los distintos valores que puede tomar k (números enteros positivos,enteros negativos, fracciones positivas y fracciones negativas).

15

En tu cuaderno


1 (pág. 168) Aplicar y calcular.

1, 2 y 3 (pág. 169)

Aplicar y calcular.


Semejanza | 137


Unidad 4


• Rodrigo estaba encumbrando un volantín, pero al hacer una mala maniobra,se le quedó atrapado en el techo de su casa. Para calcular a qué altura seencontraba su volantín, estiró el hilo y apoyó el extremo que tenía en sumano en el suelo, como lo muestra la figura. Además, pidió a su hermano menor (de 80 cm de altura) que se parara bajoel hilo que él sujetaba.Luego, calculó que su hermano se encontraba a 3 metros del extremo delhilo. Además, sabía que el punto más alto de la casa se encontraba justo enel medio del ancho de la puerta, por lo que pudo medir fácilmente esa distancia. ¿A qué altura se encuentra el volantín de Martín?

• Se pretende dibujar un mapa, que representa las ciudades desde Arica aSantiago, en una hoja de 30 cm de largo. Averigua las distancias entre dichasciudades y determina una escala adecuada para dicho mapa.

• El cuadrilátero ABCD es un cuadrado, los puntos que forman el cuadriláterointerior dividen a cada lado en la razón 5 : 12 y esto se repite indefinidamente.

a. Demuestra que todos los cuadriláteros de la serie son cuadrados.b. Encuentra la razón entre los lados de los cuadrados consecutivos.c. Si el área del cuadrado rojo es 1156 cm2, calcula el área del cuadrado

ABCD y del cuadrado azul.

www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Comprensióndel problema o situación








A

B C

D


• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a problemaso a situaciones nuevas.





• Puede demostrar y explicar usan-do una variedad de modos.

• Está listo para hacer conexionesacerca de cómo y por qué.
















Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello se presentauna actividad sobre planos a escala, en donde se vinculan los conceptos de semejanza para una aplicación tan común como la construcción e interpretaciónde planos a escala.

Esta actividad permitirá que sus alumnos y alumnas visualicen la aplicabilidadcotidiana que tienen los contenidos aprendidos en la unidad en la construcción e interpretación de planos a escala.

Hoy existen diferentes herramientas tecnológicas, como softwares computacionalesy GPS, que permiten generar mapas y planos a escala de una construcción o deuna localidad específica, con las características y precisiones que deseemos.

Se recomienda que la primera parte de esta actividad sea realizada de forma individual y la segunda parte sea realizada en grupos de 2 personas.

Para complementar la actividad del Texto, sería interesante que investigara juntoa sus alumnos y alumnas los distintos recursos tecnológicos que están disponiblesen Internet para obtener este tipo de gráficas y, de ser posible, tratar de practicary crear algún tipo de plano a escala.


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnasorganizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permiteconocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en esta partede la unidad.

En esta parte se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los contenidos trabajados en toda la unidad.



• ¿Cómo definirías figuras semejantes?• ¿En qué situaciones se puede aplicar el teorema de Thales?• ¿Qué relaciones se cumplen en un triángulo rectángulo según el teorema

de Euclides?• ¿Qué es una homotecia?

Repaso de conceptos y definiciones clave de la Unidad.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrarconceptos y definiciones de launidad.

2, 4 y 5 Analizar.

En tu cuaderno


1 y 3Usar herramientas y calcular.

Investiguemos...


1 Verificar.

2 y 3 Justificar.

4Usar herramientas e interpretar.



Síntesis de la unidad


Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.


3 Analizar y calcular.

Semejanza | 139


Unidad 4

• Si tengo el dibujo de una estrella y lo quiero copiar más pequeño y en sentidocontrario a la figura original, ¿qué condiciones debería tener el factor k?

• Realiza una homotecia de la siguiente figura considerando el centro O y

k = .

• ¿A qué se refiere razón de semejanza? Da un ejemplo donde se aplique.• ¿Qué es el factor k de conversión de una homotecia? Da un ejemplo.• Usa el método de la semejanza para dividir un trazo de 20 cm en la razón

3 : 4 : 5. ¿Cuáles son las medidas de cada una de las partes?



Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de 8 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 5 preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de 5 preguntas.


• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes apliquen de forma incorrecta el teorema de Thales, y por ello las proporciones que forman son incorrectas y producen resultados incorrectos. Para evitar este tipo deinconvenientes, es fundamental que los alumnos dominen muy bien el razonamiento de este teorema y no la simple mecanización de procedimientos.Para lograr esto, es bueno ejercitar distintas figuras donde se pueda aplicareste teorema y que las figuras sean presentadas en diferentes posiciones para lograr una generalidad.

• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan inconvenientespara encontrar las relaciones que se dan en la figura. Esto se puede deber aque no manejan las propiedades que se cumplen gracias al teorema de Thales.Para evitarlo, es importante que trabaje con sus alumnos este teorema demodo que lo entiendan. También recuérdeles el teorema de Pitágoras, que se aplica en este ejercicio.

• En el ítem 4, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para encontrar la medida de x, debido a que no distinguen los triángulos semejantes y lasrelaciones que se pueden hacer con el teorema de Thales. Para evitar esto,es fundamental que los alumnos y alumnas logren reconocer en figuras deeste tipo los triángulos semejantes y sus diversas relaciones, por ello esimportante que practique con ellos diferentes ejercicios similares.

• En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener problemas para encontrarla medida de a, ya que no pueden reconocer los segmentos que son proporcionales. Es importante la comprensión y aplicación correcta del teorema de Thales, para ello, practique diversas situaciones donde sea necesaria su aplicación.

Evaluación


1, 4, 5, 6, 7, 9, 10 y 12

Calcular.

2, 8 y 11 Analizar.

25

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuentacon una evaluación interactiva y,además, una autoevaluaciónimprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.



• En el ítem 6, podría suceder que sus estudiantes planteen la escala como 8 : 200 sin considerar que son distintas unidades de longitud (cm y m), provocando esto resultados incorrectos. Para evitarlo, es importante recalcarque siempre deben trabajar con unidades de un misma magnitud. Por lotanto, para este problema, deben expresar todas las medidas en cm o bien en m.

• En el ítem 7, podría ocurrir que los y las estudiantes utilicen de forma

incorrecta la razón dada, es decir, que la utilicen como , asignando mayor

medida a AP que a PB. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que sedebe respetar el orden de las letras dadas así como también las razonesinvolucradas, pues en caso contrario se obtienen resultados erróneos.

• En el ítem 8, es posible que sus estudiantes tengan dificultades para determinarcuáles de las afirmaciones dadas son correctas, ya que no establecen correctamente las relaciones presentes en la figura. Esto se puede deber aque no manejan bien el teorema de Thales, por ello, es importante trabajarcon él continuamente en diferentes tipos de ejercicios para que comprendanbien las relaciones que se pueden establecer.

• En el ítem 9, podrían tener dificultades para interpretar el parámetro k y surelación con el perímetro del triángulo transformado. Para evitar inconvenientesen la resolución de este tipo de problemas, es importante clarificar a sus estudiantes estos conceptos y practicar ejercicios de este tipo, para quepuedan encontrar las medidas de la figura original.

• En el ítem 10, podrían presentar complicaciones para encontrar la medidapedida, ya que no pueden establecer las relaciones necesarias entre los segmentos presentes en la figura, debido a que no manejan bien los criteriospara determinar la semejanza de triángulos. Para solucionar esto, es importanteque los alumnos y alumnas se acostumbren a analizar figuras e identificar características relevantes en ellas. Todo esto se logra con la ejercitación constante pero con sentido de aprendizaje y no simple mecanización, pues cuando esto ocurre los alumnos se enfrentan a problemas diferentes y no saben cómo abordarlos.

• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para determinar cuáles de las afirmaciones son falsas, debido a que no relacionanestas afirmaciones con el teorema de Thales. Para solucionar esto, recuérdelesla propiedad fundamental de las proporciones.

• En el ítem 12, podría ocurrir que los alumnos y alumnas presenten problemaspara encontrar la medida del segmento pedido, ya que no dominan bien las relaciones que se cumplen en figuras semejantes y también porque no manejanel teorema de Thales. Para evitarlo, sus estudiantes deben conocer y aplicarlos criterios de semejanza y el teorema de Thales, a través de problemas yejercitación de distinta dificultad.

32


Semejanza | 141


Unidad 4

Evaluación final

En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitiráevaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con los contenidostrabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos acabalidad por sus estudiantes.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar lasiguiente pauta:


1, 2, 3, 4 y 5 Calcular. 2 puntos cada una 10 puntos

6 Aplicar y calcular. 2 puntos 2 puntos

7 Analizar 2 puntos 2 puntos



10, 11, 12 y 13 Calcular. 2 puntos cada una 8 puntos


• Alsina, Claudi. Viaje al país de los rectángulos, Editorial Olimpíadas Matemáticas, Argentina, Buenos Aires. 1995.• Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles,

DLS- Euler Editores, Madrid. 1994.• Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires. 1993.• Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile. 1997.• Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires. 1992.• Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile. 1994.• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España. 1998.

Sitios web

Descartes. Matemáticas interactivas.http://descartes.cnice.mec.es/

El portal de la educación.www.educarchile.cl

El paraíso de las matemáticas.www.matematicas.net


BIBLIOGRAFÍA



Evaluación final



1. En la siguiente figura, m // n // r. Calcula la medidadel segmento x.

A. 3,75 cmB. 5,25 cmC. 4,70 cmD. 2,50 cmE. 3,25 cm

2. Si AC = 18 cm, determina el valor de x e y,donde m // n // r.

A. x = 12 cm; y = 6 cmB. x = 2 cm; y = 16 cmC. x = 4 cm; y = 14 cmD. x = 10 cm; y = 8 cmE. x = 8 cm; y = 10 cm

3. Un punto P se encuentra entre A y B, dondeAB = 12 cm. Determina la medida de AP si AP : PB = 1 : 3.

A. 3 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 8 cmE. 10 cm

4. Un segmento AB de 27 cm está dividido interiormente por un punto P en la razón 6 : 3.Calcula las longitudes de los segmentos AP y PB.

A. AP = 3 cm y PB = 6 cmB. AP = 9 cm y PB = 18 cmC. AP = 6 cm y PB = 3 cmD. AP = 18 cm y PB = 9 cmE. AP = 9 cm y PB = 27 cm

5. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y ladiagonal BD = 10 cm. ¿Cuánto mide AE?

A. AE = 4,2 cmB. AE = 4,8 cmC. AE = 8,4 cmD. AE = 6,3 cmE. AE = 8,2 cm

6. En los triángulos ABC y DEF de la figura, sesabe que AC // DF, CB // EF. AD = EB = 4 cm,GE = GD = 8 cm y FG = 6 cm. Entonces el áreadel triángulo ABC es:

A. 54 cm2

B 72 cm2

C. 108 cm2

D. 120 cm2

E. 180 cm2

7. En la siguiente figura AB = 4 cm, BC = (x2 – 1) cm,DE = 7 cm, EF = (x + 1) cm, CF = 2 cm, BE = y cm. En relación a la información entregada, ¿cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) correcta(s)?

