matematica la logica · 2015-01-18 · nella matematica si chiama proposizione o enunciato ogni...

• Logica degli enunciati;• Operazioni con le proposizioni;

• Proprietà delle operazioni logiche;• Tautologie;

• Regole di deduzione;• Logica dei predicati;

• Implicazione logica. Equivalenza logica;• Condizione necessaria, condizione sufficiente;

Nella matematica si chiama proposizione o enunciato

ogni espressione linguistica o frase per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o è falsa. In altre parole un enunciato è una frase alla quale ha senso associare uno e uno solo dei due valori di verità : vero o falsoAd esempio “la luna è un satellite” è un enunciato;

Mentre “quest’anno sarò promosso”non lo è.

• Congiunzioni di due proposizioni;• Disgiunzione di due proposizioni;• Negazione di una proposizione;• Implicazione materiale o condizionale;• Coimplicazione materiale o bicondizionale;• Formule equiveridiche;

La particella “e”, quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato di “e contemporaneamente”, corrisponde in logica al connettivo congiunzione(Λ)

Si definisce congiunzionedi due proposizioni p e q e si identifica con

p Λq

Nota: (il simbolo Λ nel linguaggio matematico si legge “et”)

Per rendere più evidente la definizione data, in genere viene introdotta la tavola di verità, dalla quale risultano i valori di verità della congiunzione pΛq, dati i possibili valori di verità delle proposizioni p e q

FFF

FVF

FFV

VVV

pΛqqp

La parola “o”, quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di “oppure” (in senso alternativo come il vel latino), corrisponde in logica al connettivo disgiunzione(simbolo V)

Si definisce disgiunzionedi due proposizioni p e q e si indica con il simbolo

pVq

(si legge “p o q” o, meglio ancora, usando il latino, “p vel q”)

Poiché la verità di pVq si verifica nel caso di verità o solo di p o solo di q o di entrambe le proposizioni, questa disgiunzioneè anche detta alternativa.

FFF

VVF

VFV

VVV

pVqqp

La particella “non” del linguaggio ordinario corrisponde in logica all’ operatore negazione.

Si definisce negazionedi un enunciato p e si indica con

¯

(si legge non p oppure p negato)

p

VF

FV

¯p p

Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni può ottenersi mediante il connettivo “se…allora….”.

Si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p e q e si indica con

p q

(si legge “se p allora q” o “p implica q”)

VFF

VVF

FFV

VVV

p q qp

Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo “se e solo se”; si ha in proposito la seguente definizione.

Si definisce coimplicazione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si indica con

p q

(si legge “p se e solo se q” o “p coimplica q”)

VFF

FVF

FFV

VVV

p qqp

Diciamo che due formule enunciative A e B sono equiveridicheo uguali logicamenteo, ancora, logicamente equivalentise esse determinano la stessa funzione di verità, ossia se assumono entrambe lo stesso valore di verità quali che siano i valori di verità attribuiti alle lettere enunciative che le compongono.

Scriveremo allora

A B (A è equiveridica a B)

Oppure

A = B (A è uguale logicamente a B)

VVVFF

VVVVF

FFFFV

VFVVV

¯ V¯p qqp p p q

Potremo pertanto scrivere:

p q = ¯ V qp

Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…o Proprietà dell’ idempotenza;o Proprietà commutativa;o Proprietà della complementarietà;o Proprietà associativa;o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);

o Proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione);

o Leggi di De Morgan;o Leggi di assorbimento;

p ^ p = p p v p = p

p ^ q = q ^ p p v q = q v p

Le operazioni logiche godono di numerose proprietà formali esprimibili mediante uguaglianze logiche. La verifica di tali uguaglianze si esegue mediante la tavola di verità…o Proprietà dell’ idempotenza;o Proprietà commutativa;o Proprietà associativa;o Proprietà distributiva (della congiunzione rispetto alla disgiunzione);


o Proprietà della complementarietà;o Leggi di De Morgan;o Leggi di assorbimento;

p p=

=

(p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r)(p v q) v r = p v (q v r)

p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)

p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

p ^ q = p v q p v q = p ^ q

p v (p ^ q) = p p ^ (p v q) = p

Se una formula enunciativa risulta vera qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una tautologia.

Per indicare che una formula enunciativa A è una tautologia si scrive

Se una formula enunciativa risulta falsa qualunque sia il valore di verità delle lettere enunciative che la compongono, si dice che è una contraddizione.