I. Para que L1 // L2 // L3, se debe cumplir que

x sea igual a cm.

II. Si L1 // L2 // L3, el valor de y es cm.

III. Aunque se conozca el valor de x e y, no esposible determinar la medida de AD.

A. Solo I B. Solo IIC. I y IID. I y IIIE. I, II y III


117

9867

A

B

C

D m

n

r

E

F

x3 cm

4 cm 5 cm

m

n

r

A

B

C F

E

D

6x

y 3

A

D

Eb

a B

C

A D G E B

F

C

L1

L2

L3

A

B

C

D

E

F


Semejanza | 143

Evaluación final


8. En un mapa, la distancia entre dos ciudades es20 cm. Se sabe que la distancia real entre ellases de 2 000 km. ¿Cuál es la escala del plano?¿Cuál será la distancia entre otras dos ciudadesque se encuentran a 13 cm en el plano, respectivamente?

A. 1 : 1 000 y 13 000 km. B. 1 : 100 y 130 km.C. 1 : 2 y 260 km.D. 1 : 100 y 1 300 km.E. Ninguna de las alternativas es correcta.

9. En relación a los conceptos de semejanza ycongruencia, podemos afirmar que:

I. Dos figuras son semejantes si las medidas de sus segmentos homólogos son iguales.

II. Dos triángulos son congruentes cuando la medida de sus ángulos es la misma.

III. Si se tienen dos figuras congruentes, inmediatamente se sabe que también son semejantes.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIIE. I, II y III

10. En la siguiente figura m // n // p. El valor de x es:

A. 7 cm B. 0 cmC. 7 cm o 4 cmD. 1 cmE. Ninguna de las anteriores.

11. El triángulo ABC es rectángulo en C y CDes su altura. Si �CAD mide 20º, ¿cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos son semejantes?

I. �ADC y �CDBII. �ADC y �ACBIII. �CDB y �ABC

A. Solo IIB. Solo IIIC. Solo I y IID. Solo II y IIIE. I, II y III

12. En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2

y AB // DE. ¿Cuál es el área del trapecio ADEB?

A. 36 cm2

B. 40 cm2

C. 60 cm2

D. 54 cm2

E. 50 cm2

13. En la figura, AD // BE // CF, = y

EF = DE + 3. ¿Cuánto mide EF?

A. 2B. 3C. 4D. 6E. 9

A B

B

D E10 cm

15 cm

ABBC

23

A D

E

F

B

C

1 cm

(x – 3) 28 cm

m

n

p

x

A

B

C

D

20°



5Unidad

Circunferencia


La circunferencia es una figura conocida por los y las estudiantes y ha significado desde siempre unaporte al desarrollo de distintos ámbitos, como científicos en la invención y construcción de objetosde forma circular, y artísticos con su presencia en importantes obras de arte.

En esta unidad, los alumnos y alumnas conocerán los elementos presentes en una circunferencia,aprenderán algunas de sus propiedades y su aplicación. Como, por ejemplo, la relación existenteentre un ángulo del centro y los ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco,así como también lo correspondiente a ángulos semi-inscritos, interiores y exteriores. También enesta unidad, se aplicarán los conocimientos de semejanza aprendidos anteriormente para ver laspropiedades de las cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

El propósito de esta unidad es que los alumnos aprendan a observar y analizar los ángulos presentesen una circunferencia y puedan establecer relaciones entre ellos.



Circunferencia

Ángulos del centro Cuerdas

Ángulos inscritos Secantes

Ángulos semi-inscritos Secantes y tangentes

Ángulos interiores

Ángulos exteriores

Medida de ángulosen la circunferencia

Proporcionalidad de segmentosde la circunferencia


Circunferencia | 145


CMO

CONTENIDOSDELA

UNIDAD


INDICADORES

RECURSOSDIDÁCTICOS

TIPOSDEEVALUACIÓN

• Id

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y án

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A

B

23,5º

Plano dela elíptica

Perpendiculara la elíptica

Eje de rotación

Estrella Polar

Polo Norte

Línea del EcuadorC

D EO

P



La imagen presentada es una fotografía de larga exposición apuntando hacia laEstrella Polar. Como está situada muy cerca del Polo Norte celeste, se pueden verlas trayectorias circulares aparentes de las estrellas. Una actividad introductoria podría ser estudiar un procedimiento clásico paraorientarse en altamar utilizando como referencia a la Estrella Polar. Como sualtitud (el ángulo con que aparece en el horizonte) disminuye conforme se avanzahacia el Sur, entonces esta puede considerarse igual a la latitud (el arco medidoen grados, desde el ecuador al punto donde se encuentra el observador). Alnavegar en dirección Este u Oeste podía mantenerse también un curso recto ycorregir errores de brújula manteniendo la latitud polar constante.


1. ¿Qué recta representa la línea del ecuador en el diagrama?, ¿qué rectarepresenta la línea del horizonte para el observador?

2. El ángulo entre la línea horizontal y la dirección en la que vemos la estrellase llama altitud de la estrella. ¿Con qué letra se señala la altitud de la EstrellaPolar para el observador situado en O?

3. ¿Con qué letra se señala la latitud del observador? 4. ¿Cuál es la relación entre la latitud del observador y la altitud de la Estrella Polar?

Las respuestas a estas preguntas son, respectivamente: 1. El segmento AB indica el diámetro de la Tierra cuya circunferencia representa

la línea del ecuador. Además la recta DE representa la línea del horizonte delobservador O.

2. Como la altitud es el ángulo con que aparece una estrella en el horizonte, laaltitud de la Estrella Polar aparece indicada con la letra griega a.

3. Como la latitud es el arco medido en grados, desde la línea del Ecuador alpunto donde se encuentra el observador, es decir, el arco OB, la latitud delobservador O está indicada con la letra griega b.

4. Observa que la Estrella Polar está muy lejos de la Tierra. Si el dibujomantuviera las proporciones de las distancias reales y la Tierra se representarapor un círculo de 2 cm de radio, entonces la Estrella Polar estaría a unos1 283 396 499 470 cm, es decir: 12 833 965 km. En tal caso, la recta quedetermina C con el Polo Norte y OP serían prácticamente paralelas. Si lasconsideramos paralelas, según el dibujo siguientese puede concluir que a = b.Los y las estudiantes deben argumentarpor qué a = b.

Estrella Polar

Polo Norte

A

B

C

b

a

aD EO

P



3 y 4 Calcular.



En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir elnivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos deesta unidad.Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientescriterios: Ítem 1: indicar en la circunferencia los elementos dados.Ítem 2: determinar las diferencias entre un círculo y una circunferencia.Ítem 3: calcular la medida de los ángulos pedidos.Ítem 4: reconocer triángulos semejantes.

2 Analizar.

¿Cuánto sabes?


1 Identificar.

Orientaciones didáticas

Unidad 5


1

• Identifica correctamenteen la circunferencia todoslos elementos pedidos.

• Identifica correctamenteen la circunferencia más detres de los elementospedidos.

• Identifica correctamenteen la circunferencia tres delos elementos pedidos.

• Identifica incorrectamentetodos los elementos dados.

2

• Logra distinguir la diferen-cia entre un círculo yuna circunferencia.• Su argumentación es claray completa.

• Logra distinguir ladiferencia entre un círculoy una circunferencia.• Su argumentación esclara, pero incompleta.

• Logra distinguir ladiferencia entre un círculoy una circunferencia.• Su argumentación espoco clara y muy básica.

• No logra distinguir ladiferencia entre un círculoy una circunferenciao su argumentaciónes incorrecta.

3

• Calcula correctamente lasmedidas de todos ángulos.• Aplica correctamente laspropiedades de los ángulospresentes en triángulos.

• Calcula correctamente lamedida de dos ángulos,uno de ellos el pedido. • Aplica correctamente laspropiedades de los ángulospresentes en triángulos.

• Calcula correctamente lamedida de un ángulopedido. • Aplica incorrectamentelas propiedades de losángulos presentes entriángulos.

• Calcula incorrectamentela medida de los ángulospedidos. • Aplica incorrectamentelas propiedades de losángulos presentes entriángulos.

4

• Reconoce correctamentetodas las parejas detriángulos semejantes.• Fundamenta cada casocon el criterio de semejanzacorrecto.

• Reconoce correctamentedos de las parejas detriángulos semejantes.• Fundamenta cada casocon el criterio de semejanzacorrecto.

• Reconoce correctamentemenos de dos de lasparejas de triángulossemejantes.• No identifica el criterio desemejanza utilizado.

• No reconocecorrectamente las parejasde triángulos semejantes.• No identifica el criterio desemejanza utilizado.



Posibles dificultades en la evaluación y remediales.

En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para identificarcorrectamente los nombres de los elementos de la circunferencia presentados,debido básicamente a que no recuerdan sus nombres ni sus características. Paraevitar problemas como estos, es conveniente que realice un repaso de todos loselementos presentes en una circunferencia y sus características. Más interesantey motivador sería si pudiera hacerlo a través de algún software computacional, quepermita mostrar las posiciones y variaciones de estos elementos, como,por ejemplo, cuando se mueve una cuerda y pasa por el centro, esta pasa a serun diámetro de la circunferencia.

En el ítem 2, podría ocurrir que sus estudiantes no logren diferenciar entre círculoy circunferencia, debido a que no comprenden estos conceptos o porque muchospiensan que son términos equivalentes. Además, es posible que los alumnos yalumnas no puedan expresar claramente estas diferencias. Para solucionar estosinconvenientes, es importante que vuelva a explicar las diferencias entre estosconceptos y pídales que ellos los expliquen con sus palabras, pues de esta formapodrán enfrentar de mejor modo futuras situaciones en que deban explicar yargumentar sobre alguna situación o contenido matemático.

En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas calculen de manera incorrectao simplemente no calculen las medidas de los ángulos pedidos presentes en untriángulo, debido a que no recuerdan las propiedades fundamentales involucradaspara la resolución de este tipo de problemas. Para remediar esto, es importantehacer un resumen con las principales características y propiedades de los ángulosen triángulos y cuadriláteros, ya que serán de mucha utilidad para el estudio deesta unidad.

En el ítem 4, indique a sus estudiantes que pueden aplicar sus conocimientossobre ángulos en un triángulo, y también medir los lados de los triángulos parafundamentar correctamente la semejanza, en cada caso.

Indicaciones al docente

Para las mediciones de arcos o ángulos del centro, una actividad muy instructivaes el cálculo de ángulos formados por el horario y el minutero de un reloj. En un comienzo, los alumnos y alumnas pueden creer que el ángulo que se formacuando el reloj indica las 3:00 es el mismo ángulo que cuando indica las 3:30. Un análisis sobre el funcionamiento del reloj muestra que tal suposición esequivocada. Esta actividad puede desarrollarse hasta un grado de precisión de segundos. Locual requiere una gran habilidad de cálculos.

Medición de arcosPÁGINAS 188 - 189

En tu cuaderno


1Representar ycalcular.

Ampliación de conceptosgeométricos.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar antes de comenzar launidad, a modo de introducción.




Unidad 5


1. Determina el ángulo menor que forman el horario y el minutero cuando elreloj marca: a. 7:00 hb. 9:00 hc. 11:00 h

2. ¿Cuánto mide el arco que recorre el horario cuando transcurre 1 hora? 3. ¿Qué ángulo recorre el horario en 24 horas? 4. ¿Qué ángulo recorre el minutero en 24 horas? 5. ¿Cuánto mide el arco que recorre el minutero cuando transcurre 1 minuto? 6. Determina el ángulo menor que forman el horario y el minutero cuando el

reloj marca: a. 2:20 hb. 3:40 hc. 5:35 hd. 7:05 h

7. Determina el ángulo menor que forman el horario y el minuterocuando son las: a. 10:20 h, con 30 segundos b. 4:50 h, con 15 segundos c. 7:50 h, con 10 segundos

8. El horario y el minutero están en la misma posición cuando el reloj marca las12:00 h en punto. ¿A qué hora vuelven a encontrarse el horario y elminutero?

9. ¿A qué hora entre las 2:00 h y las 3:00 h el horario y el minutero forman unángulo extendido?

Ángulos del centro y ángulos inscritosPÁGINAS 190 - 193

Esta es una buena oportunidad para repasar conceptos elementales de geometríacomo la suma de los ángulos de un triángulo y para demostrar que la suma dedos ángulos interiores es igual al ángulo exterior del tercer ángulo. También podría considerar el estudio de la suma de los ángulos exteriores deltriángulo y, en general, de la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono. Un caso que involucra el análisis de ángulos del centro con ángulos inscritos es elestudio de los ángulos de un polígono regular. Cada polígono regular se puede inscribir en una circunferencia, por ejemplo:

Pentágono regular Hexágono regular Heptágono regular4 Recordar y analizar.

3Interpretar, calculary recordar.

En tu cuaderno


1 y 2Interpretar,representar ycalcular.




1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno delos siguientes casos.

a. d.

b. e.

c. f.

56º

O

a

O24º

ab

26ºa

a

2xA

B

D

C

O

x

xx

xx

xO

a

CA

C

O

2x 2x

x

2x

7xa

bg

B

O

Reconocimiento de los ángulosdel centro e inscritos.Indicador: genera debate.Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo teórico.




Unidad 5

En tu cuaderno


1Interpretar,representar y calcular.

Ángulos semi-inscritosPÁGINAS 194 - 195


Es muy importante que antes de explicar el concepto de ángulo semi-inscrito losalumnos y las alumnas comprendan bien el concepto de recta tangente. La tangente es una recta que toca en un punto a una curva sin atravesarla.

Puede demostrar con sus alumnos y alumnas el siguiente teorema respecto a latangente a una circunferencia: “Dado un punto P sobre una circunferencia concentro en O, entonces existe una única recta tangente a la circunferencia que pasapor P. Además, la tangente es perpendicular a OP.”


1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno delos siguientes casos.

a. c.

b. AB � AC d.

Errores frecuentes• Los alumnos y alumnas pueden

pensar que las tangentes puedentocar a la curva solo en un punto.Sin embargo, la figura nos muestrauna tangente a la curva en elpunto P, que corta a la curva enotro punto Q.

BA

C

96º

100º

104º

a

g

a b

64º

O

O

a

b

g

O

b = x + 7

a = 3x – 12

b

a

g

O

Reconocimiento de lasrelaciones angulares clásicasde la circunferencia.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primariasde información.Sugerencias metodológicas: utilizar luego de ver ángulos delcentro, inscritos y semi-inscritos,como ejercitación.


3 Justificar.

2 Calcular.



En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan enel cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: clasificar los ángulos dados en inscritos, semi-inscritos y del centro.Ítem 2: determinar las medidas de los ángulos dados.Ítem 3: justificar el procedimiento para determinar las tangentes de una

circunferencia que pasa por un punto fuera de ella.

Mi progreso


1 Clasificar.

Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección Mi progreso se sugiere que les pida a sus alumnos y alumnas que construyan unmapa conceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Este recurso puede ser utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificarsus aprendizajes, y además conocer el nivel de aprendizaje alcanzado por susestudiantes en esta parte de la unidad.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntascomo las siguientes:

• Define ángulo del centro, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito.• ¿Es posible tener dos ángulos del centro de distinta medida si ambos están

subtendidos por el mismo arco? ¿Ocurre lo mismo con los otros tiposde ángulos?, ¿por qué ocurre esto?

• ¿Qué tipo de triángulo es aquel inscrito en una semicircunferencia?, ¿a qué sedebe esto?, ¿podrías explicarlo?

• Si un ángulo del centro mide 68º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendidopor el mismo arco?

• Si un ángulo inscrito mide 130º, ¿cuánto mide el ángulo del centro subtendidopor el mismo arco?

• Si un ángulo inscrito mide 94º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscrito subtendido porel mismo arco?

• Si un ángulo semi-inscrito mide 51º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendido porel mismo arco?

• Si un ángulo del centro mide 40º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscritosubtendido por el mismo arco?

• Si un ángulo semi-inscrito mide 36º, ¿cuánto mide el ángulo del centrosubtendido por el mismo arco?




Unidad 5

Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivelde conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.


En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades paraidentificar correctamente los ángulos presentados debido a que no manejan lascaracterísticas de cada uno de ellos. Para solucionar esto, es importante clarificarcada uno de estos conceptos y presentar estos tipos de ángulos en diferentesposiciones para que los y las estudiantes se acostumbren a ellos y puedanidentificarlos con mayor facilidad.

En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades paraencontrar las medidas de los ángulos, debido a que no manejan muy bien laspropiedades asociadas a ellos. Para evitar problemas como estos, muestreconstantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes y mássencillas, aplicando estas propiedades, de tal modo que en otras ocasiones puedanvisualizar equivalencias en diversas ecuaciones.

En el ítem 3, la principal dificultad estaría en poder justificar adecuadamente losprocedimientos dados, debido a que no están acostumbrados a expresar niexplicar sus ideas matemáticas de forma clara y consistente. Para prevenirsituaciones como estas, es fundamental que continuamente los alumnos y alumnastengan que expresar sus ideas y percepciones matemáticas sobre diversoscontenidos, para acostumbrarlos a trabajar de manera analítica y justificada.


1

• Identifica correctamentelos tres ángulos dados.

• Identifica correctamentedos de los tres ángulosdados.

• Identifica correctamenteuno de los tres ángulosdados.

• Identifica incorrectamentetres ángulos dados.

2

• Determina correctamenteen los tres casos lasmedidas de los ángulospedidos.

• Determina correctamenteen dos de los casos lasmedidas de los ángulospedidos.

• Determina correctamenteen un caso lasmedidas de los ángulospedidos.

• No determinacorrectamente lasmedidas de los ángulospedidos.

3

• Justifica correctamenteel procedimiento.Las explicaciones son clarasy completas.

• Justifica correctamente el procedimiento.Las explicaciones son claras,pero incompletas.

• Justifica correctamenteel procedimiento.Las explicaciones son pococlaras e incompletas.

• Justifica incorrectamenteel procedimiento, o lojustifica correctamente,pero sus explicaciones sonincorrectas.



Ángulos interiores y ángulos exteriores a una circunferenciaPÁGINAS 197 - 198


En esta sección es importante resaltar las características de los ángulos que serelacionan con la circunferencia. Ángulo del centro: vértice en el centro de la circunferencia. Ángulo inscrito: formado por dos cuerdas y con el vértice en la circunferencia. Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una tangente y con el vértice enla circunferencia. Ángulo interior: vértice en el interior de la circunferencia (por tanto, el ángulo delcentro es un caso particular de este). Ángulo exterior: vértice en el exterior. Destacar que los teoremas del ángulo interior y del ángulo exterior resultan deque la suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exteriordel tercer ángulo.


1. Verifica que el ángulo del centro es un caso particular del ángulo interior,es decir, demuestra que el ángulo del centro es la semisuma de los arcosque subtiende.

2. Calcula la medida de los ángulos y arcos pedida en cada caso.

a. b.

c.

En tu cuaderno


1Interpretar,representar ycalcular.

O

114º

ab

b

26º

a

83º

40º

a

O

3x2x

x

2x

b

O

Reconocimiento deángulos exteriores e interioresa la circunferencia.Indicador: genera debate.Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar ángulosexteriores e interiores a lacircunferencia.



Unidad 5

d.

e.

O

O46º

79º

b

b

28º103º

a

a

Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferenciaPÁGINAS 199 - 200


Las tres secciones siguientes son expresiones de un mismo concepto: la potenciade un punto respecto de una circunferencia.

Sean una circunferencia C y un punto P, y sea una recta r que pasa por P ycorta a C en dos puntos A y A’. Llamaremos potencia de P respecto de lacircunferencia C a:

• PA · PA’ , si P es exterior a C.• –PA · PA’, si P es interior a C.• 0, si P pertenece a C.

La definición responde a la consideración de segmentos orientados. El productode distancias será positivo si P no separa los puntos A y A’ y negativo cuandosí los separa.

Teorema ASi desde un punto del plano interior a una circunferencia se trazan dos cuerdas,el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección (de cadacuerda con la circunferencia) es una constante.

DemostraciónSi el punto no pertenece a la circunferencia:Los triángulos PAB’ y PBA’ son semejantes por tener los ángulos iguales, por tanto:

= fi PA · PA’ = PB · PB’

Si el punto pertenece a la circunferencia: PA · PA’ = 0 = PB · PB’

PB’PA’

PAPB

En tu cuaderno


1, 2 y 3Interpretar,representar ycalcular.


Aprendizaje de lasrelaciones métricas de cuerdas ysecantes en la circunferencia.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primarias.Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar las relacionesmétricas de cuerdas y secantes,para aprender correctamentelas fórmulas.



Proporcionalidad entre las secantes de una circunferenciaPÁGINAS 201 - 202


Teorema BSi desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma,el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección de cadasecante es una constante.

Desde el punto de vista del concepto de potencia, los teoremas A y B son elmismo.

El siguiente teorema es un aporte del concepto de potencia de un punto.

Teorema Dos pares de puntos AA’ y BB’ situados en dos rectas secantes en P verifican laigualdad PA · PA’ = PB · PB’, sí y solo sí los cuatro puntos son concíclicos, esdecir, pertenecen a una misma circunferencia.


1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos.

a.



a. b.

En tu cuaderno



O9

8 10

x

Ox

43

9 O

x

x

9

16

Aprendizaje de lasrelaciones métricas de secantesen la circunferencia.Indicador: busca datosdirectamente en fuentes primarias.Sugerencias metodológicas: utilizar al estudiar las relacionesmétricas de secantes y tangentes,para aprender correctamente lasfórmulas.