A

La formula ((a ^ b) a) è una tautologia; La formula a ^ a è una contraddizione

VFFF

VFVF

VFFV

VVVV

(a^b) aa ^ bba

FVF

FFV

a^aaa

Presentiamo ora alcune tautologie che rappresentano le forme di ragionamento deduttivo più frequenti in matematica:

o Principio del terzo escluso;

o Proprietà transitiva dell’ implicazione;o Legge di contrapposizione;

o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

((a b) ^ (b c)) (a c)




o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

(a b) (b a)




o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

((a b) ^ a) b




o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

((a b) ^ b) a

Alcune delle tautologie appena viste consentono di chiarire e di giustificare questo modo di procedere, permettendo di formulare delle regole di deduzione o regole di inferenza, ossia regole mediante le quali dalla verità di alcune proposizioni si può dedurre la verità di nuove proposizioni:

o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

o Modus Pollendo Tollens;o Modus Tollendo Ponens;

Consideriamo la tautologia: ((a b) ^ a) b

FFV

VVV

((a b) ^ a) bb(a b) ^ a

Se sono vere le proposizioni “a b” e “a”, dev’ essere vera anche la proposizione b.


o Modus Ponens;

o Modus Tollens;

o Modus Ponendo Tollens;o Modus Tollendo Ponens;

Dalla tautologia: ((a b) ^ b) a

FFV

VVV

((a b) ^ b) aa(a b) ^ b

Se è vera la proposizione “a b”ed è vera la negazione di “b”, deve essere vera anche la negazione di “a”.


o Modus Ponens;

o Modus Tollens;



FFV

VVV

((a ^ b) ^ b) aa(a ^ b) ^ b

Se è vera la proposizione “a ^ b”ed è vera “b”, deve essere vera anche “a”.


o Modus Ponens;

o Modus Tollens;


o Reductio ad absudum;

Dalla tautologia: ((av b) ^ b) a

FFV

VVV

((a v b) ^ b) aa(a v b) ^ b

Se è vera la proposizione “a v b”ed è vera la negazione di “b ”, deve essere vera anche “a”.


o Modus Ponens;

o Modus Tollens;


o Reductio ad absurdum;


FFV

VVV

((a b) ^ b) aa(a b) ^ b

Seguendo questo schema, per dimostrare un enunciatoa si prova a negarlo, ossia ad affermare a; se da tale negazione si può trarre una conclusione b e, contemporaneamente, è noto che tale conclusione è falsa, ossia si ha (a b) ^ b, si può dedurre che a è vero.

o Implicazione logica;

o Equivalenza logica;

Considerati due predicati p(x) e q(x), con x appartenente d un opportuno dominio, se ogni valore di x che rende vero p(x), si dice che p(x) implica logicamenteq(x) o che q(x) è conseguenza logica di p(x).

Per indicare che p(x) implica logicamente q(x), si scrive

p(x) q(x)

Analizziamo la seguente frase:

se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.

Allo scopo consideriamo i due predicati

p(x): x è divisibile per 4

q(x): x è divisibile per 2. X Є N

o Implicazione logica;

o Equivalenza logica;

Due predicati p(x) e q(x) sono logicamente equivalenti, se ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero q(x) e se, contemporaneamente, ogni x che rende vero q(x) rende vero anche p(x).

“se un triangolo ha 2 angoli uguali allora ha 2 lati uguali” è un’ implicazione logica in quanto, come si dimostra in geometria, se un triangolo ha 2 angoli uguali, allora ha anche 2 lati uguali. In questo caso oltre ad essere p(x) = q(x) è anche q(x) = p(x)

Se due predicati si implicano logicamente a vicenda, si scrive

p(x) = q(x)

>>

><

p(x): x è divisibile per 6

q(x): x è pari.

In matematica, scrivendo p(x) = q(x), si suol dire che

1. p(x) è condizione sufficiente per q(x); infatti l’essere un numero divisibile per 6 è una condizione sufficiente perché il numero sia pari.

2. q(x) è condizione necessaria per p(x); infatti l’essere pari è necessario per essere divisibile per 6.

3. Nel caso in cui i predicati p(x) e q(x) siano logicamente equivalenti, diremo che p(x) è condizione necessaria e sufficiente per q(x).

>

Lavoro prodotto dall’alunno Colitta Giancarlodella classe 2A a.s.2007/08

guidato dalla prof.ssa Martina Anna Rita

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