Unidad 5

b.

O

4

A

x

B

C

16

24

Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una circunferenciaPÁGINAS 203 - 204


TeoremaSi P es un punto exterior a una circunferencia, la potencia es también el cuadradodel segmento PT, donde T es el punto de contacto de una tangente a lacircunferencia trazada desde P.

Demostración: Los triángulos PTA y PA’T son semejantes, luego = entonces:

PA · PA’ = PT2

TeoremaLa potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de ladistancia del punto al centro de la circunferencia menos el cuadrado del radio.

Demostración:P exterior PA · PA’ = (d – r )(d + r ) = d

2– r

2

P interior –PA · PA’ = –(r – d )(r + d ) = d2

– r2



a.

PTPA’

PAPT

En tu cuaderno



4Interpretar, recordary justificar.

A

x

BP

T

O5



O

A

B

P

T

2. En la figura, PB = 9 cm y AB = 7 cm. Calcula la longitud de la tangente PTy el radio OT.

3. En la figura, PT es tangente, QA = 6 cm, OC = 7 cm, QT = 14 cm yPD = 8 cm.¿Cuánto mide PT?

O

P

Q

T

D

CA


Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección Mi pro-greso se sugiere que les pida a sus alumnos y alumnas que construyan un mapaconceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y establecerrelaciones entre los conceptos trabajados.


Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntascomo las siguientes:

• ¿Qué es una recta tangente a una circunferencia?• ¿Qué es una recta secante a una circunferencia?• Define: ángulo interior, ángulo exterior.• Dibuja una recta secante a una circunferencia.• Dibuja una recta tangente a una circunferencia.• ¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una cuerda?• Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia que se cortan en el

punto E, ¿cuál es la proporcionalidad que se forma?

Mi progreso


1 y 2Interpretar,representar ycalcular.




Unidad 5


1

• Determina correctamenteel valor de x en los trescasos dados.• Aplica correctamente laspropiedades en todoslos casos.

• Determina correctamenteel valor de x en dos de lostres casos dados.• Aplica correctamente laspropiedades en la mayoríade los casos.

• Determina correctamenteel valor de x en uno de lostres casos dados.• Aplica correctamente laspropiedades solo en uncaso.

• Determina incorrectamenteel valor de x en los tres casosdados.• Aplica incorrectamente laspropiedades en todoslos casos.

2

• Determina correctamentela medida de los ángulospedidos en los cuatrocasos dados.• Aplica correctamente laspropiedades en todoslos casos.

• Determina correctamentela medida de los ángulospedidos en tres de loscuatro casos dados.• Aplica correctamente laspropiedades en tres casos.

• Determina correctamentela medida de los ángulospedidos en dos de loscuatro casos dados.• Aplica correctamente laspropiedades solo endos casos.

• Determina correctamentela medida de los ángulospedidos en menos de dosde los cuatro casos dados.• Aplica incorrectamente laspropiedades en la mayoríade los casos.

En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallanen el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular el valor de x en los distintos casos dados.Ítem 2: determinar el valor de los ángulos dados en cada caso.

Para los ejercicios 1 y 2 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel deconocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.


En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para determinar las medidas de x en los distintos casos, debido a que no manejanbien las relaciones de proporcionalidad que se forman en la circunferencia. Paraevitarlo, muestre nuevamente a sus estudiantes estas propiedades y permítalesestablecer nuevas relaciones, de modo que a futuro puedan enfrentar de buenaforma problemas como estos.

En el ítem 2, los y las estudiantes podrían presentar problemas para determinarlas medidas de los ángulos pedidos, debido a que no están familiarizados con larelación entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores a la circunferencia.Para evitar esto, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan muy bienestas propiedades y las practiquen. Sería conveniente volver a repasarlas y clarificarsus dudas con variados ejemplos.


1 y 2(pág. 201)

Verificar o comprobar.









• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a proble-

mas o a situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

• Chequea la racionalidad delos resultados.



del problema.• Puede que tenga alguna idea

acerca de la respuesta.








• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina pide

explicaciones.










La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad;sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicaspara que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en futuros problemas.Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones,lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución deproblemas: comprender, planificar, resolver y revisar.



En tu cuaderno


1 y 2(pág. 200)





Unidad 5


• Demuestra que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

• En la figura PB @ PD, verifica que AB @ CD.

• En la figura ABCD es un cuadrado y AP y BP son tangentes. Comprueba queel triángulo APB es un triángulo rectángulo.

• En la figura AD @ DC. ¿Cómo puedes probar que BD es bisectriz?

O

O

A

B

C

D

P

B

P

A B

CD

A

CD

P


3 y 4 Calcular

2 Justificar.

4 y 5 Calcular.

3 Analizar.



• Esta sección del Texto para el Estudiante, tiene como objetivo relacionar loscontenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, sepresenta una actividad sobre astronomía, relacionada con la Tierra y la Luna,para que los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de loscontenidos aprendidos en esta unidad.

• La Tierra es un planeta espectacular que cuenta con condiciones atmosféricas,de agua y de temperatura que permiten la existencia de vida. La Luna es unastro que puede recorrer el firmamento terrestre y es el primer satélitedonde el hombre ha podido estar. Gracias a la tecnología, cada día podemosobtener imágenes impresionantes de ambos cuerpos astronómicos.

• Las actividades que se presentan en esta sección permitirán que los alumnosy alumnas se interioricen en estos temas y además puedan aplicar todos loscontenidos aprendidos en esta unidad y en unidades anteriores.

• Interesante información sobre astronomía y temas relacionados con la Tierra yla Luna, además de sorprendentes imágenes de ellas, que pueden ser de granutilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puede encontrar enhttp://www.astromia.com.


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos yalumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptostrabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes enesta etapa de la unidad.En esta parte, se resumen y organizan a través de un mapa conceptual loscontenidos trabajados en toda la unidad.



• ¿Qué elementos geométricos están presentes en una circunferencia?• ¿Qué características tiene cada uno de ellos?• ¿Qué tipos de ángulos están relacionados con la circunferencia?• ¿Qué propiedades tiene cada uno de estos ángulos?• ¿Cómo se relacionan estos ángulos entre sí? Da dos ejemplos para cada caso.• ¿Qué diferencia existe entre una recta tangente y una recta secante a una

circunferencia?

Repaso de relaciones angularesen la circunferencia.Indicador: genera debate.Sugerencias metodológicas: utilizar para aplicar y repasarlas relaciones angulares.

2Usar herramientas,interpretar y analizar.

En tu cuaderno


1 Calcular.

Investiguemos...


1 Calcular.

2 Aplicar.




Mapaconceptual





Unidad 5

• ¿Qué propiedades conoces sobre una recta tangente a una circunferencia?• ¿Qué propiedades conoces sobre una recta secante a una circunferencia?• ¿Qué razones de proporcionalidad se cumplen al tener dos cuerdas secantes

en una circunferencia? Da un ejemplo.• ¿Por qué todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo

rectángulo? Explica.


Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar losaprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de nueve preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente más de cinco preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de cinco preguntas.


• En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían contestar de forma errónea,debido a que no conocen las características de los elementos principales en unacircunferencia. Para evitar este tipo de inconvenientes, es importante que repasecon ellos cada uno de estos elementos, para que logren identificarlos ydistinguirlos apropiadamente.

• En el ítem 2, puede suceder que los alumnos y alumnas relacionen de formaincorrecta los ángulos inscritos y del centro presentes en la figura mostrada.Esto se puede deber a que los y las estudiantes no conocen las relacionesexistentes entre estos tipos de ángulos. Para remediar situaciones como esta,es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulos asícomo la relación entre ellos, y de esta forma evitar futuras confusiones yconclusiones erróneas.

• En el ítem 3, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de formaincorrecta la medida del arco pedido, debido a que no reconocen que si sedibujara el triángulo AOB, correspondería a un triángulo equilátero. Pararemediar esto, es importante recordar estas propiedades, de modo que sefamiliaricen con ellas y no cometan los mismos errores en el futuro por faltade conocimiento o práctica.

• En el ítem 4, puede suceder que los alumnos y alumnas establezcan relacionesincorrectas sobre el ángulo exterior presente en la figura mostrada, o bien, queno apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Pararemediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos estaspropiedades, y de esta forma evitar futuras confusiones y conclusiones erróneas.

• En el ítem 5, puede suceder que los y las estudiantes relacionen de formaincorrecta los ángulos inscritos y semi-inscritos en una circunferencia, o bien,que no apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Pararemediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos y lasalumnas las propiedades presentes en este tipo de ángulos así como larelación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y lograr futuras conclusionesy respuestas correctas.

Evaluación


3, 4, 5, 8,9, 10, 11, 12

Calcular.

1, 2, 6 y 7 Analizar.




• En el ítem 6, podría ocurrir que los alumnos y alumnas relacionen de formaincorrecta los ángulos del centro, inscritos y semi-inscritos en unacircunferencia, debido a que no están familiarizados con las relacionesexistentes entre estos tipos de ángulos. Para solucionar situaciones como esta,es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulosasí como la relación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y permitirconclusiones y respuestas correctas.

• En el ítem 7, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de formaincorrecta, debido a que no recuerdan que todo triángulo inscrito en unasemicircunferencia es rectángulo y además las propiedades del ángulo inscritoen una circunferencia. Para remediar esto, es importante recordar estaspropiedades y practicarlas continuamente, de modo que no cometan losmismos errores en el futuro por falta de conocimiento o práctica.

• En el ítem 8, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones pararesponder correctamente debido a que no recuerdan las propiedades de lascuerdas en una circunferencia. Para solucionar esto, es importante recordarestas propiedades nuevamente, de modo que en el futuro puedan aplicarlascorrectamente.

• En los ítems 9 y 12, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder,debido a que no aplican correctamente las propiedades relacionadas conángulos inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes,es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos deproblemas, de modo que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos, yen posteriores ejercicios puedan resolverlos de manera correcta.

• En el ítem 10, podría suceder que los y las estudiantes presentencomplicaciones al encontrar el valor de un segmento formado por doscuerdas secantes en una circunferencia que se cortan en un punto, debido aque no manejan bien las relaciones proporcionales que se establecen en ellas.Para evitar este tipo de inconvenientes, se recomienda que repase estaspropiedades y presente variados ejemplos donde puedan aplicarlas, de modoque en el futuro puedan enfrentar correctamente ejercicios similares.

• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder, debidoa que no aplican correctamente las propiedades relacionadas con ángulosinscritos y semi-inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes,es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos deproblemas, para que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos y, luego,resuelvan correctamente futuros ejercicios de este tipo o similares.




Unidad 5

Evaluación final

En las páginas siguientes, se presenta una evaluación fotocopiable que lepermitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con los contenidos trabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aúncomprendidos a cabalidad por sus estudiantes.El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar lasiguiente pauta:




4 Analizar y recordar. 2 puntos 2 puntos


6 y 7 Verificar o comprobar. 2 puntos cada una 4 puntos

8, 9 y 10 Calcular. 2 puntos cada una 6 puntos




• Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles, DLS- Euler Editores, Madrid,1994.

• Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires, 1993.• Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.• Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.• Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.• Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.• Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile, 1994.• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.

Sitios web• Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/• El portal de la educación: www.educarchile.cl• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net


BIBLIOGRAFÍA


Evaluación final





1. En la circunferencia se traza una tangente yuna secante como lo muestra la figura. De lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s):

I. �QRT ~ �QTSII. �RST @ �RTQIII. RQ @ TQ

A. Solo I D. I y IIB. Solo II E. II y IIIC. Solo III

2. En la circunferencia de centro O de la figura,el �BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el �AEDen el triángulo isósceles AED?

A. 20ºB. 40ºC. 50ºD. 70ºE. Ninguna de las anteriores.

3. El arco a de la figura mide:

A. 31,5ºB. 63ºC. 90ºD. 126ºE. Otro valor.

4. Se han dibujado tres circunferencias congruentesde radio r y centro O. ¿En cuál o cuáles de lossiguientes dibujos el triángulo es rectángulo?

I.

II.

III.

A. Solo II D. II y IIIB. I y II E. I, II y IIIC. I y III

5. En la figura, �CAO = 25º, �CBO = 60º,entonces el �AOB mide:

A. 170ºB. 110ºC. 100ºD. 65ºE. 60º

Q

R

r

r

r E punto de tangencia

O

a

O

O

O B

C

A

S

T

E

B C

A DO

O

45º

63º



6. Con respecto a la figura es verdadero que:

I. a > bII. a + b = 115ºIII. a – b = 23º

A. Solo IB. I y IIC. I y IIID. II y IIIE. I, II y III

7. De acuerdo a la figura, es verdadero que:

I. �DBC = 30ºII. �ACB = �ABDIII. �ADB = 60º

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I y IIIE. II y III

8. El radio del círculo de la figura es 18 cm y�ACB = 15º. El arco AB mide:

A. 3p cmB. 3,6p cmC. 6p cmD. 36p cmE. Otro valor.

9. En la figura, PQ y PT son tangentes y�QPT = 68º. El valor de �QAT es:

A. 112ºB. 248ºC. 56ºD. 68ºE. 136º

10. En la figura, PA es tangente a la circunferencia y PF es bisectriz del �APB.Si = 63º, = 78º y �APD = 26º, el valorde es:

A. 89ºB. 37ºC. 52ºD. 115ºE. 57,5º

11. En la circunferencia, CD y CB son tangentes y�BOD = 90º. Entonces es verdad que:

I. OBCD es cuadrado.

II. �BAD =

III. �ABO + �ADO = �BAD

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIIE. I, II y III

12. En la figura, PM es tangente y mide 28 cm,PA = 14 cm. ¿Cuánto mide el radio?

A. 14 cmB. 42 cmC. 21 cmD. 56 cmE. 7 cm

Evaluación final


�DCB

2

O

O

B

B

P

A B

B

A O

MP

C

D

O

F

A

D

O

C

C

D

A

A

B

C

O

AP

Q

T

O

a

b

115º

30º

23º

FB

CAAF



El año anterior se estudiaron las medidas de tendencia central y posición. Este año estos tópicos secomplementan con las medidas de dispersión. Con ellas, y lo aprendido anteriormente, los alumnos y las alumnas tienen las herramientas para comparar dos o más conjuntos de datos. En este mismocontexto, se introducen los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad.

También se aborda de manera conceptual el muestreo aleatorio simple, con el fin de que los alumnosy las alumnas se vayan familiarizando con este concepto.

Se retoma la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades, pero en esta oportunidad se leentrega herramientas de conteo con el fin de que los alumnos y alumnas puedan resolver ejerciciosde mayor complejidad.

Por último, se ven dos propiedades importantes de las probabilidades: la regla de la suma y la regladel producto.




6Unidad

Datos yAzar

Datos y Azar

Regla de la suma

Regla del producto

Permutación

Combinación

Muestreo aleatorio simple

Probabilidades

Homogeneidad Heterogeneidad

Desviaciónestándar

Técnicas de conteo

Varianza

Regla de Laplace

Medidas de dispersión

Probabilidad de la unión

Eventosexcluyentes

Probabilidad dela intersección

Eventos independientesComparación

de dos o másconjuntos

Medidas de dispersión

Rango


•C

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Datos y Azar | 169

Tiempo

estimado: 20 a 25 horas

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6 y 7 Calcular.



La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introduciry motivar a los alumnos y las alumnas en el estudio y aprendizaje de las medidasde dispersión.

En la imagen se muestra una bióloga pesando una rana y con esto se puedeempezar a discutir el tema de la dispersión. La bióloga quiere desarrollar un estudio acerca de todas las ranas que habitan el lago. ¿Qué pasa si pesa una solarana?, ¿y si pesa dos o más?, ¿todas las ranas pesarán lo mismo? ¿Cómo se puederesumir la información obtenida?

La imagen sirve también para introducir el concepto de muestreo, ¿por qué no sepueden pesar todas las ranas del lago?


En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir elnivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos deesta unidad.

Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y las alumnas se presentauna evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientescriterios:

Ítem 1: calcular la media, mediana y cuartiles para datos no agrupados.Ítem 2: calcular la frecuencia acumulada de un conjunto de datos. Calcular la

media, mediana y cuartiles para datos agrupados.Ítem 3: describir en forma extensa el espacio muestral y eventos asociados

a un experimento.Ítem 4: redondear números a la décima y explicar el procedimiento.Ítem 5: redondear números a la centésima y explicar el procedimiento.Ítem 6: resolver ejercicios con números decimales.Ítem 7: resolver ejercicios con fracciones.

3Recordar y representar.

4 y 5 Aplicar.

¿Cuánto sabes?


se evalúan

1 y 2 Aplicar y calcular.


1

• Calcula correctamente lamedia, mediana y cuartiles.• Redacta una respuestaconcreta utilizando lasunidades de medición correspondiente.

• Calcula correctamente lamedia, mediana y cuartiles.

• Calcula correctamenteuna o dos de las medidasde resumen solicitadas.

• No calcula correctamenteninguna de las medidas deresumen solicitadas.



Datos y Azar | 171


Unidad 6


2

• Calcula correctamente, lafrecuencia acumulada, lamedia, mediana y los percentiles. Redacta unarespuesta concreta utilizando las unidades demedición correspondiente.

• Calcula correctamente, lafrecuencia acumulada, y almenos tres de las medidasde resumen solicitadas.

• Calcula correctamente, lafrecuencia acumulada y unao dos de las medidas deresumen solicitadas.

• No calcula correctamenteninguna de las medias deresumen solicitadas ni la frecuencia acumulada.

3

• Describe correctamenteel espacio muestral y los eventos asociados.

• Describe correctamente el espacio muestral y uno o dos de los eventos asociados.

• Describe correctamenteel espacio muestral.

• No describe correctamenteel espacio muestral ni ningunode los eventos asociados.

4 y 5

• Redondea correctamentetodos los números decimales.

• Redondea correctamente 5 ó 4 de los números decimales.

• Redondea correctamente 3 ó 2 de los números decimales.

• Redondea correctamenteal menos uno de los números decimales.

6 y 7• Resuelve correctamentetodos los ejercicios.

• Resuelve correctamente 5 ó 4 ejercicios.

• Resuelve correctamente 3 ó 2 ejercicios.

• Resuelve correctamente almenos 1 de los ejercicios.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y las alumnas suelen olvidar escribir lasrespuestas completas con la unidad de medición asociada. Se sugiere insistiren este punto antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.

• En el ítem 3, en general los alumnos y alumnas tienen dificultades para identificarlos elementos asociados a un evento. Por ello, es importante remarcar laimportancia del uso de diagramas o esquemas de apoyo.

• En los ítems 4 y 5, los alumnos y las alumnas pueden no recordar lo que es ladécima o la centésima, para ello se puede realizar un pequeño resumen deltópico antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.

• En los ítems 6 y 7, tal como se ha mencionado anteriormente, los errores máscomunes consisten en no respetar el orden de las operaciones. Refuerce estetema con variados ejemplos que presenten distintos grados de complejidad.

Aprendizaje de conceptos claves a tratar en la unidad. Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas:utilizar luego de introducir losconceptos claves de la unidad,como ejercitación.


Errores frecuentes• Los alumnos y las alumnas suelen

enredarse con el cálculo de lavarianza debido a la extensión dela fórmula, por ello en las páginas214 y 215 se muestra cómorealizar este cálculo de una manera esquematizada y sistematizada.

• Otra dificultad a la que seenfrentan los alumnos y las alumnas es con las unidades demedición, pues suelen confundirsecuando se trabaja con valores alcuadrado y finalmente la omiten.

Medidas de dispersiónPÁGINAS 218 - 221


A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabilidad,por ejemplo: el clima, el precio del pan, el tiempo que demoramos de ir unpunto a otro, etc., en general la varianza no es un concepto que se maneje cotidianamente. Es recomendable introducir este concepto con ejemplos simplesque ayuden a sus estudiantes a entender la importancia de considerar la variabilidadde un evento o situación. Analicen qué consecuencias puede haber si no se tomaen cuenta en un contexto de toma de decisiones.

Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar (y en sudefecto la varianza), siempre se presenta primero el rango, pues es una medidafácil de calcular y que grafica claramente lo que es la variabilidad de un conjuntode datos.


Para introducir el concepto de rango, realice ejemplos simples donde la mediasea la misma pero el rango vaya variando de caso en caso. Apóyese con el usode gráficos y/o diagramas. Esto le ayudará a los alumnos y las alumnas a entendercon mayor facilidad los conceptos de dispersión.

Discuta con los alumnos y las alumnas qué puede ocurrir si se supone que lalocomoción colectiva en que llegan al colegio pasará siempre a la misma hora pordeterminado punto. ¿De qué manera se puede usar la variabilidad de unasituación para tomar una mejor decisión?

1. Cuando Pablo estaba en segundo medio, debió hacer una encuesta acerca dela cantidad de hijos por familia que había en su curso, él obtuvo las siguientesrespuestas:

5 – 2 – 3 – 5 – 4 – 2 – 7 – 4 – 2 – 3 – 6 – 4 – 2 – 5 – 8 – 1 – 3 – 4 – 6 – 4 –3 – 5 – 3 – 5 – 3 – 4 – 4 – 2 – 4 – 3 – 3 – 3 – 2 – 1 – 4 – 2 – 4 – 3 – 4 – 3.

a. Calcula la media y la moda. b. Calcula el rango y la desviación estándar.

2. Sebastián, el hijo de Pablo, cursa actualmente segundo medio y debe hacer elmismo trabajo. Sus respuestas fueron:

2 – 2 – 1 – 2 – 3 – 3 – 3 – 5 – 3 – 3 – 3 – 2 – 5 – 2 – 4 – 2 – 4 – 1 – 1 – 3 –4 – 2 – 1 – 2 – 3 – 2 – 2 – 3 – 1 – 3 – 3 – 1 – 2 – 1 – 1 – 3 – 5 – 3 – 1 – 3.

a. Calcula la media y la moda. b. Calcula el rango y la desviación estándar.

• ¿Qué se puede decir al comparar la época de Sebastián con la de su padre?


2, 3 y 4 Analizar y aplicar.

En tu cuaderno


1 Analizar.

5 Calcular y justificar.

Memorización de conceptos y fórmulas de las medidas de dispersión.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas:utilizar luego de presentar las fórmulas para análisis de datos.


Errores frecuentes• Los errores que suelen cometer

los alumnos y las alumnas en lasección anterior se repiten enesta sección. Además, en estecaso los cálculos pueden parecermás engorrosos, por eso esimportante el uso de tablas parasistematizar los cálculos. Tambiénpueden tener problemas paraidentificar la marca de clase,situación que se puede abordarrealizando distintos ejercicios.

Medidas de dispersión para datos agrupadosPÁGINAS 222 - 223


Usualmente nos podemos encontrar ante situaciones donde no se tienen losdatos puros de un determinado experimento, sino que solo se dispone de unatabla resumen, y he ahí la importancia de conocer los métodos de cálculo paradatos agrupados.


Los datos no tabulados del ejercicio 1 de la página 223 son los siguientes:

Calcule en conjunto con los alumnos y las alumnas el rango, la varianza y ladesviación estándar. Comparen lo obtenido con lo calculado en el ejercicio anterior. Discuta, ¿qué observan?, ¿estos valores son iguales a los calculados anteriormente o existen diferencias?, ¿por qué? ¿Qué ganancia y/o pérdida hay al calcular de uno u otra manera las distintas medidas de dispersión?

Datos y Azar | 173


Unidad 6

En tu cuaderno



1Aplicar, calcular y analizar.

En tu cuaderno


Comparación de dos o más conjuntos de datosPÁGINAS 224 - 225


Esta sección es una aplicación de lo visto en las anteriores. Calcular medidas detendencia central, posición y dispersión es útil para entender el comportamientode un conjunto de datos. Estas medidas adquieren mayor relevancia cuando queremos ver las similitudes o diferencias de dos o más conjuntos de datos.

35

22 25 25 28 43 32 40 34 26 29

40 34 39 34 30 31 39 31 30

34 36 27 38 40 26 39 25 23 32

35 31 39 39 34 35 30 34 30 28



Errores frecuentes• Es muy común que los alumnos

y las alumnas cometan erroresconceptuales al interpretar ycomparar las medidas de tendenciacentral y dispersión, lo queimpedirá que concluyan de manera correcta.

a. ¿Qué calzado parece presentar menor desgaste?b. ¿Qué calzado parece tener el programa de control de calidad que produce un

desgaste más uniforme?

Homogeneidad y HeterogeneidadPÁGINAS 226 - 227


Esta sección es una aplicación, al igual que la anterior, de lo visto en las anteriores.Al concepto de dispersión le son intrínsecos los conceptos de homogeneidad yheterogeneidad y a la vez estos están muy relacionados con la comparación dedos o más conjuntos de datos, por ello se decidió incluirlo en este Texto.


Discuta con los alumnos y las alumnas distintas situaciones cotidianas donde se observe variabilidad. Determinen en conjunto si estas tienden a ser máshomogéneas que heterogéneas y qué es lo deseable para cada una de las situaciones.


Dos marcas competidoras de calzado para corredores se sometieron a una pruebapara comprobar el desgaste del calzado. Cada una de ellas indicó el siguientenúmero de horas de uso necesarias para que se detecte un desgaste significativo:

Errores frecuentes• Es común que los alumnos y las

alumnas tiendan a pensar que lahomogeneidad es mejor que laheterogeneidad o viceversa.

Marca A Marca B

97 78

83 56

75 87

82 54

98 89

65 65

75 70

En tu cuaderno


1 y 3Aplicar, calcular,analizar y justificar.

2 y 5 Analizar y justificar.

4Interpretar, analizar y representar.


Datos y Azar | 175


Unidad 6

1. A continuación, se presentan los resultados de dos cursos en una prueba.

2º A3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,5 4,3 5,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,92,8 2,9 3,3 3,9 4,2 4,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3.

2º B3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,1 4,1 5,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,65,5 5,4 4,8 4,9 3,9 5,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9.

a. ¿Qué curso tuvo mejor rendimiento en esta prueba?b. ¿Qué curso tuvo un rendimiento más homogéneo en esta prueba?

Muestreo aleatorio simplePÁGINAS 228 - 231


El objetivo de esta sección es introducir al alumno en los conceptos de muestreo.Es por ello, que más que en fórmulas, se profundiza en temas conceptuales depor qué se realiza el muestreo y la importancia de que la muestra seleccionadasea representativa de la población.

Discuta con los alumnos acerca del tema de representatividad. Puede introducirel tema con un ejemplo simple, por ejemplo, sobre gustos musicales. Vaya eligiendo1, 2, 3 estudiantes y así sucesivamente. A partir de las respuestas obtenidas, porejemplo, si encuestó a un solo estudiante que prefiere el reggaetón, afirme: A todo el curso le gusta el reggaetón e inicie la conversación con los alumnos y las alumnas.


Solicite a los alumnos que durante un período de tiempo (1 ó 2 semanas) revisendistintos medios de comunicación en busca de noticias y/o reportajes donde sehaga referencia a poblaciones y muestras. Solicite que en ellas identifiquen lapoblación, si se hace referencia o no al tamaño de muestra y que intenten determinar el objetivo del estudio y la necesidad de seleccionar una muestra, en cada caso. Una actividad para desarrollar en clases es que se compartan algunas noticias seleccionadas, lo que puede propiciar una discusión interesantecon respecto al tema.

1. Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.

a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida.

b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile. c. La masa de un grupo de cinco amigos. d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.

Errores frecuentes• Usualmente los alumnos y las

alumnas tienen problemas paraentender los conceptos depoblación y muestra y la diferenciaentre ambos. En general, por untema semántico, los alumnos y lasalumnas relacionan el conceptode población a conjuntos de personas. Se sugiere presentardistintos ejemplos donde lapoblación no necesariamentesean personas, por ejemplo, cultivos, industrias, hogares, etc.

En tu cuaderno


1, 3 y 4 Analizar.

2Aplicar, calcular y analizar.



Esta actividad tiene por objetivo enseñar a los alumnos y las alumnas a utilizar unaplanilla de cálculo como Excel para calcular medidas de dispersión. Además, serecuerda (o se enseña a los alumnas y las alumnas en caso de que no lo hayanvisto con anterioridad) el cálculo de la media, mediana y percentiles.

La actividad está compuesta por dos partes: la inicial, que se recomienda que serealice en conjunto con los y las estudiantes, con el fin de explicar detalladamentecada uno de los pasos. Luego, se plantea un ejercicio para que los alumnos y las alumnas desarrollen individualmente o en parejas. Se recomienda que se lessolicite que hagan un reporte con los resultados obtenidos y preparen una presentación que pueda ser exhibida ante sus compañeros y compañeras paradiscutir en conjunto los resultados. Esta es una excelente actividad para repasarlos conceptos aprendidos.

2. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar laconversión de sus motores a gas natural. Para ello, se decide realizar una encuesta.

a. Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra:

i. Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principalesciudades del país.

ii. Escoger al azar a conductores de automóviles en las interseccionesmás concurridas.

iii. Escoger al azar, en el registro de vehículos motorizados, a dueños deautomóviles catalíticos y enviarles un encuestador.

b. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas y desventajas de cada alternativa.



Usar herramientas y analizar.


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en elcuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar y rango. A partir deestos resultados concluir acerca de la calidad de los neumáticos.

Ítem 2: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar, rango y cuartiles. Apartir de estos resultados, concluir acerca del cambio en las emisiones dehidrocarburos.

Ítem 3: identificar la población a la cual se hace referencia.

Mi progreso

Habilidades que se evalúan

Ítem

1 y 2

3

Calcular, analizar y justificar.

Analizar.

Ampliación del vocabularioestadístico.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas:utilizar luego de haber presentadolos conceptos estadísticos propiosde la unidad.


Datos y Azar | 177


Unidad 6

3

2 Calcular.

Verificar y justificar.

ConjuntosPÁGINAS 233 - 234


Si bien el tópico de conjuntos no es exigido por el Ministerio de Educación, sedecidió incluir en esta parte del Texto, pues es una herramienta que facilitarámucho la comprensión de las secciones de probabilidad.


1. ¿Cuál es el conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

2. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

3. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A = {l, u, n, a} y B = {t, r, i, u, n, f, o}?

4. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur, que 62 leen un diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos.

a. ¿Cuántas personas no leen ningún diario?b. ¿Cuántos leen solo el diario El Sur?c. ¿Cuántos solo leen un diario de Santiago?d. Representa lo anterior en un diagrama de Venn.

5. Una encuesta de 100 estudiantes sobre idiomas extranjeros arrojó el siguiente resultado: 52 saben leer inglés, 40 saben leer francés, 24 saben leer alemán, 19 saben leer inglés y francés, 12 saben leer francés y alemán y 6 saben leer los 3 idiomas.

a. ¿Cuántos saben leer solamente inglés?b. ¿Cuántos no saben leer ninguno de los 3 idiomas?c. ¿Cuántos saben leer solo un idioma? (Como en el ejercicio anterior,

resolver representando los conjuntos en un diagrama de Venn).

Errores frecuentes• Los alumnos y las alumnas suelen

tener problemas en realizaroperaciones de conjuntos. Por ello, es muy importante insistiren el uso de diagramas de Venncomo herramienta de apoyo.

Representación de operaciones deconjuntos mediante diagramas deVenn.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo conceptualprevio al estudio de probabilidades.

En tu cuaderno




El objetivo de esta sección es entregar técnicas de conteo a los alumnos y lasalumnas, con el fin de que más adelante, mediante la regla de Laplace, puedancalcular probabilidades de espacios muestrales más complejos a los vistos en añosanteriores. En algunas situaciones, se verán enfrentados a casos donde no es posibledeterminar el tamaño del espacio muestral o el número de casos favorables a unevento listando los elementos de este; es en esos casos donde se vuelve relevanteel uso de las técnicas de conteo.

Técnicas de conteoPÁGINAS 235 - 238

1, 2, 3, 4, 5 y 6

Aplicar y calcular.

En tu cuaderno


7 Analizar.



Errores frecuentes• Las alumnas y los alumnos con

frecuencia tienen dificultad endistinguir si dos eventos soneventos secuenciales o eventosexcluyentes, en otras palabras,tienen problemas en discernir si lo adecuado es utilizar la regladel producto o la regla de la suma.

Para explicar las técnicas de conteo, se recomienda el uso de distintos tipos dediagramas: de árbol, casilleros, etc.


Dado que una de las principales dificultades de esta sección es distinguir una permutación de una combinación, se sugiere realizar actividades donde los y las estudiantes puedan evidenciar las diferencias. Realice actividades con cartas, dadoso fichas de colores. Plantee situaciones donde sí importe el orden y donde noimporte, solicite que en cada uno de los casos cuenten la cantidad de posibilidadesy lleven un registro en su cuaderno. También se pueden plantear situacionesdonde ellos mismos sean los involucrados.

1. En un restaurante se sirve un menú que consta de una entrada, un plato defondo y un postre. Las posibles entradas: lechuga con palta, tomate con cebolla,tomate relleno con choclo, pescado y huevo duro y porotos verdes. Los posiblesplatos de fondo son porotos con longaniza y zapallo, cazuela de vacuno, charquicán, tallarines con salsa de tomate y pescado al jugo con puré. Los postres son plátano con leche condensada, manzana asada, torta, pie delimón, gelatina con crema y flan de leche con sabor. Calcula el número totalde todos los posibles almuerzos que una persona pueda escoger de estemenú. Usa un diagrama de árbol cuando sea necesario.

2. La directiva de un curso tiene 4 cargos, presidente, vicepresidente, tesorero ysecretario. Los candidatos son:

Presidente: Gonzalo, Macarena y Andrea Vicepresidente: Juan, Pedro, Ana y Camila Tesorero: Isidora y Cristóbal Secretario: Daniela, Javier y Alberto

Calcula el número total de todas las posibles directivas que se pueden formar.

Aprendizaje del principio aditivo y multiplicativo.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo conceptualdel principio aditivo y multiplicativo.

Reconocimiento del nombre de las técnicas de conteo.Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información.Sugerencias metodológicas: utilizar al iniciar las técnicas deconteo.


Datos y Azar | 179


Unidad 6

Regla de LaplacePÁGINAS 239 - 240


Si bien la regla de Laplace se introdujo en primero medio, el objetivo de retomarlaen Segundo Año Medio es que, luego del capítulo de técnicas de conteo, losalumnos y las alumnas tienen más herramientas para calcular, mediante estaregla, probabilidades de experimentos más complejos y de espacios muestralesde mayor cardinalidad.

Aquí nuevamente los alumnos y las alumnas se enfrentarán a la dificultad de distinguir un caso de permutación de un caso de combinación o si utilizar la regla del producto o la suma.


1. Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con 3 letras distintasseguidas por 4 dígitos distintos de cero, encuentra la probabilidad de seleccionaraleatoriamente uno de estos artículos codificados que tengan como primeraletra una vocal y el último dígito sea par.

2. Se sacan dos cartas sucesivamente de una baraja sin remplazo. ¿Cuál es laprobabilidad de que ambas cartas sean mayores que 2 y menores que 8?

3. En una urna, hay 7 fichas rojas, 4 amarillas, 5 verdes, 2 azules y 2 negras. Si se extrae una de ellas al azar, calcula la probabilidad de que:

a. Sea roja. b. Sea amarilla. c. Sea azul d. Sea negra. e. Sea verde. f. No sea roja. g. No sea verde. h. No sea amarilla. i. No sea azul. j. Sea verde o roja. k. Sea negra o roja. l. Sea amarilla o verde. m. Sea amarilla, azul o negra. n. No sea roja ni azul. ñ. No sea verde ni negra. o. No sea amarilla ni verde.

Errores frecuentes• El error más común en este caso

es utilizar la regla de Laplacepara calcular probabilidades encasos que el espacio muestral no es equiprobable.

• Los y las estudiantes con frecuencia tienen dificultad endistinguir una permutación deuna combinación. Esta dificultadestá dada básicamente porqueno saben distinguir si el ordenimporta o no, en cada caso.

En tu cuaderno


1, 2, 3, 4, 5 y 6

Identificar, aplicar y calcular.



Probabilidad de la unión PÁGINAS 241 - 242

Errores frecuentes• Es común que se asuma que la

P(A U B) = P(A) + P(B). Para mostrar que esto es ciertosolo si A � B = ø son útiles losdiagramas de Venn. También esrecomendable utilizar ejemplosdonde ocurra que P(A) + P(B) > 1, lo cual es unerror, ya que, como se vio enaños anteriores, por definición laprobabilidad de un evento estáentre 0 y 1.


Para introducir el concepto de la probabilidad de la unión, la sección se desarrollautilizado un ejemplo donde es fácil reconocer los distintos eventos y la unión de ellos. La idea es ir construyendo, en conjunto con los alumnos y las alumnas y utilizando la regla de Laplace, la formula para la probabilidad de la unión.

En esta sección, se ve también el caso de la probabilidad del complemento. Se sugiere destacar su importancia utilizando ejemplos (a continuación, se sugieren dos) donde sea más fácil calcular la probabilidad del complemento que la probabilidad del evento en sí.


1. Tres personas viajan en un auto. Si se supone que la probabilidad de nacercualquier día del año es la misma y sabemos que ninguno ha nacido en unaño bisiesto.

a. Calcular la probabilidad de que solamente una de ellas celebre sucumpleaños ese día.

b. Calcular la probabilidad de que al menos dos cumplan años ese día.

2. Si las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevoelija color verde, blanco, rojo o azul son, respectivamente, 0,09, 0,15, 0,21 y0,23, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvilnuevo que no tenga uno de esos colores?

3. Se carga un dado de forma que sea dos veces más probable que salga unnúmero par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un númeromenor que 4 en un solo lanzamiento, calcule la probabilidad que E ocurra.

4. Un juego consiste en lanzar dos veces un dado. El jugador gana si obtiene dos números que sean primos entre sí.

a. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? b. Si el juego se realiza con un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8.

¿Cómo varía la probabilidad de ganar?

En tu cuaderno


1, 2 y 3 Aplicar y calcular.

Comprensión del significado de laprobabilidad de unión de sucesos.Indicador: comparte informacióncon su entorno.Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo y profundización del tema encuestión.


Datos y Azar | 181


Unidad 6


Por la estructura de la malla curricular, la probabilidad de la intersección sedesarrolla sin mencionar explícitamente el tema de las probabilidades condicionales.En consecuencia, pasa a ser primordial el uso de diagramas de árbol para el cálculode la probabilidad de la intersección. Las tablas de frecuencia también son útiles,según sea el caso, para el cálculo de la probabilidad de la intersección, pues enellas se identifica fácilmente la intersección de eventos.


1. Se lanza un dado tres veces sucesivas. Calcula la probabilidad de que:

a. Salgan los números 1, 2 y 3, respectivamente. b. En los tres dados salgan números impares. c. En todos los dados salga el número 5. d. Ninguno de los números sea impar. e. Todos los números sean mayores que 4. f. En las tres tiradas salga el mismo número.

2. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de lascuales 5 están defectuosas. Se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de lacaja uno después del otro, sin remplazar el primero. ¿Cuál es la probabilidadde que ambos fusibles estén defectuosos?

3. Considere tres urnas A, B y C de modo que la urna A contiene 4 fichas blancasy 6 negras, la urna B contiene 6 fichas blancas y 4 negras y la urna C contiene5 fichas blancas y 5 negras. El experimento consiste en seleccionar una de lastres urnas y extraer dos fichas, sin reposición. El mecanismo de selección consiste

en lanzar una moneda no equilibrada (con probabilidad de cara igual a )

y seleccionar la urna A si sale cara; de salir sello se elige B o C con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca, otra negra y de seleccionar la urna C?

En tu cuaderno


1, 2, 3, 4 y 5Identificar, aplicar y calcular.

Probabilidad de la intersecciónPÁGINAS 243 - 246

Errores frecuentes• Es común que se asuma que

la P(A � B) = P(A) · P(B). Para visualizar esto, se recomiendahacer un ejercicio donde el espaciomuestral sea finito y se puedadetallar. Defina eventos A y B talesque P(A) · P(B) � P(A � B)

Comprensión del significado de laprobabilidad de intersección desucesos.Indicador: comparte informacióncon su entorno.Sugerencias metodológicas: utilizar como refuerzo y profundización del tema encuestión.2

3




La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicasde problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presentadetallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudasque sus estudiantes pueden mantener.


A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizarpara evaluar la resolución de problemas planteados.


En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnosy alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizarcomo una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:

Item 1: determinar la cantidad de formas en que se pueden comprar laspartes de un computador utilizando la regla del producto.

Item 2: calcular el número de selecciones posibles utilizando la fórmula depermutación.

Item 3: calcular el número de equipos distintos utilizando la fórmula de combinación.

Item 4 y 5: calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace y el uso de técnicas de conteo para el cálculo del número de casos totales yfavorables.

Item 6: calcular la probabilidad de la intersección.Item 7: calcular la probabilidad de la intersección y de la suma de eventos.

Mi progreso


se evalúan

1, 4 y 5Analizar, aplicar y calcular.

2, 3, 6 y 7Analizar, reconocer,aplicar y calcular.

En tu cuaderno




Comprensióndel problema o situación

• Puede expresar en sus propiaspalabras e interpretar coherentemente el problema.




del problema.• Puede que tenga alguna idea

acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina pide

explicaciones.



Datos y Azar | 183


Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidosen la unidad con una aplicación real. Para ello, se presenta una actividad relacionadacon el IPC. Se busca que los alumnos y las alumnas conozcan una situación concreta donde se observa variabilidad debido a diversos factores.

El propósito de esta actividad es familiarizar a los alumnos y las alumnas con elconcepto del IPC. Además a través de esta actividad los estudiantes podránconocer la página web del INE, fuente importante de información estadísticanacional.

Para que esta actividad cumpla su objetivo, es importante motivar a los alumnos ylas alumnas a buscar información que explique las variaciones del IPC. Por ejemplo,con noticias que contengan información acerca de los cambios en el precio de los bienes que componen la canasta considerada en el IPC.


Unidad 6

6 Sintetizar o integrar.

5Formular hipótesis,conjeturar o predecir.


3Calcular, analizar, justificar y conjeturar.

1 y 2 Seleccionar.





• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a problemas

o a situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.
















www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

3Formular hipótesis,conjeturar o predecir.

En tu cuaderno


1 y 2 Analizar.

Investiguemos...





Los mapas conceptuales, como herramienta visual permiten a los alumnos y lasalumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos ylas alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permiteconocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.

En esta sección se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.

Como actividades de consolidación, se presentan informaciones de carácter conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos trabajados en la unidad.



• ¿Cuál es la unidad de medición de la varianza?• ¿Qué es la desviación estándar? ¿Cómo se calcula?• ¿Qué se puede decir de dos conjuntos de datos que tienen la misma media?• En relación a su varianza, ¿qué se puede decir de un grupo que es homogéneo?,

¿y de uno que es heterogéneo?• ¿Qué representa el rango?• ¿Qué es una combinación?• ¿Qué es una permutación?• ¿Qué significa que dos eventos sean excluyentes?• ¿Qué significa que dos eventos sean independientes?• En relación a las técnicas de conteo, ¿qué dice la regla de la suma?,

¿y la del producto?



Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de 9 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 6 preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de 6 preguntas.


• Los ítems 3 y 4 son ejercicios de aplicación de la técnicas de conteo. Como se mencionó con anterioridad, los alumnos y las alumnas tienen dificultaden distinguir casos de permutación de casos de combinación o cuando debenusar la regla de la suma o la regla del producto.

Evaluación


se evalúan

1, 2, 3, 4, 5, 6,8, 11, 12 y 13

Aplicar y calcular.

7, 9 y 10 Analizar.



Síntesis de la unidad


Mapa conceptual

Recordar, conectar y representar.

Repaso de conceptos y definiciones claves de la Unidad.Indicador: localiza y recuperainformación.Sugerencias metodológicas: utilizar como síntesis para integrarconceptos y definiciones de launidad.


Datos y Azar | 185


Unidad 6

• En los ítems 5, 8 y 11, los alumnos y las alumnas podrían tener dificultad envisualizar que se trata de eventos independientes.

• En el ítem 6, al igual que en los ítems 3 y 4, los alumnos y las alumnas debenmanejar las distintas técnicas de conteo y además la regla de Laplace.

• En el ítem 10 los alumnos y las alumnas pueden no identificar correctamentela población debido a que, como se mencionó con anterioridad, este conceptosolo lo relacionan con un conjunto de individuos.

• En el ítem 12 los alumnos y las alumnas pueden tener dificultad en reconocerque deben aplicar la propiedad aditiva de las probabilidades. Además, este esun caso donde es más conveniente calcular la probabilidad solicitada medianteel cálculo de la probabilidad del complemento. Muestre a sus alumnos laimportancia de esta propiedad.

Evaluación final

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, puede tomar la decisión de reforzaralgunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización es 60 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta:


1, 2, 12 y 13 Aplicar y calcular. 2 puntos cada una 8 puntos

3 y 11 Analizar. 2 puntos cada una 4 puntos

4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 Calcular. 2 puntos cada una 14 puntos


• Iglesias, P.; E. Saavedra, eds. Probabilidad y Estadística Elementales. Santiago de Chile, Facultad de Matemáticas, PontificiaUniversidad Católica de Chile. 1997.

• Webster, A, eds. Estadística aplicada a la Empresa y a la Economía. 2 ed. Madrid, Irwin. 1996.• Jonson. R. A, eds. Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Miller y Freund. 5 ed. Ciudad de México, Prentice Hall

Hispanoamericana. 1997.• Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Keying, Y, eds. Probabilidad & Estadística para Ingeniería y Ciencia. 8 ed. Ciudad de

México, Pearson Educación. 2007.

BIBLIOGRAFÍA

Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuentacon una evaluación interactiva y, además, una autoevaluaciónimprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño.



Evaluación final



1. Si la varianza de un conjunto de datos es 16 m2,entonces su desviación estándar es:

A. 256 m4

B. 16 m2

C. 4 mD. 4 m2

E. 2 m

2. Considera el siguiente conjunto de datos:

24 42 38 27 28 3842 46 32 40 46

La varianza y la desviación estándar son, respectivamente:

A. 50,23 y 8,56B. 48,19 y 10,15C. 54,23 y 12,76D. 54,23 y 7,36E. 15,67 y 7,36

3. Dos entrenadores tienen un grupo de 10 corredores cada uno. Para la Maratón deSantiago, el tiempo promedio que demoraronestos grupos fue el mismo, sin embargo, el primergrupo tuvo una desviación estándar menor que el segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. En promedio, al primer grupo le fue mejorque al segundo.

II. El desempeño del primer grupo fue máshomogéneo que el del segundo grupo.

III. En el segundo grupo, hay corredores máslentos y/o más rápidos que en el primero.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. Solo I y IIE. Solo II y III

4. ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personaspara subir a la micro?

A. 120B. 1C. 720D. 6E. 12

5. Si una prueba de opción múltiple consiste en 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posiblesde las cuales solo 1 es correcta, entonces elnúmero de formas diferentes que un estudiantepuede elegir una respuesta a cada pregunta es:

A. 1 024B. 5C. 25D. 20E. 4

6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños y 5 niñas en una fila, si los niños y las niñas sedeben alternar?

A. 362 880B. 20 C. 2 880D. 9E. 2

7. Para formar un equipo de baby fútbol se necesitan4 jugadores y un arquero, que se deben elegirde entre un grupo de 10 jugadores y 3 arqueros.¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

A. 630B. 213C. 21 772 800D. 3 628 806E. 30



Datos y Azar | 187

Evaluación final


8. En una urna hay 5 fichas rojas y 4 negras. Si se extraen dos fichas, ¿cuál es la probabilidadde extraer una ficha negra y otra roja?

A.

B.

C.

D.

E.

9. Un naipe de 52 cartas es barajado y cada uno decuatro jugadores A, B, C y D extrae 13 cartas.La probabilidad de que el jugador A obtengatodos los corazones, B todos los diamantes, C todos los tréboles y D todas las espadas es:

A.

B.

C.

D.

E.

10. La probabilidad de Daniela de resolver un

problema es de y la de Rodrigo es de .

¿Cuál es la probabilidad de que el problema

sea resuelto al menos por uno de ellos?

A. D.

B. E.

C.

11. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacionesson verdaderas?

I. P(A) = 1 – P(AC) II. Siempre se cumple que

P(A � B) = P(A) · P(B)III. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A � B)

A. Solo I B. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. I y III

12. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantesde una universidad para conocer las actividadesque realizan en su tiempo libre. El 80% de losentrevistados ve televisión o lee, el 35% realizaambas cosas y el 60% no lee. Si un estudiantees elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad deque vea televisión y no lea?

A. 0,4B. 0,05C. 0,45D. 0,2E. 0

13. Supón que las especificaciones del fabricantepara la longitud de un cable de computador son2 000 ± 10 milímetros. En esta industria, se sabeque la probabilidad de que se produzca un cablecon una longitud mayor que 2 010 milímetros esigual a la probabilidad de producirlo con unalongitud menor que 1 990 milímetros. Se sabeque la probabilidad de que el procedimiento deproducción cumpla con las especificaciones esde 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que uncable sea muy largo?

A. 0,005B. 0,01C. 0D. 0,99E. 0,8

59121429

518

144

133

52

(13!)4

52!1

52!

11214

1112

13

34

23

14






1. El plano de la casa de Humberto está elaboradoa escala 1 : 50. Con respecto a él se afirma: I. Una puerta de 1,6 cm en el plano mide 80 cm en la realidad.

II. El living en el plano es rectangular de largo10 cm y ancho 6 cm; su área real es 30 m

2.

III. Un closet de 1,8 m reales se ve de 36 mm en el plano.

De las afirmaciones son verdaderas.

A. Solo I D. I y IIB. Solo II E. I y IIIC. Solo III

2. En la figura p : q = 3 : 4, l // m // n,x + y = 49 cm. El valor de y es:

A. 21 cm D. 65,3 cm B. 49 cm E. Otro valor. C. 28 cm

3. En la figura el valor de x + y es:

A. 6 cm D. 24 cm B. 15 cm E. Otro valor. C. 9 cm

4. El único triángulo que no es semejante a losdemás es:

A. D.

B. E.

C.

5. En el triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de p2+ q

2+ 2pq es:

A. 100 B. 196 C. 100 + 2pqD. 196 + 2pqE. Ninguna de las anteriores.

6. El valor de la incógnita x es:

A. 31,6ºB. 38ºC. 40,4ºD. 190ºE. 34º


l

m

n

p

q

x

y

4 cm 10 cm

6 cm 9 cm

A

A B

C

q p

C

B

E G

DF

Hx

y

50º 50º

50º50º

80º

80º

50º

80º

5 cm

10 cm 10 cm

6 cm

5 cm

h6 8

82º

2x + 4

3x + 2

O

Taller 188-192_UNIDAD 1 31-08-12 10:14 Página 188



Taller de Evaluación 2 | 189

7. En la siguiente figura, calcula la medidadel ángulo a.

A. 132ºB. 129,5ºC. 34ºD. 103ºE. 146º

8. En la siguiente figura, calcula la medidadel ángulo a.

A. 18º D. 54ºB. 72º E. 108ºC. 36º

9. Calcula el valor del trazo AB en la siguientefigura:

A. 21B. 15C. 14D. 7E. 16

10. ¿De cuántas maneras se pueden combinar2 pares de zapatos, 4 de pantalones y 5 camisas?

A. 8 B. 11 C. 20 D. 40 E. Ninguna de las anteriores.

11. Se desea crear un comité de 3 hombres y6 mujeres. Si se dispone de 5 hombres y9 mujeres aspirantes, los comités distintos quese pueden formar son:

A. 420 D. 1 680B. 810 E. 2 100C. 840

12. Un curso está formado por 10 hombres y15 mujeres. La mitad de los hombres yun tercio de las mujeres eligieron la asignaturaoptativa de música. ¿Cuál es la probabilidad deque una persona elegida al azar sea hombre oesté en el curso optativo de música?

A. D.

C.

13. Un examen tiene 10 preguntas que debenresponderse con verdadero o falso. Si Feliperesponde todas las preguntas al azar, ¿cuál esla probabilidad de que responda todascorrectamente?

A. 0,1B. 0,5 C. 0,0019531 D. 0,05 E. 0,0009765

825

45

25

D

O

48º

53º

a

a

O

x

108º

3x

Ox +

1

12

4 x – 1

A

B

C

B. E. Ninguna de las anteriores. 35



Solucionario

1. B 8. B2. D 9. C3. A 10. D4. E 11. B5. B 12. C6. C 13. C7. E 14. B

1. C 7. B2. B 8. A3. B 9. D4. D 10. C5. E 11. D6. C

1. B 8. D2. A 9. A3. C 10. B4. D 11. C5. A 12. B6. A 13. C7. B 14. D

1. D 8. A2. B 9. D3. A 10. A4. B 11. A5. D 12. B6. E 13. C7. C

1. A 8. E2. A 9. C3. A 10. A4. D 11. C5. B 12. E6. C 13. E7. D

1. D 7. C2. B 8. A3. D 9. C4. E 10. B5. A 11. E6. E 12. C

1. C 8. E2. D 9. D3. E 10. E4. C 11. E5. A 12. A6. C 13. A7. A

1. E 8. A2. C 9. C3. E 10. D4. E 11. C5. A 12. B6. B 13. E7. D

Evaluación final Unidad 1, páginas 66 y 67 Evaluación final Unidad 4, páginas 142 y 143

Evaluación final Unidad 5, páginas 166 y 167Evaluación final Unidad 2, páginas 90 y 91

Evaluación final Unidad 3, páginas 114 y 115 Evaluación final Unidad 6, páginas 186 y 187

Taller de evaluación 1, páginas 116 y 117 Taller de evaluación 2, páginas 188 y 189


matemática - ii° medio (gdd)

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